Elve Vutt

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. „Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel“ Tln.2006

I kursus NÄIDISTÖÖ nr.1: Astmed. 1. Arvutada avaldise täpne väärtus.

23

212

1

02

13

2

5*12524

127*)81,0(*

8

1 −−−−

+−

+

Ül. 29-38

2. Vabastada murru nimetaja irratsionaalsusest.

a) 7

14 b)

3 9

15 c)

35

2

− d)

232

40

+ Ül.45-49

3. Lihtsustada avaldis. Vastuses vabane negatiivsetest astendajatest.

a) ( ) ( ) 1342442 3*5−−−−−− baba

b) 3

41

4

23

20

9:

4

6

z

yx

zxy

yzx −−

4. Lihtsustada avaldis.

a) 18986322504 −−+ Ül.52,53,55

b) 38

1

38

1

−−

+

c) 2222

2:

22 yx

y

yx

y

yx

xy

−

−−

−

5. RE ülesanne

Vastused: 1. 6 �� 2. a) 2√7 b) 5√3 c) �√5 � 3 /2 d) 5�2√3 √2

3. a) 5

4

3625

b

a b)

7

3

310

y

x 4. a) 217− b)

532−

c) )(2 yx

y

+

Elve Vutt

I kursus NÄIDISTÖÖ nr.2: Võrrand ja võrrandisüstee m

1. Lahendada võrrandid. 1) ( ) ( ) ( )1123532 +−−=+ xxx

2) a) 527

31

3

12−=

−−

−x

xx

b)

4

3

6

521

uu −=

−−

3) a) 0523 2 =++− xx b) 02082 =−− xx 4) a) xx 28 2 = b) 0615 2 =+ xx 5) a) 0654 2 =− x b) 0753 2 =−x

6) 3

8

11=

++

− x

x

x

x Ül.67-73

*7) 028 =+−+ xx Ül.98-108

*8) 41432 =++− xx Ül.103

9) 16124 =−x

2. Lahendada muutuja x suhtes. .

20)7(35 −+=− xax Ül.91-97 3. Lahendada võrrandisüsteem 1) liitmisvõttega

a)

=+

=+

1032

04

yx

yx b)

=+

=+

42

634

yx

yx Ül.111,113

2) asendusvõttega

a)

=+

−=−

1632

235

yx

xy b)

=+

=

142

24

yx

xy Ül.120-124

*3) determinantide abil

a)

=−

=+

232

35

yx

xy b)

−=

=+

=++

3

832

42

3

z

yx

zyx

ÜL.118,119

4) RE ülesanne Vastused:

1. 1) -3/19 2) 5 3) a) 5/3 ja -1 b) 10 ja -2 4) a) 0 ja 0,25 b) 0 ja -0,4 5) a) -3 ja 3 b) -5 ja 5 6) -2 ja 2 7) 1 8) 2 9) 7 ja -1

2. 6/(a - 3), kui a ≠ 3 ja lahend puudub, kui a = 3 3. 1) a) (8;-2) b) (3;-2) 2) a) (5;2) b) (8;3) ja (6;4) 3) a) (19/13;4/13) b) (-5;6;-3)

Elve Vutt

I kursus NÄIDISTÖÖ nr.3: Võrratused. 1. Lahendada võrratused

1) ( ) ( ) 157436 +−≤+ xx Ül.132,133

2) 4

12

12

3 +≥+

− xx Ül.134-136

3) 0562 ≤−+− xx Ül.141-148 4) 0)51)(25( ≥−− xx Ül.150-152

*5) 0412

9≤

−−

x

x Ül.153-155

*6) 242

68≤

+−x

x Ül.156-158

*7) 0)2)(13(

92

≤+−

−xx

x Ül.161-164

*8) 15105 ≥−x Ül.165-171

2. Lahendada 1) lineaarvõrratusesüsteem

+−≥+

−≤−

xx

xx

10247

2224 Ül.179,181,182

2) lineaarvõrratusesüsteem ja leida süsteemi positiivsed täisarvulised lahendid.

−−≥+−

−−+≤−−−

8)25(2)3(210

)3(7)4(2)12(3)2(8

xxx

xxxx

*3) ruutvõrratusesüsteem

−−≤

−−

−

≥−−

6

71

3

4

2

28

0322

xxx

xx Ül.184-186

3. RE ülesanne Vastused:

1. 1) ( ]5,2;∞−∈x 2) ( ]6;∞−∈x 3) ( ] [ )∞∪∞−∈ ;51;x 4) ( ] [ )∞∪∞−∈ ;5,22,0;x 5)

−∈31

1;2x 6) ( ) [ )∞∪−∞−∈ ;02;x 7) [ )

∪−−∈ 3;31

2;3x 8) ( ] [ )∞∪−∞−∈ ;51;x

2. 1)

∞−∈32

;x 2) ( ]3;∞−∈x positiivsed täisarvulised lahendid on 1, 2, 3. 3)

( ]1;−∞−∈x

*laia matemaatika teemad

Elve Vutt

II kursus NÄIDISTÖÖ nr. 1 Trigonomeetria 1. Arvutada avaldise täpne väärtus.

1) sin(-390°) sin510° + cos570° cos810° + tan600° tan1110° ; Ül.286-291 2) sin7° cos37° - cos7° sin37° ; 3) cos 75° sin105°;

4) °−

°

75tan1

75tan2

;

5) oo

oo

420sin390sin420tan390tan

22 −−

2. Arvutada ,2cos,*tan,cos ααα kui 5

3sin −=α ning πα

π2

2

3≤≤

3. Lihtsustada.

1) )90cos(tantan

1αα

α−

+ o

2) ( ) ( )22 cossincossin αααα −++

*3) )180(tan)180(cos)360(sin 222 ααα −°++°+−° Ül. 294-301 *4. Tõestada samasus

αααα

αcossin

cossin2sin1

−=−

− Ül. 317-319

5. RE ülesanne Vastused: 1. 1) 0,75 2) -0,5 3) 0,25 4) 1 5) -1 2. 0,8; -0,75; 0,28

3. 1) αcos

1 2) 2 3)

α2cos1

II kursus NÄIDISTÖÖ nr.2: Kolmnurga lahendamine. Sektor. 1) Arvuta sektori kaare pikkus ja sektori pindala, kui raadius on 9 cm ning nurk

1) 120o 2) 3 radiaani Vastused:1) l = 18,8 cm, s = 84,8 cm2 2) l = 27 cm, s = 121,5 cm2 2) Lahenda täisnurkne kolmnurk ja leia kolmnurga pindala. Ül.249-264 3) Lahenda kolmnurk ( siinusteoreemi abil) ja leia kolmnurga pindala. Ül.266-269 4) Lahenda kolmnurk (siinus- ja koosinusteoreemi abil) ja leia kolmnurga pindala.

Ül.270-280 5) RE ülesanne Teema jätkub failiga: TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID JA VÕRRANDID

Kuues näidisülesanne: V kursus NÄIDISTÖÖ nr3: Trigonomeetriline võrrand. Ülesanne 1.

Elve Vutt

III kursus NÄIDISTÖÖ

1. Korrapärases kuusnurgas ABCDEF

Avalda järgmised vektorid ar

ja

7) →→

+ ABFA 8) →→

+ DEAB 9) AB2. Kirjuta vektori jia

rr42 +−=

3. Leia joonisel kujutatud vektorite 4. Leia x ja y nii, et vektorid

)8;52( −= xar

ja 3;12( −= ybr

5. Antud on punktid A(3;5), B(

Leia 1) vektorite →→

DCAB, ja

2) vektori →→

−= DCABs 3r

3) millised vektorid on kollineaarsed

4) vektori →

BC vastandvektor

6. Vektori )6;2(−=→

KL alguspunkt on K( III kursus NÄIDISTÖÖ nr.2 : J

1. Koostada sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A( 1) sirge tõus on -3 2) tõusunurk on 30º 2. Arvutada vektorite u

r = (2;

1) pikkused 2) skalaarkorrutis 4) vektori vus

rr5,02 −=

Kas vektorid ur

ja vr

on kollineaarsed? Põhjendada! 3. On antud kolmnurk tippudega A(3;7), B(5;2) ja C( 1) Leida kolnurga ümbermõõt 2) Leida tipu B juures oleva kolmnurga nurga suurus 3) Arvutada kolmnurga pindala 4) Koostada sirge võrrand, millel asub kolmnurga külg BC 5*) Leida kolmnurga kõige pikemale küljele joonestatud kõrgus4. Koostada ringjoone võrrand, kui keskpunkt K(5;

5. Ringjoone võrrand on (x 1) Leida ringjoone keskpunkti koordinaadid ja raadius 2) Arvutada ringjoone pikkus ning ringi pindala 3) Leida ringjoone ja sirge y = 6. RE ülesanne

Vastused: 1. 1) y = -3x-7 2) y = 0,6x

`34116o 4) (7,5;-12,5) ; ei

4. ( ) ( ) 25,235 22 =++− yx 5. 1)

NÄIDISTÖÖ nr.1 :Vektor tasandil (mittekohustuslik)

1. Korrapärases kuusnurgas ABCDEF aBAr

=→

ja bBCr

=→

. Kuusnurga keskpunkt on O.

ja br

kaudu: 1) →

DC 2) →

DE 3) →

OB 4) →

CF 5) →→→→

+++ BACBOCAB 10) →→→→

−++ CDBDOBFO jr

koordinaadid

3. Leia joonisel kujutatud vektorite ...,CDAB koordinaadid ja arvuta vektorite pikkused.

)3 oleksid võrdsed. 5. Antud on punktid A(3;5), B(-4;1), C(0;-2) ja D(8;3).

ja →

BC koordinaadid →

DC koordinaadid 3) millised vektorid on kollineaarsed

vastandvektor

alguspunkt on K(-1;4). Leia lõpp-punkti L koordinaadid.

NÄIDISTÖÖ nr.2 : J oone võrrand

Koostada sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A(-1;-4) ja 2) tõusunurk on 30º 3) sihivektor on v

r = (-

Ül.373= (2;-6) ja v

r = (-7;1)

2) skalaarkorrutis 3) vaheline nurk vr

koordinaadid on kollineaarsed? Põhjendada!

rk tippudega A(3;7), B(5;2) ja C(-1;3). 1) Leida kolnurga ümbermõõt 2) Leida tipu B juures oleva kolmnurga nurga suurus 3) Arvutada kolmnurga pindala Ül.281,282,363,366,3674) Koostada sirge võrrand, millel asub kolmnurga külg BC Ül.365

kolmnurga kõige pikemale küljele joonestatud kõrgus 4. Koostada ringjoone võrrand, kui keskpunkt K(5;-3) ja raadius r = 1,5.

) 497 22 =++ yx 1) Leida ringjoone keskpunkti koordinaadid ja raadius *Ül.382

ringjoone pikkus ning ringi pindala 3) Leida ringjoone ja sirge y = -x lõikepunktid Ül

y = 0,6x - 3,4 3) 54

21

−+

=−+ yx

2. 1) 40

3. 1) 17,1 2) `4458o 3) 14 4) 1

265 −=

−− yx

5. 1) K(-7;0) ja 7 2) ππ 49,14 3) (0;0) ja (-7;7)

(mittekohustuslik)

. Kuusnurga keskpunkt on O.

5) →

OA 6)

koordinaadid ja arvuta vektorite pikkused.

punkti L koordinaadid.

-2;-5) Ül.373-376

Ül.281,282,363,366,367 Ül.365

3) ja raadius r = 1,5.

*Ül.382-385

Ül.389-403

50;40 2) -20 3)

7;7)

→

CE

Elve Vutt

IV kursus NÄIDISTÖÖ nr.1: Funktsioonid I 1. Leida funktsiooni määramispiirkond. Ül.436-450

a) 5

110

+−=

xy b) 12 −= xy c)

32

422 −−

−=

xx

xy

2. Leida funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond.

a) ( )( )7123 −+= xxxy b) x

y3

= c) 52 −−= xy

3. Määrata kindlaks, kas funktsioon on paaris või paaritu (või pole kumbki). a) 36 xxy −= b) 13 −= xy c) 24 xxy −= 4. Avaldada muutuja y muutuja x funktsioonina. 4uy = ja 12 −= xu 5. Kas joonisel 1 on pöördfunktsioonide graafikud? Põhjendada vastust! 6. Leia jooniselt 2 funktsiooni määramis- piirkond, nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiir- konnad, kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumkohad ja ekstreemumid.

Joonis 2

7. RE ülesanne

Elve Vutt

IV kursus NÄIDISTÖÖ nr.2: Jada 1. Kirjuta kolm näidet a) aritmeetilise jada kohta b) geomeetrilise jada kohta. 2. a) Aritmeetilise jada esimene liige on 12 ja vahe -6. Kirjuta selle jada viis esimest liiget. b) Geomeetrilise jada esimene liige on 12 ja tegur on 2. Kirjuta selle jada viis esimest liiget. 3. a) Aritmeetilise jada esimene liige on -2 ja viies liige 10. Leia kümne esimese liikme

summa. (70) b) Geomeetrilise jada esimene liige on -2 ja viies liige on -162. Leia kümne esimese liikme summa. (-59049)

Vaata lisaks ül.564, 576 4. a) Paigutada arvude 18 ja 46 vahele kolm arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada.

b) Paigutada arvude 2 ja 250 vahele kaks arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid geomeetrilise jada. (2,10,50,250)

Vaata lisaks ül.575 5. a) Leida esimese saja järjestikuse paaritu arvu summa.

b) Leida kõikide kahekohaliste kolmega jaguvate arvude summa.

Vaata lisaks ül.565-566 Ül.567-573, 576-581, 587-588

6. RE ülesanne

Elve Vutt

V kursus NÄIDISTÖÖ nr.1: Eksponentfunktsioon ja -võrrand

1. Lahendada eksponentvõrrand teisendades see võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed.

a) 2264

529

2

2

31

3−−−

+

=xx

x b) 655 1 =+ −xx

Vaata lisaks ül.485-490 2. Lahendada eksponentvõrrand abitundmatut kasutades.

a) 4� � 5 � 2� 4 b) 2��� � 4 � 2�� � 9 Vaata lisaks ül.491-496 3. Lahendada eksponentvõrrand, kasutades logaritmimist. a) 34 =x b) 75 12 =+x c) 235 35 −+ = xx 4. Skitseeri funktsiooni xay = graafik, kui a) 1≥a b) 10 ≤≤ a 5. Tööpink maksis uuena 150 000 krooni. Tema väärtus väheneb vananemise ja kulumise tõttu igal aastal 8 % võrra eelmise aasta väärtusest. Kui suur on tööpingi väärtus 10 aasta pärast?

Vaata lisaks ül.512-515 6. RE ülesanne.

Vastused: 1. a) -1 ja 7 b) 1 2. a) 0 ja 2 b) 2 ja -1 3. a) log3/log4 b) (log7-log5)/2log5 5. 65200

V kursus NÄIDISTÖÖ nr.2: Logaritmfunktsioon ja -võ rrand 1. Arvutada.

a) 49log21

64 72log1 8 +− b) 3log1log25log

3475 1662

31

log −++

Vaata lisaks ül.517-523

2. Logaritmida avaldis 6

5 37

15

24

z

yxx =

3. Lahendada logaritmtvõrrand logaritmi definitsiooni põhjal. a) ( ) 2186log 2

5 =++ xx b) ( ) 22log =+xx

Vaata lisaks ül.526-529 4. Lahendada logaritmvõrrand potentseerimise teel.

a) ( ) ( ) 8log327log113log 555 +=−+− xx

b) ( ) ( )1log352log 22 +−=+ xx Vaata lisaks ül.530-535 5. Lahendada logaritmvõrrand abitundmatut kasutades.

a) log2x+logx=2 b) 01log)(log2 42

4 =−+ xx Vaata lisaks ül.536,537 6. Leida funktsiooni määramispiirkond. a) ( )43log 2 −−= xxy b) ( )144log 2

3 ++= xxy c) ( ) ( )3ln2ln ++−= xxy

7. Skitseeri funktsiooni xy alog= graafik, kui a) 1≥a b) 10 ≤≤ a 8. RE ülesanne. Vastused: 1. a) 17 b) -7 2. log24+7logx+0,6logy-log15-6logz 3. a) 1 ja -7 b) 2 4. a) 37 b) 1/3 5. a) 10 ja 0,01 b) 0,25 ja 2 6. a) ( ) ( )∞∪−∞−= ;41;X b) X=R v.a. -0,5 c) ( )∞= ;2X

Elve Vutt

V kursus NÄIDISTÖÖ nr.3: trigonomeetriline võrran d

1. Joonistel on kujutatud siinusfunktsiooni f(x) = sin0,5x graafik lõigus [-2π;2π].

1) Joonestada samale joonisele sirge g(x) = 0,5 2) Lahendada võrrand f(x) = g(x) ja leida lahendid lõigus [-2π;2π] ning kanda need

joonisele.

Vastused:2) x1 = 1,05 ja x2=5,24 2. Lahendada põhivõrrandiks taanduvad võrrandid.

1) 2558,0sin −=x 2) 01cos2 =−x 3) 3)6

tan( −=−π

x

Vaata lisaks ül.322-324 *4) 0sin2sincos2cos =+ xxxx *5) 1sincos2 =xx *6) xx 22 cossin =

Vaata lisaks ül. 326,327, 329-333 Vastused: 1) (-1)n14o49` + 180on 2) ±45o + 360on 3) -30o + 180on 4) ±90o + 360on 5) (-1)n45o + 90on 6) ±45o + 180on 3. Lahendada võrrandid, mille vasak pool teiseneb korrutiseks. *1) 03cos5cos =+ xx 2) 0cossinsin4 =− xxx 3) xx 2tantan =

Vaata lisaks ül.325,328 Vastused: 1) ±90o + 360on ja ±22o30` + 90on 2) 180on 3) 45o + 180on ja 180on. 4. Lahendada ruutvõrrandiks taanduv võrrand.

1) 033tan23tan2 =−− xx 2) 2cossin2 2 =+ xx 3) 4tan

3tan =+

xx

Vaata lisaks ül.334-340 Vastused: 1) - 45o + 180on ja 71o34`+ 180on 2) ±90o + 360on ja ±30o + 360on 1) 45o + 180on ja 71o34`+ 180on

6. RE ülesanne.

Elve Vutt

I kursus NÄIDISTÖÖ nr.1: Funktsiooni tuletis ja gr aafiku puutuja . *1.Leida funktsiooni piirväärtus.

1) 2

)5322lim( 2

−→

−+

x

xx 2)

5,052

4121lim

2

→−−−

xx

xx 3)

5,053

21lim

2

→−+

−

xxx

x

4)

∞→−+−

xxxx

x53

5

234

13lim 5)

39

3lim

2

2

−→−+

xx

xx 6)

∞→+−

xxx

x

57

2lim

68

10

Vaata lisaks ül.598-613* 2. Leida funktsiooni tuletis. 1) 412517 6470214 −− +−−+−= xxxxxy 2) )21)(45( 2 xxy −−=

3) 3

23

2

8

x

xxy

−= 4)

2

2

35

2

x

xxy

−−

=

5) 3 228

59

*3

*12

xxx

xxxy

−

−

= *6) xxxxeexy xx 3lnln3loglog33 33

33 +−++−+−=

*7) xxy tan*cos7= 8) xxy ln)1( 3 −= Vaata lisaks ül.610-624

3. Koostada joone puutuja võrrand, kui 1) 1073 3 −+−= xxy ja 20 −=x 2) xxy 82 3 −= ja puutuja tõus k=16.

Vaata lisaks ül.636-642 3. RE ülesanne

VI kursus NÄIDISTÖÖ nr.2: Funktsiooni uurimine

1. a) Uuri funktsiooni I y = x3-3x2

II y = 2x3 + 18x ja skitseeri graafik. Ül.652-654,681-686

b) Leia funktsiooni y = 1621

31 23 −+−− xxx ekstreemumpunktid, kasvamis- ja

kahanemisvahemikud ning skitseerige funktsiooni graafik. Mitu nullkohta on funktsioonil? Leia kuupparabooli puutuja kohal x0 = 1.

Ül.637-640 2. I Laohoone seina ja 60 meetri pikkuse aiaga tuleb piirata ristkülikukujuline maa-ala.

Missuguste mõõtmete puhul on piiratud maa-ala pindala maksimaalne? (15 x 30 meetrit)

II Ristkülikukujulisest papitükist , mille mõõtmed on 4 dm ja 5 dm, valmistatakse kaaneta karp. Selleks lõigatakse papitüki nurkadest ära võrdsed ruudud ja murtakse servad üles. Missugused peavad olema äralõigatavate ruutude külje pikkused, et tekiks maksimaalse ruumalaga karp?

( äralõigatavate ruutude külgede pikkused on 0,7 cm) Ül.715-727

3. RE ülesanne.

Elve Vutt

Esimese ülesande a-I osa vastused:X = R ja Y = R

{ }3;00 =X

);3( ∞=+X ( ) ( )3;00; ∪∞−=−X

( ) ( )∞∞−↑ ;20;: jaX

( )2;0↓=X xmax= 0 ja ymax= 0 xmin= 2 ja ymin= -4

Esimese ülesande b osa vastused:

−

21

14;331

6;2 minmax jaEE

( )2;3−↑=X

( ) ( )∞−∞−↓ ;23;: jaX kolm nullkohta

puutuja võrrand: 4+= xy

I osa vastused:

Esimese ülesande b osa vastused:

21

61

Elve Vutt

VII kursus NÄIDISTÖÖ nr.1: Vektor, sirge ja tasand ruumis.

1. Arvutada 1) vektorite a ja b skalaarkorrutis ja otsustada, kas vektorid on risti;

2) vektori bas 5,03 −= koordinaadid,

kui )2;3;1( −=a ja )5;2;4(−=b .

Kas vektorid a , b ja s on komplanaarsed? Miks?

2. Koostada võrrand sirgele, mis läbib punkti A(-1; 0; 7) ja on paralleelne sirgega

1

64

3−

=+=− z

yx

Ül.781,782

3. Koostada tasandi võrrand, mis läbib punkti A(2; 8; -10) ja mille normaalvektor

n = (-2; 5; 0). Kuidas paikneb see tasand koordinaatteljestiku suhtes? Ül.789 4. Määrata sirgete s ja t vastastikune asend Ül.786-788

s: 12

53

2−

=+

=− zyx

t: 41

83

12 −+

=−

=zyx

5. Arvutada sirge s ja tasandi α 1) vaheline nurk ϕ 2) lõikepunkti L koordinaadid, kui

s: 2

153

11 +

=−−

=− zyx

α : 2x + y - 3z = 8 Ül.803,804

6. RE ülesanne Vastused: 1. 1) 0, on risti 2) (5;-10;3,5) on komplanaarsed, sest viimane vektor

avaldub kahe esimese kaudu. 2. 17

141

−−

==+ zyx

3. -2x + 5y - 36 = 0, paralleelne z-teljega ja samas risti xy-koordinaattasandiga. 4. s//t 5. 1) ϕ = 26°03` 2) L(1;3;-1)

VII kursus NÄIDISTÖÖ nr.2: Stereomeetria Töötada läbi antud kursuse näidisülesanded. Ülesanded on valitud küpsuseksami ülesannete hulgast.

1. Prisma pindala ja ruumala. 16.) Korrapärase nelinurkse püstprisma põhiserv on 12 cm ning prisma diagonaali ja külgtahu vaheline nurk on 30°. Leida prisma külgpindala. (377 cm³)

2. Püramiidi pindala ja ruumala. 17.) Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 18 cm ja külgtahu kaldenurk põhja suhtes on 38°. Leida püramiidi täispindala. ( ) 6.) Korrapärase kuusnurkse tüvipüramiidi põhiservad on 4 cm ja 2cm ning kõrgus on 1 cm. Leia külgpindala. (36 cm²)

3. Pöördkeha pindala ja ruumala. 41.) Silindri telglõige on ruut pindalaga 144 cm². Leida silindri täispindala ja ruumala. 29.) Koonuse põhja raadius on 12 cm, moodustaja ja põhja vaheline nurk on 60°. Leida koonuse ruumala. (3137 cm³) 8.) Võrdhaarne trapets alustega 8 cm ja 3 cm pöörleb ümber pikema aluse. Trapetsi haar moodustab alusega nurga 63°30´. Leida tekkiva pöördkeha ruumala. (367 cm³)

4. RE ülesanne. Vaata lisaks ül.924-956

Elve Vutt

VIII kursus NÄIDISTÖÖ : Tõenäosus

1) Laual olevast 10 loterii piletist 2 on võiduga. Leia tõenäosus, et laualt juhuslikult võetud 4 pileti hulgas a) pole mitte ühtegi võiduga piletit; b) on üks võiduga pilet; c) on mõlemad võiduga piletid?

2) Kastis on 8 musta ja 5 punast sukka. Pipi võtab juhuslikult 2 sukka. Kui tõenäone on, et need on a) sama värvi; b) erinevat värvi? Mitu sukka peab Pipi võtma, et saada üks paar ühevärvilisi sukki?

3) Valuuta vahetamisega tegelevad firmad „Sabad ja sarved“ ja „Ostap Bender“ annavad valeraha tõenäosusega 0,7 ja 0,9. Kui suur on tõenäosus, et a) esimesest firmast saadud kaks sajadollarilist on mõlemad valerahad; b) mõlemast firmast saadud kupüür on võltsitud; c) kummastki firmast ühe sajadollarilise küpüüri ostmisel on üks võltsitud ja teine mitte?

4) Kotis on 8 haput ja 6 magusat õuna. Kui suur on tõenäosus, et võttes kotist pimesi 4 õuna, a) on kõik õunad on hapud; b)saadakse vähemalt üks magus õun?

5) Visatakse kolme täringut. Leida tõenäosus, et erinevatel täringutel tuleb 1,2 ja 3 silma?

6) On kolm urni. Esimeses urnis on 2 musta ja 3 valget kuuli, teises 1 must ja 4 valget kuuli ja kolmandas on kõik 5 mustad. Võetakse huupi üks kuul. Kui suur on tõenäosus, et see on valge?

7) Tõenäosus, et Ken jääb tundi hiljaks on 0,3. Kui suur on tõenäosus, et nädala viiest tunnist hilineb ta kolme tundi?

8) RE ülesanne. Vastused: 1) a)1/3 b) 56/105 c) 2/15 2) a) 19/39 b) 20/39; 3 sukka 3) a) 0,49 b) 0,63 c) 0,34 4) a) 10/143 b) 133/143 5) 1/36 6) 7/15 7) 0,13

Vaata lisaks ül.957-969.

Elve Vutt

Tuleta meelde I kursusel õpitut! IX kursus NÄIDISTÖÖ nr. 1: Võrrandid ja võrratused

1. Arvuta avaldise väärtus

a) 9�,� 8��� � 0,25��

� b) 12� � 18�,� � 54��

� 192�� Ül.29-44

Leia arv, millest avaldise a väärtus on 79%. (6,25) Leia avaldise b väärtusest 25%. (1,5)

2. Lahenda võrrandid.

a) !���

� "��# � $ � 4 (-1,45)

b) 24

21

21

62 +

+−=

−+

− x

x

xx (2) Ül.67-73

c) 121 =−− xx (0) Ül.98-102

3. Lahenda võrrandisüsteem

=−

=−+−

26

0522

yx

yxx (% $� � 7

&� � 40 () %$! � 1&! � 4** Ül.128

4. Lahenda võrratused a) ( )( )( ) 0162732 2 ≥−+− xxx (+∞; 4+ ./3,5; 3+) Ül.161-164

b) 223

75≤

++x

x (01; !

#0) Ül.153-158

5. RE ülesanne

Tuleta meelde V kursuse materjale: eksponent- ja logaritmvõrrandid ning trigonomeetrilised võrrandid

IX kursus NÄIDISTÖÖ nr.2: eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilised

võrrandid Lahenda 1. eksponentvõrrand

võetud ülesannete hulgast 482-496 2. logaritmvõrrand

võetud ülesannete hulgast 526-537 3. trigonomeetriline võrrand

võetud ülesannete hulgast 322-346 4. RE ülesanne

Ülesanded on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. „Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel“Tln.2006

Elve Vutt

Tuleta meelde VI kursuse materjale! IX kursus NÄIDISTÖÖ 1. Leia funktsiooni määramispiirkond.

10652

+−

+−=

x

xxy

Vastus: ( ] [− 32;3 U

2. Leia funktsiooni y =

kahanemisvahemikud ning skitseeri funktsiooni graafik. Mitu nullkohta on funktsioonil? Leia kuupparabooli puutuja kohal x

3. RE ülesanne. Teise ülesande vastused: Emax= (1;5/6) ja Emin(6;

( ) ( )∞∞−↑ ;61;: jaX ;

( )6;1↓=X ; kolm nullkohta; puutuja võrrand: y = 5/6.

Tuleta meelde VI kursuse materjale!

NÄIDISTÖÖ nr. 3: funktsiooni uurimine

Leia funktsiooni määramispiirkond. Ül.436-450

)93log( ++ x

) ( )∞;1010;3 U

Leia funktsiooni y = 2627

31 23 −+− xxx ekstreemumpunktid, kasvamis

kahanemisvahemikud ning skitseeri funktsiooni graafik. Mitu nullkohta on funktsioonil? Leia kuupparabooli puutuja kohal x0 = 1.

Ül.637-640,652-

vastused:

(6;-20);

puutuja võrrand: y = 5/6.

ekstreemumpunktid, kasvamis- ja

kahanemisvahemikud ning skitseeri funktsiooni graafik. Mitu nullkohta on

-654,681-686