Giai Tich Tich Phan Suy Rong

8/10/2019 Giai Tich Tich Phan Suy Rong

http://slidepdf.com/reader/full/giai-tich-tich-phan-suy-rong 1/60

I. Tích phân suy rộng loại một Bài toán

Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong:

, trục hoành, đường thẳng x = a. ( ) 0 y f x

b

( )a

s f x dx

lim ( )b

b a

f x dx



Tích phân suy rộng loại một

Tích phân ( )a

f x dx

lim ( )

b

ba

f x dx

khả tích trên đoạn , với mọi ( ) y f x ,a b b a

được gọi là tích phân suy rộng loại một.

Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một

( )a

f x dx lim ( )

a

bb

f x dx

( ) f x dx

( ) ( )

a

a

f x dx f x dx



Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng

1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp)

2) Khảo sát sự hội tụ.

( ) lim ( )b

ba a

f x dx f x dx

Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ.

Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô

cùng, thì tích phân gọi là phân kỳ.



Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz)

( ) lim ( )b

ba a

f x dx f x dx

Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên ,a

lim ( ) ( )b

F b F a

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim ( ) : ( )b

F b F

( ) ( ) ( ) ( )a a

f x dx F x F F a



Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

2

1 y

x

, trục hoành và đường thẳng x = 1.

21

dxS

x

21

limb

b

dx

x

1

1lim

b

b x

1lim 1 1

x b

Diện tích của miền S

bằng 1, hữu hạn.



S là miền có diện tích

vô hạn, bằng

Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 1

y

x

, trục hoành và đường thẳng x = 1.

1

dxS

x

1

limb

b

dx

x 1

lim ln | |b

b x

lim ln

bb



Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

2

1

1

y

x

, trục hoành.

2 1

dxS

x

02 lim arctan

b

b x

20

21

dx

x

Diện tích của miền S

bằng .



Ví dụ Tính tích phân2

1

x I e dx

2

1

x I e dx

2

12

xe

2

2 2

e e

2

1

2e

Ví dụ Tính tích phân 2lne

dx I

x x

2lne

dx I x x

2(ln )ln

e

d x x

1ln e x

1 1ln( ) ln e

1.




4 5 6

dx I

x x

2

1 1

( 2)( 3)5 6 x x x x

1 1

3 2 x x

4

1 1

3 2 I dx

x x

4

3ln

2

x I

x

3 4 3lim ln ln

2 4 2 x

x

x

1ln1 ln

2 ln2

4 4ln | 3 | ln | 2 | x x

( ) ( ) Dạng vô định.?

Không được phép dùng: lim ( ) lim lim x x x

f g f g

khi chưa đảm bảo hai giới hạn vế phải chắc chắn tồn tại.



Ví dụ Tính5 10

1 1

dx I

x x x

Đổi biến:

Đổi cận:

61

10 5

1 11

dx I

x x x

5

1t

x

6

1dt dx

x

1 1 x t

0 x t 0

21 1

dt I

t t

1

20 1/ 2 3/ 4

dt

t

1

2

0

ln 1/ 2 1/ 2 3 / 4t t



Ví dụ Tính 2

0

cos x I e xdx

Đặt 2 22 x xu e du e dx cos sindv xdx v x

2 2

00

sin 2 sin x x

I e x e xdx

2

0

2 sin x I e xdx

Ta có nên 2lim sin 0 x

xe x

2 2

2

x x

u e du e dx

sin cosdv xdx v x

2 2

00

2 cos 4 cos x x I e x e xdx

2 4 I 2

5 I



Ví dụ Tính

3/ 2

20

arctan

1

x I dx

x

arctant x Đổi biến:

3/ 2

20

arctan

1

x I dx x

2

2

1tan 1

cos x t x

t

Đổi cận:

21

dxdt

x

0 0 x t 2

x t

220

arctan11

x dx x x

/ 2

0

cost tdt

12



0

1a

dx x

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)

Trường hợp 1: 1

1

1 11

a x

1

1 1

1 a

hữu hạn, khác 0.

0

1

a

dx x

Trường hợp 2: 1 1

1a

x

Tích phân phân kỳ.

tích phân hội tụ.

Trường hợp 3:1

0

1

a

dx x

ln | |

a x

Tích phân phân kỳ.




0

11

1

hoäi tuï, neáu

phaân kyø, neáuadx x

2

1

ln

I dx

x x

1,Neáu thì hoäi tuï. I

1,Neáu thì phaân kyø. I

1, 1,Neáu thì hoäi tuï. I 1, 1,Neáu thì PK. I



Tích phân hàm không âm

và khả tích trên ( ) 0, ( ) 0 x a f x g x ,a ( ) ( ) f x g x ở lân cận của . Khi đó:

1) Nếu hội tụ, thì hội tụ.( )a

g x dx

( )a

f x dx

2) Nếu phân kỳ, thì phân kỳ.( )a

f x dx

( )a

g x dx

Tiêu chuẩn so sánh 1.

Để khsát sự hội tụ của , thường đem so sánh( )a

I f x dx

với đã biết kết quả.

a

dx

x



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2

1 2 sin 3

dx I

x x

Ta có 2 2 2

1 1( ) ( )

2 sin 3 2 f x g x

x x x

Vì hội tụ 2

1 2

dx

x

, nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1. I

Chú ý (trong tiêu chuẩn 1):

2) Chỉ cần tồn tại , ( ) ( )a x f x g x

3) Cận dưới của tích phân là số dương ( ) a

dx

x

0.a

1) f(x) và g(x) là hai hàm không âm.




1 sin 3

dx I

x x

Ta có 22 21 2( ) ( )sin 3

f x g x x x x

Vì hội tụ 2

1

dx

x

, nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1. I

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 3

1

ln

5

xdx I

x

Ta có

3ln 1 1

( ) ( )5 5 2

x

f x g x x x x

Vì phân kỳ 1

2

dx

x

, nên phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1. I

5 x

Tí h hâ hà khô â




và khả tích trên ( ) 0, ( ) 0 x a f x g x

,a

( )lim

( ) x

f x K

g x Khi đó:

nếu hội tụ, thì hội tụ.( )a

g x dx

( )a

f x dx

và cùng HT hoặc cùng PK.( )a

f x dx

( )a

g x dx


1) :0 K

2) :0höõu haïn, K

nếu hội tụ, thì hội tụ.( )a

f x dx

( )a

g x dx

3) : K

ử ẩ



Để khảo sát sự hội tụ của ( )a

f x dx

Cách sử dụng tiêu chuẩn so sánh 2.

1) kiểm tra f(x) có là hàm không âm (trong lâncận của )

2) Tìm hàm g(x) bằng cách: tìm hàm tương

đương của f(x) khi x tiến ra dương vô cùng.

3) Tính , kết luận.( )

lim( ) x

f x K

g x

Hai hàm f(x) và g(x) không âm: nếu , thì( ) ( )

x

f x g x

( ) ( )vaøa a

f x dx g x dx

cùng tính chất.

Hội t t ệt đối



Hội tụ tuyệt đối

Nếu hội tụ, thì hội tụ.( )a

f x dx

( )

a

f x dx

Định lý

Nếu hội tụ, thì gọi là hội tụ tuyệt đối ( )a

f x dx

( )a

f x dx

Định nghĩa

Nếu hàm f(x) có dấu tùy ý, để khảo sát sự hội tụ của

( )a

f x dx

( )a

f x dx

ksát sự HT của tích phân hàm

không âm

để sử dụng được hai tiêu

chuẩn so sánh



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 1 5 ln

dx I

x x

Ta có 1/ 2

1 1( )5 ln 5

x f x

x x x

Chọn 1/ 2

1( ) g x

x

Khi đó:

( ) 1lim

( ) 5 x

f x

g x


Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.1

( ) f x dx

1

( ) g x dx

Vì phân kỳ ( ), nên tích phân I phân kỳ.1

( ) g x dx

1

12




1

3

2 sin3

xdx I

x x

Ta có 3 3 2

3 3 3( )

2 sin3 2 2

x x x f x

x x x x

Chọn 2

1( ) g x

x

( ) 1lim

( ) 5 x

f x

g x



( ) f x dx

1

( ) g x dx

Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ.1

( ) g x dx

2 1




1

arctan

2 2ln

xdx I

x x

Ta có 2

arctan( )

2 2ln

x x f x

x x

Chọn 2

1( ) g x

x

( )lim

( ) 4 x

f x

g x



( ) f x dx

1

( ) g x dx


( ) g x dx

2 1

2 22 2 4 x x



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 0 (3 1) 1

dx I

x x

Ta có 3/ 21 1( )

3(3 1) 1

x f x

x x x

Chọn 3/ 2

1( ) g x

x

Khi đó:( ) 1

lim

( ) 3 x

f x

g x



( ) f x dx

0

( ) g x dx


( ) J g x dx

3 12

Sai! vì J phân kỳ (xem phần tích phân suy rộng loại hai)

dx



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 0 (3 1) 1

dx I

x x

Ta có 3/ 2

1 1

( ) 3(3 1) 1

x

f x x x x

Chọn 3/ 2

1

( ) g x x

Khi đó:( ) 1

lim( ) 3 x

f x

g x hữu hạn, khác 0.


( ) f x dx

1

( ) g x dx

Vì HT ( ), nên I1 HT, suy ra I HT.

1

( ) g x dx

3

12

Cách giải đúng!

1

1 2

0 1(3 1) 1 (3 1) 1

dx dx

I I I x x x x

I 1 là tích phân xác định nên hội tụ. Xét tích phân I

2




1

x I e dx

2

1 ( ) ( ) x x x f x e e g x

11

1 x xe dx ee

HT

1

( ) g x dx

Tích phân đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 1.

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 21/

1

1cos x I e dx

x

21/ 1

( ) cos x f x e x

2 2 2

1 1 3

2 2 x x x HT I



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

1

xe

I dx x

Ta có: 1 x x e x 1 1

xe x

2

1 1( ) ( )

x f x g x

xe x

Tích phân đã cho hội tụ.


3

1

1

3 1

x x I dx

x x

3 2 3/ 2

3 3 3/ 2

1 1( )

3 1

x x x x f x

x x x x

Tích phân hội tụ.

t




arctan

2 x

x I dx

e

arctan( ) ( )2 2

x

x x x f x g x

e e

Tính HT, nên tích phân đã cho HT.0

0

1 x xe dx e


3/

1

2arctan

1 x

x I dx

e

3

3/

2arctan

1 x

x

e

3

3/

12 /2 arctan

1 x

x

e

3

2

2/ 2

3/ 3

x x

x x

HT



Ví dụ Chứng minh tích phân hội tụ và tính

23 1

dx I

x x

22

1 1( )

1

x

f x x x x

nên tích phân I hội tụ.2 1

21t x 2 2 1t x 2 2tdt xdx

2 23 1

xdx I x x

22 1

tdt

t t

2

1ln1

t t

1ln1 ln ln33



Ví dụ Chứng minh tích

phân hội tụ và tính 4 280 1

dx I

x x

1 1/ 2 3/ 24 2

1 1 1( )1

x f x

x x x x

nên I hội tụ.3 1

2

24

1t x

4 2

1t x

3

4 2t dt xdx

42 280 1

xdx I

x x

3

49

2

1

t dt

t t

2 2

9 91 1

dt dt

t t

9

9

1ln arctan

1

t t

t

8ln arctan9

10 2



Ví dụ Chứng minh tích phân phân kỳ và tính giới hạn

1

xe

I dx x

1lim

t x

x x

edt

t e

1

1 ( ) ( ) x

e x f x g x

x x

1

( ) g x dx

FK nên I phân kỳ.

Giới hạn có dạng vô định , dùng qui tắc Lôpital

'

1

'lim

t x

x x

e

dt t

e

lim

x

x x

e

x e

1lim

x x 0

1lim

t x

x x

edt t

e




1

sin

ln2

xdx I

x x

Hội tụ.2

sin( )

ln2

x f x

x x

2

1( )

x

g x x

Sai! vì f(x) có dấu tùy ý, không sử dụng so sánh được.

Xét tích phân hàm không âm 2

1

sin

ln2

x J dx

x x

Hội tụ.2

sin

( ) ln2

x

f x x x 2

1( )

x

g x x

Tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối.

2

1

ln2 x x

2

1

ln2 x x




sin xdx I

x

Tích phân từng phần:

211 1

sin cos cos x x x I dx dx x x x

21 1u du dx x x

sin cosdv xdx v x

cos11

J

Xét tích phân2

1

cos x J dx

x

2 2

cos 1 x

x x

hội tụ

hội tụ, suy ra hội tụ. I J




sin xdx I

x

Xét tích phân hàm không âm

1

sin x J dx x

2

sin sin 1 cos2

2

x x x

x x x

1 1 1

1 cos2 cos2

2 2 2

x dx xdx dx

x x x

1 2 I I

1

1 2

dx

I x

phân kỳ 2

1

cos2

2

xdx

I x

hội tụ (tương

tự ví dụ trước)

Tích phân đã cho hội tụ, nhưng không hội tụ tuyệt đối

Chú ý:



1) Với tích phân chỉ có một điểm suy rộng

( )a

f x dx

khi tách ra có dạng vô định

( ) ( )a aG x H x

vẫn chưa kết luận t/phân ban đầu phân kỳ.

2) Với tích phân có hai điểm suy rộng

( ) f x dx

khi tách ra thành tích phân ( ) ( )

a

a

f x dx f x dx

chỉ cần một trong hai tphân PK, thì tphân ban đầu PK.

I. Tích phân suy rộng loại hai Định nghĩa



Định nghĩa

Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong y = f(x),

nếu 0

lim ( ) x x

f x

Tích phân suy rộng loại hai của f(x)

trên đoạn [a,b]

( ) : lim ( )b t

t ba a

f x dx f x dx

Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy

nhất là x0 = b.

I. Tích phân suy rộng loại hai



Tích phân suy rộng

loại hai của f(x) trên

đoạn [a,b]

( ) : lim ( )b b

t aa t

f x dx f x dx


nhất là x0 = a.




p y g

Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b]

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx


nhất là ,c a b

lim ( ) lim ( )t b

t c t c

a t

f x dx f x dx

Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở

vế phải hội tụ.




Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân

suy rộng loại một.

Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân

suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.

Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn

so sánh cho tích phân hàm không âm.




Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim ( ) : ( )t b

F t F b

( ) ( ) ( ) ( )

bb

a a

f x dx F x F b F a


( ) lim ( )b t

t ba a

f x dx f x dx

Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên ,a b

lim ( ) ( )t b

F t F a

Cho x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất của f(x) trên [a,b]

Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị.

4dx



Ví dụ Tính tích phân2 2

dx I

x

4

2 2

dx I

x

4

1/ 22

( 2)lim

2t t

d x

x

4

2lim 2 2

t t x

22 2 lim 2 2

t t

Theo định nghĩa

2 2

Theo công thức Newton – Leibnitz (gọn hơn)

4

2 2

dx I x

4

22 2 x 2 4 2 2 2 2 2

3dx



Ví dụ Tích phân0

1

dx I

x

3

0 1dx I

x

3

0ln | 1| x

Sai! vì có điểm kỳ dị x = 1 trong đoạn [0,3].

ln2 ln1 ln2

1 3

0 11 1

dx dx I x x

1

11

0

lim

1t

dx I

x

1

lim ln | 1|t

t

1 2 I I

Xét tích phân

Vậy tích phân phân kỳ.1 I

Suy ra tích phân đã cho phân kỳ

1d




0 (2 ) 1

dx I

x x

Đặt 1 x t 21 x t 2dx tdt

Đổi cận: 0 1 x t 1 0 x t

1

0 (2 ) 1

dx I

x x

0

21

2

1

tdt

t t

1

20

2

1

dt

t

1

02arctan I t 2 arctan1 arctan0

2




và khả tích trên ( ) 0, ( ) 0 x a f x g x ,a b

( ) ( ) f x g x ở lân cận của trái của .b Khi đó:

1) Nếu hội tụ, thì hội tụ.( )

b

a

g x dx ( )

b

a

f x dx

2) Nếu phân kỳ, thì phân kỳ.( )

b

a

f x dx ( )

b

a

g x dx


Trường hợp x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất.

Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị duy nhất.




và khả tích trên ( ) 0, ( ) 0 x a f x g x ,a b

( )lim

( ) x b

f x K

g x

Khi đó:

nếu hội tụ, thì hội tụ.( )

b

a g x dx ( )

b

a f x dx

và cùng HT hoặc cùng PK.( )

b

a

f x dx ( )

b

a

g x dx

Tiêu chuẩn so sánh 2. (x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất)

1) :0 K 2) :0höõu haïn, K

nếu hội tụ, thì hội tụ.( )

b

a

f x dx ( )

b

a

g x dx3) : K




q ( g )

111

phaân kyø, neáuhoäi tuï, neáu

b

a

dx x a

11

1

phaân kyø, neáu

hoäi tuï, neáu

b

a

dxb x

Chú ý: Kết luận ngược lại so với tích phân loại một!

2dx




1 1

dx I

x

Ta có

1

1/ 21 1( )

( 1)( 1) 2 1

x f x

x x x

Chọn 1/ 2

1

( ) 1 g x x

( ) 1

lim ( ) 2 x

f x

g x


Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.

2

1

( ) f x dx2

1

( ) g x dx


1

( ) g x dx 1

12

5 31 ln 1 x dx




0

ln 1

1 x

x dx I

e

5 33/50

2/5

ln 1 1( )

1 ( 0)

x

x

x x f x

xe x

hội tụ vì

11

2


3 3

20

2

9

x dx I

x

32( )

3 (3 )

x f x

x x

hội tụ vì

11

2

3

1/ 2

18

( 3)

x

x

Ví d Khả át hội t1 35 x x

I dx




tan I dx

x x

3 1/ 20

3 5/ 2

5 3

tan /3 ( 0)

x x x x

x x x x

phân kỳ vì5

1

2


4

0 2

dx I

x

1( )

2 f x

x

phân kỳ vì 1

4

1

4

( 4)

x

x

3 3tan ( )3

x x x x x x 3 3( )

3

x x

2

4

x

x

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ2

sin xdxI




0

I x

Ta có 2

2 2

sin 1( )

x g x

x x

Vì HT , nên I1 HT, suy ra I HT.1

( ) g x dx

1 2 2

1 22 2

0 1

sin sin xdx xdx I I I x x

I 1 không là tích phân suy rộng

mà là tích phân xác định nên HT

2

20

sinlim 1 x

x

x

I. Tính các tích phân sau

1



3

11)

( 1)( 2)dx

x x

2

12)

( 1)( 2)( 3)dx

x x x

23

(5 3)3)

( 2)(3 2 1)

xdx

x x x

2

32

( 1)4)

( 1)

xdx

x x

2 3

2

5)1 ( 1)

dx

x x

1 ln 2

2ln 2

3

1 2ln5 ln 2

4 3

11 1

ln 2 ln35 5

3 17ln2

16 128

16) dx

2 7

t 7



20

6)2

dx x x

21

37)( 1)

x dx x x x

2

60

8)

1

xdx

x

20

9)4 4 5

dx

x x

0

10) x x

dx

e e

arctan2

4

arctan 77

3 3ln32 18

6

4

111)

x xdx

2 2ln2



0 x xe e

21

112) (ln 1) dx x x

2

0

113)

cosh ( )

dx

x

2

0

14) x xe dx

61

15)( 3)

dx

x x

1

4

2 2ln2

2

1

ln 2

9

416)

1x

dx

ln 2



40

)1 xe

0

217)4 1

x

x dx

0

18)

1 x

dx

e

2 22

19)1

dx

x x

1

20)sinh

dx

x

1

1ln

1

e

e

4ln2

4

321) xe dx

2

1



1

)

222) lne

dx

x x

0

23)

2 x

xdx

1

24)(1 )

dx

x x

32

25)1

xdx

x

2

23e

1

2

1

ln 2

ln7 1 5arctan

6 23 3

226)

dx

2



2

20

26)

1 x x

2

0

27) cos3 xe xdx

2 328)

( 1)

dx

x x

2 20

29)(4 1) 1

dx

x x

2

221

1230)

1

xdx

x

3

9

2

3

3

13

4

3 3

13

4

31)dx

1



2

1

31)2 3 x

3/ 22

32)( 3)

dx

x

32

0

33) x x e dx

31

ln34)

xdx

x

5

1

135)

1dx

x

1

4

1

10

2 5

5

1

3

1

64

331 2

36) x x dx

625



5 30

36) x

1

21

37)(4 ) 1

dx

x x

42

2 22

38)

(1 ) 4

x dx

x x

2

1

39)1

dx

x x

2

21

40)1

dx

x x

2

187

15

5

5

3

3/ 1 xe

I. Tìm tất cả các giá trị để chuỗi hội tụ



1

11) ln 1 , 0

edx

0

arctan32)

(2 )

xdx

x

1

không tồn tại

21

1

3) 2 dx x x

1

4) x

xdx

e x

1

15)

2dx

x x

1

1 ln 16)

xdx

3

2



0

6)1

xdx

e

4 2 50

7)ln(1 )

dx x x x

3

7 51

( 1)

8) 1

x

dx x x

31

9)sin

dx

x x x

1

0

110)

cosh cos

xe x

dx x x

2

3 1

5 5

5

6

2

1

2

Documents

Giai Tich Tich Phan Suy Rong