Haberleşme Teorisi 11. Hafta · 2016-05-05 · EEM3006 - HABERLE Ş ME TEOR İ S İ D R. YAS İ N KABALCI EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ Dersin Öğretim Elemanı: Yrd. Doç. Dr

NİĞDE ÜNİVERSİTESİMÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA

LCIEEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ

Dersin Öğretim Elemanı: Yrd. Doç. Dr. Yasin KABALCI

Ders Görüşme Saati: Çarşamba, 09:30‐12:00

Çarşamba, 15:45‐17:00

e‐m@il: [email protected]

Ders Web Sayfası: kabalci.wordpress.com

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA

LCI

HAFTALIK İÇERİKEEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ

Hafta Konular1 Giriş ve Temel Kavramlar

2 İşaretler ve Doğrusal Sistemler, Temel Kavramlar

3 İşaretler ve Doğrusal Sistemler, Fourier Analizi

4 İşaretler ve Doğrusal Sistemler, Süzgeç Tasarımı, Alçak geçiren ve Band geçiren İşaretler

5 Genlik Modülasyonu

6 Genlik Modülasyonu

7 Genlik Demodülasyonu

8 Açı Modülasyonuna Giriş

9 Faz ve Frekans Modülasyonu

10 Açı Demodülasyonu

11 Olasılık ve Rastgele Süreçler

12 Olasılık ve Rastgele Süreçler

13 Analog İletişim Sistemleri Üzerinde Gürültünün Etkisi

14 Analog İletişim Sistemleri Üzerinde Gürültünün Etkisi

Ara Sınav (% 40)

Final (% 60)

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA

LCI

İÇERİK GİRİŞ

Haberleşme Sistemlerinin Elemanları Modülasyon, Modülasyon Türlerinin Sınıflandırılması

SPEKTRAL ANALİZ ve DOĞRUSAL SİSTEMLERDEN İLETİM Fourier Serileri, Fourier Dönüşümü ve Özellikleri Enerji ve Güç Spektral Yoğunlukları Katlama İntegrali, Transfer Fonksiyonu Genlik ve Faz Bozulmaları, Süzgeçler

GENLİK MODÜLASYONU (GM) Çift Yan Band (ÇYB) Modülasyonu ve Modülatör Yapıları Tek Yan Band (TYB) Modülasyonu ve Modülatör Yapıları Artık Yan Band (AYB) Modülasyonu GM İşaretlerin Demodülasyonu Frekans Bölmeli Çoğullama

AÇI MODÜLASYONU Faz ve Frekans Modülasyonu (PM ve FM) FM İşaretlerin Üretimi ve Demodülasyonu


EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA

LCI

İÇERİK (devam)

OLASILIK ve RASTGELE SÜREÇLER Olasılık ve Rastgele Değişkenlerin İncelenmesi Rastgele Süreçler Gauss ve Beyaz Süreçler

ANALOG İLETİŞİM SİSTEMLERİ ÜZERİNDE GÜRÜLTÜNÜN ETKİSİ Genlik Modülasyon Sistemlerinde Gürültünün Etkisi Açı Modülasyonu Üzerinde Gürültünün Etkisi Analog Modülasyon Sistemlerinin Karşılaştırılması Analog İletişim Sistemlerinde İletim Kayıpları ve Gürültünün Etkileri

ÖRNEKLEME ve ANALOG DARBE MODÜLASYONU Örnekleme Teoremi Darbe Genlik Modülasyonu (PAM) ve Zaman Bölmeli Çoğullama (TDM) Darbe Zaman Modülasyonu Türleri (PDM, PPM)


EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA

LCI5.BÖLÜM OLASILIK ve RASTGELE SÜREÇLER

Giriş

Temel Tanımlar

Rastgele Süreçler

Durağanlık

Ergodik Süreçler

Gauss Rastsal Süreci

Isıl Gürültü

Beyaz Gürültü

Eşdeğer Gürültü Bant Genişliği

Dar Bantlı Gürültü

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Giriş

Rastgele süreçler, bilgi kaynakları ve gürültü için uygun modellersunarlar.

Bir işaret bir iletişim kanalından iletildiğinde, alınan işaretiningönderilen işaretten farklı olmasına neden olan iki düzensizlik sözkonusu olur.

Bu düzensizliklerden, doğrusal veya doğrusal olmayan bozulmalar,semboller arası girişim vb. şeklinde örneklendirilebilecek olan ilk sınıfdoğasında deterministiktir.

İkinci sınıf ise gürültü eklenmesi, çok-yollu (multi-path) sönümleme gibideterministik olmayan düzensizliklerdir.

Bu tür olayların niceliksel açıdan incelenebilmesi için rastgelesüreçlerden faydalanılmaktadır.

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Temel Tanımlar

Olasılık modellerinin tümünde temel kavram rastgele denemedir.

Yani çıktısı kesin olarak belirlenemeyen herhangi bir deneme, deneydir.

Yazı-tura atmak, zar atmak, bir kart destesinden kart çekmek rastgeledenemelere örnek verilebilir.

Her deney sonucu zamana bağlı bir işarettir ve rastsal sürecin bir örnekfonksiyonu olarak isimlendirilir.

Her deney sonucu bir nokta ile temsil edilir.

Noktaların oluşturduğu kümeye Örnek Uzayı denir.

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Örnek uzayı oluşturan noktaların bütününe veya başka bir ifadeylemümkün örnek fonksiyonların tamamına Rastsal Süreç denir.

Rastgele değişken ve rastgele süreç şöyle ayırt edilebilir:

Bir rastsal değişken, bir rastgele deneyin sonucunu bir sayıylaeşleştirir.

Bir rastsal süreç ise bir rastgele deneyin sonucunu zamanın birfonksiyonu olan dalga ile eşleştirir.

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


1. Deney

2. Deney

n. Deney

tk anındaki rastsaldeğişkenler

Rastsal sürecin 1. örnek fonksiyonu

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Eğer örnek uzayın elemanları sonlu ise örnek uzay ayrık, aksi takdirdeörnek uzay ayrık olmayan (non-discrete) uzaydır.

Yazı-tura atmak, zar atmak, bir kart destesinden kart çekmek ayrıkörnek uzayına sahip denemelerdir.

Eğer 0 ve 1 arasında rastgele bir sayı seçilirse, bu durumda bu rastgeledenemeye karşılık gelen uzay sonsuz ve sayılamaz sayıların kümesiolacaktır ve bu tür bir örnek uzay, ayrık olmayan uzaydır.

Olay örnek uzayın bir alt kümesidir; yani olay çıktıların bir bileşimidir.

Örneğin, zar atmada, “çıktının tek olması” olayı; “çıktının 3’ten büyükolması” olayı; “çıktının 4’e bölünebilir olması” olayı gibi.

Olaylar eğer kesişimleri boş küme ise ayrık olaylardır.

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Koşullu Olasılık: örnek uzayının belirli bir kısmını kapsayan bir olay

meydana geldikten sonra diğer bir olayın olma olasılığı şeklinde

tanımlanır. Bayes Kuralına göre:

Bayes kuralı genellikle sonuç çıkarmak için kullanılır. Örneğin gözlenen

bir etkinin birden fazla sebebi olabilir. Etki gözlendiğinde, bunun hangi

sebepten kaynaklandığı sonucunu çıkarma işlemine uygulanabilir.

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Örnek: Bir ikili (binary) iletişim sisteminde, giriş bitleri kanal üzerinden

0 veya 1 şeklinde, sırası ile 0.3 ve 0.7 olasılık ile iletilmektedir. Bir bit

kanal üzerinden iletildiğinde, bu bit doğru veya yanlış şekilde (kanal

gürültüsünden dolayı) alınır. Varsayalım ki 0 iletildiğinde, bunun yanlış

olarak iletilme (yani 1 olarak algılanma) olasılığı 0.01 olsun ve eğer 1

iletilir ise, yanlış olarak iletilme olasılığı (yani 0 olarak algılanması) 0.1

olsun. Buna göre:

1. Bu kanalın çıkışının 1 olma olasılığı nedir?

2. Kanal çıkışında 1 gözlemlediğimizi varsayalım. Kanal girişinin 1 olma

olasılığı nedir?

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Bir A olayı için koşullu olasılıklarına sahip isek, P(A),

toplam olasılık teoremi kullanılarak yazılabilir.

Buna göre:

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Bir rastsal süreç, herhangi bir n değeri ve seçilen herhangi bir

için verilen birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu

ile tanımlanır.

Tüm ve için bir rastsal sürecin birleşik

olasılık yoğunluk fonksiyonu verilirse, rastsal süreç M. mertebe

istatistiği ile tanımlanmış olur.

İletişim sistemlerinde M=2 yani ikinci mertebe istatistik (geniş anlamda

durağanlık) ayrı bir öneme sahiptir.

1 2, , , kkt t t R

1 1, , , ,

k kX t X tf x x

k M 1 2, , , kkt t t R

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Durağanlık

Bir rastsal sürecin istatistiksel karakteri gözlem zamanının başlangıcına

bağlı değilse, sürece durağan süreç denir.

Katı Anlamda Durağanlık:

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Geniş Anlamda Durağanlık

Bir süreç, eğer ortalaması ve özilintisi zaman orijinin seçimine bağımlı

değil ise, geniş anlamda durağandır.

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Geniş anlamda durağan bir X(t) süreci göz önünde bulundurulsun.

Bu durumda X(t) sürecinin ortalama değeri mX(t) rastgele değişkeninortalama değeri olarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Geniş anlamda durağan bir X(t) sürecinin ortalama değeri mX(t) tüm tanları için sabit değerlidir:

Geniş anlamda durağan bir X(t) sürecinin otokorelasyon (özilinti) değeriRX(t1,t2) sadece τ = t2 — t1 aralığında bağımlıdır:

Xm t E X t

X Xm t m

1 2 2 1,X X XR t t R t t R

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Örnek: rastgele sürecini düşünelim. Burada A

ve fc sabitlerdir, Θ ise [-π, π] aralığında düzenli dağılmış bir rastsal

değişkendir, yani:

bu sürecin otokorelasyonunu değerlendiriniz.

Çözüm: Bu rastgele süreç bir iletişim sisteminin alıcı biriminde mesaj

işaretini demodüle etmek için kullanılacak olan ve yerel olarak üretilen

taşıyıcıyı temsil ediyor olabilir. Bu durumda Θ rastgele değişkeni yerel

olarak üretilen taşıyıcı ile verici birimde mesaj işaretini modüle etmek

için kullanılan taşıyıcı işaret arasındaki farkı gösterir.

1

20

fdiğer

cos 2 cX t A f t

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


X(t) rastgele sürecinin otokorelasyonu:

Sonuç olarak, rastgele fazlı bir sinüsoidal dalganın otokorelasyonu farklıbir domende (τ ekseninde) ve aynı frekansta yine bir sinüzoittir.

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Çapraz İlinti Fonksiyonu

X(t) ve Y(t) rastsal süreçlerinin çapraz ilinti fonksiyonu:

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Örnek: X(t) durağan süreci ile ilintili olan X1(t) ve X2(t) süreçleri aşağıdakigibi tanımlanmaktadır.

burada fc taşıyıcı frekansı, Θ ise [0, 2π]aralığında düzenli dağılmış bir rastsaldeğişkendir. Ayrıca Θ, X(t) durağansürecinden bağımsızdır. X1(t) ve X2(t)

süreçleri arasındaki çapraz ilintiyi hesaplayınız.

Çözüm: X1(t) ve X2(t) süreçleri arasındaki çapraz ilinti:

1

2

cos 2

sin 2c

c

X t X t f t

X t X t f t

12 1 2

cos 2 sin 2 2

cos 2 sin 2 2

1 sin 4 2 2 sin 22

1 sin 22

c c c

c c c

X c c c

X c

R E X t X t

E X t X t f t f t f

E X t X t E f t f t f

R E f t f f

R f

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Ergodik Süreçler

Eğer bir sürecin zaman ve istatistiksel ortalaması birbirine eşit ise, o

sürece ortalamada ergodik denir.

Eğer bir sürecin zaman ve istatistiksel öz ilinti fonksiyonu birbirine eşit

ise, o sürece öz ilintide ergodik denir.

Bir süreç ergodik ise katı anlamda durağandır, ancak tersi doğru olmak

zorunda değildir.

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Güç Spektral Yoğunluğu

Durağan bir X(t) sürecinin güç spaktral yoğunluğu otokorelasyona bağlıolarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

buradaki fonksiyonu X(t) durağan sürecinin güç spektral yoğunluğu

veya güç spektrumu olarak adlandırılır. Otokorelasyon fonksiyonu ise

benzer mantıkla fonksiyonunun ters Fourier dönüşümüne eşittir.

Bu iki eşitlik Wiener–Khinchine theoremi olarak adlandırılmaktadır.

exp 2X XS f R j f d

XS f

XS f

exp 2X XR S f j f df

2XE X t S f df

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Örnek: rastgele sürecini düşünelim. Θ, [0, 2π]

aralığında düzgün dağılımlı bir rastgele değişken ve X(t) geniş anlamda

durağan olduğuna göre güç spektral yoğunluğunu belirleyiniz.

Çözüm:

Fourier dönüşümü alınırsa:

cos 2 cY t X t f t

cos 2 2 cos 2

cos 2 2 cos 2

1 cos 2 cos 4 2 22

1 cos 22

Y

c c c

c c c

X c c c

Y X c

R E Y t Y t

E X t f t f X t f t

E X t X t E f t f f t

R E f f t f

R R f

14Y X c X cS f S f f S f f

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Çapraz Spektral Yoğunluklar

Güç spektral yoğunluğu tek bir rastgele sürecin frekans ekseni

üzerindeki dağılımının ölçümünü sağlarken, çapraz spektral yoğunluklar

iki rastgele süreç arasındaki frekans arası ilişkilerin ölçümünü sunar.

X(t) ve Y(t), RXY(τ) ve RYX(τ) çapraz korelasyon fonksiyonları ile birleşik

durağan süreçler olsun. Bu durumda,

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Doğrusal Sistem İlişkileri

X(t) rastgele sürecinin, h(t) dürtü yanıtına sahip lineer zamanladeğişmez bir filtreye giriş olarak uygulandığı kabul edilirse, filtreçıkışında yeni bir rastgele süreç olan Y(t) elde edilecektir.

X(t) rastgele sürecinin olasılıksal dağılımı –∞ ∞ için özelleştirilmişolsa dahi, çıkıştaki Y(t) rastgele sürecinin olasılıksal dağılımınıtanımlamak çok zordur.

Giriş/Çıkış arasındaki ilişki güç spektral yoğunluğu cinsinden basitçeaşağıdaki gibi tanımlanabilir:

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


X(t) rastgele sürecinin h1(t) dürtü yanıtına sahip, Y(t) rastgele sürecinin

h2(t) dürtü yanıtına sahip lineer zamanla değişmez filtrelere giriş

olarak uygulandığı; filtrelerin çıkışlarının da sırasıyla V(t) ve Z(t)

rastgele süreçlerini ürettiği kabul edilsin. Bu durumda V(t) ve Z(t) için

çapraz spektral yoğunluklar şöyle ifade edilir:

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Gauss Rastsal Süreci

Bir Gauss rastsal süreci doğrusal bir sistemden geçtiğinde sistem çıkışıda Gauss rastsal süreci olur.

Gauss rastsal süreci (geniş anlamda) durağan ise katı anlamda dadurağandır.

ise Gauss rastsal süreci ergodiktir.

X(t1), X(t2),…., X(tn) rastsal değişkenleri ilintisiz ise yani,

ise aynı zamanda birbirinden istatistiksel olarak bağımsızdır.

XR d

0, k ik iX t X tE X t m X t m k i

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


X(t1), X(t2), …., X(tn) rastsal değişkenlerinin ilintisiz olması kovaryans

matrisinin diagonal olması anlamına gelmektedir:

burada

Bu şartlar altında birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu:

21

22

2

0

0 n

22 , 1, 2, ,i i iE X t E X t i n

1

i

n

x ii

f f x

x x

2

2

1 exp22

ii xi

ii

x mf

iXx

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Isıl Gürültü

Elektriksel gürültü (ya da ısıl gürültü), iletkenlerin içindekielektronların ısı dolayısı ile meydana gelen rastgele hareketlerindenkaynaklanır.

Bir direncin uçlarında ∆ Hz bant genişliğinde ölçülen ısıl gürültügeriliminin kare ortalaması:

burada k Boltzman sabiti olup değeri . J/K, T Kelvin cinsindenmutlak sıcaklık, R ohm cinsinden direnci ifade etmektedir.

Bir dirençten aktarılan maksimum gürültü gücü ise ∆ Watt kadardır.

Elektronların çok sayıda olması ve hareketlerinin birbirinden bağımsızolması dolayısı ile, ısıl gürültü geniş anlamda durağan, ergodik veortalaması sıfır beyaz bir Gauss rastsal sürecidir.

2 2TN 4 voltE V kTR f

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Beyaz Gürültü

İletişim sistemlerinin analizinde genellikle gürültünün idealize edilmişbir formu olan Beyaz Gürültü kullanılır.

Alıcı eşdeğer sıcaklığı ile orantılı olarak, değerinde alıcıgirişine taşınır.

Alıcıyı gürültüsüz kabul ederek, alıcı girişinde işarete ekleme yaparakkullanılır.

[N0] : Watt/Hz

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Eşdeğer Gürültü Bant Genişliği

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Dar Bantlı Gürültü

Dar bantlı gürültü matematiksel olarak eş fazlı (I) ve dik fazlı (Q)bileşenler cinsinden ifade edilebilir:

n(t)’den dolayı nI(t) ve nQ(t) bileşenlerinin de ortalaması sıfırdır.

n(t) Gauss dağılımlı ise, nI(t) ve nQ(t) bileşenleri de Gauss dağılımlıdır.

n(t) durağan ise, nI(t) ve nQ(t) bileşenleri de durağandır.

nI(t) ve nQ(t) bileşenleri aynı güç spektral yoğunluğa sahiptir.

nI(t) ve nQ(t) bileşenleri, n(t) ile aynı varyansa sahiptir.

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Dar Bantlı Gürültünün Başka Bir Temsili

EEM3006 -

HA

BERLEŞME TEO

RİSİ D

R. YASİN

KABA


Sinüs + Dar Bantlı Gürültü

2

00

1 exp cos2

I x x d

Documents

Haberleşme Teorisi 11. Hafta · 2016-05-05 · EEM3006 - HABERLE Ş ME TEOR İ S İ D R. YAS İ N KABALCI EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ Dersin Öğretim Elemanı: Yrd. Doç. Dr