Handout Persamaan Diferensial 1.Pdfl

PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA

Buku pegangan mata kuliah Persamaan Difrensial

Oleh

Drs D a f i k MSc

NIP

Program Pendikan Matematika

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

Februari

Untuk Keluarga Tercinta

ii

Daftar Isi

Daftar Tabel v

Daftar Gambar vi

Kata Pengantar vii

Konsep Dasar

Klasikasi Persamaan Difrensial

Solusi PDB

Metoda Penyelesaian

Masalah Nilai Awal MNA

PDB Linier Order Satu

PDB Linier Order Satu Homogen

PDB Eksak

Solusi PDB Eksak

Faktor Integrasi

Teknik Variabel Terpisah

PDB Linier Order Satu Nonhomogen

iii

Aplikasi PDB Order Satu

Masalah Dalam Mekanik

Pertumbuhan dan Peluruhan

Pertumbuhan Populasi

Peluruhan Radioaktif

Hukun Pendinginan Newton

Campuran

PDB Linier Order Dua

PDB Order n Homogen

PDB Order n Nonhomogen

PDB Order Dua

PDB Order Dua Homogen

PDB Order Dua Nonhomogen

iv

Daftar Tabel

Panduan permisalan solusi khusus PDB non homogen

v

Daftar Gambar

Diagram kekonvekan untuk D R

Diagram kekonvekan untuk D R

Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi

Proses campuran dalam tangki

Gerakan benda pada bidang miring

vi

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas anugerah dan karuniahNya penulis

dapat menyelesaikan buku pegangan kuliah dengan judul Persamaan Difer

ensial Biasa PDB Masalah Nilai Awal dan Batas Buku pegangan

ini dibuat untuk membantu mahasiswa menemukan refrensi utama mata kuliah

Persamaan Difrensial Biasa memandang cukup langkanya bukubuku persamaan

difrensial dalam bahasa Indonesia

Dalam buku ini dijelaskan bagaimana konsep Persamaaan difrensial secara

umum PDB order satu homogen dan nonhomogen PDB order dua atau lebih

serta aplikasi dari suatu PDB Pokok bahasan ini disajikan dengan harapan ma

hasiswa memahami esensi dari persamaan difrensial dan sekaligus sebagai penun

jang langsung materi perkuliahan Dalam buku pegangan ini dilengkapi beberapa

fungsi dalam MAPLE programming serta latihan soalsoal tutorial untuk mem

perdalam wawasan pemahaman mahasiswa tentang PDB Semua materi dalam

buku ini ditulis dalam LATEXE word processing sehingga ekspresi fungsi

matematik dapat disajikan dengan benar

Selanjutnya dalam kesempatan ini penulis tak lupa menyampaikan banyak

terima kasih kepada yang terhormat

Rektor Universitas Jember

vii

Dekan FKIP Universitas Jember

Pimpinan Proyek Peningkatan Universitas Jember yang telah mendanai

pengembangan bahan ajar Mata Persamaan Diferensial I

Ketua Program Pendidikan Matematika yang telah memberikan motivasi

dan rekomendasi penggunaannya dalam perkuliahan

Semua pihak yang terlibat langsung maupun tak langsung dalam penyusunan

buku ajar ini

Semoga bantuan rielnya mendapat balasan yang setimpal dari Allah SWT

Akhirnya penulis berharap agar buku pegangan ini memberikan manfaat bagi

pembaca oleh karena itu kritik dan saran masih penulis harapkan untuk penyem

purnaan dikemudian hari

Jember Agustus Penulis

viii

Daftar Isi

ix

Daftar Tabel

x

Daftar Gambar

xi

BAB

Konsep Dasar

Klasikasi Persamaan Difrensial

Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difren

sial Biasa PDB dan Persamaan Difrensial Parsial PDP Untuk mengetahui

perbedaan kedua jenis persamaan difrensial itu dapat dilihat dalam denisi berikut

Denisi Persamaan Difrensial Suatu persamaan yang meliputi turunan

fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas

disebut Persamaan Difrensial Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergan

tung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Difrensial Biasa PDB

dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Difren

sial Parsial PDP

Contoh Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB

dan PDP

y

x

y

t

xy

BAB KONSEP DASAR

dy

dx

d

y

dx

dy

dx

x

y

s

y

t

y

d

y

dx

d

y

dx

dy

dx

x y

u

x

u

y

u

z

dy

dx

d

y

dx

dy

dx

y

x

Dalam bahan ajar ini pembahasan persamaan difrensial akan difokuskan pada

Persamaan Difrensial Biasa PDB Sehingga semua contoh soal dan aplikasinya

akan dikaitkan dengan model fenomena persamaan difrensial yang hanya terikat

pada satu variabel bebas

Denisi Order Order suatu PDB adalah order tertinggi dari turunan

dalam persamaan F x y

y

y

n

Denisi Linieritas dan Homogenitas PDB Order n dikatakan linier

bila dapat dinyatakan dalam bentuk

a

xy

n

a

xy

n

a

n

xy F x dimana a

x

Selanjutnya

Bila tidak dapat dinyatakan dengan bentuk diatas dikatakan tak linier

Bila koesien a

x a

x a

n

x konstan dikatakan mempunyai koesien

konstan bila tidak dikatakan mempunyai koesien variabel

Bila F x maka PDB tersebut dikatakan homogen bila tidak disebut

nonhomogen

BAB KONSEP DASAR

Solusi PDB

Berikut ini akan dijelaskan pengertian dan bentuk solusi suatu PDB

Denisi Suatu PDB order n yang ditulis dalam persamaan berikut

F

x y y

y

y

n

dimana F adalah fungsi real dengan n argumen akan mempunyai solusi

eksplisit dan implisit dengan ketentuan sebagai berikut

Bila f adalah suatu fungsi dimana f CI dan f C

n

I untuk x I

dan I adalah sebarang interval real maka f dikatakan solusi eksplisit dari

jika F

x f f

f

f

n

CI dan F

x f f

f

f

n

untuk x I

Sedangkan gx y disebut solusi implisit dari jika fungsi g da

pat ditransformasikan dalam fungsi eksplisit f CI untuk x I dan

minimal satu merupakan solusi eksplisitnya

Secara umum kedua solusi ini masih dikategorikan lagi kedalam tiga jenis

solusi yaitu

Solusi umum yaitu solusi PDB yang mengandung konstanta esensial katakan

lah C Sebagai contoh diketahui sutau PDB y

y maka solusi

umunnya adalah y Ce

x

Solusi khusus yaitu solusi yang tidak mengandung konstanta esensial yang

disebabkan oleh tambahan sarat awal pada suatu PDB Misal PDB itu

y

y y maka solusi khususnya adalah y

e

x

BAB KONSEP DASAR

Solusi singular yaitu solusi yang tidak didapat dari hasil mensubstitusikan

suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya Contoh y Cx C

adalah solusi umum dari y

xy

y namun demikian disisi lain PDB

ini mempunyai solusi singular y

x

Metoda Penyelesaian

Terdapat tiga jenis metoda yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari

suatu PDB yaitu

Metoda Analitik Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi

yaitu bentuk eksplisit dan implisit yang dicari melalui teknik deduktif

analogis dengan menggunakan konsepkonsep matematik Kelebihannya

dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup eksibel un

tuk masalahmasalah yang komplek Dengan komputer dapat diselesaikan

dengan software MATLAB atau MAPLE Prosedur dalam MATLAB ditulis

sebagai berikut

Menggunakan fungsi dsolve

dsolveDyy y

Metoda kualitatif Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara

geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB Dengan mengamati pola

grak gradien eld direction eld maka dapat diestimasi solusi PDB

itu Keunggulannya dapat memahami secara mudah kelakuan solusi suatu

PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui dan juga kurang

BAB KONSEP DASAR

eksibel untuk kasus yang komplek Dengan MATLAB direction eld dapat

digambar sebagai berikut

Menggunakan fungsi eldplot atau DEplot

Misal akan diamati pola solusi dari PDB y

ty

withplots

eldplott t y t y arrows LINE color t

Atau dengan menggunakan fungsi DEplot

eqdiytttyt

DEploteqytty

Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini

Gambar Diagram kekonvekan untuk D R

Atau dengan menggunakan prinsipprinsip yang ada dalam matematika un

tuk menggambar suatu fungsi lihat KALKULUS

Metoda Numerik Pada saat sekarang metoda ini merupakan metoda

BAB KONSEP DASAR

yang sangat eksibel Metoda ini berkembangan sesuai dengan perkem

bangan komputer dan dapat menyelesaiakan suatu PDB dari level yang

mudah sampai level yang komplek Walaupun fungsi solusi tidak dike

tahui secara eksplisit maupun implisit namun data yang diberikan dapat

divisualisir dalam grak sehingga dapat dianalisis dengan baik Namun

metoda ini berdasarkan pada prinsipprinsip aproksimasi sehingga solusi

yang dihasilkan adalah solusi hampiran pendekatan Sebagai konsuk

wensi dari penggunaan metoda ini adalah adanya evaluasi berulang de

ngan menggunakan komputer untuk mendapatkan hasil yang akurat Salah

satu metoda ang telah anda kenal adalah metoda EULER dengan ru

mus y

n

y

n

hft y lihat catatan Algoritma dan Pemerograman

Dibawah diberikan programming metoda EULER dengan menggunakan

MATLAB programming

Programming Untuk Menyelesaikan PDB

y

y t

y

Dengan menggunakan metoda Euler

ninputJumlah iterasi

y

t

h

for in

fprintfnn yi yi ti

ti t i h

end

plotty

hold on

f t

t expt

plottfo

BAB KONSEP DASAR

Masalah Nilai Awal MNA

Persamaan difrensial order satu secara umum ditulis dengan

y

dy

dx

fx y

dimana f adalah kontinyu atas variabel x y pada domain D dalam bidang xy

Misal x

y

adalah titik pada D maka masalah nilai awal yang berkenaan

dengan dengan y

fx y adalah masalah untuk menentukan solusi y yang

memenuhi nilai awal yx

y

Dengan notasi umum sebabagai berikut

y

fx y y y

Permasalahannya sekarang apakah solusi yx yang memenuhi yx

y

selalu ada principle of existence kalau benar apakah solusi itu tunggal prin

ciple of uniqueness Pertanyaan ini merupakan hal yang sangat penting un

tuk didahulukan mengingat betapa kompleknya suatu model fenomena riel yang

banyak dimungkinkan tidak dapat diselesaikan dengan metoda analitik ataupun

kualitatif Untuk memudahkan pemeriksaan awal tentang dua hal ini dalam hal

ini dikembangkan teorema Lipschitz dan teorema Picard

Denisi Sarat Lipschitz Suatu fungsi ft y dikatakan memenuhi sarat

Lipschitz dalam variabel y di suatu domain D R

jika ada konstanta L

sedemikian hingga

jjft y

ft y

jj Ljjy

y

jj

untuk sebarang t y

t y

D Selanjutnya konstanta L disebut sebagai kon

stanta Lipschitz

BAB KONSEP DASAR

Denisi Konvek Suatu himpunan D R

dikatakn konvek bila untuk

sebarang t y

t y

D maka titik

t

t

y

y

juga

merupakan elemen dari D untuk

Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut

Konvek Tidak Konvek

(t , y )1 1

(t , y )2 2

1 1

2 2(t , y )(t , y )

Gambar Diagram kekonvekan untuk D R

Teorema Teorema Lipschitz Andaikata ft y terdenisi dalam him

punan konvek D R

dan ada konstanta L dimana

df

dy

t y

L untuk semua t y D

maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz

Teorema Misal D ft yja t b y g dan ft y adalah

fungsi kontinyu dalam D kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam vari

abel y maka masalah nilai awal

y

t ft y a t b ya

mempunyai solusi tunggal yt untuk a t b

Contoh y

t sinty t y Tentukan apakah

persamaan ini mempunyai solusi tunggal

BAB KONSEP DASAR

Penyelesaian ft y t sinty kemudian terapkan teorema nilai

ratarata pada KALKULUS yaitu untuk sebarang y

y

maka ada bilangan

y

y

sedmikian hingga

ft y

ft y

y

y

y

ft t

cost

Kemudian

ft y

ft y

y

y

t

cost

jjft y

ft y

jj jjy

y

t

costjj

jjy

y

jj jjt

costjj

jjy

y

jj jj max

t

t

costjj

jjy

y

jj

Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitu jjft y

ft y

jj Ljjy

y

jj

dimana konstanta Lipschitznya adalah L berarti persamaan itu mempunyai

solusi tunggal

Teorema Teorema Picard Suatu masalah nilai awal y

fx y yx

y

mempunyai solusi tunggal y x pada interval jxx

j

dimana adalah

bilangan positif dan kecil sekali bila

f CD dimana D adalah daerah pada bidang xy yaitu D fx y a

x b c y dg

y

x

CD yang memuat nilai kondisi awal x

y

BAB KONSEP DASAR

Latihan Tutorial

Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB dan PDP

a

y

x

y

t

xy

b

dy

dx

d

y

dx

dy

dx

x

c

y

s

y

t

y

d

d

y

dx

d

y

dx

dy

dx

x y

e

u

x

u

y

u

z

f

dy

dx

d

y

dx

dy

dx

y

x

Tentukan orde dan sifatsifat kelinieran dari persamaan diferensial berikut

ini

a

y

x

x

y

xe

x

b

d

y

dx

d

y

dx

y

c

d

y

dx

ysinx

d

d

u

dt

d

u

dt

d

u

dt

t u

e x

dy y

dx

f

d

y

dx

xsiny

g

d

u

dt

q

d

u

dt

t u

h

d

y

dt

t

dy

dt

cos

ty t

i s

d

y

ds

s

dy

ds

y e

s

BAB KONSEP DASAR

j

d

y

dt

d

y

dt

d

y

dt

y

k

d

y

dx

xtan

xy

l

d

y

dt

dy

dt

cos

t y t

m t

d

y

dt

t

dy

dt

te

y

n

d

y

ds

cosecs

siny

Ulangilah soal nomor tentukan sifat kehomgenan dari masingmasing soal

tersebut

Selidikilah apakah solusi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan

diferensial berikut ini

a y

y

y y

t e

t

y

t e

t

b ty

y t

yt t t

c y

y

y t y

t

t

y

t e

t

t

d t

y

ty

y t y

t t

y

t t

e y

ty yt e

t

R

t

e

s

ds e

t

Cermati apakah fungsi solusi dibawah ini merupakan solusi terhadap masalah

nilai awal yang bersesuaian

a y

y y yx e

x

b y

y y y

yx cosx

c y

y

y y y

yx e

x

e

x

Periksalaha mana diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lips

chitz

BAB KONSEP DASAR

a ft y y cos t t y

b ft y t sin y t y

c ft y

t

y t

e

t y

d ft y

t

y

t

t y

dan tentukan besar konstanta Lipschitz dari masingmasing soal ini

Selidiki apakah persamaan diferensial berikut ini mempunyai solusi tunggal

pada interval yang memuat kondisi awal berikut

a y

y y

b y

t y y

c y

e

t

y y

d y

y

x

y

Tentukan untuk titiktitik x

y

yang mana PDB berikut ini memenuhi

teori kewujudan dan ketunggalan dari Picard

a y

x

y

xy

b y

x y

c y

x

xy

d xy

x

y

BAB

PDB Linier Order Satu

PDB Linier Order Satu Homogen

PDB order satu dapat dinyatakan dalam

dy

dx

fx y

atau dalam bentuk derivatif

Mx ydxNx ydy

PDB Eksak

Denisi Misal F suatu fungsi dari dua variabel real dan F kontinyu pada

turunan pertama pada domain D maka jumlah difrensial dF didenisikan sebagai

dF x y

F x y

x

dx

F x y

y

dy

untuk semua x y D

BAB PDB LINIER ORDER SATU

Denisi Persamaan disebut difrensial eksak pada domain D jika ada

fungsi F dari dua variabel x y sedemikian hingga ekspresi tersebut sama dengan

jumlah dF x y untuk x y D Sesuaikan denisi dengan persamaan

diperoleh

Mx y

F x y

x

Nx y

F x y

y

Teorema Persamaan denganMN kontinyu pada turunan pertamanyan

MN C

D akan memenuhi dua kondisi berikut

Bila PDB eksak di D maka

Mxy

y

Nxy

x

untuk x y D

Sebaliknya bila

Mxy

y

Nxy

x

untuk x y D maka dikatakan

adalah PDB eksak

Bukti

Akan dibutkikan bagian pertama dari teorema ini Jika eksak di D maka

MdxNdy adalah eksak difrensial di D Dengan denisi dan maka

terdapat suatu fungsi F sedemikian hingga

F x y

x

Mx y dan

F x y

y

Nx y

untuk x y D Selanjutnya turunkan M terhadap y dan N terhadap x

diperoleh

F x y

xy

Mx y

y

dan

F x y

yx

Nx y

x

Kita tahu bahwa

F x y

xy

F x y

yx


untuk x y D sehingga dapat disimpulkan

Mx y

y

Nx y

x

x y D

Selanjutnya gunakan fakta ini untuk membuktikan bagian yang kedua

Solusi PDB Eksak

Ada dua cara menyelesaikan PDB jenis ini yaitu menggunakan prosedur dalam

teorema atau dengan teknik pengelompokan

Contoh Tentukan solusi PDB eksak x

xydx x

ydy

Penyelesaian Jelas persamaan ini adalah PDB eksak karena

Mx y

y

x

Nx y

x

x y D Dengan menggunakan cara yang pertama maka kita mempunyai

F x y

x

x

y dan

F x y

y

x

y

Integralkan bentuk pertama

F x y

Z

Mx yx y

Z

x

xyx y

Kemudian turunkan terhadap y

F x y

y

x

dy

dy

padahal kita punya

F x y

y

Nx y x

y


sehingga

x

y x

dy

dy

atau

dy

dy

y

Integralkan persamaan terakhir ini diperoleh y y

c

dengan demikian

F x y menjadi

F x y x

x

y y

c

Bila F x y merupakan solusi umum maka keluarga solusi itu adalah F x y c

sehingga

x

x

y y

c

c atau x

x

y y

c

yang merupakan solusi persamaan PDB eksak yang dimaksud

Cara yang kedua adalah dengan menggunakan teknik pengelompokan lihat catatan

dalam perkuliahan

Faktor Integrasi

Faktor integrasi ini digunakan untuk menyelesaikan PDB order satu tidak eksak

Langkah yang dimaksud adalah merubah PDB tidak eksak menjadi eksak Re

nungkan lagi persamaan bila

Mxy

y

Nxy

x

maka dapat ditentukan x y

sedemikian hingga

x yMx ydx x yNx ydy


merupakan PDB eksak Sekarang bagaimana prosedur menentukan x y da

patlah digunakan teorema diatas Bila persamaan eksak maka

M

y

N

x

y

M

M

y

x

N

N

x

M

y

N

x

N

x

M

y

x y

N

x

M

y

M

y

N

x

adalah merupakan formula faktor integrasi secara umum

Contoh Tentukan solusi PDB berikut ini

xyy

xdxxxydy bila faktor integrasinya hanya tergantung

pada x saja

x

yxy

xydx x

x

yxdy bila faktor integrasinya

hanya tergantung pada xy

Penyelesaian Soal nomor bisa dilihat dalam catatan selanjutnya kita

bahas soal nomor Jika tergantung pada xy ini berarti x y misal

z xy maka

x

z

z

y atau

y

z

z

x

sedangkan

M

y

x

xy dan

N

x

x

xy


Sekarang gunakan faktor integrasi dan substitusikan nilainilai diatas ini

maka didapat

x

x

y x

z

z

y x

y xy

x y

z

z

x

x

xy x

xy

z

z

Z

z

Z

z ln

e

z

e

xy

Dengan demikian faktor integrasinya adalah x y e

xy

Sekarang soal nomor

dua menjadi PDB eksak dengan mengalikan faktor integrasi terhadap suku

sukunya dimasingmasing ruas

e

xy

x

y xy

x ydx e

xy

x

x

y xdy

Dengan meyakini persamaan ini merupakan PDB eksak cara menyelesaikan sama

dengan teknik diatas yakni terdapat dua cara Coba anda kerjakan sebagai

latihan

Teknik Variabel Terpisah

Bila persaman kita transformasikan kedalam bentuk

f

xg

ydx f

xg

ydy

selanjutnya kalikan persamaan ini dengan g

yf

x maka akan diadapat

f

x

f

x

dx

g

x

g

y

dy


Persamaan tidak eksak namun persamaan adalah eksak sehingga teknik

penyelesaiannya menyesuaikan Bisa juga dengan mengintegralkan langsung ben

tuk itu menjadi

Z

f

x

f

x

dx

Z

g

x

g

y

dy

Contoh Tentukan solusi PDB berikut ini dengan menggunakan teknik pemisa

han variabel

x y

dx xydy

xy y

dx xy x

dy

Penyelesaian Soal nomor bisa dilihat dalam catatan selanjutnya kita

bahas soal nomor Ambil suatu permisalan y vx dan tentunya dy vdxxdv

lalu substitusikan kedalam persamaan nomor

x

v x

v

dx x

v x

vdx xdv

x

vdx x

v

dx x

v

dx x

vdv x

vdx x

dv

x

v v

dx x

v dv

x

dx

v

v v

dv

Jelas persamaan terakhir ini merupakan PDB eksak sehingga gunakan cara

yang sama untuk menyelesaikannya Atau bisa diintegralkan langsung menjadi

Z

x

dx

Z

v

v v

dv

ln x c

ln v ln v c

ln x c

lnyx ln yx c

ln x lnyx ln yx c

Persamaan terakhir adalah solusi umum dari PDB yang dimaksud


PDB Linier Order Satu Nonhomogen

Pada umumnya PDB linier order satu nonhomogen dapat dinyatakan dengan

dy

dx

P xy Qx

dy

dx

P xy Qxy

n

Untuk persamaan dapat kita tulis dalam

P xy Qxdx dy

sehingga

Mx y P xy Qx dan Nx y

Sekarang

Mx y

y

P x dan

Nx y

x

dengan demikian persamaan ini bukan merupakan PDB eksak sehingga perlu

ditentukan faktor integrasinya Kita pilih faktor integrasi yang hanya tergantung

pada x yaitu x sedemikian

xP xy xQxdx xdy

merupakan PDB eksak yang berakibat bahwa

xP xy xQx

y

x

x

Selesaikan bentuk ini didapat

P xdx

x

x

ln jj

Z

P xdx

e

R

P xdx


Kalikan terhadap persamaan didapat

e

R

P xdx

dy

dx

e

R

P xdx

P xy Qxe

R

P xdx

yang mana hal ini sama dengan

d

dx

e

R

P xdx

y

Qxe

R

P xdx

atau

e

R

P xdx

y

Z

e

R

P xdx

Qxdx c

atau

y e

R

P xdx

R

e

R

P xdx

Qxdx c

Persamaan ini disebut Persamaan Bernoulli

Selanjutnya untuk persamaan dapat kita tulis dalam

y

n

dy

dx

P xy

n

Qx

Misal v y

n

maka

dy

dx

n

y

n

dv

dx

sehingga persamaan diatas menjadi

dv

dx

nP xv Qx n

Misal P

p

x nP x dan Q

q

x nQx maka persamaan diatas

dapat direduksi kedalam bentuk

dv

dx

P

p

xv Q

q

x

adalah persaman sebagaimana sehingga cara menyelesaikan sama

Contoh Tentukan solusi PDB berikut ini


x

dy

dx

xy x y

dy

dx

y xy

y

Penyelesaian Soal nomor dapat diselesaikan langsung dengan persamaan

sehingga

dy

dx

x

x

y

x

x

maka P x

x

x

dan Qx

x

x

sehingga dengan menggunakan

y e

R

P xdx

Z

e

R

P xdx

Qxdx c

y dapat ditentukan sebagai

y

x

x

x

x

c

x

untuk y maka substitusikan ke persamaan ini didapat c akhirnya

solusi khususnya adalah

y

x

x

x

x

x

Ikuti langkah dalam prosedur yang telah diberikan untuk mengerjakan soal nomor

Anda kerjakan sebagai latihan


Latihan Tutorial

Mana diantara soalsoal berikut ini yang merupakan PDB order eksak

a y sec

x secx tanxdx tanx ydy

b

cos rdr sin rd

c

s

t

ds

ss

t

dt

Selesaikanlah PD order eksak berikut ini

a y sinx cosx y

sin xdx sin

x y cosxdy y

b

xy

x

y

dx

x

y

x

y

dy y

Tentukan faktor integrasi untuk masingmasing soal berikut ini

a x

y xy

x ydx x

x

y xdy bila tergantung

pada xy

b y

x

ydx xy

x

dy bila tergantung pada x y

Gunakan metoda variabel terpisah untuk menyelesaikan beberapa persoalan

berikut ini

a x tan

y

x

ydx xdy

b

p

x y

p

x ydx

p

x y

p

x ydy

Gunakan metoda Bernoulli untuk menyelesaikan PD berikut ini

a x

x

dy

dx

x y x

b

dr

d

r tan cos

r

pi

BAB

Aplikasi PDB Order Satu

Masalah Dalam Mekanik

Misal x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama

waktu t maka kecepatan ratarata didenisikan

v

r

x

t

x

B

x

A

t

B

t

A

Selanjutnya kecepatan sesaat adalah

v lim

v

r

lim

t

x

t

v

dx

dt

mdt

v

dv

dt

mdt

Hukum Hukum Newton I Hukum ini juga disebut hukum Kelemba

man Newton yang berbunyi setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam

atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gayagaya yang

bekerja pada benda itu

BAB APLIKASI PDB ORDER SATU

Hukum Hukum Newton II Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya

yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus sebanding dengan besar

gaya itu dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu Se

cara matematis dapat ditulis sebagai a Fm atau F ma dimana F adalah

gaya dan m suatu massa

Analog dengan hukum Newton II ini gerak jatuh bebas suatu benda dengan

berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah

W mg

F dalam hal ini direpresentasikan dengan W dan a g sehingga bisa kita tulis

mg W

ma F

m

dv

dt

F

m

dv

dx

dx

dt

F

mv

dv

dx

F

adalah model dari PDB order satu

Contoh Benda dengan berat newton dijatuhkan dari suatu ketinggian

tertentu yang bearawal dari keadaan diam Jika kecepatan benda jatuh itu v

dan kecepatan gravitasi bumi adalah g mdt

serta gaya gesek udara adalah

v Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu


Penyelesaian Hukum newton mengatakan F ma atau

P

F ma

Dalam hal ini f

W newton gaya kebawah dan F

gaya gesek udara

v gaya keatas sehingga

m

dv

dt

F

F

dv

dt

v

v

dv

dt

Karena benda berawal dari keadaan diam maka v sehingga model PDB

sekarang adalah

v

dv

dt

v

Integralkan kedua ruasnya didapat

ln v c

t c

ln v

t c

v e

tc

v Ce

t

v

Ce

t

Dengan memasukkan nilai awal v maka c sehingga ekspresi kecepatan

adalah

vt e

t

Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah vt kedalam v

dx

dt


sehingga model PDB sekarang adalalah

dx

dt

e

t

x

Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu

adalah

xt t

e

t

Pertumbuhan dan Peluruhan

Jika Q menunjukkan jumlah kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t

maka perubahan bertambahpertumbuhan atau berkurangpeluruhan yang

disimbulkan dengan

dQ

dt

berbanding lurus dengan kuantitas Q dengan kata lain

dQ

dt

rQ pertumbuhan

dQ

dt

rQ peluruhan

Pertumbuhan Populasi

Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t k adalah konstanta proportionalitas

atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah

dy

dt

ky

yt

y


Selanjutnya bila k berubahubah maka dapat kita ganti dengan hy yang dapat

dipilih hy r ay maka model pertumbuhan menjadi

dy

dt

r ayy

dy

dt

r

y

K

y dimana K

r

a

yt

y

PDB ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan Logistik Solusi

kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar

-3

-2

-10123

y(x)

-1

-0.5

0.5

11.5

22.5

x

Asymptotic solution

Gambar Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi

Contoh Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut

dx

dt

x

x

Bila tahun jumlah populasinya maka

berapa besar populasi tahaun

tahun berapa jumlah populasi akan menjadi tahun

berapa jumlah populasi terbesar untuk t


Penyelesaian Bila tahun jumlah populasi maka dapat dikatakan

x sehingga model PDB sekarang adalah

dx

dt

x

x

xt

x

Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah

x

x

dx dt

Integralkan kedua ruasnya

Z

x

x

dx

Z

dt

Z

x

x

dx

Z

dt

ln x ln

x

c

t c

ln

x

x

t

c

x

x

e

t

c

x

x

ce

t

x

ce

t

ce

t

Terapkan nilai awal x didapat c

e

sehingga

xt

e

t

Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut

jumlah populasi tahun artinya t Substitusikan nilai t ini

kedalam persamaan didapat x Dengan demikian jumlah

populasi tahun adalah orang


jumlah populasi tahun berarti x Substitusikan nilai

x ini kedalam persamaan didapat t Dengan demikian jumlah

populasi akan dua kali lipat tahun dicapai pada tahun

Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas t berarti

x lim

t

e

t

x lim

t

e

e

t

x

Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak ter

batas adalah satu juta orang

Peluruhan Radioaktif

Contoh Radioaktif isotop Thorium meluruh pada tingkat yang seband

ing dengan jumlah isotop Jika mg dari material meluruh menjadi mg

dalam satu minggu maka

tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu

tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari

jumlah semula

Penyelesaian Gunakan rumus peluruhan MisalQ jumlah isotop Thorium

maka dalam waktu t model peristiwa peluruhan itu adalah

dQ

dt

rQ

Q


Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh

Qt e

rt

Kemudian terapkan sarat kedua yakni dalam satu minggu hari isotop men

jadi mg artinya Q mg akan didapat nilai r sedemikian hingga

ekspresi jumlah terhadap waktu hari adalah

Qt e

t

Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaan

pertanyaan diatas Teruskan sebagai latihan

Hukun Pendinginan Newton

Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan

sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya Dengan

demikian bila Suhu benda itu adalah x dan suhu sekitarnya itu adalah x

s

maka

proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan

dx

dt

kx x

s

k

dimana k adalah konstanta tingkat pendinginan

Contoh Suatu benda dengan suhu

o

C diletakkan diruangan yang bersuhu

o

C pada saat t Dalam waktu menit suhu benda tersebut menjadi

o

C

maka

tentukan fungsi suhu pada saat tertentu

tentukan besarnya suhu benda pada menit terakhir


kapan suhu menjadi

o

C

Penyelesaian Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses

pendinginan dapat ditulis sebagai

dx

dt

kx

x dan x

Solusi dari persamaan itu adalah

lnx c

kt c

x ce

kt

x ce

kt

Masukkan nilai awal maka nilai c sehingga persamaan menjadi

x e

kt

Dan masukkan kondisi kedua didapat

e

k

sehingga ekspresi terakhir menjadi

xt

t

Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini

Campuran

Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam

suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campu

ran lain dengan konsentrasi berbeda Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada


saat tertentu maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan

dQ

dt

Kemudian

bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang

keluar dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju

jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka

dQ

dt

IN OUT

K= L literQ(0) = Q_0 gram

v =r liter/mink =s gram/liter

v =r liter/min

Gambar Proses campuran dalam tangki

Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka

IN kv sr gramliter

OUT

Q

K

v

Qr

L

gramliter

Contoh

Suatu tangki mulamula berisi liter larutan yang mengandung gram garam

Larutan lain yang mengandung garam dengan konsentrasi gramliter masuk

kedalam tangki dengan laju litermenit dan bercampur dengan sempurna ke

mudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju litermenit

Formulasikan masalah nilai awal tersebut


Tentukan jumlah garam Q setiap saat

Penyelesaian Formula campuran adalah

dQ

dt

IN OUT

Diketahui s gramliter r litermenit L liter dan Q

didapat

IN kv s gramliter r litermenit gramliter

OUT

Q

K

v

Q

K

gramliter r litermenit

Q

gramliter

Sehingga

Model PDBnya adalah

dQ

dt

Q

Q

Q

Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat

Qt e

t


Latihan Tutorial

Suatu benda yang massanya kg dari keadaan diam di suatu puncak ber

gerak diatas bidang miring dengan panjang m dari puncak ketanah

dan sudut kemiringan

o

lihat Gambar Bila koesien gesek kinitis

k

Tentukan i ekspresi fungsi kecepatan dalam waktu t ii

berapa jarak yang ditempuh benda selama detik dan iii berapa waktu

t yang dibutuhkan untuk mencapai tanah

45 o

N

W

45o

f gesek

Gambar Gerakan benda pada bidang miring

fPetunjuk uraikan gayagaya yang bekerja pada benda dan ingat

f

gesek

k

N g

Suatu benda dengan massa konstanm ditembakkan tegak lurus keatas men

jauhi permukaan bumi dengan kecepatan awal V

kmdt

Bila diasumsikan

tidak ada gesekan udara namun berat benda berubah dalam jarakjarak ter

tentu terhadap bumi maka tentukan

a model matematik dari kecepatan V t selama benda itu meluncur

b tentukan V

untuk mencapai ketinggian maksimum km


c tentukan maksimum V

supaya benda yang ditembakkan tadi tidak

kembali kebumi

Petunjuk gunakan g kmdt

jarijari bumi R km

dan fungsi berat dalam jarak x terhadap bumi yang umumnya dinyatakan

sebagai wx

mgR

Rx

Model pertumbuhan populasi dapat ditulis dalam persamaan

dy

dt

ry

T

y

untuk r dan T konstanta positip maka

a gambar grak fy dan y

b tentukan model grak y dan t untuk memberikan gambaran solusi

kualitatif dari PD tersebut

Jam WIB seseorang mengambil secangkir kopi panas dari microwave

oven dan meletakkan di ruang tamu dengan maksud untuk meminumnya

setelah agak dingin Awal mula suhu kopi adalah

o

C Selanjutnya

menit kemudian besar suhu kopi menjadi

o

C Asumsikan suhu ruang

tamu itu adalah konstan

o

C

a Berapa besar suhu kopi pada jam WIB

b Orang ini suka meminum kopi yang suhunya antara

o

C sampai

o

C

maka antara jam berapa dia harus minum kopi itu

Sebuah tangki besar awal mula berisi liter larutan yang mengandung

kg garam Larutan lain yang mengandung garam dengan konsentrasi

kgliter dituangkan kedalam tangki dengan laju litermenit dan campu

ran dalam tangki mengalir keluar dengan laju litermenit


a Tentukan model matematik tentang banyaknya garam dalam tangki

setiap saat

b Bila kapasitas maksimum tangki liter tentukan domain waktu t

sehingga model diatas tetap berlaku

c Pada poin b berapa besar konsentrasi larutan pada saat tangki penuh

d Bila tangki tidak mempunyai kapasitas maksimum tentukan konsen

trasi larutan untuk jangka waktu tak terbatas

Suatu tangki berkapasitas liter mulamula berisi liter larutan yang

mengandung gram garam Larutan lain yang mengandung garam den

gan konsentrasi gramliter masuk kedalam tangki dengan laju litermenit

dan campuran dalam tangki diperkenankan keluar dengan laju litermenit

Tentukan model matematik yang menyatakan banyaknya garam dalam tangki

setiap saat sebelum dan sesudah tangki penuh

BAB

PDB Linier Order Dua

Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teo

rema tentang konsep umum PDB order n

PDB Order n Homogen

Denisi Bila f

f

f

m

adalah fungsi kontinyu pada sebarang x a b

dan c

c

c

m

adalah konstanta sebanyak m maka kombinasi linier fungsi ini

ditulis dengan c

f

c

f

c

m

f

m

Denisi Fungsi f

f

f

m

dikatakan tergantung linier pada interval

a b bila terdapat c

c

c

m

yang tidak semuanya nol sedemikian hingga c

f

c

f

c

m

f

m

untuk sebarang x a b dan dikatakan bebas linier bila

semua c

c

c

m

sama dengan nol

Teorema Suatu PDB disajikan dalam

a

xy

n

a

xy

n

a

n

xy dimana a

x

BAB PDB LINIER ORDER DUA

Misal f

f

f

m

solusi sebanyak m maka solusi umum PDB ini merupakan

kombinasi bebas linier dari fungsifungsi ini yaitu y c

f

c

f

c

m

f

m

Bukti Turunkan solusi umum ini sebanyak n kali kemudian substitusikan

kedalam persamaan

y c

f

c

f

c

m

f

m

y

c

f

c

f

c

m

f

m

y

n

c

f

n

c

f

n

c

m

f

n

m

y

n

c

f

n

c

f

n

c

m

f

n

m

maka a

x

c

f

n

c

f

n

c

m

f

n

m

a

x

c

f

n

c

f

n

c

m

f

n

m

a

n

x

c

f

c

f

c

m

f

m

dan dapat disederhanakan

menjadi c

a

xf

n

a

xf

n

a

n

xf

c

a

xf

n

a

xf

n

a

n

xf

c

m

a

xf

n

m

a

xf

n

m

a

n

xf

m

Analog

dari persamaan maka ruas kiri persamaan terakhir akan sama dengan nol

sehingga terbukti y c

f

c

f

c

m

f

m

merupakan solusi umum

Denisi Misal f

f

f

m

adalah fungsi riel yang kontinyu pada tu

runan ke n dalam interval a b maka

W f

f

f

n

f

f

f

n

f

f

f

n

f

n

f

n

f

n

n

disebut determinan matrik Wronskian yang terdenisi pada a b


Teorema Fungsifungsi solusi f

f

f

n

dari PDB homogen order n

dikatakan bebas linier bila W f

f

f

n

Contoh Buktikan bahwa

Jika sin x cosx merupakan solusi dari y

y maka y c

sin xc

cosx

juga solusi PDB ini dan buktikan solusisolusi itu bebas linier

Jika e

x

e

x

e

x

merupakan solusi dari y

y

y

y maka y

c

e

x

c

e

x

c

e

x

juga solusi PDB ini dan buktikan solusisolusi itu bebas

linier

Cara sederhana untuk menyelesaikan PDB homogen order n ini adalah dengan

cara mereduksi ordernya

Teorema Suatu PDB

a

xy

n

a

xy

n

a

n

xy a

x

maka permisalan y fxv akan mengurangi order PDB menjadi n

Contoh Salah satu solusi PDB x

y

xy

y adalah f

x

maka tentukan solusi umumnya

Penyelesaian Misal

f

y f

v xv

y

v xv

y

v

xv


Substitusikan kedalam PDB pada persoalan ini didapat xx

v

v

dan

misal w v

maka

xx

dw

dx

w

dw

dx

w

xx

w

dw

xx

dx

x

x

x

dx

lnw lnx

lnx

ln c

lnw ln

x

x

sehingga solusi umunnya adalah

w

x

x

Sementara w v

maka persamaan terakhir dapat diperoses menjadi

dv

dx

cx

x

dv

x

x

pilih c

dv

x

dx

v x

x

Sekarang f

f

v x

x

x

x

maka solusi umum dari PDB diatas

adalah

y c

x c

x


PDB Order n Nonhomogen

Suatu PDB order n nonhomogen disajikan dalam bentuk

a

xy

n

a

xy

n

a

n

xy F x a

x

Teorema Bila u adalah solusi umum PDB homogen dari persamaan

dan v solusi khusus persamaan maka u v adalah solusi umum PDB non

homogen

Misal diberikan PDB y

y x Bila solusi umum PDB y

y adalah

y

u

c

sin x c

cosx dan solusi khusus y

y x adalah y

k

x maka solusi

umum PDB ini adalah y y

u

y

k

atau y c

sinx c

cosx x

PDB Order Dua

PDB Order Dua Homogen

Suatu PDB order dua didenisikan dengan persamaan

pxy

qxy

rxy

bila p q r adalah fungsi konstan maka dapat ditulis dengan persamaan berikut

ay

by

cy

Persamaan karakteristik dari persamaan ini diperoleh dengan cara memisalkan

y e

rt

y

re

rt

y

r

e

rt


sehingga persamaan menjadi

ar

e

rt

bre

rt

ce

rt

ar

br ce

rt

Bila e

rt

maka ar

br c merupakan persamaan karakteristik dari PDB

order dua homogen dengan dengan koesien konstan dan y e

rt

merupakan

solusi dari persamaan

AkarAkar Riel dan Berbeda

Bila persamaan karakteristik mempunyai akarakar riel dan berbeda D

maka ditemukan r

r

sehingga solusi PDB dalam persamaan adalah

y c

e

rt

c

e

rt

Misal diberikan PDB y

y

y maka persamaan karakteristiknya

adalah r

r dengan akarakar r

dan r

sehingga solusi

umumnya y c

e

t

c

e

t

Selanjutnya bila diterapkan nilai awal y

dan y

maka nilai c

c

dapat diperoleh dengan cara menurunkan solusi

umum dua kali yaitu y

c

e

t

c

e

t

dan y

c

e

t

c

e

t

dan

substitusikan kedua nilai awal itu kedalam persamaan ini diperoleh sistem

c

c

c

c

dimana c

dan c

dan solusi khususnya menjadi y e

t

e

t

Contoh Selesaikan persoalan berikut

y

y

y y y


y

y

y y y

y

y

y y y

AkarAkar Komplek

Persamaan karakteristik persamaan PDB order dua homogen adalah ar

brc

Jika D maka akarakarnya adalah bilangan komplek yaitu r

i

dan r

i dengan demikian solusi kompleknya adalah

y

c

e

it

y

c

e

it

Teorema Teorema Taylor Jika ft mempunyai n turunan kon

tinyu pada interval a b untuk beberapa n dan bila t t

a b maka

ft p

n

t R

n

t

p

n

t ft

t t

f

t

t t

n

n

f

n

t

R

n

t

n

Z

t

t

t t

n

f

n

tdt

t t

n

n

f

n

untuk antara t

dan t

Dengan menerapkan teorema ini maka aproksimasi untuk fungsifungsi berikut

pada t

adalah

e

at

at

at

at

X

n

at

n

n

sin at

at

at

at

X

n

n

at

n

n

cos at

at

at

at

X

n

n

at

n

n


Selanjutnya dalam ekspresi solusi komplek e

it

dapat ditulis sebagai berikut

e

it

it

it

it

X

n

n

at

n

n

i

X

n

n

at

n

n

cos t i sin t

Dengan menerapkan persamaan terakhir ini maka solusi komplek dan

menjadi

y

e

it

e

t

cost i sint

y

e

it

e

t

cost i sint

Bila keduanya dijumlahkan dan dikurangkan maka

ut y

y

e

t

cost

vt y

y

ie

t

sint

Abaikan bilangan dan i dengan pertimbangan diganti dengan konstanta esen

sial lainnya maka solusi umum PDB dengan persamaan akar karakteristik kom

plek adalah

y c

ut c

vt c

e

t

cost c

e

t

sint

Suatu contoh dapat ditunjukkan untuk menyelesaikan PDB y

y

y

Persamaan karakteristik PDB ini adalah r

r sehingga akarakar

kompleknya adalah r

i

q

Jadi

dan

q

sehingga solusi

umunya y c

e

t

cos

q

t c

e

t

sin

q

t


AkarAkar Riel dan Sama

Untuk kasus ini persamaan karakteristik ar

br c akan mempunyai

D b

ac sehingga r

r

b

a

Dengan demikian salah satu solusi

PDB adalah y

k

e

b

a

t

Misal solusi umumnya adalah y vty

k

t vte

b

a

t

maka

y

v

te

b

a

t

b

a

vte

b

a

t

y

v

te

b

a

t

b

a

v

te

b

a

t

b

a

vte

b

a

t

Sehingga dengan mensubstitusikan kedalam PDB ay

by

cy diperoleh

a

v

t

b

a

v

t

b

a

vt

b

v

t

b

a

vt

cvt

e

b

a

t

Bila e

b

a

t

maka av

t

b

a

c

Karena b

ac maka persamaan ini menjadi

av

t dimana solusi umumnya adalah vt c

t c

Dengan demikian

solusi umum PDB dengan akar persamaan karakteristik berulang adalah

y vty

t c

e

b

a

t

c

te

b

a

t

PDB Order Dua Nonhomogen

Suatu PDB disajikan dalam persamaan berikut

Ly y

pty

qty gt

Ly y

pty

qty

Teorema Jika Y

dan Y

adalah solusi persamaan maka Y

Y

adalah solusi persamaan Dan bila y

y

solusi persamaan maka

Y

t Y

t c

y

t c

y

t


Ini berarti solusi umum dari persamaan adalah

yt c

y

t c

y

t

z

solusi homogen

y

k

t

Diberikan PDB y

y

y e

t

Solusi persamaan homogennya adalah

y

h

c

e

t

c

e

t

Kemudian akan ditentukan solusi persamaan nonhomogen

dengan memisalkan y

k

Ae

t

sebagai solusi Berikutnya adalah menentukan nilai

A yang dalam dalam hal ini diperoleh dari menurunkannnya dua kali y

k

Ae

t

dan y

k

Ae

t

kemudian mensubstitusikan kedalam PDB diperoleh A

Sehingga solusi umumnya adalah y c

e

t

c

e

t

e

t

Permasalahan yang paling banyak dihadapi nantinya adalah bagaimana mem

buat permisalan untuk menentukan solusi khusus y

k

Kadangkala pemisalahan

itu harus diulang dua kali untuk menentukan koesien yang tepat bagi solusi ini

Oleh karena itu untuk memudahkannya diberikan panduan berikut

g

i

t Y

i

t

P

n

t a

t

n

a

t

n

a

n

t

s

A

t

n

A

t

n

a

N

P

n

te

at

t

s

A

t

n

A

t

n

a

N

e

at

P

n

te

at

sin t

cost

t

s

A

t

n

A

t

n

a

N

e

at

cost

A

t

n

A

t

n

a

N

e

at

sin t

Tabel Panduan permisalan solusi khusus PDB non homogen

Contoh Selesaikan persoalan berikut

y

y

y sin t

y

y

y e

t

cos t

y

y

y e

t

sin t e

t

cos t


Variasi Parameter

Diberikan PDB nonhomogen

y

t pty

t qtyt gt

maka y

h

t c

y

t c

y

t adalah solusi PDB homogen

y

pty

qty

Kemudian bila c

diganti dengan u

t dan c

dengan u

t maka diperoleh

yt u

ty

t u

ty

t

adalah solusi umum persamaan Turunkan satu kali

y

t u

ty

t u

ty

t u

ty

t u

ty

t

Set

u

ty

t u

ty

t

maka

y

t u

ty

t u

ty

t

y

t u

ty

t u

ty

t u

ty

t u

ty

t

Substitusikan dua persamaan terakhir ini kedalam persamaan diperoleh

u

t

y

tpty

tqty

t

u

t

y

tpty

tqty

t

u

ty

t

u

ty

t gt Suku pertama dan kedua adalah sama dengan nol karena y

y

adalah solusi PDB sehingga

u

ty

t u

ty

t gt


Dua persamaan dan akan membentuk sistem persamaan linier

dimana u

t dan u

t dapat ditentukan sebagai berikut

u

t

y

t

gt y

t

W y

y

t

y

tgt

W

u

t

y

t

y

t gt

W y

y

t

y

tgt

W

Sehingga

u

t

Z

y

tgt

W

dt c

u

t

Z

y

tgt

W

dt c

Dan solusi umum menjadi

yt

R

y

tgt

W

dt y

t

R

y

tgt

W

dt y

t

Sebagai contoh dapat diselesaikan PDB y

y csc t Persamaan homogen

nya adalah y

y dengan persamaan karakteristik r

dan mempunyai

akar komplek r

i Dengan demikian solusinya y

h

c

cos t c

sin t

Dari keseluruhan soal ini dapat disimpulkan bahwa gt csc t y

t cos t

dan y

sin t sehingga y

t sin t dan y

t sin t Dengan mene

rapkan prosedur diatas maka

u

t

y

t

gt y

t

W y

y

t

sin t csc t

cos

t sin

t


u

t

y

t

y

t gt

W y

y

t

csc t sin t

Dengan proses yang sederhana diperoleh

u

t sin t c

u

t

ln j csc t cot tj cos t c

Sehingga solusi umumnya adalah

yt c

cos t c

sin t sin t cos t cos t sin t

ln j csc t cot tj sin t


Latihan Tutorial

Tentukan solusi umum dari masingmasing persamaan diferensial order dua

berikut ini

a y

y

y e

x

e

x

b y

y

y sin x cos x

c y

y

y x

e

x

x

d y

y sin x cos x

e y

y

y e

x

e

x

x

f y

y

y x

e

x

e

x

g y

y

y e

x

cosx

h y

y

sin x cos x

i y

y

y e

x

e

x

x

j y

y x

x cos x

k y

y

y e

x

e

x

l y

y

y xe

x

m y

y

y e

x

e

x

n y

y

y cos x

Selesaikan masalah nilai awal berikut ini

a y

y

y x

y y

b y

y

y x e

x

y y


c y

y

y xe

x

y y

d y

y

y xe

x

y y

e y

y

y e

x

y y

f y

y

y e

x

y y

g y

y

y e

x

y y

h y

y

y e

x

y y

i y

y

y sin x y y

j y

y

y e

x

e

x

y y

k y

y

y xe

x

e

x

y y

Daftar Pustaka

Boyce W E Diprima R C Elementary Dierential Equations and

Boudary Value Problems John Wiley Sons Inc Singapore

Burden R L and Faires J D Numerical Analysis BrooksCole Publishing

Company US

Lambert JD Numerical Methods for Ordinary Dierential Systems John

Wiley Sons Inc Singapore

Powell MJD Approximation Theory and Methods Cambridge University

Press UK

Ross S L Introduction to Ordinary Dierential Equations John Wiley

Sons Inc New York US

Shampine L F Baca LS Computer Solution of Ordinary Dierential

Equations The Initial Value Problem Freeman San Francisco

Documents

Handout Persamaan Diferensial 1.Pdfl