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UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA

CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIERIA.

Gua N1 BAIN 041 Ecuaciones Diferenciales para IngenieraSegundo Semestre 2013

Paulo Alvarez - Sergio Jara - Ana Mara Ruiz

1. Verifique que las siguientes funciones son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales

a) y= c1sin 2x+c2cos 2xy

+ 4y= 0

b) y= x tan xxy

=y+x2 +y2

c) y = c2 +c/xy+xy

=x4(y)2

d) x+y= tan1 y1 +y2 +y2y = 0

2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciables de variables separables

a) (1 +y2)dx+ (1 +x2)dy= 0.

b) (1 +y2)dx+xydy= 0.

c) (y2 +xy2)y +x2 yx2 = 0.d) (1 +y2)dx= xdy.

e) x

1 +y2 +yy

1 +x2 = 0.

f ) x

1 y2dx+y1 x2dy= 0, y (0) = 1.g) ey(1 +y) = 1

h) y ln ydx+xdy = 0. y(1) = 1.

i) y =ax+y, a R+\1.j) ey(1 +x2)dy

2x(1 +ey)dx= 0.

k) (1 +ex)yy =ey, y(0) = 0.

l) (1 +y2)(e2xdx eydy) (1 +y)dy = 0.m) y = sin(x y).n) y =ax+by+c, dondea, b, c Ro) (1 y)eyy + y2x ln x= 0.p) (1 +y2)dx= (y

1 +y2)(1 +x2)3/2dy.

q) (xy2 y2 +x 1)dx+ (x2y 2xy+x2 + 2y 2x+ 2)dy = 0.3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciables homogeneas

a) 4x 3y+y(2y 3x) = 0.b) xy =y+

y2 x2.

c) 4x2 xy+y2 +y(x2 xy+ 4y2) = 0.d) 4x2 +xy 3y2 +y(5x2 + 2xy+y2) = 0.e) y = 2xy3x2y2 .

f ) 2xy(x2 +y2) = y(y2 + 2x2).

g) xy =

y2 x2.h) ax2 + 2bxy+cy2 +y(bx2 + 2cxy+f y2) = 0.

i) (y4 3x2)dy =xydx.j) y3dx+ 2(x2 xy2)dy= 0.k) 3x+y 2 +y(x 1) = 0.l) 2x+ 2y 1 +y(x+y 2) = 0.

4. Determine si las siguientes ecuaciones son exactas, y en caso de no serlo, encuentre un factor integrante yresuelva.

a) x(2x2

+y2

) +y(x2

+ 2y2

)y

= 0.b) (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y+ 4y3)dy= 0.

c)

2x+

x2 +y2

x2y

dx=

x2 +y2

xy2 dy.

d)

sin2xy

+x

dx+

y sin2

xy2

dy= 0.

e) (3x2 2x y)dx+ (2y x+ 3y2)dy= 0.f )

xy1+x2 + 2xy yx

dx + (

1 +x2 + x2 ln x)dy= 0

g)

3x2 tan y 2y

3

x3

dx+

x3 sec2 y+ 4y3 +

3y2

x2

dy= 0.

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5. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales o de Bernoulli segun corresponda:

a) y + 2y= x2 + 2x

b)

x2 + 2x 1 y (x+ 1)y= x 1c) x ln xy y= x3(3ln(x) 1)d) (a2 x2)y +xy = a2

e) (x+ 1)dy [2y+ (x+ 1)4

]dx= 0

f ) y= 1

x sin y+ 2sin 2y

g) y 2xy= 2xex2

h) x(x3 + 1)y + (2x3 1)y= x3 2

x

i) y +y cos x= sin x cos x; y(0) = 2

j) x ln(x)y (1 ln x)y+12

x(2 + ln x)

k) 8xy y= 1y3

x+ 1

l) y

y= 2xex+x2

m) 2sin x y +y cos x= y3(x cos x sin x)n) (x2 +y2 + 1)dy+xydx= 0

o) y y tan x= sec x; y(0) = 0p) y ny

x+ 1=ex(1 +x)n

Teorema de existencia y unicidad

6. Estudie la existencia y unicidad de la solucion del PVI definido por la ecuacion

y =

1 +xy

x2

,

cuando las condiciones son:

(a) y(2) = 10; (b) y(1) = 1;

7. Considere el PVI

x(t) = 2tx2t2 +x2

, x(1) =1.

(a) Verifique que existe una unica solucion.

(b) Resuelva el PVI y calcule explcitamente la solucion.

8. Considere la EDO

y(x) = (e

3x

y

3

2y)y x (x y)

(a) Determine las regiones donde se puede asegurar existencia y unicidad de soluciones para los PVI asociadosa esta ecuacion. Indquelas graficamente.

(b) Resuelva la EDO con la condicion y(0) = 1.

9. Considere la siguiente EDO(x2y x)dy+ydx = 0

(a) Determine las regiones de R2 donde se puede asegurar existencia unica para el PVI asociado a la EDO.

(b) Encuentre la solucion general de la EDO.

(c) Determine explicitamente la curva de solucion que pasa por el punto (1, 0) e indique el intervalo de

definicion de dicha curva.10. Considere el siguiente PVI

y xy =a(1 +x2y),

y(1) = 2a

(a) Determine de manera explicita todas las regiones del plano donde usted pueda asegurar la existencia yunicidad del PVI.

(b) Encuentre una solucion del PVI.

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11. Considere el siguiente PVI:

dy (xy+ 2x

y)dx= 0, y(x0) = y0.

(a) Encuentre la o las regiones donde se garantice existencia unica de soluciones.

(b) Resuelva el PVI si la condicion inicial es y (1) = 2. Definiendo explcitamente la curva solucion.(c) Se puede garantizar que por el punto (1, 0) pasa una unica curva solucion? Justifique adecuadamente

su respuesta.

Crecimiento - decrecimiento

12. La cantidad de bacterias de un cultivo crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al numerode ellas que haya en dicho instante. Despues de 3 horas se observa que se tienen 400 bacterias, y que al cabode 10 horas hay 2000 Cual es el numero inicial de bacterias?

13. La poblacion mundial en el ano 1998 era de aproximadamente 5, 9 billones de personas y se sabe que creceaproximadamente, un 1, 33% cada ano. Asumiendo que el crecimiento de la poblacion se rige por el modeloexponencial, calcular el valor estimado de la poblacion mundial en el ano 2023.

14. El modelo de crecimiento poblacional presentado por el matematico holandes Verhulst en 1837, establecia que

dN

dt =N(a bN),N(0) =N0, .

dondeN indica el numero de individuos en estudio en el tiempo t, a y b constantes.

(a) Resuelva el PVI, asociado al modelo de Verhulst.

(b) Determine la poblacion lmite.

(c) En 1845, Verhulst publico sus resultados para la poblacion de los E.U.A., con a = 0.3134, b = 1.5887 1010, N0 = N(1790) = 3.9 106 habitantes. Determinar la poblacion estimada por el modelo para el ano1920 (como dato cabe mencionar que la poblacion real al ano 1920 era de 106.5 millones de habitantes).

Ley de enfriamiento de Newton

15. Una taza de cafe se retira de la cocina cuando alcanza 70o C de temperatura y se pone a reposar en la mesade una habitacion, donde la temperatura del aire es de 10o C. Transcurrido 1 min, la temperatura del cafe esde 60oC. Cuanto tiempo demorara el cafe en enfriarse a 12o C?

16. En un lindo da de Septiembre con 20 a la sombra en Valdivia, de un horno de barro se sacan empanadas auna temperatura de 100, a los 2 minutos quisimos comerlas pero estas estaban todava muy calientes (80)Cual es la temperatura luego de 5 minutos? Se sabe que una temperatura adecuada para comerlas es 40

Cuanto tiempo sera necesario esperar?

17. Una pequena barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20oC, se deja caer en un recipiente de aguahirviendo.

i) Calcule el tiempo que dicha barra demorara en alcanzar los 90oC, si se sabe que su temperatura aumenta2oCen 1 segundo.

ii) Cual sera la temperatura de la barra al cabo de 45 segundos?

iii) Cuanto demorara la barra en alcanzar los 98oC?

18. Por razones obvias, la sala de diseccion de un forense se mantiene fra a una temperatura constante de 5oCMientras se encontraba realizando una autopsia de la vctima de un asesinato, el propio forense es asesinado, yel cuerpo de la vctima, robado. A las 9:00 A.M. el ayudante descubre su cadaver a una temperatura de 21oCA medioda, su temperatura es de 13oC. Suponiendo que el forense tena en vida una temperatura normal de37oC, a que hora fue asesinado?

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19. La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es de 200C. La temperatura del aire que lo rodeaes de 30C. Despues de 10 minutos, la temperatura de la superficie del motor es de 180C.

(a) Cuanto tiempo tomara que la temperatura de la superficie del motor baje a 40C?

(b) Para una temperaturaT entre 200Cy 30C, seat(T) el tiempo necesario para que el motor se enfre de200Ca TC. Encuentre una formula para t(T) en terminos de T, grafique la funcion.

(c) En cuanto tiempo la temperatura del motor se iguala a la temperatura ambiente?

20. El sabado 13 de abril de 2013 a las 07:00 hrs. un conserje de la UACh encuentra el cuerpo de un estudiantede ecuaciones diferenciales en el aula donde rindio su examen el da anterior, que se conserva a temperaturaconstante de 26C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28Cy pasada hora y media la temperaturaes de 27.5C. Considere la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte de 37Cy que se ha enfriadosegun la Ley de Enfriamiento de Newton, cual fue la hora de la muerte?

Analisis de Compartimentos

21. A un tanque que contiene inicialmente 400 litros de agua pura se le incorpora salmuera, la cual contiene 1/8 kgde sal por litro, a razon de 8 lt/min. Simultaneamente, la mezcla (que es mantenida uniforme por agitacion)abandona el tanque a razon de 4 lt/min. Determine la cantidad de sal presente en el tanque cuando estecontiene 500 litros de salmuera.

22. Se esta celebrando una fiesta en una habitacion que contiene 1.800 pies cubicos de aire libre de monoxido decarbono. En el instante t = 0 varias personas empiezan a fumar. El humo, que contiene un seis por cientode monoxido de carbono, se introduce en la habitacion a razon de 0.15 pies cubicos por minuto, y la mezclaremovida por ventilacion, sale a ese mismo ritmo por una ventana entreabierta. Cuando debera abandonaruna persona prudente esa fiesta, si el nivel de monoxido de carbono comienza a ser peligroso a partir de unaconcentracion de 0.00018?.

23. Un tanque de 1000 litros de capacidad es usado en un proceso de purificacion de agua. A traves de un conducto1 a una concentracion de 0.5 [Kg/lt] entra al tanque una mezcla de agua y un contaminante CRM a un flujo de4 [lt/min]. Paralelamente por un conducto 2 entra al tanque un flujo de 6 [lt/min] de agua pura. Suponiendoque en todo instante la mezcla al interior del tanque es homogenea, y si por un conducto 3 del tanque fluyenhacia el exterior (en realidad hacia un tanque mayor de recepcion) 5 [lt/min] de mezcla. Defina hasta einstantedel derrame el PVI que determina la cantidad de contaminante y resuelvalo.

24. La corriente sanguinea lleva un medicamento recien inyectado hacia el interior de un organo a razon de 3cm3/sy sale de el a la misma velocidad. El organo tiene un volumen lquido de 125 cm3. Si la concentracion demedicamento en la sangre que entra en el organo es de 0.2 gr/cm3. En que instante la concentracion demedicamento en el organo sera de 0.1gr/cm3

25. Considere los dos tanques de la figura. Inicialmente el tanque 1, contiene 200 litros de solucion salina en la quese han disuelto 40 kilos de sal. El tanque 2, que tiene 400 litros de capacidad, contiene 100 litros de solucionsalina con concentracion de sal de 1/25 kilos por litro.En el instante t = 0 se abren simultaneamente las llavesA, B , CyD. PorA entra solucion con concentracionde 1/10 kilos por litro a 10 litros por minuto. Por B pasa 10 la solucion del tanque 1 al tanque 2 a 10 litrospor minuto. Por Centra agua pura a 2 litros por minuto y por D sale solucion a 6 litros por minuto.

(a) Determinar la cantidad de sal en el tanque 1 en un tiempo t.

(b) Determinar el instante t1 en que se llena el tanque 2.

(c) Determinar la cantidad de sal en el tanque 2 en un tiempo 0 < t < t1.

(d) Determinar la concentracion de sal en cada tanque en el instante en el cual el segundo tanque comienzaa derramarse.

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Segunda Ley de Newton

26. Un objeto que pesa 30Nse deja caer desde una altura de 40 m, con una velocidad inicial,de 3m/s. Supongamosque la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad lmite debe ser40m/s. Encuentre la expresion para la velocidad y la posicion del cuerpo en un tiempo t cualquiera.

27. La fuerza de resistencia del agua que actua sobre un bote es proporcional a su velocidad instantanea, y es taque a 20 m/s la resistencia del agua es 40 N. Si el bote tiene una masa de 420kg y el pasajero 80 kg, si emotor puede ejercer una fuerza estable de 50 Nen la direccion del movimiento.

(a) Encuentre la velocidad maxima a la cual el bote puede viajar.

(b) Encuentre la distancia recorrida y la velocidad a cualquier tiempo, asumiendo que el bote parte del reposo

28. Se deja caer un cuerpo desde un avion que vuela a una altitud de 50000 metros. Si la resistencia del aire es 14de la velocidad de cada y suponiendo que inicia su cada con velocidad nula, determine su velocidad lmite.

29. Una partcula de masa unitaria se dispara verticalmente hacia arriba en un campo gravitacional constanteg = 10 metros por segundo cuadrado con una velocidad inicial v0 = 100 metros por segundo. Suponga queel medio ejerce una fuerza de resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instant anea con constantede proporcionalidad k = 0, 2 newton por segundo cuadrado dividido por metro cuadrado.Determine la alturamaxima que alcanza la particula. Use la aproximaciomnln(21) = 3, 04.

30. Un cuerpo de 8 libras de peso cae desde el reposo hacia la tierra desde gran altura.A medida que cae, laresistencia del aire actua sobre el. Suponga que esta resistencia en libras, equivale al doble de la velocidaden pies por segundos. Determine la velocidad y la distancia de cada en el tiempot. Considereg = 32 pies/seg2

31. Un objeto de masa 32 kilos es lanzado hacia arriba con una velocidad de 100 metros por segundo en un medioque presenta una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad con constante de proporcionalidadigual a 0,005.

a) Determine el intervalo de tiempo transcurrido antes de que la velocidad del objeto tenga el 90% de suvalor limite (es decir, el valor al cual tiende la velocidad cuando t ). Considere g = 10m/s2.

b) Determine la mayor altura alcanzada por el objeto.

Ley de Torrecelli

32. Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical hacia abajo cuya dimensiones son 2 mt dediametro y altura 3 mt. El tanque inicialmente esta lleno en su totalidad y el liquido escapa por un orificio de

20 cm2 de area situado al fondo del tanque. Determine:

(a) Cuanto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque s olo un tercio de su capacidad inicial

(b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente

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33. Un deposito en forma de cono circular recto invertido y truncado con 4 metros de radio menor, 8 metros deradio mayor y 16 metros de altura, est a lleno en un 90% de su capacidad. Si su contenido se escapa porun orificio de 10 cm2 de area, ubicado al fondo del tanque, y sabiendo que el coeficiente de descarga se haestablecido en 0.75, determine el tiempo que tardara en vaciarse totalmente.

34. Una taza hemisferica de radio R esta llena de agua. Si hay un pequeno orificio de radio r en el fondo de lasuperficie, determine el tiempo de vaciado

35. El tanque que se muestra en la figura esta totalmente lleno de lquido. Se inicia el proceso de vaciado, por unaperforacion circular de area 1 cm2 ubicada en la base inferior del deposito. Si se ha establecido el coeficientede descargak = 0.447 y la gravedad es g = 10m/s2. Determine:

(a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18 .75% de sucapacidad.

(b) Tiempo de vaciado total del tanque.

36. Un tanque en forma semiesferica de 8 mt de radio esta totalmente lleno de agua. Se retira un tapon que estaen el fondo, justo a las 4:27 pm. Una hora despues la profundidad del agua en el tanque ha descendido 1 mtDetermine:

(a) A que hora el tanque estara vaco?

(b) A que hora quedara en el tanque 31.25

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problemas de planteamiento

37. Un escalador de montanas sale de su campamento base a las 6:00 a.m. A medida que trepa, la fatiga y lafalta de oxgeno se hacen sentir de modo que la rapidez con la cual aumenta su elevacion es inversamenteproporcional a la elevacion. Al medioda esta a una altura de 19.000 pies, y a las 2:00 p.m. ha llegado a lacima de la montana, que esta a 20.000 pies. Que tan alto era su campamento base?

38. La velocidad a la que se transmite una noticia en un grupo es directamente proporcional al numero de individuosque aun no la conocen. Si inicialmente haba 10 personas que saban la noticia y a los 3 dias la conocan 100personas, determinar cuanta gente lo sabra al mes de producirse la noticia.Indicacion: Considere el hecho de que la poblacion es de 40000000 de habitantes.

39. El estroncio 90 tiene una vida media de 25 a nos. Si ponemos 100 gramos en un recipiente sellado. Cuantosgramos permanecen despues de 15 anos?

40. Para hacer un buen diagnostico oftalmologico, ayer a las 20:00 horas se le administr o a Nicolas cierta drogaque dilata la pupila. El medico explico que la droga tiene una semivida de 6 horas y que Nicolas presentaramolestias visuales hasta que se hubiera eliminado el 80% del medicamento. Cuando Nicolas se levanto estamanana a las 7, se quejo de tener aun la vista borrosa. Era por efecto del medicamento? Justifique.

41. Suponga que la poblacionP(t) en un lago es atacada por una enfermedad al tiempot = 0, con el resultado que

los peces cesan de reproducirse y el ndice de mortalidad (muerte por semana por pez) es de ah en adelanteproporcional a

1/P. Si originalmente haba 900 peces en el lago y 6 semanas despues quedaban 441, cuantotiempo tardaran en morir todos los peces del lago?

42. La rapidez con que aumenta el numero de supermercados que emplea cajas computarizadas en un pas esconjuntamente proporcional a la cantidad de supermercados que ya las emplean y a la cantidad que aun no lohace. Si en el pas hay 2001 supermercados, inicialmente uno solo adopta el sistema y despues de un mes lohacen 3, calcule el numero de supermercados que adoptara el sistema despues de 10 meses. En cuantos mesesaproximadamente, todos los supermercados del pas tendran cajas computarizadas?

43. Suponga que una poblacion dada puede dividirse en dos grupos: los que padecen cierta infeccion y los quetodava no la padecen, pero que son susceptibles de adquirirla por contagio de los anteriores. Si x e y son lasproporciones de poblacion infectada y no infectada, entonces x +y= 1. Suponga que el ritmo de propagaci on(dx/dt) es conjuntamente proporcional a x e y .

(a) Determine la proporcion de personas infectadas en el tiempo t en funcion del numero inicial de infectadosx0 (y el tiempo t).

(b) Si la poblacion es de 100 personas e inicialmente hay una persona contagiada, y al da siguiente hay 10personas, determine en cuanto tiempo estara infectada toda la poblacion. (Use ln3 = 1.1 y ln 11 = 2.4).

Problemas Miscelaneos

44. Considere la EDOdy

dx=

2y y2x2y+x

.

(a) Verifique que la EDO dada no es exacta.

(b) Para que valores de r la funcion g(x) = xr resulta un factor integrante para la EDO?

(c) Resuelva la EDO exacta que se obtiene en (b).

45. Para f(x)=g(x) considere la ecuacion diferencial

yf(xy)dx+xg(xy)dy= 0.

(a) Pruebe que (x, y) = 1xy(f(xy)g(xy)) es factor integrante para la ecuacion diferencial dada.

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(b) Use la parte a) para encontrar la solucion general implcita de

(xy2 + 2y)dx+ (3x2y 4x)dy = 0.

46. Demostrar que la ecuacionxy =y x2 y2

tiene un factor integrante de la forma

(x, y) =

1

x2 +y2 ,

y utilizar este para obtener la solucion de la ecuacion diferencial que pasa por el punto y(0) = 1.

47. Considere la EDO:dy

dx=

6x 2y3x 4x2y1 , cony(1) = 3.

(a) Es exacta la forma diferencial asociada a la EDO dada ? Justique.

(b) Determinerysde modo que(x, y) = xrys sea un factor de integracion para la forma diferencial asociada

(c) resuelva el PVI correspondiente.

(a) Muestre que el cambio de variable z = g(y) convierte la ecuacion g(y)y +p(x)g(y) = f(x) ,en unaecuacion lineal.

(b) Usando lo anterior encuentre la solucion general implcita de la ecuacion

ey2

(2yy +2

x) =

1

x2

(c) Encuentre la solucion particular que pasa por el punto (2, (ln(2)12 ) y el intervalo maximo donde estadefinida.

48. Dada la EDO(3y2 x)dx+ 2y(y2 3x)dy= 0

Encuentre el factor integrante, sabiendo que este es de la formau(x, y) = g(x+y2)

49. Considere la EDO (y ln y 2xy)dx+ (x y3ey)dy= 0(a) Verifique si la E.D.O. es o no exacta, y en caso de no serlo, determine el factor integrante que la transforma

en exacta.

(b) Resuelva la E.D.O. exacta obtenida en a).

50. Muestre que la sustitucionv = ln y transforma la ecuacion diferencialy + P(x)y= Q(x)(y ln y) en la ecuaciondiferencial lineal v +P(x) = Q(x)v. Utilice esto para resolver xy 4x2y+ 2y ln y= 0.

51. (a) Seaf : R R continua. Considere una ecuacion de primer orden de la formady

dx=f

yx

, x > 0.

Considere el cambio de variablez (x) = y(x)/x. Muestre que z satisface la ecuacion

xz +z = f(z),

y que esta ecuacion es de variables separables.

(b) Use (a) para resolver la ecuaciondy

dx=

x+y

x y .

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52. Considere la ecuacion y =|x| con y(0) = 0. Pruebe que existen por lo menos dos soluciones para esta

ecuacion. Contradice el teorema de existencia y unicidad? Justifique.

53. Resuelva el problema de condicion inicial

dy

dx= x

x2 +y2 +y, y(0) = 1

exhibiendo el intervalo maximal de existencia de la solucion.

54. Resuelva el problema de valor inicial

(x2 +x y2) xy dydx

= 0, y(1) = 1,

exhibiendo el intervalo maximal de existencia de la solucion.

55. Encuentre una solucion y1(x) NO constante en el intervalo [0, ] del problema con con condicion inicial y +

1 y2 = 0, y(0) = 1. Verifique que y2(x)1 tambien es una solucion de este problema. Contradice estehecho el teorema de existencia y unicidad? Justifique.

56. Considere la ecuacion diferencialy =P(x)F(y) +Q(x)G(y), (1)

dondeP yQ son funciones continuas, F yG son derivables y G no es identicamente nula.

(a) Muestre que siF(y)G(y) G(y)F(y)

G(y) =C0 (2)

dondeC0 R es una constante, entonces la sustitucionu = F(y)/G(y) permite reducir la ecuacion (1) auna EDO lineal de primer orden en u.

(b) Resuelva la ecuacion y = tan(y) +1

xsec(x) aplicando el metodo de la parte (a). Indicacion: Comience

por verificar que se sastiface la condicion (2) con C0 = 1.

57. Obtenga una funcion M(x, y), de modo que el siguiente problema sea exacto

M(x, y)dx+

xexy + 2xy+ 1x

dy = 0.

58. Resolver la ecuacion diferencial

y

1 +1

x

y+

x+

1

x

ex = 0

y probar que hay dos soluciones particulares para la ecuacion tales que una es la derivada de la otra.