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GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL
GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA
Dirce Uesu Pesco
Superfícies
21/02 e 26/02
SUPERFÍCIES
O conjunto de pontos que satisfazem a equação de três variáveis:
é denominado superfície.
0),,( zyxF
SUPERFÍCIES
O conjunto de pontos que satisfazem a equação de três variáveis:
é denominado superfície.
Exemplos:
1) A equação do plano: 0 dczbyaxzyxF ),,(
0),,( zyxF
SUPERFÍCIES
O conjunto de pontos que satisfazem a equação de três variáveis:
é denominado superfície.
Exemplos:
1) A equação do plano:
2)
0 dczbyaxzyxF ),,(
0),,( zyxF
04 xzyxF ),,(
SUPERFÍCIES
O conjunto de pontos que satisfazem a equação de três variáveis:
é denominado superfície.
Exemplos:
1) A equação do plano:
2)
0 dczbyaxzyxF ),,(
0),,( zyxF
04 xzyxF ),,(
SUPERFÍCIES
Exemplos:
3) Superfície cilíndrica01222 222 yzxzzyx
SUPERFÍCIES
Exemplos:
3) Superfície cilíndrica
4) Superfície cônica
01222 222 yzxzzyx
SUPERFÍCIES
Exemplos:
3) Superfície cilíndrica
4) Superfície cônica
5)
Superfície quádrica ou simplesmente Quádrica
6) Superfície de revolução
7) Superfície regrada
01222 222 yzxzzyx
0222 JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx
A SUPERFÍCIE CILÍNDRICA
Considere C uma curva plana e L uma reta não paralela ao plano de C , o plano α.
A figura geométrica o espaço gerada por uma reta que se move paralelamente a L,
com pontos em C é a superfície cilíndrica.
A SUPERFÍCIE CILÍNDRICA
Considere C uma curva plana e L uma reta não paralela ao plano de C , o plano α.
A figura geométrica o espaço gerada por uma reta que se move paralelamente a L,
com pontos em C é a superfície cilíndrica.
A SUPERFÍCIE CILÍNDRICA
Considere C uma curva plana e L uma reta não paralela ao plano de C , o plano α.
A figura geométrica o espaço gerada por uma reta que se move paralelamente a L,
com pontos em C é a superfície cilíndrica.
A SUPERFÍCIE CILÍNDRICA
Considere C uma curva plana e L uma reta não paralela ao plano de C , o plano α.
A figura geométrica o espaço gerada por uma reta que se move paralelamente a L,
com pontos em C é a superfície cilíndrica.
C: Curva diretriz
L : reta geratriz
OBS
A SUPERFÍCIE CILÍNDRICA
Considere C uma curva plana e L uma reta não paralela ao plano de C , o plano α.
A figura geométrica o espaço gerada por uma reta que se move paralelamente a L,
com pontos em C é a superfície cilíndrica.
C: Curva diretriz
L : reta geratriz
OBS: Em superfícies cilíndricas estamos considerando a curva diretriz em um plano
coordenado, ou seja, plano xy, plano xz ou plano yz.
A equação cilíndrica cuja diretriz é a parábola
(situado no planos xy), cuja geratriz tem os parâmetros diretores (1,1,3).
A equação da superfície é:
A SUPERFÍCIE CILÍNDRICA
0 e 042 zyx
0123669 22 zyxzzx
A SUPERFÍCIE CÔNICA
Uma superfície cônica é a superfície gerada por uma reta que se move de maneira que
sempre passa por uma curva fixa dada e também por um ponto fixo dado não situado
no plano da referida curva.
A reta que se desloca é denominada geratriz.
A curva fixa dada é a diretriz.
O ponto fixo dado é o vértice.
Uma superfície cônica é a superfície gerada por uma reta que se move de maneira que
sempre passa por uma curva fixa dada e também por um ponto fixo dado não situado
no plano da referida curva.
A reta que se desloca é denominada geratriz.
A curva fixa dada é a diretriz.
O ponto fixo dado é o vértice.
A SUPERFÍCIE CÔNICA
A equação da superfície cônica cuja diretriz é a elipse
e cujo vértice é o ponto V(1,1,3).
A equação da superfície é:
SUPERFÍCIE CÔNICA
4 e 14 22 yzx
02077210296182491236 222 zyxyzxyzyx
Vimos que as seções cônicas são representadas por equação do se-
gundo grau nas variáveis x e y (parábola, hipérbole, elipse e casos dege-
nerados como pontos, um par de retas, retas e o conjunto vazio)
QUÁDRICAS
Vimos que as seções cônicas são representadas por equação do se-
gundo grau nas variáveis x e y (parábola, hipérbole, elipse e casos dege-
nerados como pontos, um par de retas, retas e o conjunto vazio)
No espaço tridimensional a equação geral do segundo grau é:
onde pelo menos um dos coeficientes A, B, D, E ou F é não nulo.
Uma superfície cuja equação é da forma (*) é denominada superfície
quádrica ou simplesmente quádrica.
QUÁDRICAS
(*) 0222 JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx
Vimos alguns exemplos:
cilindro circular reto,
superfície cilíndrica obliqua,
superfície cônica
QUÁDRICAS
0922 zx
0123669 22 zyxzzx
02077210296182491236 222 zyxyzxyzyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do elipsóide:
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
12594
222
zyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do elipsóide:
Exemplo:
Observe na figura o plano:
A curva de interseção é a elipse:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
12594
222
zyx
1x
1x
4
3
259
1x
4
1 - 1
259
2222 zyzy
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do elipsóide:
Exemplo:
Se
temos a esfera:
Exercício: Faça a esboço da superfície da esfera.
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
2222 Rzyx
Rcba
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do elipsóide:
Exemplo:
Se
temos a esfera:
Exercício: Faça a esboço da superfície da esfera.
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
2222 Rzyx
Rcba
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de uma folha :
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de uma folha :
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
12594
222
zyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de uma folha :
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
12594
222
zyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de uma folha :
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
12594
222
zyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de uma folha :
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
12594
222
zyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de uma folha :
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
12594
222
zyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de uma folha :
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
12594
222
zyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas :
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas :
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
12594
222
zyx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas :
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
12594
222
zyx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do hiperbolóide de duas folhas :
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
12594
222
zyx
nulos não e , , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do cone elíptico ou superfície cônica reta:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 02
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
nulos não e , , 02
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
nulos não e , , 02
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do cone elíptico ou superfície cônica reta:
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 02
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
02594
222
zyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do cone elíptico ou superfície cônica reta:
Exemplo:
Observe que a interseção do plano x=0
com a superfície resulta nas retas:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 02
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
02594
222
zyx
0
5
3- e
5
3
0
0259
22
x
zy
zy
x
zy
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do cone elíptico ou superfície cônica reta:
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 02
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
02594
222
zyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do cone elíptico ou superfície cônica reta:
Exemplo:
Observe que a interseção do plano x=0
com a superfície resulta nas retas:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 02
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
02594
222
zyx
0
5
3- e
5
3
0
0259
22
x
zy
zy
x
zy
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Forma canônica do cone elíptico ou superfície cônica reta:
Exemplo:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , , 02
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x
02594
222
zyx
Superfícies quádricas cêntricas :
1) superfície cilíndrica elíptica reta :
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , 12
2
2
2
cac
z
a
x
nulos não e , 12
2
2
2
cbc
z
b
y
nulos não e , 12
2
2
2
bab
y
a
x
Superfícies quádricas cêntricas :
1) superfície cilíndrica hiperbólica reta :
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , 12
2
2
2
cac
z
a
x
nulos não e , 12
2
2
2
cbc
z
b
y
nulos não e , 12
2
2
2
bab
y
a
x
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Dois planos distintos paralelos:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulo não , 12
2
bc
z
nulo não , 12
2
cb
y
nulo não , 12
2
aa
x
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Dois planos que se interceptam:
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e ,02
2
2
2
cac
z
a
x
nulos não e , 02
2
2
2
cbc
z
b
y
nulos não e ,02
2
2
2
bab
y
a
x
Superfícies quádricas cêntricas :
1) Não há solução: alguns exemplos
QUÁDRICAS
222 RCzByAx
nulos não e , 12
2
2
2
2
2
cbac
z
b
y
a
x,
nulo não , 12
2
cc
z
nulos não e , 12
2
2
2
bab
y
a
x
Superfícies quádricas não cêntricas :
1) Forma canônica do parabolóide elíptico:
QUÁDRICAS
22 SzByAx
nulos não e , , 2
2
2
2
SbaSzb
y
a
x
494
22
zyx
Superfícies quádricas não cêntricas :
1) Forma canônica do parabolóide hiperbólico:
Exemplo:
QUÁDRICAS
22 SzByAx
nulos não e , , 2
2
2
2
SbaSzb
y
a
x
294
22
zyx
Superfícies quádricas não cêntricas :
1) Forma canônica do parabolóide hiperbólico:
Exemplo:
QUÁDRICAS
22 SzByAx
nulos não e , , 2
2
2
2
SbaSzb
y
a
x
394
22 zyx
