Bai tap giai tich 12 htv

BAØI TAÄP

OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC

truy cập trang này để download tài liệu của HOÀNG THÁI VIỆT

GV: HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG SĐT : 01695316875 GIẢNG DẠY ÔN LUYỆN THI

http://www.slideshare.net/barackobamahtv

Trang 1

1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I

3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I.

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y′. Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) 22 4 5y x x= − + + b) 2 5

4 4x

y x= + − c) 2 4 3y x x= − +

d) 3 22 2y x x x= − + − e) 2(4 )( 1)y x x= − − f) 3 23 4 1y x x x= − + −

g) 4 21 2 14

y x x= − − h) 4 22 3y x x= − − + i) 4 21 1 210 10

y x x= + −

k) 2 1 5

xy

x−

=+

l) 12x

yx

−=

− m) 11

1y

x= −

−

n) 22 26

2x x

y x+ +

= +

o) 13 1

y xx

= − + −−

p) 24 15 9

3x x

y x

− +=

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013

sđt : 01695316875 ymail: [email protected]

Trang 2

Baøi 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) 4 3 26 8 3 1y x x x= − + − − b) 2

21

4

xy

x

−=

−c)

2

21

1

x xy

x x

− +=

+ +

d) 2

2 1xy

x

−= e)

2 3 2

xy

x x=

− +f) 3 2 2y x x= + + −

g) 2 1 3y x x= − − − h) 22y x x= − i) 22y x x= −

k) sin 22 2

y x x

= − < <

π π l) sin 22 2

y x x x

= − − < <

π π

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác định D. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D. • Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D.

Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

2) Nếu y ax bx c2' = + + thì:

•

00' 0, 0 0

a b cy x R a

= = ≥≥ ∀ ∈ ⇔ > ≤ ∆

•

00' 0, 0 0

a b cy x R a

= = ≤≤ ∀ ∈ ⇔ < ≤ ∆

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + : • Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2b a

− )

• Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + với số 0:

• 1 2

00 0

0x x P

S

>< < ⇔ > <

∆ • 1 2

00 0

0x x P

S

>< < ⇔ > >

∆• 1 20 0x x P< < ⇔ <

5) Để hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: • Tính y′. • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

0 0

a ≠ >∆

(1)

• Biến đổi 1 2x x d− = thành 2 21 2 1 2( ) 4x x x x d+ − = (2)



Trang 3

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:

a) 3 5 13y x x= + + b) 3

23 9 13x

y x x= − + + c) 2 1 2

xy

x−

=+

d) 2 2 3

1x x

y x+ −

= +

e) 3 sin(3 1)y x x= − + f) 2 2 1x mx

y x m− −

= −

Baøi 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:

a) 5 cot( 1)y x x= − + − b) cosy x x= − c) sin cos 2 2y x x x= − −

Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:

a) 3 23 ( 2)y x mx m x m= − + + − b) 3 2

2 13 2x mx

y x= − − + c) x my

x m+

=−

d) 4mxy

x m+

=+

e) 2 2 1x mx

y x m− −

= −

f) 2 22 3

2x mx m

y x m

− +=

−

Baøi 4. Tìm m để hàm số:

a) 3 23y x x mx m= + + + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

b) 3 21 1 2 3 13 2

y x mx mx m= − + − + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.

c) 3 21 ( 1) ( 3) 43

y x m x m x= − + − + + − đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.


a) 3

2( 1) ( 1) 13x

y m x m x= + + − + + đồng biến trên khoảng (1; +∞).

b) 3 23(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + + đồng biến trên khoảng (2; +∞).

c) mxy m

x m24 ( 2)+

= ≠ ± +

đồng biến trên khoảng (1; +∞).

d) x my

x m+

=−

đồng biến trong khoảng (–1; +∞).

e) 2 22 3

2x mx m

y x m

− +=

− đồng biến trên khoảng (1; +∞).

f) 22 3 2 1

x x my

x− − +

= +

nghịch biến trên khoảng 1 ;2

− +∞

.



Trang 4

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thứcĐể chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định. • Xét dấu f′ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến. • Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f′ (x) thì ta đặt h(x) = f′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Baøi 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 3

sin , 06x

x x x vôùi x− < < > b) 2 1sin tan , 03 3 2

x x x vôùi x+ > < <π

c) tan , 02

x x vôùi x< < <π d) sin tan 2 , 0

2x x x vôùi x+ > < <

π


a) tan , 0tan 2

a a vôùi a b

b b< < < <

π b) sin sin , 02

a a b b vôùi a b− < − < < <π

c) tan tan , 02

a a b b vôùi a b− < − < < <π


a) 2sin , 02

xx vôùi x> < <

ππ

b) 3 3 5

sin , 06 6 120x x x

x x x vôùi x− < < − + >

c) x x x vôùi xsin cos 1, 02π

+ > < <


a) 1 , 0x e x vôùi x> + > b) ln(1 ) , 0x x vôùi x+ < >

c) 1ln(1 ) ln , 01

x x vôùi xx

+ − > >+

d) ( )2 21 ln 1 1x x x x+ + + ≥ +


a) 0tan 55 1,4> b) 01 7sin 203 20

< < c) 2 3log 3 log 4>

HD: a) 0 0 0tan 55 tan(45 10 )= + . Xét hàm số 1( ) 1

xf x

x+

=−

.

b) Xét hàm số 3( ) 3 4f x x x= − .

f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;2 2

−

và 01 7,sin 20 ,

3 20∈ 1 1;

2 2

−

.

c) Xét hàm số ( ) log ( 1)xf x x= + với x > 1.



Trang 5

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

• Chọn được nghiệm x0 của phương trình. • Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

a) 5 5x x+ − = b) 5 3 1 3 4 0x x x+ − − + =

c) 5 7 16 14x x x x+ − + + + + = d) 2 215 3 2 8x x x+ = − + +


a) 5 5 51 2 3 0x x x+ + + + + = b) ln( 4) 5x x− = −

c) 3 4 5x x x+ = d) 2 3 5 38x x x+ + =Baøi 3. Giải các bất phương trình sau:

a) 3 4 51 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + − + − + − < b) 22 7 2 7 35x x x x x+ + + + + <

Baøi 4. Giải các hệ phương trình sau:

a)

3 2

3 2

3 2

2 1 2 1 2 1

x y y yy z z zz x x x

+ = + + + = + + + = + +

b)

3 2

3 2

3 2

2 22

x y y yy z z zz x x x

= + + − = + + − = + + −

c)

3 2

3 2

3 2

6 12 86 12 86 12 8

y x xz y yx z z

= − + = − + = − +

d)

x y y x

x y

x y

tan tan 52 3 4

,2 2

π

π π

− = − + =

− < <

e)

x y x y

x y

x y

sin sin 3 3

5, 0

π − = −

+ =

>

f) x y y x

x y

x y

sin 2 2 sin 2 22 3

0 , 2

π π

− = − + = < <

g) x y x y

x y x y

cot cot 5 7 20 ,

π π

− = − + =

< < h)

HD: a, b) Xét hàm số 3 2( )f t t t t= + + c) Xét hàm số 2( ) 6 12 8f t t t= − +

d) Xét hàm số f(t) = tant + t



Trang 6

I. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x0 ∈ D. a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b) sao cho

f(x) < f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x0) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0} a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0. b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0. 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f′ (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. a) Nếu f′′ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0. b) Nếu f′′ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm sốQui tắc 1: Dùng định lí 1.

• Tìm f′ (x). • Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. • Xét dấu f′ (x). Nếu f′ (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.

Qui tắc 2: Dùng định lí 2. • Tính f′ (x). • Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …). • Tính f ′′′ (x) và f′′′ (xi) (i = 1, 2, …). Nếu f′′ (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi. Nếu f′′ (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.

II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ



Trang 7

Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) 2 33 2y x x= − b) 3 22 2 1y x x x= − + − c) 3 21 4 153

y x x x= − + −

d) 4

2 32x

y x= − + e) 4 24 5y x x= − + f) 4

2 32 2x

y x= − + +

g) 2 3 6

2x x

y x

− + +=

+ h)

23 4 51

x xy

x+ +

= +

i) 2 2 15

3x x

y x

− −=

−


a) 3 4( 2) ( 1)y x x= − + b) 2

24 2 1

2 3

x xy

x x

+ −=

+ −c)

2

23 4 4

1

x xy

x x

+ +=

+ +

d) 2 4y x x= − e) 2 2 5y x x= − + f) 22y x x x= + −


a) 3 2 1y x= + b) 3 2

2 1xy

x=

+ c) 4x xy e e−= +

d) 2 5 5 2 lny x x x= − + + e) 24siny x x= − f) 2ln(1 )y x x= − +

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f′ (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x0. Chú ý:

• Hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d= + + + có cực trị ⇔ Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

+ 3 20 0 0 0( )y x ax bx cx d= + + +

+ 0 0( )y x Ax B= + , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y′.

• Hàm số 2

' 'ax bx c

ya x b

+ +=

+ = ( )

( )P xQ x

(aa′≠ 0) có cực trị ⇔ Phương trình y′ = 0 có hai

nghiệm phân biệt khác ' '

b a

− .

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

00

0

( )( )

( )P x

y xQ x

= hoặc 00

0

'( )( )

'( )P x

y xQ x

=

• Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. • Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et.

Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

a) 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m= − + − − b) 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +

c) 2 2 4( 1) 1x m m x m

y x m

+ − − +=

− d)

2 21

x mx my

x m+ − +

= − +



Trang 8


a) 3 2( 2) 3 5y m x x mx= + + + − có cực đại, cực tiểu.

b) 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − − có cực đại, cực tiểu.

c) 3 2 23 ( 1) 2y x mx m x= − + − + đạt cực đại tại x = 2.

d) 4 22( 2) 5y mx m x m= − + − + − có một cực đại 1 .2

x =

e) 2 2 2x mx

y x m

− +=

− đạt cực tiểu khi x = 2.

f) 2 2( 1) 4 2

1x m x m m

y x

− + − + −=

− có cực đại, cực tiểu.

g) 2

1x x m

y x− +

= −

có một giá trị cực đại bằng 0.

Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

a) 3 23 3 3 4y x x mx m= − + + + b) 3 23 ( 1) 1y mx mx m x= + − − −

c) 2 5

3x mx

y x

− + +=

− d)

2 2( 1) 4 21

x m x m my

x− + − + −

= −

Baøi 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) 3 2y ax bx cx d= + + + đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4 27

tại x = 1 3

b) 4 2y ax bx c= + + có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 .

c) 2

1x bx c

y x+ +

= −

đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.

d) 2ax bx ab

y bx a+ +

= +

đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.

e) 2

22

1

ax x by

x

+ +=

+đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.

Baøi 5. Tìm m để hàm số :

a) 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

1 21 2

1 1 1 ( )2

x xx x

+ = + .

b) 3 21 13

y x mx mx= − + − đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: 1 2 8x x− ≥ .

c) 3 21 1( 1) 3( 2)3 3

y mx m x m x= − − + − + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

1 22 1x x+ = .

Baøi 6. Tìm m để hàm số :

a) 2 2

1x mx m

y x m+ − +

= − +

có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu.

b) 2 2( 1) 4 2

1x m x m m

y x

− + − + −=

− có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực



Trang 9

tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

c) 2 3

4x x m

y x

− + +=

− có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả 4M m− = .

d) 22 3 2

2x x m

y x

+ + −=

+ có 12CÑ CTy y− < .

Baøi 7. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) 3 2 4y x mx= − + − có hai điểm cực trị là A, B và 2

2 900 729

mAB = .

b) 4 2 4y x mx x m= − + + có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm.

c) 2 2x mx m

y x m

+ + −=

− có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh

hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.

d) 2

1x mx

yx

+=

− có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.

e) 2 2 5

1x mx

y x

− + +=

− có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường

thẳng y = 2x.

f) 2 2 3x x m

y x m

+ + +=

− có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.


a) 3 22 12 13y x mx x= + − − có hai điểm cực trị cách đều trục tung.

b) 3 2 33 4y x mx m= − + có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. c) 3 2 33 4y x mx m= − + có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3 2 8 0x y− + = .

d) 2 2(2 1) 1

1x m x m

y x

+ + + +=

+ có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng

(d): 2 3 1 0x y− − = .


a) 2 ( 1) 2 1x m x m

y x m

− + + −=

− có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt

phẳng toạ độ.

b) 2 2 22 (4 1) 32 2

2mx m x m m

y x m

+ + + +=

+ có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ

hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.

c) 2 2 2( 1) 4mx m x m m

y x m

− + + +=

− có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và

điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.

d) 2 2(2 1) 1

1x m x m

y x

+ + + +=

+ có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung).



Trang 10

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + . • Chia f(x) cho f′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f′ (x) + Ax + B. • Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:

1 1 1

2 2 2

( ) ( )

y f x Ax By f x Ax B

= = + = = +

⇒ Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.

2) Hàm số phân thức 2( )( )

( )P x ax bx c

y f xQ x dx e

+ += = =

+ .

• Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 00

0

'( )'( )

P xy

Q x= .

• Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực

trị ấy là: '( ) 2'( )

P x ax by

Q x d+

= = .

Baøi 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :

a) 3 22 1y x x x= − − + b) 2 33 2y x x= − c) 3 23 6 8y x x x= − − +

d) 22 1

3x x

y x− +

= +

e) 2 1

2x x

y x− −

= −

Baøi 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trịcủa đồ thị hàm số:

a) 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m= − + − − b) 2 6x mx

y x m+ −

= −

c) 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − − d) 2 2

1x mx m

y x m+ − +

= − +


a) 3 22 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + − + − − có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1. b) 3 22 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + − + − có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x. c) 3 2 7 3y x mx x= + + + có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7. d) 3 2 23y x x m x m= − + + có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường

thẳng (∆): 1 5y

2 2x= − .



Trang 11

1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D ⊂ R).

a) 0 0

( ) ,max ( ) : ( )D

f x M x DM f x x D f x M ≤ ∀ ∈= ⇔ ∃ ∈ =

b) 0 0

( ) ,min ( ) : ( )D

f x m x Dm f x x D f x m ≥ ∀ ∈= ⇔ ∃ ∈ =

2. Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì

[ ; ] [ ; ]max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b a bf x f b f x f a= = .

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ]max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b a bf x f a f x f b= = .

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

• Tính f′ (x). • Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên. • Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]. • Tính f′ (x). • Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có). • Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn). • So sánh các giá trị vừa tính và kết luận. { }1 2[ ; ]

max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na bM f x f a f b f x f x f x= =

{ }1 2[ ; ]min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na b

m f x f a f b f x f x f x= =

Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2 4 3y x x= + + b) 3 44 3y x x= − c) 4 22 2y x x= + −

d) 2 2y x x= + − e) 2

1

2 2

xy

x x

−=

− +f)

2

22 4 5

1

x xy

x

+ +=

+

g) 2 1 ( 0)y x xx

= + > h) 2

21

1

x xy

x x

− +=

+ +i)

4 2

31 ( 0)x x

y xx x

+ += >

+

Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 3 22 3 12 1y x x x= + − + trên [–1; 5] b) 33y x x= − trên [–2; 3]

c) 4 22 3y x x= − + trên [–3; 2] d) 4 22 5y x x= − + trên [–2; 2]

e) 3 1 3

xy

x−

=−

trên [0; 2] f) 1 1

xy

x−

=+

trên [0; 4]

g) 24 7 7

2x x

y x+ +

= +

trên [0; 2] h) 2

21

1

x xy

x x

− +=

+ −trên [0; 1]

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ



Trang 12

i) 2100y x= − trên [–6; 8] k) 2 4y x x= + + −Baøi 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) 2sin 1sin 2

xy

x−

=+

b) 2

1

cos cos 1y

x x=

+ +c) 22sin cos 1y x x= − +

d) cos2 2sin 1y x x= − − e) 3 3sin cosy x x= + f) 2

4 21

1

xy

x x

−=

− +

g) 2 24 2 5 2 3y x x x x= − + + − + h) 2 24 4 3y x x x x= − + + − +

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.

• Chứng minh một bất đẳng thức. • Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức.

Baøi 1. Giả sử { }( ; ; ) / 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z= > > > + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức: 1 1 1

x y zP

x y z= + +

+ + +.

HD: 1 1 131 1 1

P x y z

= − + + + + +

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [ ] 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) 91 1 1

x y z x y z

+ + + + = + + ≥ + + +

⇒ P ≤ 34

. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 1 3

. Vậy 3min4D

P = .

Baøi 2. Cho D = 5( ; ) / 0, 0,4

x y x y x y

> > + =

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 1 4

Sx y

= + .

HD: ( ) 1 1 1 1 14 254

x x x x y x x x x y

+ + + + + + + + ≥

⇔ 4 14( ) 25

4x y

x y

+ + ≥

⇒ S ≥ 5. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1, y = 1 4

. Vậy minS = 5.

Baøi 3. Cho D = { }( ; ) / 0, 0, 1x y x y x y> > + < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 1

1 1x y

P x yx y x y

= + + + +− − +

.

HD: 2 2 1(1 ) (1 ) 2

1 1x y

P x yx y x y

= + + + + + + −− − +

= 1 1 1 21 1x y x y

+ + −− − +

.

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [ ] 1 1 1(1 ) (1 ) ( ) 91 1

x y x y x y x y

− + − + + + + ≥ − − +

⇔ 1 1 1 91 1 2x y x y

+ + ≥− − +



Trang 13

⇒ P ≥ 5 2

. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1 3

. Vậy minP = 5 2

.

Baøi 4. Cho D = { }( ; ) / 0, 0, 4x y x y x y> > + ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

23 4 2

4x y

P x y

+ += + .

HD: 2

1 124 8 8 2x y y x y

P x y

+= + + + + +

(1)

Theo bất đẳng thức Cô–si: 1 12 . 14 4x x

x x+ ≥ = (2)

32 2

1 1 33 . .8 8 8 8 4y y y y

y y+ + ≥ = (3)

⇒ P ≥ 9 2

. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 2. Vậy minP = 9 2

.

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước. Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

0( ) (1)(2)

f x yx D

= ∈

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m ≤ y0 ≤ M (3) Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:

min ( ) ; max ( )D D

f x m f x M= =

Baøi 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) 2

21

1

x xy

x x

+ +=

− +b)

2

22 7 23

2 10

x xy

x x

+ +=

+ +c) 2sin cos 1

sin 2 cos 3x x

y x x

+ +=

− +

d) 2sin cos 32 cos sin 4

x xy

x x+ +

=− +

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( )

D Df x m f x M= = . Khi đó:

1) Hệ phương trình ( )f x x D

= ∈

α có nghiệm ⇔ m ≤ α ≤ M.

2) Hệ bất phương trình ( )f x x D

≥ ∈

α có nghiệm ⇔ M ≥ α.

3) Hệ bất phương trình ( )f x x D

≤ ∈

β có nghiệm ⇔ m ≤ β.

4) Bất phương trình f(x) ≥ α đúng với mọi x ⇔ m ≥ α. 5) Bất phương trình f(x) ≤ β đúng với mọi x ⇔ M ≤ β.



Trang 14


a) 4 42 4 2x x− + − = b) 3 5 6 2x x x+ = + c) 5 5 1(1 )16

x x+ − =

Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 22 1x x m+ + = b) 2 2 (2 )(2 )x x x x m− + + − − + =

c) 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = d) 7 2 (7 )(2 )x x x x m− + + − − + =Baøi 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R:

a) 22 1x x m+ + > b) 22 9m x x m+ < + c) 4 4 0mx x m− + ≥

Baøi 4. Cho bất phương trình: 3 22 1 0x x x m− + − + < . a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]. b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].

Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau: a) 3 1mx x m− − ≤ + có nghiệm. b) ( 2) 1m x m x+ − ≥ + có nghiệm x ∈ [0; 2].

c) 2 2( 1) 1m x x x x− + ≤ + + nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 1].



Trang 15

1. Định nghĩa: Điểm ( )0 0; ( )U x f x đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

2. Tính chất: • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f′′(x0) = 0 và f′′(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì ( )0 0; ( )U x f x là một điểm uốn của đồ thị hàm số.

• Đồ thị của hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d= + + + (a ≠ 0) luôn có một điểm uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thị.

Baøi 1. Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau: a) 3 26 3 2y x x x= − + + b) 3 23 9 9y x x x= − − + c) 4 26 3y x x= − +

d) 4

22 34x

y x= − + e) 4 3 212 48 10y x x x= − + + f) 5 43 5 3 2y x x x= − + −

Baøi 2. Tìm m, n để đồ thị của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:

a) 3 23 3 3 4y x x mx m= − + + + ; I(1; 2). b) 3

2 8( 1) ( 3)3 3x

y m x m x= − + − + + − ; I(1; 3)

c) 3 2 1y mx nx= + + ; I(1; 4) d) 3 2 2y x mx nx= − + − ; 2 ; 33

I

−

e) 3

23 2x y mx

m= − + − ; I(1; 0) f) 3 23 4y mx mx= + + ; I(–1; 2)

Baøi 3. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn:

a) 5

4 34 (4 3) 5 15 3x

y x m x x= − + + + − b) 2

21

1

x mxy

x

+ −=

+Baøi 4. Chứng minh đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:

a) 22 1

1

xy

x x

+=

+ + b)

21

1

xy

x

+=

+ c)

2

22 3

1

x xy

x

−=

+

d) 2

2 1

1

xy

x

+=

+ e)

2 1

xy

x=

+ f)

2

22 5

1

x xy

x x

+ +=

− +

g) 2

22 3

3 3

x xy

x x

−=

− +h)

2

23

1

x xy

x

+=

+ i)

3

2 4 5

xy

x x=

− +Baøi 5. Tìm m, n để đồ thị của các hàm số:

a) 4 3 22 6 2 1y x x x mx m= − − + + − có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).

b) 3

2 23 3x

y x mx= − − + + có điểm uốn ở trên đường thẳng 2y x= + .

c) 4 21 4

y x mx n= − + + có điểm uốn ở trên Ox.

IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ



Trang 16

1. Định nghĩa: • Đường thẳng 0x x= đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0

lim ( )x x

f x+→

= +∞ ; 0

lim ( )x x

f x+→

= −∞ ; 0

lim ( )x x

f x−→

= +∞ ; 0

lim ( )x x

f x−→

= −∞

• Đường thẳng 0y y= đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 0lim ( )

xf x y

→+∞= ; 0lim ( )

xf x y

→−∞=

• Đường thẳng , 0y ax b a= + ≠ đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )y f x=nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: [ ]lim ( ) ( ) 0

x f x ax b

→+∞− + = ; [ ]lim ( ) ( ) 0

x f x ax b

→−∞− + =

2. Chú ý:

a) Nếu ( )( )( )

P xy f x

Q x= = là hàm số phân thức hữu tỷ.

• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng 0x x= .

• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang. • Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên. b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:

[ ]( )lim ; lim ( )x x

f xa b f x ax

x→+∞ →+∞= = −

hoặc [ ]( )lim ; lim ( )x x

f xa b f x ax

x→−∞ →−∞= = −

Baøi 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) 2 5 1

xy

x−

=−

b) 10 3 1 2

xy

x+

= −

c) 2 32x

yx

+=

−

d) 2 4 3

1x x

y x− +

= +

e) 2( 2)

1x

yx

−=

− f)

27 4 52 3

x xy

x+ +

= −


a) 2 4 5

xy

x x=

− +b)

22

9

xy

x

+=

−c)

2

24 5

1

x xy

x

+ +=

−

d) 2

22 3 3

1

x xy

x x

+ +=

+ +e)

3

21

1

x xy

x

+ +=

+f)

4

34

1

x xy

x

− +=

−Baøi 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) 2 4y x x= − b) 2

4 2

9

xy

x

+=

−c)

2

1

4 3y

x x=

− +

V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ



Trang 17

d) 1 1

xy x

x−

=+

e) 3 2 33y x x= − f) 2 3 2

2x xy

x− +

= −


a) 2 1

2 1

x

xy

+=

− b) ln

2

x xe ey

−−= c) 2ln( 5 6)y x x= − +

Baøi 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:

a) y x m x m2 2

34 2(2 3) 1

=+ + + −

b) 2

22

3 2( 1) 4xy

x m x

+=

+ + +c)

23

2

xy

x x m

+=

+ + −

d) xyx m x m2 2

32( 2) 1

−=

+ + + +e) xy

x m x m2 21

2( 1) 2−

=+ − + −

f) 2

3

2 2 1y

x mx m=

+ + −Baøi 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:

a) 2 (3 2) 2 1

5x m x m

y x

+ + + −=

+ b)

2 (2 1) 32

mx m x my

x+ + + +

= +

Baøi 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn trên hai trục toạ độ:

a) 23 1

1x x

y x+ +

= −

b) 23 4

2x x

y x

− + −=

+ c)

2 7 3

x xy

x+ −

= −

Baøi 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích S đã chỉ ra:

a) 2 1

1x mx

y x+ −

= −

; S = 8 b) 2 (2 1) 2 3

1x m x m

y x

+ − − +=

+ ; S = 8

c) 22 2(2 1) 4 5

1x m x m

y x

+ + + −=

+ ; S = 16 d)

22 21

x mxy

x+ −

= −

; S = 4

Baøi 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm sốđến hai tiệm cận bằng một hằng số:

a) 2 1

1x x

y x− +

= −

b) 22 5 4

3x x

y x+ −

= +

c) 2 7

3x x

y x+ −

= −



Trang 18

1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số • Tìm tập xác định của hàm số. • Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y′. + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định. + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.

• Vẽ đồ thị của hàm số: + Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).

– Tính y′′. – Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′.

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị. + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ

độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.

2. Hàm số bậc ba 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠ : • Tập xác định D = R. • Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. • Các dạng đồ thị:

a > 0 a < 0 y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ’ = b2 – 3ac > 0

y’ = 0 có nghiệm kép ⇔ ’ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm ⇔ ’ = b2 – 3ac < 0

3. Hàm số trùng phương 4 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ :

y

x0 I

y

x0

I

y

x0

I

y

x0

I

VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊNVÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ



Trang 19

• Tập xác định D = R. • Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. • Các dạng đồ thị:

4. Hàm số nhất biến ( 0, 0)ax by c ad bc

cx d+

= ≠ − ≠+

:

• Tập xác định D = \ dR

c

−

.

• Đồ thị có một tiệm cận đứng là dx

c= − và một tiệm cận ngang là a

yc

= . Giao điểm của

hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. • Các dạng đồ thị:

5. Hàm số hữu tỷ 2

( . ' 0, )' '

ax bx cy a a töû khoâng chia heát cho maãu

a x b+ +

= ≠+

:

• Tập xác định D = '\'

bR

a

−

.

• Đồ thị có một tiệm cận đứng là ' '

bx

a= − và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai tiệm

cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. • Các dạng đồ thị:

a.a′ > 0 a.a′ < 0

a > 0 a < 0

y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔ ab < 0

y’ = 0 chỉ có 1 nghiệm ⇔ ab > 0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

0

ad – bc > 0

x

y

0

ad – bc < 0

x

y



Trang 20

y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

y′ = 0 vô nghiệm

Baøi 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) 3 23 9 1y x x x= − − + b) 3 23 3 5y x x x= + + + c) 3 23 2y x x= − + −

d) 2( 1) (4 )y x x= − − e) 3

2 13 3x

y x= − + f) 3 23 4 2y x x x= − − − +

Baøi 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 4 22 1y x x= − − b) 4 24 1y x x= − + c) 4

2 532 2x

y x= − +

d) 2 2( 1) ( 1)y x x= − + e) 4 22 2y x x= − + + f) 4 22 4 8y x x= − + +Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 12

xy

x+

=+

b) 2 1 1

xy

x+

=−

c) 34x

y x

−=

−

d) 1 2 1 2

xy

x−

=+

e) 3 1 3

xy

x−

=−

f) 2 2 1x

yx−

=+

Baøi 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 2 1

1x x

y x+ +

= +

b) 2 2

1x x

y x+ +

= −

c) 2 2

1x x

y x+ −

= +

d) 111

y xx

= − + +−

e) 2

1x

yx

=−

f) 2 2

1x x

y x

−=

+Baøi 5. Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 3

3 2y x x= − + b) 3 23 2y x x= − + − c) 4 22 3y x x= − −

d) 1 1

xy

x+

=−

e) 2 2

1x x

y x− +

= −

f) 2 3 3

2x x

y x+ +

= +

0 x

y

0 x

y



Trang 21

1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)

ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị. 2. Đồ thị hàm số bậc ba 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

⇔ Phương trình 3 2 0ax bx cx d+ + + = có 3 nghiệm phân biệt.

⇔ Hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + có cực đại, cực tiểu và . 0CÑ CTy y < .

Baøi 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

a)

2 332 2

12 2

xy x

xy

= − + −

= +

b) 2

2 4 1

2 4

xy

x y x x

−=

− = − + +

c) 34 3

2y x xy x

= − = − +

d) 4 2

21

4 5y x xy x

= − +

= −e)

3 2

25 10 5

1y x x xy x x

= − + −

= − +f)

2

1 3 1

xy

xy x

= − = − +

Baøi 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

a) y x xy m x

3 3 2( 2)

= − − = −

b)

3 22

3 21 13 2 12

x xy x

y m x

= + −

= + +

c) 3

33

( 3)

xy x

y m x

= − + = −

d) 2 1

22

xy

xy x m

+ = + = +

e) 1 1

2

xy

xy x m

+ = − = − +

f) 2 6 3

2x x

y x

y x m

− + = + = −

g) 13

1 3

y xx

y mx

= − + + − = +

h) 2 3 3

24 1

x xy

xy mx m

− + = − = − −

i) y x xy m x

3

22 1

( 1)

= − +

= −

Baøi 3. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) 2( 2) 1; 12

xy y mx

x+ −

= = ++

cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) 22 3 ; 2

1x x m

y y x mx− +

= = +−

cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c) 2

; 21

mx x my y mx

x+ +

= = +−

cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

d) 2 4 5 ; 2

2x x

y y mxx+ +

= = ++

cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

e) 2( 2) ; 3

1x

y y mxx

−= = +

− cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau.

VII. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ



Trang 22

f) 2

1mx x m

y x+ +

= −

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

Baøi 4. Tìm m để đồ thị các hàm số: a) 3 23 2 ; 2y x x mx m y x= + + + = − + cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

b) 3 23 (1 2 ) 1y mx mx m x= + − − − cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) 2 2( 1)( 3)y x x mx m= − − + − cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

d) 3 2 22 2 2 1; 2 2y x x x m y x x= + − + − = − + cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

e) 3 2 2 22 3 ; 2 1y x x m x m y x= + − + = + cắt nhau tại ba điểm phân biệt. Baøi 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) 4 22 1;y x x y m= − − = cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.

b) 4 2 3( 1)y x m m x m= − + + cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

c) 4 2 2(2 3) 3y x m x m m= − − + − cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Baøi 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) 3 1; 24

xy y x m

x+

= = +−

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB

ngắn nhất.

b) 4 1;2x

y y x mx

−= = − +

− cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB

ngắn nhất.

c) 2 2 4 ; 2 2

2x x

y y mx mx− +

= = + −−

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính AB

theo m. Baøi 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) 3 23 6 8y x mx mx= − + − cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng. b) 3 23 9 1; 4y x x x y x m= − − + = + cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC. c) 4 2 2(2 4)y x m x m= − + + cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng. d) 3 2( 1) ( 1) 2 1y x m x m x m= − + − − + − cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân. e) 3 23 (2 2) 9 192y x m x mx= + + + + cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân.



Trang 23

2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1) Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m

• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành. • Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2) Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k. Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.

Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3) (k: không đổi)

Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = kx + m

• Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m). • Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) có hệ số góc k. • Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, … để biện luận.

Dạng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x0) + y0 (4) Khi đó (4) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m(x – x0) + y0

• d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0). • Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …

của (C) đi qua M0. • Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận.

Chú ý: • Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: α ≤ x ≤ β thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với α ≤ x ≤ β. • Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.

yc.

x

m A(C)c.(d) : y = m

c.yCĐ

yCT xA

y

x

A

y = kxc.

m(C)

M1

M2

b1

b2

d1

dd2

O

y

x0

d3

d1 y0

0

(C)c.M1

M2

d2 m = –∞

m = +∞

m > 0

m = 0

m < 0

d

I

IV(–)

(+)M

x



Trang 24

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các

dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Baøi 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: a) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m= − + − + − = b) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m= − + − − + + =

c) 3 3 23 1; 3 2 2 0y x x x x m m= − + − − − − = d) 3 33 1; 3 4 0y x x x x m= − + − − + + =

e) 4

2 4 22 2; 4 4 2 02x

y x x x m= − + + − − + = f) 4 2 4 22 2; 2 2 0y x x x x m= − + − − + =

Baøi 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) 2

25 7 ; ( 5) 3 7 03

x xy x m x m

x− +

= − + + + =−

b) 2

22 4 2 ; 2 2( 2) 3 2 02 3

x xy x m x m

x− +

= − + − + =+

c) 2

21; ( 1) 2 1 0xy m x x

x+

= − + − =

d) 2

22 4 ; 2( 1) 4( 1) 02 4

x xy x m x m

x− +

= − + + + =−

Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) 2

22 ; 2sin 2 cos 2 0 (0 )2 1

xy m m

x= + − − = ≤ ≤

−α α α π

b) 22 3 ; cos2 ( 3) cos 2 1 0 (0 )

2x x

y m mx

−= − + + + = ≤ ≤

−α α α π

c) 2

23 3 ; cos (3 ) cos 3 2 0 (0 )2

x xy m m

x+ +

= + − + − = ≤ ≤+

α α α π

d) 3 2 3 23 6; cos 3cos 6 0y x x x x m= − + − + − =Baøi 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m

số nghiệm của phương trình:

a) 2 5 7 ; 2 (3 7)2 5

3t tx x

y m mx

−− += + + = +

−

b) 2 1; 2 ( 1)2 1

1t tx x

y m mx

−+ −= + − = −

−

c) 2

22 5 4 ; 2 (5 ) 4 01

t tx xy e m e m

x− +

= − + + + =−

d) 2

25 4 ; (5 ) 4 0t tx xy e m e

x− +

= − + + =

Baøi 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T). Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) 2 2 23 6 3 6 3 6( ) : ; ( ) : ; 2 0

1 1 1x x x x x x

C y T y mx x x− + − + − +

= = − =− − −



Trang 25

b) 2 2 25 4 5 4 5 4( ) : ; ( ) : ; 2 0x x x x x x

C y T y mx x x

− + − + − += = − + =

c) 3 2 3 2 3 2( ) : 3 6; ( ) : 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m= − + = − + − + − + =

d) 3 33 2 2 2( ) : 2 9 12 4; ( ) : 2 9 12 4; 2 9 12 0C y x x x T y x x x x x x m= − + − = − + − − + + =

e) 2 2 2 2( ) : ( 1) (2 ); ( ) : ( 1) 2 ;( 1) 2 ( 1) (2 )C y x x T y x x x x m m= + − = + − + − = + −

f) 2 2

21 1( ) : ; ( ) : ; ( 1) 2 1 0x xC y T y m x x

x x+ +

= = − + − =

Baøi 6. Cho hàm số 2( )1

xy f x

x+

= =−

.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 3 0x y− = . c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

23 ( 2) 2 0x m x m− + + + =

Baøi 7. Cho hàm số 1( )1

xy f x

x+

= =−

.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 2 0x y− = . c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

22 ( 1) 1 0x m x m− + + + =

Baøi 8. Cho hàm số 2

( )1

xy f x

x= =

−.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1). c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2(1 ) (1 ) 1 0m x m x− − − + =

VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (a ≠ 0) (1) Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + +

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

• Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm ⇔ (C) và Ox có 1 điểm chung

⇔ CÑ CT

f khoâng coù cöïc trò h af coù cöïc trò h by y

( .1 )2 ( .1 ). 0

>

(C)

Ax0 O x

y

(h.1a)

(C)

A x0 x

y

(h.1b)x1 o x2

yCT

yCĐ



Trang 26

• Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm ⇔ (C) tiếp xúc với Ox

⇔ 2 ( .2). 0CÑ CT

f coù cöïc trò hy y =

• Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

⇔ 2 ( .3). 0CÑ CT

f coù cöïc trò hy y <

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu • Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt ⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

⇔

2 . 0

0, 0. (0) 0 ( 0)

CÑ CT

CÑ CT

f coù cöïc trò y y x xa f hay ad

<

> >< <

• Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt ⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

⇔

2 . 0

0, 0. (0) 0 ( 0)

CÑ CT

CÑ CT

f coù cöïc trò y y x xa f hay ad

< < <

> >

x1xA xB xC

C

(C)

yCĐ

y

A o

x2

x

a > 0

yCT

B

f(0)

x1xA xB xC

C

(C)

yCĐ

y

A o x2 x

a < 0

yCT

Bf(0)

x"0

Cx1

(C)

yCĐ

y

Ao

x2

x

(H.3)yCĐ

x 0 x'0

B

(C)yCĐ

y

A x0 o x1

B x'0

(yCT = f(x0) = 0)

x

(H.2)

x1xA xB xC

C

(C)

yCĐ

y

Ao

x2

x

a > 0

yCT

B

f(0)

xCx2

x1xA xB

C

(C)

yCĐ

y

Ao x

a < 0

yCT

B

f(0)



Trang 27

Baøi 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: a) 3 22 3( 1) 6 2 0x m x mx− + + − = b) 3 23 3(1 ) 1 3 0x x m x m− + − + + =

c) 3 22 3 6( 1) 3 12 0x mx m x m− + − − + = d) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m− − − + − =

e) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ − + − + − = f) 3 3 2 0x mx m− + =Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:

a) 3 2 2( 1) (2 3 2) 2 (2 1) 0x m x m m x m m− + − − + + − = b) 3 3 2 0x mx m− + =

c) 3 2(2 1) (3 1) ( 1) 0x m x m x m− + + + − + = d) 3 23 3(1 ) 1 3 0x x m x m− + − + + =Baøi 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m− + − − − = b) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m− − − + − =

c) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ − + − + − = d) 31 03

x x m− + =

Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt: a) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m− + − − − = b) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m− − − + − =

c) 3 21 5 74 03 2 6

x x x m− + + + = d) 3 2 (2 1) 2 0x mx m x m− + + − − =

Baøi 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt: a) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ − + − + − = b) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m− + − − − =

c) 3 23 9 0x x x m+ − + = d) 3 2 18 2 0x x mx m− + − =



Trang 28

3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm ( )0 0 0; ( )M x f x .

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( )0 0 0; ( )M x f x là: y – y0 = f ′(x0).(x – x0) (y0 = f(x0))

2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệphương trình sau có nghiệm:

( ) ( )f '( ) '( )

x g x f x g x

= =

(*)

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình 2ax bx c px q+ + = + có nghiệm kép.

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x) tại điểm ( )0 0 0;M x y :

• Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0. • Tính y′ = f′ (x). Suy ra y′(x0) = f′ (x0). • Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y – y0 = f′ (x0).(x – x0)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x), biết ∆ có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. • Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f′ (x0). • ∆ có hệ số góc k ⇒ f′ (x0) = k (1) • Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của ∆. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m. • ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( )'( )

f x kx mf x k

= + =

(*)

• Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của ∆. Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau: + ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc α thì k = tanα + ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+ ∆ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) thì k = 1 a

−

+ ∆ tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc α thì tan1k a

ka−

=+

α

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f(x), biết ∆ đi qua điểm ( ; )A AA x y . Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. • Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y′0 = f′ (x0). • Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y0 = f′ (x0).(x – x0) • ∆ đi qua ( ; )A AA x y nên: yA – y0 = f′ (x0).(xA – x0) (2) • Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của ∆. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. • Phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ; )A AA x y và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)



Trang 29

• ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )'( )

A Af x k x x yf x k

= − + =

(*)

• Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆.

Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: a) (C): 3 23 7 1y x x x= − − + tại A(0; 1) b) (C): 4 22 1y x x= − + tại B(1; 0)

c) (C): 3 4 2 3

xy

x+

=−

tại C(1; –7) d) (C): 212 1

y xx

= + −−

tại D(0; 3)

Baøi 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C):2 3 3

2x x

y x− +

= −

tại điểm A có xA = 4

b) (C): 3( 2) 1

xy

x−

=−

tại điểm B có yB = 4

c) (C): 12

xy

x+

=−

tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.

d) (C): 22 2 1y x x= − + tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.

e) (C): 3 3 1y x x= − + tại điểm uốn của (C).

f) (C): 4 21 924 4

y x x= − − tại các giao điểm của (C) với trục hoành.

Baøi 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: a) (C): 3 22 3 9 4y x x x= − + − và d: 7 4y x= + .

b) (C): 3 22 3 9 4y x x x= − + − và (P): 2 8 3y x x= − + − .

c) (C): 3 22 3 9 4y x x x= − + − và (C’): 3 24 6 7y x x x= − + − . Baøi 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được

chỉ ra:

a) (C): 5 11 2 3x

y x+

=−

tại điểm A có xA = 2 .

b) (C): 2 7 26y x x= − + tại điểm B có xB = 2. Baøi 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam

giác có diện tích bằng S cho trước:

a) (C): 21

x my

x+

=−

tại điểm A có xA = 2 và S = 12

.

b) (C): 3 2

x my

x−

=+

tại điểm B có xB = –1 và S = 9 2

.

c) (C): 3 1 ( 1)y x m x= + − + tại điểm C có xC = 0 và S = 8. Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ có hệ số góc k được chỉ ra:

a) (C): y x x3 22 3 5= − + ; k = 12 b) (C): 2 1 2

xy

x−

=−

; k = –3

c) (C):2 3 4

1x x

y x− +

= −

; k = –1 d) (C): 2 4 3y x x= − + ; k = 2

Baøi 7. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ song song với đường thẳng d cho trước:



Trang 30

a) (C):3

22 3 13x

y x x= − + + ; d: y = 3x + 2 b) (C): 2 1 2

xy

x−

=−

; d: 3 24

y x= − +

c) (C):2 2 34 6

x xy

x− −

= +

; d: 2 5 0x y+ − = d) (C): 4 21 332 2

y x x= − + ; d: y = –4x + 1

Baøi 8. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ vuông góc với đường thẳng d cho trước:

a) (C):3

22 3 13x

y x x= − + + ; d: 28x

y = − + b) (C): 2 1 2

xy

x−

=−

; d: y x=

c) (C):2 3

1x

y x

+=

+; d: y = –3x d) (C):

2 12

x xy

x+ −

= +

; d: x – 2

Baøi 9. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ tạo với chiều dương trục Ox góc α:

a) (C):3

2 02 4; 603x

y x x= − + − =α b) (C):3

2 02 4; 753x

y x x= − + − =α

c) 03 2( ) : ; 451

xC y

x−

= =−

α

Baøi 10. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ tạo với đường thẳng d một góc α:

a) (C):3

2 02 4; : 3 7; 453x

y x x d y x= − + − = + =α

b) (C):3

2 012 4; : 3; 303 2x

y x x d y x= − + − = − + =α

c) 04 3( ) : ; : 3 ; 451

xC y d y x

x−

= = =−

α

d) 03 7( ) : ; : ; 602 5x

C y d y xx−

= = − =− +

α

e) 2

03( ) : ; : 1; 602

x xC y d y x

x− +

= = − + =−

α

Baøi 11. Tìm m để tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho trước:

a) (C):2 (2 1) 2

1x m x m

y x

+ + − +=

+ tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C).

b) (C):22 1

3x mx

y x+ −

= −

; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .

Baøi 12. Tìm m để tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước:

a) (C):2(3 1) ( 0)m x m m

y mx m

+ − += ≠

+ tại điểm A có yA = 0 và d: 10y x= − .

Baøi 13. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ đi qua điểm được chỉ ra: a) (C): 3 3 2y x x= − + − ; A(2; –4) b) (C): 3 3 1y x x= − + ; B(1; –6)

c) (C): ( )222y x= − ; C(0; 4) d) (C): 4 21 332 2

y x x= − + ; 30;2

D

e) (C): 2 2

xy

x+

=−

; E(–6; 5) f) (C): 3 4 1

xy

x+

=−

; F(2; 3)

g) (C):2 3 3

2x x

y x− +

= −

; G(1; 0) h) 2 2

1x x

y x− +

= −

; H(2; 2)



Trang 31

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc 1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ

phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )f '( ) '( )

x g x f x g x

= =

(*)

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 2. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình 2ax bx c px q+ + = + có nghiệm kép.

Baøi 1. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) 3 2

1 2( ) : (3 ) 2; ( ) :C y x m x mx C truïc hoaønh= + + + +

b) 3 21 2( ) : 2 ( 1) ; ( ) :C y x x m x m C truïc hoaønh= − − − +

c) 31 2( ) : ( 1) 1; ( ) : 1C y x m x C y x= + + + = +

d) 3 21 2( ) : 2 2 1; ( ) :C y x x x C y x m= + + − = +

Baøi 2. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) 4 2 2

1 2( ) : 2 1; ( ) : 2C y x x C y mx m= + + = +

b) 4 2 21 2( ) : 1; ( ) :C y x x C y x m= − + − = − +

c) 4 2 21 2

1 9( ) : 2 ; ( ) :4 4

C y x x C y x m= − + + = − +

d) 2 2 21 2( ) : ( 1) ( 1) ; ( ) : 2C y x x C y x m= + − = +

e) 2

1 2(2 1)( ) : ; ( ) :

1m x m

C y C y xx

− −= =

−

f) 2

21 2

1( ) : ; ( ) :1

x xC y C y x m

x− +

= = +−

VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị (C1): y = f(x) và C2): y = g(x)

1. Gọi ∆: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). u là hoành độ tiếp điểm của ∆ và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của ∆ và (C2). • ∆ tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( ) (1)'( ) (2)( ) (3)'( ) (4)

f u au bf u ag v av bg v a

= + = = +

=• Từ (2) và (4) ⇒ f′ (u) = g′ (v) ⇒ u = h(v) (5) • Thế a từ (2) vào (1) ⇒ b = ϕ(u) (6) • Thế (2), (5), (6) vào (3) ⇒ v ⇒ a ⇒ u ⇒ b. Từ đó viết phương trình của ∆.

2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.

Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị: a) 2 2

1 2( ) : 5 6; ( ) : 5 11C y x x C y x x= − + = − + −

b) 2 21 2( ) : 5 6; ( ) : 14C y x x C y x x= − + = − − −



Trang 32

c) 2 31 2( ) : 5 6; ( ) : 3 10C y x x C y x x= − + = + −

VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước

• Gọi M(x0; y0) ∈ (C). ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f′ (x0). • Vì ∆ // d nên f′ (x0) = kd (1)

hoặc ∆ ⊥ d nên f′ (x0) = 1

dk− (2)

• Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0) ∈ (C). Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho

trước:

a) (C):2 3 6

1x x

y x+ +

= +

; d: 13

y x=

b) (C):2 1

1x x

y x+ +

= +

; d là tiệm cận xiên của (C)

c) (C):2 1

1x x

y x+ −

= −

; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).

d) (C):2 1x x

y x

− += ; d: y = x

Baøi 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho trước:

a) (C): 3 2 10y x x x= + + + ; d: 2y x= b) (C):2 1x x

y x

− += ; d: y = –x

VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)

Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) ∈ d. • Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM • ∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)'( ) (2)

M Mf x k x x yf x k

= − + =

• Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f′ (x) + yM (3) • Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): a) 3 2( ) : 3 2C y x x= − + − b) 3( ) : 3 1C y x x= − +

Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):

a) 1( ) :1

xC y

x+

=−

; d là trục tung b) 2 2( ) :

1x x

C y x+ +

= −

; d là trục hoành

c) 22( ) :

1x x

C y x

+=

+; d: y = 1 d)

2 3 3( ) :2

x xC y

x+ +

= +

; d: x = 1

e) 3( ) :1

xC y

x+

=−

; d: y = 2x + 1



Trang 33

Baøi 3. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C):

a) 2 6 9( ) :

2x x

C y x

− +=

− + ; d là trục tung b)

2 3 3( ) :1

x xC y

x+ +

= +

; d là trục tung

c) 2 1( ) :2

xC y

x+

=−

; d: x = 3 d) 3 4( ) :4 3x

C y x

+=

−; d: y = 2

Baøi 4. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (C):

a) 2 2( ) :

2x x

C y x+ −

= +

; d là trục hoành b) 2 1( ) :

1x x

C y x− −

= +

; d là trục tung

c) 2 3 3( ) :

2x x

C y x+ +

= +

; d: y = –5

Baøi 5. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C): a) 3 2( ) : 3 2C y x x= − + − ; d: y = 2 b) 3( ) : 3C y x x= − ; d: x = 2

c) 3( ) : 3 2C y x x= − + + ; d là trục hoành d) 3( ) : 12 12C y x x= − + ; d: y = –4

e) 4 2( ) : 2C y x x= − − ; d là trục tung e) 4 2( ) : 2 1C y x x= − + − ; d là trục tung Baøi 6. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):

a) 3 2( ) : 9 17 2C y x x x= − + + ; A(–2; 5) b) 3 21 4 4( ) : 2 3 4; ;3 9 3

C y x x x A

= − + +

c) 3 2( ) : 2 3 5; (1; 4)C y x x A= + − −Baøi 7. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):

a) 3 2( ) : 6 9 1C y x x x= − + − ; d: x = 2 b) 3( ) : 3C y x x= − ; d: x = 2

VẤN ĐỀ 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Gọi M(xM; yM). • Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM • ∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)'( ) (2)

M Mf x k x x yf x k

= − + =

• Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f′ (x) + yM (3) • Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. • Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ⇔ f′ (x1).f′ (x2) = –1

Từ đó tìm được M. Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục

hoành thì 1 2

(3) 2 ( ). ( ) 0

coù nghieäm phaân bieätf x f x

<

Baøi 1. Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau. Viết phương trình các tiếp tuyến đó:

a) 2 1( ) : 2 3 1; 0;4

C y x x A

= − + −

b) 2 1( ) : ; (1; 1)

1x x

C y Ax+ +

= −+

c) 2 2 2( ) : ; (1;0)

1x x

C y Ax+ +

= +

d)



Trang 34

Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau: a) 3 2( ) : 3 2C y x x= − + ; d: y = –2 b) 3 2( ) : 3C y x x= + ; d là trục hoành

c) 22 1( ) :

1x x

C y x+ +

= +

; d là trục tung d) 2 2 1( ) :

1x x

C y x− +

= −

; d là trục tung

e) 2 3 2( ) : x x

C y x

− += ; d: x = 1

Baøi 3. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau:

a) 2

( ) : 2

x x mC y

x m− + −

= +

; d: y = –1 b) 2 8( ) : x mx

C y x m+ −

= −

; d là trục hoành

c) 2 2( ) : x mx m

C y x m

− +=

+ ; d là trục hoành

Baøi 4. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành;

a) 2( ) : ; (0; )1

xC y A m

x+

= −

b)

VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến

Baøi 1. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.

1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. 2) Chứng minh diện tích của ∆IAB là một hằng số. 3) Tìm điểm M để chu vi ∆IAB là nhỏ nhất.

a) 2 1( ) :1

xH y

x−

=−

b) 1( ) :1

xH y

x+

=−

c) 4 5( ) :2 3x

H y x−

=− +

Baøi 2. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.

1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. 2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi. 2) Chứng minh diện tích của ∆IAB là một hằng số. 3) Tìm điểm M để chu vi ∆IAB là nhỏ nhất.

a) 2 3 4( ) :2 2

x xH y

x− +

= −

b) 2 3 3( ) :

1x x

H y x− +

= −

c) 2 2 2( ) :

1x x

H y x+ +

= +

Baøi 3. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng S:

a) 2 3( ) : ; 8mxH y S

x m+

= =−

Baøi 4. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tại đó tiếp tuyến cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B sao cho ∆OAB vuông cân:

a) 2 1( ) :

1x x

H y x+ +

= −

b) 22 5( ) :

2x x

H y x

+=

+ c)

2 3 3( ) :2

x xH y

x+ +

= +

Baøi 5. Cho (C): 22 1

1x x

y x− +

= −

. Chứng minh rằng trên đường thẳng d: y = 7 có 4 điểm sao

cho từ mỗi điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450.



Trang 35

Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích S cho trước:

a) 1( ) : ; 4C y x Sx

= + = b) 3 1 1( ) : ;

2x

C y Sx+

= =



Trang 36

4. HỌ ĐỒ THỊ

Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số). M(x0; y0) ∈ (Cm) ⇔ y0 = f(x0, m) (1)

Xem (1) là phương trình theo ẩn m. Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M. • Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M. Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm). • Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M. • Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M.

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) Cách 1:

• Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm). M(x0; y0) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0, m), ∀m (1)

• Biến đổi (1) về một trong các dạng sau: • Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0, ∀m • Dạng 2: (1) ⇔ 2 0Am Bm C+ + = , ∀m

⇔ 0 0

AB

= =

(2a) ⇔ 0 00

ABC

==

=(2b)

• Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định. Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x0, y0.

Cách 2: • Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).

M(x0; y0) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0, m), ∀m (1) • Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 không đổi.

⇒ F′ (m) = 0 (3) • Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đósuy ra được các điểm cố định.

Baøi 1. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có phương trình sau: a) ( 1) 2 1y m x m= − − + b) 2 2( 2) 3 1y mx m x m= + − − +

c) 3 2( 1) 2 ( 2) 2 1y m x mx m x m= + − − − + + d) 2(1 2 ) (3 1) 5 2y m x m x m= − − − + −

e) 3 2 9 9y x mx x m= + − − f) 3( 2) 2y m x mx= − − +

g) 4 22 4 1y mx x m= − − + h) 4 2 5y x mx m= + − −

i) ( 1) 2 ( 1, 2)m xy m m

x m− −

= ≠ − ≠ −−

k) 3 1( 2) 4

x my

m x m+ −

= + +

l) 2 5 7 2

2 3x mxy m

mx − +

= ≠ ± − m)

22 ( 2) ( 0)2

x m x my m

x m− + + +

= ≠−

n) 2

2( 1)

2 2 1

x m x my

x mx m

+ − +=

+ + + o)

2

22 6 4

2 (5 2) 6x x my

x m x

+ +=

+ + +Baøi 2. Chứng minh rằng họ đồ thị (Cm) có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình

đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó: a) 3 2( 3) 3( 3) (6 1) 1y m x m x m x m= + − + − + + +

b) 3 2( 2) 3( 2) 4 2 1y m x m x x m= + − + − + −

c) 3 2( 4) (6 24) 12 7 18y m x m x mx m= − − − − + −



Trang 37

d) 3( 1) (2 1) 1y m x m x m= + − + − +

VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua • Gọi M(x0; y0) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua.

M(x0; y0) ∉ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0, m) vô nghiệm m (1) • Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

• Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0 vô nghiệm m ⇔ 0 0

AB

= ≠

(2a)

• Dạng 2: (1) ⇔ 2 0Am Bm C+ + = vô nghiệm m ⇔ 2

0 0 04 0

A B CAB AC

= = ≠ ≠ − <

(2b)

Chú ý: • Kết quả là một tập hợp điểm. • Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị

không đi qua.

Baøi 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

a) 2( 2) 2y m x m m= + + + b) 2

2 21

1 1

m my x

m m m m

+= +

+ + + +c) 2 2(1 ) 1 ( 0)y mx m x m m= + − + + ≠ d) 2 3 2 2y x m x m= − + −

e) 3 2 3 22 3 5 4y x mx m m= + − − − f) 3 2 2 24 4 6y mx m x mx m= − − + −

g) 2( 2) 2 4m x m m

y x m

− − + −=

− h)

2(3 1)m x m my

x m+ − +

= +

i) 2 8

1x mx m

y x

+ + −=

− k)

2 2 2x mx my

x m− + +

= −

l) 2

22 4

2 5

x mx my

x x

+ − +=

+ + m)

2

2(3 1) 10

3 2

x m xy

x x

+ − −=

− +Baøi 2. Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

a) (Cm): 3 2 2 24 4 6y mx m x mx m= − − + − ; (L) là trục hoành.

b) (Cm): 3 22 3( 3) 18 6y x m x mx= − + + + ; (L): 2 14y x= + .

c) (Cm): 2 2

21

1

x mx m my

mx m m

− + − +=

+ + +; (L) là trục tung.

d) (Cm): 2 2( 1) 1m x m x

y x m

+ + +=

+ ; (L): x = 2.

e) (Cm): 2 2 1m x

y x

+= ; (L): y = 1.

VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua • Ta có: M(x0; y0) ∈ (Cm) ⇔ y0 = f(x0, m) (1) • Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

Am + B = 0 (2a) hoặc 2 0Am Bm C+ + = (2b) • Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (Cm) đi qua M.



Trang 38

Baøi 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:

a) (Cm): 22 2

2( )mx m m

y x m

+ +=

+ ; k = 1. b) (Cm):

2 2x mx my

x m− + −

= −

; k = 2.

c) (Cm): 22 2 4 0xy my mx m x m− − + − = ; k = 1. Baøi 2. Tìm các điểm thuộc (L) sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:

a) (Cm): 3 2 2( 1) 4y x m x m= + + − ; (L): x = 2; k = 1.

b) (Cm): 3 2 2( 1) 4y x m x m= + + − ; (L): x = 2; k = 2.

c) (Cm): 3 2 2( 1) 4y x m x m= + + − ; (L): x = 2; k = 3. Baøi 3. Chứng minh rằng các điểm thuộc (L) có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:

a) (Cm): 2 2 2( 1) 2mx m m x m m

y x m

− + − + − +=

− ; (L): x > 1; k = 2.

b) (Cm): 2 2( 1)m x m

y x m

+ −=

− ; (L): x > 0; k = 2.

c) (Cm): 4 2 22 1y x mx m= − + + ; (L): y = 1; k = 1.

d) (Cm): 3 2 3( 1) (2 3 2) 2 (2 1)y x m x m m x m m= − + − − + + − ; (L): x = 1, y > –2; k = 2.



Trang 39

5. TẬP HỢP ĐIỂM

Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất α. • Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp điểm đó.

Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M. 1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M. 2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m. Có các trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: M ( ) ( )

x f m y g m

= =

Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng: F(x, y) = 0 (gọi là phương trình quĩ tích)

Trường hợp 2: M ( )( )

x a haèng soáy g m

= =

Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng x = a.

Trường hợp 3: M ( )( )

x f my b haèng soá

= =

Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b. 3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của quĩ tích. 4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3).

Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể tính được toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉthiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0.

Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích.

Baøi 1. Tìm tập hợp các điểm đặc biệt của họ đồ thị đã cho. a) (Pm): 22 ( 2) 2 4y x m x m= − − + − . Tìm tập hợp các đỉnh của (Pm).

b) (Cm): 3 23 2 3 1y x mx x m= − + − − . Tìm tập hợp các điểm uốn của (Cm).

c) (Cm): 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + + . Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Cm).

d) (Hm): ( 1) 1 1

m xy

mx− +

= −

. Tìm tập hợp các tâm đối xứng của (Hm).

e) (Hm): 22 3 5

2x mx m

y x

− +=

− . Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Hm).

Baøi 2. Cho (C) và (C′). Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng. 1) Tìm m để (C) và (C′) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. 2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.

a) (C): 3 23 1y x x mx= + + + và (C’): 3 22 7y x x= + + .

b) (C): 2 3y x mx= − + và (C′): 2y mx= + .

c) (C): 1 1

xy

x−

=+

và (C′): 2 0x y m− + =

d) (C): 2( 2)

1x

yx

−=

− và (C′) là đường thẳng đi qua A(0; 3) và có hệ số góc m.



Trang 40

e) (C): 2 4 3

2x x

y x+ +

= +

và (C′): 1y mx= + .

Baøi 3. Cho (C) và (C′).Tìm tập hợp các điểm. 1) Tìm m để (C) cắt (C′) tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó xC không đổi). 2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.

a) (C): 3 23y x x= − và (C′): y mx= .

b) (C): 3 2 2 22( 1) ( 1)y x m x m x m= − + + + − và (C′): 3y mx m= − + .

c) (C): 3 26 9y x x x= − + và (C′): y mx= .

d) (C): 2( 2)( 1)y x x= + − và (C′) là đường thẳng đi qua C(–2; 0) và có hệ số góc m. Baøi 4. Cho (C). Tìm tập hợp các điểm từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến của (C) vuông góc

với nhau.

a) (C): 1y x

x= + b) (C):

2 1 1

x xy

x+ +

= +

Baøi 5.

a) Cho (C): 2 1

xy

x−

=−

. Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được tiếp

tuyến với (C). b) Cho (C): 3 23 2y x x= − + − . Tìm tập hợp các điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).



Trang 41

6. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

• Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. • Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. • Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định.

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số ( )y f x= .

Đồ thị (C′) của hàm số ( )y f x= có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành. + Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành. + Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên.

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= .

Đồ thị (C′) của hàm số ( )y f x= có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung. + Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung. + Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên.

Baøi 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C′). Dùng đồ thị (C′) biện luận số nghiệm của phương trình (1):

a) (C): 3 23 6y x x= − − ; (C′): 3 23 6y x x= − − ; 3 23 6x x m− − = (1)

b) (C): 4 22 3y x x= − − ; (C′): 4 22 3y x x= − − ; 4 22 3x x m− − = (1)

c) (C): 22 5 2

1x x

y x+ −

= +

; (C′): 22 5 2

1x x

y x+ −

= +

; 22 5 2

1x x

mx+ −

=+

(1)

d) (C): 2 1

2x x

y x− −

= −

; (C′): 2 1

2x x

y x− −

= −

; 2 1

2x x

mx− −

=−

(1)



Trang 42

e) (C): 2 2 2

xy

x−

=−

; (C′): 2 2 2

xy

x−

=−

; 2 2 2

xm

x−

=−

(1)

Baøi 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C′). Dùng đồ thị (C′) biện luận số nghiệm của phương trình (1):

a) (C): 3 22 9 12 4y x x x= − + − ; (C′): 3 22 9 12 4y x x x= − + − ;

3 22 9 12x x x m− + =

b) (C): 21

xy

x=

−; (C′): 2

1x

y x

=−

; ( 2). 0m x m− − = (1)

c) (C): 2 4 5

2x x

y x+ +

= +

; (C′): 2 4 5

2x x

y x

+ +=

+ ;

2 4 52

x xm

x+ +

=+

(1)

Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C′). Dùng đồ thị (C′), tìm m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt:

a) (C): 4 22 1y x x= − − ; (C′): 4 22 1y x x= − − ; 4 222 1 logx x m− − = ; k = 6.

b) (C): 3 26 9y x x x= − + ; (C′): 3 26 9y x x x= − + ;

3 26 9 3 0x x x m− + − + = ; k = 6.

c) (C): 22 5 2

1x x

y x+ −

= +

; (C′): 22 5 2

1x x

y x+ −

= +

; 22 5 2

1x x

mx+ −

=+

; k = 4.

d) (C): 4

2 532 2x

y x= − + ; (C′): 4

2 532 2x

y x= − + ; 4

2 253 22 2x

x m m− + = − ; k = 8.



Trang 43

7. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( ) ( )

P xy

Q x= có toạ độ là những số nguyên:

• Phân tích ( ) ( )

P xy

Q x= thành dạng ( )

( )a

y A xQ x

= + , với A(x) là đa thức, a là số nguyên.

• Khi đó xy

∈ ∈

¢ ¢ ⇔ Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là

ước số của a. • Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.

Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

a) 2 1

xy

x+

=+

b) 102

xy

x−

=+

c) 2 2

xy

x+

=−

d) 2 1

2x x

y x+ +

= +

e) 2 2

1x x

y x

+=

+f) 41

1y x

x= + +

−Baøi 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

a) 2 2( 1) 4y x y x y x= + + + + b) 22 4( 1) 6y x y x y x= + + − +

VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d ⇔ d là trung trực của đoạn AB • Phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với d: y = ax = b có dạng:

∆: 1y x m

a= − +

• Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và (C):

f(x) = 1x m

a− + (1)

• Tìm điều kiện của m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).

• Tìm toạ độ trung điểm I của AB. • Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d ⇔ I ∈ d, ta tìm

được m ⇒ xA, xB ⇒ yA, yB ⇒ A, B.

Chú ý: • A, B đối xứng nhau qua trục hoành ⇔ A B

A B

x x y y

= = −

• A, B đối xứng nhau qua trục tung ⇔ A B

A B

x xy y

= − =

• A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b ⇔ 2

A B

A B

x xy y b

= + =

• A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a ⇔ 2A B

A B

x x ay y

+ = =

Baøi 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:

(d) (C)

(∆)

B A I



Trang 44

a) 3( ) : ; : 2 0C y x x d x y= + + = b) 4( ) : ; : 2 6 02

xC y d x y

x+

= − − =−

c) 2

( ) : ; : 11

xC y d y x

x= = −

− d)

2 1( ) : ; : 11

x xC y d y x

x+ −

= = −−

Baøi 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Viết phương trình đồ thị (C′) đối xứng với (C) qua đường thẳng d:

a) 3 2( ) : 3 5 10 2; : 2C y x x x d x= − + − = − b)22 3 7( ) : ; : 2

1x x

C y d xx− +

= =−

c) 2 2( ) : ; : 2

2x x

C y d yx+ −

= =−

d) 22 5 3( ) : ; : 1

1x x

C y d yx+ −

= = −−

Baøi 3. Tìm m để trên đồ thị (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: a) 3 2 2( ) : 3 2 ; :C y mx x x m d Ox= + + +

VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I ⇔ I là trung điểm của AB.

• Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có hệ số góc k có dạng: ( )y k x a b= − + . • Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

f(x) = ( )k x a b− + (1) • Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1). • Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I ⇔ I là trung điểm của AB, ta tìm được k ⇒ xA, xB.

Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O ⇔ A B

A B

x xy y

= − = −

Baøi 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I:

a) 3 2( ) : 4 2; (2;4)C y x x x I= − + + b) 2 2 5( ) : ; 0;

1 2x x

C y Ix

+ +=

−

c) 3 2( ) : 3 2 1; (0;0)C y x x x I O= − − + ≡ d) 4( ) : ; (0;0)1

xC y I O

x+

= ≡+

e) 3 4( ) : ; (1;1)2 1x

C y Ix

+=

− e) ( )

22 5 1( ) : ; 2; 51

x xC y I

x− +

= − −+

Baøi 2. Cho đồ thị (C) và điểm I. Viết phương trình đồ thị (C′) đối xứng với (C) qua điểm I:

a) 3 2( ) : 2 3 5 1; (1;2)C y x x x I= + + + b)2( 1)( ) : ; (1;1)

2x

C y Ix−

= −

c) 2 1( ) : ; (2;1)

1x x

C y Ix− +

= −

d) 3 22 5 1( ) : ; (2;1)

2 3x x x

C y Ix

− − +=

−

Baøi 3. Tìm m để trên đồ thị (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua điểm: a) 3 2 2 2( ) : 3 3( 1) 1 ; (0;0)C y x mx m x m I O= − + − + − ≡

b) 3 2( ) : 7 3; (0;0)C y x mx x I O= + + + ≡

c) 3 2( ) : 9 4; (0;0)C y x mx x I O= + + + ≡ d) 2 2 22( ) : ; (0;0)

1x m x m

C y I Ox

+ += ≡

+

A BI


sđt : 01695316875 ymail: [email protected]đt : 01695316875 ymail: [email protected]

Trang 45

VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách Kiến thức cơ bản:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = 2 2( ) ( )B A B Ax x y y− + − 2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0:

d(M, ∆) = 0 0 2 2

ax by c

a b

+ +

+3) Diện tích tam giác ABC:

S = ( )22 21 1. .sin . .2 2

AB AC A AB AC AB AC= −u uuur uuur

Baøi 1. Cho đồ thị (C) và điểm A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất. Chứng minh rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M. a) 2( ) : 1; (0;0)C y x A O= − ≡ b) 2( ) : ; (3;0)C y x A=

c) 2( ) : 2 1; (9;1)C y x A= + Baøi 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến

d là nhỏ nhất.

a) 4 2( ) : 2 3 2 1; : 2 1C y x x x d y x= − + + = − b) 2 4 5( ) : ; : 3 6

2x x

C y d y xx+ +

= = − −+

c) 2( ) : ; : 2( 1)C y x x d y x= − = + d) 1( ) : ; : 2 31

xC y d y x

x+

= = − +−

Baøi 3. Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước.

a) 2( ) : ; 12

xC y k

x+

= =−

b) 2 1( ) : ; 1

1x x

C y kx+ −

= =−

c) 2 1( ) : ; 2

1x x

C y kx+ −

= =−

d) 2 2 2( ) : ; 2

1x x

C y kx+ +

= =+

Baøi 4. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

a) 2( ) :2

xH y

x+

=−

b) 2 1( ) :1

xH y

x−

=+

c) 4 9( ) :3

xH y

x−

=−

d) 2 2( ) :

3x x

H y x+ −

= −

e) 2 1( ) : 2

x xH y

x− +

= −

f) 2 3 3( ) :

2x x

H y x+ +

= +

Baøi 5. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.

a) 1( ) :1

xH y

x−

=+

b) 2 1( ) :2

xH y

x+

=−

c) 4 9( ) :3

xH y

x−

=−

d) 2 11( ) :

1x x

H y x+ −

= −

e) 2 3( ) :

2x

H y x

−=

−f)

2 6( ) :3

x xH y

x+ −

= −

Baøi 6. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm của hai tiệm cận là nhỏ nhất.

a) 2 2 2( ) :

1x x

H y x+ +

= −

b) 2 1( ) : ; 1

1x x

H y xx− +

= >−

Baøi 7. Cho hypebol (H). Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ dài AB là nhỏ nhất.



Trang 46

a) 1( ) :1

xH y

x−

=+

b) 2 3( ) : 2x

H yx

+=

−c) 4 9( ) :

3x

H y x

−=

−

d) 1( ) : 2 1H y xx

= + + e) 2 3 3( ) :

1x x

H y x− +

= −

f) 2 2 5( ) :

1x x

H yx

− +=

−

Baøi 8. Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là nhỏ nhất.

a) 2 6 4( ) : ; :

1x x

H y d y kx+ −

= =+

b) 1( ) : ; : 2 01

xH y d x y m

x+

= − + =−



Trang 47

Baøi 1. Cho hàm số: 3 2 4,y x ax= + − a là tham số. a) Khảo sát và vẽ đồ thị với a = 3. b) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

3 2 4 0x ax+ − = ĐS: b) a < 3.

Baøi 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 26 9 1y x x x= − + − . b) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số? ĐS: b) một tiếp tuyến.

Baøi 3. Cho hàm số: 3 3 (1)y x x= − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Chứng minh rằng m khi thay đổi, đường thẳng d cho bởi phương trình:

( 1) 2y m x= + + luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các giá trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.

ĐS: b) 2( 1; 2); 1 23

A m− = − +

Baøi 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 4 22 1 (1)y x x= − − b) Với những giá trị nào của m thì phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt.

4 242 1 log (2)x x m− − =

ĐS: b) 4 < m < 16.

Baøi 5. Cho hàm số: 4 25 4 (1)y x x= − +a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4 điểm phân biệt. c) Tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

ĐS: b) 9 44

m− < < c) 7 4

m =

Baøi 6. Cho hàm số: 4 21 32 2

y x mx= − + (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.

b) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 30;2

A

tiếp xúc với (C).

c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.

ĐS: b) 3 3; 2 22 2

y y x= = ± + c) m ≤ 0.

Baøi 7. Cho hàm số: 3 4 ( )1

xy H

x+

= −

VIII. ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ



Trang 48

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b) Với giá trị nào của a, đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị (H)? c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H). ĐS: b) –28 < a ≤ 0 c) y = –28x + 59.

Baøi 8. a) Khảo sát và vẽ đồ thị 2 ( )1

xy C

x−

= −

.

b) Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2). ĐS: b) (2 ; 0), (0 ; 2).

Baøi 9. Cho hàm số: 12 ( )y x Cx

= − +

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ. c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau.

ĐS: b) 1 1;2 2

M

c) 2 5.k = − ±

Baøi 10. Cho hàm số: 2 2( 1) 4 4 2

( 1)x m x m m

y x m

− + + − −=

− −a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 2. b) Tìm các giá trị của m để hàm số xác định và đồng biến trên khoảng (0 ; +∞)

ĐS: b) 2 3 37 2

m−

≤ ≤

Baøi 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2 2 2

1x x

y x+ +

= +

.

b) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C).

ĐS: b) 2 2.IABS =

Baøi 12. Cho hàm số: 2 2 2 11 ( )

1 1x x

y x Cx x+ +

= = + ++ +

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của nó.

ĐS: b) 1 22 3 2 2 3 21 ; ; 1 ;

2 2 2 2M M

− + − − −

Baøi 13. Cho hàm số: 2 ( 1) 1 ( )m

x m x mxy C

x m+ + − +

= −

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 2. b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = 2 ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số. c) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.

ĐS: b) 9 22

c) 3 2 3 3 2 3m hay m< − − > − +



Trang 49

Baøi 14. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 2 4 1

2x x

y x+ +

= +

b) Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng ( ) : y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất.

ĐS: b) 1 23 5 5 5; ; ;2 2 2 2

M M

− − −

.

Baøi 15. Cho hàm số: 22 2

1x mx

y x+ −

= −

với m là tham số.

a) Xác định m để tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số trên có diện tích bằng 4. b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = –3. ĐS: a) m = –6 hay m =

2.

Baøi 16. Cho hàm số:

2 1x xy

x+ +

= .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. b) Xác định m sao cho phương trình sau có nghiệm:

4 3 2( 1) 3 ( 1) 1 0t m t t m t− − + − − + =

ĐS: b) 3 7 .2 2

m hay m≤ − ≥

Baøi 17. Cho hàm số: 3 2 2 2 23 3(1 ) (1)y x mx m m m= − + + − + − (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b) Tìm k để phương trình 3 2 3 23 3 0x x k k− + + − = có 3 nghiệm phân biệt. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

ĐS: b) 1 3; 0; 2;k k k− < < ≠ ≠ c) 22y x m m= − +

Baøi 18. Cho hàm số: 4 2 2( 9) 10y mx m x= + − + (1) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. ĐS: b) 3 0 3.m hay m< − < <

Baøi 19. Cho hàm số: 2(2 1) (1)

1m x m

y x

− −=

− (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. c) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.

ĐS: b) 41 4 ln3

S = + c) m ≠ 1.

Baøi 20. Cho hàm số: 2

1mx x m

y x+ +

= −

(1) (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.

ĐS: b) 1 0.

2 m− < <



Trang 50

Baøi 21. Cho hàm số: 3 23y x x m= − + (1) (m là tham số) a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. ĐS: a) m > 0.

Baøi 22. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 4 (1)

2x x

y x− +

= −

b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. ĐS: b) m > 1.

Baøi 23. Cho hàm số: 2 3 32( 1)

x xy

x− + −

= −

(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1.

ĐS: b) 1 5

2m

±= .

Baøi 24. Cho hàm số: 3 21 2 3 (1)3

y x x x= − + có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

ĐS: b) 8: ; 1.

3y x k= − + = −∆

Baøi 25. Cho hàm số: 3 23 9 1 (1)y x mx x= − + + (với m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. ĐS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2.



truy cập trang này để download tài liệu của HOÀNG THÁI VIỆThttp://www.slideshare.net/barackobamahtv

mailto:[email protected]

Trang 51

1. Định nghĩa luỹ thừa Số mũ α Cơ số a Luỹ thừa aα

*N= α n ∈ a ∈ R . ......na a a a aα = = (n thừa số a) 0=α 0≠a 10 == aaα

)( *Nnn − = α ∈ 0≠a nn

aaa 1

== −α

),( *NnZmnm

∈∈=α 0>a )( abbaaaa nnn mnm

=⇔===α

),(lim *NnQrr nn ∈∈=α 0>a nraa lim=α 2. Tính chất của luỹ thừa

• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

α

αααααβαβαβα

β

αβαβα

ba

babaabaaa

aaaaa =

==== −+ ;.)(;)(;;. .

• a > 1 : a a> ⇔ >α β α β ; 0 < a < 1 : a a> ⇔ <α β α β• Với 0 < a < b ta có:

0m ma b m< ⇔ > ; 0m ma b m> ⇔ <Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3. Định nghĩa và tính chất của căn thức

• Căn bậc n của a là số b sao cho nb a= . • Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có:

.n n nab a b= ; ( 0)n

nn

a a b

b b= > ; ( ) ( 0)

p n p na a a= > ; m n mna a=

( 0)n mp qp qNeáu thì a a a

n m= = > ; Đặc biệt mnn ma a=

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n na b< .

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n na b< . Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a . + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

4. Công thức lãi kép Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì. Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: (1 )NC A r= +

CHƯƠNG IIHÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ

LOGARIT

I. LUỸ THỪA



Trang 52

Baøi 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) ( ) ( )3 2

3 7 2 71 . . 7 .8 7 14

A

= − − − − −

b) ( ) ( )

( ) ( )

2 6 4

6 42

3 . 15 .8

9 . 5 . 6B

− −=

− −

c) 3 22 34 8C = + d) ( )

23 5232D

−

=

e) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

7 34

4 5 2

18 .2 . 50

25 . 4 . 27E

− −=

− − − f)

( ) ( )

( )

3 36

423

125 . 16 . 2

25 5

F − −

= −

g) ( )

( ) ( )

23 1 3 4 2

0 33 2 2

2 .2 5 .5 0,01 .10

10 :10 0,25 10 0,01G

−− − −

−− − −

+ −=

− +h) ( ) ( )1 1 1 1 1

3 3 3 3 34 10 25 2 5H = − + +

i)

435 4

3

4. 64. 2

32I

= k)

5 5 5

23 5

81. 3. 9. 12

3 . 18 27. 6

K =

Baøi 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

a) ( )4 2 3 , 0x x x ≥ b) ( )5 3 , , 0b a a b

a b≠ c) 5 32 2 2

d) 3 32 3 23 2 3

e) 4 3 8a f) 5 2

3

b b

b bBaøi 3. Đơn giản các biểu thức sau:

a)

1,5 1,5 0,5 0,5

0,50,5 0,5

0,5 0,52

a b a b ba b

a b a b

+ −

+ +− +

b) 0,5 0,5 0,5

0,5 0,52 2 1.

12 1a a a

aa a a

+ − +− −+ +

c)

1 1 1 1 3 12 2 2 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

2.x y x y x y yx y x y

xy x y xy x y

− +

+ − + −

+ −

d)

1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2

21 12 2

3 3 . 2

x y x y x yx y

x y

+ − −

+ −

−

e) ( ) ( )1 2 2 1 2 43 3 3 3 3 3. .a b a a b b− + + f) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

4 4 4 4 2 2. .a b a b a b− + +

g) ( )( )

( )11 2 2 2 2

11 . 1 .

2

a b c b c aa b c

bca b c

−−−

−−

+ + + −+ + +

− +

Baøi 4. Đơn giản các biểu thức sau:

a) 3 3

6 6a b

a b

−

− b)

4:ab ab bab

a ba ab

−− −+

c) 42 4

24

2a x x a a x a xa x ax

+ − + +

+ d)

3 32 2

3 3 3 32 2 2 236

6 62

a x ax a x

a x a ax x xa x

+ −+

− − + −−



Trang 53

e) 3

4 43 3

4 41 11 1

x x x

x xx xx x

− − + − −

− +

f) 3 3 32 2 2 23 3

33 33 2 3

2 :a a a b a b a b aba

a ba ab

− + − + −−

g) ( )3 32 2 16 6 6

3 3 3 32 2 2 23 .

2

a b ab a ba b a

a ab b a b

− − + − − + − + −

Baøi 5. So sánh các cặp số sau:

a) ( ) ( ) 220,01 vaø 10

−− b)

2 6

vaø4 4

π π c) 2 3 3 25 vaø 5− −

d) 300 2005 vaø 8 e) ( ) 0,3 30,001 vaø 100−

f) ( ) 224 vaø 0,125 −

g) ( ) ( )3 52 2vaø

− −h)

4 54 55 4

vaø−

i) 10 110,02 50vaø−

k) ( ) ( )1 24 23 1 3 1vaø− − l)

2 23 2vaø

5 2

− −

m)

5 102 3

vaø2 2

π π

Baøi 6. So sánh hai số m, n nếu:

a) 3,2 3,2m n< b) ( ) ( )2 2m n

> c) 1 19 9

m n

>

d) 3 32 2

m n

>

e) ( ) ( )5 1 5 1m n

− < − f) ( ) ( )2 1 2 1m n

− < −

Baøi 7. Có thể kết luận gì về số a nếu:

a) ( ) ( )2 13 31 1a a

− −− < − b) ( ) ( )3 1

2 1 2 1a a− −

+ > + c) 0,2

21a

a

−

<

d) ( ) ( )1 13 21 1a a

− −− > − e) ( ) ( )

3 242 2a a− > − f)

1 12 21 1

a a

−

>

g) 3 7a a< h) 1 1

17 8a a− −

< i) 0,25 3a a− −< Baøi 8. Giải các phương trình sau:

a) 54 1024x = b) 1

5 2 82 5 125

x+

=

c) 1 3 1832

x− =

d) ( )22 13 3

9

xx −

=

e) 2 8 27.9 27 64

x x−

=

f) 2 5 6

3 12

x x− +

=

g) 2 81 0,25.320,125 8

xx

−−

=

h) 0,2 0,008x = i) 3 7 7 3

9 749 3

x x− −

=

k) 5 .2 0,001x x = l) ( ) ( ) 112 . 36

x x= m) 1 1 17 .4

28x x− − =

Baøi 9. Giải các bất phương trình sau:

a) 0,1 100x > b) 31 0,045

x

>

c) 1000,39

x >



Trang 54

d) 27 . 49 343x+ ≥ e) 2

1 1 93 27

x+

<

f) 139 3

x <

g) ( ) 13 .327

x> h) 1 127 .3

3x x− < i) 31 . 2 1

64

x

>

Baøi 10. Giải các phương trình sau: a) 22 2 20x x++ = b) 13 3 12x x++ = c) 15 5 30x x−+ =

d) 1 14 4 4 84x x x− ++ + = e) 24 24.4 128 0x x− + = f) 1 2 14 2 48x x+ ++ =

g) 3.9 2.9 5 0x x−− + = h) 2 5 63 1x x− + = i) 14 2 24 0x x++ − =



Trang 55

1. Định nghĩa • Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b a b= ⇔ =αα

Chú ý: loga b có nghĩa khi 0, 10

a a b

> ≠ >

• Logarit thập phân: 10lg log logb b b= =

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln logeb b= (với 1lim 1 2,718281n

e n

= + ≈

)

2. Tính chất • log 1 0a = ; log 1a a = ; log b

a a b= ; log ( 0)a ba b b= >

• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó: + Nếu a > 1 thì log loga ab c b c> ⇔ >

+ Nếu 0 < a < 1 thì log loga ab c b c> ⇔ <3. Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:

• log ( ) log loga a abc b c= + • log log loga a ab

b cc

= −

• log loga ab b=α α

4. Đổi cơ số Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:

• log

loglog

ab

a

cc

b= hay log . log loga b ab c c=

• 1logloga

bb

a= • 1log log ( 0)aa c c= ≠α α

α


a) 2 1 4

log 4.log 2 b) 5 271log . log 925

c) 3loga a

d) 32log 2log 34 9+ e)

2 2log 8 f) 9 8log 2 log 2727 4+

g) 3 4

1/3

7 1

log . log

loga a

a

a a

a h) 3 8 6log 6.log 9.log 2 i) 3 812 log 2 4 log 59 +

k) 9 93 log 36 4 log 7log 581 27 3+ + l) 5 7log 6 log 825 49+ m) 53 2 log 45 −

n) 6 8

1 1log 3 log 29 4+ o) 9 2 1251 log 4 2 log 3 log 273 4 5+ −+ + p) 36

log 3.log 36

q) 0 0 0lg(tan1 ) lg(tan 2 ) ... lg(tan89 )+ + + r) 8 4 2 2 3 4log log (log 16) . log log (log 64)

Baøi 2. Cho a > 0, a ≠ 1. Chứng minh: 1log ( 1) log ( 2)a aa a++ > +

II. LOGARIT



Trang 56

HD: Xét A = 1 1 11 1

log ( 2) log log ( 2)log . log ( 2)

log ( 1) 2a a a

a aa

a a aa a

a+ + +

+ ++ + +

= + ≤+

=

= 2

1 1log ( 2) log ( 1)1

2 2a aa a a+ ++ +

< =

Baøi 3. So sánh các cặp số sau:

a) 3 41log 4 vaø log3

b) 3 0,1 0,2log 2 vaø log 0,34 c) 3 5

4 2

2 3log vaø log5 4

d) 1 13 2

1 1log log80 15 2

vaø+

e) 13 17log 150 log 290vaø f) 66

1loglog 3 22 vaø 3

g) 7 11log 10 log 13vaø h) 2 3log 3 log 4vaø i) 9 10log 10 log 11vaø

HD: d) Chứng minh: 1 13 2

1 1log 4 log80 15 2

< <+

e) Chứng minh: 13 17log 150 2 log 290< <

g) Xét A = 7 7 77 11

7

log 10.log 11 log 13log 10 log 13

log 11−

− =

= 7 7 77

1 10.11.7 10 11log log . loglog 11 7.7.13 7 7

+

> 0

h, i) Sử dụng bài 2. Baøi 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho 2log 14 a= . Tính 49log 32 theo a.

b) Cho 15log 3 a= . Tính 25log 15 theo a.

c) Cho lg3 0,477= . Tính lg9000 ; lg 0,000027 ; 81

1log 100

.

d) Cho 7log 2 a= . Tính 12

log 28 theo a.

Baøi 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho 25log 7 a= ; 2log 5 b= . Tính 3 549log8

theo a, b.

b) Cho 30log 3 a= ; 30log 5 b= . Tính 30log 1350 theo a, b.

c) Cho 14log 7 a= ; 14log 5 b= . Tính 35log 28 theo a, b.

d) Cho 2log 3 a= ; 3log 5 b= ; 7log 2 c= . Tính 140log 63 theo a, b, c. Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):

a) log loga ac bb c= b) log log

log ( ) 1 loga a

axa

b xbx

x+

= +

c) log

1 loglog

aa

ab

cb

c = +

d) 1log (log log )3 2 c c c

a ba b

+ = + , với 2 2 7a b ab+ = .

e) 1log ( 2 ) 2 log 2 (log log )2a a a ax y x y+ − = + , với 2 24 12x y xy+ = .

f) log log 2 log . logb c c b c b c ba a a a+ − + −+ = , với 2 2 2a b c+ = .


Trang 57

g) 2 3 4

1 1 1 1 1 ( 1)...log log log log log 2 logka aa a a a

k kx x x x x x

++ + + + + = .

h) log . log . log

log . log log . log log . log log

a b ca b b c c a

abc

N N NN N N N N N

N+ + = .

i) 1

1 lg10 zx −= , nếu 1 1

1 lg 1 lg10 10x yy vaø z− −= = .

k) 2 3 2009 2009!

1 1 1 1...log log log logN N N N

+ + + = .

l) log log loglog log log

a b a

b c c

N N NN N N

− =

− , với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.



Trang 58

1. Khái niệm a) Hàm số luỹ thừa y x= α (α là hằng số)

Số mũ α Hàm số y x= α Tập xác định D

α = n (n nguyên dương) ny x= D = R

α = n (n nguyên âm hoặc n = 0) ny x= D = R \ {0}

α là số thực không nguyên y x= α D = (0; +∞)

Chú ý: Hàm số 1 ny x= không đồng nhất với hàm số ( *)n y x n N= ∈ .

b) Hàm số mũ xy a= (a > 0, a ≠ 1). • Tập xác định: D = R. • Tập giá trị: T = (0; +∞). • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang. • Đồ thị:

c) Hàm số logarit logay x= (a > 0, a ≠ 1)

• Tập xác định: D = (0; +∞). • Tập giá trị: T = R. • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. • Đồ thị:

0<a<1

y=logax

1 x

y

O

a>1

y=logax

1

y

xO

0<a<1

y=axy

x1

a>1

y=axy

x1

III. HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT



Trang 59

2. Giới hạn đặc biệt

• 1

0

1lim(1 ) lim 1x

xx x

x ex→ →±∞

+ = + =

•

0

ln(1 )lim 1x

x x→

+= •

0

1lim 1x

x

ex→

−=

3. Đạo hàm

• ( ) 1 ( 0)x x x−′= >α αα ; ( ) 1.u u u−′ ′=α αα

Chú ý: ( )nn n

vôùi x neáu n chaünxvôùi x neáu n leûn x 1

1 0 0 −

′ >= ≠ . ( )

1n

n n

uu

n u −

′ ′=

• ( ) lnx xa a a′

= ; ( ) ln .u ua a a u′

= ′

( )x xe e′

= ; ( ) .u ue e u′

= ′

• ( ) 1loglna x

x a′ = ; ( )log

lnau

uu a

′′ =

( ) 1ln xx

′ = (x > 0); ( )ln uu

u′′ =

Baøi 1. Tính các giới hạn sau:

a) lim 1

x

x

xx→+∞

+ b)

11lim 1

xx

x x

+

→+∞

+

c)

2 11lim 2

x

x

x x

−

→+∞

+

−

d)

1 33 4lim

3 2

x

x

x x

+

→+∞

−

+ e) 1lim

2 1

x

x

x x→+∞

+

− f) 2 1lim

1

x

x

x x→+∞

+

−

g) ln 1limx e

x→ x e

−−

h) 2

0

1lim 3

x

x

ex→

− i) 1

lim1

x

x

e ex→

−−

k) 0

lim sin

x x

x

e e x

−

→

− l) sin2 sin

0lim

x x

x

e e x→

− m) ( )1

lim 1xx

x e→+∞

−

Baøi 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) 3 2 1y x x= + + b) 4 1 1

xy

x+

=−

c) 2

52

21

x xyx

+ −=

+

d) 3 sin(2 1)y x= + e) 3 2cot 1y x= + f) 3

31 21 2

xy

x

−=

+

g) 3 3sin4

xy

+= h) 11 5 99 6y x= + i)

24

211

x xyx x

+ +=

− +Baøi 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) xy x x e2( 2 2)= − + b) xy x x e2( 2 ) −= + c) 2 .sinx y e x−=

d) 22x xy e += e)

13.

x xy x e

−= f)

2

2

x x

x xe e

ye e

+=

−

g) cos2 .x xy e= h) 2

3

1

xy

x x=

− +i) xy x ecotcos .=

Baøi 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:



Trang 60

a) y x x2ln(2 3)= + + b) y x2log (cos )= c) xy e x. ln(cos )=

d) y x x x2(2 1) ln(3 )= − + e) y x x3 1 2

log ( cos )= − f) y x3log (cos )=

g) xy

x

ln(2 1)2 1

+=

+ h) x

y x

ln(2 1) 1+

= +

i) ( )2ln 1y x x= + +

Baøi 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

a) x

y x e xy x y

2

22. ; (1 )−

= ′ = − b) x xy x e y y e( 1) ;= + ′ − =

c) 4 2 ; 13 12 0x xy e e y y y− ′′′= + − ′ − = d) 2. . ; 3 2 0x xy a e b e y y y− − ′′′= + + ′ + =

g) .sin ; 2 2 0x y e x y y y− ′′′ ′= + + = h) ( )4.cos ; 4 0x y e x y y−= + =

i) sin ; cos sinxy e y x y x y= ′ − − ′′ = 0 k) 2 .sin 5 ; 4 29 0x y e x y y y= ′′ − ′ + =

l) 21 . ; 22

x xy x e y y y e= ′′ − ′ + = m) 4 2 ; 13 12 0x xy e e y y y− ′′′′= + − ′ − =

n) x xxyy x e y e x

x2 2

22( 1)( 2010); ( 1)

1= + + ′ = + +

+Baøi 6. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

a) 1ln ; 11

yy xy ex

= ′ + = +

b) 1 ; ln 11 ln

y xy y y xx x

= ′ = − + +

c) y x x y xy x y2sin(ln ) cos(ln ); 0= + + ′ + ′′ = d) xy x y x y

x x2 2 21 ln ; 2 ( 1)

(1 ln )+

= ′ = +−

e) 2

2 21 1 ln 1; 2 ln2 2x

y x x x x y xy y= + + + + + = ′ + ′

Baøi 7. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra: a) xf x f x f x e x x2'( ) 2 ( ); ( ) ( 3 1)= = + +

b) 31'( ) ( ) 0; ( ) lnf x f x f x x xx

+ = =

c) 2 1 1 2'( ) 0; ( ) 2. 7 5x xf x f x e e x− −= = + + −d) '( ) '( ); ( ) ln( 5); ( ) ln( 1)f x g x f x x x g x x> = + − = −

e) 2 11'( ) '( ); ( ) .5 ; ( ) 5 4 ln 52

x xf x g x f x g x x+< = = +



Trang 61

1. Phương trình mũ cơ bản: Với a > 0, a ≠ 1: 0log

x

a

ba b x b >= ⇔ =

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a ≠ 1: ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= ⇔ = Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: ( 1)( ) 0M Na a a M N= ⇔ − − =b) Logarit hoá: ( )( ) ( ) ( ) log . ( )= ⇔ =f x g x

aa b f x b g xc) Đặt ẩn phụ:

• Dạng 1: ( )( ) 0f xP a = ⇔ ( ) , 0

( ) 0

f xt a tP t

= > =

, trong đó P(t) là đa thức theo t.

• Dạng 2: 2 ( ) ( ) 2 ( )( ) 0f x f x f xa ab b+ + =α β γ

Chia 2 vế cho 2 ( )f xb , rồi đặt ẩn phụ ( )f x

at

b

=

• Dạng 3: ( ) ( )f x f xa b m+ = , với 1ab = . Đặt ( ) ( ) 1f x f xt a bt

= ⇒ =

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) • Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1). • Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy

nhất:

( ) ñoàng bieán vaø ( ) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët). ( ) ñôn ñieäu vaø ( ) haèng soá

f x g xf x g x c

=

• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( ) ( )f u f v u v= ⇔ =e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

• Phương trình tích A.B = 0 ⇔ 0 0

AB

= =

• Phương trình 2 2 000

AA B B

=+ = ⇔ =

f) Phương pháp đối lập Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Nếu ta chứng minh được: ( )( )

f x M g x M

≥ ≤

thì (1) ( )

x M g x

( )f M

=⇔ =

Baøi 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):

a) 3 1 8 29 3x x− −= b) ( )23 2 2 3 2 2

x− = +

c) x x x x x x2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1− + + + + ++ = + d) 2 25 7 5 .35 7 .35 0x x x x− − + =

e) 2 2 2 21 2 12 2 3 3x x x x− + −+ = + f)

2 45 25x x− + =

g)

2 24 31 2

2

xx

−−

=

h) 7 1 2

1 1. 22 2

x x+ −

=

i) 13 .2 72x x+ = k) x x x1 15 6. 5 – 3. 5 52+ −+ =

l) 10 510 1516 0,125.8

x xx x

+ +− −= m) ( ) ( )

1115 2 5 2

xxx

−−

++ = −

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ



Trang 62

Baøi 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):

a) 4 1 3 22 1

5 7

x x+ + =

b) 2 1

15 .2 50x

x x−

+ = c) 3

23 .2 6x

x x+ =

d) 23 .8 6x

x x+ = e) 1 2 14.9 3 2x x− += f) 2 22 .3 1,5x x x− =

g) 2

5 .3 1x x = h) 3 22 3x x

= i) x x23 .2 1=

Baøi 3. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): a) 14 2 8 0x x++ − = b) 1 14 6.2 8 0x x+ +− + = c) 4 8 2 53 4.3 27 0x x+ +− + =

d) 16 17.4 16 0x x− + = e) 149 7 8 0x x++ − = f) 2 222 2 3.x x x x− + −− =

g) ( ) ( )x x7 4 3 2 3 6+ + + = h)

2cos2 cos4 4 3x x+ = i) 2 5 13 36.3 9 0x x+ +− + =

k) 2 22 2 13 28.3 9 0x x x x+ + +− + = l)

2 22 24 9.2 8 0x x+ +− + = m) 2 1 13.5 2.5 0,2x x− −− = Baøi 4. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a) 25 2(3 ).5 2 7 0x xx x− − + − = b) 2 23.25 (3 10).5 3 0x xx x− −+ − + − =c) 3.4 (3 10).2 3 0x xx x+ − + − = d) 9 2( 2).3 2 5 0x xx x+ − + − =

e) x x xx x x x2 1 24 .3 3 2.3 . 2 6++ + = + + f) 2 23.25 (3 10).5 3 0x xx x− −+ − + − =

g) x xx x4 +( – 8)2 +12 – 2 0= h) x xx x( 4).9 ( 5).3 1 0+ − + + =

i) 2 22 24 ( 7).2 12 4 0x xx x+ − + − = k) 9 ( 2).3 2( 4) 0x xx x− −− + − + =

Baøi 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): a) 64.9 84.12 27.16 0x x x− + = b) 3.16 2.81 5.36x x x+ = c) 2 26.3 13.6 6.2 0x x x− + =

d) 2 125 10 2x x x++ = e) xxx 8.21227 =+ f) 3.16 2.81 5.36x x x+ =

g) 04.66.139.6111

=+− xxx h) 1 1 1

4 6 9x x x− − −

+ = i) 1 1 1

2.4 6 9x x x+ =

k) ( ) ( )( ) ( )x x x7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0.+ + − + + + + − =

Baøi 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):

a) ( ) ( )x x2 3 2 3 14− + + = b) ( ) ( )x x

2 3 2 3 4+ + − =

c) (2 3) (7 4 3)(2 3) 4(2 3)x x+ + + − = + d) ( ) ( )x x x 35 21 7 5 21 2 +− + + =

e) ( ) ( )5 24 5 24 10x x

+ + − = f) 7 3 5 7 3 57 82 2

x x + −

+ =

g) ( ) ( )6 35 6 35 12− + + =x x

h) ( ) ( )2 2( 1) 2 1 42 3 2 3

2 3

− − −+ + − =

−

x x x

i) ( ) ( ) 33 5 16 3 5 2 ++ + − =x x x k) ( ) ( )3 5 3 5 7.2 0+ + − − =

x x x

l) ( ) ( )x x7 4 3 3 2 3 2 0+ − − + = m) ( ) ( )x x

3 33 8 3 8 6.+ + − =Baøi 7. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) ( ) ( )x x x2 3 2 3 4− + + = b) ( ) ( ) ( )x x x3 2 3 2 5− + + =

c) ( ) ( )3 2 2 3 2 2 6+ + − =x x x d) ( ) ( ) 33 5 16. 3 5 2

x x x++ + − =

e) 3 7 25 5

+ =

xx f) ( ) ( )2 3 2 3 2+ + − =

x xx



Trang 63

g) 2 3 5 10x x x x+ + = h) 2 3 5x x x+ = i) 21 22 2 ( 1)x x x x− −− = −

k) 3 5 2x x= − l) 2 3x x= − m) 12 4 1x x x+ − = −

n) 22 3 1x

x = + o) 2974 +=+ xxx p) 0155 312 =+−−+ xxx q) xxxx 7483 +=+ r) xxxx 3526 +=+ s) xxxx 1410159 +=+

Baøi 8. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): a) 8.3 3.2 24 6x x x+ = + b) 112.3 3.15 5 20x x x++ − = c) 38 .2 2 0 x xx x−− + − = d) xxx 6132 +=+ e) 1444 73.25623 222

+=+ +++++− xxxxxx f) ( ) 1224222 11 +=+ +−+ xxxx

g) x xx x x x x2 3 2.3 3 (12 7 ) 8 19 12+ − = − + − + h) 2 1 1.3 (3 2 ) 2(2 3 )x x x x xx x− −+ − = −

i) sin 1 sin4 2 cos( ) 2 0yx x xy+− + = k) 2 2 2 22( ) 1 2( ) 12 2 2 .2 1 0x x x x x x+ − + −+ − − =

Baøi 9. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) 42 cos ,x x= với x ≥ 0 b) 2 6 10 23 6 6x x x x− + = − + − c) sin3 cosx x=

d) 3

22.cos 3 32

x xx x − −

= +

e) xx cossin =π f)

xxxx 12

22 2 +

=−

g) xx 2cos32

= h) 2

5 cos3x x= Baøi 10. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 9 3 0x x m+ + = b) 9 3 1 0x xm+ − = c) 14 2x x m+− =

d) 23 2.3 ( 3).2 0x x xm+ − + = e) 2 ( 1).2 0x xm m−+ + + = f) 25 2.5 2 0x x m− − − =

g) 216 ( 1).2 1 0x xm m− − + − = h) 25 .5 1 2 0x xm m+ + − = i) 2 2sin os81 81x c x m+ =

k) 2 24 2 23 2.3 2 3 0x x m− −− + − = l) 1 3 1 3 4 14.2 8x x x x m+ + − + + −− + =

m) 2 2119 8.3 4x xx x m+ −+ − − + = n)

2 21 1 1 19 ( 2).3 2 1 0t tm m+ − + −− + + + =Baøi 11. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) .2 2 5 0x xm −+ − = b) .16 2.81 5.36x x xm + =

c) ( ) ( )5 1 5 1 2x x xm+ + − = d) 7 3 5 7 3 5 8

2 2

x x

m + −

+ =

e) 34 2 3x x m+− + = f) 9 3 1 0x xm+ + =Baøi 12. Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu:

a) 1( 1).4 (3 2).2 3 1 0++ + − − + =x xm m m b) 249 ( 1).7 2 0+ − + − =x xm m m c) 9 3( 1).3 5 2 0+ − − + =x xm m d) ( 3).16 (2 1).4 1 0+ + − + + =x xm m m

e) ( )4 2 1 .2 +3 8 0x xm m− + − = f) 4 2 6 x x m− + =

Baøi 13. Tìm m để các phương trình sau: a) .16 2.81 5.36+ =x x xm có 2 nghiệm dương phân biệt. b) 16 .8 (2 1).4 .2x x x xm m m− + − = có 3 nghiệm phân biệt.

c) 2 2 24 2 6x x m+− + = có 3 nghiệm phân biệt.

d) 2 2

9 4.3 8x x m− + = có 3 nghiệm phân biệt.



Trang 64

1. Phương trình logarit cơ bản Với a > 0, a ≠ 1: log b

a x b x a= ⇔ = 2. Một số phương pháp giải phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a ≠ 1: ( ) ( )log ( ) log ( )( ) 0 ( ( ) 0)a a

f x g xf x g x f x hoaëc g x

== ⇔ > >

b) Mũ hoá Với a > 0, a ≠ 1: log ( )log ( ) a f x b

a f x b a a= ⇔ =c) Đặt ẩn phụ d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số e) Đưa về phương trình đặc biệt f) Phương pháp đối lập Chú ý:

• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa. • Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: log logb bc aa c= Baøi 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) 2log ( 1) 1x x − = b) 2 2log log ( 1) 1x x+ − =

c) 2 1/8log ( 2) 6.log 3 5 2x x− − − = d) 2 2log ( 3) log ( 1) 3x x− + − =

e) 4 4 4log ( 3) log ( 1) 2 log 8x x+ − − = − f) lg( 2) lg( 3) 1 lg5x x− + − = −

g) 8 822 log ( 2) log ( 3)3

x x− − − = h) lg 5 4 lg 1 2 lg 0,18x x− + + = +

i) 23 3log ( 6) log ( 2) 1x x− = − + k) 2 2 5log ( 3) log ( 1) 1/ log 2x x+ + − =

l) 4 4log log (10 ) 2x x+ − = m) 5 1/5log ( 1) log ( 2) 0x x− − + =

n) 2 2 2log ( 1) log ( 3) log 10 1x x− + + = − o) 9 3log ( 8) log ( 26) 2 0x x+ − + + =

Baøi 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): a) 3 1/33

log log log 6x x x+ + = b) 2 21 lg( 2 1) lg( 1) 2 lg(1 )x x x x+ − + − + = −

c) 4 1/16 8log log log 5x x x+ + = d) 2 22 lg(4 4 1) lg( 19) 2 lg(1 2 )x x x x+ − + − + = −

e) 2 4 8log log log 11x x x+ + = f) 1/2 1/2 1/ 2log ( 1) log ( 1) 1 log (7 )x x x− + + = + −

g) 2 2 3 3log log log logx x= h) 2 3 3 2log log log logx x=

i) 2 3 3 2 3 3log log log log log logx x x+ = k) 2 3 4 4 3 2log log log log log logx x= Baøi 3. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) 2log (9 2 ) 3x x− = − b) 3log (3 8) 2x x− = −

c) 7log (6 7 ) 1x x−+ = + d) 13log (4.3 1) 2 1x x− − = −

e) 5log (3 )2log (9 2 ) 5 xx −− = f) 2log (3.2 1) 2 1 0x x− − − =

g) 2log (12 2 ) 5x x− = − h) 5log (26 3 ) 2x− =

V. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT



Trang 65

i) 1 2log (5 25 ) 2x x+ − = k) 1

4log (3.2 5)x x+ − =

l) 1 16

log (5 25 ) 2x x+ − = − m) 1 15

log (6 36 ) 2x x+ − = −

Baøi 4. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): a) 2

5 log ( 2 65) 2x x x− − + = b) 2 1log ( 4 5) 1x x x− − + =

c) 2log (5 8 3) 2x x x− + = d) 3 21log (2 2 3 1) 3x x x x+ + − + =

e) 3log ( 1) 2x x− − = f) log ( 2) 2x x + =

g) 22log ( 5 6) 2x x x− + = h) 2

3log ( ) 1x x x+ − =

i) 2log (2 7 12) 2x x x− + = k) 2log (2 3 4) 2x x x− − =

l) 22log ( 5 6) 2x x x− + = m) 2log ( 2) 1x x − =

n) 23 5log (9 8 2) 2x x x+ + + = o) 2

2 4log ( 1) 1x x+ + =

p) 15log 2x 1 2x= −

− q) 2log (3 2 ) 1x x− =

r) 2 3log ( 3) 1x x x+ + = s) 2log (2 5 4) 2x x x− + =

Baøi 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) 2 23 3log log 1 5 0x x+ + − = b) 2

2 1/22log 3 log log 2x x x+ + =

c) 47log 2 log 06x x− + = d)

22 1 22

log 4 log 88x

x + =

e) 22 1/22

log 3 log log 0x x x+ + = f) 2 2log 16 log 64 3xx + =

g) 51log log 25xx − = h) 7

1log log 27xx − =

i) 512 log 2 log5xx − = k) 2 23 log log 4 0x x− =

l) 3 33 log log 3 1 0x x− − = m) 3 32 2log log 4 / 3x x+ =

n) 3 32 2log log 2 / 3x x− = − o) 2

2 41log 2 log 0x x

+ =

p) 22 1/4log (2 ) 8log (2 ) 5x x− − − = q) 2

5 25log 4 log 5 5 0x x+ − =

r) 29log 5 log 5 log 54x x xx+ = + s) 2 9log 3 log 1x x+ =

t) 1 2 14 lg 2 lgx x

+ =− +

u) 1 3 15 lg 3 lgx x

+ =− +

v) 2 32 16 4log 14 log 40 log 0x x xx x x− + =

Baøi 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) 2 33log ( 12) log 11 0x x x x+ − + − = b) 22 2log log 66.9 6. 13.x x x+ =

c) 22 2.log 2( 1).log 4 0x x x x− + + = d) xxxx 26log)1(log 2

2 2 −=−+

e) 23 3( 2) log ( 1) 4( 1) log ( 1) 16 0x x x x+ + + + + − = f) 2 2

log (2 ) log 2x xx x

−+ + =



Trang 66

g) 23 3log ( 1) ( 5) log ( 1) 2 6 0x x x x+ + − + − + = h) 3 34 log 1 log 4x x− − =

i) 2 22 2 2log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = +

Baøi 7. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) 7 3log log ( 2)x x= + b) 2 3log ( 3) log ( 2) 2x x− + − =

c) x x3 5log ( 1) log (2 1) 2+ + + = d) ( )xx x6log2 6log 3 log+ =

e) ( )7log 34 x x+ = f) ( )2 3log 1 logx x+ =

g) 2 2 2log 9 log log 32 .3 xx x x= − h) 2 2

3 7 2 3log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4x xx x x x+ ++ + + + + =

i) ( ) ( ) ( )2 2 22 3 6log 1 . log 1 log 1x x x x x x− − + − = − −

Baøi 8. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): a) 2 2log 3 log 5 ( 0)x x x x+ = > b) 2 2log log2 3 5x xx + = c) 5log ( 3) 3x x+ = − d) 2log (3 )x x− =

e) 22 2log ( 6) log ( 2) 4x x x x− − + = + + f) 2log2.3 3xx + =

g) 2 34( 2) log ( 3) log ( 2) 15( 1)x x x x − − + − = +

Baøi 9. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): a) 2 7 2 7log 2. log 2 log . logx x x x+ = + b) 2 3 3 2log . log 3 3.log logx x x x+ = +

c) ( ) ( )x x2

9 3 32 log log . log 2x 1 1= + −

Baøi 10. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) 2 3ln(sin ) 1 sin 0x x− + = b) ( )2 22log 1 1x x x+ − = −

c) 2 1 3 2 2

3

82 2log (4 4 4)

x x

x x+ −+ =

− +Baøi 11. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) 22 3 2 3

log 2( 1) log (2 2) 0x m x x m+ −

− + + + − = b) ( ) ( )22log 2 logx mx− =

c) ( )25 2 5 2

log 1 log 0x mx m x+ −

+ + + + = d) ( )( )

lg2

lg 1

mx

x=

+

e) 23 3log ( 4 ) log (2 2 1)x mx x m+ = − −

f) 22 2 7 2 2 7

log ( 1) log ( ) 0x m mx x+ −

− + + − =

Baøi 12. Tìm m để các phương trình sau: a) ( )2log 4 1− = +x m x có 2 nghiệm phân biệt.

b) 23 3log ( 2).log 3 1 0x m x m− + + − = có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27.

c) 2 2 2 24 22 log (2 2 4 ) log ( 2 )− + − = + −x x m m x mx m có 2 nghiệm x1, x2 thoả 2 2

1 2 1x x+ > .

d) 2 23 3log log 1 2 1 0x x m+ + − − = có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 31;3 .

e) ( )2

2 24 log log 0x x m+ + = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).



Trang 67

Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: • Phương pháp thế. • Phương pháp cộng đại số. • Phương pháp đặt ẩn phụ. • …….


a) 2 5 2 1

yy

x x

+ =

− = b) 2 4

4 32

xx

yy

=

=

c) 23 1

3 19

yy

x x

− =

+ = d)

12 6

84

yy

x x

−

− =

=

e)

=+=+

1322

yx

yx

f) 2 .9 36 3 .4 36

x yx y

=

=

f) .2 5 20

5 .2 50

x yx y

=

= g) 2 .3 12

3 .2 18

x y

x y

=

=

h) ( )2 7 10 1

8 x 0

y yx x y

− + = + = >

i) ( )2 2 16 1

2 x 0

x yx x y

− − = − = >


a) 4 3 74 .3 144

x yx y

− =

= b) 2 3 17

3.2 2.3 6

x yx y

+ =

− =

c) 12 2.3 563.2 3 87

x x y

x x y

+

+ +

+ =

+ = d)

2 2 2 2

13 2 172.3 3.2 8

x y

x y

+ +

+

+ =

+ =

e) 1

1 13 2 43 2 1

x y

x y

+

+ +

− = −

− = − f)

2 2

2

2( 1) 1 2

2 1.4 4.4 .2 2 12 3.4 .2 4

x x y y

y x y

− −

−

− + =

− =

g) 2cot 3

cos 2

y

yx

x

=

= h)

2

2

2

2( )2 19( ) 6

y x

x yx yx y

−

−

+ =

+ =

i) 23 2 77

3 2 7

x y

x y

− =

− = k) 2 2

2 2 ( )( 2)2

x y y x xyx y

− = − +

+ =Baøi 3. Giải các hệ phương trình sau:

a) 3 2 13 2 1

xy

y x

= +

= + b) 3 2 11

3 2 11

xy

x y y x

+ = +

+ = +

c) 2 22 2

3

x y y xx xy y

− = −

+ + = d)

1

1

7 6 5

7 6 5

−

−

= −

= −

x

y

y x


VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT



Trang 68

a) 2 2

6log log 3x y

x y + = + =

b) log log 26

yx y xx y

+ =

+ =

c) 2

2

log 42 log 2x y

x y + = − =

d) ( ) ( )2 2

3 5

3log log 1x y

x y x y − = + − − =

e) 32

log 4y

xyx

= =

f) 2

3loglog 2 3

9

y

yx

x

+ =

=

g)

=

=+

85)log(log2

xyyx xy h) 2 3

9 3

1 2 13log (9 ) log 3

x y x y

− + − =

− =

i)2

3 3

3 2

1 log log 02

2 0

x y

x y y

− =

+ − =

k) 312

log 13y

y xx

− =

=


a) ( )( )

log 3 2 2log 2 3 2

x

y

x y x y

+ = + =

b) log (6 4 ) 2log (6 4 ) 2

x

y

x y y x

+ = + =

c) 2 2

3 32 2

log 1 2 log

log log 4

x yy

x y

− = −

+ =

d) 2

2

4 4

log log 1log log 1

y x yx y

− =

− =

e) ( )2 22

3 3

log 6 4

log log 1

x y

x y

+ + =

+ =f)

2 2

2 2

log log 16log log 2

y xx y x y

+ = − =

g)

=−=+1loglog27.2

33

loglog 33

xyyx xy

h) 2 2

2 4 2

log log3. 2. 10log log 2

y xx yx y

+ =

+ =

i) ( )( )

log 2 2 2log 2 2 2

x

y

x yy x

+ − = + − =

k) ( )2

2

log 4

log 2

xy x y

=

=

l) 2 2 2

2lg lg lg ( )lg ( ) lg . lg 0

x y xyx y x y

= +

− + = m)

2 26

5log log2

log ( ) 1

y yx x

x y

+ =

+ =

n) ( ) ( )2 2log 5 log

lg lg 4 1lg lg3

x y x yxy

− = − +

− = − −

o) ( )( ) ( )

2 2lg 1 lg8

lg lg lg3

x y

x y x y

+ = +

+ − − =

p) ( )1

log 2log 23 3

x

x

yy+

= + =

q) ( )

2

2

log log 1

log 1xy y

y xxy x

− =

− =


a) lglg lg 4

y 1000x y

x + =

= b) ( )

2

6

364 2 log 9

x yxx y x

− = − + =

Trang 69

c) 5

5( )3 27

3 log ( )

y xx y

x y x y

− + = + = −

d) lg lg

lg4 lg33 4(4 ) (3 )

x y

x y

=

=

e) 21

2

2 log 2 log 5 0

32

xy

x y

xy

− + = =


a) 2 4 4

3 9 9

4 16 16

log log log 2log log log 2log log log 2

x y zy z xz x y

+ + = + + = + + =

b) 2 2 2

3 3 3

3log 3 log log2 2log 12 log log3

xx y y

yx x y

+ = +

+ = +

c) 2 2

1 1

1 1

log (1 2 ) log (1 2 ) 4log (1 2 ) log (1 2 ) 2

x y

x y

y y x xx x

+ −

+ −

− + + + + =

+ + + =d) 2 3

2 3

log 1 3sin log (3cos )log 1 3cos log (3sin )

x yy x

+ =

+ =

e) ( ) ( )( ) ( )

2 22 3

2 22 3

log 1 3 1 log 1 2

log 1 3 1 log 1 2

x y

y x

+ − = − + + − = − +

f) 2

3 2

3 2

2 log (6 3 2 ) log ( 6 9) 6log (5 ) log ( 2) 1

x y

x y

y xy x x xy x

− −

− −

− + − + − + =

− − + =Baøi 8. Giải các hệ phương trình sau:

a) 2

log 4

2 2

2log log 1

x y

x y

=− =

b) ( ) ( ) ( )

2

2 2

13 3

log log 4

x yx y

x y x y

−− = + + − =

c) 8 8log log

4 4

4log log 1

y xx y x y

+ = − =

d) ( )13

3 .2 18log 1

x y

x y = + = −

e) ( )

=−++

=

−−

4)(log)(log313

22

2

yxyx

yxyx

f) ( ) ( )3 3

4 32 log 1 log

x yy x

x y x y

+ = − = − +

g) ( )3

3 .2 972log 2

x y

x y = − =

h) ( )5

3 .2 1152 log 2

x y

x y

− = + =

i) ( ) ( )2 2log log 1

x yx y x y

x y

+ = −

− = k)

3 3log log 2

2 24 2 ( )

3 3 12

xy xyx y x y

= +

+ − − =

l) 3 3log log

3 3

2 27log log 1

y xx y y x

+ = − =

m)2

2log

log log

4 3y

x yx

xy x

y y

=

= +



Trang 70

• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.

( ) ( )

1( ) ( )

0 1 ( ) ( )

f x g x

af x g xa a

af x g x

> >> ⇔ < < <

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – …. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: ( 1)( ) 0M Na a a M N> ⇔ − − >

Baøi 1. Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):

a) 2

12 13

3

x xx x

− −−

≥

b) 6 32 1 1

1 12 2

x x x− + −

<

c) 2 3 4 1 22 2 2 5 5x x x x x+ + + + +− − > − d) 1 23 3 3 11x x x− −+ − <

e) 2 23 2 3 29 6 0x x x x− + − +− < f)

13732 3.26 −++ < xxx

g) 2 2 22 1 24 .2 3.2 .2 8 12x x xx x x x++ + > + + h) 93.3.23.3.6 212 ++<++ + xxxx xxx

i) 1 2 1 29 9 9 4 4 4x x x x x x+ + + ++ + < + + k) 1 3 4 27.3 5 3 5x x x x+ + + ++ ≤ +

l) 2 1 22 5 2 5x x x x+ + ++ < + m) 1 22 .3 36x x− + >

n) ( ) ( )3 11 310 3 10 3

x xx x− +− ++ < − o) ( ) ( )1

12 1 2 1xx

x+

−+ ≥ −

p) 2

1

2

1 22

x

x x

−

− ≤ q)

1 12 1 3 12 2x x− +≥

Baøi 2. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) 2.14 3.49 4 0x x x+ − ≥ b) 1 11 2

4 2 3 0x x− −

− − ≤

c) 2( 2)2( 1) 34 2 8 52

xx x −−− + > d) 4 418.3 9 9x x x x+ ++ >

e) 25.2 10 5 25x x x− + > f) 2 1 15 6 30 5 .30x x x x+ ++ > +

g) 6 2.3 3.2 6 0x x x− − + ≥ h) 27 12 2.8x x x+ >

i) 1 1 1

49 35 25x x x− ≤ k) 1 2 1 23 2 12 0x

x x+ +− − <

l) 2 2 22 1 2 1 225 9 34.25x x x x x x− + − + −+ ≥ m) 09.93.83 442 >−− +++ xxxx

o) 1 1 14 5.2 16 0x x x x+ − + − +− + ≥ p) ( ) ( )3 2 3 2 2x x

+ + − ≤

r)

2 1 11 13 123 3

x x +

+ >

s)

3 11 1 128 04 8

x x −

− − ≥

t) 1 11 2

2 2 9x x+ −+ < u) ( ) 22 12 9.2 4 . 2 3 0x x x x+ − + + − ≥

VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ



Trang 71

Baøi 3. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) 22 3 1x

x < + b) 012

1221

≤−

+−−

x

xx

c) 12323.2 2

≤−− +

xx

xx

d) 4 2 43 2 13x x+ ++ >

e) 23 3 2 0

4 2

x

xx− + −

≥−

f) 2

3 4 0 6

x x

x x

+ −>

− −

g) ( )22 2 x3x 5 2 2x 3 .2x 3x 5 2 2x 3xx x− − + + > − − + +

Baøi 4. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: a) 4 .2 3 0x xm m− + + ≤ b) 9 .3 3 0x xm m− + + ≤

c) 2 7 2 2x x m+ + − ≤ d) ( ) ( )2 2 1

2 1 2 1 0x x

m−

+ + − + =Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:

a) (3 1).12 (2 ).6 3 0x x xm m+ + − + < , ∀x > 0. b) 1( 1)4 2 1 0x xm m+− + + + > , ∀x.

c) ( ).9 2 1 6 .4 0x x xm m m− + + ≤ , ∀x ∈ [0; 1]. d) 2.9 ( 1).3 1 0x xm m m++ − + − > , ∀x.

e) ( )cos cos 24 2 2 1 2 4 3 0x xm m+ + + − < , ∀x. f) 14 3.2 0x x m+− − ≥ , ∀x.

g) 4 2 0x x m− − ≥ , ∀x ∈ (0; 1) h) 3 3 5 3x x m+ + − ≤ , ∀x. i) 2.25 (2 1).10 ( 2).4 0x x xm m− + + + ≥ , ∀x ≥ 0. k) 14 .(2 1) 0x xm− − + > , ∀x.

Baøi 6. Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):

a)

( ) ( )

2 1 1

2 2

1 13 12 (1)3 3

2 3 6 1 0 (2)

x x

m x m x m

+ + >

− − − − − <

b) 2 1 1

2 22 2 8 (1)4 2 ( 1) 0 (2)

x x

x mx m

+ − > − − − <

c) 2 1

22 9.2 4 0 (1)( 1) ( 3) 1 0 (2)

x x

m x m x

+ − + ≤

+ + + + >d)

( )

2 1 2

2

1 19. 12 (1)3 3

2 2 2 3 0 (2)

x x

x m x m

+ + >

+ + + − <



Trang 72

• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.

1( ) ( ) 0log ( ) log ( )

0 10 ( ) ( )

a a

a f x g xf x g x

af x g x

> > >> ⇔ < < < <

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit: – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – …. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

log 0 ( 1)( 1) 0a B a B> ⇔ − − > ; log

0 ( 1)( 1) 0log

a

a

A A B

B> ⇔ − − >

Baøi 1. Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): a) )1(log1)21(log 55 ++<− xx b) ( )2 9log 1 2 log 1x− <

c) ( )1 13 3

log 5 log 3x x− < − d) 2 1 53

log log log 0x >

e) 0)1

21(loglog 231 >

++

xx

f) ( )212

4 log 0x x− >

g) ( )21 43

log log 5 0x − > h) 2 6 6log log6 12x xx+ ≤

i) ( ) ( )2 2log 3 1 log 1x x+ ≥ + − k) ( )22 2

log log2 x xx+

l) 3 1 2

log log 0x ≥

m) 8 1 8

22 log ( 2) log ( 3)3

x x− + − >

n) ( ) ( )2 21 5 3 13 5

log log 1 log log 1x x x x + + > + −


a) ( )( )

2lg 1 1lg 1

xx

−<

− b)

( ) ( )2 32 3

2

log 1 log 10

3 4

x x

x x

+ − +>

− −

c) ( )2lg 3 2 2lg lg 2x x

x− +

>+

d) 22 5log 2 logl og 18 0x xxx x −+ − <

e) 0113log 2 >

+−

xx

x f) 23 2 3 2log . log log log

4x

x x x< +

g) 4log (log (2 4)) 1xx − ≤ h) 23log (3 ) 1x x x− − >

i) ( )2

5

log 8 16 0x x x− + ≥ k) ( )22log 5 6 1x x x− + <

VIII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT



Trang 73

l) 6 23

1log log 02x

x x+

−> +

m) ( ) ( )21 1log 1 log 1x xx x− −+ > +

n) 2 3(4 16 7). log ( 3) 0x x x− + − > o) 2(4 12.2 32).log (2 1) 0x x x− + − ≤

Baøi 3. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) 2log 2 log 4 3 0xx + − ≤ b) ( ) ( )

5 5log 1 2 1 log 1x x− < + +

c) 52 log log 125 1xx − < d) 22log 64 log 16 3x x+ ≥

e) 2 2log 2.log 2. log 4 1x x x > f) 2 21 12 4

log log 0x x+ <

g) 4 22

2 2 2

log log21 log 1 log 1 log

x xx x x

+ >− + −

h) 1log22

log41

22

≤−

++ xx

i) 08log6log 22

21 ≤+− xx k) 2

3 3 3log 4 log 9 2 log 3x x x− + ≥ −

l) )243(log1)243(log 23

29 ++>+++ xxxx m)

5 5

1 2 15 log 1 logx x

+ <− +

n) 21 18 8

1 9 log 1 4 logx x− > − o) 1001log 100 log 02x x− >

p) 23

3

1 log1

1 logx x

+>

+ q)

216

1log 2. log 2log 6x x x

>−

Baøi 4. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): a) 2

0,5 0,5( x 1)log (2 5) log 6 0x x x+ + + + ≥ b) 2)24(log)12(log 32 ≤+++ x x

c) ( ) ( )2 3

3 2log 1 log 1x x

>+ +

d)

5lg 5 0

2 3 1x

x x

x

+ − <

− +Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:

a) ( )21/2log 2 3x x m− + > − b) 1log 100 log 100 0

2x m− >

c) 1 2 15 log 1 logm mx x

+ <− +

d) 21 log

11 log

m

m

xx

+>

+

e) 2 2log logx m x+ > f) 2 2log ( 1) log ( 2)x m x mx x x− −− > + −

Baøi 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:

a) ( ) ( )2 22 2log 7 7 log 4x mx x m+ ≥ + + , ∀x

b) ( ) ( ) 52log42log 2 2

22 ≤+−++− mxxmxx , ∀x ∈[0; 2]

c) 2 25 51 log ( 1) log ( 4 )x mx x m+ + ≥ + + , ∀x.

d) 21 1 12 2 2

2 log 2 1 log 2 1 log 01 1 1

m m mx x

m m m

− − + − + > + + + , ∀x

Baøi 7. Giải bất phương trình, biết x = a là một nghiệm của bất phương trình:

a) ( ) ( )2 2log 2 log 2 3 ; 9 / 4m mx x x x a− − > − + + = .

b). 2 2log (2 3) log (3 ); 1m mx x x x a+ + ≤ − =



Trang 74

Baøi 8. Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):

a) 2 21 12 4

2 2

log log 0 (1)

6 0 (2)

x x

x mx m m

+ < + + + <

b) 2

2 4log (5 8 3) 2 (1)

2 1 0 (2)x x x

x x m

− + >

− + − >

Baøi 9. Giải các hệ bất phương trình sau:

a)

2

24 0

16 64lg 7 lg( 5) 2 lg2

x

x x x x

+ >

− + + > − −

b) ( ) ( ) ( )( )

11 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12

log 2 2

x x

x

x

x

+ − + + < +

+ >

c) ( )( )

2

4

log 2 0log 2 2 0

x

y

yx

−

−

− > − >

d) 1

2

log ( 5) 0log (4 ) 0

x

y

yx

−

+

+ < − <



Trang 75


a) 2 1 1

12 .4 64

8

x x

x

− +

−= b) 3 1 8 29 3x x− −=

c) 0,50,2 (0,04)

255

x x+= d)

21 2 11 95 9 5.3 25 3

x x x+ + −

=

e) 2 1 117 .7 14.7 2.7 487

x x x x+ + −− − + = f) ( )2 7,2 3,93 9 3 lg(7 ) 0x x x− + − − =

g)

21 1

3 22(2 ) 4x

x x−

+ = h) 15 . 8 500xx x− =

i) 211 lg

33

1100

xx

− = k) lg 21000x x x=

l) lg 5

5 lg3 10x

xx+

+= m) ( ) 3log 13

xx

−=


a) 2 22 24 9.2 8 0x x+ +− + = b)

2 25 1 54 12.2 8 0x x x x− − − − −− + =

c) 64.9 84.12 27.16 0x x x− + = d) 1 33

64 2 12 0x x+

− + =

e) 2 21 39 36.3 3 0x x− −− + = f) 4 8 2 5

23 4.3 28 2 log 2x x+ +− + =

g) 2 1 2 2( 1)3 3 1 6.3 3x x x x+ + += + − + h) ( ) ( )5 24 5 24 10x x

+ + − =

i) 3 31 log 1 log9 3 210 0x x+ +− − = k) 2lg 1 lg lg 24 6 2.3 0x x x+ +− − =

l) 2 2sin cos2 4.2 6x x+ = m) lg(tan ) lg(cot ) 13 2.3 1x x +− =


a)

6 52 52 25

5 4

xx

−+

<

b) 1

12 1 22 1

x

x

−

+

−<

+

c) 2 2.5 5 0x xx +− < d) 2lg 3lg 1 1000x xx − + >

e) 4 2 4 21

x xx+ −

≤−

f) 23 28. 1

33 2

xx

x x

− > +

−

g) 2 3 4 1 22 2 2 5 5x x x x x+ + + + +− − > − h) 2

2log ( 1)1 12

x −

>

i)

2 21 9

3

xx

+ −

>

k)

1 221 1

3 27

x x

+ −

>

l)

2 1 311 1

5 5

xx+

−−

>

m) 72 1 13 . . 13 3

x x

>

IX. ÔN TẬP HÀM SỐ LUỸ THỪA – MŨ – LOGARIT



Trang 76

Baøi 4. Giải các bất phương trình sau: a) 24 2.5 10 0x x x− − > b) 125 5 50x x− − +− ≥

c) 1 1 1

9.4 5.6 4.9x x x− − −

+ < d) 2lg 2 lg 53 3 2x x+ +< −

e) 144 16 2 log 8x x+ − < f)

2 32 1 12 21. 2 0

2

xx

++

− + ≥

g) 2( 2)

2( 1) 34 2 8 52x

x x−

−− + > h) 2 3

4 3 13 35. 6 03

xx

−−

− + ≥

i) 29 3 3 9x x x+− > − k) 9 3 2 9 3x x x+ − ≥ −Baøi 5. Giải các phương trình sau:

a) 3log (3 8) 2x x− = − b) 25log ( 2 65) 2x x x− − + =

c) 7 7log (2 1) log (2 7) 1x x− + − = d) 3 3log (1 log (2 7)) 1x+ − =

e) 3log lg 23 lg lg 3 0x x x− + − = f) 3log (1 2 ) 29 5 5x x− = −

g) 1 lg 10xx x+ = h) ( ) 5log 15

xx

−=

i) 2 2lg lg 2

lg lg2

x xx

x+ −

=

k)

lg 7lg 14 10

xxx

++=

l) 3 91log log 9 22

xx x

+ + =

m) 3 33 32 log 1 log7 1

x xx x

− −+ =

− −Baøi 6. Giải các phương trình sau:

a) ( )22 log 5 3 log 5 1 0x x− + = b) 1/3 1/3log 3 log 2 0x x− + =

c) 22 2log 2 log 2 0x x+ − = d) 1 33 2 log 3 2 log ( 1)x x++ = +

e) ( )2 2 3log 9 . log 4x x x = f) ( )2

3 1/2 1/2log log 3 log 5 2x x− + =

g) 2 2 2lg (100 ) lg (10 ) lg 6x x x− + = h) 2 22 2 2

9log (2 ). log (16 ) log2

x x x=

i) 3 3log (9 9) log (28 2.3 )x xx+ = + − k) 12 2 2log (4 4) log 2 log (2 3)x x x++ = + −

l) 3 32 2log (25 1) 2 log (5 1)x x+ +− = + + m) lg(6.5 25.20 ) lg 25x x x+ = +


a) 20,5log ( 5 6) 1x x− + > − b) 7

2 6log 02 1x x

−>

−

c) 3 3log log 3 0x x− − < d) 1/32 3log 1x

x−

≥ −

e) 1/4 1/42log (2 ) log

1x

x− >

+ f) 2

1/3 4log log ( 5) 0x − >

g) 2

21/2

4 0log ( 1)

x

x

−<

− h) 2log ( 1)

01

x x

+>

−

i) 9log log (3 9) 1xx

− < k) 22 3log 1x x+ <

l) 2

2log ( 8 15)2 1x x x− + + < m) 1/3 2

5log 3(0,5) 1

xx

++ >



Trang 77


a) 2( ) 14 1

5 125

x y

x y

− −

+

=

=b) 3 2 3

4 1285 1

x y

x y

+

− −

=

=c) 2 2 12

5

x y

x y + =

+ =

d) 3.2 2.3 2,75 2 3 0,75

x x

x y

+ =

− = −e) 7 16 0

4 49 0

x

xy y

− =

− =f)

3

3 .2 972log ( ) 2

x y

x y = − =

g) 5

4 3.4 162 12 8

x y xy y

x y

− − = − = −

h) 2

/23 2 773 2 7

x y

x y

− =

− =i) ( )

( )2

2

2

22 1

9 6

y x

x yx y

x y

−

−

+ =

+ =


a) 4 22 2

log log 05 4 0

x yx y

− =

− + = b) ( )

82 log log 5y x

xy x y

= + =

c) lg 2

20

yxxy

==

d) 2 22 4

log 2 log 316

x yx y

+ =

+ =e)

3 3 3

1 1 2 15

log log 1 log 5x y

x y

− =

+ = +

f) 5

7

log 2 log

log 3 log32

x

y

y

xyx

=

=

g) 2 2lg( ) 1 lg13

lg( ) lg( ) 3 lg2x y

x y x y + − =

+ − − =h) 2 2

2 2

9 8

log log 3

x y

y x x y

+ =

+ =

i) 2

3 .2 576log ( ) 4

x y

y x = − =

k) 21

2 2

2 log 3 153 . log 2 log 3

y

y yx

x x +

− =

= +l)

3 3

4 32log ( ) 1 log ( )

x yy x

x y x y

+ = − = − +

m)





Trang 78

1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

'( ) ( )F x f x= , ∀x ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

( ) ( )f x dx F x C= +∫ , C ∈ R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2. Tính chất • '( ) ( )f x dx f x C= +∫ • [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

• ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k= ≠∫ ∫ 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

4. Phương pháp tính nguyên hàma) Phương pháp đổi biến số Nếu ( ) ( )f u du F u C= +∫ và ( )u u x= có đạo hàm liên tục thì:

[ ] [ ]( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C= +∫ b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

udv uv vdu= −∫ ∫

CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I. NGUYÊN HÀM

• 0dx C=∫

• dx x C= +∫

• 1

, ( 1)1

xx dx C

+= + ≠ −

+∫α

α αα

• 1 lndx x Cx

= +∫

• x xe dx e C= +∫

• (0 1)ln

xx a

a dx C aa

= + < ≠∫

• cos sinxdx x C= +∫

• sin cosxdx x C= − +∫

• 2

1 tancos

dx x Cx

= +∫

• 2

1 cotsin

dx x Cx

= − +∫

• 1cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C aa

+ = + + ≠∫

• 1sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C aa

+ = − + + ≠∫

• 1 , ( 0)ax b ax be dx e C aa

+ += + ≠∫

• 1 1 lndx ax b Cax b a

= + ++∫



Trang 79

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân.

Baøi 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) 2 1( ) – 3f x x xx

= + b) 4

22 3( ) x

f xx

+= c)

21( ) x

f xx

−=

d) 2 2

2( 1)( ) x

f xx

−= e) 3 4( )f x x x x= + + f)

31 2( )f xx x

= −

g) 2( ) 2sin2x

f x = h) 2( ) tanf x x= i) 2( ) cosf x x=

k) 2 2

1( )sin .cos

f xx x

= l) 2 2cos2( )

sin .cos

xf x

x x= m) ( ) 2sin3 cos2f x x x=

n) ( )( ) – 1x xf x e e= o) 2

( ) 2cos

xx ef x e

x

− = +

p) 3 1( ) xf x e +=

Baøi 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) 3( ) 4 5; (1) 3f x x x F= − + = b) ( ) 3 5cos ; ( ) 2f x x F= − =π

c) 23 5( ) ; ( ) 1x

f x F ex

−= = d)

2 1 3( ) ; (1)2

xf x F

x+

= =

e) 3

21( )= ; ( 2) 0x

f x Fx

−− = f) 1( ) ; (1) 2f x x x F

x= + = −

g) ( ) sin 2 .cos ; ' 03

f x x x F

= =

π h) 4 3

23 2 5( ) ; (1) 2x x

f x Fx

− += =

i) x x xf x Fx

3 2

23 3 7( ) ; (0) 8( 1)

+ + −= =

+ k) x

f x F2( ) sin ;2 2 4

π π = =

Baøi 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

a) 2( ) cos ; ( ) sin ; 32

g x x x x f x x x F

= + = =

π

b) 2( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0g x x x x f x x x F= + = =π

c) 2( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2g x x x x f x x F= + = = −Baøi 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a) ( ) (4 5)( ) (4 1)

x

xF x x ef x x e

= −

= − b)

4

5 3( ) tan 3 5( ) 4 tan 4 tan 3

F x x xf x x x

= + −

= + +

c)

2

2

2 2

4( ) ln3

2( )( 4)( 3)

xF xx

xf xx x

+ = +

− = + +

d)

2

2

2

4

2 1( ) ln2 1

2 2( 1)( )1

x xF xx x

xf x

x

− +=

+ + − = +



Trang 80

Baøi 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a) 3 2

2( ) (3 2) 4 3. .( ) 3 10 4

F x mx m x x Tìm mf x x x

= + + − +

= + −b)

2

2

( ) ln 5. .2 3( )

3 5

F x x mxTìm mx

f xx x

= − + + = + +

c) 2 2

2( ) ( ) 4 . , , .( ) ( 2) 4

F x ax bx c x x Tìm a b cf x x x x

= + + −

= − −d)

2( ) ( ) . , , .( ) ( 3)

x

xF x ax bx c e Tìm a b cf x x e

= + +

= −

e) 2 2

2 2( ) ( ) . , , .( ) (2 8 7)

x

xF x ax bx c e Tìm a b cf x x x e

−

−

= + +

= − − +f)

2

2( ) ( ) . , , .( ) ( 3 2)

x

xF x ax bx c e Tìm a b cf x x x e

−

−

= + +

= − +

g)

b cF x a x x x

f x xTìm a b c

( ) ( 1)sin sin 2 sin32 3

( ) cos , , .

= + + + =

h)

F x ax bx c xx x

f xx

Tìm a b c

2

2( ) ( ) 2 3

20 30 7( )2 3

, , .

= + + −

− + =

−

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ( )f x dx∫ bằng phương pháp đổi biến số

• Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = [ ]( ) . '( )g u x u x thì ta đặt ( ) '( )t u x dt u x dx= ⇒ = .

Khi đó: ( )f x dx∫ = ( )g t dt∫ , trong đó ( )g t dt∫ dễ dàng tìm được.

Chú ý: Sau khi tính ( )g t dt∫ theo t, ta phải thay lại t = u(x).

• Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

a) x dx10(5 1)−∫ b) 5(3 2 )

dx

x−∫ c) x dx5 2−∫

d) 2 7(2 1)x xdx+∫ e) 3 4 2( 5)x x dx+∫ f) 2 5

xdx

x +∫

g) 2 1.x xdx+∫ h) 2

3

3

5 2

xdx

x+∫ i)

2(1 )dx

x x+∫

k) 4sin cosx xdx∫ l) 5

sin

cos

xdx

x∫ m)

2tan

cos

xdx

x∫

n) 3

x

x

e dx

e −∫ o)

2 1. xx e dx+∫ p) xe dxx

∫

f(x) có chứa Cách đổi biến

2 2a x− sin ,

2 2x a t t= − ≤ ≤

π π

hoặc cos , 0x a t t= ≤ ≤ π2 2a x+

hoặc a x2 2

1

+

tan ,2 2

x a t t= − < <π π

hoặc cot , 0x a t t= < < π



Trang 81

q) 3ln x

dxx∫ r)

1xdx

e +∫ s)

tan

2cos

xedx

x∫

Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):

a) 2 3(1 )

dx

x−∫ b)

2 3(1 )dx

x+∫ c) 21 .x dx−∫

d) 24

dx

x−∫ e) 2 21 .x x dx−∫ f)

21

dx

x+∫

g) 2

21

x dx

x−∫ h)

2 1

dx

x x+ +∫ i) 3 2 1.x x dx+∫

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: a) .sinx xdx∫ b) cosx xdx∫ c) 2( 5)sinx xdx+∫

d) 2( 2 3) cosx x xdx+ +∫ e) sin 2x xdx∫ f) cos2x xdx∫

g) . xx e dx∫ h) 23 xx e dx∫ i) ln xdx∫

k) lnx xdx∫ l) 2ln xdx∫ m) 2ln( 1)x dx+∫

n) 2tanx xdx∫ o) 2 2cosx xdx∫ p) 2 cos2x xdx∫

q) 2ln(1 )x x dx+∫ r) .2xx dx∫ s) lgx xdx∫

Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau:

a) xe dx∫ b) ln xdx

x∫ c) sin x dx∫

d) cos x dx∫ e) .sinx x dx∫ f) 3sin xdx∫

g) ln(ln )xdx

x∫ h) sin(ln )x dx∫ i) cos(ln )x dx∫

Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: a) .cosxe xdx∫ b) 2(1 tan tan )x e x x dx+ +∫ c) .sin 2xe xdx∫

d) 2

ln(cos )

cos

xdx

x∫ e)

2ln(1 )x

dxx

+∫ f)

2cos

xdx

x∫

g) ( )2

2

ln 1

1

x x xdx

x

+ +

+∫ h)

3

21

xdx

x+∫ i)

2ln x

dxx

∫

( ). xP x e dx∫ ( ).cosP x xdx∫ ( ).sinP x xdx∫ ( ). lnP x xdx∫ u P(x) P(x) P(x) lnx dv xe dx cos xdx sin xdx P(x)dx


Trang 82

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của

các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:

1

2

( ) ( ) ( )(*)

( ) ( ) ( )F x G x A x CF x G x B x C

+ = + − = +

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra [ ]1( ) ( ) ( )2

F x A x B x C= + + là nguyên hàm của f(x).


a) sin sin cos

xdx

x x−∫ b) cos sin cos

xdx

x x−∫ c) sin sin cos

xdx

x x+∫

d) cos sin cos

xdx

x x+∫ e) 4

4 4sin

sin cos

xdx

x x+∫ f)

4

4 4cos

sin cos

xdx

x x+∫

g) 22sin .sin 2x xdx∫ h) 22 cos .sin 2x xdx∫ i) x

x xe

dxe e−−

∫

k) x

x xe

dxe e

−

−−∫ l)

x

x xe

dxe e−+

∫ m) x

x xe

dxe e

−

−+∫

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1. f(x) là hàm hữu tỉ: ( )( )( )

P xf x

Q x=

– Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích

f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

Chẳng hạn: 1( )( )

A Bx a x b x a x b

= +− − − −

22 2

1 , 4 0( )( )

A Bx C vôùi b acx mx m ax bx c ax bx c

+= + = − <

−− + + + +∆

2 2 2 21

( ) ( ) ( ) ( )A B C D

x a x bx a x b x a x b= + + +

− −− − − −

2. f(x) là hàm vô tỉ

+ f(x) = , m ax bR x

cx d

+

+ → đặt m ax b

tcx d

+=

+

+ f(x) = 1( )( )

R x a x b

+ + → đặt t x a x b= + + +

• f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản.

Chẳng hạn:



Trang 83

+ [ ]sin ( ) ( )1 1 .sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )

x a x bx a x b a b x a x b

+ − +=

+ + − + +, sin( )1

sin( )a b

söû duïnga b

−= −

+ [ ]sin ( ) ( )1 1 .cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )


+ − +=

+ + − + +, sin( )1

sin( )a b

söû duïnga b

−= −

+ [ ]cos ( ) ( )1 1 .sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )


+ − +=

+ + − + +, cos( )1

cos( )a b

söû duïnga b

−= −

+ Nếu ( sin , cos ) (sin , cos )R x x R x x− = − thì đặt t = cosx + Nếu (sin , cos ) (sin , cos )R x x R x x− = − thì đặt t = sinx + Nếu ( sin , cos ) (sin , cos )R x x R x x− − = − thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)


a) ( 1)dx

x x +∫ b) ( 1)(2 3)

dx x x+ −∫ c)

2

21

1

xdx

x

+

−∫

d) 2 7 10

dx

x x− +∫ e)

2 6 9

dx

x x− +∫ f)

2 4

dx

x −∫

g) ( 1)(2 1)

xdx

x x+ +∫ h) 22 3 2

xdx

x x− −∫ i)

3

2 3 2

xdx

x x− +∫

k) 2( 1)dx

x x +∫ l)

31

dx

x+∫ m)

3 1

xdx

x −∫


a) 11 1

dxx+ +

∫ b) 12

xdx

x x

+

−∫ c)

31

1 1dx

x+ +∫

d) 4

1dx

x x+∫ e)

3x

dx x x−

∫ f) ( 1)

xdx

x x +∫

g) 3 42dx

x x x+ +∫ h) 1

1x dx x x

−+∫ i) 3 1

1x dx x x

−+∫

k) 23 (2 1) 2 1

dx

x x+ − +∫ l)

2 5 6

dx

x x− +∫ m)

2 6 8

dx

x x+ +∫

Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: a) sin 2 sin 5x xdx∫ b) cos sin3x xdx∫ c) 2 4(tan tan )x x dx+∫

d) cos2 1 sin cos

xdx

x x+∫ e) 2sin 1

dx x +∫ f)

cosdx

x∫

g) 1 sincos

xdx

x−

∫ h) 3sin

cosxdx

x∫ i) cos cos

4

dx

x x

+

∫ π

k) cos cos2 cos3x x xdx∫ l) 3cos xdx∫ m) 4sin xdx∫



Trang 84

1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( )b

af x dx∫ .

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a= −∫

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )b b b

a a af x dx f t dt f u du F b F a= = = = −∫ ∫ ∫

• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng

x = a, x = b là: ( )b

aS f x dx= ∫

2. Tính chất của tích phân

• a

af x dx( ) 0=∫ • ( ) ( )

b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫ • ( ) ( )

b b

a akf x dx k f x dx=∫ ∫ (k: const)

• [ ]( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( )

b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

• Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì ( ) 0b

af x dx ≥∫

• Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì ( ) ( )b b

a af x dx g x dx≥∫ ∫

3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số

[ ]( )

( )( ) . '( ) ( )

u bb

a u af u x u x dx f u du=∫ ∫

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:

b bb

aa a

udv uv vdu= −∫ ∫

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b

avdu∫ dễ tính hơn

b

audv∫ .

II. TÍCH PHÂN



Trang 85

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a= −∫

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và phép tính vi phân.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:

a) ∫ ++2

1

3 )12( dxxx b) xx e dxx

2 2 3 1

1

3 + + +

∫ c) ∫−2

12

1 dxx

x

d) 2

21 2

x dxx− +

∫ e) ( )∫−

−

+1

22

24 4 dxx

x f) e

x x dxx x

22

1

1 1 + + +

∫

g) ( )( )x x x dx2

11 1+ − +∫ h) ( )x x x x dx

2 2 3

1+ +∫ i) ( )∫ −+

4

1

43 42 dxxxx

k) 2 2

31

2x x dxx

−∫ l)

2

1

2 5 7e x xdxx

+ −∫ m)

8

3 21

143

x dxx

−

∫


a) 2

11x dx+∫ b) dx

x x

5

2 2 2+ + −∫ c) x dx

x

2

20 2+∫

d) x dxx

2

20 1+∫ e) x dx

x

2 2

3 30

3

1+∫ f) x x dx

4 2

09.+∫


a) x dx0

sin 2 6

π π +

∫ b) x x x dx2

3

(2sin 3cos )

π

π+ +∫ c) ( )x x dx

6

0sin3 cos2

π

+∫

d) 4

20

tan .cos

x dx

x∫

π

e) 3

2

4

3tan x dx∫

π

πf)

4 2

6

(2 cot 5)x dx+∫

π

π

g) 2

0 1 sindx

x+∫

π

h) 2

0

1 cos 1 cos

x dxx

−+∫

π

i) 2

2 2

0sin .cosx xdx∫

π

k) 3

2

6

(tan cot )x x dx

−

−∫

π

πl)

xdx

x

2

2

sin 4

sin 4

π

π

π

π−

−

+

∫ m) 4

4

0cos x dx∫

π


a) 1

0dx

x x

x xe e

e e

−

−−

+∫ b)

2

21

( 1).ln

x dx

x x x

+

+∫ c)

x

xe dxe

1 2

0

42

−

+∫


Trang 86

d) x

xe dx

e

ln 2

0 1+∫ e)

xx ee dx

x

2

11

− −

∫ f) x

xe dx

1

0 2∫

g) xe xdx2

cos

0.sin

π

∫ h) xe dx x

4

1∫ i)

e x dxx1

1 ln+∫

k) e xdx

x1

ln∫ l) xxe dx

21

0∫ m)

1

0

11 x

dxe+

∫

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Giả sử ta cần tính ( )b

ag x dx∫ .

Nếu viết được g(x) dưới dạng: [ ]( ) ( ) . '( )g x f u x u x= thì ( )

( )( ) ( )

u bb

a u ag x dx f u du=∫ ∫

Dạng 2: Giả sử ta cần tính ( )f x dx∫β

α.

Đặt x = x(t) (t ∈ K) và a, b ∈ K thoả mãn α = x(a), β = x(b)

thì [ ]( ) ( ) '( ) ( )b b

a af x dx f x t x t dt g t dt= =∫ ∫ ∫

β

α [ ]( )( ) ( ) . '( )g t f x t x t=

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

Baøi 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):

a) ∫ −1

0

19)1( dxxx b) x dxx

1 3

2 30 (1 )+∫ c) ∫ +

1

02

5

1 dx

xx

d) ∫ +

1

0 12xxdx e)

1 2

01x x dx−∫ f)

1 3 2

01x x dx−∫

g) ∫ +

32

52 4xx

dx h) ∫ +

+3

0 2

35

12 dx xxx i)

ln 2

0 1

x

xe dx

e+∫

f(x) có chứa Cách đổi biến

2 2a x− sin ,

2 2x a t t= − ≤ ≤

π π

hoặc cos , 0x a t t= ≤ ≤ π2 2a x+

hoặc a x2 2

1

+

tan ,2 2

x a t t= − < <π π

hoặc cot , 0x a t t= < < π

2 2x a−

{ }, ; \ 0sin 2 2

ax t

t

= ∈ − π π

hoặc [ ], 0; \cos 2

ax t

t

= ∈

ππ



Trang 87

k) ( )

x

x

e dx

e

ln3

30 1+∫ l) ∫

+e

xdxx

1 2ln2 m) ∫

+e

dxx

xx

1

lnln31

n) ∫ +

2

022 sin4cos

2sinπ

dx xx

x o) ∫ +

2

02

3

sin1sin.cos

π

dxxxx p) ∫ +

6

022 cossin2

2sinπ

dxxx

x

Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):

a) ∫ −

21

021 x

dx b) ∫ −

1

02

2

4 xdxx c) ∫ −

2

1

22 4 dxxx

d) ∫ +

3

02 3xdx e) ∫ ++

1

022 )2)(1( xx

dx f) ∫ ++

1

024 1xx

xdx

g) 0

21 2 2

dx

x x− + +∫ h) ∫

−2

13

2 1 dxx

x i) ( )∫

+

1

0 521 x

dx

k)

23

22 1

dx

x x −∫ l)

222

20 1

x dxx−

∫ m) 2

2

02x x x dx−∫

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:


a) ∫4

0

2sin

π

xdxx b) ∫ +2

0

2 cos)sin(

π

xdxxx c) ∫π2

0

2 cos xdxx

d) x x dx

2

4

0co s

π

∫ e) 3

2

4

tanx xdx∫

π

πf) ∫ −

1

0

2)2( dxex x

g) dxxex∫2ln

0

h) dxxxe

∫1

ln i) ∫ −3

2

2 )ln( dxxx

k) ∫2

0

3 5sin

π

xdxe x l) ∫2

0

cos 2sin

π

xdxe x m) ∫e

xdx1

3ln

o) dxxxe

∫1

23 ln p) ∫e

e

dxx

x1

2

ln q) dxxex x )1(0

1

32∫−

++

b ( ). x

aP x e dx∫ ( ).cos

b

aP x xdx∫ ( ).sin

b

aP x xdx∫

b

aP x xdx( ). ln∫

u P(x) P(x) P(x) lnx dv xe dx cos xdx sin xdx P(x)dx



Trang 88

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công

thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.


a) ∫ −2

0

2 dxx b) x x dx2

2

0−∫ c) x x dx

2 2

02 3+ −∫

d) x dx3

2

31

−

−∫ e) ( )x x dx5

22 2

−

+ − −∫ f) x dx3

02 4−∫

g) 4

2

16 9x x dx− +∫ h) ∫ +−

3

0

23 44 dxxxx i) 1

14 x dx

−

−∫


a) ∫ −π2

0

2cos1 dxx b) 0

1 sin 2 .x dxπ

−∫ c) x dx2

2

sin

π

π−

∫

d) 1 sin xdx−

−∫π

π e)

2

01 cos xdx+∫

πf)

01 cos2xdx+∫

π

g) 3

2 2

6

tan cot 2x x dx+ −∫

π

πh)

3 3

2

cos cos cosx x xdx

−

−∫

π

πi)

2

01 sin xdx+∫

π

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.


a) ∫ +

3

13xx

dx b) ∫ +−

1

02 65xx

dx c) ∫ ++

3

02

3

12xxdxx

d) ( )∫ +

1

0321

dx x

x e) ( )∫ −

3

29

2

1 xdxx f) ∫ +

4

12 )1( xx

dx

g) ∫ −

4

2 )1(xxdx h) ( )

∫ +++1

02 65

114xx

dxx i) 1 3

0

11

x x dxx+ + +∫

k) 0 3 2

21

2 6 9 93 2

x x x dxx x−

− + +

− +∫ l)

3 2

32

3 3 33 2

x x dxx x

+ +

− +∫ m)

1 2

30 (3 1)

x dxx +

∫


a) ∫ +−

2

02 22xx

dx b) ( )∫ +

+3

02

2

123 dx

xx c) ∫ +

+++2

02

23

4942 dx

xxxx

d) 1

2 20

1( 2) ( 3)

dxx x+ +

∫ e) 1 3

20

11

x x dxx

+ +

+∫ f)

1

40 1

x dxx+

∫


Trang 89

g) 2

41

1(1 )

dxx x+

∫ h) 2 2008

20081

1(1 )

x dxx x

−

+∫ i)

3 4

2 22 ( 1)

x dxx −

∫

k) 2

20

1 4

dxx+

∫ l) 2 2

41

1 1

x dxx

−

+∫ m)

1 4

20

2 1

x dxx

−

+∫

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.


a)

22

0

11

x dxx

+−∫ b) ∫ +

+37

03 13

1 dxx

x c) 10

5 2 1dx

x x− −∫

d) ∫ ++−1

0 13234 dx

xx e)

6

2 2 1 4 1dx

x x+ + +∫ f) ∫ −+

2

1 11 dx

xx

g) ∫ ++

1

0 1 xxdx h) ∫

++

1

02

3

1dx

xxx i) ∫

+

2

05

4

1dx

xx

k) ∫ +22

0

2 1dxxx l) ∫ +1

0

23 1dxxx m) 3 5 3

20 1

x x dxx

+

+∫

n) 2 3

25 4

dx

x x +∫ o)

23

22 1

dx

x x −∫ p)

2

31 1

dx

x x +∫


a) 1

2 2

01x x dx+∫ b)

3 2

2 21

1

1

x dxx x

+

+∫ c)

1

2 30 (1 )

dx

x+∫

d) 2

2

12008x dx+∫ e)

3 3 2

010x x dx−∫ f)

1 2

01 x dx+∫

g) 1

211 1

dx

x x− + + +∫ h)

2

21 2008

dx

x +∫ i)

1 3

20 1

x dx

x x+ +∫

k)

22

2 30 (1 )

dx

x−∫ l)

222

20 1

x dx

x−∫ m)

54

2

112 4 8x x dx− −∫


a) 2

0

cos7 cos2

xdx

x+∫

π

b) 2

2

0sin cos cosx x xdx−∫

π

c) 2

20

cos

2 cos

xdx

x+∫

π

d) 2 6 3 5

01 cos sin cosx x xdx−∫

π

e) 2

0

sin 2 sin 1 3cos

x x dxx

+

+∫

π

f) 3

0

cos2 cos2

xdx

x+∫

π



Trang 90

g) 2

20

cos

1 cos

xdx

x+∫

π

h) 3

2

4

tan

cos 1 cos

xdx

x x

π

π +∫ i)

2

0

sin 2 sin1 3cos

x x dxx

π

+

+∫


a) ln3

0 1x

dx

e +∫ b)

ln 2 2

0 1

x

x

e dx

e +∫ c)

1

1 3ln lne x x dxx

+∫

d) ln3 2

ln 2

lnln 1

x dxx x +

∫ e) 0

2 3

1( 1)xx e x dx

−

+ +∫ f) ln 2

30 ( 1)

x

x

e dx

e +∫

g) ln3

0 ( 1) 1

x

x x

edx

e e+ −∫ h)

1

0

x

x x

e dxe e−+

∫ i) ln 2

01xe dx−∫

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.


a) ∫4

0

cos.2sin

π

xdxx b) ∫4

0

tan

π

xdx c) dxx∫π

0

2sin

d) ∫2

0

3sin

π

xdx e) 2

3 3

0(sin cos )x x dx+∫

π

f) xdx2

0cos 3

π

∫

g) 2

2 4

0sin cosx xdx∫

π

h) ∫2

0

32 cossin

π

xdxx i) 2

4 5

0sin cosx xdx∫

π

k) ∫ +

2

0 cos31sin

π

dxx

x l) dxx

2

0

1cos 1

π

+∫ m) ∫ +

2

0 cos1cos2sin

π

dxx

xx

n) 32

0

cos 1 cos

x dxx+∫

π

o)

π

π∫3

4

6sin .cos

dx

x xp)

3

3

4sin .cos

dx

x x

π

π∫

q) 32

20

sin1 cos

x dx x+

∫

π

r) 4

3

0tan xdx∫

π

s)

π

∫3

4

0tan xdx


a) ∫ −2

0

53 cossincos1

π

xdxxx b) ∫ +++2

6

cossin2cos2sin1

π

π

dxxx

xx c) dx xx

x∫

+

3

4

2cos1costan

π

π

d) 2

4 4

0cos2 (sin cos )x x x dx+∫

π

e) ∫ +4 0

sin )cos(tanπ

dxxex x f) ( ) dxxx∫ +2

0

32 2sinsin1

π



Trang 91

g) 3

0sin . ln(cos )x x dx

π

∫ h) 34

2 2 50

sin(tan 1) .cos

x dxx x

π

+∫ i)

3

2 2

3

1

sin 9cosdx

x x

π

π− +

∫


a) 2

3

1 sin

dxx∫

π

π b)

2

0 2 cosdx

x−∫

π

c) 2

0

cos 2 cos

x dxx−∫

π

d) 2

0

cos 1 cos

x dxx+∫

π

e) 2

0

12 sin

dxx+∫

π

f) 2

0

sin 2 sin

x dxx+∫

π

g) 2

0

1sin cos 1

dxx x+ +∫

π

h) 2

2

sin cos 1sin 2 cos 3

x xdx

x x−

− ++ +∫

π

πi)

π

π +

∫4

0 cos cos4

dx

x x

k) 2

20

(1 sin ) cos(1 sin )(2 cos )

x x dxx x

−

+ −∫

π

l)

π

π π +

∫3

4 sin cos

4

dx

x xm)

π

π π +

∫3

6 sin sin

6

dx

x x


a) ∫ −2

0

cos)12(

π

xdxx b) ∫ +

4

0 2cos1

π

xxdx c) ∫

3

02cos

π

dx x

x

d) 2

3

0sin xdx∫

π

e) 2

2

0cosx xdx∫

π

f) 2

2 1

0sin 2 . xx e dx+∫

π

g) 2

1cos(ln )x dx∫ h) x

dxx

3

2

6

ln(sin )

cos

π

π∫ i)

2 2

0(2 1)cosx xdx−∫

π

k) 2 2

0sinxe xdx∫

π l)

4 2

0tanx xdx∫

π

m) 2

0sin cosx x xdx∫

π

n) 22

sin 3

0sin cosx e x xdx∫

π

o) 4

0ln(1 tan )x dx+∫

π

p) ∫4

04cos

π

xdx

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.


a) ∫ +

1

0 1x

x

edxe b) ∫ +

2ln

0 5xedx c)

1

0

14x

dxe +

∫



Trang 92

d) ∫ +

8ln

3ln 1dx

eex

x

e) ln8

2

ln31.x xe e dx+∫ f) ∫ +

−2ln

0 11 dx

ee

x

x

g) 2

1

11 x

dxe−−

∫ h) 2 2

0 1

x

xe dx

e +∫ i)

1

0 1

x

xe dx

e

−

− +∫

k) 2

1

ln(ln 1)

e x dxx x +

∫ l) 1 2

0 1

x

xe dx

e

−

− +∫ m)

ln3

0

1

1xdx

e +∫


a) ∫2

0

sin

π

xdxe x b) ∫2

0

2 dxxe x c) ∫ −1

0

dxxe x

d) ∫ +2

0

cos)cos(

π

xdxxe x e) ( )∫ +1

0

1ln dxxx f) 2

1

1 lne x dxx

+∫

g) 2

ln ln(ln )e

e

x x dxx

+∫ h) ∫

+

+

e

dxxxxx

1

2ln 1ln

ln i) 3

2

ln(ln )e

e

x dxx∫

k) 2

21

ln xdxx

∫ l) 3

2

6

ln(sin )

cos

xdx

x∫

π

πm)

1

0

ln( 1)1

x dxx

+

+∫

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [–a; a] thì ( ) 0a

af x dx

−

=∫

• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [–a; a] thì 0

( ) 2 ( )a a

af x dx f x dx

−

=∫ ∫

Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:

Bước 1: Phân tích 0

0( ) ( ) ( )

a a

a aI f x dx f x dx f x dx

− −

= = +∫ ∫ ∫ 0

0( ) ; ( )

a

aJ f x dx K f x dx

−

= =

∫ ∫

Bước 2: Tính tích phân 0

( )a

J f x dx−

= ∫ bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.

– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ⇒ I = J + K = 0 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K ⇒ I = J + K = 2K

Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:

0

( ) ( )1x

f x dx f x dxa−

= +

∫ ∫α α

α(với α ∈ R+ và a > 0)

Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.

0

0

( ) ( ) ( )1 1 1x x x

f x f x f xI dx dx dxa a a− −

= = ++ + +

∫ ∫ ∫α α

α α

0

0

( ) ( );x 1 1xf x f xJ dx K dx

a a−

= =

+ + ∫ ∫

α

α

Để tính J ta cũng đặt: t = –x.



Trang 93

Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên 0;2

π thì 2 2

0 0(sin ) (cos )f x dx f x dx=∫ ∫

π π

Để chứng minh tính chất này ta đặt: 2

t x= −π

Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và ( ) ( )f a b x f x+ − = hoặc ( ) ( )f a b x f x+ − = −thì đặt: t = a + b – x

Đặc biệt, nếu a + b = π thì đặt t = π – x nếu a + b = 2π thì đặt t = 2π – x

Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:

1

2

( ) ( ) ( )(*)

( ) ( ) ( )F x G x A x CF x G x B x C

+ = + − = +

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra [ ]1( ) ( ) ( )2

F x A x B x C= + + là nguyên hàm của f(x).

Baøi 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):

a) 7 5 34

4

4

1

cos

x x x xdx

x−

− + − +∫

π

πb) ( )

π

π−

+ +∫2

2

2

cos ln 1x x x dx c)

12

12

1cos . ln 1

xx dx

x−

− + ∫

d) ( )1 2

1ln 1x x dx

−

+ +∫ e) − − +∫1

4 21 1

x dx

x x f)

1 4

2 1

sin 1

x xdxx−

+

+∫

g) 52

2

sin

1 cos

xdx

x−

+∫

π

πh)

2

2

24 sin

xdx

x

π

π− −

∫ i) 2

2

2

cos

4 sin

x xdx

x

π

π−

+

−∫


a) 1 4

1 2 1xx dx

− +∫ b)

1 2

1

1 1 2x

x dx−

−

+∫ c)

1

21 ( 1)( 1)x

dx

e x− + +∫

d) 2sin

3 1xxdx

− +∫π

π e) ∫

− ++3

3

2

211dxxx f)

1

21 (4 1)( 1)x

dx

x− + +∫

g) 2

2

sin sin3 cos5

1 xx x x

dxe

− +

∫

π

πh)

6 64

4

sin cos

6 1xx x

dx

−

+

+∫

π

πi)

2 22

2

sin

1 2xx x

dx

− +

∫

π

π


a)2

0

cos cos sin

n

n nx dx

x x+∫

π

(n ∈ N*) b) 72

7 70

sin sin cos

x dxx x+

∫

π

c) 2

0

sin sin cos

x dxx x+

∫

π



Trang 94

d) 20092

2009 20090

sinsin cos

x dxx x+

∫

π

e) 42

4 40

coscos sin

x dx x x

π

+∫ f)

42

4 40

sincos sin

x dx x x

π

+∫


a) 2

0

.sin4 cos

x x dx x−

∫π

b) 2

0

cos4 sinx x dx

x

+

−∫π

c) 2

0

1 sinln 1 cos

x dxx

+ + ∫

π

d) 4

0ln(1 tan )x dx+∫

π

e) 2

3

0.cosx xdx∫

πf) 3

0.sinx xdx∫

π

g) 0 1 sin

x dxx+∫

π h)

0

sin 2 cosx x dx

x+∫π

i) 2

0

sin1 cos

x x dx x+

∫π

k) 4

0sin 4 ln(1 tan )x x dx+∫

π

l) 2

0

sin9 4 cos

x x dx x+

∫π

m) 4

0sin cosx x xdx∫

π


a) 2

0

sin sin cos

x dxx x−∫

π

b) 2

0

cos sin cos

x dxx x−∫

π

c) 2

0

sin sin cos

x dxx x+∫

π

d) 2

0

cos sin cos

x dxx x+∫

π

e) 42

4 40

sinsin cos

x dx x x+

∫

π

f) 42

4 40

cossin cos

x dx x x+

∫

π

g) 62

6 60

sinsin cos

x dx x x+

∫

π

h) 62

6 60

cossin cos

x dx x x+

∫

π

i) 2

2

02sin .sin 2x xdx∫

π

k) 2

2

02 cos .sin 2x xdx∫

π

l) 1

1

x

x xe dx

e e−− −∫ m)

1

1

x

x xe dx

e e

−

−− −∫

n) 1

1

x

x xe dx

e e−− +∫ o)

1

1

x

x xe dx

e e

−

−− +∫

VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi

Giả sử cần tính tích phân ( , )b

na

I f x n dx= ∫ (n ∈ N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta

thường gặp một số yêu cầu sau: • Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 ≤ k ≤ n). • Chứng minh một công thức truy hồi cho trước. • Tính một giá trị

0nI cụ thể nào đó.

Baøi 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:



Trang 95

a) 2

0sinn

nI xdx= ∫

π

• Đặt 1sin

sin .

nu xdv x dx

− = =

b) 2

0cosn

nI xdx= ∫

π

• Đặt 1cos

cos .

nu xdv x dx

− = =

c) 4

0tann

nI xdx= ∫

π

• Phân tích: ( )2 2 2tan tan tan 1 tann n nx x x x− −= + −

d) 2

0cos .n

nI x x dx= ∫

π

• Đặt cos .

nu xdv x dx

= =

2

0sin .n

nJ x x dx= ∫

π

• Đặt sin .

nu xdv x dx

= =

e) n x nI x e dx

1

0= ∫ • Đặt

.

n

xu xdv e dx

=

=

f) 1

ln .e

nnI x dx= ∫ • Đặt lnnu x

dv dx =

=

g) 1

2

0(1 )n

nI x dx= −∫ • Đặt cosx t= → Đặt 2sin

sin .

nu tdv t dt

= =

h) 1

20 (1 )n n

dxIx

=+

∫ • Phân tích 2 2

2 2 21 1

(1 ) (1 ) (1 )n n nx x

x x x

+= −

+ + +

Tính 1 2

20 (1 n )n

xJ dxx

=+

∫ . Đặt 2(1 )n

u xx

dv dxx

= = +

i) 1

01 .n

nI x x dx= −∫ • Đặt 1 .

nu xdv x dx

=

= −

k) 4

n 0 cosn

dxI dx x

= ∫

π

• Phân tích 1

1 cos

cos cosn nx

x x+= → Đặt

11

cosnt

x+=



Trang 96

1. Diện tích hình phẳng • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b.

là: ( )b

aS f x dx= ∫ (1)

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b.

là: ( ) ( )b

aS f x g x dx= −∫ (2)

Chú ý:

• Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: ( ) ( )b b

a af x dx f x dx=∫ ∫

• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:

Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:

( ) ( ) ( ) ( )b c d b

a a c df x dx f x dx f x dx f x dx= + +∫ ∫ ∫ ∫

= ( ) ( ) ( )c d b

a c df x dx f x dx f x dx+ +∫ ∫ ∫

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d.

( ) ( )d

cS g y h y dy= −∫

2. Thể tích vật thể • Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Thể tích của B là: ( )b

aV S x dx= ∫

• Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)sinh ra khi quay quanh trục Ox:

III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN



Trang 97

2( )b

aV f x dx= ∫π

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy:

(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d

là: 2( )d

cV g y dy= ∫π

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng

Baøi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y x x y x x2 4 5, 0, 2, 4= − − = = − = b) ln 1, 0, ,x y y x x e

x e= = = =

c) 1 ln

, 0, 1,x

y y x x ex+

= = = = d) ln , 0, , 12

xy y x e x

x= = = =

e) 1ln , 0, ,y x y x x ee

= = = = f) 3, 0, 2, 1y x y x x= = = − =

g) 4

1, 0, 0,21

xy y x x

x= = = =

−h) 1lg , 0, , 10

10y x y x x= = = =


a) 3 1, 0, 01

xy y x

x− −

= = =−

b) , 2 , 0y x y x y= = − =

c) , 2, 1x y e y x= = = d) , 2 0, 0y x x y y= + − = =

e) 2 22 , 2 1, 2y x y x x y= = − − = f) 2 4 5, 2 4, 4 11y x x y x y x= − + = − + = −

g) 2

2 27, ,27x

y x y yx

= = = h) 2 22 , 4 4, 8y x y x x y= = − − =

i) 2 2 , 2 2 1 0, 0y x x y y= + + = = k) 2 26 5, 4 3, 3 15y x x y x x y x= − + − = − + − = −Baøi 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) 1, , 0,y x y y x ex

= = = = b) sin 2 cos , 3, 0,y x x y x x= − = = = π

c) 25 , 0, 3 , 0xy y y x x−= = = − = d) 2 22 2 , 3 6, 0, 4y x x y x x x x= − = + − = =

e) , 0, 4y x y y x= = = − f) 2 22 2, 4 5, 1y x x y x x y= − + = + + =

g) , 2 , 0y x y x y= = − = h) 21 , , 1x

xy y e x

e−

−= = =


a) 2 24 , 2y x y x x= − = − b) 2 4 3 , 3y x x y x= − + = +

c) 2 21 1, 34 2

y x y x= = − + d) 2

21 ,

21

xy y

x= =

+e) 2, 2y x y x= = − f) 2 22 , 4y x x y x x= − = − +



Trang 98

g) 2

21,

2 1

xy y

x= =

+ h) 23 , 0y x y

x= + + =

i) 2 2 , 2y x x y x= + = + k) 2 2, 4y x y x= + = −Baøi 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) 2 2,y x x y= = − b) 2 5 0, 3 0y x x y+ − = + − =

c) 2 2 0, 0y y x x y− + = + = d) 2 2 1, 1y x y x= + = −

e) 2 2 , , 0, 3y x y x y y= = = = f) 2( 1) , siny x x y= + = π

g) 2 2 26 , 16y x x y= + = h) 2 3 2(4 ) , 4y x y x= − =

i) 3 1 0, 1 0x y x y− + = + − = k) 2 2 28, 2x y y x+ = = Baøi 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) . ; 0; 1; 2.xy x e y x x= = = − = b) 2. ln ; 0; 1; .y x x y x x e= = = =

c) ; ; 1.x xy e y e x−= = = d) 25 ; 0; 0; 3 .xy y x y x−= = = = −

e) 5( 1) ; ; 1.xy x y e x= + = = f) 1ln , 0, ,y x y x x ee

= = = =

g) 2sin cos , 0, 0,y x x y x x= + = = = π h) sin ; ; 0; 2 .y x x y x x x= + = = = π

i) 2sin ; ; 0; .y x x y x x= + = π = = π k) 2sin sin 1, 0, 0,2

y x x y x xπ

= + + = = =


a) 2

1( ) :2

C y xx

= + , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.

b) 2 2 1( ) : , 0

2x x

C y yx+ +

= =+

, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2

c) 3 2( ) : 2 4 3, 0C y x x x y= − + − = và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.

d) 3( ) : 3 2, 1C y x x x= − + = − và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2.

e) 2( ) : 2C y x x= − và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C).

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay

quanh trục Ox:

a) sin , 0, 0,4

y x y x xπ

= = = = b) 3 21 , 0, 0, 33

y x x y x x= − = = =

c) 6 6sin cos , 0, 0,2

y x x y x xπ

= + = = = d) y x y x, 0, 4= = =

e) 3 1, 0, 1, 1y x y x x= − = = − = f) 2 ,y x y x= =

g) 2 3

,4 8x x

y y= = h) 2 4 , 2y x x y x= − + = +

i) sin , cos , ,4 2

y x y x x x= = = =π π k) 2 2( 2) 9, 0x y y− + = =

l) 2 24 6, 2 6y x x y x x= − + = − − + m) ln , 0, 2y x y x= = =Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay

quanh trục Oy:



Trang 99

a) 2 , 1, 4x y yy

= = = b) 2 , 4y x y= =

c) , 0,xy e x y e= = = d) 2 , 1, 2y x y y= = =Baøi 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay

quanh: i) trục Ox ii) trục Oy a) 2( 2) , 4y x y= − = b) 2 2, 4 , 4y x y x y= = =

c) 21 , 0, 0, 1

1y y x x

x= = = =

+ d) 22 , 0y x x y= − =

e) . ln , 0, 1,y x x y x x e= = = = f) 2( 0), 3 10, 1y x x y x y= > = − + =

g) 2 ,y x y x= = h) ( )2 2– 4 1 x y+ =

i) 149

22

=+ yx k) 1, 2, 0, 0y x y y x= − = = =

l) 2 0, 2, 0x y y x− = = = m) 2 3, 0, 1y x y x= = =



Trang 100


a) ∫ −2

0

2 dxxx b) 5

3( 2 2 )x x dx

−

+ − −∫ c) 3

2

12 1x x dx− +∫

d) 22

1

12

x dxx−

− +

∫ e) 3 7

8 42 1 2

x dxx x+ −

∫ f) 1

20 2 5 2

dx

x x+ +∫

g) 1

20 ( 1)

xdx

x +∫ h)

0

21 2 4

dx

x x− + +∫ i)

2 3 2

20

2 4 94

x x x dxx

+ + +

+∫

k) 1 3

20 1

x dxx +

∫ l) 1

20 1

xdx

x+∫ m)

1

30 ( 1)

xdx

x +∫


a) ∫ −+

2

1 11 dx

xx b)

4

1

25 4

dx

x− + +∫ c)

0

11x x dx

−

+∫

d) 10

5 2 1dx

x x− −∫ e)

3

1

33 1 3

x dxx x−

−

+ + +∫ f)

2

1 2 2xdx

x x+ + −∫

g) 2 4

50 1

x dxx +

∫ h) 9

3

11x x dx−∫ i) x dx

x

73

30

13 1

+

+∫

k) 3

3 2

01x x dx+∫ l)

1 3 2

03x x dx+∫ m)

1 3 2

01x x dx−∫

o) 1

5 2

01x x dx−∫ p)

1 2

230 ( 1)

x xdx

x

+

+∫ q)

3 5 3

20

2

1

x x dxx

+

+∫

r) 2

2 2

04x x dx−∫ s) t)


a) / 4 2

0

1 2sin 1 sin 2

x dxx

π −+∫ b)

/2

0

sin 2 sin 1 3cos

x x dxx

π +

+∫ c)

/2

0

sin 2 cos 1 cos

x x dxx

π

+∫

d) /2

2 20

sin 2

cos 4sin

x dxx x

π

+∫ e)

/2

0sin sin 2 sin3x x x dx

π

∫ f) /2

5

0cos xdx

π

∫

g) /2

4 4

0cos2 (sin cos )x x x dx

π+∫ h)

/3

2/ 4

tan

cos 1 cos

x dxx x

π

π +∫ i)

20

sin 1 cos

x x dxx

π

+∫

k) / 4

2

0tanx x dx

π

∫ l) /2

0

sin 2cos 1

x dxx

π

+∫ m) /2

0

sin 1 3cos

x dxx

π

+∫

o) /2 2004

2004 20040

sin sin cos

x dxx x

π

+∫ p)

/2 3

0

4sin 1 cos

x dxx

π

+∫ q) /2

0

cos3sin 1

x dxx

π

+∫

IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN



Trang 101

r) /3 2

20

sinsin 2 cos

x xdx

x x

π

∫ s) /2

2 20

sin

sin 2 cos cos2

xdxxx x

π

+∫ t)


a) 3

2

0ln( 5)x x dx+∫ b) ∫ −

3

2

2 )ln( dxxx c) 1

2

0( 2) xx e dx−∫

d) /2

sin

0( cos ) cosxe x x dx

π +∫ e)

ln 5

ln3 2 3x xdx

e e−+ −∫ f) 2 2

1ln

ex x dx∫

g) 3

1

1 lne x xdx

x+

∫ h) 1

2

0( 1) xx e dx+∫ i)

1

0 1 xdx

e+∫

k) 2 2

20 ( 2)

xx e dxx +

∫ l) 1

2 2

0(4 2 1) xx x e dx− −∫ m)

2

21

ln(1 )x dxx

+∫

o) /2

3

0sin 5x e x dx

π

∫ p) 2

1

lne x dxx

∫ q) 1

2

0ln(1 )x x dx+∫

r) 1

3 2 ln1 2 ln

e x dxx x

−

+∫ s) ∫

+e

dxx

xx

1

ln.ln31 t) 3 2

1

lnln 1

e x dxx x +

∫

Baøi 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y x x y x x3 3 2, 0, 0, 1= − + = = = − b) 4 , 0, 2, 12

y y x xx

= = = − =−

c) 4 21 92 , 04 4

y x x y= − + + = d) , 2, 1x y e y x= = =

e) 1 11 , 0, 2, 42 1

y x y x xx

= − + = = =−

f) 2 22 , 4y x x y x x= − = − +

g) 2 1 , 0, 01

xy y x

x+

= = =+

h) 2

, 01

x xy y

x− +

= =+

m) 2 3 2 , , 0, 1

1x x

y tieäm caän xieân x xx+ −

= = =+

n) 2 2 , 0,

1x x

y y tieáp tuyeán veõ töø goác toaï ñoäx+ −

= =+

o) 3 23 3 1y x x x= + + + , tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.

p) 31 34

y x x= − , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x = 2 3 .

Baøi 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục: a) , 0, 3;y x y x Ox= = = b) ln , 0, 1, ;y x x y x x e Ox= = = =

c) , 0, 1;x y xe y x Ox= = = d) 2 24 , 2;y x y x Ox= − = +

e) 2 4 , 0;y x x Oy= − = f) , 0, 1;y x ye x y Oy= = =

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. [email protected]




Trang 102

1. Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: C • Số phức (dạng đại số) : z a bi= +

(a, b R∈ , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) • z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

• Hai số phức bằng nhau: '’ ’ ( , , ', ' )'

a aa bi a b i a b a b Rb b

=+ = + ⇔ ∈ =

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b )R∈ được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ( ; )u a b=

r trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:

• ( ) ( ) ( ) ( )’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i+ + + = + + + • ( ) ( ) ( ) ( )’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i+ − + = − + − • Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi • ur biểu diễn z, 'ur biểu diễn z' thì 'u u+

r r biểu diễn z + z’ và 'u u−r r biểu diễn z – z’.

4. Nhân hai số phức : • ( ) ( ) ( ) ( )a bi a b i aa bb ab ba i' ' '– ' ' '+ + = + + • ( ) ( )k a bi ka kbi k R+ = + ∈

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi= −

• 1 1

2 2; ' ' ; . ' . ';

z zz z z z z z z z z z

z z

= ± = ± = =

; 2 2.z z a b= +

• z là số thực ⇔ z z= ; z là số ảo ⇔ z z= −

6. Môđun của số phức : z = a + bi

• 2 2z a b zz OM= + = =uuuur

• 0, , 0 0z z C z z≥ ∀ ∈ = ⇔ =

• . ' . 'z z z z= • ' '

z zz z

= • ' ' 'z z z z z z− ≤ ± ≤ +

7. Chia hai số phức:

• 12

1z z

z

− = (z ≠ 0) • 1 2

' ' . '.'.

z z z z zz z

z z zz

−= = = • ' 'zw z wz

z= ⇔ =

I. SỐ PHỨC

CHƯƠNG IVSỐ PHỨC



Trang 103

8. Căn bậc hai của số phức:

• z x yi= + là căn bậc hai của số phức w a bi= + ⇔ 2z w= ⇔ 2 2

2x y a

xy b − =

=• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 • w 0≠ có đúng hai căn bậc hai đối nhau

• Hai căn bậc hai của a > 0 là a±

• Hai căn bậc hai của a < 0 là .a i± −9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0≠ ).

2 4B AC∆ = −

• 0∆ ≠ : (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2B

zA

− ± δ= , ( δ là 1 căn bậc hai của ∆)

• 0∆ = : (*) có 1 nghiệm kép: 1 2 2B

z zA

= = −

Chú ý: Nếu z0 ∈ C là một nghiệm của (*) thì 0z cũng là một nghiệm của (*). 10. Dạng lượng giác của số phức: • (cos sin )z r i= ϕ + ϕ (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (z ≠ 0)

2 2

cos

sin

r a barbr

= +

⇔ ϕ = ϕ =

• ϕ là một acgumen của z, ( , )Ox OMϕ =

• 1 cos sin ( )z z i R= ⇔ = + ∈ϕ ϕ ϕ 11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ')z r i z r i= ϕ + ϕ = ϕ + ϕ :

• [ ]. ' ' . cos( ') sin( ')z z rr i= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ • [ ]cos( ') sin( ')' '

z r i

z r= ϕ − ϕ + ϕ − ϕ

12. Công thức Moa–vrơ:

• [ ](cos sin ) (cos sin )n nr i r n i nϕ + ϕ = ϕ + ϕ , ( *n N∈ )

• ( )cos sin cos sinn

i n i nϕ + ϕ = ϕ + ϕ13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

• Số phức (cos sin )z r i= +ϕ ϕ (r > 0) có hai căn bậc hai là:

cos sin

2 2

cos sin cos sin2 2 2 2

r i

vaø r i r i

ϕ ϕ+

ϕ ϕ ϕ ϕ

− + = + π + + π • Mở rộng: Số phức (cos sin )z r i= +ϕ ϕ (r > 0) có n căn bậc n là:

2 2cos sin , 0,1,..., 1n k kr i k n

n n + +

+ = −

ϕ π ϕ π



Trang 104

VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia – căn bậc 2 Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức. Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.

Baøi 1. Tìm các số thực x và y, biết: a) x yi i x yi i2 3 2 2 4+ − + = − + + b) x y i x y i(2 3) ( 2) ( 4)+ + + = − −

c) x i y i(2 ) 2 3 (3 )− − = + − d) x y i x y i(3 2) (2 1) ( 1) ( 5)− + + = + − −e) x y y i x y i(2 ) ( 2) ( 2) ( 4)+ + + = + − −

Baøi 2. Thực hiện các phép toán sau: a) i i i( 5 7 ) (9 3 ) (11 6 )− − − − − + b) i i i(4 – ) (2 3 ) – (5 )+ + + c) i i i17 (4 ) (1 3 )− + + − −

d) i i i( 2 7 ) (14 ) (1 2 )− + + − + − e) ( )i i i14 (1 2 ) 2 5+ − − + f) ( )i i2 3 2− + −

g) 1 3 13 23 2 2

i i i

− + − + −

h) 3 1 5 34 5 4 5

i i

+ − − +

i) ( ) 2 52 33 4

i i

− − −

Baøi 3. Thực hiện các phép toán sau: a) i i(2 3 )(3 )− + b) i i( 2 5 )(4 8 )− + + c) i i(4 )(3 6 )+ −

d) i i i(2 7 )(4 )(1 2 )− − + e) i i i(2 7 )(4 ) (11 3 )− + − − f) i 2(3 4 )+

g) i i3 3(2 ) (3 )+ − − h) i i2 2(1 ) (1– )+ − i) 3 3( 1 ) (2 )i i− + −

k) 5(3 3 )i+ l) i 6(2 )− m) i i 75 (1 )−

n) 3

1 32

i

−

o) i3

1 32 2

+

p) i

31 32 2

− +

Baøi 4. Thực hiện các phép toán sau:

a) 12

i i

+ −

b) i21

3 +

c) 2 3 4 5

i i

−+

d) ii

−+

11 e) i i

i(3 )(2 6 )

1+ +

− f)

)1)(21(3

iii

+−+

g) i ii i

(1 2 )( 4 )(1 )(4 3 )

+ − +− +

h) i i ii

(2 ) (1 )(4 3 )3 2

+ + + −−

i) ii i i

2 5(1 3 )( 2 )(1 )

− ++ − − +

k) i

iii −

−+− 2

13 l) i i

i i

1 3 1 31 2 1 2

+ −+

− + m) i i

i i

2 2 1 21 2 2 2

+ ++

− −

n) mi

m o) aiaaia

−+ p)

aibia +

Baøi 5. Thực hiện các phép toán sau: a) 100(1 )i− b) i i2009 2009(1 ) (1 )+ − − c) i i2010 2010(1 ) (1 )+ − −

d) i i

i i

2

3( 3 2 )(1 )(1 2 ) (3 )− + −

− +e) 22

22

)2()23()1()21(iiii

+−+−−+ f) i i

i

2 3(1 ) (2 )2

+ − +

Baøi 6. Cho số phức z x yi= + . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) 2 2 4z z i− + b) z i iz 1

+ −

c) z i z i

+ −

Baøi 7. Phân tích thành nhân tử, với a, b∈ R: a) 2 1a + b) 22 3a + c) 4 24 9a b+ d) 2 23 5a b+ e) 3 8a + f) 3 27a − g) 4 16a + h) 4 2 1a a+ +


Trang 105

Baøi 8. Tìm căn bậc hai của số phức: a) 1 4 3i− + b) 4 6 5i+ c) 1 2 6i− − d) 5 12i− +

e) 8 6i+ f) 7 24i− g) 40 42i− + h) i11 4 3.+

i) 1 2 4 2

i+ k) 4 5 3 2

i− − l) i3 4+ m) 33 56i−

VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức • Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình. • Sử dụng cách giải phương trình bậc 2.

Baøi 1. Giải các phương trình sau (ẩn z):

a) i z i(4 5 ) 2− = + b) i z i 3(4 3 ) (2 )+ = − c) i

izii

++−

=−+

231

12

d) 1 13 32 2

z i i

− = +

e) 3 5 2 4i i

z+

= − f) 14

=

−+

iziz

g) i i iz

i i i1 1 5 1 53 1 3 1

+ − −+ =

− + − h) i z i i2(3 2 ) ( ) 3− + = i) 022 =+ zz

k) 02 =+ zz l) 2 3 1 12z z i− = − m) 2 1 8z z i− = − −

o) i z i(2 ) 3 4− = + p) 02 =− zz q) z z i2 2 4+ = −

q) i z i i5(1 ) (3 2 )(1 3 )− = + + r) [ ]i z i iz i

1(2 ) 3 02

− + + + =

Baøi 2. Giải các phương trình sau (ẩn z): a) z z2 3. 1 0− + = b) z z23 2. 2 3. 2 0− + = c) z z23 2 0− + = d) z z23 2 1 0− + − = e) z2 7 0+ = f) z z27 3 2 0+ + =

g) z z2 2 5 0+ + = h) z z2 3 3 0− + = i) z z2 4 11 0− + =Baøi 3. Giải các phương trình sau (ẩn z):

a) z z z2 2( 9)( 1) 0+ − + = b) z33 24 0− = c) z z4 25 6 0− − =

d) z z4 27 8 0+ − = e) z z4 28 9 0− − = f) z z4 4 77 0+ − =

g) z z z4 38 8 1+ = + h) z z z3 22 1 0+ + − = i) z z z4 3 1 0+ + + = Baøi 4. Giải các phương trình sau (ẩn x):

a) 23 . 2 4 0i x x i− − + = b) x i x i2 (3 ) 4 3 0− − + − = c) 2 4 4 0ix x i+ + − =

d) x i x i2 2(1 ) 4 2 0+ + + + = e) x i x2 (2 3 ) 0+ − = f) 2. 2 . 4 0+ − =i x i x

g) x i x i2 2(2 ) 18 4 0− − + + = h) x i x i2 (1 3 ) 2(1 ) 0+ − − + = i) x ix22 1 0− + =

k) i x x i2(1 ) 2 (11 3 ) 0− − − + = l) x i x i2 (1 ) 2 0+ + − − = m) x i x i2 ( 2 ) 2 0+ − + − =Baøi 5. Giải các phương trình sau (ẩn z):

a) z42 16 0+ = b) z4 8 0− = c) z 5( 2) 1 0+ + = d) z i z iz2 2( )( 2 1) 0+ − − =

e) z z z z z5 4 3 2 1 0+ + + + + = f) z i z z2( 3 )( 2 5) 0+ − + =

g) 3 22 3 5 3 3 0z z z i− + + − = h) z i z i4 28(1 ) 63 16 0− − + − =



Trang 106

i) z i z i2( 3 ) 6( 3 ) 13 0+ − − + − + = k) z i z i4 224(1 ) 308 144 0− − + − =Baøi 6. Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lượt là:

a) 2 3 1 3i vaø i+ − + b) 2 4 4i vaø i− +Baøi 7. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận α làm nghiệm:

a) 3 4i= +α b) i7 3α = − c) 2 5i= −αd) 2 3iα = − − e) 3 2iα = − f) i= −α

g) (2 )(3 )i i= + −α h) 51 80 45 382 3 4i i i i= + + +α i) 5 2

i i

+=

−α

Baøi 8. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z1 , z2 thoả mãn điều kiện đã chỉ ra:

a) 2 2 21 2 1 21 0, : 1z mz m ñk z z z z− + + = + = + b) − + = + =2 3 3

1 23 5 0, : 18z mz ñk z z

c) z mz ñk z z2 2 21 23 0, : 8+ + = + =

Baøi 9. Cho z z1 2, là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của các biểu thức sau:

2 21 2A z z= + , 2 2

1 2 1 2B z z z z= + , 1 2

2 1

z zC

z z= + :

a) z z2 1 0+ + = b) z z23 2 0+ + = c) z z25 7 11 0− + = d) z z2 7 0+ + =

e) ( )i z i z i21 2 (3 2 ) 1 0+ − + + − = f) z i z i2 (1 3 ) 2(1 ) 0+ − − + =

g) z i z i2 (5 14 ) 2(12 5 ) 0− − − + = h) i z z i2(1 ) 2 (11 3 ) 0− − − + = Baøi 10. Giải các hệ phương trình sau:

a) z z iz z i1 2 2 21 2

45 2

+ = +

+ = −b)

z z iz z i1 22 21 2

. 5 5. 5 2.

= − −

+ = − +c) z z

z z

3 51 2 2 41 2

0.( ) 1

+ =

=

d) z z zz z zz z z

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1

. . 1

+ + = + + = =

e)

z z iz z

12 5 8 34 18

−= −

− = −

f)

z z i z i z i

1 1

3 1

−= −

− = +

g) z z iz z i

2 21 2

1 2

5 24

+ = +

+ = −h)

z i zz i z

21

− = − = −

i) z z z zz z i

2 21 2 1 2

1 2

4 02

+ + =

+ =Baøi 11. Giải các hệ phương trình sau:

a) 2 1 23

x y ix y i

+ = − + = −

b) 2 25

8 8x y ix y i

+ = −

+ = −c) 4x

7 4y

xy i + = = +

d) 2 2

1 1 1 1 2 2

1 2

ix yx y i

+ = −

+ = −

e) 2 2 6

1 1 2 5

x y

x y

+ = − + =

f) 3 2

1 1 17 1 26 26

x y i

ix y

+ = + + = +

g) 2 25

1 2x y ix y i

+ = −

+ = +h) 3 3

12 3

x yx y i

+ =

+ = − −i) x y i

x y i

2 2 5 24

+ = + + = −



Trang 107

VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển bởi điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y.

Baøi 1. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) z z 3 4+ + = b) z z i1 2− + − = c) z z i z i2 2− + = −d) i z z2 . 1 2 3− = + e) i z z2 2 2 1− = − f) z 3 1+ =

g) z i z i2 3+ = − − h) z i z i

3 1−=

+ i) z i1 2− + =

k) z i z2 + = − l) z 1 1+ < m) z i1 2< − <

n) z i 3(1 ) 1− − = o) z i z i(1 3 ) 3 2+ − = + − p) i z z2 2 2 1− = −Baøi 2. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi

điều kiện sau: a) 2z i+ là một số thực b) 2z i− + là một số thuần ảo

c) z

11−

là một số thuần ảo d) z i z i

+ −

là một số thực dương

e) z i 2( )− là một số thực dương f) z i 2( 1 )− + là một số thuần ảo g) z 3≤ và phần thực lớn hơn 1 h) z 3≤ và phần thực nhỏ hơn –2 i) Phần thực của z nhỏ hơn 3 k) Phần ảo của z lớn hơn 5.

VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.

Baøi 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: a) i.322 +− b) 4 – 4i c) 1 3.i−

d) 4

sin.4

cos ππ i− e) 8

cos.8

sin ππ i−− f) )1)(3.1( ii − +


a) ( )( )3 cos20 sin 20 cos25 sin 25o o o oi i+ + b) 5 cos .sin .3 cos .sin6 6 4 4

i i π π π π

+ +

c) ( )( )3 cos120 sin120 cos 45 sin 45+ +o o o oi i d) 5 cos sin 3 cos sin6 6 4 4

+ +

π π π πi i

e) ( )( )2 cos18 sin18 cos 72 sin 72+ +o o o oi i f) cos85 sin85 cos40 sin 40

ii

+ +

o o

o o

g) )15sin.15(cos3)45sin.45(cos2

00

00

ii

++ h) 2(cos 45 sin 45 )

3(cos15 sin15 )i i

+ +

o o

o o

i) )

2sin.

2(cos2

)3

2sin.3

2(cos2

ππ

ππ

i

i

+

+ k)

2 22 cos sin3 3

2 cos sin2 2

+ +

π π

π π

i

i

Baøi 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:



Trang 108

a) 31 i− b) 1 i+ c) )1)(31( ii − + d) )3.(.2 ii −

e) i

i +

−1

31 f) i22

1 +

g) ϕϕ cos.sin i+ h) 2 2i+

i) 1 3i+ k) 3 i− l) 3 0i+ m) 5tan 8

iπ

+

Baøi 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau:

a) cos 45 sin 45o oi+ b) 2 cos sin6 6

+

π πi c) ( )3 cos120 sin120+o oi

d) 6(2 )i+ e) 3(1 )(1 2 )

ii i

+ + −

f) 1 i

g) 12 1

i i+ +

h) ( )601 3i− + i)

407 1 3(2 2 ) .

1i

i i

+−

−

k) 1 3 3cos sin4 42

i

+

π π l) 100

1 cos sin1 4 4

i i

i +

+ −

π π m) ( )17

1

3 i−Baøi 5. Tính:

a) ( )5cos12 sin12o oi+ b) ( )16

1 i+ c) 6)3( i−

d) ( ) 70 02 cos30 sin30i + e) 5(cos15 sin15 )o oi+ f) 2008 2008(1 ) (1 )i i+ + −

g) 21

321335

−+

ii h)

12

23

21

+ i i)

20081

+

ii

k) 5 7(cos sin ) .(1 3 )3 3

i i iπ π− + l) 2008

20081 1, 1z bieát z

zz+ + =

Baøi 6. Chứng minh: a) 5 3sin 5 16sin 20sin 5sint t t t= − + b) 5 3cos5 16 cos 20 cos 5cost t t t= − + c) 2 3sin3 3cos sint t t= − d) 3cos3 4 cos 3cost t t= −



Trang 109


a) (2 )( 3 2 )(5 4 )i i i− − + − b) 3 7 5 82 3 2 3

i ii i

+ −+

+ −

c) 16 8

1 11 1

i ii i

+ −+

− + d)

6 61 3 1 7

2 2i i − + −

+

e) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 )i i i i− + + + − − f) 5 7 13 100 94( ) ( ) ( )i i i i i− − −− + − + + −

g) 2000 1999 201 82 47i i i i i+ + + + h) 2 3 20091 ...i i i i+ + + + +i) 2 3 2000. . ...i i i i k) 21 ... , ( 1)ni i i n+ + + + ≥

Baøi 2. Cho các số phức 1 2 31 2 , 2 3 , 1z i z i z i= + = − + = − . Tính:

a) 1 2 3z z z+ + b) 1 2 2 3 3 1z z z z z z+ + c) 1 2 3z z z

d) 2 2 21 2 3z z z+ + e) 1 2 3

2 3 1

z z zz z z

+ + f) 2 2

1 22 2

2 3

z z

z z

+

+

Baøi 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) 4 3 2(1 2 ) 3 1 3 , 2 3A z iz i z z i vôùi z i= + − + + + + = +

b) ( )B z z z z z vôùi z i2 3 2 1( 2 )(2 ), 32

= − + − + = −

Baøi 4. Tìm các số thực x, y sao cho:

a) (1 2 ) (1 2 ) 1i x y i i− + + = + b) 3 33 3x y

ii i

− −+ =

+ −

c) 2 2 2 21(4 3 ) (3 2 ) 4 (3 2 )2

i x i xy y x xy y i− + + = − + −

Baøi 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: a) 8 6i+ b) 3 4i+ c) 1 i+ d) 7 24i−

e) 2

1 1

i i

+ −

f) 2

1 33i

i

− −

g) 1 2 2 2

i− h) i, –i

i) 31 3

i

i

−

+ k) 1 1

2 2i+ l) ( )2 1 3i− + m) 1 1

1 1i i+

+ −Baøi 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau:

a) i− b) –27 c) 2 2i+ d) 18 6i+Baøi 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:

a) 2 12i− b) 3 i+ c) 2i− d) 7 24i− +Baøi 8. Giải các phương trình sau:

a) 3 125 0z − = b) 4 16 0z + = c) 3 64 0z i+ = d) 3 27 0z i− =

e) 7 4 32 2 0z iz iz− − − = f) 6 3 1 0z iz i+ + − = g) 10 5( 2 ) 2 0z i z i+ − + − =Baøi 9. Gọi 1 2;u u là hai căn bậc hai của 1 3 4z i= + và 1 2;v v là hai căn bậc hai của

2 3 4z i= − . Tính 1 2u u+ 1 2v v+ + ? Baøi 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 2 5 0z + = b) 2 2 2 0z z+ + = c) 2 4 10 0z z+ + =

II. ÔN TẬP SỐ PHỨC



Trang 110

d) 2 5 9 0z z− + = e) 22 3 1 0z z− + − = f) 23 2 3 0z z− + =

g) ( )( ) 0z z z z+ − = h) 2 2 0z z+ + = i) 2 2z z= +

k) 2 3 2 3z z i+ = + l) ( ) ( )22 +2 2 3 0z i z i+ + − = m) 3z z=

n) 224 8 8z z+ = o) 2 (1 2 ) 1 0iz i z+ + + = p) 2(1 ) 2 11 0i z i+ + + =

Baøi 11. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 2

4 45 6 0z i z iz i z i

+ +− + = − −

b) ( )( )( )25 3 3 0z i z z z+ − + + =

c) ( ) ( )2 22 6 2 16 0z z z z+ − + − = d) ( ) ( )3 21 3 3 0z i z i z i− + + + − =

e) ( )( )2 2 2 0z i z z+ − + = f) 2 2 2 1 0z iz i− + − =

g) z i z i2 (5 14 ) 2(12 5 ) 0− − − + = h) 2 80 4099 100 0z z i− + − =

i) z i z i2( 3 ) 6( 3 ) 13 0+ − − + − + = k) z i z i2 (cos sin ) cos sin 0− ϕ + ϕ + ϕ ϕ =Baøi 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x i x i2 (3 4 ) 5 1 0− + + − = b) x i x i2 (1 ) 2 0+ + − − = c) 23 2 0x x+ + =

d) 2 1 0x x+ + = e) 3 1 0x − =Baøi 13. Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a) 3 2 2 2 0z iz iz− − − = b) z i z i z i3 2( 3) (4 4 ) 4 4 0+ − + − − + =

Baøi 14. Tìm m để phương trình sau: ( )( )2 22 2 0z i z mz m m+ − + − =a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực c) Có ba nghiệm phức

Baøi 15. Tìm m để phương trình sau: 3 2(3 ) 3 ( ) 0z i z z m i+ + − − + = có ít nhất một nghiệm thực Baøi 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho ( 2)( )z z i− + là số thực. Baøi 17. Giải các phương trình trùng phương:

a) z i z i4 28(1 ) 63 16 0− − + − = b) z i z i4 224(1 ) 308 144 0− − + − =

c) 4 26(1 ) 5 6 0z i z i+ + + + =

Baøi 18. Cho 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình: ( )z i z i2 1 2 2 3 0− + + − = . Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 2 2

1 2z z+ b) 2 21 2 1 2z z z z+ c) 3 3

1 2z z+

d) 1 22 1 1 2

1 2 1 2z z

z z z z

+ + +

e) 3 32 1 1 2z z z z+ f) 1 2

2 1

z zz z

+

Baøi 19. Cho 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình: 2 1 0x x− + = . Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 2000 2000

1 2x x+ b) 1999 19991 2x x+ c) 1 2 ,

n nx x n N+ ∈ Baøi 20. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức

sau:

a) 3zz i

=−

b) 2 2 1z z+ = c) 1z

z=

Baøi 21. Hãy tính tổng 2 3 11 ... nS z z z z −= + + + + biết rằng 2 2cos sinz in nπ π

= + .

Baøi 22. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:


Trang 111

a) 4 3 2 1i i i i+ + + + b) (1 )(2 )i i− + c) 2 1

i i

+ −

d) 1 sin cos , 02

i− + < <π

α α α e) 3 cos sin6 6

i

− +

π π f) cot ,2

i+ < <π

α π α

g) sin (1 cos ), 02

i+ − < <π

α α α

Baøi 23. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:

a) ( )

( )

8 6

6 82 3 2 (1 )

(1 ) 2 3 2

i i

i i

+ ++

− −b)

( ) ( )

4

10 4( 1 ) 1

3 2 3 2

i

i i

− + +

− +c) ( ) ( )1 3 1 3

n ni i+ + −

d) sin cos8 8

i− +π π e) cos sin

4 4i−

π π f) 2 2 3i− +

g) 1 sin cos , 02

i− + < <π

α α α h) 1 cos sin , 01 cos sin 2

i i

+ +< <

+ −α α π

αα α

i) 4 3i−

Baøi 24. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:

a) ( )

( )

8 6

6 82 3 2 (1 )

(1 ) 2 3 2

i i

i i

+ ++

− −b)

( ) ( )

4

10 4( 1 ) 1

3 2 3 2

i

i i

− + +

− +c) ( ) ( )1 3 1 3

n ni i+ + −

Baøi 25. Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực:

a) ( ) ( )7 72 5 2 5i i+ + − b) 19 7 20 5

9 7 6

n ni i

i i + +

+ − +

c) 6 6

1 3 1 32 2i i − + − −

+

d) 5 5

1 3 1 32 2i i − + − −

+

e) 6 6

3 32 2

i i + −+

Baøi 26. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 32 32

z i− + = . Tìm số phức z có môđun nhỏ

nhất. Baøi 27. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau:

4 2 6; (1 )(1 2 ); 1 3i ii i

i i+− +

− −a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.

Baøi 28. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a) 3 2(2 2 ) (5 4 ) 10 0z i z i z i+ − + − − = b) 3 2(1 ) ( 1) 0z i z i z i+ + + − − =

c) 3 2(4 5 ) (8 20 ) 40 0z i z i z i+ − + − − =

Baøi 29. Cho đa thức 3 2( ) (3 6) (10 18 ) 30P z z i z i z i= + − + − + . a) Tính ( 3 )P i− b) Giải phương trình ( ) 0P z = .

Baøi 30. Giải phương trình 2

127

zz

z +

= − − , biết 3 4z i= + là một nghiệm của phương trình.

Baøi 31. Giải các phương trình sau: a) 4 3 22 2 1 0z z z z+ − + + = b) 4 3 22 2 1 0z z z z− − − + =



Trang 112

c) ( ) ( ) ( )4 3 21 2 2 2 1 2 1 0z z z z− + + + − + + = d) 4 3 24 6 4 15 0z z z z− + − − =

e) 6 5 4 3 213 14 13 1 0z z z z z z+ − − − + + =Baøi 32. Giải các phương trình sau:

a) 2 2 2 2( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0z z z z z z+ + + + + − = b) 3

8z i z i

+= −

c) 2 4 2 2 2 4( 1) 6 ( 1) 5 0z z z z z z− + − − + + = d) 3 2

1 0z i z i z iz i z i z i

− − −+ + + = + + +

Baøi 33. Chứng minh rằng: nếu 1z ≤ thì 2 12

z i iz

−≤

+ .

Baøi 34. Cho các số phức 1 2 3, ,z z z . Chứng minh:

a) 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3z z z z z z z z z z z z+ + + + + = + + + + +

b) ( )( )2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z+ + − = + +

c) ( )( )2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z− − − = − −

d) Nếu 1 1z z c= = thì 2 2 2

1 2 1 2 4z z z z c+ + − = .





Trang 113

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2002) Cho hàm số 4 22 3y x x= − + + có đồ thị (C ).

1. Khảo sát hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị m để phương trình x x m4 2– 2 0+ = có bốn nghiệm phân biệt. ĐS: 2) 0 < m < 1.

Baøi 2. (TN 2003) Cho hàm số 2 4 5

2x xy

x− + −

= −

.

1. Khảo sát hàm số.

2. Tìm m để đồ thị hàm số 2 2( 4) 4 5

2x m x m my

x m− − − + − −

= + −

có các tiệm cận trùng với

các tiệm cận tương ứng của đồ thị hàm số khảo sát trên. ĐS: 2) m = 0.

Baøi 3. (TN 2004) Cho hàm số 3 213

y x x= − có đồ thị là ( C).

1. Khảo sát hàm số. 2. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm A(3;0). 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi ( C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox.

ĐS: 2) y y0; 3x 9= = − 3) V 81 35

π=

Baøi 4. (TN 2005) Cho hàm số y = xx

2 1 1

+ +

có đồ thị (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C). 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(–1; 3).

ĐS: 2) S 1 ln 2= − 3) y x1 13 4 3

= +

Baøi 5. (TN 2006–kpb) Cho hàm số y x x x3 26 9= − + . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C). 3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y = x + m2 – m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). ĐS: 2) y 3x 8= − + 3) m = 0, m = 1

Baøi 6. (TN 2006–pb) Cho hàm số y x x3 23= − + . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình: x x m3 23 0− + − = . 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. ĐS: 2)

m < 0 hoặc m > 4 m = 0 hoặc m = 4 0 < m < 4 Số nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 3 nghiệm

3) S27 4

= .

I. KHẢO SÁT HÀM SỐ



Trang 114

Baøi 7. (TN 2007–kpb) Cho hàm số y xx21

2 1= + −

−, gọi đồ thị của hàm số là (H).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm A(0; 3). ĐS: 2) y x5 3= + .

Baøi 8. (TN 2007–pb) Cho hàm số y x x4 22 1= − + , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C). ĐS: 2) y 1= .

Baøi 9. (TN 2007–kpb–lần 2) Cho hàm số y x x3 23 2= − + − , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C). ĐS: 2) y x3 3= − .

Baøi 10. (TN 2007–pb–lần 2) Cho hàm số xy

x12

−=

+, gọi đồ thị của hàm số là (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

ĐS: 2) y x3 1 4 2

= − .

Baøi 11. (TN 2008–kpb) Cho hàm số y x x4 22= − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 2= − . ĐS: 2) y x24 40= − − .

Baøi 12. (TN 2008–pb) Cho hàm số y x x3 22 3 1= + − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: x x m3 22 3 1+ − = . ĐS: 2)

m < –1 hoặc m > 0 m = –1 hoặc m = 0 –1 < m < 0 Số nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 3 nghiệm

Baøi 13. (TN 2008–kpb–lần 2) Cho hàm số y x x3 23= − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x x m3 23 0− − = có ba nghiệm phân biệt. ĐS: 2) m4 0− < < .

Baøi 14. (TN 2008–pb–lần 2) Cho hàm số xy

x3 2

1−

=+

, gọi đồ thị của hàm số là (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng –2. ĐS: 2) y x5 2= − .

Baøi 15. (TN 2009) Cho hàm số xy

x2 1

2+

=−

.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5. ĐS: 2) y x y x5 2, 5 22= − + = − + .

Baøi 16. (TN 2010) Cho hàm số y x x3 21 3 54 2

= − + .



Trang 115

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x x m3 26 0− + = có 3 nghiệm thực phận biệt. ĐS: 2) m0 32< < .

Baøi 17. (TN 2011) Cho hàm số 1. 2. ĐS:



Trang 116

ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Baøi 1. (ĐH 2002A) Cho hàm số y x mx m x m m3 2 2 3 23 3(1 ) (1)= − + + − + − (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm k để phương trình x x k k3 2 3 23 3 0− + + − = có ba nghiệm phân biệt. 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

ĐS: 2) k k k

1 3 0 , 2

− < < ≠ ≠

3) y x m m22 –= + .

Baøi 2. (ĐH 2002B) Cho hàm số y mx m x4 2 2( 9) 10= + − + (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.

ĐS: 2) m m

3 0 3

< − < <

Baøi 3. (ĐH 2002D) Cho hàm số m x my

x

2(2 1) (1)1

− −=

− (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. 3. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.

ĐS: 2) 41 4 ln3

= + 3) m 1.≠

Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Cho hàm số x mxy

x

2

1+

= −

(1) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = 0. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10. ĐS:

Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Cho hàm số y x m x3( ) 3= − − (m là tham số). 1. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x 0= . 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho ứng với m = 1. 3. Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

x x k

x x

3

2 32 2

1 3 01 1log log ( 1) 12 3

− − − <

+ − ≤ĐS:

Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Cho hàm số y x mx x m3 21 12 23 3

= + − − − (1) (m là tham số).

1. Cho m12

= .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với

đường thẳng d y x: 4 2= + .

2. Tìm m thuộc khoảng 50;6

sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các

đường thẳng x x y0, 2, 0= = = có diện tích bằng 4. ĐS:



Trang 117

Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Cho hàm số x x my

x

2 22

− +=

− (1) (m là tham số).

1. Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (–1; 0). 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.

3. Tìm a để phương trình sau có nghiệm: x xa a2 21 1 1 19 ( 2)3 2 1 0+ − + −− + + + =

. ĐS:

Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Cho hàm số y x x x3 21 2 33

= − + (1).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành. ĐS:

Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Cho hàm số y x mx m4 2 1= − + − (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 8. 2. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. ĐS:

Baøi 10. (ĐH 2003A) Cho hàm số mx x my

x

2(1)

1+ +

= −

(m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.

ĐS: 2) m1 02

− < < .

Baøi 11. (ĐH 2003B) Cho hàm số y x x m3 23= − + (1) (m là tham số). 1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. ĐS: 1) m > 0.

Baøi 12. (ĐH 2003D) Cho hàm số x xy

x

2 2 4 (1)2

− +=

−

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm m để đường thẳng md y mx m: 2 2= + − cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. ĐS: 2) m > 1.

Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Cho hàm số x m x m my

x m

2 2(2 1) 42( )

+ + + + +=

+ (1) (m là tham số).

1. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trịcủa đồ thị hàm số (1). 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. ĐS:

Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Cho hàm số x xy

x

22 4 32( 1)

− −=

− .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Tìm m để phương trình: x x m x22 4 3 2 1 0− − + − = có hai nghiệm phân biệt. ĐS:

Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Cho hàm số y x x mx m2( 1)( )= − + + (1) (m là tham số). 1. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.



Trang 118

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 4. ĐS:

Baøi 16. (ĐH 2003B–db2) Cho hàm số xy

x2 1

1−

=−

(1).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. ĐS:

Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Cho hàm số x x my

x

2 25 63

+ + +=

+ (1) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; +∞). ĐS:

Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Cho hàm số y x x3 22 3 1= − − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Gọi kd là đường thẳng đi qua điểm M(0; –1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường

thẳng kd cắt (C) tại ba điểm phân biệt. ĐS:

Baøi 19. (ĐH 2004A) Cho hàm số x xy

x

2 3 3 (1)2( 1)

− + −=

−

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.

ĐS: 2) m1 5

2±

= .

Baøi 20. (ĐH 2004B) Cho hàm số y x x x3 21 2 3 (1)3

= − + có đồ thị (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

ĐS: 2) y x8 3

= − + .

Baøi 21. (ĐH 2004D) Cho hàm số y x mx x3 23 9 1= − + + (1) với m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. ĐS: 2) m 0= hoặc m 2= ± .

Baøi 22. (ĐH 2004A–db1) Cho hàm số y x m x4 2 22 1= − + (1) với m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. ĐS:

Baøi 23. (ĐH 2004A–db2) Cho hàm số y xx1

= + (1) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(–1; 7). ĐS:

Baøi 24. (ĐH 2004B–db1) Cho hàm số y x mx m x3 2 22 2= − + − (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.


Trang 119

2. Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 1. ĐS:

Baøi 25. (ĐH 2004B–db2) Cho hàm số x mxy

x

2 2 21

− +=

− (1) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng d x y: 2 10 0− − = . ĐS:

Baøi 26. (ĐH 2004D–db1) Cho hàm số x xy

x

2 4 1

+ +=

+ (1).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d x y: 3 3 0− + = . ĐS:

Baøi 27. (ĐH 2004D–db2) Cho hàm số xy

x 1=

+(1).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d x y: 3 4 0+ = bằng 1. ĐS:

Baøi 28. (ĐH 2005A) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y mxx1

= + (*) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*) khi m1 4

= .

2. Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận

xiên của (Cm) bằng 12

.

ĐS: 2) m = 1.

Baøi 29. (ĐH 2005B) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số x m x my

x

2 ( 1) 11

+ + + +=

+ (*) (m là tham

số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*) khi m 1= . 2. Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . ĐS:

Baøi 30. (ĐH 2005D) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số my x x3 21 1

3 2 3= − + (*) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*) khi m 2= . 2. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng –1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng x y5 0− = . ĐS: 2) m = 4.

Baøi 31. (ĐH 2005A–db1) Cho hàm số: x mx my

x m

2 22 1 3+ + −=

− (*) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) ứng với m = 1. 2. Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. ĐS: 2) m1 1− < <



Trang 120


x

2 1 1

+ +=

+ .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (–1; 0) và tiếp xúc với đồ thị (C) .

ĐS: 2) ( )y x3 14

= +

Baøi 33. (ĐH 2005B–db1) Cho hàm số y x x4 26 5= − + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. 2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : x x m4 2

26 log 0− − = .

ĐS: 2) m9

1 12

< < .

Baøi 34. (ĐH 2005B–db2) Cho hàm số x xy

x

2 2 2 1

+ +=

+ (*)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*) . 2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I. ĐS:

Baøi 35. (ĐH 2005D–db1) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số ( )y x m x m3 2– 2 1 – –1= + + (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1= . 2. Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y mx m2 – –1= .

ĐS: 2) m hay m102

= =


x

2 3 3 1

+ +=

+ .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

2. Tìm m để phương trình x xm

x

2 3 31

+ +=

+ có 4 nghiệm phân biệt.

ĐS: 2) m > 3. Baøi 37. (ĐH 2006A) Cho hàm số y x x x3 22 9 12 4= − + − .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: x x x m3 22 9 12− + = .

ĐS: 2) 4 < m < 5.

Baøi 38. (ĐH 2006B) Cho hàm số x xy

x

2 12

+ −=

+ .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận

xiên của (C). ĐS: 2) y x 2 2 5= − + − hoặc y x 2 2 5= − − − .

Baøi 39. (ĐH 2006D) Cho hàm số y x x3 3 2= − + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.


Trang 121

ĐS: 2) m

m

15 4

24

> ≠

.


x

2 2 5 1

+ +=

+ .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

x x m m x2 22 5 ( 2 5)( 1)+ + = + + + .

ĐS: 2) m m

2 01

− < < ≠ −

.

Baøi 41. (ĐH 2006A–db2) Cho hàm số xy x

4 22( 1)

4= − − .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và tiếp xúc với (C).

ĐS: 2) y y x8 22; 23 3

= = ± + .


x

2 1 1

− −=

+ .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(0; –5). ĐS: 2) y y x5; 8 5= − = − − .

Baøi 43. (ĐH 2006B–db2) Cho hàm số y x m x m x m3 2(1 2 ) (2 ) 2= + − + − + + (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng

thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

ĐS: 2) m 1< − hoặc m5 74 5

< < .

Baøi 44. (ĐH 2006D–db1) Cho hàm số xy x x

3 2 113

3 3= − + + − .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.

ĐS: 2) M N16 163; , 3;3 3

−

hoặc M N

16 163; , 3;3 3

−

.


x3 1

+=

−.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Cho điểm M x y0 0 0( ; ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của

(C) tại các điểm A, B. Chứng minh M0 là trung điểm của đoạn thẳng AB. ĐS:

Baøi 46. (ĐH 2007A) Cho hàm số x m x m my

x

2 22( 1) 42

+ + + +=

+ (1), (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = –1. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. ĐS: 2) m 4 2 6= − ± .


Trang 122

Baøi 47. (ĐH 2007B) Cho hàm số y x x m x m3 2 2 23 3( 1) 3 1= − + + − − − (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

cách đều gốc toạ độ O.

ĐS: 2) m12

= ± .

Baøi 48. (ĐH 2007D) Cho hàm số xy

x2

1=

+.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm toạ độ diểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B

và tam giác OAB có diện tích bằng 1 4

.

ĐS: 2) M M1 ; 2 , (1;1)2

− −

.


x

2 4 32

− + +=

− .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các

đường tiệm cận của nó là hằng số.

ĐS: 2) d d1 272

= .

Baøi 50. (ĐH 2007A–db2) Cho hàm số my x m Cm

x( )

2= + +

− .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1. 2. Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O. ĐS: 2) m = 2.

Baøi 51. (ĐH 2007B–db1) Cho hàm số y = –2x3 + 6x2 – 5. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(–1, –13). ĐS: 2) y x y x6 7; 48 61= − = − − .

Baøi 52. (ĐH 2007B–db2) Cho hàm số my x

x1

2= − + +

− (Cm).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với (Cm) tại A cắt trục

Oy tại B mà ∆OBA vuông cân. ĐS: 2) m = 1.


x1

2 1− +

=+

(C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của

đường tiệm cận và trục Ox.

ĐS: 2) y x1 1

12 2

= − +

.


x 1=

−(C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.



Trang 123

2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.

ĐS: 2) y x y x; 4= − = − + .

Baøi 55. (ĐH 2008A) Cho hàm số mx m xy

x m

2 2(3 2) 23

+ − −=

+ (1), m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 045 . ĐS: 2) m 1= ± .

Baøi 56. (ĐH 2008B) Cho hàm số y x x3 24 6 1= − + (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó đi qua M(–1; –9).

ĐS: 2) y x y x15 2124 15;4 4

= + = − .

Baøi 57. (ĐH 2008D) Cho hàm số y x x3 23 4= − + (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > –3) đều cắt

đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

ĐS:

Baøi 58. (ĐH 2008A–db1) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số x mx my

x m

2 22 1 3+ + −=

− (*) (m là

tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) ứng với m = 1. 2. Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. ĐS: 2) m1 1− < < .


x

2 1 1

+ +=

+ .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (–1; 0) và tiếp xúc với đồ thị (C) .

ĐS: 2) ( )y x3 14

= + .

Baøi 60. (ĐH 2008B–db1) Cho hàm số y x x4 26 5= − + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x x m4 2

26 log 0− − = .

ĐS: 2) m9

1 12

< < .


x

2 2 2 1

+ +=

+ (*) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*). 2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I. ĐS:

Baøi 62. (ĐH 2008D–db1) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y x m x m3 2– (2 1) – –1 = + + (1) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1= . 2) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y mx m2 – –1= .



Trang 124

ĐS: 2) m hay m102

= = .


x

2 3 3 1

+ +=

+ .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Tìm m để phương trình x xm

x

2 3 31

+ +=

+ có 4 nghiệm phân biệt.

ĐS: 2) m > 3.

Baøi 64. (CĐ 2008) Cho hàm số xy

x 1=

−.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm m để đường thẳng d y x m: = − + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. ĐS: 2) m < 0 hoặc m > 4.

Baøi 65. (ĐH 2009A) Cho hàm số xy

x2

2 3+

=+

(1).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O. ĐS: 2) y x 2= − − .

Baøi 66. (ĐH 2009B) Cho hàm số y x x4 22 4= − (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2. Với các giá trị nào của m, phương trình x x m2 2 2− = có đúng 6 nghiệm phân biệt? ĐS: 2) 0 < m < 1.

Baøi 67. (ĐH 2009D) Cho hàm số y x m x m4 2(3 2) 3= − + + có đồ thị (Cm), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0. 2. Tìm m để đường thẳng y 1= − cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.

ĐS: 2) m m1 1, 03

− < < ≠ .

Baøi 68. (CĐ 2009) Cho hàm số y x m x m x3 2(2 1) (2 ) 2= − − + − + (1), với m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thịhàm số (1) có hoành độ dương.

ĐS: 2) m5 24

< < .

Baøi 69. (ĐH 2010A) Cho hàm số y x x m x m3 22 (1 ) 1= − + − + + (1), m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1 2 3, , thoả mãn điều kiện: x x x2 2 2

1 2 3 4+ + < .

ĐS: 2) m1 14

− < < và m 0≠ .

Baøi 70. (ĐH 2010B) Cho hàm số xy

x2 1

1+

=+

.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số đã cho.



Trang 125

2. Tìm m để đường thẳng y x m2= − + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc toạ độ). ĐS: 2) m 2= ± .

Baøi 71. (ĐH 2010D) Cho hàm số y x x4 2 6= − − + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

y x1 16

= − .

ĐS: 2) y x6 10= − + . Baøi 72. (CĐ 2010)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y x x3 23 –1= + . 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng –1. ĐS: 2) y x3 2= − − .

Baøi 73. (ĐH 2011A) Cho hàm số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2. ĐS: 2) .



Trang 126

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2006–pb) Giải phương trình: x x2 22 9.2 2 0+ − + = .

ĐS: x x1; 2= = − . Baøi 2. (TN 2007–pb–lần 1) Giải phương trình: x x4 2log log (4 ) 5+ = .

ĐS: x 4= . Baøi 3. (TN 2007–pb–lần 2) Giải phương trình: x x17 2.7 9 0−+ − = .

ĐS: x x7log 2; 1= = .

Baøi 4. (TN 2008–pb–lần 1) Giải phương trình: x x2 13 9.3 6 0+ − + = . ĐS: x x 30; log 2= = .

Baøi 5. (TN 2008–pb–lần 2) Giải phương trình: x x3 3 3log ( 2) log ( 2) log 5+ + − = . ĐS: x 3= .

Baøi 6. (TN 2009) Giải phương trình: x x25 6.5 5 0− + = . ĐS: x x0; 1= = .

Baøi 7. (TN 2010) Giải phương trình: x x2 2 42 log 14 log 3 0− + = .

ĐS: x x8; 2= = . Baøi 8. (TN 2011)

ĐS:

II. HÀM SỐ LUỸ THỪA – MŨ – LOGARIT



Trang 127


Baøi 1. (ĐH 2002A) Cho phương trình x x m2 23 3log log 1 2 1 0+ + − − = (*) (m là tham số).

1. Giải phương trình (*) khi m = 2.

2. Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3[1; 3 ].

ĐS: 1) x 33±= 2) 0 ≤ m ≤ 2.

Baøi 2. (ĐH 2002B) Giaûi baát phöông trình: xx 3log (log (9 72)) 1.− ≤

ĐS: x9log 73 2.< ≤

Baøi 3. (ĐH 2002D) Giaûi heä phöông trình:

x

x x

x

y y

y

3 2

12 5 44 2

2 2

+

= − +

= +

.

ĐS: x xy y

0 21 4

= =∨ = =

Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Giaûi phöông trình: xx x x2 2

32716 log 3log 0− = . ĐS:

Baøi 5. (ĐH 2002B–db1) Giaûi heä phöông trình: x y

x y4 2

4 3 0log log 0

− + = − =

.

ĐS:

Baøi 6. (ĐH 2002B–db2) Giaûi phöông trình: x x x84 22

1 1log ( 3) log ( 1) log (4 )2 4

+ + − = .

ĐS:

Baøi 7. (ĐH 2002D–db1) Giaûi heä phöông trình: x

y

x x x yy y y x

3 2

3 2log ( 2 3 5 ) 3log ( 2 3 5 ) 3

+ − − =

+ − − =.

ĐS: Baøi 8. (ĐH 2002D–db2) Giaûi bất phöông trình: x x x2 1

1 12 2

log (4 4) log (2 3.2 )++ ≥ − .

ĐS: Baøi 9. (ĐH 2003D) Giải phương trình: x x x x2 222 2 3.− + −− =

ĐS: x x1; 2= − =

Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Giaûi bất phöông trình: x x x1 115.2 1 2 1 2+ ++ ≥ − + ĐS:

Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Giaûi heä phöông trình: y xx y

xy ylog log

2 2 3

=

+ =.

ĐS:

Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Tìm m để phương trình ( )x x m2

2 12

4 log log 0− + = có nghiệm

thuộc khoảng (0; 1). ĐS:

Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Giaûi bất phöông trình: x x1 1 22 4

log 2 log ( 1) log 6 0+ − + ≤ .

ĐS:



Trang 128

Baøi 14. (ĐH 2003D–db1) Cho hàm số xf x x x x( ) log 2 ( 0, 1)= > ≠ . Tính f x( )′ và giải bất

phương trình f x( ) 0′ ≤ . ĐS:

Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: x x5log (5 4) 1− = − . ĐS:

Baøi 16. (ĐH 2004A) Giải hệ phương trình: y x

y

x y

1 44

2 2

1log ( ) log 1

25

− − =

+ =

.

ĐS: (x; y) = (3; 4)

Baøi 17. (ĐH 2004A–db1) Giải bất phương trình: ( )x x22

4

log log 2x 0π + − < .

ĐS:

Baøi 18. (ĐH 2004A–db2) Giải bất phương trình: x x

x 2 21 3log log2 22. 2≥ .

ĐS:

Baøi 19. (ĐH 2004B–db1) Giải bất phương trình: x x

x

12 6 11 42

− + −>

− .

ĐS: Baøi 20. (ĐH 2004B–db2) Giải bất phương trình: xx3log log 3> .

ĐS:

Baøi 21. (ĐH 2004D–db1) Giải hệ phương trình: x y xx y y x

x y

2 2

12 2+ −

+ = +

− = −.

ĐS:

Baøi 22. (ĐH 2005B) Giải hệ phương trình: x y x y2 3

9 3

1 2 13log (9 ) log 3

− + − =

− =.

ĐS: (1; 1), (2; 2).

Baøi 23. (ĐH 2005D–db2) Giải bất phương trình: x x

x x2

2 2

2 19 2 33

−−

− ≤

.

ĐS: x1 2 1 2− ≤ ≤ + . Baøi 24. (ĐH 2006A) Giải phương trình: x x x x3.8 4.12 18 2.27 0+ − − = .

ĐS: x = 1. Baøi 25. (ĐH 2006B) Giải bất phương trình: x x 2

5 5 5log (4 144) 4 log 2 1 log (2 1)−+ − < + +ĐS: 2 < x < 4.

Baøi 26. (ĐH 2006D) Giải phương trình: x x x x x2 2 22 4.2 2 4 0+ −− − + = . ĐS: x = 0, x = 1.

Baøi 27. (ĐH 2006A–db1) Giải bất phương trình: x x1log ( 2 ) 2+ − > .

ĐS: x2 3 0− + < < . Baøi 28. (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: x x x2 2

log 2 2 log 4 log 8+ = .

ĐS: x = 2. Baøi 29. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: x x x 3

1 822

log 1 log (3 ) log ( 1) 0+ − − − − = .



Trang 129

ĐS: x1 17

2±

= .

Baøi 30. (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: x x x x2 21 29 10.3 1 0+ − + −− + = . ĐS: x = –1, x = 1, x = –2.

Baøi 31. (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: 1) x x x x y14 2 2(2 1)sin(2 1) 2 0+− + − + − + = .

2) x x 13 3log (3 1) log (3 3) 6+− − = .

ĐS: 1) x = 1, y k1 22π

π= − − + 2) x x3 328log 10, log27

= = .

Baøi 32. (ĐH 2006D–db2)

1. Giải hệ phương trình: x y x yx y y2 2ln(1 ) ln(1 )

12x 20 0 + − + = −

− + =.

2. Giải phương trình: ( )x x2 4 212 log 1 log log 04

+ + = .

ĐS: 1) x = y = 0 2) x x12,4

= = .

Baøi 33. (ĐH 2007A) Giải bất phương trình: x x3 1 3

2 log (4 3) log (2 3) 2− + + ≤ .

ĐS: x3 34

< ≤ .

Baøi 34. (ĐH 2007B) Giải phương trình: ( ) ( )x x2 1 2 1 2 2 0− + + − = .

ĐS: x = 1, x = –1.

Baøi 35. (ĐH 2007D) Giải phương trình: x x x2 21log (4 15.2 27) 2 log 0

4.2 3+ + + =

−.

ĐS: x 2log 3= .

Baøi 36. (ĐH 2007A–db1) Giải bất phương trình: ( )x x x2 4 2log 8 log log 2 0+ ≥ .

ĐS: x x10 12

< ≤ ∨ > .

Baøi 37. (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình: x

x x4 22 1

1 1log ( 1) log 2log 4 2+

− + = + + .

ĐS: x5 2

= .

Baøi 38. (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: x x23 3

log ( 1) log (2 1) 2− + − = .

ĐS: x = 2.

Baøi 39. (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: ( ) xx x3 9

3

42 log log 3 11 log

− − =−

.

ĐS: x x1 , 813

= = .

Baøi 40. (ĐH 2007D–db1) Giải bất phương trình: x x x2 21 22

1 1log 2 3 1 log ( 1)2 2

− + + − ≥ .



Trang 130

ĐS: x1 13 2

≤ < .

Baøi 41. (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: x x x3 1 22 7.2 7.2 2 0+ − + − = . ĐS: x = –1, x = 1.

Baøi 42. (ĐH 2008A) Giải phương trình: x xx x x2 22 1 1log (2 1) log (2 1) 4− ++ − + − = .

ĐS: x x52,4

= = .

Baøi 43. (ĐH 2008B) Giải bất phương trình: x xx

2

0,7 6log log 04

+<

+ .

ĐS: S = ( 4; 3) (8; )− − ∪ +∞ .

Baøi 44. (ĐH 2008D) Giải bất phương trình: x xx

2

12

3 2log 0− +≥

ĐS: S = ) (2 2;1 2;2 2 − ∪ + .

Baøi 45. (ĐH 2008D–db2) Giải bất phương trình: 2

2 2

2 19 2 33

x xx x

−−

− ≤

ĐS: x1 2 1 2− ≤ ≤ + . Baøi 46. (CĐ 2008) Giải phương trình: x x2

2 2log ( 1) 6 log 1 2 0+ − + + = . ĐS: x = 1, x = 3.

Baøi 47. (ĐH 2009A) Giải hệ phương trình: x xy y

x y xy2 2

2 22 2log ( ) 1 log ( )

3 81− +

+ = +

=.

ĐS: (2; 2), (–2; –2).

Baøi 48. (ĐH 2010B) Giải hệ phương trình: x xy x

x y Ry

22

log (3 1)( , )

4 2 3 − =

∈ + =

.

ĐS: x y11;2

= − =

.

Baøi 49. (ĐH 2010D)

1. Giải phương trình: x x x x x x x R3 32 2 2 2 4 44 2 4 2 ( )+ + + + + −+ = + ∈ .

2. Giải hệ phương trình: x x y x y Rx y

2

2 2

4 2 0 ( , )2 log ( 2) log 0 − + + = ∈ − − =

.

ĐS: 1) x x1; 2= = 2) x y( 3; 1)= = . Baøi 50. (ĐH 2011A)

1. ĐS:



Trang 131

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 1y x= + và y x –1= .

ĐS: S16 3

= .

Baøi 2. (TN 2003)

1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 3 2

2

3 3 1( )2 1

x x xf xx x+ + −

=+ +

biết rằng F(1) = 1 3

.

2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 22 10 12

2x xy

x− −

= +

và đường

thẳng y = 0.

ĐS: 1) xF x x

x

2 2 13( )2 1 6

= + + −+

2) S 63 16 ln8= − .

Baøi 3. (TN 2005) Tính tích phân: I x x xdx2

2

0( sin ) cos

π

= +∫ .

ĐS: I2

2 3π

= − .

Baøi 4. (TN 2006–kpb) 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số xy e= , y = 2 và đường thẳng x = 1.

2. Tính tích phân: I = 2x dx

cos x

2

0

sin 24

π

−∫ .

ĐS: 1) S e 2 ln 2 4= − − 2) I4ln3

= .

Baøi 5. (TN 2006–pb)

1. Tính tích phân: I = x x

x

e e dxe

ln5

ln 2

( 1)

1

+

−∫ .

2. Tính tích phân: J = xx e dx1

0(2 1)+∫ .

ĐS: 1) I263

= 2) J = e + 1.

Baøi 6. (TN 2007–kpb) Tính tích phân: J = e xdx

x

2

1

ln∫ .

ĐS: I = 1 3

.

Baøi 7. (TN 2007–pb)

1. Tính tích phân: x dxx

2

21

2

1+∫ .

III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN



Trang 132

2. Tính tích phân: x xdx3

12 ln∫ .

ĐS: 1) ( )J 2 5 2= − 2) K 9 ln3 4= − .

Baøi 8. (TN 2007–kpb–lần 2) Tính tích phân: I = x dxx

1 2

3 0

31+

∫ .

ĐS: I = ln2. Baøi 9. (TN 2007–pb–lần 2)

1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y x y x xsin , 0, 0,2π

= = = = . Tính thể

tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x x y2 6 , 0= − + = .

ĐS: 1) V2

4π

= 2) S = 36.

Baøi 10. (TN 2008–kpb) Tính tích phân: I = xe xdx1

0(1 )+∫ .

ĐS: I = 3 2

.

Baøi 11. (TN 2008–pb)

1. Tính tích phân: I = x x dx1

2 3 4

1(1 )

−

−∫ .

2. Tính tích phân: J = x xdx2

0(2 1)cos

π

−∫ .

ĐS: 1) I32 5

= 2) J 3π= − .

Baøi 12. (TN 2008–kpb–lần 2) Tính tích phân: I = x dx1

03 1+∫ .

ĐS: I = 14 9

.

Baøi 13. (TN 2008–pb–lần 2)

1. Tính tích phân: I = xx e dx1

0(4 1)+∫ .

2. Tính tích phân: J = x x dx2

2

1(6 4 1)− +∫ .

ĐS: 1) I = e + 3 2) J = 9.

Baøi 14. (TN 2009) Tính tích phân: I = x x dx0

(1 cos )π

+∫ .

ĐS: I2 4 2

π −= .



Trang 133

Baøi 15. (TN 2010) Tính tích phân: I = x x dx1

2 2

0( 1)−∫ .

ĐS: 1 30

.

Baøi 16. (TN 2011) Tính tích phân: I = ĐS:



Trang 134


Baøi 1. (ĐH 2002A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y x x y x2 4 3 , 3.= − + = +

ĐS: S109

6= .

Baøi 2. (ĐH 2002B) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

xy

24

4= − và x

y2

.4 2

=

ĐS: S423

π= + .

Baøi 3. (ĐH 2002A–db1) Tính tích phân: I = x x xdx2 6 3 5

01 cos .sin .cos

π

−∫ .

ĐS:

Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Tính tích phân: I = ( )xx e x dx0

2 3

11

−

+ +∫ .

ĐS:

Baøi 5. (ĐH 2002B–db2) Tính tích phân: I = x

x

edx

e

ln3

30 ( 1)+∫ .

. ĐS:

Baøi 6. (ĐH 2002D–db2) Tính tích phân: I = x dxx

1 3

20 1+∫ .

ĐS:

Baøi 7. (ĐH 2003A) Tính tích phân: dxI

x x

2 3

25

. 4

=+

∫

ĐS: I1 5ln4 3

= .

Baøi 8. (ĐH 2003B) Tính tích phân: xI dxx

24

0

1 2sin .1 sin 2

π

−=

+∫

ĐS: I = 1 ln 22

.

Baøi 9. (ĐH 2003D) Tính tích phân: I x x dx2

2

0= −∫ .

ĐS: I = 1.

Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Tính tích phân: I = x x dx1

3 2

01−∫ .

ĐS:



Trang 135

Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Tính tích phân: I = x dxx

4

0 1 cos2

π

+∫ .

ĐS:

Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Tính tích phân: I = x

x

e dxe

ln5 2

ln 2 1−∫ .

ĐS:

Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Cho hàm số xaf x bxex 3

( )( 1)

= ++

. Tìm a, b biết rằng:

f (0) 22′ = − và f x dx1

0( ) 5=∫ .

ĐS:

Baøi 14. (ĐH 2003D–db1) Tính tích phân: I = xx e dx2

1 3

0∫ .

ĐS:

Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Tính tích phân: I = e x dx

x

2

1

1+∫ .

ĐS:

Baøi 16. (ĐH 2004A) Tính tích phân: xI dxx

2

1.

1 1=

+ −∫

ĐS: I = 11 4 ln23

− .

Baøi 17. (ĐH 2004B) Tính tích phân: e x xI dx

x1

1 3ln ln .+= ∫

ĐS: I = 116135

.

Baøi 18. (ĐH 2004D) Tính tích phân: I x x dx3

2

2ln( ) .= −∫

ĐS: I = 3ln 3 2− .

Baøi 19. (ĐH 2004A–db2) Tính tích phân: I = x x dxx

2 4

20

14

− +

+∫ .

ĐS:

Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Tính tích phân: I = dxx x

3

31

1+

∫ .

ĐS:

Baøi 21. (ĐH 2004B–db2) Tính tích phân: I = xe xdx2

cos

0sin 2

π

∫ .

ĐS:



Trang 136

Baøi 22. (ĐH 2004D–db1) Tính tích phân: I = x xdx2

0sin

π

∫ .

ĐS:

Baøi 23. (ĐH 2004D–db2) Tính tích phân: I = x xe e dxl n8

2

ln31+∫ .

ĐS:

Baøi 24. (ĐH 2005A) Tính tích phân: I = x xdxx

2

0

sin 2 sin1 3cos

π

+

+∫ .

ĐS: I = 34 27

.

Baøi 25. (ĐH 2005B) Tính tích phân: I = x xdxx

2

0

sin 2 .cos 1 cos

π

+∫ .

ĐS: I = 2 ln 2 1− .

Baøi 26. (ĐH 2005D) Tính tích phân: I = xe x xdx2

sin

0( cos ) cos

π

+∫ .

ĐS: I = e 14π

+ − .

Baøi 27. (ĐH 2005A–db1) Tính tích phân: I = x xdx3

2

0sin . tan

π

∫ .

ĐS: I = 3ln 28

− .


7

30

21

+

+∫ .

ĐS: I = 231 10

.

Baøi 29. (ĐH 2005B–db1) Tính tích phân: I = e

x xdx2

0ln∫ .

ĐS: I = e32 19 9

+ .

Baøi 30. (ĐH 2005B–db2) Tính tích phân: I = xx e x dx4

sin

0(tan cos )

π

+∫ .

ĐS: I = e12ln 2 1+ − .

Baøi 31. (ĐH 2005D–db1) Tính tích phân: I = e x dx

x x

3 2

1

lnln 1+

∫ .

ĐS: I = 76 15

.



Trang 137


2

0(2 1)cos

π

−∫ .

ĐS: I = 2 1

8 4 2π π

− − .

Baøi 33. (ĐH 2006A) Tính tích phân: I = xdx

x x

2

2 20

sin 2

cos 4sin

π

+∫ .

ĐS: I = 23

.

Baøi 34. (ĐH 2006B) Tính tích phân: I = x x

dxe e

ln 5

ln3

12 3−+ −

∫ .

ĐS: I = 3ln2

.

Baøi 35. (ĐH 2006D) Tính tích phân: I = xx e dx1

2

0( 2)−∫ .

ĐS: I = e25 3 4

− .

Baøi 36. (ĐH 2006A–db1) Tính tích phân: I = dxx x

6

2

12 1 4 1+ + +

∫ .

ĐS: I = 3 1ln2 12

− .

Baøi 37. (ĐH 2006A–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y x x2 3= − +và đường thẳng d: y x2 1= + .

ĐS: S = 1 6

.

Baøi 38. (ĐH 2006B–db1) Tính tích phân: I = dxx x

10

5

12 1− −

∫ .

ĐS: I = 2 ln 2 1+ .

Baøi 39. (ĐH 2006B–db2) Tính tích phân: I = e x dx

x x1

3 2 ln1 2 ln−

+∫ .

ĐS: I = 10 2 113

− .


0( 1)sin 2

π

+∫ .

ĐS: I = 14π

+ .


1( 2) ln−∫ .



Trang 138

ĐS: I = 5 ln 44

− .

Baøi 42. (ĐH 2007A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: xy e x y e x( 1) , (1 )= + = + .

ĐS: S = e 12

− .

Baøi 43. (ĐH 2007B) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y x x y x eln , 0,= = = . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.

ĐS: V = e3(5 2)27

π − .

Baøi 44. (ĐH 2007D) Tính tích phân: I = e

x xdx3 2

1ln∫ .

ĐS: I = e45 1 32

− .


4

0

2 11 2 1

+

+ +∫ .

ĐS: I = 2 ln 2+ . Baøi 46. (ĐH 2007A–db2) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y x y x24 ,= = . Tính

thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.

ĐS: V = 128 15

.

Baøi 47. (ĐH 2007B–db1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

x xy y

x2(1 )0,

1

−= =

+.

ĐS: S = 11 ln 24 2π

− + .

Baøi 48. (ĐH 2007B–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y x y x2 2, 2= = − .

ĐS: S = 12 3π

+ .

Baøi 49. (ĐH 2007D–db1) Tính tích phân: I = x x dxx

1

20

( 1)4

−

−∫ .

ĐS: I = 31 ln 2 ln32

+ − .


2

0cos

π

∫ .

ĐS: I = 2

24

π− .

Baøi 51. (ĐH 2008A) Tính tích phân: I = xdxx

46

0

tan cos2

π

∫ .


Trang 139

ĐS: I = ( )1 10ln 2 32 9 3

+ −

Baøi 52. (ĐH 2008B) Tính tích phân: I = x

dxx x x

4

0

sin 4

sin 2 2(1 sin cos )

π π −

+ + +∫ .

ĐS: I = 4 3 24

− .

Baøi 53. (ĐH 2008D) Tính tích phân: I = xdxx

2

31

ln∫ .

ĐS: I = 3 2 ln 2 16

− .

Baøi 54. (ĐH 2008A–db1) Tính tích phân I x xdx3

2

0sin . tan

π

= ∫ .

ĐS: I = 3ln 28

− .

Baøi 55. (ĐH 2008A–db2) Tính tích phân xI dxx

7

30

2 1

+=

+∫ .

ĐS: I = 231 10

.

Baøi 56. (ĐH 2008B–db1) Tính tích phân I = e

x xdx2

0ln∫ .

ĐS: I = e32 19 9

+ .

Baøi 57. (ĐH 2008B–db2) Tính tích phân I = xtgx e x dx4

sin

0( cos )

π

+∫ .

ĐS: I = e12ln 2 1+ − .

Baøi 58. (ĐH 2008D–db1) Tính tích phân e xI dx

x x

3 2

1

lnln 1

=+

∫ .

ĐS: I = 76 15

.

Baøi 59. (ĐH 2008D–db2) Tính tích phân I x xdx2

2

0( 2 1)cos

π

= −∫ .

ĐS: I = 2 1

8 4 2π π

− − .

Baøi 60. (CĐ 2008) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y x x2 4= − + và đường thẳng d: y x= .


Trang 140

ĐS: S = 9 2

.

Baøi 61. (ĐH 2009A) Tính tích phân I = x dx2

3

0(cos 1)

π

−∫ .

ĐS: I = 815 4

π− .

Baøi 62. (ĐH 2009B) Tính tích phân I = xdxx

3

21

3 ln( 1)

+

+∫ .

ĐS: I = 1 273 ln4 16

+

.

Baøi 63. (ĐH 2009D) Tính tích phân I = x

dxe

3

1

11−

∫ .

ĐS: I = e e2ln( 1) 2+ + − .

Baøi 64. (CĐ 2009) Tính tích phân I = ( )x xe x e dx1

2

0

− +∫ .

ĐS: I = e12 − .

Baøi 65. (ĐH 2010A) Tính tích phân I = x x

xx e x e dx

e

1 2 2

0

21 2

+ +

+∫ .

ĐS: I = e1 1 1 2ln3 2 3

++ .

Baøi 66. (ĐH 2010B) Tính tích phân I = ( )

e x dxx x

21

ln

2 ln+∫ .

ĐS: I = 1 3ln3 2

− + .

Baøi 67. (ĐH 2010D) Tính tích phân I = e

x xdxx1

32 ln

− ∫ .

ĐS: I = e21

2− .

Baøi 68. (CĐ 2010) Tính tích phân I = x dxx

1

0

2 11

−+∫ .

ĐS: I = 2 – 3ln 2 . Baøi 69. (ĐH 2011A) Tính tích phân I = .

ĐS: I = .



Trang 141

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2006–pb) Giải phương trình sau trên tập số phức: x x22 5 4 0− + = .

ĐS: x i x i1 25 7 5 7;4 4 4 4

= + = − .

Baøi 2. (TN 2007–pb) Giải phương trình sau trên tập số phức: x x2 4 7 0− + = . ĐS: x i x i1 22 3; 2 3= − = + .

Baøi 3. (TN 2007–pb–lần 2) Giải phương trình sau trên tập số phức: x x2 6 25 0− + = . ĐS: x i x i1 23 4 ; 3 4= − = + .

Baøi 4. (TN 2008–pb) Tìm giá trị của biểu thức: P = ( ) ( )i i2 2

1 3 1 3+ + − . ĐS: P = –4.

Baøi 5. (TN 2008–pb–lần 2) Giải phương trình sau trên tập số phức: x x2 2 2 0− + = . ĐS: x i x i1 11 ; 1= + = − .

Baøi 6. (TN 2009) Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1. z z28 4 1 0− + = 2. z iz22 1 0− + =

ĐS: 1) z i z i1 21 1 1 1;4 4 4 4

= + = − 2) z i z i1 21;2

= = − .

Baøi 7. (TN 2010) 1. Cho hai số phức z i1 1 2= + và z i2 2 3= − . Xác định phần thực và phần ảo của số phức

z z1 22− .

2. Cho hai số phức z i1 2 5= + và z i2 3 4= − . Xác định phần thực và phần ảo của số phức

z z1 2. .ĐS: 1) a b3; 8= − = 2) a b26; 7= = .

Baøi 8. (TN 2011) ĐS:

IV. SỐ PHỨC


sđt : 01695316875 ymail: [email protected]đt : 01695316875 ymail: [email protected]đt : 01695316875 ymail: [email protected]

Trang 142


Baøi 1. (ĐH 2009A) Gọi z z1 2, là hai nghiệm phức của phương trình: z z2 2 10 0+ + = . Tính

giá trị của biểu thức A = z z2 2

1 2+ . ĐS: A = 20.

Baøi 2. (ĐH 2009B) Tìm số phức z thoả mãn: z i(2 ) 10− + = và z z. 25= . ĐS: z i3 4= + hoặc z 5= .

Baøi 3. (ĐH 2009D) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoảmãn điều kiện: z i(3 4 ) 2− − = .

ĐS: x y2 2( 3) ( 4) 4− + + = . Baøi 4. (CĐ 2009)

1. Cho số phức z thoả mãn i i z i i z2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )+ − = + + + . Tìm phần thực và phần ảo của z.

2. Giải phương trình sau trên tập số phức: z iz i

z i4 3 7 2− −

= −−

.

ĐS: 1) a = 2, b = –3. 2) z i z i1 2 ; 3= + = + . Baøi 5. (ĐH 2010A)

1. Tìm phần ảo của số phức z, biết ( ) ( )z i i2

2 1 2= + − .

2. Cho số phức z thoả mãn: ( )i

zi

31 3

1−

= −

. Tìm môđun của số phức z iz+ .

ĐS: 1) b 2= − 2) z iz 8 2+ = . Baøi 6. (ĐH 2010B) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

thoả mãn: z i i z(1 )− = + .

ĐS: (C): x y2 2( 1) 2+ + = .

Baøi 7. (ĐH 2010D) Tìm số phức z thoả mãn: z 2= và z2 là số thuần ảo. ĐS: i i i i1 ; 1 ; 1 ; 1+ − − + − − .

Baøi 8. (CĐ 2010) 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện i z i z i 2(2 – 3 ) (4 ) (1 3 )+ + = − + . Tìm phần thực và phần ảo của z. 2. Giải phương trình z i z i2 – (1 ) 6 3 0+ + + = trên tập hợp các số phức. ĐS: 1) a b2; 5= − = 2) z i z i1 2 ; 3= − = .

Baøi 9. (ĐH 2011A) 1. ĐS:




Documents

Bai tap giai tich 12 htv