Embed Size (px)
Citation preview
PHẦN 1: ĐẠI SỐGIÁO ÁN ÔN THI VÀO 10 -2009
DẠNG 1: BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN Bài 1
1) Đơn giản biểu thức : P = .
2) Cho biểu thức : Q =
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để > - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : Q = .
b) > - Q x > 1.
c) x = thì Q Z
Bài 2: Cho biểu thức P =
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = .
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : P = .
b) Với x = thì P = - 3 – 2 .
Bài 3: Cho biểu thức : A =
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để = A.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : A = .
b) Với x = thì A = - 1.
c) Với 0 x < 1 thì A < 0.
1
d) Với x > 1 thì = A.
Bài 4: Cho biểu thức : A =
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A > .
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a 9. Biểu thức rút gọn : A = .
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A > .
Bài 5: Cho biểu thức: A = .
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.2) Rút gọn A.3) Với x Z ? để A Z ?
Hướng dẫn :a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ 1.
b) Biểu thức rút gọn : A = với x ≠ 0 ; x ≠ 1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z .
Bài 6: Cho biểu thức: A = .
a) Rút gọn A.b) Tìm x để A < 0.c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = .
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.c) x = thì A Z.
Bài 7 : : Cho biểu thức: A =
a) Rút gọn biểu thức A.b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A =
b) Ta xét hai trường hợp :
2
+) A > 0 > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)
+) A < 2 < 2 2( ) > 2 > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Bài 8: : Cho biểu thức: P = (a 0; a 4)
a) Rút gọn P.b) Tính giá trị của P với a = 9.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a 4. Biểu thức rút gọn : P =
b) Ta thấy a = 9 ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Bài 9 : : Cho biểu thức: N =
1) Rút gọn biểu thức N.2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
Hướng dẫn :a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 – a .b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bài 10: : Cho biểu thức
a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của P khi c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn :
b) Ta thấy ĐKXĐ . Suy ra
c) Pmin= 4 khi x=4.( )
Bài 11: Cho A= với x>0 ,x 1
a. Rút gọn A.
b. Tính A với a = .
( KQ : A= 4a )
3
Bài 12: Cho A= với x 0 , x 9, x 4 .
a. Rút gọn A.b. x= ? Thì A < 1.c. Tìm để
(KQ : A= )
Bài 13: Cho A = với x 0 , x 1.
a. Rút gọn A.b. Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A =
d. CMR : A . (KQ: A = )
Bài 14: Cho A = với x 0 , x 1.
a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A = )
Bài 15: Cho A = với x 0 , x 1.
a . Rút gọn A.
b. CMR : ( KQ : A = )
DẠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT.Bài 1 : 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành.
Hướng dẫn :1) Gọi pt đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :
Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = 3x – 12) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng .
Bài 2 : Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
4
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy.
Hướng dẫn :1) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3 m – 2 < 0 m < 2.2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta được m = .
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt :
(x;y) = (1;1).Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần : (x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1) m =
Bài 3 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; - 4).3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hướng dẫn :1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 m = -1.Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta được : m = -3.Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
y0 = (m – 1)x0 + m + 3 (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).1) Viết phương trình đường thẳng AB.2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Hướng dẫn :1) Gọi pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :
Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
5
2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua
điểm C(0 ; 2) ta cần : m = 2.
Vậy m = 2 thì đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)
Bài 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy.3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = .
Hướng dẫn :1) m = 2.2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
y0 = (2m – 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định ( ).
Bài 6 : Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau :
y = ; y = và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
Bài 7 : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1).Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :1) Đi qua điểm A(1; 2003).2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0.
Dạng 3: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẦNHỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN .
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :1. Phương trình bậc nhất : ax + b = 0.Phương pháp giải :
+ Nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất : x = .
+ Nếu a = 0 và b ≠ 0 phương trình vô nghiệm.+ Nếu a = 0 và b = 0 phương trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :
Phương pháp giải :Sử dụng một trong các cách sau :
6
+) Phương pháp thế : Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phương trình thứ 2 ta được phương trình bậc nhất 1 ẩn.+) Phương pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.B. Ví dụ minh họa :Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau đây :
a) ĐS : ĐKXĐ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S = .
b) = 2
Giải : ĐKXĐ : ≠ 0. (*)
Khi đó : = 2 2x = - 3 x =
Với x = thay vào (* ) ta có ( )3 + + 1 ≠ 0
Vậy x = là nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình theo m : (m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1)+ Nếu m 2 thì (1) x = - (m + 2).+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm. Ví dụ 3 : Tìm m Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên . (2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.Giải :
Ta có : với m Z thì 2m – 3 0 , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) - .
để pt có nghiệm nguyên thì 4 2m – 3 .Giải ra ta được m = 2, m = 1.Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 7x + 4y = 23. Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23 y = = 6 – 2x +
Vì y Z x – 1 4.Giải ra ta được x = 1 và y = 4.
BÀI TẬP PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNBài 1 : Giải hệ phương trình:
a) b) c) d)
e) f)
7
Bài 2 : Cho hệ phương trình :
1) Giải hệ phương trình theo tham số m.2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn :
Bài 3 : Cho hệ phương trình:
1) Giải hệ phương trình khi thay m = -1.2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho hệ phương trình:
có nghiệm duy nhất là (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 5 : Cho hệ phương trình:
1) Giải hệ (1) khi a = 2.2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình
có nghiệm là .
Bài 7 : Cho hệ phương trình (a là tham số).
1) Giải hệ khi a = 1.2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2.
Bài 8 (trang 22): Cho hệ phương trình : (m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.b) Giải và biện luận pt theo m.
Bài 9 : (trang 24): Cho hệ phương trình : (m là tham số).
8
a) Giải hệ khi m = -1.b) Tìm giaù trò nguyeân cuûa m ñeå heä coù hai nghieäm nguyeân.c) Xaùc ñònh moïi heä coù nghieäm x > 0, y > 0.
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2, ĐỊNH LÝ VIÉT - PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
I/ Phương trình bậc 2
ĐN: Phương trình bậc 2 là phương rình có dạng: ax2 + bx + c = 0. (a 0)
Trong đó: a, b, c là các số thực, x là ẩn.
Cách giải:
Tính biệt thức = b2 - 4ac
Nếu < 0 phương trình vô nghiệm.
Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x = -b/2a.
Nếu > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Chú ý: Nếu b = 2b' thì có thể tính ' = b'2 - ac
Nếu ' < 0 phương trình vô nghiệm.
Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x = -b'/a.
Nếu ' > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
II/ Định lý Viét
Nếu phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt hoặc không thì ta có:
S = x1 + x2 = -b/a; P = x1x2 = c/a.
Chú ý:
Nếu phương trình bậc 2 có a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = c/a.
Nếu phương trình bậc 2 có a - b + c = 0 thì x1 =-1; x2 = -c/a.
III/ Bài tập
Bài 1
Cho phương trình: x2 - 4x + m + 1 = 0.
a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
c/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x2
2 = 10
d/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x2
3 = 34
Giải
9
a/ Khi m = 2 PT x2 - 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0 x1 = 1, x2 = 3.
b/ ' = 4 - m - 1 = 3 - m, phương trình có nghiệm 3 - m 0 m 3.
c/ Để phương trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m 3.
Khi đó: x12 + x2
2 = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 16 - 2(m + 1) = 10 m = 2
d/ Để phương trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m 3.
x13 + x2
3 = 34 (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34 4[16 -3(m + 1)] =34 m +1 =10 m = 9
Bài 2
Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm để phương trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia
c/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x2
2 10
d/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 sao cho P = x12 + x2
2 đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
a/ ' = m2 - 2m + 1 + m + 3 = m2 - m + 4 = (m- 1/2)2 + 15/4 > 0 với mọi m thì phương trình luôn
có nghiệm.
b/ x = 2 thay vào phương trình ta có: 5m = 5 m = 1. Khi đó phương trình có dạng: x2 - 4 = 0
x = 2 x = -2.
c/ x12 + x2
2 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 10 [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) 10
4m2 -8m + 4 + 2m + 6 10 4m2 - 6m 0 m(2m - 3) 0 m 3/2 m 0.
d/ P = x12 + x2
2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 =
(2m - 3/2)2 + 31/4 Pmin = 31/4 m = 3/4.
Bài 3
Cho phương trình: x2 - 2mx + 2m -1 = 0.
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x12 + 2x2
2 - 5x1x2 = 27.
c/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
d/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x22
Giải
a/ ' = m2 - 2m + 1 = (m + 1)2 0 với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
b/ 2x12 + 2x2
2 - 5x1x2 = 27 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27 2(x1 + x2)2 - 9x1x2 = 27 8m2 - 9(2m +
1) = 27 8m2 - 18m - 18 = 0 4m2 - 9m - 9 = 0
m = 3 m = -3/4.
10
c/ Giả sử phương trình có 2 nghiệm: x1 = 2x2 ta có:
x1 + x2 = 3x2 =2m x2 =2m/3 (1) và x1x2 = 2x22 = 2m - 1x2
2 = (2m - 1)/2 (2).
Từ (1) và (2) 4m2/9 = (2m - 1)/2 8m2 - 18m + 9 = 0 m = 3/4 m = 3/2
d/ Ta có: x = m + m + 1 = 2m + 1 x = m - m - 1 = -1
Nếu x1 = 2m + 1, x2 = -1 thì ta có: 2m + 1 = 1 m = 0
Nếu x1 = -1, x2 = 2m + 1 thì ta có: -1 = (2m + 1)2 vô lý. Vậy m = 0.
Bài 4
Cho phương trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0.
a/ Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép này
b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
d/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương
Giải
a/ Phương rình có nghiệm kép m 1 và ' = 0 m2 - 2m + 1 + m2 - m = 0
2m2 - 3m + 1 = 0 (m - 1)(2m - 1) = 0 m = 1 m = 1/2
Vậy m = 1/2 thì phương trình có nghiệm kép: x = 1.
b/ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
.
c/ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
.
d/ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương
11
Loại
Vậy không tồn tại m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương.
Bài 5
Cho phương trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm khi m thay đổi.
b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 < 6.
Giải
a/ = 4m2 - 12m + 9 - 4m2 + 12m = 9 > 0 phương trình luôn có 2 nghiệm.
b/ x1 = ; x2 =
Với mọi m ta luôn có: m - 3 < m 1 < m - 3 < m < 6 4 < m < 6.
Bài 6
Cho phương trình: 3x2 - mx + 2 = 0. Tìm m để pt có 2 nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 - 2.
Giải
ĐK:
Bài 7
Gọi a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0
c, d là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 1 = 0
a/ Chứng minh rằng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2
b/ Chứng minh rằng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 - p2
Giải
Theo định lý Viét ta có: .
a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2 - ad - ac + cd)(b2 - bc - bd + cd) =
12
[a2 - a(c + d) + cd][b2 - b(c + d) + cd] = (a2 + aq + 1)(b2 + bq + 1) =
a2b2 + a2bq + a2 +ab2q + abq2 + aq + b2 + bq + 1 =
1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2 - 2ab] + q2 + 1 =
2 + q(a + b) - pq + p2 - 2 + q2 + 1 = p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 = VP.
b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c 2][ab + d(a + b) + d2] = (1 + cp + c2)(1- dp + d2)
= 1- dp + d2 + cp - cdp2 + cd2p + c2 - c2dp + c2d2 =
= 1- dp + d2 + cp - p2 + dp + c2 - cp + 1 = (c + d)2 - 2cd - p2 + 2 = q2 - p2 = VP.
IV/ Phương trình bậc cao
Bài 8
Giải các phương trình sau:
a/ x3 - 2x2 - x + 2 = 0
b/ x4 - 3x3 + 6x2 + 3x + 1 = 0
c/ x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0
d/ (x2 - 3x + 1)(x2 - 3x + 2) = 2
e/ (x + 9)(x + 10) (x + 11) - 8x = 0
f/ (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2
Giải
a/ Nhẩm thấy x = 2 là nghiệm phân tích VT làm xuất hiện x - 2
x3- 2x2 - x + 2 = 0 x2(x- 2)- (x- 2) = 0 (x- 2)(x2 - 1) = 0 x = 0 x = 1.
Cách khác:
x3 - 2x2 - x + 2 = 0 x3 - 8 - (2x2 - 8) - (x - 2) = 0 (x - 2)(x2 + 2x + 4 - 2x - 4 - 1) (x - 2)(x2- 1) = 0
x = 0 x = 1.
b/ Do x = 0 không phải là nghiệm chia cả hai vế cho x2 0 ta có:
Đặt: , thay vào phương trình ta có:
t2 - 3t - 4 = 0 (t + 1)(t - 4) = 0 t = -1 t = 4.
Với : t = -1 .
13
Với : t = 4 .
c/ Do x = 0 không phải là nghiệm chia cả hai vế cho x2 0 ta có:
Đặt: , thay vào phương trình ta có:
t2 - 2t - 4 = 0 (không tìm được x)
Cách khác:
x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 (x4 - 2x2 + 1) + (2x3- 4x2 + 2x) = 0
(x2 - 1)2 + 2x(x - 1)2 = 0 (x - 1)2[(x + 1)2 + 2x] = 0
e/ Đặt t = x2 - 3x + 1 phương trình có dạng: t(t + 1) = 2 t2 + t - 2 = 0 t = 1 t = -2.
Với: t = 1 x2 - 3x = 0 x = 0 x = 3.
Với: t = -2 x2 - 3x + 3 = 0, VN
f/ Đặt: x+ 10 = t (t - 1) t (t + 1) - 8(t - 10) = 0 t3 - 9t + 80 = 0
(t + 5)(t2 - 5t + 16) = 0 t = -5 x = -15.
g/ Đặt: x + 4 = t (t - 2)2 + (t - 1)3 + t4 = 2
(t2 - 4t + 4) + (t3 - 3t2 + 3t - 1) + t4 = 2 (t2 -1)(t2 + t - 1 = 0 .
Bài 9
Cho phương trình: x3 - 2x2 + (m + 1)x - m = 0.
a/ Chứng minh rằng: phương trình luôn có nghiệm x = 1 với mọi m
b/ Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm
c/ Giải và biện luận phương trình theo m
Giải
a/ Thay x = 1 vào phương trình ta thấy luôn đúng x = 1 là nghiệm với mọi m
b/ Pt (x - 1)( x2 - x + m) = 0
Đặt: f(x) = x2 - x + m PT có đúng 2 nghiệm
14
TH1: f(x) = 0 có nghiệm kép x 1 .
TH2: f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm phải bằng 1
. Vậy: m = 0 m = 1/4.
c/ Xét PT x2 - x + m ta có: =1 - 4m.
Nếu < 0 1- 4m < 0 m > 1/4 PT có một nghiệm x = 1.
Nếu PT có hai nghiệm x = 1 x = 1/2.
Nếu PT có hai nghiệm x= 1 x = 0.
Nếu PT có 3 nghiệm x = 1 .
BTVN
Bài 1 Cho phương trình: 3x2 - 5x + m = 0.
a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x12 - x2
2 = 5/9
b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x13 + x2
3 = 72
Bài 2 Cho phương trình: x2 - 2mx + m + 2 = 0.
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: P =
theo m.
Bài 3 Giải các phương trình:
a/ x3 - 2x2 -11x +12 b/ (x + 1)(x + 3) (x + 5)(x + 7) + 15 = 0
c/ x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + 1 = 0 d/ x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 = 0 e/ 2x4 - x3 - 5x2 + x + 2 = 0
Hướng dẫn
Do x = 0 không phải là nghiệm chia cả hai vế cho x2 0 ta có:
Đặt: , thay vào phương trình ta có:
2t2 - t - 1 = 0 (t - 1)(2t +1) = 0 t = -1 t = -1/2.
15
Với : t = 1 .
Với : t = -1/2 .
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GTTĐ VÀ CĂN THỨC
I/ Giải phương trình chứa GTTĐ
*/ Dạng cơ bản.
A= B
A= B A2 = B2 A = B
*/ Dạng không cơ bản
- Dùng định nghĩa: A=
- Dùng các tính chất của giá trị tuyệt đối:
a = a a 0
a = -a a 0
a + b = a + b a.b 0
a + b = a + b a 0 và b 0
Bài 1
Giải các phương trình sau:
a/ x + 1= x(x + 1)
b/ 7 - 2x= 5 - 3x+ x + 2
c/ x2 - 1+ x2 - 4=3
d/ x2 - 5x + 5= -2x2 + 10x -11
Giải
a/ x + 1 = x(x + 1) x + 1 = x . x + 1 x + 1( x - 1) = 0
16
.
Cách khác:
x+1= x(x+ 1) x + 1= x2 + x
b/ 7 - 2x= 5 - 3x+ x + 27 5 - 3x+ x + 2= - 2x
5 - 3x+ x + 2= (5 - 3x) + (x + 2) , áp dụng: a + b = a + b ab 0
(5 - 3x)(x + 2) 0 -2 x 5/3.
c/ Đặt: t = x2 - 1 x2 - 4 = t - 3
x2 - 1+ x2 - 4 = 3 t + t - 3 =3 (*)
Nếu: t 3 (*) 2t = 6 t = 3 x2 = 4 x = 2
Nếu: 0 t < 3 (*) 3 = 3 PT có vô số nghiệm 0 t < 3 0 x2 -1 < 3
1 x2 < 4
Nếu: 0 < t (*) 2t = 0 t = 0 loại.
Vậy phương trình có nghiệm: .
d/ x2 - 5x + 5= -2x2 + 10x -11 / x2 - 5x + 5= -2(x2 - 5x + 5) -1
Đặt: t = x2 - 5x + 5 ta có: t = -2t -1
-1 = x2 - 5x + 5 x2 - 5x + 6 =0 x = 2 x = 3.
II/ Giải phương trình chứa căn thức
*/ Dạng cơ bản.
*/ Dạng không cơ bản
17
- Nâng luỹ thừa hai vế (hai vế cùng dấu, tốt nhất là không âm)
- Đa về hằng đẳng thức và đa ra ngoài căn rồi dùng tính chất của GTTĐ
- Đặt ẩn phụ hoặc đánh giá giá trị của hai vế
Bài 2
Giải các phương trình sau:
a/
b/
c/
d/
e/
f/
g/
Giải
a/
b/ ĐK:
c/ ĐK:
18
d/
áp dụng: ta có: (1 - x)(x + 2) 0 -2 x 1
e/
ĐK: x 1
áp dụng: ta có:
.
f/
ĐK: x 1
(*)
Nếu:
Nếu:
g/
19
ĐK: x 5/2.
áp dụng: ta có:
.
Vậy: 5/2 x 3
Bài 3
Giải các phương trình sau:
a/
b/
Giải
a/
ĐK: x2 + x 0 x 0 x -1
PT
Đặt: ta có: 3t2 - 2t - 1 = 0 t = 1 t = -1/3 (loại)
t = 1
b/ Do: đặt: PT
Với
20
Với
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 2.
Bài 4
Giải phương trình:
a/
b/
c/
d/
e/
f/
g/
Giải
a/ ĐK: x2 + x 0 x 0 x -1
Đặt PT 3t2 - 2t - 1 = 0 t = 1 t = -1/3 (loại)
b/ ĐK: 2x + 3 0 x -3/2
.
c/ ĐK:
21
.
d/ Do: 3x2 -12x + 16 = 3(x - 2)2 + 4 4
y2 - 4y + 13 =(y - 2)2 + 9 9
PT
e/
Mà: còn 5 - (x+1)2 5
nên ta có: (x+1)2 = 0 x = -1.
f/ Ta có:
x2 - 2x + 2 = (x- 1)2 + 1 > 0
x2 - 4x + 5 = (x- 2)2 + 1 > 0
PT x2- 2x + 2 = x2 - 4x + 5 x = 3/2.
g/ ĐK: 3/2 x 5/2
VP = 3 x2 - 12x + 14 = 3(x - 2)2 + 2 2, dấu bằng xảy ra x = 2.
VT2 =
, dấu bằng xảy ra 2x - 3 = 5 - 2x x = 2.
Vậy: Phương trình có nghiệm VT = VP = 2 x = 2.
Bài 5
Giải các bất phương trình sau:
a/ x - 4 < x2 + x + 1
b/
Giải
a/ Nếu: x 4 PT x - 4 < x2 + x + 1 x2 > - 5 BPT có vô số nghiệm
x 4(1)
22
Nếu: x < 4 PT 4 - x < x2 + x + 1 x2 + 2x - 3 > 0 x > 1 x < -3
x < -3 1 < x < 4 (2)
Từ (1) và (2) x < -3 x > 1.
b/ .
BTVN
Bài 1 Giải các phương trình: a/ x2 + 2x - 2 x + 1= 0 b/ x - 1 - x - 2 = 1
Bài 2Giải các phương trình sau:
a/ b/
c/ (x = 5, x = 6) d/
e/ f/
g/ h/
Hướng dẫn ĐK: -2 x 6
VP = x2 - 6x + 13 = (x - 3)2 + 4 4. dấu bằng xảy ra x = 3.
VT2 =
. Dấu bằng xảy ra .
Vậy: Phương trình vô nghiệm.
DẠNG 6:GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I/ Các bước để giải một bài toán bằng cách lập phương trình, Hệ phương trình
B1: Lập phưương trình.
- Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn
- Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn
- Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập phương trình hoặc hệ phương trình
B2: Giải phương trình hoặc giải hệ phương trình.
B3: Chọn kết quả thích hợp và trả lười.
Chú ý:
- Quảng đưường = vận tốc x Thời gian (toán chuyển động)
- Sản lượng = năng suất x Thời gian (toán năng suất)
23
- Ngoài cách chọn ẩn trực tiếp đôi khi ta cần chọn ẩn gián tiếp để được phương trình đươn giản
hươn.
II/ Bài tập.
*/ Toán chuyển động
Bài 1
Một ca nô xuôi dòng từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h, sau đó lại ngược từ
B đến A. Thời gian đi xuôi ít hươn Thời gian đi ngược 40 phút. Tính độ dài khúc sông
AB biết vận tốc dòng nước 3 km/h và vận tốc của ca nô không đổi.
Giải
Gọi độ dài khúc sông AB là s (km)
Thời gian ca nô xuôi dòng là: s/30 (giờ)
Thời gian ca nô ngưược dòng là: s/(30 - 6) (giờ)
Theo bài ra ta có phương trình:
Bài 2
Một ca nô dự định đi từ A đến B trong Thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3
km/h thì đến nơi sớm 2 giờ. Nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến nơi chậm 3 giờ. Tính
chiều dài khúc sông.
Giải
Gọi vận tốc dự định của ca nô là v (km/h) (v > 3), Thời gian dự định là t (giờ) (t > 2), thì chiều dài
khúc sông AB là v.t (km)
Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến nơi sớm 2 giờ ta có: (v + 3)(y - 2) = v.t
Nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến nơi chậm 3 giờ ta có: (v-3)(y+3) = v.t
Vậy ta có hệ phưương trình:
Vậy khúc sông AB dài 12.15 = 180 (km).
Bài 3
Một ca nô xuôi khúc sông dài 40 km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rỡi. Biết Thời
gian ca nô xuôi 5 km bằng Thời gian ca nô ngược 4 km. Tính vận tốc dòng nưước.
Giải
24
Gọi vận tốc của dòng nước là x (km.h) và vận tố của ca nô là y (km/h),(x >y >0)
Do ca nô xuôi khúc sông dài 40 km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rỡi ta có:
Do Thời gian ca nô xuôi 5 km bằng Thời gian ca nô ngược 4 km ta có:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trinh:
. Vậy: vận tốc dòng nước là y = 2 km/h.
Bài 4
Một ca nô xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18 km. Biết rằng Thời gian xuôi lâu hươn
Thời gian ngược là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hươn vận tốc ngược là 6 km/h. tính vận tốc
của ca nô lúc ngược dòng.
Giải
Gọi v (km/h) là vận tốc của ca nô lúc ngược dòng (v > 0) thì Thời gian xuôi dòng 45 km là 45/(v+6)
và Thời gian ngược dòng 18 km là 18/v. Theo bài ra ta có phương trình:
.
Vậy vận tốc ca nô lúc ngược dòng là: v = 12 hoặc v = 9.
Bài 5*
Một bè nứa trôi tự do và một ca nô cùng rười bến A để xuôi dòng sông. Ca nô xuôi dòng
được 96 km thì trở về A, cả đi lẫn về mất 14 giờ trên đường về khi còn cách A 24 km thì
ca nô gặp bè nứa trôi. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước.
Giải
Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h) và vận tốc của dòng nước là y (km/h) (x>y>0)
25
Do Ca nô xuôi dòng được 96 km thì trở về A, cả đi lẫn về mất 14 giờ nên ta có:
Do trên đường về khi còn cách A 24 km thì ca nô gặp bè nứa trôi nên ta có:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Từ (2)
Từ (1)
Thay (2') vào (1') ta được: 96y = 48y2 y = 2 x = 14
Vậy vân tốc riêng của ca nô là x = 14 và vận tốc của dòng nước là y = 2.
Bài 6*
Một chiếc tàu thuỷ xuôi từ bến A đến bến B hết 5 giờ và ngược từ bến B về bến A hết 7
giờ. Hỏi một chiếc bè được thả trôi theo dòng nước thì sẽ đi từ bến A đến bến B hết bao
lâu? Biết rằng ở lợt đi cũng nh ở lợt về, tàu thuỷ không dừng lại ở chỗ nào và vẫn giữ
nguyên vận tốc riêng của nó (vận tốc riêng là vận tốc khi nước yên lặng).
Giải
Gọi khoảng cách AB là s
Vận tốc tàu thuỷ khi xuôi dòng là: vx = s/5
Vận tốc tàu thuỷ khi ngược dòng là: vn = s/7
Ta có:
vx= vtàu + vnước, vn = vtàu - vnước vx- vn = 2vnước s/5 - s/7 = 2vnước vnước = s/35
Vậy: Một chiếc bè trôi từ A đến B hết 35 giờ.
Bài 7
Quảng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km và một đoạn xuống dốc dài 5 km.
26
Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc
lúc đi và về nh nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và về nh nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc
và lúc xuống dốc.
Giải
Gọi vận tốc lúc lên dốc là x (km/h), vận tốc lúc xuống dốc là y (km/h)
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
.
Vậy: vận tốc lúc lêndốc là x = 12 km/h, vận tốc lúc xuống xốclà y = 15 km/h.
Bài 8
Một người đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB.
Thời gian đi AB là 2 giờ, Thời gian về BA là 1 giờ 45 phút. Tính chiều dài quảng đường
AB? Biết rằng cứ lên dốc thì người đó đi với vận tốc 10 km/h và cứ xuống dốc thì người
đó đi với vận tốc 15 km/h.
Giải
Gọi quảng đường AB là s (km) ta có:
Bài 9
Một người đi xe đạp từ A đến B đường dài 78 km. Sau đó một giờ người thứ hai đi từ B
đến A. hai người gặp nhau tại C cách B là 36 km. Tính Thời gian mỗi người đã đi từ
lúc khởi hành đến lúc gặp nhau biết rằng vận tốc người thứ hai lớn hươn vận tốc người
thứ nhất là 4 km/h.
Giải
Gọi vận tốc người thứ nhất là v (km/h), (v > 0) thì vận tốc người thứ hai là v + 4.
Thời gian người thứ nhất đi là: 42/ v
Thời gian người thứ hai đi là: 36/(v+4)
27
Theo bài ra ta có phương trình:
Vậy: Thời gian người thứ nhất đi là: 42/ 14 = 3 giờ
Thời gian người thứ hai đi là: 36/ 18 = 2 giờ.
Bài 10
Hai đươn vị bộ đội ở hai địa điểm A và B cách nhau 39,5 km. Lúc 6 giờ đươnvị A đi về
phía B với vận tốc 6 km/h. Sau đó 2 giờ đươn vị B mới đi về phía A với vận tốc 5 km/h.
Hỏi hai đươn vị gặp nhau lúc mấy giờ.
Giải
Gọi quảng đường đươn vị thứ nhất đi được cho đến khi gặp nhau là s1
Gọi quảng đường đươn vị thứ hai đi được cho đến khi gặp nhau là s2
Thời gian đươn vị thứ nhất đi được cho đến khi gặp nhau là s1/6
Thời gian đươn vị thứ hai đi được cho đến khi gặp nhau là s2/5
Theo bài ra ta có phương trình:
.
Vậy: Thời gian đươn vị thứ nhất đi được cho đến khi gặp nhau là 27/6 = 4,5 giờ hai đội gặp
nhau lúc 10giờ 30 phút.
Bài 11*
Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một Thời gian, một xe con cũng
xuất phát từ A với vận tốc 40km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ôtô tải tại B.
Nhng sau khi đi được nửa quảng đường AB thì xe con tăng vận tốc lên thành 45 km/h.
nên sau đó 1 giờ thì đuổi kịp ô tô tải. Tính quảng đưường AB
Giải
Gọi quảng đường AB là s (km)
Thời gian ôtô tải đi bình thường là s/30 và Thời gian xe con đi bình thường là s/40
Xe con xuất phát sau ô tô tải một Thời gian là: .
Quảng đường mà xe con đi sau một giờ kể từ lúc tăng tốc gặp xe tải là 45 km
28
Như vậy Thời gian mà ôtô tải đã đi từ A cho đến khi gặp xe con là:
Thời gian đó đúng bằng Thời gian đi của xe con đã là: .
Vậy ta có phương trình:
Vậy: Quảng đường AB = 120 km.
Bài 12*
Hai đơn vị bộ đội cùng một lúc đi từ hai địa điểm A và B để gặp nhau. Đơn vị đi từ A
mỗi giờ đi được 4 km. Đơn vị đi từ B mỗi giờ đi được 5 km. Một người liên lạc đi xe đạp
với vân tốc 12 km/h lên đường cùng một lúc với các đơn vị bộ đội, bắt đầu từ A để gặp
đơn vị đi từ B. Khi gặp đơn vị này rồi, người liên lạc lập tức quay về gặp đơn vị đi từ A
và khi gặp đơn vị này rồi lại lập tứcquay về để gặp đơn vị đi từ B và cứnh thế cho đến
khi hai đơn vị gặp nhau. Biết rằng B dài 27 km. Tính quãng đường người liên lạc đã đi.
Giải
Ta có Thời gian mà người liên lạc chạy đi chạy lại đúng bằng Thời gian mà hai đươn vị bộ đội gặp
nhau. Gọi Thời gian đó là t (giờ).
Quảng đường mà đươnvị đi từ A đi được là: 4t
Quảng đường mà đươnvị đi từ B đi được là: 5t
Theo bài ra ta có: 4t + 5t = 27 t = 3.
Vậy: Quảng đường mà người liên lạc đã đi là: 12.3 = 36 km
*/ Toán vòi nước, toán năng suất ...
Bài 13
Người ta mở đồng Thời hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn. Sau 4 giờ bể đầy nước.
Hỏi nếu chảy một mình, để đầy bể mỗi vòi cần bao nhiêu Thời gian? Biết rằng lượng
nước chảy của vòi thứ nhất trong 2 giờ 20 phút bằng lượng nước chảy của vòi thứ hai
trong 1 giờ 45 phút.
Giải
Gọi t1 là Thời gian vòi một chảy một mình đầy bể 1giờ vòi một chảy được 1/t1 bể
Gọi t2 là Thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể 1giờ vòi hai chảy được 1/t2 bể
ta có: 4/t1 + 4/t2 = 1 (1)
29
Mặt khác:
Trong 2 giờ 20 phút = 7/3 giờ vòi một chảy được 7/3t1 bể
Trong 1 giờ 45 phút = 7/4 giờ vòi hai chảy được 7/4t2 bể
ta có: 7/3t1 = 7/4t2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy: Vòi một chảy một mình đầy bể phải mất 28/3 giờ
Vòi hai chảy một mình đầy bể phải mất 7 giờ.
Bài 14*
Người ta đặt một vòi nước chảy vào một bể nước và một vòi nước chảy ra lng chừng bể.
Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy
ra, mở vòi chảy vào thì sau 1giờ 30 phút đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi
chảy ra.
a/ Tính Thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra.
b/ Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao
nhiêu.
Giải
a/ Gọi t (giờ) là Thời gian vòi nước chảy vào từ khi bể cạn cho đến khi mức nước ngang chỗ đặt
vòi chảy ra.
Trong 1 giờ vòi chảy vào chảy được 1/1,5 = 2/3 bể
Trong 1 giờ vòi chảy ra chảy được 2/3 : 2 = 1/3 bể
Nếu mở cả hai vòi thì trong 1 giờ lượng nước chảy vào bể là: 2/3 - 1/3 = 1/3
Nhng trong t giờ đầu chỉ có vòi chảy vào làm việc nên lượng nước chảy vào bể là 2t/3 bể
Thời gian cả hai vòi làm việc là 2 giờ 42 phút - t giờ = (27/10 - t) giờ lượng nước chảy vào bể là
(27/10 - t)/3 bể
ta có phương trình: .
Vậy: Thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra là 0,3 giờ.
30
b/ Nếu chiều cao bể là 2m thì riêng vòi chảy vào làm việc trong 1,5 giờ thì mực nước cao 2 m
riêng vòi chảy vào làm việc trong 0,3 giờ thì mực nước cao 2.0,3/1,5 = 0,4 m
Vậy: khoảng cách từ chỗ đặt vòichảy ra đến đáy bể là 0,4 m.
Bài 15
Một phòng họp có một số dãy ghế, tổng cộng 40 chỗ. Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê
thêm một dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm một chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong
phòng?
Giải
Gọi số dãy ghế trong phòng lúc đầu là x (x nguyên dương) mỗi dãy có 40/x chỗ
Lúc sau có x + 1dãy mỗi dãy có 40/x + 1 ghế ta có phương trình:
vậy lúc đầu trong phòng có 4 dãy, mỗi dãy 10 chỗ hoặc có 10 dãy mỗi dãy 4 chỗ.
Bài 16
Một xí nghiệp dự định điều một số xe để chuyển 120 tạ hàng. Nếu mỗi xe chở thêm 1 tạ
so với dự định thì số xe giảm đi 4 chiếc. Tính số xe dự định điều động.
Giải
Gọi số xe dự định điều động là x ( x nguyên dương) mỗi xe chở 120/x tạ. Theo bài ra ta có ph-
ương trình:
Vậy số xe dự định điều động là 24 xe.
Bài 17
Có hai đội công nhân, mỗi đội phải sửa 10 km đường. Thời gian đôi 1 làm nhiều hươn
đội 2 là 1 ngày. Trong một ngày, mỗi đội làm được bao nhiêu km biết rằng cả hai đội
làm được 4,5 km trong một ngày.
Giải
Gọi quảng đường đội 1 làm trong một ngày là x (km), (0<x<4,5) thì quảng đường đội 2 làm trong
một ngày là 4,5 - x
Theo bài ra ta có phương trình:
(loại)
31
Vậy: Trong một ngày đội 1 làmđược 2 km, đội 2 làm được 2,5 km.
Bài 18
Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng. Nếu cả hai máy thì 10 ngày xong công
việc. Nhng thực tế hai máy chỉ cùng làm việc 7 ngày đầu, sau đó máy thứ nhất đi cày
nơi khác, máy thứ hai làm tiếp 9 ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi máy làm việc một mình thì
trong bao lâu cày xong cả cánh đồng.
Giải
Gọi x là số ngày máy 1 cày một mình xong cả cánh đồng
y là số ngày máy 2 cày một mình xong cả cánh đồng
Do cả hai máy cày thì 10 ngày xong việc nên ta có: 10/x + 10/y = 1 (1)
Nhng thực tế hai máy chỉ cùng làm việc 7 ngày đầu, sau đó máy thứ hai làm tiếp 9 ngày nữa thì
xong nên ta có: 7/x + 7/y + 9/y = 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có: x = 15, y = 30.
Bài 19
Một cửa hàng bán trứng trong một số ngày. Ngày thứ nhất cửa hàng bán 150 quả và 1/9
số còn lại, ngày thứ hai lại bán 200 quả và 1/9 số còn lại, ngày thứ ba bán 250 quả và 1/9
số còn lại ...
Cứ bán nh vậy cho đến hết thì số trứng mỗi ngày bán nh nhau. Hỏi số trứng có tát cả là
bao nhiêu?
Giải
Giả sử số trứng có tất cả là x quả ( x > 0)
Ngày thứ nhất bán: (1)
Ngày thứ hai bán: (2)
Do số trứng bán mỗi ngày nh nhau nên ta có:
Vây: Số trứngcó tất cả là 2400 và mỗi ngày bán được 400 quả.
BTVN
32
Bài 1
Một người đi xe máy từ A đến B vận tốc 40 km/h. Đi được 15 phút người đó gặp ôtô từ B đến với
vận tốc 50 km/h. Ôtô đến A nghỉ 15 phút rồi trở về B và gặp người đi xe máy cách B 20 km. Tính
quảng đường AB.
Hướng dẫn
Gọi C, D là nơi mà ôtô gặp người đi xe máy làn thứ 1 và lần thứ 2. Quảng đường CD là s (km).
ta có quảng đường AC dài 40.1/4 = 10 (km) Thời gian người đi xe máy đi từ C đến D là s/40.
Trong Thời gian đó ôtô đi từ C đến A rồi nghỉ 15 phút và đi đoạn AD với tổng Thời gian là
(10+10+s)/50 + 1/4
Vậy ta có phương trình:
Vậy: Quảng đường AB dài: 10 + 130 + 20 = 160.
Bài 2
Hai vòi nước chảy vào một bể thì bể sễ đầy trong 3 giờ 20 phút. Người ta cho vòi thứ nhất chảy 3
giờ, vòithứ hai chảy 2 giờ thì cả hai vòi chảy được 4/5 bể. Tính Thời gian mỗi vòi chảy một mình
đầy bể.
Hướng dẫn
Gọi t1 là Thời gian vòi một chảy một mình đầy bể 1giờ vòi một chảy được 1/t1 bể
Gọi t2 là Thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể 1giờ vòiâhi chảy được 1/t2 bể
ta có: 10/3t1 + 10/3t2 = 1 (1)
Mặt khác:
Trong 3 giờ vòi một chảy được 3/t1 bể
Trong 2 giờ vòi hai chảy được 2/t2 bể
ta có: 3/t1 + 2/t2 = 4/5 (2)
Từ (1) và (2) t1 = 5 giờ, t2 = 10 giờ.
Bài 3
Trong một lớp học nếu bố trí 4 em ngồi một ghế thì còn thiếu một ghế. Nếu bố trí 3 em ngồi một
ghế thì còn thừa 2 ghế. Tính sỉ số lớp và số ghế đang có trong lớp.
Hướng dẫn
Gọi sỉ số lớp là s s/4 + 1 s/3 - 2 s/3 - s/4 = 3 s = 36 số ghế = 10.
Bài 4
33
Một vườn hình chữ nhật có chu vi 450 m. Nếu giảm chiều dài đi 1/5 chiều dài cũ, tăng chiều rộng
thêm 1/4 chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của v-
ường.
Bài 5
Một sân hình chữ nhạt có diệ tích 720 m2. Nếu tăng chiều dài 6m, giảm chiều rộng 4m thì diện tích
không đổi. Tính các kích thước của sân.
DẠNG 7: BẤT ĐẲNG THỨC - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
A. Bất đẳng thức
I. Một số tính chất của bất đẳng thức
1/ a > b và b > c a > c (t/c bắc cầu)
2/ a > b a + c > b + c (t/c cộng vào hai vế cùng một số)
3/ a > b (t/c nhân hai bđt với một số âm, dương)
4/ a > b và c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều)
5/ (t/c nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều)
6/ a > b > 0 (n nguyên dương)
7/
8/
9/ Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì ta có:
*/ a > 0, b > 0, c > 0.
*/ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b
*/ Nếu a > b > c thì A > B > C
II. Bài tập
Bài 1
Cho 5 số a, b, c, d, e bất kỳ. CMR: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b + c + d + e)(1).
Giải (1) 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0
34
(a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2 0. (đpcm)
Bài 2
Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a2 + b2 1/2, b/ a3 + b3 1/4, c/ a4 + b4 1/8
Giải
a/ Từ (a - b)2 0 a2 + b2 2ab 2(a2 + b2) a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = 1.
Vậy a2 + b2 1/2.
b/ Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a2 - ab + b2
2(a3 + b3) = 2a2 - 2ab + 2b2 = (a - b)2 + a2 + b2 a2 + b2
mà a2 + b2 1/2 2(a3 + b3) 1/2 a3 + b3 1/4. (đpcm)
c/ Từ (a2 - b2)2 0 a4 + b4 2a2b2 2(a4 + b4) a4 + b4 + 2a2b2 = (a2 + b2)2
a4 + b4 (a2 + b2)2 (1).
Mặt khác: (a - b)2 0 a2+ b2 2ab 2(a2 + b2) a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = 1
a2 + b2 1/2 (a2 + b2)2 1/4 thay vào (1) ta có a4 + b4 .
Bài 3
Cho a,b > 0, và a + b = 1. Chứng minh rằng:
a/ ; b/
Giải
a/
1 4ab (a + b)2 4ab đúng (đpcm).
b/ 3(a + 1 + b +1) 4(a + 1)(b + 1) 9 4(ab + a + b + 1)
9 4ab + 8 1 4ab (a + b)2 4ab đúng (đpcm)
Bài 4
Cho a, b, c R+. Chứng minh rằng:
Giải
35
.
Mặt khác:
.
Vậy:
Bài 5
Cho a, b, c, d R+. CMR:
Giải
Bài 6
Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Giải
*/ CM: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 , nhân cả hai vế với 2 ta có:
2ab + 2bc + 2ca 2a2 + 2b2 + 2c2 (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 0, đúng (đpcm)
*/ CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca), Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên ta có:
a < b + c a2 < ab + ac
b < a + c b2 < ab + bc
36
c < a + b c2 < ac + bc
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
Vậy: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
Bài 7
Chứng minh rằng: với a > 0, b > 0.
Giải
.
III/ Bất đẳng thức Côsi (trung bình cộng lớn hươn hoặc bằng trung bình nhân)
*/ Với 2 số thực a, b không âm ta có:
, dấu bằng xảy ra a = b.
*/ Với 3 số thực a, b, c không âm ta có:
, dấu bằng xảy ra a = b = c.
*/ Với n số thực a1, a2, ... an không âm ta có:
, dấu bằng xảy ra a1 = a2 = ... = an .
IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
*/ với 4 số thực a, b, c, d ta có:
(ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2), dấu bằng xảy ra .
*/ Với 6 số thực a, b, c, d, e, f ta có:
(ab + cd + ef)2 (a2 + c2 + e2)(b2 + d2 + f2), dấu bằng xảy ra .
*/ với n cặp số thực a1, a2, ... an, b1, b2, ... bn ta có:
(a1b1 +a2b2 + ... + anbn)2 (a12 + a2
2 + ... + ann)(b1
2 + b22 + ... + bn
n).
Dấu bằng xảy ra .
Bài 8
Cho x, y, z là các số dương, Chứng minh rằng:
37
a/ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz.
b/ .
c/ .
Giải
a/ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz.
b/ mà .
c/ . (làm tương tự)
B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1
Tìm giá trị lớn nhất của: P =
Giải
Ta có:
P =
P lớn nhất lớn nhất, muốn vậy (x - 1)2 + 1 phải nhỏ nhất
mà (x - 1)2 + 1 1 (x - 1)2 + 1 nhỏ nhất bằng 1 x = 1. Khi đó P = 3
Vậy Pmax = 3 x = 1.
Bài 2
Cho x2 + y2 = 1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = x + y
Giải
38
Từ (x - y)2 0 x2 + y2 2xy 2(x2 + y2) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
Vậy 2 (x + y)2
Pmax= x = y = ; Pmin= - x = y = -
Bài 3
Cho x, y > 0 và x + y = 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =
Giải
P =
= . (thay x - 1 = - y, y - 1 = - x) ta có P
nhỏ nhất nhỏ nhất xy lớn nhất.
Mà xy = x(1 - x) = - x2 + x = -(x - 1/2)2 + 1/4 1/4 xy lớn nhất = 1/4 khi x = 1/2 y = 1/2
Vậy Pmin = khi x = y = 1/2.
Bài 4
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P =
Giải
P =
Do (x2 - 1)2 0 x4 + 1 2x2 P 2 Pmax= 2 x = 1.
Do 2x2 0, x4 + 1 1 P 1 Pmin = 1 x = 0.
Bài 5
Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của; P = , với x > 0.
39
Giải
Ta có:
P = .
Vậy Pmin = , dấu bằn xảy ra .
Bài 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =
Giải
Ta có:
P =
(1 + 2x) + (3 - 2x) = 4
áp dụng a + b = a + b ab 0. Vậy Pmin = 4 (1 + 2x)(3 - 2x) 0
-1/2 x 3/2.
BTVN
Bài 1
a/ Tìm giá trị lớn nhất của: P = 5 - 8x - x2.
b/ Tìm giá tị nhỏ nhất của: P = 4x2 - 4x + 11.
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = x - 5 + x- 10.
Hướng dẫn
Ta có: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x (x - 5) + (10 - x) = 5
áp dụng a + b = a + b ab 0. Vậy Pmin = 5 (x - 5)(10 - x) 0
5 x 10.
Bài 2 :Cho x, y R, Chứng minh rằng: x2 + y2 + 1 xy + x + y.
Bài 3
Cho a, b, c, d R+.
Chứng minh rằng : .
40
41
42
