Primjena trigonometrije na pravokutni trokut

Helena Lukadinović Matematika -

Informatikab

ac

C A

B

UVOD

Ova nastavna tema obrađuje se u drugomrazredu srednje škole u okviru nastavnecjeline ˝Trigonometrija pravokutnogtrokuta˝i za nju su predviđena četiri

školskasata(2+2).

POTREBNO PREDZNANJE

- poznavanje elemenata pravokutnog trokuta

- poznavanje formula vezanih za površinu i opseg pravokutnog trokuta, Pitagorin teorem,te poznavanje omjera i znanje njegove primjene na konkretnim zadacima

- definicije trigonometrijskih funkcija šiljastog kuta

- poznavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova

od 30˚,45˚,60˚

- računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na računalu

- računanje vrijednosti kuta na računalu

CILJEVI I ZADACI

Obrazovni ciljevi i zadaci:◊ usvojiti definicije trigonometrijskih funkcija u pravokutnom trokutu

◊ na temelju zadana dva elementa pravokutnog trokuta izračunati

preostale nepoznate elemente ◊ rješavanje složenijih zadataka od strane naprednijih učenika

Funkcionalni ciljevi i zadaci:

◊ razvijanje logičkog i stvaralačkog razmišljanja

◊ razvijanje sposobnosti za uočavanje analogije među sličnim zadacima

◊ razvijanje točnosti pri izradigeometrijskih crteža

◊ usavršavanje radnih navika, upornosti i marljivosti u radu

Odgojni ciljevi i zadaci:

◊ razvijanje savjesnosti i samostalnosti prilikom individualnog rješavanja zadataka

◊ razvijanje sposobnosti izražavanja

općih ideja matematičkim izrazom

Po nastavnom planu i programu za ovu temu predviđena su 4 školska sata.

Prvi sat:

Kratko ponavljanje osnovnih elemenatapravokutnog trokuta ,te formula s kojima suse učenici ranije upoznali prilikomrješavanja zadataka vezanih uz pravokutnitrokut (formule za površinu i

opseg ,Pitagorin teorem ,definicije trigonometrijskih funkcija šiljastog kuta…).

Nakon ponavljanja prelazimo na izvodformula za nepoznate elemente

pravokutnog trokuta.

Drugi sat:

vježba – kratko ponavljanje gradiva sprethodnog sata ,te rješavanje

jednostavnijihzadataka kod kojih je potrebno samouvrštavanje u formule.

Treći i četvrti sat:vježba – rješavanje složenijih zadataka.

MOTIVACIJA

Primjene trigonometrije pravokutnog trokuta:

- planimetrija- fizika - geodezija

POVJESNA CRTICA

Riječ TRIGONOMETRIJA nastala je od grčkih riječi trigonos – trokut i metron – mjera.U početku je za cilj imala izračunavanje vrijednosti svih elemenata jednog trokuta( visine, simetrale, površina i kutovi) pomoću podataka dovoljnih za određivanje trokuta.

Danas je njezina osnovna uloga izračunavanje

vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Vještine koje trebaju usvojiti svi učenici:

- na temelju zadana dva elementa uvrštavanjem u formule izračunati preostale elemente pravokutnog trokuta.

- samostalno rješavati jednostavnije primjere zadataka.

Vještine koje trebaju usvojiti napredniji učenici:

- rješavati složenije zadatke, te biti u mogućnosti povezati nastavno gradivo ove teme s njezinim primjenama u drugim područjima.

MOGUĆI PROBLEMI

Učenici na prethodnom satu nisu dobro usvojili postupak određivanja vrijednosti

trigonometrijskih funkcija, te određivanje

vrijednosti kuta na računalu.

Rješenje problema:

Ponoviti postupke na odgovarajućim primjerima onoliko puta dok ih učenici

ne usvoje odnosno dok ne budu u

mogućnosti samostalno koristiti kalkulatore pri

izračunavanju.

?

Učenici miješaju definicije trigonometrijskih funkcija šiljastog kuta.

Rješenje problema:

Ponoviti sve definicije trigonometrijskih funkcija šiljastog kuta, te u početku

učenicima dozvoliti korištenje formula sve dok ih ne usvoje kroz rješavanje

zadataka.

Pravokutni se trokut može zadati osnovnim elementima na jedan od četiri načina:1.Hipotenuza i jedan šiljasti kut

ß = 90˚- α

a = c * sin α

b = c * cos α

P = a*b/2 = ½ * c2 sinα cosα

b

ca

AC

B

2.Kateta i jedan šiljasti kut

ß = 90˚- α

a = b* tgα

c = b/ cosα

P = a*b/2 =1/2 * b2 tg α

b

ca

AC

B

3.Hipotenuza i jedna kateta

sinα = a/c

ß = 90˚- α

b =

P = a*b/2 = ½ * a

b

ca

AC

B

c2-a2

c2-a2

4.Dvije katete

tgα = a/b

ß = 90˚-α

c =

P = a*b/2

a2+b2 b

ca

AC

B

Od upravo prikazanih formula ja bih izvela formule za prvi slučaj kada je poznatahipotenuza i jedan šiljasti kut. Izvod formula za sve preostale slučajeve prepustila bih učenicima da samostalno pokušaju izvesti.Mislim da to ne bi trebao biti neki problem budući da smo na početku sata imali kratko ponavljanje svih onih elemenata koji su im za te izvode potrebni i koje sam navela kao potrebna predznanja.

Naravno dala bih im jasne upute i pomogla im tamo gdje bude potrebno. Smatram da će na taj način učenici bolje razumjeti same formule za razliku kada im se sve da gotovo gdje oni samo automatski prepisuju bez mnogo razmišljanja.

PRIMJER

PRIMJER: Popunimo tablicu s traženim elementima. Poznati elementi otisnuti su crvenom bojom, a točne vrijednosti elemenata koji se traže

otisnute su sitnijim brojkama, radi provjere.

a b c α ß P

1. 3 5 6 30˚58´ 59˚02´ 7.5

2. 3.46 2 4 60˚ 30˚ 3.46

3. 4 4.77 6.22 40˚ 50˚ 9.53

4. 5.14 6.13 8 40˚ 50˚ 15.76

Nepoznate elemente koji se traže trebali bi

znati izračunati svi učenici jer se oni dobiju

direktnim uvrštavanjem u formule.Tablicu učenici popunjavaju samostalno, a rješenja s cjelokupnim postupkom ispisuje

naploču učenik koji je zadatak točno riješio kako bi svi učenici imali cjelokupno riješen zadatak u svojim bilježnicama.

aplet

jednostavniji zadaci

složeniji zadaci

PROJEKT ZA UČENIKE

Prijedlozi mogućih projekata:

a) Pronaći zanimljiv zadatak s primjenom trigonometrije na pravokutni trokut, te sve prikazati plakatom.

b) Trigonometrija pravokutnog trokuta u mojoj okolini.

LITERATURA

J. Gusić, P. Mladinić, B. Pavković, Matematika 2, udžbenik sa zbirkom zadataka za gimnaziju, ŠK Zagreb, 2005.

N.Elezović, Matematika 2, udžbenik za 2. razred gimnazije, Element, Zagreb, 1999.

S. Kurepa, A. Kurepa, J. Hrnčević, Matematika 2, udžbenik i zbirka zadataka, ŠK Zagreb,2000.

B. Dakić, N. Elezović, Matematika 2, priručnik za nastavu za drugi razred gimnazije i tehničke škole, Element, Zagreb,2003.

B. Dakić, Matematika 2, zbirka zadataka za 2. razred gimnazije, Element, Zagreb, 1999.

KRAJ