Embed Size (px)
Citation preview
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRỊNH THỊ XUÂN TRANG
HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2016
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ
Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG
Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng
08 năm 2016.
Có thể tìm Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của toán học,
đã tồn tại , phát triển trong hàng ngàn năm qua, và có nhiều ứng
dụng trong khoa học và thực tiễn. Trong khuôn khổ chương trình
toán phổ thông hiện hành, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm
lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: công thức
lượng giác, phương trình lượng giác và hệ thức lượng giác. Tuy
nhiên, chủ đề hệ thức lượng giác và đặc biệt là phần ứng dụng của nó
được đề cập đến với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức
độ nhất định. Hệ thức lượng giác là một chuyên đề tương đối khó đối
với học sinh phổ thông. Đồng thời, trong các đề thi tuyển sinh Đại
học và cao đẳng, thi học sinh giỏi toán quốc gia, quốc tế hằng năm
thường gặp những bài toán có liên quan đến các hệ thức lượng giác
cùng những ứng dụng của nó.
Là một giáo viên đang giảng dạy môn Toán ở trường phổ
thông, với mục đích tìm hiểu các ứng dụng của lượng giác trong
chương trình trung học phổ thông, nên tôi chọn đề tài cho luận văn
thạc sĩ của mình là : “Hệ thức lượng giác và ứng dụng”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về lượng giác, đặc biệt là các hệ
thức lượng giác.
Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán có thể giải được
bằng các hệ thức lượng giác.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Các hệ thức lượng giác.
2
Các ứng dụng của hệ thức lượng giác trong tam giác và
tứ giác.
Các bài toán thuộc chương trình phổ thông có thể giải được
bằng cách sử dụng các hệ thức lượng giác.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội
dung đề tài luận văn.
Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.
Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn,
của các chuyên gia và của các đồng nghiệp.
5. Nội dung của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham
khảo, luận văn được chia thành 3 chương
Chương 1. Trình bày sơ lược các hệ thức lượng giác và một số
bất đẳng thức đại số hay sử dụng trong các chương sau.
Chương 2. Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong
tam giác.
Chương 3. Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong
tứ giác.
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này nhắc lại những hệ thức lượng giác cơ bản và một
số bất đẳng thức đại số nhằm làm cơ sở cho các chương sau.
1.1. CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
1.1.1. Đẳng thức lƣợng giác
a. Độ dài đường trung tuyến của tam giác
3
2 2 2
22
4a
b c am
;
2 2 2
22
4b
a c bm
;
2 2 2
22
4c
a b cm
b. Độ dài đường cao của tam giác
2
a
Sh
a ;
2b
Sh
b ;
2c
Sh
c
c. Độ dài đường phân giác trong của tam giác
2
cosa
bcl A
b c
;
2cosb
acl B
a c
;
2cosc
abl C
a b
d. Diện tích tam giác
1 1 1
2 2 2a b cS ah bh ch
1 1 1sin sin sin
2 2 2S ab C bc A ac B
4
abcS
R ; S pr ; S p p a p b p c
a b cS r p a r p b r p c
e. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
2sin 2sin 2sin 4
a b c abcR
A B C S
f. Bán kính đường tròn nội tiếp
S
rp
; tan tan tan2 2 2
A B Cr p a p b p c
g. Bán kính đường tròn bàng tiếp các góc của tam giác
a
Sr
p a
; b
Sr
p b
; c
Sr
p c
h. Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác
sin sin sin 4cos .cos .cos2 2 2
A B CA B C
sin2 sin2 sin2 4sin .sin .sinA B C A B C
4
2 2 2sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C
2 2 2sin sin sin 1 2sin sin sin2 2 2 2 2 2
A B C A B C
cos cos cos 1 4sin .sin .sin2 2 2
A B CA B C
cos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cosA B C A B C
2 2 2cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C
2 2 2cos cos cos 2 2sin sin sin2 2 2 2 2 2
A B C A B C
tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C
tan tan tan tan tan tan 12 2 2 2 2 2
A B B C C A
cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A
cot cot cot cot .cot .cot2 2 2 2 2 2
A B C A B C
1.1.2. Bất đẳng thức lƣợng giác
sin sin sina b c A B C
3 3sin sin sin
2A B C ;
3 3sin .sin .sin
8A B C
3sin sin sin
2 2 2 2
A B C ; 2 2 2 9
sin sin sin4
A B C
2 2 2 3sin sin sin
2 2 2 4
A B C ;
1sin .sin .sin
2 2 2 8
A B C
3cos cos cos
2A B C ;
1cos .cos .cos
8A B C
cos .cos .cos 1 cos 1 cos 1 cosA B C A B C
5
3 3cos cos cos
2 2 2 2
A B C ;
3 3cos .cos .cos
2 2 2 4
A B C
2 2 2 3cos cos cos
4A B C ; 2 2 2 9
cos cos cos2 2 2 4
A B C
tan tan tan 3 3A B C ( ABC nhọn)
2 2 2tan tan tan 9A B C ( ABC nhọn)
2 2 2tan tan tan 12 2 2
A B C ; tan tan tan 3
2 2 2
A B C
tan tan tan cot cot cot2 2 2
A B CA B C
2 2 2cot cot cot 1A B C ; cot cot cot 3A B C
cot cot cot 3 32 2 2
A B C ; 2 2 2cot cot cot 9
2 2 2
A B C
1.1.3. Định lý sin, định lý côsin, định lý tang
a. Định lý côsin
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
2 2 2 2 cosa b c bc A
2 2 2 2 cosb a c ac B
2 2 2 2 cosc a b ab C
b. Định lý sin
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
2sin sin sin
a b cR
A B C
c. Định lý tang
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
6
tan2
tan2
A Ba b
A B a b
;
tan2
tan2
B Cb c
B C b c
;
tan2
tan2
C Ac a
C A c a
1.2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ THƢỜNG GẶP
1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy
Cho 1 2, ,..., na a a là các số không âm. Khi đó ta có:
1 21 2
......n n
n
a a aa a a
n
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a .
1.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho hai dãy số 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Khi đó ta có:
22 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n na a a b b b a b a b a b .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b .
1.2.3. Bất đẳng thức Chebyshev
Cho hai dãy số 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b thỏa mãn điều kiện
1 2 ... na a a ; 1 2 ... nb b b . Khi đó ta có
1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n na a a b b b n a b a b a b .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2
1 2
...
...
n
n
a a a
b b b
1.2.4. Bất đẳng thức Svacxơ
Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b trong đó bi > 0
với mọi i = 1, 2, ..., n. Khi đó ta có:
7
222 21 21 2
1 2 1 2
......
...
nn
n n
a a aaa a
b b b b b b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
CHƢƠNG 2
HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC
Chương này trình bày việc sử dụng các hệ thức lượng trong
tam giác để giải một số lớp bài toán về tam giác, cụ thể là bài toán
nhận dạng tam giác, các bài toán về chu vi, diện tích tam giác ...
2.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TAM GIÁC
Để nhận dạng tam giác, ta thường sử dụng một trong các
phương pháp như sau:
Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác để tính
góc hoặc cạnh
Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản trong tam giác
và các bất đẳng thức đại số
Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp đánh giá dựa trên các
tính chất tam giác và tính chất của hàm số
2.1.1. Nhận dạng tam giác vuông
Để chứng minh ABC là tam giác vuông, ta sử dụng Định lý
Pythagore, hoặc chứng minh tam giác có một góc vuông (góc đối
diện với cạnh dài nhất của tam giác).
Bài toán 2.2. Cho ABC thỏa mãn hệ thức:
2 2 21 sin sin sin
4 2 2 2
a b c B C A
R
. (2.1)
Chứng minh ABC vuông.
8
Giải:
2 (sin sin sin ) 1 cos 1 cosC(2.1) 1
4 2 2
1 cos
2
R A B C B
R
A
sin sin sin 1 cos cos cosA B C A B C
22sin cos 2sin cos 2sin2 2 2 2 2
2cos cos2 2
A A B C B C A
B C B C
cos cos cos sin cos cos2 2 2 2 2 2
A B C B C A B C B C
2cos cos cos 2sin cos cos2 2 2 2 2 2
A B C A B C
cos sin cos cos 02 2 2 2
A A B Cdo
tan 12 2
AA
. Vậy ABC vuông tại A.
2.1.2. Nhận dạng tam giác cân
Để chứng minh ABC là tam giác cân, ta chứng minh tam
giác có 2 cạnh bằng nhau, hoặc có 2 góc bằng nhau.
Bài toán 2.10. Cho ABC có:
2 2
2 2
2 2
cos cos 1cot cot
sin sin 2
A BA B
A B
. (2.2)
Chứng minh rằng ABC cân.
Giải:
9
(2.2) 2 2
2 2 2 2
2 sin sin 1 1 11 1
sin sin 2 sin sin
A B
A B A B
2 2 2 2
2 1 1 11
sin sin 2 sin sinA B A B
2 2
2 2 2 2
2 sin sin
sin sin 2sin sin
A B
A B A B
2 2
2 2 2 2 2 24sin sin sin sin 0 sin sinA B A B A B
2 2sin sin sin sin 0 ,A B A B A B A B .
Vậy ABC cân tại C.
2.1.3. Nhận dạng tam giác đều
Để chứng minh ABC là tam giác đều, ta chứng minh tam
giác có 3 cạnh bằng nhau, hoặc có 3 góc bằng nhau, hoặc chứng
minh ABC cân và có một góc bằng 600 .
Bài toán 2.19. Cho ABC có:
2 2 2
2 2 2
cos cos cos2 2 2
2sin 2sin 2sin2 2 2
B C C A A Ba b c
a b cA B C
.
Chứng minh rằng ABC đều.
Giải:
Ta có:
2 4 sin cos .coscos 2 sin .cos2 2 22 2
2sin 2sin 2sin2 2 2
A A B CB C B C a Ra a R A
A A A
10
aR 2cos cos aR 2sin cos aR sin sin2 2 2 2
A B C B C B CB C
2 sin 2 sin
2 2
a R B R C a b c
Tương tự ta có:
2 cos2
22sin
2
C Ab b c a
B
;
2 cos2
22sin
2
A Bc c a b
C
Từ đó suy ra:
Đẳng thức đã cho 2 2 2
2 2 2
a b c b c a c a ba b c
2 2 2 2 2 2 0ab bc ca a b c a b c ab bc ca
2 2 21
02
a b b c c a a b c
.
Vậy ABC đều.
2.2. CÁC BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ GÓC CỦA TAM GIÁC
Bài toán 2.30. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
cos cos 2cosA B C . Chứng minh bất đẳng thức
8
max ,9
c a b . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải:
Sử dụng Định lý côsin trong tam giác ABC, điều kiện bài toán
tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
b c a a c b a b c
bc ac ab
2 2 22 2 2
2 2
b c a a c b a b c
bc ac ab
11
2 2
b c a a b c a c b a b c a b c a b c
bc ac ab
2a b c a b a c b c a b c
2 2 22 2 0a b c ab ac bc (2.3)
Từ (2.3) suy ra b là nghiệm của phương trình:
2 2 22 2 0x a c x a ac c
Và a là nghiệm của phương trình:
2 2 22 2 0x b c x b bc c
Hai phương trình có nghiệm nên 29 8 0c ac , và
29 8 0c bc . Suy ra 8
9c a và
8
9c b .
Vậy 8
max ,9
c a b .
Bài toán 2.33. Hãy tính các góc của ABC nếu trong tam giác
đó, ta có:
2 2 2
sin sin sin 1 2
b c a
A B C
.
Giải:
Từ: 2 2 2 2 2 2 0b c a b c a
Lúc đó: 2 2 2
0cos 0 902
b c aA A
bc
Ta có: sin sin sin sin 2sin cos2 2
B C B CA B C A
sin 2cos cos2 2
A B CA
12
sin sin sin 1 2cos2
AA B C (2.4)
Mà 0 090 452
AA và
2cos
2 2
A
(2.4)
sin sin sin 1 2A B C
Dấu đẳng thức xảy ra khi: 0
cos 12
2cos
2 2 90
sin 1
B C
B CA
A
A
.
Vậy ABC vuông cân tại A.
2.3. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG PHÂN GIÁC, ĐƢỜNG
TRUNG TUYẾN, ĐƢỜNG CAO CỦA TAM GIÁC.
Bài toán 2.41. Cho ABC. Chứng minh rằng:
2 2 2 2a b cp r R h h h r . (2.5)
Giải:
(2.5) 2 2 4 2 a b cp r Rr R h h h
2 2 2 2 24 2
S S Sp r Rr R
a b c
2 2 24 .2
Rp r Rr S ab bc ca ab bc ca
abc
Vậy từ giả thiết suy ra phải chứng minh:
2 2 4p r Rr ab bc ca (2.6)
13
Ta có: cot
2
2 sin
Ap a r
a R A
tan2
sin2
A r
p a
aA
R
Áp dụng công thức:
2
2 tan2sin
1 tan2
A
AA
và thay sin2
aA
R và tan
2
A r
p a
,
ta có 3 2 2 22 4 4 0a pa p r Rr a pRr
Như vậy bằng cách thay A bằng B, C suy ra a, b, c là các nghiệm của
phương trình:
3 2 2 22 4 4 0x px p r Rr x pRr
Theo Định lý Vi-et, ta có 2 2 4ab bc ca p r Rr .
Vậy (2.6) đúng, và đẳng thức (2.5) được chứng minh.
Bài toán 2.43. Chứng minh rằng trong ABC ta có:
32
3a b c
a b c
h h h r
l l l R .
Giải:
Trong ABC vẽ đường cao AH và đường phân giác AD.
Ta có: 2
sin sin sin cos2 2 2
a
a
h A C A B CADH C
l
14
Tương tự:
H D
CB
A
cos2
b
b
h C A
l
, cos
2
c
c
h A B
l
Theo trên ta có: cos cos cos2 2 2
a b c
a b c
h h h B C C A A B
l l l
Vậy 32
3a b c
a b c
h h h r
l l l R
3cos cos cos 6 sin sin sin2 2 2 2 2 2
B C C A A B A B C (2.7)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3cos cos cos 3 cos cos cos2 2 2 2 2 2
B C C A A B B C C A A B
(2.8)
Dấu bằng trong (2.8) xảy ra A B C . Ta sẽ chứng minh rằng:
cos cos cos 8sin sin sin2 2 2 2 2 2
B C C A A B A B C (2.9)
Thật vậy:
15
(2.9) 8cos cos cos cos cos cos 8sin sin sin2 2 2 2 2 2
A B C B C C A A BA B C
2sin cos 2sin cos 2sin cos2 2 2 2 2 2
8sin sin sin
B C B C C A C A A B A B
A B C
sin sin sin sin sin sin 8sin sin sinB C C A A B A B C (2.10)
Theo bất đẳng thức Cauchy thì:
sin sin 2 sin sin
sin sin 2 sin sin
sin sin 2 sin sin
B C B C
C A C A
A B A B
Vậy (2.10) đúng, tức là (2.9) đúng. Từ (2.8) và (2.9) suy ra
(2.7) đúng (đpcm). Dấu bằng xảy ra ABC là tam giác đều.
2.4. CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC.
Bài toán 2.52. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC. Các
đường thẳng AI, BI, CI kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp ABC lần
lượt tại A’, B
’, C
’. Chứng minh rằng:
'2 '2 '2 1
2p a IA p b IB p c IC abc .
Giải:
Giả sử O, R, r lần lượt là tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp,
bán kính đường tròn nội tiếp ABC. Gọi D là tiếp điểm của
đườngtròn (I ; r) với cạnh AB. Khi đó:
.tan2
AID AD hay .tan
2
Ar p a .
Vì .ABCS p r , nên . .tan2
ABC
AS p p a
16
Lại có 1
sin2
ABCS bc A , suy ra
2.cos2
Abc
p ap
(2.11)
D
O
I
B C
A
A'
E
Kẻ đường kính A’E của đường tròn (O). Ta thấy A
’IB cân tại A
’ (do
' '
2
BAC ABCA BI A IB
) nên
' ' ' .sin 2 .sin2 2
2cos2
A A aIA BA A E R
A (2.12)
Từ (2.11) và (2.12) suy ra 2
'2
4
a bcp a IA
p .
Tương tự: 2
'2
4
ab cp b IB
p ;
2'2
4
abcp c IC
p
Do đó:
'2 '2 '2 1
4 2
abc a b cp a IA p b IB p c IC abc
p
(đpcm).
2.5. CÁC BÀI TOÁN VỀ BÁN KÍNH ĐƢỜNG TRÒN NỘI
TIẾP, NGOẠI TIẾP CỦA TAM GIÁC.
Bài toán 2.72. Cho ABC. Chứng minh rằng:
17
1 1 1 4
cot cot cot2 2 2
R r
A B C p
.
Giải:
Ta có: 1 1 1
cot cot cot2 2 2
A B C tan tan tan
2 2 2
A B C
Mà: 1 1 1
tan tan tan2 2 2
A B Cr
p a p b p c
22 pr p ab bc cap ab bc car
p a p b p c p p a p b p c
2p ab bc ca
S
(2.13)
Lại có:
2 2
4 pabc p p a p b p cR r abc S
p pS p p S
2ab bc ca p
S
. (2.14)
Từ (2.13) và (2.14) suy ra đpcm.
CHƢƠNG 3
HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TỨ GIÁC
Chương này trình bày việc sử dụng các hệ thức lượng giác để
giải một số lớp bài toán về tứ giác, cụ thể là bài toán nhận dạng tứ
giác, các bài toán về cạnh và góc của tứ giác, các bài toán về chu vi,
diện tích tứ giác.
3.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TỨ GIÁC
Bài toán 3.2. Cho tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện:
18
sin sin sin sin
2sin sin sin sin sin sin sin sin
A B C D
B C C D D A A B
.
Chứng minh ABCD là hình bình hành hoặc hình thang cân.
Giải:
Đặt 1
sin
sin sin
Aa
B C
; 2
sin
sin sin
Ba
C D
3
sin
sin sin
Ca
D A
; 4
sin
sin sin
Da
A B
1 sin sin sinb A B C ; 2 sin sin sinb B C D
3 sin sin sinb C D A ; 4 sin sin sinb D A B
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4a b a b a b a b a a a a b b b b
sin sin sin sin2
sin sin sin sin sin sin sin sin
A B C D
B C C D D A A B
(3.1)
Dấu bằng trong (3.1) xảy ra sin sin sin sinA B C D .
Bài toán 3.3. [11] Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi R1, R2, R3, R4
lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD,
ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng: Nếu R1.R3 = R2.R4 thì tứ giác
ABCD nội tiếp.
Giải:
Theo Định lý sin, ta có:
1 2 3 4
1 1 1 1
, , ,2sin 2sin 2sin 2sin
BC AD AD BCR R R R
D C B A
19
1
1
11
A D
B
C
Từ 1 3 2 4 1 1 1 1. . sin sin sin sinR R R R D B C A (3.2)
Rõ ràng, ta có 1 1 1 1 1 1 1 1A B C D D B A C (3.3)
1 1 1 1 1 1 1 1cos cos sin sin cos cos sin sinD B D B A C A C
Do đó từ (3.3) suy ra: 1 1 1 1cos cos cos cosD B A C (3.4)
Lấy (3.4) trừ (3.2) vế theo vế suy ra:
1 1 1 1 1 1 1 1cos cosD B A C D B A C (3.5)
Từ (3.5) và (3.3) có D1 = A1. Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.
3.2. CÁC BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ GÓC CỦA TỨ GIÁC
Bài toán 3.8. Cho ABCD là tứ giác lồi và không có góc nào
vuông. Chứng minh:
tan tan tan tan
cot cot cot cottan tan tan tan
A B C DA B C D
A B C D
.
Giải:
Xét hai trường hợp sau:
1. 090A B và 0270A B , khi đó tan A B và
tan C D có nghĩa.
Vì 0360A B C D nên tan tan 0A B C D
20
tan tan tan tan0
1 tan tan 1 tan tan
A B C D
A B C D
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan 0A B C D C D A B
tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan
tan tan tan tan tan tan
A B C D A B C A C D
B C D A B D
tan tan tan tan 1 1 1 1
tan tan tan tan tan tan tan tan
A B C D
A B C D D B A C
tan tan tan tancot cot cot cot
tan tan tan tan
A B C DA B C D
A B C D
2. 090A B hoặc 0270A B . Do 0270C D và ABCD là tứ
giác lồi không có góc nào vuông nên suy ra 0 090 180D (vì nếu
0 090 180D C mâu thuẫn với tính lồi của ABCD).
Do 0 0 0 090 0 90 90 270A B A A D .
Áp dụng phần 1. với A D và B C suy ra đpcm.
Bài toán 3.10. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Đường tròn với
tâm trên cạnh AB tiếp xúc với ba cạnh kề. Chứng minh:
AD BC AB .
Giải:
C
M
D N
P
BA
O
Gọi O là tâm đường tròn O AB tiếp xúc với AD, DC, CB lần
lượt tại M, N, P. Ta có:
21
1 1
sin sinAB OA OB R
A B
(3.2)
cot cot2
DAD AM MD R A R
cotB cot2
CBC BP PC R R
Từ đó cot cot cot cot2 2
C DAD BC R A R B
cos 1 cos cos 1 cos
sin sin sin sin
A C B DR R
A C B D
(3.3)
Do ABCD là tứ giác nội tiếp nên 0180A C B D .
sin sin ; sin sin ;cos cos ;cos cosA C B D A C B D
Vì vậy từ (3.3) suy ra:
cos 1 cos cos 1 cos
sin sin sin sin
A A B BAD BC R R
A A B B
1 1
sin sinR
A B
(3.4)
Từ (3.2), (3.4) suy ra đpcm.
3.3. CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TỨ GIÁC
Bài toán 3.19. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp với AB = a’, BC = b
’,
CD = c’, DA = d
’ và p
’ là nửa chu vi của tứ giác. Chứng minh rằng:
' ' ' '
' ' ' 'tan
2
p a p dA
p b p c
.
Giải:
22
b'
a'
d'
c'
C
DA
B
Áp dụng Định lý côsin trong các tam giác ABD và BCD, ta có:
2 '2 '2 ' ' '2 '2 ' '
'2 '2 ' '
2 cos 2 cos
2 cos
BD a d a d A b c b c C
b c b c A
Từ đó suy ra: '2 '2 '2 '2
' ' ' 'cos
2 2
a d b cA
b c a d
(3.5)
Từ (3.5) ta có
'2 '2 ' ' ' ' '2 '2
'2 '2 '2 '2 ' ' ' '
1 cos 2 2tan
2 1 cos 2 2
A A b c b c a d a d
A a d b c b c a d
2 2' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
2 2 ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' '
b c a d b c a d b c d a
a d b c a d c ba d b c
(3.6)
Vì ' ' ' ' ' '2 ' '2 4a b c d p b a c nên từ (3.6) ta có:
' ' ' '
' ' ' 'tan
2
p a p dA
p b p c
(đpcm).
Bài toán 3.21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường
tròn , đường chéo AC = a, hợp với hai cạnh AB, CD các góc , .
Chứng minh: 2 2sin sin sin sin
2sin 2sinABCD
a aS
.
23
Giải:
β
2 3
β
α
K
B
C
D
A
Giả sử sin sin . Trên AB kéo dài về phía B lấy K sao cho
BKC CAD .
Do KBC CDA BKC đồng dạng với DAC
Do sin sin KBC CDA ABCD ACKBC CD S S S S
21 sinsin
2 sinABCDS a
(3.7)
Tương tự nếu 21 sinsin sin sin
2 sinABCDS a
(3.8)
Từ (3.5) và (3.6) suy ra:
2 2sin sin sin sin
2sin 2sinABCD
a aS
.
24
KẾT LUẬN
Luận văn “Hệ thức lượng giác và ứng dụng” đã thực hiện được
mục đích và nhiệm vụ đề ra, cụ thể là đã giải quyết được những vấn
đề sau:
1. Tìm hiểu và trình bày những hệ thức lượng giác cơ bản.
2. Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán về hệ thức lượng
trong tam giác, trong tứ giác.
3. Đối với mỗi lớp bài toán đều có các bài toán minh họa và
các bài toán tương tự.
Hy vọng rằng nội dung của luận văn còn được tiếp tục hoàn
thiện và mở rộng hơn nữa, nhằm có thể là một tài liệu tham khảo cho
học sinh, sinh viên, cũng như những ai quan tâm đến lĩnh vực hệ
thức lượng giác.
