Ponticia Universidad Catlica de Valparaso Gua Transformada de Laplace Profesor: Diego Lobos M. 1. ¿Cuales de las funciones siguientes son seccionalmente continuas en R + 0 ? Justique su respuesta. (a) f (t)= 8 < : sec (t) ; si t 6= (2k + 1) 2 (k 2 Z) 0; en otro caso (b) f (t)=[t + 1] [t+1] ; donde [u] es la parte entera de u: (c) f (t)= 0; si t = 1 n ; con n =1; 2; 3::: 1; en otro caso (d) f (t)= 8 < : sin( 1 t );t> 0 0; si t =0 2. Demuestre que la funcin f (t)= p t es de orden exponencial. 3. Pruebe que f (t)= 1 p t no es de orden exponencial ni seccionalmente continua, sin embargo tiene transformada de Laplace. Ayuda: Utilice criterios de convergencia para integrales impropias. 4. Considerando la funcin (x) := Z 1 0 e t t x1 dt: (a) ¿Para que valores de x la funcin estÆ denida? (b) Demuestre que (x + 1) = x(x) 8x> 0: (c) Calcule (1) y determine (n + 1) para todo n 2 N 0 : (d) Sea f a : [0; 1[ ! R dada por f a (t)= t a ; (a 2 R) : Pruebe que L (f a )(s) ; con s> 0; existe para todo a> 1: (e) Dado a> 1; demuestre que L (t a )(s)= (a + 1) s a+1 8s> 0: Sugerencia: Utilice el cambio de variable u = st en la denicin de L (t a )(s) : 5. Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes funciones (a) f (t) = sin (at + b); donde a; b son constantes distintas de cero. (b) f (t)= t n e at ;(a 2 R;n 2 N): 1
Ejercicios de transformada de Laplace para resolver del curso ecuaciones diferenciales
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Ponticia Universidad Catlica de ValparasoGua Transformada de
Laplace
Profesor: Diego Lobos M.
1. Cuales de las funciones siguientes son seccionalmente
continuas en R+0 ? Justique su respuesta.
(a)
f(t) =
8 0:
(c) Calcule (1) y determine (n+ 1) para todo n 2 N0:(d) Sea fa :
[0;1[ ! R dada por fa (t) = ta; (a 2 R) : Pruebe que L (fa) (s) ;
con s > 0; existe para
todo a > 1:(e) Dado a > 1; demuestre que
L (ta) (s) = (a+ 1)sa+1
8s > 0:
Sugerencia: Utilice el cambio de variable u = st en la denicin
de L (ta) (s) :
5. Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes
funciones
(a)f(t) = sin (at+ b) ;
donde a; b son constantes distintas de cero.
(b)f(t) = tneat; (a 2 R; n 2 N):
1
(c)
f(t) = (2t 3) exp
(t+ 2)
3
:
Donde exp(u) = eu
(d)f(t) = sin2 (at) ; (a > 0)
(e)
f(t) =
1; si t 2 [2n; 2n+ 1[ ; n = 0; 1; 2:::
1 en otro caso(f)
f(t) = tetd
dtsin 2t
(g)
f(t) =
sin t; si t < 2
0; si t 2(h)
f(t) =
Z t0
e2u sinudu
(i)
f(t) =1 cos 3t
t2:
(j)f (t) = (1)[t] [t] :
donde [u] es la parte entera de u:
6. Demuestre que
L cos3 t = s s2 + 7(s2 + 9) (s2 + 1)
:
7. Encuentre la transformada de Laplace inversa de las
siguientes funciones
(a)
F (s) =1
s (s+ 1)
(b)
F (s) =5
s2 (s 5)(c)
F (s) =1
s2 + 4s+ 29
(d)
F (s) =3s2
(s2 + 1)2
(e)
F (s) =1
s4 + 1
[sugerencia: s4 + 1 =s4 + 2s2 + 1
2s2].2
(f)
H (s) =5
s2 (s 5)(g)
F (s) = ln
s+ 3
s+ 2
:
(h)
H (s) = ln
s
s+ 6
8. Calcule explicitamente
(a)sin at cos bt
(b)eat ebt
(c)sinh t cosh t
9. Utilice Transformada de Laplace para resolver cada uno de los
siguientes problemas de valor inicial
