4

01

02

Trigonometri - I Açı, Yön, Yönlü Açı, ........................................................................................................... 8

Açı Ölçü Birimleri .............................................................................................................. 10

Birim Çember .................................................................................................................... 14

Bir Açının Esas Ölçüsü ....................................................................................................... 15

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ................................................................................ 19

Özel Üçgende Trigonometrik Oranlar .............................................................................. 24

Trigonometrik Fonksiyonlar .............................................................................................. 25

Çıraklık Testi ...................................................................................................................... 33

Kalfalık Testi ...................................................................................................................... 35

Ustalık Testi ....................................................................................................................... 37

Dört Dörtlük ....................................................................................................................... 39

Trigonometri - II Trigonometrik Özdeşlikler ................................................................................................. 42

Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleri ............................................................................ 52

Tümler Açıların Trigonometrik Oranları ............................................................................. 53

Bütünler Açıların Trigonometrik Oranları .......................................................................... 57

90° den Büyük Açıların Trigonometrik Oranları ............................................................... 59

π α ve 2π α Şeklindeki İfadeler ............................................................................... 61

π 2

α ve 3π 2

α Şeklindeki İfadeler ............................................................................ 62

Negatif Açıların Trigonometrik Oranları ............................................................................ 65

Trigonometrik Fonksiyonlarda Sıralama ........................................................................... 67

Çıraklık Testi ...................................................................................................................... 71

Kalfalık Testi ...................................................................................................................... 73

Ustalık Testi ....................................................................................................................... 75

Dört Dörtlük ....................................................................................................................... 77

İÇİNDEKİLER

5

03

04

Trigonometri - III Kosinüs Teoremi ................................................................................................................. 80

Üçgenin Alanı ..................................................................................................................... 82

Sinüs Teoremi..................................................................................................................... 84

Toplam Fark Formülleri ...................................................................................................... 86

İki Kat Açı Formülleri .......................................................................................................... 96

Dönüşüm Formülleri .......................................................................................................... 102

Çıraklık Testi ...................................................................................................................... 105

Kalfalık Testi ...................................................................................................................... 107

Ustalık Testi ....................................................................................................................... 109

Dört Dörtlük ....................................................................................................................... 111

Trigonometri - IV Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu ............................................................................ 114

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ........................................................................... 117

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ....................................................................................... 119

Trigonometrik Denklemler ................................................................................................ 126

Çıraklık Testi ...................................................................................................................... 135

Kalfalık Testi ...................................................................................................................... 137

Ustalık Testi ....................................................................................................................... 139

Dört Dörtlük ....................................................................................................................... 141

Genel Tekrar Testleri ......................................................................................................... 143

11

Trigonometri – I

1. 42° 7' 2. 22° 38' 3. 20° 33' 4. 15° 42'

m(A) = 24° 18' ve m(B) = 18° 46'

olduğuna göre, m(A) + m(B) toplamını bulalım.

Öncelikle alt alta yazıp sağ taraftan toplama işlemine başlayalım.

24° 18'18° 46'

64'

Toplam altmıştan büyük olduğu için 60 ile bölmeliyiz.

24° 18'18° 46'

43° 4'

1°6460

4 dakika

601 derece (Elde olarak geçer.)

O hâlde, m(A) + m(B) = 43° 4' buluruz.

m(A) = 32° 24' ve m(B) = 24° 41'

olduğuna göre, m(A) – m(B) farkını bulalım.

Öncelikle alt alta yazıp sağ taraftan çıkarma işlemine baş-layalım.

32° 24'24° 41'

1° = 60' 24'ten 41 çıkmaz. Yandan elde almalıyız. 1 derece 60 dakika olduğundan aldığımız elde 60 olarak yansır. 24' + 60' = 84' oldu.

31° 84'24° 41'

7° 43'

32° bir elde verdiği için azaldı.

32° – 1° = 31° oldu.

O hâlde, m(A) — m(B) = 7° 43' buluruz.

1. m(A) = 25° 40' ve m(B) = 16° 27'

olduğunagöre,m(A)+m(B)toplamıkaçderecevekaçdakikadır?

2. m(A) = 3° 54' ve m(B) = 18° 44'

olduğunagöre,m(A)+m(B)açısıkaçderecevekaçdakikadır?

3. m(A) = 42° 15' ve m(B) = 21° 42'

olduğunagöre,m(A)–m(B)farkıkaçderecevekaçdakikadır?

4. m(A) = 28° 36' ve m(B) = 12° 54'

olduğunagöre,m(A)–m(B)açısıkaçderecevekaçdakikadır?

52

Trigonometrik Fonksiyonların İşaret leriKoordinat sistemi dört bölgeye ayrılır. Bölgeleri isimlen-dirmeye sağ üst köşeden başlayıp pozitif yönde ilerleriz.

x

y

III. bölge

II. bölge

IV. bölge

I. bölge90°

270°

360°180° 0°

Koordinat düzleminde eksenler dik kesiştiği için aradaki açı 90° dir. 0° lik açıyla başlayarak 90'ar 90'ar ilerler ve tam bir tur atarak 360° hareketle başladığımız noktaya gelmiş oluruz. Böylece dört bölgeyi oluştururuz.

x

y

IV. bölge

III. bölge

I. bölge

II. bölge

π 2π

π 2

3π 2

0

0°–90° arası açılar I. bölgede

90°–180° arası açılar II. bölgede

180°–270° arası açılar III. bölgede

270°–360° arası açılar IV. bölgede

240° lik açının kaçıncı bölgede olduğunu bulalım.

x

y

90°

270°

240°

360°180° 0°

III. bölge

180° < 240° < 270° olduğundan III. bölgede yer alır.

Birim çember üzerindeki P noktası için P(x, y) = P(cosθ, sinθ)

olduğu için x'in işareti cosθ nın işaretiyle y'nin işareti sinθ nın

işaretiyle aynı olur. tanθ = sinθ cosθ

olduğundan y x

oranının

işareti tanjantın işaretini verir.

Kosinüs ekseni

Sinüs ekseni

II. bölgede(–, +)

III. bölgede(–, –)

I. bölgede(+, +)

IV. bölgede(+, –)

+

–

+

–

+

–

+

–

– +– +– +–

I. bölge II. bölge III. bölge IV. bölge

sinx + + – –

tanx

cotx

+

+

– + –

– + –

cosx + – – +

sin120° ve tan300° ifadelerinin işaretini bulalım.

270°

Sinüs ekseni

Kosinüs ekseni

90°

360°180°

120° 0°

++

90° < 120° < 180° olduğundan II. böl-gededir. II. bölgede sinüs değeri + dır.

Sinüs ekseni

Kosinüs ekseni

90°

270°

360°

300°

180°0°

––

+ +

270° < 300° < 360°

olduğundan IV. böl-

gededir. IV. bölgede

x(+), y(–) olduğun-

dan tanjant değeri

c– +m = – olur.

80

Kosinüs Teoremi

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosα

a

bc

A

B C

α

43

A

B C

60°

Şekildeki ABC üçgeninde verilenlere göre, dBCd yi bulalım.

Açının karşısındaki kenara x deyip kosinüs teoremini uygu-layalım.

43

A

B x C

60°

x2 = 32 + 42 – 2.3.4.cos60°

x2 = 25 – 24. 1 2

x2 = 13 ⇒ x = 13 br

65

A

B 8 Cα

Şekildeki ABC üçgeninde verilenlere göre, cosα değerini bulalım.

Açının karşısındaki kenardan başlayarak kosinüs teoremini uygulayalım.

65

A

B 8 Cα

62 = 52 + 82 – 2.5.8.cosα

36 = 89 – 80.cosα

–53 = –80.cosα

53 80

= cosα

1.

4

A

B60°

6 C

ABC üçgen

bABb = 4 birim

bBCb = 6 birim

m(ABC) = 60°

Yukarıdakiverileregöre,dACdkaçbirimdir?

2.

4

A

α

B5

8

C

ABC üçgen

bABb = 4 birim

bACb = 5 birim

bBCb = 8 birim

Yukarıdakiverileregöre,cosαdeğerikaçtır?

3.

8

A

B

120°

C

261

ABC üçgen

bABb = 8 birim

bACb = 261 birim

m(ABC) = 120°

Yukarıdakiverileregöre,dBCdkaçbirimdir?

1. 27 2. – 23 40 3. 10

135

TRİGONOMETRİ – IV / Çırak l ık Test i

1. B 2. C 3. A 4. E 5. A 6. C 7. A 8. E

1. f(x) = 2 – sin2(3x + 1)

fonksiyonununperiyoduaşağıdakilerdenhangisidir?

A) π 4 B) π

3 C) π 2 D) π E) 2π

2. arcsine 3 2 o + arccose 3

2 o

ifadesinindeğerikaçtır?

A) π 4 B) π

3 C) π 2 D) π E) 2π

3. arcsin(–1) + arccot(–1)

ifadesinindeğerikaçtır?

A) π 4 B) π

3 C) π 2 D) π E) 2π

4. tandarccos 1 2 n + cotdarcsin 1

2 n

ifadesinindeğerikaçtır?

A) 3 3 B) 3

2 C) 1 D) 3 E) 23

5. cosdarcsin 2 3 n

ifadesinindeğerikaçtır?

A) 5 3 B) 2

3 C) 3 3 D) 2

2 E) 35 5

6. sind π 2 + arccos 1

3 n

ifadesinindeğerikaçtır?

A) –3 B) – 1 3 C) 1

3 D) 1 E) 3

7. tand2arcsin 4 5 n

ifadesinindeğerikaçtır?

A) – 24 7 B) – 4

3 C) – 7 24 D) 7

24 E) 24 7

8. tan2x = cot50°

denkleminin [0, π)aralığındakiköklertoplamıkaçtır?

A) 80° B) 90° C) 110° D) 120° E) 130°

138

TRİGONOMETRİ – IV / Ka lfa l ık Test i

9. A 10. C 11. D 12. C 13. B 14. C 15. D 16. C

9. Uygunkoşullardatanımlı

f: x → sinc π 2 xm

olduğunagöre,f–1c

1 2 mdeğerikaçtır?

A) 1 3 B) 1

2 C) 2 2 D) 2 E) 3

10. f(x) = 2sinx – 3

fonksiyonununtersfonksiyonuolanf–1(x)aşağıda-kilerdenhangisidir?

A) 2arcsinx – 3 B) 2arcsinx + 3

C) arcsinc x + 3 2 m D) arcsinc x – 3

2 m

E) arcsin(x + 3) 2

11. arccosx = arcsin 2 3

olduğunagöre,xkaçtır?

A) 5 B) 1 C) 5 2 D) 5

3 E) 5 5

12. 1 1 + cosx + 1

1 – cosx = 4

denkleminisağlayandaraçıkaçderecedir?

A) 25° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°

13. tanx + cosx 1 + sinx = 2

denkleminisağlayanxdaraçısıkaçradyandır?

A) π 3 B) π

4 C) π 6 D) π

8 E) π 12

14. sin2x + sin4x cos2x + cos4x = cotx

denkleminin enküçükpozitifkökükaçradyandır?

A) π 5 B) π

6 C) π 8 D) π

10 E) π 12

15. sec2x + cosec2x = 8

denkleminin enküçükpozitifkökükaçradyandır?

A) π 3 B) π

4 C) π 6 D) π

8 E) π 12

16. cosearctan 1 2 – arcsin 2

2 o

ifadesinindeğerikaçtır?

A) 10 10 B) 10

5 C) 310 10 D) 210

5 E) 10 2

140

TRİGONOMETRİ – IV / Usta l ık Test i

9. E 10. E 11. D 12. C 13. B 14. B 15. E

9. tand3x – π 12 n = cotd 5π

12 – xn

denkleminin [0, 2π]aralığındakikökleritoplamıkaçtır?

A) π 2 B) 7π

3 C) 8π 3 D) 3π E) 10π

3

10. sind3x + π 18 n = cosd 5π

9 – 2xn

denkleminin enküçükpozitifkökükaçtır?

A) π 12 B) π

10 C) π 8 D) π

6 E) π 5

11. x∈ d0, π 2 nolmaküzere,

sin3x cosx + cos3x

sinx = 2

denklemininkökükaçtır?

A) π 3 B) π

4 C) π 6 D) π

8 E) π 12

12. Aşağıdaki şekilde y = sinx ve y = f(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

y

y = f(x)y = sinx

x

Bunagöre,y=f(x)aşağıdakilerdenhangisiolabilir?

A) – 1 2 sinx B) sin x

2 C) 1 2 sinx

D) 2sinx E) sin2x

13. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

2

–1

–4

π

y

xπ 2

3π 2

f: [0, b) → R,

f(x) = a.cot x 2 – 1

olduğunagöre,a.bkaçtır?

A) 8π B) 6π C) 4π D) 3π E) 2π

14. arcsin 5 13 + arcsin 12

13

ifadesinindeğerikaçtır?

A) π B) π 2 C) π

3 D) π 6 E) 0

15. Aşağıdaki şekilde y = cosx ve y = f(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

y

y = f(x)

y = cosxx

Bunagöre,y=f(x)aşağıdakilerdenhangisidir?

A) 2cosx B) cos2x C) 2cos x 2

D) 1 2 cosx E) cos x

2