II.tranformations Syst.ouverts

8/17/2019 II.tranformations Syst.ouverts

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II.1

II. Echanges d’énergie dans les transformations

en système ouvert

II. Echanges d’énergie dans les transformations en système ouvert............................... II.1

1. Les formes d’énergie échangée entre le gaz et les différents composants............... II.3

1.1. Expressions de l’équation de conservation de l’énergie totale......................... II.3

1.1.1. Conservation de l’énergie totale ..............................................................II.31.1.1.1. Formulation intégrale ....................................................................... II.3

1.1.1.2. Formulation avec l’enthalpie ............................................................II.31.1.1.3. Forme locale.....................................................................................II.4

1.1.2. Conservation de l’énergie interne............................................................II.4

1.1.2.1. Formulation intégrale ....................................................................... II.4

1.1.2.2. Formulation avec l'enthalpie............................................................. II.41.1.3. Autres formulations de la conservation de l’énergie totale ....................... II.4

1.1.4. Commentaires sur ces équations.............................................................. II.5

1.2. Energie modifiable et puissance utile .............................................................II.5

1.2.1. Définition de la puissance utile................................................................ II.5

1.2.2. Interprétation physique de la puissance utile............................................ II.6

1.2.2.1. Relation entre puissance mécanique, puissance utile et puissance de

transvasement ..................................................................................................II.6

1.2.2.2. Interprétation de la puissance de transvasement ................................ II.6

1.2.2.3. Interprétation de la puissance utile.................................................... II.71.2.2.4. Relation entre puissance utile et travail utile massique échangé ........ II.7

1.2.3. Exemple d’application : compresseur et son entrée d’air.......................... II.82. Notion, définitions et utilisation des variables d’arrêt............................................ II.8

2.1. Variables d’arrêt absolues ..............................................................................II.8

2.1.1. Notion de variable d'arrêt absolue. Enthalpie d’arrêt................................ II.8

2.1.2. Définition des variables d’arrêt................................................................ II.9

2.1.3. Expression des autres variables d’arrêt..................................................II.10

2.1.3.1. Température d’arrêt........................................................................II.10

2.1.3.2. Autres variables d’arrêt ..................................................................II.10

2.1.3.3. Approximation pour un écoulement incompressible........................ II.112.2. Notions de variables statiques, d’arrêt absolues et d’arrêt relatives ............... II.11

2.2.1. Variables d’arrêt et variables statiques................................................... II.11

2.2.2. Variables d’arrêt relatives...................................................................... II.122.3. Formulation du bilan d’énergie avec les variables d’arrêt ............................. II.12

2.3.1. Expression de l’énergie échangée.......................................................... II.12

2.4. Interprétation physique des grandeurs d’arrêt ...............................................II.13

2.4.1. Interprétation de l’enthalpie d’arrêt ....................................................... II.13

2.4.2. Interprétation de la pression d’arrêt ....................................................... II.132.4.2.1. Cas d’un écoulement incompressible .............................................. II.14

2.4.2.2. Cas d’une transformation adiabatique............................................. II.142.4.2.3. Cas d’un échange de chaleur à « pression constante »..................... II.14

3. Représentation graphique des transformations. Les diagrammes enthalpique et

entropique ................................................................................................................. II.15

3.1.1. Le diagramme enthalpique....................................................................II.15

3.1.2. Le diagramme entropique...................................................................... II.15



II.2

3.1.3. Remarques significatives....................................................................... II.15

4. Les échanges usuels de travail et de chaleur........................................................ II.16

4.1. Les échanges de travail dans une turbomachine............................................ II.16

4.1.1. Les échanges usuels d'énergie mécanique.............................................. II.164.1.1.1. Les transformations typiques .......................................................... II.16

4.1.1.2. Critères d’occurrence......................................................................II.174.1.1.3. Transformations usuelles................................................................II.17

4.1.2. Comparaison entre transformations adiabatiques et isothermes.............. II.17

4.2. Les échanges usuels d'énergie calorifique..................................................... II.18

4.3. Les transformations améliorées....................................................................II.19

4.3.1. Principe des transformations para isothermes étagées ............................ II.19

4.3.2. Optimisation des transformations para isothermes étagées..................... II.19

4.3.3. Utilisation pratique................................................................................ II.20

4.3.4. L’injection de liquide ............................................................................ II.20



II.3

Le fluide véhiculé dans un propulseur est un gaz (de l’air plus ou moins mélangé à des gaz

brûlés) dont les niveaux de vitesse importants font qu’il doive être en général considéré comme

compressible. Nous allons, dans ce chapitre, rappeler les notions d’aéro-énergétique nécessaires à la

compréhension des échanges d’énergie entre le fluide moteur (gaz compressible) et les différentscomposants du propulseur (compresseurs, turbines, chambre de combustion, entrée d’air,

tuyères…).

Les notions usuelles de variables d’arrêt seront étendues (cas des écoulements compressibles,

expressions en repère relatif), introduites dans la formulation et interprétées physiquement.

Un bref rappel sera également fait sur les modes de représentation graphique des transformations

rencontrées.

Enfin, nous présenterons les échanges d’énergies mécanique et calorifique usuellement

rencontrés dans les propulseurs, ainsi que les manières de les améliorer.

1. Les formes d’énergie échangée entre le gaz et les différents composants

1.1. Expressions de l’équation de conservation de l’énergie totale

Nous allons expliciter la conservation de l’énergie totale de deux manières différentes :

- directement avec l’équation de conservation de l’énergie totale

- à partir de la conservation de l’énergie interne

Pour cela, nous allons utiliser les formes des équations de conservation, qui sont développées en

détail en Annexe 1.

1.1.1.

Conservation de l’énergie totale

1.1.1.1.Formulation intégrale

La variation de l'énergie totale contenue dans un domaine matériel Dm est égale la somme de la

puissance calorifique échangée avec l’extérieur et de la puissance des forces extérieures :

dE

dt +

dK

dt = Pe + Q (II-1.1)

ce qui, après avoir explicité les différents termes et utilisé le théorème de Reynolds, s’écrit :

" de

dt Dm # d $ + "

d (V 2

2)

dt Dm # d $ = (" q* % div

r

q) Dm

# d $ + " r

f &r

V Dm

# d $

+ div (' r

V ) Dm

# d $ %

r

V & grad p Dm

# d $ % pdiv (

r

V ) Dm

# d $

(II-1.2)

ou, en se servant de l’équation de continuité :

" de

dt Dm # d $ + "

d (V 2

2)

dt Dm # d $ = (" q* % div

r

q) Dm

# d $ + " r

f &r

V Dm

# d $

+ div(' r

V ) Dm

# d $ % " d p " ( )

dt Dm # d $ +

Dm #

( p

( t d $

(II-1.3)

1.1.1.2.Formulation avec l’enthalpie

Si on introduit l'enthalpie d'arrêt définie (voir paragraphe 2) comme :



II.4

h0= e+

p

" +

V 2

2= h+

V 2

2

l'équation d'énergie devient :

" dh0

dt Dm # d $ = (" q* % div

r

q) Dm

# d $ + " r

f &r

V Dm

# d $ + div(' r

V ) Dm

# d $ +( p

( t Dm # d $

(II-1.4)

1.1.1.3.Forme locale

En utilisant le principe de localisation (domaine matériel Dm assez petit), on obtient l'équation

locale (par unité de masse) :

dh0

dt =

1

"

# p

# t +

1

" div($

r

V )+r

f %r

V +q*& 1

" div (

r

q) (II-1.5)

1.1.2. Conservation de l’énergie interne

1.1.2.1.Formulation intégrale

La variation de l'énergie interne contenue dans un domaine matériel est égale la puissance

calorifique échangée avec l’extérieur, diminuée de la puissance des forces intérieures :

dE

dt ="Pi +Q (II-1.6)

ce qui, après avoir explicité les différents termes et utilisé le théorème de Reynolds, s’écrit :

" de

dt Dm # d $ = % :

Dm # D d $ & pdiv

r

V d $ Dm

# + " q*

Dm # d $ & div

r

q Dm

# d $ (II-1.7)

ou, en se servant de l’équation de continuité :

" de

dt Dm # d $ = % :

Dm # Dd $ & "

d p " ( )dt Dm

# d $ +dp

dt Dm # d $ + " q*

Dm # d $ & div

r

q Dm

# d $ (II-1.8)

1.1.2.2.Formulation avec l'enthalpie

En utilisant la définition de l’enthalpie statique h, l’équation précédente devient : :

" dh

dt Dm # d $ = % :

Dm # Dd $ +

dp

dt Dm # d $ + " q*

Dm # d $ & div

r

q Dm

# d $ (II-1.9)

1.1.3. Autres formulations de la conservation de l’énergie totale

Si on ajoute la variation d’énergie cinétique dans les deux membres de l’équation précédente , on

obtient une forme de l’équation faisant apparaître l’enthalpie totale (ou d’arrêt) h0 :

" dh

0

dt Dm # d $ =

dp

dt Dm # d $ + "

d V 22( )

dt Dm # d $ + % :

Dm # D d $ + " q*

Dm # d $ & div

r

q Dm

# d $ (II-1.10)



II.5

Soit, sous forme locale (par unité de masse) :

dh0

dt =

1

"

dp

dt +

d V 22( )

dt +

1

" # : D+q

*$ 1

" div

r

q (II-1.11)

1.1.4.

Commentaires sur ces équations

Rappelons les deux expressions de la conservation de l’énergie totale, développées ci-dessus :

dh0

dt =

1

"

# p

# t +

1

" div ($

r

V )+r

f %r

V +q*& 1

" div (

r

q) (II-1.5)

dh0

dt =

1

"

dp

dt +

d V 22( )

dt +

1

" # : D+q

*$ 1

" div

r

q (II-1.11)

Dans ces 2 expressions, on retrouve la puissance calorifique échangée avec l’extérieur :

dq

dt =q*

" 1

# div(

r

q) (II-1.12)

Dans la seconde, le terme1

" # : D représente la puissance intérieure des forces de viscosité : c’est

la puissance dissipative (transformation interne d’énergie cinétique en chaleur). Ce termecaractérise les irréversibilités de nature mécanique et est donc toujours positif :

dwd

dt =

" : D

# $ 0 (II-1.13)

1.2. Energie modifiable et puissance utile

1.2.1.

Définition de la puissance utile

Ecrivons les deux équations (II-1.5) et (II-1.11) sous la forme :

dh0

dt =

dwu

dt +

dq

dt (II-1.14)

avec :

dwu

dt =

1

"

# p

# t +

1

" div ($

r

V )+r

f %

r

V (II-1.15)

ou :

dwu

dt =

1

"

dp

dt +

d V 22( )

dt +

dwd

dt (II-1.16)

Ces relations sont toutes exprimées par unité de masse.

La quantité wu sera appelée travail utile spécifique, et le terme dwu /dt puissance utile spécifique.



II.6

1.2.2. Interprétation physique de la puissance utile

1.2.2.1.Relation entre puissance mécanique, puissance utile et puissance de

transvasement

Si on décompose l’enthalpie d’arrêt dans l’équation (II-1.14), il vient :

de

dt +

d V 22( )

dt = "

d p # ( )dt

+

dwu

dt +

dq

dt (II-1.17)

Si on compare cette équation à l’équation de conservation de l’énergie totale (II-1.1) sous sa

forme locale :

de

dt +

d V 22( )

dt =

dwe

dt +

dq

dt (II-1.18)

, on peut établir la relation qui relie la puissance utile à la puissance des forces extérieures (que

nous appellerons puissance mécanique) :

dwu

dt =

dwe

dt " d (" p # )

dt (II-1.19)

Nous appellerons le deuxième terme du second membre, puissance de transvasement .

1.2.2.2.Interprétation de la puissance de transvasement

Considérons une turbomachine (compresseur ou turbine), schématisée sur la figure ci-dessous.

En intégrant l’équation (II-1.19) sur le domaine Dm, contenant une masse m de fluide :

" Dm # dwu

dt d $ % " Dm # dwe

dt d $ =

" Dm # d ( p " )

dt d $

dm dm(!D ) (!D )1 2mD

f

m = "

# (t)

m = " # (t+dt)

V1V2

(!D )f

(!D' )1(!D' )2

D’où :

d

dt " w

u Dm # d $ %

d

dt " w

e Dm # d $ =

d

dt "

Dm #

p

" d $

dW u

dt "

dW e

dt =

# p

# t d $ Dm % + p

r

V &

r

n dS # Dm %

(II-1.20)



II.7

Si on fait l'hypothèse d'un écoulement permanent, et si nous tenons compte du fait que la

condition d'adhérence impose une vitesse nulle sur les parois fixes (! D f ), il vient :

dW u

dt =

dW e

dt " " p

r

V #r

n dS $ D

1%$ D

2

&

(II-1.21)

Le deuxième terme du second membre, appelé puissance de transvasement, correspond donc à la

puissance des forces de pression sur les surfaces libres d'entrée et de sortie.

1.2.2.3.Interprétation de la puissance utile

Si on revient sur le schéma simplifié de machine présenté ci-dessus, on constate que les forces

extérieures de surface peuvent s’exercer sur trois contours distincts : l’enveloppe extérieure de la

machine, les parois mobiles de cette même machine (essentiellement les aubages des rotors) et

les surfaces de contrôle amont et aval (nous faisons volontairement abstraction des forces de

volume, représentées ici par la pesanteur, et complètement négligeables dans le cas d’un

écoulement de gaz) :

- les forces s’exerçant sur les parois extérieures fixes (! D f ) ne travaillent pas et ne permettent donc d’échanger aucune puissance

- les forces d’aubages génèrent une puissance qui est celle effectivement échangée entre

le fluide et la machine

- les forces s’exerçant sur les surfaces de contrôle (! D1) et (! D

2) correspondent à la

puissance de transvasement définie ci-dessus.

D’après l’équation (II-1.21) précédente, la puissance utile représente donc la puissance

réellement échangée avec la machine.

1.2.2.4.Relation entre puissance utile et travail utile massique échangé

La puissance utile échangée avec la masse m de fluide s’exprime par :

Pu=

dW u

dt =

d

dt " w

u

Dm

# d $ =% (" w

u)

% t Dm

# d $ + " wu

% Dm

# r

V &r

n dS

(II-1.22)

Si nous nous plaçons dans le cas d’un écoulement permanent et que nous intégrons le fait que la

vitesse est nulle sur les parois fixes, il vient :

Pu= " w

u

# D1$# D

2

% r

V &r

n dS = wu

# D1$# D

2

% d m(II-1.23)

, où d ˙m représente

le débit-masse élémentaire traversant la machine.Il vient finalement :

Pu= m"w

u (II-1.24)

, où "wu représente l’échange de travail utile massique entre l’entrée et la sortie de la machine.

L’équation (II-1.14) peut également s’écrire :

"h0= "h+" V

22( ) = "wu +"q (II-1.25)



II.8

1.2.3. Exemple d’application : compresseur et son entrée d’air

Soit un compresseur à flux continu (turbomachine), constitué d’un conduit d’entrée d’air et

d’une roue mobile, aspirant de l'air en régime permanent, dans un local aux conditions ambiantes

de pression et de température.

Considérons successivement le domaine D1 englobant la machine entre les surfaces (! D1) et

(! D2) puis le domaine D0 situé en amont de la machine entre les surfaces (! D0) et (! D1), comme

schématisés sur la figure ci-dessous.

(!D )1V(!D )2(!D )0

D0

D1

Si nous considérons le domaine D1, il y a, à la fois, travail utile échangé (par l'intermédiaire des

pales mobiles) et travail des forces de pression sur les surfaces de contrôle (! D1) et (! D2

) (car les

pressions p1 et p

2 sont différentes). Nous avons donc :

"wu # 0 et "w

e # 0

Si nous considérons maintenant le domaine D0, il n'y a aucun travail échangé avec les paroismatérielles (travail utile). Par contre, si la puissance des forces de pression est bien nulle sur(! D0

) (si on la situe suffisamment loin pour considérer que la vitesse du fluide y est nulle), elle

ne l'est pas sur (! D1) Donc :

"wu= 0 et "w

e # 0

2. Notion, définitions et utilisation des variables d’arrêt

2.1. Variables d’arrêt absolues

2.1.1.

Notion de variable d'arrêt absolue. Enthalpie d’arrêtConsidérons un écoulement permanent de fluide, n'échangeant ni travail ni chaleur avec

l'extérieur, et uniforme dans tout le champ (p, T, !, angle et module de la vitesse constants).

Plaçons-y une sonde fixe de température (par exemple un thermocouple) et une sonde fixe de

pression (par exemple un tube de pression).Considérons les deux lignes de courant qui s'arrêtent sur les sondes aux points d'arrêt (M 2 sur le

thermocouple et M'2 sur la sonde de pression).



II.9

x

x

p, T, !,

M M

M' M'

1

1

2

2

V

Si on applique l'équation (II-1.25) de conservation de l'énergie entre les points 1 et 2, sur

chacune de ces deux lignes de courant :

"h+" V 22( ) = "wu +"q = 0 (II-2.1)

D’où : h2= h

1+V

1

2

2

L'enthalpie au point 2 englobe donc à la fois l'enthalpie statique et l'énergie cinétique en 1, d'où

son nom d'enthalpie totale. Mais, c'est aussi l'enthalpie obtenue après avoir arrêté le fluide, d'où

son nom d'enthalpie d'arrêt . On retrouve la définition de l'enthalpie d'arrêt que l'on avait utiliséedans le paragraphe 1.1.1.2 :

h0= h+V

22 (II-2.2)

Si on disposait d’un « enthalpie mètre » au point M2, on mesurerait donc l’enthalpie d’arrêt.

Cette notion de variable d’arrêt peut également s’étendre aux autres variables d’état. Ainsi, le

thermocouple et la sonde de pression, en positions fixes, vont donc mesurer une température et

une pression d'arrêt.En ce qui concerne la pression, il convient cependant de préciser, comme nous le faisons dans le

paragraphe qui suit, comment s'est effectué cet arrêt.

2.1.2. Définition des variables d’arrêt

Les variables d’arrêt (ou totales) sont les variables que l’on obtiendrait par une transformation

fictive ramenant le fluide à vitesse nulle, isentropiquement et sans échange de travail .

Remarques :

- c’est une définition en un point qui est toujours vraie (définition)

- elle est donc indépendante de la transformation que subit le fluide d’un point à un autre(qui peut être, par exemple, adiabatique mais irréversible, donc non isentropique)

- il n’est pas nécessaire d’arrêter le fluide pour définir les valeurs d’arrêt (mais on peut lesmesurer de cette manière)

- ces variables sont aussi appelées totales, car elles englobent la valeur statique et la partie

cinétique.

Remarques :

-cette définition est compatible avec celle de l'enthalpie d'arrêt (qui n'exige pas, en ce qui

la concerne, l'hypothèse de réversibilité)

- l'état d'arrêt (même s'il est fictif) est un état au sens thermodynamique : les variables y

caractérisant le fluide sont donc régies par l'équation thermique d'état.



II.10

Cette équation peut donc s’appliquer indifféremment aux variables statiques ou aux variables

d’arrêt, à savoir, pour un gaz parfait :

p = " rT et p0= "

0 r T

0 (II-2.3)

2.1.3.

Expression des autres variables d’arrêt

2.1.3.1.Température d’arrêt

Dans le cas d'un gaz parfait : h =C p(T ) "T

D’où :

h0

C p(T )

=T +V

2

2C p(T )

Si on remarque que le terme V 22C

p

garde des valeurs modérées (" 50 K pour de l'air à

V=300 m/s), on peut considérer que :

h0 =C p(T 0 ) "T 0 # C p(T ) "T 0

D’où :

T 0=T +

V 2

2C p=T 1+

V 2

2C pT

"

# $ $

%

& ' ' (II-2.4)

Remarques :

- T est la température statique qui représente l'énergie cinétique moyenne d'agitation

moléculaire (de nature aléatoire)- V

22C p est la température dynamique qui représente l'énergie cinétique du mouvement

d'ensemble des molécules

- il est aussi possible d’introduire le nombre de Mach dans cette expression :

M =V

a=

V

" rT

(II-2.5)

Il vient :

V 2

2C pT =

" r

2C p

V 2

a2

=

" #1

2 M

2 (II-2.6)

D'où :

T 0=T 1+

V 2

2C pT

"

# $ $

%

& ' ' =T 1+

( )1

2 M

2"

# $

%

& ' (II-2.7)

2.1.3.2.Autres variables d’arrêt

- D’après la définition des variables d’arrêt, il vient :

p0

p=

T 0

T

"

# $

%

& '

(

( )1



II.11

D’où, la pression d’arrêt :

p0= p 1+

V 2

2C pT

"

# $ $

%

& ' '

(

( )1

= p 1+( )1

2 M

2"

# $

%

& '

(

( )1

(II-2.8)

- De même, la masse volumique d’arrêt :

" 0= " 1+

V 2

2C pT

#

$ % %

&

' ( (

1

) *1

= " 1+) *1

2 M

2#

$ %

&

' (

1

) *1 (II-2.9)

- L’entropie d’arrêt est, par définition, identique à l’entropie statique.

En effet, l’entropie étant associée à une quantité de chaleur (échangée ou produite par

irréversibilité mécanique), elle ne dépend pas du repère considéré.

Donc :

s =C p Log T ( )" r Log p( ) =C p Log T 0( )" r Log p0( ) = s0 (II-2.10)

ou, à une constante près C p Log r (ce qui importe peu car l’entropie n’est définie qu’à une

constante près) :

s =C v Log p "

# ( ) =C v Log p

0 "

0

# ( ) = s0 (II-2.11)

2.1.3.3.Approximation pour un écoulement incompressible

Les effets de compressibilité sont négligeables si le gaz se déplace à basse vitesse. On considère

généralement que la limite acceptable de l'approximation est M < 0.3. Dans le cas de l’air :

" #1

2 M

2$ 0.4

20.3

2$ 0.02 <<1

soit, en effectuant un développement limité au premier ordre de l’expression (II-2.8) :

p0 " p 1+

#

# $1

# $1

2 M

2%

& '

(

) * = p +

#

2

p

# rT V

2

On retrouve alors l’expression connue :

p0= p+

1

2" V

2 (II-2.12)

2.2.

Notions de variables statiques, d’arrêt absolues et d’arrêt relatives

2.2.1. Variables d’arrêt et variables statiques

- Nous avons vu que, physiquement, les pression et température d'arrêt étaient les pression et

température "ressenties" par des sondes de mesure fixes.

- Pour mesurer les variables statiques, il ne faut pas modifier la dynamique du fluide : il faudrait

donc des sondes qui soient solidaires d'un référentiel lié au fluide, ce qui est difficilement

réalisable.



II.12

En pratique, on résout le problème en insérant les capteurs dans une paroi parallèle à

l'écoulement : c’est le cas des sondes de paroi (essentiellement de pression) ou de la prise de

pression statique d’un tube de Pitot.

- Si on se rappelle que le phénomène de pression résulte de l'intégrale des forces d'impact des

molécules sur la paroi, on comprend aisément que si on place un capteur sur une paroi :- parallèle au mouvement du fluide, la pression mesurée n'inclut que les chocs liés au

mouvement aléatoire des molécules : c'est la pression statique

- perpendiculaire au mouvement du fluide, la pression mesurée inclut à la fois les chocs

liés au mouvement aléatoire des molécules et ceux liés à leur mouvement d'ensemble de vitesser

V : c'est la pression totale.

2.2.2. Variables d’arrêt relatives

Lorsqu'une sonde est liée à un référentiel qui n'est ni fixe, ni solidaire des particules de fluide,

elle mesure une quantité que l'on appelle variable d'arrêt relative.

Prenons l'exemple des pales d'un compresseur, qui sont animées d'un mouvement de rotationuniforme. Le gaz possède, dans le référentiel lié aux pales, une certaine vitesse

r

W (dite vitesse

relative, différente de la vitesse absoluer

V ).

Lorsqu’une particule « s’arrête » sur le bord d’attaque d’une aube, elle possède en réalité une

vitesser

U qui est celle de la pale en rotation (c’est uniquement la vitesse relativer

W qui

s’annule).

La température "ressentie" par la pale au point d'arrêt est alors la température d'arrêt relative :

T 0 R=T +W

22C p (II-2.13)

Il en est de même de la pression ressentie, qui est la pression d’arrêt relative :

p0 R= p 1+W

22C

pT ( )

"

" #1 (II-2.14)

2.3. Formulation du bilan d’énergie avec les variables d’arrêt

2.3.1. Expression de l’énergie échangée

La puissance calorifique échangée avec l’extérieur et la puissance dissipée par effet visqueux

(irréversibilité de nature mécanique) sont, toutes deux, causes d'augmentation d'entropie, donc :

dq

dt +dwd

dt =T

dsq

dt +T

dsd

dt =T

ds

dt =T

ds0

dt

(II-2.15)

Les expressions (II-1.14), (II-1.16) et (II-2.15) conduisent à :

dh0

dt =

1

"

dp

dt +

d V 22( )

dt +T

ds

dt (II-2.16)

D'où, pour un gaz parfait :



II.13

1

"

dp

dt +

d V 2 2( )dt

=

dh0

dt #T

ds0

dt

= C pdT

0

dt

#T 0

ds0

dt

+

V 2

2C p

ds0

dt

(II-2.17)

Et, en utilisant l’expression de l’entropie, équation (II-2.10) :

1

"

dp

dt +

d V 22( )

dt = C p

dT 0

dt # C p

dT 0

dt #

r T 0

p0

dp0

dt

$

% &

'

( ) +

V 2

2C p

ds0

dt

=

1

" 0

dp0

dt +

V 2

2C p

ds0

dt

(II-2.18)

L'expression (II-2.16) devient donc :

dh0

dt =

1

" 0

dp0

dt +

V 2

2C p

ds0

dt +T

ds0

dt (II-2.19)

soit :

dh0

dt =

1

" 0

dp0

dt +T

0

ds0

dt (II-2.20)

- Interprétation physique du passage de l’expression (II-2.16) à l’expression (II-2.20) de

l’énergie échangée.

Si au lieu de passer directement de l’état initial en mouvement à l’état final en mouvement, on

décompose la transformation en trois phases :

- passage aux conditions d’arrêt de l’état initial

- transformation de l’état initial à l’arrêt à l’état final à l’arrêt

- retour aux conditions en mouvement de l’état final.

Comme, par définition, il n’y a aucun échange ni de travail, ni de chaleur, ni modificationd’entropie lors des phases 1 et 3, la transformation de la phase 2 est énergétiquement en tous

points identique à la transformation réelle. On obtient donc directement l’expression (II-2.20).

2.4.

Interprétation physique des grandeurs d’arrêt2.4.1. Interprétation de l’enthalpie d’arrêt

D’après l’équation (II-1.25), on peut dire que l’enthalpie d’arrêt représente l’énergie modifiable

du fluide (par échange de travail utile avec une machine ou par échange de chaleur).

2.4.2. Interprétation de la pression d’arrêt

Avec les équations (II-1.16) et (II-2.18), on peut aussi s’écrire :

dwu

dt "

dwd

dt =

1

#

dp

dt +

d V 22( )

dt =

1

# 0

dp0

dt +

V 2

2C p

ds0

dt (II-2.21)



II.14

2.4.2.1.Cas d’un écoulement incompressible

L’équation (II-2.21) s’écrit :

d

dt

p

" +

V 2

2

#

$ %

&

' ( =

dwu

dt ) dwd

dt (II-2.22)

Sans échange de travail (dwu /dt =0), la variation de pression d’arrêt est égale (au signe près) à la

puissance des forces dissipatives (dwd /dt ), qu’il y ait ou non échange de chaleur :

Elle se conserve donc, s’il n’y a pas de dissipation (c’est l’équation de Bernoulli)

Donc, dans ce cas, la pression d’arrêt représente l’énergie mécanique du fluide.

2.4.2.2.Cas d’une transformation adiabatique

En écoulement compressible, sans échange de travail ni de chaleur (dwu /dt = dq/dt =0), l’équation(II-2.21) s’écrit :

1

" 0

dp0

dt = #

dwd

dt #

V 2

2C p

ds0d

dt = #

dwd

dt 1+

V 2

2C pT

$

% & &

'

( ) ) (II-2.23)

La variation de pression d’arrêt n’est plus tout à fait égale à la puissance des forces dissipatives.

Mais elle se conserve toujours, s’il n’y a pas de dissipation.

On peut donc encore considérer que la pression d’arrêt représente toujours l’énergie mécanique.

- Remarque : ordre de grandeur relatif du terme supplémentaire.

Pour une température ambiante (288K) et une vitesse de l’ordre de 170 m/s (M=0.5), le secondterme de la parenthèse ne contribue que pour 5%.

2.4.2.3.Cas d’un échange de chaleur à « pression constante »

Sans échange de travail ni dissipation (dwu /dt = dwd /dt =0), l’équation (II-2.21) s’écrit :

0 =1

" 0

dp0

dt +

V 2

2C p

ds0q

dt =

1

" 0

dp0

dt +

V 2

2C pT

dq

dt (II-2.24)

Soit :

1

" 0

dp0

dt =#

V 2

2C pT

dq

dt =#

$ #1

2 M

2 dq

dt (II-2.25)

D’où, en utilisant la loi d’état et les relations entre les coefficients du gaz :1

p0

dp0

dt ="

#

2 M

2 1

C pT 0

dq

dt (II-2.26)

Remarques :

- Le couplage entre la thermique et l’aérodynamique dans le cas des écoulements

compressibles (au travers de l’équation d’énergie) apparaît clairement ici.

- Cependant, si l’écoulement est basse vitesse, le coefficient du second terme est petit.Prenons le cas d’une chambre de combustion d’un réacteur double flux au point de croisière,

avec un nombre de Mach dans la chambre de l’ordre de 0.2, une température d’entrée de

chambre de 700 K et une élévation de température de 850K. La baisse relative de pressiond’arrêt au passage de la chambre est de l’ordre de 2% (cette baisse passerait à 12% pour un

nombre de Mach de 0.5).



II.15

3. Représentation graphique des transformations. Les diagrammesenthalpique et entropique

Pour les machines à flux continu, on utilise couramment les diagrammes enthalpique (h, s) ou

entropique (T, s) pour représenter les transformations.

3.1.1. Le diagramme enthalpique

C’est un diagramme énergétique.

- En ordonnée, est représentée l’énergie modifiable du fluide.

Compte tenu de l’équation (II-1.25), on peut donc y visualiser directement :

- les échanges de travail utile dans le cas des transformations adiabatiques- les échanges de chaleur dans le cas des transformations à pression constante

- les transferts entre énergie cinétique et enthalpie statique dans le cas des transformations

sans échange d’énergie

- En abscisse, dans le cas de compressions et détentes adiabatiques (cas usuels – voir paragraphe

4.1), sont représentées les pertes par dissipation visqueuse (positives ou nulles d’après le second

principe). Ces transformations sont donc représentées par des segments de droites verticales dans

le cas idéal, ou s’incurvant toujours vers la droite (que ce soient des compressions ou des

détentes) dans le cas réel.

Dans ce cas, ce diagramme peut donc être qualifié de représentation (quantité, qualité) des

transferts énergie.

3.1.2.

Le diagramme entropique

Lorsqu’on a affaire à un gaz parfait , évoluant dans des plages de températures limitées, lediagramme entropique peut se substituer au diagramme enthalpique, car il lui est équivalent.

Alors, en effet :

h0=C pT 0 , où C p est une constante

- Les isothermes sont alors des droites horizontales.

- Les isobares représentent assez bien les apports de chaleur usuels (voir paragraphe 4.2).

L’équation de ces isobares s’obtient partir de l’équation (II-2.20), en prenant en compte le fait

que :

- p0 est constante

- h0=C pT 0 , en supposant C p constant

Il vient :

d (C pT 0 )

dt =T 0

ds0

dt " T 0 = K e

s0

C p (II-3.1)

Les isobares sont donc des exponentielles croissantes, dont la pente ne dépend que de T 0.

Elles se déduisent donc l’une de l’autre par une translation horizontale.

3.1.3. Remarques significatives

- Dans le cas où le gaz ne peut être considéré comme parfait, il est indispensable d'utiliser lediagramme enthalpique, du fait que C p n’est plus constant mais dépend de T et p. Les courbes



II.16

d’iso-valeurs sont alors distordues par rapport à celles décrites ci-dessus, mais leurs évolutions

générales ne sont pas remises en question.

- Les isobares sont séparées par un écart vertical qui croit avec la température. Ainsi, une compression coûtera d’autant moins cher que la température d’entrée des gaz sera

basse. A contrario, une détente récupérera d’autant plus d’ énergie que cette température estélevée.

4. Les échanges usuels de travail et de chaleur

Nous qualifions dans la suite d’usuelles les transformations que nous rencontrons dans lamajorité des éléments constituant un propulseur (compresseurs, turbines, chambres de

combustion…).Ces transformations sont en pratique irréversibles.

Cependant, pour certaines démonstrations, nous ferons parfois l’hypothèse de transformations

réversibles, dites idéales, lorsque cette hypothèse ne retire rien à la généralisation de la

conclusion. Ce sera le cas dans ce paragraphe.

4.1. Les échanges de travail dans une turbomachine

4.1.1. Les échanges usuels d'énergie mécanique

4.1.1.1.Les transformations typiques

On peut considérer qu'il y a deux façons extrêmes d'échanger du travail avec un système, latransformation adiabatique et la transformation isotherme :

- dans le cas d'une transformation adiabatique, le système n'échange, par définition,

aucune chaleur avec le milieu extérieur

- dans le cas d'une transformation isotherme, les échanges de chaleur avec l’extérieur

sont, au contraire, favorisés au maximum, afin que la température reste constante quelles que

soient les détentes ou compressions opérées. :

En effet :" q =C p dT + hdp , avec C p > 0 et h < 0

Si une compression est adiabatique : dp > 0 , donc dT > 0

Si on désire dT = 0 , alors dq < 0 : il faut évacuer la quantité de chaleur " q = h dp

h0

s

h02

h01

p02

p01



II.17

4.1.1.2.Critères d’occurrence

Deux critères vont essentiellement conditionner le fait qu’une transformation va être plutôt

isotherme ou adiabatique :- la perméabilité thermique de l'enveloppe : paroi adiabatique (parfaitement isolante) ou

diatherme (parfaitement perméable)

- la durée de la transformation : il est évident que plus la transformation sera lente, plus lesystème aura le temps d'échanger de la chaleur avec l'extérieur, et plus on tendra vers une

transformation isotherme. Les transformations seront, au contraire, d'autant mieux assimilables à

des transformations adiabatiques qu'elles seront rapides.

4.1.1.3.Transformations usuelles

Dans la majorité des cas de machines à flux continu que sont les turbomachines rencontrées dans

les propulseurs (compresseurs et turbines), les faibles surfaces d'échange avec l'extérieur,

associées au court temps de transit du fluide au contact de la paroi (lié au débit) font que les

échanges de chaleur sont négligeables par rapport aux échanges de travail

Dans ce cas, où les compressions et détentes s’apparentent à des adiabatiques, les seules

augmentations d’entropie possibles résultent des phénomènes de dissipation visqueuse. La

puissance utile peut donc alors s’écrire :

dwu

dt =

1

"

dp

dt +

d V 2 2( )dt

+T ds

d

dt =

dh0

dt (II-4.1)

4.1.2.

Comparaison entre transformations adiabatiques et isothermes

- On peut s'interroger sur quel type de transformation est le plus intéressant pour l'utilisateur,c’est-à-dire quel type de compression nécessite le moins de travail utile et quel type de détente

permet de récupérer le plus de travail utile.

On peut répondre à cette question en observant simplement la représentation de ces deux

transformations dans un diagramme de Clapeyron ( p0 ,1/ " 0 ).

Comparons les pentes de ces deux courbes, en faisant l'hypothèse d'un gaz parfait :

- Isotherme : p0 = " 0rT 0 =

rT 0

1 " 0

# dp

0

d (1 " 0 )

$

% &

'

( ) T 0ct

= * p

0

1 " 0

- Adiabatique : p0 =

K

1 " 0( )#

$ dp

0

d (1 " 0 )

%

& '

(

) * Isent .

= +# p

0

1 " 0

L'adiabatique a donc une pente plus importante que l'isotherme.

- Considérons une compression de p01

à p02

( p02

> p01

) réalisée alternativement par les deux

processus.

Dans le cas simplifié d’un fluide parfait, le travail utile s'exprime par :

"wu =1

# 0

1

2

$ dp0

C'est donc l'aire comprise entre la courbe représentative et l'axe des p0.

On constate donc que :

"wu( )

adiab.

> "wu( )

isoth.

Pour augmenter la pression de p01 à p02, il faut fournir d'avantage de travail avec une

compression adiabatique qu'avec une compression isotherme.



II.18

- Dans le cas d'une détente de p01

à p02

( p02

< p01

), on constate cette fois que :

"wu adiab.

< "wu isoth.

Pour une détente donnée de p01 à p02, on récupère plus de travail avec une détente isotherme

qu'avec une détente adiabatique.

- Conclusions :

- les transformations adiabatiques sont énergétiquement moins intéressantes que les

transformations isothermes

- pour se rapprocher d'une isotherme, il faut donc essayer de refroidir une compression

ou de réchauffer une détente

- cependant, vu les faibles surfaces d'échange, il est illusoire d'essayer de refroidir une

compression ou de réchauffer une détente de façon continue

- pour rapprocher une compression d'une isotherme, une technique consiste à injecter de du liquide pulvérisé qui, en se vaporisant, provoque l’abaissement de la température de l’air

- d’autre part, pour les compressions et les détentes, il est possible de se rapprocher d’une

isotherme de façon discontinue : ce sont les transformations para isothermes étagées, que nous

présentons dans le paragraphe 4.3.

4.2. Les échanges usuels d'énergie calorifique

- Comme pour le travail, on peut considérer qu'il y a deux façons extrêmes d'échanger de la

chaleur avec un système : à pression ou à volume constant .

Dans les échangeurs de chaleur, les refroidisseurs et les chambres de combustion, si on négligeles pertes de charge et les effets de compressibilité, la circulation du fluide s'effectue

à PRESSION CONSTANTE .

- Les problèmes pratiques (liés à la nécessité de mettre en place un système de valves et à

l'écoulement pulsé qui en résulte) empêchent d'envisager une solution à volume constant dans les

machines à flux continu.

- Comparons les quantités de chaleur nécessaires pour faire passer l'unité de masse de fluide de

la température T 01

à la température T 02

par les deux processus :

"qv=

C v (T 02 #T 01)=

C v

C p$C p (T 02 # T 01)

=

1

% "q p

p0

1/!0

p02

p01

adiabatique

isotherme

p0

1/!0

p01

p02

isotherme

adiabatique



II.19

Comme # > 1 : "qv< "q

p

Les apports de chaleur à pression constante sont donc énergétiquement moins intéressants queles apports à volume constant.

4.3.

Les transformations amélioréesAfin de se rapprocher de transformations isothermes, nous présentons ici les deux techniques

indiquées dans le paragraphe 4.1.2 :

- les transformations para isotherme étagées (réchauffage intermédiaire des détentes ouréfrigération intermédiaire des compressions)

- l’injection de liquide au niveau d’une compression.

4.3.1. Principe des transformations para isothermes étagées

Les transformations para isothermes étagées proposent des améliorations par rapport aux

compressions et détentes adiabatiques usuelles. Elles tendent effectivement à se rapprocher des

transformations isothermes, plus intéressantes énergétiquement.

Elles sont constituées d'une succession de N transformations adiabatiques, séparées par N-1

échanges de chaleur à pression constante.Dans le cas d'une compression, l'échange de chaleur est une réfrigération ; c'est un réchauffage

dans le cas d'une détente. Après chaque échange de chaleur, le fluide sera ramené à satempérature initiale.

Nous allons chercher à optimiser cette transformation pour un nombre de transformations

élémentaires N donné, le produit des taux partiels de compression ou de détente devant

évidemment correspondre au taux total désiré (de compression) ou disponible (de détente). Cette

optimisation va porter sur le travail utile échangé.

4.3.2. Optimisation des transformations para isothermes étagées

Considérons, pour la démonstration, le cas d'une compression dans le cas simplifié d’un fluide parfait.

La compression adiabatique intermédiaire d'indice n consomme un travail utile :

"wun="h0n =

C p(T 0i n #T 0i n#1

)

Quant aux refroidissements intermédiaires, effectués sans échange de travail utile et sans pertes

de charge, nous les supposerons réalisés à pression constante :

"wun=

1

# 0n$1

n

% dp0= 0

s0

p0i n-1

p0i n p0i 2 p0i 1

p01

p02

T02

T01

T0 p0i N-1

T0i n



II.20

Le travail utile total nécessaire à la compression est, après calculs :

"wu = "wu

nn=1

N

# =C pT 01 $ n

% &1

%

n=1

N

# & N '

( )

*

+ ,

D'autre part, le taux de pression global est tel que :

" =

p02

p01

= " n

n=1

N

#

L'optimisation consiste à minimiser le travail utile total fourni, ce qui conduit à la solution :

" 1= "

2=LL= "

N = "

1 N

T 0i1=T

0i2=LL=T

0i N =T

02

(II-4.2)

Les pressions intermédiaires sont donc en progression géométrique, ce qui correspond à des

températures en fin de compression toutes identiques.

4.3.3.

Utilisation pratiqueEn pratique : comme nous le verrons ultérieurement, les détentes para isothermes étagées sont

plus fréquemment utilisées que les compressions. Cela est notamment dû à ce que :

- dans le cas d’un propulseur ou d’un turbomoteur, le gain sur le rendement global du

cycle est d'autant plus important que les améliorations portent sur les zones à grand échange

d'énergie, c’est-à-dire à haute température, ce qui est le cas des phases de détente et non decompression

- les systèmes de réchauffage (chambres de combustion) sont d'une efficacité, d'un

encombrement, d'un poids et d'un coût nettement plus intéressants que les systèmes de

réfrigération (refroidisseurs) moins adaptés pour une solution embarquée.

4.3.4.

L’injection de liquideCette technique consiste à pulvériser un liquide qui, se vaporisant au cours de la compression, va

refroidir le fluide véhiculé et, de ce fait, améliorer l’efficacité de la compression.

En pratique, le liquide est un mélange d’eau et de méthanol (le méthanol permet d’abaisser la

température de congélation et brûle dans la chambre de combustion).

Documents

II.tranformations Syst.ouverts