Geometria Del Espacio

Moiss Villena Muoz

Geometra del Espacio

1. SUPERFICIE PRISMTICA Y PRISMA

2. SUPERFICIE PIRAMIDAL Y PIRMIDE 3. CUERPOS REDONDOS. 4. SLIDOS DE REVOLUCIN

Objetivos: Determinar reas de superficies. Determinar volmenes de slidos.

1

Moiss Villena Muoz


1. SUPERFICIE PRISMTICA Y PRISMA1.2 DEFINICIN

Suponga que se tiene una poligonal d y que se trazan rectas paralelas a una recta dada g siguiendo la poligonal; al conjunto de puntos que pertenecen a estas rectas se denomina SUPERFICIE PRISMTICA INDEFINIDA.

g

Pd

A la recta

g

se la llama generatriz y a la poligonal

d

directriz.

Observe que la superficie prismtica sera la frontera. En cambio PRISMA sera ya no considerar a la poligonal solamente sino a su regin interior tambin, es decir al polgono. Por tanto nos estaramos refiriendo al slido. Si consideramos la regin limitada entre dos planos paralelos tenemos un PRISMA DEFINIDO. Aqu surgen las siguientes definiciones. A los polgonos de los planos se los denomina BASE. Si g es una recta perpendicular a los planos que contienen a las base, tenemos un Prisma Recto definido. Caso contrario se lo llama Prisma Oblicuo. Nos dedicaremos al estudio slo de los Prismas rectos.

2

Moiss Villena Muoz


Base Superior

Cara Lateral

hArista

Base Inferior

Las definiciones que surgen para este cuerpo estn ilustradas en el dibujo anterior. La distancia entre las bases se denomina altura y se la denota con la letra h . 1.1 REA DE LA SUPERFICIE DE UN PRISMA. El rea de la base es el rea de una figura plana, por lo general un polgono, por tanto su calculo se lo realiza igual que en geometra plana. El rea de la superficie lateral, se la determinada hallando el rea de cada una de las caras laterales y luego habr que sumarlas. Si la base es un polgono entonces las caras laterales son rectngulos y si el polgono es regular bastar con hallar al rea de una cara y multiplicarla por el nmero de lados. El rea total ser igual a la suma del rea lateral con el doble del rea de una de las bases. Es decir:

ATotal = A Lateral +2 ABase1.2 VOLUMEN DE UN PRISMA. El volumen de todo prisma est dado por el producto del rea de una base por la altura. Es decir:

V = ABase h

3

Moiss Villena Muoz


Ejercicio propuestos 1.1. Se necesita construir una piscina como se indica en la grfica. Si el metro cbico de agua tiene un costo de 1 dlar Cunto gastara en llenar la piscina? = arctan10

6m 20m1m

2m

Resp. $150

2. SUPERFICIE PIRAMIDAL Y PIRMIDE Sea un polgono convexo. Sea V un punto tal que no pertenece al plano que contiene al polgono. Se denomina SUPERFICIE PIRAMIDAL O NGULO POLIDRICO al conjunto de puntos pertenecientes a semirrectas que tienen como origen a V y que intersecan a la poligonal del polgono.

V

d

4

Moiss Villena Muoz


Si las semirrectas intersecan a todo el polgono, tenemos una regin slida que se denomina Pirmide Indefinida. Si consideramos la regin superior de la superficie piramidal limitada inferiormente por un plano que la corta tenemos una Pirmide Definida o simplemente una pirmide de altura h, y si el pie de la altura de la pirmide equidista de los vrtices de la base tenemos una pirmide recta. Las definiciones se ilustran en la figura.

V

h

2.1 REA DE LA SUPERFICIE PIRAMIDAL La base es un polgono, igual que en los primas, por tanto el rea de esta superficie se la determina de la misma forma como ya se ha mencionado. El rea de la superficie lateral, se la determinada hallando el rea de cada una de las caras laterales y luego sumarlas. Si la base es un polgono entonces las caras laterales son tringulo y si el polgono es regular bastar con hallar al rea de una cara y multiplicarla por el nmero de lados. El rea total ser igual a la suma del rea lateral con el rea de la base. Es decir:

ATotal = A Lateral + ABase

2.1.1

VOLUMEN DE UNA PIRMIDE

El volumen de toda pirmide est dado por:

V=

1 ABase h 3

5

Moiss Villena Muoz


Ejercicio propuestos 21. Hallar el volumen de una pirmide triangular en la que todos sus lados y aristas tienen la misma longitud l . Resp. 2.V= 2 3 l 12

Determine el volumen del slido que se muestra en la figura:

aa

2a

Resp. 3.

V=

3 3 a 2

(

3 +1

)

Encuentre el rea de la superficie lateral de un tetraedro, cuyas caras laterales son congruentes, cuya apotema mide el triple de la arista de la base y la circunferencia circunscrita a la base mide 24 cm. Resp. A = 1944 cm 2 Un recipiente sin tapa tiene la forma de una pirmide regular invertida, donde su altura mide 3 pies y su base es un hexgono inscrito de una circunferencia de dimetro igual a 2 pies. Se desea pintar 100 de estos recipientes por dentro y por fuera, para lo cual se utilizar pintura donde con un galn se puede pintar 470 pies cuadrados. Determine la cantidad de galones de esa pintura que se necesitarn para pintar los 100 recipientes. 30 Resp. 39 gal. 47

4.

3. CUERPOS REDONDOS.3.1 CILINDRO. El cilindro es un prisma circular, es decir sus bases son crculos. Las dimensiones que lo definen es la medida del radio de su base y su altura.

6

Moiss Villena Muoz


La superficie lateral es un rectngulo, observe la figura:2r

Entonces, el rea de la superficie lateral sera:

ALateral = 2 rh

Y su rea total sera:

ATotal = 2 r 2 + 2 rh = 2 r ( r + h )2

Su volumen sera V = r h

3.2 CONO. El cono es una pirmide circular, es decir su base es un crculo

r

Las dimensiones que la definen es el radio de su base y su altura. La superficie lateral es un sector circular

g

2r

7

Moiss Villena Muoz


Llamando g a la GENERATRZ del cono, observe la figura anterior, el rea de la superficie lateral sera:

ALateral ==

1 2 g 2

Pero

1 2 2 r 2r entonces ALateral = g = rg g 2 g 1 2 r h 3

Su volumen sera: V =

3.3 SUPERFICIE ESFRICA

Sea C un punto del espacio y sea r un nmero positivo. La superficie esfrica es el conjunto de punto tales que su distancia a C es igual a r .

r

C

3.3.1 ESFERA.

La esfera, en cambio, es el conjunto de puntos tales que su distancia al centro es menor o igual a r .La Esfera entonces es la regin interior con su frontera. El rea de la superficie esfrica es: A = 4r Y su volumen es V =2

4 3 r 3

8

Moiss Villena Muoz


EjemploUn cono recto est inscrito en una esfera de radio R y centro O . Si el volumen y radio del cono es 12 cm 3 y 3 cm respectivamente. Halle el rea de la esfera.

R

O

SOLUCIN: Como el rea de la esfera es funcin del radio, entonces debemos encontrarlo. Llamemos h a la altura del cono y r al radio de la base del cono. El radio es dato del problema y la altura puede ser calculada debido a que nos proporcionan el valor del volumen del cono. 1 VC = r 2 h 3 1 12 = (3)2 h h = 4 3 Ahora observe la figura:

h

ROhRr

R

Aplicando El teorema de Pitgoras al tringulo

hRTenemos

R

rR 2 = r 2 + (h R )2 R 2 = r 2 + h 2 2hR + R 2 R= R= r 2 + h2 2h 32 + 4 2 25 = 2(4) 82

Finalmente625 25 AE = 4 = cm 2 16 8

9

Moiss Villena Muoz


3.4 CONO TRUNCADO Analicemos un tronco de cono.

g

h GH

rh= H hR

g= G g

Note que:

r h g = = R H G

Su volumen es:

V=

3

(R

2

+ Rr + r 2 )h Demustrelo!AL = (R + r )g Demustrela!

El rea de su superficie lateral es:

Ejercicios Propuestos 3.1. Una esfera est inscrita en un cono y la longitud del dimetro de la base del cono es igual a la longitud de la generatriz del mismo, los cuales miden 10 cm. Determine el 500 3 cm3 . volumen de la esfera. Resp. 27 2. Una esfera est situada dentro de un cilindro de manera que la altura y el dimetro del cilindro tienen la misma dimensin que el dimetro de la esfera. Determine la relacin entre el rea de la superficie esfrica y el rea de la superficie lateral del cilindro. Resp. 1. 3. En una esfera de radio r se tiene inscrito un cilindro de tal manera que el dimetro del cilindro es congruente con el radio de la esfera. Calcule la relacin entre el volumen del cilindro y el volumen de la esfera. 3 3 Resp. 16

10

Moiss Villena Muoz


4. Sean dos esferas concntricas, con la caracterstica de que la esfera externa se encuentra circunscrita a un cono cuya generatriz mide 3 cm., y es igual en longitud al dimetro de su base; la esfera interna est inscrita en el mismo cono. Determine el volumen del espacio entre las dos esferas. 7 Resp. 3 cm 3 . 2 32 3 5. Un globo esfrico contiene originalmente cm de aire. Luego de inflarlo ms, se 3 halla que su dimetro ha crecido 2 cm. Determine el volumen de aire que se increment. 76 Resp. V = cm 3 3 8 6. Un recipiente en forma de cono recto de 15 cm. de altura y radio r tiene sus 27 partes llenas de helado, determine la altura a del helado.

Resp. a = 10 7. En un cono circular recto donde el dimetro de la base y su altura miden 3m., se inscribe otro cono cuya altura mide 2m. de manera que l vrtice del cono inscrito coincide con el centro de la base del cono circunscrito. Determine el volumen del cono inscrito.m3 6 8. Dos esferas tangentes externamente tienen radios de longitud iguala 8 cm. y 12 cm. respectivamente. Las esferas estn situadas sobre la superficie lisa de una mesa. Determine la distancia entre los dos puntos de tangencia de las esferas con la mesa.

Resp. V =

Resp. d = 8 6 cm 9. Si la longitud del radio de un cono recto aumenta en un 25% y la longitud de su generatriz disminuye en un 60% , determine en qu porcentaje disminuye el rea de la superficie lateral del cono. Resp. 50% 10. En una caja cuya superficie corresponde a la de un paraleleppedo recto rectangular caben exactamente seis latas cilndricas de radio r . Cul es la razn entre el volumen de las seis latas juntas y el volumen de la caja?

Resp.

4

11

Moiss Villena Muoz

Geometra del Espacio 11. Una empresa necesita enlatar productos para exportacin. Los requerimientos son los siguientes: el envase debe ser cilndrico con una capacidad de 400 cm 3 y un dimetro de longitud igual a 15 cm . Si se desea colocar una etiqueta adhesiva que recubra la superficie lateral externa, cunto material deber utilizar en la elaboracin de 1000 latas. Resp.320000 2 cm 3

12. Se tiene una orden de trabajo de 1000 cojinetes de bronce, los mismos que tienen la siguiente forma:

5 cm

4 cm

Sabiendo que en el proceso de fundicin del bronce se tiene una prdida del 10% del material fundente, qu cantidad de bronce ( cm3 ) hay que considerar en la fundicin para obtener el nmero de cojinetes que se desean? Resp. 99000 cm3 13. Una esfera de radio r est inscrita en un prisma recto de base hexagonal, tal que la esfera es tangencial a cada una de las caras laterales y a las bases. Determine la razn entre el volumen de la esfera y el volumen del prisma Resp.3 9

14. Determine el volumen de la pieza de acero que se muestra en la figura:

8cm

8cm

2cm

2cm

4cm1cm

2cm

Resp. V = 4(40 ) cm 3

12

Moiss Villena Muoz


4 SLIDOS DE REVOLUCINLas figuras planas conocidas, como los tringulos, rectngulos y circunferencias, pueden ser giradas con respecto a un eje y se generan los slidos de revolucin. Estos slidos sern cuerpos redondos. Consideraremos slo ejes verticales u horizontales.

hrEjemplo 1.

h

r

Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin sombreada alrededor del eje y.y

3a2aa

a

2a

x

SOLUCIN: Observe que al hacer girar 360 la regin sombreada alrededor del eje y , se forma un slido compuesto de un cono con un cilindro y en su interior hay un vaco de una esfera.y

3a

2a

a

a

2a

x

13

Moiss Villena Muoz Por tanto: V = Vcono + Vcilindro Vesfera Entonces


4 1 4 1 V = a 2 a + (2a )2 (2a ) a 3 = a 3 + 8a 3 a 3 = 7a 3 3 3 3 3

Ejemplo 2Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin sombreada alrededor del eje indicado.

a

2aa

2aSOLUCIN: El slido generado est compuesto por un cilindro y un tronco de cono.

a

2aa

2a

Por tanto:V = a 2 a +

3

(a

2

7 10 + 2aa + (2a )2 a = a 3 + a 3 = a 3 3 3

)

Ejemplo 3x 4 x + y 6 Sea R una regin de 2 definida por x 0 y 0 Hallar el volumen del slido que se genera al girar R alrededor del eje: a) y b) x

14

Moiss Villena Muoz SOLUCIN: a) alrededor del eje y tenemos:y


6

x+ y=6x=4

2

2

4

6

x

El slido generado esta compuesto por un cono y un cilindro, entonces 160 1 V = Vcono + Vcilindro = (4)2 4 + (4)2 2 = 3 3 b) Alrededor del eje x tenemos:y

6

x+ y=6x=4

2

2

4

6

x

El slido generado es un tronco de cono, entonces:V=

((2) 3

2

+ (2)(6) + (6)2 (4) =

)

208 3

15

Moiss Villena Muoz


Ejercicios propuestos 41. Determine el volumen del slido que se genera al girar la regin sombreada alrededor del eje indicado.2cm

4cm

3cm

5cm

4cm

Resp. V = 2.

244 cm 3 3

En el trapecio de la figura, las longitudes de los segmentos AC y CE son respectivamente 2 m. y 1 m., la medida del ngulo CAB es . La figura es rotada 4 360 alrededor del eje PQ. Calcular el volumen, y el rea lateral del slido de revolucin generado.

Resp. 3.

26 m3 . 3

Al rotar una vuelta completa, la parte sombreada del grfico adjunto alrededor del eje PQ, encuentre el volumen del slido generado.

Resp.

64 2 u 3 . 3

4. Al rotar una vuelta completa, la parte sombreada del grfico adjunto alrededor del eje PQ, encuentre su volumen y su rea lateral del slido generado.

16

Moiss Villena Muoz


731 u3 . 12 5. Determine el volumen del slido generado al rotar la regin limitada por la semicircunferencia definida por la ecuacin x 2 + y 2 4 x 6 y + 12 = 0 , alrededor

Resp.

de la recta y = 3 .y 1 x y 2 x 6. Sea R la regin limitada por y 1 y 0

Resp. V =

4 3

Determine el volumen del slido de revolucin que se genera al rotar R alrededor del eje x = 2 . 7. Sea R la regin definida por R = (x, y ) R 2 / 0 y 5 x 2 x 4 . Determine el volumen del slido que se genera al rotar R alrededor de: a) eje x . b) la recta x = 4 26 28 Resp. a) V = b) V = 3 3 8. Sea la regin R = {( x, y ) R 2 / 0 x 6, y 0, x 2 y + 4 0, x + 2 y 12 0} .

{

}

Determine el volumen del slido que se genera al rotar R alrededor de la recta x = 6 . Resp. a) V =316 3

17

Documents

Geometria Del Espacio