§ 38. МАТРИЧНА ГРА ЗІ СІДЛОВОЮ ТОЧКОЮ

Розглянемо двоходову гру тхп двох гравців А і В з нульовою сумою;

задамо гру таблицею 56. Основним у теорії ігор є припущення про те, що кожен

гравець намагається забезпечити собі найбільший виграш за будь-яких дій

партнера. Тому обидвох гравців розглядають як суперників, які найкраще

використовують можливості, що надають їм правила гри. Припускають також,

що в гравця немає інформації про стратегію, яку обрав суперник. За таких умов

ми визначимо найкращу стратегію гравця А серед стратегій А1...,Ат і найкращу

стратегію гравця В серед стратегій В1...,Вn.

Якщо гравець А обере стратегію Аі, 1≤ і ≤ т, то може розраховувати на

один з п виграшів

1,......,ci inc

(розташований в і-рядку табл. 56) залежно від ходу гравця В. Гравець В

намагається зіграти так, щоб виграш А (а, отже, свій програш) зробити

найменшим. Тому він зацікавлений у такій стратегії ij

B яка відповідає

найменшому виграшу iijc в (6.5),

iijc = min ijj

c . Передбачаючи цю можливість,

гравець А повинен вибрати ту стратегію Аi0, яка відповідає найбільшому

елементу (він розташований в і0 -рядку табл. 56) серед виграшів 1,iijc m ,

max max(min )iij ij

ji ic c

З огляду на останній запис стратегія Аio називається максимінною. Така

„обережна” стратегія забезпечує гравцеві А отримання гарантованого виграшу,

не меншого, ніж , як би не діяв гравець В. Число називається нижньою

ціною гри, воно розташоване в табл. 56 в i0-рядку, який відповідає максимінній

стратегії Аi0.

До аналогічного аналізу своїх дій вдається і гравець В. Обираючи

стратегію Вj, 1,j n , він допускає можливість для себе одного з т програшів

1 ,....,....j mjc c і, зокрема, найбільшого з них maxji j ij

ic c , якщо своїми

можливостями зуміє скористатися гравець А. Щоб зменшити свої втрати,

гравець В повинен вибрати ту стратегію Вj0, яка відповідає найменшому

елементу (він розташований в j0-стовпці табл. 56) серед виграшів , 1,ji jc j n

min min(max ).ji j ij

j j ic c

З огляду на останній запис стратегія Вj() називається мінімаксною. Така

„обережна” стратегія гарантує гравцеві В програш не більший, ніж , як би не

діяв гравець А. Число називається верхньою ціною гри.

Нехай в табл. 56 i0-рядок відповідає максимінній стратегії гравця А, а j0-

стовпець - мінімаксній стратегії гравця В. Оскільки найменше значення

виграшу в i0-рядку дорівнює , а найбільше значення виграшу в j0-стовпці

дорівнює , то для виграшу сi0j0: виконується нерівність

0 0i jc (6.6)

Звідси випливає, що нижня ціна гри не більша від верхньої ціни

гри , Ігри, для яких = і < , різняться своїми

властивостями.

Розглянемо випадок = .

Теорема. Нехай - нижня, а - верхня ціни гри, заданої таблицею 56.

Для того щоб = , необхідно і достатньо, щоб в табл. 56 існував елемент сіj,

який не більший від кожного елемента і-рядка і не менший від кожного

елемента j-стовпця.

Доведення.

Необхідність. Якщо = і 0 0i jc - виграш гравця А, що відпові-

дає максимінній Аi0 і мінімаксній Вi0 стратегіям, то з нерівностей (6.6):

випливає, що 0 0i jc = = , тобто

0 0i jc не більший від кожного елемента i0-рядка і

не менший від кожного елемента j0-стовпця.

Достатність. Якщо в табл. 56 існує елемент 0 0i jc який задовольняє умову

теореми, то

ijc (6.7)

Це випливає з того, що - значення найбільшого серед усіх найменших

елементів у рядках, а - значення найменшого серед усіх найбільших

елементів у стовпцях. З нерівностей (6.7) і < отримуємо, що = . Теорему

доведено.

Якщо = то їхнє спільне значення називається чистою ціною гри або

значенням гри. Стратегії 0i

A (максимінна) і 0j

B (мінімаксна), за допомогою

яких можна досягнути значення 0 0i jc = = , називаються оптимальними.

Елемент 0 0i jc в матриці такої гри є одночасно найменшим в i0-рядку і

найбільшим в j0-стовпці і називається сідловою точкою. Саму гру називають

також грою зі сідловою точкою, а пара оптимальних стратегій називається

розв’язком гри.

Розв’язок гри зі сідловою точкою має такі властивості.

1. Якщо обидва гравці застосовують свої оптимальні стратегії, то в

кожній грі виграш гравця А і програш гравця В завжди однакові і дорівнюють

чистій ціні гри (яка є одночасно нижньою і верхньою ціною гри).

2. Якщо з двох гравців свою оптимальну стратегію застосовує лише

один, то виграш того гравця, який не користується оптимальною стратегією,

не може бути більшим від виграшу, який йому забезпечила б оптимальна

стратегія. Отже, відмова від застосування своєї оптимальної стратегії не є

вигідною для жодного гравця.

Оптимальні стратегії визначають у грі зі сідловою точкою стан рівноваги,

коли гравці не зацікавлені від тих стратегій відмовлятися, бо це їм не вигідно.

За таких умов кожен гравець може сповістити свого суперника про намір

застосувати оптимальну стратегію, не побоюючись зменшення виграшу. Тому

гру зі сідловою точкою називають також цілком визначеною.

Приклад 1.

Знайти нижню і верхню ціни гри, яка задана матрицею

2 0 3

3 1 4

2 3 2

C

Р о з в ’ я з а н н я. Матрицю гри розташуємо в табл. 57. Найменші

елементи рядків min ijj

c - запишемо в додатковому стовпці таблиці,а найбільші

елементи стовпців max ijj

c - в додатковому рядку.

Таблиця 57

Bj

Аj В1 В2 В3

min ijj

c

A1 2 0 -3 -3

A2 3 -1 4 -1

A3 -2 -3 2 -3

max ijj

c 3 0 4 -1

0

У правій нижній клітинці таблиці запишемо нижню ціну гри

maxmin 1ijji

c

і верхню ціну гри

minmax 0ijj i

c

Гра не має сідлової точки, оскільки

Приклад 2.

Двоє гравців А і В розігрують гру з нульовою сумою, в якій А може

записати одну з трьох цифр 0, 1 або 2 а В - одну з двох цифр 0 або 1. Якщо сума

записаних цифр буде 3, то гравець А виграє З очки, якщо 2, то гравець В виграє

2 очки, а якщо 0 або 1, то виграш кожного гравця дорівнює 0. Записати

матрицю гри, знайти нижню і верхню ціни гри.

Р о з в я з а н н я. Нехай А(0), А( 1), А(2) - стратегії гравця А, В(0), В(1) -

стратегії гравця В. Складемо табл. 58 виграшів гравця А залежно від обраних

стратегій. У додатковому стовпці таблиці записані найменші елементи з рядків,

а в додатковому рядку - найбільші елементи зі стовпців.

Таблиця 58

В

А В( 0) В(1) min ij

jc

А( 0) 0 0 0

А(1) 0 -2 -2

А(2) -2 3 -2

max ijj

c 0 3 0

0

Оскільки , то гра має сідлову точку (вона виділена). Чиста ціна

(вона одночасно є нижньою і верхньою ціною) гри дорівнює нулю.

Оптимальною стратегією гравця А є А(0), а гравця В – В(0).

Переконайтеся у тому, що відхилення від оптимальної стратегії лише

одного з гравців не призводить до збільшення його виграшу.

Задачі для самостійного розв’язування

1-8. Для гри, заданої матрицею, знайти нижню і верхню ціни, максимінну

і мінімаксну стратегії гравців; якщо існує сідлова точка, то вказати розв’язок

гри в чистих стратегіях.

7 3 1 7 3 2 44 1 4 1

1. . 2. . 3. 4 5 0 . 4. 3 5 2 4 .5 0 0 5

3 4 2 2 1 3 5

7 2 3 22 5 4 3 5 1 7

6 8 1 4 1 2 33 7 1 6 5 2 3

5. . 6. 7 5 3 . 7. . 8. 1 4 3 64 5 6 3 4 6 3

1 2 6 2 3 4 41 6 4 4 2 6 4

.

2 1 8 5

9. Гравці А і В грають у гру, у якій незалежно записують одну з цифр

1, 2 або 3. Якщо сума цифр парна, то гравець А виграє кількість очок, що

дорівнює цій сумі, а якщо непарна, - то суму записаних очок виграє гравець В.

Програш іншого гравця в кожному з випадків дорівнює виграшу його

суперника. Записати гру в нормальній формі. Знайти нижню і верхню ціни гри,

вказати максимінну і мінімаксну стратегії гравців.

10. Проаналізувати гру „боротьба за телепростір”, описану в задачі 7 (§

37), вважаючи, що гра задана матрицею (6.4). Які зміни в телепрограмах

доцільно запровадити телекомпаніям, щоб розширити коло своїх глядачів?

11. Довести: парна гра з нульовою сумою і матрицею

11 12

21 22

c cC

c c

.

елементи якої задовольняють умову с11+ с22- с12- с21 = 0, має сідлову

точку. Чи правильне обернене твердження?

12. Для того щоб гра 2x2 з нульовою сумою мала сідлову точку, необ-

хідно і достатньо, щоб для її матриці виграшів справджувалося хоча б одне з

двох таких тверджень:

а) елементи одного з рядків матриці не більші від відповідних елемен-

тів іншого;

б) елементи одного зі стовпців матриці не більші від відповідних еле-

ментів іншого.

§ 39. МІШАНІ СТРАТЕГІЇ В МАТРИЧНИХ ІГРАХ

Антагоністичні ігри двох гравців зі сідловою точкою на практиці

трапляються рідко. Значно поширеніші є ігри, у яких нижня ціна гри менша за

верхню . Навіть якщо гравці А і В дотримуються своїх „обережних”

стратегій (тобто А - максимінної, а В - мінімаксної), то величину виграшу

заздалегідь вказати неможливо. Можна лише стверджувати, що виграш и

задовольняє нерівність u .

Справді, розглянемо гру, задану таблицею 59.

Таблиця 59

В1 В2 В3 min ijj

c і

А1 4 -4 1 -4

А2 -3 3 -2 -3

max ijj

c 4 3 1 -3

1

У таблиці виділено нижню =-3 і верхню = 1 ціни гри. Якщо гравці

будуть дотримуватися своїх „обережних” стратегій А2 і В3, які гарантують

гравцеві А виграш не менший, ніж (-3), а гравцеві В програш не більший, ніж 1,

то насправді виявиться, що виграш гравця А складе (- 2), 2 Хоча цей

виграш для обидвох гравців є більшим від того, що їм гарантують „обережні”

стратегії, але, якщо гравець А знатиме, що його суперник обирає стратегію В3,

то йому вигідніше перейти до стратегії А1 і збільшити свій виграш до 1.

Аналогічно, якщо гравець В дізнається, що А застосовує стратегію А2, то за

допомогою стратегії В1, він може зменшити свій програш до (-3). Отже, якщо

гра не є цілком визначена, то гравці зацікавлені у приховуванні від суперників

своїх намірів щодо вибору стратегій.

Звідси доходимо таких висновків про можливості збільшення виграшів

гравців.

1. Гравці повинні застосовувати не одну, а декілька стратегій, і свої

наміри щодо вибору стратегій приховувати від суперників.

2. Застосування різних стратегій передбачає можливість повторення

гри. Припускаємо, що гру можна повторювати скільки завгодно разів.

3. Для оцінки результатів багаторазового проведення гри зручно

ввести поняття середнього виграшу (це поняття буде конкретизовано далі);

метою гравця є сенс вважати отримання максимального середнього виграшу.

У теорії ігор доведено, що гравець може збільшити свій середній виграш,

якщо випадково з певним співвідношенням частот чергуватиме застосування

своїх стратегій.

Надалі розглядатимемо парну тхп гру, яка задана таблицею 56, матриця

такої гри С = {сij}, 1, , j=1,i m n .

Означення 1. Мішаною стратегією гравця називається розподіл ймо-

вірностей на множині його стратегій.

Якщо А1,...,Ат - стратегії гравця А, то його мішану стратегію можна

задати умовами

1

( ) , i=1, , 1,m

i i i

i

P A x m x

або рядом розподілу ймовірностей

або просто вектором ймовірностей X =(х1;...;хт) , 1

1m

i

i

x

. Будь-який з

таких записів означає, що гравець А застосовує в грі свою стратегію Аi , 1,i m

з ймовірністю Р(Аі) = хі0. Говорять також, що стратегія Аi, входить з

ймовірністю Р(А;) = хі в мішану стратегію X . Якщо xi > 0, то стратегія Аi,

називається активною в мішаній стратегії X або просто активною, якщо

зрозуміло, про яку мішану стратегію йдеться.

Кожній стратегії Аi- відповідає мішана стратегія iX = (0;...;0;1;0;...;0)Т , в

якій i-та компонента Р(Аi) = 1, а решта - нулі. Мішану стратегію iX називають

чистою. Деколи саму стратегію Аi розуміють як мішану, ототожнюючи її з

чистою стратегією iX , і також називають чистою. У гравця А т чистих

стратегій ,..., .i mX X

Ai Ai Ai …… Am

xі x1 x2 …… xm 1

1m

i

i

x

Для другого гравця В, який має стратегії В1,…,Bn, поняття стратегій

мішаної 1( ;...; )T

nY y y і чистих , j=1,jY n , вводять аналогічно.

Припускаючи, що гравці вибирають свої мішані стратегії X і Y випад-

ково і незалежно один від одного, знайдемо за теоремою множення ймо-

вірностей для незалежних подій ймовірність ситуації (Аi, Вj)

( , ) ( ) ( )i j i j i jP A B P A P B x y

Оскільки виграш гравця А є випадковою величиною, яка набуває значень

сij з імовірностями хiyj то результат гри можна оцінити математичним

сподіванням виграшу

1 1

( , )m n

T

ij i j

i j

M X Y c x y X CY

де С = {сij} - матриця гри. Величина М(Х,Y) називається виграшем

гравця А (або середнім програшем гравця В).

Далі множину мішаних стратегій гравця А розглядаємо як підмножину Sm

векторів X = (х1;…;хm)T n-вимірного евклідового простору, координати яких

задовольняють умови

1

0, =1, , 1m

i i

i

x i m x

а множину мішаних стратегій гравця В - як підмножину Sn векторів

Y =(y1;…;yn)T n-вимірного евклідового простору, координати яких

задовольняють умови

1

0, j=1, , 1n

j j

j

y n y

До визначення гарантованих середніх виграшу і програшу гравців А та В

відповідно підійдемо аналогічно, як в § 38 до визначення нижньої і верхньої цін

гри*. А саме, якщо гравець А застосує мішану стратегію X , а гравцеві В

пощастить вибрати таку мішану стратегію X

Y , щоб зробити величину (6.8)

найменшою, то очікуваний середній нижній виграш ( )A X гравця А буде

( ) ( , ) min ( , )n

A X Y SX M X Y M X Y

Вибираючи далі таку мішану стратегію X *, щоб функція ( )A X досягла

свого найбільшого значення (можна довести, що така стратегія X * завжди

існує), отримуємо гарантований середній виграш A (гравця А), який

називається нижньою ціною гри в мішаних стратегіях,

*max ( ) ( *) ( *, ) maxmin ( , )

nm m

A A A X Y SX S X SX X M X Y M X Y

Стратегія X *, яка гарантує гравцю А досягнення нижньої ціни гри A ,

називається максимінною. Якщо гравець А застосовує свою максимінну

стратегію X *, а гравець В - довільну свою мішану стратегію Y , то внаслідок

співвідношень (6.9) і (6.10) маємо

( *, ) ( *)A AM X Y X

а тому

min ( *, )n

AY S

M X Y

(6.11)

Аналогічно можна аналізувати вибір мішаної стратегії гравцем В. Так,

якщо він обере стратегію Y , а гравцеві А пощастить вибрати таку стратегію

,Y

X щоб зробити величину (6.8) найбільшою, то гравець В ризикує програти в

середньому щонайбільше

( ) ( , ) max ( , )m

B Y X SY M X Y M X Y

(6.12)

Вибираючи далі таку мішану стратегію Y *, щоб функція ( )B Y досягла

свого найменшого значення B , гравець В може забезпечити собі середній

програш, не більший ніж

*min ( ) ( *) ( , *) minmax ( , )

n n m

B B B YY S Y S X SY Y M X Y M X Y

* Усі викладені далі результати обгрунтовані в спеціальній

літературі ([9], [33]), але ми їх наводимо без доведення.

Число B називається верхньою ціною гри, а стратегія Y * -

мінімаксною. Якщо гравець В застосовує свою мінімаксну стратегію Y *, а

гравець А - довільну свою мішану стратегію X , то внаслідок співвідношень

(6.12) і (6.13) маємо

( , *) ( *)B BM X Y Y

а тому

max ( , )m

BX S

M X Y

Для будь-яких мішаних стратегій m nX S Y S на підставі (6.9) і (6.12)

( ) min ( , ) ( , ) max ( , ) ( )n m

A BY S X S

X M X Y M X Y M X Y Y

Звідси випливає, що

max ( ) min ( )nm

A A B BY SX S

X Y

(6.15)

Основна теорема теорії матричних ігор стверджує, що верхня і нижня

ціни гри однакові

A B (6.16)

їх спільне значення називається ціною гри.

Означення 2. Мішана стратегія 0X гравця А називається оптимальною,

якщо її застосування забезпечує гравцеві А виграш М ( 0X ,Y ), не менший від

ціни гри , яку б стратегію Y не застосовував гравець В, тобто, якщо

М ( 0X ,Y ) для всіх nY S , (6.17)

Мішана стратегія 0Y гравця В називається оптимальною, якщо її

застосування забезпечує гравцеві В програш М ( X , 0Y ), не більший від ціни гри

, яку б стратегію X не застосовував гравець А, тобто, якщо

М ( X , 0Y ) для всіх mX S , (6.18)

Вкажемо основні властивості оптимальних стратегій 0X (для гравця А) і

0Y (для гравця В).

Властивість 1. М ( 0X , 0Y ) .

Це випливає з нерівностей (6.17) і (6.18), якщо в них покласти X = 0X ,

Y = 0Y .

Властивість 2. Оптимальні стратегії 0X і 0Y є відповідно максимінною

(для гравця А) і мінімаксною (для гравця В).

Розглянемо, наприклад, оптимальну стратегію 0X . На підставі

співвідношень (6.16) і (6.17) отримуємо

0 0( , ) AМ X Y для всіх nY S ,

звідки внаслідок (6.9) випливає, що vA ( 0X ) A . Але справедлива також і

протилежна нерівність vA ( 0X ) A ., яка є наслідком означень vA( 0X ) і vA (див.

(6.9) і (6.10)). Тому vA( 0X ) = vA і, отже, 0X - максимінна стратегія А.

Перевірте самостійно, що 0Y є мінімаксною стратегією для В.

Властивість 3. Максимінна X * і мінімаксна Y * стратегії гравців А та

В відповідно є оптимальними.

Це випливає зі співвідношень (6.11), (6.14) і (6.16).

Властивість 4.

0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )M X Y M X Y M X Y для всіх mX S і nY S (6.19)

Ці нерівності випливають з властивості 1 і нерівностей (6.17), (6.18).

Означення 3. Нерівності (6.19) називаються умовами рівноваги.

Вони означають, що коли один з гравців відступає від своєї оптимальної

стратегії, то його очікуваний виграш (програш) може лише зменшитися

(збільшитися), якщо суперник дотримуватиметься своєї оптимальної стратегії.

Отже, жодному гравцеві невигідно відмовлятися від своєї оптимальної

стратегії, якщо суперник не відмовляється від своєї.

Властивість 5. Якщо для стратегій X і Y гравців А і В відповідно

виконуються умови рівноваги (6.19), тобто якщо

( , ) ( , ) ( , )M X Y M X Y M X Y для всіх mX S і nY S (6.20)

то X i Y - оптимальні стратегії, а v' = ( , )M X Y -ціна гри.

Справді, перша з нерівностей (6.20) означає, що vB(Y ) = M( ,X Y ), а

друга, - що vA( X ) = M( ,X Y ). Отже, vAvA( X ) = vB (Y )vB, а тоді внаслідок

співвідношень (6.15), потім і (6.16) насправді маємо рівності vA = vB = v =

( , )M X Y =v' . Отже, v = v'- ціна гри. Тепер нерівності (6.20) можна записати як

( , ) ( , ) для всіхM X Y v M X Y mX S і nY S (6.21)

які означають, що X i Y - оптимальні стратегії (див. означення 2).

Як і вище, нехай iX , і =1,m , jY , j=1,n , позначають чисті стратегії гравців

А і В відповідно.

Властивість 6. Якщо 0X , 0Y - оптимальні стратегії гравців А та В

відповідно, v- ціна гри, то

0( , ) ( , )i o jM X Y v M X Y ,якщо і = 1,m і j = 1,n . (6.22)

Ці нерівності є наслідком нерівностей (6.17), (6.18), які виконуються для

всіх стратегій mX S і nY S і, зокрема, для чистих ,i jX Y .

Властивість 7. Якщо існує таке число v' і мішані стратегії

1 1( ;...; ) i ( ;...; )T T

m nX x x Y y y гравців А та В відповідно, що

( , ) ( , )i jM X Y v M X Y для і = 1,m і j = 1,n . (6.23)

то X i Y - оптимальні стратегії, а v' - ціна гри.

Доведемо цю властивість. Нехай С ={cij} - матриця гри. Тоді

1

1

( , ) ( )

( , ) ( )

ni i T

ij j

j

mj T j

ij i

i

M X Y X CY c y

M X Y X CY c x

і нерівності (6.23) можна записати так:

1

1

( , ) , i 1, (6.24)

( , ) , 1, (6.25)

ni

ij j

j

mj

ij i

i

M X Y c y v m

M X Y c x v j n

Нехай тепер X = (x1;…;xm)Т - довільна мішана стратегія гравця А.

Спочатку помножимо кожну з нерівностей (6.24) на відповідну компоненту хі

вектора X , а потім додамо отримані нерівності і приидемо до однієї нерівності

1 1 1

m n m

i ij j i

i j i

x c y v x

(6.26)

Беручи до уваги, що 1 1 1

( , ), 1,m n m

T

i ij j i

i j i

x c y X CY M X Y x

запишемо нерівність (6.26) як

( , )M X Y v для всіх mX S (6.27)

Аналогічно із системи нерівностей (6.25) отримуємо нерівність

( , )M X Y v для всіх nY S (6.28)

Якщо покладемо X = X в нерівності (6.27), а Y = Y в (6.28), то з цих

нерівностей отримуємо М ( ,X Y ) = v . Тепер самі нерівності (6.27) і (6.28)

можемо записати як умови рівноваги

( , ) ( , ) ( , )M X Y M X Y v M X Y для всіх mX S , nY S звідки за

властивістю 5 випливає, що X i Y -- оптимальні стратегії, а v' – ціна гри

Властивість 8 (про активні стратегії). Якщо один з гравців

дотримується своєї оптимальної мішаної стратегії то виграш залишається

однаковим і дорівнює ціні гри га умови що інший гравець застосовує одну зі

своїх активних стратегій, які входять в його оптимальну стратегію.

Доведемо цю властивість. Нехай С={cij}- матриця гри тхп.

v- ціна гри, 0X =( 0 0

1 ;...; mx x )T і 0Y =( 0 0

1 ;...; ny y )T- оптимальні мішані стратегії

гравців А і В відповідно. Якщо гравець А застосовує стратегію 0X , а В -

стратегію Вj, то виграш А знайдемо, якщо ототожнимо стратегію Вj з чистою

стратегією jY гравця В і цей виграш буде М ( 0X , jY )≥v (за властивістю 6),

M( 0X , jY )= 0

1

m

i ij

i

x c

. Тепер очевидно, що

M( 0X , jY )= 0 0 0 0

1 1 1

( , )n m n

j

i ij j j

j i j

x c y y M X Y v

,

де остання рівність випливає з властивості 1. Звідси, скориставшись

тотожністю 0

1

n

j

j

v y v

, запишемо різницю M( 0 0,X Y )-v=0 як суму не-від’ємних

доданків

0 0

1

( ( , ) ) 0n

j

j

j

y M X Y v

Якщо тепер Вj’ - активна стратегія гравця В в оптимальній мішаній

стратегії 0Y , тобто якщо 0

' 0jy , то рівність (6.29) можлива лише тоді, коли

M( 0 ', jX Y )-v=0. Цедоводить властивість 8 для випадку, коли гравець А

застосовує оптимальну стратегію, а В - одну з активних стратегій своєї

оптимальної мішаної стратегії. Випадок, коли оптимальної стратегії

дотримується гравець В, можна розглянути аналогічно. Зробіть це самостійно.

Розв’язком гри називають ціну гри і пару оптимальних мішаних

стратегій обох гравців. Деколи вимагають визначити також множину всіх

оптимальних стратегій гравців.

Перед тим як розв’язати гру, доцільно спробувати її спростити,

зменшивши розмірність матриці гри С. Припустимо, наприклад, що елементи

і1-рядка матриці не більші від відповідних елементів і2-рядка. Тоді стратегія 1i

A

є невигідною для гравця А, а тому i1 рядок можна викреслити з матриці С.

Аналогічно, якщо елементи j1-стовпця матриці не менші від відповідних

елементів j2-стовпця, то стратегія 1j

B є невигідною для гравця В, а тому j1-

стовпець можна викреслити з матриці С.

Зменшення розмірності матриці С полегшує пошук розв’язку гри. Якщо

розв’язок такої „звуженої” гри знайдено в мішаних стратегіях, то, приписавши

викресленим рядкам і стовпцям нульові ймовірності, отримуємо розв’язок гри

початкової також в мішаних стратегіях.

Ще один спосіб спрощення гри ґрунтується на доведеній в теорії ігор

властивості про те, що афінне перетворення матриці гри С = {сij}, i=1,m , j=1,n ,

тобто перетворення елементів матриці за правиломij ijd ac b , де 0a , не

змінює оптимальних стратегій гравців, а нову ціну гри v' можна знайти за тим

самим правилом v'=аv+b, де v - ціна початкової гри. Звідси, зокрема,

випливає, що, додаючи до всіх елементів матриці гри стале число, ми не

змінюємо оптимальних стратегій гравців, а також, що на оптимальні стратегії

гравців не впливає вибір одиниць вимірювання виграшу.

§ 40. ГРА 2хN, ЇЇ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТА ГЕОМЕТРИЧНЕ

ТЛУМАЧЕННЯ

Розглянемо найпростіший приклад скінченної матричної гри

розміру 2x2. Якщо гра має сідлову точку, то пара оптимальних стратегій, яка

відповідає цій точці, дає розв’язок гри.

Припустимо, що гра не має сідлової точки. Нехай 11 12

21 22

c cC

c c

--

матриця гри і v - ціна гри. Згідно з основною теоремою теорії ігор існують

оптимальні мішані стратегії гравця А

0 0 0 0 0 0 0

1 2 1 2 1 2( ; ) , 1 , 0 , 0TX x x x x x x

і гравця В

0 0 0 0 0 0 0

1 2 1 2 1 2( ; ) , 1 , 0 , 0TY y y y y y y

які визначають розв’язок гри.

Оскільки гра не має сідлової точки, то стратегії А1 і А2 є активні в мішаній

стратегії 0X (тобто 0

1 0x і 0

2 0x ), а стратегії B1 і B2 – активні в мішаній

стратегії 0Y (тобто 0

1 0y і 0

2 0y ). Тоді за властивістю 8 (§ 39), якщо гравець А

застосовує оптимальну мішану стратегію 0X , його середній виграш дорівнює

ціні гри у незалежно від того, яку зі своїх чистих стратегій B1 чи B2 застосує

гравець В, тобто

0 1 0 0 2 01 1

( ) ( ) C i ( ) ( ) C0 0

T TM X Y X v M X Y X v

Записуючи ці рівності через компоненти вектора 0X і елементи матриці

С, отримаємо систему лінійних рівнянь для оптимальної стратегії 0X і ціни гри

v

0 0

11 1 21 2

0 0

12 1 22 2

0 0

1 2 1

c x c x v

c x c x v

x x

Оскільки гра не має сідлової точки, то згідно із задачею 11 (§ 38)

визначник системи (6.30)

11 21

12 22 11 22 12 21

1

1 0

1 1 0

c c

c c c c c c

Розв’язуючи систему (6.30) за формулами Крамера, отримуємо

оптимальну стратегію

21

0 22 211 22

0 11

0 1

1 1 0

cc c

x c

11

0 11 122 12

0 11

0 1

1 1 0

cc c

x c

і ціну гри

11 21

11 22 12 2112 22

01

0

1 1 1

c cc c c c

v c c

Далі оптимальну стратегію 0Y знаходимо аналогічно, як оптимальну

стратегію 0X . А саме, за властивістю 8 (§ 39) про активні стратегії отримуємо

систему рівнянь

1 0 0 0 0

11 1 12 2

2 0 0 0 0

21 1 22 2

0 0

1 2

( , ) (1;0) ,

( , ) (0;1) ,

1

M X Y CY c y c y v

M X Y CY c y c y v

y y

звідки знаходимо

0 022 12 11 211 2, ,

c c c cy y

де 11 22 12 21 0c c c c .

Приклад 1.

Знайти розв’язок гри в монети, яка задана матрицею

1 1

1 1C

(задача 6, § 37).

Р о з в ’ я з а н н я. У табл. 60 дано перелік стратегій А1 А2 (гравця А), В1,

В2 (гравця В) і записано значення відповідних їм виграшів (елементи матриці

С). У таблиці передбачено також ще два додаткові стовпці - для „обережних”

min ijj

c і мішаних ( AX ) стратегій гравця А, а також два додаткові рядки - для

„обережних” max iji

c і мішаних ( BY ) стратегій гравця В.

Таблиця 60

В

А

В1 В2 min ijj

c

AX

А1 1 -1 -1 0

1x

А2 -1 1 -1 0

2x

max iji

c 1 1 -1

1

BY 0

1y 0

1y

Заповнивши стовпець min ijj

c і рядок max iji

c , знайдемо нижню 1 і

верхню 1 ціни гри. Оскільки , то розв’язок гри шукаємо в мішаних

стратегіях.

Складемо систему рівнянь (6.30)

0 0

1 2

0 0

1 2

0 0

1 2

x x v

x x v

x x v

Перші два рівняння цієї системи легко отримати, скориставшись

таблицею 60. Так, якщо стовпець ( AX ) заповнимо компонентами 0

1x , 0

2x

оптимальної стратегії гравця А, то за стовпцями ( AX ) і (В1) приходимо до

першого рівняння системи (а), а за стовпцями ( AX ) і (В2) – до другого рівняння

системи (а).

Аналогічно, якщо заповнимо рядок ( BY ) компонентами 0

1y і 0

2y

оптимальної стратегії гравця В, то легко отримаємо систему (6.31)

0 0

1 2 1

0 0

1 2 2

0 0

1 2

- за рядками ( ) і (A ),

- за рядками ( ) і (A ),

1

B

B

y y v Y

y y v Y

y y

Остання система і система (а) мають однакові розв язки

0 0 0 0

1 2 1 2

1, 0

2x x y y v

Отже, оптимальні стратегії гравців однакові і полягають у тому, що

кожен з них кладе монету, вибираючи одну з її сторін з ймовірністю 1

2. За тих

умов середній виграш кожного гравця дорівнюватиме нулю.

Ігри 2хn і mх2 допускають зручне геометричне тлумачення. Розглянемо

спочатку гру 2x2, яка задається матрицею

11 12

21 22

c cC

c c

Припустимо, що гравець В застосовує свою чисту стратегію В1,а гравець

А - мішану стратегію (1 ; )TX x x . Тоді гравець А здобуде середній виграш

1

11 21

1( ) ( ) C (1 ) , 0 1

0

TM XY X c x c x x

Графік виграшу - відрізок 1 1 B B , зображений на рис. 31 в системі

координат х О у. Лівий кінець відрізка 1B (0;c11) відповідає виграшу с11, в

ситуації (A1,B1), правий кінець 1B (1;с21) - виграшу с12 в ситуації (А2В1), а

точка D1 (1-х;М ( 1,X Y )) на відрізку - виграшу М( 1,X Y ) гравця А.

Рис. 31. Рис. 32.

Припустимо тепер, що гравець А далі дотримується мішаної стратегії X ,

а гравець В змінює стратегію В1 на В2. Тоді гравець А здобуде середній виграш

2

12 22

0( ) ( ) C (1 ) , 0 1

1

TM XY X c x c x x

Аналогічно, як відрізок 1 1 B B , на рис. 32 зображено відрізок 2 2 B B . Лівий

його кінець В'2 відповідає виграшу с12 в ситуації (А1 В2), правий кінець 2 B -

виграшу с22 в ситуації (А2, В2), а точка D2(1-х;М( 2,X Y )) на відрізку - виграшу

М( 2,X Y ) гравця А.

Якщо відрізки 1 1 B B і 2 2 B B побудувати в одній і тій самій системі

координат, то вони утворять графічне зображення гри 2x2. Основні типові

випадки взаємного розташування відрізків виграшів гравця А зображено на рис.

33-35.

Точки відрізків, які відповідають найменшим виграшам, позначено

потовщеною лінією, вона називається лінією найменших виграшів

гравця А. Оптимальна (максимінна) поведінка гравця А полягає у виборі

такої мішаної стратегії, яка відповідає точці з найбільшою ординатою на лінії

найменших виграшів. Розглянемо деякі випадки.

Випадок 1 (рис. 33). Лінія найменших виграшів є ламаною 1 2B NB , а

точка N(xN;vN), 0<xN<1, на ній має найбільшу ординату. Тоді v = vN, - ціна гри, а

стратегія 0X = (1-xN,; xN)т - оптимальна для гравця А. Розв’язок гри (мішані

оптимальні стратегії гравців і ціну гри) знаходять із систем рівнянь (6.30),

(6.31).

Переконайтеся в тому, що, скориставшись подібністю трикутників

1 2B B N і 1 2B B N на рис. 33, можна знайти

1 2 11 12

1 2 1 2 11 12 22 21

N

B B c cx

B B B B c c c c

Випадок 2 (рис. 34). Лінія найменших виграшів є ламаною 1 2B B N , але

найбільшу ординату на ній має один з кінців, наприклад, В2" (1; с22).

Оптимальними є стратегії А2 (для гравця А) і В2 (для гравця В). Отже, розв’язок

гри складають чисті стратегії 2X =(0;1)T , 2Y =(0;1)T і сідлова точка v = с22.

Рис.33. Рис.34.

Випадок 3 (рис. 35). Лінією найменших виграшів є один з відрізків 1 1B B

або 2 2B B , наприклад, перший. Тоді стратегія В2 є невигідною для гравця В,

оскільки за стратегії В2 він програє більше, ніж за стратегії В1. Тому другий

стовпець в матриці гри С можна викреслити і звести гру до гри 2x1. Точка

1 21(1; )B c з найбільшою ординатою на відрізку найменших виграшів 1 1B B

визначає оптимальні стратегії А2 і В1. Розв’язок гри складають чисті стратегії

2X =(0;1), 1Y =(1;0) і сідлова точка v = с21.

Оптимальну мішану стратегію гравця В можна також знайти гео-

метрично. На рис. 36 побудовано графіки середніх програшів гравця В в

системі координат у О v за умови застосування ним мішаних стратегій

(1 ; )TY y y , а гравцем А - чистих стратегій Аi (відрізок 1 1A A ) і А2 (відрізок

2 2A A ). Потовщена ламана 1 2AMA складена з точок, які відповідають

найбільшим програшам, і називається лінією найбільших програшів гравця В.

Якщо точка М(уM;vM) на ній має найменшу ординату, то vM - ціна гри, а мішана

стратегія 0 (1 ; )M MY y y - оптимальна для гравця В. Координати точки М

знаходять зі системи рівнянь (6.31). Оптимальну стратегію гравця А визначають

зі системи рівнянь (6.30).

Рис. 35. Рис. 36.

Переконайтеся аналогічно, як це зроблено у випадках 2 і 3, в тому, що

коли на лінії найбільших програшів гравця В найменшу ординату має одна з

кінцевих точок лінії, то гра має сідлову точку і, отже, розв’язок в чистих

стратегіях.

Надалі припускаємо, що гра не має сідлової точки.

Розглянемо тепер гру 2хп, п > 2, з матрицею

11 12 1

21 22 1

...

...

n

n

c c cC

c c c

Алгоритм розв’язування гри 2хn графічним методом.

1. Побудувати графічне зображення гри за допомогою п відрізків

виграшів гравця А для різних чистих стратегій гравця В і мішаних стратегій

гравця А.

2. Побудувати лінію найменших виграшів гравця А і знайти на ній

найвищу точку N (з найбільшою ординатою).

3. Знайти два відрізки виграшів, що перетинаються в точці N. Цим

відрізкам відповідають дві активні стратегії, нехай Вj і Вk, гравця В. Якщо в

точці N перетинається більше двох відрізків, то досить вибрати будь-які два з

них. Розв’язок гри в цьому випадку складатимуть декілька різних пар

оптимальних стратегій.

4. Знайти оптимальну стратегію 0 0 0

1 2( ; )X x x гравця А і ціну гри v на

основі системи рівнянь (6.30). Ця система для випадку, коли

активними стратегіями гравця В є стратегії Вj і Вk (вони знайдені в п. 3), має

вигляд

0 0

1 1 2 2

0 0

1 1 2 2

0 0

1 2 1

j j

k k

c x c x v

c x c x v

x x

(6.32)

5. Знайти компоненти 0

jy і 0

ky оптимальної стратегії 0Y гравця B (а з

ними - і розв’язок гри). Для цього потрібно підставити знайдене в п. 4 значення

ціни гри v у систему рівнянь (6.31) і вибрати з неї довільні два рівняння.

Наприклад, перше і третє рівняння цієї системи для випадку знайдених в п.3

активних стратегій Вj і Вk гравця В мають вигляд

0 0

1 1

0 0 1

j j k k

j k

c y c y v

y y

(6.33)

З наведеного алгоритму видно, що геометричне тлумачення гри (2хn)

дозволяє визначити дві активні стратегії гравця В, на основі яких із систем

рівнянь (6.32), (6.33) знайти розв’язок гри.

Для геометричного розв’язування гри тх2, т>2, користуються графічним

зображенням гри за допомогою т відрізків програшів гравця В. За цими

відрізками будують лінію найбільших програшів гравця В. Найнижча точка М

на цій лінії (точка з найменшою ординатою) відповідає оптимальній мішаній

стратегії гравця В. За двома відрізками програшів, які перетинаються в точці М,

визначають дві активні стратегії гравця А. За цими активними стратегіями на

основі систем рівнянь (6.31) і (6.30) знаходять розв’язок гри.

Приклад 2.

Знайти розв’язок гри, яка задана таблицею 59.

Р о з в ’ я з а н н я. Як показано в § 39, гра не має сідлової точки, а тому її

розв’язок шукаємо в мішаних стратегіях.

До гри застосуємо перетворення, описане § 39, а саме: збільшимо кожен

елемент матриці на 4. Отримаємо гру, матриця якої

8 0 5

1 7 2D

має невід’ємні елементи. Ціна v' такої гри буде на 4 одиниці більша від

ціни у початкової гри. Знайдемо розв’язок гри з матрицею D.

Таблиця 61

В

А В1 В2 B3 AX

А1 8 0 5 0

1x

А2 1 7 2

0

2x

BY 0

1y 0

1y 0

3y

У табл. 61 дано перелік стратегій А1 А2 (гравця А), В1, В2, В3, (гравця В) і

записано значення відповідних їм виграшів (елементів матриці D). Доповнимо

таблицю стовпцем ( AX ) - для мішаних стратегій гравця А і рядком ( BY ) - для

мішаних, стратегій гравця В. У стовпець ( AX ) внесемо компоненти 1 0

0 2,x x

оптимальної стратегії гравця А (вони невідомі, але обидві ненульові, бо гра не

має сідлової точки). Для заповнення рядка ( BY ) розглянемо геометричне

тлумачення гри.

На рис. 37, зображені відрізки виграшів гравця А залежно від стратегій

гравця В і мішаних стратегій гравця А. На прямій х = 0 відкладено величини

виграшів, які відповідають стратегії А1 а на прямій х = 1 — величини виграшів,

які відповідають стратегії A2. Потовщена ламана 2 1B NKB - це лінія найменших

виграшів гравця А.

Рис. 37.

Найвище на ній розташована точка N. Оскільки в точці N перетинаються

відрізки 2 2 3 3 i B B B B , то В2, В3 - активні стратегії гравця В, а В1 не є активною

стратегією. Тому рядок ( BY ) заповнюємо компонентами 0

1y =0, 0 0

2 3,y y (дві

останні компоненти невідомі, але ненульові).

Тепер аналогічно, як у розв’язуванні прикладу 1, приходимо до двох

систем рівнянь для знаходження розв’язку гри.

Спочатку за стовпцем ( AX ) складаємо систему рівнянь (6.32) і

розв’язуємо її

0

2

0 0 0 0

1 2 1 2

0 0

1 2

7 ,

15 2 , , 3,5

2

1

x v

x x v x x v

x x

Потім за рядком ( BY ) складаємо систему рівнянь (6.33) і розв’язуємо її

0

0 03

2 30 0

2 3

5 3,5 1 7,

2 101

yy y

y y

І, нарешті, знаходимо ціну гри v = v'-4 = 3,5-4=-0,5 (од.).

Відповідь: розв’язок гри, яка задана таблицею 59, складають мішані

стратегії 0 1 1;

2 2

T

X

гравця А, 0 3 70; ;

10 10

T

Y

гравця В і ціна гри v=-0,5

одиниць.

Приклад 3.

Знайти розв’язок гри, заданої матрицею

3 6 6

5 2 2

6 1 2

4 7 4

4 0 2

3 6 5

C

Р о з в ’ я з а н н я. Спочатку спростимо гру. Оскільки елементи другого

стовпця матриці не менші від елементів третього, то з матриці викреслюємо

другий стовпець. Отримаємо матрицю

3 6

5 2

6 2

4 4

4 2

3 5

C

Викреслюючи з матриці С1 четвертий рядок (його елементи менші від

елементів першого) і п’ятий (його елементи не більші від третього), дістаємо

матрицю

3 6

5 2

6 2

3 5

C

Отже, початкова задача зведена до гри 4x2.

Для гри, заданої матрицею С2, складемо табл. 62 з переліком стратегій

гравців А і В, стовпцями та рядками для їх „обережних” та мішаних стратегій

(порівняйте з табл. 60 і 61). Заповнивши стовпець min ijj

c і рядок max iji

c ,

знайдемо нижню 3 і верхню β=6 ціни гри. Оскільки α<𝛽, то розв’язок гри

шукаємо в мішаних стратегіях.

Таблиця 62

B

A В1 В2 min ij

jc

AX

А1 -3 6 -3 0

А2 5 2 2 0

2x

А3 6 -2 -2 0

А4 3 5 3 0

4x

max iji

c 6 6 3

6

BY 0

1y 0

1y

У рядок BY внесемо компоненти 0 0

1 2, yy оптимальної стратегії гравця В

(вони невідомі, але обидві ненульові, бо гра не має сідлової точки).

Для визначення активних стратегій гравця А потрібне графічне

зображення гри. Оскільки маємо гру 4x2, то її графічне зображення отримаємо

за допомогою чотирьох відрізків програшів гравця В в системі координат у О v

(рис. 38).

На прямій у-0 відкладено величини програшів, які відповідають стратегії

В1 а на прямій у=1 - величини програшів, які відповідають стратегії В2-

Потовщена ламана 3 1A KLMA - це лінія найбільших програшів гравця В.

Найнижче на ній розташована точка L, її ордината дорівнює ціні гри v.

Оскільки в точці L перетинаються відрізки 2 2 4 4 i A A A A , то А2 і А4 - активні

стратегії гравця А, а стратегії А1 і А3 не є активними. Тому стовпець ( AX )

заповнюємо компонентами 0

1x = 0, 0

2x , 0

3 0x , 0

4x (ненульовими є компоненти 0

2x

і 0

4x ).

Рис. 38.

Тепер розв’яжемо гру. Для цього спочатку за стовпцем ( AX ) складемо

систему рівнянь (6.32) і розв’яжемо її

0 0

2 4

0 0 0 0

2 4 2 4

0 0

2 4

5 32 3 4

2 5 , , 35 5 5

1

x x v

x x v x x v

x x

Далі за рядками (A2) і ( BY ) складаємо систему рівнянь (6.33) і розв’язуємо

її

0 0

1 2 0 0

1 20 0

1 2

45 2 3 3 2

,55 5

1

y yy y

y y

Беручи до уваги знайдені розв’язки систем рівнянь і виконані раніше

спрощення гри, отримуємо розв’язок початкової гри. 0 2 30; ;0;0;0;

5 5

T

X

-

оптимальна стратегія першого гравця, 0 3 2;0;

5 5

T

Y

- оптимальна стратегія

другого гравця 4

35

v -- ціна гри.

Задачі для самостійного розв’язування

1-6. Знайти розв’язок гри, заданої матрицею розміру 2x2; дати

геометричне тлумачення гри.

0 0

0 0

0

4 1 5 3 1 1 11. . : ; , ; , 2

0 5 8 8 2 2 2

1 4 1 3 1 1 12. . : ; , ; , 2

3 2 4 4 2 2 2

2 1 1 33. . : ;

1 2 4 4

Відповідь X Y v

Відповідь X Y v

Відповідь X

0

0 0

0 0

3 1 5, ; ,

4 4 4

4 3 3 7 2 3 14. . : ; , ; ,

2 1 10 10 5 5 5

4 7 1 11 3 1 55. . : ; , ; ,

1 2 12 12 4 4 4

4 76. .

9 5

Y v

Відповідь X Y v

Відповідь X Y v

0 04 3 2 5 43 : ; , ; ,

7 7 7 7 7Відповідь X Y v

7-15. Спростити гру (якщо це можливо), задану матрицею; знайти

розв’язок гри графічним методом.

0 01 7 2 1 5 1 5 17

7. . : ; , 0; ; ,5 2 3 6 6 6 6 6

Відповідь X Y v

0 0

0 0

3 6 2 1 1 1 1 1 18. . : ; , ;0; ;0 , 2

2 1 3 7 2 2 2 2 2

2 2 6 1 1 2 1 2 7 19. . : ; , 0; ;0;0; ,

0 5 4 6 1 3 3 9 9 3

2 3 1 1 2

10. 1 3 2 2 1

0 3 2 1 1

Відповідь X Y v

Відповідь X Y v

0 0

0 0

3 4 6 1 3. : 0; ; , ; ;0;0;0 ,

7 7 7 7 7

2 31 1 3 2

11. 1 6 . : 0; ; , ; , 32 2 5 5

5 0

1 1

8 2

12. . 5 1

7 3

2 5

Відповідь X Y v

Відповідь X Y v

0 0

0 0

3 10 7 6 44 : 0; ;0;0; , ; ,

13 13 13 13 13

1 2 2

5 5 13 1 3 5 11

13. . : 0;0; ;0; , ;0; ,4 5 24 4 8 8 4

3 4 1

1 3 5

2 3 2 3

2 1 5 6

14. 6 2 1 5

7 4 1 8

5 1 4 3

Відповідь X Y v

Відповідь X Y v

0 05 4 2 1 7. : 0; ;0; ;0 , 0; ; ;0 ,

9 9 3 3 3Відповідь X Y v

0 0

3 2 1 5 3

1 4 1 4 42 5 5 2 3

15. . : 0; ; ;0;0 , 0;0; ;0; ,4 4 1 0 17 7 7 7 7

3 4 1 6 2

3 5 0 3 3

Відповідь X Y v

16.Підприємство виготовляє продукцію видів А1 і А2, попит на яку на

ринку визначається впливом двох факторів В1 і В2. У таблиці задано величину

прибутку, що може отримати підприємство залежно від того, який вид

продукції випускатиме і яким фактором визначатиметься попит на неї. Знайти

оптимальні пропорції виробництва продукції кожного виду, які дозволять

отримати підприємству найбільший середній прибуток за будь-яких умов

попиту на ринку.

Вид продукції Фактори попиту

В1 В2

А1 1 7

А2 6 2

Відповідь: підприємство повинно випускати 40% продукції виду А1 і 60%

продукції виду А2. Це дозволить йому отримувати прибуток, не менший від 4-х

одиниць вартості.