1

Gradivo: Načrtovanje konstrukcij-trdnost

IC GEOSS, Izobraževanje odraslih

Šolsko leto: 2013/2014

IZOBRAŽEVALNI CENTER GEOSS D.O.O., LITIJA

2

TRDNOST V poglavjih statike smo pridobili znanja o togem oziroma idealnem telesu, ki pa ga v naravi ni. Togo telo smo uporabili kot predpostavko, da smo lahko z enostavnimi orodji prišli do določenih rešitev. V tehniki pa moramo upoštevati sposobnost deformacij teles, ki vidno ali nevidno spreminjajo svojo geometrijsko obliko. Sposobnost deformacije je osnovna lastnost realnega telesa. Trdnost je tisti nauk, ki preučujeravnotežje med zunanjimi in notranjimi obremenitvami realnih teles. Glede na sposobnost deformacije ločimo telesa z nasledmjimi značilnostmi:

- elastična telesa - plastična telesa - žilava telesa.

Trdnost telesa je notranji odpor telesa proti razdružitvi molekul pod vplivom zunanjih sil. Če zunanje sile prevladajo nad notranjimi kohezijskimi silami sledi porušitev. Vrsta obremenitev Obremenitev je vsaka zunanja sila, enakomerna obremenitev in moment sile , ki deluje na konstrukcijo. V odvisnosti od časa poznamo različne vrste obremenitev:

- Statična obremenitev

- Utripna dinamična obremenitev

3

- Izmenična obremenitev Vrste deformacij Zaradi delovanja zunanji sil se nam poleg napetosti v materialu pojavijo tudi deformacije, ki so lahko:

- vzdolžne Za boljše prepoznavanje materialov smo namesto raztega palice uvedli raztezek ali skrček, ki ga izrazimo:

4

- prečne deformacije

Pod vplivom zunanjih sil se pojavi na prerezu določena tangencialna napetost τ , ki povzroči ustrezno prečno deformacijo γ.

- zožitev prereza

Zaradi delovanja natezne obremenitve se telo raztegne in zoži s prereza A na prerez A0.

Sledi razmerje lokalne zožitve: Hookov zakon Hookov zakon pravi, da je razteg palice ∆l proporcionalen natezni sili F , kar velja do meje proporcionalnosti. Do ugotovitev za posamezen material smo prišli z nateznimi preizkusi. Preizkušanec smo obremenili z natezno silo F, ki nam na prerezu A povzroči napetost σ, ta pa raztezek ε:

5

1 – meja proporcionalne napetosti 0~2 je področje elastičnih deformacij in napetosti 2 »meja elastične napetosti σei« 2~3 je področje nad mejo elastičnosti, v katerem ostanejo

tudi pri popolni razbremenitvi trajne plastične deformacije 3 »meja plastične napetosti σ T«

3 ~ 4 je področje, v katerem z večanjem sile F raztezanje raste hitreje kot pred 3 in končno nastane trenutek, ko doseže sila največjo velikost Fmax. Pri tem začne nastajati zožitek prereza iz A0 v A.

4 »(natezna) trdnost materiala aM« Preračun konstrukcijskih elementov pod vplivom zunanjih obremenitev Zaradi zunanjih obremenitev se nam na prerezu A pojavijo notranji sili (Fn in Ft) ter momenta (Mf in T). Posledica so normalne (σ) in tangencialne (τ) napetosti ter ustrezne deformacije ε in γ. Pri preračunu preverjamo v znanih prerezih velikosti napetosti oz. deformacij, ki morajo biti v dopustnih mejah. Obravnavali bomo naslednje obremenitve:

- nateg

- tlak

- površinski tlak

- upogib

6

- strig

- torzija

- uklon Nateg

- Palica obremenjena brez upoštevanja lastne teže; vpliv sile se porazdeli po celi dolžini enakomerno – natezna napetost σ je enakomerno porazdeljena po prerezu.

Napetosti: Za nosilni del okroglega prereza: Premer nosilnega dela: Deformacije: Raztezek: aali

- Hookov zakon

7

Pob ureditvi enačb: In E – modul elastičnosti, za jeklo E = 2,1 * 105 N/mm2 A*E – diletacijska togost palice

Vaja 1: Za dviganje bremena FG = 25 kN uporabljamo konopno pletenico (vrv) s premerom d. Izračunajte potreben premer d, če je σdop = 15N/mm2 . (R = 38,7mm) Vaja 2: Jeklena palica premera 3mm in dolžine 9m je obremenjena na nateg s silo F = 1380N, E = 2,1*105 N/mm2. Določi podaljšek in napetost v palici.

(R: ∆l = 8mm, σ = 195 N/mm2)

8

Vaja 3: DN Obešalo je obremenjeno s silo F = 24 kN. Izračunajte premik ∆h vozlišča 0, če sta palici dolžine OB = OC = l0 iz okroglih aluminijevih cevi premera 32/4mm s prerezom A = 351,9mm2 in modulom elastičnosti E = 0,7 • 105 N/mm2. (R: iz ravnotežnih pogojev izračunaj sili v palicah in predpostavi, da je po raztegu kot, ki ga oklepata palici še vedno 300; F1 = F2 = 13,85kN, ∆h = 1,88mm) Vaja 4: DN Jeklena palica s premerom d in dolžino 10 = 3,2 m se pod vplivom natezne sile F = 60 kN raztegne za ∆1F = 2 mm. Izračunajte velikost potrebnega premera d palice, če je modul elastičnosti E = 2,1105N/mm2. (R : d= 24mm)

9

Palica obremenjena s spremembo temperature

S segrevanjem se telesa (palice) podaljšujejo oziroma pri ohlajanju krčijo. Tako obnašanje je odvisno od spremembe temperature ∆T in vrste materiala. Velikost raztezka ∆lt je tako odvisna od dolžine palice l0, spremembe temperature ∆T in linearne temperaturne razteznosti za material αt (K

-1).Glede na vpetje ločimo dva primera

a) palica na enem mestu vpeta , na drugem osno pomična – pojavi se la razteg

b) palica na obeh koncih vpeta – pojavi se tlačna (segrevanje) ali natezna (ohlajanje) temperaturna napetost.

Razteg je enak 0:

10

Vaja 5: Jeklena palica dolžine lo = 800 mm je na eni strani vpeta, na drugi pa pomično nameščena pri temperaturi T0 = 293K (20 °C). Izračunaj te razteg ∆1T in raztezek εT palice, če jo segrejemo na temperaturo T = 393 K (100°C) z linearno temperaturno razteznostjo αT = 0,0000123 K-1.

Vaja 6: DN Izračunaj temperaturno napetost za vajo 5, če je palica obojestransko vpeta in je modul elastičnosti E = 2,11*105 N/mm2

11

Tlak

- Napetosti Pod vplivom tlačno obremenjene palice s silo F izračunamo tlačno napetost σt:

- Deformacije Pod vplivom tlačne obremenitve F se palica dolžine l0 skrči za ∆lF: skrček -

Vaja 7: S pritrdilnim vijakom premera d = 36mm, segretim na temperaturo T = 383,16 K, povežemo strojna dela debeline 2s = 520 mm = konst, Izračunajte: a) velikost skrčka ∆lt pri ohladitvi vijaka na normalno temperaturo okolice To = 293,16K, če je za jeklo linearna temperaturna razteznost αt = 0,000012 K-1; b) kolikšna je pri tem ohlajanju natezna napetost o v vijaku, če je modul elastičnosti E = 2,1 • 105N/mm2 in c) velikost natezne sile F v vijaku.

12

Vaja 8: Pri debelostenski cevi je razmerje premerov D : d = 7 : 5. Dolžina cevi 10 = 300mm in je obremenjena s tlačno silo F = 90kN . Izračunajte: a) premera cevi D in d, če je cev iz medi CuZn 101 z dopustno napetostjo σdoP = 120N/mm2, in

b) skrček ∆1F, če je E = 0,9 • 105N/mm2.

Vaja 9: DN Izračunajte, kolikšno tlačno silo F lahko prenese kratek steber prereza A iz materiala SL25 z dopustno napetostjo σdop = 90N/mm2.

13

Vaja 10: DN Stensko konzolno palično dvigalo ABC je obremenjeno z bremenom FG = 20 kN. Izračunajte velikosti premerov d1 in d2 palice AC in BC, če sta iz jekla z dopustno napetostjo σdop = 140N/mm2 (R : d1 = 18mm, d2 = 20mm) Vaja 11: DN Kratka cev s premerom D = 200 mm in debelino stene s = 25 mm je iz materiala SL 25 z dopustno napetostjo σdop = 90N/mm2. Izračunajte velikost dopustne tlačne sile Fdop, s katero lahko obremenimo cev. (R: Fdop= 1237*103 N)

14

Površinski tlak Nastane med dvema stičnima površinama A predmetov. V praksi ga določamo glede na vrsto in trdnost materiala, računamo pa ga po enačbi: F – pravokotno na površino delujoča sila A – površina η - koeficient zmanjšanja nalegajočih površin (toge podložne plošče η =1) pdop – dopustni površinski tlak pdop = (0,85 – 1,0) σ dop – upošteva se dopustna napetost za manj kvaliteten material pri naleganju. Najbolj poznana sta v strojništvu primera podpornega in opornega tečaja: Podporni tečaj: pdej je dejanska porazdelitev tlaka med tečajem in ležajno blazinico zaradi sile F na površino A =d*l . V praksi obravnavamo, da se površinski tlak enakomerno porazdeli, kar prikažemo z enačbo: Nekaj primerov pdop ,materialov za drsne blazinice:

15

Oporni tečaj V tem primeru se tlak med vrtenjem proti sredini povečuje od pmin do pmax.. Zaradi izstružene vdolbine se nam čelna površina A zmanjša za koeficient . Srednji površinski tlak pmed, lahko zapišemo: Vaja 12: Na betonski steber položimo nosilec iz profila 130 in je obremenjen na mestu ležišča s silo F = 45kN . Izračunajte potrebno dolžino 1 za naleganje nosilca na stebru, če je za beton dopustni površinski tlak pdop = l,5N/mm2.

16

Vaja 13: Za jeklen oporni tečaj s kolobarno površino, ki je postavljen v ležajno blazinico iz svinčevega brona z dopustnim površinskim tlakom pdop = 16.N/mm2, izračunajte premera d in d1, pri d1 = 0,25 d, če je tečaj obremenjen s silo F = 24kN. Vaja 14: DN Za podporni tečaj s premerom d = 40mm in dolžino 1 = 2 d, ki je iz jekla in vstavljen v ležajno blazinico iz bele kovine z dopustnim površinskim tlakom pdoP

= 8N/mm2, izračunajte, s kolikšno radialno silo F lahko obremenimo tečaj. R: F = 25,6*103 N

17

Vaja 15: DN Batnica batnega stroja prenaša obremenitev s silo F = 15 kN . Izračunajte: a) velikost normalne sile FN na vodilo križne glave pri legi ojnice pod kotom β = 20°, b) dimenziji h in b (za h = 2b) dotikalne površine križne glave in vodila, ki je iz sive litine z dopustnim površinskim tlakom = 0,8N/mm2. R: Fn = 5,46 kN b = 58,42mm, h = 116,84mm

18

Preračun vijakov Vijaki so strojni elementi, ki prenašajo pretežno aksialne obremenitve. Dimenzioniramo jih po enačbi: A – presek vijaka podan iz priročnika Vijak in matica se dotikata po navoju, kjer nastane ploščinski tlak, ki je odvisen od površine in števila navojev: A` - ploščina projekcije enega navoja n – število navojev Sledi ploščinski tlak: Višino matice pa izračunamo: h, P – korak navoja

19

Vaja 16: Vijak prenaša natezno silo F = 80kN pri pdop = 45N/mm2, σp = 20N/mm2. Določi potrebni premer vijaka in višino matice

20

Strig Obravnavali bomo čisti strig, kar pomeni, da bomo zanemarili upogib zaradi dvojice sil. V tem primeru predpostavimo enakomerno porazdelitev strižne napetosti τs po prerezu A . Po opisani predpostavki se računajo na strig obremenjeni strojni elementi, kot so kovice, sorniki zagozde, stojni vijaki in zvari. Strižno napetost, ki jo povzroči sila Ft računamo: Pri tem velja: V primerih, ko imamo opravka s prebijanjem in rezanjem, izračunamo potrebno silo po enačbi: Pri tem je τ m strižna trdnost materiala in A rezalni prerez in je za jeklo:

21

Poleg strižnih napetosti moramo elemente preveriti tudi na bočni tlak: n - število kovic v zvezi d - premer kovice si - najtanjša debelina pločevine v zvezi Vaja 17: Izračunajte velikost sile F, ki jo lahko prenaša pločevinasti trak z debelino s =15 mm, če je premer zakovičene kovice d1 = 20mm in dopustna napetost pločevine pri nategu σdop = 120N/mm2 . Nato kontrolirajte bočni tlak p med kovico in pločevino, če je dopustni bočni tlak pdop = 240N/mm2. Vaja 17: Na nosilec širine b = 200mm deluje v oporniku sila F = 35kN. Kolikšna mora biti odrivna dolžina x , če je za hrastov les dopustna strižna napetost τsdop = 1,2N/mm2.

22

Vaja 18: Z rezilnim orodjem (štanco) izrezujemo predmet iz pločevine z debelino s = 4 mm. Izračunajte: a) potrebno rezalno silo F, če je pločevina iz Č.0145 z natezno trdnostjo σM = 400N/mm2, in b) površinski tlak p, ki nastane z naleganjem patrice na predmet iz pločevine.

23

Vaja 19: DN Za kovični spoj pločevinastih trakov z debelino s = 6 mm in širino b, ki je obremenjen s silo F = 30kN , izračunajte: a) potrebno število n kovic premera d1 = 14mm v spoju, če je pločevina iz Č.0146 z dopustno napetostjo σdop = 120N/mm2 in b) širino b trakov. Vaja 20:DN Določite potrebni dolžini l1 in 12 zvarov, s katerima je privarjen enakokraki jekleni kotnik L 60 x 60 x6 na pločevino z debelino s = 6 mm, če je kotnik obremenjen z natezno silo F = 72kN in je dopustna natezna napetost σdop = = 140N/mm2 ter strižna napetost v zvarih τszvdop = 75N/mm2.

24

Vaja 21: DN Obdelani jekleni čep z glavo je obremenjen z natezno silo F = 70 kN . Izračunajte: a) potreben premer d stebla čepa, če je iz Č.1330 z dopustno natezno napetostjo σdop = 150N/mm2, b) višino h glave čepa, če je τsdop = 90N/mm2, in c) premer D glave čepa, če je pdop = 80N/mm2.

25

Torzija Do bremenitve s torzijskim momentom T pride lahko na dva načina:

- z dvojico sil

- zaradi pogona na gredi pri znani moči P (W) in vrtilni frekvenci n (s-1) Torzija polnega krožnega prereza Preračun izvedemo ob predpostavki, da se palica pri obremenitvi ne deformira (vboči ali izboči) Torzijski moment: Ker je: Sledi torzijski moment: Končna oblika enačbe za izračun torzijske napetosti za krožni prerez:

Ip – polarni vztrajnostni moment prereza A

Wp – polarni odpornostni moment prereza A

26

Pri dimenzioniranju gredi s polmerom d je polarni odpornostni moment: Z izpeljavo enačb lahko izračunamo potreben premer gredi d za prenos vrtilnega momenta: Oziroma Za kolobarjasti prerez (debelostenske cevi): Dimenzioniranje krožnega preseka na dopustne deformacije (kot zasuka)

27

Izhajamo iz zasučnega kota φ0 reduciranega na enoto dolžine: Dopustni zasučni kot se razlikuje, odvisno od strojnega dela, pa tudi regionalno so razlike; v Evropi 0,25 – 0,50 , v Ameriki 2/30. Dobimo: Vaja 22: Gred iz jekla z dopustno torzijsko napetostjo Ttdop = 60N/mm2 prenaša moč P = 90 kW pri vrtilni frekvenci n = 6 s-1. Izračunajte potreben premer gredi d glede na: a) dopustno torzijsko napetost τt dop in b) dopustni zasučni kot φop = 0,250/m.

28

Vaja 23: Za enostransko vpeto palico s premerom d = 20 mm in dolžine 1 = 500 mm, ki je obremenjena na prostem koncu s torzijskim momentom T = 80 • 103Nmm, izračunajte: a) maksimalno torzijsko napetost τt max in b) strižni modul G, če je zasučni kot prereza φ° = 20/l. Vaja 24: Za momentni ključ z dolžino stebla 1 = 400 mm in premera d = 45 mm, ki ga obremenimo s silama F = 350 N na ročici 2 a = 400 mm, izračunajte, kolikšen je zasučni kot φ°, če je strižni modul jekla G = 0,81 • 105N/mm2.

29

Vaja 25: Izračunajte debelino stene s cevi za notranji premer d = 10s Tankostenska cev) pri obremenitvi s torzijskim momentom T = 120*103Nmm, če je dopustna torzijska napetost τtdoP = 50N/mm2. Uklon Pri uklonu nas zanima najmanjša sila, pri kateri se pojavlja uklon, tj. uklonska sila Fk. Pri delovanju te sile na palico s prerezom A se v njem pojavlja uklonska napetost σk. Uklonska sila Fk in uklonska napetost ak sta odvisni od vitkosti λ:

lo prosta uklonska dolžina palice v [mm] imin minimalni vztrajnostni polmer prereza v [mm]

30

Kritična uklonska sila Fk: Glede na to imamo v praksi štiri načine pritrjevanja palic: Sledi: Β - Način pritrditve palice s katerim dobimo prosto uklonsko dolžino palice.

31

Kritična uklonska napetost za palico: Po vstavljanju enačb dobimo kritično uklonsko napetost v obliki: E = 2,1 * 105 N/mm2 σ K = σ pr = 190N/mm2 λ= 105 – mejna vitkost za elastični uklon Preračun po Eulerjevi metodi Temelji na predpostavki da je modul elastičnosti konstanten. Dimenzioniranje na kritično uklonsko silo: Iz tega dobimo potrebni minimalni vztrajnostni moment prereza:

32

Vitkost: Vztrajnostni moment: Vztrajnostni polmer: Vaja 26: Za obojestransko členkasto pritrjeno palico premera d in dolžino 1 = 22,5 d ( II. primer, kjer je β = 1) izračunajte vitkost palice λ.

33

Vaja 27: Za obojestransko členkasto pritrjeno palico dolžine 1 = 2,2 m iz jekla z modulom elastičnosti E = 2,l • 105N/mm2 izračunajte premer d, če je obremenjena s silo F = 150 kN pri varnosti ν = 5. Potrebni najmanjši vztrajnostni moment Imin prereza po Eulerjevi enačbi (β = l(l0 = l): Vaja 28: Pri ročičnem mehanizmu je ojnica z dolžino 1 = 1400 mm in s premerom d = 50 mm pri kotu α = 0° obremenjena preko bata s premerom D = 200 mm s tlakom p = 2MPa (N/mm2) Ugotovite varnostni koeficient ν, če je ojnica iz jekla z E = 2,1 • 105N/mm2.

34

Upogib Čisti upogib Nastopi takrat, ko so reakcije v podporah enake nič in sta si momenta v podporah v ravnotežju. V tem primeru so tudi Fn = Ft = 0 Tak primer obremenitve nosilca nam predstavlja čisti upogib. V praksi bomo malokrat naleteli na primere čistega upogiba, bomo pa zanemarili prečne sile in upoštevali prevladujoče upogibne momente Mmax. Upogibne napetosti Pod vplivom zunanje obremenitve z upogibnim momentom Mf = M0 = konst. se os nosilca deformira tako, da se prvotna dolžina osi nosilca AB = 1 ukrivi v lego, narisano s črtkano črto, ki jo imenujemo elastična črta ali upogibnica. Zaradi tega so zgornja vlakna nosilnega prereza obremenjena na tlak in spodnja vlakna na nateg.

35

Z upoštevanjem Hookovega zakona in Brnoulijeve hipoteze pridemo do enačbe za preverjanje dejanske upogibne napetosti σfmax v materialu glede na dopustno napetost Za določene obremenitvene primere pa dobimo enačbo iz katere lahko iz minimalnega odpornostnega momenta Wzmin izračunamo prerez nosilca: Določanje povesa nosilca za karakteristične primere

- enostransko vpeti nosilec

- nosilec na dveh podporah obremenjen s silo

36

- nosilec na dveh podporah obremenjen z momentom

Vaja 29: Za enostransko vpeti nosilec dolžine 1 = 2 m s pravokotnim prerezom A z višino h = l,6b, ki je obremenjen na prostem koncu s silo F = 8 kN, izračunajte: a) za mirno obremenitev potrebno velikost prereza in njegove mere b in h, če je nosilec iz C.0361; σdop = 140N/mm2 b) poves f nosilca pod silo F.

37

Vaja 30: Za enostransko vpeti jekleni nosilec z dopustno napetostjo σdop = 120N/mm2, ki je obremenjen z upogibnim momentom Mfmax = 40000 Nm, izračunajte: Potrebne velikosti naslednjih treh prerezov: - valjani profil I z lego na osnovnici b, - - pravokotnik s stranicama — = 1,5 in lego po osnovnici b, - krog s premerom d;

38