Giriş

Aritmetik

Geometri

Formüller

Ünlü Geometriciler

Konular

Pisagor

Öklid Euler

DescartesPappus

Penrose

AnasayfaAritmetikGeometri

AnasayfaAritmetikGeometri

Altın Oran Pi Sayısı

Arı Peteklerinin Altıgen Olması

Topoloji Fraktal

Düzgün Çokyüzlüler Pick Teoremi

Pisagor Teoremi

Ünlü Aritmetikçiler

Popüler Aritmetik

Asal Sayılar Pascal Üçgeni

Dolu Tanesi Sayıları Altın Oran

Pi Sayısı Mükemmel Sayılar

Çokgen Sayılar Çarpma

Bölme Toplama

Çıkarma Tam Sayılar

Basamak Değeri Sayı Değeri

Doğal Sayılar Eratoshenes’in Kalburu

Fermat’ın Son Teoremiİrrasyonel Sayılar

Rasyonel Sayılar Reel Sayılar

Karmaşık Sayılar Smith Sayıları

AnasayfaAritmetikGeometri

Goldbach Sanısı Napier’in Kemikleri

FibonacciFermat

AnasayfaAritmetikGeometri

Gauss Napier

El Horezmi Eratoshones

Ömer Hayyam Platon

340 yılı sıralarında İskenderiye'de doğmuş olan Pappus, bu

okulun son büyük matematikçisidir. Almagest ve Elementler'e

şerhler yazmış, ancak bunlar günümüze kadar ulaşamamıştır.

Bugün büyük kısmı elimizde olan tek eseri ise Matematik

Kolleksiyonu adını taşımaktadır. Bu yapıt, dönemin geometri

bilginlerine en güç matematik çalışmalarının kısa bir analizini

vermek ve açıklayıcı teoremlerle bunların incelenmesini

kolaylaştırmak amacıyla yazılmış olmalıdır. Pappus bu kitapta,

Pythagoras teoreminin genelleştirilmesi, bir açının üçe bölünmesi,

spiral, konkoid, quadratrix, topolojik cisimler, involüt, mekanik,

otomatlar, su saatleri, hareketli küreler gibi birçok konuyu ele alıp

değerlendirmiştir. Matematik Kolleksiyonu, Aristaios, Eukleides,

Apollonios, Eratosthenes gibi kalburüstü Yunan matematikçilerinin

kayıp eserleri hakkında da zengin bilgiler vermektedir.

AnasayfaAritmetikGeometri

René Descartes (Röne Dekart okunur)

(Fransız matematikçi, bilimada31 Mart 1596-

11 Şubat 1650mı ve filozof. Batı düşüncesinin

son yüzyıllardaki en önemli düşünürlerinden

biri

AnasayfaAritmetikGeometri

Roger Penrose, İngiliz fizikçi, astrofizikçi,

kozmolog ve matematikçidir. Doğumu 8

Ağustos 1931, Colchester, Essex, İngiltere.

1970'lerde Roger Penrose, o güne kadar

imkansız olduğu düşünülen, "yüzeylerin beşli

simetri ile kaplanması“ nı mümkün kılan

ve Penrose Karoları olarak adlandırılan karo

kümelerini bulmuştur.

AnasayfaAritmetikGeometri

Emanuel Handmann' nin çizimiyle

Leonhard Euler

Doğumu

15 Nisan 1707

İsviçre / Basel

Ölümü

18 Eylül 1783

Rusya / St. Petersburg

Leonhard Euler (d. 15 Nisan 1707, Basel, İsviçre -

ö. 18 Eylül 1783, St.

Petersburg, Rusya), İsviçreli matematikçi ve fizikçi.

18. yüzyıl'ın ın en önemli ve tüm zamanların önde

gelen matematikçilerinden biri kabul edilmektedir. En

üretken matematikçilerden biri olarak çalışmalarının

bütünü 70 cildi aşmaktadır. Euler pek çok yeni

kavram geliştirmiş, basit aritmetikten sayılar teorisi ve

topolojiye kadar farklı alanlarda uzun süre kabul

gören birçok teorem ispatlamıştır. Bu çalışmaları

esnasında, günümüzde kullanılan modern matematik

terminolojisinin yaratıcısı olmuş fonksiyon kavramı ve

onun yazımını tanımlamıştır (yaptığı bu çalışma için

verilebilecek örneklerden bazıları trigonometrik

fonksiyonlar için

yaptığı sin, cos ve tan tanımlamalarıdır).

AnasayfaAritmetikGeometri

Eflatun temsili

Adı Eflatun veya

Platon

Doğumu M.Ö. 427

Ölümü M.Ö. 347

Okul/gelenek Eflatunculuk

İlgilendikleri retorik, sanat,

edebiyat, epist

emoloji,adalet

, erdem, politi

ka, eğitim, ail

e

,militarizm

Önemli katkı

ları

Platonik

realizm

Eflatun (d. M.Ö. 427 - ö. M.Ö. 347) çok önemli bir Antik Yunan filozofu. Hayatını

geçirdiği Atina’daki ünlü akademiyi kurdu. Asıl adıAristokles'di. Geniş omuzları ve atletik

yapısı nedeniyle, Yunanca Platon (geniş göğüslü) lakabı ile anıldı ve tanındı.

Yirmi yaşından itibaren ölümüne kadar yanından ayrılmadığı Sokrates’in öğrencisi

ve Aristoteles’in hocası olmuştur. Atina’da Akademi’nin kurucusudur. Eflatun’un felsefi

görüşlerinin üzerinde hala tartışılmaktadır. Eflatun, batı felsefesinin başlangıç noktası ve ilk

önemli filozofudur. Antik çağ yunan felsefesinde, Sokrates öncesi filozoflar (ilk filozoflar

veya doğa filozofları) daha ziyade materyalist (özdekçi) görüşler üretmişlerdir. Antik

felsefenin maddeci öğretisi, atomcu Demokritos ile en yüksek seviyeye erişmiş, buna

mukabil düşünceci (idealist) felsefe, Eflatun ile doruk noktasına ulaşmıştır. Eflatun bir

sanatçı ve özellikle edebiyatçı olarak yetiştirilmiş olmasından büyük ölçüde istifade etmiş,

kurguladığı düşünsel ürünleri, çok ustaca, ve şiirsel bir anlatımla süsleyerek, asırlar boyu

insanları etkilemeyi başarmıştır.

Modern filozoflardan Alfred North Whitehead’e göre Eflatun’dan sonraki bütün batı felsefesi

onun eserine düşülmüş dipnotlardan başka bir şey değildir.

Görüşleri İslam ve Hristiyan felsefesine derin etkide bulunmuştur.

Eflatun, eserlerini diyaloglar biçiminde yazmıştır. Diyaloglardaki baş aktör

çoğunlukla Sokrates’tir. Sokrates insanlarla görüşlerini tartışır ve onların görüşlerindeki

tutarsızlıkları ortaya koyar. Eflatun çoğunlukla görüşlerini Sokrates’in ağzından

açıklamıştır.

Eflatun, algıladığımız dış dünyanın esas gerçek olan idealar ya da formlar dünyasının

kusurlu kopyaları olduğunu, gerçeğe ancak düşünce ve tahayyül yoluyla ulaşılabileceğini

savunmuş, insan ruhunun ölümden sonra beden dışında kalıcı olan idealar dünyasına

ulaşacağını söylemiştir. Görüşleri ortaçağda İslam filozofları tarafından korunmuş ve İslam

düşünce dünyasındaki Yeni Eflatunculuk akımına neden olmuştur. Rönesans sonrasında

Batı Avrupa'da Antik Yunancadan çevirileri yapılmıştır.

AnasayfaAritmetikGeometri

Pisagor büstü (Musei

Capitolini, Roma)

Adı Sisamlı Pisagor

Doğumu M.Ö. 580 – M.Ö.

572

Sisam

Ölümü M.Ö. 500 – M.Ö.

490

Metapontum

Okul/gelenek Pisagorculuk

İlgilendikleri metafizik, müzik,

matematik, etik,p

olitika

Önemli katkıları musica

universalis, altın

oran,Pisagor

teoremi, Pisagor

akordu

Pisagor ya da Pythagoras (Yunancada: Πσθαγόρας)

, M.Ö. 580 - M.Ö. 500 tarihleri arasında yaşamış olan

İyonlu filozof, matematikçi ve Pisagorculuk olarak

bilinen akımın kurucusu.

En iyi bilinen önermesi; adıyla anılan Pisagor

önermesidir. "Sayıların babası" olarak bilinir. Pisagor

ve öğrencileri her şeyin matematikle ilgili olduğuna;

sayıların nihai gerçek olduğuna; matematik aracılığıyla

her şeyin tahmin edilebileceğine ve ölçülebileceğine

inanmışlardır.

Kendisini filozof (υιλο-σουος), yani bilgeliğin dostu

olarak adlandıran ilk kişiydi. Pisagor düşüncelerini

yazıyla yaymadığı için onun hakkında bildiklerimiz

öğrencilerinin yazılarında anlattıklarıyla sınırlıdır.

Pisagor'a atfedilen birçok eser gerçekte onun

öğrencilerinin olabilir.

AnasayfaAritmetikGeometri

Doğum M.Ö 330

İskenderiye, Mı

sır

Ölüm M.Ö 275

Milliyeti Yunan

Dalı Matematik

Önemli başarıl

arı

Öklid

bağıntıları

(ögeleri)

Öklid geçmiş matematikçilerin içinde adı geometri ile en çok özleştirilen

kişidir. Geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yeri kendisinin büyük

bir matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi

zamanına kadar bilinen ismi ile Öğeler adını taşıyan kitabında

toplamıştır. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için,

kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koyar.

Diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan çıkarır.

Öklid geometrisi 19. yüzyılın başına kadar rakipsiz kaldı. Hatta 20.

yüzyılın ortalarına kadar bile orta öğretimde geometri, Öklid'in öğelerine

bağlı olarak okutuldu.

Öklid'in yaşamı konusunda hemen,hemen hiçbir şey bilinmiyor. Önceleri

bir Yunan kenti olan Megara'da doğduğu sanıldıysa da, sonradan

Megaralı Öklid'in, Öğeler'in yazarı İskenderiyeli Öklid'den yüzyıl kadar

yaşamış olan bir felsefeci olduğu ortaya çıkmıştır.

Öklid üzerinde çalıştığı proje hakkında diyor ki: "bir doğru istenildiği

kadar uzatabilir." ve "İki noktadan bir ve yanlız bir doğru gecer."

AnasayfaAritmetikGeometri

Alman kökenli matematikçi ve bilim adamı.

Katkıda bulunduğu alanlardan bazıları;

sayılar kuramı, analiz, diferansiyel geometri,

jeodezi, manyetizma, astronomi ve optiktir.

"Matematikçilerin prensi" ve "antik

çağlardan beri yaşamış en büyük

matematikçi" olarak da bilinen

Gauss,[matematiğin ve bilimin pek çok

alanına etkisini bırakmıştır ve tarihin en

nüfuzlu matematikçilerinden biri olarak

kabul edilir.

Gauss'un çocukluk yıllarından beri dahi

olduğunu gösteren pek çok hikâye vardır,

nitekim pek çok matematiksel keşfini henüz

20 yaşına gelmeden yapmıştır. Sayılar

kuramının önemli sonuçlarını derleyip kendi

katkılarını da ekleyerek yazdığı büyük eseri

Disquisitiones Arithmeticae'yi 21 yaşında

(1798) bitirmişse de, eser ilk olarak 1801'de

basılmıştır.

AnasayfaAritmetikGeometri

John Napier veya latinceleştirildi Neper, Merchiston-Edinburgh'da 1550 yılında doğdu, 3

Nisan 1617 in Merchiston Castle'de öldü. Merchiston Baronu ve İskoçya'lı bir

matematikçi olan Napier, logaritmanın bulucusu olarak bilinir.

Napier, Saint Andrews Üniversitesinde eğitim görmüş ve matematiği de içinden gelen bir

merak olarak izlemiştir. Kendisi, amatör bir matematikçidir. Sayısal hesaplamaları

kolaylaştıracak bir yol ararken, önce Napier cetvelleri diye bilinen, üzerinde rakamlar

yazılmış küçük değnekler yardımıyla yapılan bir çarpma veya bölme yöntemi buldu. 1, 2,

3,... şeklindeki aritmetik dizi ile, buna karşılık gelen 10, 100, 1000,... biçimindeki

geometrik dizi arasındaki, ilişkiyi gördü. 1614 yılında yazdığı "Logaritma Kurallarının

Tanımı" adlı eserinde, aritmetik dizi ile geometrik dizinin karşılaştırılmasından,

matematiğe logaritma kavramını getirdi. Günümüzdekilerden farklı olarak kurulan bu

diziler, logaritmayı, sayısının azalan bir fonksiyonu olarak tanımlıyordu. Buradaki

aritmetik dizi, geometrik dizinin logaritmasıdır.

Oxford Üniversitesi matematik profesörü Henri Briggs, Napier'in bu buluşunu benimsedi

ve adi log cetvelinin hazırlanmasıyla ilgili düşüncelerini Napier'e açıklamak için

Edinburgh'a gitti. Napier, 1618 ve 1624 yılları arasında kusursuz iki logaritma cetveli

yayınladı. Bu eser onun tam yirmi yıllık bir çalışmasının ürünüdür. Napier'in bu konuda

çok sayıda eseri vardır. Bazı hesap makinelerinin temellerini veren iki kitabı, 1617

yılında yayınlandı

AnasayfaAritmetikGeometri

Eratosthenes (Eratosten) (Yunanca Ἐρατοσθένης) (M.Ö. 276 -

M.Ö. 194 ) Yunanlı matematikçi , coğrafyacı ve astronom.

Eratosthenes, Cyrene'de (günümüz Libya'sı) doğmuştur, ama

ölene kadar tüm yaşamı Ptolemaios soyunun hüküm sürdüğü

Mısır'ın başkenti Alexandria'da (İskenderiye) geçmiştir. Hiç

evlenmemiştir.

Eratosthenes Alexandria'da ve bir müddet Atina'da öğrenim

görmüştür. İ.Ö.236'da Ptolemaios III Euergetes I tarafından

Alexandria Kütüphanesi'ine, o koltuktaki ilk kütüphaneci

Zenodotos'un ardından, kütüphaneci olarak atanmıştır. Matematik

ve doğal bilimlere katkılarda bulunmuştur. İ.Ö.195 de kör olmuştur

ve bir yıl sonra kasıtlı olarak kendini aç bırakarak ölmüştür.

Meridyen yayının uzunluğunu ve ondan yararlanarak Dünya’nın

çevre uzunluğunu Ekvator'u hesaplamış, çalışmalarını

Geopraphika adlı eserinde toplamıştır. Dünya üzerindeki yerleşik

alanların sınırlarını, hazırladığı bir haritada da gösteren

matematik coğrafyacıdır.

AnasayfaAritmetikGeometri

Pierre de Fermat (piyer dö ferma okunur) (d.

1601, Beaumont-de-Lomagne – ö. 12 Ocak

1665, Castres), Bask kökenli Fransız hukukçu ve

matematikçi. İlk öğrenimini doğduğu şehirde

yapmıştır. Yargıç olmak için çalışmalarına

Toulouse’de devam etmiştir. Fermat,

memurluğunun yoğun işlerinden geriye kalan

zamanlarında matematikle uğraşmıştır. Arşimet'in

eğildiği diferansiyel hesaba geometrik görünümle

yaklaşmıştır. Sayılar teorisinde önemli sonuçlar

bulmuş, olasılık ve analitik geometriye de

katkılarda bulunmuştur.

AnasayfaAritmetikGeometri

Leonardo Fibonacci, (Pisalı Leonardo,

Leonardo Pisano d. 1170, ö. 1250), yaygın olarak

ismiyle Fibonacci diye anılan, orta çağın en

yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan

matematikçi.

Fibonacci modern çağda en fazla Hint-Arap

Sayılarını Avrupa'ya getirmesiyle ve 13. yüzyıl

başlarında yayınlanan Liber Abaci isimli hesaplama

yöntemleri kitabıyla tanınır. Liber Abaci'de bir örnek

olarak yer alan modern sayılarla hesaplanmış kendi

adıyla anılan sayı dizisi Fibonacci Dizisi olarak

anılmaktadır. Sadece Fibonacci dizisi ve özellikleri

ile ilgili kitaplar hatta haftalık düzenli yayınlanan

matematik dergileri bile bulunmaktadır

AnasayfaAritmetikGeometri

Ebu Abdullah Muhammed bin Musa el-

Harezmi (Arapça:

Abū Abdullāh Muhammad ibn

Mūsā al-Khwārizmī), matematik, gökbilim

ve coğrafya alanlarında çalışmış ünlü bir

Fars bilgindir. 780 yılında Harzem

bölgesinin Hive şehrinde dünyaya

gelmiştir. 850 yılında Bağdat'ta vefat

etmiştir.

AnasayfaAritmetikGeometri

Hayyam Nişabur'ludur. Yaşadığı dönemin ünlü veziri Nizamül-Mülk ve Hasan Sabbah ile aynı

medresede zamanın ünlü alimi Muvaffakeddin Abdüllatif ibn el Lübad'tan eğitim görmüş ve hayatı

boyunca her ikisi ile de ilişkisini koparmamıştır. Bazı kaynaklar; Hasan Sabbah'ın Rey kentinden

olduğu Nizamül-Mülk'ünde yaşca Ömer Hayyam ve Hasan Sabbah'tan büyük olduğunu ve buna

dayanarak aynı medresede eğitim görmediklerini belirtmektedir . Ama yine de Ömer Hayyam,

Hasan Sabbah ve Nizamül-Mülk'ün ilişki içinde olduklarını inkar etmemektedir. (Kaynak:

Semerkant-Amin Maalouf)

Birçok bilim adamınca Batıni, Mutezile anlayışlarına dâhil görülür. Evreni anlamak için, içinde

yetiştiği İslam kültüründeki hakim anlayıştan ayrılmış, kendi içinde yaptığı akıl yürütmeleri eşine az

rastlanır bir edebi başarı ile dörtlükler halinde dışa aktarmıştır.

Çadırcı anlamına gelen "Hayyam" takma adını babasının çadırcılık yapmasından almıştır. Ayrıca

İstanbul'un Beyoğlu ilçesinde bir semte adını da vermiştir. Tarlabaşı bulvarında Sakızağacı

ışıklardan başlayıp, Tepebaşına kadar inen caddenin adıdır.

Hayyam aynı zamanda çok iyi bir matematikçiydi Binom Açılımını ilk kullanan bilim adamıdır.

Hayyam, genelde şiirlerindeki eğlence düşkünlüğünün belirgin olmasından dolayı Rubâileri ile

ünlenmiştir.

Geçmişte yaşamış birçok ünlünün aksine Ömer Hayyam'ın doğum tarihi günü gününe bilinmektedir.

Bunun sebebi Ömer Hayyam'ın birçok konuda olduğu gibi takvim konusunda uzman olması ve

kendi doğum tarihini araştırıp gün be gün doğru bulmasına dayanmaktadır.

Ömer Hayyam -2

AnasayfaAritmetikGeometri

Rubailerinde, dünya, varoluş, Allah, devlet ve toplumsal örgütlenme biçimleri gibi hayata ve

insana ilişkin konularda özgürce ve sınır tanımaz bir şekilde akıl yürüttüğü görülmektedir. Akıl

yürütürken ne içinde yaşadığı toplumun ne de daha öncesi zamanlarda yaşayan toplumların

kabul ettiği hiçbir kurala/tabuya bağlı kalmamış, kendinden önce yaşayanların insan aklına

koymuş olduğu sınırları kabullenmemiş, bir anlamda dünyayı, insanı, varoluşu kendi aklıyla

baştan tanımlamış; bu nedenle de çağını aşarak "evrenselliğe" ulaşmıştır. Ancak unutmamak

gerekir ki Hayyam'ın yaşadığı dönem, kendisi gibi çağları aşan ve tarihin gördüğü en büyük

düşünürlerden birini yaratacak sosyo-kültürel altyapıya sahipti. Kendi tarihinin belkide en

aydınlık dönemlerini yaşayan İslam dünyasında felsefenin hakettiği ilgiyi gördüğü, Selçuklu

saraylarında ise sentez bir Ortadoğu kültürü (Türk-Hint-Arap-Çin-Bizans) oluşmaya başladığı

bir dönemde yaşayan düşünür, böylece nispeten yansız ve bilimsel bir öğrenim görmüş,

müslüman fakat felsefeyi günah saymayan bir toplum içinde özgürce felsefe ile

ilgilenebilmiştir. Hayyam, aynı zamanda dünya bilim tarihi için de önemli bir yerdedir.

Dünyanın ilk rasathanesini kurmuştur. Günümüzde kullanılan Miladi ve Hicri Takvimlerden çok

daha hassas olan Celali Takvimi'ni hazırlamıştır. Okullarda Pascal Üçgeni olarak öğretilen

matematik kavramı aslında Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur. Matematik, astroloji

konularında dünyanın önde gelen en büyük bilim adamlarındandır. Birçok bilimsel çalışması

olduğu bilinmektedir.

AnasayfaAritmetikGeometri

Matematiğin ana dallarından biri olan Topoloji, Yunanca'da

yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos

sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani

19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade

eden Latince analysis situs (konumun analizi) deyimi kullanılıyordu.

Topoloji sözcüğü bir topolojik uzayı tanımlamak için inşa edilen ve belli

koşulları sağlayan kümeler ailesi için de kullanılır. Aşağıdaki matematiksel

tanımda bu koşullar sıralanmıştır. Topolojik yapı, geometri bağlamında bir

kümenin üzerine konabilecek en basit yapı olarak görülebilir. Başka bir

deyişle, topoloji, geometri yapmak için atılan ilk adımdır.

Topoloji için:

1)MOBİUS ŞERİDİ, KLEİN ŞİŞESİ

AnasayfaAritmetikGeometri

Felix Klein'ın isim babalığı yaptığı bir ilginç yüzeyle tanışmak üzeresiniz. Klein şişesinin ilginç özelliklerinden biri

bir yüzey (dolayısıyla iki boyutlu) olmasına rağmen bulunduğumuz üç boyutlu uzayda bir makedi yapılamaz, bu

nedenle resmini de çizemeyiz! Fakat sizin

insafınıza sığınarak aşağıdaki şekli sunalım:

Resimde ucu tekrar içine bükülen ve zeminiyle birleşen bir şişe görülüyor. Klein şişesi ise bir manifold olduğundan

(yani üzerinde yürüyen görüşü kısıtlı bir böceğin düzlem sanacağı uzaylar) kendi kendini kesmemelidir, bu

nedenle dört boyutlu uzayda gerçek bir Klein şişesi oluşturulabilir: nasıl düzlemde kesişen iki doğru varsa biri

üçüncü boyutta ötelenerek kesişimden kurtulabilirsek, bu durumda da kesişim bölgesindeki noktaların bir

komşuluğu dördüncü boyutta uzaklaştırılır.

En kolayı yüzeyi şekildeki gibi düşünüp yüzey üzerinde yürüyen bir böcek kesişim bölgesine vardığında kesişimi

görmeden (bir hayalet gibi) yürüyüşünde bir değişim olmadan geçsin. Bu düşünce tarzı ile Klein şişesinin tek yüzlü

olduğu rahatça söylenir: bir yüzünden boyamaya başladığımızda öteki yüze geçmeden (!) boyamaya çalışırsak

boyanmamış yerin kalmadığı görülür, bu ise Klein şişesinin bir Möbius şeridi içermesinden kaynaklanır.

Bir kare alıp karşılıklı kenarlarını oklar yönünde yapıştıralım. Bu takdirde elde edeceğimiz Klein şişesidir! Bu

işleme topolojide bir uzayın bölüm uzayını oluşturma denir, uzayın bazı noktalarını aynı kabul etmek demektir.

Yüksek boyutlu uzaylarda düşünmek yerine düzlemsel bir şekil olan bu kare üzerinde düşünelim,

o halde Klein şişesi üzerindeki bir noktanın komşuluğu şekildeki kırmızı daire olarak ifade edilebilir, Klein şişesi

üzerindeki bir yol ise bu kare içinde, sınırların yapıştırıldığı göz önünde bulundurularak, şekilde örneklenmiştir.

Bu gösterilimin geliştirilmesi ile, Klein şişesini kesmek de daha da kolaylaştı! Örneğin bir köşegen boyunca

kesersek ne elde ederiz?

AnasayfaAritmetikGeometri

Geometrik olarak, uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece büküp diğer ucu ile

birleştirirsek elde edilen şeride Möbius şeridi denir. İlk olarak 1861'de Johann Benedict

Listing tarafından tanımlanmıştır, dört yıl sonra ise Möbius yayınladığı bir çalışmasında

tanımını vermiş, şeridin tek yüzlü olduğunu, yönlendirilememesi ile açıklamıştır.

AnasayfaAritmetikGeometri

Pisagor teoremine göre bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.

Bunun ispatı şuna dayanmaktadır:

c2 = a2 + b2 c uzunluğu hipotenüstür. a ve b uzunlukları ise dik kenarlardır. Her kenardan birer kare oluşturulur. Bu

karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak a2,b2,c2 şeklinde sıralanır. Böylece üç karenin köşelerinin

birleşiminden oluşan bir dik üçgen oluşturulur. Oluşan üçgenin dik köşesinden hipotenüsün oluşturduğu karenin,

hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde öklid bağıntısı kurulur. (öklid bağıntısı benzerlikten

ispatlanabilmektedir.) Öklide göre

a2 = p(p + q)

yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalardan kendisine komşu olan

tarafın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir. Bu durumda

a2 = p.c

olacaktır. Yani a kenarına ait karenin alanı, hipotenüse ait alanın dik açıdan indirilen dikmeyle ikiye ayırdığı alanlardan

kendisine komşu olan alana eşit olacaktır. Bu durumu diğer kenar için de düşünürüz.

a2 = p.(p + q)b2 = q.(p + q)

p + q = c

a2 = p.c,b2 = q.c olacaktır. Bunu takiben,

a2 + b2 = p.c + q.c

a2 + b2 = c.(p + q)

p + q = c

a2 + b2 = c.c

a2 + b2 = c2

olacaktır.Matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid Geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski

matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan İÖ 6. YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen

isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler.

Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir.

AnasayfaAritmetikGeometri

Pi sayısı (π), bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde

edilen matematik sabiti. Pi sayısı

ismini, Yunanca περίμετρον yani "çevre" sözcüğünün ilk harfi

olan π harfinden alır. Bu harf Latin Alfabesi'nde Pİ ile

sembolize edilir. Ayrıca pi

sayısı Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.

Günlük kullanımda basitçe 3.1416 olarak ifade edilmesine

rağmen gerçek değerini ifade etmek için periyodik olarak

tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamağa ihtiyaç vardır. İlk 65

basamağa kadar ondalık açılımı şöyledir:

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399

37510 58209 74944 5923

AnasayfaAritmetikGeometri

Uygulama:Elimize düz bir tahta parçası alıyoruz, 30cm x 30cm 'lik mesela.Üzerine 2cm aralıklarla çivi çakıyoruz, 10 x 10 'luk 100 çivilik bir tahtamız var.Elimize aldığımız bir iple yada lastikle istediğimiz çokgeni oluşturup alanını aşağıdaki formülle buluyoruz;

Bilim standlarınızın vazgeçilmez üyesi olmaya

aday, orijinal adı "Pick Teoremi" (George Pick tarafından 1899'da keşfedilmiş) olan "çivilerle alan hesabı" aslında yeni keşfedilmiş bir şey değil.1899 yılından beri kendisi önemli bir teorem olarak matematik dokümanlarının arasında yerini almakta. Peki, bu teorem ne işe yarar? Nasıl uygulanır?... Gibi soruların cevabı aşağıdaki satırlarda gizli.

Alan = I + B/2 - 1öyle ki

I = çokgenin içindeki çivi sayısıB = çokgenin sınırlarındaki çivi sayısı

Mesela şekildeki çokgenin alanı;31 + 15 /2 - 1 = 37,5

AnasayfaAritmetikGeometri

Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına

gelen Lâtince fractuuss kelimesinden gelmiştir. İlk

olarak 1975'de Polonya asıllı matematikçi Benoit

Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Kendi kendini

tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer

bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin

bütününü inceler. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek

küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza

kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası

büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır.

Doğada görülebilsen bir örnek olarak bazı bitkilerin yapısı

verilebilir

AnasayfaAritmetikGeometri

ÇOK YÜZLÜ, bütün yüzleri düzlem çokgenlerle sınırlanmış geometrik cisim. Herhangi bir yüzünden geçen düzlem çok yüzlüyü keserse içbükey, kesmezse dışbükey çok yüzlü adını alır. Her doğru, dışbükey birçok yüzlüyü en çok iki noktada keser. Uygulamada düzgün çok yüzlüler önem taşır. Dört, altı, sekiz, on iki ve yirmi yüzlü olmak üzere ancak beş tane düzgün çok yüzlü olabileceği kanıtlanmıştır.

ÇOK YÜZLÜLER

AnasayfaAritmetikGeometri

a) kapasitesi en büyük

b) en az yer kaplayacak

c) yapimi(dolayısıyla dna'ya kodlanmasi en kolay)

d) en sağlam

petek şekli hangisidir? şeklinde sorabiliriz. şimdi bir bir incelersek..

ilk olarak bir düzlemi kendi kendini tekrar ederek kaplayan kaç şekil olduğunu bulmamız gerekir. n kenarlı bir çokgende bir iç açının ölçüsü [(n-

2)*180]/n formülü ile bulunur. bizim istediğimiz şekil hiç boşluk bırakmayacak şekilde birleşmelidir. şekil x kenarlıdır diyelim.. bunlardan kaç

tanesinin bir köşesinin iç açısı toplamı 360 yapardı diye düşünürsek [(n-2)*180*x]/n=360 yazabiliriz. sadelestirme, vırt, zırt..

(n-2)*x=2n --> nx-2x-2n=0 --> nx-2x-2n+4-4=0 --> (n-2)(x-2)=4 olur.. sadece pozitif tamsayılari kenar sayısı olarak alabileceğimizden..

n=6 ve x=3 olabilir yani 3 tane düzgün altıgen (bkz: petek)

n=6 ve x=6 olabilir yani 6 tane eşkenar üçgen.

n=4 ve x=4 olabilir yani 4 tane kare.

bu bölüm bilare isoperimetric problem başlığı yazılırsa daha anlamlı olacaktır..

bizim kodlayacağımız arıların petekleri en az malzeme kullanarak yapmaları lazımdır, yoksa bir tanri olarak bize hiç mi hiç yakışmaz. sonra

"optimize olmayan arı yapan tanri" diye adımız çıkar.. işte bu zorunluluk yüzünden arıların yaptıkları petekler maksimum bal alacak alana sahip

olmalıdır.

arı petekleri cevresi p olan bir kare olsaydı :

(p/4)^2= yani 0,0625*p^2

arı petekleri cevresi p olan bir eşkenar üçgen olsaydı :

[(p^2)*kok3]/36 yani 0,0481*p^2

arı petekleri cevresi p olan bir düzgün altıgen olsaydı :

[(p^2)*kok3]/24 yani 0,0721*p^2

sonuç olarak aynı çevreye sahip olmak koşulu ile bir yüzeyi kendini tekrar ederek kaplayan en fazla bal alabilecek şekil düzgün altıgen

peteklerdir. biz de tanri olarak bu petekleri kullanalım, kullandiralim..

AnasayfaAritmetikGeometri

Altın oran, doğada sayısız canlının ve cansızın şeklinde ve yapısında bulunan özel bir orandır. Doğada bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen,

yüzyıllarca sanat ve mimaride uygulanmış, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır. Doğada en belirgin

örneklerine insan vücudunda, deniz kabuklulularında ve ağaç dallarında rastlanır. Platon'a göre kozmik fiziğin anahtarı bu orandır. Altın oranı

bir dikdörtgenin boyunun enine olan "en estetik" oranı olarak tanımlayanlar da vardır.

Eski Mısırlılar ve Yunanlılar tarafından keşfedilmiş, mimaride ve sanatta kullanılmıştır. Göze çok hoş gelen bir orandır.

Altın Oran; CB / AC = AB / CB = 1.618; bu oranın değeri her ölçü için 1.618 dir.

Bir doğru parçasının (AB) Altın Oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AC)

büyük parçaya (CB) oranı, büyük parçanın (CB) bütün doğruya (AB)oranına eşit olsun.

Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1.618033988749894... dür. (noktadan sonraki ilk 15 basamak). Bu oranın kısaca

gösterimi:

olur. Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, PHI yani Φ'dir.

Günümüzde birçok yerde karşımıza çıkan altın orana göz nizamının oranı diyebiliriz. Çoğu zaman doğayı gözlemlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz. Mesela ideal insanın ölçülerine göre boy uzunluğunun göbekten ayak uçlarına olan uzunluğa oranı, göbekten ayak uçlarına olan uzunluğun göbekten başucuna olan uzunluğa olan oranına eşit. Bunu simgelerle belirtecek olursak:

İdeal insanın boyu x birim olsun. Göbeğinden ayak ucuna olan uzaklık da y birim olsun. Bu durumda göbeğinden başucuna olan uzaklık da x - y birim olacak. İddiaya göre ideal insandaki ölçüler şu denklemi sağlamalı:

x / y = y / (x - y).İdeal insanda sağlanması istenen bu orana yani x / y oranına , altın oran denir.

Altın Oran 2

AnasayfaAritmetikGeometri

Altın oranın görüldüğü ve kullanıldığı yerleri şöyle sıralayabiliriz:

Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.

Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktayadoğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.

Deniz Kabuğu: Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de koleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tan-jantının altın oran olduğu görülmüştür.

Elektrik Devresi: Verilen n tane dirençten maksimum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir. Bu durumda Eşdeğer Direnç altın orana eşittir.

Kollar: Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

Mısır Piramitleri: Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı altın oranı verir.

Mona Lisa Tablosu: Bu tablonun boyunun enine oranı altın oranı verir.

AnasayfaAritmetikGeometri

Dikdörtgen prizmanın hacmi ve yüzey alanı

Paralelkenar Prizmanın Hacmi

Kürenin Hacmi ve Kürenin Yüzey Alanı

Geometri Formülleri-2

AnasayfaAritmetikGeometri

Silindirin Hacmi ve Silindirin Yüzey Alanı

Yamuk Silindirin Hacmi ve Yamuk Silindirin Alanı

Düzgün olmayan kesitli silindir

Geometri Formülleri-3

AnasayfaAritmetikGeometri

Koninin hacmi ve koninin yüzey alanı

Piramitin hacmi

Küre parçasının hacmi ve yüzey alanı

Geometri Formülleri-4

AnasayfaAritmetikGeometri

Kesik koninin hacmi ve yüzey alanı

AnasayfaAritmetikGeometri

Asal sayılar, yalnız ve yalnız iki böleni olan doğal sayılardır. Kendisinden ve 1

sayısından başka böleni olmayan, 1'den büyük pozitif tam sayılar biçiminde de

tanımlanmaktadır.(kendisinden küçük asal sayıların hiçbirine tam bölünmeyen sayılardır)

Yüzden küçük asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,

61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97 dir.

Öklid (Euklides)'ten beri asal sayılar sonsuz olduğu bilinmektedir, fakat asal sayılar

hakkında pek çok başka soru hala daha cevapsızdır. Bunlardan en ünlü ikisi aralarındaki

fark iki olan asal sayılar (örneğin 11 ve 13, veya 29 ve 31) hakkındaki ikiz asallar

konjektürü ve asal sayıların doğal sayılar içersindeki dağılımı hakkındaki Riemann

Hipotezidir. Sayılar teorisi'nin en önemli uğraşı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır.

Asal sayılar ayrıca kriptografi alanının da yapı taşlarıdır.

1'in asallığı

19. yüzyıl'a kadar, çoğu matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyorlardı ve 1'in asal

olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ

sürdürmektedir,örneğin [[Moritz Abraham Stern|lırsa bazı teoremlerde değişikliğe

gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların

çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen Aritmetiğin temel teoremi, nitekim

geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.

AnasayfaAritmetikGeometri

Sayılar teorisindeki en eski Matematik'te çözümsüz problemlerden biridir.

Goldbach'ın orijinal sanısı (üçül varsayım) Euler'e 7 Haziran 1742'de yazdığı mektupta

şöyle ifade ediliyor:

...En azından 2'den büyük her sayı üç asal sayının toplamıdır...

Goldbach burada 1 sayısını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık

terkedilmiştir.)

(1 sayısı niçin asal değildir?: Çünkü bir asal sayı başka bir asal sayıyı asla tam bölmez.

Oysa 1 sayısı diğer asalları da tam böler.)

Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi halen kanıtlanamamıştır: Her çift sayı iki asal

sayının toplamı mıdır? Örneğin:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11

16 = 3 + 13

18 = 5 + 13

20 = 3 + 17

22 = 3 + 19

Goldbach HipoteziAnasayfaAritmetikGeometri

Fransız matematikçi Pierre de Fermat'nın 17. yüzyılda öne sürdüğü fakat kanıtı ancak 1994 yılında

İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından verilen teoremdir.

İfadesinin ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılacak kadar yalın olmasına karşılık öne sürülmesiyle

kanıtlanması arasında geçen çok uzun sürede pek çok ünlü matematikçi tarafından üzerinde

uğraşılıp da kanıtlanamamış olmasıyla matematik tarihinde öne çıkmıştır.

Kısaca, eğer n ikiden büyük bir tamsayıysa, ve x, y, z sayıları pozitif tamsayılar ise

ifadesinin sağlanamayacağını ifade eder. İfadenin n=1 ve n=2 durumlarında kolayca

sağlanabileceğini görmek zor değildir. Biraz açmak gerekirse, n=2 durumu ünlü Pisagor Teoremi ile

yakından ilişkili olup x=3, y=4, z=5 veya x=5, y=12, z=13 tamsayı üçlüleriyle kolayca sağlanır.

Bu sanının (artık teorem demek gerekiyor elbette) kanıtı için pek çok matematikçi uğraşmış ancak

başarısız olmuşlardır. Ancak yakın tarihlere kadar çok büyük n değerleri için bu sanının

doğrulanmasına devam edilmiştir. Bu tür kısmi ilerlemelere yönelik çabalar, hiç beklenmedik bir

zamanda İngiliz matematikçi Andrew Wiles'ın bir kanıt bulduğunu duyurmasıyla son bulmuştur. Ne

var ki kısa sürede Andrew Wiles'ın kanıtında bir hata bulunmuş ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir

çabanın sonunda 1994 yılında uzmanlarca doğruluğu kabul gören bir kanıt vermeyi başarmıştır.

Aslında Wiles'ın kanıtı Fermat'nın son teoreminden daha güçlü bir ifadenin, Şimura-Taniyama

Konjektürü'nün de doğruluğunu göstermiştir. Söz konusu kanıt Sayılar Teorisi'nin çok gelişkin

tekniklerini kullanır.

Fermat'nın son teoremiAnasayfaAritmetikGeometri

Matematikte, Eratosthenes(eratosten) Kalburu belirli bir tamsayıya

kadar yer alan asal sayıların bulunması için kullanılan bir yöntemdir.

Daha hızlı ve karmaşık olan Atkin kalburunun atası sayılır. Eski

Yunan'da Eratosten tarafından geliştirilmiştir.

İşleyişi

Önce bir dizelgeye (listeye) 2'den başlayarak, istediğiniz en büyük tam

sayıya kadar olan tüm tamsayıları yazın. Bu dizelgenin adı A olsun

(resimdeki kutuların her biri).

Bir diğer dizelgeye A'daki ilk asal sayı olan 2'den başlayarak

bulduğunuz asal sayıları yazın. Bu dizelgenin adı B olsun (resimin

sağında bulunan dizelge).

A'dan 2'yi ve 2'nin tüm katlarını silin.

A'da kalan ilk tek sayı asaldır. Bu sayıyı B'ye ekleyin

Bu sayıyı ve tüm katlarını A'dan silin. Daha küçük katları zaten

silindiğinden, silme safhası bu sayının karesinden başlayabilir.

A dizelgesinde herhangi bir sayı kalmayıncaya kadar 4. ve 5. adımları

tekrarlayın

AnasayfaAritmetikGeometri

Doğal sayılar,

şeklinde sıralanan tam sayılardır. Negatif değer almazlar. Bazı kaynaklarda "0"

doğal sayı olarak alınmaz.

Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur,

ancak eğer cebirsel inşâlar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak

alınması avantaj sağlayabilir.

Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade

edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır.

AnasayfaAritmetikGeometri

Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği

değere rakamların sayı değeri denir.

Doğal sayının rakamlarının toplamına

rakamların sayı değerleri toplamı denir.

AnasayfaAritmetikGeometri

9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının değerleri

•Birler basamağının basamak değeri : 1

•Onlar basamağının basamak değeri : 10

•Yüzler basamağının basamak değeri : 100

•Binler basamağının basamak değeri : 1.000

•On binler basamağının basamak değeri : 10.000

•Yüz binler basamağının basamak değeri : 100.000

•Milyonlar basamağının basamak değeri : 1.000.000

•On milyonlar basamağının basamak değeri : 10.000.000

•Yüz milyonlar basamağının basamak değeri : 100.000.000

Onlu sayma düzeninde bir basamağın değeri sağındaki basamağın 10 katıdır.

Bir rakamın basamak değeri o rakam ile rakamın yazıldığı basamağın çarpımıyla bulunur..

12345 sayısındaki 2 nin basamak değeri 2 (sayı değeri) ve 1000 (basamak değeri) çarpılarak 2 X 1000

2000 şeklinde bulunur

AnasayfaAritmetikGeometri

Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna

toplam denir. Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır. Bu nedenle toplama işleminde

sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yazılır.

Doğal sayılarda toplama aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:

Toplamsal birim öğe:

a + 0 = a

Toplamanın değişme özelliği:

a + b = b + a

Toplamanın birleşme özelliği:

(a + b) + c = a + (b + c)

Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma):

(a + b)c = ac + bc

Bir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır. Daha

matematiksel bir tanım verilmek istenirse Ard(n) gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama

aşağıdaki belitlerle tanımlanır:

a + 0 = a

a + Ard(b) = Ard(a + b)

Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür: 2. belitte b=0

seçilirse

a + Ard(0) = ard(a + 0)

sıfırın adrılı birdir, o halde,

Ard(a) = a + 1

olduğu kolaylıkla görülür.

AnasayfaAritmetikGeometri

Çarpma işlemi ard arda toplama işlemidir. Çarpma işlemine katılan sayılara

çarpan, işlemin sonucuna çarpım denir.

Doğal sayılarda çarpma aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:

Çarpımsal birim öğe:

a1 = a

Çarpmanın değişme özelliği:

ab = ba

Çarpmanın birleşme özelliği:

(ab)c = a(bc)

Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma):

c(a + b) = ca + cb

Bir a sayısını bir b sayısıyla çarpmak, a sayısının b kere toplamını almak olarak

tanımlanır.

AnasayfaAritmetikGeometri

Tam sayılarla iki sayının farkı;eksilen sayı

ile çıkan sayının toplama işlemine göre

tersinin toplamı ile aynıdır.

(+9)-(+3)=(+9)+(-3)= (+6), (-7)-(-8)=

(-7)+(+8)=(+1)

AnasayfaAritmetikGeometri

Bölme özünde çarpmanın tersidir.

Tamsayılarda bölme, her sayı için

tanımlanmamıştır. Bu yüzden bölüm her

zaman tamsayılar kümesinin bir öğesi

olmayabilir. Örnek: (+15):(-3)=(-5)

AnasayfaAritmetikGeometri

Tam sayılar, doğal sayılar (0,1,2,...) ve bunların negatif değerlerinden oluşur (-1,-2,-3,...). (-0

sayısı 0 sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematikte tam

sayıların tümünü kapsayan küme genellikle

(ya da Z şeklinde gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar)

sözcüğünün baş harfinden gelmektedir.

Pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür. Negatif tam sayılar ise "0"dan

uzaklaştıkça küçülür.

En büyük negatif tam sayı -1'dir. En küçük pozitif tam sayı ise +1'dir.

Mutlak değer, sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder. Başlangıç

noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değerce eşittir. Mutlak değer içindeki her

sayı, mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar.

AnasayfaAritmetikGeometri

Mükemmel Sayı : 6 , 28 ,496 gibi kendisi hariç bütün pozitif çarpanları toplamı

kendisine eşit olan sayılara denir. Mükemmel sayılar sonsuz tanedirler. Genel

formülleri henüz bulunamamıştır. Ancak 2n(2n+1-1), sayısının her n çift sayısı ve 1

için mükemmel sayı olduğu görülebilir. Tabi buradan mükemmel sayıların çift sayı

oldukları anlamı çıkmamaktadır. Yani bu formülün tüm mükemmel sayıların ortak

formülü olup olmadığı bilinmemektedir. İlk 11 mükemmel sayı : 6, 28, 496, 8128,

130816, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128,

2658455991569831744654692615953842176,

191561942608236107294793378084303638130997321548169216

AnasayfaAritmetikGeometri

1 den büyük asal olmayan bir tamsayının rakamlarının toplamı,sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında bu yazılışta bulunantüm asal çarpanların rakamlarının toplamına eşit oluyorsa bu türsayılara Smith sayısı denir.

121 = 11 * 111 + 2 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1

4 = 4 ( 121 bir Smith sayısıdır. )

166 = 2 * 831 + 6 + 6 = 2 + 8 + 3

13 = 13 ( 166 bir Smith sayısıdır. )Bu sayının nasıl ortaya çıktığını merak ediyor musunuz?1982 yılında matematikçi Albert Wilansky, kardeşi Smith’i ararkenonun telefon numarasının ( 4937775 ) bu ilginç özelliğini fark etmiş.Bundan dolayı da bu sayılara Smith sayıları adını vermiş.Bu sayıyı da inceleyelim;

4937775 = 3 * 5 * 5* 658374 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5+ 6 + 5 + 8 + 3 + 7

42 = 42 (4937775 bir Smith sayısıdır. )

AnasayfaAritmetikGeometri

Sayılar teorisi ile ilgili güzel, kolay anlaşılır ve doğruluğu henüz ispatlanmamış bir

diğer teorem de "Collatz teoremi". Lothar Collatz tarafından 1937 yılında ortaya

atılmış. "3n+1 Teoremi" olarak da biliniyor. 1985 yılında Paul Erdos, matematiğin

henüz bu problemi çözmek için yeterli olgunluğa erişmediğini söylemiş. Teorem

söyle:

Elinize herhangi bir pozitif tamsayı alın. Bu sayı çift ise ikiye bölün, tek ise 3 ile

çarpıp 1 ekleyin. Bu işlem sonucunda ulaştığınız sayıyı tekrar aynı değerlendirme

ve işleme tabi tutun.a Collatz teoremine göre, seçtiğiniz pozitif tamsayı kaç olursa

olsun bu işlem eninde sonunda 1 ile sonlanıyor. İşte örnekler

Seçilen sayı: 6

Adım 1: Sayı çift olduğu için 2'ye bölünecek, sonuç 3;

Adım 2: 3 tek bir sayı olduğu için 3'le çarpılıp 1 eklenecek, sonuç: 10

Adım 3: 10 çift olduğundan, 10/2 = 5

Adım 4: 5 tek sayı olduğundan 5*3+1 = 16

Adım 5: 16 çift, 16/2 = 8

Adım 6: 8 çift, 8/2 = 4

Adım 7: 4 çift, 4/2 = 2

Adım 8: 2 çift, 2/2 = 1

AnasayfaAritmetikGeometri

Çokgensel sayılar: Bir çokgenin köşelerini baz alarak elde ettiğimiz sayı dizelerinden oluşur.Yukarıdaki şekilde görülen çokgensel sayıları inceleyelim.Üçgen sayılar 1, 3, 6, 10, 15, 21,... şeklinde devam eden sayılar dır.Kare sayılar 1, 4, 9, 16, 25,... (Kare alma işlemiyle de aynı sonuca ulaşabilinir.)Beşgen sayılar 1, 5, 12, 22, 35, …

Bu sayı örüntülerinin genel ifadelerini verelim.Üçgen, kare, beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgen sayılar hep çokgensel sayılardır ve alttaki formüllerle bulunabilirler:

Üçgen P3,n= n(n+1)/2 ..........1, 3, 6, 10, 15, …Kare P4,n= (n üzeri 2) ...........1, 4, 9, 16, 25, …Beşgen P5,n= n(3n-1)/2 .......1, 5, 12, 22, 35, …Altıgen P6,n= n(2n-1) ...........1, 6, 15, 28, 45, …Yedigen P7,n= n(5n-3)/2 .....1 , 7, 18, 34, 55, …Sekizgen P8,n= n(3n-2) .......1, 8, 21, 40, 65, …

AnasayfaAritmetikGeometri

Matematikte Gerçek sayılar (veya reel sayılar) kümesi, oranlı sayılar (rasyonel sayılar) kümesinin standart

metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi

sembolüyle gösterilir. Daha basit söyleyişle, bir reel sayı, ondalık gösteriminde virgülden sonra sonsuz

basamağı olan bir sayıdır.

Her oranlı sayı (rasyonel sayı) bir reel sayıdır; virgülden sonra tekrar eden ondalık açılımı vardır (0 dahil).

Örneğin:

veya

eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre

sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Bu şöyle ispatlanabilir: m, n iki tamsayı (n pozitif)

olsun. m/n oranlı sayısı ondalık ifade edilmek istendiğinde, m 'yi n 'ye bölerken (bölme algoritmasını

uygularken) ilk adımda kalan 0 ile n arasında olacaktır. Kalanın yanına sıfırlar ekleyip bölmeye devam

edilecek ve bir sonraki adımda kalan yine 0 ile n arasında olacaktır. Sonsuz adımda sonlu sayıda değer

alabilen kalanlar, bir süre sonra aynı değeri alacak ve kendini tekrar edecektir.

Oranlı sayılardan reel sayıları elde etme işlemiyse oranlı sayılara ondalık açılımındaki rakamların devirsel

tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara

irrasyonel sayılar denir.

veya

AnasayfaAritmetikGeometri

Oranlı sayılar kümesine dahil olmayan Gerçek sayılardır. Kesir olarak ifade edilemeyen bu

sayılara π, e ve

örnek verilebilir. Q' veya I ile gösterilir. Bu sayılar belli bir düzeni olmaksızın sonsuza kadar

devam eden ondalık sayılar (örneğin pi sayısı) veya oranlı karşılığı olmayan kökler olabilir.

Örnekler: 3√7, √2, 5√(9/8)...3√64 veya √(4/9) irrasyonel sayılar değildir çünkü rasyonel karşılıkları vardır:3√64=4

√(4/9)=2/3

AnasayfaAritmetikGeometri

Matematikte, rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen

sayılardır.

Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer

oranlı sayılardır.

Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b

tamsayılarının ortak böleninin

olmadığı a/b ifadesidir

Her tam sayı oranlı sayıdır. Çünkü veya veya

şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Oranlı sayılar kümesi

, tam sayılar kümesi 'yi kapsar. Yaani

.

Tanım Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve Q ile veya ile gösterilir.

AnasayfaAritmetikGeometri

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu

biçimde gösterilirler

Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup

özelliğini sağlayan sanal birime i denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde i yerine, j kullanılır.

Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı c olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de

karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe

kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de rastlanabilir. Karmaşık sayılara

böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada

durmasıdır.

Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir

deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.

Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu

tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim.

sayısı gerçel kısmı Re(z) = 4, sanal kısmı Im(z) = − 7 olan

C uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için,

R uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla c uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka

özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.

AnasayfaAritmetikGeometri

n

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

↓

Pascal üçgeni, binom açılımındaki katsayıları bulmaya yarar. Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da

ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik

konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da

Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.)

Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En

önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli

bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki

yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.

AnasayfaAritmetikGeometri

İskoç matematikçi Joun Napier’in (1550 – 1617) Napier’in kemikleri (Napier’s

rods veya Napier’s bones) adıyla anılan hesaplama aletleri de çerçeve

metoduyla çarpma temeline dayanmaktadır ve günümüzdeki modern

bilgisayarların en ilkel numunelerinden sayılmak¬tadır. Bunlarda 0’dan 9’a

kadarki herbir rakam için ayrı bir çubuk mevcuttur ve her bir çubukta o

rakamın 1’den 9’a kadarki katları çerçevelerde yazılı bulunmaktadır. Bunlara

ek bir de index denen çubuk vardır ki bu da rakamların, katlarını

belirtmektedir. Napier’in kemikleri mekanik olarak çarpma, bölme ve karakök

alma işlerinde kullanılmaktaydı ve bunlar o devirde özellikle tüccarlar

tarafından yaygın olarak kullanılmaktaydı. Bunun dışında Napier 1614 yılında

logaritmayı (karmaşık görünümlü sayılarla çarpma ve bölme yaparken, üsleri

kullanarak, bu işlemleri toplamaya dönüştürme yöntemi) bularak hesaplamak

devrim yapmıştır.Resimi büyütmek için tıklayın.

AnasayfaAritmetikGeometri

Matematik alanında çığırlar açmış birisidir. Eski Yunan bilginlerinden Kallimakhos'un

aktardığı bir düşünceye göre denizcilere kuzey takım yıldızlarından Büyükayı yerine

Küçükayı'ya bakarak yön bulmalarını öğütlemiştir. Aynı zamanda Mısırlılardan geometriyi

öğrenip Yunanlılara tanıtmıştır. Bulduğu bazı geometri teoremleri şunlardır:

•Çap çemberi iki eşit parçaya böler.

•Bir ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.

Miletli Thales (d. M.Ö. 624 – ö. M.Ö. 546), Sokrates öncesi dönemde yaşamış olan

Anadolu'lu bir filozoftur.

İlk filozof olduğu için Felsefenin ve bilimin öncüsü olarak adlandırılır.

Eski Yunan'ın Yedi Bilgelerinin ilkidir. Birçok kişi tarafından felsefe ve bilimin kurucusu

olarak düşünülür.

Elimize ulaşmış hiçbir metni yoktur.

Yaşadığı döneme ait kaynaklarda da adına rastlanamaz ancak hakkındaki bilgiler Herodot

ve Diogenes

Laertios gibi antik yazarlardan edinilir.

Bertrand Russell'e göre Felsefe Thales'le başlamıştır.

Thales Teoremi :

AnasayfaAritmetikGeometri

İtalyan papazı ve matematikçisi olan Cavalieri, 1598 tarihinde Milano'da doğdu.

Galile'nin en iyi öğrencilerinden biri olan Cavalieri, 1629 yılından ölünceye kadar

Bologna'da matematik okuttu. Astronomi ve küresel trigonometriyle ilgilendi.

Logaritma ve hesaplarının İtalya'da uygulanmasında öncülük etti.

"Süreklilerin Bölünmezleri Yolundan, Yeni Bir Yöntemle İlerletilmiş Geometri" adlı

eseri 1635 yılında yayınlandı. Bu eserinde, "bölünmezler" kuramıyla büyük bir ün

kazandı. Bu kuram, geometrik büyüklükleri, sonsuz öğeli bir sayıdan oluşmuş

kabul eder. Bu öğeler, geometrik büyüklüğün ayrılabileceği en son terimdir. Bu

nedenle de bölünemez olarak nitelenir. Uzunlukların, yüzeylerin ve hacimlerin

ölçülmesi sonsuz sayıda bölünmezlerin toplamından başka bir şey değildir. Belirli

bir integralin hesaplanması da bu ilkeye dayanır. Cavalieri, bu teoremiyle bugünkü

sonsuz küçükler hesabı denen analizin öncüsü olarak sayılabilir. 1647 yılında

Bologna'da ölen Cavalieri'nin kendi adıyla anılan postülatları, teoremleri ve

bunlardan başka kitapları da vardır.

AnasayfaAritmetikGeometri