Tugas RBL I Mekanika Kuantum

Solusi Hartree-Fock untuk atom Be

Asis Pattisahusiwa Muhammad Nasir Mukhlizar

28 November 2014

Teori

• Fungsi Hamiltonian untuk N elektron yang bergerakdisekitar muatan inti Z

H =

N∑i=1

P2i2m

−

N∑i=1

Ze2

ri+1

2

N∑i 6=j=1

e2

rij

• Ketika elektron ditinjau secara bersamaan (produk Hartree)

Ψ(x1, x2) = ψ1(x1)ψ2(x2)

• Kita tidak tahu mana elektron 1 dan 2, sehingga harusdiubah menjadi (Slater determinant)

Ψ(x1, x2) = ψ1(x1)ψ2(x2) −ψ1(x2)ψ2(x1)

• atau secara umum

Ψ(x1, x2, . . . , xn) =1√N!

detψα(xj)

• Fungsi Hamiltonian untuk N elektron yang bergerakdisekitar muatan inti Z

H =

N∑i=1

P2i2m

−

N∑i=1

Ze2

ri+1

2

N∑i 6=j=1

e2

rij

• Ketika elektron ditinjau secara bersamaan (produk Hartree)

Ψ(x1, x2) = ψ1(x1)ψ2(x2)

• Kita tidak tahu mana elektron 1 dan 2, sehingga harusdiubah menjadi (Slater determinant)

Ψ(x1, x2) = ψ1(x1)ψ2(x2) −ψ1(x2)ψ2(x1)

• atau secara umum

Ψ(x1, x2, . . . , xn) =1√N!

detψα(xj)

• Fungsi Hamiltonian untuk N elektron yang bergerakdisekitar muatan inti Z

H =

N∑i=1

P2i2m

−

N∑i=1

Ze2

ri+1

2

N∑i 6=j=1

e2

rij

• Ketika elektron ditinjau secara bersamaan (produk Hartree)

Ψ(x1, x2) = ψ1(x1)ψ2(x2)

• Kita tidak tahu mana elektron 1 dan 2, sehingga harusdiubah menjadi (Slater determinant)

Ψ(x1, x2) = ψ1(x1)ψ2(x2) −ψ1(x2)ψ2(x1)

• atau secara umum

Ψ(x1, x2, . . . , xn) =1√N!

detψα(xj)

• Fungsi Hamiltonian untuk N elektron yang bergerakdisekitar muatan inti Z

H =

N∑i=1

P2i2m

−

N∑i=1

Ze2

ri+1

2

N∑i 6=j=1

e2

rij

• Ketika elektron ditinjau secara bersamaan (produk Hartree)

Ψ(x1, x2) = ψ1(x1)ψ2(x2)

• Kita tidak tahu mana elektron 1 dan 2, sehingga harusdiubah menjadi (Slater determinant)

Ψ(x1, x2) = ψ1(x1)ψ2(x2) −ψ1(x2)ψ2(x1)

• atau secara umum

Ψ(x1, x2, . . . , xn) =1√N!

detψα(xj)

• Jika fungsi gelombang partikel tunggal ortonormal dan tidakbergantung pada spin, maka

ψα(x) = χα(r) |σα〉 ; σα = ±12

• Untuk elektron banyak

χα(r) =1

rRnl(r)Ylm(r̂);

∞∫0

R2nl(r) dr = 1

• Rapat elektron

ρ(r) =1

4πr2

∑nl

NnlR2nl(r);

∞∫0

ρ(r)4πr2 dr =∑nl

Nnl = N

• Jika fungsi gelombang partikel tunggal ortonormal dan tidakbergantung pada spin, maka

ψα(x) = χα(r) |σα〉 ; σα = ±12

• Untuk elektron banyak

χα(r) =1

rRnl(r)Ylm(r̂);

∞∫0

R2nl(r) dr = 1

• Rapat elektron

ρ(r) =1

4πr2

∑nl

NnlR2nl(r);

∞∫0

ρ(r)4πr2 dr =∑nl

Nnl = N

• Jika fungsi gelombang partikel tunggal ortonormal dan tidakbergantung pada spin, maka

ψα(x) = χα(r) |σα〉 ; σα = ±12

• Untuk elektron banyak

χα(r) =1

rRnl(r)Ylm(r̂);

∞∫0

R2nl(r) dr = 1

• Rapat elektron

ρ(r) =1

4πr2

∑nl

NnlR2nl(r);

∞∫0

ρ(r)4πr2 dr =∑nl

Nnl = N

• Persamaan Hartree-Fock untuk fungsi gelombang radialoptimal[−

h2

2m

d2

dr2+l(l+ 1) h2

2mr2−Ze2

r+Φ(r) − εnl

]Rnl(r) = −Fnl(r)

• Suku Fock

Fnl(r) = −e2

2

∑n′l′

Nn′l′Rn′l′(r)

l+l′∑λ=|l−l′|

(l l′ λ0 0 0

)2Jλnln′l′

dengan

Jλnln′l′ =1

rλ+1

r∫0

Rn′l′(r′)Rnl(r

′)r′λ dr′ + rλ∞∫0

Rn′l′(r′)Rnl(r

′)

r′λ+1dr′

• Persamaan Hartree-Fock untuk fungsi gelombang radialoptimal[−

h2

2m

d2

dr2+l(l+ 1) h2

2mr2−Ze2

r+Φ(r) − εnl

]Rnl(r) = −Fnl(r)

• Suku Fock

Fnl(r) = −e2

2

∑n′l′

Nn′l′Rn′l′(r)

l+l′∑λ=|l−l′|

(l l′ λ0 0 0

)2Jλnln′l′

dengan

Jλnln′l′ =1

rλ+1

r∫0

Rn′l′(r′)Rnl(r

′)r′λ dr′ + rλ∞∫0

Rn′l′(r′)Rnl(r

′)

r′λ+1dr′

• Exchange energy

Eex =1

2

∑nl

Nnl

∞∫0

Rnl(r)Fnl(r) dr

• Single particle eigenvalue

εnl = h2

2m

∞∫0

[(d

drRnl

)2+l(l+ 1)

r2R2nl

]dr

+

∞∫0

[−ze2

r+Φ(r)

]R2nl(r) dr+

∞∫0

Rnl(r)Fnl(r) dr

• Exchange energy

Eex =1

2

∑nl

Nnl

∞∫0

Rnl(r)Fnl(r) dr

• Single particle eigenvalue

εnl = h2

2m

∞∫0

[(d

drRnl

)2+l(l+ 1)

r2R2nl

]dr

+

∞∫0

[−ze2

r+Φ(r)

]R2nl(r) dr+

∞∫0

Rnl(r)Fnl(r) dr

Algoritma

Implementasi

Plot density

Plot total energy

Data energi 1s

Data energi 2s

Kesimpulan• Rapat elektron berada pada r ≈ 0.1

• Total energi atom Be −1166.005• Energi ground state −371.4499• Energi ground state referensi −399.03• Selisih Energi ground state yang diperoleh dengan referensi

sebesar 6.9%

Kesimpulan• Rapat elektron berada pada r ≈ 0.1• Total energi atom Be −1166.005

• Energi ground state −371.4499• Energi ground state referensi −399.03• Selisih Energi ground state yang diperoleh dengan referensi

sebesar 6.9%

Kesimpulan• Rapat elektron berada pada r ≈ 0.1• Total energi atom Be −1166.005• Energi ground state −371.4499

• Energi ground state referensi −399.03• Selisih Energi ground state yang diperoleh dengan referensi

sebesar 6.9%

Kesimpulan• Rapat elektron berada pada r ≈ 0.1• Total energi atom Be −1166.005• Energi ground state −371.4499• Energi ground state referensi −399.03

• Selisih Energi ground state yang diperoleh dengan referensisebesar 6.9%

Kesimpulan• Rapat elektron berada pada r ≈ 0.1• Total energi atom Be −1166.005• Energi ground state −371.4499• Energi ground state referensi −399.03• Selisih Energi ground state yang diperoleh dengan referensi

sebesar 6.9%

Terima kasih