Matematika novembar 2010. Ikolokvijum I grupa : 1.Re{iti
matri~nu jedna~inu:X C I X A + = gde je: ((((
=((((
=0 2 17 0 17 9 22 0 02 2 03 2 2C , A .(5 poena) Re{ewe: Data
jedna~ina ekvivalentna je jedna~ini: I C X ) I A (I C X AX+ = + =
Ako uvedemo oznake: ((((
= + =((((
= =1 2 17 1 17 9 31 0 02 1 03 2 1I C D , I A B jedna~ina dobija
oblik: D B XD X B1 = = Kako je : ((((
= =1 0 02 1 07 2 111adjBB detB , to je: ((((
= =1 2 15 3 10 21 81 D B X . 2.Metodom Kramerovog pravila re{iti
sistem jedna~ina: 5 22 3 22= += + += + +z y xz y xz y x. (4 poena)
Re{ewe: Kako je determinanta sistema 0 32 1 13 2 11 1 1= == D ,
sistem ima jedinstveno re{ewe. Determinante nepoznatih jednake su:
35 1 12 2 12 1 162 5 13 2 11 2 132 1 53 2 21 1 2= = == ==z y xD , D
, D , pa je re{ewe sistema: ) , , (DD,DD,DD) z , y , x (zyx1 2 1
=||.|
\|= . 3.Dati su vektori: ) , , ( a 3 2 1 = ,) , , ( b 3 2 1 = i
) , , ( c 1 2 3 = . Odrediti:cbpr , c b a 2 i | | c , b , a . (5
poena) Re{ewe: Projekcija vektora jednaka je: 1429 4 13 4 3=+ + +
==bc bcbpr . Vektorski proizvod ra~una se preko determinante: ) , ,
(k j ib a 0 0 03 2 13 2 1 = = ,pa je) , , ( c b a 2 4 6 2 = =.
Kona~no je me{ovit proizvod vektora jednak: | | 01 2 33 2 13 2 1= =
c , b , a. 4.Rastaviti funkciju na zbir prostih razlomaka: 2 21 12
2) x )( x (xy ++= .(5 poena) Re{ewe: Kako je imenilac ve} rastavqen
na proste ~inioce i kako ~inilac12 + xima
kompleksnejednostrukenulea 21) x ( realnudvostrukunulu,to}e
rastavqawe na sabirke ove funkcije biti u obliku: 2 2 2 2111 1 12
2) x (DxCxB Ax) x )( x (xy++++= ++= . Svo|ewem na NZS i
izjedna~avawem polinoma u brojiocima, dobija se sistem: 2 12 20
2023= + = + = + + = +D C B :C B A : xD C B A : xC A : x
Akoseposledwajednakostzameniudrugu,dobijase0 2 2 = + A ,odakleje 1
= A . Potom je iz prve jedna~ine 1 = C , iz tre}e je1 = Bi kona~no
2 = D . Dakle, 2 2121111) x (xxxy++= . Predmetni nastavnik
Matematika novembar 2010. Ikolokvijum II grupa : 1.Re{iti
matri~nu jedna~inu:D C X E X + = , gde je:
((((
=((((
=((((
=2 2 52 2 11 3 61 10 12 5 21 1 31 5 12 4 31 2 5E , D , C .(6
poena) Re{ewe: Data jedna~ina ekvivalentna je jedna~ini: D C ) I E
( XD C X E X = = Ako uvedemo oznake: ((((
= =((((
= =0 15 20 9 50 3 81 2 52 3 11 3 5D C B , I E A jedna~ina dobija
oblik: 1 = =A B XB A X Kako je : ((((
= =18 25 1311 10 93 1 1191 11adjAA detA , to je: ((((
=((((
= =9 8 76 5 43 2 1171 152 133114 95 7657 38 191911A B X .
2.Metodom Kramerovog pravila re{iti sistem jedna~ina: 1 2 363 2 =
+= + += + z y xz y xz y x .(4 poena) Re{ewe: Kako je determinanta
sistema 0 132 1 31 1 11 1 2= == D , sistem ima jedinstveno re{ewe.
Determinante nepoznatih jednake su: 391 1 36 1 13 1 2262 1 31 6 11
3 2132 1 11 1 61 1 3 == = = = =z y xD , D , D , pa je re{ewe
sistema: ) , , (DD,DD,DD) z , y , x (zyx3 2 1 =||.|
\|= . 3.Datisuvektori:) , , ( a 1 2 0 = ,) , , ( b 1 2 2 = ,) ,
, ( c 1 2 1 = i) , , ( d 1 2 3 = . Ispitati da li su vektorib a , c
i d komplanarni, a potom na}icbpr . (5 poena) Re{ewe: Projekcija
vektora jednaka je: 371 4 41 4 2 =+ + ==bc bc prb. Vektorski
proizvod ra~una se preko determinante: ) , , (k j ib a 4 2 01 2 21
2 0 = = ,pa je me{ovit proizvod vektora jednak: | | 0 201 2 31 2 14
2 0= = = d , c , b a, odakle sledi da vektori d , c , b a= nisu
komplanarni . 4.Rastaviti funkciju na zbir prostih razlomaka: 2 41x
xy+= . (5 poena) Re{ewe:
Kakojeimenilacrastavqennaproste~inioceoblika) x ( x 12 2+ ,ikako
~inilac 2x imarealnudvostrukunulu,a~inilac12 + x imakompleksne
jednostruke nule, to }e rastavqawe na sabirke ove funkcije biti u
obliku: 1 112 2 2 2+++ + =+=xD CxxBxA) x ( xy . Svo|ewem na NZS i
izjedna~avawem polinoma u brojiocima, dobija se sistem: 1 100023===
+= +B :A : xD B : xC A : x Iz prve jedna~ine 0 = C , a iz druge1 =
D . Dakle, 11 12 2+ =x xy . Predmetni nastavnik
