Gtln gtnn va bdt 2002 -2013

Cô sôû BDVH - LTĐH Cao NguyeânBMT www.luyenthicaonguyen.comĐC: 128/39 Ywang - BMT ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44

GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013

Bài 1 (ĐH A2003) Cho x ,y ,z là ba số dương và 1x y z+ + ≤ . Chứng minh rằng

2 2 22 2 2

1 1 182x y z

x y z+ + + + + ≥

ĐS : 1

3x y z= = =

Bài 2 (ĐH B2003) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

24y x x= + −

ĐS : [ ]2;2

Maxy (2) 2 2y−

= = ; [ ]2;2

Miny ( 2) 2y−

= − = −

Bài 3 (ĐH D2003) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2].

2

1

1

xy

x

+=+

ĐS : [ ]1;2

Maxy (1) 2y−

= = ; [ ]1;2

Miny ( 1) 0y−

= − =

Bài 4 (ĐH B2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 31;e .

2ln x

yx

=

ĐS : 3

22

1;

4Maxy ( )

e

y ee

= = ; 31;

Miny (1) 0e

y

= =

Bài 5 (ĐH A2005) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1

4x y z

+ + = . Chứng minh rằng

1 1 11

2 2 2x y z x y z x y z+ + ≤

+ + + + + +

ĐS : 3

4x y z= = =

Bài 6 (ĐH B2005) Chứng minh rằng với mọi x R∈ , ta có .

12 15 20

3 4 55 4 3

x x xx x x + + ≥ + + ÷ ÷ ÷

. Khi nào đẳng thức xảy ra?

ĐS : 0x =Bài 7 (ĐH D2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :

3 3 3 3 3 31 1 13 3

yz

x y y z z x

xy zx

+ + + + + ++ + ≥

.Khi nào đẳng thức xảy ra?

ĐS : 1x y z= = =Bài 8 (ĐH A2006) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 2 2( )x y xy x y xy+ = + − .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3

1 1A

x y= + .

ĐS : 1

ax 162

M A x y= ⇔ = =

Bài 9 (ĐH B2006) Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2( 1) ( 1) | 2 |A x y x y y= − + + + + + −

ĐS : 1

2 3 0;3

MinA x y= + ⇔ = =

Bài 10 (ĐH A2007) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Tìm giá

Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeän thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 Ywang-BMT Trang 1

http://www.luyenthicaonguyen.com/


trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2( ) ( ) ( )

2 2 2

x y z y z x z x yP

y y z z z z x x x x y y

+ + += + ++ + +

ĐS : 2 1MinP x y z= ⇔ = = =Bài 11 (ĐH B2007) Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1 1 1

( ) ( ) ( )2 2 2

x y zP x y z

yz zx xy= + + + + +

ĐS : 9

12

MinP x y z= ⇔ = = =

Bài 12 (ĐH D2007) Cho 0a b≥ > . Chứng minh rằng :

1 1

2 22 2

b aa b

a b

+ ≤ + ÷ ÷

Bài 13 (ĐH B2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

2

2( 6 )

1 2 2

x xyP

xy y

+=+ +

.

ĐS :

3 1;

10 10MaxP 3

3 1;

10 10

x y

x y

= == ⇔ = − = −

;

3 2;

13 13MinP 6

3 2;

13 13

x y

x y

= = −= − ⇔ = − =

Bài 14 (ĐH D2008) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức : 2 2

( )(1 )

(1 ) (1 )

x y xyP

x y

− −=+ + .

ĐS : 1 1

MaxP 1; 0;MinP 0; 14 4

x y x y= ⇔ = = = − ⇔ = =

Bài 15 (ĐH A2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz, ta có: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)3

ĐS : x y z= = Bài 16 (ĐH B2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1

ĐS : 9 1

MinA16 2

x y= ⇔ = =

Bài 17 (ĐH D2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.

ĐS :

2 325 1 191 4MaxS ;MinP2 2 16 2 3

4

xx y

y

+== ⇔ = = = ⇔ − =

hoặc

2 3

4

2 3

4

x

y

−=

+ =Bài 18 (ĐH B2010) Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức M = 2 2 2 2 2 2 2 2 23( ) 3( ) 2a b b c c a ab bc ca a b c+ + + + + + + +ĐS : MinM 2 ( , , )a b c= ⇔ là một trong các bộ số : (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)Bài 20 (ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 2 24 21 3 10x x x x− + + − − + +

ĐS : 1

Miny 23

x= ⇔ =

Bài 21 (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu



biểu thức 2 3

x y zP

x y y z z x= + +

+ + +

ĐS : 34

MinP 4; 1; 233

x y z= ⇔ = = =

Bài 22 (ĐH B2011) Cho các số thực a, b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :

2 22( ) ( )( 2)a b ab a b ab+ + = + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2

3 3 2 24 9

a b a bP

b a b a

= + − + ÷ ÷

.

ĐS : 223

MinP14

a

b

== − ⇔ =

hoặc 1

2

a

b

= =

Bài 23 (ĐH D2011−NC) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]0;2 .

22 3 3

1

x xy

x

+ +=+

ĐS : [ ]0;2

Miny (0) 3y= = ; [ ]0;2

17Maxy (2)

3y= =

Bài 24 (ĐH A2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 2 2 23 3 3 6 6 6x y y z z xP x y z− − −= + + − + + .

ĐS : MinP 3 0x y z= ⇔ = = =

Bài 25 (ĐH B2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện 0x y z+ + = và 2 2 2 1.x y z+ + =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 5 5.P x y z= + +

ĐS : 5 6 6 6

MaxP ;36 3 6

x y z= ⇔ = = = −

Bài 26 (ĐH D2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).

ĐS : 17 5 5 1 5

MinA4 4

x y− += ⇔ = =

Bài 27 (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2(a c)(b c) 4c+ + = . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2

3 3

32a 32b a bP

(b 3c) (a 3c) c

+= + −+ +

ĐS : MinP 1 2 1x y= − ⇔ = = Bài 28 (ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 2 2

4 9P

(a b) (a 2c)(b 2c)a b c 4= −

+ + ++ + +

ĐS : 5

MaxP 28

a b c= ⇔ = = =

Bài 29 (ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1≤ − . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức: 2 2

x y x 2yP

6(x y)x xy 3y

+ −= −+− +

ĐS : 5 7 1

MaxP ; 23 30 2

x y= + ⇔ = =

Bài 30 (ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]0;2 .

22 3 3

( )1

x xf x

x

− +=+

ĐS : [ ]0;2

Minf(x) (1) 1f= = ; [ ]0;2

Maxf(x) (0) 3f= =


Documents

Gtln gtnn va bdt 2002 -2013