Embed Size (px)
DESCRIPTION
Geometry and trigonometry
Citation preview
Univerzitet u Beogradu
Matematicki fakultet
Metodika nastave matematike 1
Trigonometrijske funkcije
Student:
Miroljub Spasic
Profesor:
Gojko Kalajdzic
2008.
Pisano u LATEX-uCrtezi uradeni koriscenjem GCLC paketa. (http://www.matf.bg.ac.yu/~janicic/gclc/)
1
Uvod
Trigonometrija (lat. trigonon - trougao, metron - mera) je deo matematike koji izucavazavisnost izmedu strana i uglova trougla (trigonometrija u uzem smislu), a takode i osobinetrigonometrijskih funkcija i vezu medu njima (goniometrija). Sam naziv trigonometrija asocirana operacije s trouglovima. U pocetku je za cilj imala izracunavanje vrednosti svih elemenatajednog trougla (visine, tezisnih duzi, simetrala, poluprecnika, povrsine i uglova) pomocu podatakadovoljnih za odredivanje trougla. Njen prvobitni cilj je danas prevaziden, pa je njena osnovnauloga izracunavanje trigonometrijskih funkcija.
1.1 Istorija trigonometrije
Poceci trigonometrije leze u svetu astronomije.Prvi koreni trigonometrije su nadeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije pre skoro 4000
godina. Egipatski papirus Rind (oko 1650. p.n.e.) sadrzi probleme sa odnosima stranica trouglaprimenjenim na piramide. Egipcani i Vavilonci nisu imali nase shvatanje mere ugla, a relacije togtipa su smatrali osobinama trouglova, pre nego samih uglova.
Prve primene trigonometrijskih funkcija bile su vezane za tetivu kruga (Slika 1.1) i za poimanjeda je njena duzina razapeta nad datim uglom x = 2α bila (u danasnjoj terminologiji) 2 sinα. Grckiastronom i matematicar Hiparh sracunao je prvu poznatu tablicu tetiva 140. godine p.n.e. Njegovrad je bio dalje razvijen od strane astronoma Menelaja (oko 100. godine n.e.) i Ptolemeja (oko100. godine n.e.), koji su se oslanjali na vavilonska posmatranja i tradiciju.
O
B
A
CMα
r
Slika 1.1
Vavilonski i grcki uticaji u zajednici s bogatom zbirkom sopstvenih matematickih dostignucadoveli su do nastanka trigonometrije bliske danasnjoj formi u Indiji oko 500. godine n.e. Hindumatematicar Arjabata (Aryabhata) 499. god. pravi tablice polovina tetiva, poznatih pod imenomdja-arda (jya-ardha) ili samo dja (jya). One su u sledecoj vezi s modernim pojmom sinusa: jya x= r sinα. Na slici 1.1 dja (AM) predstavlja polovinu tetive AB.
1.1 Istorija trigonometrije 2
S indijskim pojmom sinusne funkcije bivaju upoznati Arapi tokom 8. veka n.e., kod kojih setermin dja prepisuje kao diba (jiba) ili dib (jyb). Latinski prevodi sa arapskog pogresno uzimajuovaj termin kao arapsku rec dejb (jaib), s jednim od mogucih znacenja otvora na zenskoj odeci okovrata. Sledstveno tome, dejb biva preveden kao latinska rec sinus”, jer ona moze da predstavljaprevoj na odeci, grudi, zaliv, ili cak krivinu. Tako trigonometrija ulazi u Evropu tokom XII veka.
Trigonometrijske funkcije, tangens i kotangens, razvile su se iz proucavanja duzina senki kojebacaju objekti razlicitih visina. Tales sa Mileta je oko 600. godine p.n.e. koristio duzine senkikako bi izracunao visine piramida. Kako indijska tako i arapska matematika su obe razviletrigonometrijsku tradiciju zasnovanu na duzinama senki, koje su s druge strane ostvarile uticaj naevropsku matematiku.
Funkcije sekans i kosekans su izvedene iz tablica koje su koristili pomorci tokom XV veka.Rec trigonometrija se prvi put pojavila kao naslov knjige ”Trigonometria”(doslovce, merenje
trouglova) objavljene od strane Bartolomea Pitiskusa (Bartholomeo Pitiscus) 1595. godine.
2
Trigonometrija pravouglog trougla
2.1 Trigonometrijske funkcije ostrog ugla
Neka je trougao ABC pravougli, kod koga je ugao kod temena C prav (slika 2.1). Stranicenaspram ostrih uglova (CA i CB) nazivaju se katete, a stranica naspram pravog ugla (AB)hipotenuza. Neka je a duzina katete CB, b duzina katete CA i c duzina hipotenuze AB. Neka jeα mera ugla CAB i β mera ugla CBA u stepenima. Mera ugla ACB je 90◦.
B
C A
C′
B′
A′
a
a′
c
c′
b
b′
.
.
β
β
α
α
C1
B1
C2
B2
C3
B3
C4
B4
Slika 2.1
Neka je trougao A′B′C′ (Slika 2.1) pravougli sa pravim uglom u C′ i uglom CAB = α. Kakosu pravougli trouglovi sa jednakim ostrim uglom medusono slicni (i obratno), trougao ABC jeslican trouglu A′B′C′. Za slicne trouglove vazi i da su im odgovarajuce stranice proporcionalne.To znaci da je kod trouglova ABC i A′B′C′ kolicnik naspramne katete ugla α i hipotenuze jednak.Vazi:
a
c=
a′
c′
Neka su, dalje, u trouglu ABC tacke B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3, C4 takve da su uglovi ACiBi
(i = 1, 4) jednaki uglu ACB, tj. neka su ovi uglovi pravi (Slika 2.1). Trouglovi A1B1C1, A2B2C2,
2.1 Trigonometrijske funkcije ostrog ugla 4
A3B3C3, A4B4C4, ABC su slicni medusobno. Neka su ai, bi duzine odgovarajucih kateta i ci
duzina hipotenuze trougla AiBiCi (i = 1, 4). Tada je i:
a1
b1=
a2
b2= · · · =
a′
b′=
a
b
Slicno je i sa kolicnikom nalegle katete i hipotenuze, kao i sa kolicnikom kateta. Odnosi su nemenjaju ukoliko se ne menja ugao α. Dakle, u pravouglom trouglu ABC kolicnici a
c, b
c, a
b, b
asu
zavisni od ugla α, tj. oni su odredjene funkcije ugla α, tzv. trigonometrijske funkcije ostrog uglai mogu se imenovati.
Definicija 1. Trigonometrijske funkcije ostrog ugla
1. Broj ac
zove se sinus ugla α i obelezava se sin α, sin α = ac.
2. Broj bc
zove se kosinus ugla α i obelezava se cosα, cosα = ac.
3. Broj ab
zove se tangens ugla α i obelezava se tg α, tg α = ac.
4. Broj ba
zove se kotangens ugla α i obelezava se ctg α, ctg α = ac.
Ovim su definisane cetiri nove funkcije: α → sin α, α → cosα, α → tg α, α → ctg α, ciji sudomeni brojevi koji su velicine svih ostrih uglova. Kako je kateta pravouglog trougla uvek manjaod hipotenuze i na osnovu definicije lako se zakljucuje da za bilo koji ostar ugao α vaze sledecenejednakosti:
0 < sin α < 1, 0 < cosα < 1, 0 < tg α, 0 < ctg α. (1)
pa je kodomen funkcija sin i cos interval (0,1) , a za funkcije tg i ctg (0,∞)
OA B
C.
α β
C1.
Slika 2.2
Neka su α1 i α2 uglovi iz domena funkcije sin. Onda iz sinα1 = sinα2 ⇒ a1
c1= a2
c2se dobija da
su i uglovi α1 = α2 pa je sin injektivna (”1-1”) funkcija. Slicno se dobija da su i ostale funkcije(cos , tg , ctg) injektivna preslikavanja. Ako je m realan broj, takav da je 0 < m < 1 i sin α = m,m = a
c, a = mc, postoji ugao α (ostar ugao pravouglog trougla, sa katetom a i hipotenuzom c,
naspram katete a) za koji je sinα = m, pa je funkcija sinα i surjektivna (”na”) na svom intervalu.Takode su i ostale funkcije surjektivne. Trigonometrijske funkcije pravouglog trougla su bijekcije.
Ove funkcije su i monotone i to sin i tg su rastuce, a cos i ctg opadajuce. Neka je ∠BAC1 = α1,tada je α > α1 i BC > BC1 (vecem periferijskom uglu odgovara i veca tetiva(Slika 2.2)). Kako jesin α = BC
AB, sin α1 = BC1
AB, onda je i sinα > sinα1. Slicno se pokazuje da je cosα < cosα1, ctg α <
ctg α1. Dakle,
α < α1 ⇒ sin α < sin α1, cosα > cosα1, tg α < tg α1, ctg α > ctg α1 (2)
2.2 Vazniji trigonometrijski identiteti 5
2.2 Vazniji trigonometrijski identiteti
Osnovni trigonometrijski identitet
Teorema 1. Ako je 0◦ < α < 90◦, onda je:
sin2 α + cos2 α = 1 (3)
tg α =sin α
cosα(4)
tg α · ctg α = 1 (5)
Dokaz. Neka je α ostar ugao pravouglog trougla cija je naspramna kateta a, nalegla kateta b, ahipotenuza c. Iz Pitagorine teoreme dobijamo (a
c)2 + ( b
c)2 = 1, odakle se, stavljajuci a
c= sin α
i bc
= cosα dobija (3). Na osnovu defincije 1 se dobija
tg α =a
b=
acbc
=sin α
cosα
kao i
tg α ctg α =a
b· b
a= 1
Primer 1. Trigonometrijske funkcije ugla od 45◦
A B
D C
d
Slika 2.3
U kvadratu ABCD, gde je AB = a (Slika 2.3), iz Pitagorine teoreme se dobija duzina dijagonale
d = AC, d = a√
22 . Ugao ∡BAC = 45◦. Iz pravouglog trougla ABC, na osnovu definicije
trigonometrijskih funkcija dobijaju se vrednosti:
sin 45◦ =
√2
2, cos 45◦ =
√2
2, tg 45◦ = 1, ctg 45◦ = 1,
H
2.2 Vazniji trigonometrijski identiteti 6
Trigonometrijske funkcije komplementnog ugla Ugao α je komplementan uglu β (i obratno)ako je α + β = 90◦. Ovo znaci da su ostri uglovi u pravouglom trouglu medusobno komplementni.Zato vazi i sledeca:
Teorema 2. Za svako α, 0 < α < 90◦ vazi‘:
sin(90◦ − α) = cosα, cos(90◦ − α) = sin α (6)
tg(90◦ − α) = ctg α, ctg(90◦ − α) = tg α (7)
2
Primer 2. Vrednosti trigonometrijskih funkcija za uglove od 30◦ i 60◦
A BD
C
h
Slika 2.4
U jednakostranicnog trouglu ABC sa stranicom duzine a i visinom CD (Slika 2.4), primenom
Pitagorine teoreme se dobija da visina CD ima duzinu h = a√
32 , pri cemu je ugao ∡ACD = 30◦,
pa se na osnovu definicije 1 dobijaju i vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao cija je mera30◦:
sin 30◦ =1
2, cos 30◦ =
√3
2, tg 30◦ =
√3
3, ctg 30◦ =
√3
Kako su uglovi 30◦ i 60◦ komplementni, na osnovu Teoreme 2, za ugao 60◦ se dobija:
cos 60◦ =1
2, sin 60◦ =
√3
2, ctg 60◦ =
√3
3, tg 60◦ =
√3
H
U sledecoj tabeli date su vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih brojeva:
0 π6
π4
π3
π2
sin 0 12
√2
2
√3
2 1
cos 1√
32
√2
212 0
tg 0√
33 1
√3 −
ctg −√
3 1√
33 0
3
Ugao
3.1 Jedinicna kruzna linija
Neka je u ravni Π zadat Dekartov pravougli koordinatni sistem sa koordinatnim pocetkom Oi medusobno normalnim jedinicnim vektorima ~i i ~j, pri cemu se vektor ~j dobija rotacijom okozajednickog pocetka O u pozitivnom smeru (smer suprotan od smera kazaljke na satu) vektora~i.
Ako tacka M pripada ravni Π, onda vektor ~OM nazivamo vektorom polozaja tacke M . Ako je~OM = x~i + y~j, onda x i y zovemo koordinatama tacke M i pisemo M(x, y).
x
y
O
M(x, y)
(1, 0)(x, 0)
(0, y)
~i
~j
Slika 3.1
Teorema 3. Jednacina kruzne linije u Dekartovom pravouglom sistemu xOy, u ravni Π, poluprecnika1 i sa centrom u O je:
x2 + y2 = 1 (1)
Dokaz. Neka je k(O, 1) kruzna linija u ravni Π sa centrom u O i poluprecnikom 1 i tacka M(x, y).
Kruzna linija k je skup svih tacaka koje su na rastojanju 1 od O, a rastojanje d(O, M) = | ~OM | =√
x2 + y2, pa tacka M(x, y) pripada kruznoj liniji ako i samo ako je d(O, M) = 1.√
x2 + y2 = 1 tj. x2 + y2 = 1
3.2 Radijanska mera ugla 8
3.2 Radijanska mera ugla
O
r
r
rk
Slika 3.2
U ranijim matematickim izucavanjima,stepen je bio glavna mera ugla. Prav ugao jeugao koji iznosi 90◦, mera opruzenog ugla je180◦ i mera punog ugla je 360◦.
Broj 360 uzet kao mera punog kruga jerima dosta delioca (2,3,4,5,6,8,...), krug se delina delove koji se lako mogu meriti celimbrojevima, ili zato sto je 360 je priblizno jednakbroju dana u jednoj astronomskoj godini (365).
Medutim, nova mera ugla, koja se najcescekoristi u trigonometriji, je radijan. Radijanje lucna mera ugla tj. merenje radijanom jemerenje lukom. Slika (3.2)
Definicija 2. Neka je k(O, r) kruzna linijapoluprecnika r. Mera centralnog ugla kojiodgovara luku duzine r te kruzne linije je jedanradijan.
Kako je obim kruga jednak 2rπ, jasno je dapun ugao ima 2π radijana, kao i da je mera u stepenima ugla od jednog radijana:
1rad = (360◦
2π) ≈ 57◦17′45′′
3.3 Pojam kruznog luka
x
y
A
B
Ok
Slika 3.3
Neka su ravni xOy k jedinicna kruznalinija sa centrom O i AB duz duzine 2π uuzajamnom polozaju kao na slici (Slika 3.3) ineka je orijentacija duzi u smeru od A premaB i orijentacija kruzne linije pozitivna (smersuprotan od smera kretanja kazaljke na satu).
Duzina duzi AB jednaka je duzini kruznelinije k. Obavijanjem duzi AB sa fiksiranimpocetkom u A, bez istezanja i sakupljanja duzse moze namotati na krug pri cemu ce se tackaA poklopiti sa tackom B. Ako se pretpostavida tacka B ne pripada odsecku AB dobija sepreslikavanje
φ : [0, 2π) → k, φ(t) = Ft
gde je t duzina duzi AF , a duzina kruznog luka AFt jednaka t. Dakle, pozitino orijentisani ugao∡AOF ima radijansku meru t radijana.
Ako na kruznoj liniji k treba da predemo iz tacke A u tacku P, koje su tacke kruzne linije,u pozitivnom smeru, to znaci da se prelazi pozitivno orijentisani kruzni luk AP, duzine l, kruznelinije k, ali se, takodje moze i obici kruznica m broj puta (m ∈ N) u pozitivnom smeru, a zatim ipozitivno orijentisani luk AP .
Svaki od ovako dobijenih puteva je uopsteni kruzni luk kruzne linije k od tacke A do P upozitivno orijentisanom smeru.
Duzina uopstenog kruznog luka jednaka je 2πm + l.Uopsteni kruzni luk u negativno orijentisanom smeru je putanja iz tacke A u P u negativno
orijentisanom smeru, kao i svako od od kretanja iz A u P u za duzinu kruzne linije uz negativno
3.4 Uopstenje pojma ugla 9
orijentisani luk AP linije k i njegova duzina je 2nπ + l gde je l duzina negativno orijentisanogkruznog luka AP i n ∈ N.
x
y p
AOk
Slika 3.4
Za dva orijentisana luka kruga k kazemo dasu jednaka, ako i samo ako imaju istu duzinu iistu orijentaciju.
Dva isto orijentisana luka se nadovezuju akose kraj prvog i pocetak drugog luka poklapaju.Nadovezivanjem vise pozitivno (negativno)orijentisanih lukova nastaju pozitivno (negativno)orijentisane putanje na krugu k.
Putanja je potpuno odredena ako jepoznata njena pocetna tacka, duzina iorijentacija, te ne zavisi od nacina na koji jesastavljena.
Neka je u ravni xOy k jedinicna kruznalinija sa centrom O i neka je p prava u toj ravnikoja sadrzi tacku A(1, 0) i normalna je na osuOx (Slika 3.4). Neka je p osa realnih brojeva sapocetkom A cija se orijentacija i jedinica merepoklapaju sa osom Oy.
Tacka T (1, t), t ∈ R podgovara uopsteni kruzni luk duzine t i to ako je t > 0 pozitivnoorijentisan, a ako je t < 0 negativno orijentisani. Broju t = 0 odgovara tacka A. Na ovajnacin definisano je preslikavanje
φ : R → k
skupa R na jedinicnu kruznu liniju. ovo preslikavanje nastaje obavijanjem brojevne prave okokruga i to bez istezanja i skupljanja. Tako je npr. φ(0) = (0, 0), φ(π
2 ) = (0, 1), φ(−π) = (−1, 0)
Primer 3. Odrediti na jedinicnoj kruznoj liniji realnih brojeva koordinate tacke koja se dobijapreslikavanjem φ(t) gde je t = 3π
2
Pri preslikavanju φ(3π2 ) dobija se kruzni luk cija je duzina jednaka 3π
2 pa se dobija tackaP (0,−1)
H
3.4 Uopstenje pojma ugla
Neka je u ravni xOy k jedinicna kruzna linija sa centrom O i A(1, 0)Rotacijom Dekartove ravni xOy, u bilo kom smeru za neki ugao α, α < 360◦ tacka A opisace
kruzni luk duzine t, gde je t radijanska mera ugla α. Pri rotaciji za α + m · 360◦ tacka prolaziuopsteni kruzni luk duzine t, a osa Ox m puta sve tacke ravni i dalje do polozaja OA′ gde je A′
zavrsni polozaj tacke A. Duzina kruznog luka AA′ odreduje ugao.Uopsteni kruzni luk jedinicne kruzne linije odreduje uopsteni centralni ugao te kruzne linije i
njegova mera je realan broj koji odreduje odgovarajuci uopsteni kruzni luk.
4
Trigonometrijske funkcije ma kog
ugla
4.1 Definicije trigonometrijskih funkcija ma kog ugla
Definicija 3. Neka je u ravni dat Dekartov pravougli koordinatni sistem xOy i neka je k jedinicnakruzna linija sa centrom u tacki O i na njoj tacka Ft(x, y) takva da je φ(t) = Ft (Slika 4.1). Apcisax tacke Ft je kosinus (cos t = x), a ordinata sinus (sin t = y) realnog broja t (uopstenog ugla t)
x
y
A
B
OC
D
k
Ft(x, y)
X(x, 0)
Y (0, y)
Slika 4.1
Kako je jednacina jedinicne kruzne linijek, x2 + y2 = 1, a tacka Ft(cos x, sin x) pripadak, dokazana je
Teorema 4. Za svaki realan broj t je
sin2 t + cos2 t = 1 (1)
2
(1) je osnovna trigonometrijska identicnostIz nje neposredno sledi ogranicenost kosinusa isinusa
−1 ≤ cosx ≤ 1 (2)
−1 ≤ sin x ≤ 1 (3)
Primer 4. Odrediti cos i sin uopstenog ugla3π2
Kako je φ(3π2 ) = A(0,−1) dobija se cos 3π
2 = 0 i sin 3π2 = −1
H
Definicija 4. Neka je t realan broj i cos t 6= 0. Tangens broja t, (tg t) je kolicnik
tg t =sin t
cos t(4)
Neka je t realan broj i sin t 6= 0. Kotangens broja t (ctg t) je kolicnik
ctg t =cos t
sin t(5)
Iz definicije tangensa i kotangensa dobija se
4.2 Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija 11
Teorema 5.
tg x ctg x = 1 (6)
2
Primer 5. Odrediti tg i ctg broja 3π4
φ(3π4 ) = A(−
√2
2 ,√
22 ) i onda je tg 3π
4 =sin 3π
4
cos 3π
4
= −1, a na osnovu Teoreme 5 se dobija i ctg = −1
H
4.2 Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija
4.2.1 Periodicnost i parnost funkcija kosinus i sinus. Svodenje na prvi
kvadrant
Definicija 5. Za realnu funkciju f : Df → R, Df ⊆ R kazemo da je periodicna na domenu Df
ako postoji realan broj T, T 6= 0 takav da za sve t ∈ Df vazi:
t + T ∈ Df , t − T ∈ Df , f(t + T ) = f(t).
Broj t se zove period funkcije f , a najmanji pozitivan period (ukoliko postoji) zove se osnovniperiod.
Teorema 6. Broj 2π je osnovni period funkcija sin i cos
Dokaz. Kako jeφ(t + 2π) = φ(t − 2π) = φ(t)
dobija se da je 2π period kosinusa i sinusa. Neka je 0 < T < 2π osnovni period sinusa. Onda je:sin T = sin(0 + T ) = sin 0 = 0 Kako je sin2 T + cos2 T = 1 dobija se cosT = 1 , a to je moguceza T = 2kπ (k ∈ Z), a takvo T ne pripada datom intervalu, pa je T = 2π osnovni period sinusa.Slicno se dokazuje za cos
Definicija 6. Funkcija f : Df → R, Df ⊆ R je:
1. parna, ako je za svako t ∈ Df ispunjeno −t ∈ Df i f(−t) = f(t),
2. neparna, ako je za svako t ∈ Df ispunjeno −t ∈ Df i f(−t) = −f(t).
Teorema 7. Kosinus je parna, a sinus neparna funkcija.
Dokaz. Neka je t ∈ R i neka je P tacka jedinicne kruzne linije realnih brojeva data sa φ(t) = P .Onda je tacka φ(−t) = Q simetricna tacki P u odnosu na apcisu. (Slika 4.2). Tacke P (cos t, sin t)i Q(cos(−t), sin(−t)) imaju jednake apcise pa je
cos(−t) = cos t
sto znaci da je kosinus parna funkcija. Kako je | sin t| = | sin(−t)|, a ordinate su suprotnog znakadobija se
sin(−t) = − sin t
4.2 Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija 12
x
y
O
P
Q
Slika 4.2
Neka je t ∈ R i neka je P tacka jedinicnekruzne linije realnih brojeva data sa φ(t) = P .Onda je tacka Q = φ(t + π) simetricna tackiP u odnosu na koordinatni pocetak, njenaapcisa i ordinata je suprotnog znaka od apcisei ordinate tacke P , a jednake su po apsolutnojvrednosti.
P (cos t, sin t), Q(cos(t + π), sin(t + π))
pa za svaki realan broj t vazi
cos(t + π) = − cos(t) (7)
sin(t + π) = − sin(t) (8)
Tacke jedinicne kruzne linije realnih brojeva P = φ(t) i Q = φ(π2 − t) su simetricne u odnosu
na pravu y = x odakle je
cos t = sin(π
2− t), sin t = cos(
π
2− t) (9)
Na osnovu ovih osobina kosinusa i sinusa, oni se mogu izraziti i pomocu kosinusa i sinusa izintervala [0, π
2 ] - svodenje na prvi kvadrant
Primer 6. Odrediti sin(− 43π6 )
sin(− 43π6 ) = − sin(6π + π + π
6 ) = − sin(π + π6 ) = sin π
6 = 12
H
Teorema 8. Broj π je osnovni period tg i ctg
2
Teorema 9. Funkcije tg i ctg su neparne.
2
Primer 7. Odrediti tg 37π6
tg 37π6 = tg(6π + π
6 ) = tg π6 =
√
3
2
1
2
=√
3
Teorema 10.
sin x < x < tg x, 0 < x <π
2(10)
| sin x| ≤ |x|, x ∈ R (11)
4.2 Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija 13
x
y
A
B
C
x
Slika 4.3
Dokaz. U jedinicnom trigonometrijskom krugu, (Slika 4.3) povrsina trougla AOB je manja odpovrsine isecka AOB, a ona je manja od povrsine trougla AOC odakle je
1
2sinx <
1
2x <
1
2tg x
pa sledi da je jednakost (10)Za 0 ≤ x < π
2 nejednakost (11) sledi iz (10). Zbog neparnosti funkcija sin x i x nejednakost(11) vazi za −π
2 < x < π2 . Za |x| ≥ π
2 je trivijalna, jer je tada | sin x| ≤ 1 < |x|.
Trigonometrijska kruzna linija. Trigonometrijske funkcije uopstenog ugla definisane su pomocujedinicne kruzne linije i zbog toga se ona moze zvati i trigonometrijskom kruznom linijom.
Za svaki realan broj t apcisa tacke φ(t) odreduje vrednost kosinusa i dobija se u preseku praveparalelne sa osom Oy, koja sadrzi tacku φ(t), i ose Ox, a ordinata vrednost sinusa, koja se dobijau preseku prave koja je paralelna sa osom Ox, koja sadrzi tacku φ(t), i ose Oy.
x
y
OA
B
P
Q
M
M1
M2
Slika 4.4
Neka je φ(t) = M(cos t, sin t) tackatrigonometrijske kruzne linije, M1(cos t, 0),M2(0, sin t), τ osa realnih brojeva koja sadrzitacku A(1, 0) paralelna je osi Oy, a σ osarealnih brojeva paralelna osi Ox i sadrzi tackuB(0, 1). Tacke P i Q su tacke preseka praveOM sa τ i σ. (Slika 4.4).
Trouglovi OMM1 i OPA su slicni (M /∈Oy)
|MM1||OM1|
=|PA||OA|
tj. tg t = p, gde je p ordinata tacke P u xOy.Takode su slicni i trouglovi OMM2 i OQB
(M /∈ Ox)
|MM2||OM2|
=|QB||OB|
tj. ctg t = q, gde je q apcisa tacke Q u xOy.
4.2 Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija 14
Postoje jos dve osnovne trigonometrijskefunkcije, kosekans (csc ili cosec) i sekans (sec):
csc t =1
sin t, sin t 6= 0
sec t =1
cos t, cos t 6= 0
Na trigonometrijskoj kruznici kosekans za t predstavlja duz |OQ|, a sekans |OP |.
Takode vazi i:
sec t = csc(π
2− t)
csc t = sec(π
2− t)
kao i:
sec t
csc t= tg t
1 + tg2 t = sec2 t
1 + ctg2 t = csc2 t
.
5
Adicione teoreme
trigonometrijskih funkcija
5.1 Adicione teoreme za sinus i kosinus
Teorema 11. Za proizvoljne realne brojeve t i s vazi:
1. cos(t ± s) = cos t cos s ∓ sin t sin s
2. sin(t ± s) = sin t cos s ± cos t sin s
Dokaz. Neka je u ravni xOy data jedinicna kruzna linija, onda je vektor polozaja tacke M ~OM =~i cos t + ~jsint. Rotiranjem ravni xOy za neki ugao s tacka M se slika u tacku N pri cemu jeN = φ(s + t). Vektor polozaje tacke N je
~ON =~i cos(t + s) +~j sin(t + s)
Neka x′Oy′ pravougli Dekartov koordinatni sistem (Slika 5.1)takav da je njegova apcisna osa prava
x
y
A
B
O
A′
M
B′ N
Slika 5.1
koja sadrzi tacke O i A′ gde je A′ = M , ordinatna osa prava koja sadrzi tacke O i B′ = φ(t + π2 ).
Apcisa je orijentisana pomocu jedinicnog vektora
~i′ = ~OA′ =~i cos t +~j sin t
, a ordinata~j = ~OB′ =~i cos(t +
π
2) +~j sin(t +
π
2) =~i(− sin t) +~j cos t
5.2 Adicione teoreme za tangens i kotangens 16
U koordinatnom sistemu x′Oy′ vektor ~ON = ~i′ cos s + ~j′ sin s Tako se dobija
~ON = (~i cos t+~j sin t) cos s+(~i(− sin t)+~j cos t) sin s =~i(cos t cos s−sin t sin s)+~j(sin t cos s+cos t sin s)
Dva vektora su jednaka ako i samo ako su im jednake odgovarajuce koordinate i zbog toga je
cos(t + s) = cos t cos s − sin t sin s (1)
sin(t + s) = sin t cos s + cos t sin s (2)
Ako se u (1) i (2) zameni −s umesto s i iskoristi parnost kosinusa i neparnost sinusa dobija se
cos(t − s) = cos t cos s + sin t sin s (3)
sin(t − s) = sin t cos s − cos t sin s (4)
5.2 Adicione teoreme za tangens i kotangens
Ako su t i s realni brojevi za koje je cos t 6= 0 ,cos s 6= 0, cos(t + s) 6= 0, onda je
tg(t ± s) =sin(t ± s)
cos(t ± s)=
sin t cos s ± cos t sin s
cos t cos s ∓ sin t sin s=
sin t cos scos t cos s
± cos t sin scos t cos s
cos t cos scos t sin s
∓ sin t sin scos t sin s
=tg t ± tg s
1 ∓ tg t tg s
, ako za t, s ∈ R takvi da je sin t 6= 0, sin s 6= 0, sin(t + s) 6= 0, onda je
ctg(t + s) =cos(t + s)
sin(t + s)=
cos t cos s ∓ sin t sin s
sin t cos s ± cos t sin s=
cos t cos ssin t sin s
∓ sin t sin ssin t sin s
sin t cos ssin t sin s
± cos t sin ssin t sin s
=ctg t ctg s ∓ 1
ctg t ± ctg s
cime je dokazana
Teorema 12.
1. Za proizvoljne realne brojeve t i s za koje je cos t 6= 0 ,cos s 6= 0, cos(t + s) 6= 0, vazi:
tg(t ± s) =tg t ± tg s
1 ∓ tg t tg s(5)
2. Za proizvoljne realne brojeve t i s za koje je sin t 6= 0 ,sin s 6= 0, sin(t + s) 6= 0, vazi:
ctg(t + s) =ctg t ctg s ∓ 1
ctg t ± ctg s(6)
2
5.3 Transformacije trigonometrijskih funkcija
Funkcije dvostrukog ugla
cos 2t = cos2 t − sin2 t (7)
sin 2t = 2 sin t cos t (8)
tg 2t =2 tg t
1 − tg2 t(9)
ctg 2t =ctg2 t − 1
2 ctg t(10)
5.3 Transformacije trigonometrijskih funkcija 17
Transformacija proizvoda u zbir i razliku
cos t cos s =1
2(cos(t + s) + cos(t − s)) (11)
sin t sin s =1
2(cos(t − s) − cos(t + s)) (12)
sin t cos s =1
2(sin(t + s) + sin(t − s)) (13)
Transformacija zbira i razlike u proizvod
cos t + cos s = 2 cosx + y
2cos
x − y
2(14)
cos t − cos s = −2 sinx + y
2sin
x − y
2(15)
sin t + sin s = 2 sinx + y
2cos
x − y
2(16)
sin t − sin s = 2 sinx − y
2cos
x + y
2(17)
6
Trigonometrijske jednacine i arkus
trigonometrijske funkcije
6.1 Jednacina cos x = a
Definicija 7. Neka je dat realan broj a ∈ [−1, 1] i neka je t realan broj t ∈ [0, π]. Ako je
cos t = a
onda je t arkuskosinus broja a (t = arccosa)
Resavanje jednacine cosx = a, a ∈ R Ako je |a| ≤ 1 broj arccosa je jedno od resenjajednacine.
Kako je a = cos(arccos(a)) = cos(arccosa+2mπ), m ∈ Z onda su i svi brojevi oblika arccosa+2mπ resenja jednacine.
Iz parnosti funkcije cosx dobija se cos(− arccosa) = cos(arccosa) = a, pa su i brojevi oblika− arccosa + 2mπ, takodje resenja jednacine cosx = a
6.2 Jednacina sin x = a
Definicija 8. Neka je dat realan broj a ∈ [−1, 1] i neka je t realan broj t ∈ [−π2 , π
2 ]. Ako je
sin t = a
onda je t arkuskosinus broja a (t = arcsina)
Resavanje jednacine sin x = a, a ∈ R Ako je |a| ≤ 1 broj arcsina je jedno od resenja jednacine.Kako je a = sin(arcsin(a)) = sin(arcsina +2mπ), m ∈ Z onda su i svi brojevi oblika arcsina+
2mπ resenja jednacine.Na osnovu sin(π − t) = sin(t) dobija se sin(π − arcsina) = sin(arcsina) = a pa su i brojevi
oblika π − arcsina + 2mπ, resenja jednacine sinx = a
6.3 Jednacina tg x = a
Definicija 9. Neka je dat realan broj a i neka je t realan broj t ∈ (−π2 , π
2 ). Ako je
tg t = a
onda je t arkustangens broja a (t = arctg a)
6.4 Jednacina ctg x = a 19
Resavanje jednacine tg x = a, a ∈ R Zbog periodicnosti funkcije tg je a = tg(arctg(a)) =tg(arccosa + mπ), m ∈ Z i svi brojevi oblika
arctg a + mπ, m ∈ Z (1)
su resenja jednacine.
6.4 Jednacina ctg x = a
Definicija 10. Neka je dat realan broj a i neka je t realan broj t ∈ (0, π). Ako je
tg t = a
onda je t arkuskotangens broja a (t = arcctg a)
Zbog periodicnosti funkcije ctg je a = ctg(arcctg(a)) = tg(arcctg a + mπ), m ∈ Z i svi brojevioblika
arcctg a + mπ, m ∈ Z (2)
su resenja jednacine.
7
Grafici trigonometrijskih funkcija i
inverznih trigonometrijskih fukcija
7.1 Grafik funkcije cos x
1. Domen funkcije f(x) = cosx je skup R svih realnih brojeva. Df = R
2. Funkcija je ogranicena, −1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ Df , pa se grafik f(x) nalazi izmedu pravihy = −1 i y = 1
3. Funkcija je periodicna sa osnovnim periodom T = 2π, sto znaci da je dovoljno nacrtatigrafik u nekom intervalu duzine 2π, neka je to interval [−π, π], onda se ostali delovi grafikase dobijaju translacijom za 2πm, m ∈ Z duz ose Ox
4. Funkcija je parna: cos(−x) = cos(x), ∀x ∈ R. Grafik je zbog parnosti simetrican u odnosuna osu Oy, pa je dovoljno nacrtati grafik u intervalu [0, π]. Deo grafika za x ∈ [−π, 0] dobijase simetrijom u odnosu na osu Oy.
5. Restrikcija funkcije cos : [0, π] → [−1, 1] je bijekcija
6. Za interval [0, π], cosx = 0 ⇔ x = π2 , cosx > 0 ⇔ 0 < x < π
2 i cosx < 0 ⇔ π2 < x < π.
Dakle grafik za x ∈ [0, π] sece osu Ox u tacno jednoj tacki x = π2 , iznad je ose Ox za
x ∈ [0, π2 ) i za x ∈ (π
2 , π] ispod nje.
Na Df vazi:
f(x) = 0 za x = π2 + kπ
f(x) > 0 za x ∈ (−π2 + 2kπ, π
2 + 2kπ)f(x) < 0 za x ∈ (π
2 + 2kπ, 3π2 + 2kπ). (k ∈ Z)
7. Iz bijektivnosti sledi monotonost funkcije na x ∈ [0, π]. Ako su x1, x2 ∈ [0, π] takvi da jex1 < x2 tada je cosx1 > cosx2 i ona je strogo opadajuca.
Funkcija cosx je na R strogo rastuca na svakom od intervala x ∈ (−π + 2kπ, 2kπ), a strogoopadajuca na x ∈ (2kπ, π + 2kπ), gde je k ∈ Z
Maksimumalnu vrednost 1 postize za x = 2kπ, a minimumalnu −1 za x = (2k + 1)π, k ∈ Z
8. Funkcija je neprekidna.
Grafik funkcije je kriva (Slika 7.1)
7.2 Grafik funkcije sinx 21
x
y
f(x) = cos(x)
O
1
−1
Slika 7.1
7.2 Grafik funkcije sin x
Translacijom duz x − ose za π2 dobija se grafik funkcije sinx, jer je sinx = cos(x − π
2 ). Slika7.2
x
y
O f(x) = cos(x)
1
−1
f(x) = sin(x)
Slika 7.2
Osobine funkcije sinx su:
1. Domen funkcije f(x) = sinx je skup R svih realnih brojeva. Df = R
2. Funkcija je ogranicena, −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ Df .
3. Funkcija je periodicna sa osnovnim periodom T = 2π.
4. Neparna je. sin(−x) = − sin(x), ∀x ∈ R
5. sin : [−π2 , π
2 ] → [−1, 1] je bijekcija
6. f(x) = 0 za x = kπf(x) > 0 za x ∈ (2kπ, π + 2kπ)f(x) < 0 za x ∈ (−π + 2kπ, 2kπ), (k ∈ Z)
7. Monotona je: Strogo rastuca za x ∈ (−π2 + 2kπ, π
2 + 2kπ), a strogo opadajuca na svakomintervalu oblika x ∈ (π
2 + 2kπ, 3π2 + 2kπ)(k ∈ Z). Maksimumalnu vrednost 1 postize za
x = π2 + 2kπ, a minimumalnu −1 za x = −π
2 + 2kπ
8. Funkcija je neprekidna.
Kriva koja predstavlja grafik sinusa i kosinusa zove se sinusoida
7.3 Grafik funkcije tg x
1. Funkcija f(x) = tg(x) je definisana na skupu Df = R�{π2 +kπ : k ∈ Z}, tj prave x = π
2 +kπne seku njen grafik.
7.4 Grafik funkcije ctg x 22
2. Funkcija nije ogranicena limx→π
2+kπ
f(x) = ±∞ i prave x = π2 + kπ su vertikalne asimptote
3. Osnovni period funkcije je π, dovoljno je nacrtati grafik na intervalu (−π2 , π
2 )
4. Neparna je, dovoljno je posmatrati [0, π2 )
5. tg : (−π2 , π
2 ) → R je bijekcija.
6. Za x ∈ (−π2 , π
2 ), tg x = 0 ⇔ x = 0, tg x > 0 ⇔ x ∈ (−π2 , 0) i tg x < 0 ⇔ x ∈ (0, π
2 )Na Df :f(x) = 0 za x = kπf(x) > 0 za x ∈ (kπ, π
2 + kπ)f(x) < 0 za x ∈ (−π
2 + kπ, kπ), (k ∈ Z)
7. Funkcija je strogo rastuca na Df .
Grafik funkcije tg je na slici 7.3
x
y
O
Slika 7.3
7.4 Grafik funkcije ctg x
Iz ctg x = cos xsin x
=sin( π
2−x)
cos π
2−x) = tg(π
2 − x) simetrijom u odnosu na osu Oy i translacijom za π2
duz ose Ox dobija se grafik funkcije f(x) = ctg x (Slika 7.4).
x
y
O
Slika 7.4
Funkcija f(x) = ctg x ima sledece osobine
1. Domen funkcije f(x) = ctg(x) je Df = R�{x 6= kπ : k ∈ Z}. Prave x = kπ ne seku njengrafik.
2. Funkcija nije ogranicena, njen kodomen je skup R
7.5 Funkcije arcsinx i arccos 23
3. limx→ kπ
f(x) = ±∞ i prave x = π + kπ su vertikalne asimptote
4. Osnovni period funkcije je π
5. Neparna je
6. Restrikcija ctg : (0, π) → R je bijekcija.
7. Za x ∈ (kπ, π2 + kπ) je pozitivna. Nule funkcije su u tackama x = π
2 + kπ i negativna je nasvakom od intervala x ∈ (π
2 + kπ, π + kπ), k ∈ Z
8. Funkcija je strogo opadajuca na Df
7.5 Funkcije arcsinx i arccos
Neka je funkcija f(x) : [−π2 , π
2 ] → [−1, 1] restrikcija funkcije sin, kako je ona bijekcija njenainverzna funkcija f−1(x) : [−1, 1] → [−π
2 , π2 ] postoji: f−1(x) = arcsin(x). Slika (7.5)
0 1 2 3−1−2−3
1
2
3
−1
−2
−3
x
y
π
2
−
π
2
Slika 7.5
Restrikcija funkcije f(x) : [0, π] → [−1, 1], funkcije cos, je bijekcija i njena inverzna funkcijaf−1(x) : [−1, 1] → [0.π] je f(x) = arccos(x) (Slika 7.5)
0 1 2 3−1−2−3
1
2
3
4
5
−1
x
y
π
π
2
Slika 7.6
7.6 Funkcije arctg x i arcctg 24
7.6 Funkcije arctgx i arcctg
Funkcija arctg i arcctg su bijekcije ogovarajucih restrikcija funkcija tg i ctg.
x
y
O
−
π
2
π
2
Slika 7.7 arctg x
x
y
O
π
Slika 7.8 arcctgx
Bibliografija
[1] Milicic Pavle i ostali: Matematika za I razred srednje skole, Zavod za udzbenike inastavna sredstva Beograd. (2006.)
[2] Micic Vladimir i ostali: Matematika za II razred srednje skole, Zavod za udzbenike inastavna sredstva Beograd. (2004.)
[3] http://www.wikipedia.org
[4] Zoran Kadelburg, Dusan Adnadevic: Matematicka analiza 1, Nauka Beograd. (1998.)
[5] Karljikovic Trigonometrija sa elementima sferne trigonometrije, Beograd. (1935.)
Sadrzaj
1 Uvod 1
1.1 Istorija trigonometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Trigonometrija pravouglog trougla 3
2.1 Trigonometrijske funkcije ostrog ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Vazniji trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Ugao 7
3.1 Jedinicna kruzna linija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Radijanska mera ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Pojam kruznog luka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Uopstenje pojma ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Trigonometrijske funkcije ma kog ugla 10
4.1 Definicije trigonometrijskih funkcija ma kog ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2.1 Periodicnost i parnost funkcija kosinus i sinus. Svodenje na prvi kvadrant . 11
5 Adicione teoreme trigonometrijskih funkcija 15
5.1 Adicione teoreme za sinus i kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Adicione teoreme za tangens i kotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3 Transformacije trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Trigonometrijske jednacine i arkus trigonometrijske funkcije 18
6.1 Jednacina cosx = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2 Jednacina sinx = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3 Jednacina tg x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.4 Jednacina ctg x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7 Grafici trigonometrijskih funkcija i inverznih trigonometrijskih fukcija 20
7.1 Grafik funkcije cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2 Grafik funkcije sinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.3 Grafik funkcije tg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.4 Grafik funkcije ctg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.5 Funkcije arcsinx i arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.6 Funkcije arctg x i arcctg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
![GEOMETRIJA VIJKA, prema [2] Geometrija linija i ploha · GEOMETRIJA VIJKA, prema [2] Geometrija vijčanih linija i ploha Krila vijka približno prate relativno dobro poznate geometrijske](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5e05332a3c91ed60e56c072d/geometrija-vijka-prema-2-geometrija-linija-i-geometrija-vijka-prema-2-geometrija.jpg)
