1

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (POSICIONES RELATIVAS)

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Dos rectas en el espacio: (𝒓) {𝑨 (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑)

�⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟏, 𝒗𝟑) y (𝒔) {

𝑩 (𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑)

�⃗⃗� (𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑) , pueden presentar

cuatro posiciones relativas :

Para saber cuál de las posiciones descritas presentan nuestras dos rectas, nos fijaremos en sus

vectores directores �⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟏, 𝒗𝟑) y �⃗⃗� (𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑) .

Si los vectores directores de las dos rectas no son proporcionales �⃗⃗� ≠ 𝒌 · �⃗⃗� es decir, si las

rectas no son ni paralelas ni coincidentes entonces, se cortarán o se cruzarán.

Para averiguar cuál de las dos opciones es la correcta, calcularemos el valor del determinante

formado por los vectores 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� y �⃗⃗� .

|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗

�⃗⃗� �⃗⃗�

| = |𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑

|

2

En el caso de que dicho determinante sea igual a cero, significará que los vectores son

linealmente dependientes es decir, que alguno de los vectores es combinación lineal de los

demás. En este caso, se tratará de dos rectas que se cortan en un punto.

|𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑

| = 𝟎 ⟹ 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧

Si por el contrario, el determinante es distinto de cero, significará que los vectores son

linealmente independientes es decir, que no existe ninguna combinación lineal entre ellos. Se

tratará entonces de dos rectas que se cruzan.

|𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑

| ≠ 𝟎 ⟹ 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐜𝐫𝐮𝐳𝐚𝐧

Si los vectores directores de las dos rectas son proporcionales �⃗⃗� = 𝒌 · �⃗⃗� , es porque son

paralelos y por lo tanto, las rectas o son paralelas o son coincidentes.

Para saber cuál de las dos posibilidades es la correcta, habrá que buscar dentro del

determinante formado por las coordenadas de los tres vectores si hay algún menor de orden

dos distinto de cero.

Si existe algún menor de orden dos distinto de cero, supondrá que los tres vectores no son

paralelos y por lo tanto estamos ante dos rectas paralelas. Si observamos en la figura , vemos

que efectivamente solo dos de los tres vectores son paralelos.

Desde un punto de vista práctico, y

una vez que se ha comprobado que los

dos vectores directores son

proporcionales, lo más rápido para

comprobar que las rectas son

paralelas o coincidentes, es sustituir

un punto de una de las rectas en la

ecuación de la otra. En el caso de que

verifique la ecuación es porque son

coincidentes y si no, es porque son

paralelas. En las rectas coincidentes cualquier punto de una de ellas, verifica a la otra.

3

Dos rectas son coplanarias cuando generan un plano. Los dos casos en los que dos rectas

pueden generar un plano, es cuando las rectas se cortan en un punto o bien, son paralelas. En

ambos casos la condición es la misma es decir, que el determinante formado por los vectores

𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� y �⃗⃗� vale cero, según se puede ver en las correspondientes figuras.

𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐜𝐨𝐩𝐥𝐚𝐧𝐚𝐫𝐢𝐚𝐬 ⟹ |𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑

| = 𝟎

Cuatro puntos son coplanarios están en un mismo plano. Como se puede ver en la figura, si

cuatro puntos están en un mismo plano, el determinante de los tres vectores que se forman

uniéndolos entre sí vale cero, ya que el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 , 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 , 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑)

𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝒄𝟏 − 𝒂𝟏 , 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 , 𝒄𝟑 − 𝒂𝟑)

𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒅𝟏 − 𝒂𝟏 , 𝒅𝟐 − 𝒂𝟐 , 𝒅𝟑 − 𝒂𝟑)

𝑨,𝑩, 𝑪 𝒚 𝑫 𝐜𝐨𝐩𝐥𝐚𝐧𝐚𝐫𝐢𝐨𝐬 ⟹ | 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗

| = 𝟎

Ejemplo. Comprobar si los puntos 𝑨 = (−𝟏, 𝟎, 𝟐), 𝑩(𝟐, 𝟏, 𝟎), 𝑪(−𝟏,−𝟐, 𝟏) 𝒚 𝑫(𝟓,−𝟐,−𝟒)

son coplanarios.

𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑩 − 𝑨 = (𝟐, 𝟏, 𝟎) − (−𝟏, 𝟎, 𝟐) = (𝟑, 𝟏, −𝟐)

𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑪 − 𝑨 = (−𝟏,−𝟐, 𝟏) − (−𝟏, 𝟎, 𝟐) = (𝟎,−𝟐,−𝟏)

𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑫 − 𝑨 = (𝟓,−𝟐,−𝟒) − (−𝟏, 𝟎, 𝟐) = (𝟔,−𝟐,−𝟔)

| 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗

| = |𝟑 𝟏 −𝟐𝟎 −𝟐 −𝟏𝟔 −𝟐 −𝟔

| = 𝟎 ⟹ 𝑨, 𝑩, 𝑪 𝒚 𝑫 𝐬𝐨𝐧 𝐜𝐨𝐩𝐥𝐚𝐧𝐚𝐫𝐢𝐨𝐬

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Ejemplo. Estudiar la posición relativa de las rectas siguientes y en su caso hallar el

punto de corte P.

(𝒓) 𝒙 − 𝟏

𝟏=𝒚 − 𝟐

𝟏=𝒛 − 𝟏

𝟐 (𝒔) {

𝒙 = 𝟑 − 𝟐𝒕𝒚 = 𝟑 − 𝒕𝒛 = −𝟏 + 𝟐𝒕

En primer lugar entresacamos de las ecuaciones de las rectas un punto y un vector

director:

(𝒓) 𝒙 − 𝟏

𝟏=𝒚 − 𝟐

𝟏=𝒛 − 𝟏

𝟐 ⟹ {

𝑨(𝟏, 𝟐, 𝟏)

�⃗⃗� (𝟏, 𝟏, 𝟐) (𝒔) {

𝒙 = 𝟑 − 𝟐𝒕𝒚 = 𝟑 − 𝒕𝒛 = −𝟏 + 𝟐𝒕

⟹ {𝑩(𝟑, 𝟑, −𝟏)

�⃗⃗� (−𝟐,−𝟏, 𝟐)

Estudiamos si los vectores directores son proporcionales, o no lo son:

�⃗⃗� (𝟏, 𝟏, 𝟐) 𝒚 �⃗⃗� (−𝟐,−𝟏, 𝟐) ⟹ 𝟏

−𝟐≠

𝟏

−𝟏≠𝟐

𝟐 ⟹ 𝐧𝐨 𝐬𝐨𝐧 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐨𝐫𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞𝐬

por lo tanto, las dos rectas se cortan en un punto o se cruzan.

Calculamos las coordenadas del vector 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y a continuación el valor del determinante

que forman las coordenadas de 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� y �⃗⃗� .

𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑩 − 𝑨 = (𝟑, 𝟑, −𝟏) − (𝟏, 𝟐, 𝟏) = (𝟐, 𝟏, −𝟐)

|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗

�⃗⃗� �⃗⃗�

| = | 𝟐 𝟏 −𝟐 𝟏 𝟏 𝟐−𝟐 −𝟏 𝟐

| = 𝟎 ⟹ (𝒓) 𝒚 (𝒔) 𝐬𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧

Para calcular el punto de corte de ambas rectas, las expresamos en paramétricas y

resolvemos el sistema por el método de Igualación:

(𝒓) {

𝒙 = 𝟏 + 𝒑𝒚 = 𝟐 + 𝒑𝒛 = 𝟏 + 𝟐𝒑

(𝒔) {𝒙 = 𝟑 − 𝟐𝒕𝒚 = 𝟑 − 𝒕𝒛 = −𝟏 + 𝟐𝒕

}

⟹

𝟏 + 𝒑 = 𝟑 − 𝟐𝒕𝟐 + 𝒑 = 𝟑 − 𝒕

𝟏 + 𝟐𝒑 = −𝟏 + 𝟐𝒕} ⟹

𝒑 + 𝟐𝒕 = 𝟐𝒑 + 𝒕 = 𝟏

𝟐𝒑 − 𝟐𝒕 = −𝟐} ⟹

𝒑 + 𝟐𝒕 = 𝟐𝒑 + 𝒕 = 𝟏

}

𝒑 + 𝟐𝒕 = 𝟐−𝒑 − 𝒕 = −𝟏

}______________

𝒕 = 𝟏

⟹ 𝒑 = 𝟐 − 𝟐𝒕 = 𝟐 − 𝟐 · 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒑 = 𝟎𝒕 = 𝟏

Sustituyendo en cualquiera de las dos rectas se obtendrá el punto de corte.

(𝒓) {

𝒙 = 𝟏 + 𝒑𝒚 = 𝟐 + 𝒑𝒛 = 𝟏 + 𝟐𝒑

⟹ 𝒙 = 𝟏 + 𝟎 = 𝟏𝒚 = 𝟐 + 𝟎 = 𝟐𝒛 = 𝟏 + 𝟐 · 𝟎 = 𝟏

⟹ 𝒙 = 𝟏𝒚 = 𝟐𝒛 = 𝟏

⟹ 𝑷(𝟏, 𝟐, 𝟏)

5

Ejemplo. Estudiar la posición relativa de las rectas :

(𝒓) 𝒙

𝟏=𝒚 − 𝟐

−𝟏=𝒛 − 𝟏

𝟑 (𝒔) {

𝒙 = 𝟐 + 𝟐𝒕𝒚 = −𝟐𝒕𝒛 = 𝟕 + 𝟔𝒕

En primer lugar entresacamos de las ecuaciones de las rectas un punto y un vector

director:

(𝒓) 𝒙

𝟏=𝒚 − 𝟐

−𝟏=𝒛 − 𝟏

𝟑 ⟹ {

𝑨(𝟎, 𝟐, 𝟏)

�⃗⃗� (𝟏,−𝟏, 𝟑) (𝒔) {

𝒙 = 𝟐 + 𝟐𝒕𝒚 = −𝟐𝒕𝒛 = 𝟕 + 𝟔𝒕

⟹ {𝑩(𝟐, 𝟎, 𝟕)

�⃗⃗� (𝟐,−𝟐, 𝟔)

Estudiamos si los vectores directores son proporcionales, o no lo son:

�⃗⃗� (𝟏, −𝟏, 𝟑) 𝒚 �⃗⃗� (𝟐,−𝟐, 𝟔) ⟹ 𝟏

𝟐=−𝟏

−𝟐=𝟑

𝟔 ⟹ 𝐬𝐢 𝐬𝐨𝐧 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐨𝐫𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞𝐬

por lo tanto, las dos rectas o son paralelas , o son coincidentes.

Para comprobar qué posición relativa ocupan de las dos posibilidades, cogemos un

punto de una de ellas y la sustituimos en la otra y vemos si la verifica o no.

Cogemos el punto 𝑩(𝟐, 𝟎, 𝟕) de la recta (𝒔) y lo sustituimos en la ecuación de la otra

recta.

𝐒𝐮𝐬𝐭𝐢𝐭𝐮𝐢𝐦𝐨𝐬 𝑩(𝟐, 𝟎, 𝟕) 𝐞𝐧 (𝒓) 𝒙

𝟏=𝒚 − 𝟐

−𝟏=𝒛 − 𝟏

𝟑 ⟹

𝟐

𝟏=𝟎 − 𝟐

−𝟏=𝟕 − 𝟏

𝟑 ⟹ 𝟐 = 𝟐 = 𝟐

Como al sustituir el punto 𝑩(𝟐, 𝟎, 𝟕) de la recta (𝒔) en la ecuación de la recta (𝒓)

verifica dicha ecuación, significa que dicho punto pertenece a las dos rectas, por lo que

(𝒓) 𝒚 (𝒔) son coincidentes .

CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA, QUE SE APOYA (CORTA) EN OTRAS DOS RECTAS

DADAS.

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Para calcular la ecuación de la recta (𝒔) que pasa por un punto 𝑷 se apoya (corta ) en las

rectas (𝒓𝟏) y (𝒓𝟐), existen varios procedimientos. El procedimiento que vamos a describir

a continuación, expresa la recta (𝒔) como intersección de dos planos, el plano (𝝅𝟏) y el

plano (𝝅𝟐).

La recta (𝒓𝟏) está definida por el punto 𝑨 y el vector director �⃗⃗� . ⟹ (𝒓𝟏)(𝑨, �⃗⃗� )

La recta (𝒓𝟐) está definida por el punto 𝑩 y el vector director �⃗⃗� . ⟹ (𝒓𝟐)(𝑩, �⃗⃗� )

Los pasos que hay que dar son los siguientes:

1) Se calcula la ecuación general del plano (𝝅𝟏) que contiene a la recta (𝒓𝟏) y al punto 𝑷 .

El vector 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es el que une el punto 𝑨 de

la recta (𝒓𝟏) con el punto 𝑷 por el que

tiene que pasar la recta (𝒔).

La determinación lineal del plano (𝝅𝟏) es:

(𝝅𝟏)(𝑷, �⃗⃗� , 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

2) Se calcula la ecuación general del plano (𝝅𝟐) que contiene a la recta (𝒓𝟐) y al punto 𝑷 .

El vector 𝑩𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es el que une el

punto 𝑩 de la recta (𝒓𝟐) con

el punto 𝑷 por el que tiene

que pasar la recta (𝒔).

La determinación lineal del

plano (𝝅𝟐) es:

(𝝅𝟐)(𝑷, �⃗⃗� , 𝑩𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

7

3) Se expresa la recta (𝒔) como intersección de los planos (𝝅𝟏) y (𝝅𝟐) .

(𝒔) {(𝝅𝟏)(𝑷, �⃗⃗� , 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

(𝝅𝟐)(𝑷, �⃗⃗� , 𝑩𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

Ejemplo. Determinar la ecuación de la recta (𝒔) que se apoya en las rectas (𝒓𝟏) y

(𝒓𝟐) y pasa por el punto 𝑷(𝟏,−𝟏, 𝟐).

(𝒓𝟏) ≡ 𝒙 − 𝟏

−𝟐=𝒚

𝟏=𝒛 + 𝟏

𝟑 ⟹ {

𝑨(𝟏, 𝟎, −𝟏)

�⃗⃗� (−𝟐, 𝟏, 𝟑) (𝒓𝟐) ≡

𝒙

𝟐=𝒚 − 𝟐

−𝟏=𝒛 − 𝟐

𝟑 ⟹ {

𝑩(𝟎, 𝟐, 𝟐)

�⃗⃗� (𝟐,−𝟏, 𝟑)

(𝝅𝟏)(𝑷, �⃗⃗� , 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⟹ 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑷 − 𝑨 = (𝟏,−𝟏, 𝟐) − (𝟏, 𝟎, −𝟏) = (𝟎,−𝟏, 𝟑)

|𝒙 − 𝟏 𝒚 + 𝟏 𝒛 − 𝟐−𝟐 𝟏 𝟑𝟎 −𝟏 𝟑

| = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟒 = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟐 = 𝟎

(𝝅𝟐)(𝑷, �⃗⃗� , 𝑩𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⟹ 𝑩𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑷 − 𝑩 = (𝟏,−𝟏, 𝟐) − (𝟎, 𝟐, 𝟐) = (𝟏,−𝟑, 𝟎)

|𝒙 − 𝟏 𝒚 + 𝟏 𝒛 − 𝟐𝟐 −𝟏 𝟑𝟏 −𝟑 𝟎

| = 𝟎 ⟹ 𝟗𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓𝒛 + 𝟒 = 𝟎

(𝒔) {(𝝅𝟏)(𝑷, �⃗⃗� , 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

(𝝅𝟐)(𝑷, �⃗⃗� , 𝑩𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⟹ (𝒔) ≡ {

𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟐 = 𝟎𝟗𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓𝒛 + 𝟒 = 𝟎

8

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Dos planos en el espacio (𝝅𝟏) 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 y (𝝅𝟐) 𝒂′𝒙 + 𝒃′𝒚 + 𝒄′𝒛 + 𝒅′ = 𝟎

pueden presentar tres posiciones relativas :

El estudio sobre cuál de las tres posiciones adoptan dos planos, se hace analizando las soluciones

del sistema formado por las ecuaciones de los dos planos dados en la forma general.

{(𝝅𝟏) 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎(𝝅𝟐) 𝒂

′𝒙 + 𝒃′𝒚 + 𝒄′𝒛 + 𝒅′ = 𝟎 𝑨 = (

𝒂 𝒃 𝒄𝒂′ 𝒃′ 𝒄′

) y 𝑨+ = (𝒂 𝒃 𝒄𝒂′ 𝒃′ 𝒄′

𝒅𝒅′)

Aplicando el teorema de Rouché, tenemos:

Si 𝒓 = 𝟐 y 𝒓+ = 𝟐 y como 𝒏 = 𝟑 , tenemos que 𝒓 = 𝒓+ < 𝑛 es decir un Sistema

Compatible Indeterminado (∞ puntos comunes). Se trata entonces de dos planos que se

cortan en una recta. Al resolver el sistema aparecerá la ecuación de la recta en paramétricas.

9

Si 𝒓 = 𝟏 y 𝒓+ = 𝟐 , tenemos que 𝒓 ≠ 𝒓+ es decir, un Sistema Incompatible

(sin puntos comunes). Se trata por lo tanto de dos planos paralelos.

Al ser 𝒓 = 𝟏 , todos los menores de orden dos de la matriz 𝑨 son iguales a cero.

𝒓 = 𝟏 ⟹ |𝒂 𝒃𝒂′ 𝒃′

| = |𝒂 𝒄𝒂′ 𝒄′

| = |𝒃 𝒄𝒃′ 𝒄′

| = 𝟎 ⟹ 𝒂

𝒂′=𝒃

𝒃′=𝒄

𝒄′

Si 𝒓 = 𝟏 y 𝒓+ = 𝟏 y como 𝒏 = 𝟑 , tenemos que 𝒓 = 𝒓+ < 𝑛 es decir un Sistema

Compatible Indeterminado (∞ puntos comunes). En este caso, se trata entonces de dos

planos coincidentes.

Al ser 𝒓+ = 𝟏 , todos los menores de orden dos de la matriz 𝑨+ son iguales a cero.

𝒓+ = 𝟏 ⟹ |𝒂 𝒃𝒂′ 𝒃′

| = |𝒂 𝒄𝒂′ 𝒄′

| = |𝒂 𝒅𝒂′ 𝒅′

| = 𝟎 ⟹ 𝒂

𝒂′=𝒃

𝒃′=𝒄

𝒄′=𝒅

𝒅′

En definitiva, para saber qué posición relativa adoptan dos planos en el espacio, tan solo hay que

analizar la proporcionalidad de los coeficientes de ambos planos y así tenemos:

𝑷𝑳𝑨𝑵𝑶𝑺 𝑺𝑬𝑪𝑨𝑵𝑻𝑬𝑺 ⟹ 𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒏𝒐 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔

𝑷𝑳𝑨𝑵𝑶𝑺 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳𝑶𝑺 ⟹ 𝒂

𝒂′=𝒃

𝒃′=𝒄

𝒄′

𝑷𝑳𝑨𝑵𝑶𝑺 𝑪𝑶𝑰𝑵𝑪𝑰𝑫𝑬𝑵𝑻𝑬𝑺 ⟹ 𝒂

𝒂′=𝒃

𝒃′=𝒄

𝒄′=𝒅

𝒅′

Ejemplo. Determinar la posición relativa de los dos planos siguientes:

(𝝅𝟏) 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝟓 = 𝟎 𝒚 (𝝅𝟐) − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔𝒛 − 𝟑 = 𝟎

Como: 𝟐

−𝟒=−𝟏

𝟐= 𝟑

−𝟔≠−𝟓

−𝟑 , se trata de 𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐𝒔

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Ejemplo. Determinar la posición relativa de los dos planos siguientes y en su caso calcular la

ecuación de la recta intersección:

(𝝅𝟏) 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝟓 = 𝟎 𝒚 (𝝅𝟐) 𝒙 + 𝒚 − 𝟔𝒛 + 𝟐 = 𝟎

Como: 𝟐

𝟏≠−𝟏

𝟏≠ 𝟑

−𝟔 , se trata de 𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔

La ecuación de la recta intersección, se calcula resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de

ambos planos.

(𝒓) ≡ {𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝟓 = 𝟎𝒙 + 𝒚 − 𝟔𝒛 + 𝟐 = 𝟎

𝒛 = 𝒕⟶

{𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟓 − 𝟑𝒕𝒙 + 𝒚 = −𝟐 + 𝟔𝒕

⟹

𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟓 − 𝟑𝒕𝒙 + 𝒚 = −𝟐 + 𝟔𝒕____________________𝟑𝒙 = 𝟑 + 𝟑𝒕

⟹ 𝒙 = 𝟏 + 𝒕

𝟏 + 𝒕 + 𝒚 = −𝟐 + 𝟔𝒕 ⟹ 𝒚 = −𝟑 + 𝟓𝒕 ⟹ (𝒓) ≡ {𝒙 = 𝟏+ 𝒕

𝒚 = −𝟑+𝟓𝒕 𝒛 = 𝒕

Ejemplo. Determinar la posición relativa de los dos planos siguientes:

(𝝅𝟏) 𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟏 = 𝟎 𝒚 (𝝅𝟐) − 𝟑𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟔𝒛 + 𝟑 = 𝟎

Como: 𝟏

−𝟑=−𝟑

𝟗= 𝟐

−𝟔=−𝟏

𝟑 , se trata de 𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒊𝒏𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

Una recta (𝒓) {

𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝒗𝟏𝒕𝒚 = 𝒂𝟐 + 𝒗𝟐𝒕𝒛 = 𝒂𝟑 + 𝒗𝟑𝒕

y un plano (𝝅) 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 pueden presentar

tres posiciones relativas en el espacio:

1) La recta corta al plano en un punto (secantes).

2) La recta es paralela al plano.

3) la recta está contenida en el plano.

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El estudio de la posición relativa de una recta y un plano, se hace resolviendo el sistema formado

por las ecuaciones paramétricas de la recta y la ecuación general del plano.

{(𝒓) {

𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝒗𝟏𝒕𝒚 = 𝒂𝟐 + 𝒗𝟐𝒕𝒛 = 𝒂𝟑 + 𝒗𝟑𝒕

(𝝅) 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎

⟹ 𝒂(𝒂𝟏 + 𝒗𝟏𝒕) + 𝒃(𝒂𝟐 + 𝒗𝟐𝒕) + 𝒄(𝒂𝟑 + 𝒗𝟑𝒕) + 𝒅 = 𝟎

Al sustituir la "𝒙", la "𝒚" y la "𝒛" de las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano,

aparece una ecuación cuya única variable es la "𝒕". Si despejamos dicha "𝒕", se pueden dar tres casos:

1. La "𝒕" es un número real cualquiera, lo que significa que existe un único punto 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛)

común a la recta y al plano. Por lo tanto, se trata de una recta y un plano secantes.

2. La "𝒕" vale infinito (∞) , lo que significa que no existe solución o puntos comunes. Por lo

tanto, se trata de una recta paralela a un plano.

3. La "𝒕" vale 𝟎 𝟎⁄ , que es un valor indeterminado, por lo que existen infinitos puntos comunes

entre la recta y el plano. Por lo tanto se trata de un plano que contiene a una recta.

𝒕 = 𝒏º 𝒓𝒆𝒂𝒍 ⟹ 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 𝒀 𝑷𝑳𝑨𝑵𝑶 𝑺𝑬𝑪𝑨𝑵𝑻𝑬𝑺

𝒕 = ∞ ⟹ 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 𝒀 𝑷𝑳𝑨𝑵𝑶 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳𝑶𝑺

𝒕 =𝟎

𝟎 ⟹ 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 𝑪𝑶𝑵𝑻𝑬𝑵𝑰𝑫𝑨 𝑬𝑵 𝑬𝑳 𝑷𝑳𝑨𝑵𝑶.

12

Ejemplo. Estudiar la posición relativa de la recta y el plano siguientes:

(𝒓) 𝒙

𝟐=𝒚 − 𝟏

𝟑=𝒛

𝟏 (𝝅) 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟏𝒛 − 𝟓 = 𝟎

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones paramétricas de la recta y la ecuación del

plano

𝒙

𝟐=𝒚 − 𝟏

𝟑=𝒛

𝟏 ⟹ {

𝒙 = 𝟐𝒕𝒚 = 𝟏 + 𝟑𝒕𝒛 = 𝒕

{ {

𝒙 = 𝟐𝒕𝒚 = 𝟏 + 𝟑𝒕𝒛 = 𝒕

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟏𝒛 − 𝟓 = 𝟎

⟹ 𝟑(𝟐𝒕) + 𝟐(𝟏 + 𝟑𝒕) − 𝟏𝟏(𝒕) − 𝟓 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒕 + 𝟐 + 𝟔𝒕 − 𝟏𝟏𝒕 − 𝟓 = 𝟎

𝐝𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐧𝐝𝐨, 𝐪𝐮𝐞𝐝𝐚 ⟹ 𝒕 = 𝟑 ⟹ 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒚 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔

Al sustituir en las ecuaciones paramétricas de la recta el valor de 𝒕 = 𝟑, se obtiene el punto de

corte de la recta y el plano:

{𝒙 = 𝟐𝒕

𝒚 = 𝟏 + 𝟑𝒕𝒛 = 𝒕

𝒕 = 𝟑⟶

𝒙 = 𝟐 · 𝟑 = 𝟔

𝒚 = 𝟏 + 𝟑 · 𝟑 = 𝟏𝟎𝒛 = 𝟑

⟹ 𝑷(𝟔, 𝟏𝟎, 𝟑)

POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

Tres planos en el espacio (𝝅𝟏) 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 , (𝝅𝟐) 𝒂′𝒙 + 𝒃′𝒚 + 𝒄′𝒛 + 𝒅′ = 𝟎 y

(𝝅𝟑) 𝒂′′𝒙 + 𝒃′′𝒚 + 𝒄′′𝒛 + 𝒅′′ = 𝟎 pueden presentar ocho posiciones relativas :

El estudio sobre cuál de las ocho posiciones adoptan tres planos, se hace analizando las soluciones

del sistema formado por las ecuaciones de los tres planos dados en la forma general.

{

(𝝅𝟏) 𝒂𝒙+ 𝒃𝒚+ 𝒄𝒛+𝒅 = 𝟎

(𝝅𝟐) 𝒂′𝒙+𝒃′𝒚+ 𝒄′𝒛 +𝒅

′= 𝟎

(𝝅𝟑) 𝒂′′𝒙+𝒃′′𝒚+ 𝒄′′𝒛+ 𝒅

′′= 𝟎

siendo:

𝑨 = (𝒂 𝒃 𝒄𝒂′ 𝒃′ 𝒄′

𝒂′′ 𝒃′′ 𝒄′′) 𝐲 𝑨+ = (

𝒂 𝒃 𝒄𝒂′ 𝒃′ 𝒄′

𝒂′′ 𝒃′′ 𝒄′′ 𝒅𝒅′

𝒅′′)

Aplicando el teorema de Rouché, tenemos las siguientes posibilidades:

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1) 𝒓 = 𝟑 𝒓+ = 𝟑 ⟹ 𝒓 = 𝒓+ = 𝒏 (Sistema Compatible Determinado)

Tres planos que se cortan

en un punto

2/3) 𝒓 = 𝟐 𝒓+ = 𝟑 ⟹ 𝒓 ≠ 𝒓+ (Sistema Incompatible)

Tres planos que se cortan

dos a dos

Tres planos que se cortan

en dos rectas

(Los planos 𝝅𝟏 𝒚 𝝅𝟑 son paralelos)

𝒂

𝒂′′=𝒃

𝒃′′=𝒄

𝒄′′

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4/5) 𝒓 = 𝟐 𝒓+ = 𝟐 ⟹ 𝒓 = 𝒓+ < 𝑛 (Sistema Compatible Indeterminado)

Tres planos que se cortan

en una recta

Dos planos coincidentes

y el tercero les corta

(Los planos 𝝅𝟏 𝒚 𝝅𝟐 son coincidentes)

𝒂

𝒂′=𝒃

𝒃′=𝒄

𝒄′=𝒅

𝒅′

6/7) 𝒓 = 𝟏 𝒓+ = 𝟐 ⟹ 𝒓 ≠ 𝒓+ (Sistema Incompatible)

Tres planos paralelos

(Los planos 𝝅𝟏, 𝝅𝟐 , 𝝅𝟑 son paralelos)

15

Dos planos coincidentes

y el tercero paralelo a ellos

(Los planos 𝝅𝟏 𝒚 𝝅𝟐 son coincidentes)

8) 𝒓 = 𝟏 𝒓+ = 𝟏 ⟹ 𝒓 = 𝒓+ < 𝑛 (Sistema Compatible Indeterminado)

Tres planos coincidentes

Ejemplo. Determinar la posición relativa de los planos (𝝅𝟏) ≡ 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 +𝒎𝒛 − 𝟑 = 𝟎 ,

(𝝅𝟐) ≡ 𝒙 +𝒎𝒚 − 𝒛 + 𝟏 = 𝟎 y (𝝅𝟑) ≡ 𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 +𝒎 = 𝟎, para los distintos valores del

parámetro "𝒎".

Se discute el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos y se va determinando, en

función del tipo de sistema, la posición relativa correspondiente..

{

(𝝅𝟏) ≡ 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 +𝒎𝒛 − 𝟑 = 𝟎(𝝅𝟐) ≡ 𝒙 +𝒎𝒚 − 𝒛 + 𝟏 = 𝟎(𝝅𝟑) ≡ 𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 +𝒎 = 𝟎

⟹ {

𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 +𝒎𝒛 = 𝟑 𝒙 +𝒎𝒚 − 𝒛 = −𝟏𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝒎

⟹ 𝑨 = (𝟐 𝟑 𝒎𝟏 𝒎 −𝟏𝟑 𝟏 −𝟑

)

|𝑨| = −𝟑𝒎𝟐 − 𝟓𝒎+ 𝟐 ⟹ −𝟑𝒎𝟐 − 𝟓𝒎+ 𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒎 =𝟓 ± √𝟐𝟓 + 𝟐𝟒

−𝟔=𝟓 ± 𝟕

−𝟔= {

𝒎 = −𝟐

𝒎 =𝟏

𝟑

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𝒎 = −𝟐

𝒎 = 𝟏 𝟑⁄ ⟹ 𝒓 = 𝒓+ = 𝒏 (Sistema Compatible Determinado)

Tres planos que se cortan en un punto

𝒎 = −𝟐

𝑨 = (𝟐 𝟑 −𝟐𝟏 −𝟐 −𝟏𝟑 𝟏 −𝟑

) ⟹ |𝟐 𝟑𝟏 −𝟐

| = −𝟕 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒓 = 𝟐

⟹ 𝒓 = 𝒓+ < 𝑛

𝑨+ = (𝟐 𝟑 −𝟐𝟏 −𝟐 −𝟏𝟑 𝟏 −𝟑

𝟑−𝟏 𝟐) ⟹ |

𝟐 𝟑 𝟑𝟏 −𝟐 −𝟏𝟑 𝟏 𝟐

| = 𝟎 ⟹ 𝒓+ = 𝟐

(Sistema Compatible Indeterminado)

Tres planos que se cortan en una recta

𝒎 = 𝟏 𝟑⁄

𝑨 = (

𝟐 𝟑 𝟏 𝟑⁄

𝟏 𝟏 𝟑⁄ −𝟏

𝟑 𝟏 −𝟑

) ⟹ |𝟐 𝟑

𝟏 𝟏𝟑⁄| = −

𝟕

𝟑≠ 𝟎 ⟹ 𝒓 = 𝟐

⟹ 𝒓 ≠ 𝒓+

𝑨+ = (

𝟐 𝟑 𝟏 𝟑⁄

𝟏 𝟏𝟑⁄ −𝟏

𝟑 𝟏 −𝟑

𝟑−𝟏

−𝟏 𝟑⁄ ) ⟹ |

𝟐 𝟑 𝟑

𝟏 𝟏𝟑⁄ −𝟏

𝟑 𝟏 −𝟏 𝟑⁄

| ≠ 𝟎 ⟹ 𝒓+ = 𝟑

(Sistema Incompatible)

Como no hay planos que sean paralelos, en este caso tenemos:

Tres planos que se cortan dos a dos