Upload
lydung
View
252
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATEDISTRIBUSI GENERALIZED EXPONENTIAL
(Skripsi)
Oleh
MERDA GUSTINA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2016
ABSTRAK
IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATEDISTRIBUSI GENERALIZED EXPONENTIAL
Oleh
Merda Gustina
Analisis survival (survival analysis) atau kelangsungan hidup atau analisiskesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan,kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu.Distribusi dari waktu kelangsungan hidup terdiri dari tiga fungsi yaitu FungsiKepekatan Peluang (fkp), Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function), danFungsi Kegagalan (Hazard). Dari ketiganya dapat dikaji bentuk Hazard Rate padadistribusi Generalized Exponential menggunakan aturan Glaser. DistribusiGeneralized Exponential mempunyai empat bentuk hazard rate yaitu meningkat(increasing), menurun (decreasing), konstan, dan upside-down bathtub.
Kata Kunci: Distribusi Generalized Exponential, Fungsi Kelangsungan Hidup(Survival Function), Laju Kegagalan (Hazard Rate).
ABSTRACT
IDENTIFICATION CHARACTERISTIC HAZARD RATEGENERALIZED EXPONENTIAL DISTRIBUTION
By
Merda Gustina
Survival Analysis is commonly used in predicting the probability of survival,recurrence of disease, death and others event until a certain time period. Survivaltime is the data that measure time to a certain event. The distribution of survivaltimes is usually described or characterized by three functions: the probabilitydensity function, the survival function, and the hazard function. Therefore, Of thethree can be studied form of Hazard Rate on Generalized Exponential distributionusing rules Glaser. The characteristic Hazard Rate Generalized Exponentialdistribution are increasing, decreasing, constant and upside-down bathtub.
Key Word: Generalized Exponential Distribution, Survival Function, HazardRate.
IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATEDISTRIBUSI GENERALIZED EXPONENTIAL
OlehMERDA GUSTINA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai gelarSARJANA SAINS
PadaJurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis di lahirkan di Tanjung Karang, Bandar Lampung tepatnya pada tanggal 26
Agustus 1994, sebagai putri ke pertama dari pasangan Bapak Marzuki dan Ibu Siti
Sundari.
Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Al-Azhar 2 Bandar
Lampung pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 08
Bandar Lampung pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA
Negeri 13 Bandar Lampung pada tahun 2012.
Pada tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika, melalui jalur SNMPTN Tulis.
Selama menjadi mahasiswa, penulis bergabung di Himpunan Mahasiswa
Matematika (HIMATIKA) yang diamanahkan sebagai Anggota Kesekretariatan
periode 2013-2014 dan Himpunan NATURAL yang diamanahkan sebagai
Anggota Kaderisasi periode 2013-2014.
Pada bulan Januari 2015 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Badan
Pusat Statistika Provinsi Lampung guna mengaplikasikan ilmu yang telah
didapatkan sewaktu kuliah. Pada bulan Juli 2015 penulis melaksanakan Kuliah
Kerja Nyata (KKN) di Desa Candra Jaya, Kecamatan Tulang Bawang Tengah,
Kabupaten Tulang Bawang Barat.
KATA INSPIRASI
“Do the best, be good, then you will be the best”
Lakukan yang terbaik, bersikaplah yang baik maka kau akan
menjadi orang yang terbaik
Andai kegagalan adalah bagaikan hujan, dan kesuksesan
bagaikan matahari, maka kita butuh keduanya untuk bisa
melihat pelangi.
Jika kita memang harus kalah, jangan lebih dari sehari.
Rebut kemenangan itu besok
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap Alhamdulillahirobil’alamin serta dengan segala syukur,
rahmat, dan hidayah serta karunia Allah SWT dapat memberikanku kesempatan
untuk menuntut ilmu di Universitas Lampung.
Teruntuk Ayah dan Bunda ku tercinta
Setulus hatimu Bunda, searif arahanmu Ayah
Doamu hadirkan keridhaan untukku, petuahmu tuntunkan jalanku
Pelukmu berkahi hidupku, diantara perjuangan dan tetesan doa malam mu
Dan sebait doa telah merangkul diriku, menuju hari depan yang cerah
Kini diriku telah selesai dalam studi sarjana
Dengan kerendahan hati yang tulus, bersama keridhaan-Mu ya Allah,
Kupersembahkan karya tulis ini untuk yang termulia, Ayah... Bunda...Mungkin
tak dapat selalu terucap, namun hati ini selalu bicara,sungguh ku sayang kalian
Dan yang terkasih adikku (Rido Kurniawan) walaupun sering bertengkar namun
hal itu akan selalu menjadi warna yang tak tergantikan dan terima kasih dukungan
yang selalu diberikan untukku.
“Tanpa keluarga, manusia, sendiri di dunia, gemetar dalam dingin.”
SANWACANA
Alhamdulilahirabbil’alamin dengan rasa syukur kehadirat Allah SWT serta
rahmat dan karunia Nya skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi dengan judul
“IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATE DISTRIBUSI
GENERALIZED EXPONENTIAL” disusun sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) di Universitas Lampung. Selesainya
skripsi ini, adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta bimbingan dari
berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin
menyampaikan banyak terima kasih kepada:
1. Ibu Dian Kurniasari S.Si., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing 1 yang telah
meluangkan waktu dan membimbing penulis selama menyusun skripsi.
2. Bapak Warsono Ph.D, selaku Dosen Pembimbing 2 yang telah memberi
banyak masukan dan arahan kepada penulis selama menyusun skripsi.
3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si, selaku Dosen Pembahas yang memberi masukan
dan evaluasi kepada penulis selama menyusun skripsi.
4. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik
yang telah mengarahkan penulis dari awal sampai lulus kuliah.
5. Bapak Drs. Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D, selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas lampung
7. Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung
yang telah memberikan ilmu serta bantuan kepada penulis.
8. Ayah, Bunda dan Adik ku tersayang yang telah memberikan motivasi, do’a,
dan kasih sayang yang begitu besar serta dukungan moril maupun materil
kepada penulis.
9. Sahabat yang sudah seperti keluarga Lina Nur Baiti, Anisa Rahmawati, Grita
Tumpi Nagari, Naelu Rasyida, Hana Ayu Masha, Sella Nofriska dan Citra
Anggana yang selalu ada dan setia menemani saat suka maupun duka penulis
saat menempuh pendidikan di Universitas Lampung.
10. Sahabat sedari dulu hingga sekarang Anisa Rahmawati, Nina Rosita, Rizky
Samty, Devi Anggraini, Nida Amalia yang selalu memberikan motivasi
kepada penulis.
11. Sahabat sekaligus teman seperjuanganku selama mengerjakan skripsi Mutia
Adillah atas kebersamaan dalam susah senang disaat proses pembuatan skripsi.
12. Sahabatku Maria Reni Harnani dan Putri Mulia Lestari yang selalu
memberikan dukungan baik suka maupun duka selama menyelesaikan skripsi
ini.
13. Teman-teman angkatan 2012 yaitu Gery, Yefta, Ernia, Putri, Elva, Dwi, Erni
serta teman-teman yang lain yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang
selalu memberikan motivasi dan dukungan dalam menyelesaikan skripsi ini.
14. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu
persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kata sempurna, sehingga
kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan. Akhir kata, semoga
skripsi ini dapat berguna bagi pembaca sebagai acuan di penelitian selanjutnya.
Bandar Lampung, 28 April 2016
Penulis
Merda Gustina
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ....................................................................... iii
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 11.2. Tujuan Penelitian...................................................................... 21.3. Batasan Masalah....................................................................... 31.4. Manfaat Penelitian.................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Survival ...................................................................... 42.2 Fungsi Kepekatan Peluang ....................................................... 42.3 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function).................... 52.4 Fungsi Laju Kegagalan (Hazard Rate)..................................... 62.5 Distribusi Eksponensial............................................................ 102.6 Sifat-sifat Distribusi Eksponensial ........................................... 112.7 Distribusi Generalized Exponential ......................................... 12
2.7.1 Nilai Harapan Distibusi Generalized Exponential ........ 132.7.2 Ragam Distribusi Generalized Exponential.................. 14
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 163.2 Metode Penelitian..................................................................... 16
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penentuan Nilai Turunan Pertama Fungsi Kepekatan GeneralizedExponential............................................................................... 18
4.2 Mencari Nilai ( ) dan ′( ) ................................................... 194.3 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival) dan Hazard ............... 20
ii
4.4 Analisa Bentuk Kurva Hazard Rate......................................... 224.5 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized
Exponential............................................................................... 25
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponentialsaat α = 1,1 dan λ > 0 ................................................................ 25
2. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponentialsaat α = 2 dan λ > 0 ................................................................... 26
3. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponentialsaat α = 0,1 dan λ > 0 ................................................................ 27
4. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponentialsaat α = 0,9 dan λ > 0 ................................................................ 28
5. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponentialsaat α = 1 dan λ > 0 ................................................................... 29
6. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponentialsaat α = 6 dan λ > 0 ................................................................... 30
7. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Exponential..................................................................................................... 31
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Setiap kehidupan pastinya terdapat masalah yang berhubungan dengan waktu
ketahanan hidup, seperti waktu kematian atau kesembuhan penyakit seseorang.
Dalam statistika, masalah ketahanan hidup disebut juga analisis survival. Analisis
survival (survival analysis) atau kelangsungan hidup atau analisis kesintasan
bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan
peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Analisis survival
juga terdiri dari fungsi survival dan hazard rate.
Dalam analisis kelangsungan hidup tingkat probabilitas kegagalan juga
diperhitungkan yang dinamakan laju kegagalan (hazard rate). Laju kegagalan
(hazard rate) diperlukan untuk mengetahui apakah distribusi dari data dalam
fungsi kelangsungan hidup yang diasumsikan telah menggambarkan keadaan yang
sesungguhnya. Secara spesifik laju kegagalan dihitung sebagai jumlah kegagalan
pada kurun waktu dalam rentang interval dibagi dengan rata-rata jumlah kejadian
yang sukses pada nilai tengah interval. Laju kegagalan (hazard rate) mempunyai
bentuk-bentuk kurva yaitu increasing (I), decreasing (D), bathtub (∪), upside-
down bathtub (∩) dan konstan. Model peluang laju kegagalan memiliki bentuk
yang berbeda-beda untuk setiap distribusi yang berbeda.
2
Salah satunya yaitu fungsi distribusi Generalized Exponential. Distribusi
Generalized Exponential merupakan perluasan dari distribusi Exponential yang
memiliki bentuk kurva hazard konstan. Sedangkan distribusi Generalized
Exponential mempunyai bentuk kurva yang spesifik, kurva naik dari nol mencapai
titik maksimum kemudian turun dan pada saat tertentu relatif konstan mendekati
nol. Fungsi ini dapat dipergunakan untuk menggambarkan model kurva
pertumbuhan. Gupta dan Kundu (1999) memperkenalkan distribusi eksponensial
tergeneral (Generalized Exponential / GE) sebagai alternatif dari distribusi gamma
atau weibull. Fungsi distribusi dari eksponensial tergeneral adalah :( ; , λ) = αλ (1 − )dengan merupakan parameter bentuk dan λmerupakan parameter skala.
Berdasarkan latar belakang diatas akan dikaji lebih mendalam bagaimana bentuk
kurva hazard rate pada distribusi Generalized Exponential.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mendapatkan fungsi kelangsungan hidup distribusi Generalized
Exponential dan fungsi hazard distribusi Generalized Exponential
2. Mengidentifikasi karakteristik hazard rate dalam bentuk increasing,
decreasing, bathtub, upside-down bathtub atau yang terjadi pada
distribusi Generalized Exponential
3. Menggambarkan grafik fungsi hazard distribusi Generalized Exponential
3
1.3 Batasan Masalah
Agar tidak memperluas pembahasan maka penelitian ini dibatasi pada hal-hal
berikut:
1. Distibusi yang digunakan adalah distribusi Generalized Exponential
dengan 2 parameter ( , ).2. Mencari karakterisik dari hazard rate yang meliputi increasing,
decreasing, bathub, upside-down bathub dan konstan pada distribusi
Generalized Exponential menggunakan aturan Glaser.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah hasil dari penelitian ini dapat diterapkan pada
kasus ketahanan hidup yang berdistribusi Generalized Exponential (GE).
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Survival
Analisis survival adalah salah satu metode statistik yang digunakan untuk
menjawab pertanyaan apakah dan kapan suatu kejadian (event) menarik terjadi.
Analisis survival (survival analysis) atau waktu kelangsungan hidup atau analisis
kesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan,
kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu.
Distribusi dari waktu kelangsungan hidup biasanya digambarkan dan difokuskan
pada tiga fungsi yaitu:
1. Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)
2. Fungsi Kepekatan Peluang (fkp)
3. Fungsi Hazard
Ketiga fungsi ini equivalen, artinya jika satu dari ketiganya diberikan maka dua
lainnya bias diperoleh. (Xian Liu, 2012)
2.2 Fungsi Kepekatan Peluang
Seperti peubah acak kontinu lainnya, waktu kelangsungan hidup T mempunyai
fungsi kepekatan peluang (fkp) yang didefinisikan sebagai limit dari peluang
5
suatu individu yang gagal dalam interval pendek t ke t + ∆ , atau peluang
kegagalan dalam interval kecil per satuan waktu. Hal itu dapat dijelaskan sebagai:
( ) = lim∆ → ( ( , + ∆ )∆= lim∆ → Pr( < < + ∆ )∆
(2.1)( ) adalah fungsi non negatif, yaitu:( ) ≥ 0 untuk semua t ≥ 0= 0 untuk t < 0
(Xian Liu, 2012)
2.3 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)
Fungsi survival adalah probabilitas bahwa suatu individu akan tetap hidup sampai
waktu t ( > 0). Jadi jika x variabel random yang menotasikan waktu bertahan
hidup dari seorang individu, maka ( ) adalah probabilitas bahwa T lebih besar
dari . Dalam statistik fungsi kumulatif distribusi ( ) didefinisikan:( ) = ( ≤ )= ( )
Karena > 0 maka ( ) = ∫ ( ) (2.2)
Fungsi kelangsungan hidup menyatakan peluang suatu sistem tidak mengalami
kegagalan sampai batas waktu t. Fungsi ini didefinisikan sebagai:( ) = P( ℎ ℎ ℎ )
6
= P( > )= ( )
(2.3)
Dengan menggunakan definisi fungsi distribusi kumulatif ( ) = ( ≤ ), maka
fungsi survival dapat dituliskan sebagai berikut :( ) = ( > )= 1 − ( ≤ )= 1 − ( ) (2.4)
Sifat-sifat dari kelangsungan hidup S(t):
1. Fungsi tidak naik ( non-increasing) dengan (∞) = 0 dan (0) = 1Yaitu bahwa probabilitas suatu individu bertahan hidup pada waktu 0 adalah 1
dan probabilitas bertahan hidup sampai waktu mendekati tak berhingga adalah
nol.
2. Jika T peubah acak kontinu, maka S(t) kontinu. (Xian Liu, 2012)
2.4 Fungsi Laju Kegagalan (Hazard Rate)
Laju kegagalan (Hazard Rate) atau fungsi hazard menyatakan peluang sesaat
kemudian (next-instan) antara (t,t + ∆ ), kemudian diketahui bahwa suatu sistem
telah berumur t. Hazard didefinisikan sebagai:
ℎ( ) = lim∆ → Pr( < < + ∆ | ≥ )∆= lim∆ → Pr[( < < + ∆ ) ∩ ( ≥ )] /( ≥ )∆
7
= lim∆ → Pr[( < < + ∆ ∩ ≥ )]∆ Pr( ≥ )= lim∆ → Pr( < < + ∆ )∆ (1 − ( ))= lim∆ → F(t + ∆t) − F(t)∆ (1 − ( ))= 1(1 − ( )) lim∆ → F(t + ∆t) − F(t)∆ℎ( ) = ( )( ( )) = ( )( ) (2.5)
dimana f(t) adalah fungsi kepekatan (density function) dan s(t) adalah fungsi
kelangsungan hidup (survival function).
Dari persamaan ( ) = Pr( ≤ ) = ∫ ( ) , karena:
( ) = ( ) = [1 − ( )] = − ( )Maka persamaan (2.5) dapat diperoleh:
ℎ( ) = ( )( ) = − ( )( ) = − [ln ( )]sehingga diperoleh:
ln ( )| = − ℎ( )Karena s(0)= 1, maka
ln ( )| = − ℎ( )Dan diperoleh persamaan untuk fungsi kelangsungan hidup yaitu:( ) = exp −∫ ℎ( ) (2.6)
8
Dimana, s(t) : Fungsi kelangsungan hidup (survival function)
h(t) : Fungsi hazard (hazard rate/ hazard function)
Hazard rate h(t) untuk model distribusi laju kegagalan kontinu mempunyai sifat :
a. h(t) > 0
b. ∫ ℎ( ) = ∞Dari persamaan (2.5) dihubungkan dengan persamaan (2.6) akan diperoleh :( ) = ℎ( ) −∫ ℎ( ) ; ≥ 0 (2.7)
(John and Melvin, 2005)
Menurut McDonald dan Richard (1987) untuk mengetahui karakteristik fungsi
hazardnya h(t) diturunkan terhadap t sehingga:ℎ( ) = ( ) ( ) − ( )(− ( ))ℎ( ) = ( ) ( ) + ( )ℎ( ) = ( )( ) + ( )( )
Setelah diperoleh turunan pertama dari h(t), untuk mengetahui kapan h(t) naik,
turun atau konstan maka langkah selanjutnya adalah membuat,dh(t) = 0( )( ) + ( )( ) = 0( )( ) = − ( )( )( )( ) = − ( )
9
Dari persamaan di atas sekarang dapat diketahui bahwa sebuah distribusi akan
1. Memiliki laju hazard naik (increasing) jika( )( ) > − ( ),
2. Memiliki laju hazard turun (decreasing) jika( )( ) < − ( )
3. Memiliki laju hazard konstan jika( )( ) = − ( ).
Syarat cukup sebuah fungsi kepekatan bukan merupakan suatu kondisi yang
diperlukan untuk menentukan karakteristik laju hazardnya.
Menurut Glaser (1980) untuk menentukan bentuk laju hazard dengan
menggunakan metode satu turning point (titik belok). Dalam metodenya, Glaser
menggunakan fungsi kepekatan peluang. Titik belok (turning point) dari suatu
fungsi adalah suatu titik maksimum atau minimum dalam suatu fungsi atau kurva
dan didefinisikan sebagai berikut :( ) = − ( )( ) (2.8)
Fungsi ini memiliki peranan penting dalam mengkaji karakteristik fungsi dan
bentuk laju hazard. Aturan Glaser (1980) sendiri adalah sebagai berikut :
a. Jika ′( ) > 0 untuk semua > 0, maka increasing (I)
b. Jika ′( ) < 0 untuk semua > 0, maka decreasing (D)
c. Misal terdapat > 0, sehingga ′( ) < 0 untuk semuaє (0, ), ′( ) = 0, ′( ) > 0 untuk semua > , dan
Jika lim → ( ) = 0, maka increasing (I)
Jika lim → ( ) → ∞, maka bathub (U)
d. Misalkan terdapat > 0, sehingga ( ) > 0 untuk semua є (0, ),( ) < 0 untuk semua > , dan
10
Jika lim → ( ) = 0, maka upside-down bathub (∩)
Jika lim → ( ) → ∞, maka decreasing (D)
2.5 Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi kontinu pertama kali
diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi eksponensial
adalah suatu fungsi special dari distribusi gamma yang berperan penting dalam
statistika. Berikut akan dijelaskan definisi PDF (Probability Density Function)
distribusi eksponensial.
Definisi 2.5.1 (Probability Density Function) PDF distribusi eksponensial
Suatu peubah acak kontinu X berdistribusi eksponensial dengan peubah acak
eksponensial jika dan hanya jika kepekatan peluang (probability density),
mempunyai fungsi kepekatan peluang dalam bentuk:
( ) = λ λ , > 0, λ > 00, (2.9)
Dengan λ merupakan parameter skala.
Sedangkan fungsi distribusi kumulatifnya adalah:( ; λ) = 1 − , > 0 (2.10)
(Gupta dan Kundu, 1999)
2.6 Sifat-Sifat Distribusi Eksponensial
11
Adapun sifat-sifat distribusi eksponensial menurut Gupta dan Kundu pada tahun
1999 sebagai berikut:
1) ( ) = lim→ ∫ λe =Bukti :( ) = lim→ λe = lim→ λ e
= lim→ λ −λ e + 1λ e= lim→ −te + e= lim→ −te − 1λ e |= lim→ 0 − 1λ e − 1λ= 1λ
2) ( ) = ( ) − ( ( ))= lim→ λe − 1λ= lim→ λe − 1λ= lim→ λ −λ + 1λ e 2 − 1λ= lim→ − + 2 te − 1λ
12
= lim→ − + 2λ − 1λ= 0 + 2λ − 1λ = 1λ
3) ( ) = lim → ∫ λe =Bukti :( ) = lim→ λe = lim→ λ e
= lim→ λ −1λ e |= lim→ −e |= lim→ −e +e= e
4) ℎ( ) = ( )( ) = = , maka nilai hazard konstan
2.7 Distribusi Generalized Exponential
Distribusi Eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada
tahun 1999. Distribusi Eksponensial diambil dari salah satu fungsi distribusi
kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk
membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk,
yang didefinisikan sebagai berikut:( ) = (1 − −λ ) (2.11)
Kemudian dengan menstandarisasikan ρ = 1 dan x = t, diperoleh distribusi
ekponensial satu variabel (Univariate Exponential Distribution) dengan fungsi
distribusi kumulatif dan x > 0, adalah sebagai berikut:
13
( ; , λ) = (1 − ) (2.12)
dari turunan fungsi distribusi kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepekatan
peluangnya (fkp) adalah sebagai berikut:( ; , λ) = αλ (1 − ) (2.13)
Keterangan:
: Peubah acak
: Parameter Bentuk
λ : Parameter Skala
e : 2,7183
Untuk α > 0 dan λ > 0 masing–masing adalah parameter bentuk dan parameter
skala. Jika α = 1 merupakan distribusi eksponensial. Maka pada kajian parameter
α dan λ = 1 merupakan distribusi Generalized Exponential dengan parameter
bentuk di notasikan dengan GE (α). (Dobson, 2002)
2.7.1 Nilai Harapan distribusi Generalized Exponential ( , λ)
Nilai harapan dari suatu distribusi akan dijelaskan pada definisi 2.1 yaitu:
Definisi 2.1 (Nilai Harapan)
Misalkan x variabel acak, jika x variabel acak kontinu dengan fungsi kepekatan
peluang f(x) dan
| | ( ) < ∞Maka nilai harapan x adalah :
( ) = ( )
14
(2.14)
(Hogg and Craig, 1995)
Adapun nilai harapan distribusi Generalized Exponential ( , λ) menurut Gupta
dan Kundu tahun 2003 adalah:( ) = ( ( + 1) − ( (1)) (2.15)
Dimana adalah fungsi digamma.
2.7.2 Ragam Distribusi Generalized Exponential ( , λ)
Sebaran dari distribusi Generalized Eksponential ditentukan oleh standar deviasi,
.Kuadrat dari standar deviasi merupakan ragam dari distribusi GE. Definisi dan
bentuk rumus umum dari nilai ragam adapun penjelasannya sebagai berikut:
Definisi 2.2 ragam
Misalkan x merupakan sampel acak dengan rata-rata terbatas dan sedemikian
sehingga ([ − ] ) terbatas, maka ragam dari X didefinisikan sebagai ([ −] ). ([ − ] ) dinotasikan dengan atau Var (X)
Sehingga didefinisikan sebgai berikut :( ) = ([ − ] ) = ( ) − ( ( )) (2.16)
(Hogg and Craig, 1995)
Adapun menurut Gupta dan Kundu tahun 2003 nilai ragam distribusi GE ( , λ)
adalah:( ) = ([ − ] ) = ( ) − ( ( ))( ) = − ( ′( + 1) − ( ′(1)) (2.17)
15
Dimana adalah derivative dari fungsi digamma.
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian dilakukan di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Lampung tahun ajaran 2015/2016.
3.2 Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara
sistematis yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan
informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Adapun
langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari turunan pertama dan fungsi kepekatan distribusi Generalized
Exponential
2. Mencari nilai η(t) =
dan turunan pertama dari distribusi Generalized
Exponential
3. Mencari fungsi kelangsungan hidup dari distribusi Generalized Exponential
4. Mencari fungsi hazard dari distribusi Generalized Exponential
5. Melakukan analisis fungsi hazard dengan dengan menggunakan aturan
Glaser (1980) sebagai berikut:
a. Jika untuk semua t > 0, maka increasing (I)
17
b. Jika untuk semua t > 0, maka decreasing (D)
c. Misalkan terdapat sehingga untuk semua
untuk semua dan
- Jika , maka increasing (I)
- Jika , maka bathtub ( )
d. Misalkan terdapat sehingga untuk semua
untuk semua dan
- Jika , maka upside-down bathtub
- Jika , maka decreasing (D)
Dimana:
6. Membuat grafik fungsi hazard dari distribusi Generalized Exponential
dengan menggunakan program R
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, maka diperoleh
kesimpulan sebagai berikut:
1. Fungsi Kelangsungan hidup distribusi Generalized Exponential adalah1 − (1 − −λ ) sedangkan fungsi hazard distribusi Generalized Exponential
adalahα λ −λ (1− −λ ) −1(1− −λ )
2. Hazard rate berbentuk konstan untuk α =1 dan λ > 0 untuk semua > 03. Hazard rate berbentuk increasing (I) atau naik untuk 1 < α < 2,2 dan λ > 0
untuk semua > 04. Hazard rate berbentuk decreasing (D) atau turun untuk 0 < α < 1 dan λ > 0
untuk semua > 05. Hazard rate berbentuk upside-down bathtub (∩)untuk α > 3 dan λ > 0 untuk
semua > 06. Hasil analisis dengan mengunakan teorema Glaser ternyata sebanding dengan
bentuk grafik dari hazard function menggunakan software R yaitu berbentuk
increasing, decreasing, upside-down bathtub dan juga konstan
DAFTAR PUSTAKA
John P. Klein and Melvin L.M.. 2005. Survival Analysis : Techniques forCensored and Truncated Data. Second edition. Springer, New York.
Glaser,R.E. 1980. Bathtub and Related Failur Rate Characterizations. J.American Statistical Association, Vol 75, pp 667-672.
Dobson, A.J. 2002. An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman &Hall, USA.
Mc. Donald, J.B and Richards, D.O. 1987. Hazard Rate and Generalized BetaDistribution. IEEE Transaction Realibility. R-36, 463-466.
Gupta, R.D., Kundu, D., 1999. Generalized Exponential Distributions. Austral.New Zealand J. Statist. 41 (2), 173–188.
Gupta, R. D. and Kundu, D. 2003. Discriminating between the Weibull and theGE distributions. Computational Statistics and Data Analysis, vol. 43, 179 -196.
Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifthedition. Prentice-hall Inc., New Jersey.
Liu, Xian. 2012. Survival Analysis : Models and Applications. First edition.John Wiley & Sons, USA.