HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG PTITdlib.ptit.edu.vn/bitstream/123456789/1350/1/BG Toan kinh te.pdf · HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

BÀI GIẢNG

TOÁN KINH TẾ

Chủ biên: TS. Trần Ngọc Minh

Hà Nội 11- 2013

PTIT

MỤC LỤC Nội dung Trang

Lời mở đầu

CHƯƠNG I: MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

1.1 Đối tượng nghiên cứu của môn học.

1.1.1 Khái quát về tối ưu hoá:

1.1.2 Nội dung nghiên cứu của môn học

1.2 Phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế

1.2.1 Ý nghĩa và khái niệm về mô hình toán kinh tế.

1.2.2 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế

1.2.3 Cấu trúc mô hình toán kinh tế

1.2.4 Phân loại mô hình toán kinh tế

1.2.5 Nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế

1.2.6 Phương pháp phân tích mô hình – Phân tích so sánh tĩnh

1.2.7 Áp dụng phân tích đối với một số mô hình kinh tế phổ biến

CHƯƠNG 2:MÔ HÌNH TỐI ƯU TUYẾN TÍNH – QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH.

2.1. Một số tình huống trong hoạt động kinh tế và mô hình bài toán quy hoạch tuyến

tính.

2.1.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất

2.1.2. Bài toán đầu tư đạt hiệu quả cao nhất

2.1.3 Bài toán vận tải

2.1.4 Bài toán lập kế hoạch sử dụng phương pháp sản xuất khác nhau

2.2 Mô hình bài toán qui hoạch tuyến tính.

2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

2.2.2 Dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc

2.2.3 Chuyển đổi dạng bài toán qui hoạch tuyến tính

2.2.4 Phương pháp hình học giải qui hoạch tuyến tính 2 biến

2.3 Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính

2.3.1 Tính chất chung

2.3.2 Phương án cực biên

2.4 Phương pháp đơn hình.

2.4.1 Đường lối chung

2.4.2 Cơ sở của phương pháp

2.4.3 Thuật toán đơn hình

2.4.4 Tìm phương án cực biên và cơ sở ban đầu

2.4.5 Phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính dạng bất kỳ

2.5. Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

2.5.1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu

2.5.2 Các định lý đối ngẫu

2.5.3 Các ứng dụng

1

3

3

3

3

4

4

5

6

8

9

10

17

43

43

43

44

45

45

46

46

47

48

50

51

51

51

53

53

54

57

63

70

71

71

75

76

PTITPTIT

2.5.4 Phương pháp đơn hình đối ngẫu

2.5.5 Ứng dụng lý thuyết đối ngẫu.

CHƯƠNG 3:MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI

3.1 Nội dung và đặc điểm

3.2. Tìm phương án cực biên ban đầu

3.3 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải

3.4 Một số dạng đặc biệt của bài toán vận tải

CHƯƠNG 4:BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MẠNG

4.1 Một số khái niệm cơ bản

4.1.1 Định nghĩa về đồ thị hữu hạn

4.1.2 Các yếu tố khác của đồ thị

4.1.3. Biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận

4.2 Bài toán đường đi ngắn nhất

4.2.1 Ý nghĩa và nội dung bài toán

4.2.2 Thuật toán Difktra

4.3 Mạng liên thông

4.3.1 Nội dung và ý nghĩa của bài toán

4.3.2 Thuật toán Prim

4.4 Bài toán luồng lớn nhất

4.4.1 Nội dung bài toán

4.4.2 Thuật toán Ford – Fulkerson

4. 5. Bài toán luồng nhỏ nhất

4.5.1 Bài toán

4.5.2 Phương pháp giải

4.6 Phương pháp sơ đồ mạng lưới (Pert)

4.6.1 Một số khái niệm và quy tắc lập sơ đồ mạng lưới

4.6.2 Các chỉ tiêu thời gian của sơ đồ mạng lưới

4.6.3 Kết hợp các ước tính thời gian xác suất

4.6.4 Tối ưu hóa quá trình rút ngắn đường găng

CHƯƠNG 5:MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG

5.1 Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng

5.2 Mô hình hoá hệ thống phục vụ công cộng.

5.2.1. Hệ thống phục vụ công cộng và các yếu tố cấu thành

5.2.2 Phân loại hệ thống 5.2.3 Trạng thái hệ thống, quá trình chuyển trạng thái

5.2.4 Sơ đồ trạng thái và hệ phương trình trạng thái

5.3 Một số hệ thống phục vụ công cộng.

5.3.1 Hệ thống phục vụ công cộng từ chối cổ điển (Hệ thống Eclang)

5.3.2 Hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế và thời gian chờ không hạn chế.

5.3.3 Hệ thống chờ thuần nhất

79

85

92

92

95

98

105

119

119

119

120

122

124

124

124

127

127

128

128

128

130

134

134

134

136

136

140

145

148

156

156

157

157

158

159

161

163

163

168

171

PTITPTIT

Chương 6. MÔ HÌNH QUẢN LÝ DỰ TRỮ

6.1 Bài toán điều khiển dự trữ và các khái niệm

6.2 Một số mô hình dự trữ tất định

6.2.1 Mô hình dự trữ với việc tiêu thụ đều, bổ sung tức thời (mô hình Wilson).

6.2.2 Một số mô hình mở rộng từ mô hình Wilson

6.3 Mô hình dự trữ tiêu thụ đều

6.4 Mô hình dự trữ trong trường hợp giá hàng thay đổi theo số lượng đặt mua mỗi lần

(Mô hình dự trữ nhiều mức giá)

6.5 Bài toán dự trữ nhiều loại hàng và bài toán với các điều kiện ràng buộc

6.6 Một số mô hình dự trữ với yếu tố ngẫu nhiên.

6.6.1 Mô hình dự trữ một giai đoạn

6.6.2 Mô hình dự trữ có bảo hiểm

Tài liệu tham khảo

176

176

177

177

182

186

191

196

198

298

201

PTITPTIT

1

LỜI MỞ ĐẦU

Trước xu thế toàn cầu hóa, hội nhập kinh tế quốc tế, buộc các doanh nghiệp trong đó có doanh

nghiệp bưu chính viễn thông không thể thờ ơ trước cuộc chiến dành miếng bánh thị phần. Các

doanh nghiệp phải tìm mọi biện pháp tối ưu hóa hiệu quả sản xuất kinh doanh để tồn tại và phát

triển trong môi trường cạnh tranh ngày càng khốc liệt. Các doanh nghiệp cần có chiến lược kinh

doanh đúng đắn vừa đảm bảo hiệu quả đầu tư, vừa đảm bảo yêu cầu về chất lượng của sản phẩm,

dịch vụ mà mình cung cấp phù hợp với nhu cầu thị trường. Để giải quyết được vấn đề này đòi hỏi

doanh nghiệp phải xem xét về mọi mặt của quá trình sản xuất kinh doanh trên quan điểm tối ưu

hóa kể cả trong ngắn hạn và dài hạn.

Trong thực tế vấn đề tối ưu hóa rất đa dạng và phức tạp, không có một phương pháp vạn năng

hữu hiệu nào có thể giải quyết, tìm lời giải tối ưu cho mọi trường hợp mà ta phải sử dụng nhiều

phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế cả ở

tầm vĩ mô và vi mô, mỗi phương pháp, mỗi công cụ có những ưu nhược điểm riêng. Toán kinh tế

là một phương pháp, một công cụ hữu hiệu, kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đặc biệt

hữu ích khi có sự trợ giúp của phương tiện xử lý thông tin hiện đại. Trong khuôn khổ chương trình

môn học “Toán kinh tế” dành cho chuyên ngành kinh tế và quản trị kinh doanh bậc cao đẳng và

đại học, bài giảng toán kinh tế sẽ trang bị cho người học những kỹ năng cơ bản về phương pháp

mô hình các vấn đề kinh tế đương đại, từ đó áp dụng các thuật toán thích hợp để tìm lời giải hoặc

phân tích, dự báo. Để phục vụ tốt cho việc dạy và học, tác giả biên soạn bài giảng này trên cơ sở

chọn lọc những tài liêu, giáo trình đã có trước đây, bổ sung cập nhật những kiến thức mới cho phù

hợp với mục tiêu đào tạo. Để có thể tiếp thu được các nội dung của môn học này, người học cần

được trang bị những kiến thức cơ bản về các học thuyết kinh tế, kinh tế học. Ngoài ra, với cách

tiếp cận toán học, người học cần có những kiến thức tối thiểu về giải tích toán học, xác suất -

thống kê và kinh tế lượng.

Bài giảng này gồm 6 chương, đề cập đến những kiến thức cơ bản nhất và có hệ thống về tối ưu

hóa với thời lượng 60 tiết. Bao gồm: Chương 1 trình bày về mô hình toán kinh tế, phân tích tìm lời

giải cho các mô hình kinh tế phổ biến. Chương 2 giới thiệu về quy hoạch tuyến tính, đây là lớp bài

toán phổ biến trong thực tế sản xuất kinh doanh của doanh nghiệp, nó bao gồm bài toán quy hoạch

tuyến tính tổng quát, bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu. Ngoài ra, trong chương 3, 4 trình

bày một số dạng đặc biệt của bài toán quy hoạch tuyến tính như bài toán vận tải, bài toán tối ưu

trên mạng. Chương 5 giới thiệu về mô hình hệ thống phục vụ công cộng, một hệ thống phổ biến

trong đời sống kinh tế - xã hội và an ninh quốc phòng. Chương 6 giới thiệu lớp bài toán quản lý

dự trữ về các yếu tố đầu vào của mọi quá trình sản xuất. Việc xử lý và phân tích các mô hình giúp

cho người học có thể tự giải quyết các vấn đề trong từng trường hợp, đồng thời tạo khả năng vận

dụng một cách sáng tạo phương pháp giải quyết trong các tình huống tương tự ở bất kỳ lĩnh vực

nào. Toàn bộ bài giảng cũng như trong các chương các kiến thức được kết cấu theo dạng modul

do đó có thể sử dụng, lựa chọn phù hợp với đối tượng, thời lượng cụ thể.

Để tạo hứng thú trong học tập, việc xây dựng và phân tích các mô hình đều bắt đầu từ nội dung

kinh tế kèm theo các thí dụ minh họa. Các công cụ toán học được sử dụng ở mức vừa đủ hỗ trợ

trong quá trình phân tích và tìm lời giải.

Mặc dù tác giả đã bỏ nhiều công sức biên soạn bài giảng này, nhưng trong điều kiện hạn chế về

tư liệu, thời gian và kiến thức, bên cạnh đó nội dung đề cập rất đa dạng nên bài giảng không tránh

khỏi những khiếm khuyết. Rất mong được sự đồng tình và những ý kiến đóng góp của độc giả.

PTITPTIT

2

Hà Nội – 2013

Tác giả

TS. Trần Ngọc Minh

PTITPTIT

Bài giảng toán kinh tế Chương 1: Mô hình toán kinh tế

3

CHƯƠNG 1

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

1.1 Đối tượng nghiên cứu của môn học.

1.1.1 Khái quát về tối ưu hoá:

● Khái niệm tối ưu: dùng để chỉ mức độ khả dĩ đạt tới cao nhất của mục tiêu do một chủ thể đề ra

và được xét trong những điều kiện nhất định.

- Với mỗi sự vật, mục tiêu là một khái niệm mang tính chủ quan, tùy thuộc vào mục đích riêng

của chủ thể. Thí dụ, khi nghiên cứu mạng viễn thông, người sử dụng lấy chất lượng dịch vụ làm

mục tiêu. Trái lại, người quản lý khái thác mạng lấy hiệu suất sử dụng tài nguyên làm mục tiêu.

- Điều kiện cụ thể gồm toàn bộ những yếu tố tác động trực tiếp đến mục tiêu của chủ thể. Thí dụ

khi lập kế hoạch sản xuất tối ưu, các điều kiện ảnh hưởng trực tiếp đến mục tiêu là tình trạng máy

móc thiết bị, khả năng cung cấp các yếu tố đầu vào, khả năng tiêu thụ hàng hóa trên thị

trường,vv...

Tối ưu hóa: là quá trình đi đến cái "tốt nhất", là sự vận động từ chưa tốt đến tốt hơn, từ tốt hơn

đến tốt nhất. Phương pháp tối ưu hóa là các biện pháp, các thuật toán, các kỹ xảo, các thao

tácv.v... nhằm đi đến điểm tối ưu. Phương pháp tối ưu hóa là công cụ của tối ưu hóa. Do tính đa

dạng và phức tạp của các vấn đề tối ưu hóa trong thực tế, không tồn tại một phương pháp vạn

năng hữu hiệu để giải quyết vấn đề để tìm lời giải tối ưu trong mọi trường hợp.

● Tối ưu hóa là quy luật khách quan của giới tự nhiên và xã hội, gắn liền với quá trình tiến hóa.

Qui luật chọn lọc tự nhiên chỉ ra rằng, chỉ có những sinh vật nào thích nghi tốt nhất với điều kiện

môi trường thì mới có khả năng tồn tại và phát tiển. Cái cây luôn luôn phải vươn lên để nhận được

ánh sáng mặt trời nhiều nhất. Con cá có hình dáng thích hợp để bơi thuận tiện nhất. Nhà kinh

doanh luôn luôn phải làm cho lợi nhuận của danh nghiệp lớn nhất. Nhà chính trị luôn luôn tìm

cách điều hành xã hội phát triển nhanh nhất và ổn định nhất.

● Đối với các quá trình phức tạp, mục tiêu cuối cùng của tối ưu hóa thường không rõ ràng ngay

từ đầu. Thứ nhất, khái niệm "tốt nhất" phụ thuộc vào nhận thức chủ quan của con người. Thứ hai,

sự vật luôn luôn biến đổi không ngừng theo thời gian khiến cho các điều kiện luôn luôn thay đổi.

Một đối tượng đang là "tốt nhất", khi điều kiện thay đổi có thể trở trhành "xấu nhất". Vì vậy, đối

với quá trình phức tạp, mục tiêu tối ưu hóa thường được hiệu chỉnh theo thời gian để có ý nghĩa

thiết thực. Điều này có thể được nhận thấy rất rõ trong lý thuyết kinh tế học, trong điều khiển tự

thích nghi,...

● Tối ưu hóa có tính phân thân, nghĩa là nó tác động vào chính nó. Nói cách khác, các quá trình

tối ưu hóa và các phương pháp tối ưu hóa cũng phải có tính tối ưu khi đặt nó vào các điều kiện và

hoàn cảnh cụ thể của vấn đề mà chủ thể đặt ra để giải quyết.

● Các phương pháp tối ưu thường được nghiên cứu dưới dạng mô hình toán học, đó là các

phương trình, bất phương trình, phương trình vi phân, tích phân,...

1.1.2 Nội dung nghiên cứu của môn học.

Khi nghiên cứu các bài toán tối ưu người ta có thể chia ra làm ba hướng:

● Các vấn đề công nghệ hay thực tiễn: Xây dựng các mô hình toán học, thu thập dữ liệu, giải

thích và phân tích kết quả tính toán,v.v...

● Các vấn đề toán học: Nghiên cứu các phương pháp toán học để giải các lớp bài toán tối ưu nhất

định.

PTITPTIT


4

● Các vấn đề tính toán: Nghiên cứu sơ đồ tính toán cho các phương pháp toán học đã đề xuất và

hoàn thiện các chương trình phần mềm tương ứng,v.v....

Dĩ nhiên ba hướng này không hoàn toàn tách biệt nhau. Chẳng hạn, các mô hình toán học cho các

vấn đề thực tiễn cần được xây dựng sao cho phù hợp nhất với các phương pháp tính toán hiện có.

Việc nghiên cứu các sơ đồ tính toán theo các phương pháp toán học đã có và thực tiễn tính toán

thường giúp hòan thiện bản thân phương pháp toán học.

Trong khuôn khổ môn học này ta sẽ tập trung chủ yếu vào các khía cạnh toán học và tính toán của

một số mô hình tối ưu sau đây:

- Mô hình Micro và Macro: Xây dựng mô hình toán đối với các mối quan hệ kinh tế đã được kinh

tế học chứng minh, áp dụng phương pháp thích hợp khi phân tích các mô hình.

- Quy hoạch tuyến tính: Bao gồm bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, bài toán quy hoạch

tuyến tính dạng chuẩn tắc và chính tắc, các tính chất cơ bản, thuật toán đơn hình giải bài toán, lý

thuyết đối ngẫu, bài toán vận tải, bài toán tối ưu trên mạng.

- Mô hình hệ thống phục vụ công cộng

- Mô hình quản lý dự tữ tối ưu.

1.2 Phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế

1.2.1 Ý nghĩa và khái niệm về mô hình toán kinh tế.

Loài người từ lâu đã biết cách tìm hiểu, khám phá những hiện tượng tự nhiên, họ biết quan sát,

theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này. Kết quả theo dõi được đúc kết thành kinh nghiệm và lưu

truyền qua các thế hệ. Đó là phương pháp trực tiếp quan sát trong nghiên cứu. Đối với sự vật, hiện

tượng phức tạp hơn hoặc khi chúng ta chẳng những muốn tìm hiểu các hiện tượng mà còn muốn

lợi dụng chúng phục vụ cho hoạt động của mình thì phương pháp quan sát chưa đủ. Trong trường

hợp này, khi nghiên cứu các đối tượng, các nhà khoa học hoặc là trực tiếp tác động vào đối tượng,

hoặc sử dụng các mô hình tương tự (về mặt cấu trúc vật lý) như đối tượng, tiến hành thí nghiệm,

trực tiếp tác động vào đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết quả để xác lập quy luật chi phối sự

vận động của đối tượng. Đó là phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và là phương

pháp nghiên cứu phổ biến trong khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Khi nghiên cứu các hiện tượng,

vấn đề kinh tế - xã hội, các phương pháp trên thường không đem lại kết quả như mong muốn, vì:

- Những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn đề hết sức phức tạp, đặc biệt là những vấn đề kinh tế

đương đại, trong đó có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta không thể chỉ

bằng quan sát là có thể giải thích được.

- Quy mô, phạm vi liên quan của những vấn đề kinh tế xã hội nhiều khi rất rộng và đa dạng, vì

vậy khi dùng phương pháp thử nghiệm đòi hỏi chi phí rất lớn về thời gian và tiền bạc và nhiều khi

những sai sót trong quá trình thử nghiệm sẽ gây ra hậu quả không thể lường trước được.

- Ngay cả trong trường hợp có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trong nghiên cứu kinh tế

thì kết quả thu được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh tế - xã hội đều gắn với hoạt động của

con người. Khi điều kiện thực tế khác biệt với điều kiện thử nghiệm, con người có phản ứng khác

hẳn nhau.

Để nghiên cứu các hiện tượng, các vấn đề kinh tế chúng ta phải sử dụng phương pháp suy luận

gián tiếp, trong đó các đối tượng trong hiện thực có liên quan đến hiện tượng, vấn đề chúng ta

quan tâm nghiên cứu sẽ được thay thế bởi :”hình ảnh” của chúng: các mô hình của đối tượng và ta

sử dụng mô hình làm công cụ phân tích và suy luận. Phương pháp này có tên gọi là phương pháp

mô hình. Nội dung chính của phương pháp mô hình là:

Xây dựng, xác định mô hình của đối tượng. Quá trình này gọi là mô hình hoá đối tượng.

PTITPTIT


5

- Dùng mô hình làm công cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu. Quá trình này gọi là phân tích

mô hình.

Phương pháp mô hình khắc phục được hạn chế của các phương pháp trên, đồng thời với việc

phân tích mô hình, phương pháp tạo khả năng phát huy tốt hiệu quả của tư duy logic, kết hợp

nhuần nhuyễn giữa các phương pháp phân tích truyền thống với hiện đại, giữa phân tích định tính

với phân tích định lượng. Để có thể sử dụng có hiệu quả phương pháp mô hình hoá trong nghiên

cứu kinh tế vấn đề cốt lõi là xác lập được mô hình của đối tượng nghiên cứu. Để hiểu rõ vấn đề

này chúng ta cần đề cập đến một số khái niệm cơ bản có liên quan.

1.2.2 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế

● Mô hình kinh tế:

Có nhiều quan niệm về mô hình của đối tượng, từ hình thức đơn giản, trực quan đến hình thức

khái quát, có sử dụng các khái niệm toán học trừu tượng. Với yêu cầu bước đầu làm quen với

phương pháp mô hình, chung ta sẽ đề cập tới quan điểm khá đơn giản về mô hình. Theo quan

điểm này thì: mô hình của một đối tượng là sự phản ánh hiện thực khách quan của đối tượng; sự

hình dung, tưởng tượng đối tượng đó bằng ý nghĩ của người nghiên cứu và việc trình bày, thể

hiện, diễn đạt ý nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ,…hoặc một ngôn ngữ chuyên

ngành. Như vậy mỗi mô hình bao gồm nội dung của mô hình và hình thức thể hiện nội dung. Mô

hình của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi là mô hình kinh tế.

● Mô hình toán kinh tế.

Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học. Việc sử dụng

ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận, phân tích toán học và kế thừa

các thành tựu trong lĩnh vực này cũng như trong các lĩnh vực khoa học có liên quan. Đối với các

vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta cần nghiên cứu, phân

tích chẳng những về mặt định tính mà cả về mặt định lượng thì phương pháp suy nghĩ thông

thường, phân tích giản đơn không đủ hiệu lực để giải quyết. Chúng ta cần đến phương pháp suy

luận toán học. Đây chính là điểm mạnh của các mô hình toán kinh tế. Chúng ta có thể minh hoạ

bằng thí dụ sau:

Thí dụ 1.1. Giả sử chúng ta muốn nghiên cứu, phân tích quá trình hình thành giá cả của loại hàng

A trên thị trường với giả định là các yếu tố khác như điều kiện sản xuất hàng hoá A, thu nhập, sở

thích, thị hiếu của người tiêu dùng,… đã cho trước và không đổi.

Đối tượng liên quan đến vấn đề nghiên cứu là thị trường hàng hoá A và sự vận hành của nó trên

thị trường. Chúng ta cần mô hình hoá đối tượng này.

a. Mô hình bằng lời: Xét thị trường hàng hoá A, nơi đó người bán, người mua gặp nhau và xuất

hiện mức giá ban đầu. Với mức giá đó lượng hàng hoá người bán muốn bán gọi là mức cung và

lượng hàng hoá người mua muốn mua gọi là mức cầu. Nếu cung lớn hơn cầu, do người bán muốn

bán được nhiều hàng hơn nên phải giảm giá vì vậy hình thành mức giá mới thấp hơn. Nếu cầu lớn

hơn cung thì người mua sẵn sang trả giá cao hơn để mua được hàng do vậy một mức giá cao hơn

được hình thành. Với mức giá mới, xuất hiện mức cung, cầu mới. Quá trình tiếp diễn đến khi cung

bằng cầu ở một mức giá gọi là giá cân bằng.

b. Mô hình bằng hình vẽ: (Mô hình mạng nhện)

Từ mô hình bằng lời trên ta sẽ thể hiện bằng hình vẽ: Vẽ đường cung S và đường cầu D trên

cùng hệ trục toạ độ trong đó trục hoành biểu thị các mức giá, trục tung biểu thị mức cung, mức

cầu hàng hoá A ứng với các mức giá. Quá trình hình thành giá cân bằng được thể hiện qua sơ đồ

minh hoạ dưới đây

PTITPTIT


6

Hình 1.1

Giải thích sơ đồ:

Nếu ở thời điểm bắt đầu xem xét thị trường, giá hàng là p1 và giả sử S1 = S(p1) > D1 = D(p1) khi

đó dưới tác động của quy luật cung – cầu, giá p1 sẽ phải hạ xuống mức p2.

Ở mức giá p2 do S2 = S(p2) < D2 = D(p2) nên giá sẽ tăng lên mức p3.

Ở mức giá p3 do S3 = S(p3) > D3 = D(p3) nên giá sẽ giảm xuống mức p4….

Quá trình cứ tiếp diễn cho đến khi p = p , tại mức giá này cung cầu cân bằng.

c. Mô hình toán kinh tế (Mô hình cân bằng một thị trường).

Gọi S, D là đường cung, đường cầu tương ứng. Như vậy ứng với từng mức giá p ta có S = S(p),

do người bán sẵn sàng bán với mức giá cao hơn nên S là hàm tăng theo p, tức là S’(p) > 0. D =

D(p), do người mua sẽ mua ít hơn nếu giá cao hơn nên D là hàm giảm theo p, tức là D’(p) < 0.

Tình huống cân bằng thị trường (mức cung bằng mức cầu) sẽ có nếu S = D. Viết gọn lại ta sẽ có

mô hình cân bằng thị trường hàng hoá A, Ký hiệu là MHIA dưới đây:

S = S(p); S’(p) = dS/Dp > 0.

D = D(p); D’(p) = dD/dp < 0.

S = D

Với mô hình diễn đạt bằng lời và bằng hình vẽ ta không thể biết chắc rằng liệu quá trình hình

thành giá trên thị trường có kết thúc hay không, tức là liệu có cân bằng thị trường hay không. Đối

với mô hình toán kinh tế về cân bằng thị trường, ta sẽ có câu trả lời thông qua việc giải phương

trình S = D và phân tích đặc điểm của nghiệm.

Khi muốn đề cập tới tác động của giá hàng hoá thay thế (pj), thu nhập (M), thuế (T),… tới quá

trình hình thành giá, ta có thể mở rộng mô hình bằng cách đưa các yếu tố tham gia vào các mối

liên hệ với các yếu tố sẵn có trong mô hình phù hợp với các quy luật trong lý thuyết kinh tế, chẳng

hạn:

S = S(p, T); D = D(p, pj, M, T)

Khi này mô hình, Ký hiệu là MHIB sẽ có dạng:

S = S(p, T); p

S

> 0

D = D(p, pj, M, T); p

D

< 0

S = D

1.2.3 Cấu trúc mô hình toán kinh tế.

D S

p

D, S

p P2 P1 P3 P4

PTITPTIT


7

Cùng là sản phẩm của quá trình mô hình hoá nhưng mô hình toán kinh tế có những điểm khác

biệt so với các loại mô hình khác. Quan sát mô hình MHIA trong thí dụ 1.1 chúng ta có thể thấy

rõ điều này. Mô hình chứa một số yếu tố mang tính định lượng (S, D, p, S’, D’) và các hệ thức

toán học giữa chúng (các phương trình và bất phương trình). Đây là đặc trưng cơ bản, là hình thức

kết cấu của mô hình toán kinh tế, do đó ta có thể dung đặc trưng này để hình dung một cách cụ thể

hơn về mô hình toán kinh tế so với khái niệm đã giới thiệu ở mục trước. Ta sẽ quan niệm mô hình

toán kinh tế là một tập các biến số và các hệ thức toán học liên hệ giữa chúng nhằm diễn tả đối

tượng liên quan tới sự kiện, hiện tượng kinh tế. Chúng ta sẽ phân tích chi tiết cấu trúc này của mô

hình để định rõ vai trò của từng bộ phận cấu thành nhằm trợ giúp cho quá trình mô hình hoá.

● Các biến số của mô hình.

Để mô tả đối tượng và phân tích định lượng các hiện tượng và vấn đề kinh tế liên quan tới đối

tượng, ta cần xem xét và lựa chọn một số yếu tố cơ bản đặc trưng cho đối tượng và lượng hoá

chúng. Các yếu tố này gọi là các đại lượng, các biến số (kinh tế) của mô hình. Chúng có thể thay

đổi giá trị trong phạm vi nhất định. Nhờ được lượng hoá nên ta có thể quan sát, đo lường và thực

hiện tính toán giữa các biến số này. Tuỳ thuộc vào bản chất của các biến, mục đích nghiên cứu,

phân tích cũng như khả năng về nguồn dữ liệu liên quan, các biến số kinh tế trong một mô hình

được phân loại thành:

- Biến nội sinh (biến được giải thích): đó là các biến về bản chất chúng phản ánh, thể hiện trực tiếp

sự kiện, hiện tượng kinh tế và giá trị của chúng phụ thuộc giá trị của các biến khác có trong mô

hình. Nếu biết giá trị của các biến khác trong mô hình, ta có thể xác định giá trị cụ thể bằng số

của các biến nội sinh bằng cách giải các hệ thức. Trong mô hình MHIA, chúng ta thấy các biến S,

D, p, S’, D; đều trực tiếp phản ánh trạng thái của thị trường và chúng phụ thuộc lẫn nhau do đó

chúng đều là các biến nội sinh.

- Biến ngoại sinh (biến giải thích)

Đó là các biến độc lập với các biến khác trong mô hình, giá trị của chúng được xem là tồn tại

bên ngoài mô hình. Trong mô hình MHIB, các biến M, T có giá trị không phụ thuộc vào các biến

khác do đó chúng được gọi là biến ngoại sinh.

Xét theo đặc điểm cấu trúc toán học, một mô hình có tất cả các biến đều là nội sinh gọi là mô

hình đóng, thí dụ, mô hình MHIA; mô hình có biến nội sinh và ngoại sinh gọi là mô hình mở, thí

dụ mô hình MHIB là mô hình mở.

- Tham số (thông số): Đó là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể hiện

các đặc trưng tương đối ổn định, ít biến động hoặc có thể là giả thiết là như vậy của đối tượng.

Các tham số của mô hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng của các biến tới biến nội sinh.

Thí dụ, nếu trong mô hình MHIB ta có S = αpβTγ, khi này các biến α, β, γ là các tham số của mô

hình vì giá trị của chúng quyết định mức độ tác động của biến ngoại sinh T tới biến nội sinh S, D,

S’, D’.

Lưu ý rằng cùng một biến số, trong các mô hình khác nhau có thể đóng vai trò khác nhau, thậm

chí trong cùng một mô hình nó cũng có thể có vai trò khác nhau do mục đích sử dụng mô hình

khác nhau.

● Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình của mô hình.

Các quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ thể kinh tế (tác nhân

kinh tế), giữa chủ thể với Nhà nước, giữa các khu vực, các bộ phận của nền kinh tế và giữa nền

kinh tế của các quốc gia,… tạo ra quan hệ giữa các biến số liên quan. Các mối quan hệ này là sự

phản ánh, thể hiện tác động của các quy luật trong hoạt động kinh tế. Chúng ta có thể dùng các

PTITPTIT


8

biểu thức, các hệ thức toán học một cách thích hợp từ đơn giản đến phức tạp để thể hiện mối quan

hệ giữa các biến trong mô hình. Hệ thức thường được sử dụng phổ biến là phương trình hoặc bất

phương trình.

- Phương trình của mô hình có thể tồn tại dưới dạng hàm số, phương trình đại số, phương trình vi

phân hoặc sai phân.

Phương trình định nghĩa (đồng nhất thức): Thể hiện quan hệ định nghĩa giữa các biến số hoặc

giữa hai biểu thức ở hai vế của phương trình. Thí dụ: Lợi nhuận (Π) được định nghĩa là hiệu số

giữa tổng doanh thu (TR) và tổng chi phí (TC) và được tính trtong một khoảng thời gian nhất

định; ta có thể viết: Π = TR – TC, phương trình này là một đồng nhất thức. Một thí dụ khác, xuất

khẩu ròng của một quốc gia (NX) là khoản chênh lệch giữa xuất khẩu (EX) và nhập khẩu (IM) của

quốc gia đó trong một thời kỳ nhất định. Thông thường xuất, nhập khẩu phụ thuộc vào thu nhập

(Y), mức giá cả (p), tỷ giá hối đoái (ER),…do đó theo định nghĩa của xuất khẩu ròng, ta có thể

viết: NX = EX(Y, p, ER) – IM(Y, p, ER). Trong mô hình MHIA, các phương trình S’(p) = dS/dp,

D’(p) = dD/dp cũng là các phương trình định nghĩa.

Phương trình hành vi: Mô tả quan hệ giữa các biến do tác động của các quy luật hoặc giả định.

Từ phương trình hành vi ta có thể biết sự biến động của biến nội sinh. – “hành vi” của biến này –

khi các biến khác thay đổi giá trị. Sự biến động này có thể ám chỉ sự phản ứng trong hành vi của

con người (thí dụ: trong hành vi tiêu dùng, nếu thu nhập tăng lên thì người tiêu dùng sẽ chi tiêu

nhiều hơn), nhưng cũng có thể chỉ là thể hiện quy luật về mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các

biến số. Trong mô hình MHIA, các phương trình S = S(p), D = d(p) là các phương trình hành vi vì

chúng thể hiện sự phản ứng của người sản xuất và người tiêu dùng trước sự thay đổi của giá cả.

Phương trình điều kiện: mô tả quan hệ giữa các biến số trong các tình huống có điều kiện, ràng

buộc cụ thể mà mô hình đề cập. Trong mô hình MHIA, phương trình S = D là phương trình điều

kiện cân bằng thị trường.

- Bất phương trình thường là mô tả quan hệ giữa các biến số có liên quan với nhau và trong điều

kiện cụ thể. Trong mô hình bài toán lập kế hoạch thì điều kiện ràng buộc là các bất phương trình

thể hiện việc sử dụng các yếu tố đầu vào của quá trình sản xuất không vượt quá khả năng của

doanh nghiệp.

1.2.4 Phân loại mô hình toán kinh tế

a) Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng

- Mô hình tối ưu: phản ánh sự lựa chọn cách thức hoạt động nhằm tối ưu hoá một hoặc một số

chỉ tiêu định trước. Cấu trúc cơ bản của mô hình là bài toán tối ưu có thể bao gồm bài toán toán

quy hoạch, bài toán điều khiển tối ưu. Khi phân tích mô hình tối ưu, công cụ chính được sử dụng

là các phương pháp tối ưu trong toán học.

- Mô hình cân bằng: Trong mô hình liên quan đến đối tượng, nếu quan hệ giữa các biến số được

thiết lập, giá trị của các biến nội sinh được xác định và chúng không thay đổi nếu giá trị của biến

ngoại sinh, tham số cho trước là cố định thì đối tượng được gọi là ở trạng thái cân bằng. Trong

nhóm mô hình này bao gồm các mô hình cân bằng thị trường, mô hình cân đối. Công cụ thường

sử dụng để phân tích mô hình là các phương pháp giải hệ phương trình, tìm điểm bất động.

Lưu ý rằng có nhiều chuyên gia toán kinh tế với quan niệm tổng quát về trạng thái cân bằng coi

nhóm mô hình tối ưu thuộc lớp mô hình cân bằng. Tuy nhiên theo đặc điểm cấu trúc toán học,

chúng ta sẽ tách riêng hai nhóm này.

- Mô hình tất định, mô hình ngẫu nhiên: Mô hình với các biến là tất định (phi ngẫu nhiên) gọi là

mô hình tất định, nếu mô hình có chứa biến ngẫu nhiên thì gọi là mô hình ngẫu nhiên.

PTITPTIT


9

- Mô hình toán kinh tế và mô hình kinh tế lượng: Với quan niệm trình bày ở trên về mô hình toán

kinh tế, về mặt hình thức, ta có thể xem các mô hình kinh tế lượng cũng là các mô hình toán kinh

tế và thuộc lớp mô hình ngẫu nhiên. Tuy nhiên, trong thực tế người ta thường phân biệt chúng vì

lý do kỹ thuật phân tích và ứng dụng. Đối với các mô hình toán kinh tế, các tham số của mô hình

hoặc là cho trước hoặc được giả định rằng đã biết và khi phân tích ta sử dụng các phương pháp

toán học thuần tuý; trong khi đó đối với mô hình kinh tế lượng thì các tham số chính là các ẩn số,

giá trị của chúng được xác định nhờ các phương pháp suy đoán thống kê căn cứ vào giá trị quá

khứ của các biến khác trong mô hình.

- Mô hình tĩnh (theo thời gian), mô hình động: mô hình có các biến mô tả hiện tượng kinh tế tồn

tại ở một thời điểm hay một khoảng thời gian đã xác định (thời gian cố định) gọi là mô hình tĩnh.

Mô hình mô tả hiện tượng kinh tế trong đó các biến phụ thuộc vào thời gian gọi là mô hình động.

b) Phân loại mô hình theo quy mô yếu tố, theo thời hạn:

Theo quy mô của các yếu tố ta có các mô hình:

- Mô hình vĩ mô: mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh tế, một khu vực kinh

tế gồm một số quốc gia,.

- Mô hình vi mô: Mô tả một chủ thể kinh tế, hoặc những hiện tượng kinh tế với các yếu tố ảnh

hưởng trong phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết, cụ thể.

Theo thời hạn mà mô hình đề cập ta có: Mô hình ngắn hạn (tác nghiệp), mô hình dài hạn (chiến

lược).

1.2.5 Nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế.

a) Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình;

Để áp dụng phương pháp mô hình, trong đó sử dụng mô hình toán kinh tế làm công cụ nghiên

cứu, phân tích các vấn đề, các hiện tượng kinh tế, ta tiến hành các bước sau:

● Đặt vấn đề

Cần diễn đạt rõ vấn đề, hiện tượng nào trong hoạt động kinh tế mà chúng ta quan tâm, mục

đích là gì? Các nguồn lực có thể huy động để tham gia nghiên cứu (nhân lực, tài chính, thông tin,

thời gian,…)

● Mô hình hoá đối tượng

Sau khi xác định được mục đích, yêu cầu cần nghiên cứu, ta tiến hành quá trình mô hình hoá

đối tượng liên quan đến vấn đề. Về cơ bản, quá trình này bao gồm:

- Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực tiếp giữa chúng mà ta có

thể cảm nhận bằng trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lý luận đã lựa chọn.

- Lượng hoá các yếu tố này, coi chúng là các biến của mô hình. Trong thực tế có nhiều yếu tố

vốn dĩ mang bản chất định lượng vì vậy vấn đề chỉ là xác định đơn vị đo lường thích hợp; tuy

nhiên có những yếu tố định tính mà nhiều khi ta cần sử dụng các phương pháp trong thống kê,

kinh tế lượng để lượng hoá chúng.

- Xét vai trò của các biến số và thiết lập các hệ thức toán học – chủ yếu là các phương trình và

bất phương trình – mô tả quan hệ giữa các biến. Đây là phần quan trọng và khó khăn nhất của quá

trình mô hình hoá. Để có thể làm tốt công việc này ta cần dựa vào cơ sở lý luận đủ mạnh và đáng

tin cậy cả về phương diện kinh tế lẫn toán học. Kết thúc công việc này ta sẽ có được mô hình ban

đầu.

● Phân tích mô hình

PTITPTIT


10

Sử dụng phương pháp phân tích mô hình (được trình bày chi tiết ở phần sau) để phân tích. Kết

quả phân tích có thể dùng để hiệu chỉnh mô hình (thay đổi vai trò của biến, thêm, bớt biến, thay

đổi định dạng phương trình hoặc bất phương trình,..) cho phù hợp với thực tiễn.

● Giải thích kết quả

Dựa vào kết quả phân tích mô hình ta sẽ đưa ra giải đáp cho vấn đề cần nghiên cứu. Nếu ta

thay đổi vấn đề, hoặc mục đích nghiên cứu nhưng đối tượng liên quan không thay đổi thì vẫn có

thể sử dụng mô hình sẵn có.

b) Thí dụ:

Khi điều chỉnh một sắc thuế đánh vào việc sản xuất và tiêu thụ một loại hàng hoá A (giả sử:

tăng thuế suất), Nhà nước quan tâm tới phản ứng của thị trường đối với việc điều chỉnh này – thể

hiện bởi sự thay đổi giá cả cũng như lượng hàng hoá tiêu thụ- và muốn dự kiến trước được phản

ứng này, đặc biệt là về mặt định lượng. Từ đó có căn cứ tính toán mức điều chỉnh thích hợp tránh

tình trạng bất ổn của thị trường.

Đặt vấn đề: để đáp ứng yêu cầu trên, chúng ta cần phân tích tác động trực tiếp (ngắn hạn) của

việc tăng thuế suất đối với sản xuất và tiêu thụ loại hàng A trên thị trường.

Mô hình hoá: Đối tượng liên quan đến vấn đề cần phân tích là thị trường hàng hoá A cùng sự

hoạt động của nó trong trường hợp có xuất hiện yếu tố thuế, Chúng ta mô hình hoá đối tượng này.

Theo lý thuyết kinh tế vi mô, ta biết rằng có mối liên hệ khăng khít giữa việc sản xuất (mức

cung), tiêu thụ (mức cầu) và giá cả hàng hoá trên thị trường và nó bị chi phối bởi quy luật cung –

cầu, hơn nữa, thuế ảnh hưởng tới giá cả và do đó tác động tới mức cung và mức cầu. Mặt khác,

thực tiến diễn biến của thị trường cũng cho thấy là các thị trường trong quá trình hoạt động có xu

thế hướng về trạng thái cân bằng. Các yếu tố (biến số) ta cần xem xét là mức cung (S), mức cầu

(D), giá cả (p) và thuế (T). Bằng cách lập luận tương tự như trong thí dụ 1.1, ta có mô hình:

S = S(p, T); S’= p

S

> 0

D = D(p, pj, M, T); D’ = p

D

< 0

S = D

Trong đó: S, D, S’, D’, p là các biến nội sinh, T là biến ngoại sinh.

Để định dạng cụ thể cho các hàm trong mô hình ta có thể sử dụng các phương pháp trong kinh tế

lượng.

Phân tích: Giải phương trình cân bằng, giả sử được nghiệm là p . Rõ ràng p sẽ phụ thuộc vào T

nên ta có thể viết p = p (T). Thay các biểu thức: dp /dT, dQ /dT, chúng phản ánh tác động của

thuế T tới giá và lượng cân bằng.

Giải thích kết quả: Để phân tích tác động của thuế tới giá cả và lượng hàng hoá lưu thông trên thị

trường, về mặt định tính ta chỉ cần xét dấu của các biểu thức dp /dT, dQ /dT. Nếu muốn có đánh

giá về lượng ta cần có thông tin, dữ liệu cụ thể về các biến để có thể định dạng chi tiết và ước

lượng (dạng số) mô hình.

1.2.6 Phương pháp phân tích mô hình – Phân tích so sánh tĩnh.

Sau khi đã xây dựng và hiệu chỉnh mô hình phù hợp với hiện tượng và quá trình kinh tế, ta có thể

sử dụng mô hình vào các mục đích khác nhau. Trước tiên ta cần thực hiện công việc gọi là giải mô

hình. Một cách tổng quát, giải mô hình là việc sử dụng các phương pháp toán học đã biết để giải

PTITPTIT


11

các hệ thức của mô hình – có thể là giải phương trình (đại số hoặc vi, sai phân), giải bài toán quy

hoạch,… nhằm xác định quan hệ trực tiếp giữa biến nội sinh và biến ngoại sinh cùng tham số, tức

là ta phải biểu diễn dưới dạng các hệ thức khác giữa từng biến nội sinh theo biến ngoại sinh, tham

số và có thể theo biến nội sinh khác. Cách biểu diễn này gọi là nghiệm của mô hình. Nghiệm có

thể là chính xác hoặc xấp xỉ, dưới dạng lời giải bằng số nếu tất cả các biến ngoại sinh và tham số

có giá trị bằng số, nhưng cũng có thể dưới dạng biểu thức, các hàm số (hiện hoặc ẩn) nếu biến

ngoại sinh, tham số có giá trị quy ước trừu tượng. Rõ ràng là nghiệm của mô hình sẽ phụ thuộc

vào các biến ngoại sinh và tham số. Điều chúng ta quan tâm phân tích là khi biến ngoại sinh thay

đổi giá trị sẽ tác động như thế nào tới nghiệm. Phân tích này gọi là phân tích so sánh tĩnh.

Trước hết, cần nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong toán học và kinh tế học

● Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế:

- Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế.

Xét mô hình hàm số: y = f(x), trong đó y và x là các biến số kinh tế. Người ta quan tâm đến

xu hướng biến thiên của biến phụ thuộc y tại điểm x0 khi biến độc lập x thay đổi một lượng rất

nhỏ. Chẳng hạn, khi xét mô hình hàm sản xuất Q = f(L), người ta thường quan tâm đến số lượng

sản phẩm hiện vật tăng thêm khi sử dụng thêm một đơn vị lao động.

Theo định nghĩa đạo hàm

' 0 00

0 0

f(x + x) - f(x )Δyf (x ) = lim = lim

Δx xx x

Khi ∆x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có:

'0 0

0

'0 0 0

f(x + x) - f(x )Δy = f (x )

Δx x

y = f(x + x) - f(x ) f (x ). x

Khi ∆x = 1 ta có ∆y ≈ f’(x0). Như vậy, đạo hàm f’(x0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của

biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị. Các nhà kinh tế gọi f’(x0) là giá trị y – cận biên của

x tại điểm x0.

Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể của nó.

- Đạo hàm cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Xét mô hình y = f(x), trong đó y là biến số biễu diễn lợi ích kinh tế (chẳng hạn như thu nhập, lợi

nhuận, số lượng sản phẩm,...) và x là biến số mô tả yêu tố đem lại lợi ích y. Quy luật lợi ích cận

biên giảm dần nói rằng khi x càng lớn thì giá trị y – cận biên càng nhỏ, tức là My = f’(x) là hàm số

đơn điệu giảm. Dưới góc độ toán học, điều kiện cần để My giảm dần theo x là:

(My)’ = f’’(x) ≤ 0

● Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá

Một vấn đề được quan tâm trong kinh tế là phản ứng của cung và cầu đối với sự biến động giá

trên thị trường. Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, sử phụ thuộc của lượng cầu Qd vào

giá p được biểu diễn bằng hàm cầu:

Qd = D(p)

Trong mô hình hàm cầu biến số p được đo bằng đơn vị tiền tệ, còn biến số Q được đo bằng đơn

vị hiện vật. Nếu gọi ∆Qd là mức thay đổi lượng cầu khi giá thay đổi một đơn vị thì ý nghĩa của con

số đó còn phụ thuộc vào đơn vị đo. Hơn nữa, đối với các hàng hóa khác nhau thì sự thay đổi giá

thêm một đơn vị mang ý nghĩa khác nhau. Để đánh giá độ nhạy của cầu hàng hóa đối với sự biến

động giá cả, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn.

PTITPTIT


12

Hệ số co dãn của cầu theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng

cầu khi giá tăng 1%.

Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng ∆p thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng ∆Qd.

Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1% thay đổi giá là:

dQ d d dp

d

ΔQ /Q ΔQ p ΔD(p) pε = = =

Δp/p Δp Q Δp D(p)

Chuyển qua giới hạn, khi ∆p→0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p

là:

dQ 'dp

d

dQ p dD(p) p pε = = = D (p)

dp Q dp D(p) D(p)

Tương tự, hệ số co dãn của cung theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cung khi

giá tăng 1%. Nếu biết hàm cung Qs = S(p) thì hệ số co dãn của cung theo giá tại điểm p được tính

theo công thức:

sQ 'sp

s

dQ p dS(p) p pε = = = S (p)

dp Q dp S(p) S(p)

● Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên

Trong kinh tế người ta dùng hàm chi phí biểu diễn tổng chi phí ở mỗi mức sản lượng Q:

TC = TC(Q)

Khi phân tích sản xuất, cùng với hàm chi phí, người ta sử dụng hàm chi phí bình quân và hàm

chi phí cận biên.

Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí bình quân là lượng chi phí tính bình quân trên một đơn vị sản

phẩm.

TC(Q)

AC = Q

Chi phí cận biên tại mỗi mức sản lượng Q là số đo xấp xỉ lượng chi phí gia tăng khi sản xuất

thêm một đơn vị sản lượng. Hàm chi phí cận biên MC là đạo hàm bậc nhất của tổng chi phí (TC’)

MC = TC’(Q)

Ta có:

'' '

'

2

TC(TC) -

TC (TC) Q - TC MC - ACQAC (Q) = = =

Q Q Q Q

Do Q > 0 nên dấu của AC’(Q) phụ thuộc dấu của MC – AC. Từ đây suy ra:

- Nếu MC > AC thì AC’(Q) > 0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi

phí bình quân tăng.

- Nếu MC < AC thì AC’(Q) < 0, tức là khi chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân thì chi

phí bình quân giảm.

- MC = AC khi và chỉ khi AC’(Q) = 0, tức là chi phí bình quân chỉ có thể đạt được cực tiểu

tại điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí bình quân.

Tương tự, doanh thu bình quân TR(Q)

AR(Q) = Q

và doanh thu cận biên MR(Q) = TR’(Q) liên hệ

với nhau như sau:

- Nếu MR > AR thì AR’(Q) > 0, tức lân khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu bình quân

thì doanh thu bình quân tăng.

PTITPTIT


13

- Nếu MR < AR thì AR’(Q) < 0, tức là khi doanh thu cận biên nhỏ hơn doanh thu bình quân

thì doanh thu bình quân giảm.

- MR = AR khi và chỉ khi AR’(Q) = 0, tức là doanh thu bình quân chỉ có thể đạt cực đại tại

điểm mà doanh thu cận biên bằng doanh thu bình quân.

Áp dụng các kiến thức trên ta sẽ xét chi tiết hơn phương pháp phân tích so sánh tĩnh

a) Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo biến ngoại sinh.

Phân tích so sánh tĩnh đòi hỏi phải đo lường sự phản ứng, biến động (tức thời) cả về xu hướng,

độ lớn của biến nội sinh khi một biến ngoại sinh trong mô hình có sự thay đổi nhỏ, còn các biến

khác không đổi hoặc khi các biến ngoại sinh cùng thay đổi. Có thể dùng đạo hàm và vi phân để đo

lường sự thay đổi này.

Giả sử nghiệm của mô hình có biến nội sinh Y phụ thuộc vào các biến ngoại sinh X1, X2,…,Xn

như sau Y = F(X1, X2,…,Xn), trong đó F có thể có các tham số α, β,… Ký hiệu X = (X1,

X2,…,Xn), khi đó có thể viết Y = F(X, α, β,…).

● Đo lường sự thay đổi tuyệt đối:

- Xét hàm Y = F(X1, X2,…,Xn), tại điểm X = X0, gọi sự thay đổi của Y là ΔYi khi chỉ có Xi thay

đổi một lượng nhỏ ΔXi, tức là:

ΔYi = F(X1, X2,… Xi + ΔXi,….,Xn) - F(X1, X2,… Xi,….,Xn)

ΔYi gọi là số gia riêng của Y theo Xi tại X0.

Ta có lượng thay đổi trung bình của Y theo Xi tại X0:

i

i

Yρ =

X

Trong trường hợp F khả vi theo Xi ta có tốc độ thay đổi tức thời tại X = X0 đang xét là:

0

i

i

F(X )ρ(X ) =

X

Nếu ΔXi khá nhỏ thì ρ(Xi) = ρ, vì vậy nếu ΔXi = 1 thì có thể coi:

ρ(Xi) = ΔYi

ρ(Xi) gọi là giá trị cận biên của x tại x0

Thí dụ 1.2: Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp là: Với L =100 đơn vị lao động (chẳng hạn 100

giờ lao động /tuần), mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm cận biên của lao

động tại L =100 là:

'L

5MP = Q = = 0,25

2 L

Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động hàng tuần lên một đơn vị (từ 100 lên 101) thì

sản lượng hàng tuần sẽ tăng thêm khoảng 0,25 đơn vị hiện vật. Thí dụ 1.3: Chi phí C(Q) phụ thuộc sản lượng Q và được mô hình hoá như sau:

C(Q) = Q3 – 61,5Q2 + 1528,5Q + 2000

Sự thay đổi của C khi Q tăng (giảm) một đơn vị (chi phí cận biên), ký hiệu là MC, được xác định

bằng công thức:

C’(Q) = MC(Q) = 3Q2 - 122,5Q + 1528,5

- Trong trường hợp tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi với các lượng khá nhỏ, ký hiệu là ΔX1,

ΔX2,…., ΔXn, thì để tính sự thay đổi của biến nội sinh Y – ký hiệu là ΔY – ta dùng công thức xấp

xỉ:

PTITPTIT


14

1 2 n

1 2 n

F F FY = X + X +.......+ X

X X X

- Nếu ΔX1, ΔX2,…., ΔXn là các vi phân của biến ngoại sinh thì ta có thể sử dụng công thức vi

phân toàn phần:

1 2 n

1 2 n

F F FdY = dX + dX +.......+ dX

X X X

- Nếu bản thân Xi lại là biến nội sinh phụ thuộc vào một hoặc nhiều biến khác thì để đo lường sự

thay đổi của biến Y theo sự thay đổi của Xi ta sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp.

- Trong trường hợp quan hệ giữa biến nội sinh và biến ngoại sinh không thể hiện dưới dạng

tường minh mà dưới dạng hàm ẩn, thì để tính sự thay đổi tuyệt đối ta áp dụng công thức tính đạo

hàm của hàm ẩn. Nếu biến nội sinh Y có liên hệ với các biến ngoại sinh Xi dưới dạng:

F(Y, X1, X2,…., Xn) = 0

Khi đó để tính đạo hàm của Y theo Xi ta dùng công thức:

i i

Y F F - : (i = 1,n)

X X Y

(1.4)

Thí dụ 1.4. Giả sử Y và X1, X2 có liên hệ với nhau theo biểu thức:

Y2 = 2 21 2X + X

Rõ ràng giữa Y và X1, X2 có mối liên hệ hàm số nhưng dưới dạng hàm ẩn. Ta cần tìm

i

Y, i = 1, 2

X

. Ta có thể viết:

Y2 – ( 2 21 2X + X ) = 0

Áp dụng công thức trên ta có:

i

i

XY = - (i = 1, 2)

X Y

+/ Đo lường thay đổi tương đối:

Để đo tỷ lệ thay đổi tương đối (tức thời) của biến nội sinh với sự thay đổi tương đối của một

biến ngoại sinh, người ta dùng hệ số co dãn (hệ số co giãn riêng). Hệ số co dãn (độ co giãn) của

biến phụ thuộc Y theo biến Xi tại X = X0, ký hiệu i

Y 0Xε (X )- được định nghĩa bởi công thức:

i

00Y 0 iX 0

i

XF(X )ε (X ) =

X F(X )

(1.5)

Hệ số này cho biết tại X = X0, khi biến Xi thay đổi 1% còn các biến khác không đổi thì Y thay

đổi bao nhiêu %. Nếu hệ số co dãn i

Y 0Xε (X ) > 0 thì Xi và Y thay đổi cùng hướng, ngược lại,

i

Y 0Xε (X )

< 0 thì Xi và Y thay đổi ngược hướng. Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của Y khi tất cả

các biến ngoại sinh đều thay đổi (tương đối) theo cùng một tỷ lệ ta dùng hệ số co dãn chung (toàn

phần), tính theo công thức:

i

nY 0 Y 0

Xi=1

ε (X ) = ε (X ) (1.6)

PTITPTIT


15

Trong đó: i

Y 0Xε (X ) là hệ số co dãn riêng của Y theo Xi tính tại điểm X0, εY(X0) cho ta biết tại X =

X0 tỷ lệ phần trăm thay đổi của Y khi tất cả Xi cùng thay đổi 1%. Xu hướng thay đổi của Y phụ

thuộc vào dấu và độ lớn của các hệ số co dãn riêng.

Nói chung hệ số co dãn của Y (riêng hoặc toàn phần) phụ thuộc vào điểm chúng ta tính, tức là

phụ thuộc vào các biến ngoại sinh. Tuy nhiên, nếu quan hệ giữa Y và các biến ngoại sinh có dạng:

1 2 nα α α

0 1 2 nY = α X X .......X với 0 1 nα ,α .......α là các tham số, thì có thể chứng minh

được rằng:

i

YX iε (X) = α (i = 1,2) (1.7)

Và do đó: n

Yi

i=1

ε (X) = α (1.8)

Thí dụ 1.5: Với Q là mức sản lượng, K là vốn và L là số lượng lao động được sử dụng, ta có mô

hình quen thuộc (mô hình hàm sản xuất)., giả sử có dạng: Q = aKάLβ với α, β > 0. Ta có Q QK Lε = α, ε = β và

Qε = α + β.

Nếu Y, Xi > 0, thì hệ số co dãn i

YXε có thể tính theo công thức:

i

YX

i

(LnY)ε

(LnX )

(1.9)

Trong đó LnY, LnXi là lôgarit cơ số e của Y và Xi.

Nếu gọi i

F

X

là hàm cận biên – ký hiệu là MFi và gọi

i

Y

Xlà hàm trung bình – ký hiệu AFi của Y

theo Xi thì ta có:

i

Y iX

i

MFε

AF (1.10)

Thí dụ 1.6: Nếu hàm cầu là: 1400 – p2 thì hệ số co dãn tại điểm p là:

2 ' 2

Q 'p 2 2

p (1400-p ) p -2pε = D (p) = =

D(p) (1400-p ) 1400-p

Nếu p = 20 ta có ε = -0,8. Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ

giảm khoảng 0,8%.

b) Tính hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)

Trong trường hợp mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian, thì sự biến động của biến nội

sinh theo thời gian được đo bằng hệ số tăng trưởng. Hệ số tăng trưởng của một biến đo tỷ lệ biến

động của biến đó theo thời gian.

Giả sử Y = F(X1, X2, …., Xn, t) với t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng của Y – ký hiệu là rY –

được định nghĩa bằng công thức:

Y

Y

tr Y

(1.11)

Thông thường rY được tính theo tỷ lệ %.

PTITPTIT


16

Thí dụ 1.7: Với công thức tính lãi kép liên tục, ta có lượng tiền thu được tại thời điểm t là Vt, tính

theo công thức: Vt = V0ert; trong đó V0 là vốn gốc, r là lãi suất, t là thời gian. Hệ số tăng trưởng

của Vt là:

t

Y

t

V

tr = rV

Nếu thời gian t không quá dài, hoặc lãi suất r tính theo từng chu kỳ thì công thức trên có dạng:

Vt = V0(1 + r)t

Do đó hệ số tăng trưởng của V là Ln(1 + r) = r

Đầu tư một khoản tiền 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm. Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lãi là

214,358881 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao

nhiêu?

Giải: Áp dụng công thức:

n 8n

0

V 214.358.881r = -1 = - 1 = 10%

V 100.000.000

Tổng quát, nếu biến nội sinh phụ thuộc thời gian một cách gián tiếp thông qua sự phụ thuộc vào

thời gian của các biến khác, tức là hàm số có dạng: Y = F(X1(t), X2(t),…., Xn(t)) thì hệ số tăng

trưởng của Y có thể tính dựa vào hệ số tăng trưởng của các biến Xi theo công thức:

i i

nY

Y X Xi=1

r ε r (1.12)

Trong đó i

YXε là hệ số co giãn của Y theo Xi và

iXr là hệ số tăng trưởng của Xi.

c) Hệ số thay thế (bổ sung, chuyển đổi).

Giả sử Y = F(X1, X2, …., Xn), tại X = X0 giá trị tương ứng của Y là Y = F(X0) = Y0. Vấn đề đặt

ra là nếu ta cho hai biến ngoại sinh thay đổi và cố định các biến còn lại sao cho Y không đổi, tức

Y = Y0, thì sự thay đổi của hai biến này phải theo tỷ lệ nào? Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của

hai biến, tỷ lệ này có thể gọi là tỷ lệ thay thế (thay thế giữa vốn và lao động), tỷ lệ bổ sung (bổ

sung giữa hai mặt hàng), tỷ lệ chuyển đổi (chuyển đổi giữa tiêu dùng hiện tại và tiêu dùng tương

lai). Ta có thể tính hệ số này như sau:

Theo công thức vi phân toàn phần, ta có:

1 2 n

1 2 n

F F FdY = dX + dX +.....+ dX

X X X

Giả sử cho hai biến Xi và Xj thay đổi, do Y và Xk (k ≠ i, j) không đổi, nên:

jii j

j j

F

XdXF F0 = dX + dX =

FX X dXX

i

i

(1.13)

Nếu dXi/dXj < 0 thì ta nói rằng Xi có thể thay thế (chuyển đổi) được cho Xj (tại X = X0) với tỷ lệ

i

j

dX

dX, tỷ lệ này cho ta biết khi giảm (tăng) mức sử dụng Xj một đơn vị thì phải tăng (giảm) mức

sử dụng Xi bao nhiêu đơn vị để giữ nguyên mức của Y và được gọi là hệ số thay thế (cận biên) của

Xi cho Xj.

PTITPTIT


17

Nếu dXi/dXj > 0 thì ta nói rằng Xi, Xj bổ sung cho nhau (tại X = X0) với tỷ lệ i

j

dX

dX, tỷ lệ này cho

ta biết khi tăng (giảm) mức sử dụng Xj một đơn vị thì phải tăng (giảm) mức sử dụng Xi bao nhiêu

đơn vị để giữ nguyên mức của Y và được gọi là hệ số bổ sung (cận biên) của Xi cho Xj.

Nếu dXi/dXj = 0 thì ta nói rằng Xi, Xj không thể thay thế (hoặc bổ sung) cho nhau (tại X = X0).

1.2.7 Áp dụng phân tích đối với một số mô hình kinh tế phổ biến

1.2.7.1. Mô hình tối ưu Các mô hình tối ưu thường được sử dụng trong phân tích kinh tế, ở đây chúng ta sẽ đề cập đến

các mô hình tối ưu khi nghiên cứu hoạt động chi tiết của cơ chế thị trường (kinh tế vi mô, vĩ mô).

Thông qua các mô hình tối ưu ta có thể phân tích cách ứng xử, hành vi của các tác nhân kinh tế

khi họ theo đuổi mục tiêu của mình. Trong phạm vi chương này ta làm quen với một số mô hình

về hành vi sản xuất và tiêu dùng.

a) Mô hình hành vi sản xuất.

Sản xuất được hiểu là quá trình biến đổi các yếu tố đầu vào thành đầu ra (sản phẩm, dịch vụ)

bằng một công nghệ hay quy trình nào đó. Tác nhân thực hiện quá trình sản xuất gọi là doanh

nghiệp. Trong kinh tế thị trường, doanh nghiệp tham gia hoạt động sản xuất, kinh doanh vì mục

tiêu lợi nhuận, hơn nữa là lợi nhuận cực đại (đặc biệt khi ta xét trong dài hạn). Để đạt mục tiêu

này, doanh nghiệp phải lựa chọn các yếu tố đầu vào cùng mức độ sử dụng, mức sản lượng cung

ứng ra thị trường và giá bán sản phẩm căn cứ vào thực lực của doanh nghiệp (trình độ công nghệ,

trình độ quản lý, khả năng nguồn tự có,…) và các điều kiện liên quan tới thị trường đầu vào và thị

trường đầu ra. Toàn bộ quá trình lựa chọn này là hành vi của doanh nghiệp. Như vậy, hành vi của

doanh nghiệp có liên quan tới:

Thực trạng về công nghệ hiện có của doanh nghiệp (bao gồm cả trình độ quản lý, điều hành).

Các điều kiện trên thị trường yếu tố sản xuất, trong đó doanh nghiệp với tư cách là người mua.

Các điều kiện trên thị trường sản phẩm, dịch vụ, trong đó doanh nghiệp với tư cách là người bán.

Để phân tích hành vi của doanh nghiệp ta đưa ra một số mô hình sau:

● Mô hình hàm sản xuất

Để mô tả trình độ công nghệ của doanh nghiệp ta sử dụng mô hình hàm sản xuất. Đây là mô

hình đơn giản vì chỉ có một biến nội sinh và một phương trình.

- Mô hình hoá công nghệ: Giả sử với trình độ công nghệ hiện có doanh nghiệp có thể sử dụng n

loại yếu tố để tạo ra sản phẩm hoặc dịch vụ và nếu các yếu tố được sử dụng ở mức X1, X2,…., Xn,

doanh nghiệp tạo ra được Q đơn vị đầu ra (hiện vật hoặc giá trị). Như vậy có một mối quan hệ

giữa mức sử dụng các yếu tố và mức sản lượng và quan hệ này đặc trưng cho tình trạng công nghệ

của doanh nghiệp. Ta thể hiện quan hệ này bằng hàm số:

Q = F(X1, X1……, Xn)

hoặc viết gọn hơn Q = F(X) với X = (X1, X1……, Xn) và gọi là hàm sản xuất của doanh nghiệp.

Mô hình này có biến nội sinh là mức sản lượng Q, các biến ngoại sinh là mức sử dụng các yếu tố

đầu vào X1, X1……, Xn và có thể chứa các tham số. Như vậy, hàm sản xuất mô tả quan hệ giữa

kết quả sản xuất (đầu ra) có hiệu quả nhất (về mặt kỹ thuật) phụ thuộc vào các yếu tố sản xuất

(đầu vào).

Chúng ta có thể sử dụng mô hình hàm sản xuất gộp để mô tả tình trạng công nghệ của một ngành,

một vùng, thậm chí nền sản xuất của một quốc gia. Với hàm sản xuất gộp, các yếu tố thường được

PTITPTIT


18

nhóm gộp thành các yếu tố chính là vốn, lao động, tài nguyên, ngoài ra có thể đề cập tới tiến bộ kỹ

thuật.

Các hàm sản xuất phổ biến:

Dạng tuyến tính:

Q = a1X1 + a2X2 + ….. + anXn

Đặc điểm quan trọng nhất của hàm dạng tuyến tính là hệ số thay thế giữa các biến không đổi. Hệ

số thay thế của Xi chi Xj là: c(i, j) = - aj/ai.

Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với vốn và lao động:

Q = aKαLβ với a, α, β > 0 là các tham số.

Trong đó Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động.

Đường mức của hàm sản xuất có phương trình:

f(K, L) = Q0 (Q0 = const > 0)

Trong kinh tế học thuật ngữ “đường mức” của hàm sản xuât có tên gọi là đường đồng lượng hay

đường đẳng lượng. Đường đồng lượng là tập hợp các tổ hợp yếu tố sản xuất (Vốn, lao động) cho

cùng một mức sản lượng Q0 cố định.

- Phân tích mô hình; tác động của yếu tố sản xuất tới sản lượng.

Với công cụ là hàm sản xuất và một số hàm kinh tế dẫn xuất từ hàm này ta có thể phân tích chi

tiết hơn tình trạng công nghệ của doanh nghiệp trong việc sử dụng có hiệu quả các yếu tố.

+/ Về mặt ngắn hạn, với công nghệ hiện có, doanh nghiệp chỉ có khả năng thay đổi một số yếu tố

có tính lưu động. Ta có thể đo lường hiệu quả của việc sử dụng các yếu tố đó bằng các thước đo

sau:

Năng suất biên của yếu tố i (sản phẩm hiện vật cận biên):

i

i

FMP =

X

MPi cho biết khi doanh nghiệp cố định mức sử dụng các yếu tố khác và tăng (giảm) mức sử dụng

yếu tố i thì mức sản lượng sẽ tăng (giảm) bao nhiêu đơn vị. Với ý nghĩa như trên, MPi thường

được giả thiết là dương.

- Năng suất trung bình của yếu tố i: i

i

F(X)AP =

X

- Độ co giãn của Q theo yếu tố i: i

Q iX

i

MPε =

AP

- Hệ số thay thế giữa yếi tố i và yếu tố j: ji

j i

MPdX =

dX MP

Trong tình huống doanh nghiệp chỉ có khả năng thay đổi được yếu tố i còn các yếu tố khác

không thay đổi được (cố định) thì việc sử dụng yếu tố i có lợi nhất sẽ là ở mức mà năng suất trung

bình của yếu tố i đạt cực đại. Tình huống này được gọi là tình huống tối ưu về mặt kỹ thuật. Xem

xét tình huống này chúng ta có mô hình:

i

F(X)Max

X

Có thể chứng minh điều kiện cần (với nhiều dạng hàm cũng là điều kiện đủ) đối với nghiệm

( *iX ): *

iX phải là nghiệm của phương trình:

PTITPTIT


19

i i

F(X) F

X X

(1.14)

Do vế trái của phương trình là APi, còn vế phải là MPi nên khi doanh nghiệp sử dụng yếu tố i ở

mức mà năng suất biên của yếu tố bằng năng suất trung bình thì sẽ đạt tối ưu về mặt kỹ thuật.

+/ Về mặt dài hạn, doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố và tình huống được quan

tâm là khi tất cả các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỷ lệ (tuyệt đối, tương đối) thì tác động này

ảnh hưởng như thế nào tới sản lượng. Khi này chúng ta đề cập tới vấn đề tăng quy mô và hiệu quả

(Return to Scale).

Cho hàm sản xuất: Q = F(X1, X2, …., Xn) với λX =( λX1, λX2,…, λXn), ta nói quy mô sản xuất

thay đổi với hệ số λ (λ > 1). Nếu:

F(λX) > λ.F(X) thì công nghệ sản xuất (ứng với hàm sản xuất) gọi là tăng quy mô có hiệu quả

(hiệu quả tăng theo quy mô).

F(λX) < λ.F(X) thì công nghệ sản xuất (ứng với hàm sản xuất) gọi là tăng quy mô không có hiệu

quả (hiệu quả giảm theo quy mô).

F(λX) = λ.F(X) thì công nghệ sản xuất (ứng với hàm sản xuất) gọi là tăng quy mô không thay đổi

hiệu quả (hiệu quả không đổi theo quy mô).

Để đo hiệu quả theo quy mô (tương đối) ta dùng độ co giãn toàn phần của Q theo các yếu tố:

Q

i

nQ

Xi=1

ε = ε

Thí dụ 1.8: Cho hàm sản xuất Cobb – Douglas với hai yếu tố vốn (K) và lao động (L):

Q = aKαLβ

Đây là hàm sản xuất có hệ số co giãn của sản lượng Q theo các biến không đổi, Q QK Lε = α; ε = β và

khi tăng quy mô sản xuất λ lần thì kết quả sản xuất tăng λα + β lần. Như vậy, đối với hàm này hiệu

quả tăng (giảm, không đổi) theo quy mô khi và chỉ khi α + β >(<,=) 1. Ta xét năng suất biên của

các yếu tố:

α-1 βK

α β-1L

QMP = = aαK L

K

QMP = = aβK L

L

Tại điểm (K0, L0) giá trị MPK biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng

them một đơn vị vốn (tư bản) và giữ nguyên mức sử dụng lao động. MPL biểu diễn xấp xỉ lượng

sản phẩm gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử dụng vốn.

Tỷ lệ thay thế của lao động cho vốn là:

K

L

MP α L =

MP β K (1.17)

Mô hình tối ưu về mặt kinh tế của quá trình sản xuất

● Đặt vấn đề: Sử dụng các mô hình mô tả công nghệ sản xuất của doanh nghiệp để phân tích ta

mới chỉ đạt được tối ưu về mặt kỹ thuật, chưa tính tới các điều kiện bên ngoài, thị trường đầu vào.

Đối với doanh nghiệp, các điều kiện liên quan đến thị trường đầu vào được thể hiện thông qua giá

của các yếu tố sản xuất. Đây là nguồn thông tin mà doanh nghiệp không thể bỏ qua khi lựa chọn

mức sử dụng các yếu tố. Hơn nữa, với nhiều hàm sản xuất (công nghệ) cho phép các doanh nghiệp

trong chừng mực nhất định có thể sử dụng linh hoạt các yếu tố. Điều này tạo khả năng cho doanh

(1.15)

(1.16) PTITPTIT


20

nghiệp có thể lựa chọn nhiều tổ hợp sử dụng yếu tố theo mục đích của họ. Doanh nghiệp có thể

gặp hai tình huống. Một là, với mức sản lượng dự kiến sản xuất doanh nghiệp phải tiêu tốn một

khoản chi phí để thực hiện, đương nhiên là doanh nghiệp mong muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các

yếu tố sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất – cực tiểu hoá chi phí. Hai là, với số kinh phí đầu tư ấn

định trước, doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao

nhất – tối đa hoá sản lượng. Các tình huống trên gọi là tình huống tối ưu về kinh tế vì nếu giá bán

sản phẩm, dịch vụ của doanh nghiệp không đổi, doanh nghiệp tiêu thụ được hết sản lượng thì cả

hai tình huống trên đều đem lại lợi nhuận tối đa cho doanh nghiệp.

● Mô hình hoá: Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp là:

Q = F(X1, X2,…., Xn) và giá của các yếu tố là w1, w2,…,, wn.

- Tình huống cực tiểu hoá chi phí: Gọi Q là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất. Doanh

nghiệp sử dụng các yếu tố ở mức X1, X2,…., Xn để sản xuất Q, như vậy với hàm sản xuất trên sẽ

phải có điều kiện F(X1, X2,…., Xn) = Q, điều kiện này gọi là ràng buộc về sản lượng. Đồng thời

doanh nghiệp phải chi một khoản là: n

i ii=1

w X .

Như vậy, ứng với tình huống này ta có mô hình MHIC:

Z = n

i ii=1

w X Min với điều kiện F(X1, X2,…., Xn) = Q

Trong đó: biến nội sinh là Z, X1, X2, …., Xn, biến ngoại sinh là Q, w1, …, wn.

- Tình huống tối đa hoá sản lượng: Gọi K là số kinh phí doanh nghiệp dự kiến dùng để mua các

yếu tố đầu vào với mức X1, X2,…., Xn trong kỳ sản xuất. Với giá các yếu tố đã cho sẽ có n

i ii=1

w X = K, điều kiện này gọi là ràng buộc về chi phí. Mức sản lượng tướng ứng sẽ là:

Q = F(X1, X2,…., Xn)

Ứng với tình huống này ta có mô hình MHID:

Q = F(X1, X2,…., Xn) Max với điều kiện n

i ii=1

w X = K

Trong đó biến nội sinh là Q, X1, X2,…, Xn, biến ngoại sinh là K, w1, w2, , wn.

Trong cả hai tình huống, các mô hình tương ứng đều là các bài toán tìm cực trị có điều kiện.

● Phân tích mô hình: Ta sẽ thực hiện việc phân tích mô hình MHIC, đối với mô hình MHID cách

làm và kết quả tương tự.

- Giải mô hình: Lập hàm Lagrange của bài toán:

L(X1, X2, …., Xn, λ ) = n

i ii=1

w X + λ (Q – F(X1, X2,…., Xn))

Xét hệ phương trình:

i

L = 0 (i = 1,n) (*)

X

L = 0 (**)

λ

(1.18)

Ký hiệu nghiệm tối ưu là: i

*X ( i= 1,n ), khi đó điều kiện cần của tối ưu là i

*X phải thoả mãn hệ

phương trình trên. Trong thực tế với nhiều dạng hàm F, điều kiện cần cũng là điều kiện đủ.

PTITPTIT


21

Ta có: i

i i

L F = w - λ = 0 (i = 1,n)

X X

Suy ra ji

i j

ww = = λ

F F

X X

với mọi cặp i,j (i≠ j). Từ đây ta có:

i i

j

j

F

w X =

FwX

với mọi (i≠ j) (1.19)

Phương trình (**) chính là điều kiện ràng buộc về sản lượng. Vế trái của (1.19) là tỷ giá của các

yếu tố i, j; vế phải chính là hệ số thay thế giữa hai yếu tố này. Vậy ta có thể nói, điều kiện cần của

việc sử dụng tối ưu các yếu tố là ở mức mà tại đó tỷ lệ thay thế giữa các yếu tố bằng tỷ giá của

chúng. Để xác định nghiệm của mô hình ta cần giải hệ phương trình (1.18) với ràng buộc về sản

lượng. Ký hiệu trị tối ưu là TC và giá trị của nhân tử Lagrange là *λ . Rõ ràng TC phụ thuộc vào

sản lượng Q, giá các yếu tố và các tham số khác trong hàm sản xuất, nên ta có thể viết TC =

TC(Q, w1, w2,…, wn) và gọi là hàm tổng chi phí của doanh nghiệp ứng với mức sản lượng Q và

mức giá w1, w2,…, wn. Nhiều khi chúng ta cố định mức giá w1, w2,…, wn và chỉ xét TC như là

hàm của Q.

Đối với mô hình MHID, sau khi phân tích cũng sẽ thu được kết quả như biểu thức (1.19).

- Phân tích so sánh tĩnh: Phân tích tác động của sản lượng, giá tới tổng chi phí.

Từ hàm TC(Q, w1, w2,…, wn) có thể dẫn xuất các hàm chi phí trung bình AC, hàm chi phí biên

MC:

TCAC =

Q

TCMC =

Q

Từ các hàm này có thể tính hệ số co giãn của tổng chi phí, chi phí trung bình, chi phí biên theo

sản lượng.

Người ta đã chứng minh được rằng vớsi TC(Q, w1, w2, …, wn) được định từ mô hình MHIC thì:

MC(Q) = *λ (1.20)

*i

i

TC = X (i = 1,n)

w

(1.21)

Từ (1.19) ta thấy nếu tất cả giá yếu tố đều biến động theo cùng một tỷ lệ, thì hệ (1.19) không đổi

do đó i

*X sẽ không đổi.

Thí dụ 1.9: Hàm sản xuất của doanh nghiệp có dạng:

Q = 25K0,5L0,5

Trong đó Q – sản lượng, K – vốn và L – lao động. Cho giá vốn pK = 12, giá lao động pL = 3.

-Tính mức sử dụng K, L để sản xuất sản lượng Q = Q0 = 1250 với tổng chi phí nhỏ nhất?

- Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng tại Q0?

- Nếu giá vốn và lao động đều tăng 10% và giữ nguyên mức sản lượng rthì mức sử dụng vốn, lao

động tối ưu sẽ thay đổi như thế nào?

- Phân tích tác động của giá vốn, giá lao động tới tổng chi phí?

PTITPTIT


22

Giải: Theo mô hình MHIC ta có bài toán:

Z = 12K + 3L Min

Với điều kiện ràng buộc: 25K0,5L0,5 = 1250

- Nghiệm tối ưu: K*, L* là nghiệm của hệ phương trình:

K K

L L

0,5 0,5

MP p =

MP p

25K L = 1250

Sử dụng (1.18) với α = 0,5, β = 0,5 ta có:

(MPK/MPL) = (0,5/0,5)(L/K) = pK/pL = 4, suy ra L = 4K

Thay L = 4K vào ràng buộc sản lượng ta được 50K = 1250. Kết quả là K* = 25, L* = 100.

- Ta có thể tính được mức chi phí thấp nhất TC(Q0) = 600, do đó AC(Q0) = 600/1250 = 0,48.

Theo (1.20), MC(Q0) = *λ = K* * * 0,5 * 0,5

L

p 3 6 = =

MP (K L ) 12,512,5 (K ) (L )

Hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng tại Q0 được tính theo công thức (1.10) sẽ là:

TC 0Q

0

MC(Q ) 6ε = = 1

AC(Q ) 12,5 0,48

- Vì giá các yếu tố đều tăng cùng một tỷ lệ nên K*, L* không đổi.

- Theo (1.21), ta có:

* *

K L

TC TC = K = 25 > 0, = L = 100 > 0

p p

nên khi giá vốn, giá lao động tăng thì chi

phí sẽ tăng.

Mô hình tối đa hoá lợi nhuận của doanh nghiệp: Mô hình xác định mức cung

● Đặt vấn đề: Mục tiêu của doanh nghiệp là lợi nhuận tối đa. Để đạt mục tiêu này, Doanh nghiệp

phải xử lý mối quan hệ giữa doanh nghiệp – thị trường yếu tố đầu vào và doanh nghiệp – thị

trường sản phẩm, dịch vụ đầu ra. Doanh nghiệp phải biết kết hợp giữa tối ưu về mặt kỹ thuật, tối

ưu về mặt kinh tế với các điều kiện trong thị trường đầu ra. Các điều kiện này bao gồm:

Vị thế của doanh nghiệp trên thị trường (thị phần của doanh nghiệp).

Sự hình thành giá bán sản phẩm, dịch vụ của doanh nghiệp.

Doanh nghiệp sẽ tính toán mức cung sản phẩm, dịch vụ cho thị trường và giá bán như thế nào để

tối đa hoá lợi nhuận? Tuỳ thuộc vào vị thế của doanh nghiệp trên thị trường đầu ra và sẽ có cách

tính khác nhau. Ta sẽ xét hai loại hình doanh nghiệp: cạnh tranh hoàn hảo và độc quyền.

● Mô hình hoá: Ký hiệu TR(Q) là doanh thu khi doanh nghiệp cung ứng và tiêu thụ trên thị

trường mức sản lượng Q. Ta có các định nghĩa doanh thu biên (MR) và doanh thu trung bình (AR)

sau đây:

dTRMR(Q) =

dQ

TRAR(Q) =

Q

Gọi TC(Q) là chi phí tương ứng với Q (có tính tối ưu về mặt kinh tế), lợi nhuận sẽ là:

Π(Q) = TR(Q) – TC(Q)

Để xác định mức sản lượng làm tối đa hoá lợi nhuận (mức cung) của doanh nghiệp ta có mô

hình:

PTITPTIT


23

Π(Q) Max (1.22)

Mô hình có biến nội sinh là Q, Π; biến ngoại sinh là các biến ngoại sinh (khác Q) có mặt trong

các hàm TR và TC.

● Phân tích mô hình:

+/ Giải mô hình

Vì Π(Q) = TR(Q) – TC(Q). Bài toán đặt ra là: Chọn mức sản lượng Q0 để thu lợi nhuận tối đa.

Điều kiện cần để Π đạt cực đại tại điểm Q0 là:

Π’ = TR’(Q0) – TC’(Q0) = 0 ↔ TR’(Q0) = TC’(Q0) ↔ MR = MC

Điều kiện cần của tối ưu là: dTR TC

= dQ dQ

(1.23)

Như vậy, điều kiện cần để mức sản lượng làm tối đa hoá lợi nhuận là tại mức này doanh thu biên

phải bằng chi phí biên. Điều kiện đủ của tối ưu là nếu sản lượng tiếp tục tăng thì doanh thu biên

phải nhỏ hơn chi phí biên (lợi ích cận biên giảm dần). Hay đạo hàm cấp hai của hàm lợi nhuận

phải âm:

Π’’ = TR’’ – TC’’ < 0 ↔ TR’’ < TC’’ (1.24)

- Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo: Doanh nghiệp là người chấp nhận giá nên giá

bán sản phẩm, dịch vụ (p) là biến ngoại sinh và p không đổi theo mức cung của doanh nghiệp.

Doanh nghiệp căn cứ vào hàm sản xuất, hàm chi phí và giá p để xác định mức cung tối đa hoá lợi

nhuận. Ta có TR(Q) = pQ nên mô hình (1.22) chỉ có một biến nội sinh là Q. Do MR = p, vì vậy

(1.23) sẽ là:

p = MC(Qp) (1.25)

Tức là, đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo, họ sẽ chọn sản lượng đem cung ứng ra thị

trường ở mức mà chi phí biên bằng giá bán sản phẩm, dịch vụ. Phương trinh (1.25) thể hiện quan

hệ giữa mức cung của doanh nghiệp và giá bán trên thị trường nhưng dưới dạng hàm ngược.

- Trường hợp doanh nghiệp độc quyền: Do không có sản phẩm cạnh tranh thay thế nên doanh

nghiệp có toàn quyền tự quy định giá bán và mức cung đề tối đa hoá lợi nhuận và mức cầu của thị

trường bằng mức cung của doanh nghiệp. Như vậy, giá bán sản phẩm, dịch vụ của doanh nghiệp

phụ thuộc vào mức cung của doanh nghiệp, tức là p = p(Q); trong trường hợp này mô hình (1.22)

có hai biến nội sinh p và Q.

Thông thường p là là hàm nghịch biến của Q nên tồn tại hàm ngược của Q = Q(p). Thực chất, cả

hai hàm p = (Q) và Q = Q(p) đều thể hiện cùng một mối quan hệ, đó là quan hệ giữa giá và mức

cầu của thị trường. Nếu biểu diễn quan hệ này bằng hàm Q = Q(p) thì hàm này gọi là hàm cầu

xuôi, ý nghĩa của nó là: nếu doanh nghiệp độc quyền định giá là p thì mức cầu của thị trường

(cũng là mức cung của doanh nghiệp) sẽ là Q(p). Nếu biểu diễn quan hệ này bằng hàm: p = p(Q)

thì hàm cầu này gọi là hàm cầu ngược, ý nghĩa của nó: nếu doanh nghiệp độc quyền cung ứng cho

thị trường mức Q thì phải định giá là p mới cân bằng mức cầu của thị trường. Khi xét doanh

nghiệp độc quyền, hàm cầu của thị trường thường được cho dưới dạng hàm cầu ngược. Với hàm

cầu ngược, TR = p(Q)Q nên MR = p(Q) + dp

QdQ

do đó (1.23) trở thành:

p(Q) + dp

QdQ

= MC(Q) (1.26)

Để giải mô hình – xác định mức cung làm tối đa hoá lợi nhuận, ta cần giải phương trình (1.23)

hoặc các biến thể của nó (1.25) và (1.26) và có thể cần kiểm tra điều kiện đủ của nghiệm.

PTITPTIT


24

- Phân tích so sánh tĩnh: Ký hiệu Q*, Π* là mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận và mức lợi nhuận

tối đa. Rõ ràng Q*, Π* phụ thuộc các biến ngoại sinh có trong mô hình (1.23) và được gọi là hàm

cung, hàm lợi nhuận của doanh nghiệp. Để phân tích tác động của biến ngoại sinh tới Q* và Π* ta

có thể sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn vì thế coi (1.23) như phương trình hàm ẩn.

Người ta đã chứng minh được rằng:

+/ Đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo ta có:

**π

= Qp

(1.27)

Thí dụ 1.10: Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu TR = 58Q – 0,5Q2 và hàm tổng chi phí TC

= 1

3Q3 – 8,5Q2 + 97Q + FC,trong đó Q là sản lượng cà FC là chi phí cố định.

Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận?

Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận và mức lợi

nhuận tối đa?

Giải: - Ta có MR = 58 – Q, MC = Q2 – 17Q + 97, theo (1.23) ta có:

58 – Q = Q2 – 17Q + 97 (i)

Giải phương trình bậc 2 đối với Q ta được hai nghiệm là 3 và 13. Thử vào điều kiện đủ của tối ưu

ta được Q* = 13.

Điều kiện đủ tại Q* = 13 là: TR’’ = -1 và TC’’ = 2Q0 – 17 = 9 → TR’’< TC’’được thỏa mãn

- Chi phí cố định FC không có mặt trong (i) nên Q* không phụ thuộc vào FC.

Do *π = TR(Q*) -

1

3Q3 – 8,5Q2 - 97Q - FC nên

*dπ = -1 < 0

dFCdo đó FC tác động ngược chiều tới

mức lợi nhuận tối đa.

Thí dụ 1.11: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí biên MC = 2Q2 – 12Q + 25,

chi phí cố định FC và giá bán sản phẩm là p.

- Xác định hàm tổng chi phí TC với FC = 20. Với p = 39 hãy xác định mức sản lượng và mức lợi

nhuận tối ưu?

- Nếu giá p tăng 10% thì mức sản lượng, lợi nhuận tối ưu sẽ biến động như thế nào?

Giải: - Ta có: TC = 3 22MCdQ + FC = Q - 6Q + 25Q + 20

3

Theo (1.25) ta có p = 2Q2 – 12Q + 25 (ii)

Giải phương trình trên với p = 39, loại bỏ nghiệm âm, kiểm tra điều kiện cần của tối ưu được:

Q* = 7 và *π = 143,3

.Kiểm tra điều kiện đủ, ta có:

TR’’ = p’ = 4Q* - 12 = 16 và TC’’ = 4Q* - 12 = 16 → TR’’ ≤ TC’’ được thỏa mãn.

- Trước hết cần tính hệ số co giãn của Q* và *π theo giá p. Để tính

*dQ

dp ta có thể áp dụng công

thức tính đạo hàm của hàm ẩn vì Q* là nghiệm của (ii). Ta có thể viết:

p – 2Q*2 + 12Q* - 25 = 0

Gọi biểu thức vế trái là F(p,Q*), suy ra:

*

* *

dQ F/ p 1 1 = = - =

dp F/ Q -4Q + 12 4Q - 12

PTITPTIT


25

Như vậy:

*

*Qp * * *

dQ p pε = =

dp Q (4Q - 12)Q

Thay p = 39, Q* = 7 ta tính được *Q

pε = 0,348.

Theo (1.26) ta có: *

*π = Q = 7

p

Suy ra *

*πp *

dπ p 7 39ε = = 1,9

dp π 143,3

Như vậy nếu giá p tăng 1% thì mức sản lượng tối ưu tăng 0,348% và lợi nhuận tăng 1,9%, do đó

khi p tăng 10% thì mức sản lượng tối ưu tăng 3,48% và lợi nhuận tối ưu tăng 19%.

Thí dụ 1.12: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí TC= Q3 – Q2 + 1 với Q

≥ 1.

- Với giá thị trường là p, hãy viết phương trình xác định hàm cung của doanh nghiệp?

- Phân tích tác động của giá p tới mức cung tối đa hoá lợi nhuận và tới mức lợi nhuận tối đa của

doanh nghiệp?

Giải: - Theo (1.26) ta có phương trình xác định hàm cung:

P = 3Q2 – 2Q

- Ta phải tính *dQ

dpvà

*dπ

dp. Áp dụng cách tính đạo hàm hàm ẩn đói với phương trình trong câu

trên, ta có: *

*

dQ 1 =

dp 6Q - 2. Với Q* ≥ 1, hiển nhiên

*dQ

dp> 0.

Mặt khác ta có *dπ

dp = Q* > 0. Vậy khi giá p tăng thì mức cung và lợi nhuận của doanh nghiệp

đều tăng.

Thí dụ 1.13: Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược: p = 490 – 2Q và hàm tổng chi phí:

TC = 0,5Q2AD0,5 trong đó Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo.

- Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu?

- Phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng và giá bán tối ưu?

Giải: - Ta có MC = Q.AD0,5, với AD = 9, theo (1.25) suy ra:

490 – 2Q + (-2Q) = Q.AD0,5 = 3Q (iii)

Giải phương trình trên và kiểm tra điều kiện đủ của tối ưu ta được Q* = 70, thay vào hàm cầu ta

có p* = 350.

- Để phân tích tác động của AD tới Q* ta cần tính

*dQ

dAD.

Áp dụng cách tính đạo hàm của hàm ẩn đối với (iii), kết quả là:

* * -0,5

0,5

dQ -0,5Q AD =

dAD 4 + AD. Do AD > 0, Q* > 0 nên

*dQ

dAD < 0.

Vì p* = 490 – 2Q*, theo công thức tính đạo hàm hàm hợp ta có:

PTITPTIT


26

* * *

*

dp dp dQ =

dAD dQ dAD . Do

*dQ

dAD < 0 và

*

*

dp = -2

dQ. (vì p* = 490 = 2Q*), nên

*dp > 0

dAD. Như

vậy nếu chi phí quảng cáo tăng lên thì doanh nghiệp sẽ bán được ít hang hơn nhưng với giá cao

hơn. Với AD = 9, Q* = 70 thay vào các biểu thức

*dQ

dAD và

*dp

dAD ta tính được khi tăng một đơn vị

chi phí quảng cáo, Q* sẽ giảm và p* sẽ tăng bao nhiêu đơn vị. Khi đã có mức biến động tuyệt đối

ta có thể xét đến biến động tương đối.

Thí dụ 1.14: Trong thí dụ này ta sẽ kết hợp điều kiện tối ưu về kinh tế và tối đa hoá lợi nhuận của

doanh nghiệp. Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = F(K, L) trong đó K là vốn, L là lao động;

giá vốn là pK, giá lao động là pL; giá bán sản phẩm của doanh nghiệp là p. Hãy xác định mức sử

dụng vốn và lao động để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất?

Giải:

π = pQ – (pKK + pLL) = pF(K, L) – (pKK + pLL) Max

Đây là bài toán cực trị hai biến, không ràng buộc. Xác định điều kiện cần của tối ưu (với nhiều

hàm sản xuất, điều kiện này cũng là điều kiện đủ):

Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo:

pMPK = pK; pMPL = pL (*)

Trường hợp doanh nghiệp độc quyền:

π = p(Q)Q - (pKK + pLL) = p(F(K, L))F(K, L) - (pKK + pLL) Max

p(F(K, L))MPK = pK; p(F(K, L))MPL = pL (**)

Giải hệ phương trình này ta được K*, L*; thay vào hàm sản xuất sẽ tìm được Q* và do đó tính

được π *.

Phân tích so sánh tĩnh: Người ta chứng minh được rằng:

Đối với cả hai loại doanh nghiệp ta luôn có:

*

*

K

π = - K

p

và

**

L

π = - L

p

(1.28)

Đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo ta có:

*

*π = Q

p

(1.29)

Thí dụ 1.15 : Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất: Q = K0,5 + L0,5 với pK = 6,

pL = 4 và p = 2.

- Xác định mức sử dụng vốn và lao động tối ưu?

- Phân tích tác động của giá vốn, giá lao động tới mức lợi nhuận tối đa?

Giải:

Ta có MPK = 0,5K-0,5; MPL = 0,5L-0,5. Theo (*) suy ra: K-0,5 = 6; L-0,5 = 4 do đó K* = 1/36; L* =

1/16.

Theo (1.27): *

*

K

π = - K

p

= -1/36 < 0

*

*

L

π = - L

p

= -1/16 < 0

Nên khi giá vốn và giá lao động tăng lợi nhuận của doanh nghiệp sẽ giảm.

+/ Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hòa hảo sản xuất nhiều loại sản phẩm:

PTITPTIT


27

Giả sử doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm có hàm chi phí kết hợp:

TC = TC(Q1, Q2)

Trong đó Q1 là số lượng sản phẩm thứ nhất, và Q2 là số lượng sản phẩm thứ hai. Do tính chất cạnh

tranh, doanh nghiệp phải chấp nhận giá thị trường của các sản phẩm đó. Với p1, p2 là giá thị

trường của hai loại sản phẩm. Hàm tổng lợi nhuận có dạng:

п = p1Q1 + p2Q2 – TC(Q1,Q2)

Bài toán trong trường hợp này là chọn một cơ cấu sản xuất (Q1, Q2) để hàm tổng lợi nhuận đạt giá

trị lớn nhất.

Thí du 1.16: Giả sử hàm tổng chi phí kết hợp của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo là:

2 21 2 1 2TC = 6Q + 3Q + 4Q Q

Và giá sản phẩm là p1 = 60, p2 = 34. Hàm tổng lợi nhuận là:

п = 60Q1 + 34Q2 2 21 2 1 2- 6Q - 3Q - 4Q Q

Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là:

1 2

1

1 2

2

π = 60 - 12Q - 4Q 0

Q

π = 34 - 4Q - 6Q = 0

Q

*1

*2

Q = 4

Q = 3

Ta kiểm tra điều kiện đủ:

2 2 2

11 22 122 21 2 1 2

π π ππ = = -12; π = = -6; π = = -4

Q Q Q Q

Điều kiện đủ 211 22 12 11 22π π - π 0; π 0; π 0 được thỏa mãn với mọi Q1, Q2, do đó lợi nhuận sẽ

lớn nhất nếu doanh nghiệp sản xuất 4 đơn vị sản phẩm thứ nhất và 3 đơn vị sản phẩm thứ hai.

+/ Trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất nhiều loại sản phẩm:

Xét trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp:

TC = TC(Q1, Q2)

Doanh nghiệp độc quyền định giá sản phẩm của mình căn cứ vào chi phí sản xuất và cầu của thị

trường.

Giả sử cầu đối với các sản phẩm là:

Q1 = D1(p1) p1 = -11 1D (Q ) (Đối với sản phẩm thứ nhất)

Q2 = D2(p2) p2 = -12 2D (Q ) (Đối với sản phẩm thứ hai)

Hàm lợi nhuận có dạng:

п = p1Q1 + p2Q2 – TC(Q1,Q2)

Căn cứ vào cầu thị trường ta có thể biểu diễn tổng lợi nhuận theo Q1 và Q2:

п = -11 1D (Q ) .Q1 + -1

2 2D (Q ) .Q2 – TC(Q1,Q2)

Theo phương pháp giải bài toán cực trị của hàm hai biến ta xác định được nghiệm Q1, Q2 để lợi

nhuận đạt cực đại, từ đó suy ra giá tối ưu.

Thí dụ 1.17: Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp:

TC = 2 21 1 2 2Q + 5Q Q + Q

Giả sử hàm cầu của các loại hàng hóa đó là:

p1 = 56 – 4Q1 (Đối với sản phẩm thứ nhất)

p2 = 48 – 2Q2 (Đối với sản phẩm thứ hai)

PTITPTIT


28

Hàm lợi nhuận là:

п = p1Q1 + p2Q2 – 2 21 1 2 2Q - 5Q Q - Q = (56 – 4Q1)Q1 + (48 – 2Q2)Q2 -

2 21 1 2 2Q - 5Q Q - Q

= 56Q1 + 48Q2 - 1

2 22 1 25Q - 3Q - 5Q Q

Giải bài toán cực trị ta xác định được mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa:

* *1 2

96 40Q = ; Q =

35 7

Giá bán để đạt lợi nhuận tối đa là:

* * * *1 1 2 2

1576 256p = 56 - 4Q = 45; p = 48 - 2Q = 36,7

35 7

Tổng cộng mức cung của tất cả các doanh nghiệp hoạt động trên thị trường ta được mức cung

của thị trường, Ký hiệu là S. Vì mức cung của mỗi doanh nghiệp phụ thuộc vào giá p và các yếu

tố khác liên quan tới thị trường yếu tố sản xuất, công nghệ nên S cũng sẽ phụ thuộc vào các nhân

tố này, tức là S = S(p, a, b, c,…), trong đó a, b, c,..là các tham số đặc trưng cho các yếu tố khác có

thể ảnh hưởng đến S.

Thí dụ 1.18: Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh độc quyền có hàm chi phí kết hợp:

TC = 2000 + 10Q (Q = Q1 + Q2)

Cầu của thị trường 1: Q1 = 21 – 0,1p1

Cầu của thị trường 2: Q2 = 50 – 0,4p2

Vấn đề đặt ra là lựa chọn Q1, Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa trong hai trường hợp:

- Có phân biệt giá giữa hai thị trường

Không phân biệt giá giữa hai thị trường.

Giải:

Đảo ngược hàm cầu ta có:

p1 = 210 – 10Q1

p2 = 125 – 2,5Q2

Tổng doanh thu của cả hai thị trường là:

TR = p1Q1 + p2Q2 = (210 – 10Q1)Q1 + (125 – 2,5Q2)Q2

Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là:

π = TR – TC = (210 – 10Q1)Q1 + (125 – 2,5Q2)Q2 - 2000 - 10(Q1 + Q2)

= 200Q1 + 115Q2 - 10 21Q - 2,5 2

2Q - 2000

- Trường hợp có phân biệt giá giữa hai thị trường:

Các biến chọn Q1, Q2 độc lập với nhau, tức không có điều kiện ràng buộc. Điều kiện cần để π

đạt cực đại là:

' '1 1 2 1

1 2

π ππ = = 200 - 20Q = 0; π = = 115 - 5Q = 0

Q Q

Giải ra ta xác định được 1Q = 10; 2Q = 23. Dễ dàng ta thấy rằng điều kiện đủ của cực đại được

thỏa mãn với mọi Q1, Q2. Khi đó giá bán trên mỗi thị trường là:

p1 = 210 – 10 1Q = 110

p2 = 125 – 2,5 2Q = 67,5

Tổng lợi nhuận thu được là: π = 322,5

PTITPTIT


29

-Trường hợp không được phép phân biệt giá thì ta cần giải bài toán cực đại hóa hàm tổng lợi

nhuận với điều kiện ràng buộc:

p1 = p2

210 – Q1 = 125 – 2,5Q2 10Q1 – 2,5Q2 = 85

Áp dụng hàm Lagrange ta có:

f(Q1,Q2, λ) 200Q1 + 115Q2 - 10 21Q - 2,5 2

2Q - 2000 + λ(85 -10Q1 + 2,5Q2)

11 1

22 2

λ 1 2

Q = 13,4L 200 - 2Q - 10λ = 0

L 115 - 5Q - 2,5λ = 0 Q = 19,6

L = 85 -10Q + 2,5Q = 0 λ = -6,8

Điều kiện đủ của cực đại trong trường hợp này cũng được thỏa mãn. Khi đó giá bán là:

1 2p = p = 76 và lợi nhuận thu được là: π = 178.

Thí dụ 1.19: Giả sử doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q được xác định dưới dạng hàm số:

MR = 60 – - 2Q - 2Q2

Xác định hàm tổng doanh thu và hàm cầu đối với sản phẩm?

Giải: Hàm tổng doanh thu TR là nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên:

2 2 30

2TR = (60 2Q - 2Q )dQ = 60Q - Q - Q + R

3

Hiển nhiên là khi Q = 0 thì R0 = 0

Vậy TR = 60Q – Q2 - 2

3Q3

Gọi p = p(Q) là hàm cầu ngược, ta có:

TR = p(Q)Q

Suy ra: p(Q) = 2TR 2 = 60 - Q - Q

Q 3

b) Mô hình hành vi tiêu dùng:

Tác nhân hoạt động trong lĩnh vực tiêu thụ hàng hoá gọi là người tiêu dùng. Trong trường hợp

hàng hoá được tiêu thụ là sản phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình. Trong

phạm vi môn học, chúng ta sẽ đề cập tới hành vi của hộ gia đình. Hành vi của các hộ gia đình trên

thị trường hàng hoá là cách thức họ mua sắm, tiêu thụ các loại hàng hoá, từ đó hình thành mức cầu

các loại hàng hoá của hộ gia đình. Hộ gia đình quyết định chọn loại hàng nào, mua với khối lượng

bao nhiêu phụ thuộc vào: Sở thích, thị hiếu, thu nhập dùng cho chi tiêu mua hàng hoá, giá cả của

hàng hoá, mục đích tiêu dùng.

Để phân tích hành vi của hộ gia đình ta sẽ sử dụng một số mô hình đề cập tới các yếu tố trên.

● Mô hình hàm thoả dụng:

- Mô hình hoá sở thích, thị hiếu của hộ gia đình:

Hộ gia đình mua và tiêu thụ hàng hoá nhằm thoả mãn đòi hỏi về tâm, sinh lý, thể chất và tinh

thần. Những đòi hỏi này và một số yếu tố khác như dân tộc, nơi cư trú, tôn giáo, truyền thống, thói

quen, giới tính, tuổi tác,… chi phối sự hình thành sở thích, thị hiếu. Giả sử hộ gia đình có thể mua

và tiêu thụ m loại hàng hoá. Ký hiệu Xi là khối lượng hàng hoá thứ i họ dự kiến mua, khi đó véc

tơ: X = (X1, X2,…., Xm) gọi là một giỏ hàng (gói hàng). Mục đích của hộ gia đình là đáp ứng các

đòi hỏi trên ở mức cao nhất có thể được. Để thực hiện mức độ đáp ứng, mức độ thoả mãn các nhu

PTITPTIT


30

cầu khi tiêu thụ giỏ hàng X, chúng ta sử dụng hàm thoả dụng (hàm hữu dụng, hàm tiện ích, hàm

lợi ích) ký hiệu là U. Như vậy:

U(X) = U(X1, X2,…., Xm, a, b, c,…)

Dạng hàm U và các tham số a, b, c,….biểu thị sở thích thị hiếu.

- Phân tích mô hình: Từ hàm U(X) ta có thể tính:

Độ thoả dụng biên của hàng hoá i: i

i

UMU =

X

các hàm MUi thường được giả thiết là dương.

Hệ số thay thế giữa loại hàng i bằng hàng j: MUj/MUi.

● Mô hình tối đa hoá thoả dụng – Mô hình xác định mức cầu các loại hàng hoá của hộ gia đình:

- Đặt vấn đề: Với giá cả các loại hàng hoá và ngân sách tiêu dùng cho trước, hộ gia đình cần

quyết định chọn mua loại hàng hoá nào? Khối lượng bao nhiêu sao cho số chi tiêu không vượt quá

ngân sách tiêu dùng nhưng phải đáp ứng tối đa sở thích, thị hiếu.

- Mô hình hoá: Ký hiệu M là ngân sách tiêu dùng của hộ gia đình, p1, p2,…, pm là giá các loại

hàng và U(X) là hàm thoả dụng của hộ gia đình. Khi hộ gia đình dự kiến mua giỏ hàng X = (X1,

X2,…., Xm) thì sẽ đạt mức thoả dụng là U(X) và cần chi tiêu một khoản m

i ii=1

p X . Từ các yêu cầu

ở trên ta có mô hình:

Z = U(X) Max

Với điều kiện: m

i ii=1

p X = M

Điều kiện trên gọi là ràng buộc về ngân sách tiêu dùng. Mô hình có Z, X1, X2,…., Xm, là các biến

nội sinh, M, p1, p2,…, pm là các biến ngoại sinh.

- Phân tích mô hình:

Bằng cách phân tích tương tự như đối với mô hình MHIC, ta có kết quả: điều kiện cần của tối ưu

(đối với nhiều dạng hàm U cũng là điều kiện đủ) là nghiệm của mô hình phải thoả mãn ràng buộc

ngân sách và hệ phương trình:

i i

j

j

U

p X = i j

UpX

(1.30)

Như vậy, với ngân sách tiêu dùng và mặt bằng giá p1, p2,…, pm cho trước, hộ gia đình muốn tối

đa hoá độ thoả dụng thì cần mua và tiêu thụ các loại hàng ở mức hệ số thay thế giữa các loại hàng

phải bằng tỷ giá. Để xác định mức cầu các hàng hoá ta cần giải hệ phương trình gồm hệ (1.30) và

ràng buộc về ngân sách tiêu dùng.

Trị tối ưu và nghiệm của mô hình sẽ phụ thuộc vào giá p1, p2,…, pm, thu nhập M và U. Nếu U cố

định , khi đó các thàng phần *iX của nghiệm sẽ xác định mức cầu (hàm cầu) loại hàng i của hộ gia

đình. Ta có thể viết:

*iX = *

iX (p1, p2,…, pm, M) ; i = 1, 2,…, m

với M khi này là tổng ngân sách tiêu dùng của tất cả các hộ gia đình.

Các hàm cầu trên (phụ thuộc vào giá, thu nhập) gọi là hàm cầu Marshall, chúng thể hiện mức cầu

hàng hoá trên thị trường mà chúng ta có thể quan sát và đo lường được.

Thí dụ 1.20: Lập các hàm cầu Marshall của người tiêu dùng có hàm lợi ích:

PTITPTIT


31

U = x0,4y0,9

Với điều kiện ràng buộc: pxx + pyy = M (Ràng buộc về ngân sách tiêu dùng)

Giải: Hàm lợi ích dạng này thỏa mãn điều kiện:

' ' ' '2 ' '2 'x y xy x yy y xx2U U U - U U - U U > 0

Các hàm cầu Marshall được dẫn xuất từ hệ phương trình:

''yx

x y

UU =

p p

Với 0,9 0,4

' 0,6 0,9 ' 0,4 0,1x 0,6 0,1

2y 0,9xU = 0,4x y = ; U = 0,9x y

5x 10yy

Ta có: '' 0,9 0,4yx

0,6 0,1x y x y

UU 2y 9x = =

p p 5p x 10p y

Từ đó suy ra: x

y

9py = x

4p. Thay y theo x vào phương trình thứ hai, ta có:

xx y

y x y

9p 4M 9Mp x + p x = M x = ; y =

4p 13p 13p

Hàm cầu đối với hàng hóa thứ nhất là: *

x

4Mx =

13p

Hàm cầu đối với hàng hóa thứ hai là: *

y

9My =

13p

Tổng cộng mức cầu hàng hoá của các hộ gia đình ta được mức cầu (hàm cầu) của thị trường, ký

hiệu là D, D = D(p1, p2,…, pm, M) với M khi này là tổng ngân sách tiêu dùng của tất cả các hộ gia

đình.

Thí dụ 1.21: Hàm thoả dụng của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng hoá A có dạng: U = 40 0,25 0,5A BX X

trong đó XA, XB là mức tiêu dùng hàng A, B. Giá hàng được cho như sau: pA = 4, pB = 10.

- Có ý kiến cho rằng hàng hoá A luôn có thể thay thế hàng hoá B và tỷ lệ thay thế là 1:1. Hãy

nhận xét ý kiến này?

- Xác định mức cầu hàng hoá A, B của hộ gia đình nếu thu nhập M = 600.

Giải:

Tính hệ số thay thế giữa hai hàng hoá MUA/MUB. Ta có:

MUA = -0,75 0,5A B10X X và

0,25 -0,5A B20X X

Như vậy, MUA/MUB = XB /2XA > 0 do đó hai hàng hoá này luôn thay thế được cho nhau. Cũng

theo kết quả này, để thay thế một đơn vị hàng A cần XB/2XA đơn vị hàng B, tỷ số XB/2XA không

nhất thiết bằng 1, do đó ý kiến cho rằng tỷ lệ thay thế là 1:1 là không chính xác.

- Ta có hệ phương trình xác định mức tiêu dùng tối ưu:

MUA/MUB = pA/pB

600 = 40 0,25 0,5A BX X

Từ câu trên ta đã biết MUA/MUB = XB/2XA nên hệ phương trình trở thành:

XB/2XA = 2/5

600 = 40 0,25 0,5A BX X

PTITPTIT


32

Giải hệ trên ta được: * *A BX = 50; X = 40

2.Mô hình cân bằng thị trường:

a) Mô hình cân bằng một thị trường – Mô hình cân bằng riêng:

- Đặt vấn đề: Những vấn đề liên quan tới hoạt động của thị trường hàng hoá thu hút sự quan tâm

chẳng những của doanh nghiệp, người tiêu dùng mà còn của nhà nước.

Điều này càng trở nên quan trọng khi hoạt động của thị trường cần “ bàn tay hữu hình” điều

tiết. Vấn đề thường đặt ra là: trong quá trình hoạt động của thị trường, giá và lượng hàng hoá lưu

thông được xác định như thế nào, những yếu tố nào có thể ảnh hưởng tới quá trình này và tác động

của chúng ở mức độ nào. Giải đáp được vấn đề này, đối với doanh nghiệp và người tiêu dùng có

sự điều chỉnh thích hợp trong hành vi khi theo đuổi mục tiêu của mình; đối với nhà nước sẽ có căn

cứ và cách thức điều tiết thị trường theo định hướng mong muốn. Ta có thể mô hình hoá thị

trường cùng sự hoạt động của nó bằng mô hình sau:

- Mô hình hoá: Mô tả cung – cầu: mô hình hàm cung, hàm cầu của thị trường:

Thị trường bao gồm các tác nhân tham gia vào lực lượng cung, lực lượng cầu hình thành cung,

cầu liên hệ với nhau bởi giá cả trong quá trình trao đổi mua bán.

Trong các mô hình phân tích hành vi sản xuất, tiêu dùng ta đã mô tả sự hình thành cung, cầu của

các tác nhân và của toàn bộ lực lượng cung, cầu. Ta có thể sử dụng hàm cung, cầu (tổng hợp) để

mô tả lực lượng cung, cầu trên thị trường.

Hàm cung của thị trường: Giả sử hàm cung S = S(p, a, b,…) trong đó p là giá hàng , a, b,….là các

biến ngoại sinh.

Hàm cầu của thị trường: Nhu cầu của người tiêu dùng về một mặt hàng phụ thuộc giá cả và thu

nhập là mô hình sử dụng phổ biến. Hàm cầu của thị trường về một mặt hàng:

D = D(p, pi, M, α, β,…)

Trong đó M là thu nhập, p là giá hàng hoá đang xét, pi là giá các hàng hoá khác có liên quan, α,

β,…là các biến ngoại sinh khác.

Theo quy luật cung – cầu, giả thiết thường được nêu ra là

DS > 0, < 0

p p

. Các giả thiết khác liên quan tới các biến ngoại sinh sẽ tuỳ thuộc vào nội dung

kinh tế của chúng. Với giả thiết này các hàm S, D có tồn tại hàm ngược. Trong nhiều trường hợp

hàm cung, cầu cho dưới dạng hàm ngược.

PS = p(S, a, b, ….) và gọi là giá cung (mức giá người sản xuất yêu cầu để cung khối lượng S).

PD = p(D, pi, M, α, β,…) gọi là giá cầu (mức giá người tiêu dùng trả để mua khối lượng D).

- Phân tích so sánh tĩnh: Sử dụng các đạo hàm riêng của D ta có thể xem xét ảnh hưởng (tuyệt

đối, tương đối) của giá, của thu nhập đến mức cầu của thị trường.

- Phân tích quan hệ mức cầu – thu nhập:

Nếu tất cả các giá đều cố định, thì mức cầu chỉ phụ thuộc vào thu nhập (thu nhập danh nghĩa và

thu nhập thực tế khi này không có sự khác biệt vì tất cả đều là giá cố định), tức là: D = D(M). Đồ

thị của hàm này gọi là đường cong Engel. Xu thế của các đường Engel thể hiện quan hệ giữa mức

cầu và thu nhập.

Nếu dD/dM > 0 thì hàng hoá đang xét gọi là hàng hoá bình thường (hàng thông thường, hàng cấp

cao), nếu dD/dM < 0 gọi là hàng cấp thấp.

Đối với hàng bình thường, khi thu nhập tăng, các hàng hoá khác nhau tăng với nhịp độ khác

nhau. Có loại hàng tằng ngày càng chậm, thậm chí đến một ngưỡng nào đó sẽ bão hoà, tức là

PTITPTIT


33

d2D/dM2 < 0. Những loại hàng này gọi là hàng thiết yếu. Với các mặt hàng thiết yếu nhu cầu bão

hoà khi thu nhập quá cao.

Nếu d2D/dM2 > 0 thì gọi là hàng xa xỉ. Với những mặt hàng xa xỉ nhu cầu tăng gần như không

giới hạn khi thu nhập tăng.

Đường Engel ứng với hàng thiết yếu và hàng xa xỉ:

Hình 1.2a Hình 1.2b

- Phân tích quan hệ mức cầu – giá cả:

Với thu nhập danh nghĩa bằng tiền cố định, khi giá hàng biến động (giả sử tăng lên) sẽ ảnh

hưởng chẳng những đến mức cầu mà cả thu nhập thực tế. do đó ta có sơ đồ kênh liên hệ:

Hình 1.3

Khi này hàm cầu có dạng: D = D[(p, pi, M(p, pi)]

- Phân tích ảnh hưởng của giá:

Để phân tích ảnh hưởng của sự biến động giá p đến mức cầu D (các giá khác không đổi) ta tính

dD/dp. Theo công thức tính đạo hàm hàm hợp ta có:

dD D D M

= + dp p M p

Như vậy, ảnh hưởng của việc giá hàng p tăng lên vừa trực tiếp vừa gián tiếp. Ảnh hưởng trực

tiếp là cho người tiêu dùng phải tìm hàng hoá khác thay thế do đó làm giảm mức cầu, đó là ảnh

hưởng (hiệu ứng) thay thế và thể hiện bởi ( D < 0

p

). Ảnh hưởng gián tiếp làm giảm thu nhập thực

tế của người tiêu dùng, đó là ảnh hưởng (hiệu ứng) thu nhập và thể hiện bằng số hạng thứ hai bên

vế phải (với M < 0

p

). Ảnh hưởng tổng cộng còn tùy thuộc vào dấu và độ lớn của D

M

Nếu hàng hoá đang xét là hàng hoá bình thường ( D

M

> 0), thì sự tăng giá p sẽ làm giảm mức cầu

D vì khi này dD/dp < 0.

D

M

D

M Hàng thiết yếu Hàng xa xỉ

Giá Mức cầu

Thu nhập

thực tế

PTITPTIT


34

Nếu p tăng mà D tăng thì hàng hoá này là hàng cấp thấp ( D

M

< 0). Từ đây chúng ta có thể thấy

hàng hoá Giffen - hàng hoá mà khi giá tăng mức cầu tăng – là hàng cấp thấp.

- Phân tích ảnh hưởng chéo của giá:

Để đo lường ảnh hưởng của sự biến động giá hàng hoá i tới mức cầu hàng hoá đang xét, ta tính:

i i i

dD D D M = +

dp p M p

Nếu dD/dpi > 0 thì hàng hoá đang xét và hàng i gọi là hai mặt hàng thay thế, nếu dD/dpi < 0 thì

gọi là hai mặt hàng bổ sung.

● Mô hình cân bằng thị trường riêng:

- Đặt vấn đề: Khi nghiên cứu mô hình hàm cung, hàm cầu hàng hoá của thị trường ta thấy yếu tố

giá hàng hoá có liên quan tới cả hai hàm này và giá được xem là biến ngoại sinh. Nếu chúng ta

quan tâm tới sự hình thành giá cả trên thị trường thì coi giá là biến nội sinh. Với tư cách là biến

nội sinh, giá cả trước hết phụ thuộc vào cấu trúc của thị trường (cạnh tranh hoàn hảo, cạnh tranh

không hoàn hảo, độc quyền) và sự điều tiết của nhà nước. Trong phạm vi môn học này, chúng ta

đề cập tới sự hình thành giá cả liên quan tới quan hệ cung – cầu trên thị trường cạnh tranh hoàn

hảo. Các yếu tố khác có thể ảnh hưởng tới sự hình thành giá cả được xem là các biến ngoại sinh.

Mô hình được sử dụng để phân tích là mô hình cân bằng thị trường. Đây là lớp mô hình sử dụng

trong nhiều lĩnh vực kinh tế xã hội khác nhau (giá cả, sản xuất – tiêu dùng, lao động – việc làm).

- Mô hình hoá: Hàm cung: S = S(p, a, b,…); S

p

> 0

Hàm cầu: D = D(p, α, β,…); D

p

< 0

Điều kiện cân bằng thị trường: S = D với p là giá hàng hoá, a, b, α, β,…là các biến ngoại sịnh.


Tìm nghiệm của mô hình: Giải phương trình cân bằng trên ta xác định được giá cân bằng p và

do đó xác định được lượng cân bằng Q. Rõ ràng p lẫn Q đều phụ thuộc vào biến ngoại sinh có

trong S và D.

Phân tích tác động của các biến ngoại sinh tới giá và lượng cân bằng:

Nếu ta có các biểu thức tường minh xác định chúng thì để nghiên cứu ảnh hưởng của các biến

ngoại sinh, ta chỉ cần lấy đạo hàm riêng theo biến ngoại sinh từ phương trình cân bằng và theo

công thức tính đạo hàm của hàm ẩn. Thí dụ; ta xét ảnh hưởng của biến ngoại sinh a tới giá cân

bằng. phương trình cân bằng có thể viết dưới dạng: S – D = 0, đây là phương trình xác định hàm

ẩn p theo a, b, α, β,…Theo công thức tính đạo hàm của hàm ẩn ta có:

Sp a =

D Sap p

(1.31)

Các đạo hàm riêng ở vế phải được tính tại p = p .

Trong trường hợp quan hệ cung cầu hiện diện trên thị trường không cân bằng thì cơ chế giá sẽ

hoạt động và đưa quan hệ về trạng thái cân bằng. Ta có thể minh hoạ tình huống này bằng sơ đồ

mạng nhện.

Thí dụ 1.22: Giả sử hàm cung, hàm cầu có dạng:

PTITPTIT


35

S = -a + bp; a, b >0

D = α – βp; α, β > 0

Có thể giải thích ý nghĩa của các hệ số a, b, α, β như sau:

Cho S = 0 (không có cung trên thị trường), suy ra p = a/b. Như vậy có thể coi a/b là mức giá giới

hạn tối thiểu mà người sản xuất chấp nhận.

Cho D = 0 (không có cầu), suy ra p = α/β, có thể coi α/β là mức giá giới hạn tối đa người tiêu

dùng chấp nhận.

Điều kiện cân bằng thị trường S = D tức là –a + bp = α – βp, giải phương trình này ta được mức

giá cân bằng:

α + a

p = β + b

và lượng cân bằng αb - βa

Q = β + b

.

Phân tích tác động của a tới p , ta có p 1

= > 0a β + b

do giả thiết b, β > 0. Chú ý rằng ta có thể

tính p

a

từ phương trình cân bằng và sẽ được kết quả tương tự.

Thí dụ 1.23: Mức cầu loại hàng (D) phụ thuộc vào giá của hàng hoá đó (p) và thu nhập người tiêu

dùng (M) có dạng sau;

D = 1,5M0,3p-0,2

Mức cung loại hàng trên (S) có dạng: S = 1,4p0,3.

Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập?

Xem xét tác động của thu nhập tới mức giá cân bằng?

Giải:

Hàm cầu có dạng Cobb – Douglas nên ta có: D Dp Mε = - 0,2, ε = 0,3 .

Ta có phương trình cân bằng: S = D, tức là 1,4p0,3 = 1,5M0,3p-0,2. Để phân tích tác động của thu

nhập tới giá cân bằng ta cần tính p

M

. Ta có thể tính biểu thức này từ phương trình cân bằng với

việc áp dụng tính đạo hàm hàm ẩn. Ta có:

1,4p0,3 - 1,5M0,3p-0,2 = 0

Vì vậy -0,7 -0,2

-0,7 0,3 -1,2

p (1,5×0,3)M p =

M (1,4×0,3)p +(1,5×0,2)M p

và tính được tại mức giá cân bằng. Do M, p > 0

nên p

M

> 0, tức là khi thu nhập tăng (giảm) sẽ làm giá cân bằng tăng (giảm).

Chú ý: nếu các hàm cung, cầu trong mô hình cân bằng thị trường được cho bằng các hàm ngược,

thì mô hình sẽ có dạng:

pS = p(S, a, b,….)

pD = p(D, α, β,…)

pS = pD

Cách thức phân tích mô hình hoàn toàn tương tự như trên.

● Mô hình cân bằng vĩ mô – Mô hình cân bằng thị trường hàng hoá – dịch vụ:

- Đặt vấn đề: Phân tích kinh tế vĩ mô là phân tích mối liên hệ giữa các biến số kinh tế tổng hợp

(biến gộp) đặc trưng cho hoạt động của toàn bộ nền kinh tế. Trong nền kinh tế thị trường, hoạt

động của nền kinh tế diễn biến trong ba thị trường gộp: thị trường hàng hoá – dịch vụ, thị trường

PTITPTIT


36

tiền tệ và thị trường lao động. Cả ba thị trường này đều có liên hệ với nhau. Trong mỗi thị trường

đều xuất hiện mức tổng cung, mức tổng cầu loại hàng hoá tương ứng. Đối với nền kinh tế mở,

tham gia vào mức tổng cung, tổng cầu còn có các chủ thể bên ngoài quốc gia. Nghiên cứu và phân

tích các nhân tố tác động đến tổng cung, tổng cầu do đó đến tình huống cân bằng của cả ba thị

trường là việc quan trọng trong phân tích và hoạch định chính sách kinh tế của Chính phủ. Trong

khuôn khổ môn học, chúng ta chỉ đề cập tới tình huống ngắn hạn do vậy công nghệ sản xuất và thị

hiếu tiêu dùng có thể giả thiết là không đổi và đồng thời chỉ xét thị trường hàng hoá – dịch vụ với

các phương trình dạng tuyến tính.

- Mô hình hoá: Các chỉ tiêu kinh tế vĩ mô sử dụng trong mô hình là các chỉ tiêu thực (tính theo

giá cố định).

Mô tả cung: Vì ta chỉ xét thị trường hàng hoá – dịch vụ nên tổng cung của nền kinh tế (mức sản

lượng, kết qủa sản xuất) được coi là ngoại sinh và ký hiệu là Q. Tổng cung có thể được đo bằng

tổng sản phẩm quốc nội (GDP) hoặc tổng thu nhập quốc gia (GNI).

Mô tả cầu: Tổng cầu của nền kinh tế bao gồm các bộ phận cấu thành:

C: Nhu cầu tiêu dùng của dân cư.

I: Nhu cầu cho đầu tư của dân cư.

G: Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ - Chi tiêu chính phủ.

EX: Nhu cầu cho xuất khẩu.

Ta có các phương trình hành vi sau đây mô tả quan hệ giữa các biến:

Tiêu dùng của dân cư được giả thiết là có một bộ phận không phụ thuộc vào thu nhập - phần tiêu

dùng tự định C0 và phần phụ thuộc vào thu nhập khả dụng, như vậy ta có:

C = C0 + β(Y - T)

Trong đó Y: thu nhập quốc dân, T: thuế và giả thiết là C0 > 0, 0 < β < 1. Ta có thể xem β là

khuynh hướng tiêu dùng biên (MPC).

Đầu tư I trong trường hợp đơn giản thường được giả thiết là gồm một phần không phụ thuộc vào

lãi suất – I0 và một phần phụ thuộc tuyến tính theo lãi suất r, ta có:

I = I0 – αr với α > 0

Nếu nhập khẩu là IM, tổng cầu trong nước sẽ là: C + I + G + EX – IM.

Thuế T được giả thiết gồm khoản thuế thu nhập (δY) và các loại thuế khác (γ), như vậy:

T = γ + δY với γ > 0, 0 < δ < 1.

Chúng ta có thể coi δ là thuế suất của thuế thu nhập (thuế suất gộp).

Điều kiện cân bằng thị trường hàng hoá – dịch vụ:

Do tổng cung trong nước được thanh toán bằng thu nhập để đáp ứng tổng cầu trong nước nên ta có

phương trình cân bằng:

Y = C + I + G + EX – IM

Với điều kiện: C = C0 + β(Y - T) với C0 > 0, 0 < β < 1.

I = I0 – αr với α > 0

T = γ + δY với γ > 0, 0 < δ < 1

Các biến nội sinh của mô hình gồm: Y, C, I, T các biến còn lại là biến ngoại sinh.


Giải mô hình: Giải hệ phương trình trong mô hình với các ẩn số là biến nội sinh, ta được:

0 0C - βγ + I - αr + G + EX - IMY =

1 β + βδ (1.32)

PTITPTIT


37

Phân tích so sánh tĩnh; phân tích tác động của chính sách tài khoá:

Để xem xét tác động của chính sách tài khoá (thi – chi ngân sách nhà nước) đối với sản xuất (Y)

ta cần tính các biểu thức: Y Y Y

; ; G γ δ

. Từ (1.31) ta dễ dàng tính được:

Y 1

= > 0G 1 - β + βδ

(1.33)

Y - β

= < 0γ 1 - β + βδ

(1.34)

Y - βY

= < 0δ 1 - β + βδ

(1.35)

Như vậy khi chính phủ tăng chi tiêu thì theo (1.33) Y sẽ tăng, tức có kích cầu, mặt khác vế phải

của (1.33) lớn hơn 1 nên mức tăng của tổng cầu sẽ lớn hơn so với mức tăng chi tiêu của chính

phủ. Như vậy việc tăng chi tiêu đã được khuyếch lên, vì lý do này nên Y

G

được gọi là nhân tử

gia tăng chi tiêu chính phủ.

Khi chính phủ tăng thuế thì theo (1.34) và (1.35) ta thấy Y giảm.

Tuỳ thuộc vào tình huống cụ thể, mô hình cân bằng vĩ mô trên có thể đơn giản hoá, thí dụ, đầu tư

I, thuế T có thể coi là ngoại sinh, nhưng ta có thể mở rộng mô hình, thí dụ; xuất khẩu, nhập khẩu

có thể coi là biến nội sịnh.

Thí dụ 1.24 Một số chỉ tiêu vĩ mô của một nền kinh tế có các mối liên hệ sau:

Y = C + I + G + EX – IM

C = βYD với 0 < β < 1.

IM = ρYD với 0 < ρ < 1

YD = (1 - t)Y với 0 < t < 1

Trong đó Y: thu nhập, C: tiêu dùng của dân cư, YD: thu nhập khả dụng, I: đầu tư.

G: Chi tiêu chính phủ, EX: xuất khẩu, IM: nhập khẩu, t: thuế suất thuế thu nhập.

Với G = 400 tỉ đồng, I = 250 tỉ đồng, EX = 250 tỉ đồng, β = 0,8, ρ = 0,2, t = 0,1. Hãy xác định thu

nhập và tình trạng ngân sách nhà nước?

Với các chỉ tiêu ở câu trên, có ý kiến cho rằng nếu giảm xuất khẩu 10% thì chính phủ có thể tăng

chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập. Hãy nhận xét ý kiến này?

Giải: - Giải mô hình trên ta được:

I + G + EX

Y = 1 β(1 - t) + ρ(1 - t)

Thay số liệu vào ta tính được Y = 9000tỷ. Thu ngân sách là t Y = 900 tỷ, chi ngân sách G = 400

tỷ nên có thặng dư ngân sách.

Để có được nhận xét về ý kiến nêu ra, ta cần tính độ co giãn của Y theo G và EX.

Ta có: Y 1

= G 1 - β(1 - t) + ρ(1 - t)

và

Y 1 =

EX 1 - β(1 - t) + ρ(1 - t)

tuy chúng bằng nhau nhưng

do G EX

Y Y nên Y Y

G EXε > ε . Khi giảm 10% xuất khẩu, thu nhập giảm (10 YGε )%, tác động cuối cùng

là thu nhập sẽ tăng (10( Y YG EXε - ε ))%. Vậy ý kiến trên là không đúng.

PTITPTIT


38

3. Mô hình kinh tế động.(Đọc tham khảo)

Trong các mô hình đã đề cập, chúng ta chỉ xét các hoạt động kinh tế diễn ra tại cùng một thời

điểm, yếu tố thời gian không có vai trò gì nên mô hình này gọi là mô hình tĩnh. Trong thực tế,

hoạt động kinh tế thường diễn biến theo thời gian do đó có mối liên hệ giữa quá khứ, hiện tại,

tương lai và như vậy yếu tố thời gian sẽ xuất hiện trong mô hình với tư cách là biến ngoại sinh.

Các mô hình kinh tế có chứa biến thời gian gọi là mô hình kinh tế động. Trong mô hình động, mối

liên hệ giữa các biến được xem xét ở các thời điểm khác nhau và để mô tả sự biến động của chúng

theo thời gian - mô tả quỹ đạo của biến, thường là phải sử dụng phương trình vi phân hoặc sai

phân với biến độc lập là biến thời gian t. Để phân tích mô hình động, chúng ta phải sử dụng các

kiến thức liên quan tới phương trình vi phân. So với mô hình tĩnh, mô hình động phản ánh thực tế

xác thực hơn nhưng cũng phức tạp hơn về cấu trúc. Để minh hoạ mô hình động và việc phân tích,

ta xét hai mô hình đơn giản: mô hình cân bằng giá dạng tuyến tính và mô hình tăng trưởng kinh tế

Domar.

a) Mô hình cân bằng giá (trường hợp tuyến tính):

+/ Đặt vấn đề: Trong thực tế giá của một mặt hàng không tức khắc xác định tại điểm cân bằng.

Theo thời gian, giá luôn được điều chỉnh bởi nhiều tác động, đặc biệt là do chêng lệch cung, cầu.

Phải chăng quá trình tương tác giữa cung và cầu trên thị trường luôn dẫn đến giá cân bằng? Câu

trả lời không hẳn như vậy.

+/ Thiết lập mô hình: Giả sử trên thị trường tại thời điển t, giá hàng hoá tác động đến cung, cầu

như sau:

Mô hình a: Dt = a – bpt (a, b > 0)

St = -c + dpt (c, d > 0)

Điều kiện cân bằng: Dt = St

Mô hình b: Dt = a – bpt (a, b > 0)

St = -c + dpt-1 (c, d > 0)

Trong đó Dt, St, pt là mức cầu, mức cung, mức giá ở thời điểm t. pt-1 là mức giá ở thời điểm (t -1).

Điều kiện cân bằng: Dt = St

Giả thiết trong mô hình b có thể chấp nhận dễ dàng hơn trong mô hình a. Tuy vậy chúng ta chỉ

cần bàn đến tính chất tồn tại giá cân bằng nên người học có thể tự tìm hiểu tình huống này.

+/ Phân tích mô hình:

Từ các phương trình cung - cầu và điều kiện cân bằng ta có:

a + c

p = b + d

Nếu tại t = 0 ta đã có p0 = p thì giá cân bằng ở mọi thời điểm.

Nếu tại t = 0 mà p0 ≠ p thì theo quy luật thị trường tồn tại chênh lệch cung – cầu (D - S), mức

này gọi là mức dư cầu. Giả sử mức dư cầu tại t quyết định sự thay đổi của giá p (sự thay đổi diễn

ra theo thời gian) và quan hệ này có dạng:

dp

= k(D - S)dt

với k > 0

Thay các hàm cung, cầu vào phương trình này ta có:

dp

+ k(b - d)p = k(a + c)dt

PTITPTIT


39

Phương trình trên là phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số nên có thể dễ dàng giải

và cho nghiệm:

Pt = (p0 - p )e-k(b + d)t + p

Khi t ta hấy pt dần tới giá cân bằng p .

Với mô hình b mọi chuyện không hoàn toàn như ở mô hình a. Từ điều kiện cân bằng ta có:

t t-1

d a + cp + p =

b b

Nghiệm của phương trình này với p0 cho trước là:

t

t 0

a + c d a + cp = p - - +

b + d b b + d

Điều kiện pt có giới hạn khi t tăng vô hạn là d < b. Nếu d > b thì giá sẽ không hội tụ


b) Mô hình tăng trưởng kinh tế Domar.

+/ Đặt vấn đề: Khi nghiên cứu sự tăng trưởng của một nền kinh tế, một trong những vấn đề

được quan tâm là xác lập mối liên hệ giữa lượng vốn đầu tư và sự gia tăng sản lượng (đầu ra). Nếu

biết được mối liên hệ này ta có thể xác định được nhu cầu đầu tư của nền kinh tế để đảm bảo yêu

cầu tăng trưởng đã dự kiến.

+/ Mô hình hoá:

Các giả thiết của mô hình: Năng lực sản xuất của nền kinh tế tại thời điểm t được mô tả bởi hàm

sản xuất chỉ phụ thuộc (tuyến tính) vào lượng vốn, không tính tới lao động cũng như tiến bộ kỹ

thuật, công nghệ. Ký hiệu Q(t), K(t) là năng lực sản xuất, lượng vốn ở thời điểm t, ta có Q(t) =

ρK(t) với tham số ρ > 0 và là hằng số.

Sự gia tăng của lượng vốn trong chu kỳ xem xét là do đầu tư trong kỳ (đầu tư không có độ trễ và

cũng không xét tới khấu hao vốn). Hoạt động đầu tư ngoài việc tác động tới năng lực sản xuất

(thông qua vốn) còn tác động tức thời, không có trễ tới tổng cầu (thu nhập) theo dạng “nhân tử"

tương tự như mô hình cân bằng vĩ mô. Gọi Y(t), I(t) là tổng cầu, đầu tư của kỳ t thì:

dK=I(t)

dt

1Y(t) = I(t)

s

Tham số s với 0 < s < 1 và là hằng số, gọi là khuynh hướng tiết kiệm biên (MPS).

Điều kiện cân bằng: Năng lực sản xuất của nền kinh tế = Tổng cầu, tức là Q(t) = Y(t).

Mô hình tăng trưởng Domar:

Tồn tại giá cân bằng Không tồn tại giá cân bằng

`

D

p

D S

d < b

p

D S

d > b D

PTITPTIT


40

dK

=I(t)dt

(1)

1

Y(t) = I(t)s

(2)

Q(t) =ρK(t) (3)

Q(t) = Y(t) (4)

Các biến nội sinh: Y, Q, K, I; biến ngoại sinh: t

Đặt 1

= vρ

, khi này v được gọi là hệ số gia tăng vốn – sản lượng hoặc hệ số ICOR (ΔK/ΔY), v cho

biết số vốn cần thiết để gia tăng 1 đơn vị sản lượng (đầu ra).

+/ Phân tích mô hình:

Giải mô hình: Trong trường hợp mô hình động, ta cần biểu diễn các biến nộ sinh theo thời gian,

tức là xác định quỹ đạo của của chúng xuất phát từ thời kỳ gốc. Cho t = 0 là thời kỳ gốc và ký hiệu

Y0 = Y(0), Q0 = Q(0), K0 = K(0), I0 = I(0).

Lấy đạo hàm theo thời gian t cả hai vế của (2), (3), (4) ta được:

dY 1 dI

=dt s dt

(5)

dQ dK

=ρdt dt

(6)

dQ dY

=dt dt

(7)

Từ (5), (6), (7) ta có:

1 dI

ρI(t) = s dt

Suy ra: dI

ρsI(t) = 0dt (8)

Đây là phường trình vi phân đối với I, nghiệm của phương trình này với điều kiện ban đầu I0 =

I(0) là I(t) = I0eρst. Thay vào các phương trình trong mô hình ta tìm được:

Y(t) = Y0eρst, K(t) = K0 e

ρst, Q(t) = Q0eρst

+/ Phân tích kết quả:

Ta nhận thấy rằng nhịp tăng trưởng của Y, K, I , Q đều bằng nhau và bằng ρs = s/v và là hằng

số. Sự tăng trưởng này của nền kinh tế gọi là tăng trưởng cân đối (các chỉ tiêu tăng cùng nhịp độ).

Ta xét trường hợp: Giả sử trong thực tế đầu tư tăng với nhịp độ r và r ≠ ρs, khi này sẽ xẩy ra tình

trạng gì đối với nền kinh tế? Ta có I(t) = I0 ert suy ra rt

0

dI = rI e

dt. Từ (5), (6) suy ra:

rt rt0 0

dY r dQ = I e , = ρI(t) = ρI e

dt s dt.

Ta xét tỷ số dY/dt

dQ/dt, tử số phản ánh tác động của đầu tư tới tổng cầu, còn mẫu số thể hiện tác

động tới năng lực sản xuất. Theo kết quả tên ta có dY/dt r

= dQ/dt ρs

. Nếu đầu tư tăng nhanh hơn mức

cần thiết (r > ρs) thì dY/dt

dQ/dt > 1, do tác động của đầu tư tới năng lực sản xuất yếu hơn tới tổng

PTITPTIT


41

cầu, nền kinh tế sẽ ở tình trạng năng lực sản xuất không đáp ứng được nhu cầu, tức là thiếu hụt

năng lực sản xuất. Ngược lại, đầu tư tăng chậm hơn mức cần thiết (r < ρs) thì nền kinh tế sẽ xẩy ra

tình trạng thừa năng lực sản xuất. Đây là một nghịch lý gây ra nhiều tranh luận giữa các nhà kinh

tế học. Có thể do mô hình Domar còn quá đơn giản nên xuất hiện nghịch lý này.

Mô hình được sử dụng trong thực tế là mô hình rời rạc theo thời gian, khi này mô hình có dạng:

K(t) – K(t - 1) = I(t)

Y(t) = 1

I(t)s

Q(t) = ρK(t)

Q(t) = Y(t)

Nghiệm của mô hình sẽ là:

sY(t) = 1 + Y(t - 1) ;

v - s

sK(t) = 1 + Y(t - 1) ;

v - s

sI(t) = 1 + I(t - 1)

v - s

Nhịp tăng trưởng của các chỉ tiêu đều là s

v - s

Câu hỏi và bài tập ôn chương 1

I. Lý thuyết

1. Trình bày mô hình, mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế? Cho thí dụ?

2. Mô tả cấu trúc mô hình toán kinh tế?

3. Trình bày nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế?

4. Nội dung phương pháp phân tíc mô hình – Phân tích so sánh tĩnh?

5. Nội dung phân tích mô hình hành vi sản xuất về mặt kỹ thuật?

6. Nội dung phân tích tối ưu về mặt kinh tế đối với doanh nghiệp?

7. Trình bày mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp? Ý ngiã của quy luật lợi ích cận biên

giảm dần?

8. Trình bày mô hình tối đa hóa thỏa dụng?

9. Nội dung phương pháp phân tích mô hình cân bằng một thị trường?

10. Trình bày nội dung phương pháp phân tích mô hình cân bằng vĩ mô?

II. Bài tập:

1. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp trong ngắn hạn có dạng: Q = 5 L . Ở mức sử dụng

L = 100 đơn vị lao động (chẳng hạn 100 giờ lao động trong một tuần), mức sản lương tương ứng

là Q0 = 50 sản phẩm. Hãy tính mức sản phẩm cận biên và giải thích ý nghĩa?

2. Nếu hàm cầu của doanh nghiệp là: Q = 1400 – p2. Hãy xác định hệ số co dãn của lượng cầu

theo giá. Với p = 20 thì hệ số co giãn của cầu là bao nhiêu? Giải thích ý nghĩa?

3. Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng doanh thu: TR = 1400Q – 7,5Q2 và hàm

tổng chi phí: TC = Q3 – 6Q2 + 140Q +750. Hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và

lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp và kiểm tra điêu đủ theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần?

4. Giả sử hàm tổng chi phí kết hợp của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có dạng:

TC = 2 21 2 1 26Q + 3Q + 4Q Q

PTITPTIT


42

Giá sản phẩm là: p1 = 60, p2 = 34.

Hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và lợi nhuận lớn nhất? Kiểm tra điều kiện đủ

theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần?

5. Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm tổng chi phí kết hợp:

TC = 2 21 2 1 2Q + Q + 5Q Q (Q1, Q2 là sản lượng sản phẩm)

Hàm cầu của các loại hàng đó là:

Q1 = 14 – 1

4p1

Q2 = 24 –1

2p2

a) Phân tích xu hướng thay đổi tuyệt đối và tương đối của tổng chi phí theo sản lượng?

b) Lựa chọn hệ thống giá (p1, p2) sao cho lợi nhuận đạt được là lớn nhất và mức sản lượng tối đa

hóa lợi nhuận?

c) Nếu giá sản phẩm một tăng 5 đơn vị so với mức giá được xác định ở câu b thì giá sản phẩm hai

phải thay đổi như thế nào để doanh nghiệp đạt được lợi nhuận lớn nhất? Mức lợi nhuận tối đa có

thay đổi hay không?

6. Lập hàm chi phí tương ứng với hàm sản xuất sau đây:

Q = 81 KL

Nếu giá vốn pK = 6. Giá lao động pL = 4, Mức sản lượng dự kiến sản xuất Q0 = 3500. Hãy xác

định mức sử dụng K và L tối ưu? Tính hệ số co dãn của tổng chi phí theo sản lượng tại Q0?

7. Giả sử doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q được xác định dưới dạng hàm số:

MR = 60 – 2Q – 2Q2

a) Hãy xác định tổng doanh thu và hàm cầu đối với sản phẩm?

b) Nếu hàm chi phí của doanh nghiêp có dạng: TC = Q3 – 2Q2 + 14Q + 140, giá sản phẩm trên thị

trường là p = 6. Hãy xác định sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa?

PTITPTIT

Bài giảng Toán kinh tế Chương 2: Mô hình quy hoạch tuyến tính

43

CHƯƠNG 2

MÔ HÌNH TỐI ƯU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH.

2.1. Một số tình huống trong hoạt động kinh tế và mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính.

2.1.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất:

Công ty RM sản xuất hai loại sản phẩm (ký hiệu là sản phẩm A và sản phẩm B). Nguyên liệu đầu

vào gồm hai loại I và II với trữ lượng tương ứng là 6 tấn và 8 tấn. Để sản xuất một đơn vị sản

phẩm A cần 2 tấn nguyên liệu loại I và 1 tấn nguyên liệu loại II, Hai số tương ứng của sản phẩm B

là 1 tấn và 2 tấn. Qua tiếp thị được biết nhu cầu thị trường như sau:

- Nhu cầu sản phẩm A không hơn nhu cầu sản phẩm B quá 10 tấn.

- Nhu cầu cực đại của sản phẩm B là 20 tấn.

- Dự kiến giá bán sản phẩm A và B trên thị trường tương ứng là 2000USD và 3000USD.

Vấn đề đặt ra là trong kỳ kế hoạch Công RM cần sản xuất số lượng sản phẩm mỗi loại là bao

nhiêu để có tổng doanh thu là lớn nhất?

Để giải quyết câu hỏi trên, ta tiến hành xây dựng mô hình toán học:

Gọi x1 và x2 là số lượng (tính bằng tấn) sản phẩm A và sản phẩm B cần sản xuất trong kỳ. Đây là

các biến cần tìm (hoặc là phương án) của bài toán. Khi đó doanh thu trong kỳ sẽ là:

f(x) = 2x1 + 3x2 (nghìn USD)

và được gọi là hàm mục tiêu

Các ràng buộc trên biến x1, x2 sẽ gọi là các ràng buộc của bài toán, là như sau. Nguyên liệu đầu

vào được sử dụng không được vượt quá trữ lượng (khả năng):

2x1 + x2 ≤ 6 (nguyên liệu đầu vào loại I cho 2 loại sản phẩm A và B)

x1 + 2x2 ≤ 8 (nguyên liệu đầu vào loại II cho 2 loại sản phẩm A và B)

Sản xuất không nhiều hơn nhu cầu thị trường:

-x1 + x2 ≤ 10

x2 ≤ 20

Sản lượng phải là một số thực không âm;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Ta gọi phương án (x1, x2) là chấp nhận được nếu nó thỏa mãn mọi ràng buộc. Khi đó (x1, x2) cũng

gọi là nghiệm chấp nhận được.

Vậy bài toán trở thành:

Tìm phương án chấp nhận được làm cực đại hàm mục tiêu f(x) và được viết dưới dạng toán

học như sau:

f(x) = 2x1 + 3x2 Max

Điều kiện ràng buộc: 2x1 + x2 ≤ 6

x1 + 2x2 ≤ 8

x1 - x2 ≤ 10

x2 ≤ 20

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Tổng quát, ký hiệu:

aij là lượng nguyên liệu đầu vào loại i cần để sản xuất một đơn vị sản phẩm loại j.

bi là trữ lượng nguyên liệu loại i mà doanh nghiệp có thể sử dụng trong kỳ (i = 1, 2,..,., m).

cj là tiền lãi, giá bán hay giá thành một đơn vị sản phẩm loại j (j = 1, 2, ..., n)

xj là số đơn vị sản phẩm loại j mà doanh nghiệp cần sản xuất trong kỳ.

PTITPTIT


44

Mô hình toán học của bài toán (cực đại tổng doanh thu):

Tìm x = (x1, x2,......, xn .) sao cho:

n ...., 2, 1, j 0, x

m2,..., 1,i b xa

Max xc f(x)

j

i

n

1jjij

n

1jjj

2.1.2. Bài toán đầu tư đạt hiệu quả cao nhất.

Doanh nhân A có vốn 2 tỉ đồng muốn đầu tư vào các danh mục sau đây:

- Gửi tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suất 4%/năm

- Gửi tiết kiệm có kỳ hạn với lãi suất 8%/năm.

- Mua trái phiếu chính phủ với lãi suất 8,5%/năm.

- Cho doanh nghiệp tư nhân vay với lãi suất 15%/năm.

- Mua đất phân lô bán nền với lãi suất 20%/năm.

Thời gian đáo hạn giải thiết là như nhau. Các hình thức đầu tư đều có rủi ro. Để hạn chế rủi ro

doanh nhân A được nhà tư vấn hướng dẫn như sau:

- Không cho doanh nghiệp tư nhân vay quá 30% vốn.

- Số tiền mua trái phiếu chính phủ không vượt quá số tiền đầu tư trong 4 lĩnh vực còn lại.

- Ít nhất 20% số tiền đầu tư phải thuộc lĩnh vực tiết kiệm có kỳ hạn và trái phiếu.

- Tỷ lệ tiết kiệm không kỳ hạn trên tiết kiệm có kỳ hạn không vượt quá 1/3

- Số tiền mua đất không vượt quá 40% số vốn.

Doanh nhân A muốn đầu tư toàn bộ số vốn. Hãy lập mô hình bài toán tìm phương án đầu tư sao

cho thu được lợi nhuận tối đa?

Để giải quyết câu hỏi trên, ta tiến hành xây dựng mô hình toán học:

Gọi x1 là tiền gửi tiết kiệm không kỳ hạn

x2 là tiền gửi tiết kiệm có kỳ hạn.

x3 là tiền mua trái phiếu chính phủ.

x4 là tiền cho doanh nghiệp tư nhân vay.

x5 là tiền mua đất phân lô bán nền.

Điều kiện: jx 0, j = 1,5 (đơn vị tỷ đồng)

Tổng lợi nhuận: (4%x1 + 8%x2 + 8,5%x3 + 15%x4 + 20%x5) tỷ đồng. Mục tiêu là tổng lợi nhuận

lớn nhất.

Điều kiện ràng buộc: x4 ≤ 30%.2 x4 ≤ 0,6

x3 ≤ x1 + x2 + x4 + x5 x1 + x2 + x4 + x5 – x3 ≥ 0

x2 + x3 ≥ 20%.2 x2 + x3 ≥ 0,4

x1/x2 ≤ 1/3 3x1 – x2 ≤ 0

x5 ≤ 40%.2 x5 ≤ 0,8

Vậy ta có mô hình bài toán:

Tìm x = (x1, x2, x3, x4, x5) sao cho:

f(x) = 0,04x1 + 0,088x2 + 0,085x3 + 0,15x4 + 0,2x5 → Max

Với điều kiện ràng buộc:

PTITPTIT


45

: x4 ≤ 0,6

x1 + x2 + x4 + x5 – x3 ≥ 0

x2 + x3 ≥ 0,4

3x1 – x2 ≤ 0

x5 ≤ 0,8

jx 0, j = 1,5 .

2.1.3 Bài toán vận tải:

Hàng hóa được vận chuyển từ m kho đến n điểm tiêu thụ. Lượng hàng ở kho i là si ≥ 0 (tấn), i =

1, 2, ...., m và các điểm tiêu thụ j có nhu cầu dj ≥ 0 (tấn), j = 1, 2, ..., n. Chi phí vận chuyển một tấn

hàng từ kho i đến điểm tiêu thụ j là cij đồng. Giả sử tổng khối lượng hàng ở các kho và tổng nhu

cầu ở các điểm tiêu thụ là bằng nhau

m n

i ji 1 j 1

a b

Bài toán đặt ra là hãy lập một kế hoạch phân phối hàng để tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất

với điều kiện các kho phát hết hàng và các điểm tiêu thụ nhận đủ hàng.

Gọi lượng hàng vận chuyển từ kho i đến điểm tiêu thụ j là xij, thì kế hoạch vận chuyển, tức là

phương án theo định nghĩa chung là ma trận (xij) cấp m x n. Dạng toán học của bài toán là:

n ...., 2, 1, j m; ...., 2, 1, i 0, x

n ...., 2, 1, j ,b x

m ...., 2, 1, i ,a x

Min xc f(x)

ij

j

m

1iij

i

n

1jij

m

1i

n

1jijij

Mô hình này gọi là mô hình vận tải đóng. Nếu không có giả thiết m n

i ji 1 j 1

a b

thì mô hình

được gọi là mô hình vận tải mở.

2.1.4 Bài toán lập kế hoạch sử dụng phương pháp sản xuất khác nhau

Có n cách sản xuất khác nhau để sản xuất ra m mặt hàng, số lượng hàng loại I phải sản xuất tối

thiểu là bi. Nếu sử dụng cách sản xuất thứ j trong một đơn vị cường độ (có thể là đơn vị thời gian,

năng lượng tiêu hao, công suất,…) thì tiêu hao một chi phí là cj và thu được aij đơn vị hàng loại i.

Hãy lập kế hoạch sản xuất (đơn vị cường độ sử dụng cho mỗi cách sản xuất) sao cho đáp ứng

được nhu cầu về sản phẩm mỗi loại đồng thời tổng chi phí tạo ra chúng là nhỏ nhất.

Gọi xj là cường độ sử dụng cách sản xuất thứ j ( j = 1,n ) thì tổng chi phí khi sử dụng n cách sản

xuất là:

f(x) = n

j jj=1

c x

Với xj đơn vị cường độ sử dụng cách sản xuất thứ j ta được aijxj đơn vị hàng loại i. Khi đó tổng số

hàng loại i có được khi sử dụng n cách sản xuất trên là:

PTITPTIT


46

n

ij jj=1

a x

Theo yêu cầu đầu bài thì:

n

ij j ij=1

a x b (i = 1,m)

Hiển nhiên cường độ jx 0 (j = 1,n)

Vậy ta có mô hình bài toán:

Tìm x = (x1, x2, x3,………., xn) sao cho:

f(x) = n

j jj=1

c x → Min

Với điều kiện ràng buộc:

n

ij j ij=1

a x b (i = 1,m)

jx 0 (j = 1,n)

Trên đây là một số thí dụ đơn giản dùng để minh họa phương pháp mô hình hóa toán học các

vấn đề nảy sinh trong thực tiễn, trong sản xuất và quản lý, chưa đề cập tới mọi dạng bài toán có

thể gặp trong lĩnh vực hoạt động kinh tế hết sức đa dạng. Điều quan trọng ở đây là những thí dụ

trên giúp người học làm quen với cách phát biểu các vấn đề kinh tế bằng ngôn ngữ toán học.

Nếu ta loại bỏ nội dung kinh tế của chúng thì các bài toán trên có cùng một bản chất toán học là

tìm cực trị của một hàm tuyến tính với một hệ thống ràng buộc thể hiện bằng phương trình và bất

phương trình mà người ta gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính. Dưới đây ta xét những đặc điểm cơ

bản của bài toán quy hoạch tuyến tính thuần túy dưới dạng toán học, bỏ qua ý nghĩa kinh tế đối

với từng trường hợp cụ thể.

2.2 Mô hình bài toán qui hoạch tuyến tính.

Các thí dụ trên thuộc các lĩnh vực khác nhau nhưng được đưa về một lớp bài toán tối ưu đặc

biệt, có tên gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính.

2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát.

Bài toán này có dạng: Tìm các biến số x1, x2, ....., xn thỏa mãn điều kiện:

n

ij j i 1j 1

n

ij j i 1 1 2j 1

n

ij j i 1 2j 1

j 1 j 1 1 2

a x b ; i 1, 2,...,m

a x b ; i m 1,...,m m

a x b ; i m m 1,...,m

x 0, j 1, 2, ...., n ; x 0, j n 1, ...., n n n

và hàm số xc f(x)n

1jjj

đạt cực trị. Ở đây aij, bi, cj là các hằng số cho trước.

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

PTITPTIT


47

Trong bài toán trên x gọi là biến, hay phương án, f(x) gọi là hàm mục tiêu, mỗi hệ thức từ (2.1)

đến (2.4) gọi là một ràng buộc. Mỗi ràng buộc (2.1)-(2.3) gọi là ràng buộc chính (dạng đẳng thức

hay bất đẳng thức), mỗi ràng buộc (2.4) gọi là ràng buộc dấu.

Điểm x = (x1, x2, ....., xn)Rn thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán gọi là một điểm chấp nhận

được hay một phương án. Tập hợp tất cả các phương án, ký hiệu là D, gọi là miền ràng buộc hay

miền chấp nhận được. Một phương án làm cho hàm mục tiêu đạt cực trị thì gọi là phương án tối

ưu hay một lời giải của bài toán đã cho.

Bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi là bài toán có lời giải. Bài toán không có phương

án (miền ràng buộc D = Φ) hoặc có phương án nhưng không có phương án tối ưu, do hàm mục

tiêu giảm (tăng) vô hạn gọi là bài toán không có lời giải.

Chú ý: 1) Các ràng buộc chính của bài toán được sắp xếp theo thứ tự: trước hết là các ràng buộc

≤, rồi đến các ràng buộc ≥ và cuối cùng là các ràng buộc =.

2) m1 là số ràng buộc ≤, m2 là số ràng buộc ≥, m là tổng các ràng buộc chính, n là số biến của bài

toán, n1 là số ràng buộc xj ≥ 0, n2 là số ràng buộc xj ≤ 0 (có thể n1 = n2 = 0). Nếu không có các

ràng buộc ≤ thì m1 = 0, không có ràng buộc ≥ thì m2 = 0, không có ràng buộc = thì m = m1 + m2.

3) Với bài toán bất kỳ, bao giờ cũng có thể viết các ràng buộc chính ở dạng sao cho bi ≥ 0,

i = 1,2,...,m (nếu bi < 0 ta nhân hai vế của ràng buộc với -1, rồi đổi chiều dấu bất đẳng thức và sắp

xếp lại thứ tự các ràng buộc chính nếu cần).

2.2.2 Dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc.

Người ta thường xét bài toán quy hoạch tuyến tính ở hai đặc thù sau đây:

● Dạng chính tắc:

n

j jj 1

n

ij j ij 1

j

f(x) c x Min

a x b ; i 1, 2,...,m

x 0; j 1, 2, ...., n

(Ràng buộc chính chỉ là các đẳng thức và mọi biến đều không âm). Thí dụ mô hình bài toán vận

tải, bài toán pha cắt vật liệu.

● Dạng chuẩn hay chuẩn tắc:

n

j jj 1

n

ij j ij 1

j

f(x) c x Min

a x b ; i 1, 2,...,m

x 0; j 1, 2, ...., n

(Ràng buộc chính chỉ gồm các bất đẳng thức ≥ đối với bài toán Min hoặc ≤ đối với bài toán Max,

và mọi biến đều không âm). Thí dụ mô hình bài toán xác định khẩu phần ăn hay mô hình bài toán

lập kế hoạch sản xuất.

Để viết bài toán gọn hơn, ta dùng ký hiệu véc tơ và ma trận sau:

PTITPTIT


48

0

.

.

.

0

0

0 ;

x

.

.

.

x

x

x ;

c

.

.

.

c

c

c

b

.

.

.

b

b

b ;

a

.

.

.

a

a

A ;

.....a.......... a a

..............................

..............................

.....a.......... a a

.....a.......... a a

A

n

2

1

n

2

1

m

2

1

mj

2j

1j

j

mnm2m1

2n2221

1n1211

A là ma trận m x n gồm các hệ số ở vế trái ràng buộc chính, Aj véc tơ cột thứ j của ma trận A

tương ứng với biến xj, b là véc tơ hệ số vế phải của ràng buộc chính, c là véc tơ các hệ số ở hàm

mục tiêu, x là véc tơ các biến số, 0 là véc tơ không. Tất cả các véc tơ này đều là véc tơ cột.

Với ký hiệu trên, bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc được viết lại dưới dạng (với b ≥ 0):

0 x b, Ax :c.x f(x)maxhay

0 x b, Ax :c.x f(x)min

(<c. x> là tích vô hướng của hai véc tơ c và x).

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc có dạng (không đòi hỏi bi ≥ 0):

0 x b, Ax :c.x f(x)maxhay

0 x b, Ax :c.x f(x)min

2.2.3 Chuyển đổi dạng bài toán qui hoạch tuyến tính.

Mệnh đề:Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài toán quy hoạch tuyến tính dạng

chính tắc với trị số hàm mục tiêu của hai bài toán là như nhau.

Bằng cách thực hiện các phép biến đổi dưới đây, ta có thể chuyển bài toán quy họach tuyến tính

từ dạng này sang dạng khác. Vì vậy, ta chỉ cần chọn một dạng thuận tiện để nghiên cứu là đủ

(thường là dạng chính tắc) mà không làm mất tính tổng quát của các kết quả nghiên cứu.

a) Mỗi ràng buộc đẳng thức n

ij j ij=1

a x = b có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức;

n

ij j ij=1

a x b và n

ij j ij=1

a x b

b) Mỗi ràng buộc bất đẳng thức

i

n

jj bx

1ija hoặc

i

n

jj bx

1ija

có thể đưa về rạng buộc đẳng thức nhờ đưa thêm vào một biến mới, gọi là biến phụ (hay biến bù),

xn + i ≥ 0:

iin

n

jj bxx

1ija hoặc iin

n

jj bxx

1ija

PTITPTIT


49

c) Mỗi ràng buộc i

n

jj bx

1ija , có thể viết lại thành i

n

jj bx

1ija hoặc ngược lại.

d) Nếu biến xj không bị ràng buộc về dấu (biến tùy ý) thì ta có thể thay nó bởi hiệu của hai biến

không âm bằng cách đặt -jjj x- x x với 0 x0, x -

jj . Còn nếu xj < 0 thì bằng cách đặt biến mới yj =

-xj ta sẽ có yj ≥ 0.

e) Bài toán tìm cực đại: g Max có thể đưa về bài toán tìm cực tiểu: f = -g Min với cùng các

ràng buộc và ta có hệ thức:

D x :f(x)min- D x :g(x)max .

Thật vậy, nếu bài toán: f min có phương án tối ưu x* với giá trị fmin = f(x*) thì ta có fmin = f(x*)

= -g(x*) ≤ f(x) = -g(x), D x hay g(x*) ≥ g(x), D x , chứng tỏ x* là phương án tối ưu của bài

toán: g max và gmax = g(x*) = - f(x*) = -fmin

Thí dụ 2.1: Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính sau về dạng chính tắc và chuẩn tắc:

f(x) = 2x1 - x2 min

với điều kiện: x1 - 2x2 + x3 ≤ 2

2x1 - 2x2 - x3 ≥ 3

x1 + x2 + x3 = 4

x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

a) Dạng chính tắc: Bằng cách thay x1 = x4 - x5 với x4, x5 ≥ 0 và thêm hai biến phụ x6, x7 ≥ 0, ta đi

đến bài toán:

f(x) = - x2 + 2x4 - 2x5 min

với điều kiện: - 2x2 + x3 + x4 - x5 + x6 = 2

- 2x2 - x3 + 2x4 - 2x5 - x7 = 3

x2 + x3 + x4 - x5 = 4

xj ≥ 0, (j = 2, 3, 4, 5, 6, 7)

b) Dạng chuẩn tắc: Bằng cách thay x1 = x4 - x5 với x4, x5 ≥ 0, đổi dấu hai vế bất đẳng thức đầu và

thay đẳng thức cuối bằng hai bất đẳng thức ≥, ta đi đến bài toán:

f(x) = - x2 + 2x4 - 2x5 min

với điều kiện: 2x2 - x3 - x4 + x5 ≥ -2

- 2x2 - x3 + 2x4 - 2x5 ≥ 3

x2 + x3 + x4 - x5 ≥ 4

-x2 - x3 - x4 + x5 ≥ -4

xj ≥ 0, (j = 2, 3, 4, 5)

Thí dụ 2.2: Đưa bài toán sau về dạng chính tắc:

f(x) = -2x1 + x2 + 3x3 + 5x4 → min

x1 – 3x2 + 5x3 - x4 ≤ 16

- 2x1 - x2 - 2x3 + 2x4 ≥ -4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 9

x1, x2 ≥ 0; x3 ≤ 0

Các biến phụ sẽ được đánh số tiếp là x5, x6. Đặt ' ' '' ' ''3 3 4 4 4 4 4x = -x ; x = x - x ; x , x 0 ta được bài

toán chính tắc tương đương sau:

f(x) = -2x1 + x2 - 3'3x + 5 '

4x - 5 ''4x → min

PTITPTIT


50

x1 - 3x2 - 5'3x - '

4x + ''4x + x5 = 16

2x1 - x2 + 2 '3x + 2 '

4x - 2 ''4x - x6 = -4

4x1 + 3x2 - '3x + '

4x - ''4x = 9

x1, x2, '3x , '

4x , ''4x , x5, x6 ≥ 0

2.2.4 Phương pháp hình học giải qui hoạch tuyến tính 2 biến.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính với hai biến số:

max{f(x) = c1x1 + c2x2: x = (x1, x2) D } với

D = { x R2: a11x1 + a12x2 ≤ bi, i = 1, 2, ...., m; xj ≥ 0, j = 1, 2}}

Như ta đã biết, mỗi bất phương trình tuyến tính ai1x1 + ai2x2 ≤ bi (hoặc ai1x1 + ai2x2 ≥ bi) và mỗi

ràng buộc về dấu xj ≥ 0 xác định trong R2 một nửa mặt phẳng (nửa không gian đóng) giới hạn bởi

đường thẳng {x R2: ai1x1 + ai2x2 = bi }. Miền ràng buộc D là giao của m + 2 nửa mặt phẳng và là

một đa giác lồi trong R2. Phương trình c1x1 + c2x2 = α khi α thay đổi sẽ xác định trên mặt phẳng

các đường thẳng song song với nhau mà ta sẽ gọi là các đường mức ( với giá trị mức α).

Theo ngôn ngữ hình học, bài toán trở thành: Trong số các đường mức cắt D hãy tìm đường mức

với giá trị mức α lớn nhất.

Nếu dịch chuyển song song các đường mức theo hướng véc tơ pháp tuyến c = (c1, c2) thì giá trị

mức sẽ tăng, còn nếu dịch chuyển theo hướng ngược lại thì giá trị mức sẽ giảm. Vì vậy, để giải bài

toán đặt ra ta tiến hành như sau:

Bắt đầu từ một đường mức cắt D ta dịch chuyển song song nó theo hướng véc tơ pháp tuyến c=

(c1, c2) cho đến khi việc dịch chuyển tiếp theo làm cho đường mức không cắt D nữa thì dừng.

Điểm của D (có thể nhiều) nằm trên đường mức cuối cùng này sẽ là một lời giải cần tìm của bài

toán, còn giá trị mức đó chính là giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu f(x).

Thí dụ 2.3: f(x) = 3x1 + 2x2 max

x1 + 2x2 ≤ 6 (1)

2x1 + x2 ≤ 8 (2)

-x1 + x2 ≤ 1 (3)

x2 ≤ 2 (4)

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Giải:

4

Hình.2.1

2

8

2 6 8

4

6

x1

x2

D

A

B C

E

PTITPTIT


51

Miền chấp nhận được biểu diễn ở H.2.1. Đường mức 3x1 + 2x2 = α. Khi cho α tăng dần ta thấy

điểm cuối cùng mà đường mức α còn cắt miền chấp nhận là định D. D là giao điểm của hai đường

(1) và (2):

x1 + 2x2 = 6

2x1 + x2 = 8

Giải hệ này ta được x1 = 3

10 , x2 =

3

4 chính là nghiệm chấp nhận được tối ưu. Giá trị mục tiêu tối

ưu là fmax = 3

38

Qua bài toán cụ thể trên ta có nhận xét:

- Miền chấp nhận được của quy hoạch tuyến tính là tập lồi đa diện. Nếu nó giới nội (tức là đa diện

lồi) thì quy hoạch tuyến tính có nghiệm tối ưu là một đỉnh. Trường hợp nghiệm tối ưu không duy

nhất nhưng miền chấp nhận được

(thậm chí có thể không giới nội) có đỉnh thì

vẫn luôn có nghiệm tối ưu là đỉnh (H.2.2)

- Trường hợp không có nghiệm tối ưu thì hàm

mục tiêu không giới nội trên miền chấp nhận

được (H.2.3).

- Trường hợp miền chấp nhận được không có

đỉnh được minh họa ở H.2.4. Bài toán quy hoạch

tuyến tính có thể không có nghiệm tối ưu hoặc có

nhưng không có nghiệm tối ưu là đỉnh.

Những nhận xét hình học trên đây đúng cho cả

trường hợp nhiều biến (hơn 2) và cho những gợi

ý quan trọng để xây dựng phương pháp giải quy

hoạch tuyến tính ở dạng các thuật toán, bằng

ngôn ngữ đại số để có thể lập trình cho máy tính.

Về nguyên tắc, ta có thể giải quy hoạch tuyến tính

hai biến với số ràng buộc bất kỳ, bằng hình học.

2.3 Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính

2.3.1 Tính chất chung:

Sau đây là một số tính chất đáng chú ý của bài toán quy hoạch tuyến tính (không chứng minh).

Định lý 2.1. Tập hợp D các phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính (dạng bất kỳ) là một tập

hợp lồi. Hơn nữa là một tập hợp lồi đa diện (khúc lồi).

Định lý 2.2: (Về sự tồn tại lời giải của bài toán quy hoạch tuyến tính).

Nếu một quy hoạch tuyến tính có ít nhất một phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới đối với bài

toán min (hoặc chặn trên đối với bài toán max) trong miền ràng buộc thì bài toán chắc chắn có

phương án tối ưu.

Định lý 2.3: Nếu x0 là một phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính (dạng bất kỳ) và

nếu x1, x2 (x1 ≠ x2) là hai phương án thỏa mãn x0 = λx1 + (1 - λ)x2, 0 < λ < 1, thì x1 và x2 cũng là

các phương án tối ưu.

2.3.2 Phương án cực biên.

x2

x1

P

f(x)=α

H.2.2

x2

x1

P

f(x)

H.2.3 x2

x1 H.2.4

P PTITPTIT


52

Một phương án x D mà đồng thời là đỉnh của D gọi là một phương án cực biên, nghĩa là x

không thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của bất cứ hai phương án bất kỳ nào khác của D.

Nói cách khác, nếu x = λx1 + (1 - λ)x2, 0 < λ < 1 và x1, x2 D thì phải có x x1 x2.

Sau đây ta sẽ tập trung nghiên cứu bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc với giả thiết m ≤

n và ma trận A có hạng bằng m. Định lý sau cho một tính chất đặc trưng của phương án cực biên.

Định lý 2.4: Để một phương án x0 = 0n

02

01 x,.......,x,x của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng

chính tắc là phương án cực biên, thì điều kiện cần và đủ là các véc tơ cột Aj của ma trận A ứng với

các thành phần xj > 0 là độc lập tuyến tính.

Thí dụ 2.4: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc với các điều kiện như sau:

x1 + x2 + x3 = 4

x1 - x2 = 0

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3).

Hãy cho biết các véc tơ dưới đây có phải là phương án cực biên của bài toán hay không?

x1 = (2, 2, 0), x2 = (0, 0, 4), x3 = (1, 1, 2)

Giải: Kiểm tra trực tiếp ta thấy x1, x2, x3 thỏa mãn các ràng buộc nên chúng là phương án của bài

toán. Mặt khác, vì:

1

1A = ,

1

2

1A ,

1

3

1A ,

0

nên ta thấy hệ A1, A2, cũng như hệ gồm một véc tơ A3 ≠ 0 là độc lập tuyến tính. Do đó x1, x2 là

các phương án cực biên của bài toán. Còn hệ A1, A2, A3 phụ thuộc tuyến tính (do A1 + A2 - 2A3 =

0) nên x3 không phải là phương án cực biên của bài toán.

Thí dụ 2.5: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc với các điều kiện sau:

3x1 + x2 + 2x3 = 5

2x1 + x2 + 3x3 = 5

2x1 + x3 + x4 = 6

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4)

Xét xem véc tơ x = (1, 0, 1, 3) có phải là phương án cực biên của bài toán hay không?

Giải: Kiểm tra trực tiếp ta thấy véc tơ x thỏa mãn mọi ràng buộc, vậy x là phương án của bài toán.

Mặt khác, hệ véc tơ cột:

1

3

A 2 ,

2

3

2

A 3 ,

1

4

0

A 0 ,

1

độc lập tuyến tính (vì định thức 05,, 431 AAA ) nên x là một phương án cực biên của bài toán.

Từ định lý nêu trên ta dễ dàng suy ra các hệ quả sau:

Hệ quả 2.1: Số phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là hữu hạn.

Hệ quả 2.2: Số thành phần dương trong mỗi phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến

tính dạng chính tắc tối đa bằng m (m là số ràng buộc chính).

Người ta phân ra hai loại phương án cực biên: Nếu phương án cực biên có thành phần dương

đúng bằng m, nó được gọi là phương án cực biên không suy biến. Trái lại, nó được gọi là phương

án cực biên suy biến.

Ngoài định lý trên để tìm phương án cực biên ta có thể dựa vào định lý sau đây:

PTITPTIT


53

Định lý 2.5: Một phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính (dạng bất kỳ) thỏa chặt n ràng

buộc độc lập tuyến tính thì gọi là phương án cực biên.

Một phương án cực biên thỏa chặt đúng n ràng buộc độc lập tuyến tính gọi là phương án cực biên

không suy biến.

Một phương án cực biên thỏa chặt hơn n ràng buộc gọi là phương án cực biên suy biến.

Thí dụ 2.6: Tìm các phương án cực biên không suy biến của bài toán quy hoạch tuyến tính với

các ràng buộc sau:

3x1 - 2x2 + 3x3 = 6

- x1 + 2x2 - x3 = 4

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3)

Giải: Đây là bài toán dạng chính tắc có n =3, m = 2. Một phương án cực biên có nhiều nhất m = 2

thành phần dương, tức là có ít nhất n - m thành phần bằng 0. Vì thế, lần lượt cho x1, x2, x3 bằng 0

ta có:

- Với x1 = 0, hệ phương trình có nghiệm: x = (0, 9/2, 5).

- Với x2 = 0, Hệ phương trình trên vô nghiệm.

- Với x3 = 0, hệ phương trình cho ta nghiệm x = (5, 9/2, 0).

Kiểm tra trực tiếp thấy hệ hai véc tơ A2 = (-2, 2)T, A3 = (3, -1)T và A1 = (3, -1)T, A2 = (2, -2)T là

độc lập tuyến tính, nên bài toán có hai phương án cực biên không suy biến.

Khái niệm thỏa chặt và thỏa lỏng:

- Nếu đối với một phương án x mà ràng buộc i thỏa mãn dưới dạng dấu bằng (=) thì ràng buộc i

gọi là thỏa chặt đối với phương án x hay phương án x thỏa chặt ràng buộc i.

- Phương án x mà ràng buộc i thỏa mãn dưới dạng dấu bất đẳng thức thực sự (<,>) thì ràng buộc i

thỏa lỏng đối với phương án x hay phương án x thỏa lỏng ràng buộc i.

- Đối với một ràng buộc cụ thể và một phương án cụ thể thì ràng buộc ấy hoặc chặt hoặc lỏng.

- Đối với ràng buốc dấu nếu xj ≠ 0 thì gọi là thỏa lỏng, còn nếu xj = 0 gọi là thỏa chặt.

Thí dụ 2.7: Quay lại với thí dụ 2.5

Thay nghiệm x vào các ràng buộc chính ta nhận thấy phương án x thỏa chặt cả 3 ràng buộc, biến

x2 = 0, vậy phương án x thỏa chặt đúng n= 4. Xét hệ véc tơ tương ứng với các ràng buộc thỏa chặt

ta có:

3 1 2 0

2 1 3 0

2 0 1 1

0 1 0 0

Giá trị định thức bằng 5 ≠ 0. Vậy x là phương án cực biên không suy biến cả bài toán đã cho.

Định lý 2.6: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc có ít nhất một phương án thì bài toán

cũng có phương án cực biên, nghĩa là miền ràng buộc D có đỉnh.

Định lý 2.7: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có phương án tối ưu thì cũng có

phương án cực biên tối ưu.

2.4 Phương pháp đơn hình.

2.4.1 Đường lối chung

Phương pháp đơn hình giải quy hoạch tuyến tính (do G.B. Dantzig đề xuất năm 1947) dựa trên

hai tính chất quan trọng sau đây của bài toán quy hoạch tuyến tính:

PTITPTIT


54

a) Nếu quy hoạch tuyến tính chính tắc có phương án tối ưu thì cũng có phương án cực biên tối ưu,

nghĩa là có ít nhất một đỉnh của miền ràng buộc là lời giải (Định lý 2.6).

b) Mỗi điểm cực tiểu địa phương của hàm tuyến tính (cũng là hàm lồi) trên một tập hợp lồi là một

điểm cực tiểu tuyệt đối.

Tính chất a) cho phép tìm phương án tối ưu trong số các phương án cực biên của bài toán (số này

là hữu hạn). Tính chất b) cho phép khi kiểm tra tối ưu đối với một phương án cực biên (đỉnh) chỉ

cần so sánh nó với các đỉnh liền kề là đủ.

Vì thế, phương pháp đơn hình bắt đầu từ phương án cực biên tùy ý của bài toán mà nó là đỉnh

của miền ràng buộc. Tiếp đó, kiểm tra xem phương án hiện có đã phải là phương án tối ưu hay

chưa, bằng cách so sánh giá trị hàm mục tiêu tại đỉnh đó với giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh liền

kề với nó. Nếu đúng thì dừng quá trình tính toán. Trái lại, phương pháp sẽ tìm một phương án cực

biên mới tốt hơn (với giá trị hàm mục tiêu nhỏ hơn đối với bài toán min) mà nó là một đỉnh liền kề

với đỉnh trước đó. Quá trình tiến hành cho tới khi tìm được phương án tối ưu hoặc phát hiện bài

toán đã cho không có lời giải.

Như vậy, phương pháp đơn hình tiến hành khảo sát các đỉnh của miền ràng buộc để tìm ra đỉnh

tối ưu. Mặc dù số đỉnh của bài toán nói chung là rất lớn, nhưng trên thực tế phương pháp này chỉ

đòi hỏi kiểm tra một phần tương đối nhỏ các đỉnh. Điều đó thể hiện hiệu quả thực tế của phương

pháp đơn hình. Ta có lược đồ thuật toán như sau:

2.4.2 Cơ sở của phương pháp.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

f(x) = <c. x> Min (2.5)

Ax = b (2.6)

x ≥ 0 (2.7)

với A là ma trận m x n, bRm, c và xRn. Cũng như trước đây, ta giả thiết.

- Số ràng buốc chính ít hơn số biến của bài toán: m ≤ n.

- Ma trận A có hạng bằng m.

Bài toán quy hoạch tuyến tính được gọi là không suy biến nếu tất cả các phương án cực biện của

nó đều không suy biến, tức là đều có số thành phần dương bằng m. Bài toán gọi là suy biến nếu có

dù chỉ một phương án cực biến suy biến.

Bây giờ giả thiết thêm rằng:

- Bài toán (2.5)- (2.7) không suy biến.

- Biết trước một phương án cực biên x0 của bài toán.

Ở phần sau sẽ nêu cách giải quyết những bài toán không thỏa mãn các giả thiết này.

Không giảm tổng quát, giả sử phương án cực biên x0 có dạng:

x0 = 0n

02

01 x,.......,x,x với 0

jx > 0 (j = 1, 2, ..., m)

Ký hiệu: J0 = {j: 0jx > 0} = {1, 2, ..., m}

Nghiệm tối ưu x0 → x1............. → xk Bài toán khôngcó lời giải fmin (hoặc fmax) f(x0) →f(x1)............ →f(xk) -∞ (+∞)

PTITPTIT


55

Các véc tơ {Aj, jJ0} là độc lập tuyến tính (Định lý 2.4) và 0J = m (do x0 không suy biến). Hệ

véc tơ {Aj, jJ0} gọi là cơ sở của phương án x0. Để cho tiện, đôi khi người ta cũng gọi j0 (với các

tính chất như trên) là cơ sở của x0. Các véc tơ Aj và các biến xj với jJ0 được gọi là các véc tơ cơ

sở và biến cơ sở tương ứng với x0. Còn các véc tơ Aj và các biến xj với jJ0 gọi là các véc tơ và

biến phi cơ sở.

Ký hiệu B là ma trận lập nên bởi các véc tơ cơ sở đang xét:

B = {A1, A2,...., Am}. Khi đó B có hạng bằng m và có tồn tại ma trận nghịch đảo B-1.

Mỗi véc tơ cột Ak (k =1, 2, ..., n) của A được biểu diễn qua các véc tơ cơ sở Aj, jJ0:

0

k jk jjÎJ

A = z A = z1kA1 + z2kA2 +.............+ zmkAm, k = 1, 2,......., n (2.8)

jkZ là hệ số phân tích của véc tơ Ak qua cơ sở Aj: 0j J

Ký hiệu các véc tơ cột Zk = (z1k, z2k,......., zmk)T, ),.......,,( 00

201

0mB xxxX , véc tơ hàng

CB = (c1, c2,......, cm). Hệ thức (2.8) được viết lại thành Ak = BZk. Từ đó Zk = B-1Ak.

Mặt khác, ta có: Ax0 = B 0BX = b 0

BX = B-1b.

Giá trị hàm mục tiêu tại x0 bằng:

f0 = c, x0> = CB0BX = c1

0022

011 ....... mmxcxcxc (2.9)

Với mỗi k = 1, 2,..., n ta tính số sau đây, gọi là ước lượng của biến xk:

∆k = CBZk - ck = c1z1k + c2z2k +..............+ cmzmk - ck, k = 1, 2, ..., n (2.10)

Định lý 2.8: (Dấu hiệu tối ưu). Nếu với phương án cực biên x0 của bài toán quy hoạch tuyến tính

dạng chính tắc với fmin ta có các hệ thức:

∆k ≤ 0, k = 1, 2, ....., n (2.11)

thì x0 là phương án tối ưu.

Chú ý:

● Nếu Ak là véc tơ cơ sở (k J0) thì trong các hệ số khai triển của Ak theo các véc tơ cơ sở ở (2.8)

chỉ có duy nhất một hệ số zkk = 1, tất cả các hệ số khác đều bằng 0, nghĩa là Zk = ek (véc tơ đơn vị

thứ k trong Rm). Do đó ∆k = CBZk - ck = ck - ck = 0, kJ0.

Vì thế, trên thực tế, để kiểm tra tối ưu đối với phương án cực biên hiện có ta chỉ cần kiểm tra

điều kiện ∆k ≤ 0, kJ0.

● Nếu bài toán không suy biến thì (2.11) cũng là điều kiện cần của tối ưu.

Định lý 2.9: (Dấu hiệu bài toán không có lời giải). Nếu đối với phương án cực biên x0 tồn tại

kJ0 sao cho ∆k ≥ 0 và zjk ≤ 0, jJ0 thì bài toán đã cho không có phương án tối ưu và hàm mục

tiêu giảm vô hạn trong miền ràng buộc của bài toán.

Định lý 2.10: (Cải tiến phương án hiện có). Nếu tồn tại chỉ số sJ0 sao cho ∆s ≥ 0 và zjs > 0 với ít

nhất một jJ0 thì ta tìm được phương án cực biên mới x1 tốt hơn phương án x0, nghĩa là:

f(x1) < f(x0).

Nhận xét: Mỗi lần cải tiến phương án ta tìm một véc tơ phi cơ sở để đưa vào cơ sở mới (ký hiệu

là xs) và lấy ra từ cơ sở cũ một véc tơ (ký hiệu xr). Biến xs (biến phi cơ sở đối với x0) trở thành

biến cơ sở đối với x1 và biến xr (biến cơ sở đối với x0) trở thành phi cơ sở đối với x1.

Bổ đề: Nếu x0 là phương án cực biên của bài toán (2.5) - (2.7) với cơ sở J0 và x = (x1, x2,....,xn) là

một phương án bất kỳ của bài toán trên thì ta có

PTITPTIT


56

xj = 0Jk

jkk0j J j ,zx - x

0

(*)

Trong đó jkZ được xác định bằng công thức (2.8)

Đồng thời trị số của hàm mục tiêu tương ứng với các phương án x0 và x sẽ có mối liên hệ:

f(x) = f(x0) -

0Jk

kk x (**)

Ngược lại, nếu x = (x1, x2,....,xn) ≥ 0 và thỏa mãn điều kiện (*) thì x sẽ là phương án của bài toán

và khi này đối với x0 và x ta vẫn có biểu thức (**). Từ nhận xét này ta có thể chọn tìm phương án

x đáp ứng những yêu cầu đặt trước (thí dụ: phương án x có trị số f(x) lớn hơn hoặc nhỏ hơn so với

f(x0), x cũng là phương án cực biên,...). Cách lựa chọn này gọi là sự di chuyển từ phương án cực

biên x0 tới phương án x. Xét về mặt trực quan sự di chuyển này chính là việc ta xuất phát từ x0 di

chuyển theo phương Z = (z1, z2,...., zn) với bước di chuyển θ thích hợp. Ta có hình vẽ minh họa sự

di chuyển:

Để có thể phân tích sâu hơn mối quan hệ giữa x0 và x ta hãy xác định một phương Z đặc biệt.

Ứng với mỗi biến phi cơ sở xk ta định nghĩa véc tơ Zk - và gọi là phương Zk - như sau:

1) z k, (j 1

k) j ,J (j 0

)J (j x-

zkk

0

0jk

kj

Sự di chuyển theo phương Zk giúp ta đơn giản hóa rất nhiều về mặt tính toán. Nếu xuất phát từ x0

di chuyển theo phương Zk với bước di chuyển θ, tức là xét điểm có dạng:

x(θ) = x0 + θZk, θ ≥ 0.

Khi đó để cho x(θ) là phương án chỉ cần x(θ) ≥ 0.

Với jJ0, xj(θ) = jk0j x - x 0, còn với jJ0, j ≠ k thì xj(θ) = 0, riêng xk(θ) = θ ≥ 0. Như vậy, để

x(θ) là phương án thì chỉ cần: 0j jkx - θx 0 (jJ0)

+ Nếu xjk ≤ 0 (jJ0) thì bất đăng thức trên thỏa mãn với mọi trị số θ ≥ 0, nghĩa là x(θ) là phương

án θ ≥ 0. Ta gọi Zk là phương vô hạn.

+ Nếu xjk > 0 thì từ các bất đẳng thức jk0j x - x 0 ứng với xjk > o, suy ra:

θ ≤ min{ jk0j /xx }

lấy theo những xjk > 0, gọi min của những tỷ số này là θ0. Như vậy x(θ) là phương án với điều

kiện: 0 ≤ θ ≤ θ0. Trường hợp này Zk gọi là phương hữu hạn, θ0 là bước di chuyển lớn nhất theo

phương này và x(θ0) sẽ là phương án cực biên. Đồng thời ta cũng có:

f(x(θ)) = f(x0) - θ∆k

x0 x(θ)

Z

PTITPTIT


57

Nếu ∆k > 0, suy ra f(x(θ)) < f(x0), thì phương Zk gọi là phương giảm (vì di chuyển theo phương

này trị số hàm mục tiêu sẽ giảm). Tương tự nếu ∆k < 0, Zk gọi là phương tăng, nếu ∆k = 0, Zk là

phương không đổi.

Chú ý: Với giả thiết không suy biến thì θ chỉ đạt tại một chỉ số duy nhất, vì nếu chẳng hạn θ đạt tại

2 chỉ số r và t, khi đó

0

jk

0 00j tr

jÎJjs rs tsZ >0

1 0r r rs

1 0t t ts

x xxθ = Min ( = = )

z z z

x =x - θz = 0

x =x - θz = 0

Phương án cực biên x(θ) chỉ có m – 1 thành phần dương với cơ sở J1 → phương án x(θ) là

phương án cực biên suy biến. Điều này trái với giả thiết của bài toán không suy biến.

Vậy θ chỉ đạt tại một chỉ số duy nhất.

Khi bài toán suy biến thì θ = 0, sau khi cải tiến phương án ta thu được một cơ sở mới cùng

phương án cực biên x1 = x(θ) = x0 (Bước di chuyển bằng 0).

Trong trường hợp bài toán f(x) → max thì dấu hiệu tối ưu là ∆k ≥ 0 ( 0k J ) và do đó dấu hiệu

cải tiến phương án là mỗi ∆k < 0 ( 0k J ) đều có tương ứng ít nhất một jk 0z > 0 (j J ) , ∆s =

min∆k < 0

2.4.3 Thuật toán đơn hình.

a. Thuật toán

Dựa trên cơ sở lý thuyết vừa trình bày, có có thuật tóan sau để giải bài toán quy hoạch tuyến tính

dạng chính tắc (2.5)-(2.7), gọi là thuật toán đơn hình.

Bước 1: Lập bảng đơn hình ứng với phương án x0. Tìm một phương án cực biên ban đầu x0 với

cơ sở J0 và {Aj: jJ0} gồm m véc tơ cột độc lập tuyến tính của ma trận A.

Với mối kJ0 xác định các hệ số khai triển zik theo (2.8), tính giá trị mục tiêu theo (2.9) và tính

ước lượng của biến xk theo (2.10).

Bước 2: (Kiểm tra tối ưu). Nếu các ∆k ≤ 0, kJ0 thì phương án x0 hiện có là phương án tối ưu

(Định lý 2.8). Dừng thuật toán. Trái lại, chuyển sang bước 3.

Bước 3: (Kiểm tra bài toán không có lời giải). Nếu có 1 ≤ k ≤ n sao cho ∆k > 0 và zik ≤ 0, i = 1,

2, ...., m, thì bài toán đã cho không có phương án tối ưu và hàm múc tiêu không bị chặn dưới trong

miền ràng buộc của bài toán (Định lý 2.11). Thuật toán dừng. Trái lại chuyển sang bước 4.

Bước 4: (Tìm véc tơ xs đưa vào cơ sở mới). Với mỗi k (1 ≤ k ≤ n) mà ∆k > 0 đều tồn tai i (i = 1, 2,

..., m) với zik > 0. Chọn s thỏa mãn điều kiện : ∆s = max{∆k > 0: zik > 0, k ≥ 1}.

Đứa véc tơ As vào cơ sở mới.

Bước 5: (Tìm véc tơ xr đưa ra khỏi cơ sở). Tính giá trị θ0 theo hệ thức sau:

i0 r00 í

is rs

z zθ min :z >0

z z

(2.12)

Giả sử tên của biến cơ sở thứ r là xr. Đưa véc tơ xr ra khỏi cớ sở.

Bước 6: (Xây dựng phương án cực biên mới). Lập phương án mới x1 theo hệ thức sau:

PTITPTIT


58

00 0

10

0

,

0, ,

,

j js

j

x z j J

x j J j s

j s

(2.13)

với cơ sở mới là J1 = (J0\{xr}) xs. Tính các hệ số khai triển của bảng đơn hình mới, tính ước

lượng ∆k của phương án x1. Trở lại thực hiện bước 2 và tiếp tục thuật toán cho tới khi nhận được

phương án tối ưu hoặc phát hiện bài toán không có lời giải thì Stop.

Với giả thiết bài toán không suy biến thì thủ tục giải nêu trên phải dừng sau một số hữu hạn bước

lặp, bởi vì mỗi lần thực hiện bước 6 ta nhận được phương án cực biên mới tốt hơn phương án cực

biên trước đó và số phương án cực biên của bài toán là hữu hạn.

Để tránh tính toán lại các hệ số zik mỗi khi đổi từ cơ sở cũ sang cơ sở mới, ta có thể sử dụng các

công thức sau đây:

ik rk rs í'

ik

rk rs

z - (z /z )z , i rz

z /z ,i = r

(2.14)

b. Cách lập bảng đơn hình ban đầu và các bảng tiếp theo

Thuật toán giải nêu trên được mô tả lại dưới dạng các bảng (mỗi bảng ứng với một phương án

cực biên), gọi là bảng đơn hình và các quy tắc biến đổi từ bảng này sang bảng khác cho đến khi

nhận được phương án tối ưu hoặc phát hiện bài toán không có lời giải.

Mỗi bảng gồm n + 3 cột: cột hệ số CB (ghi hệ số mục tiêu của các biến cơ sở), cột biến cơ sở (ghi

m biến cơ sở đối với phương án đang xét) và cột phương án (ghi giá trị các biến cơ sở). Tiếp theo

là n cột ứng với n biến của bài toán x1, x2,..., xn, phía dưới tên biến ghi hệ số mục tiêu tương ứng

của nó. Trong các cột xk ghi các hệ số khai triển của véc tơ Ak theo các véc tơ cơ sở đang xét (véc

tơ Zk). Ngoài dòng tiêu đề đã nêu, mỗi bảng có m + 1 dòng, m dòng đầu tương ứng với m ràng

buộc chính, dòng cuối cùng gọi là dòng mục tiêu, lần lượt ghi các ước lượng ∆k của biến xk, k =1,

2, ..., n.

Bảng 2.1

Cj Cơ sở

Aj

P/A C1 C2 ……. Cr…….Cm Cm+1……… Cs…………Cn

A1 A2……..Ar……..Am Am+1………As…………An

C1

C2

…

…

Cr

…

…

.

C

m

A1

A2

…

…

Ar

…

….

Am

b1

b2

…..

…..

br

…..

……

bm

1 0 ……...0……… 0 zm+1………zis………… .z1n

0 1………0……….0 z2,m+1……..z2s………….z2n

………………………………………………………..

………………………………………………………..

0 0………1………0 zr,m+1………zrs………….zrn

………………………………………………………..

………………………………………………………..

0 0………0………1 zm,m+1………zms…………zmn

Bảng f(x) ∆1 ∆2 ∆r ∆m ∆m+1 ∆s ∆n

Để xây dựng bảng đơn hình kế tiếp ta lần lượt thực hiện các công việc như sau:

PTITPTIT


59

● Tìm cột xoay: Nếu dòng mục tiêu không có phần tử dương ở các cột k = 1, 2, ..., n thì phương

án hiện có là tối ưu. Trái lại, chọn cột xs với ∆s = max{∆k >0} làm cột xoay (Đưa biến xs vào cơ sở

mới). ∆s thường được khoanh tròn.

● Tìm dòng xoay: Nếu cột xoay không có phần tử nào dương thì hàm mục tiêu sẽ giảm vô hạn và

bài toán không có phương án tối ưu.

Trái lại, Chia các phần tử trong cột phương án cho các phần tử tương ứng cùng dòng trên cột

xoay. Dòng ứng với tỉ số nhỏ nhất được chọn làm dòng xoay (nếu có nhiều tỉ số nhỏ nhất bằng

nhau thì chọn tùy ý). Phần tử giao giữa dòng xoay và cột xoay gọi là phần tử xoay, phần tử này

luôn luôn dương và thường được khoanh vuông. Cụ thể, dòng xoay là dòng r thỏa mãn (2.12).

Biến cơ sở ở dòng này bị loại khỏi cơ sở cũ.

● Biến đổi bảng đơn hình:

- Đổi cột biến cơ sở: Biến cơ sở mới là xs thay cho biến cơ sở cũ xr ở dòng r.

- Đổi hệ số ở cột CB: Hệ số mục tiêu cs thay cho hệ số cr ở dòng r.

- Xác lập các véc tơ đơn vị: Ghi số 1 vào ô có cùng tên biến trên dòng và cột của nó, ghi số 0 vào

các ô còn lại của cột vừa ghi hay nói cách khác, nếu biến xk là biến cơ sở thì véc tơ cột tương ứng

là véc tơ đơn vị.

- Biến đổi Biến đổi dòng xoay theo (2.14) với i = r:

Dòng chính mới = Các phần trên dòng xoay/ phần tử xoay (tính trên bảng đơn hình cũ).

- Biến đổi các dòng khác theo quy tắc hình chữ nhật (công thức 2.14 với i ≠ r):

Phần tử mới = phần tử ở dòng cũ tương ứng - phần tử tương ứng cùng dòng trên cột xoay nhân

với phần tử nằm trên dòng chính mới tương ứng với véc tơ cột đang xét.

Nếu trong bảng đơn hình mới vẫn đang còn ∆k >0, ta tiếp tục biến đổi bảng cho đến khi nhận

được bảng mà mọi ∆k ≤ 0 hoặc phát hiện bài toán không có lời giải. Sau một số hữu hạn lần biên

đổi bảng ta sẽ dừng ở một trong hai tình huống trên.

Thí dụ 2.7: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc sau:

f(x) = x1 - x2 - 2x4 + 2x5 - 3x6 Min

với các điều kiện: x1 + x4 + x5 - x6 = 2

x2 + x4 + x6 = 12

x3 + 2x4 + 4x5 + 3x6 = 9

xj ≥ 0 (j = 6,1 )

Giải: Cho x4 = x5 = x6 = 0 ta có phương án cực biên ban đầu x0 = (2, 12, 9, 0, 0, 0) với giá trị mục

tiêu f(x0) = -10. Cơ sở của x0 là J0 = {1, 2, 3}, các biến cơ sở là x1, x2, x3. Các biến còn lại là biến

phi cơ sở. Các véc tơ cơ sở A1, A2, A3 là các véc tơ đơn vị, nên A4, A5, A6 là các véc tơ hệ số khai

triển của nó theo các véc tơ cơ sở.

Cột ≠ cột xoay

Dòng chính mới = d

c

a' = a - bd

c

Cột xoay

Dòng ≠ dòng xoay

Dòng xoay Phần tử xoay

a b

c d>0 PTITPTIT


60

Bảng đơn hình có dạng sau:

Bảng 2.2

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6

1 -1 0 -2 2 -3

1 x1 2 1 0 0 1 1 -1

-1 x2 12 0 1 0 1 0 1

0 x3 9 0 0 1 2 4 3

Bảng 1 -10 0 0 0 2 -1 1

Trong dòng mục tiêu còn phần tử dương ở cột A4 và A6 nên phương án x0 chưa tối ưu. Đưa vào

cơ sở biến x4 (ứng với ∆4 = 2 lớn nhất), biến loại khỏi cơ sở cũ là x1 (ứng với tỷ số nhỏ nhất θ0 =

min{2/1, 12/1, 9/2)} = 2). Phần tử xoay là z14 = 1. Biến đổi bảng 1 theo quy tắc đã nêu ta nhận

được bảng 2.

Bảng 2.3

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6

1 -1 0 -2 2 -3

-2 x4 2 1 0 0 1 1 -1

-1 x2 10 -1 1 0 0 -1 2

0 x3 5 -2 0 1 0 2 5

Bảng 2 -14 -2 0 0 0 -3 3

Dòng cuối của bảng này có phần tử dương ở cột A6 nên phương án ở bảng 2 chưa tối ưu. Biến đưa

vào cơ sở mới là x6, biến loại khỏi cơ sở cũ là x5 (ứng với tỉ số nhỏ nhất θ1 = {10/2,5/5} = 1). Phần

tử xoay là z36 = 5. Biến đổi bảng 2 ta nhận được bảng 3. Trong bảng này mọi ∆k ≤ 0, nên phương

án x* = (0, 8, 0, 3, 0, 1) là tối ưu với f(x*) = -17

Bảng 2.4

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6

1 -1 0 -2 2 -3

-2 x4 3 3/5 0 1/5 1 7/5 0

-1 x2 8 -1/5 1 -2/5 0 -9/5 0

-3 x6 1 -2/5 0 1/5 0 2/5 1

Bảng 2 -17 -4/5 0 -3/5 0 -21/5 0

Thí dụ 2.8: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc sau:

f(x) = x2 - 3x3 + 2x5 Min

với điều kiện : x1 + x2 - x3 + x5 = 7

-4x2 + 4x3 + x4 = 12

-5x2 + 3x3 + x5 + x6 = 10

xj ≥ 0 (j = 6,1 )

Giải: Bài toán có ngay phương án cực biên xuất phát x0 = (7, 0, 0, 12, 0, 10) với cơ sở là các véc

tơ đơn vị A1, A4 và A6, tức là J0 = {1, 4, 6}. Lập bảng đơn hình.

Bảng 2.5

CB Cơ sở

J

Phương án A1 A2 A3 A4 A5 A6

0 1 -3 0 2 0

0 x1 7 1 1 -1 0 1 0

PTITPTIT


61

0 x4 12 0 -4 4 1 0 0

0 x6 10 0 -5 3 0 1 1

Bảng 1 0 0 -1 3 0 -2 0

CB Cơ sở

J

Phương án A1 A2 A3 A4 A5 A6

0 1 -3 0 2 0

0 x1 10 1 -2 0 1/4 1 0

-3 x3 3 0 -1 1 1/4 0 0

0 x6 1 0 -2 0 -3/4 1 1

Bảng 2 -9 0 2 0 -3/4 -2 0

Ở bảng 1 có ∆3 = 3 > 0 (cột A3 là cột xoay) nên đưa biến x3 vào cơ sở mới và loại x4 khỏi cơ sở

(dòng x4 là dòng xoay). Trong bảng 2 có ∆2 = 2 >0 (∆2 là cột xoay), nhưng mọi phần tử zi2 ≤ 0 (i =

1, 2, 3) nên bài toán không có phương án tối ưu, vì hàm mục tiêu của bài toán giảm vô hạn trong

miền ràng buộc của nó.

Thí dụ 2.9: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

g(x) = 3x1 - x2 - 2x3 Max

với điều kiện -x1 + 3x2 + x3 + x4 = 7

3x1 - 4x2 + 8x3 + x5 = 10

4x1 - 2x2 + x6 = 12

xj ≥ 0 (j = 6,1 )

Giải: Ta thay bằng f(x) = -g(x) = -3x1 + x2 + 2x3 Min với cùng các điều kiện như trên.

Xuất phát từ phương án cực biên x0 = (0, 0, 0, 7, 12, 10) với cơ sở {A4, A5, A6}, ta giải bài toán

bằng thuật toán đơn hình. Lời giải là x* = (5, 4, 0, 0, 11, 0) với f(x*) = -11. Từ đó g(x*) = 11.

Bảng 2.6

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6

-3 1 2 0 0 0

0 x4 7 -1 3 1 1 0 0

0 x5 10 3 -4 8 0 1 0

0 x6 12 4 -2 0 0 0 1

Bảng 1 0 3 -1 -2 0 0 0

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6

0 1 -3 0 2 0

0 x4 10 0 5/2 1 1 0 ¼

0 x5 1 0 -5/2 8 0 1 -3/4

-3 x1 3 1 -1/2 0 0 0 ¼

Bảng 2 -9 0 1/2 -2 0 0 -3/4

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6

1 -1 0 -2 2 -3

1 x2 4 0 1 2/5 2/5 0 1/10

0 x5 11 0 0 9 1 1 -1/2

-3 x1 5 1 0 1/5 1/5 0 3/10

Bảng 3 -11 0 0 -11/5 -1/5 0 -4/5

Trường hợp bài toán suy biến:

PTITPTIT


62

Nếu bài toán suy biến trong quá trình thực hiện thuật toán đơn hình có thể xảy ra hiện tượng: Tỷ

số nhỏ nhất θ0 đạt tại nhiều chỉ số, do đó có nhiều biến đạt tiêu chuẩn loại khỏi cơ sở cũ. Nếu gặp

hiện tượng này thì ở bước lặp sau đó có thể xảy ra θ0 = 0. Khi đó, phương án cực biên và trị hàm

mục tiêu không đổi, chỉ có cơ sở của nó thay đổi (Chú ý là trị hàm mục tiêu giảm một lượng bằng

tích θ0 x ∆s = 0). Vì thế, sau một số phép biến đổi đơn hình ta có thể gặp lại cơ sở cũ, tình huống

đó gọi là hiện tượng xoay vòng. Nếu không có biện pháp khắc phục thì thuật toán đơn hình không

thể kết thúc.

Sau đây là quy tắc đơn giản để tránh xoay vòng do R.G.Bland đề xuất năm 1977.

1) Chọn cột ∆s có chỉ số s nhỏ nhất mà ∆s > 0 làm cột xoay (Đưa biến xs vào cơ sở).

2) Nếu có nhiều biến đạt tiêu chuẩn loại khỏi cơ sở cũ thì ta chọn biến có chỉ số nhỏ nhất. dòng

chứa biến cơ sở này được chọn làm dòng xoay.

Tuy nhiên hiện tượng xoay vòng rất hiếm gặp trong thực tiễn nên khi có nhiều khả năng chọn cột

(dòng xoay ta có thể chọn tùy tùy ý một trong các cột, dòng đó).

Ngoài ra còn có thể sử dụng quy tắc từ vựng để khắc phục hiện tượng xoay vòng.

Nội dung của quy tắc như sau: Giả sử tại phương án cực biên x0 với cơ sở J0 mà:

0

00 j js

; 0

θ (x /z )m injsj J z

đạt tại nhiều chỉ số, chẳng hạn trên tập R1 J0 thì đó là dấu hiệu của hiện

tượng xoay vòng vì sẽ gặp phương án cực biên suy biến ở bước sau. Lúc này có nhiều véc tơ có

thể đưa ra khỏi cơ sở J0, vấn đề là nên chọn véc tơ nào để tránh hiện tượng xoay vòng? Không mất

tính tổng quát, giả sử 0J = 1, m , ta xét các tỷ số:

α1

1

αs

z (α R , z >0)

zs (***)

Trong đó zα1là các số thuộc hệ số phân tích của véc tơ A1-véc tơ thứ nhất của cơ sở J0, zαs là các

số thuộc hệ số phân tích của véc tơ As qua cơ sở J0. Nếu min của biểu thức (***) không duy nhất

mà đạt tại nhiều chỉ số, chẳng hạn trên tập R2 R1thì chúng ta chuyển sang xét các chỉ số

β2

2 βs

βs

z (β R , z >0)

z (****)

Trong đó zβ2 là các số thuộc hệ số phân tích của véc tơ cơ sở thứ 2 - A2 qua cơ sở J0. zβs là các số

thuộc hệ số phân tích của véc tơ As qua cơ sở J0. Cứ như vậy cho tới khi xét được cực tiệu duy

nhất sẽ bị loại khỏi cơ sở. Ở các bước lặp tiếp sau của thuật toán đơn hình cơ sở J0 được cố định.

Tử số của các tỷ số (***) và (****) lần lượt là hệ số phân tích của véc tơ thứ nhất, thứ hai, của cơ

sở J0 theo cơ sở j của phương án cực biên đang xét.

Chú ý: Trong thực hành thông thường J0 gồm m chỉ số bất kỳ nên véc tơ thứ nhất, thứ hai

v.v…của cơ sở J0 tương ứng ta hiểu là các véc tơ đơn vị thứ nhất, thứ hai,v.v…trong bảng hệ số

phân tích ứng với phương án cực biên x0 với cơ sở J0 đang xét.

Thí dụ 2.10: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính:

f(x) = 4x1 - 6x5 – 5x6 → Min

PTITPTIT


63

1 4 5 6

2 4 5 6

3 5 6

1x + x - 2x - x = 0

3

1 1 x + x - x - x = 0

2 6

x + x + x = 4

xj ≥ 0 (j = 1,2,3,4,5,6)

Chúng ta có ngay phương án cực biên: x0 = (0, 0, 4, 0, 0, 0). Lập bảng đơn hình. Ngay bước đầu

tiên, với kết quả tính toán, ta đưa véc tơ A4 vào cơ sở, nhưnh có hai véc tơ cột A1, A2 có thể đưa ra

khỏi cơ sở. Lúc này nếu cứ chọn hú họa, chẳng hạn chọn véc tơ cột A1, đưa ra khỏi cơ sở và tiếp

tục giải thì số bước trong bảng đơn hình sẽ rất nhiều và đưa ta vào vòng luẩn quẩn. Nhưng nếu áp

dụng quy tắc từ vựng, đầu tiên ta có:

0

0 0θ = Min ; 0

1/3 1/ 2

ứng với hai véc tơ dòng A1 và A2.Tập R1 = (1,2)J0

Chúng ta chuyển sang xét các tỷ số dạng: α11 α4

α4

z (α R , z >0)

z

Ở đây z11 = 1; z21 = 0; z14 = 1/3; z24 = 1/21 0 0

Min ; 01/3 1/ 2 1/ 2

ứng với véc tơ A2 ta loại

nó ra khỏi cơ sở. Tiếp tục giải đến bước lặp thứ ba ta thu được phương án cực biên tối ưu:

x* = (32/9, 0, 0, 4/3, 0, 4) và fmin = -52/9

Bảng 2.7

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6

4 0 0 0 -6 -5

4 x1 0 1 0 0 1/3 -2 -1

0 x2 0 0 1 0 1/2 -1 -1/6

0 x3 4 0 0 1 0 1 1

Bảng 1 0 0 0 0 4/3 -2 1

4 x1 0 1 -2/3 0 0 -4/3 -8/9

0 x4 0 0 2 0 1 -2 -1/3

0 x3 4 0 0 1 0 1 1

Bảng 2 0 0 -8/3 0 0 2/3 13/9

4 x1 32/9 1 -2/3 8/9 0 -4/9 0

0 x4 4/3 0 2 1/3 1 -5/3 0

-5 x6 4 0 0 1 0 1 1

Bảng 3 0 0 -8/3 -13/9 0 -7/9 0

2.4.4 Tìm phương án cực biên và cơ sở ban đầu.

a) Bài toán dạng chuẩn với ràng buộc ≤ và vế phải không âm.

Xét bài toán có dạng:

f(x) = c1x1 + c2x2 +.........+ cnxn min (2.15)

ai1x1 + ai2x2 + ........+ ainxn ≤ bi, i = 1, 2, ...., m (2.16)

xj ≥ 0 (j = n,1 ) (2.17)

PTITPTIT


64

với giả thiết mọi bi ≥ 0.

Ta thêm vào vế trái mỗi ràng buộc (2.16) một biến phụ xn+i ≥ 0, i = 1, 2, ..., m, để biến hệ bất

phương trình thành hệ phương trình. Trong hàm mục tiêu, hệ số ứng với biến phụ bằng 0. Bài toán

(2.15)- (2.17) tương đương với bài toán sau:

f(x) = c1x1 + c2x2 +.........+ cnxn min

ai1x1 + ai2x2 + ........+ ainxn + xn+i = bi, i = 1, 2, ...., m

xj ≥ 0 (j = 1,n+m )

Bài toán này có ngay phương án cực biên ban đầu là x = (0, 0,...., 0, xn+1, xn+2,...., xn+m) trong đó

xn+1 = b1, xn+2 = b2,...., xn+m = bm.. Cơ sở của phương án này gồm m véc tơ cột đơn vị ứng với các

biến cơ sở xn+i.

b) Bài toán ở dạng chính tắc, vế phải ràng buộc chính không âm.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

f(x) = c1x1 + c2x2 +.........+ cnxn min (2.18)

ai1x1 + ai2x2 + ........+ ainxn = bi, i = 1, 2, ...., m (2.19)

xj ≥ 0 (j = n,1 ) (2.20)

Với giả thiết ma trận A không chứa bất kỳ một véc tơ cột đơn vị nào.

Để tìm phương án cực biên xuất phát có thể sử dụng 3 phương pháp sau:

- Phương pháp hai pha: giải bài toán (2.18)- (2.20) thông qua hai giai đoạn.

- Pha 1: Đưa các biến giả t1, t2,..., tm không âm và giải bài toán quy hoạch tuyến tính phụ:

g(t) = Mintm

1ii

(2.21)

với điều kiện

ai1x1 + ai2x2 + ........+ ainxn + ti = bi, i = 1, 2, ...., m (2.22)

xj ≥ 0 (j = n,1 ); ti ≥ 0 (i = m,1 ) (2.23)

Bài toán (2.21) - (2.23) có ngay phương án cực biên ban đầu là (x, t) = (0, 0,..., 0, b1, b2,...bm) với

cơ sở gồm m véc tơ đơn vị ứng với các biến giả ti trong hệ phương trình (2.22). Vì thế, ta có thể

dùng phương pháp đơn hình để giải nó. Do hàm mục tiêu bị chặn dưới bởi 0, nên bài toán này

chắc chắn có phương án cực biên tối ưu, chẳng hạn đó là (x*, t*). Có hai khả năng xảy ra:

● g(t*) > 0, khi đó quy hoạch (2.18)- (2.20)không có phương án, vì nếu có điểm x thỏa mãn (2.19)

và (2.20) thì véc tơ (x, 0) sẽ thỏa mãn (2.22) và (2.23) và 0 là giá trị cực tiểu của (2.21).

● g(t*) = 0, tức là trị cực tiểu của (2.21) bằng 0 và t* = 0. Nếu cơ sở của phương án (x*, t*) không

chứa véc tơ ứng với biến giả ti thì x* là phương án cực biên của bài toán ban đầu và cơ sở của x*

chỉ gồm các véc tơ Aj (j ≤ n). Ta chuyển sang thực hiện pha 2.

Trái lại, nếu vẫn còn biến giả ti (với giá trị bằng 0) trong cơ sở của phương án (x*, t*) thì ta cần

thực hiện thêm một vài phép lặp đơn hình nữa để đẩy hết các biến giả ra khỏi cơ sở. Cách làm như

sau: Ta chọn cột xoay là cột biến phi cơ sở thực (biến xj: j ≤ n) mà nó có phần tử khác 0 ở dòng

tương ứng với biến giả và dòng này được chọn làm dòng xoay. Chú ý là phần tử xoay ở đây có thể

dương hay âm (khác không). Do giả thiết ma trận A có hạng bằng m nên nếu còn biến giả trong cơ

sở (với giá trị bằng 0) thì chắc chắn sẽ tìm được cột xoay như trên.

- Pha 2: Bảng đơn hình xuất phát ở pha 2 là bảng đơn hình cuối cùng của pha 1, nhưng có một số

thay đổi như sau:

PTITPTIT


65

● Xóa khỏi bảng cuối ở pha 1 tất cả các cột tương ứng với các biến giả.

● Trong cột CB thay hệ số hàm mục tiêu ban đầu tương ứng với các biến cơ sở ở bảng cuối pha 1.

●Tính lại các ước lượng ∆k = CBZk - ck, k =1, 2,..., n.

● Xuất phát từ bảng đơn hình vừa nhận được ở đầu pha 2, ta giải bài toán (2.18)-(2.20) theo thuật

toán đơn hình.

Lưu ý: - Bài toán max thì bài toán phụ vẫn là min.

- Nếu ma trận A ban đầu đã chứa k véc tơ đơn vị thì số biến giả trong bài toán phụ là

m - k.

Thí dụ 2.11: Dùng phương pháp hai pha giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

f(x) = 2x1 - 2x2 + x3 - x4 min

với điều kiện x1 + 2x2 + x3 + 2x4 =7

3x1 - x2 - 2x3 + x4 = 6

2x1 - 2x2 - x3 + x4 = 5

xj ≥ 0 (j = 4,1 )

Giải: Pha 1: Đưa vào 3 biến giả t1, t2, t3 ≥ 0 và giải bài toán phụ sau:

g(t) = t1 + t2 + t3 min

với điều kiện x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + t1 =7

3x1 - x2 - 2x3 + x4 + t2 = 6

2x1 - 2x2 - x3 + x4 + t3 = 5

xj ≥ 0 (j = 4,1 ), ti ≥ 0 (i = 3,1 ).

Quá trình giải được tóm tắt trong các bảng sau:

Bảng 2.8

CB Cơ sở

J

Phương

án

x1 x2 x3 x4 t1 t2 t3

0 0 0 0 1 1 1

1 t1 7 1 2 1 2 1 0 0

1 t2 6 3 -1 -2 1 0 1 0

1 t3 5 2 -2 -1 1 0 0 1

Bảng 1 18 6 -1 -2 4 0 0 0

1 t1 5 0 7/3 5/3 5/3 1 -1/3 0

0 x1 2 1 -1/3 -2/3 1/3 0 1/3 0

1 t3 1 0 -4/3 1/3 1/3 0 -2/3 1

Bảng 2 18 0 1 2 2 0 0 0

0 x3 3 0 7/5 1 1 3/5 -1/5 0

0 x1 4 1 3/5 0 1 2/5 1/5 0

1 t3 0 0 -9/5 0 0 -1/5 -3/5 1

Bảng 3 0 0 -9/5 0 0 -6/5 -8/5 0

0 x3 3 0 0 1 1

0 x1 4 1 0 0 1

0 x2 0 0 1 0 0

Bảng 4 0 0 0 0 0

PTITPTIT


66

Phương án cho ở bảng 3: (x*, t*) = (4, 0, 3, 0, 0, 0, 0) là tối ưu (t* = 0). Tuy nhiên, trong cơ sở của

phương án này còn biến giả t3. Để loại biến giả này ra khỏi cơ sở ta đưa biến x2 vào cơ sở mới (vì

z32 = -9/5 ≠ 0 và là biến phi cơ sở thực) và thực hiện phép biến đổi đơn hình, kết quả cho ở bảng 4.

Chuyển sang pha 2.

Pha 2: Trong bảng 4 ta loại bỏ 3 cột cuối, thay đổi giá trị trong cột CB bởi các hệ số mục tiêu ban

đầu, trên dòng 2 ghi lại hệ số hàm mục tiêu của bài toán gốc và tính lại các ước lượng ∆k, ta được

bảng 5. Thực hiện một phép lặp đơn hình ta có bảng 6 và nhận được phương án tối ưu: x* = (1, 0,

0, 3) với f(x*) = -1.

Bảng 2.9

CB Cơ sở

J

Phương

án

x1 x2 x3 x4

0 0 0 0

1 x3 3 0 0 1 1

2 x1 4 1 0 0 1

-2 x2 0 0 1 0 0

Bảng 5 0 0 0 0 4

-1 x4 5 0 0 1 1

2 x1 2 1 0 -1 0

-2 x2 1 0 1 0 0

Bảng 6 -1 0 0 -4 0

- Phương pháp hệ số phạt hay bài toán (M).

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc (2.18) - (2.20) với mọi bi ≥ 0. Ta gọi đó là bài

toán chính. Để giải bài toán này bằng phương pháp đơn hình ta đưa thêm vào các biến mới ti ≥ 0 ,

gọi là các biến giả và xét bài toán mở rộng sau, thường gọi là bài toán (M):

F(x, t) = f(x) + Mg(t) =

= c1x1 + c2x2 +......+ cnxn + M(t1 + t2 +....+ tm) Min (2.24)

ai1x1 + ai2x2 + ....+ ainxn + ti = bi, i = 1, 2,...., m (2.25)

xj ≥ 0, j = 1, 2,...., n; ti ≥ 0, i = 1, 2,......, m (2.26)

trong đó M là một hằng số dương lớn tùy ý. Về trực quan có thể thấy rằng làm như thế giống như

"phạt" rất nặng các biến ti ≥ 0 khiến cho, nếu bài toán chính có phương án thì phương án tối ưu (x,

t) bất kỳ của bài toán (M) phải có ti = 0 và x là phương án tối ưu của bài toán chính. Bài toán (M)

có m ràng buộc chính, n + m biến và ma trận A của nó có hạng bằng m (do chứa m véc tơ cột đơn

vị). Mặt khác, bài toán (M) lại có ngay phương án cực biên ban đầu là (x, t) = (0, 0, ...., 0, b1,

b2,.........., bm) với cơ sở là m véc tơ đơn vị ứng với m biến giả ti. Vì thế, ta có đầy đủ điều kiện để

áp dụng thuật toán đơn hình đối với bài toán (M). Phương pháp như thế goi là phương pháp hệ số

phạt hay phương pháp bài toán (M).

Định lý 2.11: ● Nếu bài toán chính (2.18) - (2.20) có phương án thì mọi phương án cực biên tối

ưu (x, t) của bài toán (M) phải có t = 0.

● Nếu bài toán chính (2.18) - (2.20) có phương án tối ưu x thì bài toán (M) có phương án tối ưu

(x, 0) và ngược lại.

Lưu ý:

- Nếu bài toán (M) có phương án tối ưu (x, t) với t ≠ 0 thì bài toán chính không có phương án.

- Nếu bài toán (M) không có phương án tối ưu thì bài toán chính cũng không có phương án tối ưu.

PTITPTIT


67

- Nếu ma trận A của bài toán chính có chứa k véc tơ cột đơn vị khác nhau (k < m) thì chỉ cần đưa

m - k biến giả vào bài toán (M).

- Trong mỗi bước lặp của phương pháp đơn hình khi một biến giả nào đó bị loại khỏi tập hợp các

biến cơ sở thì từ đó về sau ta sẽ không bao giờ đưa biến đó vào cơ sở nữa. Vì thế cũng không phải

biến đổi cột tương ứng với biến giả đó nữa, trừ khi ta cần đến nó vào những mục đích

khác.(Chẳng hạn tìm lời giải của bài toán đối ngẫu).

- Trong bài toán (M), do hàm mục tiêu F phụ thuộc tuyến tính vào M nên các ước lượng ∆k của

biến xk cũng phụ thuộc tuyến tính vào M. Vì thế, ta có thể viết:

F = α0 + β0M và ∆k = αk + βkM, k= 1, 2, ....., n+m.

Quy tắc xét dấu và so sánh các ước lượng ∆k như sau:

● Nếu ∆k > 0 nếu βk > 0 (αk bất kỳ) hoặc βk = 0, αk > 0 (k =1, 2, ....., n + m).

● Nếu ∆i > ∆j nếu βi > βj (αi, αj tùy ý) hoặc βi = βj, αi > αj (i, j = 1, 2,...., n + m).

Khi giải bài toán (M) theo thuật toán đơn hình, ta không cần xác định giá trị cụ thể của số M mà

chỉ cần tách dòng mục tiêu (dòng cuối) mỗi bảng đơn hình thành hai số hạng: một số hạng chứa αk

và một số hạng chứa βkM (k =1, 2,...., n + m).

- Khi giải các bài toán thực tế, ta cũng có thể không cần tách dòng mục tiêu thành hai số hạng,

bằng cách chọn M sao cho:

M ≥ max { n ...., 2, 1, j m, ,.....,2 ,1i,c,b,a jiij }

Thí dụ 2.12: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc sau bằng phương pháp hệ số phạt:

f(x) = 3x1 - 3x2 + x3 - x4 Min

với điều kiện -x1 + x2 + 2x3 + x4 = 2

x1 + x2 - x3 - x4 = 6

3x1 + 2x2 - 6x3 + 3x4 = 9

xj ≥ 0 (j = 4,1 )

Giải: Ma trận A của bài toán không chứa véc tơ cột đơn vị nào, nên ta cần đưa thêm vào bài toán

3 biến giả x5, x6, x7 ≥ 0. Bài toán (M) có dạng:

F(x) = 3x1 - 3x2 + x3 - x4 + M(x5 + x6 + x7) Min

với điều kiện -x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 = 2

x1 + x2 - x3 - x4 + x6 = 6

3x1 + 2x2 - 6x3 + 3x4 + x7 = 9

xj ≥ 0 (j = 7,1 ), M >> 0

Ta giải bài toán (M) bằng phương pháp đơn hình, xuất phát từ phương án cực biên ban đầu x0 =

(0, 0, 0, 0, 2, 6, 9) với cơ sở là các véc tơ cột đơn vị {A5, A6, A7}

Bảng 2.10

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

3 -3 1 -1 M M M

M A5 2 -1 1 2 1 1 0 0

M A6 6 1 1 -1 -1 0 1 0

M A7 9 3 2 -6 3 0 0 1

Bảng 1 17 -3+3M 3+4M 1-5M 1+3M 0 0 0

CB Cơ sở Phương A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

PTITPTIT


68

J án 3 -3 1 -1 M M M

-3 A2 2 -1 1 2 1 1 0 0

M A6 4 2 0 -3 -2 -1 1 0

M A7 5 5 0 -10 1 -2 0 1

Bảng 2 -6+9M 7M 0 -7-13M -2-M -1-2M 0 0

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

3 -3 1 -1 M M M

-3 A2 3 0 1 0 6/5 3/5 0 1/5

M A6 2 0 0 1 -12/5 -1/5 1 -2/5

3 A1 1 1 0 -2 1/5 -2/5 0 1/5

Bảng 3 -6 0 0 -7+M -2-12/5M -3-6/5M 0 -7/5M

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

3 -3 1 -1 M M M

-3 A2 3 0 1 0 6/5 3/5 0 1/5

1 A3 2 0 0 1 -12/5 -1/5 1 -2/5

3 A1 5 1 0 0 -23/5 -4/5 2 -3/5

Bảng 4 8 0 0 0 -94/5 -22/5-M 7-M -14/5-M

Ở bảng 4, ta thấy mọi ∆k ≤ 0 với mọi k = 1, 2, ..., , nên phương án cho ở bảng này x*M = (5, 3, 2,

0, 0, 0, 0) là phương án tối ưu của bài toán (M). Vậy x* = (5, 3, 2, 0) là phương án tối ưu của bài

toán chính với fmin = 8.


f(x) = 4x1 + 9x2 + 4x3 + 4x4 + 8x5 + x6 → Min

x1 + x4 = 10

x2 + x5 = 30

x3 + x6 = 10

x4 + x5 + x6 = 30

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

Lập bài toán mở rộng: F(x) = 4x1 + 9x2 + 4x3 + 4x4 + 8x5 + x6 + Mx7 → Min

x1 + x4 = 10

x2 + x5 = 30

x3 + x6 = 10

x4 + x5 + x6 + x7 = 30

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), M >> 0

Bài toán M có ngay phương án cực biên ban đầu là x0 = (10, 30, 10, 0, 0, 0, 30) với cơ sở A1, A2,

A3, A7. Lập bảng đơn hình

Bảng 2.11

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

4 9 4 4 8 1 M

4

9

4

M

A1 10 1 0 0 1 0 0 0

A2 30 0 1 0 0 1 0 0

A3 10 0 0 1 0 0 1 0

A7 30 0 0 0 1 1 1 1

PTITPTIT


69

Bảng 1 0 0 0 M M+1 M+3 0

4 A1 10 1 0 0 1 0 0 0

9 A2 30 0 1 0 0 1 0 0

1

M

A6 10 0 0 1 0 0 1 0

A7 20 0 0 -1 1 1 0 1

Bảng 2 -6+9M 0 0 M-3 M M+1 0 0

4 A1 10 1 0 0 1 0 0 1

9 A2 10 0 1 1 -1 0 0 -1

1 A6 10 0 0 1 0 0 1 0

8 A5 20 0 0 -1 1 1 0 1

Bảng 3 300 0 0 -2 -1 0 0 -1

Phương án tối ưu của bài toán M là:

xM = (10, 10, 0, 0, 20, 10, 0) với F(x) = 300 Phương án tối ưu của bài toán chính là:

x = (10, 10, 0, 0, 20, 10) với f(x) = 300

- Phương pháp biến đổi Gausse:

Để tìm phương án cực biên xuất phát ta có thể dùng phương pháp biến đổi Gausse, tức là nhân

một hàng với một số và cộng (trừ) với một hàng nào đó để xuất hiện đúng m véc tơ cột đơn vị

trong ma trận A. Lưu ý khi biến đổi đến bước cuối cùng thì hệ số vế phải (bi) không được âm. Sau

đó áp dụng thuật toán đơn hình để giải bài toán.


f(x) = -x1 + 6x2 -2x3 + 2x4 + 3x5 Min

với điều kiện

x1 - 2x2 + 3x3 + 2

1x6 = 10 (1)

x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + x5 +2

1x6 = 18 (2)

x2 - x3 + 2x5 - x6 ≤ 4 (3)

xj ≥ 0 (j = 6,1 )

a) Chứng tỏ x0 = (10, 0, 0, 8, 0, 0) là phương án cực biên?

b) Xuất phát từ x0 giải bài toán bằng phương pháp đơn hình?

Giải: a) Thay x0 vào các ràng buộc ta thấy nó thỏa mãn, vậy x0 là phương án của bài toán.

x0 thỏa chặt ràng buộc (1), (2) và 4 ràng buộc dấu.

Hệ véc tơ tương ứng với các ràng buộc này là độc lập tuyến tính.

1 -2 3 0 0 1/2

1 2 4 1 1 1/2

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0.

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Vậy x0 là phương án cực biên của bài toán đã cho.

b) Đưa bài toán về dạng chính tắc:

f(x) = -x1 + 6x2 -2x3 + 2x4 + 3x5 Min

= 1 ≠ 0

PTITPTIT


70

với điều kiện x1 - 2x2 + 3x3 + 2

1x6 = 10

x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + x5 +2

1x6 = 18

x2 - x3 + 2x5 - x6 + x7 = 4

xj ≥ 0 (j = 7,1 )

Theo mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát và bài toán quy hoạch tuyến tính

chính tắc ta có x0 = (10, 0, 0, 8, 0, 0, 4) là phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc

trên và là phương án cực biên vì các véc tơ {A1, A4, A7} độc lập tuyến tính và nó chính là cơ sở

của phương án cực biên x0. Để áp dụng thuật toán đơn hình, cần biết hệ số phân tích của các véc

tơ điều kiện Ak và véc tơ b qua cơ sở J0 = {1, 4, 7}. Muốn vậy ta viết ma trận hệ số mở rộng của

bài toán, thực hiện các phép biến đổi ma trận trên dòng sao cho A1, A4, A7 trở thành một cơ sở

đơn vị của không gian 3 chiều khi đó véc tơ cột tương ứng với mỗi véc tơ chính là hệ số phân tích

của chúng theo cơ sở J0. Quá trình tính toán như sau:

1 -2 3 0 0 1/2 0 10

1 2 4 1 1 1/2 0 18

0 1 -1 0 2 -1 1 4

1 -2 3 0 0 1/2 0 10

0 4 1 1 1 0 0 8

0 1 -1 0 2 -1 1 4

Lập bảng đơn hình với phương án cực biên xuất phát x0 và sau 2 bảng đơn hình ta có lời giải của

bài toán: x* = (14, 2, 0, 0, 0, 0, 2) với f(x*) = -2

2.4.5 Phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính dạng bất kỳ.

Để giải một bài toán quy hoach tuyến tính dạng bất kỳ ta thực hiện các bước sau:

- Đổi bài toán tìm cực đại: f ) Max thành bài toán tìm cực tiểu: g = -f ) Min.

- Đưa bài toán cần giải về dạng chính tắc.

- Thêm biến giả hoặc biến đổi Gausse để giải bài toán bằng thuật toán đơn hình.


f(x) = -2x1 - 6x2 + 8x3 - 5x4 Min

với điều kiện: x1 + 2x2 - 3x3 + x4 = 8 (1)

-2x1 + x2 + x3 - 5x4 ≤ 2 (2)

4x1 + 7x2 - 8x3 + x4 ≥ 20 (3)

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4)

và véc tơ x0 = (8, 0, 0, 0).

a) Chứng tỏ x0 là phương án cực biên, lợi dụng x0 giải bài toán bằng phương pháp đơn hình?

b) Giải bài toán nếu thêm điều kiện f(x) ≥ -50?

Giải:

a) Dẽ thấy ràng x0 thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán, thỏa chặt ràng buộc (1) và 3 ràng buộc

dấu, chúng độc lập tuyến tính, vậy x0 là phương án cực biên không suy biến. Để giải bài toán bằng

phương pháp đơn hình, trước hết phải đưa bài toán về dạng chính tắc:

Ta có: f(x) = -2x1 - 6x2 + 8x3 - 5x4 Min

PTITPTIT


71

với điều kiện: x1 + 2x2 - 3x3 + x4 = 8 (1')

-2x1 + x2 + x3 - 5x4 + x5 = 2 (2')

4x1 + 7x2 - 8x3 + x4 - x6 = 20 (3')

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

Từ x0 suy ra phương án cực biên không suy biến của bài toán dạng chính tắc bằng phương pháp

biến đổi Gausse như sau:

1 2 -3 1 0 0 8 1 2 -3 1 0 0 8

-2 1 1 -5 1 0 2 0 5 -5 -3 1 0 18

4 7 -8 2 0 -1 20 0 1 -4 2 0 1 12

0

x = (8, 0, 0, 0, 18, 12 ) với cơ sở là J0 = {A1, A4, A6}. Lập bảng đơn hình:

Bảng 2.12

CB Cơ sở

J

Phương

án

A1 A2 A3 A4 A5 A6

-2 -6 8 -5 0 0

-2 x1 8 1 2 -3 1 0 0

0 x5 18 0 5 -5 -3 1 0

0 x6 12 0 1 -4 2 0 1

Bảng 1 -16 0 2 -2 3 0 0

-2 x1 2 1 3/2 -1 0 0 -1/2

0 x5 36 0 13/2 -11 0 1 3/2

-5 x4 6 0 1/2 -2 1 0 ½

Bảng 2 -34 0 1/2 4 0 0 -3/2

Từ bảng cuối ta có ∆3 = 4, đồng thời zj3 < 0 ( jJ0), bài toán không có lời giải vì hàm mục tiêu

giảm vô hạn trên miền ràng buộc.

b) Để giải bài toán khi có thêm điều kiện f(x) ≥ -50 ta cần tìm một phương án x' của bài toán ban

đầu sao cho f(x') = -50.

Gọi phương án tương ứng với bảng đơn hình2 là x*, từ x*- theo phương Z3 ta tìm được các

phương án có dạng: x(θ) = x* + θZ3, θ ≥ 0. Ta có: f(x(θ)) = f(x*) - θ∆3. Suy ra:

-50 = -34 - 4θ, như vậy θ = 4

Do x* = (2,0 ,0, 6, 36, 0); Z3 = (1,0, 1, 2, 11, 0), phương án cần tìm là: x' = (6, 0, 4, 14, 80, 0)

2.5. Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

Bên cạnh mỗi bài toán QHTT - gọi là bài toán gốc (P) - chúng ta sẽ xây dựng được một bài toán

khác theo các quy tắc nhất định và gọi là bài toán đối ngẫu (Q) của bài toán gốc. Như vậy ta luôn

có một cặp bài toán QHTT và được gọi là cặp bài toán đối ngẫu. Giữa hai bài toán có mối quan hệ

khăng khít với nhau, do đó từ những thông tin nhận được về một bài toán ta có thể có những kết

luận tương ứng về bài toán kia. Khả năng này sẽ rất bổ ích đối với chúng ta khi cần phân tích hoặc

giải bài toán. Chúng ta hoàn toàn có thể chọn bài toán có cấu trúc đơn giản hơn trong cặp bài toán

để xử lý. Ngoài ra, với những cặp bài toán đối ngẫu có nội dung thực tế, việc phân tích mối quan

hệ giữa bài toán P và bài toán Q sẽ đem lại những thông tin có ý nghĩa lý luận và thực hành. Chính

vai trò quan trọng của cặp bài toán đối ngẫu nên ta cần nghiên cứu nó.

2.5.1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu.

a) Cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng.

Xét bài toán dạng chính tắc (I):

PTITPTIT


72

n

jj=1 j

n

ij j ij=1

f(x)= c x Min(Max)

a x =b (i=1,m)

xj ≥ 0 (j = n,1 )

Ta gọi bài toán này là bài toán gốc (P). Chú ý rằng hệ phương trình ràng buộc của bài toán có thể

viết dưới dạng n

j jj=1

A x = b hoặc Ax = b, trong đó A là ma trận điều kiện và Aj là các véc tơ cột

điều kiện. Dựa vào cấu trúc của bài toán gốc (I), ta xây dựng một bài toán QHTT khác gọi là bài

toán đối ngẫu của bài toán (I) có dạng sau:

)n1, (j c )( ya

Max(Min) yb g(y)

j

m

1ii

T

i

m

1ii

ij

Ký hiệu bài toán này là (Ĩ). Cặp bài toán (I, Ĩ) gọi là cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng.

Phân tích cấu trúc của cặp bài toán, ta có nhận xét:

- Bài toán gốc tìm min thì bài toán đối ngẫu tìm max và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có

dạng "≤".

- Bài toán gốc tìm max thì bài toán đối ngẫu tìm min và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có

dạng "≥".

- Số ràng buộc chính trong bài toán gốc tương ứng một - một với các biến trong bài toán đối ngẫu

(mà ta sẽ gọi là biến đối ngẫu), trong khi các biến trong quy hoạch gốc (biến gốc) sẽ tương ứng

một - một với các ràng buộc chính trong bài toán đối ngẫu.

- Các hệ số ở vế phải ràng buộc chính trong bài toán gốc trở thành các hệ số mục tiêu trong bài

toán đối ngẫu, còn các hệ số mục tiêu trong bài toán gốc trở thành hệ số vế phải trong ràng buộc

chính của bài toán đối ngẫu.

Cặp ràng buộc đối ngẫu: Ta gọi 2 ràng buộc bất đẳng thức (kể cả ràng buộc dấu) trong hai bài

toán cùng tương ứng với một chỉ số là một cặp ràng buộc đối ngẫu. Trong bài toán (I) và bài toán

(Ĩ) có n cặp ràng buộc đối ngẫu:

xj ≥ 0 )n1, (j c )( ya j1

iij

m

i

Dùng các ký hiệu của bài toán gốc, bài toán đối ngẫu ta có thể viết dưới dạng:

g(y) = (b.y) Max (Min)

(ATy) ≤ (≥) c ( nj ,1 )

Từ đây suy ra cách viết bài toán đối ngẫu một cách đơn giản: trừ các ràng buộc về dấu, ta cho

tương ứng với mỗi phương trình ràng buộc i của bài toán gốc m của bài bài toán đối ngẫu yi

( mi ,1 ), thực hiện nhân vô hướng véc tơ y lần lượt với véc tơ b và các véc tơ cột Aj ( nj ,1 ) ta

sẽ được hàm mục tiêu và toàn bộ hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu.

Thí dụ 2.16 f(x) = 0,2x1 + 0,8x4 + 0,6x5 Min

2x1 + x3 + x5 = 400

2x2 + x5 = 400

PTITPTIT


73

x2 + 2x3 + 3x4 = 1300

xj ≥ 0 ( 5,1j )

Bài toán đối ngẫu có dạng;

g(y) = 400y1 + 400y2 + 1300y3 Max

2y1 ≤ 0,2

2y3 + y3 ≤ 0

y1 + 2y3 ≤ 0

3y3 ≤ 0,8

y1 + y2 ≤ 0,6

b) Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng:

Xét bài toán (II):

)n1, (j 0 x

)m1,(i)b( xa

Min(Max)xcf(x)

j

n

1jijij

j

n

1jj

Đưa bài toán về dạng chính tắc, ký hiệu là (II'):

)mn1, (j 0 x

)m1,(ib x )( xa

Min(Max)xcf(x)

j

n

1jiinjij

j

n

1jj

Bài toán đối ngẫu của (II') và cũng là đối ngẫu của (II) có dạng:

)m1, (j 0 y

)n1,(jc )( ya

Max(Min)ybg(y)

i

n

1jji

T

i

m

1ii

ij

Ký hiệu bài toán này là (ĨI). Do đặc điểm cấu trúc của hai bài toán, ta gọi (II) và (ĨI) là cặp bài

toán đối ngẫu đối xứng. Hai bài toán này có n + m cặp ràng buộc đối ngẫu;

xj ≥ 0 )n1, (j c )( ya j1

iT

ij

m

i

)m1, (i 0 y b )( xa ii1

jij

n

j

c) Cặp bài toán đối ngẫu tổng quát

Theo quy tắc xây dựng có thể dẽ dàng chứng minh nếu xem (Ĩ), (ĨI) là các bài toán gốc thì các

bài toán đối ngẫu của chúng chính là (I) và (II). Vì vậy từ đây ta gọi chung hai bài toán đối ngẫu là

một cặp bài toán đối ngẫu, khi cần thiết mới chỉ rõ bài toán gốc.

Đối với bài toán bất kỳ, xây dựng bài toán đối ngẫu như sau:

PTITPTIT


74

)J (j 0 x),J (jy tuy x),J (j 0 x

I i ,b xa

I i ,b xa

I i ,b xa

Minxc f(x)

3j2j1j

3i

n

1jjij

2i

n

1jjij

1i

n

1jjij

n

1jjj

Trong đó I1 I2 I3 = { m1, }, Ii Ik = Ǿ, i, k = 1, 2, 3 (i ≠ k)

J1 J2 J3 = { n1, }, Jj Jk = Ǿ, j, k = 1, 2, 3 (j ≠ k)

Ta gọi đối ngẫu của bài toán trên là bài toán:

)I (i 0 y ),I (iy tuy y ),I (i 0 y

J j ,c ya

J j ,c ua

J j ,c ya

Maxyb g(y)

3i2i1i

3j

m

1ii

T

2j

m

1ii

T

1j

m

1ii

T

m

1iii

ij

ij

ij

Sơ đồ đối ngẫu tổng quát được tớm tắt trong bảng sau:

Bảng 2.13

Gốc min max Đối ngẫu

Ràng buộc

chính

= bi

ai1x1+ai2x2+…+ainxn ≤ bi

≥ bi

tùy ý

≤ 0

≥ 0

Biến

Biến

≥ 0

≤ 0

tùy ý

≤ cj T T T1j 1 2j 2 mj ma y a y .... a y ≥ cj

= cj

Ràng buộc

chính

Ta nhận xét thêm rằng theo sơ đồ này, nếu hai ràng buộc gốc có dấu ngược nhau thì hai biến đối

ngẫu tương ứng cũng có dấu ngược nhau, đồng thời nếu hai biến gốc có dấu trái nhau thì hai ràng

buộc đối ngẫu tương ứng cũng có dấu trái nhau. Còn nếu biến gốc có dấu tùy ý thì trong ràng buộc

đối ngẫu tương ứng sẽ có dấu bằng (=).

Nếu bài toán gốc là max thì khi viết đối ngẫu ta viết từ phải về trái. Nếu lấy đối ngẫu của đối ngẫu

ta sẽ có bài toán gốc. Vì thế, bài toán gốc và bài toán đối ngẫu lập nên một cặp quy hoạch đối

ngẫu nhau.

Thí dụ 2.17: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu:

f(x) = -4x1 + x2 + 5x3 + 5x5 → Min

với điều kiện: 3x1 – 6x2 - x3 + 2x4 + 4x5 ≥ -15 (1)

PTITPTIT


75

-2x1 + 3x2 + 4x3 – 5x4 + x5 ≤ 8 (2)

- 6x2 + 3x3 + 8x4 – 4x5 = 9

3x1 + 2x2 – 3x4 + x5 ≥ 24 (3)

x1 ≥ 0 (4), x3 ≤ 0 (5), x5 ≥ 0 (6)

Giải: Bài toán đối ngẫu:

g(y) = -15y1 + 8y2 + 9y3 + 25y4 → Max

3y1 – 2y2 + 3y4 ≤ - 4 (7)

-6y1 + 3y2 – 6y3 + 2y4 = 1

-y1 + 4y2 + 3y3 ≥ 5 (8)

2y1 - 5y2 + 8y3 + - 3y4 = 0

4y1 + y2 – 4y3 + y4 ≤ 3 (9)

y1 ≥ 0 (10)

y2 ≤ 0 (11)

y4 ≥ 0 (12)

Các cặp ràng buộc đối ngẫu là: (1)-(10); (2)-(11); (3)-(12); (4)-(7); (5)-(8); (6)-(9).

2.5.2 Các định lý đối ngẫu.

Để tiện cho việc nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu, sau đây ta xét cặp bài toán đối ngẫu dạng

chuẩn. Tuy nhiên các kết quả nhận được cũng đúng cho một cặp bài toán đối ngẫu bất kỳ.

Phát biểu với bài toán gốc f(x)→Min

Định lý 2.12: (Đối ngẫu yếu). Nếu x là một phương án bất kỳ của bài toán gốc và y là một

phương án bất kỳ của bài toán đối ngẫu thì:

f(x) = c1x1 + c2x2 +….+ cnxn ≥ g(y) = b1y1 + b2y2 + …..+ bmym (2.27)

Chứng minh: Do x là phương án của bài toán gốc và y là phương án của bài toán đối ngẫu nên

Ax ≥ b, ATy ≤ c, x ≥ 0, y ≥ 0. Từ đó ta có:

f(x) = <c. x> ≥ (ATy, x) = <y, Ax> ≥ <y, b> = g(y).

Chú ý : Bài toán gốc f(x)→Max thì ta có f(x) ≤ g(y)

Từ định lý đối ngẫu yếu trên ta suy ra các hệ quả sau:

Hệ quả 1: a) Giá trị mục tiêu của một phương án đối ngẫu bất kỳ là một cận dưới cho giá trị mục

tiêu đối với mọi phương án của bài toán gốc.

b) Nếu hàm mục tiêu của bài toán gốc không bị chặn dưới trong miền ràng buộc của nó thì bài

toán đối ngẫu không có bất kỳ một phương án nào.

c) Nếu hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu không bị chặn trên trong miền ràng buộc của nó thì bài

toán gốc không có bất kỳ một phương án nào.

d) Nếu x* là một phương án của bài toán gốc, y* là một phương án của bài toán đối ngẫu và f(x*) =

g(y*) thì x* là phương án tối ưu của bài toán gốc và y* là phương án tối ưu của bài toán đối

ngẫu.(Tính chất này mới là điều kiện đủ cho hai phương án tối ưu. Để xét điều kiện cần ta có định

lý đối ngẫu mạnh sau)

Định lý 2.13: (Đối ngẫu mạnh). Nếu một quy hoạch có phương án tối ưu thì quy hoạch đối ngẫu

của nó cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng bằng nhau.

Định lý 2.14: (Định lý tồn tại)

Đối với mỗi cặp quy hoạch đối ngẫu nhau chỉ có thể xảy ra một trong ba khả năng loại trừ nhau

sau đây:

- Cả hai quy hoạch đều không có phương án

PTITPTIT


76

- Cả hai quy hoạch đều có phương án, khi đó cả hai quy hoạch đều có phương án tối ưu và giá trị

của các hàm mục tiêu là bằng nhau.

- Một quy hoạch có phương án và quy hoạch kia không có phương án. Khi đó, quy hoạch có

phương án sẽ không có phương án tối ưu và hàm mục tiêu của nó không bị chặn trong miền ràng

buộc.

Định lý 1.15: Điều kiện cần và đủ để hai phương án x và y của cặp bài toán đối ngẫu tối ưu là

trong các cặp ràng buộc đối ngẫu nếu một ràng buộc thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực sự (thỏa

lỏng) thì ràng buộc kia phải thỏa mãn với dấu bằng (thỏa chặt).

Hệ quả 1: Nếu một ràng buộc là lỏng đối với phương án tối ưu của bài toán này thì ràng buộc

đối ngẫu của nó phải là chặt đối với mọi phương án tối ưu của bài toán kia.

Hệ quả 2: Xét cặp bài toán đối ngẫu (II, ĨI) trong đó bài toán II có ràng buộc x ≥ 0. Nếu cặp bài

toán giải được và y* là duy nhất thì khi véc tơ b thay đổi một lượng Δb sao cho x* vẫn là phương

án của bài toán (sau khi thay đổi véc tơ b), ta luôn có Δf* = (y*, Δb) với Δf* là sự thay đổi tương

ứng của trị số tối ưu của bài toán gốc.

Suy ra, nếu chỉ có bi thay đổi, ta sẽ có Δf*/Δbi = y*i

Định lý 1.16: (Định lý độ lệch bù yếu). Một cặp phương án x, y của cặp bài toán quy hoạch tuyến

tính đối ngẫu là cặp phương án tối ưu khi và chỉ khi chúng nghiệm đúng các hệ thức:

n1, j 0 yacx

m1, i 0, bxay

iTaijjj

ijiji

Định lý 1.17: (Định lý độ lệch bù mạnh). Nếu cặp bài toán đối ngẫu có phương án thì tồn tại một

cặp phương án tối ưu x*, y* nghiệm đúng:

Y* + (Ax* - b) > 0 và x* + (c – ATy*) > 0

2.5.3 Các ứng dụng

Sử dụng các tính chất và định lý đối ngẫu chúng ta có thể xử lý các tình huống dưới đây mà

không nhất thiết phải giải lại bài toán.

a) Khảo sát sự tồn tại phương án, phương án tối ưu.

Thí dụ 1.18: Cho bài toán QHTT:

f(x) = 2x1 – x2 + 3x3 – 2x4 Min

x1 – x2 = 15

x3 – x4 = 8

xj ≥ 0 ( 41, j )

Hãy viết bài toán đối ngẫu và chứng tỏ nó có phương án cực biên tối ưu?


g(y) = 15y1 + 8y2 Max

y1 ≤ 2

-y1 ≤ -1

y2 ≤ 3

-y2 ≤ -2

PTITPTIT


77

Dễ dàng thấy rằng x = (15,0, 8, 0) và y = (1, 2) hoặc y = (2, 3) là các phương án của cặp bài toán

đối ngẫu. Suy ra cặp bài toán có phương án tối ưu. Mặt khác, do hạng của hệ ràng buộc của bài

toán đối ngẫu bằng 2 do đó nó có phương án cực biên tối ưu.

b) Giải bài toán gốc bằng thuật toán đơn hình từ đó suy ra lời giải của bài toán đối ngẫu

Từ bài toán bất kỳ ta đưa về dạng chính tắc bằng các phép biến đổi, tìm phương án cực biên

không suy biến, sau đó áp dụng thuật toán đơn hình giải bài toán gốc. Từ nghiệm của bài toán gốc,

sử dụng định lý 1.15 tìm nghiệm của bài toán đối ngẫu.


f(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 Min

3x1 + x2 + x3 = 1 (1)

5x1 + x2 + x3 + x4 = 3 (2)

2x1 +5x2 + x3 + x5 = 8 (3)

xj ≥ 0 ( 5 1, j )

có phương án tối ưu x* = (0, 1, 0 2, 3) với fmin = f(x*) = 6. Hãy tìm phương án tối ưu của bài toán

đối ngẫu.

Giải: Bài toán đối ngẫu có dạng:

g(y) = y1 + 3y2 + 8y3 Max

với các điều kiện: 3y1 + 5y2 + 2y3 ≤ 1

y1 + y2 + 5y3 ≤ 1

y1 + y2 + y3 ≤ 1

y2 ≤ 1

y3 ≤ 1

Gọi y* là phương án tối ưu của bài toán này. Do 0 x, x,x *5

*4

*2 nên theo định lý (1.15) y* nghiệm

đúng hệ phương trình:

y1 + y2 + 5y3 = 1

y2 = 1

y3 = 1

Giải hệ này được y* = (-5, 1, 1) với gmax = 6 = fmin


f(x) = 5x1 – 9x2 +15x3 – 7x4 + 6x5 → Min

x1 + 3x2 - x3 - x4 + x5 ≤ 1

4x1 + x3 + 2x4 - x5 = 4

-x1 - x2 + x3 - x5 ≥ -1

x2,…., x5 ≥ 0

a. Viết bài toán đối ngẫu.

b. Phân tích tính chất của phương án x0 = (0, 1, 0, 2, 0)

Giải :

a. g(y) = y1 + 4y2 – y3 → Max

y1 + 4y2 – y3 = 5 (1)

3y1 - y3 ≤ -9 (2)

-y1 + y2 + y3 ≤ 15 (3)

-y1 + 2y2 ≤ -7 (4)

PTITPTIT


78

y1 – y2 – y3 ≤ 6 (5)

y1 ≤ 0 (6)

y3 ≥ 0 (7)

b. Phương án x0 thỏa chặt 2 ràng buộc chính và 2 ràng buộc biến ( x1 không có ràng buộc dấu ).

Để xác định hệ 5 ràng buộc chặt này có độc lập tuyến tính hay không, ta xét :

1 3 -1 -1 1

4 0 1 2 -1

hg -1 -1 1 0 -2 <5

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

Vì :

1 1 -1 -1 1

4 0 1 2 -1

-1 -1 1 0 -2

0 0 1 0 0

0 0 0

= 0

0 1

Vậy x0 là phương án không cực biên.

Giả sử x0 là phương án tối ưu. Theo định lý đối ngẫu 1.15 mọi phương án tối ưu y của bài toán đối

ngẫu phải thỏa mãn chặt ràng buộc (2), (4) (vì x2 = 1 > 0 và x4 = 2 > 0) và ràng buộc (1), nghĩa là

ta có :

3y1 - y3 = -9

-y1 + 2y2 = -7

y1 + 4y2 – y3 = 5

Giải hệ phương trình này ta có nghiệm : y =( 3 3 3

1 13 + y ; 2 + y ; y

3 6 )

Thế vào các ràng buộc (3), (5), (6), (7) ta có:

Đối với ràng buộc (3) :

-y1 + y2 + y3 = 3 3 3 3 3

1 1 53 - y + 2 + y + y = 5 + y 15 y 12

3 6 6


y1 – y2 – 2y3 = 3 3 3 3 3

1 1 113 + y - 2 - y - 2y = -5 - y 6 y -6

3 6 6


y1 = 3 3

13 + y 0 y 9

3

Đối với ràng buộc (7) : y3 ≥ 0

Suy ra 0 ≤ y3 ≤ 9

Tại y3 = 0 ta có nghiệm cực biên tối ưu y* = (-3 ; 2, 0) ; g(y*) = 5

Tại y3 = 9 ta có nghiệm cực biên tối ưu y* = (0, 7/2 ; 9) ; g(y*) = 5

Như vậy để x0 là phương án tối ưu của bài toán gốc và phương án y* với 0 ≤ y3 ≤ 9 là phương án

tối ưu của bài toán đối ngẫu (Theo định lý đối ngẫu 1.15)

PTITPTIT


79

Thí dụ 2.21: Cho bài toán QHTT

f(x) = 7x1 + 6x2 – 12x3 + x4 Max

2x1 – 2x2 – 3x3 + 2x4 = 8 (1)

3x2 + 2x3 – 2x4 ≤ -1 (2)

2x1 - 3x3 + x4 = 10 (3)

xj ≥ 0 ( 41, j )

và véc tơ x0 = (0, 6, 0, 10). Viết bài toán đối ngẫu. Phân tích tính chất của x0 đối với bài toán đã

cho. Xác định tập phương án tối ưu của hai bài toán. Chỉ ra một phương án tối ưu không cực biên

của bài toán gốc.

Giải: Bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho:

g(y) = 8y1 – y2 + 10y3 Min

2y1 + 2y3 ≥ 7

-2y1 + 3y2 ≥ 6

-3y1 + 2y2 – 3y3 ≥ -12

2y1 – 2y2 + y3 ≥ 1

y2 ≥ 0

Dễ dàng thấy rằng x0 thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán, x0 là phương án; phương án x0 thoả

chặt các ràng buộc 1, 3 và 2 ràng buộc dấu, những ràng buộc này độc lập tuyến tính nên x0 là

phương án cực biên (không suy biến). Phương án x0 thỏa lỏng ràng buộc 2 và 2 ràng buộc dấu.

Giả sử x0 là phương án tối ưu, theo định lý 2.15 mọi phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu phải

thỏa mãn:

-2y1 + 3y2 = 6

2y1 – 2y2 + y3 = 1

y2 = 0

Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất y0 = (-3, 0, 7). Thử y0 vào ràng buộc 1, 3 của bài toán

đối ngẫu, ta thấy nó thoả mãn, y0 là phương án. Thay nghiệm vào hàm mục tiêu của cặp bài toán

đối ngẫu ta có:

f(x0) = 46 = g(y0)

Vậy x0 và y0 là phương án tối ưu và hơn nữa là phương án tối ưu duy nhất.

Phương án tối ưu y0 chỉ thoả lỏng ràng buộc 1 nên mọi phương án tối ưu của x phải thỏa mãn:

x1 = 0

- 2x2 – 3x3 + 2x4 = 8

- 3x3 + x4 = 10

Giải hệ phương trình theo x4 ta có nghiệm tổng quát:

x = (0, 1 + 1/2x4, -10/3 + 1/3x4, x4)

Thử x vào các ràng buộc còn lại của bài toán gốc, ta có:

3x2 + 2x3 – 2x4 ≤-1

Suy ra: 3 + 3/2x4 – 20/3 + 2/3x4 – 2x4 ≤-1

x4 ≤ 16; x2 = 1 + 1/2x4 ≥ 0 x4 ≥ -2

x3 = -10/3 + 1/3x4 ≥ 0 x4 ≥ 10; x4 ≥ 0

Kết hợp lại ta được 10 ≤ x4 ≤ 16. Với điều kiện này x là phương án đồng thời là phương án tối ưu

của bài toán gốc.

PTITPTIT


80

Vậy tập phương án tối ưu của bài toán gốc là:

x = (0, 1 + 1/2x4, -10/3 + 1/3x4, x4) với 10 ≤ x4 ≤ 16

Chẳng hạn x4 = 13, ta được một phương án tối ưu không cực biên.

x’ = (0, 15/2, 1, 13)

b) Giải bài toán gốc bằng thuật toán đơn hình từ đó suy ra lời giải của bài toán đối ngẫu

Từ bài toán bất kỳ ta đưa về dạng chính tắc bằng các phép biến đổi, tìm phương án cực biên

không suy biến, sau đó áp dụng thuật toán đơn hình giải bài toán gốc. Từ nghiệm của bài toán gốc,

sử dụng định lý 1.15 tìm nghiệm của bài toán đối ngẫu.

2.5.4 Phương pháp đơn hình đối ngẫu.

a) Cơ sở lý luận của phương pháp

Nội dung của phương pháp này là áp dụng phương pháp đơn hình cho bài toán đối ngẫu của bài

toán chính tắc nhưng nhằm mục đích tìm lời giải của bài toán gốc và mô tả bằng ngôn ngữ của bài

toán gốc.

Giả sử, bài toán gốc có dạng:

f(x) = (c.x) → Min

Ax = b

x ≥ 0

Bài toán đối ngẫu là:

g(y) = (b.y) → Max

(Aj,y) ≤ cj ( j = 1,n )

Cơ sở của phương án cực biên của bài toán đối ngẫu:

- Một phương án y của bài toán đối ngẫu thỏa mãn chặt m ràng buộc độc lập tuyến tính là

phương án cực biên theo định nghĩa tổng quát.

- Phương án cực biên y thỏa chặt đúng m ràng buộc độc lập tuyến tính là phương án cực biên

không suy biến, thỏa mãn chặt hơn m ràng buộc là phương án cực biên suy biến.

Ta gọi m véc tơ Aj độc lập tuyến tính ứng với các ràng buộc chặt của phương án cực biên y là cơ

sở của phương án cực biên đố.

Ký hiệu cơ sở đó là J: j

j j

J = m

A : j J

(A ,y) = c (j J)

Phương án cực biên y không suy biến có một cơ sở duy nhất.

Phương án cực biên suy biến có nhiều cơ sở khác nhau.

Giả sử y là phương án cực biên với cơ sở J, khi đó ta có:

(Aj, y) = cj ( j J ) (2)

(Ak, y) ≤ cj ( j J ) (3)

((Ak, y) < ck với k J và y là phương án cực biên không suy biến)

Ký hiệu Aj = j j j(A : j J); c (c :j J)

Dạng ma trận của (2) là:

yAj = cj -1 -1 -1

j j j j j jyA A = c A y = c A (4)

Thay (4) vào (3)ta có:

Gồm m phần tử

Độc lập tuyến tính PTITPTIT


81

-1k j j k

-1j j k k

-1j j k j k k k k k

(A ,c A ) c (k J)

(c A A ) c (k J)

(c A ,A ) = (c z ) = + c c Δ 0 k J

Vậy nếu J là cơ sở của phương án cực biên y của bài toán đối ngẫu thì ∆k ≤ 0 k J ngược lại nếu

J là một cơ sở có ∆k ≤ 0 k J :

Xét hệ phương trình:

(Aj,y) = cj j J (Đây là hệ crame có duy nhất nghiệm y = -1j jc A )

Muốn biết y có phải là phương án không ta thử vào các ràng buộc còn lại:

-1 -1k j j k j j k j k k k(A ,y) = (c A ,A ) = (c A A ) = (c z ) = Δ + c

Do giả thiết ∆k ≤ 0 k k k k(A ,y) = Δ + c c k J

y là phương án cực biên với cơ sở J. Vậy cơ sở J có ∆k ≤ 0 k J là cơ sở của phương án cực

biên -1j jy = c A của bài toán đối ngẫu.

Kết luận: Cơ sở J của phương án cực biên y của bài toán đối ngẫu tương đương với cơ sở J có ∆k ≤

0 k J và J được gọi là cơ sở đối ngẫu. Đối với phương án cực biên y cơ sở J ta luôn có:

(Aj, y) = cj ( j J )

(Ak, y) ≤ ∆k + ck ( j J ) (5)

Bây giờ ta xét đặc trưng của phương án cực biên y ở bài toán gốc như thế nào?

Xuất phát từ cơ sở đối ngẫu J xét hệ phương trình ràng buộc của bài toán gốc:

n

j j j jj=1 j J

k

x A = b x A = b (6 )

x = 0 k J

Do tính độc lập của hệ Aj: j J nên hệ phương trình (6) có nghiệm duy nhất là:

-1j j kx x A b, x = 0 k J (7)

Gọi là giả phương án của bài toán gốc ứng với cơ sở đối ngẫu J.

Các biến xj ( j J ) gọi là biến cơ sở còn các trị số tương ứng của chúng gọi là thành phần cơ sở

của giả phương án, xk với k J là biến phi cơ sở do vậy J còn được gọi là cơ sở của giả phương

án (chưa thỏa mãn xj ≥ 0 j J ). Qua đây ta thấy chỉ khi có phương án cực biên y mới có khái

niệm giả phương án, cho giả phương án x thì đằng sau nó là phương án cực biên y.

Tóm lại: Về thực chất, đây là phương pháp đơn hình áp dụng vào bài toán đối ngẫu, nhưng để tìm

lời giải của bài toán gốc và diễn đạt các bước tiến hành theo ngôn ngữ của bài toán gốc.

Phương pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính bắt đầu từ một phương án (nghiệm đúng

Ax = b; x ≥ 0) mà nó chưa thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu. Sau mỗi bước lặp ta sẽ tìm được một

phương án mới tốt hơn phương án cũ và quá trình lặp này tiếp tục cho đến khi nhận được phương

án thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu.

Phương pháp đơn hình đối ngẫu lại xuất phát từ một “giả phương án” (nghiệm đúng Ax = b) mà

nó thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu nhưng không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, nghĩa là bảng đơn hình ban

đầu không có phần tử dương trên dòng mục tiêu (dòng cuối), nhưng lại có phần tử âm ở cột

phương án (vì thế có tên gọi là cột giả phương án). Các bảng đơn hình được biến đổi sao cho luôn

PTITPTIT


82

đảm bảo điều kiện tối ưu và quá trình này tiếp diễn cho đến khi nhận được phương án (không còn

phần tử âm trong cột giả phương án). Phương án đó sẽ là phương án tối ưu.

Phương pháp đơn hình đối ngẫu thường được sử dụng khi ta chưa biết một phương án cực biên

nào của bài toán gốc, nhưng lại có sẵn một phương án cực biên của bài toán đối ngẫu. Chẳng hạn,

khi bài toán cần giải có dạng chuẩn và véc tơ hệ số mục tiêu c ≥ 0.

Min{f(x) = <c. x>: Ax ≥ b, x ≥ 0} (vế phải b tuỳ ý)

Bài toán đối ngẫu có dạng:

Max{g(y) = <b. y>: ATy ≤ c, y ≥ 0}

Rõ ràng y0 = 0 là một phương án cực biên của bài toán đối ngẫu, bởi vì ATy0 = 0 ≤ c.

b) Thuật toán đơn hình đối ngẫu:

Các bước tiến hành thuật toán đối ngẫu như sau:

Bước 1: Lập bảng đơn hình đối ngẫu ban đầu.

Bước 2: Kiểm tra tối ưu: Nếu mọi phần tử trong cột giả phương án đều không âm thì thuật toán

dừng và ta nhận được phương án tối ưu của bài toán đã cho. Trái lại, chuyển sang bước 3.

Bước 3: Chọn dòng xoay: Đó là dòng đầu tiên từ trên xuống mà nó chứa phần tử âm nhỏ nhất

trong cột giả phương án.

Bước 4: Chọn cột xoay: Lấy các phần tử trên dòng ước lượng (tính từ cột j = 1) chia cho các

phần tử tương ứng trên dòng xoay, nhưng chỉ chia cho các phần tử âm trên dòng xoay. Cột xoay là

cột đầu tiên từ trái sang phải ứng với số nhỏ nhất trong các tỷ số đó.

Bước 5: Biến đổi bảng đơn hình hoàn toàn như trong phương pháp đơn hình thường (thay đổi

biến cơ sở, đổi hệ số mục tiêu tương ứng, xác lập các véc tơ đơn vị, biến đổi dòng chính mới và

cuối cùng là biến đổi các phần tử còn lại theo quy tắc hình chữ nhật).

Trở lại thực hiện bước 2.

Chú ý: Khi tìm cột xoay, nếu mọi phần tử trên dòng xoay đều không âm thì đó là dấu hiệu cho

thấy bài toán ban đầu không có phương án.

Thí dụ 2.22: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau đây:

f(x) = 15x1 + 12x2 + 10x3 Min

3x1 + 4x2 + 2x3 ≥ 160

x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 140

xj ≥ 0, j (1,3 )

Giải: Đưa bài toán về dạng chính tắc và đổi dấu hai vế các ràng buộc đẳng thức, ta nhận được bài

toán:

f(x) = 15x1 + 12x2 + 10x3 Min

-3x1 - 4x2 - 2x3 + x4 = -160

-x1 - 2x2 - 3x3 + x5 = -140

xj ≥ 0, j (1,5 )

Bài toán có n = 5 biến, m = 2 ràng buộc chính, nên mỗi bảng đơn hình có n + 3 = 8 cột và m + 1 =

3 dòng. Trong bảng đơn hình ban đầu ghi lại các hệ số trong bài toán, chỉ khác là cột phương án

được thay bằng cột giả phương án, vì trong thành phần của “phương án” xuất phát có các phần tử

âm. Bảng này tương ứng với giả phương án ban đầu x0 = (0, 0, 0, -160, -140), f(x0) = 0.

PTITPTIT


83

Bảng 2.14

CB Cơ sở J Giả

phương án

A1 A2 A3 A4 A5

15 12 10 0 0

0 A4 -160 -3 -4 -2 1 0

0 A5 -140 -1 -2 -3 0 1

Bảng 1 0 -15 -12 -10 0 0

12 A2 40 ¾ 1 1/2 -1/4 0

0 A5 -60 ½ 0 -2 -1/2 1

Bảng 2 480 -6 0 -4 -3 0

0 A2 25 7/8 1 0 -3/8 ¼

0 A3 30 -1/4 0 1 1/4 -1/2

Bảng 3 0 -7 0 0 -2 -2

Ở bảng 3, mọi phần tử trong cột giả phương án đều dương, nên ta nhận được phương án tối ưu:

x* = (0, 25, 30), f(x*) = 600.

Từ kết quả tính toán nêu trên, ta có thể tìm được lời giải của bài toán đối ngẫu nhờ quy tắc sau

đây:

Nếu cơ sở ban đầu là ma trận đơn vị thì để tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu, ta chọn ra

từ bảng đơn hình đối ngẫu cuối cùng các Δj của các cột biến xj mà chúng là biến cơ sở của bước

lặp đầu tiên (Bảng 1), rồi cộng thêm hệ số cj tương ứng. Sau đó, đổi dấu tổng tìm được nếu biến

cơ sở tương ứng ban đầu nhận giá trị âm.

Với thí dụ đang xét, ta thấy biến cơ sở ở bước lặp đầu tiên (Bảng 1) là x4, x5. Lúc đầu các biến

này nhận giá trị âm, nên phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu y* = ( *2

*1 y,y ) được xác định như

sau:

2 0 - 2 c - - y

2 0 - 2 c - - y

55*2

44*1

Vậy y* = (2, 2) và g(y*) = 600 = fmin

Thí dụ 2.23 : Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình đối ngẫu :

f(x) = x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 5x5 → Min

x1 + 2x2 - x3 + x4 - x5 = 3

- x2 - x3 + 2x4 + 4x5 ≥ 18

-x2 - 3x3 + 2x5 ≤ 10

xj ≥ 0 (j = 1,5 )


g(y) = 3y1 + 18y2 + 10y3 → Max

y1 ≤ 1 (1)

2y1 - y2 - y3 ≤ 3 (2)

-y1 - y2 - 3y3 ≤ 2 (3)

y1 + 2y2 ≤ 3 (4)

-y1 + 4y2 + 2y3 ≤ 5 (5)

y2 ≥ 0 (6)

y3 ≤ 0 (7)

PTITPTIT


84

Dễ dàng thử lại véc tơ y0 = (1, 0, 0) là phương án cực biên của bài toán đối ngẫu với các ràng buộc

độc lập tuyến tính là j = (1, 6, 7) lập bảng đơn hình ứng với cơ sở J = (A1, A6, A7) vì đây là cơ sở

đơn vị nên ta trực tiếp đưa ma trận hệ số vào bảng (tương ứng với cơ sở đó ta cũng có giả phương

án x0 = (3, -18, 10))

Bảng 2.15

CB Cơ sở

J

Giả

phương án

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

1 3 2 3 5 0 0

1 A1 3 1 2 -1 1 -1 0 0

0 A6 -18 0 1 1 -2 -4 1 0

0 A7 10 0 -1 -3 0 2 0 1

Bảng 1 0 -1 --3 -2 -6 0 0

1 A1 -6 1 5/2 -1/2 0 -3 1/2 0

3 A4 9 0 -1/2 -1/2 1 2 -1/2 0

0 A7 10 0 -1 -3 0 2 0 1

Bảng 2 0 -2 -4 0 -2 -1 0

5 A5 2 -1/3 -5/6 1/6 0 1 -1/6 0

3 A4 5 2/3 7/6 -5/6 1 0 -1/6 0

0 A7 6 2/3 2/3 -10/3 0 0 1/3 1

Bảng 3 25 -2/3 -11/3 -11/3 0 0 -4/3 0

Phương án tối ưu :

x* = (0, 0, 0, 5, 2) với fmin = 25

Từ bảng 3 ta có thể suy ra phương án cực biên tối ưu của bài toán đối ngẫu

*1

*2

*3

2 1y 1

3 3

4 4y ( )

3 3

y 0 + 0 = 0

với gmax = 25

Thí dụ 2.24 : Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau :

f(x) = 2x1 – 4x2 + x3 - x4 + 2x5→ Min

x1 + 2x2 + x3 + x4 - 3x5 = -6

4x2 + x3 + x4 - x5 = -4

2x3 - x5 + x6 = 2

x2 + x3 + 4x5 + x7 = 6

xj ≥ 0 (j =1,7 )

Chứng tỏ véc tơ X = (-2, 0, 0, -4, 0, 2, 6) là giả phương án của nó. Xuất phát từ x giải bài toán

bằng phương pháp đơn hình đối ngẫu.

Giải : X có 4 thành phần khác không, nếu X là giả phương án thì chúng phải là thành phần cơ sở.

Muốn thử lại, trước hết ta chỉ ra hệ véc tơ cột A1, A4, A6, A7 độc lập tuyến tính, tạo nên một cơ sở.

Lập bảng đơn hình đối ngẫu ứng với cơ sở đó và kiểm tra điều kiện ∆k ≤ 0 k cơ sở, nếu thỏa

mãn thì đó là cơ sở đối ngẫu và X là giả phương án, sau đó áp dụng thuật toán để giải.ả hệ phương

trình theo dòng sao cho

PTITPTIT


85

Để thực hiện ta chỉ cần biến đổi ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình theo dòng sao cho

A1, A4, A6, A7 trở thành hệ véc tơ đơn vị

1 2 1 1 -3 0 0 6

0 4 1 1 -1 0 0 4

0 0 2 0 -1 1 0 2

0 1 1 4 4 0 0 6

1 -2 0 0 -2 0 0 2

0 4 1 1 -1 0 0 4

0 0 2 0 -1 1 0 2

0 1 1 0 4 0 1 6

Ta được ma trận hệ số phân tích theo cơ sở A1, A4, A6, A7. Lập bảng đơn hình :

Bảng 2.16

CB Cơ sở

J

Giả

phương án

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

2 -4 1 -1 2 0 0

2 A1 -2 1 -2 0 0 -2 0 0

-1 A4 -4 0 4 1 1 -1 0 0

0 A6 2 0 0 2 0 -1 1 0

0 A7 6 0 1 1 0 4 0 1

Bảng 1 0 0 -4 -2 0 -5 0 0

2 A1 6 1 -10 -2 -2 0 0 0

2 A5 4 0 -4 -1 -1 1 0 0

0 A6 6 0 -4 1 -1 0 1 0

0 A7 -10 0 17 5 4 0 0 1

Bảng 2 0 -24 -7 -5 0 0 0

Ở bảng 2 ta nhận thấy x7 = 10 mà Z7k > 0 k J do đó bài toán gốc không có phương án.

Nhận xét:

- Một bài toán dạng chính tắc, có một cơ sở J

Nếu ứng với cơ sở đó ta có phương án cực biên X = {xj ≥ 0, j J, xk = 0, k J } thì j gọi là

cơ sở gốc và áp dụng phương pháp đơn hình thường để giải.

Nếu ứng với cơ sở đó ta có ∆k ≤ 0 k J thì J gọi là cơ sở đối ngẫu và áp dụng phương pháp

đơn hình đối ngẫu để giải.

- Nếu J vừa là cơ sở gốc vừa là cơ sở đối ngẫu thì đó là cơ sở ứng với cặp phương án tối ưu của

hai bài toán và gọi là cơ sở tối ưu. Vì vậy khi giải bài toán gốc và đã tìm được phương án tối ưu

của nó, muốn suy ra nhiệm cảu bài đối ngẫu ta sử dụng quy tắc trong thí dụ 2.23.

2.5.5 Ứng dụng lý thuyết đối ngẫu.

Để phân tích ý nghĩa kinh tế trong mối quan hệ giữa hai bài toán đối ngẫu, chúng ta sử dụng cặp

bài toán đối ngẫu sau:

(P)

n

j jj=1

n

ij j ij=1

j

f(x) = c x Max

a x b (i = 1,m)

x 0 (j = 1,n)

PTITPTIT


86

(Q) ij

m

i ii=1

mT

j ji=1

i

g(y) = b y Min

a x c (j = 1,n)

y 0 (i = 1, m)

Với nội dung kinh tế của bài toán (P) là:

Sử dụng m loại tài nguyên khác nhau (nguyên vật liệu, thiết bị, nhân công,…) mà khối lượng của

chúng bị hạn chế bởi các lượng b1, b2,…., bm để sản xuất n loại sản phẩm. Biết rằng định mức chi

phí loại tài nguyên i ( m 1, i ) cho một đơn vị sản phẩm j là aij ( n 1, j ). Cho biết ước lượng giá

trị của một đơn vị sản phẩm j là cj. Hãy xác định khối lượng sản phẩm mỗi loại cần sản xuất trong

kỳ (đặc trưng bởi xj) sao cho chi phí tài nguyên không vượt quá số lượng đã cho và tổng giá trị sản

phẩm đạt cực đại?

Như đã biết, có nhiều loại tài nguyên tham gia vào quá trình sản xuất, việc sử dụng từng loại tài

nguyên để tạo ra sản phẩm phải được đánh giá để biết được loại tài nguyên nào là cần thiết và có

ích, loại nào không cần thiết. Việc đánh giá này không đúng đắn sẽ dẫn tới sự lãng phí và gây hậu

quả tai hại cho doanh nghiệp trong những chu kỳ sản xuất tiếp theo. Giải quyết như thế nào về vấn

đề đánh giá để từ đó có chủ trương hợp đồng mua bán, dự trữ nguồn tài nguyên hợp lý, đó chính là

nội dung của bài toán đối ngẫu (Q). Trong bài toán này yi là trị giá ước lượng của một đơn vị tài

nguyên i, g(y) là tổng giá trị của nguồn tài nguyên sử dụng cho việc sản xuất các loại sản phẩm,

ràng buộc i là giá trị chung của các tài nguyên tiêu phí cho một đơn vị sản phẩm j không dưới giá

trị một đơn vị sản phẩm j. Hãy tìm phương án đánh giá trị giá ước lượng tài nguyên sao cho tổng

giá trị nguồn tài nguyên sử dụng nhỏ nhất với điều kiện chi phí các tài nguyên dùng cho một sản

phẩm không dưới giá trị của nó.

Dựa vào định lý đối ngẫu (2.15) đối với cặp bài toán này, chúng ta phân tích ý nghĩa kinh tế

trong mối quan hệ của chúng. Giả sử x là phương án số lượng sản phẩm tối ưu của bài toán (P), y

là phương án đánh giá trị giá ước lượng tài nguyên tối ưu của bài toán (Q).

Nếu 0 x j thì j

m

1ii

Taij cya

Về nội dung kinh tế được giải thích như sau:

xj > 0 nghĩa là trong phương án sản xuất tối ưu sản phẩm j được đưa vào sản xuất thì ước lượng

giá trị các tài nguyên sử dụng để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại j đúng bằng giá trị sản

phẩm đó. Điều này chứng tỏ việc chuyển dịch giá trị các tài nguyên vào sản phẩm được sử dụng

hết, không lãng phí và việc sản xuất này là xác đáng.

Nếu i

n

1jjij bxa

thì yi = 0

Về nội dung kinh tế thì i

n

1jjij bxa

có nghĩa là: trong phương án sản xuất tối ưu chi phí chung về

tài nguyên loại i nhỏ theo khối lượng tài nguyên hiện có, khi đó giá trị ước lượng loại tài nguyên

này bằng 0 (yi = 0). Điều này là hợp lý vì trong phương án sản xuất tối ưu tài nguyên i không được

sử dụng hết thì không nên mua thêm loại tài nguyên đó để dự trữ, vì nếu có mua thêm nó cũng

không ảnh hưởng tới phương án tối ưu và tổng giá trị các sản phẩm, nhưng sẽ làm tăng chi phí

PTITPTIT


87

quản lý dự trữ và tồn đọng vốn. Do vậy trong phương án đánh giá tài nguyên i được xem là không

có giá trị.

2. Nếu yi > 0 thì i

n

1jjij bxa

Về nội dung kinh tế thì yi > 0 chứng tỏ loại tài nguyên i có giá trị và như vậy nó đã được sử dụng

hết vào sản xuất sản phẩm, trong phương án tối ưu i

n

1jjij bxa

. Do đó cần mua thêm và dự trữ

loại tài nguyên này cho quá trình sản xuất tiếp theo.

Nếu j

m

1ii

Taij cya

thì xj = 0

Về mặt kinh tế thì j

m

1ii

Taij cya

chứng tỏ giá trị tài nguyên sử dụng để sản xuất loại sản phẩn j

không được chuyển dịch hết vào giá trị sản phẩm. Như vậy quá trình sản xuất đã gây lãng phí và

do đó sản phẩm loại j không nên đưa vào phương án sản xuất tối ưu, vì sẽ làm giảm tổng giá trị

sản phẩm và sẽ làm giảm tổng số tiền lãi của doanh nghiệp.

Quan hệ giữa giá trị hàm mục tiêu của hai bài toán (P) và (Q) cũng chứa đựng một nội dung kinh

tế rõ rệt. Trong quá trình sản xuất suy cho cùng không thể tạo ra những sản phẩm có giá trị cao

hơn mà cùng lắm là bằng tổng giá trị các nguồn tài nguyên được sử dụng. Vì vậy chỉ có những

phương án đánh giá y và phương án sản xuất x sao cho tổng giá trị sản phẩm sản xuất được bằng

tổng giá trị các nguồn tài nguyên sử dụng mới là các phương án tối ưu được chấp nhận.

Thí dụ 2.23: Một nhà máy có 3 phương pháp sản xuất khác nhau để sản xuất ba mặt hàng 1, 2, 3.

Số lượng hàng loại i phải sản xuất tối thiểu là bi chiếc. Nếu áp dụng cách sản xuất thứ j trong một

đơn vị thời gian thì chi phí là cj và thu được aij đơn vị hàng loại i. Các số liệu tương ứng cho ở

bảng dưới đây. Yêu cầu đối với nhà máy là cần sử dụng các phương pháp sản xuất sao cho đảm

bảo nhu cầu về sản phẩm đồng thời tổng chi phí là nhỏ nhất?

Bảng 2.17

J

I 1 2 3 bi

1 4 4 2 16

2 5 3 1 20

3 1 1 1 3

cj 10 8 2

a) Lập mô hình toán học của bài toán trên? Viết bài toán đối ngẫu của nó và giải thích nội dung

kinh tế các biến trong bài toán đối ngẫu?

b) Dùng định lý đối ngẫu (2.15) hãy chứng tỏ véc tơ x = (4, 0, 0) là phương án tối ưu của bài toán

gốc. Phân tích ý nghĩa kinh tế trong mối quan hệ giữa hai bài toán trên cơ sở hai phương án tối ưu

của chúng?

Giải:

a) Gọi xj là thời gian áp dụng phương pháp sản xuất thứ j (j = 3,1 ). Dạng toán học của bài toán là:

Tìm véc tơ x = (x1, x2, x3) R3 sao cho:

f(x) = 10x1 + 8x2 + 2x3 Min

PTITPTIT


88

với điều kiện: 4x1 + 4x2 + 2x3 ≥ 16 (1)

5x1 + 3x2 + x3 ≥ 20 (2)

x1 + x2 + x3 ≥ 3 (3)

xj ≥ 0 (j = 3,1 )

Bài toán đối ngẫu. Gọi yi là giá trị của một đơn vị hàng loại i, khi đó ta có:

g(y) = 16y1 + 20y2 + 3y3 Max

4y1 + 5y2 + y3 ≤ 10 (4)

4y1 + 3y2 + y3 ≤ 8 (5)

2y1 + y2 + y3 ≤ 2 (6)

yi ≥ 0 (I = 3,1 )

Về nội dung kinh tế thì f(x) chính là tổng chi phí, còn g(y) là tổng giá trị sản phẩm sản xuất được.

b) Giả sử x = (4, 0, 0) là phương án tối ưu, x thỏa lỏng các ràng buộc (3) và một ràng buộc dấu (x1

= 4 > 0) nên theo định lý đối ngẫu (2.15) mọi phương án tối ưu y = (y1, y2, y3) của bài toán đối

ngẫu phải thỏa mãn hệ phương trình:

y3 = 0

4y1 + 5y2 + y3 = 10 hay 4y1 + 5y2 = 10

y2 = 2 - 1y5

4

Nghiệm tổng quát: y = (y1, 2 - 1y5

4, 0)

Thay vào các ràng buộc còn lại ta có;

y1 ≤ 4

5

y1 ≤ 0 y1 = 0

y1 ≥ 0

Vậy y = (0, 2, 0) là nghiệm của bài toán đối ngẫu và g(y) = gmax = 40 = f(x) = fmin. nên định lý đối

ngẫu mạnh x, y là cặp nghiệm tối ưu.

Phân tích ý nghĩa kinh tế:

Ta có x1 = 4 chứng tỏ cách sản xuất thứ nhất đã được sử dụng, chỉ cần 4 đơn vị thời gian cho cách

sản xuất thứ nhất là đáp ứng được nhu cầu về sản phẩm và tổng giá trị các sản phẩm sản xuất được

là g(y) = 40. Tương ứng trong phương án đánh giá tối ưu ràng buộc (4) thỏa chặt, điều này nói lên

với phương án sản xuất đó mọi hao phí bỏ ra đều được chuyển hoá thành giá trị sản phẩm. Đây là

cách sản xuất tối ưu nên được áp dụng. Với cách sản xuất này nếu ta tăng thêm một đơn vị thời

gian thì có thể xây dựng được phương án tối ưu mới với tổng giá trị sản phẩm cao hơn trước là 10.

Thay phương án tối ưu y vào các ràng buộc của bài toán đối ngẫu ta thấy ràng buộc (5) thỏa lỏng,

chứng tỏ với phương pháp sản xuất thứ hai mọi hao phí bỏ ra không được chuyển hoá hết vào giá

trị sản phẩm nên không sử dụng phương pháp sản xuất này (x2 = 0).

Trong phương án tối ưu y ta có y2 = 2 > 0, điều này nói lên sản phẩm hàng loại hai được đánh giá

là có giá trị và chính nó có vai trò làm tăng tổng giá trị sản phẩm. Tương ứng trong phương án tối

ưu x ràng buộc (2) thỏa chặt, nghĩa là sản phẩm hàng loại hai sản xuất vừa đủ nhu cầu tối thiểu,

sản xuất đến đâu tiêu thụ hết đến đấy. Vì vậy trong phương án sản xuất tiếp theo nên mở rộng sản

xuất theo hướng sản phẩm hàng loại hai phải tăng thêm số lượng.

PTITPTIT


89

Ở đây ràng buộc (6) của bài toán đối ngẫu thỏa chặt, điều này nói lên có thể sử dụng cách sản

xuất thứ ba thay thế cho cách sản xuất thứ nhất trong trường hợp cách sản xuất thứ nhất gặp khó

khăn về trang thiết bị, nhiên liệu,…Ràng buộc (3) của bài toán gốc thỏa lỏng nên trong phương án

đánh giá tối ưu y sản phẩm này được xem là không có giá trị, nghĩa là trong phương án sản xuất

tiếp theo không nên chú trọng sản phẩm này.


I. Lý thuyết

1.Trình bày mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát, dạng chuẩn tắc và dạng chính

tắc ? Cho thí dụ ?

2. Thế nào là miền ràng buộc, phương án, phương án tối ưu ?

3. Định nghĩa phương án cực biên ?

4. Các phép biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính ?

5. Trình bày phương pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính ?

6. Trình bày các phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu ?

7. Trình bày lược đồ tổng quát khi xây dựng bài toán đối ngẫu ? Cho thí dụ ?

8. Các định lý đối ngẫu và ứng dụng khi tìm nghiệm ?

9. Phương pháp đơn hình đối ngẫu ?

10. Ý nghĩa kinh tế của cặp bài toán đối ngẫu ?

II. Bài tập

1. Tìm các phương án cực biên không suy biến của bài toán quy hoạch tuyến tính sau :

f(x) = 2x1 + x2 – 3x3 + 5x4 + x5 → Min

3x1 + 4x2 - x3 + x4 = 10

x1 - 3x2 - x4 + x5 = 0

-2x1 + x3 + 3x4 = 9

xj ≥ 0 (j =1,4 )

2. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính :

f(x) = -3x1 + x2 + 7x3 + 5x4 → Min0

x1 + 2x2 – 3x3 + x4 ≤ 37

-x1 - x2 + x3 + 3x4 = -5

2x1 + 3x2 – x3 - x4 ≥ 25

xj ≥ 0 (j =1,4 )

a) Chứng tỏ x0 = (14, 0, 0, 3) là phương án cực biên. Lợi dụng x0 giải bài toán bằng phương pháp

đơn hình ?

b) Viết bài toán đối ngẫu và tìm nghiệm đối ngẫu ?

3. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính:

f(x) = -x1 + x2 - 2x3 + 2x4 + x5

-3x2 + 3x3 + 7x4 + 13x5 + 20x6 = 32

-x2 + x3 + 2x4 + 4x5 + 6x6 = 6

2x1 + 2x2 – 8x3 – 6x4 – 8x5 - 13x6 = -24

xj ≥ 0 (j =1,6 )

PTITPTIT


90

a) Xét tính chất của véc tơ x0 = (0, 38, 0, 6, 8, 0) ? Xuất phát từ x0 dùng phương pháp đơn hình tìm

lời giải của bài toán trong 2 trường hợp : f(x) → Min và f(x)→ Max.

b) Khi f(x) → Min hãy tìm phương án tối ưu có x1= 23 ?


f(x) = x1 + 5x2 - 3x3 + 6x4 → Min

-x1 + 3x2 - x3 + x4 = -2

3x1 - x2 + 2x3 - x4 ≥ 14

2x1 + x2 + x3 – 3x4 ≤ 30

xj ≥ 0 (j =1,4 )

a) Chứng tỏ x0 = (0, 2, 8, 0) là phương án cực biên ? Lợi dụng x0 giải bài toán bằng phương pháp

đơn hình ?

b) Có kết luận gì khi f(x) → Max, khi đó xác định một phương án có thành phần x4 > 0 và

f(x) = 0 ?


f(x) = x1 - 3x2 - 4x3 - 2x4 + 3x5 → Min

2x1 - 22x3 + x4 + 14x5 ≥ 26

x1 + 2x2 + x3 - 3x4 + 2x5 = -12

-x1 - x2 + 2x3 + 2x4 – 4x5 = 4

4x1 + 7x2 – 4x3 – 9x4 + 15x5 ≤ -4

xj ≥ 0 (j =1,5 )

a) Xét tính chất của véc tơ x0 = (12, 0, 0, 8, 0) ? Lợi dụng x0 giải bài toán bằng phương pháp đơn

hình ? Xác định tập phương án tối ưu, chỉ ra các phương án cực biên tối ưu, phương án tối ưu có

x4 = 33 ?

b) Xác định phương án cực biên tối ưu của bài toán đối ngẫu ?


f(x) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + x5 + x6 → Min

x1 - x2 + 3x3 - 7x4 - 2x5 + x6 = 14

-4x1 + 6x2 - 9x3 +21x4 + 5x5 - 2x6 = -45

-2x1 + 4x2 – x3 + 2x4 – x5 + x6 = -15

xj ≥ 0 (j =1,6 )

và phương án cực biên x0 = (12, 0, 0, 0, 7, 16)

a) Biết c1 = 0 xác định những thành phần còn lại của véc tơ c để x0 là phương án tối ưu ? Tìm

phương án tối ưu tương ứng của bài toán đối ngẫu ?

b) Tìm điều kiện đối với véc tơ c để x0 là phương án tối ưu duy nhất ?

7. Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình đối ngẫu :

f(x) = 3x1 + 5x2 + x3 – 2x4 → Min

-7

2x2 + x3 + x4 ≤ 8

x1 + x2 - x3 - 2x4 = -6

-3x2 + 2x3 + x4 ≥ 20

5

2x2 – 5x3 ≥ -30

PTITPTIT


91

xj ≥ 0 (1,4 )

Sử dụng kết quả tính toán tìm lời giải của bài toán khi thay dấu « ≤ « ở ràng buộc (1) bằng dấu « ≥

« ?


f(x) = -4x1 - 5x2 + 2x3

x1 + 3x2 – 3x3 = 17

-x1 - x2 + 2x3 ≤ 2

4x1 + 5x2 - 2x3 ≤ 43

2x1 - x2 + 8x3 = -1

xj ≥ 0 (j =1,3 )

a) Xác định tập phương án cực biên của bài toán. Chứng tỏ bài toán giải được và chỉ ra phương

án cực biên tối ưu trong hai trường hợp f(x) → Min và f(x) → Max ?

b) Viết bài toán đối ngẫu tìm phương án tối ưu của nó khi f(x) → Min ?


f(x) = 4x1 + 7x2 + 2x4 – 6x5 - x6 → Min

-2x1 - x3 + 5x4 + x6 ≤ 9

x1 + 2x2 - 2x4 + 3x6 ≥ -8

3x1 - 4x4 + 3x5 + 6x6 ≤ 15

x1, x4, x6 ≥ 0

a) Viết bài toán đối ngẫu. Chứng tỏ bài toán có phương án cực biên và giải được. Tìm phương án

cực biên tối ưu của cặp bài toán đối ngẫu. Từ đó suy ra bài toán giải được với mọi véc tơ b, xác

định trị tối ưu của hàm mục tiêu trong trường hợp này ?

b) Với c6 = -5/2 chứng tỏ bài toán không giải được. Xác định một dãy phương án trên đó trị số

hàm mục tiêu giảm vô hạn ?

10. Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách

hàng bằng cách tiến hành quảng cáo trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho một phút

quảng cáo trên truyền hình là 400.000đ, trên hệ thống phát thanh là 80.000đ. Đài phát thanh chỉ

nhận các chương trình quảng cáo dài ít nhất 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình rất lớn

nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo tối đa là 4 phút. Theo các phân tích

xã hội học, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ hiệu quả gấp 6 lần trên sóng

phát thanh. Công ty dự định chi tối đa là 1.600.000đ cho đợt quảng cáo. Công ty nên đạt thời

lượng quảng cáo trên phát thanh và truyền hình như thế nào để đạt hiệu quả cao nhất ?

11. Doanh nhân A có 2 tỷ đồng muốn đầu tư vào các danh mục sau đây :

- Gửi tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suất 4%/năm

- Mua trái phiếu chính phủ với lãi suất 8%/năm.

- Cho doanh nghiệp tư nhân vay với lãi suất 15%/năm.

- Mua đất phân lô bán nền với lãi suất kỳ vọng 20%/năm.

Thời gian đáo hạn giả thiết là như nhau. Các hình thức đầu tư đều có rủi ro. Để hạn chế rủi ro

doanh nhân A được các nhà tư vấn hướng dẫn như sau :

- Không cho doanh nghiệp tư nhân vay quá 30% vốn.

- Số tiền mua trái phiếu chính phủ không vượt quá số tiền đầu tư trong 4 lĩnh vực kia.

- Ít nhất 20% số tiền đầu tư phải thuộc lĩnh vực tiết kiệm có kỳ hạn và trái phiếu.

PTITPTIT


92

- Tỷ lệ tiết kiệm không kỳ hạn trên tiết kiệm có kỳ hạn không vượt quá 1/3.

- Số tiền mua đất không vượt quá 40% số vốn.

Doanh nhân A muốn đầu tư toàn bộ vốn. Hãy lập mô hình bài toán tìm phương án đầu tư sao cho

thu được lợi nhuận tối đa. Giải bài toán bằng thuật toán đơn hình.

PTITPTIT

Bài giảngToán kinh tế Chương3: Mô hình bài toán vận tải

92

CHƯƠNG 3

MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI

Trong chương 3 ta sẽ xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng đặc biệt - Bài toán vận tải - với các

số liệu cụ thể. Trong chương này, ta đưa ra mô hình tổng quát của bài toán vận tải đồng thời làm

quen với phương pháp giải phù hợp với đặc điểm cấu trúc của bài toán.

3.1 Nội dung và đặc điểm

a) Nội dung kinh tế và mô hình toán học

Đặt vấn đề: Như đã nêu ở mục 2.1 chương 2, mô hình toán học của bài toán vận tải có dạng như

sau: f(x) =m n

ij iji=1 j=1

c x Min (Cực tiểu tổng chi phí vận chuyển) (3.1)

Với các điều kiện ràng buộc:

n

ij ij=1

x = a , i = 1,m (mọi điểm phát giao hết hàng). (3.2)

m

ij ji=1

x = b , j = 1,n (mọi điểm thu nhận đủ hàng) (3.3)

xij > 0 với i = 1,m , j = 1,n (lượng hàng vận chuyển không âm) (3.4)

Ở đây m là điểm phát hàng, n là điểm tiêu thụ hàng.

ai: là lượng hàng có (cung) ở điểm phát i ( i = 1,m ).

bj: là lượng hàng yêu cầu ở điểm thu j ( j = 1,n ) .

cij: là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j.

xij: biểu thị lượng hàng vận chuyển cần tìm từ điểm phát i tới điểm thu j.

Điều kiện cần và đủ để bài toán (3.1)-(3.4) giải được là phải có điều kiện cân bằng thu phát,

nghĩa là tổng cung bằng tổng cầu:

n n

i jj=1 j=1

a = b , (i = 1,m, j = 1,n) (3.5)

Bài toán vận tải (3.1) – (3.4) là một dạng đặc biệt của quy hoạch tuyến tính. Để thấy rõ điều này

ta sắp xếp các biến số theo thứ tự x11, x12,….x1n, x21, x22,....., x2n,….., xm1, xm2,….., xmn và viết lại

hệ ràng buộc.

Ràng buộc chính (3.2) – (3.3) dưới dạng hệ m + n phương trình của m x n biến số xij như sau:

x11 + x12 +…. x1n = a1

x21 + x22 +…. + x2n = a2

…………………………………….

xm1 + xm2 +…………..…….xmn = am

x11 + x21 +……………….xm1 = b1

x12 +……………+ x22 +……………..+ xm2 = b2

…………………………………………………………………………...

x1n + x2n +…………..+ xmn = bn

(3.6)

PTITPTIT


93

Ký hiệu ma trận A là ma trận hệ số của hệ phương trình trên (gồm m + n hàng và m x n cột),

x = (x11, x12,…., x1n, x21, x22,……., x2n,…….., xm1, xm2,……, xmn)T là véc tơ cột m x n thành phần,

c =( c11, c12,…., c1n, c21, c22,……., c2n,…….., cm1, cm2,……,cmn)T là véc tơ cột m x n thành phần.

b = (a1, a2,……., am, b1, b2,…………., bn)T là véc tơ cột vế phải (m + n thành phần).

Bài toán vận tải (3.1) – (3.4) được viết lại thành bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

f = <c, x> Min (3.7)

Ax = b, x ≥ 0 (3.8)

Ta gọi Aij là véc tơ cột của ma trận A ứng với biến xij. Dễ thấy rằng véc tơ này có hai thành phần

bằng 1 tại dòng i và dòng m + j, còn các thành phần khác bằng 0. (3.1) gọi là hàm mục tiêu của bài

toán vận tải.

Véc tơ x thỏa mãn (3.2) – (3.4) gọi là một phương án của bài toán vận tải. Một phương án làm

cho hàm mục tiêu đạt cực tiểu gọi là phương án tối ưu hay lời giải. Phương án x là phương án cực

biên khi và chỉ khi các véc tơ cột Aij của ma trận A ứng với các thành phần xij > 0 là độc lập tuyến

tính. Ta giả thiết là có điều kiện (3.5).

Do bài toán vận tải có m + n ràng buộc chính, nên ta nghĩ rằng mỗi phương án cực biên cũng có

m + n thành phần dương, nhưng thực tế nó chỉ có nhiều nhất m + n – 1 thành phần dương, vì trong

số các ràng buộc này có một ràng buộc thừa (có thể bỏ đi mà không làm ảnh hưởng đến lời giải

của bài toán).

Một phương án cực biên của bài toán gọi là không suy biến nếu số phần tử của tập hợp G = {(i, j)

: xij > 0} bằng m + n – 1, gọi là suy biến nếu G < m + n -1.

Để cho gọn, ta ghi lại dữ liệu của bài toán dưới dạng bảng chữ nhật, gọi là bảng vận tải (bảng

3.1). Bảng gồm m + 1 hàng và n + 1 cột, cột 1 ghi khối lượng của các điểm phát hàng, dòng 1 ghi

khối lượng yêu cầu của các điểm thu. Phần bảng còn lại gồm m x n ô. Nơi giao nhau ở hàng i, cột

j ký hiệu là ô (i, j). Chi phí vận chuyển một đơn vị hàng cij được ghi góc trên bên trái của ô (i, j),

lượng hàng vận chuyển xij ghi ở góc dưới bên phải của ô. Ô (i, j) biểu thị tuyến đường vận chuyển

từ trạm phát i đến trạm thu j. Đặt cij = ∞ nếu không thể vận chuyển hàng từ i đến j. Đối với những

ô có xij = 0 gọi là các ô phi cơ sở và trên bảng vận tải để trống (trường hợp ô chọn 0 được coi như

ô cơ sở).

Bảng 3.1: Bảng vận tải

Thu

Phát

b1 …….. bj ….. bn

a1 c11

x11

…….. c1j

x1j

…….. c1n

x1n

: : …….. : …….. :

ai ci1

xi1

…….. cij

xij

…….. cin

xin

: :

…….. : …….. :

PTITPTIT


94

am c1m

x1m

…….. cmj

xmj

…….. cmn

x1n

Với điều kiện (3.5) bài toán vận tải (3.1)- (3.4) có các tính chất quan trọng sau đây:

Định lý 3.1: a) Bài toán vận tải luôn có phương án tối ưu. Vì:

- Trị số hàm mục tiêu bị chặn dưới: cij ≥ 0 ( i, j), nên với mọi phương án x = {xij} ta có:

m n

ij iji=1 j=1

c x 0

- Bài toán luôn có phương án: ký hiệu d = n n

i jj=1 j=1

a = b , xác định tập hợp {xij} như sau:

xij = aibj /d ( i=1,m; j = 1,n ).

Rõ ràng xij > 0 ( (i, j)), ngoài ra:

n nj

ij i ij=1 j=1

m mi

ij j ji=1 i=1

bx = a = a (i =1,m)

d

ax = b = b (j =1,n)

d

Như vậy {xij = aibj/d} với i=1,m; j = 1,n là một phương án của bài toán.

b) Hạng của hệ phương trình (3.2) – (3.5) của bài toán bằng m + n – 1.

Hệ phương trình (3.2) – (3.3) được viết lại thành hệ (3.6). Do có điều kiện (3.5) nên từ hệ này ta

dễ dàng nhận thấy: Tổng của m phương trình đầu (vế phải là ai) bằng tổng của n phương trình sau

(vế phải là bj). Điều này cho thấy mỗi phương trình (3.2), (3.3) có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp

tuyến tính (với hệ số +1 hoặc - 1) của m + n – 1 phương trình còn lại và ma trận A của hệ có hạng

nhỏ hơn hay bằng m + n – 1.

Bây giờ ta chứng minh rằng bất kỳ m + n – 1 véc tơ hàng nào của A cũng độc lập tuyến tính.

Thật vậy, xét chẳng hạn các hàng 2, 3,….., m + n của A. Ta nhân lần lượt các hàng 2, …., m, m +

1, …., m + n với số α2,…, αm, β1,…… , βn; rồi cộng tất cả lại và cho bằng véc tơ không (gồm m x

n thành phần bằng 0). Từ n toạ độ đầu tiên của đẳng thức véc tơ này ta nhận được:

β1 = β2 = …… = βn = 0

Đối với toạ độ n + 1+, 2n + 1+,…., (m - 1)x n + 1 ta nhận được:

α2 + β1 = α3 + β1 = ……= αm + β1 = 0

Từ đó suy ra: α2 = α3 = …….= αm = 0. Vậy hạng của ma trận A bằng m + n – 1.

c) Nếu lượng cung, cầu ai, bj là nguyên thì lời giải của bài toán là số nguyên.

Có thể dùng các phương pháp của quy hoạch tuyến tính để giải bài toán vận tải. Tuy nhiên do bài

toán này có dạng đặc biệt nên người ta đã đề ra nhiều thuật toán giải hiệu quả hơn. Trong số đó có

thuật toán thế vị sẽ được xét ở phần sau.

Định nghĩa: Ta gọi dây chuyền là tập hợp các ô có dạng:

(i1, j1), (i1, j2), (i2, j2), (i2, j3),……, (is, js), (is, js + 1)

hoặc (i1, j1), (i2, j1), (i2, j2), (i3, j3),……, (is, js), (is + 1, js).

PTITPTIT


95

Một dây chuyền khép kín (js + 1 j1 hoặc is + 1 i1) gọi là một chu trình. Như vậy, mỗi cặp ô liền

nhau trong dây chuyền ở trên cùng một hàng hay một cột và số ô trên mỗi dây chuyền có thể chẵn

hay lẻ. Một chu trình bao giờ cũng gồm một số chẵn các ô.

Thí dụ: Dãy ô đánh dấu “•” trong hình (3.1) a) và b) lập thành các dây chuyền, còn các ô với dấu

“•” trong hình (3.1) c) – e) lập thành các chu trình:

Hình 3.1: Dây chuyền: a), b). Chu trình: c), d), e).

Cho G là một tập hợp ô bất kỳ của bảng vận tải. Mỗi ô thuộc G gọi là ô treo nếu nó là ô duy nhất

của G trên hàng hay trên cột của ô đó. Với tập ô cho ở hình 3.1 a) thì ô (1, 1) và ô (4, 3) là các ô

treo. Nếu loại khỏi G ô treo (1, 1) thì ô (1, 2) sẽ trở thành ô treo của tập hợp ô còn lại.

Ta có mối liên hệ quan trọng sau đây:

Định lý 3.2. Hệ véc tơ {Aij: (i, j)G} của bài toán vận tải là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tập

hợp các ô thuộc G không tạo thành chu trình.

Hệ quả 3.1. Véc tơ x = {xij} là một phương án cực biên của bài toán khi và chỉ khi tập hợp các ô

(i, j) mà xij > 0 không lập thành chu trình.

Hệ quả 3.2. Giả sử T là một tập hợp gồm m + n – 1 ô của bảng vận tải, không tạo thành chu

trình. Khi đó, mỗi ô (p, q) T sẽ tạo với các ô T một chu trình duy nhất.

3.2. Tìm phương án cực biên ban đầu

Để giải bài toán vận tải (3.1) – (3.4) với điều kiện (3. 5) theo phương pháp thế vị, trước hết cần

biết một phương án cực biên của bài toán. Có nhiều cách để tìm một phương án như thế. Sau đây

là ba phương pháp thông dụng và có hiệu quả nhất.

a) Phương pháp min cước

Trong bảng vận tải 3.1, ta chọn ô (p, q) sao cho cpq = min{cij, (i, j)}. Nếu cực tiểu đạt tại

nhiều ô thì chọn một ô bất kỳ trong số các ô đó. Sau đó phân phối hàng tối đa có thể theo tuyến p

q, nghĩa là đạt: xpq = Min{ap; bq}

Trừ lượng hàng vừa phân phối vào khả năng thu, phát của hàng p và cột q. Tiếp đó, ta “xoá”

hàng p nếu điểm phát p đã phát hết hàng, hoặc cột q nếu điểm thu q đã nhận đủ hàng. Khi cả hàng,

cột đều phát hết, thu đủ thì “xoá” cả hàng và cột đó. Trong phần bảng còn lại ta chọn ô có cước

phí nhỏ nhất và phân phối tối đa lượng hàng còn lại vào ô này. Như vậy mỗi lần phân phối cho

một ô, quy mô của bài toán giảm dần. Tiếp tục quá trình cho tới khi yêu cầu của mọi trạm thu và

phát đều thỏa mãn. Nếu kết quả quá trình phân phối cho tổng số ô được phân phối là m + n – 1 thì

phương án cực biên không suy biến, tập ô được phân phối hàng gọi là tập ô cơ sở, nếu ít hơn m +

n – 1 thì đó là phương án suy biến, trong trường hợp này cần bổ sung ô chọn 0, có vai trò như ô cơ

sở để đảm bảo có đúng m + n – 1 ô. Việc bổ sung ô chọn 0 không được tạo với các ô cơ sở đã có

bất kỳ một chu trình nào.

• •

• • •

• •

• • • •

•

• •

• •

• •

• •

• •

• •

• •

• •

a) b) c) d) e)

PTITPTIT


96

Thí dụ 3.1: Tìm phương án cực biên của bài toán vận tải cho ở bảng 3.2 theo tiêu chuẩn min

cước.

Bảng 3.2

Giải:Trước hết cần kiểm tra điều kiện (3.5). Ta thấy bài toán đã ở dạng cân bằng thu – phát.

Cước phí nhỏ nhất trong bảng là 15 đạt tại hai ô (2.1) và (2.4). Ta chọn từ trên xuống từ trái quá

phải, vậy ô (2.1) được chọn và phân lượng hàng là x21 = min{200,130} = 130. Cột 1 đã nhận đủ

hàng nên bị loại. Hàng 2 lượng phát còn lại là 200 – 130 = 70.

Trong bảng còn lại (3 cột cuối), ta chọn ô (2,4) có cước phí nhỏ nhất (bằng 15) và phân vào ô

này lượng hàng x24 = Min{70, 140} = 70. Lúc này hàng 2 đã phát hết hàng nên bị loại. Cột 4 còn

thiếu lượng hàng là 140 – 70 = 70.

Trong bảng còn lại , ta chọn ô (1,2) có cước phí nhỏ nhất và phân vào ô này lượng hàng x12 =

Min{170,160} = 160. Lúc này cột 2 đã nhận đủ hàng nên bị loại. Hàng 1 chỉ còn lại lượng phát là

170 – 160 = 10.

Tiếp đó ta phân vào ô (1,3) lượng hàng x13 = Min{10,120} = 10. Hàng 1 đã phân hết hàng, chỉ

còn hàng 3 là còn hàng. Cuối cùng, ta phân vào 2 ô cuối cùng của hàng này lượng hàng x33 = 120

– 10 = 110 và x34 = 180 – 110 = 140 – 70 = 70. Đến đây mọi hàng (cột) đã phát hết (nhận đủ)

hàng, ta đặt xij = 0 đối với mọi ô (i,j) còn lại. Kết quả ta được phương án cực biên không suy biến

cho ở bảng (3.2). Giá trị hàm mục tiêu tương ứng bằng 12950.

b) Phương pháp góc Tây – Bắc.

Luôn ưu tiên phân phối cho ô nằm ở góc tây – bắc của bảng. Phương pháp này không quan tâm

tới chi phí mà thực hiện máy móc theo sự bố trí các trạm trên bảng vận tải. Về mặt ý nghĩa kinh tế

thì phương án thu được rất bất hợp lý, tuy nhiên nhờ tính chất máy móc nó lại rất thuận tiện khi

lập trình để giải bài toán trên máy tính.

Trước hết chọn ô (1,1) là ô góc tây – bắc đầu tiên của bảng để phân tối đa lượng hàng, x11 =

Min{a1,b1}, loại hàng 1 hoặc cột 1 nếu đã thoả mẫn phát hết hoặc thu đủ. Xác định ô góc tây – bắc

trong phần bảng còn lại và phân lượng hàng tối đa cho ô đó. Qúa trình tiếp tục cho đến khi ta nhận

được phương án cực biên không suy biến hoặc suy biến. Nếu suy biến cần bổ sung ô chọn 0 để

đưa về dạng không suy biến như đã nói ở trên.

Thí dụ 3.2. Tìm phương án cực biên với số liệu cho ở thí dụ 3.1.

Thu Phát 130 160 120 140

170

20 18 160

22 10

25

200

15 130

25 30 15 70

180

45 30 40 110

35 70

PTITPTIT


97

c) Phương pháp Fôghen.

Phương pháp này cho phương án cực biên khá tốt, theo nghĩa là nó khá gần với phương án tối

ưu về giá trị mục tiêu và chỉ cần một số ít bước lặp của thuật toán thế vị là có thể tìm được phương

án tối ưu. Nó chỉ khác phương pháp min cước ở cách chọn các ô để phân phối hàng. Giả sử, ma

trận cước phí là C = (cij)mxn, phương pháp được tiến hành như sau:

Đối với mỗi hàng, mỗi cột của C ta tính hiệu số giữa hai giá trị cước phí nhỏ nhất trên hàng (cột)

đó. Hiệu số này biểu thị lượng phạt tối thiểu phải chịu nếu ta phân sai lượng hàng vào ô có cước

phí nhỏ nhất trên hàng (cột) đó.

Chọn hàng hay cột có hiệu số này lớn nhất. Nếu có nhiều hàng (cột) như thế thì chọn hàng (cột)

tuỳ ý trong số đó.

Phân lượng hàng tối đa có thể vào ô cước phí nhỏ nhất trên hàng cột đã chọn. Giả sử ô đó là ô

(r,s). Giảm lượng cung ở hàng r và lượng cầu ở cột s một số bằng lượng hàng đã phân phối. Sự

phân phối này sẽ làm thoả mãn một ràng buộc cung hay một ràng buộc cầu hoặc có thể cả hai.

Loại bỏ (không cần xét ở bước tiếp theo) ràng buộc đã thỏa mãn bằng cách đánh dấu chéo vào

hàng hay cột tương ứng của ma trận cước phí. Nếu cả hai ràng buộc cung và cầu cùng đồng thời

thỏa mãn thì chỉ loại bỏ một hàng (cột) mà thôi. Trong trường hợp này cả lượng cung và cầu còn

lại của hàng (cột) đó đều trở thành bằng 0.

Lặp lại các thao tác trên cho tới khi chỉ còn lại một hàng hay cột duy nhât. Khi thực hiện thao tác

1, không cần tính hiệu số đối với hàng (cột) có lượng cung (lượng cầu) còn lại bằng 0. Khi chỉ còn

đúng một hàng (cột), lượng hàng phân vào các ô thuộc hàng (cột) này hoàn toàn được xác định

bởi các lượng hàng đã phân phối trước đó.

Thí dụ 3.3. Xét lại thí dụ 3.1. Tính hiệu số của các hàng và cột của ma trận cước phí và khoanh

tròn hiệu số lớn nhất.

Thu

Phát 130 160 120 140

170

20

130

18

40

22

25

200

15

25

120

30

80

15

180

45 30 40

40

35

140

Bảng 3.3

PTITPTIT


98

Bảng 3.4: Phương án cực biên xây dựng theo phương pháp Fôghen

Kết quả ta nhận được phương án cực biên ở bảng 3.4. giá trị hàm mục tiêu tương ứng bằng

12290. Rõ ràng phương pháp này tìm phương án cực biên tốt hơn hai phương pháp trên.

3.3 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải

Chúng ta đề cập tới một phương pháp khá đơn giản nhưng rất hiệu quả giải bài toán vận tải trên

cơ sở phân tích quan hệ của cặp bài toán đối ngẫu. Về bản chất thì đây là một hình thức thể hiện

độc đáo của phương pháp đơn hình áp dụng cho bài toán vận tải có cấu trúc hết sức đặc biệt.

a) Bài toán đối ngẫu và tiêu chuẩn tối ưu:

Xét bài toán vận tải:

m n

ij iji=1 j=1

c x Min (1)

Với các điều kiện ràng buộc:

n

ij ij=1

x = a , i = 1,m (2)

m

ij ji=1

x = b , j = 1,n (3)

xij > 0 với i = 1,m , j = 1,n (4)

Ký hiệu ui, vj là những biến đối ngẫu ứng với hệ ràng buộc (2), (3); u = {ui}, v = {vi}; g(u,v) là

hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu, đồng thời để tiện cho việc giải thích ý

nghĩa kinh tế , ta đổi dấu hệ ràng buộc (2). Khi đó bài toán đối ngẫu có dạng:

g(u, v) = n m

j j i ij=1 i=1

b v - a u Max

vj – ui ≤ cij (i, j)

Trong cặp bài toán đối ngẫu này có m x n cặp ràng buộc đối ngẫu:

xij ≥ 0 và vj – ui ≤ cij (i, j)

Thu

Phát 130 160 120 140

170

20

18

50

22

120

25

200

15

130

25 30 15

70

180

45 30

110

40

35

70

10; 10

5; 5;5

5 7;7;12;12 8;8;18 10

PTITPTIT


99

Từ định lý 2 của đối ngẫu suy ra:

Định lý 3.1. Điều kiện cần và đủ để phương án x = {xij} của bài toán vận tải tối ưu là tồn tại hệ

thống số {ui, vj} thoả mãn:

vj – ui ≤ cij (i, j) (*)

vj – ui = cij nếu xij > 0 (**)

Định lý trên gọi là tiêu chuẩn tối ưu đối với phương án của bài toán vận tải. Trị số của các ui và

vj trong tiêu chuẩn gọi là các thế vị hàng và cột. Ta có thể giải thích ý nghĩa kinh tế của các thế vị

như sau: có thể xem các thế vị hàng ui là giá trị một đơn vị hàng hóa từ nơi sản xuất Ai, còn vj là

giá trị của nó tại điểm tiêu thụ Bj. Điều kiện (**) có nghĩa là trong một phương án vận chuyển tối

ưu nếu hàng hóa được đưa từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj thì giá trị của nó tại điểm tiêu thụ Bj

phải bằng giá trị tại nơi sản xuất Ai cộng thêm chi phí vận chuyển cij. Điều kiện (*) có nghĩa là

chênh lệch của giá trị hàng hóa giữa nơi tiêu thụ và nơi sản xuất bất kỳ không vượt quá chi phí

vận chuyển trực tiếp giữa hai nơi ấy, điều này là hiển nhiên trong thực tiễn kinh tế.

b) Thuật toán thế vị.

Dựa trên tiêu chuẩn tối ưu, ta xây dựng thuật toán giải bài toán vận tải, thực hiện một cách đơn

giản ngay trên bảng vận tải. Giống như phương pháp đơn hình, ở đây cũng xuất phát từ một

phương án cực biên, kiểm tra nó nếu chưa thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu thì tìm cách chuyển sang

một phương án cực biên khác tốt hơn. Quá trình lặp lại, và vì bài toán luôn giải được nên sau một

số hữu hạn bước sẽ đi tới phương án cực biên tối ưu với giả thiết bài toán không suy biến. Trình tự

thực hiện thuật toán như sau:

Bước1: Xây dựng phương án cực biên xuất phát.

Sử dụng một trong ba phương pháp được giới thiệu ở trên để tìm phương án cực biên ban đầu,

giả sử dùng phương pháp min cước ta tìm được phương án cực biên x0 không suy biến, ký hiệu

tập ô cơ sở là S0. Sau đó chuyển sang bước 2.

Bước 2: Xây dựng hệ thống thế vị {ui, vj}

Quá trình xây dựng hệ thống thế vị đước thực hiện như sau: Lấy một hàng i bất kỳ, cho nó một

thế vị ui tuỳ ý (thường là cho bằng 0 để dễ tính). Các thế vị hàng và cột còn lại được xác định theo

công thức:

vj = ui + cij, nếu ui đã biết và ô (i, j)S0 (5)

ui = vj – cij nếu vj đã biết và ô (i, j)S0 (6)

Vì S0 gồm m + n – 1 không tạo thành chu trình nên nhờ hai công thức trên ta sẽ tính được m +

n – 1 thế vị khác nhau, cùng với thế vị ui cho trước ta tính được toàn bộ thế vị hàng và cột. Sau đó

chuyển sang bước 3.

Bước 3: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu.

Theo cách xây dựng, hệ thống thế vị {ui, vj} thỏa mãn điều kiện:

vj – ui = cij với các ô (i, j)S0

do đó chỉ cần kiểm tra điều kiện: vj – ui ≤ cij với các ô (i, j) S0.

Nếu: vj – ui ≤ cij với các ô (i, j) S0 thì phương án hiện có là tối ưu.

PTITPTIT


100

Nếu có một ô phi cơ sở mà vj – ui > cij với các ô (i, j) S0, nghĩa là không thỏa mãn tiêu chuẩn tối

ưu thì hiển nhiên phương án x0 chưa tối ưu. Ta gọi những ô này là ô vi phạm. tính đại lượng Δij =

vj - ui - cij (gọi là giá trị vi phạm) đối với các ô vi phạm, rõ ràng Δij > 0. Chuyển sang bước 4.

Bước 4: Điều chỉnh phương án

Giả sử ij 0

Max

Δij = Δrk. Ô (r, k) được lấy làm ô điều chỉnh, tất nhiên ô (r, k)S0

Vì S0 là số ô tối đa không tạo thành chu trình nên ô (r, k) sẽ tạo với các ô cơ sở đúng một chu

trình duy nhất. Tìm chu trình này và ký hiệu là V, trên chu trình đánh dấu lẻ (-) chẵn (+) xen kẻ

bắt đầu từ ô (r, k) là ô lẻ. Ký hiêu VL, Vc – tập hợp ô lẻ, chẵn trên V.

Sau đó xác định lượng điều chỉnh (qđ/c) bằng công thức:

qđ/c = c

0 0ij st

(i,j) VMin x = x

rõ ràng qđ/c > 0

Thực hiện biến đổi biến số trên chu trình V theo công thức:

0ij

1 0ij ij d/c L

0ij d/c C

x (i, j) V

x = x + q (i, j) V

x - q (i, j) V

(7)

Như vậy, sau khi điều chỉnh, ô điều chỉnh (r, k) sẽ trở thành ô cơ sở còn ô (s, t) ứng với qđ/c trở

thành ô phi cơ sở của phương án cực biên mới x1. Phương án này tốt hơn phương án x0 vì trị số

hàm mục tiêu sẽ giảm một lượng bằng qđ/c Δrk. Đối với x1 quay trở lại bước 2, quá trình lặp lại sau

một số hữu hạn bước sẽ tìm được phương án cực biên tối ưu.

Khi thực hiện thuật toán thế vị cần chú ý một số điểm sau:

- Khi có nhiều ô có thể được chọn làm ô điều chỉnh thì chọn tuỳ ý một trong số các ô đó.

- Trường hợp bài toán suy biến thì qđ/c có thể bằng 0. Khi đó vẫn thực hiện thuật toán một cách

bình thường, nghĩa là ô điều chỉnh sẽ trở thành ô cơ sở với tư cách là ô bổ sung (ô chọn không),

còn ô ứng với qđ/c trở thành ô phi cơ sở. Tuy nhiên, kết quả điều chỉnh không làm thay đổi phương

án cực biên mà chỉ chuyển từ tập ô cơ sở này sang một tập ô cơ sở khác. Dấu hiệu xuất hiện

phương án cực biên suy biến là trong quá trình điều chỉnh qđ/c đạt tại nhiều ô chẵn khác nhau,

những ô này đều có thể loại khỏi tập ô cơ sở. Nhưng theo thuật toán khi đó ta sẽ chỉ loại một trong

số những ô ứng với qđ/c theo quy tắc ngẫu nhiên, những ô còn lại ứng với qđ/c vẫn nằm trong tập ô

cơ sở với tư cách là các ô bổ sung.

- Nếu phương án cực biên tối ưu x* có vj – ui < cij với mọi ô phi cơ sở thì x* là phương án tối ưu

duy nhất, trái lại x* không phải là phương án tối ưu duy nhất (bài toán có tập phương án tối ưu).

Thí dụ 3.4 Bằng phương pháp thế vị, giải bài toán trong thí dụ 3.1.

Giải: Phương án cực biên không suy biến.

Cho u1 = 0, suy ra v2 = u1 + c12 = 0 + 18 = 18; v3 = u1 + c13 = 0 + 22 = 22. u3 = v2 – c33 = 22 – 40 =

- 18; v4 = u3 + c34 = -18 + 35 = 17; u2 = v4 – c24 = 17 – 15 = 2; v1 = u2 + c12 = 2 + 15 = 17.

Kiểm tra điều kiện tối ưu:

Ô (1, 1): v1– u1 = 17 – 0 < 20 Thoả mãn; Ô (1, 4): v4 – u1 = 17 – 0 < 25 Thoả mãn

Ô (2, 2): v2 – u2 = 18 – 2 < 25 Thoả mãn; Ô (2, 3): v3 – u2 = 22 – 2 < 30 Thoả mãn

PTITPTIT


101

Ô (3, 1): v1 – u3 = 17 – (-18) = 35 < 45 Thoả mãn

Bảng 3.5

Thu

Phát 130 160 120 140

170

20 18

160

22

10

25

200

15

130

25 30 15

70

180

45 30 40

110

35

70

Ô (3, 2): v2 – u3 = 18 – (-18) > 30 Vi phạm

Duy nhất một ô vi phạm tiêu chuẩn tối ưu, nên chọn ô (3, 2) làm ô điều chỉnh với chu trình V

={(3, 2)-, (1, 2)+, (1, 3)-, (3, 3)+}, lượng điều chỉnh là qđ/c = Min{x12, x33} = Min{160, 110} = 110.

Xây dựng phương án mới: phương án này không suy biến

Bảng 3.6

Thu

Phát 130 160 120 140

170

20 18

50

22

120

25

200

15

130

25 30 15

70

180

45 30

110

40

35

70

Kiểm tra điều kiện tối ưu, ta nhận thấy duy nhất ô (1,1) vi phạm. Chọn ô (1,1) làm ô điều chỉnh,

chu trình điều chỉnh v = {(1,1)- (2,1)+ (2,4)- (3,4)+ (3,2)- (1,2)+}. Lượng hàng điều chỉnh qđ/c =

Min{130, 70, 50}= 50

u1 = 0

u2 = 2

v1 = 17 v2 = 18 v3 = 22 v4 = 17

u3 = -18

u1 = 0

u2 = 8

v3 = 22

u3 = -12

v1 = 23 v2 = 18 v4 = 23

PTITPTIT


102

Bảng 3.7

Thu

Phát 130 160 120 140

170

20

50

18

22

120

25

200

15

80

25 30 15

120

180

45 30

160

40

35

20

Tính thế vị của phương án mới như bảng 3.6. Kiểm tra điều kiện tối ưu ta nhận thấy mọi ô (i, j)

S0 đều thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu. Vậy phương án tối ưu là:

Thí dụ 3.5: Bằng phương pháp thế vị, giải bài toán vận tải theo tiêu chuẩn min cước với số liệu

cho dưới đây:

Giải: Bài toán cân bằng thu phát. Bằng phương pháp min cước ta tìm được phương án cực biên

không suy biến như bảng 3.7.

Bảng 3.8

Thu

Phát

76

62

88

45

40

79

10

64

19

9

6

15

8

102

13

11

14

8

88

7

4

70

12

17

10

5

30

3

40

60

12

12

18

` 48

18 7 9

50 0 120 0 80 0 0 120 0 160 0 20

x* =

fmin = 12140

v1 = 10 v2 = 16 v3 = 13 v4 = 6

u4 = -2

u1 = 0

u2 = 5

u3 = 1

v5 = 4

u1 = 0

u2 = 5

u3 = -15

v1 = 20 v2 = 15 v3 = 22 v4 = 20

PTITPTIT


103

Thế vị được ghi bên cạnh bảng. Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu đối với các ô phi cơ sở của phương án

hiện có ta nhận thấy có 3 ô vi phạm, đó là ô (1,3), ô (3, 3) và ô (4, 4). Giá trị vi phạm là: Δ13 = 4,

Δ33 = 2, Δ44 = 1. Max Δij = Δ13 = 4, ô (1, 3) được lấy làm ô điều chỉnh.

Chu trình tạo bởi ô (1, 3) với các ô cơ sở là V = {(1,3)-, (1,1)+, (4,1)-, (4,2)+, (2,2-), (2,3)+}.

Lượng điều chỉnh qđ/c = min{88, 48, 64} = 48 ứng với ô (4, 2).Điều chỉnh ta được phương án mới:

Bảng 3.9

Thu

Phát 76 62 88 45 40

79

10

16

19

9

48

6

15

8

102

13

11

62

8

40

7

4

70

12

17

10

5

30

3

40

60

12

60

18

18 7 9

Phương án này không suy biến. Tính lại thế vị như bảng 3.9. Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu ta nhận

thấy có duy nhất ô (4, 4) vi phạm, chọn ô này làm ô điều chỉnh với chu trình V = {(4,4)-, (4,1)+,

(1,1)-, (1,4)+}, lượng điều chỉnh là qđ/c = Min{15, 60} = 15 ứng với ô (1,4).

Điều chỉnh ta có phương án mới như bảng 3.10

Bảng 3.10

Thu

Phát

76 62 88 45 40

79

10

31

19

9

48

6

8

102

13

11

62

8

40

7

4

70

12

17

10

5

30

3

40

12 18 18 7 9

v1 = 10 v2 = 12 v3 = 9 v4 = 6

u4 = -2

u1 = 0

u2 = 1

u3 = 1

v5 = 4

u1 = 0

u2 = 1

u3 = 1

PTITPTIT


104

60

45

15

Phương án này không suy biến. Tính lại hệ thống thế vị như bảng 3.8. Kiểm tra tiêu chuẩn tối

ưu đối với các ô phi cơ sở ta thấy đều thỏa mãn. Vậy phương án ở bảng 3.10 là phương án tối ưu

(duy nhất). Trị tối ưu của hàm mục tiêu là:

f(x*) = 10.31 + 9.48 + 11.62+ 8.40 + 5.30 + 3.40 + 12.45 + 7.15 = 2659

Thí dụ 3.6: Bằng phương pháp thế vị, giải bài toán vận tải theo tiêu chuẩn min cước với số liệu

cho dưới đây:

Bảng 3.11

Thu

Phát 120 70 30 50 130

100

11

9

70

13

11

10

30

80

6

50

8

5

30

7

9

140

14

70

13

9

15

12

70

80

10

10

16 7

50

8

30

Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu đối với các ô phi cơ sở của phương án hiện có ta nhận thấy có 2 ô vi

phạm, đó là ô (1,1), ô (3, 3) . Giá trị vi phạm là: Δ11 = 1, Δ33 = 2, Δ33 = 4.

Max Δij = Δ33 = 4, ô (3, 3) được lấy làm ô điều chỉnh.

Chu trình tạo bởi ô (1, 3) với các ô cơ sở là V = {(3,3)-, (2,3)+, (2,1)-, (3,1)+}. Lượng điều chỉnh

qđ/c = min{70, 30} = 30 ứng với ô (2, 3).

Điều chỉnh ta được phương án mới:

Bảng 3.12

Thu

Phát 120 70 30 50 130

100

11

9

70

13

11

10

30

6 8 5 7 9

v1 = 10 v2 = 12 v3 = 9 v4 = 6

u4 = -1

v5 = 4

v1 = 12 v2 = 9 v3 = 11 v4 = 9

u4 = 2

u2 = 6

u3 = -2

v5 = 10

u1 = 0

u2 = 6

PTITPTIT


105

80

80

140

14

40

13

9

30

15

12

70

80

10

10

16 7

50

8

30

Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu đối với các ô phi cơ sở của phương án hiện có ta nhận thấy có 1 ô vi

phạm, đó là ô (1,1), chọn ô (1,1) làm ô điều chỉnh.

Chu trình tạo bởi ô (1, 1) với các ô cơ sở là V = {(1,1)-, (3,1)+, (3,5)-, (1,5)+}. Lượng điều chỉnh

qđ/c = min{40, 30} = 30 ứng với ô (1,5)

. Bảng 3.13

Thu

Phát 120 70 30 50 130

100

11

30

9

70

13

11

10

80

6

80

8

5

7

9

140

14

10

13

9

30

15

12

100

80

10

10

16 7

50

8

30

Phương án này không suy biến. Tính lại hệ thống thế vị như bảng 3.13. Kiểm tra tiêu chuẩn tối

ưu đối với các ô phi cơ sở ta thấy đều thỏa mãn. Vậy phương án ở bảng 3.13 là phương án tối ưu

(duy nhất). Trị tối ưu của hàm mục tiêu là:

f(x*) = 11.30 + 9.70 + 6.80 + 14.10 + 9.30 + 12.100 + 7.50 + 8.30 = 3640

3.4 Một số dạng đặc biệt của bài toán vận tải:

a) Trường hợp chỉ có hai trạm phát hoặc hai trạm thu:

Bài toán vận tải (3.1) – (3.5) với m = 2 hoặc n = 2 có thể giải rất dễ dàng. Chẳng hạn, khi số

trạm phát bằng hai (m = 2), ta có bảng vận tải:

v1 = 12 v2 = 9 v3 = 7 v4 = 9

u4 = 2

u3 = -2

v5 = 10

v1 = 11 v2 = 9 v3 = 6 v4 = 8

u4 = 1

u1 = 0

u2 = 5

u3 = -3

v5 = 9

PTITPTIT


106

Bảng 3.14

bj

ai

b1 b2 b3 ……… ………. bn-1 bn

a1

c11 c12 c13 ………….. …………. c1,n-1 c11

a2

c21 c22 c23 ………… …………. c2n-1 c2n

Tính các hiệu số αj = c2j – c1j.

Sắp xếp các trạm thu theo thứ tự αj giảm dần: j1, j2,…., jn.

Lần lượt phân hàng từ trạm phát 1 cho các trạm thu theo thứ tự trên cho đến khi hết hàng. Sau đó

phân hàng từ trạm phát 2 cho các trạm thu còn lại.

Trường hợp bài toán vận tải chỉ có hai trạm thu (n = 2) ta làm tương tự.

Thí dụ 3.7: Giải bài toán vận tải với các dữ liệu cho trong bảng sau. Trong mỗi ô, ghi góc trên

bên trái là cước phí vận chuyển, số (in đậm) góc dưới bên phải là lượng hàng vận chuyển tối ưu.

Cước phí vận chuyển nhỏ nhất bằng fmin = 518.

Bảng 3.15

b) Trường hợp bài toán không cân bằng thu phát

Trường hợp này có thể quy về bài toán cân bằng thu phát bằng cách thêm vào một trạm thu hay

trạm phát giả như sau:

Cung > cầu: m n

i ji=1 j=1

a > b , ta thêm cột thu giả n + 1 với:

m n

n+1 i ji=1 j=1

b a - b

Và ci,n+1 = 0, i = 1, 2, …., m. Giải bài toán với m điểm phát và n + 1 điểm thu. Nếu trong

phương án tối ưu có xi,n+1 > 0 thì có nghĩa là điểm phát i để lại lượng hàng xi,n+1.

Cung < cầu: m n

i ji=1 j=1

a < b , ta thêm điểm phát giả m + 1 với: n m

m+1,j j ij=1 i=1

a = b a

Và cm+1,j = 0, j = 1, 2, …., n. Giải bài toán với m +1 điểm phát và n điểm thu. Nếu trong phương

án tối ưu có xm+1 > 0 thì có nghĩa là trạm thu j bị thiếu lượng hàng xm +1,j.

bj

ai

10 12 15 18 20 25 30

60

3 10

5 12

4 15

6 18

1 5

3 6

70

8 9 7 8 2 15

3 25

5 30

αj 5 4 3 2 1 0 -1

PTITPTIT


107

Thí dụ 3.8: Cho bài toán vận tải với dữ liệu trong bảng 3.16 a). Tổng cung bằng 200, tổng cầu

170. Cung vượt cầu 30. Ta thêm cột thu 4 ( cột thu giả) với lượng cầu 30 và lập bảng vận tải 3.16

b). Dùng phương pháp Fôghen tìm phương án cực biên ban đầu và giải bằng thuật toán thế vị ta

nhận được phương án tối ưu xopt = (0, 0, 50, 0, 0, 40, 0, 30, 60, 0, 20, 0) với fmin = 330. Do x24 =

30 nên điểm phát 2 để lại lượng hàng 30.

Bảng 3.16 a) Bảng 3.16 b)

c) Bài toán tìm cực đại

Trong một số tình huống thực tiễn cần giải bài toán tìm cực đại:

MaxxC f(x)m

1iij

n

1jij

Với các điều kiện ràng buộc (3.2) – (3.5) của bài toán vận tải đã xét ở trên. Bài toán này có thể

đưa về bài toán tìm cực tiểu của hàm –f(x) với cùng các ràng buộc (3.2)-(3.4). Tuy nhiên ta cũng

có thể dùng phương pháp thế vị để giải mà không cần đưa về bài toán min. Chỉ cần thực hiện một

số sửa đổi như sau:

Khi xây dựng phương án cực biên ban đầu, ta ưu tiên phân “hàng” vào các ô có cước phí cij lớn

nhất.

Điều kiện tối ưu của bài toán: vi – ui ≥ cij.

Khi cần tìm ô điều chỉnh thì chọn ô có Δrs = min{ Δij}, lượng điều chỉnh trên chu trình qđ/c =

Min{xij}thuộc v+.

Thí dụ 3.9. Tìm cực đại của bài toán vận tải với dữ liệu cho trong bảng 3.17

Bảng 3.17

Bài toán chưa cân bằng thu phát. Tổng phát – tổng thu = 150 – 140 = 10. Lập thêm trạm thu giả B4

đưa bài toán về dạng cân bằng.

Bảng 3.18

Thu

Phát

45 70 25 10

9 8 5 0

T

P

45 70 25

50

30

20

50

9 8 5

5 6 1

5 6 7

10 6 6

bj

ai 60 40 70

50 2 5 1 70 3 4 8 80 1 5 3

bj

ai 60 40 70 30

50 2 5 1 0 70 3 4 8 0 80 1 5 3 0

PTITPTIT


108

50

50

30

7

6

15

1

5

0

10

20

5

6

7

20

0

50

10

45

6

5

6 0

0

Phương án xuất phát suy biến, ta bổ sung ô (4,4) làm ô chọn không. Sau bước 1 còn 2 ô vi phạm:

ô (1,3) và ô (4,3) với ∆13 = 3 – 0 – 5 = -2 và ∆43 = 3 – 2 – 6 = -5

Chọn ô (4,3) làm ô điều chỉnh. Chu trinh điều chỉnh gồm 4 ô: V = {(4,3)-, (2,3)+, (2,2)-, (4,2)+}

với qđ/c = min(5, 5) = 5

Bảng 3.19

Thu

Phát

45 70 25 10

50

9

8

50

5

0

30

7

6

20

1

5

0

10

20

5

6

7

20

0

50

10

45

6

0

6

5

0

0

Phương 2 cũng suy biến, bổ sung 2 ô chọn không là ô (4,2) và ô (4,4). Tính thế vị và kiểm tra điều

kiện tối ưu ta thấy ∆ij ≥ 0 (i,j). Phương án hiện có tối ưu.

f(x) = 1.140

Thí dụ 3.10: Tìm cực đại của bài toán vận tải với dữ liệu cho trong bảng 3.20.

v1 = 12 v2 = 8 v3 = 3 v4 = 2

u1 = 0

u2 = 2

u3 = -4

u4 = 2

v1 = 12 v2 = 8 v3 = 3 v4 = 2

u1 = 0

u2 = 2

u3 = -4

u4 = 2

PTITPTIT


109

Bảng 3.20

Lời giải là xopt = (40, 0, 10, 0, 0, 60, 10, 0, 0, 0, 10, 70) với fmax = 2660

d) Bài toán phân việc

Một dạng đặc biệt của bài toán vận tải (3.1) – (3.4) là bài toán phân việc. Nội dung như sau: Có

n người (i = 1, 2, …, n) và n công việc (j = 1, 2, …, n). Để giao cho người i là công việc j cần một

chi phí (năng suất) là cij. Vấn đề là cần phân bổ cho người nào làm việc gì (mỗi người chỉ làm một

việc và mỗi việc chỉ một người làm) sao cho tổng chi phí (tổng sản lượng) là nhỏ nhất (lớn nhất)?

Mô hình toán học của bài toán này như sau:

m n

ij iji=1 j=1

f(x) = c x Min (3.9)

Với các điều kiện:

n

ijj=1

x = 1, i =1,m (3.10)

m

iji=1

x = 1, j =1,n (3.11)

xij = 0 hay 1, i = 1,2,…., n; j = 1, 2, ….., n (3.12)

Vì có các điều kiện (3.10) – (3.11) nên điều kiện (3.12) có thể thay bằng xij nguyên ≥ 0, i =

1,2,…., n; j = 1, 2, ….., n.

Bài toán (3.9) – (3.12) là trường hợp riêng của mô hình bài toán vận tải, trong đó số trạm phát

bằng số trạm thu, đồng thời các lượng cung ai bằng các lượng cầu bj và đều bằng 1. Vì thế, về

nguyên tắc có thể dùng các phương pháp giải bài toán vận tải để giải bài toán phân việc. Tuy

nhiên do cấu trúc đặc biệt của bài toán phân việc nên có những thuật toán giải hiệu quả hơn, trong

số đó có phương pháp nổi tiếng với tên gọi phương pháp Hung ga ri. Sở dĩ có tên như vậy là để

tưởng nhớ hai nhà toán học người Hung tên là Konig và Egervary đã có công đầu tạo ra cơ sở lý

luận cho phương pháp (xem [4], [9] và [10]).

Trong mô hình trên ta giả thiết số người bằng số công việc và bằng n. Tuy nhiên, cũng có thể xét

trường hợp khi số người khác số công việc. Chẳng hạn, nếu số người nhiều hơn số công việc, ta

thêm vào các công việc giả, với chi phí (hoặc năng suất) bằng 0.

Một số vấn đề không liên quan đến người và việc cũng có thể giải quyết nhờ mô hình bài toán

phân việc. Chẳng hạn, cần lắp đặt các máy vào những vị trí khác nhau sao cho kinh phí lắp đặt là

nhỏ nhất hay cần phân công cho các nhà máy sản xuất các sản phẩm khác nhau sao cho hiệu quả

đạt cao nhất.

Thí dụ 3.11: Có 4 công nhân làm việc với 4 máy. Năng suất của mỗi công nhân trên từng máy

được cho như sau:

bj

ai 40 60 30 70

50 2 5 1 0 70 3 4 8 0 80 1 5 3 0

PTITPTIT


110

Bảng 3.21

Máy

CN A B C D

1 6 8 8 7

2 5 9 8 5

3 7 7 6 9

4 8 8 7 9

Giải: Đây là bài toán vận tải cực đại

Bảng 3.22

Thu

Phát 1 1 1 1

1

6

8

8

1

7

1

5

9

1

8

0

5

1

7

1

7

6

9

x

1

8

0

8

0

7

9

1

Phương án xuất phát suy biến, bổ sung 3 ô chọn không là ô (2,3), (4,1), (4,2). Chu trình điều chỉnh

V = {(3,4)-, (3,1)+, (4,1)-, (4,4)}

Bảng 3.23

Thu

Phát 1 1 1 1

1

6

8

8

1

7

1

5

9

1

8

0

5

1

7

7

6

9

1

v1 = 9 v2 = 9 v3 = 8 v4 = 10

u1 = 0

u2 = 0

u3 = 2

u4 = 1

u1 = 0

u2 = 0

u3 = 1

PTITPTIT


111

1

8

1

8

0

7

9

0

Từ bước 2 ta nhận được phương án tối ưu:

Công nhân 1 đứng máy C

Công nhân 2 đứng máy B

Công nhân 3 đứng máy D

Công nhân 4 đứng máy A

Tổng năng suất lớn nhất là: 34

e) Bài toán điều xe hợp lý

- Nội dung: Có một kế hoạch vận chuyển hàng từ một số trạm phát (Ai) đến một số trạm thu (Bj).

Lượng hàng cần vận chuyển từ Ai đến Bj với độ dài đoạn đường giữa 2 trạm xác định trước (Cij),

n1, j ;m1, i . Người ta dự định sẽ điều một lượng nhất định các xe tải để thực hiện kế hoạch

vận chuyển này.

Để làm giảm chi phí vận chuyển ta cần lưu ý tới việc các xe chạy không hàng trong hành trình

vận chuyển (việc xuất hiện một lượng xe chạy không hàng là tất nhiên vì từ nơi giao hàng xe phải

tới các điểm phát hàng để xếp chở đi).

Ta quy định: 1 tấn xe km không hàng là tương ứng với một xe trọng tải 1 tấn chạy không hàng

trên đoạn đường 1 km. Nếu vậy thì một kế hoạch điều xe được gọi là tối ưu nếu nó có tổng số tấn

km xe chạy không hàng là nhỏ nhất. Đến đây ta thấy xuất hiện bài toán thu phát xe không. Xe

không sẽ được phát đi từ các trạm nhận hàng tới các trạm phát hàng. Trạm phát Ai muốn phát đi ai

tấn hàng thì nó cần nhận về ai tấn xe không. Trạm thu Bj nhận về bj tấn hàng thì sau đó nó sẽ phát

đi bj tấn xe không. Hiển nhiên:

n

1jj

m

1ii ba

Đây là bài toán vận tải thu phát xe không. Bài toán cân bằng thu phát. Chi phí vận chuyển là cự

ly giữa các trạm tương ứng.

Giải bài toán vận tải thu phát xe không ta tìm được phương án thu phát xe không tối ưu (có tổng

số xe km chạy không hàng nhỏ nhất). Kết hợp giữa hành trình thu phát ban đầu và hành trình thu

phát xe không tối ưu ta có thể xây dựng được một kế hoạch điều xe hợp lý.

Thí dụ 3.12: Có một kế hoạch vận chuyển như sau:

Bảng 3.24

Mặt hàng Nơi phát Nơi nhận Khối lượng (tấn)

T

T

X

X

A1

A2

A2

A3

B1

B2

B3

B4

50

24

10

8

v1 = 9 v2 = 9 v3 = 8 v4 = 10

u4 = 1

PTITPTIT


112

V

G

G

A4

A4

A5

B4

B5

B4

42

8

34

Bảng cự ly (km) giữa các trạm cho như sau:

Bảng 3.25

Mặt hàng A1 A2 A3 A4 A4

B1

B2

B3

B4

B5

11 12 28 6 26

27 28 18 34 2

40 41 31 35 15

10 11 7 17 15

21 22 4 28 20

Kế hoạch thu phát xe không được xác định từ kế hoach vận chuyển như sau

Bảng 3.26

Nơi cần xe không Nơi trả phát xe không

A1: 50

A2: 34

A3: 8

A4: 50

A5: 34

B1: 50

B2: 24

B3: 10

B4: 84

B5: 8

Lập và giải bài toán thu phát xe không ta có kết qủa ở bảng sau:

Bảng 3.27

T

P

A1

50

A2

34

A3

8

A4

50

A5

34

B1 50 11

12 28 6

50

26

B2 24 27

28 18 34 2

24

B3 10 40

41 31 35 15

10

B4 84 10

50

11

34

7 17 15

B5 8 21

22 4

8

28 20

Căn cứ vào kết quả trên ta có kế hoạch thu phát xe không tối ưu như sau:

PTITPTIT


113

B1 đi A4: 50

B2 đi A5: 24

B3 đi A5: 10

B4 đi A1: 50

B4 đi A2: 34

B5 đi A3: 8

` Kết hợp hai hành trình thu phát hàng và thu phát xe không ta lập hành trình chạy xe tối ưu như

sau:

I/ Xe → A142T.h

6→B1 →A4 →B4 →A1 Hành trình này có tổng chiều dài 44 km

II/ Xe → A1 →B1 →A4 →B5 →A3 →B48T.h

10→A1 Hành trình này dài

66km

III/ Xe → A2 →B2 →A5 →B4 →A2 Hành trình này dài 56km

IV/ Xe → A2 →B3 →A5 →B4 →A2 Hành trình này dài 82km

f) Bài toán vận tải có ô cấm (Đọc tham khảo)

Trong thực tế nhiều khi xuất hiện yêu cầu cấm vận chuyển hàng từ trạm phát Ai tới một trạm thu

Bj nào đó. Bài toán vận tải hay bài toán phân phối có thêm yêu cầu này gọi là bài toán có ô cấm.

Chẳng hạn cần vận chuyển hàng từ m trạm phát Ai (i = 1,m ) đến n trạm thu Bj (1,n ). Giả sử

trạm thu Bj0 không nhận hàng của trạm phát Ai0. Khi đó hệ ràng buộc của bài toán như sau:

m

ij j oi=1

n

i i oj=1

n

i0j i0 oj=1

m

ijo jo oi=1

x = b (j j )

x = a (i i )

x = a (i = i )

x = b (j j )

Nghĩa là bài toán bị khuyết biến xiojo. Ta đưa thêm biến giả xiojo. Thành lập bài toán M. Cụ thể là:

Nếu bài toán min thì ô cấm có cước phí M. Nếu bài toán max thì ô cấm có cước phí (–M) với M

là một số dương đủ lớn.

Tìm phương án tối ưu của bài toán M

11

8T.h

6

8T.h

28

8T.h

11

24T.h

7

8T.h

`

28

24T.h

2

24T.h`

15

24T.h

11

8T.h

41

10T.h

15

10T.h

15

10T.h

11

10T.h

6

42T.h

17

42T.h

10

42T.h

PTITPTIT


114

Nếu trong phương án tối ưu các biến giả (hàng ở ô cấm) đều bằng không thì đó là phương án tối

ưu của bài toán gốc.

Nếu có biến giả nhận giá trị dương (có hàng tại ô cấm) thì chứng tỏ bại toán gốc không có phương

án nào.

Thí dụ 3.13: Cần vận chuyển một loại hàng (gồm 3 loại chất lượng) từ 3 kho A, B, C tới các xí

nghiệp I, II, III. Nhu cầu của các xí nghiệp như sau:

XN I: Hàng loại 1 hoặc loại 2: 80

Hàng loại 3: 10

XN II: Hàng loại 1: 120; hàng loại 2 hoặc loại 3: 20

XN III: không phân biệt chất lượng (loại nào cũng được): 30

Số lượng hàng có ở các kho như sau:

Kho A: 900 hàng loại 1, 60 hàng loại 2

Kho B: 30 hàng loại 3

Kho C: 70 hàng loại 1; 10 hàng loại 3

Chi phí vận chuyển 1 đơn vị hàng từ các kho đến các xí nghiệp cho trong bảng sau:

Bảng 3.28

XN

Kho

I II III

A

B

C

8 13 7

12 9 5

15 12 10

Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng thỏa mãn yêu cầu của các xí nghiệp đề ra với tổng chi phí vận

chuyển nhỏ nhất?

Giải:

Bảng 3.29

XN I

(1) (2) (3)

XN II

(1) (2) (3)

XN III

(1) (2) (3)

80 10 120 20 30

A

(1)

90

8

80

M 13

10

M `7

0

(2)

60

8

X

M

10

M

40

13

10

7

B

(3)

30

M 12 M 9 5

30

C

(1)

70

15 M 12

70

M 10

(3)

10

M 15 M 12

10

10

0

M + 13

2

1

M + 14

8 13 13 26 + M 7

PTITPTIT


115

qđ/c = 40 Bảng 3.30 XN I

(2) (2) (3)

XN II

(2) (2) (3)

XN III

(2) (2) (3)

80 10 120 20 30

A

(1)

90

8

40

M 13

50

M `7

0

(2)

60

8

40

M

10

M

13

10

7

B

(3)

30

M 12 M 9 5

30

C

(1)

70

15 M 12

70

M 10

(3)

10

M 15 M 12

10

10

qđ/c = 10 Bảng 3.31 XN I

(3) (2) (3)

XN II

(3) (2) (3)

XN III

(3) (2) (3)

80 10 120 20 30

A

(1)

90

8

30

M 13

50

M `7

10

(2)

60

8

50

M

M

13

10

7

B

(3)

30

M 12

10

M 9

x

5

20

C

(1)

70

15 M 12

70

M 10

(3)

10

M 15 M 12

10

10

qđ/c = 10

0

0

2

1

1

8 M 13 13 7

0

0

2

1

1

M 13 13 7 14

PTITPTIT


116

Bảng 3.32 XN I

(4) (2) (3)

XN II

(4) (2) (3)

XN III

(4) (2) (3)

80 10 120 20 30

A

(1)

90

8

20

M 13

50

M `7

20

(2)

60

8

60

M

M

13

7

B

(3)

30

M 12

10

M 9

10

5

10

C

(1)

70

15 M 12

70

M 10

(3)

10

M 15 M 12

10

10

Sau 4 bước ta có phương án vận chuyển tối ưu: XN I nhận: 20 đơn vị hàng loại 1 từ kho A 60 đơn vị hàng loại 2 từ kho B 10 đơn vị hàng loại 3 từ kho C XN II nhận: 50 đơn vị hàng loại 1 từ kho A 70 đơn vị hàng loại 2 từ kho B 10 đơn vị hàng loại 3 từ kho C XN III nhận: 20 đơn vị hàng loại 1 từ kho A 10 đơn vị hàng loại 3 từ kho B Tổng chi phí vận chuyển là: 2.670 đơn vị

Câu hỏi và bài tập ôn chương 3 I. lý thuyết 1. Phát biểu nội dung kinh tế và các dạng toán học của bài toán vận tải? 2. Nêu các tính chất của bài toán vận tải cân bằng thu phát? 3. Thế nào là phương án, phương án tối ưu và phương án cực biên? 4. Trình bày các phương pháp tìm phương án cực biên của bài toán vận tải? 5 Trình bày thuật toán thế vị giải bài toán vận tải? 6. Các dạng đặc biệt của bài toán vận tải? II. Bài tập 1. Giải bài toán vận tải theo tiêu chuẩn cước phí nhỏ nhất với số liệu cho ở bảng sau: Bảng 3.33

Thu Phát

25 80 120 45 30

70 7 2 9 12 6

85 8 6 4 3 9

35 5 3 6 7 11

110 11 5 10 8 1

0

0

2

1

1

14 11 13 7 8

PTITPTIT


117

Phương án tối ưu tìm được có duy nhất hay không? 2. Cho bài toán vận tải, gọi tập D là tập ô đánh dấu “*”. Xác định phương án với điều kiện: xij= 0,

(i,j) D . Giải bài toán xuất phát từ phương án đó. Nếu lời giải không duy nhất hãy tìm phương

án cực biên tối ưu thứ hai, từ đó suy ra điều kiện để có tập phương án tối ưu thỏa mãn: x31 ≤ 26; x45 ≥ 40 Bảng 3.34

Thu Phát

116 83 78 82 96

150 16* 19 15 17 7*

138 25 12* 18* 11* 18

122 9* 10 4* 10 1

45 27 14* 21 15 4

3.Giải bài toán vận tải theo tiêu chuẩn cước phí nhỏ nhất với số liệu cho ở bảng dưới đây: Bảng 3.35

Thu Phát

30 40 30

70 6 4 5

40 8 3 2

50 7 5 6

20 5 1 2

4. Giải bài toán vận tải theo tiêu chuẩn cước phí nhỏ nhất với số liệu cho ở bảng dưới đây: Bảng 3.36

Thu Phát

50 180 150 200 170

100 1 6 8 12 16

400 16 10 8 6 15

100 4 1 9 11 13

100 3 2 7 7 15

5. Giải bài toán vận tải theo tiêu chuẩn cước phí nhỏ nhất với số liệu cho ở bảng dưới đây” Bảng 3.37

Thu Phát

15 10 17 18 15 15

20 6 5 10 7 8 20

30 12 20 30 6 9 4

PTITPTIT


118

15 30 30 3 5 8 10

25 12 6 5 10 12 9

Trong đó các ô (i,j) có cij > 12 là ô cấm. 6. Một công ty vận tải cần vân chuyển máy vi tính từ 4 công ty đến 5 trường học. Số lượng máy tính ở mỗi công ty lần lượt là: 60, 50, 90, 160 chiếc. Nhu cầu của các trường học lần lượt là: 70, 20, 100, 120, 50 chiếc

Cước phí vận chuyển từ các công ty (i) đến các trường học (j) (i =1,4 . j = 1,5 ) lần lượt là:

9 5 6 8 10

4 3 15 2 8

7 3 10 41 5

6 14 22 12 18

Đơn vị nghìn đồng

Hãy lập kế hoạch vận chuyển máy tính sao cho các công ty bán hết máy và các trường nhận đủ máy với tổng chi phí nhỏ nhất? 7. Có 3 cơ sở sản xuất đá dăm và bốn công trương tiêu thụ. Công suất của từng cơ sở sản xuất, khả năng tiêu thụ của từng công trường và chi phí vận chuyển một m3 đá (đơn vị nghìn đồng/m3) giữa các điểm như sau: Bảng 3.38

Công trường B1 B2 B3 B4

Cơ sở SX Nhu cầu (m3) Công suất (m3)

120 40 70 60

A1 110 18 8 20 18 A2 110 14 24 10 6 A3 70 8 4 16 12

8. Cho bài toán vận tải sau: Có 4 cơ sở sản xuất mặt hàng da giày với số lượng tương ứng: 50, 200, 100, 200 (tấn). Có 5 cửa hàng tiêu thụ mặt hàng này với lượng hàng yêu cầu tương ứng là: 150, 80, 180, 60, 80 (tấn).

Cước phí vận chuyển 1 tấn từ mỗi cơ sở i đến các cửa hàng tiêu thụ j (i =1,4 ; j =1,5 ) là:

7 4 17 5 8

8 9 10 4 20

13 6 14 16 30

44 6 14 16 30

Hãy lập kế hoạch vận chuyển sao cho tổng chi phí nhỏ nhất?

PTITPTIT

Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng

119

CHƯƠNG 4

BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MẠNG

4.1 Một số khái niệm cơ bản

4.1.1 Định nghĩa về đồ thị hữu hạn

a) Đồ thị hữu hạn (Graph) là một cặp tập hợp; ký hiệu là G = {X.A}, trong đó X = {x1, x2,...., xn}

là tập hữu hạn các điểm (đỉnh, nút). A = {(i, j)} là tập hợp các cạnh (cung) nối tất cả hoặc một

phần các điểm xiX lại với nhau, cách nối điểm i với điểm j, ký hiệu là (i, j).

Thí dụ 4.1 G = {X.A}, trong đó X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} và A = {(1,2), (2,1), (1,4),(1,3),

(2,5), (4,3), (3,5), (3,6), (3,7), (5,7), (4,6), (6,7)}

Hình 4.1

Đồ thị vô hướng: Ký hiệu }AX. G{ trong đó X là tập các đỉnh (nút, điểm) và A là tập các

nhánh. Nhánh là một cặp không kể đến thứ tự hai đỉnh khác nhau xi và xj nào đó với xi X, xjX,

ký hiệu là (i, j). Vậy (xi, xj) = (xj, xi) trong đồ thị vô hướng.

Cung còn được gọi là cạnh có hướng. Cung (xi, xj) được gọi là nối đỉnh xi với đỉnh xj. Cấp của

một đỉnh là số cung nối tới nó. Cấp của đồ thị là cấp cực đại trong các cấp của các đỉnh của nó.

Một đường đi từ đỉnh x1 đến đỉnh xt là bộ t nút khác nhau x1, x2, ..., xk sao cho (xk , xk+1) A với

k= 1, 2, ..., t-1.

Chu trình (mạch vòng) là bộ t đỉnh: x1, x2,..., xt sao cho x1,...., xt-1 là một đường đi, xt ≡ x1 và có

ít nhất ba đỉnh khác nhau (tức là t - 1 ≥ 3).

Đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu ứng với mỗi cặp xi, xjX đều có một đường đi từ xi

đến xj.

Số các đỉnh của đồ thị thường ký hiệu là n còn số nhánh là m.

Đồ thị có hướng: Ký hiệu là G = {X.A} nhưng mỗi nhánh là là một cặp có thứ tự. Vì vậy (xi , xj)

≠ (xj, xi). Nhưng đồ thị không được chứa cung tự nối dạng (xi, xi).

x1

x4

x6

x3

x2 x5

x7

x1

x2

x4

x3 x5

Hình 4.2

Thí dụ 4.2: Hình 4.2 là một đồ thị có hướng

G = {X.A}.Với X = {x1, x2, x3, x4, x5} và A

={(x1,x2),(x2,x1),(x1,x3),(x1,x4),(x3,x2),(x4,x3), (x3,x5)}. Ta sẽ

nói là cung (xi, xj) ký hiệu (i, j) là đi từ đỉnh i đến đỉnh j.

Đồ thị vô hướng tương ứng với một đồ thị có hướng là đồ

thị nhận được khi không tính đến hướng trên các cung nữa.

Đồ thị có hướng là liên thông nếu đồ thị vô hướng tương

ứng là liên thông

PTITPTIT


120

Mỗi đường đi trong đồ thị vô hướng tương ứng đều gọi là một đường đi trong đồ thị có hướng.

Nhưng đồ thị có thể chứa cả hai cung (i, j) và (j, i), nên để xác định một đường đi phải nói rõ cả

dãy đỉnh x1, ..., xt và dãy cung a1,...., at-1. Khi đó nếu một cung ak có dạng "thuận" ak = (ik, ik+1) thì

ta nói ak là cung tiến trong đường đi này. Ngược lại nếu ak = (ik+1, ik) thì ak là cung lùi.

Chu trình cũng được định nghĩa như ở đồ thị vô hướng, nhưng ở đây cho phép chu trình chỉ gồm

hai đỉnh khác nhau.Một đường đi hoặc chu trình được gọi là có hướng nếu nó chỉ chứa các cung

tiến. Trong hình 4.2 thì (1,3), (3,2), (2,1) là một chu trình có hướng. Nhưng (1,3), (1,2), (3,2) là

một chu trình không có hướng vì (1,3) và (3,2) là cung lùi.

Đường đi tối giản là đường đi qua một đỉnh của đường đi đó chỉ một lần. Tương tự chu trình tối

giản là chu trình mà trong đó mỗi đỉnh của đồ thị chỉ gặp một lần, từ đỉnh đầu tiên đến đỉnh cuối

cùng.

4.1.2 Các yếu tố khác của đồ thị

a. Ánh xạ và ánh xạ ngược:

- Một ánh xạ của đỉnh xi trong đồ thị G = {X.A}ký hiệu là Г(xi) là tập hợp các đỉnh cuối của tất

cả các cung có đỉnh đầu là xi. Thí dụ trong hình 4.2: Г(x1) = {x2, x3, x4}.

- Ánh xạ ngược của một đỉnh xj trong đồ thị G ={X.A}ký hiệu Г-1(xi) là tập hợp các đỉnh đầu

của tất cả các cung có đỉnh cuối là xj. Chẳng hạn trong hình 4.3: Г-1(x3) = {x1, x4}.

b. Cây

Đồ thị vô hướng được gọi là cây nếu nó liên thông và không chứa chu trình. Mỗi đỉnh cấp 1 của

cây gọi là một lá.

Định lý 4.1:

- Mỗi cây có hơn một đỉnh sẽ có lá.

- Đồ thị vô hướng là một cây khi và chỉ khi nó liên thông và có n- 1 cung.

- Với bất kỳ hai đỉnh xi ≠ xj trên cây đều có tồn tại duy nhất một đường đi từ xi tới xj.

- Nếu thêm một cạnh mới vào một cây thì đồ thị mới nhận được có đúng một chu trình.

Cây bao trùm:(cây tối đại) của đồ thị liên thông, vô hướng AX. G là một cây trong G mà

chứa tất cả các đỉnh của G . Vậy cây bao trùm là cây T có dạng T = {X.A1} trong đó A1 A .

Định lý 4.2 Giả sử }AX. G{ là một đồ thị vô hướng liên thông và A0 A . Nếu các cung của A0

không tạo thành một chu trình nào thì có thể bổ sung thêm các cung của đồ thị vào A0 để được tập

mới A1 sao cho {X. A1} là một cây bao trùm.

Trong hệ thống kỹ thuật, người ta thường sử dụng các loại cây sau đây:

- Cây người chào hàng: Là một đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh chỉ qua một lần.

- Cây có chiều dài ngắn nhất: Là một đường đi nhận được từ đồ thị bằng cách loại ra khỏi nó các

cung theo trình tự giảm dần chiều dài của cung và kiểm tra tính liên thông của đồ thị, hoặc đưa

dần vào các cung vào đồ thị theo trình tự tăng dần chiều dài cung và cấm không được tạo thành

chu trình.

- Cây Steiner: Nếu cho phép đưa thêm vào tập hợp đỉnh của đồ thị những đỉnh phụ thì độ dài của

cây ngắn nhất có thể giảm xuống. Đỉnh phụ đưa thêm vào đồ thị có 3 nhánh cách nhau 1200 được

gọi là đỉnh Steiner.

c. Lát cắt: là tập hợp các nhánh sao cho nếu loại chúng ra khỏi đồ thị thì đồ thị trở nên không liên

thông.

PTITPTIT


121

Lát cắt gọi là phân chia hai đỉnh xi và xj của đồ thị, nếu sau khi loại lát cắt này ra khỏi đồ thị thì

hai đỉnh xi và xj không còn liên hệ với nhau nữa.

Lát cắt tối giản là lát cắt không chứa trong nó những lát cắt khác.

d. Đồ thị phẳng và đồ thị không phẳng:

- Đồ thị G = (X.A) được gọi là đồ thị phẳng nếu nó có thể biểu diễn được trên mặt phẳng hoặc

mặt cầu sao cho không có bất kỳ hai cạnh nào cắt nhau.

- Đồ thị không thỏa mãn điều kiện trên gọi là đồ thị không phẳng.

e. Đồ thị đối ngẫu

Đối với một đồ thị G = (X. A), giữa một cặp đỉnh nào đó ta gọi là đỉnh vào (đỉnh đầu) và đỉnh ra

(đỉnh cuối) ta có thể xây dựng được một đồ thị đối ngẫu G' = {X'.A} theo trình tự sau đây:

- Vẽ thêm một cung nối liền hai đỉnh "vào" và "ra" của đồ thị G = {X.A}.

- Trong mỗi "diện" của G = {X.A}("diện" là một phần của đồ thị được giới hạn bởi các cung mà

bên trong nó không chứa các cung khác của đồ thị), kể cả diện ngoài (diện ngoài là phần mặt

phẳng không giới hạn bởi các cung của đồ thị) ta đặt một đỉnh x' trong tập X' của đồ thị đối ngẫu

sẽ được xây dựng.

- Nối các đỉnh trong tập X' lại với nhau bởi các cung, cắt các cung tương ứng của đồ thị phẳng

ban đầu, số cung của đồ thị đối ngẫu đúng bằng số cung của đồ thị phẳng ban đầu.

Hướng của cung trong đồ thị đối ngẫu được xác định như sau: Nếu cung của đồ thị đối ngẫu đi từ

một đỉnh nằm bên trong một diện của đồ thị phẳng ban đầu cắt cung của G ={X.A} có hướng

thuận với chiều kim đồng hồ theo mạch vòng của đa diện, thì hướng của cung đang xét trong đồ

thị đối ngẫu sẽ đi từ bên trong diện ra bên ngoài diện và ngược lại. Nếu cung của đồ thị phẳng ban

đầu không có hướng thì cung tương ứng của G' = {X'.A} cũng không có hướng.

Hình 4.3a và 4.3b cho một thí dụ về cách xây dựng đồ thị đối ngẫu.

``

- Tính đối ngẫu của đường và lát cắt trong đồ thị phẳng

Đối với một đồ thị phẳng G = {X.A}, tương ứng với một cặp đỉnh "vào", "ra", ta có thể dựng

một đồ thị đối ngấu G' = {X'.A}.

1

2 3

4 5

6 2'

3'

4'

5'

6'

1'

1'

2'

5'

3' 6'

4'

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a1

a2

a3

a4

a5

a6 a9

a8

a7

Hình 4.3 a Hình 4.3 b

PTITPTIT


122

Đường đi trong G = {X.A} sẽ tương ứng với lát cắt trong G' = {X'.A} và ngược lại. Ta có cặp đối

ngẫu sau:

- Ý nghĩa mạng của đối ngẫu:

Giả sử ta phải chuyển lượng hàng bi > 0 từ mỗi đỉnh i = 1, 2, ..., n-1 tới đỉnh n theo một mạng

riêng của mình. Khi đó nghiệm tối ưu của bài toán dòng trên mạng cho ta cách vận chuyển tốt

nhất.

Lại giả sử có một công ty vận tải mở dịch vụ vận chuyển từ mọi đỉnh i đến đỉnh n (theo mạng

của họ) với giá vận chuyển một đơn vị hàng là pi. Nếu (i, j) là một cung trong mạng riêng của ta

và phí tổn vận chuyển một đơn vị hàng trên cung này là cij, thì ta có thể tự chuyển hàng từ i đến j

rồi giao cho công ty vận tải chuyển nốt đến đỉnh n, với giá đơn vị là cij + pi. Công ty vận tải biết

các véc tơ b và c và tìm cách bao hết việc vận chuyển hàng của ta, kể cả trên cung (i, j). Khi đó họ

phải ra giá để cạnh tranh là pi ≤ cij + pj và pn = 0. Với giá đủ hấp dẫn này, coi như ràng buộc,

mục đích của họ tất nhiên là làm cực đại doanh thu

1n

1iiibp .Vậy bài toán của công ty chính là bài

toán đối ngẫu với bài toán tự vận chuyển của ta. Định lý đối ngẫu mạnh của quy hoạch tuyến tính

nói rằng doanh thu tối ưu của công ty đúng bằng phí tổn tối ưu khi ta tự vận chuyển bằng mạng

riêng. Nói cách khác, nếu hai phía đều tìm cách vận chuyển tối ưu và giá của công ty đặt ra đúng

thì cước phí là như nhau.

4.1.3. Biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận

a. Ma trận liên hệ trực tiếp

Giả sử cho đồ thị G = {X .A}, ma trận liên hệ trực tiếp của nó được ký hiệu là A = {aij}, được

xác định như sau:

0

1 a ij

Thí dụ 4.3 Cho đồ thị G = {X.A} như hình 4.4. Khi đó ma trận liên hệ trực tiếp của đồ thị cho ở

bảng 4.1

Trong G = {X.A} Trong G' = {X'.A} Đường đi Lát cắt Lát cắt Đường đi

, nếu trong G = {X.A} có cung (i, j) (kể cả cung tự nối) , nếu trong G = {X.A} không có cung (i, j)

0 1 1 0 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

Bảng 4.1 PTITPTIT


123

`

Với mỗi đồ thị G = {X.A}ta có một ma trận liên hệ trực tiếp tương ứng, xác định đầy đủ cấu trúc

của đồ thị. Tổng các phần tử theo dòng trong bảng 4.1 cho ta số cung đi khỏi đỉnh xi, còn tổng các

phần tử theo cột cho ta số cung đi vào đỉnh xi.

b. Ma trận liên hệ cung nút

Cho đồ thị G = {X.A} có n đỉnh và m cung. Ma trận liên hệ cung nút của đồ thị, ký hiệu là B =

{bij}, có kích thước m×n với các phần tử được xác định như sau:

0

1-

1

bij

Thí dụ 4.4 Đối với đồ thị cho ở hình 4.4 thì ma trận cung nút có dạng như ở bảng 4.2

Bảng 4.2

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

x1 1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0

x2 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

x3 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0

x4 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0

x5 0 0 0 -1 0 1 -1 1 0 0

x6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

Vậy mỗi cột của B có đúng hai phần tử khác không là 1 và -1; chỉ đỉnh đầu và đỉnh cuối của

cung tương ứng của cột này. Khi xét các hàng ta thấy hàng i ứng với đỉnh i và ràng buộc sẽ là:

iI(i)j

jiO(i)j

ijTi b x - x x a

trong đó x a Ti là hàng i của ma trận B. Như vậy, các phần tử khác 0 (là 1 hoặc -1) trên hàng i của

B ở cột nào thì có nghĩa là cung tương ứng cột đó có nối tới đỉnh i (1 ứng với cung đi ra từ đỉnh i,

-1 ứng với cung đi vào đỉnh i). Ma trận B gọi là ma trận nối cung - nút hoặc gọi tắt là ma trận nối.

Nhận xét rằng tổng tất cả các hàng của B là véc tơ 0. Vì vậy n hàng của B là phụ thuộc tuyến

tính. Vì vậy, có thể bỏ đi một hàng (nếu bài toán là chấp nhận được), thường là hàng ứng với đỉnh

ra của đồ thị.

x1

x6

x2

x5

x3

x4

a1

a3

a2

a4 a5

a6 a7

a8

a9

a10

Hình 4.4

, nếu xi là đỉnh đầu của cung aj

, nếu xi là đỉnh cuối của cung aj

, nếu xi không phải là đỉnh đầu hoặc đỉnh

cuối của cung aj hoặc nếu cung aj là cung tự nối

PTITPTIT


124

4.2 Bài toán đường đi ngắn nhất

4.2.1 Ý nghĩa và nội dung bài toán

Bài toán đường đi ngắn nhất là một bài toán quan trọng nảy sinh từ nhiều bài toán thực tế về vận

tải, mạng thông tin, điều khiển tối ưu,...Có thể phát biểu một dạng toán học chung cho các bài toán

như vậy thành bài toán dòng trên mạng như sau. Cho một đồ thị có hướng G = {X.A}. Mỗi cung

(i, j) có cước phí cij > 0 chính là độ dài của cung. Để tìm đường ngắn nhất từ một đỉnh s đến một

đỉnh r ta sẽ thấy cần tính nhiều hoặc thậm chí đường ngắn nhất từ mọi đỉnh khác đỉnh r tới đỉnh r.

Vì vậy người ta gọi bài toán đường ngắn nhất là bài toán tìm đường đi ngắn nhất từ mọi đỉnh trong

X tới một đỉnh r thuộc X cho trước, gọi là đỉnh gốc. Để đưa về bài toán dòng trên mạng, đặt bi = 1

cho mỗi đỉnh i ≠ r và

ri

ir b- b

Ta có thể giải bài toán đường ngắn nhất bằng thuật toán đơn hình mạng. Đường ngắn nhất từ

đỉnh i tới đỉnh r chính là các cung thuộc cây bao trùm tối ưu T nối từ đỉnh i đến đỉnh r (đây là

đường đi có hướng, trong đường đi không có cung lùi). Có nhiều cách để giải bài toán tìm đường

đi ngắn nhất, nhưng trong khuôn khổ bài giảng này ta nghiên cứu một thuật toán tỏ ra có hiệu quả

nhất, đó là thuật toán gán nhãn do Dijkstra công bố năm 1959. Ý tưởng của thuật toán là lần lượt

tìm đường đi ngắn nhất từ mỗi đỉnh đến đỉnh gốc ký hiệu là n, bắt đầu từ đỉnh có đường đi này

ngắn hơn cả, rồi theo thứ tự đỉnh có đường ngắn hơn làm trước. Cụ thể là lần lượt gán cho các

đỉnh của đồ thị một số gọi là nhãn của đỉnh. Cho đỉnh vào của đồ thị là x1 có nhãn bằng 0, sau đó

các cung đi từ x1 đến các đỉnh xj, jГ(x1), ta chọn cung có độ dài nhỏ nhất và gán nhãn cố định

cho nó.Tiếp theo trong các cung đi từ một đỉnh đã có nhãn cố định đến một đỉnh có nhãn tạm thời

ta lại chọn cung sao cho độ dài của nó cộng với nhãn của đỉnh đã được gán nhãn là nhỏ nhất, giá

trị này được gán cho đỉnh cuối của đường đi này. Quá trình tiếp tục cho đến khi đỉnh cuối (đỉnh

gốc) được gán nhãn cố định.

4.2.2 Thuật toán Dijkstra

Cho đồ thị G = {X.A}, tìm đường đi ngắn nhất từ xs đến xt, ký hiệu L(xi) là nhãn của đỉnh xi (i =

n1, ). Thuật toán như sau:

Bước 1: Đặt L(x1) = L(xs) = +0 và coi đây là nhãn cố định.

Đặt L(xi) = +∞ với i≠1 và xem các đỉnh này có nhãn tạm thời.

Gán xp ≡ xs

Bước 2: Với tất cả các đỉnh xiГ(xp) có nhãn tạm thời sẽ được thay đổi nhãn tạm thời mới theo

điều kiện sau:

L(xi) = Min{L(xi); L(xp) + cpi} (4.1)

Bước 3: Trong số các đỉnh đang có nhãn tạm thời (cũ và mới thay đổi) ta tìm một đỉnh j có nhãn

tạm thời thỏa mãn điều kiện:

L*(xj) = Min{L(xi)│L(xi) có nhãn tạm thời mới} (4.2)

Coi nhãn của đỉnh xj ứng với điều kiện (4.2) là nhãn cố định và đặt xp ≡ xj chuyển sang bước sau.

Bước 4:

a. Nếu chỉ cần tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh xs đến đỉnh xt thì có hai trường hợp xảy ra:

- Khi xp≡xt thì L(xp) là chiều dài đường đi ngắn nhất cần tìm. Thuật toán dừng.

- Khi xp ≠ xt quay lại bước 2.

PTITPTIT


125

b. Nếu cần tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh xs đến các đỉnh còn lại của đồ thị, thì có hai trường hợp

xảy ra:

- Khi nhãn của tất cả các đỉnh là nhãn cố định thì trị số nhãn của đỉnh xj (j ≠ s) là chiều dài đường

đi ngắn nhất từ đỉnh xs đến đỉnh xj trong đồ thị G = {X.A}.

- Nếu đồ thị vẫn còn đỉnh có nhãn tạm thời thì quay lại bước 2.

Thí dụ 4.5 Cho đồ thị G ={X.A} thể hiện bởi ma trận khoảng cách cho ở bảng 4.3. Các trị số

trong các ô biểu thị độ dài đường đi từ i đến j.(đơn vị tính: km)

Hãy vẽ đồ thị G và tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh x1 đến tất cả các đỉnh còn lại.

Bảng 4.3

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

x1 10 3 6 12

x2 10 18 2 13

x3 18 25 20 7

x4 25 5 16 4

x5 5 10

x6 20 10 14 15 9

x7 2 4 14 24

x8 6 23 5

x9 12 13 9 24 5

Giải bài toán bằng thuật toán Dijkstra:

Hình 4.5

Vòng lặp 1:

Bước 1: Đặt L(x1) = +0; L(xi) = +∞ i ≠ 1. Đặt xp ≡ x1 → B2

Bước 2: Г(xp) = Г(x1) = {x2, x7, x8, x9}, các đỉnh x2, x7, x8, x9 được thay nhãn tạm thời như sau:

L(x2) = Min{L(x2); L(xp)+cp2} = Min{+∞; 0 + 10} = 10




Bước 3: Gán nhãn có định

x1

x2 x3

x4

x6 x7

x9

x8 x5

10

3

12

2 13

6 15

18 18

25

20 7

4

14

5

24

9

23

10 5

16 PTITPTIT


126

L*(xi) = Min{L(x2), L(x7), L(x8), L(x9), L(x3), L(x4), L(x5), L(x6)

= Min{10, 3, 6, 12, +∞, +∞, +∞, +∞, +∞} = 3- ứng với đỉnh x7. Gán xp ≡ x7 → B4

Bước 4: Đồ thị còn có nhãn tạm thời → B2

Vòng lặp 2:

Bước 2: Г(xp) = Г(x7) = {x2, x4, x6, x9}, các đỉnh x2, x4, x6, x9 được thay nhãn tạm thời như sau:

L(x2) = Min{L(x2); L(xp)+cp2} = Min{10; 3 + 2} = 5





L*(xi) = Min{L(x2), L(x8), L(x9), L(x4), L(x6), L(x3), L(x5),

= Min{5, 6, 12, 7, 17 +∞, +∞, +∞, +∞, +∞} = 5- ứng với đỉnh x2. Gán xp ≡ x2 → B4


Vòng lặp 3:

Bước 2: Г(xp) = Г(x2) = {x3, x9}, các đỉnh x3, x9 được thay nhãn tạm thời như sau:




L*(xi) = Min{L(x8), L(x9), L(x4), L(x6), L(x3), L(x5),

= Min{ 6, 12, 7, 17, 23 +∞} = 6- ứng với đỉnh x8. Gán xp ≡ x8 → B4


Vòng lặp 4:

Bước 2: Г(xp) = Г(x8) = {x5, x6, x9}, các đỉnh x5, x6, x9 được thay nhãn tạm thời như sau:





L*(xi) = Min{L(x9), L(x4), L(x6), L(x3), L(x5),

= Min{ 11, 7, 17, 23, 29} = 7- ứng với đỉnh x4. Gán xp ≡ x4 → B4


Vòng lặp 5:

Bước 2: Г(xp) = Г(x4) = {x3,x5, x6}, các đỉnh x3,x5, x6 được thay nhãn tạm thời như sau:





L*(xi) = Min{L(x9), L(x6), L(x3), L(x5),

= Min{ 11, 17, 23, 12} = 11- ứng với đỉnh x9. Gán xp ≡ x9 → B4


Vòng lặp 6:

Bước 2: Г(xp) = Г(x9) = {x6}, các đỉnh x6 được thay nhãn tạm thời như sau:



PTITPTIT


127

L*(xi) = Min{L(x6), L(x3), L(x5)}

= Min{ 17, 23, 12} = 12- ứng với đỉnh x5. Gán xp ≡ x5 → B4


Vòng lặp 7:




L*(xi) = Min{L(x6), L(x3)}

= Min{ 17, 23} = 17- ứng với đỉnh x6. Gán xp ≡ x6 → B4


Vòng lặp 8:




L*(xi) = Min{L(x3)}

= Min{ 23} = 23- ứng với đỉnh x3. Gán xp ≡ x6 → B4

Bước 4: Đồ thị không còn nhãn tạm thời. Stop.

Chú ý: - Để tìm lộ trình đường đi ngắn nhất từ đỉnh s đến các đỉnh còn lại ta bắt đầu từ đỉnh gốc

lần ngược lại liên tiếp theo quan hệ sau:

L*(xj) - cij = L*(xi) (4.3)

trong đó xj là đỉnh nằm liền kề trước đỉnh xi trên đường đi ngắn nhất từ đỉnh xs đến đỉnh xj.

- Nếu đường đi ngắn nhất từ đỉnh xs đến đỉnh xt là duy nhất thì các cạnh hoặc cung (i, j) của

đường đi ngắn nhất này tạo nên một cây có gốc là xs và ngọn là xt.Nếu đường đi này không duy

nhất thì có nhiều cây tương ứng.

- Thuật toán Dijkstra chỉ áp dụng được khi cij ≥ 0. Trong trường hợp tổng quát, cij có thể âm, khi

đó có thuật toán giải riêng.

4.3 Mạng liên thông

4.3.1 Nội dung và ý nghĩa của bài toán

a. Nội dung bài toán: Cho đồ thị vô hướng đối xứng AX. G , với tập X = {x1, x2,.., xn}; tập A

= {a1, a2,..., am}, mỗi cạnh của đồ thị gán một số không âm, gọi là độ dài của cạnh. Hãy tìm một

cây bao trùm có tổng độ dài các cạnh là nhỏ nhất?

Theo định nghĩa cây là một đồ thị liên thông và không chứa chu trình. Cây của một đồ thị liên

thông n đỉnh gồm n-1 cạnh không chứa chu trình.

b. Ý nghĩa của bài toán:

Nếu coi các đỉnh của đồ thị là các điểm cần đặt máy điện thoại cố định thuê bao thì nên thiết kế

mạng đường dây theo những cạnh nào để tổng chiều dài đặt dây là nhỏ nhất tính từ tổng đài nội

hạt đến các thuê bao. Hoặc phải thiết kế hệ thống cáp truyền thông như thế nào để cung cấp thông

tin đến các địa phương trong vùng từ một trung tâm viễn thông sao cho tiết kiệm cáp nhất. Nếu

xem các đỉnh của đồ thị là những thành phố và các trung tâm huyện lỵ, muốn xây dựng mạng lưới

giao thông nối liền tất cả các điểm đó lại sao cho tổng kinh phí xây dựng là nhỏ nhất.

4.3.2 Thuật toán Prim

Ta có thể tìm cây bao trùm của đồ thị sao cho tổng độ dài các cạnh thuộc cây là nhỏ nhất theo

thuật toán đơn giản sau đây do Prim đề xuất. Đầu tiên ta chọn một cạnh ngắn nhất trong đồ thị làm

PTITPTIT


128

gốc cây. Sau đó, cắt trong tất cả các cạnh có một đầu mút thuộc phần cây đã chọn và một đầu mút

ở ngoài cây và ta chọn cạnh có độ dài nhỏ nhất nối vào cây. Quá trình tiếp tục cho đến khi cây có

đủ n - 1 cạnh thì ta nhận được cây bao trùm có tổng độ dài nhỏ nhất. Có thể có nhiều cây như vậy,

nhưng tổng độ dài của các cây bằng nhau.

Có thể làm ngược lại, trên đồ thị chọn cạnh có độ dài lớn nhất "xóa" khỏi đồ thị, kiểm tra xem đồ

thị còn liên thông hay không, nếu có thì tìm cạnh có độ dài lớn nhất tiếp theo và "xóa" khỏi đồ thị

rồi lại kiểm tra tính liên thông của đồ thị. Quá trình tiếp tục cho đến khi đồ thị còn đúng n - 1

không chứa chu trình thì ta nhận được cây bao trùm có tổng độ dài nhỏ nhất.

Thí dụ 4.6 Cho đồ thị vô hướng AX. G , mỗi cạnh gán một giá trị cij > 0 gọi là độ dài cạnh, như

hình 4.5

Hình 4.5

Giải bằng thuật toán Prim:

Đầu tiên ta chọn cạnh ngắn nhất (3,4) làm gốc cây, tiếp đó chọn cạnh (3,6) nối vào cây, rồi lần

lượt chọn cạnh (3,2), (6,7), (5,6), (5,8), (8,11), (8,9), (9,10) và cuối cùng là chọn cạnh (1,2) hoặc

(1,4). Đến đây ta có đủ n - 1 = 10 cạnh và ta được một cây bao trùm có tổng độ dài các cạnh là

ngắn nhất, hình 4.6

Hình 4.6

4.4 Bài toán luồng lớn nhất

4.4.1 Nội dung bài toán:

Cho một đồ thị có hướng G = {X.A}có tải năng các cung là uij, (i, j)A, có thể bằng +∞. Giả sử

s và t là hai nút đặc biệt, gọi tương ứng là nguồn và đích. Bài toán đặt ra là tìm dòng lớn nhất có

thể chuyển qua mạng từ s đến t?

Phát bểu toán học của bài toán là:

Maxbs,

x4

x5 x2 x8

x3

x10 x7

x6 x11 x1 x9

12

12

6

3

5

11

9

7

6

10

12

10

8

9

12

10

7

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

PTITPTIT


129

Ax = b,

bt = -bs.

bi = 0, ts, i ,

0 ≤ xij ≤ uij, A j)i,(

Giá trị của bs sẽ gọi là giá trị của dòng chấp nhận được tương ứng. Bài toán luồng lớn nhất có

thể đưa về bài toán dòng trên mạng bằng cách sau. Trước hết, ta phải đưa vào các cij. Ta đặt cij = 0

A j)i,( . Ta vẽ thêm cung mới (t, s) với uts = +∞ và cts = - 1. Tìm cực tiểu hàm mục tiêu

tsij)ji,(

ij x- xc ở bài toán dòng trên mạng mới được đặt, do đó, chính là dòng chấp nhận được sao

cho xts là lớn nhất. Nhưng vì bài toán mới đặt không có nguồn và đích nên toàn bộ dòng này phải

đi qua mạng để từ s quay lại t. Vậy xts chính là giá trị nghiệm của bài toán luồng lớn nhất.

Ngược lại, việc tìm dòng chấp nhận được của bài toán dòng trên mạng có tải năng hạn chế có thể

đưa về giải bài toán luồng lớn nhất như sau. Trước hết ta bỏ các hệ số cij đi và đưa thêm vào nút

nguồn s và nút đích t. Ta vẽ thêm cung (s, j) tới mỗi đỉnh j có bi > 0 và đặt tải năng của nó là usj =

bj và cung (i, t) từ mỗi nút t có bi < 0 và đặt uti = -bi. Vì ∑bk = 0 ta có ∑usj = ∑uit := w. Bây giờ ta

đưa vào khái niệm cắt, dùng đến nhiều cho bài toán luồng lớn nhất.

Một tập con S của tập các đỉnh X được gọi là một cắt hoặc cụ thể hơn, (s.t) cắt của bài toán luồng

(dòng) lớn nhất nếu sS và tS. Dung lượng C(S) của cắt S là tổng tải năng của các cung đi từ

S ra ngoài phần bù của S, tức là các cung có đuôi thuộc S, đầu không thuộc S. Vậy:

ij(i,j) A:i S,j S

CS u

Mỗi dòng đi từ s đến t có thể tách thành hai phần là tổng các dòng trên các cung ra khỏi S trừ đi

tổng các dòng trên các cung quay ngược lại S. Tức là mỗi véc tơ dòng x có giá trị v (chính là dòng

từ s đến t):

SjS,i

ijSkS,j

jk x - x v (4.4)

Nói riêng, nếu lấy S = {s} thì v = skk s

x hoặc S = X\{s} thì v = jt

j t

x , vì ta luôn giả thiết là trong

mạng không có cung dạng (t,j), tức là cung ra khỏi điểm hút. từ (4.4) ta thấy ngay là giá trị của

mọi dòng chấp nhận được (từ s đến t) phải thỏa mãn:

v ≤ C(S) (4.5)

với mọi cắt S. Vậy dung lượng của bất kỳ cắt nào cũng là một "cổ chai" mà dòng cực đại không

thể vượt quá được.

Bây giờ quay lại bài toán luồng lớn nhất ta vừa lập từ bài toán dòng trên mạng. Rõ ràng giá trị w

= ∑usj = ∑uit là dung lượng của cắt gồm chỉ có đỉnh s (và cũng là dung lượng của cắt gồm mọi

đỉnh, chỉ trừ đỉnh t). Do đó theo (4.5) mọi dòng chấp nhận được của bài toán luồng lớn nhất đang

xét đều có giá trị không vượt quá w. Cụ thể hơn là đối với dòng x chấp nhận được của bài toán

luồng lớn nhất này thì 3 khẳng định sau là tương đương:

- Giá trị của x là w.

- xsj = usj với mọi cung (s,j).

- xit = uit với mọi cung (i,t).

PTITPTIT


130

Dễ thấy dòng chấp nhận được của bài toán luồng lớn nhất (mà có giá trị w) luôn là dòng chấp

nhận được của bài toán dòng chấp nhận được ban đầu (vì ở các điểm nguồn và điểm đích luật bảo

toàn dòng được thỏa mãn, còn ở các đỉnh khác thì sự bảo toàn dòng ở hai bài toán là như nhau).

Ngược lại, mỗi dòng chấp nhận được của bài toán dòng trên mạng phải thỏa xsj = usj theo sự bảo

toàn dòng ở các điểm nguồn (vì usj = bsj), nên phải là dòng chấp nhận được với giá trị w của bài

toán luồng lớn nhất tương ứng.

Định lý 4.3 Đối với bài toán luồng lớn nhất đúng một trong hai trường hợp sau sẽ xảy ra:

- Có dòng chấp nhận được với giá trị lớn tùy ý và mọi cắt đều có dung lượng vô hạn.

- Tồn tại luồng lớn nhất và giá trị của nó là cực tiểu của dung lượng của tất cả các cắt.

Bài toán tìm luồng lớn nhất trên một mạng có nhiều điểm nguồn và nhiều điểm đích có thể dễ

dàng quy về bài toán luồng lớn nhất trên mạng chỉ có một điểm nguồn và một điểm đích bằng

cách thêm vào các đỉnh giả và cung giả thích hợp như hình 4.7a, b

Hình 4.7

4.4.2 Thuật toán Ford - Fulkerson

a. Ý tưởng của thuật toán.

Xuất phát từ luồng không (xij = 0 (i,j)). Tiếp đó, tìm một đường đi từ đỉnh nguồn xs đến đỉnh

đích xt (xs và xt xác định trước) sao cho trên cạnh có vận chuyển theo chiều thuận (từ điểm nguồn

tới điểm hút) thì lượng hàng vận chuyển chưa đạt tới khả năng thông qua của cung có dung lượng

nhỏ nhất. Nếu không có đường đi nào như thế thì luồng hiện có là luồng lớn nhất, còn nếu phát

hiện có đường đi như thế thì điều chỉnh luồng hiện có như sau: thêm một lượng hàng h vào mỗi

cung chưa vận chuyển hoặc có vận chuyển hàng theo chiều thuận, giảm lượng hàng vận chuyển h

trên các cung có vận chuyển hàng theo chiều ngược (từ điển hút về điểm nguồn), với h là giá trị

lớn nhất có thể được sao cho luồng sau khi điều chỉnh vẫn còn phù hợp với khả năng thông qua

của mạng, nghĩa là 0 ≤ xij ≤ uij. Mỗi lần điều chỉnh như vậy ta sẽ vận chuyển thêm được h đơn vị

hàng từ điểm nguồn tới điểm hút. Sau khi điều chỉnh ta kiểm tra xem có đường đi nào từ điểm

nguồn đến điểm đích có tính chất trên không, nếu không thì thuật toán dừng. Nếu có thì điều chỉnh

luồng như trên. Quá trình tiếp tục sau một số hữu hạn bước ta sẽ thu được luồng lớn nhất.

b. Lược đồ thuật toán:

Bước 0: Xuất phát từ luồng 0 (chưa vận chuyển xij = 0 trên mọi cung), ta lần lượt gán cho các

đỉnh của đồ thị một cặp số, gọi là nhãn, như sau: gán cho đỉnh nguồn (đỉnh x0) nhãn (∞,0). Mỗi

đỉnh trong quá trình thực hiện thuật toán sẽ ở một trong ba trạng thái: chưa có nhãn, có nhãn chưa

xét và có nhãn đã xét. Nhãn của đỉnh gồm hai phần và có một trong hai dạng sau:

[(ei,pi)] hoặc [(ei,-pi)]

x2

x1

y3

y2

y1

x0

x1

x2

y1

y2

y3

y0

∞

∞

∞

∞

∞

a)

b)

PTITPTIT


131

Phần thứ nhất chỉ ra lượng lớn nhất có thể tăng hoặc giảm luồng theo cung này, còn phần thứ hai

chỉ ra cần tăng hay giảm luồng theo cung (i,j) hay (j,i). Đầu tiên chỉ có đỉnh xs được khởi tạo nhãn

và nhãn của nó là chưa xét, các đỉnh còn lại đều chưa có nhãn. Từ xs ta gán nhãn cho các đỉnh kề

với nó và nhãn của đỉnh xs trở thành đã xét

Bước 1: Gọi N1 là tập các đỉnh i (i ≠ s) của mạng nối trực tiếp với đỉnh nguồn bởi một cung mà

lượng hàng vận chuyển từ đỉnh nguồn trên đó chưa vượt quá khả năng thông qua. tiếp sau đó ta

gán cho đỉnh i thuộc N1 một cặp số (ei,pi) gọi là nhãn, như sau:

ei = u1i - x1i = khả năng thông qua còn lại trên cung (0,i)

pi = 0 = Số hiệu của đỉnh nguồn đến đỉnh i.

Nếu N1 chứa đỉnh nguồn (hút) xt thì chuyển sang thức hiện bước 5 để tăng giá trị của luồng. Trái

lại chuyển sang bước 2.

Bước 2: Ký hiệu N2 là tập hợp tất cả các đỉnh j chưa được gán nhãn của đồ thị sao cho đỉnh này

được nối với một đỉnh đã được gán nhãn thuộc tập N1, chẳng hạn đỉnh i, bởi cung (i,j) với xij < uij

hoặc xij > 0. tiếp theo, ta gán cho mỗi đỉnh j một cặp số (ej,pj) gọi là nhãn, theo công thức sau:

i ij ij

j

i ij

min(e ; u - x )e

min(e , u )

pj = i. Chuyển sang bước 3

Bước 3: Lặp lại bước 2 với Nt thay cho Nt-1. Sau một số hữu hạn bước ta gặp một trong hai tình

huống sau:

3a. Nhãn của tất cả các đỉnh có nhãn đã xét nhưng đỉnh xt vẫn không có nhẫn. Thuật toán dừng.

Luồng hiện có là lớn nhất.(Không tồn tại đường tăng luồng)

3b. Đỉnh xt đã được gán nhãn. Chuyển sang bước 4.

Bước 4: Tăng luồng hiện có như sau: Giả sử đỉnh đích (điểm hút) (xt) đã được gán nhãn (et,pt), et

chỉ rõ lượng hàng sẽ vận chuyển thêm từ nguồn đến đích, số thứ hai (pt) cho biết đỉnh đã được

dùng để gán nhãn cho đỉnh đích. Dựa vào số thứ hai trong nhãn của đỉnh đích ta tìm được đỉnh

trước đó,v.v...cứ thế ta lần ngược lại đỉnh nguồn. Kết quả là xác định được đường đi từ nguồn tới

đích làm tăng giá trị luồng. Cách điều chỉnh luồng như sau:

- Nếu cạnh (i,j) không thuộc đường đi trên thì luồng giữ nguyên.

- Nếu cạnh (i,j) thuộc đường đi này và thuận chiều thì khi đó trên cạnh này xij < uij, ta đặt:

x'ij = xij + et

- Nếu cạnh (i,j) thuộc đường đi này và ngược chiều thì khi đó trên cạnh này xij > 0, ta đặt:

x'ij = xij - et

. Chuyển sang bước 5.

Bước 5: Xóa nhãn của mọi đỉnh, trừ đỉnh nguồn rồi quay lại bước 1. Đối với luồng mới thu được

ta lại sử dụng phép gán nhãn các đỉnh để tìm đường đi tăng.Thuật toán sẽ kết thúc sau một số hữu

hạn bước, nghĩa là sau một số hữu hạn lần áp dụng các bước từ 1 đến 5 ta sẽ gặp trường hợp

3a.(trong mạng không tìm được đường đi tăng)

Thí dụ 4.7: Cho đồ thị như ở hình 4.8. số ghi trên mỗi cung là khả năng thông qua của cung. Đỉnh

1 là đỉnh nguồn, đỉnh 7 là điểm hút.

nếu xij < uij

nếu xij > 0

PTITPTIT


132

`

Hình 4.8

Giải: Xuất phát từ luồng 0. Đỉnh nguồn được gán nhãn (∞, 0). Ở bước lặp đầu tiên ta gán cho đỉnh

2 nhãn: e2 = u12 = 6; p2 = 1. Gán cho đỉnh 3 nhãn: e3 = u13 = 3; p3 = 1

Tiếp đó dựa vào các đỉnh đã được gán nhãn 2 và 3, ta gán cho đỉnh 4 nhãn: e4 = min(e2, u24) =

min(6, 2) = 2; p4 = 2. Gán cho đỉnh 5 nhãn: e5 = min(e3, u35)= min(3, 1)= 1; p5 = 3. Gán cho đỉnh 6

nhãn: e6 = min(e3,u36) = min(3, 2) = 2; p6 = 3. Gán cho đỉnh 7 nhãn: e7 = min(e4, u47) = min(2, 3) =

2; p7 = 4. Đỉnh 7 là điểm hút được gán nhãn. Ta vận chuyển e7 = 2 đơn vị hàng theo đường 1-2-4-

7 (x12 = x24 = x47 = 2, các đỉnh khác xij = 0), giá trị luồng tương ứng là 2.

Ở vòng lặp tiếp theo, ta gán cho đỉnh 2 nhãn: e2 = u12 - x12 = 6 -2 = 4, p2 = 1. Gán cho đỉnh 3

nhãn e3 = u13 = 3, p3 = 1. Tiếp đó gán cho đỉnh 5 nhãn: e5 = min(e3, u35) = min(3, 1) = 1, p5 = 3.

Gán cho đỉnh 6 nhãn e6 = min(e3,u36) = min(3, 2) = 2, p6 = 3. Lúc này đỉnh 4 không được gán nhãn

vì cung (2,4) đã vận chuyển hết khả năng thông qua. Cuối cùng dựa vào các đỉnh đã được gán

nhãn 5 và 6 ta gán cho đỉnh 7 nhãn e7 = min(e5, u57) = min(1,1) = 1. p7 = 5.

Đỉnh 7 là đỉnh hút đã được gán nhãn. Ta vận chuyển e7 = 1 đơn vị hàng theo đường 1-3-5-7 (x13

= x35 = x57 = 1, các xij khác không đổi). Giá trị luồng bây giờ là 2 + 1 = 3.

Ở vòng lặp thứ ba, ta gán cho đỉnh 2 nhãn: e2 = u12 - x12 = 6 -2 = 4, p2 = 1. Gán cho đỉnh 3 nhãn:

e3 = u13 - x13 = 3 - 1 = 2, p3 = 1. Tiếp theo gán cho đỉnh 6 nhãn: e6 = min(e3, u36) = min(2, 2) = 2,

p6 = 3. Lúc này đỉnh 4, 5 không được gán nhãn. từ đỉnh 6 ta gán cho đỉnh 7 nhãn: e7 = min(e6,u67)

= min(2, 3) = 2, p7 = 6.

Kết quả ta vận chuyển thêm được e7 = 2 đơn vị hàng theo đường 1-3-6-7(x13 = x36 = x67 = 2, các

xij khác không đổi). Giá trị của luồng bây giờ là 3 + 2 = 5.

Để kiểm tra luồng hiện có đã lớn nhất hay chưa, ta tiếp tục quá trình gán nhãn: ta gán cho đỉnh 2

nhãn: e2 = u12 - x12 = 4, p2 = 1. Gán cho đỉnh 3 nhãn: e3 = min(e2, u23) = min(4, 3) = 3, p3 = 2.

Đến đây đỉnh 7 chưa được gán nhãn nhưng ta không thể gán nhãn cho đỉnh nào nữa (tình huống

3a). Vậy luồng hiện có là lớn nhất. Đó là:

x12 = 2, x13 = 3, x24 = 2 x35 = 1; x36 = 2, x47 = 2, x57 = 1, x67 = 2.

Lượng hàng vận chuyển lớn nhất từ điểm nguồn đến điểm hút là 5 đơn vị. Các lát cắt nhỏ nhất

C(S) là (2,4), (3,5) và (3,6). tổng cộng khả năng thông qua trên các cung này đúng bằng 5 đơn vị.

Thí dụ 4.8: Mạng vận tải gồm 4 nút. Nút nguồn là A, nút đích (điểm hút) là D. Các đường đi tăng

được tìm bằng phương pháp tìm kiếm theo chiều sâu, trong đó các đỉnh lân cận được duyệt theo

7

3

2

6

5

4

1

6

3

3

1

1

2

2

2

1 3

3

PTITPTIT


133

thứ tự bảng chữ cái. Thí dụ nà cho thấy biểu hiện của trường hợp xấu nhất của thuật toán. Mỗi

bước chỉ gửi thêm được một luồng có giá trị bằng 1.

Thuật toán đánh dấu: Nếu tồn tại một đường đi từ nguồn đến đích với điều kiện tất cả các cung

trên đường đi đó vẫn còn khả năng thông qua thì ta sẽ gửi đi một luồng dọc theo đường đi đó. Sau

đó ta tìm một đường đi khác và tiếp tục như vậy. Một đường đi còn khả năng thông qua là một

đường đi có khả năng mở rộng thêm hay một đường đi mà luồng qua đó còn khả năng tăng thêm -

gọi tắt là đường tăng.

Cho đồ thị G = {X.A}, với khả năng thông qua uij và luồng f(i,j) = 0 trên các cung từ i đến j. Ta

muốn tìm luồng cực đại từ nút nguồn s đến đến điểm hút t. Sau mỗi bước các điều kiện sau đây

được duy trì:

- f(i,j) ≤ c(i,j): Luồng từ i đến j không vượt quá khả năng thông qua.

- f(i,j) = - f(j,i): Cân bằng luồng

- X

f(i,j) = 0 cho tất cả các nút ngoại trừ s và t. Lượng vào nút bằng lượng ra khỏi nút.

Điều này có nghĩa là một luồng đi qua một mạng là một luồng hợp lệ sau mỗi vòng của thuật toán.

Chúng ta định nghĩa mạng còn dư Gt = {X, At} là mạng với sức chứa ut(i,j) = uij - f(i,j) và luồng

bằng 0. Chú ý rằng không chắc chắn là A = At bởi vì việc gửi luồng theo cung (i,j) (làm nó bảo

hòa), nhưng lại mở một cung mới (j,i) trong mạng còn dư.

Đầu vào: Đồ thị G với khả năng thông qua u. Nút nguồn s và nút đích t.

Đầu ra: Luồng f sao cho f là cực đại từ s đến t.

- f(i,j) ← 0 trên tất cả các cung (i,j).

- Trong khi còn có một đường đi từ s đến t trong Gt:

Tìm một đường đị x1, x2,..., xk với x1s, xkt: ut(xt,xt+1) > 0

Tìm m = Min{ut(xt,xt+1)}.

f(xi, xi+1) ← f(xi, xi+1) + m: Gửi luồng dọc theo đường đi.(chiều thuận)

f(xi+1, xi,) ← f(xi+1, xi,) - m: Luồng có thể "quay lại" sau.(Chiều ngược)

Khái niệm mạng còn dư: Thể hiện lượng khả năng thông qua hiện có.Để ý rằng có thể có một

cung từ i đến j trong mạng còn dư, ngay cả khi không có cung từ i đến j trong mạng ban đầu. Do

A

B

A

C

D

0/1000

0/1000

0/1000

0/1000

0/1000

B

A

C

D

1/1000

0/1000

0/1000

1/1000

1/1000

B

A

C

D

1/1000

1/1000

1/1000

1/1000

0/1000

B

A

C

D

1/1000

1/1000

1/1000

1/1000

0/1000

PTITPTIT


134

các luồng theo các hướng ngược nhau triệt tiêu lẫn nhau. Giảm luồng từ j đến i tương đương với

tăng luồng từ i đến j.

Khái niệm đường đi tăng: là một đường đi từ x1, x2,...., xk trong đó x1s và xkt và ut(xi,xi+1) > 0.

Nghĩa là có thể gửi thêm luồng dọc theo đường đi này.

4. 5. Bài toán luồng nhỏ nhất

4.5.1 Bài toán

Cho một đồ thị đối xứng có n đỉnh, mỗi cạnh có khả năng thông qua nhất định và có một cước

phí vận chuyển xác định (như nhau theo cả hai chiều). Cho trước một lượng S cần phải vận

chuyển từ đỉnh nguồn (đỉnh số 1) tới điểm hút (số n). Hãy tìm một phương án vận chuyển sao cho

phù hợp với khả năng thông qua của mạng và vận chuyển được lượng hàng S từ nguồn đến điểm

hút với tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất.

Đây là bài toán vận tải hạn chế khả năng thông qua. Tuy bài toán có một đỉnh nguồn và một

điểm hút, như bất kỳ bài toán vận tải trên mạng có nhiều nguồn và nhiều điểm hút có thể quy về

bài toán dạng trên bằng cách thêm vào các đỉnh giả và cung giả thích hợp như đã trình bày trong

bài toán luồng lớn nhất.

Về mặt toán học, bài toán luồng chi phí nhỏ nhất có thể phát biểu như sau:

Cực tiểu hàm chi phí Aji,

ijijxc với các điều kiện của bài toán:

S-

0

S

x - xi

iji

ji

Ở đây đỉnh nguồn được đánh số 1, đích đánh số n, cij là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng trên

cạnh (i, j), uij là khả năng thông qua của cạnh (i, j), xij là khối lượng hàng vận chuyển trên cạnh (i,

j) và là biến cần xác định.

4.5.2 Phương pháp giải:

Luồng chi phí nhỏ nhất có thể giải bằng thuật toán đơn giản như sau: Xuất phát từ phương án

vận chuyển không (xij = 0 trên mọi cạnh của đồ thị). Ở mỗi bước lặp, ta tìm đường đi có chi phí

nhỏ nhất từ nguồn đến điểm hút. Đường đi này bao gồm một dãy các cạnh kế tiếp nhau sao cho

trên các cạnh có vận chuyển hàng theo chiều thuận thì lượng hàng vận chuyển chưa vượt quá khả

năng thông qua của cạnh đó. Trên đường đi này, cạnh chưa vận chuyển hàng hoặc có vận chuyển

hàng theo chiều thuận thì chi phí vận chuyển là số dương, còn trên cạnh vận chuyển hàng theo

chiều ngược thì chi phí vận chuyển là âm Tiếp đó, ta xác định khả năng thông qua của đường đi

vừa tìm được, đó là số nhỏ nhất trong số các khả năng thông qua còn lại trên các cạnh có chi phí

vận chuyển âm. Thêm khả năng thông qua này vào các cạnh chưa vận chuyển hàng hoặc vận

chuyển hàng theo chiều thuận và bớt đi ở các cạnh vận chuyển hàng theo chiều ngược của đường

đi này, rồi chuyển sang bước lặp sau. Quá trình tiếp tục cho đến khi vận chuyển hết lượng hàng S

từ nguồn đến điểm hút hoặc phát hiện mạng không đủ khả năng vận chuyển hết lượng hàng S từ

nguồn đến điểm hút.

Chú ý: Ở mỗi bước lặp ta phải giải một bài toán phụ: tìm đường đi ngắn nhất từ nguồn đến điểm

hút trên mạng với cước phí có thể là số âm.

Thí dụ 4.9 Cho đồ thị vô hướng như hình 4.9. Mỗi cạnh tương ứng với một cặp số thứ tự mà số

thứ nhất là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng trên cạnh, số thứ hai là khả năng thông qua của

, nếu i = 1

, nếu i ≠ 1, i ≠ n

, nếu i = n

PTITPTIT


135

cạnh này. Đỉnh nguồn là đỉnh 1, điểm hút là 6. Tổng khối lượng hàng cần vận chuyển từ đỉnh

nguồn đến điểm hút là 5 đơn vị.

Hình 4.9

Giải: Ở bước lặp đầu tiên, phương án vận chuyển bằng 0 trên tất cả các cạnh. Tiếp đó, tìm đường

đi có chi phí nhỏ nhất từ đỉnh nguồn đến điểm hút, đó là 1-2-3-6 với tổng chi phí vận chuyển bằng

3, khả năng thông qua của đường đi này bằng 2 bằng khả năng thông qua của

\cạnh (1,2) hoặc (3,6). Ta vận chuyển thêm hai đơn vị hàng từ đỉnh nguồn đến điểm hút theo

đường đi vừa tìm được.

Ở bước lặp tiếp theo, đường đi có chi phí nhỏ nhất từ đỉnh nguồn đến điểm hút là 1 - 4- 6, với chi

phí vận chuyển bằng 7 và khả năng thông qua bằng 1 bằng khả năng của cạnh (4,6). Ta vận

chuyển thêm được 1 đơn vị hàng từ đỉnh nguồn tới điểm hút.

Ở bước lặp thứ 3, đường đi có chi phí nhỏ nhất từ đỉnh nguồn tới điểm hút là 1 - 4 - 3 - 2 - 5 - 6.

Trên đường đi này có 3 cạnh chưa vận chuyển, đó là (3,4), (2,5), (5,6); cạnh có vận chuyển hàng

theo chiều thuận là (1,4) và cạnh vận chuyển hàng theo chiều ngược là (2,3). Vì thế, chi phí vận

chuyển trên đường đi này bằng: 3 + 2 - 1 + 5 + 6 = 15. Khả năng thông qua của đường đi này

bằng:

Min(4-1, 4-0, 2, 2-0) = 2

Ta vận chuyển thêm 2 đơn vị hàng trên các cạnh (1,4), (4,3),(2,5), (5,6) và bớt 2 đơn vị hàng trên

cạnh (2,3). Kết quả ta vận chuyển được 5 đơn vị hàng từ đỉnh nguồn tới điểm hút, với tổng chi phí

bằng:

3.2 + 7.1 + 15.2 = 43

Luồng chi phí nhỏ nhất là:

x12 = 2, x14 = 3, x23 = 0, x25 = 2, x36 = 2, x43 = 2, x46 = 1, x56 = 2

Thuật toán đánh dấu: Cho mạng (G,u) trong đó G = {X.A}, u là năng lực thông qua trên mỗi

cạnh. Tìm luồng t qua mạng với giá trị tz nhỏ nhất và thỏa mãn điều kiện:

(i,j)A, t(i,j) ≥ u(i,j)

Xuất phát từ một luồng t nào đó thỏa mãn điều kiện trên, ta dùng phương pháp sau đây để giảm

giá trị của luồng t.

Bước 1: Đánh dấu các đỉnh.

Đầu tiên đánh dấu cho đỉnh đích (z) số 0.

Nếu đỉnh j đã được đánh dấu, có cạnh (i,j) với đỉnh đầu chưa được đánh dấu và t(i,j) > u(i,j) thì

đánh dấu cho đỉnh i là +j.

Nếu đỉnh i đã được đánh dấu, có cạnh (i,j) thì đánh dấu cho đỉnh j là -i.

2

3

5

6

4

1

(3,4)

(1,2)

(2,4)

(1,4)

(1,2)

(4,1)

(5,2)

(6,2)

PTITPTIT


136

Với cách đánh dấu này mà đi tới được đỉnh nguồn (x0) thì ta đã tìm được một đường đi vô hướng

từ z tới x0 được đánh dấu.

Bước 2: Giảm luồng

Bây giờ ta có thể giảm luồng đi 1 bằng cách chọn luồng mới t' như sau:

Nếu cạnh (i,j) không thuộc đường đi trên thì giữ nguyên luồng, nghĩa là: t'(i,j) = t(i,j)

Nếu cạnh (i,j) thuộc đường đi này và cùng chiều với chiều từ x0 đến z thì đặt: t'(i,j) = t(i,j) - 1 (vì

trên cạnh đó t(i,j) > u(i,j)), còn nếu cạnh (i,j) ngược chiều thì đặt t'(i,j) = t(i,j) + 1.

Lặp lại quá trình giảm luồng trên cho đến khi không đánh dấu được tới đỉnh nguồn x0. Khi đó ta

nhận được luồng có giá trị nhỏ nhất,

Thí dụ 4.10: Xét mạng vận tải:

Luồng hiện có có giá trị là tz = 19. Luồng mới sau khi cải tiến có giá trị là tz' = 18 là luồng nhỏ

nhất.

4.6 Phương pháp sơ đồ mạng lưới (Pert)

4.6.1 Một số khái niệm và quy tắc lập sơ đồ mạng lưới

a. Định nghĩa:

Định nghĩa 1: Một tập hợp các điểm (ta gọi là các đỉnh, ký hiệu là X) và tập hợp các cung (ký

hiệu là A) được gọi là sơ đồ mạng lưới nếu chúng thỏa mãn các điều kiện sau:

- Giữa 2 đỉnh có không quá một cung nối liền và ngược lại mỗi cung phải liên kết 2 đỉnh nào đó

với nhau.

Cung nối từ đỉnh i đến đỉnh j được ký hiệu là (i, j), trong đó i là điểm gốc của cung và j là điểm

ngọn của cung.

- Điểm gốc và điểm ngọn của mỗi cung không trùng nhau.

- Trong một dãy các cung nối tiếp nhau (tức là điểm ngọn của mỗi cung là điểm gốc của cung tiếp

theo) thì không bao giờ điểm ngọn của cung cuối cùng trùng với điểm gốc của cung đầu tiên. Một

dãy như vậy được gọi là một đường đi trong sơ đồ mạng lưới.

- Giữa 2 đỉnh tùy ý bao giờ cũng có một dãy các cung nối liền.

- Có một đỉnh chỉ toàn cung đi ra gọi là đỉnh khởi công toàn bộ và có một đỉnh chỉ toàn cung đi tới

gọi là đỉnh kết thúc toàn bộ. Các đỉnh còn lại có cả cung đi ra lẫn cung đi tới gọi là đỉnh trung

gian.

Định nghĩa 2: Ứng với mỗi cung (i, j) có một số tij đặc trưng cho cung đó về mặt lượng được

gọi là độ dài hay thời hạn của cung đó.

Định nghĩa 3: Độ dài đường đi μ trong sơ đồ mạng lưới là tổng độ dài của tất cả các cung

thuộc đường đi đó, ký hiệu là l(μ). Theo định nghĩa thì:

i j

x0

x1

x2

x3

x4

z 9/8

5/5

10-9/8

4/3

4/3

6-5/5

6-5/5

13/13

0

+0

+3 +4 +2

3-4/3

PTITPTIT


137

l(µ)

μj)(i,

ijt

b. Công dụng của sơ đồ mạng lưới:

Nó được dùng để mô tả quá trình thi công một công trình nào đó hoặc bất cứ một quy trình nào

đó mà trong đó bao gồm nhiều công việc thành phần với những trình tự tiến hành khác nhau. Hai

yếu tố chính trong quá trình thi công là công việc và sự kiện. Các công việc được mô tả bởi các

cung, các sự kiện được biểu thị bằng các đỉnh. Thời điểm khởi công toàn bộ công trình (sự kiện

đầu tiên khởi công toàn bộ công trình) được biểu thị bằng đỉnh khởi công toàn bộ (thường ký hiệu

là đỉnh 1). Thời điểm kết thúc toàn bộ công trình (sự kiện cuối cùng hoàn thành toàn bộ công

trình) được biểu thị bởi đỉnh kết thúc toàn bộ (thường ký hiệu là đỉnh n). Các đỉnh còn lại biểu thị

các sự kiện trung gian, đó là những mốc thời gian trong quy trình thi công, nó đánh dấu sự hoàn

thành cuả một số công việc nào đó của công trình và sự bắt đầu của một số công việc tiếp theo.

Một cách chính xác, ta định nghĩa:

Định nghĩa 4: Một sự kiện được gọi là hoàn thành nếu mọi việc ứng với các cung đi đến nó đều

đã hoàn thành.

Một sự kiện có hoàn thành thì các công việc ứng với các cung đi khỏi nó mới có thể bắt đầu.

c. Các quy tắc thiết lập sơ đồ mạng lưới.

Quy tắc1: Nếu một nhóm 2 hay nhiều công việc cùng chung sự kiện khởi công và cùng chung sự

kiện kết thúc thì không được biểu diễn như hình 4.10a, tùy thuộc vào tính chất của các công việc

mà ta có thể xử lý như sau:

- Nếu tính chất của các công việc như nhau hoặc trong thực tế không thể làm tách rời nhau được

thì gộp chúng lại thành một cung duy nhất (hình 4.10b).

- Nếu tính chất các công việc khác nhau mà không thể gộp chúng lại được thì phải thêm đỉnh mới

và cung giả (hình 4.10c). Các đỉnh mới là j1 và j2; các cung (j1, j) và (j2, j) gọi là các cung giả (biểu

thị bằng nét đứt).

Quy tắc2: Nếu một nhóm công việc lập thành một mạng con trong sơ đồ mạng lưới (các công việc

và sự kiện của nhóm này không phụ thuộc gì vào và không ảnh hưởng đến các công việc khác của

sơ đồ mạng lưới, trừ sự kiện đầu tiên và sự kiện cuối cùng của nhóm này) thì ta có thể gộp mạng

con đó thành một cung duy nhất, nếu sự gộp đó không làm cho sơ đồ mạng lưới trở nên quá thô

(hình 4.11a chuyển sang hình 4.11b), cung (2, 4) trong hình 4.11b mô tả cả 3 công việc a, b, c

trong sơ đồ mạng lưới hình 4.11a.

Hình 4.10a i j b

a

c Hình 4.10b

Hình 4.10c

i j a, b, c

i

j1

j2

j

a

b

c

PTITPTIT


138

Quy tắc 3: Nếu một nhóm các công việc liên hệ với nhau theo trật tự:

Việc d sau việc a, b, c

Việc e sau việc a, b

thì ta phải biểu diễn như hình 4.12

`

Việc d sau việc a, c

Việc e sau việc a, b

thì ta phải biểu diễn như hình 4.13.

Quy tắc 4: Nếu một nhóm các công việc liên hệ với nhau theo trật tự:

Việc a sau việc b

Việc c sau việc d

Việc e sau việc b, d

thì ta phải biểu diễn như hình 4.14:

Quy tắc 5:

Nếu việc a bắt đầu khi hoàn thành 1/5 công việc x

Nếu việc b bắt đầu khi hoàn thành 1/2công việc x

Nếu việc c bắt đầu khi hoàn thành 4/5 công việc x

Nếu việc d bắt đầu khi hoàn thành toàn bộ công việc x

Hình 4.11a

Hình 4.11b

a

b

e

d

i

Hình 4.12

c

a

b

d

e

Hình 4.13

1 2

3

4 5

1 2 4 5

b

d

a

e

c Hình 4.14

PTITPTIT


139

Hình 4.15

Qui tắc 6:

- Nếu một đỉnh không phải đỉnh khởi công toàn bộ mà chỉ toàn những cung đi ra thì ta phải thêm

một cung giả nối từ đỉnh khởi công toàn bộ với đỉnh đó: Hình 4.14a chuyển sang hình 4.16b.

- Nếu một đỉnh không phải đỉnh kết thúc toàn bộ mà chỉ toàn những cung đi tới thì ta phải thêm

một cung giả nối từ đỉnh đó đến đỉnh kết thúc toàn bộ: Hình 4.14c chuyển sang hình 4.16d

`

Chú ý: Muốn cho sơ đồ mạng lưới vẽ được cân đối đẹp đẽ, ta tiến hành như sau:

- Cho sự kiện khởi công toàn bộ mang số 1 và xếp nó vào lớp thứ nhất.

- "Xóa" sự kiện 1 và các cung đi khỏi nó, chọn những sự kiện toàn cung đi tới xếp vào lớp thứ 2.

- Đánh số thứ tự cho các đỉnh thuộc lớp thứ hai bắt đầu từ số 2, các đỉnh trong một lớp có thể

đánh số tùy ý.

- "Xóa" các sự kiện thuộc lớp thứ i cùng các cung đi khỏi các sự kiện thứ i, chọn ra các sự kiện

chỉ toàn những cung đi ra xếp vào lớp thứ i + 1. Quá trình lặp lặp lại cho đến khi sự kiện kết thúc

toàn bộ được đánh số.

- Việc giả có độ dài tij = 0 nếu việc giả đó phản ánh trật tự lô gíc giữa các việc. Việc giả có độ dài

khác 0 nếu việc giả đó phản ánh sự chờ đợi.

- Khi vẽ sơ đồ mạng lưới ta nên đưa các sự kiện có liên quan nhiều với các sự kiện khác vào bên

trong, các sự kiện ít liên quan đến các sự kiện khác thì vẽ ra phía ngoài.

4.6.2 Các chỉ tiêu thời gian của sơ đồ mạng lưới

Cho sơ đồ mạng lưới G = {X.A} trong đó X là tập các sự kiện thể hiện bởi các đỉnh và A là tập

các công việc thể hiện bởi các cung.

a. Thời điểm sớm nhất hoàn thành sự kiện:

4

2 5 1

3

4

2 5 1

3

3

4 5


1

2

3

4 5 1

2

Hình 4.16c Hình 4.16d

j j1 j2 j3 j

a b c

d 1/5x 3/10x 3/10x 1/5x

PTITPTIT


140

Ký hiệu thời điểm sớm nhất hoàn thành j là X j Tsj

Ta biết rằng sự kiện j là hoàn thành nếu mọi công việc ứng với các cung đi tới sự kiện j đều đã

hoàn thành. Vì vậy đối với sự kiện 1 là sự kiện khởi công toàn bộ, trước đó chưa có công việc nào

nên s1T = 0.

Đối với sự kiện j tùy ý, như trên hình 4.16 thì đến thời điểm 24 mới có việc (i1, j) hoàn thành, nếu

việc này thi công sớm nhất vào thời điểm 18, việc (i2, j) và (i3, j) chưa hoàn thành, dù cho 2 việc

này thi công sớm nhất có thể được thứ tự là 19 và 16, cũng xét như vậy ta được:

jijsi

sj Aj)(i,; t Tmax 27 T

sjT `= ?

trong đó jA = {(i1,j), (i2,j), (i3,j)} - tập hợp các công việc ứng với các cung đi tới sự kiện j.

Một cách tổng quát: sjT = max{ -

jijsi A j)(i, t T } (1), trong đó Aj là tập hợp các công việc

ứng với các cung đi tới sự kiện j.

Từ định nghĩa về sự hoàn thành một sự kiện ta suy ra sjT là độ dài đường đi dài nhất từ sự kiện 1

đến sự kiện j: sjT = l(Δj) X j (1')

Trong đó Δj là đường đi dài nhất từ sự kiện 1 đến sự kiện j.

Gọi n là sự kiện hoàn thành toàn bộ công trình thì snT = l(Δn) - thời hạn hoàn thành toàn bộ công

trình.

b. Thời điểm muộn nhất hoàn thành sự kiện.

Ký hiệu miT X i` . Nếu sự kiện i hoàn thành muộn hơn thời điểm m

iT thì thời gian hoàn thành

toàn bộ công trình bị kéo dài. Đối với sự kiện n thì: sn

mn T T

Giả sử biết thời điểm muộn nhất hoàn thành các sự kiện kề sau sự kiện i. Ta biết rằng sự kiện i

có hoàn thành thì các công việc ứng với các cung ra khỏi i mới bắt đầu được.

mj1

T =?

`

i2

`

si1

T =18

i

j3

j1

j2

mj1

T = 60

mj2

T = 59

mj3

T = 62

1ijt = 8

2ijt = 9

3ijt = 11

Hình 4.17

Hình 4.17

i1

j

si2

T =19

si3

T =16

ji1t =6

ji2t = 8

ji3t = 10 i3

PTITPTIT


141

Trên hình 4.17, nếu sự kiện i hoàn thành vào thời điểm 51 và cả 3 việc đều thi công ngay khi sự

kiện i hoàn thành thì đến thời điểm 62, việc (i,j3) đã hoàn thành, việc (i, j1) cũng đã hoàn thành

trước thời điểm 60, chúng đều không làm ảnh hưởng đến mj1

T và mj3

T , nhưng việc (i, j2) chưa hoàn

thành được ở thời điểm mj2

T do đó làm ảnh hưởng đến thời gian hoàn thành toàn bộ công trình.

Cũng xét như vậy, ta được ở thời điểm 50 sự kiện i phải hoàn thành thì mới không làm ảnh hưởng

đến mj1

T , mj2

T , mj3

T và do đó sẽ không làm ảnh hưởng đến thời gian hoàn thành toàn bộ công trình.

Một cách tổng quát: miT = min{ jij

mj A j) (i, ; t- T } (2)

trong dó

1jA - tập hợp các công việc ứng với các cung ra khỏi sự kiện i.

Từ bản chất của thuật ngữ "muộn nhất hoàn thành" suy ra độ dài đường đi dài nhất từ sự kiện i

đến sự kiện n là mnT - m

iT . Nếu ký hiệu γi - đường đi dài nhất từ sự kiện i đến sự kiện n thì:

l(γi) = mnT - m

iT hoặc miT = m

nT - l(γi) i < n (2')

với i = 1 thì m1T = m

nT - l(γ1) = mnT - l(Δn) = 0.

Thí dụ 4.11: Một quy trình công nghệ gồm một số các công việc chính sau đây:

Công việc a1 làm trong 6h bắt đầu ngay.

Công việc a2 làm trong 4h sau a1 hoàn thành.






Công việc a8 làm trong 9h sau a3, a6, a7 hoàn thành.

Công việc a9 làm trong 7h sau a3, a6 hoàn thành.





a) Lập sơ đồ mạng lưới mô ta quá trình thi công các công việc trên?

b) Tính thời điểm sớm nhất và muộn nhất hoàn thành các sự kiện?

Giải: - Vẽ sơ đồ mạng lưới

PTITPTIT


142

`

Hình 4.18

- Tính thời điểm sớm nhất hoàn thành các sự kiện:

s1T = 0

s2T = max{ s

1T + t1,2} = 0 + 6 = 6h

s3T = max{ s

1T + t1,3} = 0 + 7 = 7h

s4T = max{ s

2T + t2,4} = 6 + 4 = 10h

s5T = max{ s

1T + t1,5; s3T + t3,5} = max{0 + 5; 7 + 8} = 15h

s6T = max{ s

3T + t3,6} = 7 + 6 = 13h

s7T = max{ s

2T + t2,7; s4T + t4,7 } = max{6 + 6; 10 + 0} = 12h

s8T = max{ s

4T + t4,8, s5T + t5,8} = max{10 + 5; 15 + 7} = 22h

s9T = max{ s

5T + t5,9; s6T + t6,9 } = max{15 + 0; 13 + 0} = 15h

s10T = max{ s

6T + t6,10; s9T + t9,10} = max{13 + 5; 15 + 9}= 24h

s11T = max{ s

7T + t7,11; s8T + t8,11;

s10T + t10,11} = max{12 + 9; 22 + 5; 24 + 8}= 32

- Tính thời điểm muộn nhất hoàn thành các sự kiện:

m11T = s

11T = 32

m10T = min{ m

11T - t10,11} = 32 - 8 = 24h

m9T = min{ m

10T - t9,10} = 24 - 9 = 15h

m8T = min{ m

11T - t8,11} = 32 - 5 = 27h

m7T = min{ m

11T - t7,11} = 32 - 9 = 23h

m6T = min{ m

10T - t6,10; m

9T - t6.9} = min{24 - 5; 15 - 0} = 15h

1

a8=9

10

9

7

4

3

2

6

5

8 11

a1=6

a2=4

a3=5

a4=7 a6=8

a7=6

a9=7

a12=5

a11=5

a10=9

a13=8

a5=6

PTITPTIT


143

m5T = min{ m

9T - t5,9; m

8T - t5,8} = min{15 - 0; 27 - 7} = 15h

m4T = min{ m

8T - t4,8; m7T _ t4,7} = min{27 - 5; 23 - 0} = 22h

m3T = min{ m

6T - t3,6; m

5T - t3,5} = min{15 - 6; 15 - 8} = 7h

m2T = min{ m

7T - t2,7; m4T - t2,4} = min{23 - 6; 22 - 4} = 17h

m1T = min{ m

3T - t1,3; m2T - t1,2;

m5T - t1,5} = min{7 - 7; 17 - 6; 15 - 5} = 0

c. Thời gian dự trữ của sự kiện.

- Định nghĩa 1: Chênh lệch giữa thời đỉểm muộn nhất và thời điểm sớm nhất hoàn thành một sự

kiện được gọi là thời gian dự trữ của sự kiện đó, ký hiệu thời gian dự trữ của sự kiện i là Di:

Di = miT - s

iT Xi (3)

Theo (1') và (2') ta có: Di = mnT -[l(Δi) + l(γi)] Xi (3')

Nhận xét: Tổng l(Δi) + l(γi) là tổng độ dài đường đi dài nhất từ sự kiện 1 đến sự kiện i và từ sự

kiện i đến sự kiện n nên tổng ấy chính là độ dài đường đi dài nhất từ sự kiện 1 qua sự kiện đến sự

kiện n và gọi là đường đi dài có điều kiện i. mnT là độ dài của đường đi dài nhất từ sự kiện 1 đến sự

kiện n, đó là đường đi dài nhất không điều kiện. Như vậy Di là chênh lệch giữa 2 đường đi dài

nhất: dài nhất không điều kiện và dài nhất có điều kiện.

mnT

- Định nghĩa 2: Sự kiện i được gọi là sự kiện găng nếu nó không có thời gian dự trữ, tức là Di =

0 hay miT =

siT .

Trong thí dụ 4.1 các sự kiện 1, 3, 5, 9, 10, 11 là các sự kiện găng. Đường đi qua các sự kiện đó

gọi là đường găng.

Lưu ý: Trong một sơ đồ mạng lưới có thể có nhiều hơn một đường găng. Trong thí dụ 4.1 ngoài

đường găng trên còn có đường găng thứ hai đi qua các sự kiện 1, 3, 6, 9, 10, 11.

d. Thời điểm sớm nhất khởi công và hoàn thành công việc

- Thời điểm sớm nhất khởi công công việc.

Ký hiệu ksijT là thời điểm sớm nhất hoàn thành công việc (i, j) Aj)i,(

Ta biết rằng, sự kiện i có hoàn thành thì công việc (i, j) mới bắt đầu được (i < n) nên:

ksijT = s

iT . (4)

- Thời điểm sớm nhất hoàn thành công việc.

Ký hiệu thời điểm sớm nhất hoàn thành công việc (i, j) là hsijT Aj)i,(

Ta biết rằng, giữa thời điểm hoàn thành (sớm nhất) và thời điểm khởi công (sớm nhất) công việc

(i, j) chênh nhau bởi thời gian thi công tij, nên:

hsijT = ks

ijT + tij Aj)i,( (5)

i

n 1

)l( i )l(γi

Di =mnT -[l(Δi) + l(γi)]

Hình 4.19

PTITPTIT


144

từ (4) và (5) ta suy ra:

hsijT = s

iT + tij Aj)i,( (5')

e. Thời điểm muộn nhất hoàn thành và khởi công công viêc.

- Thời điểm muộn nhất hoàn thành công việc:

Ký hiệu thời điểm muộn nhất hoàn thành công việc (i, j) là hmijT Aj)i,(

Ta biết rằng sự kiện j được coi là hoàn thành nếu -jAj)i,( đều đã hoàn thành, như vậy công

việc (i, j) không được phép hoàn thành muộn hơn mjT . Do đó:

hmijT = m

jT với Aj)i,( (6)

- Thời điểm muộn nhất khởi công công việc:

Ký hiệu thời điểm muộn nhất khởi công công việc (i, j) là kmijT Aj)i,( . Cũng lập luận như

công thức (5), ta được:

kmijT = hm

ijT - tij Aj)i,( (7)

Từ (6) và (7) suy ra: kmijT = m

jT - tij Aj)i,( (7')

f. Thời gian dự trữ chung của công việc.

- Định nghĩa 3: Thời gian dự trữ chung của công việc (i, j) được ký hiệu và xác định như sau:

cijD = km

ijT - ksijT Aj)i,( (8)

từ (4) và (7') ta có:

cijD = m

jT - tij - siT Aj)i,( (9)

theo (5') và (6) ta được:

cijD = hm

ijT - hsijT Aj)i,( (10)

công thức (10) cũng được lấy làm định nghĩa cho cijD .

Thay (1') và (2') vào (9) ta được:

cijD =

mnT - [l(Δi) + tij + l(γj)] Aj)i,( (11)

Nhận xét: Tổng l(Δi) + tij + l(γj) là độ dài đường đi dài nhất từ sự kiện 1 qua công việc (i, j) đến sự

kiện n . Như vậy: cijD là chênh lệch giữa 2 đường đi dài nhất: đường đi dài nhất không điều kiện và

đường đi dài nhất có điều kiện (qua công việc (i, j)).

Hình 4.20

Định nghĩa 4: Công việc (i, j) được gọi là công việc găng nếu nó không có thời gian dự trữ

chung, thức là cijD = 0.

g. Đường găng.

n 1

cijD = m

nT - [l(Δi) + tij + l(γj)]

i j tij

l(Δi) l(γj)

mnT

PTITPTIT


145

+ Định nghĩa: Đường đi có độ dài lớn nhất từ sự kiện 1 đến sự kiện n trong sơ đồ mạng lưới

được gọi là đường găng.

Ký hiệu đường găng là g thì hiển nhiên l(g) = mnT =

snT

+ Tính chất: (Định lý về điều kiện cần và đủ để một sự kiện, công việc là găng)

- Sự kiện i là sự kiện găng khi và chỉ khi i nằm trên đường găng.

- Công việc (i, j) là công việc găng khi và chỉ khi (i, j) nằm trên đường găng.

+ Cách xác định đường găng

Từ định lý trên, ta suy ra cách xác định đường găng như sau:

- Tính thời gian dự trữ chung cho tất cả các công việc.

- Tách ra các công việc không có thời gian dự trữ chung (những việc găng).

- Lập những dãy các việc găng nối tiếp nhau từ sự kiện 1 đến sự kiện n. Một dãy như vậy chính

là một đường găng.

Chú ý: Để thuận tiện cho việc khảo sát sơ đồ mạng lưới ta biểu thị mỗi sự kiện bởi một vòng tròn,

chia làm 4 phần (hình 4.20):

Phần phía trên ghi số thứ tự của sự kiện.

Phần bên trái ghi thời điểm sớm nhất hoàn thành sự kiện

Phần bên phải ghi thời điểm muộn nhất hoàn thành sự kiện

Phần phía dưới ghi thời gian dự trữ của sự kiện.

Để dễ dàng nhận ra đường găng, ta ký hiệu mỗi việc găng

bởi một mũi tên đậm (hoặc mũi tên kép).

Hình 4.21

Để khảo sát sơ đồ mạng lưới được sâu hơn ta phân các việc không găng làm hai loại:

- Việc không găng độc lập là việc không găng mà sự kiện gốc và sự kiện ngọn của việc ấy đều là

những sự kiện găng.

siT m

iT sjT

mjT

iD cijD > 0 jD

Hình 4.22

miT = s

jT (sự kiện i - găng)

mjT = s

jT (sự kiện j - găng)

tij < mjT - s

iT → cijD > 0 (việc (i, j) không găng).

Công việc không găng độc lập được sử dụng toàn bộ thời gian dự trữ chung của nó mà không làm

ảnh hưởng đến các công việc khác.

- Việc không găng liên găng là việc không găng mà ít nhất một trong hai sự kiện gốc hoặc sự

kiện ngọn của nó là sự kiện không găng.

4.6.3 Kết hợp các ước tính thời gian xác suất

Việc đóng góp chủ yếu của sơ đồ mạng lưới đối với việc lên thời biểu dự án trở thành phương

tiện cho phép giám đốc dự án kết hợp tính bấp bênh vào trong một hệ thống phân tích cấu trúc tốt.

Dùng các kỹ thuật tìm ra dưới kiểu sơ đồ mạng lưới, các giám đốc có thể chấp nhận việc ước

siT m

iT

i

iD

j i tij PTITPTIT


146

lượng thời gian không chắc chắn của những người đứng đầu, các nhà cung cấp, các nhà thầu phụ

và các nhà cung cấp dịch vụ khác. Thông tin này cũng cho phép họ triển khai một thước đo trọng

tâm về thời gian hoàn thành đối với một dự án và là một thước đo độ lệch chuẩn. Độ lệch chuẩn

và phương tiện đã đề cập của việc phân bố thời gian hoàn thành, các xác suất kết thúc dự án với

khoảng thời gian ít hơn hay nhiều hơn so với thời gian trung bình sẽ được xác định.

Phương pháp sơ đồ mạng lưới kết hợp tính bấp bênh (và xác suất) bao gồm ba bước ước lượng

cho mỗi hoạt động hơn là 1. Các ước lượng được định nghĩa như sau:

● a: thời gian tối ưu: Đây là thời gian tốt nhất có thể được dự tính nếu mọi thứ diễn ra tốt đẹp và

sẽ đạt đến với khoảng 1 phần trăm thời gian.

● m: thời gian khả thi nhất: Đây là việc ước lượng tốt nhất hoặc sự dự tính khả thi.

● b: thời gian yếm thế: Đây là thời gian trễ nhất có thể được dự tính mộ cách hợp lý nếu mọi thứ

diễn ra sai, và nó sẽ xảy ra chỉ khoảng 1 phần trăm thời gian.

Thời gian trung bình dự tính (te) và phương sai (σ2) của mỗi hoạt động được xác định như sau:

e

2

2

a + 4m + bt =

6

b - aσ =

6

Với a là ước lượng thời gian tích cực

m là ước lượng thời gian khả thi nhất.

b là ước lượng thời gian yếm thế.

Các khoảng thời gian hoạt động tách biệt được tính tổng từ các đường đi tương ứng và đường đi

có khoảng thời gian dài nhất gọi là đường găng. Các phương sai của các khoảng thời gian hoạt

động thành phần cùng với đường gawngcos thể được tính tổng. Sự phân phối thời gian kết thúc

xấp xỉ trung bình với thời gian hoàn tất TE và độ lệch chuẩn σ.

TE = ∑te (14)

2 2cpσ = σ (15)

với σ2 là phương sai của các hoạt động tách biệt trên đường găng.

Độ lệch chuẩn và số trung bình đã cho của việc phân bố kết thúc, các xác suất của các khoảng thời

gian hoàn thành khác nhau có thể được tính bằng cách dùng sự phân phối trung bình. Thi dụ, để

xác định xác suất một dự án sẽ mất thời TX ở hình 4.23, chúng ta sẽ tính:

X ET - TZ =

σ

Sau đó tìm xác suất kết hợp với giá trị Z từ các giá trị phân phối trung bình (ở phần phụ lục) và trừ

nó với 0,5. Các kết quả sẽ biểu thị một vùng tạo vạch dưới đường cong như hình 4.23

Thí dụ 4.12: Một dự án bao gồm 10 công việc được trình bày ở bảng dưới đây:

(12)

(13)

Xác suất của thời gian vượt quá TX

TE TX

σ

Hình 4.23

PTITPTIT


147

Bảng 4.4

Công việc (Hoạt động) Các ước lượng về thời gian

Mô tả Số a m b

Thiết kế nhà máy

Chọn vị trí

Chọn nhà cung cấp

Chọn nhân sự

Chuẩn bị mặt bằng

Sản xuất máy phát điện

Chuẩn bị nhân công

Cài đặt máy phát điện

Đào tạo các nhân viên điều hành

Xin giấy phép nhà máy

1-2

2-3

2-4

2-6

3-5

4-5

4-6

5-7

6-7

7-8

10

2

1

2

8

15

3

2

6

4

12

8

4

3

12

18

5

4

9

6

16

36

5

4

20

30

8

8

12

14

Yêu cầu:

a. Vẽ sơ đồ mạng lưới và tìm đường găng?

b. Tìm xác suất để dự án kết thúc trong vòng 4 năm?

c. Xác suất để dự án mất hơn 55 tháng là bao nhiêu?

Giải:

a.

Đường găng: 1-2-3-5-7-8. Lg = 48

Để tính thời gian trung bình thực hiện các công việc và phương sai tương ứng ta sử dụng công

thức (12) và (13)

Kết quả như sau:

Bảng 4.5

te σ2

12,33

11,67

3,67

3,00

12,67

1,00

32,11

0,44

0,11

4,00

1 4 2

3

5

6

7 8 12,33 3,67

11,67

19,5

12,67

3,00

5,17

4,33

9,00

7,00

PTITPTIT


148

19,50

5,17

4,33

9,00

7,00

6,25

0,69

1,00

1,00

2,78

b. Ước lượng tốt nhất của thời gian hoàn thành dự án là TE = 48 tháng, vì thế cơ hội 50% dự án sẽ

kết thúc trong khoảng thời gian 4 năm.

c. Để xác định bất kỳ thời gian hoàn thành, chúng ta phải tính các phương sai của việc phân phối

các khoảng thời gian kết thúc cùng với đường găng, tổng của chúng và ước lượng σ.

2cp

X E

σ = σ = 1,00 32,11 4,00 1,00 2,78 = 6,4

T - T 55 - 48Z = = = 1,09

σ 6,4

P(X > TX) = 0,5000 – 0,3621 = 0,1379

Do đó xác xuất này xấp xỉ 14%

4.6.4 Tối ưu hóa quá trình rút ngắn đường găng

Việc điều hành quá trình thực hiện một công trình lớn thường dẫn đến việc phải rút ngắn đường

găng trên sơ đồ mạng lưới, nhằm đạt một trong hai mục tiêu sau:

- Đảm bảo hoàn thành công trình không vượt quá thời hạn cho phép Tcp, nghĩa là:

mnT ≤ Tcp

- Đảm bảo hoàn thành công trình với chi phí dự kiến và thời hạn cho phép.

Quá trình rút ngắn đường găng có thể thực hiện bằng nhiều giải pháp khác nhau, nhưng tùy từng

công trình nên chọn giải pháp sao cho quá trình này được tối ưu (cả về mặt thời gian và kinh phí).

Chú ý:

+ Trong quá trình tối ưu hóa thời hạn hoàn thành công trình, hành trình của đường găng và hình

dạng của sơ đồ mạng lưới có thể thay đổi.

+ Thời hạn hoàn thành toàn bộ công trình có thể thực hiện bởi 3 biện pháp sau:

- Thay đổi trình tự nối tiếp các công việc thuộc đường găng bằng việc thực hiện các công việc

song song với nhau (nhưng phải phù hợp với quy trình công nghệ và biện pháp thi công).

- Phân bố lực lượng thi công, phương tiện thiết bị thi công giữa các công việc găng và không

găng. Trong quá trình thi công có thể điều chuyển lao động, phương tiện thiết bị kỹ thuật từ công

việc không găng sang công việc găng.

- Áp dụng cá biện pháp công nghệ mới và tổ chức thi công tiên tiến để rút ngắn thời gian hoàn

thành công việc.

- Quá trình tối ưu hóa để rút ngắn đường găng thường được tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Lập biểu đồ tiến độ thi công công trình. Bao gồm

Liệt kê tât cả các công việc hiện có, đặt tên cho công việc theo ký hiệu.

Sắp xếp các công việc theo trình tự logíc và quy trình công nghệ.

Xác định thời hạn thực hiện các công việc.

Bước 2: Xây dựng sơ đồ mạng lưới từ biểu tiến độ thi công.

Bước 3: Xác định các yếu tố của sơ đồ mạng lưới.

Bước 4: Tìm đường găng g và chiều dài l(g) theo thuật toán đã biết.

PTITPTIT


149

Bước 5: Nếu l(g) > Tcp thì thực hiện việc rút ngắn đường găng theo nguyên tắc sau: Thời gian

hoàn thành công việc càng ngắn thì chi phí càng phải cao (do phải đầu tư thêm máy móc thiết bị

và nhân lực). Tuy nhiên thời gian không thể rút ngắn một cách tùy ý mà chỉ có thể rút ngắn trong

giới hạn cho phép. Mặc khác ta cũng không thể kéo dài một công việc với thừi gian tùy ý vì khi đó

sẽ gây ra những tổn thất không thể chấp nhận được. Hình 4.23 biểu diễn sự phụ thuộc giữa nhu

cầu chi phí và thời gian của một công việc.

Hình 4.23

Trong thực tế thời gian dành cho việc hoàn thành một công việc của công trình chỉ có thể dao

động trong khoảng tc và tn với chi phí tương ứng là Pc và Pn. Tỷ số (Pc - Pn)/(tn - tc) được gọi là độ

dốc, ký hiệu là S.

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để rút ngắn thời gian hoàn thành công trình với chi phí nhỏ nhất. Giả

sử những công việc của công trình được mô tả bằng sơ đồ mạng lưới thiết lập ứng với tn có tổng

thời gian trên đường găng là T. Chủ công trình yêu cầu rút ngắn thời gian hoàn thành công trình

ΔT ngày. Làm thế nào thỏa mãn yêu cầu này với chi phí bổ sung nhỏ nhất. Vấn đề được giải quyết

như sau:

- Dựa vào sơ đồ mạng lưới xác định đường găng.

- Rút ngắn tối đa thời gian của công việc có độ dốc nhỏ nhất.

- Kiểm tra xem đường găng có bị thay đổi không.

Nếu đường găng không bị thay đổi thì quay lại bước 2.

- Tìm đường găng mới của sơ đồ mạng lưới theo kết quả rút ngắn ở bước 2.

- Nếu thời gian rút ngắn đã đáp ứng yêu cầu, kết thúc quá trình rút ngắn thời gian hoàn thành

công trình. Nếu thời gian rút ngắn chưa thỏa mãn yêu cầu, quay lại bước 2.

Thí dụ 4.12: Một công trình bao gồm các công việc A, B, C, D, E và F có sơ đồ mạng như hình

4.24 với các số liệu về thời gian và chi phí ghi trong bảng 4.4

`

Chi phí

Thời gian tc tn

Pc

Pn

1

4

2 3

5 6

A

B

C`

D

E F

Hình 4.24

PTITPTIT


150

Bảng 4.6

Công việc tn Pn tc Pc S

A 8 1800 7 2200 400

B 16 1500 11 2200 140

C 14 1800 9 2400 120

D 12 2400 9 3000 200

E 15 1200 14 2000 800

F 10 2000 8 4000 1000

Yêu cầu: Tìm phương án thi công công trình với thời hạn cho phép là 36 ngày.

Giải:

B1- Dựa vào sơ đồ mạng xác định đường găng ứng với tn (Hình 4.24a).

Hình 4.24a

Trên đường găng ta nhận thấy, thời gian hoàn thành công trình hiện thời T = 48 ngày. Chúng ta

phải rút ngắn 12 ngày.

B2- Ta nhận thấy công việc C có độ dốc 120 là nhỏ nhất. Rút ngắn tối đa thời gian công việc C từ

14 ngày xuống 9 ngày. Thời hạn hoàn thành toàn bộ công trình là T = 43 ngày (Hình 4.24b).

Hình 4.24b

B3- Kiểm tra, đường găng vẫn không thay đổi, quay lại B2

B2- Rút ngắn tối đa thời gian công việc B (có độ dốc 140) từ 16 ngày xuống 11 ngày. Thời gian

hoàn thành toàn bộ công trình bây giờ là T = 38 ngày (Hình 4.24c)

0

24

12 23 38 48 0

1 0

0

2 8 8

0

3 24

0

4

11

5 38

6 48

0 12

15

8

16

14

10

1 0 0

0

2 8 8

0

3 24 24

0

4 12 23

11

5 33 33

6 43 43

0 0 12

15

8

16

9

10 PTITPTIT


151

Hình 4.24c

B3- Kiểm tra, đường găng vẫn không thay đổi, quay lại B2

B2- Ta nhận thấy công việc A độ dốc là 400, ta chỉ có thể rút ngắn thời gian công việc A từ 8

xuống 7 ngày. Thời hạn hoàn thành công trình bây giờ là T = 37 ngày (Hình 4.24d)

`

Hình 4.24d

B3- Kiểm tra, đường găng vẫn không thay đổi, quay lại B2.

B2- Mắc dù công việc D và E có độ dốc bé hơn nhưng chúng không nằm trên đường găng nên ta

chỉ có thể rút ngắn công việc F (có độ dốc 1000). Rút ngắn tối đa thời gian công việc F từ 10

xuống 9 ngày. Thời hạn hoàn thành toàn bộ công trình lúc này là T = 36 ngày (Hình 4.24e) thỏa

mãn điều kiện của chủ công trình.

`

Hình 4.24e

1 0 0

0

2 8 8

0

3 19 19

0

4 12 23

11

5 28 28

6 38 38

0 0 12

15

8

11

9

10

1 0 0

0

2 7 7

0

3 18 18

0

4 12 23

11

5 27 27

6 37 37

0 0 12

15

7

11

9

10

1 0 0

0

2 7 7

0

3 18 18

0

4 12 23

11

5 27 27

6 36 36

0 0 12

15

7

11

9

9

PTITPTIT


152

Kết quả rút gọn được tóm tắt trong bảng 4.5

Bảng 4.7

Công việc tn tc S ΔT ΔP

A 8 7 200 1 400

B 16 11 140 5 700

C 14 9 120 5 600

F 10 9 1000 1 1000

Tổng cộng 12 2700


I. Lý thuyết

1. Trình bày các khái niệm cơ bản về đồ thị hữu hạn?

2. Nêu các khái niệm:, đường đi, chu trình, lát cắt, đồ thị đối ngẫu, đồ thị phẳng?

3. Khái niệm ma trận liên hệ trực tiếp và ma trận liên hệ cung nút? Cho thí dụ?

4. Nội dung và mô hình bài toán đường đi ngắn nhất?

5. Nội dung và mô hình bài toán mạng liên thông?

6. Nội dung và mô hình bài toán luồng lớn nhất?

7. Nội dung và mô hình bài toán luồng nhỏ nhất?

8. Nội dung và mô hình bài toán sơ đồ mạng lưới?

II. Bài tập

1. Viết ma trận liên hệ trực tiếp và ma trận liên hệ cung nút của đồ thị sau:

2. Cho ma trận liên hệ cung nút sau:

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 -1 0 0 0

-1 0 0 0 1 0 0

0 -1 0 0 -1` 1 0

0 0 -1 1 0 0 -1

Hãy vẽ đồ thị cho bởi ma trận trên?

1

2 4

5 3 PTITPTIT


153

3. Xác định đường đi ngắn nhất từ nút 1 đến mỗi nút khác trong mạng cho ở đồ thị sau: 4. Phải thiết kế mạng thông tin cáp nối các địa điểm chính (có khoảng cách cho trong hình vẽ) của một khu vực thế nào để tổng độ dài dây cáp là nhỏ nhất: 5. Cho đồ thị hữu hạn G = (X.A) sau: ` (Các số ghi trên cạnh, cung là độ dài của cạnh, cung tương ứng) a.Từ đồ thị G = (X.A), bỏ cạnh (x6, x8) xây dựng đồ thị đối ngẫu? b. Tìm đường đi ngắn nhất từ x1 đến các nút còn lại? 6. Cho đồ thị hữu hạn G = (X.A) sau:

3

4

3

2

`

1

2 6

5

7

1

5

6

7

7

7

6

1 4

3

7

5 9

6

2

A

B

C D

E

G

F

1100

2000 2600

2000

1300 1000

1400

780

800

200

1300

x1

x2

x3

x4

x6

x5

x7

x8

x9

8

7

9 5

6

6

4

5

6

4

8

6

2

4

5

5

4 PTITPTIT


154

(Các số ghi trên mỗi cạnh, cung, cạnh là khả năng thông qua của cạnh, cung đó) a.Từ đồ thị đã cho G = (X.A) hãy vẽ đồ thị đối ngẫu? b. Xác định luồng lớn nhất trên mạng cho bởi đồ thị G = (X.A), trong đó đỉnh 1 là đỉnh nguồn và đỉnh 8 là đỉnh đích? 7. Một doanh nghiệp sản xuất nhỏ triển khai các hoạt động cho ở bảng dưới đây cần thiết để phóng thích một đơn hàng cho một nhà máy mới Bảng 4.8

Mô tả công việc Công việc trước

Thời gian hoạt động a m b

A – B. Khảo sát sơ bộ Không 4 6 10 B-C. Yêu cầu địa điểm A-B 2 8 24

B–D.Chuẩn bị dự án A-B 10 12 16

B-F.Chiến lược tiếp thị A-B 4 5 10

C-D. Kiểm tra đất B-C 1 2 3

D-E.Chấp thuận về luật C-D và B-D 6 8 30

D-F.Áp dụng khoản tiền vay C-D và B-D 2 3 4

E-F. Cấp giấy chứng nhận D-E 0 0 0

E-G.Danh mục D-E 6 6 6

F-G.Tài chính an toàn D-F và B-F 2 6 12

G-H.Phóng thích hợp đồng E-G và F-G 2 2 3

a. Vẽ sơ đồ mạng thích hợp? b. Tìm độ dài đường găng? c. tính các chỉ tiêu thời gian cho các công việc? 8. Cho dữ liệu về mạng PERT trong bảng sau: Bảng 4.9

Sự kiên trước

Sự kiện sau

Thời gian hoạt động A m b

1 2 5 6 13 1 3 2 7 12 2 4 1.5 2 2.5 2 5 1 3 5 3 5 4 5 6 3 6 1 1 1 4 7 2 3 10 5 7 4 5 6 6 7 3 5 7

6 1

2

4

3

5

7

8

5

8

7 5

6

7

7

5 5

7

8

7

3 9

4

PTITPTIT


155

a. Vẽ sơ đồ mạng và tìm đường găng? b. Xác định thời gian khởi đầu sớm nhất và thời gian khởi đầu muộn nhất và thời gian dự trữ cho tất cả các sự kiện trong sơ đồ? c. Mỗi ngày dự án có thể rút ngắn trị giá 5.000USD. Doanh nghiệp có nên chi trả 12.500USD để giảm công việc 3 – 5 đến 3 ngày không?

PTITPTIT

Bài giảng Toán kinh tế Chương 5: Mô hình hệ thống phục vụ công cộng

156

CHƯƠNG 5

MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG

Đặt vấn đề:

Lớp mô hình bài toán hệ thống phục vụ công cộng hay còn gọi là mô hình hệ thống xếp hàng,

phục vụ đám đông là một trong những lớp mô hình xuất phát từ các bài toán thực tế. Như bài toán

tổ chức các hệ thống phục vụ như bản thân tên gọi của nó. Trong những hệ thống như vậy người

ta thấy có rât nhiều yếu tố tác động, chi phối đến cách thức hoạt động cũng như hiệu quả hoạt

động của hệ thống. Nếu xem xét một hệ thống phục vụ dưới giác độ mô hình hoá thì các mô hình

tương ứng đôi khi không cho phép chung ta xác định các yếu tố ngoại sinh và nội sinh ngay từ

đầu. Việc hình thành bài toán đối với lớp mô hình này cũng có những yếu tố đặc biệt. Thông

thường với các mô hình của kinh tế vi mô hay vĩ mô đã biết, cùng với bài toán là hình ảnh một mô

hình rất rõ nét. Với các mô hình thực tế nói chung và mô hình phục vụ công cộng nói riêng hệ

thống chỉ tiêu đánh giá sẽ đóng vai trò là các biến nội sinh. Chúng là cơ sở để đánh giá hiệu quả

và chất lượng phục vụ của hệ thống. Các yếu tố ngoại sinh trong những tình huống khác nhau có

thể được lựa chọn từ các tham số.

Với mô hình hệ thống phục vụ công cộng, chúng ta sẽ thấy rõ hơn một trong các phương thức

xây dựng, phân tích mô hình mà cơ sở toán học đã được thiết lập ở chương 1. Ngoài ra chúng ta

tiếp cận với một lớp đơn giản các mô hình ngẫu nhiên, chúng đòi hỏi những thủ thuật riêng trong

xây dựng và phân tích mô hình.

5.1 Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng.

Trong các hoạt động kinh tế xã hội, chúng ta thường gặp những quá trình phục vụ, trong đó

người ta quan tâm đến hiệu quả hoạt động của cơ sở phục vụ về cả hai mặt: lợi ích của cơ sở phục

vụ và lợi ích của đối tượng được phục vụ. Một trong những đặc điểm quan trọng của các quá trình

này là đối tượng có tính chất đám đông và ngẫu nhiên, thời gian thoả mãn yêu cầu của đối tượng

cũng có tính chất ngẫu nhiên. Điều đó không cho phép chúng ta tổ chức, quản lý hệ thống phục vụ

như một quá trình thường xuyên, đều đặn. Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng nghiên cứu các

hệ thống phục vụ trong điều kiện tác động của các yếu tố ngẫu nhiên và đưa ra các phân tích, đánh

giá hiệu quả phục vụ của chúng. Thông qua việc nghiên cứu các mô hình hệ thống phục vụ công

cộng cũng cho chúng ta cách nhìn một hệ thống ngẫu nhiên trong trường hợp đơn giản, sự khác

biệt của nó với các hệ thống trong đó mọi quá trình diễn ra đều đặn, đồng thời chúng ta cũng tiếp

cận với một trong những cách mô hình hoá các hiện tượng kinh tế, xã hội đó là mô hình hoá bằng

sơ đồ trạng thái. Chúng ta sẽ thấy sự không ăn khớp của các quá trình tưởng như đã được thiết kế

đồng bộ. Chẳng hạn, nếu thời gian sản xuất một loại sản phẩm là ngẫu nhiên với cường độ trung

bình là k sản phẩm/phút, bộ phận kiểm tra cũng có cường độ tương đương có cùng phân phối xác

suất thì không phải vì thế mà mọi việc diễn ra một cách bình thường theo nghĩa mọi sản phẩm đều

được kiểm tra tức thì sau khi ra khỏi dây chuyền sản xuất. Các mô hình này có nhiều ứng dụng

trong thực tế, từ đơn giản đến phức tạp. Trong khuôn khổ cho phép, chúng ta chỉ nghiên cứu một

vài dạng cơ bản, tuy nhiên phương pháp nghiên cứu có thể sử dụng cho các hệ thống phức tạp hơn

nhiều. Sau đây là một số thí dụ dẫn đến các bài toán phục vụ công cộng đơn giản.

Thí dụ 5.1 Xét một siêu thị có 14 cửa thanh toán, ta gọi A là sự kiện có khách hàng có nhu cầu

thanh toán sau khi mua hàng xong. Trong đa số các trường hợp A là biến ngẫu nhiên, mỗi khách

hàng vào siêu thị có lượng hàng mua khác nhau nên thời gian thanh toán (T) cũng khác nhau và

đây cũng là một biến ngẫu nhiên. Như vậy không thể tính toán lưu lượng khách hàng vào siêu thị

PTITPTIT


157

một cách thông thường, phù hợp theo một nghĩa nào đó. Chỉ có thể tính khả năng và các chỉ tiêu

đánh giá hoạt động của siêu thị và chỉ có thể tính một cách trung bình. Bài toán dẫn đến việc thiết

kế bao nhiêu cửa thanh toán để đảm bảo khả năng thanh toán cho khách hàng nhanh nhất với

những hạn chế về mặt hiệu quả sử dụng các cửa thanh toán cũng như các yêu cầu khác có liên

quan.

Thí dụ 5.2: Một Bưu cục trung tâm có 5 cabin điện thoại. Khách hàng có nhu cầu đến gọi điện là

một biến ngẫu nhiên và thời gian gọi cũng là một biến ngẫu nhiên. Vấn đề đặt ra là một khách

hàng đến bưu cục gọi điện phải chờ đợi với thời gian bao nhiêu và việc khai thác các cabin có hiệu

quả hay không? Nếu không đáp ứng nhu cầu khách hàng và không mang lại hiệu quả cho nhà

cung cấp thì phải cải tạo bổ sung như thế nào?

5.2 Mô hình hoá hệ thống phục vụ công cộng.

Với những bài toán phân tích hệ thống có thể quy về hệ phục vụ công cộng. Có thể mô tả những

nội dung cơ bản nhất của quá trình mô hình hoá các hệ thống này như sau:

5.2.1. Hệ thống phục vụ công cộng và các yếu tố cấu thành.

Sau đây ta nghiên cứu sơ bộ về cấu trúc của một hệ thống phục vụ công cộng với các yếu tố cơ

bản của nó.

Có thể mô tả một cách sơ bộ hệ thống phục vụ như sau:

Hình 5.1: Mô hình hệ thống phục vụ công cộng

a) Dòng yêu cầu đến hệ thống (dòng yêu cầu)

Dòng các đối tượng hướng đến hệ thống nhằm thoả mãn một loại nhu cầu mà hệ thống phục vụ

có khả năng đáp ứng.

Đặc trưng quan trọng của dòng yêu cầu là quy luật về sự xuất hiện các yêu cầu theo thời gian.

Một trong những dòng yêu cầu phổ biến là dòng tuân theo quy luật Poisson và đặc biệt là dòng

tuân theo quy luật poisson dừng. Để có thể nhận biết dòng yêu cầu có phân phối Poisson, người ta

có thể căn cứ vào các tính chất của nó, đó là:

- Tính đơn nhất: Một dòng yêu cầu có tính đơn nhất nếu trong một khoảng thời gian đủ nhỏ hầu

như chắc chắn là không có quá một yêu cầu xuất hiện. Như vậy, nếu ta ký hiệu Pk(t, Δt) là xác suất

trong thời gian từ t đến t + Δt có k yêu cầu xuất hiện thì:

P0(t, Δt) + P1(t, Δt) = 1 – o(Δt) với o(Δt) là vô cùng bé của Δt.

- Tính không hậu quả: một dòng yêu cầu có tính không hậu quả nếu xác suất xuất hiện x yêu cầu

trong khoảng thời gian t đến t + Δt không phụ thuộc vào việc trước thời điểm t đã có bao nhiêu

yêu cầu xuất hiện. Như vậy biến cố có x yêu cầu xuất hiện trong khoảng thời gian t đến t + Δt khi

trước đó đã có k yêu cầu xuất hiện độc lập với nhau với mọi k, tức là:

Px(t, Δt) = Px(t, Δt/k yêu cầu đã xuất hiện) với mọi k.

Dòng yêu cầu như vậy có xác suất xuất hiện x yêu cầu trong khoảng thời gian t đến t + Δt được

tính theo công thức Poisson như sau:

x -a(t,Δt)

x

a(t,Δt) eP (t,Δt) = , x 0

x! . (5.1)

Trong đó a(t, Δt) là số trung bình yêu cầu xuất hiện từ t đến t + Δt.

Yêu cầu ********

Hàng chờ [*******]

Các kênh phục vụ Và chế độ phục vụ

Dòng phục vụ ************ Y/c không được thoả mãn

PTITPTIT


158

- Tính dừng: Dòng yêu cầu có tính dừng nếu như xác suất xuất hiện x yêu cầu trong khoảng thời

gian Δt không phụ thuộc vào điểm đặt của khoảng thời gian đó. Tức là:

Px(t, Δt) = Px(Δt) với mọi t. (5.2)

Nói cách khác mật độ dòng yêu cầu không đổi : a(Δt) = λΔt và ta có :

x -λΔt

x

(λΔt) eP (Δt) =

x! (5.3)

Trong đó: λ là số yêu cầu trung bình xuất hiện trong một đơn vị thời gian.

Nếu chọn Δt = 1 thì có công thức của quy luật phân phối Poisson quen thuộc.

b) Kênh phục vụ: Tập hợp một số điều kiện vật chất, con người, thông tin,… có chức năng thoả

mãn một loại yêu cầu nào đó gọi là kênh phục vụ.

Đặc trưng của kênh phục vụ là thời gian phục vụ một yêu cầu. Thời gian phục vụ một yêu cầu

cũng là một biến ngẫu nhiên, tuân theo quy luật phân phối xác suất nào đó. Một trong những quy

luật phổ biến là quy luật chỉ số (hay phân phối mũ), với hàm mật độ: f(t) = μe-μt. Đó cũng chính là

quy luật phân phối của thời gian giữa hai lần xuất hiện liên tiếp của các yêu cầu đối với dòng yêu

cầu Poisson dừng.

c) Dòng phục vụ: Là dòng các đối tượng đã được phục vụ đi ra khỏi hệ thống. Quy luật phân

phối xác suất của dòng phục vụ tuỳ thuộc quy luật phân phối của thời gian phục vụ của các kênh.

Nếu thời gian phục vụ tuân theo quy luật chỉ số thì dòng phục vụ là dòng Poisson dừng và ngược

lại.

d) Hàng chờ: Đối với một số hệ thống, tuỳ thuộc chế độ tiếp nhận yêu cầu và tính chất của các

yêu cầu, có thể xuất hiện hàng chờ trước các kênh phục vụ, đó là dòng các yêu cầu đến hệ thống

nhưng chưa được phục vụ ngay, phải xếp hàng chờ theo một nguyên tắc nào đó, ở đây ta chỉ xét

hàng chờ đơn giản, không có sự phân biệt, ưu tiên nào.

e) Dòng các yêu cầu không được phục vụ: Đây là bộ phận yêu cầu đến hệ thống nhưng không

được nhận vào phục vụ vì một lý do nào đó.

f) Chế độ phục vụ: Chế độ phục vụ xác định cách thức làm việc của các kênh và cách thức tiếp

nhận các yêu cầu.

Có thể phân chia chế độ phục vụ theo một số cách khác nhau, thông thường người ta chia các hệ

thống thành các hệ thống không chờ (từ chối) và có chờ; hệ thống phục vụ song song độc lập hay

hợp tác, hệ thống đơn hay hệ thống nối tiếp.

5.2.2 Phân loại hệ thống

Theo các tiêu thức khác nhau hệ thống phục vụ công cộng có thể được phân loại như sau:

- Hệ dừng và không dừng: Thực tế các hệ tồn tại ở trạng thái dừng hay dừng theo chu kỳ. Với các

hệ thống không dừng các phân tích tập trung chủ yếu vào tính chất hội tụ đến hệ dừng và thời gian

hệ được xem là dừng có tính thống kê.

- Hệ chờ và không chờ (từ chối): Với các hệ chờ người ta có thể chia thành các hệ chờ với các

ràng buộc về thời gian, số chổ chờ hay số yêu cầu tối đa có trong hệ thống.

- Hệ thống một giai đoạn , một kênh. Hệ thống một giai đoạn, nhiều kênh. Hệ thống nhiều giai

đoạn, một kênh. Hệ thống nhiều giai đoạn, nhiều kênh. Các hệ thống này được mô tả trong hình

5.2

PTITPTIT


159

1. Một giai đoan 2. Nhiều giai đoan

Một kênh

Nhiều kênh

Hình 5.2. Các loại hệ thống xếp hàng

Trong giới hạn cho phép về thời lượng và cơ sở toán học, chúng ta chỉ xem xét một số hệ thống

Poisson dừng.

5.2.3 Trạng thái hệ thống, quá trình chuyển trạng thái.

a) Phương pháp phân tích:

Khi nghiên cứu một hệ thống phục vụ công cộng, người ta có thể dùng các cách tiếp cận khác

nhau, ở đây ta sử dụng phương pháp phân tích, nội dung cụ thể là:

Thu thập số liệu về các dòng biến cố liên quan đến hệ thống: dòng yêu cầu, dòng phục vụ hoặc

thời gian phục vụ của các kênh.

Xác định quy luật dòng yêu cầu và dòng phục vụ, xác định chế độ phục vụ.

Xác định trạng thái hệ thống, sơ đồ trạng thái và lập hệ phương trình trạng thái.

Giải hệ phương trình trạng thái, tính các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của hệ thống

Cải tiến hệ thống theo một chỉ tiêu hiệu quả nào đó. Việc xác định quy luật các dòng yêu cầu và

dòng phục vụ; lập sơ đồ trạng thái là hai nội dung quan trọng hơn cả. Sau đây ta sẽ đề cập kỹ hơn

về hai nội dung đó.

b) Tiêu chuẩn χ2 (khi bình phương) và việc kiểm tra giả thiết phân phối xác suất của dòng biến cố.

Kiểm định giả thiết về một dạng phân phối đã được trình bày trong các giáo trình xác suất thống

kê. Người ta có thể sử dụng một số kiểm định khác nhau (kiểm định khi bình phương, kiểm định

Kolmogorov – Smirnov,….). Kiểm định khi bình phương là một trong những kiểm định thông

dụng nhất và dễ dàng nhất với bộ số liệu quan sát. Sau đây ta xét cụ thể kiểm định này đối với

dòng biến cố của hệ thống phục vụ công cộng.

Để kiểm định giả thiết dòng yêu cầu phân phối Poisson ta thực hiện như sau:

Chia thời gian thành các đơn vị nhỏ và tiến hành quan sát sự xuất hiện các yêu cầu trong khoảng

thời gian đó. Ta nhận được bộ số liệu bao gồm số yêu cầu xuất hiện trong một đơn vị thời gian

(lượng biến xi); và số khoảng thời gian tương ứng (tần số ni). Để đảm bảo tính đại diện của các giá

trị quan sát không quá nhỏ đối với mỗi giá trị, thông thường nếu các khoảng thời gian có số yêu

cầu tương ứng nhỏ hơn 5 thì ta ghép các khoảng đó để có ni ≥ 5, giá trị đại diện là giá trị trung

bình.

Tính giá trị thống kê:

Nguồn đầu vào

Hàng chờ

Các dịch vụ

S A1

Nguồn đầu vào

Hàng chờ

Tiện ích dịch vụ

Hàng chờ

Tiện ích dịch vụ

S A1 A2

S

A1

B1

C1

S

A1

B1

C1

….

….

…

A1

B1

C1

….

….

…

PTITPTIT


160

i

' 2ki2

'i=1 i

(n - n )χ

n (5.4)

với i

'in = nP(x ) ; P(xi) =

x -λλ e

x!. Trong đó '

in là giá trị tần số lý thuyết nhận được từ phân phối

Poisson với trung bình là λ = k

i i

i=1 i

x n

n , k là số nhóm giá trị xi, ni tần số quan sát tương ứng và n là

tổng tần số.

Thí dụ 5.3. Khi quan sát số khách hàng đến giao dịch tại một bưu cục, người ta thu được số liệu

sau :

Bảng 5.1

Xi 0 1 2 3 4 5 6 7

ni 21 23 10 4 1 0 0 1

Trong đó : xi là thời gian giao dịch của khách hàng. ni số khách hàng tương ứng. Để kiểm tra giả

thiết : « Khách hàng đến bưu cục có phân phối Poisson », ta tiến hành như sau :

Tính giá trị quan sát λ = k

i i

i=1 i

x n

n =1,1; k là số nhóm giá trị xi.

Dùng giá trị này ước lượng giá trị trung bình của phân phối, từ đó tra bảng Poisson P(λ) với các

giá trị có tần số nhỏ hơn 5 đã được ghép lại, thoả mãn điều kiện ni ≥ 5.

Chọn một mức ý nghĩa α, nếu giá trị thống kê 2χ < 2χ ( α, m), trong đó m = k – 2 (bậc tự do) thì

giả thiết dòng yêu cầu phân phối Poisson không bị bác bỏ. Lập bảng tính toán như sau :

Bảng 5.2

xi ni P(xi) 'in ' 2

i i'i

(n - n )

n

0 21 0,33287 6,79027 29,7357

1 23 0.36616 8,421680 25,2358

2 10 0,20139 2,0139 31,6687

3 4 0.07384

0,29549

9,83233

4 1 0,02031

5 0 0,00447

6 0 0,00082

7 1 0,00013

n=60 96,09383

Với các quan sát trên ta có λ = 1,1, giá trị quan sát của thống kê khi bình phương là: 96,09383, giá

trị lý thuyết (tra bảng) là: 2χ (0,05, 5) = 11,0705.

Vậy giả thiết dòng yêu cầu phân phối Poisson bị bác bỏ.

c) Trạng thái hệ thống và quá trình chuyển trạng thái.

+/ Trạng thái hệ thống :

Ta gọi tập hợp một hay một số đặc trưng mà trên cơ sở đó có thể phân biệt sự tồn tại của hệ

thống trong những tình trạng khác nhau tại mỗi thời điểm là trạng thái của hệ thống.

PTITPTIT


161

Nếu ký hiệu A(t) là một trạng thái của hệ thống thì A(t) là một biến cố ngẫu nhiên. Để có thể

phân tích hệ thống phục vụ công cộng, cần xác định tất cả các trạng thái có thể có của hệ thống,

tập hợp các trạng thái tại một thời điểm t bất kỳ là một nhóm đầy đủ các biến cố.

Với những hệ thống phục vụ công cộng Poisson, từ đây về sau ta ký hiệu các trạng thái của

chúng là Xk(t), để chỉ hệ thống ở trạng thái Xk tại thời điểm t.

+/ Xác suất trạng thái:

Việc hệ thống tồn tại ở một trạng thái cụ thể là một biến cố ngẫu nhiên nên tương ứng với mỗi

trạng thái có một giá trị xác suất gọi là xác suất trạng thái, để chỉ ra khả năng hệ thống ở trạng thái

tương ứng. Ta ký hiệu xác suất hệ thống ở trạng thái Xk tại thời điểm t là Pk(t).

+/ Quá trình chuyển trạng thái.

Tại mỗi thời điểm t hệ thống tồn tại ở một trạng thái nhất định, chẳng hạn Xk(t), sau một thời

gian Δt hệ thống có thể chuyển đến một trạng thái khác Xj(t + Δt) nhờ sự tác động của các yếu tố

ngẫu nhiên nào đó. Ta gọi xác suất hệ thống chuyển từ Xk(t) đến Xj(t + Δt) là xác suất chuyển

trạng thái. Trong các mô hình sẽ đề cập sau này ta quan tâm đến sự tác động chuyển trạng thái,

thay vì xác suất chuyển trạng thái. Ta ký hiệu cường độ của dòng biến cố làm cho hệ thống

chuyển từ Xk(t) đến Xj(t + Δt) là λkj(t).

5.2.4 Sơ đồ trạng thái và hệ phương trình trạng thái.

a) Sơ đồ trạng thái:

Người ta dùng một sơ đồ mô tả các trạng thái và quá trình chuyển trạng thái của hệ thống.

Trong đó mỗi trạng thái được thể hiện bởi một ô vuông với tên trạng thái, chẳng hạn: Xk(t). Để chỉ

sự chuyển trạng thái người ta dùng một mũi tên trên đó ghi cường độ của dòng biến cố làm hệ

thống chuyển trạng thái theo chiều mũi tên, chẳng hạn:

Hình 5.3

b) Hệ phương trình trạng thái.

Để phân tích một hệ thống phục vụ công cộng cần xác định các trạng thái có thể có và các xác

suất trạng thái tương ứng. Theo thời gian, do tác động của các yếu tố đến quá trình vận động của

hệ thống đều có tính ngẫu nhiên, nên việc hệ thống chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác

cũng có tính ngẫu nhiên. Để mô tả mối liên hệ về khả năng chuyển trạng thái như vậy, người ta sử

dụng hệ phương trình trạng thái, trong đó các xác suất trạng thái và đạo hàm bậc nhất theo thời

gian của nó là các biến còn các tác động làm chuyển trạng thái là các hệ số. Hệ phương trình này

cho phép xác định các xác suất trạng thái, làm cơ sở phân tích hệ thống. Nhờ sơ đồ chuyển trạng

thái có thể thiết lập hệ phương trình trạng thái theo quy tắc sau:

Quy tắc viết hệ phương trình trạng thái

Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của xác suất trạng thái Pk(t) bằng tổng của một số số hạng, số

số hạng đó đúng bằng số mũi tên nối trạng thái đó với trạng thái khác. Mỗi số hạng là tích của xác

suất trạng thái mà mũi tên xuất phát và cường độ dòng biến cố ghi theo chiều mũi tên đó.. dấu của

số hạng là dấu “-” nếu mũi tên xuất phát từ Xk(t); là dấu “+” nếu mũi tên hướng đến Xk(t). Tức là:

kjk j kj k

j j

dP (t) = λ (t)P (t) - λ (t)P (t)

dt (5.5)

Với điều kiện chuẩn là:

Xk(t) Xj(t) λkj(t)

PTITPTIT


162

kk

P (t) = 1

(5.6)

Điều kiện chuẩn thể hiện tập hợp Xk(t) là một nhóm đầy đủ các biến cố, tức là tại một thời điểm

hệ thống phải tồn tại ở một và chỉ một trạng thái nói trên. Đây là hệ phương trình vi phân cấp 1.

Tuy nhiên với hệ thống mà các dòng biến cố tác động đến hệ thống đều là dòng Poisson dừng (hệ

thống dừng), thì hệ phương trình trên trở thành hệ phương trình thuần nhất và việc giải hệ trở nên

đơn giản.

c) Quá trình huỷ và sinh – Nghiệm hệ phương trình trạng thái.

+/ Sơ đồ trạng thái:

Trong các hệ thống phục vụ công cộng sẽ xét sau đây ta gặp các sơ đồ chuyển trạng thái có

dạng:

Hình 5.4

Trong đó mỗi trạng thái chỉ có thể chuyển qua lại với các trạng thái kề nó (trừ trạng thái đầu tiên

và cuối cùng nếu có).

Ta gọi các quá trình như vậy là quá trình huỷ và sinh. Quá trình này cho phép thiết lập và giải hệ

phương trình trạng thái khá đơn giản.

+/ Hệ phương trình trạng thái:

Với sơ đồ chuyển trạng thái như trên, áp dụng quy tắc viết hệ phương trình trạng thái hệ thống ta

có hệ phương trình sau:

'0P (t) = -λ01P0(t) + λ10P1(t)

'1P (t) = -λ10P1(t) - λ12P1(t) + λ01P0(t) + λ21P2(t)

......................................................................................

'kP (t) = -λk,k-1Pk(t) – λk, k+1Pk(t) + λk-1,kPk-1(t) + λk+1,kPk+1(t)

...........................................................................................................

Với điều kiện chuẩn là :

kk

P (t) = 1

Trong trường hệ dừng, các đạo hàm theo thời gian đều bằng 0, ta có hệ phương trình sau:

0= -λ01P0(t) + λ10P1(t)

0= -λ10P1(t) - λ12P1(t) + λ01P0(t) + λ21P2(t)

......................................................................................

0= -λk,k-1Pk(t) – λk, k+1Pk(t) + λk-1,kPk-1(t) + λk+1,kPk+1(t)

.....................................................................................................


kk

P (t) = 1

Xk(t) Xk+1(t) λk,k+1(t)

λk+1,k(t) X0(t) X1(t)

λ01(t)

λ10(t)

λ12(t) λ21(t)

λk-1,k(t) λk,k-1(t)

Xn-1(t) Xn(t) λn -1,n(t)

λn,n-1(t)

… … … …

… …

… …

PTITPTIT


163

+/ Lời giải của hệ:

Hệ (1) có thể giải nhờ các thế dần các xác suất theo P0. Tuy nhiên, đơn giản hơn nếu đặt Ui = -

λi,i+1Pi(t) + λi+1,iPi+1(t) thì hệ (1) trở thành:

U0 = 0

Ui – Ui – 1 = 0 (i = 1, 2,…..)

Nghiệm của hệ là Ui 0.

Từ đó ta có thể đưa ra công thức tính xác suất Pk theo P0 như sau:

P1 = (λ01/ λ10)P0; Pk = (λk,k+1/ λk+1,k)Pk

Hay: k

i,i+1

k + 1 0i=0 i+1,i

λP = P

λ (5.7)

Công thức này được sử dụng để làm nhẹ việc giải hệ phương trình trạng thái của các hệ thống

phục vụ công cộng trình bày trong chương này.

Trong đó: λk,k+1 = λ và λk+1,k = (k+1)μ

Nếu đặt α = λ/μ thì k

k 0

αP = P

k! (5.8)

5.3 Một số hệ thống phục vụ công cộng.

Trong khuôn khổ của bài giảng này, chúng sẽ nghiên cứu một số hệ thống phục vụ công cộng

đơn giản. Mục đích chủ yếu của phần này là giới thiệu cách tiếp cận hệ thống và một vài cách thức

phân tích hệ thống, là cơ sở nghiên cứu các hệ thống phức tạp, gần gũi với các hệ thống phục vụ

công cộng trong thực tế hơn. Chính vì vậy các hệ thống được nghiên cứu dưới đây phải chấp nhận

một số giả thiết mà theo truyền thống các hệ thống này có thể thoả mãn. Mặc dù có sự hạn chế

nhất định, các ứng dụng của các mô hình này cũng rất hiệu quả trong thực tế.

5.3.1 Hệ thống phục vụ công cộng từ chối cổ điển (Hệ thống Eclang)

a) Mô tả hệ thống: Hệ thống phục vụ công cộng có n kênh phục vụ, năng suất các kênh bằng

nhau và bằng μ, dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson dừng mật độ λ. Thời gian phục vụ

một yêu cầu của kênh tuân theo quy luật chỉ số. Một yêu cầu đến hệ thống gặp lúc có it nhất một

kênh rỗi thì được nhận vào phục vụ cho đến thỏa mãn tại một trong các kênh rỗi đó. Ngược lại,

nếu tất cả các kênh đều bận thì yêu cầu phải ra khỏi hệ thống. Cần xác định các chỉ tiêu phân tích

hệ thống.

b) Quá trình thay đổi trạng thái và sơ đồ trạng thái của hệ thống:

+/ Trạng thái: Ta quan tâm đến hiệu quả phục vụ của hệ thống vì vậy đặc trưng được chọn để

xác định trạng thái là số kênh bận tại mỗi thời điểm.

Gọi Xk(t) là trạng thái hệ thống có k kênh bận tại thời điểm t (k = 0, 1, 2,…, n).

Chú ý rằng với chế độ phục vụ của hệ thống Eclang số kênh bận cũng chính là số yêu cầu đang

được phục vụ tại thời điểm t.

+/ Sơ đồ chuyển trạng thái:

X0(t) X1(t) λ

μ

λ 2μ

Xk-1(t) Xk(t) λ

kμ

λ (k+1)μ

λ

(k-1) μ

Xk+1(t) λ

(k+2)μ

λ

(k+1) μ Xn(t) Xn-1(t)

λ

nμ

λ

(n-1) μ

….. …..

….. …..

….. ….. …..

…..

Hình 5.5

PTITPTIT


164

Sơ đồ trên thiết lập trên cơ sở phân tích tính chất của các dòng Poisson dừng như sau:

Nhờ tính đơn nhất của dòng yêu cầu mà khi hệ thống ở trạng thái Xk(t) nó chỉ có thể chuyển đến

trạng thái Xk+1(t), không thể chuyển thẳng đến các trạng thái Xk+i(t) với i >1. cũng tương tự, do

tính đơn nhất của dòng phục vụ của các kênh, hệ thống chỉ có thể chuyển đến Xk-1(t) mà không thể

chuyển thẳng đến các trạng thái Xk-i(t) với i > 1.

Nhờ tính không hiệu quả của các dòng biến cố nêu trên mà cường độ các dòng biến cố không phụ

thuộc vào trạng thái của hệ thống khi nó tác động đến.

Với tính chất dừng ta có dòng mật độ yêu cầu không đổi, cũng như vậy mật độ dòng phục vụ chỉ

phụ thuộc vào số kênh đang phục vụ.

Những phân tích như trên cũng ứng dụng cho việc xác lập sơ đồ chuyển trạng thái của các hệ

thống tương tự.

c) Hệ phương trình trạng thái và các xác suất trạng thái.

0= -λP0(t) + μP1(t)

0= -λP1(t) - μP1(t) + λP0(t) + 2μP2(t)

................................................................................. (5.9)

0= -λPk(t) – kμPk(t) + λPk-1(t) + (k+1) μPk+1(t)

.........................................................................................

0 = -nμPn(t) + λPn-1(t)


kk

P (t) = 1

Đặt α = λ/μ, từ (2) ta có: k

k 0

αP = P

k!

Thay vào điều kiện chuẩn ta có:

kn n

k 0 0 knk=0 k=0

k=0

α 1P = P = 1 P =

αk!

k!

(5.10)

Bằng cách nhân cả tử và mẫu số của công thức trên với e-α ta có:

α 0

0 α kn

k=0

e α / 0!P =

e α

k!

(5.11)

Ký hiệu P(α, k) = e-α αk/k! Là xác suất một biến ngẫu nhiên phân phối Poisson nhận giá trị k và

R(α, k) = k

i=0

P(α, i) là xác suất tích luỹ tương ứng; ta có:

-α 0

0 -α kn

k=0

e α /0! P(α,0)P = =

e α P(α,n)

k!

(5.12)

Từ đó: k

k 0

α P(α, k)P = P =

k! R(α, n) (5.13)

Các giá trị xác suất nói trên có thể tính dễ dàng khi các tham số hữu tỷ và n đủ nhỏ. Trong trường

hợp tổng quát ta có thể sử dụng bảng giá trị phân phối Poisson (Bảng: Giá trị phân phối Poisson).

d) Các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của hệ thống:

PTITPTIT


165

Đối với hệ thống này các chỉ tiêu cơ bản đánh giá hoạt động của hệ thống là:

1. Xác suất hệ thống có n kênh rỗi:

0

r 0 0

α P(α, 0)P = P = P =

0! R(α, n) (5.14)

Chỉ tiêu này cho biết tỷ lệ thời gian hệ thống rỗi hoàn toàn, thời gian rỗi hoàn toàn ở mọi hệ

thống Poisson nói riêng và các hệ thống ngẫu nhiên nói chung, dù ta có giảm đến tối thiểu số kênh

phục vụ hay tăng tối đa cường độ dòng yêu cầu.

2. Xác suất hệ thống có n kênh bận (hay xác suất một yêu cầu đến hệ thống bị từ chối Ptc):

n

tc n 0

α P(α, n)P = P = P =

n! R(α, n) (5.15)

Đây cũng là hiệu suất lý thuyết tối đa của hệ thống, như vậy trong trường hợp hệ ngẫu nhiên,

không có khả năng thiết kế một hệ thống khai thác toàn bộ công suất kỹ thuật của các kênh.

3. Xác suất phục vụ (xác suất một yêu cầu đến hệ thống được nhận phục vụ ngay) là:

Ppv = 1 – Ptc = 1 – Pn. (5.16)

Đó cũng là tỷ lệ các đối tượng được hệ thống tiếp nhận và phục vụ, đối với hệ thống phục vụ

công cộng, đây là một trong số ít các chỉ tiêu quan trọng nhất, với cùng một tiềm năng kỹ thuật

như nhau có thể chọn chỉ tiêu này làm mục tiêu thiết kế hệ thống.

Sau đây là một số chỉ tiêu tính toán ở mức trung bình, vì vậy các công thức dựa trên cơ sở tính

kỳ vọng toán học của các đại lượng ngẫu nhiên.

4. Số kênh bận trung bình (hay số yêu cầu trung bình có trong hệ thống):

n kn n n-1

b k 0 0 nk=0 k=1 k=1

pv

α αN = kP = P = α P = α(1 P )

n! k!

P(α, n)α 1 = α.P

R(α, n)

(5.17)

5. Số kênh rỗi trung bình: r bN = 1 - N (5.18)

6. Hệ số bận (rỗi):

b

b

NH =

n; Hr = 1 - Hb (5.19)

7. Hiệu quả chung (F):

Tuỳ theo cách đánh giá lợi ích và thiệt hại trong quá trình phục vụ và việc tận dụng công suất

hệ thống cũng như các loại lợi ích khác, người ta có thể lập một chỉ tiêu tổng hợp đánh giá hiệu

quả chung của hệ thống. Chẳng hạn:

Việc phục vụ một yêu cầu mang lại một lợi ích là cpv; mỗi yêu cầu bị từ chối gây thiệt hại là ctc;

mỗi kênh rối gây lãng phí là ckr, thì trong một đơn vị thời gian có thể tính được chỉ tiêu hiệu quả

chung là:

F = λPpvcpv - rN ckr – λPnctc (5.20)

Trên cơ sở các chỉ tiêu đó ta có thể chọn một hay một vài chỉ tiêu để tối ưu hoá hệ thống.

e) Phân tích và cải tiến hệ thống

Trong thực tế, ngoài việc đánh giá hệ thống phục vụ công cộng bằng một số chỉ tiêu, xuất phát

từ các giá trị xác suất cơ bản như giá trị các biến nội sinh của mô hình, người ta còn quan tâm đến

sự biến động của các chỉ tiêu đó khi các tham số của hệ thống (với tư cách là biến ngoại sinh) thay

PTITPTIT


166

đổi. Trên cơ sở phân tích cụ thể các chỉ tiêu này người ta có thể cải tiến hệ thống theo một hay

một số chỉ tiêu chủ yếu. Sau đây là một số phân tích cụ thể và một vài hướng cải tiến hệ thống.

1. Trước hết ta xem xét vấn đề hiệu suất lý thuyết của một hệ thống phục vụ công cộng kiểu

Eclang phụ thuộc vào n và α như thế nào. Hiệu suất lý thuyết được xem là công suất phục vụ tối

đa của hệ thống, chỉ tiêu này được tính theo công thức:

n

n 0

α P(α, n)P = P =

n! R(α, n)

Như vậy, hiệu suất lý thuyết là không đổi nếu số kênh và hệ số đảm nhận yêu cầu (hệ số α) của

mỗi kênh không đổi. Tuy nhiên khi α/n < 1 thì P(α, n) là hàm giảm theo n, khi n tăng Pn giảm, hay

hiệu suất lý thuyết giảm.

Nếu lấy đạo hàm bậc nhất của Pn theo α ta thấy:

n

n-1 k α n k αn n-1

' k=0 k=0

2k αn

k=0

α α e α α e

(n-1)! k! n! k!P (α) = 0

α e

k!

(5.21)

Vậy khi tăng α, hiệu suất lý thuyết tăng.

Như vậy trong điều kiện nhu cầu không có cạnh tranh (tức λ không đổi) thì giảm số kênh hay

giảm năng suất kênh sẽ tận dụng được công suất thiết bị. Kết luận này sẽ không có ý nghĩa khi hệ

thống phục vụ chỉ tồn tại trong điều kiện tiện lợi tối thiểu đối với các yêu cầu.

2. Vấn đề thu hút nhu cầu và chất lượng phục vụ: Rõ ràng là độ thu hút nhu cầu được đánh giá qua

khả năng phục vụ của hệ thống (ngoài các chỉ tiêu như giá cả, thời gian phục vụ,….). Chỉ tiêu tỷ lệ

yêu cầu đến hệ thống được phục vụ có thể xem là thước đo chỉ tiêu này. Ta có:

Ppv =1- Pn

Trên quan điểm thu hút yêu cầu, hành vi của hệ thống phục vụ rõ ràng là ngược chiều với việc

tăng hiệu suất của hệ thống. Có thể kết hợp hai chỉ tiêu này bằng cách cho mỗi chỉ tiêu một trọng

số (đánh giá lợi ích) hoặc đặt trước một chỉ tiêu và tìm cách hướng chỉ tiêu thứ hai có lợi nhất cho

cơ sở phục vụ.

Hàm F nêu trên thực chất là một trong hai cách làm như vậy. Ta có thể biến đổi chút ít hàm F

như sau:

F = λPpvcpv - rN ckr – λPnctc

= λPpvcpv – (n - αPpv)ckr – λ(1 –Ppv)ctc

= λPpvcpv – nckr + αPpvckr – λ ctc + Ppvctc

=Ppv(λcpv + λ ctc + αckr) - nckr – λctc

Đối với mỗi hệ thống phục vụ có thể xem λ là cho trước (tham số) vấn đề còn lại là năng suất

kênh và số kênh (biến ngoại sinh) hoặc ngược lại số kênh và năng suất kênh cho trước (tham số)

và λ thay đổi (bíến ngoại sinh) sẽ làm thay đổi chỉ tiêu hiệu quả F. Bằng các công cụ đạo hàm và

vi phân đã trình bày trong chương 1, ta có thể khảo sát sự thay đổi của hiệu quả F khi có sự thay

đổi của các biến ngoại sinh trong mỗi trường hợp.

Thí dụ 5.4. Bộ phận kiểm tra sản phẩm của một cơ sở sản xuất có 3 máy làm việc tự động, năng

suất các máy đều là 6 sản phẩm một phút. Mỗi sản phẩm ra khỏi dây chuyền đến bộ phận kiểm tra

nếu gặp lúc có máy rỗi sẽ được kiểm tra tại 1 trong các máy rỗi, ngược lại sản phẩm nhập kho

PTITPTIT


167

không qua kiểm tra. Dòng sản phẩm ra khỏi đây chuyền là dòng Poisson dừng mật độ trung bình

12 sản phẩm một phút. Thời gian kiểm tra một sản phẩm phân phối chỉ số.

- Tính các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của bộ phận kiểm tra?

- Nếu muốn tỷ lệ sản phẩm được kiểm tra không nhỏ hơn 96% thì cần tối thiểu bao nhiêu máy

như vậy?

- Nếu 3 máy đặt kế tiếp nhau như 3 hệ thống từ chối cổ điển nối tiếp thì tỷ lệ sản phẩm được kiểm

tra sẽ tăng hay giảm?(Dành cho sinh viên tự làm)

Giải: Đây là hệ thống phục vụ công cộng Eclang với các tham số:

Số kênh n = 3

Năng suất kênh: μ = 6

Dòng vào mật độ λ = 12; α = 2

- Các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của hệ thống:

P0 = 0, 157895

Ptc = 0,210526

Ppv = 0,789474

bN = 1,578947

Hb = 0,526316

- Ta nhận thấy Ptc > 0,04 như vậy cần tăng số kênh sao cho Ptc < 0,04 thì tỷ lệ sản phẩm được

kiểm tra sẽ không nhỏ hơn 96%. Bảng sau là các giá trị Ptc tương ứng với số kênh n:

Bảng 5.3

N 3 4 5

Ptc 0,210526 0,095238 0,036697

Vậy n = 5 tỷ lệ sản phẩm được kiểm tra không nhỏ hơn 96%.

Thí dụ 5.5 Để thiết lập một trạm xử lý tin nóng người ta có thể chọn một trong 2 phương án:

Phương án 1: lắp dặt 10 máy, mỗi máy trung bình 1 giờ xử lý được 4 bản tin.

Phương án 2: lắp đặt 8 máy, mỗi máy trung bình mỗi giờ xử lý được 5 bản tin.

Trạm làm việc theo chế độ của hệ thống Eclang, dòng các bản tin cần xử lý là dòng Poisson dừng

có trung bình 30 bản tin/giờ. Hãy chọn phương án có khả năng xử lý tin cao nhất.

Hướng dẫn giải:

Gọi H1 là hệ thống theo phương án 1, và H2 là hệ thống theo phương án 2. Đây là hai hệ thống

phục vụ công cộng từ chối cổ điển, với các công thức đã tính ở trên, ta tính các xác suất phục vụ

của từng hệ thống:

Với H1 ta có: Ppv(1) = 0,9005

Với H2 ta có: Ppv(2) = 0,8701

Vậy ta chọn phương án 1.

5.3.2 Hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế và thời gian chờ không hạn chế.

Một lớp các hệ thống phục vụ công cộng khác cũng khá phổ biến, đó là hệ thống có chờ. Đối với

các hệ thống này, mỗi yêu cầu, tuỳ thuộc vào chế độ tiếp nhận của hệ thống phục vụ và đặc điểm

của các yêu cầu, có thể được phục vụ trong điều kiện nào đó (thời gian, số chổ chờ) nhưng phải

xếp hàng chờ, khi hệ thống có tất cả các kênh đều bận. Trong thực tế, tình huống phổ biến là độ

dài hàng chờ và cả thời gian chờ đều hạn chế, tuy vậy nếu độ dài hàng chờ hạn chế thì cũng có thể

xem thời gian chờ của một yêu cầu hầu như là hạn chế. Để đơn giản cho việc nghiên cứu, ta xem

PTITPTIT


168

xét mô hình phục vụ công cộng với độ dài hàng chờ hạn chế hay còn gọi là hệ thống chờ với độ

dài hàng chờ hạn chế.

a) Mô tả hệ thống.

Một hệ thống phục vụ công cộng có n kênh phục vụ, năng suất các kênh bằng nhau và bằng μ,

dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson dừng mật độ λ. Thời gian phục vụ một yêu cầu của

kênh tuân theo quy luật chỉ số. Một yêu cầu đến hệ thống gặp lúc có ít nhất một kênh rỗi thì được

nhận vào phục vụ cho đến thoả mãn tại một trong các kênh rỗi đó. Ngược lại, nếu tất cả các kênh

đều bận thì xếp hàng chờ nếu số yêu cầu chờ chưa vượt quá m chổ. Cần xác định các chỉ tiêu phân

tích hệ thống.

b) Quá trình thay đổi trạng thái và sơ đồ trạng thái của hệ thống.

+/ Trạng thái.

Ta quan tâm đến hiệu quả phục vụ của hệ thống vì vậy đặc trưng được chọn để xác định trạng

thái là số kênh bận tại mỗi thời điểm.

Gọi Xk(t) là trạng thái hệ thống có k kênh bận tại thời điểm t (k = 1, 2, …, n).

Xn+s(t) là trạng thái hệ thống có n kênh bận và s yêu cầu chờ tại thời điểm t (s = 1, 2, …, m).

+/ Sơ đồ chuyển trạng thái

`

Hình 5.6

Sơ đồ trên thiết lập dựa trên cơ sở phân tích tính chất các dòng Poisson như đã nói ở hệ Eclang.

c) Phương trình trạng thái và các xác suất trạng thái.

0= -λP0(t) + μP1(t)

0= -λP1(t) - μP1(t) + λP0(t) + 2μP2(t)

................................................................................. (1)

0= -λPk(t) – kμPk(t) + λPk-1(t) + (k+1) μPk+1(t)

..................................................................................

0 = -nμPn(t) - λPn(t) + λPn-1(t) + nμPn+1(t)

..................................................................................

0 = -nμPn+s(t) - λPn+s(t) + λPn+s-1(t) + nμPn+s+1(t)

.................................................................................

0= - nμPn+m(t) + λPn+s-1(t)


kk

P (t) = 1

Đặt α = λ/μ, từ (1) ta có:

X0(t) X1(t) λ

μ

λ 2μ

Xk+1(t) λ

(k+2)μ

λ

(k+1) μ Xn(t) Xn-1(t)

λ

nμ

λ

(n-1) μ Xn+1(t)

λ

nμ

Xn(t)

λ

nμ

λ

nμ Xn+m-1(t) Xn+m(t)

λ

nμ

λ

nμ

Xk-1(t) Xk(t) λ

kμ

λ (k+1)μ

λ

(k-1)μ

….. …..

….. …..

….. …..

….. ….. …..

…..

….. ….. …..

…..

PTITPTIT


169

k

k 0

αP = P

k! và

n s

n+s 0s

α αP = P

n!n (2)

Nếu α/n = 1 thì n

n+s 0 n

αP = P = P

n! (*)

Đặt x = α/n. Thay vào điều kiện chuẩn ta có:

- Khi x ≠ 1:

k nn ms

0k=0 s=1

0 k n k n mn m ns

k=0 s=1 k=0

α αP + x = 1

k! n!

1 1 P = =

α α α α (1 - x ) + x +

k! n! k! n! 1 - x

Hay 0 m

P(α, 0) P =

(1 - x )R(α, n) + P(α, n)

1 - x

- Khi x = 1 thì 0

P(α, 0) P =

R(α, n) + P(α, n)m (**)

d) Các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của hệ thống

- Xác suất hệ thống có n kênh rỗi: Pr = P0

- Xác suất một yêu cầu đến hệ thống phải chờ: Pc

Khi x ≠ 1:

nm-1 m-1s

c n+s 0s 0 s 0

m

m

αP = P = x P

n!

P(α, n) (1 - x )

(1 - x ) 1 - xR(α,n) + P(α, n)

1 - x

(5.22)

Khi x = 1 thì Pc = mPn

- Xác suất một yêu cầu bị từ chối: Ptc

Ptc = Pn+m = n

m0

αx P

n! (5.23)

Khi x ≠ 1: mtc m

P(α, 0)P = x

(1 - x )R(α, n) + P(α, n)

1 - x

(5.24)

Khi x = 1: Ptc = Pn+m = Pn (5.25)

- Xác suất một yêu cầu đến hệ thống được phục vụ ngay:

Popv = 1 – Ptc - Pc (5.26)

- Số kênh bận trung bình:

Khi x ≠ 1:

mn m

b k n+smk=0 s=1

xαR(α,n-1) + nP(α,n) (1 x )

1 xN = kP + n P = x

R(α,n) + P(α,n) (1 x )1 x

(5.27)

x

x

x

x

PTITPTIT


170

Khi x = 1: bαR(α,n-1) + nmP(α,n)

N =R(α,n) + P(α,n)m

(5.28)

- Độ dài hàng chờ trung bình:

Khi x ≠ 1:

ms

ms=0

c n+s ms=0

P(α,n) sx

M = sP = 1-x

R(α,n) + P(α,n)1-x

(5.29)

Trong đó:

m-1s

m ms s-1 m m-1s=0

2s=0 s=1

xx

sx = x sx = x = (m - 1)x - mx + 1x (1 x)

Khi x = 1: 2

1)m(mP M nc

(5.30)

- Thời gian rỗi giữa hai lần phục vụ:

b

br pv

bb

N1

1 -H nT = T = H N

μn

- Thời gian trung bình của một yêu cầu ở trong hệ thống: Tis

Thời gian một yêu cầu lưu lại trong hệ thống như sau:

Nếu hệ thống có k < n kênh bận thì một yêu cầu lưu lại trung bình là 1/μ.

Nếu hệ thống có n kênh bận thì một yêu cầu lưu lại trung bình là :

1 s

+ μ nμ

(5.31)

Vậy n-1 m m

c

is k n+s n+1k=0 s=0 s=0

1 1 s 1 1 1 MT = P + + P = + sP +

μ μ nμ μ nμ μ nμ

(5.32)

Và cM

nμ chính là thời gian chờ trung bình.

e) Thí dụ 5.6: Một trung tâm khai thác bưu kiện có 2 tổ làm việc độc lập, năng suất mỗi tổ 6 tấn/

ngày. Dòng bưu kiện về trung tâm là dòng Poisson dừng trung bình 10 tấn/ ngày. Thời gian khai

thác một tấn bưu kiện tuân theo quy luật chỉ số. Một bưu kiện về trung tâm gặp lúc có tổ rỗi thì

được nhận ngay tại một tổ rỗi đó, ngược lại phải xếp tại sàn khai thác nếu dung tích cho phép chưa

vượt quá 9 m3. Tính các chỉ tiêu phân tích hoạt động của trung tâm trên.

Giải: Số kênh phục vụ: n =2


Mật độ dòng vào: λ = 10

Số chổ chờ tối đa: m = 9

Hệ số đảm nhận: α = 10/6 = 1,666667

α/n = 0,83333

Các chỉ tiêu đánh gía hoạt động của trung tâm:

Xác suất trung tâm có hai kênh rỗi: P0 = 0,101231

Xác suất một yêu cầu đến trung tâm phải chờ: Pc = 0,707344

Xác suất từ chối một yêu cầu: Ptc = 0.022707

x

PTITPTIT


171

Xác suất một yêu cầu được phục vụ ngay: Popv = 0,269948

Số kênh bận trung bình: bN = 1,628821

Độ dài hàng chờ trung bình: cM = 2,401353

Thời gian chờ trung bình: Tc = 0,2001

Thời gian rỗi trung bình giữa hai lần phục vụ của kênh: Tr = 0,03789.

5.3.3 Hệ thống chờ thuần nhất

a) Mô tả hệ thống.

Hệ thống phục vụ công cộng có n kênh phục vụ, năng suất các kênh bằng nhau và bằng μ, dòng

yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson dừng mật độ λ. Thời gian phục vụ một yêu cầu của kênh

tuân theo quy luật chỉ số. Một yêu cầu đến hệ thống gặp lúc có ít nhất một kênh rỗi thì được nhận

phục vụ cho đến thỏa mãn tại một trong các kênh rỗi đó. Ngược lại nếu tất cả các kênh đều bận thì

xếp hàng chờ. Cần xác định các chỉ tiêu phân tích hệ thống.

b) Quá trình thay đổi trạng thái – Sơ đồ trạng thái của hệ thống.

+/ Trạng thái:

Ta quan tâm đến hiệu quả phục vụ của hệ thống vì vậy đặc trưng được chọn để xác định trạng

thái là số kênh bận tại mỗi thời điểm.

Gọi Xk(t) là trạng thái hệ thống có k kênh bận tại thời điểm t (k = 1, 2,…., n)

Xn+s(t) là trạng thái hệ thống có n kênh bận và s yêu cầu chờ tại thời điểm t (s = 1, 2, …., m)

+/ Sơ đồ chuyển trạng thái của hệ thống

Hình 5.7

Sơ đồ trên thiết lập trên cơ sở phân tích các tính chất của các dòng Poisson dừng như đã nối ở hệ

thống Eclang.

c) Hệ phương trình trạng thái và các xác suất trạng thái.

Áp dụng quy tắc viết hệ phương trình xác suất trạng thái, ta có thể viết hệ phương trình trạng

thái của hệ này.

Trong đó các phương trình ứng với các trạng thái từ X0(t) đến Xn(t) không có gì khác với các hệ

phương trình trên, từ các trạng thái sau Xn(t) ta có vô số trạng thái có cấu trúc sơ đồ như nhau vì

vậy các phương trình cũng giống nhau.

Cụ thể là:

0 = -λP0(t) + μP1(t)

0 = -λP1(t) - μP1(t) + λP0(t) + 2μP2(t)

............................................................................. (1)

0 = -λPk(t) – kμPk(t) + λPk-1(t) + (k+1) μPk+1(t)

..............................................................................

0 = -nμPn(t) - λPn(t) + λPn-1(t) + nμPn+1(t)

X0(t) X1(t) λ

μ

λ 2μ

Xk-1(t) Xk(t) λ

kμ

λ (k+1)μ

λ

(k-1)μ

Xn(t) Xn-1(t) λ

nμ

λ

(n-1) μ Xn+1(t)

λ

nμ

λ

nμ

Xn+s(t) λ

nμ

λ

nμ

........

........ ........ ........

........

........

........

........

PTITPTIT


172

..............................................................................

0 = -nμPn+s(t) - λPn+s(t) + λPn+s-1(t) + nμPn+s+1(t)

..............................................................................


kk=0

P (t) = 1

Đặt α = λ/μ, từ (1) ta có:

k

k 0

αP = P

k! và

n s

n+s 0s

α αP = P

n!n (2)

d) Tính các chỉ tiêu

Để tính các xác suất trạng thái và các chỉ tiêu ta chỉ cần lấy giới hạn các công thức đã có ở hệ

thống chờ hạn chế với m dần tới vô hạn và α/n < 1. Trong trường hợp ngược lại α/n > 1 hệ thống

không thể tồn tại, vì số yêu cầu chờ tăng vô hạn và xác suất hệ thống ở một trạng thái Xk(t) với k

hữu hạn bằng không.

Ta có công thức tương ứng như sau :

1. Xác suất hệ thống có n kênh rỗi : Pr = P0.

0 k nns

k=0 s=1

1 P(α,0)P = =

xα α R(α,n) + P(α,n) + x1 - xk! n!

(5.33)

2. Xác suất một yêu cầu đến hệ thống phải chờ: Pc.

k k

sc n+s 0 0

s=0 s=0

1P(α,n)

α α 1 1-xP = P = P x = P = xk! k! 1-x R(α,n) P(α,n)

1-x

(5.34)

3. Xác suất một yêu cầu đến hệ thống được phục vụ ngay :

Popv = 1 - Pc (5.35)

4. Số kênh bận trung bình :

k n nn ns

b k n+s 0 0k=0 s=1 k=0 s=1

k nn-1

0k=0

α α αN = kP + n P = P k + nP x

k! n! n!

xαR(α,n-1) + nP(α,n)

α α x 1 x = P α k + nxk! n! 1 x R(α,n) + P(α,n)

1 x

(5.36)

5. Độ dài hàng chờ trung bình:

nm

sc n+s 0

2s=0 s=0

α xP(α,n)M = sP = P sx

xn!(1-x) R(α,n) + P(α,n)

1-x

(5.37)

6. Thời gian trung bình yêu cầu ở trong hệ thống:

cis

M1T = +

μ nμ (5.38)

7. Thời gian rỗi giữa hai lần phục vụ:

PTITPTIT


173

b

bpvr

bb

N1

1 H nT = T = H N

μn

(5.39)

Trong thực tế khi m đủ lớn người ta sử dụng các công thức của hệ chờ thuần nhất cho hệ thống

chờ hạn chế, làm như vậy việc tính các chỉ tiêu sẽ đơn giản hơn.

e) Thí dụ 5.7:

Một trung tâm khai thác bưu kiện có 6 tổ làm việc độc lập, mỗi giờ một tổ khai thác được trung

bình 4 tấn. Trung bình mỗi giờ có 18 tấn bưu kiện về trung tâm để khai thác. Nếu bưu kiện về gặp

lúc có tổ rỗi thì được khai thác ngay tại tổ đó, ngược lại phải tạm xếp vào kho chờ khai thác. Dung

tích kho đủ lớn và giả sử dòng bưu kiện về trung tâm là dòng Poisson dừng, thời gian khai thác

một tấn bưu kiện tuân theo quy luật chỉ số. Hãy xác định các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của trung

tâm.

Giải:

Ta xem trung tâm khai thác bưu kiện là một thống chờ thuần nhất với:

Số kênh phục vụ: n =6


Mật độ dòng vào: λ = 18

Hệ số đảm nhận: α = 18/6 = 4,5

α/n = 0,75

Các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của trung tâm:

Xác suât trung tâm có 6 tổ rỗi: P0 = 0,00914

Xác suất một tấn bưu kiện phải chờ để khai thác: Pc = 0,42165

Xác suất một tấn bưu kiện được khai thác ngay: Popv = 0,57835

Số tổ bận trung bình: Nb = 4,5

Số tấn bưu kiện trung bình trong kho chờ khai thác: Mc = 0,126

Thời gian trung bình từ khi bưu kiện về đến khi được khai thác: Tc


I. Lý thuyết

1. Trình bày mô hình hệ thống phục vụ công cộng? Các yếu tố cấu thành hệ thống?

2. Phân loại hệ thống phục vụ công cộng?

3. Trình bày trạng thái của hệ thống và quá trình chuyển trạng thái?

4. Miêu tả sơ đồ trạng thái và quy tắc viết hệ phương trình trạng thái?

5. Quá trình hủy – sinh và nghiệm hệ phương trình trạng thái?

6. Vẽ sơ đồ trạng thái đối với hệ thống từ chối (Eclang), hệ thống chờ và hệ thống thuần nhất?

II. Bài tập

1. Một trung tâm viễn thông có 6 nhân viên làm các gói dịch vụ về điện thoại, mỗi giờ một n hân

viên hoàn thành được các gói dịch vụ cho 4 khách hàng. Trung bình mỗi giờ có 18 khách hàng

đến trung tâm để yêu cầu được phục vụ. Nếu khách hàng đến trung tâm gặp lúc có nhân viên rỗi

thì được nhận vào phục vụ ngay, ngược lại phải xếp hàng chờ ở phòng chờ. Diện tích phòng chờ

đủ lớn cho mọi khách hàng đã đến trung tâm để yêu cầu phục vụ. Giả sử dòng khách hàng đến

PTITPTIT


174

trung tâm là dòng Poison dừng, thời gian làm xong các gói dịch vụ cho một khách hàng là biến

ngẫu nhiên tuân theo quy luật số mũ. a) Hệ thống này thuộc loại hệ thống gì? Vẽ sơ đồ trạng thái của hệ thống dịch vụ?

b) Tính các chỉ tiêu đánh giá chất lượng phục vụ của hệ thống: P0, Pc, Ppv,

2. Một cửa hàng sửa chữa điện thoại di động có 5 nhân viên làm việc độc lập. Giả sử dòng khách

hàng đến cửa hàng là dong Poison dừng có mật độ trung bình là 5 phút/người. Thời gian phục vụ

trung bình cho mỗi khách hàng có phân phối mũ với tham số t có giá trị trung bình tm =

5phút/người. Nếu khi khách hàng đến cửa hàng mà mọi nhân viên đều bận thì khách hàng phải

đến cửa hàng khác. Hãy xác định:

a. Hệ thống này thuộc hệ thống gì? Vẽ sơ đồ trạng thái của hệ thống phục vụ? Sự thay đổi trạng

thái của hệ thống này tuân theo quy luật nào? Vì sao?

b. Trung bình có 100 khách hàng đến cửa hàng thì có bao nhiêu người được phục vụ? Tính số

nhân viên rỗi trung bình? Tính xác suất để có ít nhất 2 nhân viên đều bận?

3. Một bộ phận kiểm tra sản phẩm của một nhà máy có 6 máy làm việc tự động, năng suất mỗi

máy đều là 12 sản phẩm/giờ. Mỗi sản phẩm ra khỏi dây chuyền đến bộ phận kiểm tra, nếu gặp lúc

có máy rỗi thì sẽ được kiểm tra tại một trong các máy rỗi, ngược lại sản phẩm được nhập kho

không qua kiểm tra. Dòng sản phẩm ra khỏi dây chuyền sản xuất là dòng Poison dừng, mật độ

trung bình 24 sản phẩm/giờ. Thời gian kiểm tra một sản phẩm tuân theo quy luật số mũ. Hãy xác

định:

a. Hệ thống trên thuộc loại hệ thống gì? Vẽ sơ đồ trạng thái của hệ thống?

b. Tính các chỉ tiêu đánh giá chất lượng phục vụ của bộ phận kiểm tra: P0, Ptc, Ppv, b r b rn , n , H , H .

c. Muốn tỷ lệ sản phẩm được kiểm tra không nhỏ hơn 99% thì tối thiểu cần bao nhiêu máy tự động

ở bộ phận kiểm tra?

4. Một cơ sở phục vụ dạng một kênh một giai đoạn có dòng yêu cầu đến là dòng Poison dừng với

mật độ trung bình là 3 đơn vị mỗi ngày. Cơ sở có năng suất phục vụ trung bình 6 đơn vị một ngày.

Hãy xác định:

a. Hệ số đảm nhận của cơ sở phục vụ?

b. Thời gian trung bình trong hệ thống?

c. Số đơn vị trung bình có trong hệ thống?

d. Thời gian chờ đợi trung bình?

e. Xác suất để có 2 đơn vị được phục vụ trong hệ thống?

5 Một trung tâm y tế khám chữa bệnh, dòng bệnh nhân đến trung tâm là dòng Poison dừng, trung

bình có 6 bệnh nhân/giờ. Thời gian khám chữa cho mỗi bệnh nhân tuân theo quy luật số mũ, trung

bình mất 6 phút cho mỗi bệnh nhân. Hãy xác định:

a. Thời gian chờ đợi trung bình của một bệnh nhân?

b. Số bệnh nhân trung bình trong việc chờ đợi?

c. Tỷ lệ phần trăm của thời gian nhàn rỗi?

6. Tại văn phòng của hội từ thiện trong một thành phố lớn được bố trí bởi một nhân viên xã hội

tiếp nhận trung bình 3 khách hàng trong một giờ để tìm kiếm một số loại trợ giúp (Thực phẩm,

nhà cửa,...). Nhân viên xã hội nói chuyện và trợ giúp họ trực tiếp hay chỉ dẫn họ đến các các tiện

ích khác trong thành phố. Việc làm này mất trung bình 15 phút. Giả định số người đến văn phòng

có phân phối Poison, thời gian phục vụ tuân theo quy luật số mũ. Hãy xác định:

PTITPTIT


175

a. Xác suất không có khách hàng đến văn phòng (P0 = Pr)?

b. Xác suất có 2 khách hàng có mặt tại văn phòng cùng lúc?

c. Số khách hàng trung bình trong hệ thống?

d. Thời gian trung bình một khách hàng dừng trong hệ thống?

e. Số khách hàng trung bình chờ đợi để được phục vụ?

PTITPTIT

Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ

176

CHƯƠNG 6.

MÔ HÌNH QUẢN LÝ DỰ TRỮ

6.1 Bài toán điều khiển dự trữ và các khái niệm.

Trong hầu hết các hoạt động kinh tế xã hội người ta phải giải quyết bài toán dự trữ, thực chất

là bài toán lựa chọn phương án dự trữ các nguồn lực sao cho chi phí tốn kém ít nhất. Trong

chương này ta xét một lớp bài toán cụ thể giải quyết các mối quan hệ kinh tế trong quá trình dự

trữ. Việc thể hiện bài toán dưới dạng mô hình cho phép mở rộng khả năng ứng dụng trong những

tình huống tương tự, hoặc khi có thể quy về vấn đề cần giải quyết về dạng bài toán dự trữ.

Mô hình điều khiển dự trữ như tên gọi ban đầu của nó, xuất phát từ bài toán quản lý một hệ

thống kho. Tuy nhiên trong thực tế, mô hình này không chỉ được sử dụng để phân tích, điều khiển

dự trữ mà còn được dùng như một công cụ mô hình hoá nhiều vấn đề trong các lĩnh vực quản lý

sản xuất, kinh doanh và dịch vụ. Các đối tượng được mô hình hoá cũng theo đó mà ngày càng

phức tạp hơn. Với một số mô hình được giới thiệu sau đây chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu từ các

mô hình đơn giản, với các yếu tố tất định, diễn tiến đều đặn đến các mô hình trong đó các yếu tố

có tính ngẫu nhiên. Mặt khác ta sẽ nghiên cứu từ các mô hình thuần tuý dự trữ đến các mô hình

sản xuất kinh doanh. Để nghiên cứu những mô hình phức tạp chúng ta cần đến các công cụ tương

đối phức tạp, vì vậy trong giới hạn có thể, giáo trình này chỉ trình bày các mô hình mà việc phân

tích không đòi hỏi quá nhiều công cụ toán học.

Sau đây ta cần thống nhất một vài khái niệm cơ bản cần thiết để có thể mô hình hoá bài toán thực

tế dưới dạng bài toán dự trữ.

Hàng hoá: là đối tượng cần dự trữ cho hoạt động kinh tế xã hội nào đó.

Nhu cầu: là khối lượng hàng cần thiết và sẽ được tiêu thụ trong một khoảng thời gian T (giả thiết

rằng T = 1). Nhu cầu thông thường là một biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối xác suất nào đó.

Cung cấp: là khả năng cung cấp hàng cho quá trình dự trữ và tiêu thụ. Trong các trường hợp cụ

thể cách thức cung cấp có thể khác nhau: cung cấp theo đợt tập trung, cường độ lớn; cung cấp đều

đặn trong các khoảng thời gian;...

Thời gian đặt hàng: là khoảng thời gian từ khi bắt đầu đặt hàng đến khi hàng bắt đầu được dự trữ

và tiêu thụ tại doanh nghiệp. Khoảng thời gian này cũng là một biến ngẫu nhiên.

Chu kỳ dự trữ - tiêu thụ: là phần thời gian dự trữ và tiêu thụ khối lượng hàng của một lần đặt

mua.

Điểm đặt hàng: là mốc hàng còn lại trong kho khi cần bắt đầu đặt hàng cho chu kỳ tiếp theo.

Các loại chi phí: trong các mô hình ở chương này ta quan tâm đến các loại chi phí sau:

Chi phí mua hàng hay giá hàng được tính bằng chi phí trực tiếp cho một đơn vị hàng về đến kho

doanh nghiệp (bao gồm giá mua, chi phí vận chuyển, bốc xếp,...).

Chi phí đặt hàng là chi phí cố định cho một lần đặt hàng bao gồm chi phí giao dịch, chi phí cho

các nghiệp vụ khác.

Chi phí dự trữ hay chi phí kho: Chi phí dự trữ có thể cấu thành bởi các loại chi phí sau:

- Chi phí bảo quản tính trên mỗi đơn vị hàng dự trữ trong một đơn vị thời gian.

- Chi phí kho tính cho mỗi đơn vị hàng, loại chi phí này càng cao khi dự trữ càng ít, nó được tính

bằng chi phí cố định cho hoạt động của hệ thống kho chia cho số đơn vị hàng dự trữ trong kho.

PTITPTIT


177

- Chi phí tồn đọng vốn tính trên giá trị hàng hoá dự trữ. Chi phí này có thể tính theo tỷ lệ lãi của

tiền gửi ngân hàng.

Trong các bài toán cổ điển thông thường chi phí dự trữ được tính tỷ lệ với giá hàng qua hệ số gọi

là hệ số chi phí dự trữ (hay hệ số bảo quản). Cách tính như vậy có thể chỉ bao gồm bộ phận thứ hai

của chi phí thực tế.

Chi phí do không đảm bảo nhu cầu: là thiệt hại khi thiếu một đơn vị hàng trong một đơn vị thời

gian.

Chi phí do dư thừa hàng (so với nhu cầu thực tế): Khoản chi phí phát sinh khi chúng ta dự trữ quá

mức cần thiết. Thí dụ, tổn thất do vốn bị ứ đọng, do hàng bị hư hỏng,...

Trong các bài toán thực tế chi phí dự trữ có thể hình thành rất khác nhau và xác định chính xác

chi phí này đôi khi lại là một bài toán khác.

Ngoài ra, có nhiều bài toán được mô tả như bài toán dự trữ một cách hình thức. Trong trường

hợp đó phát sinh các yếu tố khác cùng các loại chi phí tương ứng. Để mô tả chúng, cũng như xây

dựng mô hình tương ứng người ta cần có những phân tích cá biệt để nhận được mô hình dễ ứng

dụng nhất có thể.

Có nhiều cách thức phân lớp mô hình dự trữ.

Theo tính chất của dự trữ và tiêu thụ người ta chia thành hai loại: Mô hình với các yếu tố tất định

hay còn gọi là mô hình tất định và mô hình với ít nhất một trong các yếu tố ngẫu nhiên gọi là mô

hình ngẫu nhiên.

Theo tính chất thường xuyên của quá trình dự trữ, người ta chia thành các mô hình dự trữ thường

xuyên và mô hình dự trữ theo giai đoạn.

Theo điều kiện của nguồn kinh phí, khả năng dự trữ,.. người ta chia thành mô hình dự trữ có ràng

buộc và không ràng buộc.

Trong chương này chúng ta chỉ nghiên cứu một số mô hình dự trữ cơ bản mà việc phân tích

không đòi hỏi quá nhiều công cụ toán học. Tuy nhiên không vì thế mà khả năng ứng dụng của

những mô hình này bị hạn chế. Cách thức giải quyết các bài toán có thể mở rộng cho lớp các mô

hình phức tạp hơn trong thực hành tổ chức và điều khiển tác nghiệp.

6.2 Một số mô hình dự trữ tất định

6.2.1 Mô hình dự trữ với việc tiêu thụ đều, bổ sung tức thời (mô hình Wilson).

a) Mô tả bài toán.

Giả sử nhu cầu về một loại hàng trong thời kỳ T (T = 1) là Q đơn vị. Việc tiêu thụ hàng là đều

đặn và thời gian bổ sung hàng vào kho không đáng kể (tức thời). Chi phí cho mỗi lần đặt hàng là

A, giá đơn vị hàng là C, hệ số chi phí dự trữ là I, thời gian đặt hàng là T0. Hãy xác định số lần đặt

hàng và lượng hàng đặt mỗi lần sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất?

b) Thiết lập và phân tích mô hình

Giả sử ta chia T thành n chu kỳ dự trữ và tiêu thụ (i =1,n ), trong mỗi kỳ i đặt mua lượng hàng là

qi. Ta có sơ đồ biểu thị số lượng hàng trong kho như sau:

PTITPTIT


178

Hình 6.1

Sơ đồ trên thể hiện cường độ tiêu thụ đều, đường biểu diễn lượng dự trữ tuyến tính theo thời

gian. Mỗi chu kỳ nhập một lượng hàng qi, tiêu thụ hết chu kỳ thì phải có hàng bổ sung vào dự trữ.

Như vậy không xảy ra thừa, thiếu hàng do đó cũng không phát sinh các chi phí tương ứng.

Trong mỗi chu kỳ ti lượng hàng dự trữ trung bình là qi/2, phát sinh chi phí dự trữ tương ứng

qitiIC/2; chi phí đặt hàng là nA, tổng số tiền mua hàng là CQ.

Vậy hàm tổng chi phí là:

F(ti, n) = n

i i

i=1

ICt qnA + + CQ

2 (6.1)

Vì quy luật tiêu thụ đều nên dễ dàng suy ra: ti = qi/Q với i . Như vậy ta có:

F(qi, n) = i

2n

i=1

ICqnA + + CQ

2Q (6.2)

n

ii=1

q = Q

Với n xác định, ta có thể thấy F(q) nhỏ nhất khi qi = q = Q/n với i , tức là lượng hàng đặt mua

mỗi lần đều bằng q*.

Thật vậy, lập hàm f(qi) = F(qi) – λ(n

ii=1

q - Q ) điểm dừng của f(qi) là qi = Q/n

Dễ dàng nhận thấy đây là điểm cực tiểu toàn bộ của f(qi).

Tóm lại, việc tìm cực tiểu F(ti, n) quy về tìm cực tiểu hàm:

F(q) = AQ/q + Icq/2 + CQ

Vì CQ không đổi, nên ta chỉ cần tìm q làm cực tiểu hàm:

D(q) = AQ/q + Icq/2 (6.3)

c) Lời giải

Vì D(q) là tổng của hai số hạng dương có tích không đổi (AQIC/2), theo hệ quả của bất đẳng

thức Côsi, D(q) nhỏ nhất khi AQ/q = ICq/2. Giải phương trình này đối với q, ta có:

Lượng hàng đặt tối ưu mỗi lần: * 2AQq =

IC (6.4)

và * *

*

2AQD(q ) = 2AQIC = = ICq

q (6.5)

q1 q2 qn q3

T = 1

t1 t2 tn

q

PTITPTIT


179

*F(q ) = 2AQIC + CQ (6.6)

hay có thể tính: * *

*

2AQF(q ) = CQ + = ICq + CQ

q (6.7)

Số lần đặt hàng tối ưu: *

*

Qn =

q

Chu kỳ dự trữ, tiêu thụ: *

*

1t =

n

Điểm đặt hàng: việc xác định điểm đặt hàng sẽ đơn giản nếu như thời gian đặt hàng T0 < t*, nhưng

trong thực tế có thể T0 > t*, như vậy cần đặt hàng trước một hay một số chu kỳ. Lượng hàng trong

kho lúc cần đặt hàng (điểm đặt hàng) chính là lượng hàng tiêu thụ trong khoảng thời gian được

xác định theo công thức sau:

[T0 – t*.int(T0/t*)]

Ta quan sát hai sơ đồ kho sau:

Trong sơ đồ 1 điểm đặt hàng được tính bằng lượng hàng tiêu thụ trong thời gian đặt hàng T0.

Trong sơ đồ 2 cần đặt hàng trước đó hai chu kỳ, vì vậy điểm đặt hàng B* tính bằng lượng tiêu thụ

trong khoảng thời gian bằng phần dư của T0 sau khi trừ đi 2 lần t*, tức là ε = T0 – 2t*.

Trong trường hợp tổng quát ta có thể tính điểm đặt hàng B* theo công thức sau:

B* = Q[T0 – t*int(T0/t*)], intT0/t

* là phần nguyên của T0/t*.

Ta có thể mô tả hàm D(q) và lời giải trên đồ thị như sau:

Ta thấy q* là hoành độ điểm giao của hai đồ thị AQ/q và Icq/2 và:

AQ/q > Icq/2 với q < q*

B

B*

T0 T0

B

B*

ε

T0 T T

Sơ đồ 1: B* = T0Q Sơ đồ 2: B* = (T0 – 2t*)Q

D

ICq/2

AQ/q

q’ q* q’'

q

Hình 6.2

PTITPTIT


180

AQ/q < Icq/2 với q > q*

d) Phân tích kết quả:

Với kết quả trên có thể đưa ra một số phân tích sơ bộ sau đây:

+/ Điểm q* trên đồ thị cho thấy rằng nếu ta đang thực hiện một chiến lược dự trữ nào đó mà chi

phí đặt hàng (hay chi phí cố định) quá cao so với chi phí dự trữ (q’) thì cần tăng khối lượng đặt

hàng mỗi lần, ngược lại nếu ở tình trạng q’’ thì cần giảm khối lượng hàng đặt mỗi lần.

+/ Thức tính q* gúp ta xác định quy mô kho cần thiết tại điểm dự trữ tối ưu.

c) Công thức tính F(q*) cho phép xác định lượng vốn cần thiết cho chu kỳ dự trữ và tiêu thụ:

*

*

*

2AQIC + CQF(q ) 2AQ 2AQK = = = 2A + C

n Q IC IC

+/ Sự thay đổi một vài yếu tố (phân tích tĩnh)

Các tham số cơ bản trong mô hình có thể ngoại sinh hoá như các biến. Với sự thay đổi của các

biến này chiến lược dự trữ tối ưu cũng có những thay đổi nhất định. Tuy nhiên, trong thực tế cần

chú ý rằng không phải mọi tham số đều có thể ngoại sinh hoá, mặc dù về mặt toán học chúng ta

luôn có khả năng ngoại sinh hoá tất cả các tham số. Người ta chỉ xét sự thay đổi của những tham

số này làm thay đổi điều kiện dự trữ thông thường nhất.

- Trước tiên ta xét sự thay đổi tổng nhu cầu Q tác động đến quy mô kho và vốn.

Nếu Q’ = αQ (α > 0) thì:

'* *2AαQq = = q α

IC

như vậy quy mô kho cần thiết không tỷ lệ với Q, mà thay đổi với hệ số căn bậc hai.

Tổng quát, từ công thức (6.4) ta thấy tại điểm tối ưu q* = q(A, Q, I, C) và dễ dàng thấy hàm q

khả vi theo tất cả các biến (với các biến nhận giá trị dương).

Vậy: 1 AQ AQ

dq = (QdA - dC - dI + AdQC I2AQIC

) (6.8)

Công thức này cho phép xác định biến động của q* (có thể xem là quy mô kho) theo các yếu tố

trong mô hình.

Tương tự trong trường hợp đơn giản khi nhu cầu tăng ta có:

Vốn '* 2AαQ 2AQK = 2A + C = 2A + C α

IC IC

- Sự thay đổi của giá hàng: trong trường hợp chủ hàng đặt mốc quy mô lô hàng mua để giảm giá

nhằm khuyến mãi, hành vi dự trữ sẽ thay đổi như thế nào?

Giả sử có mốc q0 với q ≥ q0 thì giá hàng giảm ε, (0 < ε < 1); tức là:

c’ = c(1 - ε).

Ta có đồ thị sau:

+/ Khi q0 > q*

Nếu q0 1 - ε < q* thì đặt hàng với khối lượng

PTITPTIT


181

*

'* qq =

1 - ε (*)

`

`

Hình 6.3

Trong trường hợp ngược lại cần so sánh F(q*) và F(q0) để xác định lượng hàng đặt mua tối ưu.

+/ Khi q0 ≤ q* cần thay đổi chiến lược đặt hàng để nhận được ưu đãi khuyến mãi, điểm tối ưu có

thể tính theo công thức (*).

Tổng quát, ta có thể mô tả sự biến đổi của K* = K(A, Q, I, C) nhờ biểu thức sau :

2

2AQICQC AC AQdK = 2 + dA + dQ + dC - dI

I2AQIC 2AQIC 2AQIC

+/ Vấn đề xác định chi phí dự trữ và lời giải của bài toán.

Ta thấy chi phí dự trữ xác định trong mô hình cổ điển của Wilson có thể thiếu tính thực tế. Vậy

sự thay đổi nào trong cách xác định chi phí này dẫn đến lời giải trong bài toán cơ bản không còn

áp dụng được. Có thể thấy rằng mọi cách tính chi phí dự trữ được đơn vị hoá theo mỗi đơn vị hàng

đều có chung lời giải theo công thức:

*

0

2AQq =

C (6.9)

trong đó C0 là chi phí dự trữ tính cho mỗi đơn vị hàng được dự trữ trong một đơn vị thời gian.

Chẳng hạn, chi phí dữ trữ bao gồm hai phần: Chi phí cố định cho mỗi đơn vị hàng và chi phí do ứ

đọng vốn tính theo giá hàng với hệ số là tỷ lệ lãi tiền gửi hay tiền vay.

Trường hợp chi phí dự trữ còn bao gồm một bộ phận phụ thuộc vào tổng nhu cầu Q thì công thức

trên không áp dụng được. Tuy vậy, trong các trường hợp cụ thể chúng ta có thể lợi dụng cách mô

hình hoá tương tự như trên để tìm lời giải cụ thể.

e) Thí dụ:

Thí dụ 6.1: Một công ty kinh doanh máy điện thoại di động tại một khu vực có tổng nhu cầu

200000chiếc/năm, việc tiêu thụ là đều đặn trong năm, thời gian nhập hàng không đáng kể. Công ty

`

0

N(q*,C)

N(q’*,C)

N

q* q*’ Smax q

PTITPTIT


182

nhập máy điện thoại từ một nguồn không hạn chế về số lượng. Chi phí cho mỗi lần đặt hang là

400$, giá bình quân một máy là 240$, hệ số chi phí bảo quản là 0,05. Thời gian từ lúc đặt hàng

đến khi có máy về kho là 2 tháng. Xác định các chỉ tiêu cơ bản trong dự trữ và tiêu thụ của công

ty?

Giải: Tóm tắt các dữ liệu của bài toán:

Tổng nhu cầu Q = 200000

Chi phí đặt hàng A = 400

Giá hàng C = 240

Hệ số chi phí dự trữ I = 0,05

Thời gian đặt hàng T0 = 0,164384 (năm) (tính theo ngày là 60).

Sử dụng các công thức trên ta có kết quả:

Lượng hàng đặt tối ưu mỗi lần là: q* = 3651,483

Tổng chi phí nhỏ nhất là: F(q*) = 48043817,8

Thời gian một chu kỳ là: t* = 0,0182

Số chu kỳ trong 1 năm : n* = 54,772

Điểm đặt hàng : B* = 13,359

Thí dụ 6.2: (Mô hình Baumol – Tobin và công thức căn bậc hai).

Giả sử một người có khoản tiền mặt V = 50000$ để chi tiêu trong một năm. Người đó có thể giữ

một lượng tiền mặt nhất định, phần còn lại đem mua trái khoán, tiền mặt có lợi tức bằng không,

còn trái khoán có lợi tức I = 0,01. Mỗi lần mua, bán trái khoán cần bỏ ra một khoản chi phí A =

20$. Hãy xác định lượng tiền mặt người đó giữ mỗi kỳ sao cho có lợi nhất, nếu việc chi tiêu là đều

đặn.

Giải :

Giả sử người đó chia một năm thành n kỳ giữ tiền mặt, mỗi kỳ lượng tiền mặt nhận từ bán trái

khoán là C. Như vậy chi phí cơ hội là IC/2, còn chi phí chi n lần giao dịch mua bán trái khoán là

nA hay AV/C. Bài toán trên dẫn đến bài toán dự trữ với hàm tổng chi phí là:

N(C) = AV/C + IC/2

Dễ dạng nhận được lời giải theo công thức của mô hình Wilson :

Ta có : 2AV

= 14142I

$

Với bài toán này người ta có thể tính toán lượng tiền phát hành cần thiết để đảm bảo cho quá

trình lưu thông tiền tệ với tổng lưu lượng của một của một quốc gia đã được dự báo.

6.2.2 Một số mô hình mở rộng từ mô hình Wilson

a) Bài toán chọn nguồn

Giả sử nhu cầu thường xuyên một loại hàng là Q đơn vị/năm. Có thể thoả mãn nhu cầu này từ

hai nguồn, nguồn I với chi phí đặt hàng A1, giá hàng về đến kho là C1 ; nguồn II với chi phí đặt

hàng A2 và giá hàng về đến kho C2. Chi phí dự trữ tính theo hiện vật là C0 cho mỗi đơn vị dự

trữ/năm. Xác định chiến lược dự trữ, tiêu thụ tối ưu trong điều kiện:

Không cần xem xét các yếu tố khác liên quan đến quá trình dự trữ, tiêu thụ.

PTITPTIT


183

Nguồn I là sản phẩm của chính cơ sở dự trữ, tiêu thụ với khả năng cung cấp S đơn vị/năm (S <

Q), nguồn II là nguồn mua ngoài. Nếu ngừng sản xuất thì toàn bộ thiệt hại phải chịu mỗi năm là

F0. Ngược lại nếu chỉ thoả mãn nhu cầu ở mức S thì thiệt hại ước tính là α(Q - S). Biết giá hàng

bán ra là p.

Thiết lập mô hình và lời giải

Trường hợp1: Giả sử chúng ta đưa ra chiến lược trên cơ sở phân chia nguồn thành hai phần S và

(Q - S) tương ứng với các nguồn I và II. Ta sẽ chứng tỏ ràng chiến lược tối ưu chỉ có thể là một

trong hai cách chọn S = Q hoặc S = 0, tức là mua hàng ở và chỉ ở một nguồn.

Thật vậy: Tổng chi phí nguồn I khi đảm bảo S đơn vị hàng là:

1 11 1 0 1

1

SA q SF (q ,S) = + C + C S

q 2 Q

Giá trị cực tiểu hàm chi phí là:

*1 1 1 01 1

SF (q ) = 2A QC + C S

Q

Tương tự, tổng chi phí từ nguồn II cực tiểu là:

*2 2 2 02 2

Q - SF (q ) = 2A QC + C (Q -S)

Q

trong đó C01 = C1I và C02 = C2I.

Tổng chi phí nhỏ nhất:

1 01 1 2 02 2

1 01 2 02 1 2

S Q - SF = 2A QC + C S + 2A QC + C (Q - S)

Q Q

F 1 = 2A QC 2A QC + (C - C )

S Q

Hàm tổng chi phí là một hàm đơn điệu theo S vì dấu của F

S

không phụ thuộc vào S.

Như vậy tổng chi phí sẽ cực tiểu tại một trong 2 điểm hoặc S = 0 nếu F’(S) > 0 hoặc S = Q nếu

F’(S) < 0.

Kết luận này cho phép phân chia nguồn nếu một nguồn hạn chế khối lượng cung.

Trong các bài toán thực tế chi phí dự trữ có thể được tính theo các cách khác nhau, lúc đó C0 có

thể thay thế bằng các đại lượng tương ứng. Các phân tích trên không phụ thuộc cách tính chi phí

dự trữ nên có thể áp dụng cho các bài toán với cách tính chi phí dự trữ theo mỗi đơn đặt hàng.

Thí dụ 6.3: Một cơ sở kinh doanh một loại hàng với nhu cầu 4500 đơn vị/năm. Việc tiêu thụ đều

đặn, hai nguồn hàng có thể là:

Nguồn I: Chi phí đặt hàng A1 = 2,5 triệu/lần, giá hàng C1 = 0,12 triệu/đơn vị.

Nguồn II: Chi phí đặt hàng A2 = 3 triệu/lần và giá hàng C2 = 0,11 triệu/đơn vị.

Chi phí dự trữ tính theo giá hàng với hệ số I = 0,05.

Để xác định nguồn mua và số lượng mua, trước tiên ta so sánh hai trị số:

1 1 01 1F (Q) = 2A QC + C Q và 2 2 02 2F (Q) = 2A QC + C Q

trong đó C01 = C1I và C02 = C2I.

PTITPTIT


184

Ta có:

F1(Q) = 551, 619; F2(Q) = 507,168

Vậy chọn nguồn II với lượng hàng đặt mỗi lần là q* = 2215,65 đơn vị.

Trường hợp 2: Với những kết quả phân tích ở trên chúng ta có thể thấy việc lựa chọn chiến lược

sản xuất, tiêu thụ dựa trên hàm tổng lợi nhuận (thô). Có thể xác định giá trị lớn nhất của tổng lợi

nhuận qua việc so sánh các giá trị sau:

- Lợi nhuận tối đa trong trường hợp mua ngoài:

2 0 2 02 2π (Q) = PQ - (F 2A QC + C Q) (6.10)

- Lợi nhuận tối đa khi tự cung cấp S và mua ngoài (Q - S):

12 1 01 1 2 02 2

S Q-Sπ (Q) = PQ - 2A QC + C S + 2A QC +C (Q-S)

Q Q

(6.11)

- Lợi nhuận tối đa khi chỉ thoả mãn nhu cầu bằng nguồn tự sản xuất:

1 1 01 1

Sπ (Q) = PS - 2A QC C S + α(Q-S)

Q

(6.12)

Việc thoả mãn nhu cầu là bắt buộc thì việc tìm lời giải của bài toán không xét đến (6.12) và giá

bán không có ý nghĩa trong quá trình giải bài toán.

b) Bài toán giá vốn

Chi phí dự trữ trong các công thức (6.10) – (6.12) có thể thay đổi theo từng tình huống cụ thể.

Hàm chi phí cũng thay đổi đặc biệt là khi chúng ta quan tâm đến vấn đề ứ đọng vốn hay giá vốn.

Giá vốn thường được xác định bằng lãi suất ngân hàng (lãi suất tiền gửi hoặc tiền vay).

Trước hết ta xét bài toán cổ điển Wilson. Trong khi thiết lập mô hình chúng ta đã bỏ qua giá vốn,

một yếu tố thường trực trong mọi bài toán kinh doanh. Giả sử giá vốn đo bằng lãi suất danh nghĩa

hàng năm là r không đổi. Hàm chi phí có xét đến giá vốn r có thể mô tả như sau:

0

Q q CqF(q) = Ar + A + C + r + CQ

q 2 2 (6.13)

Với C0 là chi phí dự trữ tính cho một đơn vị hàng trong thời gian T = (năm). Hàm chi phí trên giả

thiết rằng mọi chi phí được hoàn trả sau mỗi chu kỳ dự trữ - tiêu thụ vì vậy giá vốn r chỉ liên quan

đến tiền đặt hàng mỗi kỳ và lượng hàng dự trữ trung bình trong kho tại một kỳ. Cực tiểu hàm

(6.13) quy về tìm cực tiểu của hàm:

0

Q qD(q) = A + (C + rC)

q 2

Lời giải là: *

0

2AQq =

C + rC (6.14)

*0D(q ) = 2AQ(C + rC)

0F(q) = 2AQ(C + rC) + Ar + CQ (6.15)

Thí dụ 6.4 Một nhà máy sản xuất ống nhựa có tổng nhu cầu về hạt nhựa PE mỗi năm là 40000

tấn. Nhà máy có thể nhập hạt nhựa theo từng hợp đồng với giá 500 nghìn đồng/tấn, với chi phí

PTITPTIT


185

hoàn tất hợp đồng mỗi lần là 2 triệu đồng, chi phí bảo quản là 20 nghìn đồng cho mỗi tấn/năm.

Hãy lựa chọn phương án cung cấp hạt nhựa cho nhà máy nếu lãi suất vay ngân hàng là 3% năm

Giải:

Ta có A = 2000; Q = 40000; C0 = 20; r = 0,03; C = 500

Theo (6.14) ta có: *

0

2AQq =

C + rC= 2138,09 (tấn)

Tổng chi phí nhỏ nhất là:

0F(q) = 2AQ(C + rC) + Ar + CQ =

= [2x2000x40000x(20+0,03x500)]1/2+2000x0,03 + 500x40000 = 20074893(nghìn đồng)

c) Bài toán thuê kho:

Giả sử một hệ thống dự trữ (của một cơ sở) có dung lượng kho cố định q0. Mỗi đơn vị hàng ở

đầu chu kỳ dự trữ vượt quá q0 phát sinh một chi phí thuê kho với tỷ lệ k (k > 0). Với tất cả các dữ

kiện của mô hình Wilson ta có thể thiết lập hàm chi phí theo lượng hàng đặt mỗi lần như sau:

01

0 00

2

AQ ICqF + + CQ Khi q q

q 2F(q) =

AQ ICq q-q F = + + (I + k) C + CQ Khi q q

q 2 2

Giải bài toán này, cùng với lời giải thông thường ta cần trả lời hai vấn đề:

Có cần thuê kho hay không?

Nếu có thuê kho thì thuê như thế nào

Các bước giải:

Bước 1: Giải bài toán với hàm chi phí F1 trên miền q > 0. Nghiệm của bài toán là * 2AQq =

IC.

Nếu giá trị này không vượt quá q0 ta có lời giải của bài toán q*= *1q và không cần thuê kho.

Bước 2: Nếu lời giải của bước 1 là * 2AQq =

IC > q0, ta tìm cực trị của F2 trên miền q > 0

Điểm cực trị là: *2

2AQq =

(I + k)C.

Chú ý là *1q > *

2q vì vậy ta cần xem xét quan hệ của điểm cực trị này so với q0.

Hãy quan sát đồ thị sau :

Hình a) mô tả trường hợp *2q > q0, lời giải cuả bài toán là q* = *

2q , câu trả lời kèm theo là thuê

kho có dung tích v = *2q - q0.

Hình b) mô tả trường hợp *2q < q0 lời giải của bài toán là q* = q0, không cần thuê kho.

PTITPTIT


186

Hình 6.4

6.3 Mô hình dự trữ tiêu thụ đều

a) Mô tả bài toán:

Giả sử nhu cầu một loại hàng trong thời kỳ T (T = 1) là Q đơn vị. Việc tiêu thụ hàng là đều đặn

và thời gian bổ sung hàng vào kho được tiến hành với cường độ không đổi K đơn vị trong thời

gian T = 1. Ta giả thiết rằng K>>Q vì nếu K < Q thì không cần đặt vấn đề dự trữ. Chi phí cho mỗi

lần đặt hàng là A, giá đơn vị hàng là C, hệ số chi phí dự trữ là I, thời gian đặt hàng là T0. Hãy xác

định số lần đặt hàng và lượng hàng đặt mỗi lần sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất?

b) Thiết lập mô hình:

Tương tự như mô hình trên, ta có thể xem lượng hàng đặt mỗi lần bằng nhau và bằng q, số lần

đặt hàng là n = Q/q. Vì Q << K nên trong mỗi chu kỳ dự trữ, tiêu thụ t có hai khoảng thời gian: ts -

thời gian bổ sung hàng vào kho; tr - thời gian chỉ tiến hành tiêu thụ.

Nếu gọi lượng hàng tối đa trong kho là S, thì trong thời gian T = 1 nếu nhập hàng liên tục thì

lượng hàng dư là K - Q; trong thời gian ts lượng hàng dư là S, vậy:

S/ts = (K - Q)/T hay S = ts(K - Q).

Mặt khác trong thời gian ts lượng hàng nhập được là q, nên q/ts = K/T hay ts = q/K. Từ đó ta có:

S = q(K - Q)/K = q(1 - Q/K)

và có sơ đồ biểu thị lượng hàng dự trữ trong kho như sau:

Hàm tổng chi phí là:

CQ )K

Q - 1(

2

qIC

q

AQ F(q) (6.16)

(Mức dự trữ trung bình được tính bằng S/2 và S = q(1 - Q/K))

F1 F2

q0 q0

F1

F2

S = q(1 - Q/K)

Hình a Hình b

S

ts tr

t = ts + tr

T =1

Hình 6.5

PTITPTIT


187

Nếu đặt I' = I(1 - Q/K) ta có hàm chi phí của mô hình Wilson trong đó I thay bằng I' và dễ dàng

có lời giải tương tự.

c) Lời giải:

Lượng hàng đặt tối ưu mỗi lần:

)K

Q - (1IC

2AQ q* (6.17)

và:

)

K

Q - (12AQIC )D(q* (6.18)

CQ )K

Q - (12AQIC )F(q*

(6.19)

Số lần đặt hàng tối ưu: n* = Q/q*

Chu kỳ dự trữ - tiêu thụ: t* = 1/n*

Điểm đặt hàng trong trường hợp này cần phân biệt mức B* khi đang làm đầy kho và khi đang làm

vơi kho.

Trước tiên ta tính: B = Q[T0 - t*.int(T0/t

*)]

Nếu B ≤ S* = q*(1 - Q/K) thì B* = B: đặt hàng khi đang làm vơi kho.

Nếu B > S* thì B* = (K - Q)(t* - B/Q): đặt hàng khi đang làm đầy kho.

d) Phân tích lời giải.

Các phân tích trong mô hình Wilson hoàn toàn có thể sử dụng cho mô hình dự trữ tiêu thụ đều,

bổ sung dần dần. Một số bài toán mở rộng có thể ứng dụng được nếu ta có thể tiến hành được

phép thay thế hệ số I bởi I' như đã nói ở trên.

Sau đây ta chỉ xét những phân tích riêng có ở mô hình này.

+/ Xấp xỉ mô hình Wilson và hủy bỏ dự trữ.

Rõ ràng tỷ lệ Q/K là hoàn toàn xác định, vì vậy sự sai khác của lời giải trong mô hình này với

mô hình Wilson phụ thuộc vào giá trị Q/K. Nếu Q/K ≈ 0 thì thực chất mô hình trở thành mô hình

bổ sung tức thời. Ngược lại, khi Q/K ≈ 1 thì coi như không có dự trữ.

Mô hình dự trữ này phù hợp với quá trình tổ chức sản xuất - tiêu thụ hơn là quá trình kinh doanh

thương mại. Trong đó có thể xem K là năng lực sản xuất một mặt hàng chính, Q là nhu cầu, A là

chi phí chuẩn bị 1 đợt sản xuất, C là chi phí trực tiếp cho sản xuất một đơn vị hàng, T0 là thời gian

chuẩn bị sản xuất.

+/ Bài toán với khối lượng hàng không qua kho.

So với mô hình Wilson, tổng chi phí trong mô hình này nhỏ hơn, nguyên nhân là có một khối

lượng hàng có thể xem là không phải qua kho trong mỗi chu kỳ, do đó giảm được chi phí dự trữ.

Có thể xác định số lượng đó tại chiến lược tối ưu như sau:

r = (q* - S*) = q* - q*(1 - Q/K) = q*Q/K.

Với chu kỳ là Q/q* và với T = 1 tổng lượng hàng không qua kho là: R* = Q2/K.

R* cũng là một chỉ tiêu để đánh giá một khía cạnh của chiến lược dự trữ đang tồn tại. Trong thực

tế, R* không phụ thuộc vào các chi phí, nó chỉ phụ thuộc vào K và Q. Vì vậy, nếu doanh nghiệp

thực hiện một chiến lược dự trữ q, mà lượng hàng không qua kho lớn hơn R* thì nhu cầu lớn hơn

PTITPTIT


188

mức dự báo hoặc khả năng sản xuất giảm, ngược lại khi lượng hàng không qua kho nhỏ hơn R* thì

nhu cầu nhỏ hơn mức dự báo hay khả năng sản xuất tăng.

Có hai tình huống đơn giản là:

- Vấn đề dự báo và điều chỉnh tổng nhu cầu: Q

- Vấn đề đánh giá năng lực thực tế của đơn vị: K

● Tổng nhu cầu Q: Khi tiến hành lập kế hoạch tác nghiệp cho một thời kỳ T, chúng ta dựa trên

nhiều nguồn thông tin để xác định tổng nhu cầu Q cho một doanh nghiệp, một khu vực,...Không

thể và cũng không có đủ khả năng xác định chính xác Q. Chúng ta có thể căn cứ vào tình hình dự

trữ - tiêu thụ của một phần thời gian để hiệu chỉnh tham số này.

1. Giả sử trong thời gian T = 1 ta dự báo một nhu cầu Q đều đặn. Bằng năng lực cung cấp K, sau

thời gian αT ta xác định được lượng hàng không qua kho R1 (hoặc tương ứng là lượng hàng qua

kho R2 = αK - R1). Như vậy lượng hàng không qua kho R1 chính là lượng hàng thực tế tiêu thụ

trong thời gian αT = α.Nhu cầu thực tế sẽ là Q' = R1/α

2.Lời giải trong tình huống đơn giản nói trên có thể không thực tế, do doanh nghiệp luôn có một

chiến lược theo chu kỳ. Vì vậy chỉ sau một chu kỳ hay cả năm người ta mới có khả năng đánh giá

lại thị trường. Sau đây ta xét trường hợp thời gian sản xuất ban đầu làm cơ sở đánh giá là một chu

kỳ.

Trong một chu kỳ giả sử ta sản xuất lượng hàng q, nếu nhu cầu cả năm là Q lượng hàng qua kho

là S = q(1 - Q/K). Giả sử lượng hàng qua kho thực tế là S' khác S và thời gian sản xuất của chu kỳ

này là 0st , như vậy ta có thể thay q = 0

st K. Nhu cầu thực tế Q' nhận được từ phương trình S' =

0st K(1 - Q'/K).

Nghiệm phương trình này là: Q' = K - S'/ 0st .

3. Trường hợp đơn giản nhất, cơ sở đánh giá là 1 năm sản xuất và tiêu thụ. Như đã nói ở trên

lượng hàng không qua kho lý thuyết là K

Q R

2* , nếu lượng hàng không qua kho thực tế là R'

khác R* ta có thể xác định lại Q' nhờ công thức sau: KS Q ''

● Khả năng sản xuất: Hoàn toàn như trên, bài toán đánh giá lại khả năng sản xuất cũng có thể

phân chia thành 3 trường hợp tương tự. Tuy nhiên, cần chú ý rằng đánh giá lại khă năng cung cấp

thường chỉ có ý nghĩa khi bản thân doanh nghiệp không tự sản xuất, hàng hóa nhận được từ một

hay một số nguồn cung khác. Về mặt kỹ thuật cũng như tính toán cụ thể không có gì khó khăn.

e) Thí dụ

Thí dụ 6.5: Một doanh nghiệp sản xuất cáp viễn thông có công suất 2 triệu tấn/ năm, nhu cầu tiêu

thụ là 1,4 triệu tấn/năm. Chi phí cho một lần chuẩn bị sản xuất là 400$, chi phí sản xuất một tấn

cáp là 140$. Chi phí bảo quản có hệ số 0,01. Thời gian chuẩn bị một đợt sản xuất là 45 ngày.

- Hãy phân chia nhu cầu trên thành các đợt sản xuất sao cho tổng chi phí nhỏ nhất.

- Nếu mỗi lần sản xuất 6000 tấn thì chi phí cho mỗi tấn là 138$, có nên sản xuất theo quy mô này

hay không?

Giải: Tóm tắt dữ liệu:

PTITPTIT


189

Tổng công suất K = 2000000tấn/năm

Tổng nhu cầu Q = 1400000tấn/năm


Gía hàng C = 140

Hệ số chi phí dự trữ = 0,01

Thời gian đặt hàng T0 = 45 ngày = 0,123288 năm

Lời giải:

Lượng hàng sản xuất mỗi lần là: q* = 51639,77795tấn

Lượng hàng tồn cực đại trong kho là: S* = 15491, 93338 tấn

Tổng chi phí sản xuất nhỏ nhất là: F(q*) = 196021688,7$

Thời gian một chu kỳ sản xuất t* = 0,036885556 năm = 13,5 ngày

Số chu kỳ trong một năm là n* = 27,11

Điểm bắt đầu chu kỳ sản xuất tiếp theo là B* = 2191,47249

Ta có B = Q[T0 - t*.int(T0/t

*)] = 25262,664 > S*, sản xuất chu kỳ tiếp theo khi hàng tồn đầy kho.

Nếu mối lần sản xuất 6000tấn thì tổng chi phí sẽ là:

F(6000) = 400x1400000/6000 + 6000(1 - 1400000/2000000)x130x0,01/2 + 1400000x138 =

179294503,3$

Ta thất F(6000) < F(q*) vậy nên chọn lô hàng sản xuất mỗi lần là 6000tấn.

Thí dụ 6.6: Một doanh nghiệp cung cấp cáp quang dự báo trên địa bàn mình tiêu thụ mỗi năm là

30000 m. Khả năng cung cấp thực tế của doanh nghiệp là 45000 m/năm. Chi phí cho 1 lần chuẩn

bị nhập hàng là 2 triệu đồng, chi phí sản xuất tính trực tiếp cho mỗi mét cáp là 200 ngàn đồng. Chi

phí bảo quản bằng 15% chi phí sản xuất trực tiếp. Thời gian chuẩn bị một đợt cung ứng là 3 tháng.

- Hãy xác định số lượng cáp cần nhập mỗi lần sao cho tổng chi phí nhỏ nhất. Xác định điểm

(lượng cáp còn dự trữ) chuẩn bị nhập hàng?

- Giả sử với phương án xác định ở câu trên, tiến hành dự trữ tiêu thụ một chu kỳ doanh nghiệp

nhận thấy lượng cáp dự trữ là 1000 m. Hãy xác định lại tổng nhu cầu và phương án cung cấp tiếp

theo?

- Nếu năm sau tình hình không có gì thay đổi so với năm hiện tại thì chiến lược dự trữ tiêu thụ

như thế nào?

Giải

- Tóm tắt dự kiện của bài toán:

Tổng công suất K = 45000


Chi phí đặt hàng A = 2,00


Đơn giá trực tiếp = 0,2

Thời gian đặt hàng T0 = 0.2466 (bằng 90 ngày)

Lời giải:

Lượng hàng tối ưu mỗi lần cần nhập: q* = 3464,1

Lượng hàng tối đa trong kho S* = 1154,7

PTITPTIT


190

Tổng chi phí nhỏ nhất F(q*) = 6034,641

Thời gian một chu kỳ t* = 0,1155

Số lần đặt hàng n* = 8,66

Điểm đặt hàng B* = 1311,05

Ta có: B = Q[T0 - t*.int(T0/t

*)] = 2465,753 > S*, đặt hàng khi đang làm đầy kho.

- Giả sử doanh nghiệp tiến hành dự trữ tiêu thụ trong một chu kỳ theo kết quả câu trên, lượng hàng

qua kho là 1000m. Ta thấy lượng hàng qua kho nhỏ hơn S* tức là khả năng tiêu thụ lớn hơn hay

tổng nhu cầu cao hơn.

Xác định lại tổng nhu cầu Q:

Thời gian nhập hàng trong một chu kỳ: ts = 0,07689

Tổng nhu cầu dự báo lại: Q' = K - S'/ts = 32009,6m

Phương án cho thời gian còn lại trong năm: Do thời gian dự trữ và tiêu thụ của chu kỳ đầu không

có khả năng hiệu chỉnh nên ta không xét đến việc bổ sung nhu cầu cho chu kỳ này. Tổng nhu cầu

của thời kỳ còn lại có thể tính như sau;

Q = Q'(1 - 0,1155) = 28312

Tổng công suất còn lại là K = K(1 - 0,1155) = 39802. Thời gian còn lại là: T = 0,8845.

Để đơn giản cho việc tính toán, ta xem một đơn vị thời gian là 0,8845. Hiệu chỉnh hệ số chi phí

dự trữ theo công thức I' = I × 0,8845 = 0,132675.

Lời giải nghận được từ MH4 như sau:

Tổng công suẩt K = 39802



Hệ số chi phí dự trữ I' = 0,133

Đơn giá trực tiếp = 0,2

Thời gian đặt hàng T0 = 0,2466

Kết quả với MH4 như sau;

q* = 3844,95

S* = 1109,99

F(q*) = 6435,1

t* = 0,1201

n* = 8,32

B* = 1520,88

Ta có B = 2630,877 > S* đạt hàng khi đang làm đầy kho.

6.4 Mô hình dự trữ trong trường hợp giá hàng thay đổi theo số lượng đặt mua mỗi lần

(Mô hình dự trữ nhiều mức giá).

a) Mô tả bài toán: Nhu cầu một loại hàng trong thời gian T = 1 là Q đơn vị. Chi phí cho mỗi lần

đặt hàng là A, hệ số chi phí dự trữ là I, giá hàng thay đổi theo số lượng mua mỗi lần như sau:

nếu q < s1 giá c1

s1 ≤ q < s2 giá c2

s2 ≤ q < s3 giá c3

PTITPTIT


191

....................................

sk-1 ≤ q < sk giá ck

....................................

sn-1 ≤ q giá cn

trong đó s1 < s2 <......< sn-1.

Ta gọi si (i = 1, 2, ....., n) là các mốc thay đổi giá.

b) Thiết lập mô hình

Để đơn giản cho việc tìm lời giải ta giả thiết thời gian bổ sung hàng không đáng kể (bổ sung tức

thời).

Đặt:

Qii C 2

qIC

q

AQ (q)F

Đây chính là hàm tổng chi phí nếu mua hàng với giá Ci.

Ta có:

,s q khi (q)F

s ,s q khi (q)F

......................................

s,s q khi (q)F

)s (0, q khi (q)F

(q)F

1-nn

1-n2-n1-n

212

11

i

c) Lời giải

Theo giả thiết ta có: F1(q) > F2(q) >....> Fn(q). với mọi giá trị q > 0.

Gọi *iq là điểm cực tiểu của hàm Fi(q), ta có:

i

*i

IC

2AQ q

do Ci giảm nên ta luôn có *iq > *

1-iq

Mặt khác Fi(*iq ) = CiQ + 2AQ/ *

iq < Fi-1(*

1-iq ) = Ci-1Q + 2AQ/ *1-iq

Có thể mô tả trên đồ thị như sau (trường hợp 3 mức giá):

`

`

Hình 6.6

F

F1(q) F2(q)

F3(q)

*1q 1S *

2q *3q 2S q

PTITPTIT


192

Với các đặc điểm trên ta có thể mô tả thuật toán tìm giá trị tối ưu q* như sau:

+/ Trường hợp hai mức giá:

Tính 2

*2

IC

2AQ q

- Nếu *2q ≥ s1 thì lượng hàng đặt tối ưu q* = *

2q .

Có thể mô tả trường hợp này trên đồ thị như sau:

`

Hình 6.7

- Nếu *2q < s1 tính QC

2

sIC

s

AQ )s(F 2

12

1

12 . Đây là giá trị nhỏ nhất của hàm tổng chi phí với

q ≥ s1.

Tính: 1

*1

IC

2AQ q ; QC AQIC2 )q(F 11

*1 1

Có 3 trường hợp có thể xảy ra như sau:

nếu F2(s1) < F1(*iq ): thì q* = s1

nếu F2(s1) > F1(*iq ): thì q* = *

iq

nếu F2(s1) = F1(*iq ): thì q* = *

iq hoặc q* = s1.(hai điểm cực tiểu)

Có thể mô tả các trường hợp này trên đồ thị như sau:

Trường hợp 1: F2(s1) < F1(*iq ); q* = s1

s1 q2 q

F2

F1

F

F1

F2

F1(*1q )

F2(s1)

*1q

*2q s1 q

F

Hình 6.8

PTITPTIT


193

Trường hợp 2: F2(s1) > F1(*iq ); q* = *

iq

Hình 6.9

Trường hợp 3: q* = s1 = *1q

Hình 6.10

+/ Trường hợp tổng quát (n mức giá)

Thuật toán: Thực tế có thể sử dụng một số thuật toán khác nhau để giải bài toán trong trường

hợp có nhiều mức giá. Dưới đay là một thuật toán có thể sử dụng tiện lợi cho việc tính toán thủ

công, theo từng bước tính. Xét từ hàm Fn(q) để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm F(q) trong khoảng [sn-

1, +∞), nếu giá trị đó đạt tại điểm cực trị thì ta nhận được giá trị q* = *nq là giá trị tại đó F(q) nhỏ

nhất toàn bộ (với q < +∞); ngựơc lại lấy giá trị Fn(sn-1) làm giá trị nhỏ nhất địa phương.

Xét khoảng [sn-2, sn-1) để tìm giá trị nhỏ nhất của F(q) biểu hiện bởi giá trị nhỏ nhất của hàm Fn-

1(q) trong khoảng này; so sánh với giá trị nhỏ nhất trong khoảng trước,...

Như vậy tìm được q* khi nhận được giá trị đầu tiên: q*[si-1, si)

Cụ thể là:

- Tính *nq :

Nếu *nq ≥ sn-1 thì q* = *

nq giá trị nhỏ nhất của F(q) là F( *nq ).

Nếu *nq < sn-1 thì tính Fn(sn-1) và

F

q *1q

*2q s1

F2(S1)

F1

F2

F1(*1q )

F1 F2

F

q *1q

*2q s1

F1(*1q )

PTITPTIT


194

- Tính *1-nq

Nếu *1-nq ≥ sn-2 thì tính Fn-1(

*1-nq ) và so sánh giá trị này với Fn(sn-1), giá trị nhỏ nhất tương ứng

cho biết lượng q* tối ưu.

Nếu *1-nq < sn-2, tính Fn-1(sn-2) và

- Tính *2-nq

Nếu *2-nq ≥ sn-3 thì tính Fn-2(

*2-nq ) và so sánh giá trị này với Fn-1(sn-2) và Fn(sn-1), giá trị nhỏ nhất

tương ứng cho biết lượng q* tối ưu.

Nếu *2-nq < sn-3, tính Fn-2(sn-3)....

Tiếp tục thuật toán này cho đến khi nhận được q*[si-1, si) và tìm được lượng đặt hàng tối ưu q*.

Cũng có thể thực hiện thuật toán trên một cách máy móc nhưng đơn giản hơn khi số mức giá

quá nhiều như sau:

Tính các giá trị *kq với k = n, n - 1, n - 2,....cho đến khi nhận được *

iq thỏa mãn điều kiện q*[si-

1, si).

Tính {Fk(sk-1) với s > i} và Fi(*iq ).

Tìm Min{Fk(sk-1) với s > i; Fi(*iq )}.

Điểm đạt giá trị nhỏ nhất chính là điểm cực tiểu của hàm F(q).

Dễ dàng tập hợp các thông tin cần thiết cho việc tìm lời giải trên một bảng có dạng:

K *kq sk-1 Min(q)

N

n-1

n-2

.... ...... .... ....

d) Thí dụ:

Thí dụ 6.7 Một công ty kinh doanh máy điện thoại di động, tổng lượng hàng có khả năng tiêu thụ

là 10000máy/năm. Chi phí cho một lần đặt mua là 20$, hệ số chi phí bảo quản là 10%, cường độ

bán ra đều đặn.. Thời gian nhập kho không đáng kể. Nếu mỗi lần đặt mua từ 2000 máy trở lên thì

giá mỗi máy là 120$, ngược lại giá mỗi máy là 120,5$. Xác định số lượng máy mua mỗi lần sao

cho tổng chi phí nhỏ nhất; tính thời gian một chu kỳ dự trữ và tiêu thụ, tính điểm đặt hàng tương

ứng nếu thời gian đặt hàng là 90 ngày.

Giải:

Đây là bài toán có thể mô hình hóa dưới dạng bài toán dự trữ 2 mức giá, với các dự liệu sau đây:

sk-1 Giá Ck

Tổng nhu cầu Q = 10000 2000 120

Chi phí đặt hàng A = 20 0 120,5



Thực hiện thuật toán:

PTITPTIT


195

Tính *2q = 182,5742

Vì *2q nhỏ hơn mức s1, ta tính F*(s1) = 1212100

Tính *1q = 182,195.

F*( *1q ) = 1207195

Ta thấy F*(s1) > F*( *1q ). Vậy đặt hàng mỗi lần là q* = *

1q = 182,195

Tổng chi phí nhỏ nhất: F*(q) = 1207195.

Thời gian một chu kỳ: t* = 0,01822.

Sô lần đặt hàng trong năm: n* = 54,88625.

Điểm đặt hàng: B* = 97,21833.

Thí dụ 6.8 Một cửa hàng kinh doanh mặt hàng A, tổng nhu cầu trong khu vực là 4000 đơn

vị/năm. Cường độ tiêu thụ đều và thời gian nhập hàng vào kho không đáng kể. Chi phí mỗi lần

làm hợp đồng là 200$, hệ số chi phí dự trữ là 0,05, thời gian đặt hàng 120 ngày. Nếu mỗi lô hàng

mua từ 1000 đơn vị trở lên thì giá một đơn vị hàng là 56$, ngược lại giá là 57$. Xác định cỡ lô

hàng đặt mỗi lần tối ưu, thời gian 1 chu kỳ và điểm đặt hàng?

Giải:

Đây là bài toán có thể mô hình hóa dưới dạng bài toán dự trữ hai mức giá, với các dữ liệu như

sau:

sk-1 Giá Ck

Tổng nhu cầu Q = 4000 1000 56

Chi phí đặt hàng A = 200 0 57



Thực hiện thuật toán:

Tính *2q = 755,9289

Vì *2q nhỏ hơn mức s1, ta tính F*(s1) = 2262200

Tính *1q = 749,2686.

F*( *1q ) = 230135,4

Ta thấy F*(s1) < F*( *1q ). Vậy đặt hàng mỗi lần là q* = s1 = 1000

Tổng chi phí nhỏ nhất: F*(q) = 226200.

Thời gian một chu kỳ: t* = 0,25.

Sô lần đặt hàng trong năm: n* = 4.

Điểm đặt hàng: B* = 315,0685

6.5 Bài toán dự trữ nhiều loại hàng và bài toán với các điều kiện ràng buộc.

a) Bài toán dự trữ một loại hàng có ràng buộc

Đơn giản cho quá trình mô tả ta xét mô hình Wilson với ràng buộc về quy mô kho.

PTITPTIT


196

Chúng ta biết rằng với mô hình Wilson, quy mô kho coi như tùy chọn. Thực tế điều đó có thể

không đúng, giả sử quy mô kho của doanh nghiệp dự trữ chỉ ở mức q0. Bài toán lập từ mô hình

Wilson có thể phát biểu như sau:

Tìm q làm cực tiểu hàm: 2

ICq

q

AQ D(q)

với điều kiện: 0 ≤ q ≤ q0.

+/ Nếu q0 ≥ q* = IC

2AQthì lời giải bài toán không bị ảnh hưởng bởi ràng buộc về quy mô kho.

+/ Nếu q0 < q* = IC

2AQ

Có hai tình huống xảy ra:

- Chấp nhận thỏa mãn nhu cầu, lời giải là: q* = q0. Tổng chi phí là:

*

0

*

2000

q

qCQ

2q

)(qIC

IC

2AQ

AQ qF

- Đảm bảo thỏa mãn nhu cầu Q với các thông tin bổ sung cần thiết.

Một trong các tình huống thông thường đã được trình bày trong bài toán thuê kho ở mô hình

Wilson. Như vậy ta phải có hệ số chi phí dự trữ thuê ngoài phụ thêm (k) như đã được trình bày.

b) Bài toán dự trữ nhiều loại hàng có ràng buộc.

Trong điều kiện không có một ràng buộc nào trong quá trình dự trữ, tiêu thụ thì bài toán dự trữ

nhiều loại hàng có thể phân chia thành các bài toán độc lập. Vì lý do đó chúng ta chỉ xét bài toán

dự trữ nhiều loại hàng, có ràng buộc.

+/ Mô tả bài toán:

Giả sử cần dự trữ m loại hàng với nhu cầu thường xuyên trong mỗi đơn vị thời gian là Qi đơn

vị (i = 1, 2, ..., m). Chi phí cho mỗi lần đặt hàng loại i là Ai, giá mỗi đơn vị hàng loại i là Ci, hệ số

chi phí dự trữ hàng loại i là Ii, hệ số dung tích kho của đơn vị hàng i là fi. Các giả thiết về tiêu thụ

và cung cấp như mô hình Wilson. Hãy xác định chiến lược dữ trữ, tiêu thụ tốt nhất, trong các

trường hợp:

- Cơ sở dự trữ có một dung tích kho f0 cho m loại hàng.

- Khả năng vốn cho mỗi chu kỳ dự trữ, tiêu thụ hạn chế là C0.

- Thời gian dự trữ tối đa mỗi loại hàng i là ti.

+/ Thiết lập mô hình và lời giải.

Các tình huống nêu trên dẫn đến các ràng buộc của bài toán. Ta chỉ xét một vài tình huống với

mục đích tìm kiếm cách thiết lập mô hình và lời giải. Về mặt lý thuyết các bài toán như trên luôn

dẫn đến bài toán tối ưu phi tuyến, ta có thể nhận được lời giải nhờ các thuật toán của quy hoạch

phi tuyến. Trong giới hạn nhất định về mặt công cụ, ta chỉ đưa ra lời giải với những điều kiện có

thể. Mặc dù các lời giải nêu dưới đây có thể không tổng quát nhưng vẫn có ý nghĩa thực tiễn nhất

định.

Bài toán với ràng buộc dung tích kho:

PTITPTIT


197

Hoàn toàn tương tự mô hình Wilson ta có thể thiết lập bài toán như sau:

Tìm q = (q1, q2,....,qm), n = (n1, n2,...., nm) không âm, cực tiểu hàm:

m1, i Q qn ;f qf

2

qCI An n)F(q,

iii0

m

1iii

m

1i

iiiii

(6.20)

Bài toán (6.20) là một bài toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc tuyến tính. Bài toán này luôn

có lời giải vì F(q) là một hàm lồi trên miền q > 0, với miền ràng buộc lồi đóng và bị chặn.

Lời giải của bài toán là:

Bước 1: Giải bài toán (6.20) bỏ qua ràng buộc 0

m

1iii f qf

, ta nhận được lời giải như sau:

i

ii*i

CI

Q2A q (i = 1, 2,..., m) (6.21)

Nếu 0

m

1i

*i f qf

i

, ta nhận được lời giải của bài toán (6.20). Đây cũng là lời giải của bài toán dự trữ

nhiều loại hàng không có ràng buộc.

Nếu 0

m

1i

*i f qf

i

, ta có thể chọn một trong hai cách giải ở bước 2.

Bước 2:

- Trường hợp thỏa mãn nhu cầu với chi phụ thêm cho việc thuê kho. Bài toán quy về bài toán

sau:

Tìm q = (q1, q2,....,qm) không âm, cực tiểu hàm:

0

m

1iii

m

1i

iiii

i

i

f qf

2

qCI A

q

Q F(q)

(6.22)

Đây là bài toán cực trị vướng, hàm Lagrange tương ứng là:

0

m

1iii

m

1i

iiii

i

i f qfλ 2

qCI A

q

Q λ)L(q,

Lời giải của bài toán nói chung không biểu diễn giải tích. Từ điều kiện cần của cực trị hàm

Lagrange dẫn đến một phương trình phi tuyến đối với λ.

Tuy nhiên hãy chú ý đến ý nghĩa của nhân tử λ , dễ nhận thấy: λ- F

L

0

. Như vậy λ chính là chi

phí biên theo quy mô kho, cách lựa chọn hợp lý và đơn giản hơn cả là xác định thiệt hại khi phải

thuê thêm một đơn vị dung tích kho λ = λ*.

Lợi dụng hàm Lagrange ta xác định lời giải của bài toán nhờ công thức sau:

PTITPTIT


198

i

*ii

ii*i

f2λ CI

Q2A q

(i = 1, 2, ..., m) (6.23)

- Trường hợp chấp nhận không thỏa mãn nhu cầu, bài toán chỉ có lời giải có ý nghĩa khi bổ sung

thông tin về thiệt hại do không thỏa mãn nhu cầu của từng loại hàng. Bài toán trở nên phức tạp

hơn nhiều, chúng ta chỉ có thể nhận được lời giải nhờ các thuật toán của quy hoạch phi tuyến.

Chú ý: Về mặt lý thuyết ràng buộc về dung tích kho là quá chặt vì trừ thời điểm bắt đầu dự trữ,

tiêu thụ (khi tất cả m loại hàng nhập kho), các thời điểm khác tổng lượng hàng lưu kho tối đa

không phải là

m

1i

*iiqf . Hơn nữa với các loại hàng tiêu thụ thông thường và đều đặn thì thực tế

không có điểm bắt đầu. Tuy vậy khi thời gian tăng vô hạn (đủ lớn) lượng hàng tối đa trong kho

xấp xỉ mức nói trên. Điều này cho phép sử dụng ràng buộc dung tích kho để tính toán như đã trình

bày.

6.6 Một số mô hình dự trữ với yếu tố ngẫu nhiên.

Các bài toán điều khiển dự trữ dẫn đến mô hình trong đó có những yếu tố ngẫu nhiên rất phổ

biến. Việc nghiên cứu chúng có thể được đề cập dưới những góc độ khác nhau, tùy thuộc mục

đích nghiên cứu và công cụ có thể sử dụng. Dưới đây ta chỉ nghiên cứu một số bài toán điều

khiển dự trữ đề cập đén tính ngẫu nhiên của một yéu tố, hơn nữa các yéu tố ngẫu nhiên cũng được

xem như đã biết quy luật phân phối xác suất của nó. Như vậy, các nghiên cứu dù rất cụ thể cũng

chủ yếu mang tính phương pháp, nhờ đó ta có thể nghiên cứu những bài toán tương tự.

6.6.1 Mô hình dự trữ một giai đoạn

a) Mô hình dự trữ một giai đoạn

Nhu cầu một loại hàng trong thời kỳ T là một biến ngẫu nhiên Q tuân theo quy luật phân phối

xác suất F(q), với trung bình và phương sai hữu hạn. Người kinh doanh có thể mua với giá C0 và

bán với giá C1 (C1 > C0), việc không thỏa mãn nhu cầu dẫn đến tổn thất là CZ đối với một đơn vị

hàng thiếu, số hàng thừa sẽ phải bán với giá Cs (Cs < C0). Hãy xác định lượng mua S với lợi nhuận

kỳ vọng lớn nhất trong thời gian T?


+/ Trường hợp Q là biến ngẫu nhiên rời rạc:

Nếu gọi S là lượng hàng cần mua thì lượng hàng tiêu thụ được trong thời gian T là min(S, Q),

như vậy lợi nhuận trung bình (với Q rời rạc) có thể tính như sau:

Với lượng mua S, nếu nhu cầu Q ≤ S thì xuất hiện lượng hàng thừa, vì Q ngẫu nhiên nên lượng

hàng thừa (S - Q) cũng là biến ngẫu nhiên. Xác suất có lượng hàng thừa (S - Q) rõ ràng là xác suất

để nhu cầu bằng Q: P(Q).

Từ đó ta có thể tính được lợi nhuận trung bình với điều kiện nhu cầu Q ≤ S là:

D1(S) = ∑(C1Q - C0S + Cs(S - Q))P(Q) (6.24)

Ngược lại khi Q > S, xuất hiện tình trạng thiếu hàng và gây nên tổn thất do thiếu hàng. Xác suất

có lượng hàng thiếu (Q - S) cũng tính tương tự như trên: P(Q). Vậy lợi nhuận trung bình với điều

kiện nhu cầu Q > S là: D2(S) = ∑(C1Q - C0S + CZ(Q - S))P(Q) (6.25)

PTITPTIT


199

Ta có hàm tổng lợi nhuận trung bình D(S) = D1(S) + D2(S). Vấn đề còn lại là phải xác định

lượng mua S sao cho tổng lợi nhuận trung bình lớn nhất.

Ký hiệu P(Q = S) là xác suất (Q = S) bà P(Q < S) là xác suất (Q < S), ta có thể tính được các biểu

thức sau:

D(S + 1) - D(S) = C1 - C0 + CZ - (C1 + CZ - Cs)P(Q < S + 1) (6.26)

D(S) - D(S - 1) = C1 - C0 + CZ - (C1 + CZ - Cs)P(Q < S) (6.27)

Điểm S* tối ưu phải thỏa mãn điều kiện:

D(S* + 1) - D(S*) ≤ 0 và D(S*) - D(S* - 1) ≥ 0 (6.28)

tức là: sZ1

Z01*

C C C

C C - C )S P(Q

≤ P(Q < S* + 1) (6.29)

Đặt sZ1

Z01

C - C

C C - C

C , ta thấy khi C0 > Cs và C1 > C0 thì 0 < α < 1.

Như vậy S* chính là phân vị mức α của phân phối F(q). Có thể minh họa kết quả như sau:

Hình 6.11

Trong trường hợp α = P(Q < S* + 1) ta có hai lời giải S* và S* + 1. Tuy nhiên, trong thực tế ta có

thể không quan tâm nhiều đến khả năng này vì hai lý do: thứ nhất là hai giá trị gần bằng nhau và

S* luôn luôn là nghiệm; thứ hai là hàm lợi nhuận được tính như giá trị trung bình của một phân

phối xác suất.

Thí dụ 6.9: Số thẻ điện thoại di động bán tại một cửa hàng là một đại lượng ngẫu nhiên tuân

theo quy luật Poisson với trung bình là 200 thẻ/ngày. Xác định số lượng thẻ cần nhập vào của cửa

hàng trong một ngày để đảm bảo lợi nhuận trung bình trong ngày lớn nhất. Biết rằng giá mua

buôn một thẻ là 150000VNĐ, giá bán lẻ là 180000VNĐ. Cửa hàng ước tính thiệt hại khi không

thỏa mãn nhu cầu (vì mất khách) là 15000VNĐ/thẻ, ngược lại mỗi thẻ không bán được phải bảo

quản và phải bán với giá 130000VNĐ.

Giải:

Bài toán trên có thể mô tả dưới dạng bài toán dự trữ một giai đoạn với các tham số sau: C1 =

180000; C0 = 150000; CS = 130000; CZ = 15000; Ta có α = 0,6923. Tra bảng phân phối Poisson

với trung bình 20 ta có: Q* = 22.

α

0 S* S*+1 Q

F(q)

PTITPTIT


200

+/ Trường hợp Q liên tục:

Trong trường hợp phân phối của Q liên tục ta có thể làm tương tự và điểm S* xác định sao

cho: F(S*) = α, trong đó F(q) là hàm phân phối xác suất của nh cầu Q. Nếu biết hàm mật độ xác

suất của Q là f(q) thì xác định S* nhờ công thức:

α f(q)dq

*S

o

(6.30)

Như vậy S* là phân vị mức α của Q.

Thật vậy, ta có: f(q)dqq) - (SC SC - qC (S)D

*S

o

S011 (6.31)

và f(q)dqS) - (qC SC - SC (S)DS

S012

(6.32)

Từ đó:

D(S) = (C1 - C0 + CZ)S - SF(S)(C1 - CS + CZ) + (C1 - CS + CZ) S

o

qf(q)dq + CZF(Q). (6.33)

Lấy đạo hàm hàm D(S) và cho D'(S) = 0 ta có kết quả như trên.

Thí dụ 6.10 : Nhu cầu về cáp quang trong năm của một khu vực do công ty A cung cấp là một đại

lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình ước lượng là E(Q) = 12000tấn, độ lệch tiêu

chuẩn được ước lượng là 40 tấn. Giá mua vào là 120$/tấn, giá bán lẻ thông thường là 140$. Việc

cung cấp thiếu mỗi tấn so với nhu cầu sẽ làm tổn thất 30$, lượng tồn kho cuối kỳ chuyển sang kỳ

sau với giá bán 115$/tấn.

a. Xác định lượng hàng mua sao cho lợi nhuận trung bình cao nhất?

b. Giải bài toán trong trường hợp tình hình hàng năm được mô tả như trên, theo số lượng tính

toán ở câu a, biết chi phí dự trữ tính theo giá mua với hệ số 0,05, chi phí đặt hàng mỗi lần là 120$.

Giải:

a. Theo các dự liệu trên ta có: C1 = 140, C0 = 120, CS = 115; CZ = 30. Ta có α = 0,9.

Cần tìm S* sao cho Ф[(S* - 12000)/40] = 0,9. Tra bảng phân phối chuẩn ta có U0,9 = 1,28. Vậy:

S* = 1,28 × 40 + 12000 = 12051,2 (tấn)

b. Với Q* = S* = 12051 ta giải bài toán Wilson và nhận được kết quả sau:

Lượng hàng đặt tối ưu mỗi lần: q* = 694,29

Tổng chi phí dự trữ: F(q*) = 120× 0,05×694,29 = 4165,74

Như vậy thực tế giá tính đủ cho mỗi tấn là:

C02 = 120 + 4165,74/Q* = 120,346

Trở lại tính α = 0,9008 ta thấy giá trị này không sai khác đáng kể so với giá trị ban đầu, vậy có

thể chọn tổng lượng Q* = 12048 và q* = 694,29.

Chú ý:

- Trường hợp đơn giản là CS = 0 tức là lượng hàng thừa phải hủy (chẳng hạn các loại vacxin, thực

phẩm tươi sống, rau quả,...)

PTITPTIT


201

Ta có α = 1 - C0/(C1 + CZ) như vậy tỷ lệ C0/(C1 + CZ) chính là xác suất của biến cố (Q > S*), tỷ lệ

này cho biết khả năng thiếu hàng tại phương án tối ưu, tỷ lệ này tăng nếu như giá mua vào so với

giá bán ra chênh lệch nhỏ, đồng thời thiệt hại do không thỏa mãn nhu cầu không quá lớn.

- Như trên đã trình bày, Q được xem là biến ngẫu nhiên, vì vậy sau khi xác định Q* = S* ta cần

giải bài toán tìm chiến lược đặt hàng cho mỗi thời kỳ. Trong trường hợp này giá hàng ứng với mô

hình Wilson phải bao gồm giá mua, chi phí dự trữ, chi phí tổn thất tính cho một đơn vị hàng bị

thiếu hụt tại chiến lược dự trữ tối ưu.

Việc phân bài toán thành hai bước giải như vậy chắc chắn không cho ta phương án tối ưu toàn bộ,

vì vậy có thể sử dụng thuật toán lặp nhiều vòng để nhận được lời giải gần đúng.

6.6.2 Mô hình dự trữ có bảo hiểm.

Khi xét bài toán dự trữ đơn giản, ta giả thiết rằng thời gian đặt hàng cố định là T0 từ đó xác

định được điểm đặt hàng B*. Như vậy, hàng trong kho vừa hết là có hàng bổ sung ngay. Tuy

nhiên, trong thực tế, thời gian đặt hàng có thể là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối xác

suất nào đó. Trong trường hợp đó dù cho việc tiêu thụ là đều đặn thì lượng hàng tiêu thụ trong

khoảng thời gian đặt hàng cũng trở thành một biến ngẫu nhiên. Điều đó có thể dẫn đến tình trạng

thiếu hàng trong thời gian đặt hàng và có thể gây ra những thiệt hại nhất định cho hoạt động kinh

doanh. Trong nhiều trường hợp hậu quả của việc thiếu hàng là rất lớn, chẳng ạn: khi xét việc dự

trữ thuốc phòng dịch, dự trữ cho quá trình sản xuất liên tục,...Trong tình huống này cần xác định

một lượng dự trữ, nhằm đảm bảo quá trình hoạt động kinh tế xã hội có liên quan không bị gián

đoạn với một xác suất cho phép (mức tin cậy, độ an toàn). Lượng dự trữ đó gọi là lượng dự trữ

bảo hiểm.

a) Mô tả bài toán.

Giả sử trong thời kỳ T = 1, tổng nhu cầu về một mặt hàng là Q đơn vị. Chi phí mỗi lần đặt hàng

là A, giá hàng là C, hệ số chi phí bảo quản theo giá là I, thời gian đặt hàng là một biến ngẫu nhiên

τ đồng nhất trong mỗi chu kỳ dự trữ - tiêu thụ, có phân phối xác suất G(τ) với trung bình và

phương sai hữu hạn (trong hầu hết các trường hợp có thể xem là τ có phân phối chuẩn). Việc bổ

sung hàng tức thời và tiêu thụ diễn ra đều đặn theo thời gian. Hãy xác định lượng hàng cần mua

mỗi lần và một lượng dự trữ bảo hiểm R sao cho khả năng thiếu hàng không lớn hơn α đủ nhỏ và

tổng chi phí bé nhất.

Như vậy với việc bổ sung lượng dự trữ bảo hiểm R sẽ đảm bảo thỏa mãn nhu cầu tiêu thụ tại mọi

thời điểm với mức tin cậy (1 - α) cho trước.


Gọi lượng hàng tiêu thụ trong thời gian τ là Qτ thì Qτ là một biến ngẫu nhiên. Để giải bài toán

trong trường hợp này thay vì xét tính ngẫu nhiên của thời gian đặt hàng τ, ta xem như lượng hàng

tiêu thụ trong thời gian đó là một biến ngẫu nhiên Qτ, tuân theo một quy luật phân phối xác suất

nào đó, với trung bình và phương sai hữu hạn. Giả sử ta biết quy luật phân phối của τ, vì việc tiêu

thụ đều đặn nên có thể suy ra quy luật phân phối của lượng hàng tiêu thụ Qτ trong thời gian đặt

hàng (thực tế):

Tτ = (τ - t*.int(τ/t*)) là F(Qτ), trong đó t* là chu kỳ dự trữ - tiêu thụ tối ưu. Biến ngẫu nhiên Qτ

xác định theo công thức: Qτ = Q. Tτ. Nếu τ phân phối chuẩn thì Qτ cũng phân phối chuẩn với trung

PTITPTIT


202

bình là Q × E(Tτ) và phương sai là Q2 × Var(Tτ), trong đó E(Tτ), Var(Tτ) là trung bình và phương

sai của Tτ. Bài toán trên có thể xem là bài toán dự trữ theo mô hình Wilson cộng với việc xác định

lượng dự trữ bảo hiểm R sao cho trong khoảng thời gian τ lượng hàng tiêu thụ Qτ vượt quá (B* +

R) với xác suất tối đa là α, đồng thời tổng chi phí nhỏ nhất. Việc giải bài toán có thể chia thành hai

bước như sau:

Bước 1: Giải bài toán Wilson với T0 là trung bình của τ. Ta nhận được lượng hàng đặt mỗi lần q*,

thời gian một chu kỳ t* và điểm đặt hàng là B* (B* chính là điểm đặt hàng trung bình).

Với lượng dự trữ bảo hiểm là R thì có thể mô tả sơ đồ kho như sau:

Hình 6.12

Bước 2: Xác định R sao cho: P(Qτ > B* + R) < α. Theo hệ quả định lý cộng với hai biến cố đối lập

ta có:

P(Qτ > B* + R) > 1- α (6.34)

Gọi phân vị mức 1 - α của phân phối F(Qτ) là F1-α (tức là P(Q < F1 - α) = 1 - α) ta cần chọn R sao

cho:

B* + R > F1 - α hay R > F1 - α - B*. (6.35)

Vì ta muốn tổng chi phí nhỏ nhất (kể cả chi phí phát sinh cho dự trữ bảo hiểm), do đó cần chọn

lượng bảo hiểm tối thiểu R* là:

R* = F1 - α - B*. (6.36)

Trong trường hợp đó dự trữ trung bình trong kho sẽ là: 0,5q* + R*, như vậy phát sinh hai khoản

chi phí là chi phí mua lượng dự trữ bảo hiểm R* là CR* và chi phí dự trữ lượng bảo hiểm đó:ICR*.

Khi đó hàm tổng chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là:

F(q*, R*) = IC(q* + R*) + C(Q + R*). (6.37)

Thí dụ 6.11: Một cơ sở sản xuất ống cáp cần sử dụng mỗi năm 11,88 tấn hạt nhựa, quy luật tiêu

thụ đều theo thời gian, thời gian nhập kho không đáng kể. Chi phí cho mỗi lần đặt hàng 60$, giá

mỗi tấn nhựa 850$, chi phí dự trữ bằng 10% giá mua. Thời gian đặt hàng là τ có phân phối chuẩn

với trung bình là 60 ngày và độ lệch chuẩn là 1 ngày, với thời gian đó trung bình mỗi ngày cơ cở

tiêu thụ là 33kg (33 = 11880/360) hay 1980kg trong 60 ngày và độ lệch chuẩn là 33kg (33 = 1 ×

33). Với mức bảo hiểm có độ tin cậy 0,99, hãy xác định lượng dự trữ bảo hiểm sao cho tổn thất ít

nhất, tính tổng chi phí đảm bảo dự trữ cho sản xuất.

Giải:

Trước hết ta cần tính lượng hàng mua mỗi lần tối ưu:

q* + R

B*

R

Tτ T0

t

PTITPTIT


203

IC

2AQ q*

q* = 4095(kg), từ đó ta có thời gian mỗi chu kỳ dự trữ - tiêu thụ là t* = q*/Q = 0,341 (năm). Ta

có điểm đặt hàng B* = 2000(kg).

Với mức tin cậy 0,99 ta cần xác định lượng dự trữ R* = F0,99 - B* hay B* + R* > F0,99; trong đó

B* + R phân phối chuẩn với trrug bình là E(B* + R) = 33kg/ngày × 60 ngày = 1980kg, độ lệch

chuẩn σR = 33.

Ta có F0,99 = 1980 + U0,99× 33 = 1980 + 2,32 × 33 = 2056,56.

Vậy R* = 2056,56 - 2000 = 56,56(kg).

Lượng dự trữ trung bình trong kho là:

4095/2 + 56,56 = 2104,06

Từ đó ta tính hàm tổng chi phí như sau:

F(q*, R*) = 0,1×0,85(4095 + 56,56) + 0,85(11880 + 56,56) = 10151,3$.

Trên đây ta đã nghiên cứu một số mô hình quản lý dự trữ đơn giản, có rất nhiều vấn đề về tổ chức

sản xuất kinh doanh có thể mô hình hóa theo cách thức như trên. Việc mô hình hóa và tìm các

chiến lược có thể làm tương tự và có thể tìm các mô hình như vậy trong các tài liệu tham khảo.

Câu hỏi và bài tập ôn chương 6 I. Lý thuyết.

1. Nội dung bài toán quản lý dự trữ và các khái niệm?

2. Các khái niệm cơ bản trong mô hình quản lý dự trữ?

3. Mô hình dự trữ đều và bổ sung tức thời?

4. Mô hình dự trữ tiêu thụ đều?

5. Mô hình dự trữ trong trường hợp giá hàng thay đổi theo số lượng đặt mua mỗi lần ?

6. Mô hình dự trữ một giai đoạn ?

7. Mô hình dự trữ có bảo hiểm?

II. Bài tập

1. Một công ty có nhu cầu hàng năm 900 đơn vị hàng. Chi phí cho mỗi lần đặt hàng là 15$. Giá

một đơn vị hàng là 60$. Hệ số chi phí dự trữ 5%. Thời gian đặt hàng 45 ngày. Việc tiêu thụ là đều

đặn trong năm, thời gian nhập hàng không đáng kể. Công ty nhập hàng từ một nguồn không hạn

chế về số lượng. Hãy xác định các chỉ tiêu cơ bản trong dự trữ và tiêu thụ của công ty ?

2. Một công ty kinh doanh công tắc điện có nhu cầu hàng năm 4000 chiếc, Giá mỗi chiếc công tắc

là 80$, Chi phí cho mỗi lần đặt hàng là 20$, Chi phí dự trữ là 16$. Thời gian đặt hàng 60 ngày.

Việc tiêu thụ là đều đặn trong năm, thời gian nhập hàng không đáng kể. Hãy xác định các chỉ tiêu

cơ bản trong dự trữ và tiêu thụ của công ty ?

3. Một bệnh viện dung 250 galon gel/năm. Chi phí mỗi lần đặt hàng là 8$, Giá mỗi gallon gel là

2,5$, hệ số chi phí dự trữ 20%. Thời gian đặt hàng 15 ngày. Việc tiêu thụ là đều đặn trong năm,

thời gian nhập hàng không đáng kể Hãy xác định các chỉ tiêu cơ bản trong dự trữ và tiêu thụ của

công ty ?

PTITPTIT


204

4. Một công ty điện tử có nhu cầu hàng năm (52 tuần/năm) là 156000 con chíp, sản phẩm tự chế.

Chi phí sản xuất một con chíp là 1.600$ và mức sản xuất hàng tuần là 5000 con chíp. Chi phí dự

trữ 30$ mỗi năm. Thời gian chuẩn bị một đợt sản xuất là 45 ngày.

Hãy phân chia nhu cầu trên thành các đợt sản xuất sao cho tổng chi phí nhỏ nhất?

5. Một công ty sản xuất các que kem cho các máy bán hàng và có nhu cầu hàng năm là 72000 que.

Công ty có khả năng sản xuất 400 que mỗi ngày. Chi phí cho một lần chuẩn bị sản xuất là 7,5$,

chi phí sản xuấtà 140$. Chi phí dự trữ 1,5$ cho mỗi que/năm. Thời gian chuẩn bị một đợt sản xuất

là 5 ngày.

Hãy xác định các chỉ tiêu cơ bản trong dự trữ và tiêu thụ của công ty ?

PTITPTIT

210

TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Thượng Thái-Nguyễn Văn Quảng. Toán chuyên ngành. NXB Bưu điện. 2004 2. TS. Nguyễn Quang Dong- Ngô Văn Thứ-TS. Hoàng Đình Tuấn. Giáo trình “Mô hình toán kinh tế”. Nhà xuất bản Giáo dục. 2002. 3. Trần Vũ Thiệu. Giáo trình “Tối ưu tuyến tính”. Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội 2004. 4. Hoàng Tụy. “Lý thuyết quy hoạch”. Tập 1. Nhà xuất bản khoa học. Hà Nội 1968. 5. TS. Nguyễn Quang Đong – Ngô Văn Thứ - TS. Hoàng Đình Tuấn. Giáo trình mô hình toán

kinh tế. NXB Giáo dục. 2002

6. Trần Vũ Thiệu, Bùi Thế Tâm. “ Các phương pháp tối ưu hóa” Nhà xuất bản Giao thông vận tải. Hà Nội 1998. 7. Trần Túc. “Bài tập quy hoạch tuyến tính”. Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật. Hà Nội 2001. 8. Phan Quốc Khánh – Trần Huệ Nương. “Quy hoạch tuyến tính”. Nhà xuất bản Giáo dục. 2000.

9. Vũ Ngọc Phàn. Tối ưu hoá – Cơ sở lý thuyết và ứng dụng trong công nghệ Bưu chính Viễn

thông. NXB Bưu điện.2005

10.Trường đại học kinh tế quốc dân. Chủ biên Hoàng đình Thuý. Toán cao cấp cho các nhà kinh

tế.NXB Thống kê. 2004

11. Giáo trình các phương pháp toán kinh tế. Đại học Kinh tế quốc dân. 1987.

12. Nguyễn Cao Văn – Trần Thái Ninh. Giáo trình lý thuyết xác suất thống kê toán. NXB Khoa

học kỹ thuật. 1996.

13. PGS.TS. Nguyễn Thị Kim Thuý. Nguyên lý thống kê ứng dụng trong quản lý kinh tế & kinh

doanh sản xuất dịch vụ. NXB Văn hoá Sài gòn. 2006.

14. T. Λ. Caatu. Lý thuyết phục vụ công cộng và ứng dụng. (Bản tiếng Nga). 1987

15. Lê Đình Thuý. Toán cao cấp cho các nhà kinh tế. NXB Thống kê. 2004

PTITPTIT

Documents

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG PTITdlib.ptit.edu.vn/bitstream/123456789/1350/1/BG Toan kinh te.pdf · HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI