Geometriai fázisok és spin dinamika

Geometriai fázisok és spin dinamika

Zaránd Gergely

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

VázlatVázlat

• Hogyan manipulálnak egyetlen spint?

• Mit ől relaxál egy spin?

Magspinek (hiperfinom kölcsönhatás)Elektromágneses tér fluktuációiGeometriai (Berry fázis) effektusok !!

• Lehet-e pusztán elektromos térrel manipulálni egy spint illetve spin áramot generálni?

• Van-e T=0 hőmérsékleten spin relaxáció?

A kísérleti technológia…A kísérleti technológia…

Mezoszkópikus áramkörök, kvantum pöttyökMezoszkópikus áramkörök, kvantum pöttyök

2D elektron gáz

GaAlAsGaAs

„Top” elektróda

elektronok

Mesterséges atomok és molekulák

Félvezető áramkörök:

Nanocsövek, vertikális dotok…

[Jarillo-Herrero et al., Nature 434, 484 (2005)] [Sasaki et al., PRL 93, 017205 (2004) ]

[Leo Kowenhoven weboldala]

Egy spin kiolvasásEgy spin kiolvasás

J. M. Elzerman, R. Hanson, et al. Nature 430, 431 (2004).

Egyetlen elektron spinje mérhető áramkörök segítségével!

Kvantum pöttyAkár egyetlen izolált elektron !

ionizációs enegriaPV

Két spin kvantummechanikai kontrolljaKét spin kvantummechanikai kontrollja

Coherent Manipulation of Coupled Electron Spins in Semiconductor Quantum DotsJ. R. Petta, et al. Science 309 2180 (2005)

Mit ől relaxál egy spin ?Mit ől relaxál egy spin ?

MagspinekMagspinek

Hiperfinom kölcsönhatás )ns100(mT1Bhf ≈

A központi spin probléma:

• majdnem statikus spin• spin echo technikával kezelhető

[Khaetskii, Loss, Glazman, 2002]

)SgSg(BSJSHi

ziNN

zcBeli

iic ∑∑ µ+µ−⋅−=rr

elektron spin magspin2

ihfi |)r(|A~Jr

ϕ

610~N

(Egzaktul megoldható Richardson magmodellje)

Fonon -indukálta relaxációFonon -indukálta relaxáció

Piezoelektromos fononok + spin-pálya csatolás[Khaetskii, Nazarov (2001); Golovach, Khaetskii, Loss (2004); Stano, Fabian (2005)]

0B =

SO*

2

0 H)r(Vm2

pH ++=

r

r

σ⋅µ− r

r

B2

g B )t(Vδ+elektromos tér

Fluktuációi (fononok)Spin-pálya

csatolás

Kramers degenerált spin-textúrák: ⇓⇑ ,

0V =⇓δ⇑

0B ≠

(időtükrözés)

B~V ⇓δ⇑0B ≠

321 BB~T/1

• Mi történik, ha ?

• Milyen m ás relaxációs forrás van ?

0B →

Amasha et al., PRL 2008

• Létezik T=0 h őmérsékleten spin relaxáció

Kérdések:

Berry fázis indukálta relaxáció

Ohmikus fluktuációk

Igen ???

Teljes a kép?Teljes a kép?

Berry fázis két dimenzióban, szemiklasszikus képBerry fázis két dimenzióban, szemiklasszikus kép

Vigyük körbe az elektront!

)(2

2

yxxy vvmm

pH σσα −+=

r

xl

yl0B0v y,effx ≠→≠

A ciklus utáni forgatás:2/i

xyxyzeUUUUU σδϕ++ ≈=

2SO/A8 λδ=δϕ

(síkra mer őleges elektromos tér)

x

y

0B0v x,effy ≠→≠Aδ

2D elektrongáz Rashba kölcsönhatás

2/2 yx mlix eU σα−=

2/2 xy mliy eU σα=

Arányos az irányított területtel!

)m/1~( SO αλ

σ⋅× r

r

r

)Ep(~VSO

Bezárt elektron fluktu áló klasszikus térbenBezárt elektron fluktu áló klasszikus térben

Lassú fluktuációk:

EM fluktuációk

(fononok, töltés fluktuációk)

K+⋅δ−⋅δ−=δ y)t(Eex)t(Ee)t(V yx

∑ ⋅=δk

kk O)t(X)t(V

(energiaszintek távolságához viszonyítva lassú)

SO*

2

0 H)r(Vm2

pH ++=

r

r

σ⋅µ− r

r

B2

g B )t(Vδ+

Formálisan:

B=0 adiabatikus közelítésB=0 adiabatikus közelítés

Az elektron minden pillanatban a Kramers-degeneráltalapállapotban van:

nem-ábeli Berry fázis

))t(X()t(a))t(X()t(a)t(rr

↓↓↑↑ Φ+Φ≈Ψ

'eff

' a)t(Hdt

dai σσσ

σ = )X(dt

)X(di)0B(H t'

teff'

r

r

σσ

σσ φφ−==

))t(E()t(X y,xδ↔r

Pillanatnyi alapállapoti dublett

Perturbatív számításPerturbatív számítás

)t(EXrr

δ=

( )∑σ≠ σ

↑↑

ε−ε−=

n2

n

,nn,2yx

eiC

zeffeff )t(B)t(H σ=

Elektromos tér:

)(tE xδ

)(tE yδ

dt/dA~Cdt

EdEE

dt

Ed)t(B y

xyx

eff

δδ−δδ=

Fluktuációk

Véletlen területarányos spin forgatás

RELAXÁCIÓ E. Abrahams, Phys. Rev. 107, 491 1957 !

Adiabatikus közelítés: Adiabatikus közelítés:

Újrafelösszegezzük az S-mátrixot:

0≠B

egy ‘foton’Statikus két ‘foton’,

Van Vleck cancellation

Berry fázis tag

])(Vdiexp[T)t(Ut

t ∫ τδτ−=

Ohmikus fluktuációkFononok

A környezetre vonatkozó információ a s pektrálfüggvényben van rejtve

)(E ωρδ

Például Berry fázis tag járuléka:

Kvantum tárgyalás (pályaintegrál, korrespondencia e lv)

3ph0ph x)( ωλ=ωρ

T,Bmax~T/1 99Berry T,Bmax~T/1 55

Berry

T,BmaxB~T/1 2foton1−

T,BmaxB~T/1 4foton1−

ωλ=ωρ ΩΩ )(

[P. San-Jose, G.Z., A. Shnirman, and G. Schon, PRL 97, 076803 (2006)]

Tisztán kvantumos tárgyalásTisztán kvantumos tárgyalás

Dyson egyenlet :

Térelmélet a redukált s űrűségmátrixra a Keldysh kontúron:

Mozgásegyenlet:

]H),t(~[i ZDρ

Ezek tartalmazzák a Berry fázis járulékot

[P. San-Jose, B. Scharfenberger, G. Schön, A. Shnirman, and G.Z. PRB 77, 045305 (2008)]

RelaxációRelaxáció

„geometriai relaxáció”

Fémes elektródák hatása?

Geometriai relaxáció picike… Megfigyelhető ???

Fémes elektródák

• p-típusú kvantum dotok ! Gerardot et al, Nature 2008M.Trif, P. Simon, D. Loss, PRL 103, 106601 (2009)

2-foton 1-foton

• picit nagyobb kvantum dotok.

[P. San-Jose, B. Scharfenberger, G. Schön, A. Shnirman, and G.Z. PRB 77, 045305 (2008)]

Lehet-e ilyen geometriai effektusokat használni?Lehet-e ilyen geometriai effektusokat használni?

Két-dot rendszerbeli spin transzferKét-dot rendszerbeli spin transzfer

~ egzaktul kiszámítható

0SO x>>λ Messzire kell mozgatnunk az elektront

Hamilton operátor (szimmetriák):alagutazás

aszimmetria

d

SO/d~ λForgatás szöge

Spin-pumpálás mezoszkópikus áramkörökbenSpin-pumpálás mezoszkópikus áramkörökben

Csak elektródákat használva pumpálható-e adiabatikusan spin ?

[Sharma and Brouwer, PRL 91, 166801 (2003).]

=

RRRL

LRLL

rt

trSSzórási mátrix:

=Λ

00

0IdLL

Kaotikus üreg:

Véletlen terekPumpált spin pici…

Lehet kontrolláltan, rezonancián keresztül?Lehet kontrolláltan, rezonancián keresztül?

[V. Brosco et al. (preprint)]

Aszimmetrikus dotszimmetrikus dot

Relaxál a spin T=0 hőmérsékleten?Relaxál a spin T=0 hőmérsékleten?

Elektron a gyElektron a gyElektron a gyElektron a gyűrrrrűnnnnElektron a gyElektron a gyElektron a gyElektron a gyűrrrrűnnnn

Hamilton operátor

Rashba Dresselhaus

r2

rδ

Határeset : finite,0 rr →δ

legalacsonyabb radiális móduson mozog

Egyszer ű modell: Elektron gy űrűn, ohmikus (Caldeira Leggett) fluktuációkhoz csatolva

Túl sok közelítést tettünk (Markov folyamat, perturbat ív tárgyalás)

Radiális beszorítás:

Tangenciális tagok:

szögfüggő effektív Hamilton operátorszögfüggő effektív Hamilton operátor

Effective Hamilton operátor:

• Szögfügg ő effektív tér:

• Megmaradó mennyiség:

Analítikusankiszámítható

Radiális módus

∑≠ −

−=ϑ0n 0n

'''

ring EE

0HnnH00H0)(H

• Független a bezáró potenciáltól!

[P. San-Jose, B. Scharfenberger, G. Schön, A. Shnirman, and G.Z. PRB 77, 045305 (2008)]

Elektromos fluktuációkElektromos fluktuációk

Mozgásegyenlet:

Helykoordináta:

Spin és szétcsatolódnak !!!θ

Spin:

„geometrikus” spinfejl ődés

)ˆ)(( 0 zhh ≈θr

Fluktuációk, pl.),(V)(H)(H ringring ξθ+θ→θ

)sin()cos(),(V yx θξ+θξ=ξθ

Nem egyensúlyi pályaintegrál Nem egyensúlyi pályaintegrál

kezdeti s űrűségmátrix

kiszámítható

×θ∫θ∫θ∫θ∫θ∫=ξ

ξθ−ξθ−

θ

θ+

θ

θ

π−

∞

∞−

+∞

∞−

α −−++

−+

]),[S],[S(it

2

000 eDDddd)t(S

t

0

t

0

( ) )(qi)(qitGt

*GGGparticle

G,G

t0t0 ee)(S)()( θ−θ−θ−θα −−

++

+−−+

−+

θΨθΨρ× ∑

Effektív hatás(spinfüggetlen)

Spin-pálya momentum

Merre mutat a spin idő után?

Alapállapotispinor

Végső kérdés:

t

???0e ti t → ∞→

ξ

θρ

Csillapodik-e a spin?Csillapodik-e a spin?

Imaginárius id őben:

2

22

)'(

))'()((sin'dd

M2d)]([S

τ−ττθ−τθττη+θτ=τθ ∫∫∫

&

Valós id őben?

Valószín űleg igen !!!

[H. Spohn and W. Zwerger, J. Stat. Phys. 94, 1037 (1999)]

2)'(

1~)'(cos)(cos

τ−ττθτθ

• szemiklasszikus számítás• pszeudofermionok• renormálási csoport

Nem tudjuk még Biztosan…

KonklúzióKonklúzió• A spin relaxációt egy geometriai effektus adja esetén

• Rezonáns spin pumpálás spin-pálya kölcsönhatás felh asználásával

0B →Nagy és p-típusú kvantum dotoknál jelentősOhmikus fluktuációk szerepe

• Algebrai spin relaxáció a gy űrűn ? 0=T

Pablo San-Jose (Lancester), Sasha Shnirman, Gerd Schön (Karlsruhe)

Valentina Brosco (Roma)Pablo San-Jose (Lancester), Sasha Shnirman, Gerd Schön (Karlsruhe)

Baruch Horvitz (BerSheva), Pierre Le Doussal (Ecole Normale)