Embed Size (px)
DESCRIPTION
Guia de lectura Nº 01
Citation preview
SOCIAL
FACULTAD DE PSICOLOGÍA Y TRABAJO SOCIAL
CURSO: LÓGICA
FACULTAD DE PSICOLOGÍA Y TRABAJO SOCIAL
CURSO: LÓGICA
RESUMEN: I UNIDAD
Í N D I C E
Presentación .............................................................................................. 9 Introducción .............................................................................................. 11 Indicadores editoriales ................................................................................. 13
PRIMERA UNIDAD Conceptos básicoa ......................................................................................
1 5
Lección 1
La lógica y sus problemas......................................................................... 17 1.1. ¿Qué es la lógica? ........................................................................... 17 1.2. Premisas y conclusiones ................................................................... 19
Lección 2
Proposiciones e inferencias .......................................................................
29 1.1. Concepto de proposición .................................................................. 29 1.2. Expresiones que no son proposiciones................................ 30
Lección 3 y 4
Los principios lógicos ...............................................................................
39 Los símbolos para la conjunción,la negación y la disyunción .......................... 39 1. Conjunción ..................................................................................... 40 2. Negación........................................................................................ 42 3. Disyunción ..................................................................................... 43 4. Puntuación ..................................................................................... 44
Actividades de la Primera Unidad ................................................................... 47
P R E S E N T A C I Ó N
El Fondo Editorial de la Universidad Inca Garcilaso de la Vega
participa como editor de libros de ciencias, humanidades, artes y textos
universitarios principalmente para sus alumnos de pregrado y posgrado
de las diferentes modalidades de estudio que se imparten en nuestra
institución y para el público en general. Dicho trabajo comprende la
búsqueda de autores, la coordinación con las áreas académicas de la
Universidad, el diseño, corrección de estilo e impresión de las obras.
Esta labor de producción editorial se realiza bajo los más altos
estándares de calidad que una institución superior, seria como la nuestra,
debe cumplir, todo ello bajo una visión sistémica, pro desarrollo de la
mente y del pensamiento crítico.
Aunque en los últimos años, producto del proceso de digitalización
que el mundo experimenta, se ha considerado la posibilidad de extinción
de los libros en medio físico, se ha podido comprobar que este siempre
mantendrá su mercado cautivo, y más bien los medios digitales han
contribuido a expandir más su mercado, posibilitando incluso alcanzar
nichos a los que anteriormente no se llegaba.
Por todo ello, el Rectorado, a través del Fondo Editorial, reitera
su compromiso con nuestra Universidad y con el País, de participar
activamente y con su mejor disposición, en esta gran tarea que es la
difusión del conocimiento entre su alumnado y en la sociedad en general,
obra que debe ir acorde a las nuevos requerimientos y parámetros que
el mundo en estos tiempos actuales demanda.
Fondo Editorial
z 11 z
I N T R O D U C C I Ó N
Durante mucho tiempo se ha concebido a la lógica como una
disciplina propedéutica y obligada en los estudios generales. También se
ha identificado la lógica con su versión simbólica, al punto de creer que
las inferencias lógicas y su simbolización lo eran todo. Consideramos que
la lógica, en sentido general, es sumamente provechosa, pero para poder
comprender al máximo este punto debemos indicar que hay una variedad
de posibilidades para la lógica. En las cuatro unidades presentadas en
este libro, veremos la lógica simbólica, la lógica de predicados, la teoría
de la argumentación y la lógica deóntica. Ahora, debemos dejar en claro
que son presentaciones a cada lógica. Luego es tu tarea profundizar más
y usar la lógica que mejor te sirva y aprovecharla al máximo.
En el caso de la primera parte del curso (primera y segunda unidad)
se analizan aspectos básicos de la lógica. Te sugiero que prestes mucha
atención a lo expuesto allí.
Luego, en el caso de la segunda parte del curso (tercera y cuarta
unidad), se exploran dos elementos importantes que actualmente han
ido revitalizando su importancia: la teoría de la argumentación y la lógica
deóntica. Se trata de dos elementos nuevos y no muy usuales en estos
cursos, así que te pediría que te mantengas alerta.
El material que compone este libro ha sido tomado de distintos libros
de autores especializados en el tema de la lógica. Cada uno tiene, en
este sentido, su estilo propio y también sus técnicas didácticas. Por ello
también hay que mantenerse alerta en la lectura, anotando pasajes clave,
así como definiciones. Completa las actividades al final de cada unidad y
sigue las sugerencias para el estudio.
z 12 z
SUGERENCIAS PARA EL ESTUDIO
Recuerda
Para aprender es necesario un aprendizaje activo y reflexivo para lo
cual tienes que:
a. Activar la información previa que tienes con relación al tema y
sobre la base de ella iniciar la construcción de tu aprendizaje:
¿qué sé sobre este tema?, ¿qué tarea me solicitan, es fácil o
difícil?; ¿qué materiales necesito?
b. Marcar y anotar las palabras nuevas a fin de que busques
su significado y entiendas mejor el tema. En este libro no
usamos glosario, pues eres tú quien debe construirlo para
de esa forma fomentar el aprendizaje activo.
c. En este libro los ejercicios están basados en el uso del lenguaje.
Debes leer y resolver las interrogantes oportunamente,
también debes disponer un tiempo en particular para ello.
d. Al finalizar tu estudio la pregunta siempre debe ser: ¿Qué
de nuevo aprendí?, ¿qué tema sigue? ¿Para qué me sirve lo
aprendido?
z 13 z
i n d i c a c i o n e s E D I T O R I A L E S
Para poder mantener la fluidez de la sesiones, colocaremos aquí las
referencias bibliográficas de los textos incluidos.
Priemra unidad:
Copi, I., & Cohen, C. (2007). Introducción a la lógica.
México D.F.: Limusa. pp. 17-30.
García Zarate, Ó. (2003). Introducción a la lógica. Lima :
Fondo Editorial UNMSM. pp. 71-81.
Copi, I., & Cohen, C. ( 2 0 0 7 ) . Int r od uc c ión a la lóg ic a.
México D.F.: Limusa. pp. 322-331.
Segunda unidad:
Copi, I., & Cohen, C. (2007). Introducción a la lógica.
México D.F.: Limusa. pp. 245-249.
Tercera unidad:
Perelman, C., & Oldbercht-Tyteca, L. (1989). Tratado de la argumentación.
Madrid: Editorial Gredos. pp. 47-52.
Bustamante, A. (2009). Lógica y argumentación.
México D.F.: Pearson. pp. 9-22.
Perelman, C., & Oldbercht-Tyteca, L. (1989). Tratado de la argumentación.
Madrid: Editorial Gredos. pp. 52-64.
z 14 z
Cuarta unidad:
Alarcon, C. (1989). Las lógicas deónticas de Georg
H. von Wright. Alicante: Universidad de
Alicante.
z 15 z
p r i m e r a
UNIDAD
Conceptos básicos
¿Qué es la lógica? ¿Qué es razonamiento?
¿Qué son premisas y conclusiones?
z 17 z
L e c c i ó n I
LA LÓGICA Y SUS PROBLEMAS
1.1 ¿Qué es la lógica?
La lógica es el estudio de los métodos y principios que se usan para distinguir
el razonamiento bueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición no implica
que sólo el estudiante de lógica pueda razonar bien o correctamente. Pensar así
es tan erróneo como creer que para correr bien se requiere estudiar la física y la
fisiología asociadas con esa actividad. Algunos atletas excelentes ignoran por completo
los procesos complejos que tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están
compitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que saben mucho al respecto no
se atreverían a incursionar en el terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso
y muscular básico, la persona que posee tales conocimientos no puede sobrepasar al
“ e a natural”. Pero dada la misma inteligencia nata, es más probable que una persona
que ha estudiado lógica razone correctamente y menos probable que así razone una
persona que nunca ha reflexionado acerca de los principios generales involucrados en
esa actividad. Hay varias razones que explican esto. Primera, el estudio apropiado de
la lógica la entenderá lo mismo como un arte que como una ciencia, y el estudiante
se ejercitará en cada una de las partes de la teoría que está aprendiendo. En este
como en cualquier otro caso, la práctica llevará al perfeccionamiento. Segunda, una
parte tradicional del estudio de la lógica ha sido el examen y el análisis de las falacias,
que son errores muy frecuentes y “ urales” del razonamiento. Esta parte del tema
proporciona una visión más cabal acerca de los principios del razonamiento en general
y de que la familiaridad con esas trampas nos ayuda a evitar caer en ellas. Por último,
el estudio de la lógica proporcionará a los estudiantes, técnicas y métodos para verificar
la corrección de muchos tipos diferentes de razonamiento, incluyendo el suyo propio;
y cuando los errores se pueden detectar fácilmente, es menos probable que perduren.
z 18 z
l óg i c a
En ocasiones, la apelación a las emociones es un recurso eficaz. Pero la apelación a
la razón es más efectiva a la larga y se puede verificar y evaluar mediante criterios que
definen la corrección de un argumento. Si estos criterios no se conocen, entonces no
se pueden aplicar. El estudio de la lógica ayuda a descubrir y utilizar estos criterios de
corrección de argumentos que pueden usarse.
Frecuentemente, se ha definido a la lógica como la ciencia de las leyes del pensamiento.
Pero esta definición, aunque proporciona una clave para comprender la naturaleza de la
lógica, no es apropiada. En primer lugar, el pensamiento es estudiado por los psicólogos.
La lógica no puede ser “ ” ciencia de las leyes del pensamiento porque la psicología
también es una ciencia que trata de las leyes del pensamiento (entre otras cosas). Y la
lógica no es una rama de la psicología; es un campo de estudio diferente e independiente.
En segundo lugar, si “pe m e o” se refiere a cualquier proceso que tiene lugar en la
mente de las personas, no todos los pensamientos son objeto de estudio de los lógicos.
Todo razonamiento es un pensamiento, pero no todo pensamiento es razonamiento. Así,
uno puede pensar en un número del uno al diez, como sucede en un juego de salón,
sin hacer “razo m e o” alguno acerca de él. Hay varios procesos mentales o tipos de
pensamiento que son diferentes del razonamiento. Uno puede recordar algo, imaginarlo
o lamentarse de él, sin hacer razonamiento alguno en torno a ello. O puede dejar que
los pensamientos “ su ur o” en un ensueño en una fantasía, haciendo lo que los
psicólogos llaman asociación libre, en la cual una imagen reemplaza a otra en un orden
que no es lógico. La secuencia de pensamientos en esa asociación libre frecuentemente
tiene mucho significado y algunas técnicas psiquiátricas recurren a ella. El conocimiento
que se logra del carácter de una persona al internarse en el curso de su flujo de ideas es
la base de una técnica literaria muy eficaz iniciada por James Joyce en su novela Ulises.
Por el contrario, si de antemano se conoce bien el carácter de una persona es posible
reconstruir, o aun anticipar, el curso del flujo de ideas de esa persona. Sherlock Holmes,
recordemos, acostumbraba romper los silencios de su amigo Watson para responder la
misma pregunta a la que el doctor Watson se había visto “ ev do” en sus meditaciones.
Esto parece mostrarnos que hay algunas leyes que gobiernan la asociación, pero éstas
no son objeto de estudio de los lógicos. Las leyes que describen el curso de la mente en
el sueño son premisas y conclusiones psicológicas, no lógicas. La definición de la “ ó ”
como la ciencia de las leyes del pensamiento, la presenta como incluyendo demasiado.
A veces se define a la lógica como la ciencia del razonamiento. Esta definición es
mucho mejor, pero también resulta inapropiada. El razonamiento es una forma especial
de pensamiento en la cual se resuelven problemas, se realizan inferencias, esto es, se
extraen conclusiones a partir de premisas. Es un tipo de pensamiento, sin embargo, y
por lo tanto, forma parte de los temas que interesan al psicólogo. Tal como los psicólogos
examinan el proceso de razonamiento, encuentran que es extremadamente complejo,
altamente emotivo, consistente de procedimientos de ensayo y error iluminados
por momentos súbitos, y en ocasiones en apariencia irrelevantes, de comprensión o
intuición. Estos destellos son muy importantes para la psicología. El lógico, empero,
está interesado esencialmente en la corrección del proceso completo de razonamiento.
El lógico pregunta: ¿Tiene solución el problema?, ¿se sigue la conclusión de las premisas
que se han afirmado o supuesto?, ¿las premisas proporcionan buenas razones para
aceptar la conclusión? Si el problema queda resuelto, si las premisas proporcionan las
bases adecuadas para afirmar la conclusión, si afirmar las premisas constituye una
z 19 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
verdadera garantía para afirmar la verdad de la conclusión, entonces el razonamiento es
correcto. De lo contrario, es incorrecto.
Esta distinción entre el razonamiento correcto e incorrecto es el problema central con el
que trata la lógica. Los métodos y técnicas del lógico se han desarrollado con el propósito
fundamental de aclarar esta distinción. Todo razonamiento (independientemente de
su objeto) es de interés para el lógico, pero fijando su atención especialmente en la
corrección como punto central de la lógica
1.2. Premisas y conclusiones
Para aclarar la explicación de la lógica que se ofreció en la sección anterior, será útil
enunciar y discutir algunos de los términos especiales que usan los lógicos en su trabajo.
Inferencia es el proceso por el cual se llega a una proposición y se afirma sobre la base
de una o más proposiciones aceptadas como punto inicial del proceso. Para determinar
si una inferencia es correcta, el lógico examina las proposiciones que constituyen los
puntos inicial y final de este proceso, así como las relaciones que existen entre ellos.
Las proposiciones son o verdaderas o falsas, y en esto difieren de las preguntas,
órdenes y exclamaciones. Solamente las proposiciones se pueden afirmar o negar; las
preguntas se pueden responder, las órdenes se pueden dar y las exclamaciones pueden
pronunciarse, pero ninguna de ellas se puede afirmar, negar o juzgarse como verdadera
o falsa. Es usual distinguir entre las oraciones y las proposiciones que expresan.
Dos oraciones, que son claramente distintas porque constan de diferentes palabras
ordenadas en distintas formas, pueden en el mismo contexto tener el mismo significado
y emplearse para afirmar la misma proposición. Por ejemplo,
Juan ama a María. María
es amada por Juan.
Son dos oraciones diferentes, porque la primera contiene cuatro palabras mientras que la
segunda contiene cinco; la primera comienza con la palabra “Ju ”, la segunda con “M r ”,
y así sucesivamente. Pero las dos oraciones tienen exactamente el mismo significado.
Usamos el término proposición para referirnos al contenido que ambas oraciones afirman.
La diferencia entre oraciones y proposiciones puede entenderse mejor si se hace notar que
una oración es siempre oración de un lenguaje particular, del lenguaje en el cual se emite,
mientras que las proposiciones no son propias de ningún lenguaje. Las cuatro oraciones:
It is raining.
Está lloviendo.
Ji pleut.
Es regnet.
z 20 z
l óg i c a Ciertamente son diferentes, porque están escritas en lenguajes diferentes: inglés,
español, francés y alemán, pero tienen el mismo significado, y en un contexto apropiado
se pueden usar para afirmar la proposición de la cual cada una es una formulación
distinta. En diferentes contextos puede emitirse exactamente la misma proposición para
establecer diferentes enunciados. Por ejemplo, uno puede emitir la oración:
El actual presidente de Estados Unidos es un ex congresista.
Que en 1990 correspondía a un enunciado verdadero acerca de George Bush, mientras
que en 1987 correspondía a un enunciado falso sobre Ronald Reagan. En esos contextos
temporales diferentes, se puede emitir dicha oración para afirmar diferentes proposiciones
o establecer diferentes enunciados. Los términos “propo ó ” y “e u do” no
son exactamente sinónimos, pero en el contexto de la investigación lógica se usan
en un sentido muy parecido. Algunos autores prefieren el término “e u do” al de
“propo ó ”, si bien este último ha sido más común en la historia de la lógica. En esta
obra se usarán ambos términos. En correspondencia con cada inferencia posible hay un
argumento, y el principal interés de los lógicos concierne a los argumentos. Desde el
punto de vista del lógico, un argumento es cualquier conjunto de proposiciones de las
cuales se dice que una se sigue de las otras, que pretenden apoyar o fundamentar su
verdad. Por supuesto, la palabra “ r ume o” se usa frecuentemente en otros sentidos,
pero en lógica tiene el sentido que se ha explicado.
Un argumento, en el sentido lógico, no es una mera colección de proposiciones,
sino que tiene una estructura. Al describir esta estructura, suelen usarse los
términos “prem ” y “ o u ó ”. La conclusión de un argumento es la proposición
que se afirma con base en las otras proposiciones del argumento, y estas otras
proposiciones, que son afirmadas (o supuestas) como apoyo o razones para aceptar
la conclusión, son las premisas de ese argumento. El tipo más simple de argumento
consiste sólo de una premisa y una conclusión, que se dice está implicada por, o
se sigue de, la primera. Un ejemplo en el que cada una de ellas se enuncia en una
oración independiente es el siguiente:
Estados Unidos es en lo fundamental un importador de energéticos. Por tanto, hay
una certeza matemática de que la nación en su totalidad mejora, no empeora, con la
baja de los precios del petróleo.
Aquí se enuncia primero la premisa y luego la conclusión. Pero el orden en el que
son enunciadas no es importante desde el punto de vista lógico. Un argumento en el
que la conclusión se enuncia en la primera oración y la premisa en la segunda es: los
casos que provocan escándalos, así como los difíciles, perjudican la aplicación de la ley.
Los casos escandalosos se llaman así a causa de algún accidente de interés inmediato
o sobresaliente que apela a los sentimientos y distorsiona la capacidad de apreciación
de los jueces.
En algunos argumentos, la premisa y la conclusión se enuncian en la misma oración.
El siguiente es un argumento de una sola oración cuya premisa precede a su conclusión:
Como las sensaciones son esencialmente privadas, no podemos saber cómo es el mundo
para otras personas.
z 21 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
En ocasiones, la conclusión precede a la premisa en un argumento de una sola oración,
como en el siguiente ejemplo:
Cuando se ofrecen razones en un esfuerzo por persuadirnos a realizar una acción
determinada, se nos presenta algo, que es, en efecto, un argumento aun cuando la
“ o u ó ” se pueda expresar como una orden o un imperativo. Consideremos, por
ejemplo, los siguientes dos pasajes:
La sabiduría es lo principal; por tanto, hay que buscar la sabiduría.
No hay que prestar ni pedir prestado; porque al hacerlo pierde uno mismo y pierde
también a su amigo.
Aquí la orden puede igualmente preceder o seguir a la razón o razones ofrecidas para
persuadir al oyente o lector de hacer lo que se ordena. Por razones de uniformidad y
simplicidad, es útil considerar las órdenes, en estos contextos, de forma indistinguible
de las proposiciones en las que los oyentes (o lectores) reciben el mensaje de que
deben o deberían actuar de determinada forma. La diferencia exacta que existe, si es
que realmente la hay, entre una orden de hacer tal o cual cosa y el enunciado de que se
debe hacer tal o cual cosa es un intrincado problema que no necesitamos explorar aquí.
Ignorando la diferencia (si es que existe realmente) somos capaces de reconocer ambos
tipos de argumentos como grupos estructurados de proposiciones.
Algunos argumentos ofrecen varias premisas en apoyo a sus conclusiones.
Ocasionalmente, estas premisas se enumeran como primera, segunda, tercera, o a), b),
c), como en el siguiente argumento en el cual el enunciado de la conclusión precede a
los enunciados de las premisas:
Decir que los enunciados acerca de la conciencia son enunciados sobre procesos
cerebrales es una falsedad manifiesta. Esto se muestra a) por el hecho de que uno puede
describir las propias sensaciones e imágenes mentales sin saber nada acerca de los procesos
cerebrales, ni siquiera de que existen, b) por el hecho de que los enunciados acerca de la
propia conciencia y los enunciados acerca de los propios procesos cerebrales se verifican de
maneras completamente distintas, y c) por el hecho de que no hay nada contradictorio en
el enunciado “X siente un dolor pero no tiene ningún problema en el cerebro”.
En el siguiente argumento la conclusión se enuncia al final, precedida por tres premisas:
Puesto que la felicidad consiste en la paz de la mente y puesto que la paz mental
perdurable depende de la confianza que tengamos en el futuro y la confianza se basa en
el conocimiento que tenemos de la naturaleza de Dios y del alma, se sigue que la ciencia
es necesaria para la verdadera felicidad.
Saber contar las premisas de un argumento no es tan importante en esta etapa de
nuestro estudio, pero adquirirá importancia más adelante a medida que avancemos en
el análisis y la diagramación de argumentos más complicados. Para listar las premisas
del argumento precedente, no podemos apelar simplemente al número de oraciones
en las que están escritas. Si estuvieran todas ellas en una misma oración, no por ello
deberíamos negar su multiplicidad.
z 22 z
l óg i c a
Debemos notar que “prem ” y “ o u ó ” son términos relativos: una y la
misma proposición puede ser una premisa en un argumento y una conclusión en otro.
Consideremos, por ejemplo, el argumento: las leyes humanas son apropiadas para la
gran mayoría de los seres humanos. La mayoría de las personas no son perfectamente
virtuosas. Por lo tanto, las leyes humanas no prohíben todos los vicios.
Aquí, la proposición de que las leyes humanas no prohíben todos los vicios es la
conclusión y las dos proposiciones anteriores son sus premisas. Pero la conclusión de
este argumento es una premisa en el siguiente argumento (diferente):
...los actos viciosos son contrarios a los actos virtuosos. Pero las leyes humanas no
prohíben todos los vicios,... Por lo tanto, tampoco prescriben todos los actos virtuosos.
Ninguna proposición por sí misma, considerada en forma aislada, es una premisa
ni una conclusión. Es una premisa solamente cuando aparece como supuesto de un
argumento. Es una conclusión solamente cuando aparece en un argumento y pretende
fundamentarse en otras proposiciones del argumento. Así, “prem ” y “ o u ó ”
son términos relativos, como “emp e dor” y “emp e do”. Una persona en sí misma no
es empleador ni empleado, pero puede ser cualquiera de las dos cosas en diferentes
contextos: empleador de nuestro jardinero, empleado de la firma para la que uno trabaja.
Los argumentos precedentes o bien tienen sus premisas seguidas de su conclusión,
o a la inversa. Pero la conclusión de un argumento no necesita enunciarse como su
parte final o al principio del mismo. Puede suceder, y frecuentemente sucede, que se
halle en medio de diferentes premisas que se ofrecen en su apoyo. Este arreglo se
ilustra como sigue:
Puesto que la libertad y el bienestar son las condiciones necesarias de la acción y en
general de la acción exitosa, cada agente debe reconocer estas condiciones como bienes
necesarios para sí mismo, puesto que sin ellas no sería capaz de actuar para conseguir
un propósito determinado, sea en absoluto o con las oportunidades generales de lograr
el éxito”.
Aquí la conclusión de que cada agente debe reconocer estas condiciones como bienes
necesarios para sí mismo se afirma sobre la base de las proposiciones que la preceden
y de las que la siguen.
Para cumplir la meta del lógico de distinguir los argumentos buenos de los malos,
uno debe ser capaz de reconocer los argumentos cuando ocurren y de identificar sus
premisas y conclusiones. Dado un pasaje que contiene un argumento, ¿cómo puede uno
decir cuál es su conclusión y cuáles sus premisas? Hemos visto ya que un argumento
se puede enunciar poniendo primero su conclusión, colocándola al final o en medio de
varias premisas. Por tanto, la conclusión de un argumento no se puede identificar en
términos de su posición en la formulación del argumento. Entonces, ¿cómo se puede
reconocer? A veces, por la presencia de palabras especiales que aparecen en diferentes
partes de un argumento. Algunas palabras o frases sirven de manera característica para
introducir la conclusión de un argumento.
z 23 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
Llamaremos “ d dore de la o u ó ” a tales expresiones. La presencia de
cualquiera de ellas las anuncia frecuentemente, pero no siempre, que lo que sigue es
la conclusión de un argumento. Esta es una lista parcial de indicadores de conclusión:
• por lo tanto
• de ahí que
• así correspondientemente
• en consecuencia
• consecuentemente
• lo cual prueba que
• como resultado
• por esta razón
• por estas razones
• se sigue que
• podemos inferir que
• concluyo que
• lo cual muestra que
• lo cual significa que
• lo cual implica que
• lo cual nos permite inferir que
• lo cual apunta hacia la conclusión de que
Otras palabras o frases sirven de manera característica para señalar premisas de un
argumento. Llamaremos a tales expresiones “ d dore de premisas”. La presencia
de cualquiera de ellas señala frecuentemente, pero no siempre, que lo que sigue es la
premisa de un argumento. Esta es una lista parcial de indicadores de premisas:
• puesto que como es indicado por
• dado que la razón es que
• a causa de por las siguientes razones
z 24 z
l óg i c a
• porque se puede inferir de
• pues se puede derivar de
• se sigue de se puede deducir de
• como muestra en vista de que
Una vez que se ha reconocido un argumento, estas palabras y frases nos ayudan a
identificar las premisas y la conclusión. Pero no cualquier pasaje que contiene un argumento
necesita contener estos términos lógicos especiales. Consideremos, por ejemplo:
Dentro de 20 años, la única hoja de maple que quede en Canadá podría ser la del
emblema nacional. La lluvia ácida está destruyendo los árboles de maple de la zona
central y oriental de Canadá, lo mismo que de Nueva Inglaterra.
Si bien no aparecen en el pasaje anterior los indicadores de premisas o de conclusión,
se trata claramente de un argumento cuya conclusión está enunciada primero y se sigue
de una premisa que se ofrece en su apoyo.
La misma estructura aparece en el siguiente ejemplo:
Un pequeño descuido puede ocasionar un gran problema... por falta de un clavo se
perdió la herradura; por falta de herradura se perdió el caballo y por no haber caballo
se perdió el jinete.
Aunque lo anterior se podría considerar como la enunciación de una bien conocida
verdad popular que se ilustra con la pérdida de la herradura y la consecuente pérdida
del jinete, puede igualmente entenderse como un argumento cuya conclusión está
enunciada primero y seguida por tres premisas que se dicen para apoyarla. Un ejemplo
algo más complicado de un argumento en cuya formulación no aparecen indicadores de
premisas ni de conclusión es el siguiente:
Muestra de razonamiento obtuso es introducir el tema del “ bre ejer o” de la religión
en el presente caso. Nadie está forzado a ir a las clases de religión y ninguna institución
religiosa va a llevar su culto y su credo a los salones de clase de las escuelas públicas. Un
estudiante no está obligado a tomar instrucción religiosa. En sus propios deseos están
la forma o el momento de expresar su devoción religiosa, si la hay.
Aquí la conclusión, que se puede parafrasear como “el caso presente no tiene nada
que ver con el libre ejercicio de la religión”, está enunciada en la primera oración. Las
últimas tres oraciones ofrecen bases o razones en apoyo a esa conclusión. ¿Cómo
podemos saber que la primera oración enuncia la conclusión y las restantes expresan
las premisas? El contexto es de enorme ayuda aquí, como siempre suele serlo. También
resultan útiles algunas de las frases usadas para expresar las diferentes proposiciones.
La frase “mue ra de razonamiento obtuso es introducir...” sugiere que la cuestión de si
el “ bre ejercicio” de la religión está involucrado en este caso es precisamente el punto
de desacuerdo. Sugiere que alguien ha reclamado que hay un problema de libertad
religiosa en el caso y que la Corte rechaza el reclamo y, por tanto, arguye contra él.
z 25 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
Las otras proposiciones se enuncian en términos de cuestiones de hecho, sugiriendo
que no hay discusión acerca de ellos y, por tanto, no se cuestiona su aceptabilidad
como premisas.
No todo lo que se dice en el curso de un argumento es una premisa o la conclusión
del mismo. Un pasaje que contiene un argumento puede también contener otros
materiales que a veces pueden carecer de importancia, pero frecuentemente
proporcionan importante información contextual que permite al lector o al oyente
entender de qué trata el argumento. Por ejemplo, consideremos el argumento
contenido en el siguiente pasaje:
El glaucoma no tratado es causa principal de una ceguera progresiva sin dolor. Se
dispone de métodos para la detección oportuna y el tratamiento efectivo. Por esta razón,
la ceguera por glaucoma es especialmente trágica.
La tercera proposición contenida en este pasaje es la conclusión, como se muestra
por la presencia del indicador de conclusión “por esta razón”. La segunda proposición es
la premisa. La primera proposición no es parte del argumento, estrictamente hablando.
Pero su presencia nos permite entender que los métodos disponibles a los que se refiere
en la premisa son métodos para la detección oportuna y el tratamiento efectivo del
glaucoma crónico.
Si quisiéramos proporcionar un análisis completo del argumento anterior, podríamos
reformular las proposiciones que lo constituyen como sigue:
PREMISA: Existen métodos para la detección oportuna y el tratamiento eficaz del
glaucoma crónico
CONCLUSIÓN: La ceguera por glaucoma crónico es especialmente trágica.
Otro ejemplo de este punto se encuentra en uno de los ensayos de Schopenhauer:
Si el derecho penal prohíbe el suicidio, esto no es un argumento válido para la Iglesia;
y, además, la prohibición es ridícula, pues ¿qué pena puede atemorizar a una persona
que no tiene miedo ni siquiera a la muerte? Aquí, el material de la frase que precede
al punto y coma no es una premisa ni una conclusión. Pero sin esa información, no
podríamos saber a qué prohibición se refiere la conclusión. En este caso la conclusión
es que la ley criminal que prohíbe el suicidio es ridícula. La premisa ofrecida en apoyo
de ella es que ninguna pena puede atemorizar a una persona que no tiene miedo a la
muerte. Este ejemplo muestra también que las proposiciones se pueden afirmar en
forma de preguntas retóricas, que se usan para hacer afirmaciones más bien que para
plantear preguntas, aun cuando se expresan en forma interrogativa.
Otros ejemplos de argumentos que contienen enunciados formulados como preguntas
retóricas son los siguientes:
...si nadie desea ser miserable, nadie, Menón, desea el mal, pues ¿qué es la miseria
sino el deseo y la posesión del mal?
z 26 z
l óg i c a
Si una persona dice, amo a Dios y odio a mi hermano, está mintiendo: porque si no
ama a su hermano, a quien ha visto, ¿cómo puede amar a Dios, a quien no ha visto?
Al analizar el argumento de Schopenhauer, y el anterior que se refiere al libre
ejercicio de la religión, fue útil reformular algunas de sus proposiciones constituyentes.
El propósito en cada caso fue el de minimizar nuestra dependencia de sus contextos para
comprender el argumento y los papeles que en él desempeñan sus partes constituyentes.
Este interés estará presente a lo largo de este libro. Frecuentemente, queremos centrar
nuestra atención en una proposición en particular, queremos saber si es verdadera o
falsa, lo que ella implica, si es implicada por otras proposiciones, o si es la premisa o
la conclusión de un determinado argumento. En tales casos, será útil contar con una
formulación de la proposición que nos permita entenderla en forma tan independiente
del contexto como sea posible.
A veces, la naturaleza proposicional de un elemento constitutivo de un argumento se
oculta bajo su expresión como frase nominal en lugar de como oración declarativa. Esto
ocurre en el siguiente caso.
Ethan Nadelmann, profesor asistente en la Escuela de Relaciones Públicas e
Internacionales Woodrow Wilson, de la Universidad de Princeton, argumenta que la
prohibición (de las drogas fuertes) ha sido un error. Cita las oleadas de asesinatos
por motivos de narcotráfico en ciudades como Washington y Nueva York, el
congestionamiento de los tribunales y prisiones federales y estatales con prisioneros
acusados de narcotráfico, los disturbios políticos en Colombia provocados por traficantes
de drogas y la corrupción relacionada con el narcotráfico en todo el mundo.
El hecho de que este pasaje contiene un argumento está parcialmente obscurecido
por la forma gramatical de sus premisas, que son precedidas por la conclusión. Estas
premisas pueden reformularse como oraciones declarativas, y entonces quedarían
como sigue:
Se ha incrementado el número de asesinatos por narcotráfico en ciudades como Nueva
York y Washington; los tribunales y prisiones federales y estatales están atestados de
prisioneros acusados de narcotráfico; Colombia ha sido políticamente desestabilizada
por los traficantes de drogas; y en todo el mundo hay corrupción relacionada con el
narcotráfico.
Resulta así evidente que la proposición que precede a estas premisas es la conclusión
del argumento:
La prohibición (de las drogas fuertes) ha sido un error. Aunque todo argumento tiene
una conclusión, las formulaciones de algunos argumentos no contienen enunciados
explícitos de sus conclusiones. ¿Cómo se puede entender y analizar un argumento de
este tipo? La conclusión no enunciada de un argumento de este género frecuentemente
está indicada por el contexto en el cual el argumento ocurre. Algunas veces las premisas
enunciadas sugieren inequívocamente cuál debe ser la conclusión no enunciada, como
en el siguiente caso: Si él es una persona lista, no va a ir por ahí disparando sobre una
de esas personas, y él es una persona lista.
z 27 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
Aquí necesitaríamos conocer el contexto para saber quién es “u de esas personas”.
Pero no necesitamos del contexto para saber que la conclusión es: Él no va a ir disparando
por ahí sobre una de esas personas.
Otro ejemplo de un argumento con una conclusión no enunciada es: La belleza
espectacular de las costas de Mendocino y Humboldt del norte de California provoca
cada ario enormes flujos turísticos hacia esos lugares, provenientes de otras partes de
Estados Unidos y de todo el mundo... La región abunda en diversa flora y fauna marina,
incluyendo las amenazadas ballenas, focas, morsas y pájaros marinos, y las riquezas
pesqueras de esa región son de las más importantes de la costa occidental. El servicio
de pesca y fauna ha dicho que el desarrollo petrolero tendría “efectos potencialmente
devastadores” sobre estos recursos.”
A partir de las cuatro premisas enunciadas de este argumento, puede inferirse su
conclusión no enunciada: El desarrollo petrolero no se debe permitir en las aguas de las
costas Mendocino y Humboldt del norte de California.
Algunos lectores habrán quedado muy sorprendidos al leer que para analizar un
argumento con una conclusión no enunciada, uno debe saber de antemano qué es lo
que se seguiría lógicamente de las premisas enunciadas. Después de todo, ¡se supone
que en este libro se está aprendiendo lógica! ¿Cómo se puede presuponer entonces que
el lector ya sabe lógica? Si es así, ¿cuál es el objeto de leer este libro? Esta objeción no
es difícil de responder. Se presupone alguna habilidad lógica para el estudio de cualquier
tema, incluyendo la lógica misma. El estudio de la lógica puede ensanchar o agudizar
la habilidad del lector para analizar argumentos y proporcionar técnicas efectivas para
evaluar argumentos como buenos o malos, como mejores o peores. Pero debe existir
alguna capacidad lógica que se pueda agudizar o ensanchar. Como escribió C. I. Lewis,
un importante lógico del siglo XX:
El estudio de la lógica no apela a criterios que no están presentes de antemano en la
mente del estudiante... porque la tarea misma de aprender mediante la reflexión o la
discusión supone ya que nuestro sentido lógico es una buena guía.
En resumen: un argumento es un grupo de proposiciones de las cuales una, la
conclusión, pretende derivarse o seguirse de las otras, que son las premisas. Las
proposiciones son típicamente enunciadas en oraciones declarativas, pero en ocasiones
aparecen como órdenes, preguntas retóricas o frases nominales. Un argumento
completo se puede enunciar en una sola oración, pero frecuentemente varias oraciones
se utilizan en su formulación. En la presentación de un argumento, su conclusión
puede ir antes o después de las premisas, o en medio de ellas. La conclusión puede no
enunciarse explícitamente, pero puede aclararse por el contexto, o quedar implicada
por las premisas enunciadas explícitamente. La presencia de términos especiales
que funcionan como indicadores de premisas o de conclusión a menudo ayudan a
identificar y distinguir las premisas y la conclusión de un argumento. Un pasaje que
contiene un argumento puede también contener proposiciones que no son premisas
ni conclusión de ese argumento, pero que contienen información que ayuda al lector
o al oyente a entender de qué tratan las premisas y la conclusión del argumento. Al
analizar un argumento, a menudo es útil distinguir por separado las premisas que se
pueden conjuntar en una oración simple. Y al reportar el resultado de nuestro análisis
z 28 z
l óg i c a
de un argumento en su premisa (o premisas) y conclusión, es frecuente y útil formular
cada premisa independiente y la conclusión en una oración declarativa que se pueda
entender sin importar el contexto.
z 29 z
L e c c i ó n I I
PROPOSICIONES E INFERENCIAS
1.1. concePto de ProPosición
El lenguaje, en sentido estricto, es un sistema convencional de signos, es decir, un
conjunto de sonidos y grafías con sentido, sujeto a una determinada articulación interna.
Sirve para afirmar o negar (oraciones aseverativas o declarativas); expresar deseos
(oraciones desiderativas); formular preguntas (oraciones interrogativas); expresar
sorpresa o admiración (oraciones exclamativas o admirativas) e indicar exhortación,
mandato o prohibición (oraciones exhortativas o imperativas).
De todas estas clases de oraciones la lógica sólo toma en cuenta las declarativas
o aseverativas, las únicas que pueden constituir proposiciones, según cumplan o no
determinados requisitos. La proposición es una oración aseverativa de la que tiene
sentido decir que es verdadera o falsa. Ejemplos:
a) Dolly fue la primera oveja clonada.
b) El átomo es una molécula.
‘ )’ y ‘b)’ son ejemplos de proposiciones, porque tiene sentido decir que ‘ )’
es verdadera y que ‘b)’ e falsa. En consecuencia, la verdad y la falsedad son sus
propiedades, es decir, sólo las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas
z 30 z
l óg i c a
1.2. exPresiones lingüísticas Que no son ProPosiciones
Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones.
En efecto, las oraciones interrogativas, las exhortativas o imperativas, las desiderativas
y las exclamativas o admirativas no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma o
niega algo y, por lo tanto, no son verdaderas ni falsas. Asimismo, las oraciones dubitativas,
así como los juicios de valor —no obstante afirmar algo— no constituyen ejemplos de
proposiciones, pues su verdad o falsedad no puede ser establecida. Ejemplos:
c) El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
d) ¿Qué es la lógica?
e) Debemos honrar a nuestros héroes.
f) Sea en hora buena.
g) ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería!
h) Quizá llueva mañana.
i) Valentín es bueno.
‘ )’ es proposición porque es una oración aseverativa verdadera;
‘d)’ no es proposición porque es una oración interrogativa;
‘e)’ no es proposición porque es una oración imperativa o exhortativa;
‘f)’ tampoco es proposición porque es una oración desiderativa;
‘ )’ no es proposición porque es una oración exclamativa o admirativa;
‘h)’ no es proposición porque es una oración dubitativa, y finalmente;
‘ )’ no es proposición porque constituye un juicio de valor.
Finalmente, toda proposición es una oración aseverativa, pero no toda oración
aseverativa es una proposición. Ejemplos:
j) El triángulo es inteligente.
k) Eduardo es un número racional.
l) x + 3 = 5
m) a es la capital del Perú.
z 31 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
‘j)’, ‘k)’, ‘ )’ y ‘m)’ son ejemplos de oraciones aseverativas, mas no de proposiciones.
‘j)’ e ‘k)’ son expresiones lingu ísticas que tienen apariencia de proposiciones, pero
que realmente no lo son porque no tiene sentido decir de ellas que son verdaderas o
falsas. Son pseudoproposiciones, es decir, falsas proposiciones. ‘ )’ y ‘m)’ son también
ejemplos de oraciones aseverativas, pero no de proposiciones; no son verdaderas
ni falsas porque en ellas figura una o más letras sin interpretar, son ejemplos de
funciones proposicionales.
n) El principal sospechoso de los atentados del 11 de setiembre de 2001 en los
Estados Unidos.
o) El actual Presidente de la República del Perú.
‘ )’ y ‘o)’ no son proposiciones; son descripciones definidas, es decir, frases especiales
que pueden ser reemplazadas por nombres propios. ‘ )’ puede ser sustituida por Osama
bin Laden y ‘o)’ por Alejandro Toledo.
p) ‘L realidad es dur ó ’ (Bergson).
q) ‘L materia se mueve en un ciclo e er o’ (Engels).
r) ‘L condiciones de posibilidad de la experiencia en general son al mismo tiempo
las de la posibilidad de los objetos de la exper e ’ (Kant).
s) ‘Co dera bien quién eres. Ante todo, un hombre, es decir, un ser para el que
nada existe más importante que su propia capacidad de op ó ’ (Epicteto).
t) ‘F o of r (...) es el extraordinario preguntar por lo extra-ord r o’
(Heidegger).
u) ‘Nu filósofo alguno ha demostrado algo. Toda pretensión es espuria. Lo
que tengo que decir es simplemente esto: los argumentos filosóficos no son
deductivos, por lo tanto no son rigurosos, por lo que nada prueban; sin embargo,
tienen fuerz ’ (F. Waismann).
v) La ciencia y la religión son, ambas, vías respetables para adquirir creencias
respetables, no obstante tratarse de creencias que son buenas para propósitos
muy diferentes (R. Rorty).
‘p)’, ‘q)’, ‘r)’, ‘ )‘, ‘ )’, ‘u)’ y ‘v)’ no son proposiciones, sino filosofemas, es decir,
enunciados filosóficos. Ninguna de ellos puede calificarse de verdadero o falso. Su
verdad o falsedad no puede ser establecida lógica o empíricamente. En filosofía no
hay verdades, pues los enunciados filosóficos o filosofemas sólo expresan opiniones
racionalmente fundamentadas.
z 32 z
l óg i c a
EN CoNCLUSIóN:
Para que una expresión ística sea proposición debe cumplir con los siguientes
requisitos:
1) Ser oración.
2) Ser oración aseverativa, y
3) Ser o bien verdadera o bien falsa.
Por esto, no son ejemplos de proposiciones:
1) Las oraciones interrogativas, imperativas
exclamativas o admirativas y las dubitativas. o exhortativas, desiderativas,
2)
Los juicios de valor.
3)
Las pseudoproposiciones.
4)
Las funciones proposicionales.
5)
Las descripciones definidas, y
6)
Los filosofemas.
PRoPoSICIóN, oRaCIóN Y ENUNCIaDo
Es necesario distinguir una proposición (objeto conceptual o constructo) de las
oraciones (objetos ísticos) que la designan, expresan o formulan, así como es
preciso distinguir una oración de sus diversas enunciaciones (acto psicofísico) orales,
escritas, o por ademanes. En efecto, cuando enuncio, o escucho, o escribo, o leo una
oración, por ejemplo, ‘Tres es mayor que dos’, ejecuto un acto psicofísico.
En consecuencia, la enunciación y la percepción de una oración son procesos y, como
tales, objetos físicos en sentido lato. No así la oración misma: ésta puede considerarse
como una clase de enunciaciones concretas en circunstancias particulares. Una misma
oración podrá ser pronunciada por diversos sujetos, en distintas circunstancias y con
diferentes tonos de voz. Cámbiese el sujeto, o las circunstancias, o el tono de voz, y se
tendrán enunciaciones diferentes de la misma oración. Piénsese en la oración ‘3 > 2’
dicha en lenguaje interior, susurrada, gritada, o escrita en diversos lenguajes.
Asimismo, ciertas oraciones designan o expresan proposiciones. Por ejemplo, las
oraciones ‘3 > 2’, ‘III > II’, ‘Three is greater than wo’ y ‘Tres es mayor que do ’ expresan
o designan una misma proposición. Pero si bien toda proposición es expresable por una
o más oraciones, la recíproca no es cierta. En efecto, hay oraciones gramaticales que
z 33 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
no formulan proposición alguna, como por ejemplo ‘E número cinco e eó’ y ‘L raíz
cuadrada de una melodía es igual a un sueño’.
En resumen, tenemos tres clases de objetos y dos relaciones entre ellos: enuncian expresan.
Enunciados Oraciones Proposiciones
(acto psicofísico) (objeto ístico) (objeto conceptual)
CLaSES DE PRoPoSICIoNES
Éstas pueden ser de dos clases: atómicas y moleculares.
Las proposiciones atómicas (simples o elementales) carecen de conjunciones
gramaticales típicas o conectivas (‘y’, ‘o’, ‘ ... entonces’, ‘si y sólo ’) o del adverbio de
negación ‘ o’. Ejemplos:
a) San Marcos es la universidad más antigua de América.
b) La lógica es distinta a la matemática.
Las proposiciones atómicas de acuerdo a sus elementos constitutivos pueden
clasificarse en predicativas y relacionales.
Las proposiciones predicativas constan de sujeto y predicado.
Ejemplos:
c) El número 2 es par.
d) El espacio es relativo.
Las proposiciones relacionales constan de dos o más sujetos vinculados entre sí. Ejemplos:
e) Silvia es hermana de Angélica.
f) 5 es mayor que 3.
Las proposiciones moleculares (compuestas o coligativas) contienen alguna conjunción
gramatical típica o conectiva o el adverbio negativo ‘ o’. Ejemplos:
g) La lógica y la matemática son ciencias formales.
h) El tiempo es absoluto o es relativo.
i) Si dos ángulos adyacentes forman un par lineal, entonces son suplementarios.
z 34 z
l óg i c a
j) Este número es par si y sólo si es divisible por dos.
k) El Inca Garcilaso de la Vega no es un cronista puneño.
CLaSIfICaCIóN DE LaS PRoPoSICIoNES MoLECULaRES
Las proposiciones moleculares, según el tipo de conjunción que llevan, se clasifican
en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adverbio de
negación ‘ o’ se llaman negativas.
• Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción copulativa ‘y’, o sus expresiones
equivalentes como ‘e’, ‘pero’, ‘ u que’,
‘ u cuando’, ‘ o... como...’, ‘ o’, ‘ ... ‘, ‘ embargo’,
‘ demá ’, etc. Ejemplos:
a) ‘E ’ es un artículo y ‘de’ es una preposición.
b) El número dos es par, pero el número tres es impar.
c) Silvia es inteligente, sin embargo es floja.
d) Tanto el padre como el hijo son melómanos.
e) Manuel e Ismael son universitarios.
f) La materia ni se crea ni se destruye.
g) Iré a verte aunque llueva.
h) Ingresaré a la universidad aun cuando no apruebe el examen de admisión.
En las proposiciones conjuntivas no es necesario que sus proposiciones componentes
estén relacionadas en cuanto al contenido; es suficiente la presencia de la conjunción ‘y’.
Una proposición conjuntiva es conmutativa, es decir, se puede permutar el orden de
sus proposiciones componentes sin alterar la conjunción. Esto es posible en la lógica,
pero no en el lenguaje natural. En efecto, la proposición ‘Angélica se casó y tuvo diez
h jo ’ no significa lo mismo que ‘Angélica tuvo diez hijos y se casó’. En el lenguaje natural,
la primera sugiere una relación de causalidad, en cambio la segunda no. Sin embargo,
desde el punto de vista lógico, las dos proposiciones conjuntivas son equivalentes.
Las pseudoproposiciones conjuntivas son proposiciones que se presentan como si
fuesen proposiciones conjuntivas, pero que en realidad son proposiciones atómicas
relacionales. La ‘y’, de los ejemplos, tiene carácter de término relacional y no propiamente
de conjunción copulativa o conectiva. Ejemplos:
z 35 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
a) Sansón y Dalila son hermanos.
b) Sansón y Dalila son primos.
c) Sansón y Dalila son vecinos.
d) Sansón y Dalila son compadres.
e) Sansón y Dalila son contemporáneos.
f) Sansón y Dalila son condiscípulos.
g) Sansón y Dalila son paisanos.
h) Sansón y Dalila son colegas.
i) Sansón y Dalila son cuñados.
j) Sansón y Dalila son enamorados.
k) Sansón y Dalila son novios.
l) Sansón y Dalila son esposos.
m) Sansón y Dalila son amantes.
n) Sansón y Dalila son mellizos.
o) Sansón y Dalila son siameses.
p) Sansón y Dalila comparten sus ganancias.
q) Sansón y Dalila obsequian una bicicleta a su sobrina Cleopatra.
• Las proposiciones disyuntivas llevan la conjunción disyuntiva
‘o’, o sus expresiones equivalentes como ‘u’, ‘ya... ya’, ‘b e ...b e ’, ‘ora... ora’, ‘ e ...
sea’, ‘y/o’, etc.
En español la disyunción ‘o’ tiene dos sentidos: uno inclusivo o débil y otro exclusivo
o fuerte. La proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den
conjuntamente.
z 36 z
l óg i c a
La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den
conjuntamente. Ejemplos:
a) Pedro es tío o es sobrino.
b) Elena está viva o está muerta.
c) Roberto es profesor o es estudiante.
d) Silvia es soltera o es casada.
‘ )’ y ‘ )’ son proposiciones disyuntivas inclusivas o débiles porque en ellas no se
excluye la posibilidad de que Pedro pueda ser al mismo tiempo tío y sobrino o de que
Roberto sea profesor y estudiante a la vez; en cambio ‘b)’ y ‘d)’ son proposiciones
disyuntivas exclusivas o fuertes porque en ellas se excluye la posibilidad de que Elena
pueda estar viva y muerta al mismo tiempo y que Silvia sea soltera y casada a la vez.
En español no existe un signo especial para la disyunción inclusiva y otro para la
exclusiva, es decir, en ambos casos se usa la misma partícula ‘o’; mientras que en lógica
sí existen signos especiales para distinguirlas, como veremos más adelante.
• Las proposiciones condicionales llevan la conjunción condicional compuesta ‘si...
entonces...’, o sus expresiones equivalentes como ‘ ’, ‘ empre que’, ‘ o tal que’,
‘pue o que’, ‘ya que’, ‘porque’, ‘ u do’, ‘de’, ‘ menos que’, ‘ no ser que’, ‘ vo
que’, ‘ ó o ‘, ‘ o me e si’. Ejemplos:
a) Si es joven, entonces es rebelde.
b) Es herbívoro si se alimenta de plantas.
c) El número cuatro es par puesto que es divisible por dos.
d) Se llama isósceles siempre que el triángulo tenga dos lados iguales.
e) Cuando venga Raúl jugaremos ajedrez.
f) De salir el sol iremos a la playa.
g) La física relativista fue posible porque existió la mecánica clásica.
h) Nuestra moneda se devalúa solamente si su valor disminuye.
Toda proposición condicional consta de dos elementos: antecedente y consecuente.
La proposición que sigue a la palabra ‘ ’ se llama antecedente y la que sigue a la palabra
‘e o e ’ se denomina consecuente.
Toda proposición implicativa es condicional, pero no toda proposición condicional
es implicativa. En efecto, sólo las proposiciones condicionales que son tautologías son
implicativas. Para que una proposición condicional sea lógicamente correcta no es
z 37 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
necesario que haya relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente, es
decir, que la verdad en una proposición condicional es independiente de las relaciones
que puedan existir o no entre los significados del antecedente y el consecuente. Por
ejemplo, la proposición “S tierra gira alrededor del sol, entonces Lima es capital del
Perú” es verdadera no obstante no existir relación alguna entre los significados de sus
proposiciones componentes.
Finalmente, en toda proposición condicional el consecuente es condición necesaria del
antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente. Por ejemplo, en la
proposición condicional ‘ los cuerpos se calientan, entonces se dilatan’, el consecuente
‘ e d ’ es condición necesaria del antecedente ‘ e e ’ y el antecedente ‘ e
ca e ’ es condición suficiente del consecuente ‘ e dilatan’.
• Las proposiciones bicondicionales llevan la conjunción compuesta ‘... sí y sólo si...’,
o sus expresiones equivalentes como ‘ u do y sólo cuando’, ‘ ..., entonces y sólo
entonces...’, etc.
Ejemplos:
a) Nunca he oído esa música.
b) Jamás he visto al vecino.
c) Es imposible que el átomo sea molécula.
d) Es falso que el juez sea fiscal.
e) Al papá de Nelly le falta carácter.
z 39 z
L e c c i ó n I I I y I V
LOS PRINCIPIOS LÓGICOS
los símbolos Para la conjunción,
la negación y la disyunción
En este capítulo estaremos involucrados con argumentos relativamente simples como
los que se muestran a continuación:
El prisionero ciego tiene un sombrero rojo o un sombrero blanco.
El prisionero ciego no tiene un sombrero rojo.
Por lo tanto, el prisionero ciego tiene un sombrero blanco.
Y
Si el señor Robinson es el vecino del maquinista, entonces el señor
Robinson vive entre Detroit y Chicago.
El señor Robinson no vive entre Detroit y Chicago.
Por lo tanto, el señor Robinson no es el vecino del maquinista.
z 40 z
l óg i c a
Cada argumento de este tipo general contiene por lo menos un enunciado compuesto.
Al estudiar tales argumentos, dividimos todos los enunciados en dos categorías generales:
simples y compuestos. Un enunciado simple es uno que no contiene ningún otro
enunciado como componente. Por ejemplo, “C r o es mp o” es un enunciado simple.
Un enunciado compuesto es un enunciado que contiene otro enunciado como parte.
Por ejemplo, “C r o es limpio y Carlos es du e” es un enunciado compuesto, porque
contiene dos enunciados simples como componentes. Por supuesto, los componentes de
un enunciado compuesto pueden ellos mismos ser compuestos.
La noción de un componente de un enunciado es sencilla, aunque no es exactamente
lo mismo que “u parte que es ella misma un enunciado”. Por ejemplo, las últimas
cuatro palabras del enunciado “E hombre que disparó a Lincoln era un actor” podrían
de hecho considerarse como un enunciado por sí mismo. Pero ese enunciado no es un
componente del enunciado mayor del cual esas cuatro palabras forman parte. Porque una
parte del enunciado será un componente de ese enunciado solamente si se cumplen dos
condiciones: primera, que la parte debe ser en sí misma un enunciado y, segunda, que
si la parte en cuestión se reemplazara por otro enunciado el resultado sería significativo.
Aunque la primera condición se satisface en el ejemplo dado, la segunda no. Porque si
reemplazamos la parte “L o era un actor” por “Hay leones en África”, el resultado es
la expresión carente de sentido: “E hombre que disparó hay leones en Áfr ”
1. conjunción
Hay varios tipos de enunciados compuestos; cada uno requiere de su propia notación
lógica. El primer tipo de enunciado compuesto será considerado como la conjunción.
Podemos formar la conjunción de dos enunciados colocando la palabra “y” entre ellos:
los dos enunciados así combinados se llaman conjuntos. Así, el enunciado compuesto
“C r o es limpio y Carlos es du e” es una conjunción cuyo primer conjunto es “C r o
es mp o” y su segundo conjunto es “C r o es dulce”.
La palabra “y” es una palabra corta y conveniente, pero tiene otros usos aparte del
que consiste en conectar enunciados. Por ejemplo, el enunciado “L o y Grant fueron
o emporá eo ” no es una conjunción sino un enunciado simple que establece una
relación. Para contar con un símbolo único cuya función exclusiva sea la de relacionar
enunciados conjuntivamente introducimos el punto “•” como nuestro símbolo para la
conjunción. Así, la conjunción previa se puede escribir como “C r o es limpio Carlos
es dulce”. En términos más generales, donde p y q son cualesquiera enunciados, su
conjunción se escribe p • q.
Sabemos que cada enunciado es o bien verdadero o bien falso. Por lo tanto, decimos
que cada enunciado tiene un valor de verdad, donde el valor de verdad de un enunciado
verdadero es verdadero y el valor de verdad de un enunciado falso es falso. Usando
este concepto de “valor de verd d” podemos dividir los enunciados compuestos en dos
categorías distintas, según si el valor de verdad del enunciado compuesto está o no
determinado completamente por los valores de verdad de sus partes, o bien por alguna
otra cosa diferente.
z 41 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
Apliquemos esta distinción a las conjunciones. El valor de verdad de la conjunción
de dos enunciados está determinado exclusiva y totalmente por los respectivos valores
de verdad de sus componentes. Si ambos conjuntos son verdaderos, la conjunción es
verdadera; en cualquier otro caso es falsa. Por ello, se dice que una conjunción es
un enunciado compuesto veritativo funcional y sus conjuntos son sus componentes
veritativo funcionales.
Sin embargo, no todos los enunciados compuestos son veritativo funcionales. Por
ejemplo, el valor de verdad del enunciado “O e o cree que Desdémona ama a Casio” no
está en modo alguno determinado por el valor de verdad de su enunciado componente
“De démo ama a Casio”, porque Otelo puede creer que eso es cierto aun cuando no
lo sea. Así, el componente “De démo ama a C o” no es un componente veritativo
funcional del enunciado “O e o cree que Desdémona ama a C o” y este último no es un
enunciado compuesto veritativo funcional.
Para nuestros propósitos, definimos un componente de un enunciado compuesto como
veritativo funcional si cuando todas las apariciones del componente se reemplazan en
el enunciado por otro componente con Los símbolos para la conjunción, la negación y la
disyunción el mismo valor de verdad (sustituyendo uniformemente todas las apariciones
iguales del componente), el enunciado resultante tendrá el mismo valor de verdad que
el enunciado original. Definimos ahora un enunciado compuesto como un enunciado
compuesto veritativo funcional si todos sus componentes son componentes veritativo
funcionales.
Aquí estamos interesados solamente en aquellos enunciados compuestos que son
veritativo funcionales. Por tanto, en el resto del libro usaremos el término “e u do
mp e” para referirnos a cualquier enunciado, que no es un enunciado compuesto,
veritativo funcional.
Una conjunción es un enunciado veritativo funcional, así que nuestro símbolo es
una conectiva veritativo funcional. Dados dos enunciados, p y q, hay solamente cuatro
conjuntos posibles de valores para ellos, que se pueden exhibir como siguen:
si p es verdadera y q es verdadera, p • q es verdadera
si p es verdadera y q es falsa, p • q es falsa
si p es falsa y q es verdadera, p • q es falsa
si p es falsa y q es falsa, p • q es falsa
Si representamos los valores de verdad “verd dero” y “f o” mediante las letras
mayúsculas V y F, la determinación del valor de verdad de una conjunción por los valores
de verdad de su conjunto se puede representar brevemente y con mayor claridad por
medio de una tabla de verdad como la siguiente:
Esta tabla de verdad se puede tomar como definición del símbolo de punto, puesto
que explica qué valores de verdad toman p • q en cada caso posible.
z 42 z
l óg i c a
Encontraremos conveniente abreviar los enunciados simples por medio de letras
mayúsculas; generalmente usaremos para este fin una letra que nos ayude a recordar
el enunciado que abrevia. Así, abreviaremos
“C r o es limpio y Carlos es du e” como L • D. Algunas conjunciones cuyos conjuntos
tienen el mismo sujeto, como por ejemplo “Byro fue un gran poeta y Byron fue un gran
aventurero”, se enuncian más brevemente y quizás de manera más natural colocando
la “y” entre los predicados y no repitiendo el nombre de Byron, como sucede en “Byro
fue un gran poeta y gran aventurero”. Para nuestros propósitos, reconocemos la última
formulación como el mismo enunciado que el anterior y simbolizamos cada uno de ellos
indiferentemente como P • A. Si los dos conjuntos de una conjunción tienen el mismo
predicado, omo “Lewis fue un famoso explorador y Clark fue un famoso explorador”, de
nuevo usualmente escribiríamos más bien “Lew y Clark fueron exploradores famosos”.
Su formulación simbólica es L • C.
Como muestra la tabla de verdad que define el símbolo de punto, una conjunción es
verdadera si y sólo si sus dos conjuntos son verdaderos. Pero la palabra “y” tiene otro
uso en el cual significa no la mera conjunción (veritativo funcional) sino que tiene el
sentido de “y subsecuentemente”, esto es, significa sucesión temporal. Así, el enunciado
“Jo e entró al país por Nueva York y luego fue directamente a Ch o” es significativo
y puede ser verdadero, mientras que Jones fue directamente a Chicago y entró al país
por Nueva York” es ininteligible, dada la ubicación geográfica de ambas ciudades. Y hay
una diferencia entre “ omó sus zapatos y se fue a la m ” y “ e fue a la cama y tomó
sus zapatos”. Estos ejemplos enfatizan la necesidad de contar con un símbolo especial
para representar exclusivamente la conjunción veritativo funcional.
Debemos enfatizar que las palabras “pero”, “m e ras que”, “ mb é ”, “ embargo”,
“má aún”, y otras, incluso los signos de puntación de “ om ” y de “pu o y om ”
se pueden usar para conjuntar dos enunciados y, por tanto, se pueden representar
mediante el símbolo de punto.
2. negación
La negación (o contradictoria) de un enunciado en español frecuentemente se forma
insertando un “ o” en el enunciado original. Alternativamente, uno puede expresar la
negación de un enunciado prefijando la frase “e falso que”, o “ o es el caso que”. Es
usual usar el símbolo “—” (llamado tilde) para formar la negación de un enunciado. Así,
donde M simboliza el enunciado “Todos los humanos son mortales”, los enunciados “No
todos los humanos son mor e ” , “Algunos humanos no son mortales”, “E falso que
todos los humanos son mortales”, “No es el caso que todos los humanos son mor e ” se
simbolizan por igual como —M. Más generalmente, donde p es un enunciado cualquiera
su negación se escribe —p. Es obvio que la tilde es un operador veritativo funcional.
Puede reconocer como la definición del símbolo de negación “–”.
z 43 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
3. disyunción
La disyunción (o alternación) de dos enunciados se forma en español insertando la
palabra “o” entre ellos. Los dos componentes combinados de esta forma se llaman disy Un
tos (o alternativas). La palabra “o” es ambigua, tiene dos significados relacionados pero
distintos, uno de ellos se ejemplifica en el enunciado “Se otorgarán compensaciones en
el caso de enfermedad o desempleo”, porque aquí la intención obviamente es que estas
compensaciones se otorgarán no solamente a las personas que enferman o que queden
sin empleo, sino a las que les suceden los dos contratiempos a la vez. Este sentido de la
palabra “o” se llama débil o inclusivo. Una disyunción inclusiva es verdadera solamente
cuando uno o los dos disyuntos son verdaderos: solamente si los dos disyuntos son
falsos, la disyunción inclusiva es falsa. El “o” inclusivo tiene el sentido de “ u qu er,
posiblemente ambos”. Donde es vital la precisión, como en el caso de los documentos
legales, esta disyunción se puede representar como “y / o”.
La palabra “o” se usa también en un sentido fuerte o exclusivo, en el cual el significado
no es “por lo menos u o” sino “u o y sólo uno”. Cuando un restaurante pone en su menú
“e d o postre”, es claro que el precio especificado es para uno de los dos platillos,
pero no ambos. Cuando la precisión es vital, se escribe “pero no mbo ” para referirse
a este tipo de disyunción.
Interpretamos la disyunción inclusiva de dos enunciados como una afirmación de que
por lo menos uno de ellos es verdadero, y la disyunción exclusiva es una afirmación de
que por lo menos uno de los enunciados es verdadero pero no los dos al mismo tiempo.
Observemos aquí que los dos tipos de disyunción tienen una parte de significado en
común. Ese significado parcial común, en que por lo menos uno de los disyuntos es
verdadero, es el significado total del “o” inclusivo y una parte del significado del “o”
exclusivo.
Aunque las disyunciones se enuncian ambiguamente en español, no hay esa
mb edad en latín. El latín tiene dos palabras diferentes que corresponden a los
dos sentidos de la palabra en español. La palabra vel significa la disyunción débil o
inclusiva, mientras que la palabra a ut corresponde a la disyunción fuerte o exclusiva.
Se acostumbra usar la letra inicial de la palabra “ve ” para representar la disyunción en
su sentido débil o inclusivo. Si p y q son dos enunciados cualesquiera, su disyunción
débil o inclusiva se escribe como p v q. El símbolo para la disyunción inclusiva (una y)
es también una conectiva veritativo funcional. Una disyunción débil es falsa solamente
en el caso de que ambos disyuntos sean falsos. Podemos reconocer la definición de esta
conectiva en la siguiente tabla:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F V
z 44 z
l óg i c a
El primer ejemplo de argumento que se presentó en esta sección fue un silogismo
disyuntivo:
El prisionero ciego tiene un sombrero rojo o un sombrero blanco.
El prisionero ciego no tiene un sombrero rojo.
Por lo tanto, el prisionero ciego tiene un sombrero blanco.
Su forma se caracteriza diciendo que su primera premisa es una disyunción:
su segunda premisa es la negación del primer disyunto de la primera premisa y su
conclusión es el segundo disyunto de la primera premisa. Es evidente que el silogismo
disyuntivo así definido es válido bajo cualquier interpretación de la palabra “o”, esto es,
independientemente de si se trata de una disyunción inclusiva o exclusiva.’ Puesto que el
argumento típico válido que descansa en una premisa disyuntiva es, como el silogismo
disyuntivo, válido bajo cualquier interpretación de la palabra “o”, se puede efectuar
una simplificación traduciendo la palabra “o” con el símbolo lógico “y” sin importar qué
significado en español tenga la “o”. En general, solamente un examen más detallado
del contexto o de las intenciones del hablante o escritor puede revelar el sentido de “o”
que está usando. Este problema, frecuentemente difícil y hasta imposible de resolver, se
puede evitar si acordamos tratar toda ocurrencia de “o” como inclusiva. Por otra parte,
si se dice explícitamente que la disyunción es exclusiva, por medio de la frase “pero
no ambos “, por ejemplo, tenemos la maquinaria para formular indirectamente esa
condición en forma simbólica.
En todos los casos en que los dos disyuntos tienen el mismo sujeto o el mismo
predicado, frecuentemente es natural comprimir la formulación de su disyunción en
español colocando el “o” de manera tal que se evite la repetición. Así, “O bien Smith
es el propietario o Smith es el administrador” se puede escribir como “Sm h es el
propietario o el administrador” y se simboliza como O v M. Y “Red es el culpable o
Butch es el culpable” se enunciaría como “Red o Butch es el culpable” y se simboliza
como R v B. Se puede observar que las palabras “a menos que” se pueden usar para
formar la disyunción de dos enunciados. Así, “Se hará el picnic a menos que llueva” y
“A menos que llueva se hará el picnic” equivalen a “Se hará el almuerzo o lloverá” y
se simbolizan A y L.
4. Puntuación
En español la puntuación se requiere para aclarar el significado de enunciados
complejos. Se usa una gran variedad de signos de puntuación, sin los cuales muchas
oraciones serían muy ambiguas. Por ejemplo, “E maestro dice Juan está o o” tiene
significados muy diferentes dependiendo de la puntuación que tenga. Otras oraciones
requieren de la puntuación para ser entendidas. De igual manera, la puntuación es
necesaria en matemáticas. En ausencia de una convención especial, ningún número
es denotado de manera única por 2 x 3 + 5, aunque cuando se aclara cómo están
agrupados sus constituyentes significa 11 o 16, lo primero cuando se puntúa (2 x 3)
z 45 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s + 5 y lo segundo cuando se puntúa 2 x (3 + 5). Se requiere de la puntuación tanto en
matemáticas como en español para evitar la mb edad y aclarar el significado.
También se requiere de la puntuación en el lenguaje de la lógica simbólica, pues los
enunciados compuestos pueden ellos mismos estar compuestos de otros enunciados
complejos. Así, p•qvr es ambiguo, o bien significa la conjunción de p con la disyunción
de q y r o puede significar la disyunción cuyos disyuntos son la conjunción de p y q y
el enunciado r. Distinguimos entre estos dos sentidos diferentes puntuando la fórmula
dada como p • (q v r) o bien como (p • q) v r. En lógica simbólica, los paréntesis, llaves
y corchetes se usan como signos de puntuación. La diferencia que implican diferentes
formas de puntuar es clara si conocemos el caso en que p es falso y q y r son ambos
verdaderos. En este caso, la segunda fórmula puntuada es verdadera (puesto que su
segundo disyunto es verdadero) mientras que la primera es falsa (puesto que el primer
conjunto es falso). Aquí, la diferencia en la puntuación hace toda la diferencia entre
la verdad y la falsedad, pues diferentes puntuaciones producen diferentes valores de
verdad del enunciado ambiguo p • q v r.
Las palabras “o b e ” tienen una variedad de significados y usos en el español. Tienen
una fuerza conjuntiva en la oración “Hay peligro o bien de un lado o de otro “. Más
frecuentemente se usan para introducir el primer disyunto de una disyunción, como
sucede en “O bien el prisionero ciego tiene un sombrero rojo, o el prisionero ciego tiene
un sombrero b o”:
Ello contribuye al balance retórico de la oración pero no afecta su significado. Quizás
el uso más importante de las palabras “o b e ” es puntuar el enunciado compuesto.
Así la oración:
La organización se reunirá el martes y Alicia será electa o bien la elección será
pospuesta.
puede tener su ambigu edad resuelta en una dirección colocando las palabras “o
bien” en el comienzo, o en la otra dirección, insertando “o bien” antes de “Alicia”. Tal
puntuación se efectúa en el lenguaje simbólico por medio de paréntesis. La fórmula
ambigua p • q v r discutida en el párrafo precedente corresponde a la oración ambigua
examinada. Las dos puntuaciones distintas de la fórmula corresponden a las dos
puntuaciones diferentes de la oración que se efectúan mediante las dos diferentes
inserciones de las palabras “o bien”.
La negación de una disyunción frecuentemente se forma usando la frase “ ... ni”.
Así, el enunciado “O bien Fillmore o Harding fue el mayor presidente or e mer o” se
puede contradecir por medio del enunciado
“N Fillmore ni Harding fue el mayor presidente norteamericano”. La disyunción se
simbolizaría como F v H y su negación o bien como —(F v H) o como (—F) • (—H). (La
equivalencia lógica de estas dos fórmulas simbólicas se discutirá en la sección 8.5.)
Será claro que para negar una disyunción que enuncia que uno de los dos disyuntos es
verdadero se requiere que ambos sean enunciados falsos.
z 46 z
l óg i c a
En español, la palabr “ mbo ” desempeña varios papeles. Uno es cuestión de
énfasis. Decir que “Ambos, Lewis y Clark, fueron exploradores f mo o ” es meramente
enunciar con mayor énfasis que “Lew y Clark fueron exploradores famosos”, pero la
palabra “ mbo ” también tiene una función de puntuación, comparable a la de “o bien”.
Notamos en el párrafo anterior que “Ambos no son...” se puede usar para formularme
mismo enunciado que “N ... ... es...”. El orden de las palabras “ mbo ” y “ o” es muy
importante. Hay una diferencia considerable entre:
Jane y Dick no serán ambos elegidos.
Y
Jane y Dick ambos no serán elegidos.
La primera niega la conjunción J • D y se simbolizan como -(J • D).
La segunda dice que ninguno de los dos será electo, y se simboliza como (-J) • (-D).
Para fines de brevedad, esto es, de disminuir el número de paréntesis que se requiere,
es conveniente establecer la convención de que en cualquier fórmula el signo de negación
se entenderá como aplicable al enunciado más reducido que permite la puntuación. Sin
esta convención, la fórmula -p v q es ambigua, significa o bien (-p) v q o bien -(p v q).
Pero por nuestra convención adoptamos la primera de estas alternativas, pues la tilde
puede (y de hecho así es por nuestra convención) aplicarse al primer componente, p,
más bien que a la fórmula mayor p v q. Dado un conjunto de signos de puntuación para
nuestro lenguaje simbólico, es posible escribir no solamente conjunciones, negaciones y
disyunciones débiles, sino también disyunciones exclusivas. La disyunción exclusiva de
p y q afirma que por lo menos uno de ellos es verdadero, lo cual se escribe simplemente
como: (p v q) • (p • q).
La frase “ menos que” se usa en español para formar la disyunción de dos enunciados.
Así, “E picnic se hará a menos que lluev ” y “A menos que llueva se hará el p ”
equivalen a “O bien el picnic se hará o llueve” y se simboliza como P v R.
Cualquier enunciado compuesto construido a partir de enunciados simples usando
solamente las conectivas veritativo funcionales punto, tilde y o, tiene su valor de verdad
completamente determinado por la verdad o falsedad de sus enunciados componentes
simples. Si conocemos los valores de verdad de los enunciados simples, el valor de verdad
de cualquier compuesto veritativo funcional de ellos se puede calcular fácilmente. Al
trabajar con tales componentes, siempre comenzamos con sus elementos más internos
y trabajamos hacia afuera. Por ejemplo, si A y B son verdaderos y X y Y son falsos,
calculamos el valor de verdad del enunciado compuesto -[-( A •X)•( Y v -B)] como sigue.
Puesto que X es falso, la conjunción A • X es falsa y su negación -(A • X) es verdadera.
B es verdadera, su negación -B, por ende, es falsa, y puesto que Y es falsa también, la
disyunción de Y con -B también es falsa, Y y -B es falsa. La fórmula [-(A • X) • (Y y -B)]
es la conjunción de un enunciado verdadero y otro falso y, por ello, es falsa. Por tanto,
su negación, que es el enunciado completo, es verdadera. Tal procedimiento paso a paso
siempre nos permite determinar el valor de verdad de un enunciado compuesto a partir
de los valores de verdad de sus componentes.
z 47 z
C h r i s t i a n C ó r d o v a r o b l e s
Actividades de la Primera unidad
a. Reflexiona sobre que parte te llamó más la atención de esta unidad.
b. Identifica 3 casos comunicación en noticias e identifica su estructura
lógica.
c. Indaga sobre la lógica de predicados.
z 48 z
