Giai tich 2 2014 Chuong 3.pdf

n Ng Minh Tch phn bi

CHNG 3. TCH PHN BI............................................................................................ 1

3.1. Tch phn kp trn min ch nht........................................................................ 1

3.1.1. Xem li nh ngha tch phn xc nh .............................................................. 1

3.1.2. Th tch v tch phn kp.................................................................................. 1

3.1.3. Quy tc trung im .............................................................................................. 5

3.1.4. Gi tr trung bnh ................................................................................................ 5

3.1.5. Cc tnh cht ca tch phn kp ............................................................................ 7

3.2. Tch phn lp ........................................................................................................... 7

3.2.1. Khi nim........................................................................................................... 7

3.3. Tch phn kp trn min tng qut .......................................................................... 10

3.3.1. Cc dng min ly tch phn kp ......................................................................... 10

3.3.2. Cc tnh cht ca tch phn kp .......................................................................... 15

3.4. Tch phn kp trong ta cc ............................................................................... 16

3.4.1. Tnh tch phn kp trong ta cc .................................................................... 16

3.5. ng dng ca tch phn kp ................................................................................... 19

3.5.1. Mt v khi lng ......................................................................................... 19

3.5.2. M men v trng tm ......................................................................................... 20

3.5.3. M men qun tnh ............................................................................................. 21

3.5.4. Xc sut ........................................................................................................... 23

3.5.5. K vng ........................................................................................................... 24

3.6. Tch phn mt ........................................................................................................ 25

3.7. Tch phn bi ba ..................................................................................................... 27

3.7.1. Khi nim tch phn bi ba ............................................................................. 27

3.7.2. ng dng ca tch phn bi ba .......................................................................... 31

3.8. Tch phn bi ba trong ta tr ............................................................................ 33

3.8.1. Ta tr ........................................................................................................ 33

3.8.2. Tnh tch phn bi ba trong ta tr ................................................................. 34

3.9. Tch phn bi ba trong ta cu ........................................................................... 35

3.9.1. Ta cu ....................................................................................................... 36

3.9.2. S nh gi tch phn bi ba vi ta cu ......................................................... 37

3.10. i bin trong tch phn bi ................................................................................ 39

3.10.1. i bin trong tch phn kp .............................................................................. 39

3.10.2. i bin trong tch phn bi ba .......................................................................... 43


Trang 1

CHNG 3. TCH PHN BI

Trong chng ny chng ta m rng ngha ca tch phn xc nh ti cc tch phn ca

cc hm hai hoc ba bin. Cc ngha l s dng tnh th tch, khi lng v trng tm

ca nhng min tng qut. Chng ta cng s dng tch phn kp tnh xc xut ca hai bin

ngu nhin c lin quan.

Ta s thy h ta cc rt (polar coordinates) hiu qu trong tnh tch phn kp trn mt

s dng min c bit. Tng t nh th, chng ta s gii thiu hai h ta mi trong khng

gian ba chiu ta tr (cylindrical coordinates) v ta cu (spherical coordinates) n

gin ha vic tnh ton tch phn bi ba trn nhng min hay gp trong khng gian ba chiu.

3.1. Tch phn kp trn min ch nht

Ging nh cch gii bi ton tnh din tch dn n nh ngha tch phn xc nh, by

gi chng ta tnh th tch ca vt th v qu trnh ny dn n nh ngha tch phn kp.

3.1.1. Xem li nh ngha tch phn xc nh

Trc ht chng ta nh li cc s kin c bn lin quan n nh ngha tch phn xc nh

ca hm mt bin. Nu f(x) xc nh trn [a, b], ta chia [a, b] thnh n phn on con [xi1, xi]

bng nhau vi Dx = (b a)/n v chn mt im xi* trn on con . Sau lp tng tch phn

[1] 1

Dn

*i

k

f x x

v ly gii hn ca cc tng khi n + nhn c nh ngha tch phn xc nh ca

hm f t a n b:

[2] 1

Db n

*i

nka

f x dx lim f x x

Trong trng hp c bit khi f(x) 0, tng tch phn c th c xem nh tng ca cc

din tch ca cc hnh ch nht trn Hnh 1, v b

a

f x dx biu th din tch ca min nm pha

di ng cong y = f(x), t a ti b.

3.1.2. Th tch v tch phn kp

Mt cch tng t, chng ta xem xt mt hm hai bin xc nh trn mt hnh ch nht

ng R = [a, b][c, d] = {(x, y) R2 | a x b, c y d}

v chng ta gi s rng f(x, y) 0. th ca f l mt cong vi phng trnh z = f(x, y).


Trang 2

Gi s S l S l vt th nm trn R v di th ca f,

tc l S = {(x, y, z) R3 | 0 z f(x, y), (x, y) R2}

(Xem Hnh 2.) ch ca ta l tm th tch ca S.

u tin, chia hnh ch nht R thnh cc hnh ch nht

nh. Chng ta thc hin iu ny bng cch chia on [a, b]

thnh m on con [xi1, xi] cng di Dx = (b a)/m v chia

on [c, d] thnh n on con cng di Dy = (d c)/n. Bng

cch v cc ng thng song song vi cc trc ta i qua cc mt ca cc on con nh

Hnh 3, ta c dng ca cc hnh ch nht nh

Rij = [xi1, xi][yj1, yj] = {(x, y) | xi1 x xi, yj1 y yj}

tt c c cng din tch DA = DxDy.

Nu trn mi Rij ta chn mt im ngu nhin (xij*, yij*) th chng ta c th xp x phn

ca S nm trn mi Rij bi mt khi hp ch nht vi y l Rij v chiu cao l f(xij*, yij*), nh

trn Hnh 4. Th tch hnh hp ny bng chiu co ca n nhn vi din tch y f(xij*, yij*)DA.

Nu chng ta lm nh th cho tt c hnh ch nht v cng cc th tch ca cc hnh hp

tng ng, ta nhn c gi tr xp x vi th tch ca S:

[3] ij ij1 1

Dm n

* *

i j

V f x , y A

(Xem Hnh 5.) Tng kp ny c ngha l vi mi hnh ch nht con, chng ta tnh gi tr

ca f ti im chn ri nhn vi din tch ca hnh ch nht con, ri cng vo kt qu.

Trc gic ca ta mch bo rng xp x cho trong [3] tr nn tt hn khi m vag n ln

v v vy


Trang 3

[4] ij ij1 1

Dm n

* *

m,ni j

V lim f x , y A

Chng ta s dng biu thc trong phng trnh 4 xc nh th tch ca vt th S nm

di th ca f v trn hnh ch nht R.

Cc gii hn c dng trong phng trnh 4 xy ra thng xuyn, khng ch tm th tch

m cn trong mt lot tnh hung khc m ta s gp trong phn 3.5, ngay c khi f khng dng.

[5] nh ngha Tch phn kp ca f trn hnh ch nht R l

ij ij1 1

Dm n

* *

m,ni jR

f x, y dA lim f x , y A

nu gii hn ny tn ti.

ngha v chnh xc ca gii hn trong nh ngha 5 l, vi mi > 0, tn ti s N

nguyn dng sao cho

ij ij1 1

D m n

* *

i jR

f x , y dA f x , y A

vi mi s nguyn dng m v n ln hn N v i vi bt k php chn cc im (xij*, yij*)

trong Rij.

Hm f c gi l kh tch nu gii hn trong nh ngha 5 tn ti. S tht l, tch phn

kp ca f tn ti chng t rng f khng "qu gin on". c bit, nu f b chn [tc l, tn ti

hng s M sao cho |f(x, y)| M vi mi (x, y) R], v f lin tc trn , ngoi tr hu hn

im ca ng cong trn th f kh tch trn R.

im (xij*, yij*) c th chn ty trn Rij, nhng nu ta chn n l gc trnphi ca Rij

[im (xi, yj), Hnh 3] th biu thc ca tch phn kp nom n gin hn

[6] 1 1

m n

i jm ,n

i jR

f x, y dA lim f x , y A

D

Bng cch so snh nh ngha 4 v nh ngha 5, ta thy th tch c th vit nh l tch

phn kp:

Nu f(x, y) 0 th th tch V ca vt th nm trn hnh ch nht R v di mt cong z =

f(x, y) l

R

V f x , y dA

Tng trong nh ngha 5, ij ij1 1

m n* *

i j

f x , y A

D , c gi l tng Riemann kp hay tng

tch phn kp v c dng xp x gi tr ca tch phn kp. Nu f l hm dng th tng

tch phn kp biu th tng ca cc th tch ca cc ct, nh Hnh 5, v l xp x ca th tch

nm di th ca f.

V d 1 c lng th tch ca vt th nm trn hnh vung R = [0, 2][0, 2] v di

paraboloid elliptic z = 16 x2 2y2. Chia R thnh bn hnh vung bng nhau v chn im

mu l gc trnphi ca mi hnh vung Rij. Phc ha vt th v cc khi hp ch nht xp x.


Trang 4

Li gii Cc hnh vung c ch ra trn Hnh 6. Paraboloid l th ca f(x, y) = 16

x2 2y2 v din tch ca mi hnhf vung l DA = 1. Xp x th tch bi tng Riemann vi m =

n = 2 ta c

2 2 2 2

1 1 1 1i j i j

i j i j

V f x , y A f x , y

D = f(1,1) + f(1,2) + f(2,1) + f(2,2) = 34

Th tch ny c xp x bi cc khi hp ch nht trn Hnh 7.

Chng ta nhn c cc xp x tt hn nu chng ta tng s cc hnh vung. Hnh 8 cho

thy cc ct trng ging nh vt th thc v xp x tng ng tr nn chnh xc hn khi chng

ta s dng 16, 64, v 256 vung. Trong phn tip theo chng ta s thy khi lng chnh xc

l 48.

V d 2 Cho R = {(x, y) | 1 x 1, 2 y 2}, c lng tch phn 21R

x dA .

Li gii Rt kh c lng tch phn ny theo nh ngha 5, nhng v 1 0

nn chng ta ta c th tnh tch phn ny bng cch ch n th tch.

Nu = 1 th x2 + z2 = 1 v z 0, v vy tch phn kp cho

biu th th tch ca vt th nm di mt tr trn x2 + y2 = 1 v trn

hnh ch nht R. (Xem Hnh 9.) Th tch ca S bng dic tch ca na

hnh trn bn knh bng 1 nhn vi di ca hnh tr. V th


Trang 5

22 11 1 4 2

2R

x dA

3.1.3. Quy tc trung im

Cc phng php m chng ta s dng tnh xp x tch phn n nh Quy tc Trung

im (Midpoint Rule), Quy tc Hnh thang (Trapezoidal Rule), Quy tc Simson (Simson's Rule)

u p dng c vi tch phn kp. y chng ta ch xem xt Quy tc Trung im cho tch

phn kp. iu c ngha rng chng ta ta s dng tng Riemann kp xp x tch phn

kp, trong im (xij*, yij*) trong Rij l c chn l im tm , ca Rij. Ni khc i,

l trung im ca [xi1, xi] v l trung im ca [yj1, yj].

Quy tc Trung im i vi tch phn kp

1 1

m n

i ji jR

f x, y dA f x , y A

D

trong l trung im ca [xi1, xi] v l trung im ca [yj1, yj].

V d 3 S dng Quy tc Trung im vi m = n = 2 c lng gi tr ca tch phn

23R

x y dA , trong R = {(x, y) | 0 x 2, 1 y 2}

Li gii Khi s dng Quy tc Trung im vi m = n = 2, chng ta lng gi hm f(x, y)

= x 3y2 ti cc tm ca bn hnh ch nht nh nh trong Hnh 10.

V vy =

, =

,

=

,

=

. Din tch ca mi hnh ch nht nh l DA =

. V th

2 2

21 1 1 2 2 1 2 2

1 1

13

2i j

i jR

x y dA f x , y A f x , y f x , y f x , y f x , y

D

= 1 67 139 51 123 95

11 8752 16 16 16 16 8

.

Ch Trong phn tip theo chng ta s pht trin mt phng php hiu qu tnh tch phn

kp v chng ta s thy rng gi tr chnh xc ca tch phn

kp trong V d 3 l 12. (Nh rng vic gii thch mt tch

phn kp nh mt s o th tch ch khi hm di du tch

phn f l mt hm dng. Hm f trong V d 3 khng phi l

mt hm dng, do tch phn ca n khng phi l s o

th tch. Trong v d 2 v 3 trong phn 3.2, chng ta s tho

lun lm th no gii thch cc tch phn ca cc hm m

khng phi l lun lun dng.) Nu tip tc chia mi hnh ch nht nh trong Hnh 10 thnh

bn ci nh hn vi hnh dng tng t, chng ta s nhn c cc xp x theo Quy tc Trung

im c hin th trong biu bn. Ch rng cc xp x ny tin dn n gi tr ng ca

tch phn kp l 12.

3.1.4. Gi tr trung bnh

Nh li rng gi tr trung bnh ca hm mt bin xc nh trn [a, b] l

=

()


Trang 6

Tng t, chng ta ta nh ngha gi tr trng bnh ca hm hai bin xc nh trn hnh

ch nht R l

=

() (,)

trong A(R) l din tch ca R.

Nu f(x, y) 0, phng trnh () = (,) ni

ln rng khi hp vi y R v chiu cao fAB c cng th tch vi vt

th nm di th ca f. [Nu z = f(x, y) m t mt min i ni v

bn ct ngang cc nh ni ti cao fTB th bn c th dng chng lp

y cc vng trng (valley) khu vc tr nn hon ton bng phng.

Xem Hnh 11.]

V d 4 Bn ng mc trong Hnh 12 cho thy tuyt ri (theo inches) xung bang

Colorado vo ngy 20 v 21 thng 12 nm 2006.

(Tiu bang l mt hnh ch nht kch thc 388

dm t ty sang ng v 276 dm t nam n bc.)

S dng bn ng mc c tnh lng tuyt

ri trung bnh cho ton b tiu bang Colorado vo

nhng ngy ny.

Li gii t gc ta ti gc ty nam ca tiu bang. Khi 0 x 388, 0 y 276

v f(x, y) l tuyt ri (theo inches) ti v vng x dm ng v y dm bc tnh t gc ta . Nu

R l hnh ch nht biu th Colorado th trung bnh tuyt roei trong cc ngy 2012 thng 12 l

=1

() (,)

trong A(R) = (388)(276). c

lng gi tr ca tch phn kp ny,

chng ta s dng Quy tc Trung

im vi m = n = 4. Ni khc i,

chng ta chia R thnh 16 hnh ch

nht nh kch thc bng nhau, nh

Hnh 13. Din tch ca mi hnh ch

nht nh l

= ()() (dm)2

S dng bn ng mc c lng gi tr ca f ti tm ca mi hnh ch nht nh:

(,) ,

=

= DA(0 + 15 + 8 + 7 + 2 + 25 + 18.5 + 11 + 4.5 + 28 + 17 + 13.5 + 12 + 15 + 17.5 + 13] = (6693)(207)


Trang 7

V vy fTB ()()

()() 12.9

Vo 2021 thng 12 nm 2006, lng tuyt ri trung bnh ti Colorado xp x 13 inches.

3.1.5. Cc tnh cht ca tch phn kp

Chng ta lit k ra y ba tnh cht ca tch phn kp tng t vi tch phn n. Gi s

rng tt c cc tch phn u tn ti. Cc tnh cht 7 v 8 c gi l tuyn tnh.

[7] [(,)+ (,)]

= (,) + (,)

[8] (,)

= (,)

y c l hng s

Nu f(x, y) g(x, y) vi mi (x, y) trong R th

[9] (,)

0

3.2. Tch phn lp

Nh li rng thng l kh c lng tch phn n trc tip t nh ngha, nhng

nh l c bn ca php tnh vi tch phn cung cp mt phng php d dng hn nhiu. nh

gi tch phn kp t nguyn l u tin thm ch cn kh khn hn, nhng trong phn ny chng

ta thy cch biu din mt tch phn kp nh l tch phn lp, m sau c th c nh gi

bng cch tnh ton hai tch phn n.

3.2.1. Khi nim

Gi s rng f l hm ca hai bin kh tch trn hnh ch nht R = [a, b][c, d]. Chng ta

s dng k hiu (,)

ngha l x l c nh v f(x, y) kh tch theo y t c ti d. Vic

lm c gi l tch phn tng phn theo bin y. (Ch rng iu tng t nh o hm

ring.) By gi (,)

l biu thc ph thuc x, v vy n xc nh mt hm ca x:

()= (,)

Nu chng ta tch phn hm A theo x t x = a ti x = b, ta nhn c

[1] ()

= (,)

Tch phn bn v phi ca phng trnh 1 c gi l tch phn lp. Thng th b qua

cp ngoc, v vy

[2] (,)

= (,)

ngha l tch phn theo y t c ti d trc sau tch phn theo x t a n b. Tng t

[3] (,)

= (,)

ngha l tch phn theo x t a ti b trc sau tch phn theo y t c n d.

V d 1 c lng tch phn lp sau

(a)

(b)

Li gii

(a) Xem x l hng s, ta nhn c

()=

=

=

V vy


Trang 8

=

=

=

(b) Ta tnh tch phn theo x trc

=

=

= 9

=

=

Ch rng trong V d 1 chng ta nhn c cng mt p s. Tng qut, cc tch phn

lp trong cc phng trnh 2 v 3 l bng nhau, tc l trnh t ly tch phn khng quan trng.

iu ny tng t nh nh l Clairaut v s bng nhau ca cc o hm ring cho.

nh l sau y cung cp mt phng php nh gi mt tch phn kp bng cch biu

din n nh l mt tch phn lp.

[4] nh l Fubini Nu f lin tc trn hnh ch nht

R = {(x, y) | a x b, c y d}, th

(,)

= (,)

= (,)

Tng qut hn, iu ny vn ng nu f b chn trn R, c th gin on ti mt s hu

hn im v cc tch phn lp tn ti.

Chng minh ca nh l Fubini l qu kh khn a vo cun sch ny, nhng t nht

chng ta c th a ra mt du hiu trc quan ch ra n l ng cho trng hp f(x, y) 0. Nh

li rng, nu f dng th chng ta c th gii thch tch phn kp (,)

nh l th tch

V ca vt th S nm pha trn R v pha di mt cong z = f(x, y). Nhng chng ta c mt cng

thc khc s dng trong tch phn n

= ()

trong A(x) l din tch ca thit din ca S trong mt phng i qua x v vung gc vi trc

x. T Hnh 1 ta c th thy rng A(x) l din tch di ng cong C c phng trnh z = f(x,

y) vi x c nh v c y d. Do ()= (,)

, v ta c

(,)

= = ()

= (,)

Tng t, s dng thit din vung gc vi trc y trn Hnh 2, ch ra rng

(,)

= (,)

V d 2 c lng tch phn kp ( 3)

, y

R = {(x, y) | 0 x 2, 1 y 2} (So snh vi V d 3 3.1)

Li gii 1 nh l Fubini cho ra

( 3)

= ( 3)

= [ ]


Trang 9

= ( 7)

=

7

= 12

Li gii 2 Vn p dng nh l Fubini, nhng tch phn theo x trc, ta c

( 3)

= ( 3)

=

3

= (2 6)

= (2 2)

= 12

Ch rng kt qu trong V d 2 l s m, nhng khng c g

l mu thun. Hm f l khng dng, v vy tch phn ca n

khng biu th th tch. T Hnh 3 ta thy rng f lun m trn R,

v th gi tr ca tch phn l tri du vi s o th tch ca vt

th nm trn th ca f v di R.

V d 3 c lng tch phn ()

, y R = [1, 2][0, ].

Li gii 1 Tch phn theo x trc, ta c

()

= ()

= cos()|

= (2 + )

=

= 0

Li gii 2 Nu o trnh t ly tch phn, ta nhn c

() = ()

Ta s dng phng php tch phn tng phn vi

u = y dv = sin(xy)dy du = dy = ()

v th ()

= ()

+

cos()

= ()

+

sin ()|

=

()

+

Tch phn tng phn i vi tch phn th nht, u = 1/x, dv = cosxdx, ta c

()

=

()

()

Do ()

+

()

=

()

,

nn ()

=

()

=()

= 0

Vi hm f nhn c hai gi tr dng v m, (,)

l s sai

khc ca cc th tch: V1 V2, y V1 l th tch trn R v di

th cn V2 l th tch di R v trn th. S kin tch phn trong

V d 3 bng 0 chng t hai th tch ny bng nhau.

V d 4 Tm th tch ca vt th S c gii hn bi paraboloid elliptic

x2 + 2y2 + z = 16, cc mt phng x = 2 v y = 2 cng ba mt phng ta .

Li gii Trc ht ta thy rng S l vt th nm di mt cong z = 16 x2 2y2 v trn

hnh ch nht R = [0, 2][0, 2]. (Xem Hnh 5.) Vt th ny c xem xt trong V d 1 mc

3.1, nhng by gi chng ta s dng nh l Fubini nh gi tch phn kp. Do


Trang 10

= (16 2) = (16 2)

= 16

= (

) =

= 48

Trong trng hp c bit khi f(x, y) c th phn tch thnh

tch ca hm theo x vi gm theo y, tch phn kp ca f c th vit

dng n gin. C th, gi s f(x, y) = g(x)h(y) v R = [a, b][c, d]

th nh l Fubini cho ra

(,)

= ()()

= ()()

Vi tch phn bn trong, y l khng i nn h(y) khng i, v vy

()()

= () ()

= ()

()

v ()

l hng s. Do trong trng hp ny tch phn kp c th vit nh l tch ca

hai tch phn n:

[5] ()()

= ()

()

vi R = [a, b][c, d]

V d 5 Nu R = [0, /2][0, /2] th theo phng trnh 5,

= /

/

= []

/[]/

= 1 1 = 1

Hm f(x, y) = sinx cosy trong V d 5 l hm dng trn R, v

vy tch phn biu th th tch ca vt th nm trn R v di th

ca f, nh trn Hnh 6.

3.3. Tch phn kp trn min tng qut

3.3.1. Cc dng min ly tch phn kp

Vi tch phn n, min ly tch phn lun lung l mt on. Nhng vi tch phn kp,

min ly tch phn c th l min bt k, ging nh trong Hnh 1. Ta gi thit rng D l min

gii ni, ngha l D c th c gii hn trong mt hnh ch nht R nh Hnh 2. V vy chng

ta nh ngha mt hm mi F vi min xc nh l R:

[1] (,)= (,) (,)

0 (,)

Nu F kh tch trn R th chng ta nh ngha tch phn kp ca f trn D nh sau

[2] (,)

= (,)

y F c cho bi phng trnh 1


Trang 11

nh ngha 2 c ngha bi v (,)

c nh ngha trong mc 3.1. Vic

chng ta lm nh trn l hp l bi v gi tr ca F(x, y) bng 0 khi (x, y) nm ngoi D v v

vy chng khng nh hng g ti tch phn. iu c ngha rng hnh ch nht R cha D

nh th no cng khng quan trng.

Trong trng hp f(x, y) 0, chng ta vn c th gii thch (,)

nh l th tch

ca vt th nm trn D v di mt cong z = f(x, y), th ca f. Ta thy rng iu ny hp l

bng cch so snh cc th ca f v F trn Hnh 3 v Hnh 4 v nh rng (,)

l

th tch nm di th ca F.

Hnh 4 cng chng t rng hm F c v khng lin tc ti cc im bin ca D. Tuy nhin,

nu f lin tc trn D v bin ca D l "tt theo ngha no " (vt phm vi cun sch ny) th

n c th ch ra rng (,)

tn ti v do (,)

tn ti. Trong thc t,

l trng hp ca hai loi min sau y.

Min D c gi l loi 1 nu n nm gia cc th ca hai hm lin tc theo x, tc l

D = {(x, y) | a x b, g1(x) y g2(x)}

trong g1 v g2 l cc hm lin tc trn [a, b]. Mt s v d v loi 1 c ch ra trn Hnh 5.

tnh (,)

khi D l min loi 1, ta chn mt hnh ch nht R = [a, b][c, d]

cha D, nh Hnh 6, v ta gi s F l hm c cho bi phng trnh 1, tc l, F trng vi f

trn D, v F bng 0 ngoi min D. V vy, theo nh l Fubini

(,)

= (,)

= (,)

Nhn thy rng F(x, y) = 0 nu y < g1(x) hoc y > g2(x) v (x, y) nm ngoi D. Do

(,)

= (,)

()

()= (,)

()

()

bi v F(x, y) = f(x, y) khi g1(x) y g2(x). V vy ta c cng thc sau cho php chng ta tnh

tch phn kp nh l tch phn lp.

[3] Nu f lin tc trn min D loi 1 D = {(x, y) | a x b, g1(x) y g2(x)}


Trang 12

th (,)

= (,)()

()

Tch phn bn v phi ca [3] l tch phn lp tng t m chng ta xem xt u

mc, ngoi tr tch phn bn trong c x khng ch trong f(x, y) m cn ti cc cn ca tch phn,

g1(x) v g2(x).

Chng ta cng xem xt cc min phng loi 2, n c biu din l

[4] D = {(x, y) | c y d, h1(y) x h2(y)}

trong h1 v h2 l cc hm lin tc. Hai min nh th c minh ha trng Hnh 7.

S dng cng mt phng php nh dng xy dng [3], ta ch ra rng

[5] (,)

= (,)()

()

trong D l min loi 2 c cho bi phng trnh [4]

V d 1 Tnh ( + 2)

, y D l min c gii hn bi cc parabola

y = 2x2 v y = 1 + x2.

Li gii Cc parabola giao nhau khi 2x2 = 1 + x2, tc l x2 = 1, hay x = 1. Ch rng

min D, nh phc ha trn Hnh 8, thuc loi 1 m khng thuc loi

2, v vy D = {(x, y) | 1 x 1, 2x2 y 1 + x2}

Bi v cn di l y = 2x2 v cn trn l y = 1 + x2, phng

trnh 3 tr thnh

( + 2)

= ( + 2)

= [ + ]

= (3 + 2 + + 1)

=

=

Khi chng ta thit lp mt tch phn kp nh trong V d 1, cn phc tho hnh hc min

ly tch phn. Thng hu ch khi v mt mi tn thng ng nh trong Hnh 8. Khi , cc

gii hn ca tch phn bn trong c th c c t hnh v nh sau: Mi tn bt u t bin

pha di y = g1(x), chnh l cn di ca tch phn, v mi tn kt thc bin pha trn y

= g2(x), chnh l cn trn ca tch phn. i vi min loi 2, mi tn c v theo chiu ngang

t bin bn tri sang bin bn phi.

V d 2 Tnh th tch ca vt th nm pha di paraboloid z = x2 + y2 v pha trn min

D trong mt phng xy c gii hn bi y = 2x v parabola y = x2.

Li gii 1 T Hnh 9 ta thy min D thuc loi 1, D = {(x, y) | 0 x 2, x2 y 2x}.

V vy th tch ca vt th l

= ( + )

= ( + )

= +


Trang 13

= +

=

+

=

Li gii 2 T Hnh 10 ta thy min D cng thuc loi 2, nn

= {(,)|0 4, }

Do V c tnh theo cng thc

= ( + )

= ( + )

=

+

= /+/

=

/+

/

=

Hnh 11 phc ha vt th m th tch c tnh trong V d 2. N nm trn mt phng xy

v di paraboloid z = x2 + y2, nm gia mt phng y = 2x v mt tr y = x2.

V d 3 Tnh

, y D l min c gii hn bi ng y = x 1 v parabola

y2 = 2x + 6.

Li gii MIn D c ch ra trong Hnh 12. Li thy D thuc c loi 1 v loi 2, nhng

biu din loi 1 ca D phc tp bi bin pha di bao gm hai phn. V vy ta biu din D

dng loi 2:

= {(,)| 2 4, 3 + 1}

T [5] cho ra

=

=

=

( + 1)

3

=

+ 4 + 2 8

=

+ +

4

= 36

Nu chng ta biu din D nh loi 1 th ta nhn c

=

+

nhng iu ny dn n khi lng tnh ton nhiu hn.


Trang 14

V d 4 Tnh th tch ca t din c gii hn bi cc mt phng x + 2y + z = 2, x =

2y, x = 0 v z = 0.

Li gii Trong mt cu hi nh th ny, cch tt nht l v ra hai hnh: Mt vt th trong

khng gian ba chiu, v mt l min D trong mt phng. Hnh 13 biu th t din T c gii

hn bi cc mt phng ta x = 0, z = 0, mt phng ngang x = 2y v mt phng x + 2y + z =

2. Bi v mt phng x + 2y + z = 2 giao vi mt phng xy (cho z = 0) theo mt ng thng x

+ 2y = 2, chng ta thy rng T nm trn min D l tam gic, c gii hn bi cc ng x =

2y, x + 2y = 2 v x = 0. (Xem Hnh 14.)

Mt phng x + 2y + z = 2 c th vit l z = 2 x 2y, nn vt th ni n nm di

th ca hm z = 2 x 2y v nm trn min D, trong

D = {(x, y) | 0 x 1, x/2 y 1 x/2}

Do = (2 2)

= (2 2)/

/

= [2 ]//

= ( 2 + 1)

=

( 1)

=

V d 5 Tnh tch phn lp sin()

.

Li gii Nu chng ta c tnh tch phn lp ny theo trnh t trn, chng ta phi i mt

vi vic tnh sin() . Nhng iu l khng th v nguyn hm ca sin(y2) khng thuc

lp hm s cp. V th chng ta cn thay i trnh t tnh tch phn. Trc ht chng ta phi

a n v tch phn kp:

sin()

= sin()

trong D = {(x, y) | 0 x 1, x y 1}

Chng ta phc ha min D trn Hnh 15. T Hnh 16 ta thy min D c m t l

D = {(x, y) | 0 y 1, 0 x y}


Trang 15

iu cho php chng ta s dng [5] tnh tch phn kp nh l tch phn lp theo th

t o ngc:

sin()

= sin()

= sin()

= [ sin()]

= sin()

=

()

=

(1 1)

3.3.2. Cc tnh cht ca tch phn kp

Chng ta gi thit rng tt c cc tch phn sau u tn ti. Cc tnh cht u tin ca tch

phn kp trn min D c suy trc tip t nh ngha 2 trong mc ny v cc tnh cht 7, 8 v

9 trong mc 3.1.

[6] [(,)+ (,)]

= (,)

+ (,)

[7] (,)

= (,)

Nu f(x, y) g(x, y) vi mi (x, y) thuc D th

[8] (,)

(,)

Tnh cht tip theo ca tch phn kp tng t vi tch phn n trong phng trnh

()

= ()

+ ()

Nu D = D1 D2 vi D1 v D2 khng ph ln nhau, ngoi tr trn bin (Hnh 17), th

[9] (,)

= (,)

+ (,)

Tnh cht 9 c th s dng tnh tch phn kp trn nhng min m khng phi loi 1

cng chng phi loi 2, nhng c th biu din di dng hp ca loi 1 v loi 2. Hnh 18

minh ha iu .

Tnh cht tip theo ni rng nu chng ta tch phn hm hng s f(x, y) = 1 trn min D,

ta nhn c din tch ca D:

[10] 1

= ()

Hnh 19 minh ha v sao phng trnh 10 l ng: Vt tr c y

l D v chiu cao bng 1 c A(D) 1 = A(D), nhng chng ta bit rng

c th vit th tch ca n l 1

.

Cui cng, ta c th kt hp cc tnh cht 7, 8 v 10 chng

minh tnh cht sau.

[11] Nu m f(x, y) M vi mi (x, y) trn D th

() (,)

()


Trang 16

V d 6 S dng tnh cht 11 c lng tch phn

, y D l a

vi tm ti gc ta v bn knh bng 2.

Li gii T 1 sinx 1, 1 cosy 1, ta c 1 sinxcosy 1, v do

=

V vy, s dng m = e1 = 1/e, M = e v A(D) = (2)2 trong tnh cht 11, ta nhn c

4

4

3.4. Tch phn kp trong ta cc

3.4.1. Tnh tch phn kp trong ta cc

Gi s rng chng ta mun tnh tch phn kp (,)

, trong R l mt trong

nhng min nh trn Hnh 1. Trong c hai trng hp m t ca R v ta vung gc l kh

phc tp, nhng R c th c m t d dng khi s dng ta cc.

Hnh 2 cho mi quan h gia ta cc (r, ) v ta vung gc (x, y):

r2 = x2 + y2 x = r cos y = r sin

Cc min trong Hnh 1 l cc trng hp c bit ca hnh ch nht cc

R = {(r, ) | a r b, }

c th hin trong Hnh 3. Theo trnh t tnh tch phn kp (,)

, trong R l hnh

ch nht cc, chng ta chia on [a, b] thnh m on con [ri1, ri] bng nhau vi di Dr = (b

a)/m v chia on [, ] thnh n on con bng nhau vi di D = ( )/n. Nh th cc

ng trn r = ri v cc tia = j chia hnh ch nht cc R thnh cc hnh ch nht cc nh Rij

nh ch ra trn Hnh 4.

"Tm" ca hnh ch nht cc nh Rij = {(r, ) ri1 r ri, j1 j} c ta cc l


Trang 17

=

( + )

=

+

Chng ta tnh din tch ca Rij khi s dng s kin rng din tch ca hnh qut trn vi

bn knh r v gc trung tm l

. Hiu cc din tch ca hai hnh qut m mi ci cng c

gc trung tm l D = j j1, ta nhn c din tch ca Rij l

DAi =

=

(

) =

(+ )( ) =

Mc d chng ta nh ngha tch phn kp (,)

trn hnh ch nht thng

thng, n ch ra rng vi hm f lin tc, chng ta lun lun nhn c cng mt kt qu khi

s dng cc hnh ch nht cc. Ta vung gc ca tm ca Rij l (

,

), v th

tng Riemann in hnh l

[1] (

,

)

= (

,

)

Nu chng ta vit g(r, ) = rf(rcos, rsin) th tng Riemann trong phng trnh 1 c th

vit li l (,

) , l tng Riemann ca tch phn kp (,)

Do ta c

(,)

= lim,

(

,

) = 1

= 1

= lim,

(,

) =1= 1 = (,)

= (,)

[2] Chuyn sang ta cc trong tch phn kp Nu f lin tc trn hnh ch nht

cc R c cho bi 0 a r b, , trong 0 2, th

(,)

= (,)

Cng thc trong [2] ni rng, chng ta chuyn t ta

vung gc sang ta cc trong tch phn kp bng cch vit

x = rcos v y = rsin, s dng cc cn thch hp ca tch phn

theo r v , v thay th dA bi rdrd. Cn thn ko qun nhn

t r trong v phi ca cng thc 2. Mt phng php c in

ghi nh iu ny th hin trn Hnh 5, khi hnh ch nht cc

"v cng nh" c th c coi l mt hnh ch nht bnh thng vi kch thc rd v dr v

do c "din tch" l dA = rdrd .

V d 1 Tnh (3 + 4)

, trong R l min thuc na trn ca mt phng c

gii hn bi ng trn + = 1 v + = 4.

Li gii Min R c th m t l R = {(x, y) | y 0, 1 x2 + y2 1}. [Xem Hnh 1(b)] v

trong ta cc ta c 1 r 2, 0 . Do theo cng thc 2,

(3 + 4) = (3 + 4)

= (3 + 4)

= [ + ]

= (7 + 15)

= 7 +

(1 2)

= 7 +

2

=


Trang 18

V d 2 Tm th tch ca vt th c gii hn bi cc mt z = 0 v z = 1 x2 y2.

Li gii Nu t z = 0 vo phng trnh ca paraboloid ta nhn c x2 + y2 = 1. iu

c ngha l mt phng ct paraboloid theo mt ng trn x2 + y2 = 1,

v vy vt th nm di paraboloid v trn hnh trn D c cho bi x2 +

y2 1. [Xem Hnh 6 v Hnh 1(a)]. Trong ta cc D c cho bi

0 r 1, 0 2. V 1 x2 y2 = 1 r2 nn th tch l

= (1 ) = (1 )

=

( )

= 2

=

Nu ta s dng ta vung gc thay th cho ta cc th ta nhn c

= (1 ) = (1 )

tch phn ny khng d dng tnh v n lin quan n tnh tch phn (1 )/.

Nhng g chng ta lm cho n nay c th c m rng

n kiu min phc tp hn c th hin trong Hnh 7. N tng

t nh min hnh ch nht loi 2 c xem xt trong mc 3.3. Trong

thc t, bng cch kt hp cng thc 2 trong phn ny vi cng thc

3.3.5, chng ta c cng thc sau y.

[3] Nu f lin tc trn min cc c dng

D = {(r, ) | , h1() r h2()}

th (,)

= (,)()

()

c bit, trong cng thc trn t f(x, y) = 1, h1() = 0, h2() = h(), ta thy din tch ca

min D c gii hn bi = , = v r = h() l

()= 1

= ()

=

()

=

[()]

iu ny ph hp vi cng thc bit trong Ton 2 (Hm mt bin s).

V d 3 S dng tch phn kp tm din tch ca min c ng kn bi mt ln lp

ca ng hoa hng 4 cnh r = cos2.

Li gii T phc ha ca ng cong trn Hnh 8, ta thy mt ln lp cho min

D = {(r, ) | /4 /4, 0 r cos2}

V th din tch l

()=

=

/

/=

2/

/

=

(1 + 4)/

/=

+

4

/

/

=

V d 4 Tnh th tch ca vt th nm di paraboloid z = x2 + y2, nm trn mt phng

xy v trong hnh tr x2 + y2 = 2x.

Li gii Vt th nm trn min D c gii hn bi hnh trn x2 + y2 = 2x, hay (x 1)2

+ y2 = 1. (Xem Hnh 9 v Hnh 10.)

Trong ta cc ta c x2 + y2 = r2 v x = rcos, v th ng trn tr thnh r = 2cos. V th

D = {(r, ) | /2 /2, 0 r 2cos}


Trang 19

v theo cng thc 3, ta c

( + )

=

/

/=

/

/= 4

/

/

= 8 /

= 8

/

= 2 1 + 22 +

()

/

= 2

+ 2 +

4

/

=

3.5. ng dng ca tch phn kp

Chng ta thy mt ng dng ca tch phn kp: tnh th tch. Mt ng dng hnh hc

khc l tm din tch cc mt cong v iu ny s c thc hin trong phn tip theo. Trong

phn ny chng ta khm ph cc ng dng vt l nh tnh ton khi lng, in tch, trng tm,

v m men qun tnh. Chng ta s thy rng nhng ngha vt l ny cng rt quan trng khi

p dng cho cc hm mt xc sut ca hai bin ngu nhin.

3.5.1. Mt v khi lng

Chng ta c th s dng tch phn n tnh m men qun tnh v ta trng tm ca

bn phng (thin plate, lamina) vi mt khng i. By gi, vi trang b l tch phn kp,

chng ta c th xem xt cc bn phng vi mt thay i. Gi s rng bn phng chon

(occupies) mt min D trong mt phng xy v mt ca n (n v khi lng/n v din

tch) ti mi im (x, y) trn D c cho bi (x, y), y l hm lin tc trn D. iu

ngha l (,)=

, y Dm v DA l khi lng v din tch ca mt hnh ch nht

nh cha (x, y) v gii hn c ly trong qu trnh kch thc ca hnh ch nht dn v 0.

(Xem Hnh 1.)

tm tng khi lng m ca bn phng, chng ta chia hnh ch nht R cha D

thanhfcacs hnh ch nht con Rij c cng kch thc (nh Hnh 2) v xem rng (x, y) = 0 ngoi

D. Nu ta chn mt im (x*ij, y*ij) trn Rij th khi lng ca phn bn phng chon Rij s xp

x (x*ij, y*ij)DA, trong DA l din tch ca Rij. Nu cng tt c cc khi lng nh th ta

nhn c xp x ca tng khi lng:

,

Nu chng ta tng s ca cc hnh ch nht nh, ta nhn c tng khi lng m ca bn

phng l gii hn ca cc gi tr xp x:

[1] = lim,

,

= (,)

Cc nh vt l cng xem xt cc kiu khc ca mt m c th c x l theo cch

tng t. V d nu mt in tch c phn b trn min D v mt in tch (n v in


Trang 20

tch/mt n v din tch) c cho bi (x, y) ti mt im (x, y) trn D, th tng in tch Q

c cho bi

[2] = (,)

V d 1 in tch c phn b trn hnh ch nht D (Hnh 3) sao cho mt in tch

ti (x, y) l (x, y) = xy, n v o l C/m2 (coulombs per square meter). Tnh tng in tch.

Li gii T phng trnh 2 v Hnh 3 ta c

= (,)

=

=

=

[1 (1 )]

=

(2 )

=

=

Vy tng in tch l

.

3.5.2. M men v trng tm

Gi s mt bn phng chon min D v c hm mt (x, y). Chng ta xc nh m

men ca n vi cc trc ta v ta trng tm ca n. Chng ta bit rng, m men ca mt

cht im (particle) vi mt trc l tch khi lng ca n vi khong cch t n ti trc. Chng

ta chia D thnh cc hnh ch nht nh nh Hnh 2. Khi khi lng ca Rij xp x (x*ij,

y*ij)DA, v th c th xp x m men ca Rij vi trc x bi [(x*ij, y*ij)DA]y*ij.

Nu chng ta cng tt c cc i lng v ly gii hn khi s cc hnh ch nht tng

ln v cng, ta nhn c m men ca bn phng vi trc x l

[3] = lim,

,

= (,)

Tng t, m men vi trc y l

[4] = lim,

,

= (,)

Nh trc y, chng ta nh ngha trng tm (,) sao cho = v = .

ngha vt l l xem nh ton b khi lng tp trung ti trng tm ca bn phng. V th bn

phng cn bng ngang khi c ti trng tm (Xem Hnh 4).

[5] Ta (,) ca trng tm ca bn phng chon min D c hm mt (x, y) l

=

=

(,)

=

=

(,)

trong khi lng m c tnh theo cng thc

= (,)

V d 2 Tm khi lng v trng tm ca bn phng tam gic vi cc nh (0, 0), (1, 0)

v (0, 2) nu hm mt l (x, y) = 1 + 3x + y.


Trang 21

Li gii Tam gic c ch ra trn Hnh 5. Ch rng phng trnh ca bin trn l

y = 2 2x. Khi lng ca bn phng l

= (,)

= (1 + 3 + )

= + 3 +

= 4 (1 )

= 4

=

T cng thc [5] cho ra

=

(,)

=

( + 3 + )

=

+ 3 +

=

( )

=

=

=

(,)

=

( + 3 + )

=

+

+

=

(7 9 3 + 5)

=

7

+

=

Trng tm ca bn phng ti im

,

V d 3 Mt ti im bt k trn bn nguyt l t l vi khong cch t tm ca hnh

trn ti im . Tm trng tm ca bn nguyt.

Li gii t bn nguyt nh l na trn ca hnh trn x2 + y2 = a2. (Xem Hnh 6.) Khong

cch t im (x, y) ti tm hnh trn l + . V vy hm

mt l (,)= +

trong K l hng s no . Ta chuyn sang ta cc. Khi

+ = v min D c cho bi 0 r a, 0 .

V th khi lng ca bn nguyt l

= (,)

= +

= ()

=

=

=

C bn nguyt v hm mt i xng theo trc y nn trng tm ca n phi nm trn

trc y, v vy = 0. Ta trc y c cho bi

=

(,)

=

()

=

=

[]

=

Do trng tm ca bn nguyt ti im 0,

.

3.5.3. M men qun tnh

M men qun tnh (moment of inertia), cn gi l m men th hai, ca mt cht im c

khi lng m i vi mt trc c nh ngha l mr2, trong r l khong cch t cht im

ti trc. Chng ta m rng vn ny ti bn phng c hm mt (x, y) v chon mt min

D nh lm vi m men th nht. Ta chia D thnh cc hnh ch nht nh, xp x mi m men

qun tnh ca mi hnh ch nht nh i vi trc x, v ly gii hn ca tng khi s cc hnh

ch nht nh dn ra v cng. Kt qu l m men qun tnh ca bn phng i vi trc x.


Trang 22

[6] = lim,

,

=

(,)

Tng t, m men qun tnh ca bn phng i vi trc y l

[7] = lim,

,

=

(,)

M men qun tnh ca bn phng i vi gc ta l

[8] = lim,

+

,

= (

+ )(,)

Ch rng I0 = Ix + Iy.

V d 4 Tm cc m men qun tnh Ix, Iy v I0 ca mt ci a ng cht c hm mt

(x, y) = , tm ti gc ta , bn knh bng a.

Li gii Bin ca D l ng trn x2 + y2 = a2 v trong ta cc D c m t bi 0

2, 0 r a. Ta tnh I0 trc:

= ( + )

=

=

=

Thay cho vic tnh Ix v Iy, chng ta s dng s kin Ix + Iy = I0 v Ix = Iy (Do tnh i

xng ca bi ton). V vy = =

=

Trong V d 4, ch rng khi lng ca a l m = (khi lng)(din tch) = a2 nn

m men qun tnh ca a i vi gc ta c th vit li

=

=

() =

V vy, nu chng ta tng khi lng hoc bn knh ca a, chng ta lm tng moment

qun tnh. Ni chung, m men qun tnh ng vai tr trong chuyn ng quay m khi lng

ng vai trong chuyn ng thng. M men qun tnh ca bnh xe lm cho n kh khn bt

u hoc dng vng quay ca bnh xe, cng nh khi lng ca mt chic xe hi lm cho n

kh khn bt u hoc dng chuyn ng ca xe.

Bn knh quay (radius of gyration) hay bn knh hi chuyn ca bn phng i vi mt

trc l s R sao cho

[9] mR2 = I

trong m l khi lng ca bn phng v I l m men qun tnh i vi trc. Phng trnh 9

ni rng nu khi lng ca bn phng tp trung ti im cch trc mt khong R, th m men

qun tnh ca im ny bng vi m men qun tnh ca bn phng.

c bit, cc bn knh quay v tng ng vi cc trc x v y c cho bi

[10] =

=

V th , l im m ti khi lng ca bn phng c th tp trung m khng thay

i m men qun tnh i vi cc trc ta .

V d 5 Tm bn knh quay i vi trc x ca a trong V d 4.

Li gii Nh cp, khi lng ca a l m = a2, do , t phng trnh 10, chng

ti c =

=

=

. V vy bn knh quay i vi trc x l =

, l na bn knh

ca a.


Trang 23

3.5.4. Xc sut

Chng ta xem xt hm mt xc xut f ca bin ngu

nhin lin tc X. Ngha l f(x) 0 vi mi x, ()

= 1,

v xc sut m X nm gia a v b c tnh theo cng thc

( )= ()

By gi ta xt mt cp bin ngu nhin X v Y, nh l i

sng ca hai thnh phn ca mt ci my hoc chiu cao v cn

nng ca ngi ph n ti thi im ngu nhin. Hm mt chung ca X v Y l mt hm f

ca hai bin ging nh xc xut m (X, Y) thuc min D l (,) = (,) .

c bit, nu min D l hnh ch nht, xc sut m X thuc a v b v Y thuc c v d l

( , )= (,)

(Xem Hnh 7.)

Bi v xc sut khng am v c o trn thang t 0 n 1, hm mt c tnh cht sau:

f(x, y) 0 (,)

= 1

Tch phn kp trn R2 l tch phn suy rng c nh ngha l gii hn ca tch phn kp

trn cc hnh trn hoc hnh vung m rng, ta c th vit

(,)

= (,)

= 1

V d 6 Nu hm mt chung ca X v Y c cho bi

(,)= ( + 2) 0 10,0 100

Tm gi tr ca hng s C. Tnh P(X 7, Y 2).

Li gii Ta tm gi tr ca C theo tnh cht tch phn kp ca f bng 1. Bi v f(x, y) = 0

bn ngoi hnh ch nht [0, 10][0, 10], ta c

(,)

= ( + 2)

= [ + ]

= (10 + 100)

= 1500

V 1500C = 1 nn C = 1/1500.

By gi chng ta c th tnh xc sut m X ln nht bng 7, Y nh nht bng 2:

( 7, 2)= (,)

= ()

=

[ + ]

=

(8 + 96)

=

0.5787

Gi s rng X v Y l cc bin ngu nhin tng ng vi cc hm mt xc sut f1(x)

v f2(y). Khi X v Y c gi l cc bin ngu nhin c lp nu hm mt chung ca

chng bng tch cc hm mt ring ca chng: f(x, y) = f1(x)f2(y).

m hnh ha thi gian ch i, ta s dng hm mt dng m:

()= 0 < 0/ 0

trong l trung bnh thi gian ch i. Trong v d tip theo chng ta xem xt tnh hung

hai thi gian ch i c lp.


Trang 24

V d 7 Ngi qun l ca mt rp chiu phim xc nh rng trung bnh thi gian ch

i m khn gi xp hng mua v cho b phim ca tun ny l 10 pht v thi gian trung

bnh m h ch i mua bng ng l 5 pht. Gi s rng cc thi gian ch i l c lp,

tm xc sut m mt khn gi ch i tng cng t hn 20 pht trc khi nhn c ch ngi

ca mnh.

Li gii Gi s rng c thi gian ch i X mua v v thi gian ch i Y trong hng

gii kht c m hnh ha bi cc hm mt xc sut theo hm

s m, chng ta c th vit cc hm mt ring nh sau:

()= 0 < 0/ 0

()= 0 < 0/ 0

V X v Y l c lp hm mt chung l tch:

(,)= ()()=

// 0, 0

0

Chng ta ang i hi xc sut m X + Y < 20: P(X + Y < 20) = P((X, Y) D)

trong D l tam gic c ch ra trong Hnh 8. V vy

( + < 20)= (,)

=

//

=

/(5)/

=

/1 ()/

=

//

= 1 + 2 0.7476

Ngha l khong 75% khn gi i t hn 20 pht trc khi nhn c ch ngi.

3.5.5. K vng

Nu X l bin ngu nhin vi hm mt xc sut f th k vng l = ()

.

By gi nu X v Y l cc bin ngu nhin vi hm mt chung f, chng ta nh ngha

Xk vng v Yk vng, cn c gi l k vng (expected value) ca X v Y, l

[11] = (,) = (,)

Ch rng cc biu thc 1 v 2 trong [11] ging nh cc momen Mx v My ca mt

bn phng vi mt hm trong phng trnh 3 v phng trnh 4. Trong thc t, chng ta

c th xem rng xc sut ging nh khi lng phn phi lin tc. Chng ta tnh xc sut ta

nh chng ta tnh khi lng, bng cch tch phn hm mt . V bi v tng "lng xc sut

" bng 1, cc biu thc i vi v trong [5] cho thy rng chng ta c th xem k vng ca

X v Y, 1 v 2 nh ta ca "trng tm" ca phn phi xc sut.

Trong v d tip theo chng ta s x l vi phn phi chun (normally distributed). Nh

bit, mt bin ngu nhin l phn phi chun nu hm mt xc sut ca n c dng

()=

()

trong l k vng v l lch chun.

V d 8 Mt nh my sn xut (hnh tr) vng bi a c bn ra c ng knh 4.0 cm

v chiu di 6.0 cm. Trong thc t, ng knh X l phn b chun vi k vng 4.0 cm v

lch chun 0.01 cm trong khi chiu di Y l phn b chun vi k vng 6.0 cm v lch chun

0.01 cm. Gi s X v Y l cc bin ngu nhin c lp, vit hm mt chung v v th ca


Trang 25

n. Tm xc sut m mt vng bi c chn ngu nhin t cc dy chuyn sn xut c hoc

chiu di hoc ng knh khc vi k vng hn 0.02 cm.

Li gii Chng ta c X v Y l phn phi chun vi 1 = 4.0, 2 = 6.0, 1 = 2 = 0.01.

V vy cc hm mt ring ca X v Y l

()=

.

()

. ()=

.

()

.

Bi v X v Y l c lp, hm mt chung l tch:

(,)= ()()=

.

()

. ()

.

=

()

()

th ca hm ny c ch ra trn Hnh 9.

Trc tin ta tnh xc sut m c X v Y sai khc vi k vng ca chng nh hn 0,02

cm. S dng my tnh c lng tch phn ta c

(3.98 < < 4.02,5.98 < < 6.02)= (,).

.

.

.

=

()

().

.

.

. 0.91

V vy xc sut m c X hoc Y sai khc vi k vng hn 0.02 cm xp x 1 0.91 = 0.09.

3.6. Tch phn mt

Trong phn ny chng ta p dng tch phn kp tnh din

tch ca mt cong, th ca mt hm hai. Gi s S l mt cong vi

phng trnh z = f(x, y), vi f c cc o hm ring lin tc. n

gin trong vic suy lun, chng ta gi thit rng f(x, y) 0 v min

xc nh D ca f l hnh ch nht. Ta chia D thnh cc hnh ch nht

nh vi din tch DA = DxDy. Nu (xi, yj) l gc ca Rij gn gc ta

, th Pij(xi, yj, f(xi, yj)) l im thuc S (xem Hnh 1). Mt phng

tip din ca S ti Pij l xp x ca S gn Pij. V th din tch DTij ca

phn tip din nm trc tip pha trn Rij l xp x ca din tch DSij ca phn thuc S nm trc

tip pha trn Rij. V th tng kp DTij l xp x ca tng din tch ca S, v xp x ny tt

hn khi s hnh ch nht tng ln. Do chng ta nh ngha din tch ca S l

[1] ()= lim,

tm cng thc thun tin hn phng trnh 1 trong tnh ton,

chng ta gi s a v b l cc vc t bt u ti Pij v nm dc theo

cc cnh ca hnh bnh hnh vi din tch DTij, khi DTij = |a b|

(xem Hnh 2). Nh li t mc 2.3 rng fx(xi, yj) v fy(xi, yj) l dc

ca cc ng tip tuyn i qua Pij theo hng ca a v b. Do

a = Dxi + fx(xi, yj)Dxk b = Dyi + fy(xi, yj)Dyk

v

=

0 ,

0 ,


Trang 26

= fx(xi, yj)DxDy i fy(xi, yj)DxDy j + DxDy k = [fx(xi, yj) i fy(xi, yj) j + k] DA

V vy = | |= ,+ ,

+ 1

T nh ngha 1 ta c

()= lim,

= lim

, ,

+ ,

+ 1

v theo nh ngha ca tch phn kp ta nhn c cng thc

[2] Din tch ca mt cong c phng trnh z = f(x, y), (x, y) D, c fx v fy lin tc, l

()= [(,)] + (,)+ 1

Trong mc 4.6, nht nh chng ta s kim tra li rng cng thc ny ph hp vi cng

thc trc y i vi din tch mt trn xoay. Nu s dng k hiu thay th cho o hm ring,

ta c th vit cng thc [2] di dng:

[3] ()= 1 +

+

V d 1 Tnh din tch ca phn mt cong z = x2 + 2y nm trn tam gic T trong mt

phng xy vi cc nh (0, 0), (1, 0) v (1, 1).

Li gii Min T c ch ra trong Hnh 3 v c m t bi

T = {(x, y) | 0 x 1, 0 y x}

S dng cng thc 2 vi f(x, y) = x2 + 2y, ta nhn c

= (2) + 2 + 1

= 4 + 5

= 4 + 5

=

(4 + 5)/

=

27 55

Hnh 4 ch ra phn ca mt cong c din tch c tnh trong V d 1.

V d 2 Tnh din tch ca phn paraboloid z = x2 + y2 nm di mt phng z = 9.

Li gii Mt phng giao vi paraboloid theo ng trn x2 + y2 = 9, z = 9.

Do mt phng cho nm trn a D vi tm l gc ta v bn knh

bng 3. (Xem Hnh 5.) S dng cng thc 3 ta c

= 1 +

+

= 1 + 4( + )

Chuyn sang ta cc ta nhn c

= 1 + 4

=

1 + 4(4)


Trang 27

= 2

(1 + 4)

=

3737 1

3.7. Tch phn bi ba

3.7.1. Khi nim tch phn bi ba

Cng nh nh ngha tch phn n cho hm mt bin v tch phn kp cho hm hai bin,

chng ta c th nh ngha tch phn bi ba (triple integrals) cho

hm ba bin. Trc ht ta xt trng hp n gin nht khi f xc

nh trn khi hp ch nht:

[1] B = {(x, y, z) | a x b, c y d, r z s}

u tin ta chia B thnh cc hp nh, bng cch chia on

[a, b] thnh l on con [xi1, xi] bng nhau vi di Dx, chia

on [c, d] thnh m on con [yj1, yj] bng nhau vi di Dy

v chia on [r, s] thnh n on con [zk1, zk] bng nhau vi

di Dz. Cc mt phng i qua cc mt ca cc on con ny song

song vi cc mt phng ta s chia khi hp ch nht B thnh

l.m.n hp nh Bijk = [xi1, xi] [yj1, yj] [zk1, zk], c ch ra

trn Hnh 1. Mi hp nh c th tch DV = DxDyDz. Tng

Riemann c dng

[2] ,

,

trong im mu ,

, thuc Bijk. Theo cch tng t vi nh ngha tch phn kp

3.1.5, chng ta nh ngha tch phn bi ba l gii hn ca tng Riemann trong [2].

[3] nh ngha Tch phn bi ba ca f trn hp B l

(,,) = lim,,

, ,

nu gii hn ny tn ti.

Tch phn b ba tn ti nu f lin tc. Chng ta c th chn im mu bt k trn hp

nh, nhng nu chng ta chn n l im (xi, yj, zk) ta nhn c biu thc n gin hn:

(,,) = lim,, ,,

Cng nh tch phn kp, phng php thc t tnh tch phn bi ba l a n v tch

phn lp sau:

[4] nh l Fubini cho tch phn bi ba Nu f lin tc trn khi hp ch nht

B = [a, b][c, d][r, s] th (,,)

= (,,)

Tch phn lp v phi c ngha rng u tin chng ta tch phn theo bin x (gi y v z

c nh), sau tch phn theo bin y (coi z c nh) v cui cng tch phn theo z. C 5 kh

nng na v th t ly tch phn v chng u cho cng mt gi tr. V d, nu chng ta tch

phn theo trnh t z, ri y, ri x th ta c (,,)

= (,,)

.

V d 1 Tnh tch phn bi ba , trong B l khi hp ch nht c cho

bi B = {(x, y, z) | 0 x 1, 1 y 2, 0 z 3}


Trang 28

Li gii Chng ta c th s dng bt k mt trong 6 kh nng v th t ly tch phn.

Nu ta chn trnh t x, y ri z th ta nhn c

=

=

=

=

=

=

=

By gi chng ta nh ngha tch phn bi ba trn min bt k E trong khng gian ba

chiu theo cch ging nh s dng i vi tch phn kp. Chng ta bao E bi mt hp B c

kiu cho trong phng trnh 1. Sau chng ta nh ngha hm F trng vi f trn E nhng bng

0 vi mi im thuc B nhng khng thuc E. nh ngha:

(,,)

= (,,)

Tch phn ny tn ti nu f lin tc v bin ca E l " trn".

Tch phn bi ba v c bn c cc tnh cht ging nh tch phn

kp. y chng ta hn ch ch quan tm ti cc hm lin tc f v

cc kiu n gin ca min ly tch phn.

(a) Min ly tch phn thuc loi 1

Mt min E c gi l loi 1 nu n nm gia hai th ca hai hm lin tc theo x v

y, tc l

[5] E = {(x, y, z) | (x, y) D, u1(x, y) z u2(x, y)}

trong D l hnh chiu ca E ln mt phng xy nh Hnh 2. Ch rng bin trn ca E l mt

cong c phng trnh z = u2(x, y), cn bin di c phng trnh z = u1(x, y).

Bng cng mt lp lun dn n (3.3.3), c th ch ra rng nu min E thuc loi 1 c

cho bi phng trnh 5 th

[6] (,,)

= (,,)(,)

(,)

Ngha ca tch phn bn trong l x v y c gi c nh, v vy u1(x, y) v u2(x, y) c

xem nh khng i khi tch phn theo bin z.

c bit, nu hnh chiu D ca E ln mt phng xy thuc min phng loi 1 (Hnh 3) th

E = {(x, y, z) | a x b, g1(x) y g2(x), u1(x, y) z u2(x, y)}

v phng trnh 6 tr thnh

[7] (,,)

= (,,)(,)

(,)

()

()

Mt khc, nu D thuc min phng loi 2 (nh Hnh 4), th

E = {(x, y, z) | c y d, h1(y) x h2(y), u1(x, y) z u2(x, y)}

v phng trnh 6 tr thnh

[8] (,,) = (,,)(,)

(,)

()

()


Trang 29

V d 2 Tnh

, trong E l t din c gii hn bi bn mt phng

x = 0, y = 0, z = 0 v x + y + z = 1.

Li gii Chng ta nn v ra hai hnh: mt l min E (xem Hnh 5), mt l min D, l hnh

chiu ca E ln mt phng xy (xem Hnh 6). Bin di ca t din l mt phng z = 0 v bin

trn l mt phng x + y + z = 1 hay z = 1 x y, v th u1(x, y) = 0 v u2(x, y) = 1 x y. Ch

rng cc mt phng x + y + z = 1 v z = 0 giao nhau theo ng thng x + y =1 hay y = 1 x

trn mt phng xy. V chiu ca E l min tam gic ch ra trn Hnh 6, ta c

[9] E = {(x, y, z) | 0 x 1, 0 y 1 x, 0 z 1 x y}

M t ny ca E nh l kiu 1 cho php ta tnh tch phn nh sau:

=

=

=

(1 )

=

(1 )

=

(1 )

=

(1 )

=

(b) Min ly tch phn thuc loi 2

Min E c gi l loi 2 nu n c dng

E = {(x, y, z) | (y, z) D, u1(y, z) x u2(y, z)}

trong D l chiu ca E ln mt phng yz (xem Hnh 7).

Mt sau l x = u1(y, z), mt trc l z = u2(y, z), ta c

[10] (,,)

= (,,)(,)

(,)

(c) Min ly tch phn thuc loi 3

Min E c gi l loi 3 nu n c dng

E = {(x, y, z) | (x, z) D, u1(x, z) y u2(x, z)}

trong D l chiu ca E ln mt phng xz (xem Hnh 8).

Mt tri l y = u1(x, z), mt phi l z = u2(x, z), ta c

[11] (,,) = (,,)(,)

(,)

Trong mi phng trnh 10 v 11 li c hai kh nng th hin tch phn, ph thuc vo

min D l min phng loi 1 hay loi 2.

V d 3 Tnh +

, trong E l min c gii hn bi paraboloid y = x2

+ z2 v mt phng y = 4.


Trang 30

Li gii Min E c ch ra trn Hnh 9. Nu chng ta xem n l loi 1 th chng ta cn

phi xem xt chiu ca n ln mt phng xy, D1, l mt parabol trn Hnh 10.

T y = x2 + y2 ta nhn c = , nn bin trn ca E l = v bin

di l = . Do m t ca E thuc kiu 1 l

= {(,,) | 2 2, 4, }

v ta nhn c

+

= +

Mc d th hin ny l ng, nhng cc k kh tnh n. V th

chng ta hy thay th bng cch xem E l loi 3. Nh vy, chiu ca n

ln mt phng xz, D3, l a x2 + z2 4 (Hnh 11). Nh vy bin tri ca

E l paraboloid y = x2 + z2 v bin phi l mt phng y = 4, v th thay

u1(x, z) = x2 + z2 v u2(x, z) = 4 vo phng trnh 11, ta c

+

= +

= (4 ) +

Mc d tch phn ny c th vit l (4 ) +

, chng ta chuyn

sang ta cc trong mt phng xz: x = rcos, z = rsin. Ta nhn c

(4 ) +

= (4 )

= (4 )

= 2

=

V d 4 a tch phn lp (,,)

v dng tch phn bi ba v vit

li n di dng tch phn lp theo th t theo x, theo z v theo y.

Li gii Ta c th vit

(,,)

= (,,)

trong E = {(x, y, z) | 0 x 1, 0 y x2, 0 z y}. M t nay cho php chng ta vit hnh

chiu ln ba mt phng ta nh sau:

Trn mt phng xy: D1 = {(x, y) | 0 x 1, 0 y x2} = {(x, y) | 0 y 1, x 1}

Trn mt phng yz: D2 = {(y, z) | 0 y 1, 0 z y}

Trn mt phng xz: D3 = {(x, z) | 0 x 1, 0 z x2}


Trang 31

T cc phc ha cc hnh chiu trn Hnh 12, chng ta phc ha vt th E trn Hnh 13.

Chng ta thy rng l vt th c gii hn bi cc mt phng z = 0, x = 1, y = z v mt tr

y = x2 (hay x = ).

Nu tch phn theo trnh t x, z v y, chng ta s dng biu din sau:

E = {(x, y, z) | 0 y 1, 0 z y, x 1}

V th (,,) = (,,)

3.7.2. ng dng ca tch phn bi ba

Nhc li rng nu f(x, y) 0 th tch phn n ()

th hin din tch ca min nm

di ng cong y = f(x) t a ti b, nu f(x, y) 0 th tch phn kp (,)

th hin th

tch ca vt th nm di mt cong z = f(x, y) v trn min D. S gii thch tng ng ca tch

phn bi ba (,,)

vi f(x, y, z) 0 l khng hu dng bi v n cn "siu th tch"

(hypervolume) ca i tng bn chiu, tt nhin iu ny rt kh hnh dung. (Nh rng E l

min xc nh ca hm f, th ca f nm trong khng gian 4 chiu.) D sao, tch phn bi ba

c th c gii thch theo cch khc trong tnh hung vt l khc, ph thuc vo su gii thch

vt l ca x, y, z v f(x, y, z).

Chng ta bt u vi trng hp c bit khi f(x, y, z) = 1 vi mi im trong E. Khi

tch phn bi ba biu th th tch ca E:

[12] ()=

V d, ta c th thy iu trong trng hp E thuc loi 1 bng cch t f(x, y, z) = 1

vo cng thc 6:

1

= (,)

(,)

= [(,) (,)]

v t mc 3.3 ta bit y l th tch ca vt th nm gia cc mt z = u1(x, y) v z = u2(x, y).

V d 5 S dng tch phn bi ba tnh th tch ca t din T c gii hn bi cc mt

phng x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 v z = 0.

Li gii T din T v hnh chiu D ca n ln mt phng xy c ch ra trong Hnh 14

v Hnh 15. Bin di ca T l mt phng z = 0 v bin trn l mt phng x + 2y + z = 2, tc l

z = 2 x 2y.


Trang 32

Do ta c

()=

=

/

/

= (2 2)

/

/

=

theo cng cch tnh trong V d 4 ca mc 3.3.

(Nhn thy rng n khng phi l cn thit s dng tch phn bi ba tnh th tch

m ch n gin l a ra mt phng php thay th cho vic thit lp cc tnh ton.)

Tt c c ng dng ca tch phn kp trong mc 3.3 c th m rng trc tip ti tch phn

bi ba. V d, nu hm mt ca vt th chon min E l (x, y, z), n v khi lng/n v

th tch, ti mi im d cho (x, y, z) th khi lng ca n l

[13] = (,,)

v cc m men ca n i vi ba mt phng ta l

[14] = (,,) = (,,) = (,,)

Trng tm l im (,,), trong

[15] =

=

=

Cc m men qun tnh i vi ba trc ta l

[16] = ( + )(,,)

= (

+ )(,,)

= ( + )(,,)

Nh trong mc 3.5, tng in tch trong vt th chon mt min E v c mt in tch

l (x, y, z) l

= (,,)

Nu ta c ba bin ngu nhin X, Y v Z, hm mt chung ca chng l hm ba bin, th

xc sut m (X, Y, Z) thuc E l

(,,) = (,,)

c bit,

( , , )= (,,)

Hm mt chung tha mn

(,,) 0 (,,)

= 1

V d 6 Tm trng tm ca vt th ng cht c gii hn bi tr x = y2 v cc mt

phng x = z, z = 0 v x = 1.

Li gii Vt th E v hnh chiu ca n ln mt phng xy c ch ra trn Hnh 16. Cc

mt di v trn cuae E l cc mt phng z = 0 v z = x, v th chng ta m t E nh loi 1:

E = {(x, y, z) | 1 y 1, y2 x 1, 0 z x}


Trang 33

Nu mt l (x, y, z) = , khi lng l

=

=

=

=

=

(1 )

= (1 )

=

=

V s i xng ca E v qua mt phng xz, chng ta c th trc tip ni rng Mxz = 0

v do = 0. Cc m men khc l

= =

=

=

=

(1 )

=

=

= =

=

=

(1 )

=

Do trng tm l (,,)=

,

,

=

,0,

3.8. Tch phn bi ba trong ta tr

Trong hnh hc phng, h ta cc c s dng m

t thun tin mt s ng v min nht nh. Hnh 1 cho php

chng ta nh li mi lin h gia ta cc v ta cc.

Vi im P, ta cc l (x, y) v ta cc l (r, ) th t

hnh v,

x = rcos y = rsin

r2 = x2 + y2 tan = y/x

Trong khng gian ba chiu c h ta , gi l ta tr (cylindrical coordinates), tng

t nh ta cc v cho php m t thun tin mt s mt cong v vt th hay thng dng. Ta

s thy, mt s tch phn bi ba s d dng tnh c trong ta tr.

3.8.1. Ta tr

Trong ta tr, mt im P trong khng gian ba chiu c

biu din theo b ba c th t (r, , z), trong r v l ta tr ca

chiu ca P ln mt phng xy v z l khong cch nh hng t mt

phng xy ti P. (Xem Hnh 2.)

chuyn t ta tr ti ta cc, ta s dng cc phng

trnh

[1] x = rcos y = rsin z = z

trong khi chuyn t ta cc ti ta cc ta dng phng trnh

[2] r2 = x2 + y2 tan = y/x z = z

V d 1

(a) V im vi ta tr (2, 2/3, 1) v tm ta cc ca n.

(b) Tm ta tr ca im vi ta cc l (3, 3, 7).

Li gii


Trang 34

(a) im vi ta tr (2, 2/3, 1) c v trn Hnh 3. T phng trnh 1, ta cc

ca n l:

= 2

= 2

= 1 = 2

= 2

= 3 = 1

Vy ta cc ca im l 1,3,1

(b) T phng trnh 2 ta c

= 3 + (3) = 32 =

= 1 =

+ 2 = 7

Do mt tp cc ta tr l 32,

+ 2,7.

Ta hnh tr l hu ch trong cc vn c lin quan n tnh i xng quanh mt trc

v trc z c chn trng vi trc i xng ny. V d, trc ca mt tr trn vi phng

trnh x2 + y2 = c2 l trc z. Trong ta tr, mt tr c phng trnh rt n gin l r = c. (Xem

Hnh 4). y l l do cho ci tn ta "tr".

V d 2 M t mt cong m phng trnh ca n trong ta tr l z = r.

Li gii Phng trnh ni ln rng gi tr z, hay chiu cao, ca mi im trn mt cong

u bng r, khong cch t im ti trc z. Bi v khng c mt

nn n thay i. V th bt k vt ngang trn mt phng z = k (k > 0)

l ng trn bn knh k. Nhng vt cho thy mt cong l mt

hnh nn. D on ny c th c xc nhn bng cch chuyn i

phng trnh v ta cc. T phng trnh u tin trong [2]

chng ta c z2 = r2 = x2 + y2.

Chng ta ghi nhn phng trnh z2 = x2 + y2 l hnh nn trn

m trc ca n l trc z (xem Hnh 5).

3.8.2. Tnh tch phn bi ba trong ta tr

Gi s rng E l min loi 1 vi hnh chiu D ca n ln mt phng xy c m t trong

ta cc (xem Hnh 6). c bit, gi thit f lin tc v

E = {(x, y, z) | (x, y) D, u1(x, y) x u2(x, y)}

trong D l c cho trong ta cc D = {(r, ) |

, h1() r h2()}.

Chng ta bit t phng trnh 3.7.6 rng

[3] (,,)

=

(,,)(,)

(,)


Trang 35

Nhng chng ta cng bit cch tnh tch phn kp trong ta cc. Thc t, kt hp

phng trnh 3 vi phng trnh 3.4.3 ta nhn c

[4] (,,)

= (,,)(,)

(,)

()

()

Cng thc 4 l cng thc tnh tch phn bi ba trong ta cc.

N ni ln rng chuyn mt tch phn bi ba trong ta cc sang

ta tr bng cch vit x = rcos, y = rsin, cn z gi nguyn, s dng

cc cn thch hp ca tch phn i vi z, r v , v thay dV bi rdzdrd.

(Hnh 7 ch ra cch nh iu .) Cng thc ny c s dng khi E l

vt th d dng m t trong ta tr v c bit l khi hm f(x, y, z)

lin quan ti biu thc x2 + y2.

V d 3 Mt vt th bn trong hnh tr x2 + y2 = 1, bn di mt phng z = 4, bn trn

paraboloid z = 1 x2 y2. (Xem Hnh 8.) Mt ti mi im ca n t l vi khong cch t

ti trc ca hnh tr. Tnh khi lng ca E.

Li gii Trong ta tr, phng trnh hnh tr l r = 1 v phng trnh paraboloid l

z = 1 r2, v vy ta c th vit

E = {(r, , z) | 0 2, 0 r 1, 1 r2 z 4}.

V mt ti (x, y, z) t l vi khong cch t n trc z nn

hm mt l (,,)= + =

trong K l hng s t l. T cng thc 3.7.13, khi lng ca E l

= +

= ()

= [4 (1 )]

= (3 + )

= 2 +

=

V d 4 Tnh ( + )

Li gii Tch phn lp ny l tch phn bi ba trn min

= {(,,) | 2 2,4 4 , + 2

v hnh chiu ca E ln mt phng xy l a x2 + y2 4. Mt di ca

E l nn = + v mt trn ca n l mt phng z = 2. (Xem

Hnh 9.). M t ca E trong ta tr l

E = {(r, , z) | 0 2, 0 r 2, r z 2}

Do ta c

( + )

= ( + )

=

= (2 )

= 2

=

3.9. Tch phn bi ba trong ta cu

Mt h ta na trong khng gian ba chiu l ta cu (spherical). N n gin ha

cch tnh tch phn bi ba trn nhng min c gii hn bi cc hnh cu hoc hnh nn.


Trang 36

3.9.1. Ta cu

Ta cu (,, ) ca im P trong khng gian c ch ra

trn Hnh 1, trong = |OP| l khong cch t gc ta n P,

ging nh gc trong ta tr, v l gc gia hng dng ca

trc z vi OP. Ch rng 0 0 .

H ta cu c bit hu ch trong cc bi ton c im i

xng v gc ta t ti im ny. V d, hnh cu vi tm l gc

ta v bn knh c c phng trnh n gin = c (xem Hnh 2),

iu gii thch ci tn ta "cu". th ca phng trnh = c l na mt phng (sem

Hnh 3), phng trnh = c biu th na hnh nn vi trc z l trc ca n (xem Hnh 4).

Mi lin h gia ta cc v ta cu c th thy t

Hnh 5. T cc tam gic OPQ v OPP' ta c

z = cos r = sin

Nhng x = rcos v y = rsin nn chuyn t ta cu

sang ta cc, ta s dng

[1] x = sin cos v y = sin sin z = cos

Ngoi ra, cng thc khong cch l

[2] 2 = x2 + y2 + z2

Chng ta s dng phng trnh ny chuyn t ta cc sang ta cu.

V d 1 im (2, /4, /3) c cho trong ta cu. V im v tm ta cc

ca n.

Li gii Chng ta v im trn Hnh 6. T phng trnh 1 ta c

x = sincos = 2sin

= 2

=

y = sinsin = 2sin

= 2

=

z = cos = 2cos

= 2

= 1

Vy ta cc ca im l 3/2,3/2,1.

V d 2 im 0,23,2 c cho trong ta cc, tm ta cu ca n.

Li gii T phng trnh 2 ta c = + + = 0 + 12 + 4 = 4 v v th

phng trnh 1 cho ra

=

=

=

=

=

= 0 =


Trang 37

Ch rng 3/2 bi v y = 23 > 0.

Do ta cu ca im cho l (4, /2, 2/3).

3.9.2. S nh gi tch phn bi ba vi ta cu

Trong ta cu, tng ng vi khi hp ch nht trong

ta cc l nm cu (spherical wedge)

E = {(, , ) | a b, , c d}

trong a 0 v 2, d c . Mc d chng ta nh

ngha tch phn bi ba bng cch chia vt th thnh nhiu khi

hp ch nht nh, cng c th ch ra rng chia thnh nhiu nm

cu nh cng cho cng mt kt qu. V th chng ta chia E

thnh nhng nm cu nh Eijk bi cc mt cu = i, cc na

mt phng = j v cc na hnh nn = k. Hnh 7 ch ra rng Eijk xp x vi khi hp ch

nht c ba kch thc l , i (cung ca ng trn bn knh i, gc ), v isink (cung

ca ng trn bn knh isink, gc ).

V vy xp x th tch Eijk l = (D)()()=

Thc t, c th ch ra rng, vi s h tr ca nh l gi tr trung bnh, th tch ca Eijk chnh

xc l = , trong , l im no trn Eijk.

Gi s ,

, l ta cc ca im , th

(,,)

= lim,,

,

,

= lim,,

,,

Nhng y l tng Riemann ca hm

((,,)= (,,)

Do chng ta a i n cng thc tch phn bi ba trong ta cu

[3] (,,)

= (,,)

trong E l nm cu c cho bi E = {(, , ) | a b, , c d}

Cng thc 3 ni ln rng, chng ta chuyn tch phn bi ba t ta cc sang ta

cu bng cch vit x = sin cos y = sin sin z = cos

v s dng cc cn tch phn thch hp, v thay dV bi

2sinddd. iu ny c minh ha trn Hnh 8.

Cng thc ny c th m rng cho min tng qut nh

E = {(, , ) | , c d, g1(, ) g2(, )}

Trong trng hp ny cng thc ging nh [3] ngoi tr

cc cn ca tch phn i vi l g1(, ) v g2(, ).

Thng thng, ta cu c s dng trong tch phn bi

ba khi bin ca min ly tch phn l cc mt cong c dng hnh nn v hnh cu hnh.

V d 3 Tnh

/

, trong B l hnh cu n v (unit ball):

B = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 1}

Li gii V bin ca B l mt cu nn chng ta s dng ta cu:


Trang 38

B = {(, , ) | 0 1, 0 2, 0 }

Hn na, ta cu l thun li bi v x2 + y2 + z2 = 2. V vy t [3] ta nhn c

/

=

/

=

= []

(2)

=

( 1)

Ch : S v cng kh khn tnh tch phn bi ba trong V d 3 m khng dng ta

cu. Trong ta cc tch phn lp s l

/

V d 4 S dng ta cu tnh th tch vt th nm trn mt nn = + v di

mt cu x2 + y2 + z2 = 1 (Hnh 9).

Li gii Ch rng mt cu i qua gc ta v c tm l (0, 0, 1/2). Chng ta vit

phng trnh ca mt cu trong ta cu: 2 = cos hay = cos

Phng trnh nt nn c th vit l

= + = = = /4

Do m t ca E trong ta cu l

E = {(, , ) | 0 2, 0 /4 , 0 cos}

Hnh 11 cho thy cch m E lan ra khi chng ta tch phn theo bin trc, sau n

v . Th tch ca E l:

()=

=

/

=

/

=

/

=

/

=


Trang 39

3.10. i bin trong tch phn bi

3.10.1. i bin trong tch phn kp

Vi tch phn n, ta c quy tc i bin: Nu u = g(x) th

()() = ()

Bng cch hon i vai tr x v u, ta c th vit li

[1] ()

= (())()

trong x = g(u) v a = g(c), b = g(d). Mt cch vit khc ca cng thc 1 nh sau:

[2] ()

= (())

S i bin cng hiu qu trong tch phn kp. Chng ta bit v d v i bin: chuyn

sang ta cc. Cc bin mi r v c quan h vi bin c theo cc phng trnh

x = rcos y = rsin

v vi s i bin, cng thc 3.4.2 c th vit l

(,)

= (,)

y S l min trong mt phng r tng ng vi min R trong mt phng xy.

Tng qut hn, chng ta xem xt s i bin c cho bi php bin i T t mt phng

uv sang mt phng xy: T(u, v) = (x, y), y x v y quan h vi u v v theo phng trnh

[3] x = g(u, v) y = h(u, v) [oc i khi ta vit: x = x(u, v) y = y(u, v)]

Chng ta thng cho rng g v h c cc o hm ring cp 1 lin tc.

Php i bin T thc ra l hm m min xc nh v min gi tr l cc tp con ca 2.

Nu T(u1, v1) = (x1, y1) th im (x1, y1) c gi l nh ca im (u1, v1). Nu khng c hai

im cng chung mt nh th T c gi l 11 (onetoone). Hnh 1 m t php i bin T

trn min S thuc mt phng uv. T bin S thnh min R trn mt phng xy, c gi l nh ca

S, bao gm nh ca tt c cc im trn S.

Nu T l 11 th tn ti php bin i ngc T1 t mt phng xy sang mt phng uv v

n c th gii phng trnh 3 i vi u v v theo x v y: u = G(x, y) v = H(x, y)

V d 1 S i bin c xc nh bi phng trnh x = u2 v2 y = 2uv

Tm nh ca hnh vung S = {(u, v) | 0 u 1, 0 v 1}.


Trang 40

Li gii Php i bin nh x bin ca S thnh bin ca nh. V vy chng ta bt u tm

cc nh ca cc cnh ca S. Cnh u tin, S1, c cho bi v = 0 (0

u 1). (Xem Hnh 2.) T cc phng trnh cho ta c x = u2, y = 0, v

vy 0 x 1. V vy S1 c nh x thnh on t (0, 0) ti (1, 0) trn

mt phng xy. Cnh th hai, S2, l u = 1 (0 v 1), thay u = 1 vo cc

phng trnh, ta nhn c x = 1 v2 y = 2v

Loi b v ta nhn c

[4] = 1

0 2

l mpptj phn ca parabola. Tng t, S3 c cho bi v = 1 (0 u

1), nh ca n l cung parabola

[5] =

1 0 2

Cui cng, S4 c cho bi u = 0 (0 v 1), nh ca n l x =

v2, y = 0, tc l 1 x 0. (Ch rng khi chng ta di chuyn quanh hnh vung theo hng

ngc chiu kim ng h, ta cng di chuyn quanh min parabolic theo hng ngc chiu

kim ng h.) nh ca S l min R (trn Hnh 2) c gii hn bi trc x v cc parabola c

cho bi phng trnh 4 v phng trnh 5.

By gi chng ta xem s i bin nh hng nh th no n tch phn kp. Chng ta bt

u vi hnh ch nht nh S trn mt phng uv, c gc di bn tri l im (u0, v0) v cc kch

thc ca n l u v v (xem Hnh 3).

nh ca S l min R trn mt phng xy, mt im bin ca n l (x0, y0) = T(u0, v0).

Vc t r(u, v) = g(u, v)i + h(u, v)j l vc t v tr ca nh ca

im (u, v). Phng trnh ca cnh di ca S l v = v0,

ng cong nh ca n ng cong cho bi hm vc t r(u,

v0). Vc t tip tuyn ti (x0, y0) ca ng cong nh l

= (,) + (,) =

+

Tng t, vc t tip tuyn ti (x0, y0) ca ng cong

nh ca cnh tri ca S (tn l u = u0) l = (,) + (,) =

+

Chng ta c th xp x min nh R = T(S) bi mt hnh bnh hnh c xc nh bi cc

vect ct tuyn (Hnh 4): a = r(u0 + u, v0) r(u0, v0) b = r(u0, v0 + v) r(u0, v0)


Trang 41

Nhng = lim

(,)(,)

v v vy r(u0 + u, v0) r(u0, v0) Duru

Tng t r(u0, v0 + v) r(u0, v0) Dvrv

iu c ngha l chng ta c th xp x R bi hnh bnh hnh

c xc nh bi cc vc t uru v vrv (xem Hnh 5).

Do chng ta c th xp x din tch ca R bi din tch ca hnh bnh hnh ny:

[6] |(uru) (vrv)| = |ru rv|uv

Tnh tch v hng ta nhn c

=

0

0

=

=

nh thc cui cng c gi l Jacobian ca php i bin v c k hiu c bit.

[7] nh ngha Jacobian ca php i bin T: x = g(u, v), y = h(u, v) l

(,)

(,)=

=

Vi k hiu ny, chng ta c th s dng phng trnh 6 a ra xp x din tch A

ca R:

[8] (,)

(,)

trong Jacobian c c lng ti (u0, v0).

Tip theo chng ta chia min S trn mt phng uv thnh cc hnh ch nht Sij v gi nh

ca chng trn mt phng xy l Rij (Hnh 6).

Thc hin xp x [8] cho mi Rij, ta xp x tch phn kp ca f trn R nh sau:

(,)

,

((,),(,))(,)

(,)

trong Jacobian c c lng ti (ui, vj). Ch rng tng kp ny l tng Riemann ca tch

phn

((,),(,))(,)

(,)

Lp lun trn y gi rng nh l sau y l ng. (Chng minh y c trnh by

trong cun sch v gii tch nng cao).


Trang 42

[9] nh l (i bin trong tch phn kp) Gi s T l php i bin c cc o hm

ring lin tc v Jacobian ca n khc 0 v nh x min S trong mt phng uv thnh min R

trong mt phng xy. Gi s rng f lin tc trn R, c R v S l cc min phng loi 1 hoc loi

2. Gi s T l 11, c th loi tr trn bin ca S. Khi

(,)

= ((,),(,))(,)

(,)

nh l 9 ni ln rng chng ta thay vic tnh tch phn theo x v y bi tch phn theo u

v v bng cch biu din x v y theo u v v, v vit

= (,)

(,)

Nhn thy s ging nhau gia nh l 9 v cng thc trong phng trnh 2. Thay th cho

o hm dx/du, ta c tr tuyt i ca Jacobian, tc l |(x,y)/ (u,v)|.

lm m inh ha u tin cho nh l 9, chng ta ch ra rng cng thc tch phn

trong ta cc l trng hp c bit. y php bin i T t m t phng r ti m t

phng xy c cho bi x = g(r, ) = rcos y = h(r, ) = rsin

v tnh hnh hc ca php bin i ch ra trn Hnh 7. T nh x hnh ch nht thng thng

ca m t phng r ti hnh ch nht cc ca m t phng xy. Jacobian ca T l

(,)

(,)=

=

= + = > 0

V th nh l 9 cho ra

(,)

= (,)(,)

(,)

= (,)

hon ton trng vi cng thc 3.4.2.

V d 2 S dng php i bin x = u2 v2, y = 2uv tnh tch phn

, y R

l min c gii hn bi trc x v cc parabola y2 = 4 4x v y2 = 4 + 4x, y 0.

Li gii Min R c ch ra trong Hnh 2. Trong V d 1 chng ta pht hin rng T(S) =

R, y S l hnh vung [0, 1][0, 1]. Tht vy, l do i bin tnh tch phn l S so vi R

l min n gin hn nhiu. Trc ht chng ta tnh Jacobian:

(,)

(,)=

= 2 22 2

= 4 + 4 > 0

Theo nh l 9,

= 2(,)

(,)

= (2)4( + )

= 8 ( + )

= 8

+


Trang 43

= (2 + 4)

= [ + ]

= 2

Ch V d 2 khng phi l mt vn rt kh gii quyt bi v chng ta a ra

php i bin ph hp. Nu chng ta khng c cung cp php i bin, th u tin l ngh

v mt s i bin thch hp. Nu f(x, y) l kh ly tch phn, th dng ca f(x, y) c th gi

ra php i bin. Nu min ly tch phn l phc tp, th php i bin phi c chn sao cho

min S tng ng trong mt phng uv c m t thun tin.

V d 3 Tnh tch phn

, y R l hnh thang vi cc nh (1, 0), (2, 0), (0,

2) v (0, 1).

Li gii V kh tnh tch phn

nn chng ta i bin theo gi ca hm ny

[10] u = x + y v = x y

Cc phng trnh xc nh php i bin T1 t mt phng xy sang mt phng uv. nh

l 9 ni v php i bin T t mt phng uv sang mt phng xy. N nhn c bng cch gii

cc phng trnh 10 i vi x v y:

[11] x = (u + v)/2 y = (u v)/2

Jacobian ca T l

(,)

(,)=

=

=

tm min S trn mt phng uv tng ng vi R, chng ta ch rng cc cnh ca R

nm trn cc ng thng y = 0 x y = 2 x = 0 x y = 1

v t cc phng trnh 10 v 11, cc ng thng nh trn mt phng uv l

u = v v = 2 u = v v = 1

V vy min S l hnh thang vi cc nh (1, 1), (2, 2), (2, 2) v (1, 1) trn Hnh 8.

Do S = {(u, v) | 1 v 2, v u v}. nh l 9 cho ra

=

=

=

( )

=

( )

3.10.2. i bin trong tch phn bi ba

C cng thc i bin tng t i vi tch phn bi ba. Gi s T l php i bin nh x

min S trong khng gian uvw sang mt phng R trong khng gian xyz theo ngha ca cc

phng trnh x = g(u, v, w) y = h(u, v, w) z = k(u, v, w)

Jacobian ca T l nh thc cp 3:


Trang 44

[12] (,,)

(,,)=

Vi cc gi thit tng t trong nh l 9, ta c cng thc sau y cho tch phn bi ba:

[13] (,,)

= ((,,),(,,),(,,))(,,)

(,,)

V d 4 S dng cng thc 13 rt ra cng thc cho tch phn bi ba trong ta cu.

Li gii Php i bin y l

x = sin cos y = sin sin z = cos

Chng ta tnh Jacobian nh sau:

(,,)

(,,)=

0

=

= ( + ) ( + )

= =

V 0 nn 0, do

(,,)

(,,) = ||=

v cng thc 13 c vit li

(,,)

= ((,,),(,,),(,,))

n tng ng vi cng thc 3.9.3.

CHNG 3. TCH PHN BI3.1. Tch phn kp trn min ch nht3.1.1. Xem li nh ngha tch phn xc nh3.1.2. Th tch v tch phn kp3.1.3. Quy tc trung im3.1.4. Gi tr trung bnh3.1.5. Cc tnh cht ca tch phn kp

3.2. Tch phn lp3.2.1. Khi nim

3.3. Tch phn kp trn min tng qut3.3.1. Cc dng min ly tch phn kp3.3.2. Cc tnh cht ca tch phn kp

3.4. Tch phn kp trong ta cc3.4.1. Tnh tch phn kp trong ta cc

3.5. ng dng ca tch phn kp3.5.1. Mt v khi lng3.5.2. M men v trng tm3.5.3. M men qun tnh3.5.4. Xc sut3.5.5. K vng

3.6. Tch phn mt3.7. Tch phn bi ba3.7.1. Khi nim tch phn bi ba 3.7.2. ng dng ca tch phn bi ba

3.8. Tch phn bi ba trong ta tr3.8.1. Ta tr3.8.2. Tnh tch phn bi ba trong ta tr

3.9. Tch phn bi ba trong ta cu3.9.1. Ta cu 3.9.2. S nh gi tch phn bi ba vi ta cu

3.10. i bin trong tch phn bi3.10.1. i bin trong tch phn kp3.10.2. i bin trong tch phn bi ba

Documents

Giai tich 2 2014 Chuong 3.pdf