Hiperckmplexos

7/26/2019 Hiperckmplexos

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iv) O traço de uma matriz é igual ao traço da matriz transposta

tr [A] tr [A]T (3. 55)

Prova

T T

tr [A] Aii Aii tr [A] (3. 56)

3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma MatrizDefinição:

Determinante de uma matriz de ordem n é a soma algébrica de todos os produtos

diferentes obtidos com os n2 elementos de uma matriz quadrada, de modo que cada

produto

tenha um elemento de cada linha e de cada coluna, afetado do sinal positivo ou negativo

conforme seus elementos pertencerem a permutação par ou ímpar.

A cada matriz associamos um determinante A ou det A

que é um dos

invariantes de A.

O determinante de uma matriz é definido como:menor jn

j

a j A 1

1

1 ] [ det ] det[

A (3. 57)

Conforme o esquema abaixo:

43



n nn

nn

nij

a a

a a

a

a

a a a

A A222 21

2111 12 1

: : :

..

:

..

(3. 58)usando a própria definição de determinante do menor da matriz A, det[Amenor ]

iterativamente

para as matrizes menores temos:menor jn

jn j

a j a j A 1

11

1

det[ ] 1 1 det[ ]

A (3. 59)

Ou iterando sucessivamente temos:nnn

jn j j

j jn

j

det[ ] a j a j a .... a .a

121



21

1 111

1 1

A (3. 60)

Se uma matriz é quadrada A é um número qualquer, inclusive zero. Se a matriz é

retangular

A é sempre nulo.

Se o determinante da matriz A é nulo ( A =0) a matriz é chamada singular.

Seja uma matriz de n linhas e n colunas. Formando os determinantes de todas as

maneiras possíveis, tomando 1,2, ....,n linhas e colunas da matriz, de todas as maneiras

possíveis, se pelo menos um determinante de ordem r é diferente de zero e se todas os

determinantes de ordem superior são nulos, a matriz é de graduação r . Se a matriz for de

ordem n e singular, r < n. Se Não for singular r = n.

3.8.5 - Propriedades dos Determinantesi)

det[AB] det[A]det[B] det[BA] (3. 61)

ii)

44

det[ ]

det[ ] 1

det[ ] det[ ]det[ ] det[ ] 111 1

A

A

A A A A I

(3. 62)iii)

(3. 63)iv)

(3. 64)v)



(3. 65)

3.8.6 – Matriz InversaDefine-se uma Matriz Inversa de A aquela Matriz cujo produto resulta na Matriz

identidade:

A1A I

(3. 66)Onde

0 0 .. 1

: : : :

0 1 .. 0

1 0 .. 0

I ij (3. 67)

A matriz inversa pode ser calculada a partir da matriz A como sendo:

A

A

det1T

CofatorAij

(3. 68)

ondemenori j

CofatorAij ( 1) .det[A] (3. 69)

para i = 1, 2, 3,...,n e j = 1, 2, 3...n.

45



n nnn

nn

ij

a aa a

a

a

a aCofatorA222 2

121

12 11 1

: : :..

:

1 ..

(3. 70)Substituindo (3. 60) em (3. 69) temos:nnn

i j i j j jn

i j ji j



CofatorAij ( 1) . a a .... a .a2, 12

, 11 1

1, 1

1

(3. 71)

Substituindo (3. 60) e (3. 71) em (3. 68) temos:nnn jn

j j j jn

j j jnn

ni j i j

j jn

i j j

i j

a a a a a

a a a a.... .( 1) . .... .12

12

1

1 11

11 1

2, 12

, 11 11

, 11

1



A (3. 72)

Observe que o determinante é a soma de todos os produtos possíveis entre dois

elementos da

matriz. iv) O traço de uma matriz é igual ao traço da matriz transposta

tr [A] tr [A]T (3. 55)

Prova

T T

tr [A] Aii Aii tr [A] (3. 56)

3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma MatrizDefinição:

Determinante de uma matriz de ordem n é a soma algébrica de todos os produtos

diferentes obtidos com os n2 elementos de uma matriz quadrada, de modo que cada

produto

tenha um elemento de cada linha e de cada coluna, afetado do sinal positivo ou negativo

conforme seus elementos pertencerem a permutação par ou ímpar.

A cada matriz associamos um determinante A ou det A

que é um dos

invariantes de A.

O determinante de uma matriz é definido como:menor j

n j

a j A 1

1

1 ] [ det ] det[

A (3. 57)Conforme o esquema abaixo:



43

n nnn

nn

ij

a a

a aa

a

a a a A A222 21

2111 12 1

: : :

..

:

..

(3. 58)usando a própria definição de determinante do menor da matriz A, det[Amenor ]

iterativamente

para as matrizes menores temos:menor j

n j

n

j

a j a j A 1



11

1

det[ ] 1 1 det[ ]

A (3. 59)

Ou iterando sucessivamente temos:nn

n j

n j j

j jn

j

det[ ] a j a j a .... a .a12

12

11 11

1

1 1

A (3. 60)

Se uma matriz é quadrada A é um número qualquer, inclusive zero. Se a matriz é

retangular

A é sempre nulo.

Se o determinante da matriz A é nulo ( A =0) a matriz é chamada singular.Seja uma matriz de n linhas e n colunas. Formando os determinantes de todas as

maneiras possíveis, tomando 1,2, ....,n linhas e colunas da matriz, de todas as maneiras

possíveis, se pelo menos um determinante de ordem r é diferente de zero e se todas os

determinantes de ordem superior são nulos, a matriz é de graduação r . Se a matriz for de

ordem n e singular, r < n. Se Não for singular r = n.

3.8.5 - Propriedades dos Determinantesi)

det[AB] det[A]det[B] det[BA] (3. 61)

ii)

44

det[ ]



det[ ] 1

det[ ] det[ ]det[ ] det[ ] 11

1 1

A

AA A A A I

(3. 62)iii)

(3. 63)iv)

(3. 64)v)

(3. 65)

3.8.6 – Matriz InversaDefine-se uma Matriz Inversa de A aquela Matriz cujo produto resulta na Matriz

identidade:

A 1A I (3. 66)

Onde

0 0 .. 1

: : : :0 1 .. 0

1 0 .. 0

I ij (3. 67)

A matriz inversa pode ser calculada a partir da matriz A como sendo:

A



A

det1

T

CofatorAij

(3. 68)

ondemenori j

CofatorAij ( 1) .det[A] (3. 69)

para i = 1, 2, 3,...,n e j = 1, 2, 3...n.

45

n nnn

nn

ij

a a

a a

a

a



a a

CofatorA2

22 21

21

12 11 1

: : :

..

:

1 ..

(3. 70)Substituindo (3. 60) em (3. 69) temos:nnni j i j

j jni j

ji j

CofatorAij ( 1) . a a .... a .a2, 12

, 11 1

1, 1

1

(3. 71)

Substituindo (3. 60) e (3. 71) em (3. 68) temos:nn

n

jn

j j j j

n j j j

nnni j i j

j jn

i j j

i j

a a a a a



a a a a.... .

( 1) . .... .12

121

1 111

1 12

, 12

, 11 1

1, 11

1

A (3. 72)

Observe que o determinante é a soma de todos os produtos possíveis entre dois

elementos da

matriz.

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