· gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se po čelo usporavati i gibati jednoliko usporeno akceleracijom a za vrijeme t. Drugi Newtonov pou čak : Ako na tijelo djeluje

1

Zadatak 521 (Antonia, gimnazija)

Koliki će ukupni put prijeći tijelo tijekom četvrte i pete sekunde zajedno, ako slobodno pada?

(ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 521

t1 = 3 s, t2 = 5 s, g = 9.81 m / s2, h = ?

Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom

akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijedi izraz:

2,

1

2h g t= ⋅ ⋅

gdje je h visina pada.

Da bismo izračunali put koji će tijelo prijeći za vrijeme četvrte i pete sekunde zajedno moramo naći koliki je put tijelo prevalilo za prvih 5 sekundi i za prve 3 sekunde i te putove oduzeti:

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 22 2 2 2

9.81 5 3 78.48 .5 3 2 1 2 1 22 2 2 2

mh h h h g t t h g t t s s m

s

= − ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − =

Vježba 521

Koliki put prijeđe tijelo koje slobodno pada za vrijeme četvrte sekunde padanja? (ubrzanje

slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: h = h4 – h3 = 34.34 m.

Zadatak 522 (Darko, gimnazija)

Tijelo slobodno pada 9 s. S koje visine tijelo pada? Razdijelite tu visinu na tri dijela tako da za

svaki dio puta treba jednako vrijeme? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 522

t0 = 9 s, g = 9.81 m / s2, h = ?, ∆h1 = ?, ∆h2 = ?, ∆h3 = ?


akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijede izrazi:

1 2,

2,h g t v g t= ⋅ ⋅ = ⋅


Ako tijelo ima početnu brzinu v0 tada formula za slobodni pad glasi:

1 20 2

.h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅

Tijelo pada s visine h čija je vrijednost:

( )1 1 22

9.81 9 397.31 .0 22 2

mh g t s m

s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Visinu moramo razdijeliti na tri dijela tako da za svaki dio puta treba jednako vrijeme. To vrijeme

iznosi:

1 19 3 .

03 3t t s s= ⋅ = ⋅ =

1.inačica

Računamo putove koje tijelo prijeđe za prve 3 s, za prvih 6 s i za ukupno vrijeme od 9 s.

• ( )1 1 22

9.81 3 44.151 22 2

mh g t s m

s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

• ( ) ( )1 12 2

2 9.81 2 3 176.582 22 2

mh g t s m

s

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

2

• ( )1 1 22

9.81 9 397.31 .3 0 22 2

mh g t s m

s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Dijelovi puta, za koje treba jednako vrijeme, su:

• 44.151 1

h h m∆ = =

• 176.58 44.15 132.432 2 1

h h h m m m∆ = − = − =

• 397.13 176.58 220.73 .3 3 2

h h h m m m∆ = − = − =

h2

h3 = h

h1

∆∆∆∆h2

∆∆∆∆h1

∆∆∆∆h3

2.inačica

Na kraju prve 3 s tijelo je, slobodno padajući, prešlo put

( )1 1 22

9.81 3 44.151 22 2

mh g t s m

s

∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

i postiglo brzinu

9.81 3 29.43 .2

m mv g t s

ss

= ⋅ = ⋅ =

U sljedeće 3 s tijelo slobodno pada s početnom brzinom v pa prijeđe put

( )1 1 22

29.43 3 9.81 3 132.44 .2 22 2

m mh v t g t s s m

s s

∆ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

U trećem vremenskom intervalu od 3 s tijelo je prevalilo put

( ) ( )397.31 44.15 132.44 220.72 .3 1 2

h h h h m m m m∆ = − ∆ + ∆ = − + =

Vježba 522

Tijelo slobodno pada 18 s. S koje visine tijelo pada? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 1589.22 m.

Zadatak 523 (Alfie321, gimnazija)

Brzina vozila smanji se sa 70 km / h na 30 km / h na putu od 26 m. Koliki je faktor trenja?

Masa vozila je 1.2 t. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 523

3

v0 = 70 km / h = [70 : 3.6] = 19.44 m / s, v = 30 km / h = [30 : 3.6] = 8.33 m / s,

s = 26 m, m = 1.2 t = 1200 kg, g = 9.81 m / s2, µ = ?

Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za konačnu brzinu

v:

,2 2

2v v a s= − ⋅ ⋅�

gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se počelo usporavati i gibati jednoliko usporeno

akceleracijom a za vrijeme t.

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.

Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile.

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu

po kojoj se giba. Na vodoravnoj površini sila trenja za tijelo težine G iznosi:

.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Budući da vozilo usporava, odredimo akceleraciju.

2 22 2 2 2 2 2 02 2

1/

22 .

0 0 0 2

v vv v a s a s v v a s v v a

s s

−= − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ =

⋅⋅

⋅

Sila koja vozilo usporava je sila trenja pa prema drugome Newtonovu poučku vrijedi:

1/

aF F F F m g m a m g m atr tr gm g

µ µ µ= ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒⋅⋅ =⋅

⇒

2 2 2 20 2 2 19.44 8.33

2 0 0.6.2

2 9.81 26

2 20

22

v v m mv vs s s

mg g s

v va

ms

s

µ µ

− − −⋅ ⇒ ⇒ = ⇒ = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

−

=

Vježba 523

Brzina vozila smanji se sa 140 km / h na 60 km / h na putu od 104 m. Koliki je faktor trenja?

Masa vozila je 1.5 t. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 0.6.

Zadatak 524 (Matura15, gimnazija)

Na horizontalnoj podlozi gurnemo tijelo brzinom 3 m / s. Faktor trenja između tijela i podloge

iznosi 0.4. Odredi put što ga tijelo prevali prije nego što se zaustavi. (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rješenje 524

v0 = 3 m / s, µ = 0.4, g = 9.81 m / s2, s = ?

Za jednoliko usporeno pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za konačnu brzinu

v:

2 22 ,

0v v a s= − ⋅ ⋅

gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se počelo usporavati i gibati jednoliko usporeno

4

akceleracijom a za vrijeme t. Ako je konačna brzina jednaka 0, tada je

22

0.v a s= ⋅ ⋅

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Drugi Newtonov poučak opisuje ponašanje tijela kad na njega djeluje određena vanjska sila F.

Akceleracija a tijela je razmjerna sili i ima smjer sile.

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu

po kojoj se giba. Na vodoravnoj površini sila trenja za tijelo težine G iznosi:

.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Budući da se tijelo nakon gibanja zaustavilo, odredimo akceleraciju.

22 2 2 02 2 2 .

0 0 2/

20

1 vv a s a s v a

ss v a

s= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ =

⋅⋅

⋅

Sila koja tijelo usporava je sila trenja pa prema drugome Newtonovu poučku vrijedi:

20

2

20

2

vF F F F m g m a

va m g mtr r sst µ µ=

⋅

= ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅

22 2 30 0 1.15 .

2 22 0.4 9.81

/

2

mv v s

m g m s mms g

s

m

s

gµµ

µ

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅

Vježba 524

Na horizontalnoj podlozi gurnemo tijelo brzinom 10.8 km / h. Faktor trenja između tijela i

podloge iznosi 0.4. Odredi put što ga tijelo prevali prije nego što se zaustavi. (ubrzanje slobodnog

pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 1.15 m.

Zadatak 525 (Ivana, gimnazija)

Dva tijela mase m1 = 5 kg i m2 = 15 kg dovedena u neposredan dodir na horizontalnoj podlozi

zanemariva trenja odbijaju se silom F. Tijela su naglo i istodobno otpuštena. Prvo tijelo prešlo je u

nekom vremenu put 1.8 m. Koliki je put drugog tijela u istom vremenu?

Rješenje 525

m1 = 5 kg, m2 = 15 kg, F, s1 = 1.8 m, t1 = t2 = t, s2 = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

2,

1

2s a t= ⋅ ⋅

gdje je s put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Treći Newtonov poučak

Ako neko tijelo mase m1 djeluje na drugo tijelo mase m2 nekom silom F21, onda drugo tijelo djeluje na

5

prvo silom F12 koja je jednaka sili F21, ali je suprotnog smjera.

ili ve12 21 2 2 1 1 12 21

ktorski .F F m a m a F F→ →

= ⇒ ⋅ = ⋅ = −

Budući da nas zanima samo omjer akceleracija, izostavit ćemo predznak minus.

2 1 .2 2 1 1 2 2 1 1

12 1 2

1/

a mm a m a m a m a

am a m⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ =

⋅= ⋅ ⇒⋅

Put s2 drugog tijela iznosi:

1 12 2 1 21 1 1 1 1 22 2 2 2

1

podijelimo

jednadž 21 12 2 112 2 2 2 2 22 2

be

s a t s a t a ts

sa ts a t s a t

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1 2

2 2 11 2

1 22

22 2 2 2 1

1 1 1 1 21

as s a s m

s s a

t

s ma

a m

a mt

⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒

⋅

=

⋅

52 1 1 1.8 0.6 .2 1 15

1 2 2

/1

s m m kgs s m m

s m m kgs⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =⋅

Vježba 525

Dva tijela mase m1 = 4 kg i m2 = 12 kg dovedena u neposredan dodir na horizontalnoj podlozi

zanemariva trenja odbijaju se silom F. Tijela su naglo i istodobno otpuštena. Prvo tijelo prešlo je u

nekom vremenu put 1.8 m. Koliki je put drugog tijela u istom vremenu?

Rezultat: 0.6 m.

Zadatak 526 (Lucija, srednja škola)

Mačak Tom na Zemlji ima težinu 24 N. Koliko Tom teži na Mjesecu, gdje je jakost

gravitacijskog polja 6 puta manja? Izračunajte masu mačka na Mjesecu. (ubrzanje slobodnog pada na

Zemlji gz = 9.81 m / s2)

Rješenje 526

Gz = 24 N, 1

,6

g gm z= ⋅ gz = 9.81 m / s2, Gm = ?, m = ?

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na

horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju

jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

Tromost, ustrajnost ili inercija svojstvo je svakog tijela da ostaje u stanju mirovanja ako miruje ili u stanju jednolikog gibanja po pravcu ako se giba (prvi Newtonov poučak). Masa je fizikalna veličina,

ona je mjera tromosti tijela. Masa nekog tijela ne ovisi o tome gdje se to tijelo nalazi. Znači da će to

tijelo imati jednaku masu na Zemlji, na Marsu, na Mjesecu, ili bilo gdje u svemiru.

Računamo masu mačka Toma.

242.45 .

9.81

/

2

1

gz

G NzG m g m g G m g G m kgz z z z z z mgz

s

= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = =⋅

6

Masa mačka Toma je svuda jednaka i iznosi 2.45 kg.

Mase

Težine

Računamo težinu Gm mačka Toma na Mjesecu.

1.inačica

1 12.45 9.81 4 .

26 6

mG m g G m g kg Nm m m z

s

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≈

2.inačica

Budući da je jakost gravitacijskog polja 6 puta manja na Mjesecu, bit će i težina mačka Toma

6 puta manja nego na Zemlji.

1 124 4 .

6 6G G N Nm z= ⋅ = ⋅ =

Vježba 526

Mačak Tom na Zemlji ima težinu 48 N. Koliko Tom teži na Mjesecu, gdje je jakost

gravitacijskog polja 6 puta manja? Izračunajte masu mačka na Mjesecu. (ubrzanje slobodnog pada na

Zemlji gz = 9.81 m / s2)

Rezultat: 4.89 kg, 8 N.

Zadatak 527 (Antun, gimnazija)

Čovjek stoji pokraj prednjeg ruba vlaka koji stoji. Vlak se počinje jednoliko ubrzavati. Prva

polovica vlaka prođe pokraj promatrača za vrijeme od 25 s. Za koje će vrijeme proći pokraj njega

druga polovica vlaka?

Rješenje 527

1

,1 2

s s= ⋅ t1 = 25 s, 1

,2 2

s s= ⋅ t2 = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijede izrazi

1 2,

2,s a t v a t= ⋅ ⋅ = ⋅

gdje su s i v put, odnosno brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano

akceleracijom a za vrijeme t.

Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za put s:

1 20 2

.s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅

Prva polovica vlaka s1 prođe pokraj promatrača za vrijeme t1 pa vrijedi:

7

1 2,

1 12s a t= ⋅ ⋅

a postignuta brzina vlaka je

.1

v a t= ⋅

Budući da sada vlak ima početnu brzinu v druga polovica vlaka proći će pokraj promatrača za vrijeme

t2 pa vrijedi

1 2.

2 2 22s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅

Dalje slijedi:

1 1 1 12 2 2 21 2 1 12 2 1 1 2 22 2 2 2

v a ts s a t v t a t a t a t t a t = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ ⇒

1 12 2 2 22

1 1 2 2 1 1 2 2/

2

2

2a t a t t a t t t t

at⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ +⋅ ⇒

2 2 2 2 2 22 2 0 2 25 25 0

1 2 2 1 2 1 2 1 2 2t t t t t t t t t t⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ + ⋅ ⋅ − = ⇒ + ⋅ ⋅ − = ⇒

( )

1 , 50 , 6252

50 625 02 2 2 250 625 042 2

1 , 50 , 6252 1,2 2

a b ct t

t tb b a c

a b c ta

= = = − + ⋅ − =

⇒ + ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒ − ± − ⋅ ⋅ = = = − =

⋅

( )( )

( )2

50 50 4 1 625 50 2500 2500

2 21,2 1,22 1 2t t

− ± − ⋅ ⋅ − − ± +⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

( ) ( )( )

( )

50 70.71

250 5000 150 70.71 22 21,2 1,2 50 70.712 2

2 2 2

t

t t

t

− − = − ± − ±

⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒− + =

( )

( )( ) ( )

120.71

2 1 210.355 10.36 .

2 22 220.71

2 2 2

nema smislat

t s t s

t

− =

⇒ ⇒ = ⇒ ≈=

s1 = 1

2 ⋅⋅⋅⋅ s s2 =

1

2 ⋅⋅⋅⋅ s

Vježba 527

Čovjek stoji pokraj prednjeg ruba vlaka koji stoji. Vlak se počinje jednoliko ubrzavati. Prva

polovica vlaka prođe pokraj promatrača za vrijeme od 50 s. Za koje će vrijeme proći pokraj njega

druga polovica vlaka?

Rezultat: 20.71 s.

8

Zadatak 528 (Dora, gimnazija)

Tijelo slobodno pada s visine 1 m na Zemlji i na Mjesecu. Koliki je kvocijent vremena

slobodnog pada tog tijela na Zemlji i na Mjesecu? (ubrzanje slobodnog pada na Zemlji

g1 = 9.81 m / s2, ubrzanje slobodnog pada na Mjesecu g2 = 1.64 m / s2)

Rješenje 528

h = 1 m, g1 = 9.81 m / s2, g2 = 1.64 m / s2, 1 ?

2

t

t=

Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje s početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom


1 22

2,

hh g t t

g

⋅= ⋅ ⋅ ⇒ =


Kvocijent vremena iznosi:

2 21.64

211 1 1 1 1 1 2 1 1 0.41.

22 9.812 2 2 2 1

2

2 2

2

2

222

h

h

h h m

gt t g t g t g t ts

h mt t t t g t th

g gg s

⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =⋅⋅ ⋅

⇒

⋅

Vježba 528

Tijelo slobodno pada s visine 5 m na Zemlji i na Mjesecu. Koliki je kvocijent vremena

slobodnog pada tog tijela na Zemlji i na Mjesecu? (ubrzanje slobodnog pada na Zemlji

g1 = 9.81 m / s2, ubrzanje slobodnog pada na Mjesecu g2 = 1.64 m / s2)

Rezultat: 0.41.

Zadatak 529 (Zvonimir, srednja škola)

Prvi vagon vlaka prošao je kraj promatrača koji stoji uz prugu za t1 = 1 s, a drugi za t2 = 1.5 s.

Duljina vagona je d = 12 m. Nađite akceleraciju vlaka.

Rješenje 529

t1 = 1 s, t2 = 1.5 s, d = 12 m, a = ?


2,

1

2s a t= ⋅ ⋅

gdje je s put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za put s:

1 20 2

.s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅

Prvi vagon duljine d prošao je pored promatrača za vrijeme t1 pa je prevaljeni put vlaka

1 2,

0 1 12d v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅

gdje je v0 početna brzina vlaka.

Za vrijeme t1 + t2 prošao je i drugi vagon pokraj promatrača pa je prevaljeni put vlaka

( ) ( )21

2 ,0 1 2 1 22

d v t t a t t⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ +

gdje je v0 početna brzina vlaka, a 2 · d duljina prvog i drugog vagona.

Rješavanjem sustava jednadžbi dobije se akceleracija a.

9

( ) ( ) ( ) ( )

1 12 20 1 1 0 1 12 2

2 11 2 22 22 0 1 2 1 1 2 20 1 2 1 2 22

d v t a t v t a t d

d v t t a t t t td v t t a t t

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ +

( )

1 20 1 12

1 12 22

0 1 2 1 1 2 22 2

v t d a t

d v t t a t a t t a t

⋅ = − ⋅ ⋅

⇒ ⇒⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( )

1 20 1 1

/:2

1 12 22

0 1 2 1 12 2

1

2 2

v t d a t

d v t t a t a t

t

t a t

⋅ = − ⋅ ⋅

⇒ ⇒⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( )

1

0 121

1 12 22

0 1 2 1 1

metod

2 22 2

a

zamjene

dv a t

t

d v t t a t a t t a t

= − ⋅ ⋅

⇒ ⇒ ⇒

⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( )1 1 12 22

1 1 2 1 1 2 22 2 21

dd a t t t a t a t t a t

t

⇒ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

1 1 1 12 2 22

1 2 1 2 1 1 2 22 2 2 21

dd d a t t a t t a t a t t a t

t⇒ ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

1 1 22

2 1 2 1

1 12 21 12 2 22 22

1

dd d t a t t a t t a t

ta t a t⇒ ⋅ = + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ ⇒

1 1 22

2 1 2 1 2 22 21


t⇒ ⋅ = + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

1 1 22

2 1 2 1 2 22 21


t⇒ ⋅ − − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

( )1 1 12 212 1 2 2 2 1 22 2 2

1 1

tdd t a t t a t d a t t t

t t

⇒ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒

( ) ( )1 12 1 212 1 2 2 1 22 2

1 1

t t ta t t t d a t t t d

t t

− ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ − ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⇒

( )( )

( )( )

21 1 21 22 1 22

1 1 2

2/

2 1 2 1 2

d t tt ta t t t d a

t t t tt t t t⋅

⋅

⋅ ⋅ −−⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅

⋅ ⋅+⇒ = =

+

( )( )

2 12 1 1.53.2 .

21 1.5 1 1.5

m s s m

s s s s s

⋅ ⋅ −= = −

⋅ ⋅ +

Vlak jednoliko usporava jer je akceleracija a negativnog predznaka.

Vježba 529

Prvi vagon vlaka prošao je kraj promatrača koji stoji uz prugu za t1 = 1 s, a drugi za t2 = 1.5 s.

Duljina vagona je d = 10 m. Nađite akceleraciju vlaka.

10

Rezultat: – 2.67 m / s2.

Zadatak 530 (Zvonimir, srednja škola)

S jednake visine i u isto vrijeme padaju dvije kuglice: jedna kuglica bez početne brzine, a

druga s početnom brzinom 20 m / s. Prva kuglica pala je 2 s kasnije od druge. Koliko je vrijeme

padanja druge kuglice? S koje visine su kuglice počele padati? (ubrzane slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rješenje 530

v0 = 20 m / s, ∆t = 2 s, g = 9.81 m / s2, t = ?, h = ?

Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje s početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom


2,

1

2h g t= ⋅ ⋅


Ako tijelo ima početnu brzinu v0 tada formula za slobodni pad glasi:

1 20 2

.h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅

Neka je t vrijeme padanja druge kuglice. Tada je t + ∆t vrijeme padanja prve kuglice. Označimo li

slovom h visinu s koje su kuglice počele padati vrijedi:

• za prvu kuglicu

( )1 2

2h g t t= ⋅ ⋅ + ∆

• za drugu kuglicu

1 2.

0 2h v t g t= ⋅ + ⋅ ⋅

Iz sustava jednadžbi dobije se vrijeme t.

( )( )

metoda

zamje

1 2

1 12 2201 2 22

0 2

ne

h g t t

g t t v t g t

h v t g t

= ⋅ ⋅ + ∆

⇒ ⇒ ⋅ ⋅ + ∆ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅

( )1 122 2

202 2

g t t t t v t g t ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ + ∆ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

( )1 1 122 2

02 2 2g t g t t g t v t g t⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )1 12 2

0 02 2

1 12 2

2 2g t t g t v t g t t g t v tg t g t⋅ ⋅ +⇒ + ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆ =⋅ ⋅⋅ ⇒

( ) ( )1 12 2

0 02 2v t g t t g t v t g t t g t⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆ ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )1 12

00

/2 1

02 2t v g t g t t

v gv g t g

tt⇒ ⋅ − ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ ⇒ ⋅ − ⋅

−⋅ ∆ = ⋅ ∆

⋅ ∆⋅ ⇒

( )

( )

( )2

9.81 22 251.63 .

20 2 20 9.81 2

2

ms

g t st sm mv g t

ss s

⋅⋅ ∆

⇒ = = = ⋅ − ⋅ ∆

⋅ − ⋅

Računamo visinu h.

11

( ) ( )1 12 2

9.81 51.63 2 14107.65 14.1 .22 2

mh g t t s s m km

s

= ⋅ ⋅ + ∆ = ⋅ ⋅ + = ≈

Vježba 530

S jednake visine i u isto vrijeme padaju dvije kuglice: jedna kuglica bez početne brzine, a

druga s početnom brzinom 72 km / h. Prva kuglica pala je 2 s kasnije od druge. Koliko je vrijeme

padanja druge kuglice? S koje visine su kuglice počele padati? (ubrzane slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 51.63 s, 14.1 km.

Zadatak 531 (Marin, maturant)

Osoba nategne vrpcu luka za 20 cm.

a) Kolikom brzinom poleti strelica mase 25 g, ako je konstanta opiranja elastične vrpce luka takva da

za njezino produljenje od 1 cm trebamo silu od 10 N?

b) Na kojoj udaljenosti od mjesta ispucavanja bi strelica pala na tlo, ako je visina s koje je

horizontalno izbačena jednaka 1.5 m?

c) Kolikom brzinom strelica padne na tlo? Zanemarite silu otpora zraka. (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rješenje 531

s = 20 cm = 0.2 m, m = 25 g = 0.025 kg, s1 = 1 cm = 0.01 m, F = 10 N,

h = 1.5 m, g = 9.81 m / s2, v0 = ?, D = ?, v = ?

Ako tijelo obješeno o elastičnu oprugu izvučemo iz položaja ravnoteže za neki pomak x i pustimo ga,

ono će harmonički titrati. Za svako tijelo koje se giba poput tijela na opruzi, što uzrokuje sila upravno

proporcionalna pomaku x, smjera suprotnoga pomaku, dakle

F k x= − ⋅ kažemo da harmonički titra. Za računanje dovoljno je uzeti

.F k x= ⋅

gdje je k konstanta elastičnosti.

Zakon očuvanja energije:

• Energija se ne može ni stvoriti ni uništiti, već samo pretvoriti iz jednog oblika u drugi.

• Ukupna energija zatvorenog (izoliranog) sustava konstantna je bez obzira na to koji se procesi

zbivaju u tom sustavu.

• Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije, mora se pojaviti i jednak prirast

nekog drugog oblika energije.

Pomaknemo li oprugu iz ravnotežnog položaja stiskanjem ili rastezanjem, ona titra oko tog položaja.

Svaki pomak od ravnotežnog položaja nazivamo elongacijom, a najveći pomak od položaja ravnoteže

nazivamo amplitudom. Elastična potencijalna energija opruge dana je formulom

1 2

2,E k xep = ⋅ ⋅

gdje je x pomak od ravnotežnog položaja, k koeficijent elastičnosti opruge.

Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju

1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅

Horizontalni hitac je gibanje koje se sastoji od jednolikoga gibanja u horizontalnom smjeru brzinom v0

i slobodnog pada. Brzine nakon vremena t jesu v0 i vy = g · t, a rezultantnu brzinu v možemo izračunati

iz Pitagorina poučka jer su komponente međusobno okomite. Prema načelu neovisnosti gibanja

komponenta v0 brzine u svakoj je točki jednaka. Komponenta vy mijenja se kao pri slobodnom padu:

.v g ty = ⋅

Komponente brzine u trenutku t su vx = v0 i vy = g · t te je rezultantna brzina tijela vektorski zbroj tih

komponenata. Iznos rezultantne brzine u vremenu t je

12

( )22

.0

v v g t= + ⋅

U trenutku pada tijela na zemlju njegova brzina iznosi:

22 .

0v v g h= + ⋅ ⋅

Domet kod horizontalnog hica računa se po formuli

2

0.

hD v

g

⋅= ⋅



22 ,v g h= ⋅ ⋅

gdje su h visina pada, g ubrzanje sile teže.

Najprije odredimo konstantu opiranja k elastične vrpce luka.

1/

1

.1 1 1

1

FF k s k s F k s F k

ss= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =⋅⇒ =

Zbog zakona očuvanja energije maksimalna elastična potencijalna energija Eep koju luk ima pri

napinjanju bit će jednaka maksimalnoj kinetičkoj energiji Ek izbačene strelice.

1 12 202 2

1

Fk

sE E E E m v k sep epk k

= ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ = =⋅ ⋅ ⇒ ⇒

2/

1 1 1 12 2 2 2 2 20 0 02 2 2 2

1 1 1

F F Fm v s m v s v s

s ms s m⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ =

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2 2/

0 0 01 1 1

F F Fv s v s v s

s m s m s m⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅

100.2 40 .

0.01 0.025

N mm

m kg s= ⋅ =

⋅

Domet D strelice koja je sa visine h ispucana početnom brzinom v0 iznosi:

2 2 1.540 22.12 .

09.81

2

h m mD v m

mg s

s

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ =

Vektor brzine jest tangenta na stazu hica u promatranoj točki. Prema načelu neovisnosti gibanja

komponenta vx brzine u svakoj je točki jednaka. Komponenta vy mijenja se kao pri slobodnom padu.

Tako je

2 2 2 2 2 2 22 2

0

0 0/

22

v

v vx

vv v v v g h v

hv hy

gy

gx= + ⇒ ⇒ = +

=

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒

22

2 40 2 9.81 1.5 40.37 .0 2

m m mv v g h m

s ss

⇒ = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ =

Vježba 531

Osoba nategne vrpcu luka za 20 cm. Kolikom brzinom poleti strelica mase 25 g, ako je

konstanta opiranja elastične vrpce luka takva da za njezino produljenje od 2 cm trebamo silu od 20 N.

Zanemarite silu otpora zraka. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

13

Rezultat: v0 = 40 m / s.

Zadatak 532 (Iva, gimnazija)

Tijelo izbačeno u horizontalnom smjeru poslije 3 s ima brzinu v koja u odnosu na horizontalu

zatvara kut 45º. Odredi početnu brzinu. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 532

t = 3 s, v, α = 45º, g = 9.81 m / s2, v0 = ?

Horizontalni hitac je gibanje koje se sastoji od jednolikoga gibanja u horizontalnom smjeru brzinom v0

i slobodnog pada. Brzine nakon vremena t jesu v0 i g · t, a rezultantnu brzinu v možemo izračunati

iz Pitagorina poučka jer su komponente međusobno okomite.

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti

imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica

je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Na temelju odnosa među duljinama stranica trokut može biti:

1) raznostraničan,

2) jednakokračan,

3) jednakostraničan.

Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo

kracima trokuta. Nasuprot jednakim stranicama nalaze se jednaki kutovi.

.

a b

a c

b c

a b c

α β

α γ

β γ

α β γ

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= = ⇒ = =

Nasuprot jednakim kutovima nalaze se jednake stranice.

.

a b

a c

b c

a b c

α β

α γ

β γ

α β γ

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= = ⇒ = =

45°°°°

45°°°°

v0

v

g ⋅⋅⋅⋅ tA

BO

Budući da rezultantna brzina v u odnosu na horizontalu zatvara kut od 45º, pravokutan trokut OAB je

jednakokračan (katete su jednake duljine) pa vrijedi:

9.81 3 29.43 .0 2

m mv g t s

ss

= ⋅ = ⋅ =

14

Vježba 532

Tijelo izbačeno u horizontalnom smjeru poslije 2 s ima brzinu v koja u odnosu na horizontalu

zatvara kut 45º. Odredi početnu brzinu. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 19.62 m / s.

Zadatak 533 (Bogdana, Anita, Maja, Ivica, veseli maturanti ☺☺☺☺)

Automobil, koji miruje, za 5 sekundi postigne brzinu 360 km / h. Njegovo ubrzanje približno

je jednako:

A. pet puta ubrzanju sile teže

B. nuli

C. dva puta ubrzanju sile teže.


Rješenje 533

t = 5 s, v = 360 km / h = [360 : 3.6] = 100 m / s, g = 9.81 m / s2, ?a

g=


,v a t= ⋅

gdje je v brzina tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Kako se ispituje koliko je puta veličina a veća od veličine b?

?a

b=

Ubrzanje automobila iznosi:

100

20 .25

1/

t

m

v msv a t a t v a t v at s s

= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = =⋅

Računamo koliko je puta ubrzanje a veće od ubrzanja g.

202

2.

9.812

m

a smg

s

= ≈

Ubrzanje a je približno dva puta veće od ubrzanja g. Odgovor je pod C.

Vježba 533

Automobil, koji miruje, za 2 sekunde postigne brzinu 144 km / h. Njegovo ubrzanje približno

je jednako:

A. pet puta ubrzanju sile teže

B. nuli

C. dva puta ubrzanju sile teže.


Rezultat: C.

Zadatak 534 (Ante, maturant)

S koje je visine palo tijelo koje je posljednjih 20 m prešlo za 0.85 s? (ubrzanje slobodnog pada

g = 9.81 m / s2)

Rješenje 534

∆h = 20 m, ∆t = 0.85 s, g = 9.81 m / s2, h = ?



15

2,

1

2h g t= ⋅ ⋅


Neka je:

• h visina sa koje je tijelo palo

• t vrijeme za koje je tijelo palo s visine h.

Tada je tijelo visinu h – ∆h prešlo za vrijeme t – ∆t pa vrijedi sustav jednadžbi:

( )( )

oduzmemo

jednadžbe

1 2

1 12 22

1 2 22

2

h g t

h h h g t t g t

h h g t t

= ⋅ ⋅

⇒ ⇒ − ∆ − = ⋅ ⋅ − ∆ − ⋅ ⋅ ⇒

− ∆ = ⋅ ⋅ − ∆

( )( )1 122 22

2 2h g t t th t g th⇒ − ∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ∆ + ∆ − ⋅ ⋅− ⇒

( )1 1 122 2

2 2 2h g t g t t g t g t⇒ − ∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )1 12 2

2 2

1 12 2

2 2g t gh g t t g t h g t t gt t⇒ − ∆ = − ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆ ⇒⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ∆ = − ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆ ⇒

( ) ( )1 12 2

22

2/g t t g t h g t t g t h⇒ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ + ∆ ⇒ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ∆ + ∆ ⋅⋅ ⇒

( ) ( )2 2

2 2 21

/22

g t t g t h g t t g tg t

h⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ∆ + ⋅⋅

∆⋅ ∆

⋅ ⇒

( )( )

29.81 0.85 2 202 22

2.82 .2

2 9.81 0.852

ms m

g t h st smg t

s

s

⋅ + ⋅⋅ ∆ + ⋅ ∆

⇒ = = =⋅ ⋅ ∆

⋅ ⋅

Visina pada tijela iznosi:

( )1 1 22

9.81 2.82 39.01 .22 2

mh g t s m

s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Vježba 534

S koje je visine palo tijelo koje je posljednjih 200 dm prešlo za 0.85 s? (ubrzanje slobodnog

pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 39.01 m.

Zadatak 535 (Nata, medicinska škola)

Koliko je težak 1 dm3 leda pri 0 ºC? (gustoća leda pri 0 ºC ρ = 920 kg / m3, ubrzanje


Rješenje 535

V = 1 dm3 = 10-3 m3, ρ = 920 kg / m3, g = 9.81 m / s2, G = ?

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz kvocijenta mase tijela i njegova obujma

.m

m VV

ρ ρ= ⇒ = ⋅




Newtonovom poučku

16

,G m g= ⋅





3 3920 10 9.81 9.03 .

3 2

mm V kg m

G V g m NVG m g m sG m g

ρρρ

= ⋅= −⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅= ⋅

Vježba 535

Koliko je težak 2 dm3 leda pri 0 ºC? (gustoća leda pri 0 ºC ρ = 920 kg / m3, ubrzanje


Rezultat: 18.05 N.

Zadatak 536 (Nata, medicinska škola)

Koliko je teška kapljica žive obujma 0.25 cm3? (gustoća žive ρ =13600 kg / m3, ubrzanje


Rješenje 536

V = 0.25 cm3 = 2.5 · 10-7 m3, ρ = 13600 kg / m3, g = 9.81 m / s2, G = ?

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz kvocijenta mase tijela i njegova obujma

.m

m VV

ρ ρ= ⇒ = ⋅




Newtonovom poučku

,G m g= ⋅





7 313600 2.5 10 9.81 0.033 .

3 2

mm V kg m

G V g m NVG m g m sG m g

ρρρ

= ⋅= −⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅= ⋅

Vježba 536

Koliko je teška kapljica žive obujma 0.5 cm3? (gustoća žive ρ =13600 kg / m3, ubrzanje


Rezultat: 0.067 N.

17

Zadatak 537 (Darko, tehnička škola)

Jedno tijelo slobodno pada s visine h1, a drugo s visine h2.

a) U kojem omjeru stoje njihova vremena padanja?

b) U kojem omjeru stoje njihove brzine u trenutku pada na Zemlju? (ubrzanje slobodnog

pada g)

Rješenje 537

h1, h2, g, t1 : t2 = ?, v1 : v2 = ?


akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijede izrazi:

1 22 22, 2 ,

2

hh g t t v g h v g h

g

⋅= ⋅ ⋅ ⇒ = = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

gdje je h visina pada, v brzina pada.

a) Računamo omjer vremena t1 : t2.

2 2 21 1 1 11

1 1 1 1 1222 2 22 2 2 2 22

2

2

2

2

h h h ht

gt t t t hg g

g

g

h ht t t t hhht ggg

⋅ ⋅ ⋅ ⋅=⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅⋅⋅

=

11 : : .1 2 1 2

2 2

htt t h h

t h⇒ = ⇒ =

b) Računamo omjer brzina v1 : v2.

2 2 21 1 11 1 1 1 1 1 1

222 2 2 2 2 2 2 2222

2

2v g h g hv v g h v h v h

v v g h

g

gv h v hg hv g h

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅= ⋅ ⋅

11 : : .1 2 1 2

2 2

hvv v h h

v h⇒ = ⇒ =

Vježba 537

Jedno tijelo slobodno pada s visine 100 m, a drugo s visine 50 m.

a) U kojem omjeru stoje njihova vremena padanja?

b) U kojem omjeru stoje njihove brzine u trenutku pada na Zemlju? (ubrzanje slobodnog

pada g)

Rezultat: : 2 : 1 , : 2 : 1.1 2 1 2t t v v= =

Zadatak 538 (Antonio, gimnazija)

Strelica izbačena lukom vertikalno uvis vraća se nakon 20 sekundi. Kolika je bila početna

brzina? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 538

t = 20 s, g = 9.81 m / s2, v0 = ?

Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici.

Vertikalni hitac prema gore sastoji se od jednolikoga gibanja prema gore brzinom v0 i slobodnog

pada. Zato su mu brzina v i put s u času kad je prošlo vrijeme t dani ovim izrazima:

1 20 0

,2

.v v g t s v t g t= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅

Najviši domet H što ga tijelo može postići pri vertikalnom hicu jest put u času kad je v = 0. Onda je

18

21

, ,0

2.

20

2

v vt H H g t

g g= = = ⋅ ⋅

⋅

Let do najviše točke traje koliko i pad s te točke, tj. za slobodni pad tijelo treba isto toliko vremena

koliko je trebalo da dostigne najvišu točku.

Neka je t0 vrijeme za koje strelica postigne maksimalnu visinu. Tada je:

00 1 1 1 10 0 20 9.81 98.1 .

0 22 2 2 21

0 2

/

vt

v v m mgt t v t g s

g g sst t

g

=

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ =

⋅

⋅ ⋅ ⋅ =

=

Vježba 538

Strelica izbačena lukom vertikalno uvis vraća se nakon 10 sekundi. Kolika je bila početna

brzina? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 49.05 m / s.

Zadatak 539 (Antonio, gimnazija)

Do koje se visine digne tijelo koje se, vertikalno bačeno uvis, nakon 20 sekundi vrati na

zemlju? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rješenje 539

t = 20 s, g = 9.81 m / s2, h = ?

Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici.

Vertikalni hitac prema gore sastoji se od jednolikoga gibanja prema gore brzinom v0 i slobodnog

pada. Zato su mu brzina v i put s u času kad je prošlo vrijeme t dani ovim izrazima:

,2

.1

2v v g t s v t g t= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅� �

Najviši domet H što ga tijelo može postići pri vertikalnom hicu jest put u času kad je v = 0. Onda je 2

1 2

2, , .

2

v vt H H g t

g g= = = ⋅ ⋅

⋅

� �

Let do najviše točke traje koliko i pad s te točke, tj. za slobodni pad tijelo treba isto toliko vremena

koliko je trebalo da dostigne najvišu točku.

Neka je t0 vrijeme za koje tijelo postigne maksimalnu visinu h. Tada je:

120 1 1 1 1 12 22

1 2 2 2 4 8202

t t

h g t h g t h g t

h g t

= ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅

( )1 2

9.81 20 490.5 .28

ms m

s

= ⋅ ⋅ =

Vježba 539

Do koje se visine digne tijelo koje se, vertikalno bačeno uvis, nakon 10 sekundi vrati na

zemlju? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m / s2)

Rezultat: 122.63 m.

19

Zadatak 540 (Ljilja, gimnazija)

Za koliko posto je potrebno smanjiti visinu slobodnog pada da bi se vrijeme pada smanjilo na

polovicu?

Rješenje 540

h, t, 1

,1 2t t= ⋅ ∆h = ?



2,

1

2h g t= ⋅ ⋅


Neka je t vrijeme slobodnog pada s visine h, a 1

1 2t t= ⋅ vrijeme slobodnog pada s visine h1. Napišemo

sustav jednadžbi.

1 2 11 1 22 22 22 2

2 11 1 1 22 21 111 1 11 82 2 42 2

h g t h g th g t h g t

h g th g t h g th g t

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅

1 121 181 1 1 1 .

11 12

2podijelimo 8

4/

2jedna be 4ž

2

d

2

4

gg th h h h hh

t

h

g th h h h

g t

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Visina h1 s koje tijelo slobodno pada za upola kraće vrijeme dana je relacijom 1 4

hh = pa visinu h treba

smanjiti za

4 3

1 4 1 4 4 4

h h h h h hh h h h h h h h

⋅ − ⋅∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = ⇒

75

100.75 75% .

0h h h h h h⇒ ∆ = ⋅ ⇒ ∆ = ⋅ ⇒ ∆ = ⋅

Vježba 540

Za koliko posto je potrebno povećati visinu slobodnog pada da bi se vrijeme pada povećalo

dva puta?

Rezultat: 300% .h h∆ = ⋅

Documents

· gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se po čelo usporavati i gibati jednoliko usporeno akceleracijom a za vrijeme t. Drugi Newtonov pou čak : Ako na tijelo djeluje