PENGANTAR GEOMETRI ANALITIK

ERIDANI

Pendahuluan. Pada umumnya perkuliahan “Geometri Analitik” di tingkat Sarjanamempunyai cakupan materi: Kurva di bidang datar, atau yang lebih dikenal sebagaiirisan kerucut, vektor di bidang datar maupun ruang, ditambah dengan beberapa kurva-kurva sederhana dalam ruang terutama garis lurus dan bidang datar. Pendekatan yangdilakukan dalam pembelajaran ini melalui beberapa sifat-sifat vektor. Kadangkala be-berapa konsep dalam aljabar juga digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalamgeometri.

1. Kontrak Perkuliahan

(1) Manfaat: Dalam perkuliahan Kalkulus telah diketahui bahwa permasalahan

maksimum-minimum umumnya selalu berkaitan dengan konsep-konsep yang

sudah dikenal dalam Geometri (seperti misalnya titik puncak suatu grafik,

garis singgung dan luasan suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva). Pema-

haman konsep-konsep Geometri bidang atau ruang yang mumpuni mutlak

diperlukan jika telaah lanjut yang lebih mendalam tentang konsep-konsep

Kalkulus akan dilakukan. Perkuliahan ini memberikan kesempatan kepada

peserta untuk mempunyai pengalaman bekerja di bidang datar atau pun ru-

ang, dan melakukan telaah tentang jenis atau sifat-sifat kurva di bidang datar

mau pun bidang datar di ruang dimensi tiga. Kuliah ini juga dimaksudkan

untuk memberikan pengalaman mentransformasi permasalahan geometris ke

dalam permasalahan manipulasi lambang-lambang atau persamaan aljabar.

(Dari sinilah nama mata kuliah ini berasal.) Pengalaman kerja ini diper-

lukan karena konsep-konsep Aljabar Linier pada dasarnya dikembangkan dari

konsep-konsep Geometri bidang mau pun ruang. Dengan demikian, melalui

penguasaan materi perkuliahan ini secara mantap ditambah dengan sedikit

imajinasi geometris sudah merupakan bekal yang cukup dalam mempelajari

Aljabar Linier, Kalkulus Peubah Banyak, atau pun cabang ilmu Aljabar yang

lainnya.

Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Kampus CMulyorejo, Surabaya 60115. Alamat e-mail: eridani.dinadewi@gmail.com.

1

2 ERIDANI

(2) Deskripsi: Sebelum ini peserta diasumsikan sudah mengetahui beberapa sifat-

sifat elementer bangun-bangun geometris, seperti: garis lurus, segitiga, dan

beberapa bangun yang lain (termasuk bidang datar). Deskripsi mata kuliah

ini meliputi: Sistem koordinat bidang (ortogonal dan miring), dan konsep

jarak, garis lurus, lingkaran, ellips dan parabola, sistem koordinat dan vektor

di ruang, garis lurus, bidang datar, dan persamaan permukaan derajat dua.

(3) Tujuan: Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan telah siap

untuk memasuki salah satu tahap baru dalam bermatematika, yaitu mampu

memandang sekaligus menyelesaikan suatu permasalahan geometri secara al-

jabar, dan sebaliknya mampu memberikan interpretasi geometris terhadap

seperangkat persamaan sekaligus selesaiannya. Mahasiswa diharapkan mampu

menggabungkan antara manipulasi aljabar yang dilakukan terhadap seperangkat

sistem persamaan dan konsekuensinya terhadap sifat-sifat kurva (mencari in-

terpretasi geometris terhadap selesaian seperangkat persamaan tersebut).

(4) Strategi Perkuliahan: Strategi perkuliahan ini memusatkan perhatian pada ma-

nipulasi seperangkat persamaan aljabar (untuk mencari selesaiannya), mem-

berikan ilustrasi geometris sederhana dari persamaan tersebut, dan pada akhirnya

melakukan interpretasi geometris selesaian persamaan aljabar tersebut. Untuk

membangun ketajaman intuisi geometris, akan dilakukan pentahapan dalam

pemberian ilustrasi geometris dari persamaan aljabar. Mahasiswa diharapkan

berpartisipasi aktif dalam hal ini.

(5) Bacaan: Buku Teks utama “Problems in Analytic Geometry”, oleh D. Kletenik,

Peace Publishers, Moskow, 1965. Buku Teks pendukung “Kalkulus jilid 2, edisi

8”, oleh Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon, Penerbit Erlangga,

Ciracas, Jakarta, 2003.

(6) Penilaian: Sepanjang masa perkuliahan akan diadakan empat kali kuis. Rata-

rata tiga nilai terbaik kuis akan diproyeksikan sebagai nilai kuis (yang mem-

berikan kontribusi sebesar 20% nilai akhir). Prosentasi nilai akhir yang lainnya

berasal dari nilai UTS (Ujian Tengah Semester) yang memberikan kontribusi

30% dari nilai akhir. Sedangkan nilai UAS (Ujian Akhir Semester) mem-

berikan kontribusi 35% dari nilai akhir. Kontribusi untuk nilai akhir (sebesar

15%) yang lain berasal dari tugas tak-terstruktur dari pembina kuliah. Caku-

pan materi Ujian (tidak termasuk ujian susulan) akan didiskusikan lebih detil

dalam perkuliahan pertama.

GEOMETRI ANALITIK 3

2. Bahan Kuliah

(1) Pertemuan pertama: Sistem Koordinat Datar, Konsep Jarak, Tugas.

(2) Kedua: Garis Lurus.

(3) Ketiga: Koordinat Miring, Vektor di Bidang Datar.

(4) Keempat: Kuis.

(5) Kelima: Lingkaran dan Garis Singgung.

(6) Keenam: Parabola, Ellips dan sifat-sifatnya, Tugas.

(7) Ketujuh: Kuis.

(8) Kedelapan dan kesembilan: Ujian Tengah Semester.

(9) Kesepuluh: Sistem Koordinat Ruang, Pengantar Vektor.

(10) Kesebelas: Vektor, Garis dan Bidang Datar di Ruang, Tugas.

(11) Keduabelas: Kuis.

(12) Ketigabelas: Bidang Datar dan Sifat-sifatnya, Hubungan Garis dan Bidang.

(13) Keempatbelas: Bola, Tugas.

(14) Kelimabelas: Kuis.

(15) Keenambelas: Persamaan Kurva derajat dua.

3. Sistem Koordinat Kartesius dan Garis Lurus

(1) Hitunglah jarak antara dua titik di bidang koordinat.

Catatan: Misalkan kedua titik tersebut tersebut terletak di kuadran I. Den-

gan menggunakan teorema Pythagoras dapat ditemukan rumus jarak yang di-

inginkan. Secara umum dapat ditinjau dalam hal kedua titik terletak di dua

kuadran yang berbeda.

(2) Misalkan P0 suatu titik yang terletak pada ruas garis P1P2 sedemikian sehingga

|P1P0| : |P2P0| = m : n. Tentukan koordinat P0. Jika koordinat P0 dan P1

diketahui, dapatkah koordinat P2 ditentukan?

Catatan: Soal dapat disederhanakan dalam hal P1dan P2 terletak di kuadran

yang sama.

(3) Carilah titik P yang berjarak sama terhadap titik-titik(

am1,a

m1

),

(am2,

a

m2

),

(am3,

a

m3

), dan

(a

m1m2m3

, am1m2m3

).

(4) Jika dalam 4ABC, D merupakan titik tengah BC, buktikan bahwa

|AB|2 + |AC|2 = 2(|AD|2 + |DC|2).

4 ERIDANI

Catatan: Sebagai langkah awal, soal dapat diselesaikan dalam hal 4ABC

segitiga siku-siku di A. Selanjutnya dapat ditinjau untuk sebarang segitiga.

(5) (Pusat massa suatu segitiga). Misalkan D, E, dan F berturut-turut menyatakan

titik tengah ruasgaris BC, CA, dan AB dalam 4ABC. Jika titik X bersifat

|AX| : |XD| = 2 : 1, buktikan bahwa

|BX| : |XE| = |CX| : |XF | = 2 : 1.

(6) Misalkan ` menyatakan garis yang melalui (1, 0) dan (0, 1). Jika (x, y) terletak

di `, buktikan bahwa 1 = x + y.

Catatan: Setelah mensketsa garis yang dimaksud, dapat ditinjau tiga macam

kemungkinan, yaitu (x, y) berada di kuadran I, II atau IV.

(7) Tunjukkan bahwa A = (x, 1− x) : x ∈ R menyatakan kumpulan titik yang

terletak pada garis yang melalui (1, 0) dan (0, 1).

Catatan: Salah satu sifat dari garis (lurus) adalah AB ⊂ A, jika A,B ∈ A.

(8) Tunjukkan bahwa, untuk a, b > 0,

x

a+

y

b= 1,

menyatakan persamaan garis yang melalui (a, 0) dan (0, b).

(9) Misalkan c > 0. Tentukan persamaan garis yang melalui (0, c) dan membentuk

sudut lancip α dengan sumbu-x positif.

(10) Buktikan bahwa y = mx + c menyatakan persamaan garis yang melalui (0, c)

dan membentuk sudut α := arctan m dengan sumbu-x positif.

(11) Buktikan bahwa luas segitiga dengan titik-titik sudut (x1, y1), (x2, y2), dan

(x3, y3) adalah

1

2det

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

Catatan: Notasi “det(A)” menyatakan nilai determinan sebarang matriks bu-

jursangkar A.

(12) Buktikan bahwa Ax + By + C = 0 selalu menyatakan persamaan garis di

bidang, jika A, dan B tidak bersama-sama bernilai nol.

(13) Misalkan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 menyatakan dua garis yang berpo-

tongan dan membentuk sudut α. Buktikan bahwa

tan α =m1 −m2

1 + m1m2

.

GEOMETRI ANALITIK 5

(14) Tentukan syarat agar A1x + B1y + C1 = 0 dan A2x + B2y + C2 = 0 keduanya

berimpit, sejajar atau saling tegak lurus.

(15) Misalkan dalam 4ABC titik-titik D, E, dan F berturut-turut terletak di

AB, BC, dan CA. Jika AB⊥CD, BC⊥AE, dan AC⊥BF, buktikan bahwa

CD, AE, dan BF berpotongan di satu titik.

(16) Buktikan bahwa persamaan garis yang melalui (a cos3 θ, a sin3 θ) dan tegak

lurus garis x sec θ + y csc θ = a adalah x cos θ − y sin θ = a cos 2θ.

(17) Misalkan garis ` berpotongan tegak lurus dengan y = mx di (x0, y0). Jika y =

mx membentuk sudut α dengan sumbu-x positif, buktikan bahwa ` mempunyai

persamaan x cos α + y sin α =√

x20 + y2

0.

(18) Misalkan ` adalah garis yang melalui (x0, y0) dan membentuk sudut α dengan

garis y = mx + c. Buktikan bahwa ` mempunyai persamaan

y − y0 =m + tan α

1−m tan α(x− x0), atau y − y0 =

m− tan α

1 + m tan α(x− x0).

(19) Misalkan garis `, yang melalui P1(x1, y1) dan P2(x2, y2), memotong Ax+By +

C = 0 di P0. Jika P0 terletak diantara P1 dan P2, buktikan bahwa

(Ax1 + By1 + C)(Ax2 + By2 + C) < 0.

(20) Misalkan (x0, y0) tidak terletak pada garis Ax + By + C = 0. Buktikan bahwa

jarak titik tersebut terhadap garis adalah

|Ax0 + By0 + C|√A2 + B2

.

Apa yang terjadi jika (x0, y0) terletak pada suatu garis yang sejajar dengan

Ax + By + C = 0?

(21) Buktikan bahwa syarat agar tiga garis

a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0, a3x + b3y + c3 = 0

berpotongan di satu titik adalah

det

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

= 0.

(22) Misalkan `1, dan `2 berturut-turut mempunyai persamaan a1x + b1y + c1 = 0

dan a2x + b2y + c2 = 0. Jika `3 adalah garis yang mempunyai sifat ∠(`1, `3) =

∠(`2, `3), buktikan bahwa persamaan untuk `3 adalah

a1x + b1y + c1√a2

1 + b21

= ±a2x + b2y + c2√a2

2 + b22

.

6 ERIDANI

Catatan: Notasi ∠(`1, `2) menyatakan besar sudut yang dibentuk oleh garis `1

dan `2.

4. Pengertian Vektor pada Bidang Datar

Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang

dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah, kurang, kali, dan bagi), dan penger-

tian urutan. Pada dasarnya, R2 := (x, y) : x, y ∈ R dapat didefinisikan (selain

sebagai himpunan semua titik pada bidang datar) sebagai kumpulan semua vektor

dengan titik awal pusat koordinat O := (0, 0), dan titik akhir (x, y).

Misalkan A := (x1, y1) ∈ R2, maka A dapat juga dituliskan dalam bentuk−→OA,

atau −→a saja. Jika B := (x2, y2), maka kita definisikan vektor lokasi−→AB dengan−→

AB :=−→b − −→a . Dengan demikian,

−→AB = (x2 − x1, y2 − y1). Jelas bahwa A dan B

adalah titik awal, dan titik akhir dari−→AB.

(1) Misalkan ‖−→a ‖2 menyatakan panjang vektor −→a . Dengan menggunakan rumus

Phytagoras, buktikan bahwa ‖−→a ‖2 = (x21 + y2

1)1/2, dan

‖−→a ‖2 = 0 ⇐⇒ −→a = O.

Jika didefinisikan, untuk setiap k ∈ R, k−→a := (kx1, ky1), hitunglah ‖k−→a ‖2.

Berikan interpretasi geometris untuk k−→a . Berikan definisi tentang dua vektor

yang sejajar.

(2) Jika α := ∠(−→a ,−→b ), dan −→a · −→b := x1x2 + y1y2 (yang kita definisikan sebagai

hasil kali titik antara −→a dan−→b ), buktikan berturut-turut, bahwa

‖−→a −−→b ‖22 = ‖−→a ‖2

2 + ‖−→b ‖22 − 2 ‖−→a ‖2‖−→b ‖2 cos α,

dan

cos α =−→a · −→b

‖−→b ‖2‖−→b ‖2

.

Tunjukkan pula bahwa −→a · −→a = ‖−→a ‖22, dan −→a · (−→b +−→c ) = −→a · −→b +−→a · −→c .

(3) Jika α := ∠(−→a ,−→b ), buktikan bahwa

α = 90 ⇐⇒ ‖−→a +−→b ‖2

2 = ‖−→a ‖22 + ‖−→b ‖2

2 ⇐⇒ ‖−→a +−→b ‖2 = ‖−→a −−→b ‖2.

Catatan: Soal ini bercerita tentang Teorema Phytagoras yang disajikan dalam

bahasa vektor. Jika −→a dan−→b memenuhi kondisi di atas, maka kita katakan

bahwa −→a tegak lurus terhadap−→b , yang kita notasikan dengan −→a ⊥ −→

b .

GEOMETRI ANALITIK 7

(4) Untuk sebarang −→a dan−→b , buktikan bahwa

|−→a · −→b | ≤ ‖−→a ‖2‖−→b ‖2, dan ‖−→a +−→b ‖2 ≤ ‖−→a ‖2 + ‖−→b ‖2.

Catatan: Ketaksamaan yang terakhir merupakan ketaksamaan segitiga yang

disajikan dalam bahasa vektor.

(5) Misalkan −→c = k−→b , untuk suatu k ∈ R. Jika ‖−→a ‖2

2 = ‖−→c ‖22 + ‖−→a − −→c ‖2

2,

carilah nilai k. Konstruksikan posisi vektor-vektor yang menggambarkan soal

tersebut.

Catatan: Soal ini bercerita tentang proyeksi −→a sepanjang−→b . Nilai k didefin-

isikan sebagai komponen dari −→a sepanjang−→b .

(6) Misalkan −→a ,−→b ,−→c menyatakan sekumpulan vektor-vektor taknol yang sal-

ing tegak lurus. Jika k1−→a +k2

−→b +k3

−→c = O, buktikan bahwa k1 = k2 = k3 = 0.

Catatan: Soal di atas menyatakan bahwa −→a ,−→b ,−→c adalah himpunan yang

bebas linier.

(7) Kembangkan konsep di atas untuk vektor-vektor di ruang.

5. Vektor dan Garis pada Bidang

Pertama-tama, akan kita bicarakan terlebih dahulu tentang konsep garis lurus pada

bidang datar. Misalkan A terletak pada garis lurus `. Jika vektor−→b sejajar dengan

garis `, maka sebarang titik C pada ` dapat disajikan dalam bentuk −→a + t0−→b , untuk

suatu t0 ∈ R. Dengan kata lain, terdapat t0 ∈ R sedemikian hingga −→c = −→a + t0−→b .

Di sini dikatakan bahwa−→b merupakan vektor arah garis `. Cukup jelas bahwa

` := −→a + t−→b : t ∈ R,

dan X(t) := −→a + t−→b = (x1 + t x2, y1 + t y2) menyatakan posisi titik pada ` untuk

setiap t ∈ R. Kadangkala X(t) juga disebut sebagai persamaan parametrik suatu garis

lurus.

(1) Tuliskan semua persamaan garis yang anda ketahui dalam Geometri Analitik

dalam bentuk persamaan parametrik X(t).

(2) Misalkan X1(t), dan X2(t) menyatakan dua buah garis di bidang. Tentukan

syarat agar kedua garis tersebut, berturut-turut, berpotongan, sejajar, atau

identik.

(3) Tentukan syarat agar X1(t) dan X2(t) saling tegak lurus. Jika α := ∠(X1, X2),

hitunglah tan α.

8 ERIDANI

6. Garis pada sistem koordinat miring

Misalkan bidang datar kita dilengkapi dengan sistem koordinat sedemikian sehingga

kedua sumbu koordinatnya membentuk sudut lancip ω. Untuk selanjutnya, sistem

koordinat yang seperti itu akan kita sebut sistem koordinat miring.

(1) Tentukan jarak antara dua titik pada sistem koordinat miring.

(2) Buktikan bahwa luas segitiga dengan titik-titik sudut (x1, y1), (x2, y2), dan

(x3, y3) adalah

1

2(sin ω) det

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

(3) Jika garis ` memotong sumbu-y di (0, c), c > 0, dan membentuk sudut α

dengan sumbu-x, buktikan bahwa persamaan garis ` adalah

y = mx + c, m :=sin α

sin(ω − α).

(4) Jika y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berpotongan dan membentuk sudut α,

buktikan bahwa

tan α =(m1 −m2) sin ω

1 + (m1 + m2) cos ω + m1m2

.

(5) Tentukan syarat agar A1x + B1y + C1 = 0 dan A2x + B2y + C2 = 0 keduanya

sejajar atau saling tegak lurus.

7. Pengertian Lingkaran

Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang berjarak sama (disebut

jejari lingkaran) terhadap satu titik tertentu (disebut pusat lingkaran). Misalkan dike-

tahui suatu titik P0(x0, y0), dan r > 0. Lingkaran yang berpusat di P0 dan berjari-jari

r > 0 (atau himpunan semua titik yang jaraknya terhadap P0 sebesar r) dinyatakan

sebagai himpunan

L(P0, r) :=(x, y) ∈ R2 : (x− x0)

2 + (y − y0)2 = r2

.

Posisi sebarang titik P1 terhadap L(P0, r) mempunyai kemungkinan sebagai berikut:

• P1 terletak di luar lingkaran, jika |P0P1| > r;

• P1 terletak pada lingkaran, jika |P0P1| = r;

• P1 terletak di dalam lingkaran, jika |P0P1| < r.

(1) Tentukan pusat dan jejari lingkaran yang memenuhi persamaan x2 + y2 +

2gx + 2fy + c = 0.

GEOMETRI ANALITIK 9

(2) Misalkan P1 dan P2 terletak pada lingkaran x2 + y2 = 1. Tentukan |P1P2|.(3) Misalkan P1 terletak pada lingkaran x2 + y2 = 1. Tentukan (persamaan) garis

yang menyinggung lingkaran tersebut di P1.

(4) Buktikan bahwa g2 + f 2 > c adalah syarat cukup dan perlu agar

x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0

menyatakan suatu persamaan lingkaran di bidang datar.

(5) Jika suatu garis memotong lingkaran di P1 dan P2, hitunglah |P1P2|.(6) Misalkan lingkaran L(P0, r) melalui titik-titik P1, P2, dan P3, dengan |P1P3| =

2r. Jika `1, dan `2 berturut-turut adalah garis lurus yang melalui P1, P2, dan

P2, P3, hitunglah ∠(`1, `2).

(7) Misalkan diberikan titik-titik P1(x1, y1) dan P2(x2, y2). Buktikan bahwa

(x− x1)(x− x2) + (y − y1)(y − y2) = 0

menyatakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik tengah P1P2.

(8) Tentukan syarat agar suatu lingkaran melalui titik-titik sudut suatu segitiga

(bujursangkar/persegi).

(9) Buktikan bahwa lingkaran ax2 +ay2 +2gx+2fy + c = 0 menyentuh sumbu-x,

jika g2 = ac. Carilah syarat agar lingkaran tersebut menyentuh sumbu-y.

(10) Tentukan syarat agar suatu lingkaran memotong sumbu-sumbu koordinat di

tiga (empat) titik berbeda.

(11) Carilah persamaan lingkaran yang melalui (1,−2), (4,−3) dan titik pusatnya

terletak di 3x + 4y = 7.

(12) Misalkan garis y = mx + c menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2. Buktikan

bahwa c2 = r2(1 + m2).

(13) Misalkan P1 terletak di luar lingkaran L(P0, r). Buktikan bahwa akan selalu

ada dua garis singgung terhadap L(P0, r) yang melalui P1.

(14) Misalkan tiga garis singgung suatu lingkaran membentuk segitiga siku-siku.

Carilah persamaan lingkaran tersebut.

Catatan: Tinjaulah lingkaran di kuadran I dan pilihlah garis-garis singgung

yang relevan.

(15) Buktikan bahwa garis x0x + y0y = r2 menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di

(x0, y0).

(16) Misalkan P1(x1, y1) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = r2. Jika `1 dan `2

garis-garis singgung terhadap lingkaran di P2 dan P3 yang berpotongan di P1,

carilah persamaan garis yang melalui P2 dan P3.

10 ERIDANI

(17) Tentukan nilai p agar garis x cos α + y sin α = p menyinggung lingkaran

x2 + y2 − 2ax cos α− 2by sin α = a2 sin2 α.

(18) Misalkan P1, dan P2 adalah titik-titik potong garis y = mx + c terhadap

lingkaran x2 +y2 = 2ax+2by. Misalkan `1, dan `2 (keduanya melalui pusat ko-

ordinat) masing-masing adalah garis yang melalui P1, dan P2, tentukan syarat

yang harus dipenuhi agar `1⊥ `2.

8. Pengertian Parabola

Grafik parabola telah cukup dikenal saat di Sekolah Menengah. Saat membicarakan

lintasan peluru yang ditembakkan dari suatu meriam, maka para ahli mekanika lang-

sung terasosiasi dengan grafik yang berbentuk parabola sebagai lintasan peluru terse-

but.

Misalkan p > 0. Parabola didefinisikan sebagai kumpulan semua titik yang jaraknya

terhadap titik (p, 0) (disebut fokus parabola) sama dengan jaraknya terhadap garis

x = −p (disebut direktriks parabola). Tentu saja salah satu titik yang memenuhi

ketentuan tersebut adalah (0, 0) (disebut verteks parabola). Ini berarti (0, 0) juga

terletak pada parabola tersebut. Kelak akan diketahui pula bahwa (0, 0) sekaligus

dapat dianggap sebagai “puncak” parabola tersebut.

Pencarian persamaan parabola dapat dijelaskan melalui cara berikut ini. Misalkan

(x0, y0) terletak pada parabola. Cukup jelas bahwa:

y20 + (x0 − p)2 = (x0 + p)2.

Melalui beberapa penyederhanaan, akan kita peroleh y20 = 4p x0. Ini berarti (x0, y0)

terletak pada kurva y2 = 4p x yang merupakan persamaan parabola yang dicari.

(1) Tentukan persamaan parabola yang mempunyai fokus (a, b) dan direktriks

x

a+

y

b= 1.

(2) Misalkan suatu parabola mempunyai ketentuan bahwa verteks dan fokusnya

terletak pada sumbu-x dan masing-masing berjarak a1 dan a2 terhadap pusat

koordinat. Buktikan bahwa persamaan parabolanya adalah

y2 = 4(a2 − a1)(x− a1).

(3) Misalkan OP menyatakan busur pada parabola y2 = 4p x. Jika P bergerak

disepanjang parabola, buktikan bahwa tempat kedudukan titik tengah busur

juga merupakan parabola.

GEOMETRI ANALITIK 11

(4) Misalkan A dan B terletak pada parabola y2 = 4p x. Jika |AB| = 8 p, dan AB

tegak lurus sumbu-x, buktikan bahwa ∠AOB = 90.

(5) Jika A dan B terletak pada parabola y2 = 4p x, hitunglah |AB|. Tentukan

syarat agar sebarang garis menyinggung parabola.

(6) Tentukan syarat agar garis y = mx+ c menyinggung parabola y2 = 4p (x+p).

(7) Tentukan persamaan garis singgung pada sebarang titik di parabola.

(8) Misalkan A tidak terletak pada parabola y2 = 4p x. Ada berapa banyak garis

singgung pada parabola yang melalui A?

(9) Misalkan `1 dan `2 menyinggung parabola y2 = 4p x di A dan B. Jika kedua

garis tersebut berpotongan di (x1, y1), buktikan bahwa

y1 y = 2 p(x + x1)

menyatakan garis yang melalui kedua titik singgung tersebut.

(10) Misalkan AB busur pada y2 = 4p x. Buktikan bahwa titik tengah semua busur

pada parabola yang sejajar AB terletak pada garis yang sejajar sumbu-x.

(11) Jika ` melalui A dan menyinggung parabola y2 = 4p x di B, hitunglah |AB|.(12) Buktikan bahwa (p t2, 2p t) terletak pada parabola y2 = 4p x untuk setiap

t ∈ R. Tentukan garis singgung pada (p t2, 2p t). Tentukan titik potong dua

garis singgung dalam t.

Catatan: Garis di sini biasa kita sebut garis-t.

9. Pengertian Ellips

Grafik ellips telah cukup dikenal saat kita mempelajari lintasan bumi yang men-

gelilingi matahari. Hukum Kepler dapat menunjukkan hal tersebut, jika diperlukan

penjelasan logis mengenai hal ini.

Diberikan titik-titik berikut: A(a, 0), B(0, b), F1(c, 0) dan F2(−c, 0), dengan b > 0,

dan a > c > 0. Diketahui suatu kurva dengan sifat-sifat berikut:

• Kurva tersebut melalui A dan B.

• Sebarang titik P (x, y) pada kurva tersebut bersifat |PF1|+ |PF2| = konstan.

Oleh karena kurva tersebut melalui A, maka cukup jelas bahwa

|PF1|+ |PF2| = 2a.

Dengan demikian, jika P (x, y) terletak pada kurva tersebut akan kita peroleh

x2

a2+

y2

a2 − c2= 1.

12 ERIDANI

Oleh karena kurva tersebut melalui B, dan a > c > 0 maka b2 = a2 − c2.

Dengan demikian

x2

a2+

y2

b2= 1,

menyatakan persamaan kurva tersebut, yang biasa kita sebut ellips.

Titik F1 dan F2 disebut fokus ellips. Titik-titik potong ellips terhadap sumbu-x

biasa disebut verteks dari ellips. Sumbu mayor ellips didefinisikan sebagai ruas garis

yang dibentuk oleh titik-titik potong ellips terhadap sumbu-x, sedangkan sumbu minor

ellips adalah ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik potong ellips terhadap sumbu-y.

(1) Jika suatu garis memotong ellips di P dan Q, tentukan |PQ|.(2) Tentukan syarat agar garis y = mx + c selalu menyinggung ellips.

(3) Buktikan, bahwa selalu terdapat dua garis singgung terhadap ellips dengan

besar gradien tertentu.

(4) Tentukan titik-titik pada ellips sedemikian hingga garis singgung pada titik-

titik tersebut membentuk sudut 45 terhadap sumbu-x.

(5) Misalkan y = mx memotong ellips di P1 dan P2. Buktikan bahwa garis

singgung di P1 dan P2 sejajar.

(6) Jika garis normal pada suatu titik di ellips didefinisikan sebagai garis yang

tegak lurus garis singgung di titik tersebut, tentukan garis normal di sebarang

titik di ellips.

(7) Buktikan bahwa titik potong ellips

n2x2 + m2y2 = n2m2 dan m2x2 + n2y2 = n2m2

terletak pada suatu lingkaran.

10. Sistem Koordinat, Garis dan Bidang di ruang Dimensi Tiga

(1) Hitunglah jarak antara dua titik di ruang.

Petunjuk: Misalkan kedua titik tersebut adalah P, Q, dan ‖PQ‖3 menyatakan

jarak antara keduanya. Sketsalah balok ANBP.MQLC sedemikian sehingga

pasangan segiempat berikut:

APCM, NBLQ; LCPB, QMAN ; BPAN, LCMQ

sejajar.

(2) Diberikan titik-titik P dan Q. Jika O menyatakan pusat koordinat, tentukan

cos α, jika α := ∠POQ.

GEOMETRI ANALITIK 13

(3) Misalkan P0 suatu titik yang terletak pada ruas garis P1P2 sedemikian se-

hingga |P1P0| : |P2P0| = m : n. Tentukan koordinat P0. Jika koordinat P0 dan

P1 diketahui, dapatkah koordinat P2 ditentukan?

Petunjuk: Sketsalah P1L, P2M, P0N sedemikian sehingga ketiganya tegak lu-

rus bidang-xy, dan L, M, N terletak pada satu garis di bidang-xy. Misalkan

Ω menyatakan bidang datar yang memuat LM dan P1P2. Jelas bahwa per-

potongan bidang-xy dan Ω adalah garis yang memuat LM. Misalkan H, K

berturut-turut adalah perpotongan garis yang memuat LM terhadap P1L dan

P2M. Selidiki 4HP1P0 dan 4P2P0K.

(4) Misalkan garis ` sejajar dengan vektor −→a , dan melalui titik P (x0, y0, z0). Ten-

tukan persamaan garis `.

(5) Misalkan `1, dan `2 dua garis berpotongan. Tentukan besar sudut yang ter-

bentuk di antaranya.

(6) Tentukan persamaan garis yang melalui dua titik yang diketahui.

(7) Diberikan dua garis di ruang. Tentukan syarat yang menyatakan bahwa kedua

garis sejajar, berimpit, berpotongan, atau bersilangan.

(8) Misalkan titik P terletak pada bidang P . Jika vektor −→a tegak lurus P , ten-

tukan persamaan bidang P .

(9) Tentukan persamaan bidang yang

• melalui titik A dan sejajar dengan vektor −→a dan−→b .

• melalui titik P, Q dan sejajar dengan vektor −→a .

• melalui titik P, Q, dan R. Diperlukan persyaratan bahwa ketiga titik tidak

harus terletak dalam satu garis.

(10) Buktikan bahwa perpotongan dua bidang adalah suatu garis.