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Tesis de Grado
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTES
“IMPLEMENTACIÓN Y ANÁLISIS DE ESTRATEGIAS
NUMÉRICAS ESTOCÁSTICAS DE OPTIMIZACIÓN GLOBAL
SOBRE ESQUEMAS DE CONTROL DE PROCESOS”
TESIS
PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA QUÍMICA
PRESENTA
I.Q.M. ELENA ELSA BRICIO BARRIOS
ASESOR
DR. JOSÉ ENRIQUE JAIME LEAL
COMITÉ
DR. ADRIÁN BONILLA PETRICIOLET
DR. CARLOS ALBERTO SOTO BECERRA
Aguascalientes, Ags; Marzo del 2015
ÍNDICE
ÍNDICE DE TABLAS ................................................................................................................. V
ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................. VII
LISTA DE SÍMBOLOS ............................................................................................................. IX
ABREVIATURAS ....................................................................................................................... X
RESUMEN ................................................................................................................................... 1
1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 2
1.1 Introducción .......................................................................................................... 2
1.2 Objetivos ................................................................................................................ 3
1.2.1 General ............................................................................................................ 3
1.2.2 Específicos ....................................................................................................... 3
1.3 Planteamiento del problema ................................................................................ 4
1.4 Justificación ........................................................................................................... 4
2. MARCO TEÓRICO ............................................................................................................... 5
2.1. Modelación de sistemas ....................................................................................... 5
2.2. Esquemas de control de procesos ....................................................................... 6
2.2.1. Control On-Off............................................................................................... 6
2.2.2. Control PID .................................................................................................... 7
2.2.3. Control Adaptativo ..................................................................................... 12
2.2.4. Control de Modo Deslizante (SMC) ........................................................... 12
2.2.5. Control Híbrido ........................................................................................... 18
2.3. Sintonización de parámetros para un sistema de control .............................. 19
2.3.1. Sintonización de parámetros a través de estrategias empíricas .............. 19
2.3.2. Sintonización de parámetros a través de estrategias numéricas............. 21
2.4 Estrategia numérica estocástica de optimización global Cuckoo Search ...... 24
2.4.1. Funcionamiento del algoritmo de optimización Cuckoo Search ............ 25
2.5 Evaluación de la robustez del sistema de control ............................................. 25
3. METODOLOGÍA ................................................................................................. 27
3.1. Incorporación de un sistema de control de procesos ...................................... 27
3.2. Descripción de los esquemas de control ........................................................... 28
3.3. Incorporación de una estrategia numérica de optimización global en un
esquema de control de procesos ............................................................................... 28
3.4 Descripción del funcionamiento del esquema de control de procesos con el
algoritmo de optimización para el ajuste de parámetros de control .................... 29
3.5 Criterio para evaluar la robustez de los sistemas de control .......................... 31
3.6. Sistemas de procesos estudiados ....................................................................... 31
4. RESULTADOS ..................................................................................................... 33
4.1 Evaluación de un sistema de control en el proceso de tanques interconectados
.................................................................................................................................... 33
4.2 Evaluación de un sistema de control para un proceso de tanque de reacción
con agitación continua .............................................................................................. 37
4.2.1 Implementación de un sistema de control PI ............................................. 41
4.2.2 Implementación de un sistema de control SMC ........................................ 43
4.2.3 Evaluación de la robustez de la acción de control PI vs SMC .................. 45
4.2.4 Análisis comparativo entre el esquema de control PI y SMC .................. 47
4.3. Evaluación de un sistema de control para un proceso de tanque de reacción
con agitación continua y presencia de perturbación en el flujo de alimentación.48
4.3.1 Implementación de un sistema de control PI ............................................. 48
4.3.2 Implementación de un sistema de control de tipo SMC ............................ 50
4.3.3 Evaluación de la robustez de la acción de control PI vs SMC .................. 52
4.3.4 Análisis comparativo entre el esquema de control PI y el SMC............... 54
4.4. Evaluación de un sistema de control para un proceso de un tanque de
agitación constante con múltiples perturbaciones ................................................. 55
4.4.1. Modelo matemático del proceso ................................................................. 55
4.4.2 Implementación de un sistema de control de tipo SMC ............................ 60
4.4.3 Evaluación de la robustez de la acción de control PI vs SMC .................. 62
4.4.4. Análisis comparativo entre el esquema de control PI y el SMC.............. 63
5. CONCLUSIONES ................................................................................................................. 65
5.1 Generales ............................................................................................................. 65
5.2 Específicas ............................................................................................................ 65
6. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................... 67
7. APÉNDICES .......................................................................................................................... 74
7.1. Esquemas de control .......................................................................................... 74
7.1.1. Controlador PID .......................................................................................... 74
7.1.2. Controlador SMC ........................................................................................ 74
7.1.2.1. Superficie deslizante S(t) .......................................................................... 75
7.2. Casos de estudio ................................................................................................. 75
7.2.1. Sistema de control en el proceso de tanques interconectados ................. 75
7.2.2. Sistema de control para un proceso de tanque de reacción con agitación
continua. ................................................................................................................. 75
7.2.3. Sistema de control para un proceso de tanque de reacción con agitación
continua y presencia de perturbación en el flujo de alimentación. .................. 78
7.2.4. Sistema de control para un proceso de un tanque de agitación constante
con múltiples perturbaciones ............................................................................... 78
ÍNDICE DE TABLAS
1
Elementos de sintonización de los controladores P, PI y PID a través del
método de Ziegler-Nichols a lazo cerrado…………………………………
17
2 Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador PID implementado en un sistema de
tanques interconectados.
34
3 Parámetros de ajuste de la referencia obtenido por el método de Ziegler-
Nichols y optimizados para un controlador PID implementado en un
sistema de tanques interconectados.
35
4 Índices de desempeño obtenidos en un sistema de control para un proceso
de tanques interconectados empleando un control PID.
38
5 Descripción de los parámetros de diseño y sus valores en estado estable
para un sistema de reactor CSTR.
40
6 Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador PI implementado un sistema de reactor
CSTR.
41
7 Parámetros de ajuste de la referencia obtenido por el método de Ziegler-
Nichols y optimizados para un controlador PI implementado en un reactor
CSTR.
43
8 Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador SMC implementado un sistema de
reactor CSTR.
43
9 Parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un controlador
SMC implementado en un reactor CSTR.
46
10 Índices de desempeño obtenidos de un sistema CSTR empleando un
control PI.
47
11 Índices de desempeño obtenidos de un sistema CSTR empleando un
control SMC.
49
12 Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador PI implementado un sistema de reactor
CSTR con presencia de perturbación en el flujo de alimentación.
49
13 Parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un controlador PI
implementado en un reactor CSTR con presencia de perturbación en el
flujo de alimentación.
52
14 Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador SMC implementado un sistema de
reactor CSTR con perturbación a la entrada.
54
15 Parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un controlador
SMC implementado en un reactor CSTR con presencia de una
perturbación en el flujo de alimentación. 55
16 Índices de desempeño obtenidos de un sistema CSTR con perturbación a
la entrada empleando un control PI.
57
17 Índices de desempeño obtenidos de un sistema CSTR con perturbación a
la entrada empleando un control SMC.
57
18 Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador PI para un tanque de agitación con
múltiples perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente.
19 Parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un controlador PI
implementado en un tanque de agitación con presencia de múltiples
perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente.
20 Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador SMC para un tanque de agitación con
múltiples perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente
21 Parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un controlador
SMC implementado en un tanque de agitación con presencia de múltiples
perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente.
22 Índices de desempeño obtenidos de un tanque de agitación con múltiples
perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente empleando
un control PI.
23 Índices de desempeño obtenidos de un tanque de agitación con múltiples
perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente empleando
un control SMC.
ÍNDICE DE FIGURAS
1 Acción de control de un esquema tipo On-Off sobre la variable Temperatura
para un proceso…………………………………………………………………
4
2 Interpretación grafica del SMC……………………………………………..……...… 10
3 Comportamiento de la trayectoria del sistema a lo largo de la superficie
deslizante…………………………………………………………..……………
11
4 Método de punto de inflexión sobre una curva de reacción para la
determinación de parámetros de ajuste de un sistema de control a través del
método de Ziegler-Nichols a lazo abierto………………………………..……..
18
5 Diagrama de bloques de un sistema de control a lazo cerrado……………...…. 25
6 Diagrama de bloques de un sistema de control a lazo cerrado con etapa de
autoajuste de parámetros mediante un algoritmo de optimización…………..…
27
7 Esquema de un sistema de tres tanques interconectados………………………. 32
8 Comportamiento transitorio de la respuesta de un control PID para un sistema
de tres tanques interconectados…………………………………………………
34
9 Esquema de un sistema de un reactor CSTR…………………………………… 36
10 Comportamiento transitorio de la respuesta de un control PI para un sistema
CSTR……………………………………………………………………………………...
40
11 Comportamiento transitorio de la respuesta de un control SMC para un sistema
CSTR……………………………………………………………………………………...
42
12 Dinámica de acción del controlador en un sistema CSTR, empleando un
controlador de tipo PI y SMC…………………………………………………..
44
13 Comportamiento transitorio de la respuesta de un control PI para un sistema
CSTR con perturbación a la entrada…………………………………………….
46
14 Comportamiento transitorio de la respuesta de un control SMC para un sistema
CSTR con perturbación a la entrada…………………………………………….
48
15 Dinámica de acción del controlador de un sistema CSTR con perturbación a la
entrada, empleando un controlador de tipo PI y SMC……………………….…
50
16 Esquema de un tanque de agitación constante. ………………………………... 51
17 Comportamiento transitorio de la respuesta de un control PI para un tanque de
agitación con múltiples perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido
caliente………………………………………………………………………..…
54
18 Comportamiento transitorio de la respuesta de un control SMC un tanque de
agitación con múltiples perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido
caliente……………………………………………………………………..……
56
19 Dinámica del controlador de un tanque de agitación con múltiples
perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente, empleando un
controlador de tipo PI y SMC………………………………………………...…
58
LISTA DE SÍMBOLOS
R Valor de la variable a controlar
X Valor de la variable de control a la salida del proceso
E Error o desviación existente entre el valor deseado de la variable de
control
U Acción del controlador
𝐾𝑃 Ganancia del elemento del control Proporcional
𝐾𝐼 Ganancia del elemento del control Integral
𝐾𝐷 Ganancia del elemento del control Derivativo
S(t) Superficie deslizante
Xo Trayectoria del sistema
𝜆 Parámetro de ajuste
𝑈𝐶(𝑡) Ley de control continuo
𝑈𝐷(𝑡) Ley de control discontinuo
𝐾𝑑 Parámetro de sintonización responsable de la etapa de alcance
𝛿 Parámetro de ajuste para la reducción del ruido
K Ganancia del proceso
Τ Constante en el tiempo
t0 Tiempo muerto
𝐾𝐶𝑈 Última ganancia
𝜏𝑈 Último periodo
𝑣 Vector de parámetros de ajuste óptimos
𝑋𝑖 𝑡
Solución del problema en un tiempo (i)
α Tamaño de paso
ABREVIATURAS
P Controlador Proporcional
I Controlador Integral
D Controlador Derivativo
PI Controlador Proporcional-Integral
PD Controlador Proporcional-Derivativo
PID Controlador Proporcional-Integral-Derivativo
SMC Control de Modo o Estructura Deslizante
FOPDT Modelo de primer orden más tiempo muerto
CS Cuckoo Search
AG Algoritmos Genéticos
I.E.C. Integral del error cuadrático
I.E.A. Integral del error absoluto del error
I.T.E.C. Integral del producto del tiempo y el cuadrado de la magnitud del error
I.T.E.A. Integral del producto del tiempo y el valor absoluto del error
𝐸. 𝐶. 𝑀. Error cuadrático medio
1
RESUMEN
Este proyecto propone la implementación de la estrategia estocástica de
optimización global Cuckoo Search para la selección de los parámetros óptimos de
ajuste de un sistema de control de tipo PI/PID y SMC.
Se analizaron cuatro casos clásicos de la Ingeniería de Procesos, donde las
ecuaciones gobernantes del proceso como del controlador, se desarrollaron a través de
programación de bloques de SIMULINK y se acopló con el algoritmo Cuckoo Search
codificado en lenguaje de MATLAB®. Tras 100 ejecuciones se localizaron los
parámetros óptimos de ajuste y se eligieron el valor mayor, el menor y el promedio de
las funciones objetivo. En cada caso se analizó el tiempo de asentamiento, el máximo
sobreimpulso y se determinó la robustez del sistema a través de los índices de
desempeño de los parámetros optimizados respecto a los obtenidos con los parámetros
de ajuste referenciados. Posteriormente, se analizó la dinámica de acción del
controlador con los parámetros de la función objetivo promedio respecto a los
parámetros referenciados con el objetivo de evaluar si la implementación del algoritmo
de optimización estocástico Cuckoo Search es una alternativa viable como estrategia de
sintonización de parámetros en un sistema de control.
De acuerdo a los resultados obtenidos en los casos presentados, la aplicación de
la estrategia de optimización de tipo estocástica Cuckoo Search mostró ser una buena
opción para el ajuste de parámetros en controladores de tipo PID y SMC.
Específicamente al implementar los parámetros optimizados en un sistema con
múltiples perturbaciones sobre el control PI, la dinámica transitoria del sistema retorna
al valor deseado en menor tiempo respecto a los parámetros referenciados. Mientras
que, para el controlador SMC se encontró que el tiempo de asentamiento se reduce
considerablemente respecto a los parámetros referenciados además de no trasgredir las
suaves oscilaciones características de este esquema de control.
2
1. INTRODUCCIÓN
1.1 Introducción
La etapa de diseño, operación y control es una parte importante del área de
Ingeniería de Procesos. Con el incremento en la complejidad de los procesos actuales, la
etapa de operación se ha dificultado, lo cual se refleja en la dinámica, o comportamiento
del sistema. Incluso en el caso en que un proceso se encuentre siendo operado en
condiciones óptimas, en las que su dinámica refleja un comportamiento estable, puede
ser alejado de este estado al presentarse perturbaciones a las que es susceptible (Pisano
y Usai, 2001).
Por lo anterior, es necesaria la incorporación de un esquema de control que
pueda retornar un sistema en específico a una dinámica estable, en el caso en que
pudieran presentarse perturbaciones (Nasir et al., 2010). A la fecha, se han diseñado e
implementado una gran variedad de esquemas de control a diferentes áreas,
clasificándose en dos grandes ramas: los esquemas de control clásicos y los esquemas
de control moderno (Nguyen et al., 1993; Chen y Peng, 2006).
Dentro de los esquemas en esta última categoría, existe uno denominado como
estructura deslizante, el cual se caracteriza por ser insensible a perturbaciones externas y
lo suficientemente robusto para el control de sistemas con presencia de respuesta
inversa, que se presenta en muchos procesos del área de Ingeniería Química (Camacho
y Smith, 2000).
Independientemente del esquema de control acoplado en un proceso, su acción
sobre la dinámica del proceso está dada, en gran medida, en función de los valores
asignados a los parámetros de ajuste del controlador. Este tipo de ajuste puede abordarse
como un problema de optimización de parámetros y, por ende, debe contarse con una
estrategia adecuada para obtener los valores óptimos de dichos parámetros (Minghong
et al., 2006).
Este trabajo reporta la implementación de una estrategia estocástica de
optimización global (Cuckoo Search) para la selección de los parámetros de ajuste de un
sistema de control de tipo PI/PID y SMC sobre casos de estudio y su comparativo
respecto a las técnicas clásicas de ajuste de parámetros. En cada caso se evaluó el
3
tiempo de asentamiento, máximo sobreimpulso, robustez a través de los índices de
desempeño y dinámica de la válvula.
1.2 Objetivos
1.2.1 General
Incorporación de la estrategia estocástica de optimización global Cuckoo Search
para la localización de los parámetros de ajuste de un sistema de control de tipo PI/PID
y SMC sobre casos de estudio de Ingeniería Química y su comparativo respecto a las
técnicas de sintonización clásicas.
1.2.2 Específicos
Localizar los parámetros óptimos a través del algoritmo de optimización Cuckoo
Search.
Evaluar la magnitud de la función objetivo para los parámetros de ajuste calculados
por el Método de Ziegler-Nichols respecto a los parámetros obtenido por el
algoritmo de optimización.
Analizar la dinámica transitoria de cada sistema y su comparativo respecto a las
técnicas clásicas de sintonización de parámetros.
Cuantificar los índices de desempeño de un conjunto de problemas de Ingeniería
Química de los esquemas de control clásico y moderno con los parámetros de ajuste
optimizados y de referencia.
Evaluar la dinámica de la válvula para determinar cuál esquema de control generará
menor daño sobre el dispositivo.
Determinar bajo qué casos, la implementación de los parámetros de ajuste
optimizados son capaces de proveer un comportamiento dinámico más robusto
respecto a las técnicas de sintonización de referencia.
4
1.3 Planteamiento del problema
El diseño, operación y control de un proceso industrial requiere el estudio
detallado de la dinámica del sistema. Sin embargo, la gran cantidad de parámetros que
lo componen, la ignorancia de algunos de estos, y, en muchos casos, la no linealidad
dificultan esta tarea. En los últimos años, los sistemas de control de modo variable
(SMC) han aminorado las dificultades de modelar sistemas no lineales. Estos sistemas
de control presentan múltiples ventajas respecto a los PI/PID, usualmente más
empleados pero que pierden funcionalidad al aplicarse a procesos en los que existen
relaciones altamente no-lineales entre los parámetros de control y/o perturbaciones
externas.
Existe una gran variedad por las cuales un sistema no satisfaga con las
condiciones de operación requeridas, por ejemplo: la sintonización de los parámetros de
ajuste que componen al controlador no fueron bien calculados, inadecuada estrategia de
control, descripción incorrecto del proceso, generación de perturbaciones o ruido.
Por lo que es necesario contar con un método robusto que sea capaz de
proporcionar los parámetros de ajuste de controlador que retorne al sistema a la
dinámica estable.
1.4 Justificación
A la fecha se tienen reportadas una gran variedad de estrategias de sintonización
que van desde métodos basados en leyes empíricas, estrategias de autoajuste hasta
técnicas de optimización global, donde éstas últimas no han sido aplicadas en problemas
de Ingeniería Química bajo el esquema de control de tipo SMC. Es por ésto, que el
propósito este trabajo es la incorporación de la estrategia estocástica de optimización
global Cuckoo Search para la localización de los parámetros de ajuste de un control
PI/PID y SMC. Este proyecto es el primero en su tipo en abordar este método de
optimización sobre esquemas de control de tipo deslizante.
5
2. MARCO TEÓRICO
2.1. Modelación de sistemas
Dentro de la Ingeniería de Procesos, existe una gran diversidad de sistemas
industriales, cuyas aplicaciones caen en diversas áreas, como lo son las áreas mecánica
(Zhou y Wenly, 1999; Piltan et al., 2011), eléctrica (Johnston, 1998), electrónica (Yong
y Gahg, 2011) y química (Camacho y Smith, 2002; Chen y Peng, 2006). Así mismo, ya
que los procesos o sistemas suelen componerse de subprocesos o etapas interconectadas
entre sí, resulta necesario desarrollar un entendimiento de la dinámica de estas etapas
para su adecuado diseño, operación y control (Farzin et al., 2011).
Si bien la descripción del proceso representa una etapa importante de diseño,
ésta puede resultar muy complicada siendo más factible generar un modelo tipo entrada-
salida (Chalupa y Novak, 2013). Este tipo de modelo (entrada-salida) corresponde a un
conjunto de ecuaciones matemáticas que describen la dinámica del proceso y ayudan a
identificar las principales variables que afectan al sistema a considerar (Nasir et al.,
2010; Chalupa y Novak, 2013).
El proceso de modelado parte de la integración de elementos y componentes
provenientes de leyes físicas y conservativas de cada área con el fin de generar los
modelos matemáticos que describan al sistema bajo estudio (Sam et al., 2002; Nasir et
al., 2010; Chalupa y Novak, 2013). El desarrollo de un modelo que sea capaz de
describir la dinámica real de un sistema suele ser un proceso complicado, en particular,
para los sistemas no lineales y multivariables, donde los procesos químicos usualmente
presentan este tipo de comportamiento (Camacho y Smith, 2000; Chen y Peng, 2006).
Existen diversas causas por las que el comportamiento de un sistema puede
diferir de los resultados esperados, como la presencia de perturbaciones, diseño
incorrecto del modelo matemático, inadecuada sintonización de los parámetros de ajuste
del controlador (Pisano y Usai, 2011).
Por lo anterior, además de requerirse una adecuada modelación del sistema, es
necesario contar con herramientas robustas. En particular, para la etapa de operación es
necesaria la implementación de un mecanismo de control que auxilie al sistema a
retornar a una dinámica estable ante cualquier tipo de perturbación que se presente
(Nasir et al., 2010).
6
2.2. Esquemas de control de procesos
El principal objetivo de diseñar e incorporar un esquema de control en un
proceso es mejorar la relación desempeño dinámico versus convergencia o punto de
estabilidad, es decir, garantizar su estabilidad operativa ante la posible presencia de
perturbaciones, lo cual también está relacionado con la reducción de costos de
producción o de tiempos muertos en el proceso (Ogata, 1994).
A la fecha, existen una gran variedad de estudios relacionados al diseño y
aplicación de esquemas de control para la estabilidad de sistemas reportados en la
literatura. Estos se clasifican en dos familias principales: los esquemas de control
clásico y los esquemas de control moderno.
Dentro de la teoría de control clásico, el esquema de control más utilizado es el
denominado On-Off, el cual presenta una estructura de diseño simple. Posteriormente,
se diseñaron los controladores Proporcional-Integral (PI) y Proporcional-Integral-
Derivativo (PID), los cuales parten de un diseño matemático más elaborado. De acuerdo
a la literatura, este tipo de control (PI/PID) es ampliamente utilizado debido a la
simplicidad en que puede implementarse y operarse (Nguyen et al., 1993; Pawan y
Vinod, 2013).
En el control moderno, se han desarrollado esquemas más robustos tales como
los de control adaptativo o de estructura deslizante, los cuales han sido aplicados y
evaluados en diversos problemas y áreas de la ingeniería (Chen y Peng, 2006; Musmade
et al., 2011). Los siguientes apartados describen brevemente el funcionamiento de los
esquemas de control antes mencionados.
2.2.1. Control On-Off
El control On-Off es el esquema de control más simple. Éste se caracteriza por
tener dos posiciones fijas: encendido y apagado. En este esquema, la salida del
controlador va de un extremo a otro cuando el valor de la variable controlada se desvía
del deseado (Kou et al., 2008).
En contraste con otras acciones de control, donde los esquemas tienen
capacidad de trabajar con variaciones continuas en su respuesta, los On-Off cuentan con
solo dos posiciones en la respuesta induciendo grados de corrección extremos sobre el
7
sistema. De esta forma, la variable controlada oscila continuamente entre los límites
requeridos por el elemento de control (Nishida, 2011).
Si bien la principal ventaja de este controlador es su bajo precio de instalación y
mantenimiento, éste posee una escasa precisión para trabajar con modelos de dinámica
compleja (Kou et al., 2008). La Figura 1 muestra la acción de control de un esquema
tipo On-Off para un proceso donde se requiere controlar la temperatura.
Figura 1. Acción de control de un esquema tipo On-Off sobre la variable temperatura
para un proceso.
2.2.2. Control PID
Otro de los esquemas del control clásico es el denominado PID, el cual incluye
tres acciones de control: Proporcional, Integral y Derivativo (Higuera et al., 2010;
Nishida, 2011; Pawan y Vinod, 2013). El control Proporcional, Integral y Derivativo
tienen tres funciones especificas: la compensación de la desviación para anular el error
actual, el error pasado y el error futuro anticipado, respectivamente (Basilio y Matos,
2002). A continuación se detalla cada elemento de control y sus combinaciones.
2.2.2.1. Elemento de control Proporcional (P)
El elemento de control, o de regulación Proporcional, es aquel que genera una
acción correctiva sobre el sistema y cuya magnitud es proporcional al error o desviación
presente. Una característica importante de la acción del control Proporcional es que éste
se emplea cuando se requiere una corrección sostenida (a causa de una perturbación
prolongada que actúa sobre el sistema).
Un esquema de control Proporcional en el dominio del tiempo está definido por
8
𝑈(𝑡) = 𝐾𝑃𝑒(𝑡) (1)
donde 𝑈 𝑡 es la acción del controlador sobre el proceso, 𝐾𝑃 es un parámetro escalar
ajustable que representa la ganancia del control Proporcional y 𝑈(𝑡) es el error del
sistema a lazo cerrado.
En el dominio de Laplace, el esquema de control Proporcional está representado por
𝑈(𝑠) = 𝐾𝑃𝑒 𝑠 (2)
donde 𝑈(𝑠) y 𝑒(𝑠) es la acción del controlador y el error del sistema, respectivamente.
2.2.2.2. Elemento de control Integral (I)
El elemento de control o de regulación Integral hace que el elemento final de
control se mueva a una velocidad proporcional a la señal de error, es decir, cuanto
mayor es la desviación o error, mayor es la velocidad de desplazamiento del actuador.
Así, mientras exista una señal de error, persistirá una acción correctora, siendo menos
enérgica conforme se reduzca la señal de desviación tanto en magnitud como en
duración. De este modo, ante cualquier perturbación, la acción correctora persistirá
hasta producir una compensación adecuada para restablecer en el proceso las
condiciones de equilibrio dinámico, anulando así la desviación.
Sin embargo, la regulación Integral tiene el inconveniente de que es poco
enérgica cuando aparece bruscamente una desviación, ya que su efecto es paulatino.
Esta es su principal diferencia respecto a la regulación Proporcional, en la que se
mantiene una desviación permanente, pero que responde enérgica e instantáneamente al
originarse una desviación en el proceso.
Las acciones de control Integral, tanto en el dominio del tiempo como en el
dominio de Laplace, son:
𝑈 𝑡 = 𝐾𝐼 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 (3)
𝑈 𝑠 = 𝐾𝐼
𝑠 𝑒 𝑠 (4)
donde 𝐾𝐼 es un parámetro escalar que representa la ganancia del control Integral y es
ajustable.
9
2.2.2.3. Elemento de control Derivativo (D)
El elemento de control o de regulación Derivativo hace que la posición del
elemento final de regulación (actuador) adopte un desplazamiento instantáneo,
proporcional a la velocidad de cambio de la desviación o error (es decir, a la pendiente
de la señal de salida del proceso), en relación a su posición original. Por tanto, ante una
perturbación de magnitud constante el desplazamiento del actuador (válvula) es
proporcional a la primera derivada de su medida.
Una característica importante del elemento Derivativo es su efecto anticipativo
sobre la respuesta del sistema. Esto equivale a una predicción, con cierto tiempo de
antelación, de los valores de la variable regulada acorde a la tendencia que presenta. Sin
embargo, a pesar de su utilidad, el control Derivativo no puede utilizarse solo debido a
que no responderá a un error del estado estable. Por lo que, éste debe usarse en
combinación con otras acciones de control (Harrison y Bollinger, 1978).
La acción del control Derivativo en el dominio del tiempo y en el dominio de
Laplace son representados por:
𝑈(𝑡) = 𝐾𝐷𝑑𝑒 (𝑡)
𝑑𝑡 (5)
𝑈(𝑠) = 𝐾𝐷𝑠 𝑒(𝑠) (6)
donde 𝐾𝐷 es la ganancia del control Derivativo y 𝐾𝐼 es la ganancia del control Integral.
Tal como se mencionó, la combinación de los tres elementos de control descritos
conforman un sistema de control que puede acoplarse a un proceso. Los sistemas de
control pueden ser el PI, PD y el PID son detallados a continuación.
2.2.24. Control PI
El controlador PI combina el comportamiento del controlador Proporcional y el
controlador Integral. Esto permite que se aprovechen las ventajas de ambos elementos y
se reduzcan sus inconvenientes. El controlador PI actúa inmediatamente después de que
se presenta una perturbación sobre el sistema. Gracias a la acción Proporcional, se
facilita inmediatamente un cambio en la salida del controlador, el cual tiende
gradualmente a ajustar el proceso. Posteriormente, la acción Integral proporcionará
paulatinamente la corrección suplementaria exacta hasta anular la desviación o error.
10
Al estabilizarse el sistema, el actuador adoptará la posición precisa para
satisfacer la demanda y/o requisitos impuestos por la perturbación. Las expresiones
matemáticas que define a este controlador, en el dominio del tiempo y en el dominio de
Laplace, son:
𝑈 𝑡 = 𝐾𝑃𝑒 𝑡 + 𝐾𝐼 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 (7)
𝑈(𝑠) = 𝐾𝑃 + 𝐾𝐼
𝑠 𝑒(𝑠) (8)
La eficiencia del controlador PI, se incrementa con el aumento de la ganancia 𝐾𝑃
y con el aumento de la componente 𝐾𝐼, es decir, mediante la disminución del tiempo de
reposición. Sin embargo, si estos dos valores son demasiado extremos, la intervención
del controlador llega a ser considerable, ante lo cual la respuesta del control llega a ser
oscilatoria y, por ende, inestable (Leyva, 2009).
2.2.2.5. Control PD
El controlador PD consta de la combinación del elemento Proporcional y el
elemento Derivativo. La acción Derivativa describe la tasa de cambio de la desviación
del sistema; cuanto mayor es esta tasa de cambio (el tamaño de la desviación del
sistema durante un período determinado) mayor es el componente Derivativo. Además
de la respuesta de control del elemento Proporcional desviaciones mayores del sistema
se encuentran con respuestas muy breves pero de mayor amplitud.
Las ecuaciones que describen a este controlador en el dominio del tiempo y en el
dominio de Laplace son:
𝑈 𝑡 = 𝐾𝑃𝑒 𝑡 + 𝐾𝐷𝑑𝑒 (𝑡)
𝑑𝑡 (9)
𝑈(𝑠) = 𝐾𝑃 + 𝐾𝐷𝑠 𝑒(𝑠) (10)
Sin embargo, la aplicación de este esquema de control está limitado debido a que
no puede compensar completamente las desviaciones del sistema y un componente
Derivativo ligeramente excesivo produce a la inestabilidad del sistema (Leyva, 2009).
2.2.2.6. Control PID
El controlador PID combina en un único controlador las mejores cualidades de
cada elemento de control (Proporcional, Integral y Derivativo). La acción Proporcional
11
corrige la posición del actuador en una cuantía proporcional al error, siendo de efecto
instantáneo y enérgico. La acción Integral gira el vástago del actuador a una velocidad
proporcional a la señal del error, es de efecto lento y progresivo y actúa hasta anular la
desviación permanentemente. La acción Derivativa corrige la posición del actuador en
una magnitud proporcional a la velocidad de cambio del error produciéndose un efecto
anticipativo al considerar la tendencia de la variable controlada.
Este sistema de control está expresado en el dominio del tiempo y en el dominio
de Laplace por:
𝑈 𝑡 = 𝐾𝑃𝑒 𝑡 + 𝐾𝐼 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐾𝐷𝑑𝑒 (𝑡)
𝑑𝑡 (11)
𝑈(𝑠) = 𝐾𝑃 + 𝐾𝐼
𝑠 + 𝐾𝐷𝑠 𝑒(𝑠) (12)
Estos parámetros (𝐾𝑃 , 𝐾𝐼 𝑦 𝐾𝐷) corresponden a los elementos para la
sintonización de los controladores PI, PD y PID. La robustez de operación del
controlador está dada en función de sus valores.
Este tipo de esquema de control fue incorporado a los procesos industriales hace
siete décadas (Pawan y Vinod, 2013) y a la fecha su aplicación aún continua vigente en
todas las áreas de la ingeniería (Moradi, 2013). En la literatura, existe una amplia
variedad de estudios en los que se ha implementado esta estrategia de control: el trabajo
de Tahir y Al-Rawi (2006) quienes emplearon un control PID para un sistema de
tanques interconectados. Camacho y Smith (2000) que utilizaron un PI para controlar la
operación de un tanque de mezclado y un reactor continuo. Jianhua y Junghu (2013)
quienes propusieron un controlador PID para el control de redes de comunicación.
Mohan (2013) que implementó este controlador para la manipulación de un vehículo.
Jing-Nang et al. (2014) que utilizaron un controlador PID para la regulación de un
sistema de aire acondicionado. Jun et al. (2014) que lo aplicaron para un sistema
neumático. Jian y Len (2014) lo emplearon para el control no lineal de un robot
manipulador, entre otros.
Sin embargo, estos esquemas de control no están exentos de exhibir un
desempeño insatisfactorio cuando operan con sistemas complejos o con presencia de
respuesta inversa, o bien, cuando sus parámetros de sintonización son inadecuados ante
12
ciertas perturbaciones consecutivas. Así, una acertada sintonización de los parámetros
de ajuste del controlador es necesaria para su óptimo funcionamiento (Vázquez, 2004).
2.2.3. Control Adaptativo
Los esquemas de control adaptativo se encuentran dentro de los esquemas de
control moderno más recientes. Estos pudieron implementarse y desarrollarse a partir de
las mejoras en la capacidad de computo (Vázquez, 2004). Estos esquemas se
fundamentan en el acoplamiento de reglas o estrategias que buscan ir generando valores
adecuados en los parámetros de ajuste del controlador, mejorando así la capacidad de
control en los sistemas en los que se incorpora, y son especialmente útiles cuando el
proceso está sujeto a cambios inesperados en las condiciones de operación (Kuo et al.,
2008).
Por citar algunos casos, Leva (1993) y Wang et al. (1997) propusieron
respectivamente un algoritmo para el auto-ajuste de parámetros en un control PI y PID
multivariable, ambos basados en retransmitir la retroalimentación. Chang et al. (2003)
generaron una metodología para un control PID multivariable basado en un auto-ajuste
neuronal. Altinten et al. (2004) propusieron un control PID adaptativo empleando un
algoritmo genético para el ajuste de parámetros aplicado a un reactor de polimerización
y Chang y Yan (2005) desarrollaron un PID adaptativo para una clase de sistemas
caóticos con incertidumbre y perturbaciones externas. Recientemente, Moradi (2013)
implementó un algoritmo para el autoajuste de parámetros de un PID garantizando la
estabilidad de un sistema de lazo cerrado para un sistema aeronáutico. Papadopoulos y
Margaris (2013) desarrollaron un control PID adaptativo automático basado en el
criterio denominado de magnitud óptima y fue aplicado a un conjunto de problemas
clásicos del área de control industrial. Mohideen et al. (2013) acoplaron una estrategia
para un PID adaptativo empleando un algoritmo genético para el ajuste de parámetros y
aplicándolo en un sistema de tanques.
2.2.4. Control de Modo Deslizante (SMC)
Dentro de las estructuras del control moderno, existe una variante denominada
sistema de control deslizante (SMC) derivada del control de estructura deslizable
propuesto por Utkin (1977). El SMC se compone de dos etapas que operan
13
considerando una superficie deslizante, S(t), sobre la cual la dinámica del proceso se
restringe. En una primera etapa, cualquier trayectoria del sistema, Xo, ubicada fuera de
la superficie deslizante es direccionada a dicha superficie a través de una ley de control
en un tiempo finito y es mantenida ahí. A esta etapa se le denomina “etapa de alcance”.
Posteriormente, se presenta la segunda etapa o “etapa deslizante”, la cual consiste en
hacer que la trayectoria del sistema, o su dinámica propiamente dicho, se desplace a
través de la superficie deslizante hasta lograr que la desviación o perturbación presente
se anule (Musmade et al., 2011). La Figura 2 ilustra estas dos etapas.
Figura 2. Interpretación grafica del SMC.
Una vez que la trayectoria del sistema alcanza a la superficie deslizante, es
preferible que el desplazamiento se realice de manera suave a lo largo de dicha
superficie. Sin embargo, esto no llega a lograrse plenamente. En su lugar el
desplazamiento se realiza a través de oscilaciones de alta frecuencia a lo largo de la
superficie donde a a este fenómeno se le denomina “ruido”. En la práctica, la presencia
de ruido es indeseable dado que genera una alta actividad de control (Camacho y Smith,
2000). La Figura 3 ilustra lo descrito.
14
Figura 3. Comportamiento de la trayectoria del sistema a lo largo de la superficie
deslizante. a) sin presencia de ruido y b) con presencia de ruido.
El control SMC es atractivo para una clase muy amplia de sistemas debido a su
capacidad para tratar con no-linealidades así como con incertidumbres y perturbaciones
del sistema de manera directa. Particularmente, este tipo de esquema de control resulta
muy útil en sistemas con presencia de respuesta inversa (Camacho et al., 1999).
2.2.4.1. Diseño de un sistema de control SMC
El primer paso en el diseño del SMC es definir la superficie deslizante, S(t), la
cual se selecciona por representar un comportamiento estable. Así, de acuerdo al trabajo
reportado por Camacho y Smith (2000), S(t) es una ecuación integro-diferencial que
actúa sobre la expresión de rastreo del error y está definida por:
𝑆 𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡+ 𝜆
𝑛
𝑒 𝑡 𝑑𝑡𝑡
0 (13)
donde 𝜆 es un parámetro de ajuste que determina el comportamiento del sistema sobre
la superficie deslizante y n es el orden del sistema, respectivamente.
El objetivo del control es asegurar que la variable de control sea igual a su valor
de referencia todo el tiempo, es decir, el valor del error sea cero. Alcanzado el valor de
referencia, se garantiza que el error siempre sea cero en todo el tiempo y por tanto S(t)
llega a ser constante, con lo cual se cumple lo siguiente:
𝑑𝑆
𝑑𝑡= 0 (14)
Esta condición garantiza la generación adecuada de la superficie deslizante, S(t).
Posteriormente, se trabaja en el diseño de la ley de control que guiará a la variable
15
controlada hacia el valor de referencia, cumpliéndose la condición dada por la Ecuación
(14). La ley de control, U(t), está compuesta por una parte continua, 𝑈𝐶(𝑡), y una parte
discontinua, 𝑈𝐷(𝑡), representada por:
𝑈 𝑡 = 𝑈𝐶 𝑡 + 𝑈𝐷(𝑡) (15)
La parte continua está en función de la variable controlada y del valor de
referencia:
𝑈𝑐 𝑡 = 𝑓(𝑋 𝑡 , 𝑅 𝑡 ) (16)
Respecto a la parte discontinua, ésta incorpora un elemento no lineal que incluye
al elemento de conmutación de la ley de control. Esta parte del controlador es
discontinua a través de la superficie deslizante:
𝑈𝐷 𝑡 = 𝐾𝑑𝑆(𝑡)
𝑆(𝑡) +𝛿 (17)
donde 𝐾𝑑 es un parámetro de sintonización responsable de la etapa de alcance del SMC
y 𝛿 es un parámetro de ajuste utilizado para reducir la presencia de ruido.
El diseño de la parte continua de la ley de control debe partir de un modelo que
describa adecuadamente a los sistemas. De acuerdo al trabajo de Camacho et al. (1999),
los Procesos Químicos con respuesta inversa pueden ser aproximados mediante un
modelo de primer orden más tiempo muerto (FOPDT), ya que el empleo de modelos
lineales de mayor orden llegan a generar un controlador inestable. Un modelo FOPDT
está representado por:
𝑋(𝑠)
𝑈(𝑠)=
𝐾𝑒−𝑡0𝑠
𝜏𝑠+1 (18)
donde K es la ganancia del proceso, τ es la constante de tiempo y t0 es el tiempo muerto
del proceso, respectivamente.
Sin embargo, de acuerdo a la literatura no existe un sistema de control SMC
capaz de trabajar con el tiempo muerto, por tal razón, este término puede aproximarse a
través de una serie de Taylor de primer orden, es decir:
𝑒−𝑡0𝑠 =1
𝑡0𝑠+1 (19)
donde t0 es el tiempo muerto del proceso.
16
Sustituyendo la Ecuación (20) en la Ecuación (19) se obtiene:
𝑋(𝑠)
𝑈(𝑠)=
𝐾
𝜏𝑠+1
1
𝑡0𝑠+1 (20)
De manera análoga, la Ecuación (20) en su forma diferencial puede ser:
𝑡0𝜏𝑑2𝑋(𝑡)
𝑑𝑡2 + 𝑡0 + 𝜏 𝑑𝑋 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑋 𝑡 = 𝐾𝑈(𝑡) (21)
donde K es la ganancia del proceso, τ es la constante de tiempo y t0 es el tiempo muerto
del proceso.
Lo cual define a una ecuación diferencial de segundo orden (n=2). Este orden se
sustituye la Ecuación (14), la cual describe a la superficie de deslizamiento:
𝑆 𝑡 =𝑑𝑒 𝑡
𝑑𝑡+ 𝜆1𝑒 𝑡 + 𝜆0 𝑒 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
0 (22)
donde 𝜆1 = 2𝜆 y 𝜆0 = 𝜆2. A su vez sustituyendo esta expresión en la Ecuación (15) se
obtiene:
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡=
𝑑2𝑒 𝑡
𝑑𝑡2+ 𝜆1
𝑑𝑒 𝑡
𝑑𝑡+ 𝜆0𝑒 𝑡 = 0 (23)
Ahora, sustituyendo la Ecuación (1) que representa al error en el dominio del
tiempo, e(t)=R(t)-X(t), en los primeros dos términos con diferencial del error de la
anterior expresión, se obtiene lo siguiente:
𝑑2𝑅(𝑡)
𝑑𝑡2 −𝑑2𝑋(𝑡)
𝑑𝑡2 + 𝜆1 𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡−
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡 + 𝜆0𝑒 𝑡 = 0 (24)
Despejando la derivada de mayor orden de la Ecuación (22) para sustituirla en la
anterior expresión y despejando a U(t) se obtiene la parte continua del SMC:
𝑈𝐶 𝑡 = 𝑡0𝜏
𝐾
𝑡0+𝜏
𝑡0𝜏𝜆1
𝑑𝑋 (𝑡)
𝑑𝑡+
𝑋(𝑡)
𝑡0𝜏+ 𝜆0𝑒 𝑡 +
𝑑2𝑅(𝑡)
𝑑𝑡2 + 𝜆1𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡 (25)
Puesto que las derivadas de los valores de referencia pueden descartarse sin
afectar la acción del controlador, la Ecuación (26) se simplifica a:
𝑈𝐶 𝑡 = 𝑡0𝜏
𝐾
𝑡0+𝜏
𝑡0𝜏− 𝜆1
𝑑𝑋 (𝑡)
𝑑𝑡+
𝑋(𝑡)
𝑡0𝜏+ 𝜆0𝑒 𝑡 (26)
Y considerando que:
𝜆1 =𝑡0+𝜏
𝑡0𝜏 (27)
17
La parte de control continua llega a ser:
𝑈𝐶 𝑡 = 𝑡0𝜏
𝐾
𝑋(𝑡)
𝑡0𝜏+ 𝜆0𝑒 𝑡 (28)
Así, la ley de control que define al sistema de control SMC y que está
representado por la adicción de las partes continuas y discontinuas antes descritas está
dada por:
𝑈 𝑡 = 𝑡0𝜏
𝐾
𝑋(𝑡)
𝑡𝑜𝜏+ 𝜆0𝑒(𝑡) + 𝐾𝑑
𝑆(𝑡)
𝑆(𝑡) +𝛿 (29)
Siguiendo las mismas consideraciones para la superficie de deslizamiento
representada por la Ecuación (23), tomará la forma:
𝑆 𝑡 = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝐾) −𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡+ 𝜆1𝑒 𝑡 + 𝜆0 𝑒 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
0 (30)
Por otra parte y de acuerdo a lo reportado por Camacho y Smith (2000), para
asegurar que la superficie deslizante se comporte como un sistema sobreamortiguado, λ0
está dada por:
𝜆0 =𝜆1
2
4 (31)
Sustituyendo la Ecuación (27) en la anterior expresión:
𝜆0 =1
4 𝑡0+𝜏
𝑡0𝜏
2
(32)
De igual forma, los parámetros Kd y δ de la parte discontinua del controlador
pueden determinarse mediante las siguientes expresiones (Camacho y Smith, 2000)
𝐾𝑑 =0.51
𝐾
𝜏
𝑡0
0.76
(33)
𝛿 = 0.68 + 0.12 𝐾 𝐾𝑑𝜆1 (34)
Cabe mencionar que las expresiones que definen al controlador SMC de las
Ecuaciones (29) y (30) están en función de las expresiones 𝜆𝑜 , 𝜆1, 𝐾𝑑 y δ y a su vez,
éstos parámetros están en función de los valores K, τ y t0. Por lo que, la robustez de este
esquema de control estará en función de los valores asignados a estos parámetros de
ajuste.
18
En las últimas décadas han sido publicados una gran variedad de estudios
relacionados a los esquemas de control de estructura deslizante (SMC), principalmente
abarcando diversos sectores industriales. Sin embargo, aun cuando su aplicación en
problemas del área de Ingeniería Química todavía está limitada, existen algunos casos
con resultados satisfactorios. Algunos ejemplos es el trabajo de Camacho y Smith
(2000), quienes utilizaron un SMC para controlar la operación de un tanque de mezclado
y un reactor continuo. Chen y Peng (2005) que diseñaron un SMC aplicado a procesos
químicos de primer y segundo orden y en un reactor con retardo en la entrada (2006).
Mihoub et al. (2009) que aplicaron un modelo discreto del SMC de segundo orden para
el control de un reactor químico. Musmade et al. (2011) que diseñaron un SMC y lo
utilizaron en un conjunto de problemas (un proceso de fermentación, un reactor
isotérmico y un proceso hidráulico). Kravaris y Savoglidis (2012) que aplicaron un
SMC para un sistema de bioreactor continuo.
Si bien estos esquemas de control (SMC) han mostrado una acción de control
robusta en los casos que se han aplicado, este comportamiento también está
condicionado a la adecuada selección de los parámetros de sintonización (Camacho y
Smith, 2000; Nasir et al., 2010).
2.2.5. Control Híbrido
Los esquemas de Control Híbrido forman parte del control moderno y su
estructura se fundamenta en la combinación de los principios de dos controladores, de
tal manera que este adquiera las propiedades y ventajas de los que lo componen
(Psichogios y Ungar 1992; Congying et al., 2008; Tang et al., 2010). Por ejemplo,
Sudeept y Surekha (2007) implementaron un esquema de control fuzzy con un control
auto-ajustable para un brazo mecánico. Cheng-Hung et al. (2009) usaron un controlador
fuzzy-PI para el control de movimiento de una prótesis de mano humana. Cheng-Hung y
Subbaram (2013) aplicaron un controlador fuzzy-PI para un brazo mecánico.
De igual forma que los esquemas de control descritos, su acción de control y su
capacidad para estabilizar un sistema depende en gran medida de los valores asignados
a las variables de ajuste del controlador por lo que una adecuada selección de los
mismos es requerida (Camacho y Smith, 2000; Nasir et al., 2010).
19
2.3. Sintonización de parámetros para un sistema de control
El paso final para la correcta implementación de un esquema de control consiste
en realizar un adecuado ajuste de sus parámetros. Si el controlador puede ser
sintonizado para dar una respuesta satisfactoria, se entiende que el lazo de control ha
sido bien diseñado. Para esto, es necesario contar con estrategias adecuadas para la
obtención de los parámetros de ajuste del controlador (Angulo, 2013). A esta selección
de parámetros se le conoce como ajuste o sintonización del controlador (Linninger y
Ekaterini 2005) y puede efectuarse a través de estrategias empíricas o mediante
procedimientos numéricos.
2.3.1. Sintonización de parámetros a través de estrategias empíricas
Existe una gran variedad de reglas o estrategias empíricas de sintonización de
parámetros para esquemas de control. Por ejemplo, O´Dwyer (2000) realizó una
clasificación en base al tipo de proceso, la función objetivo, el tipo de información
requerida y el tipo de controlador, hasta la aplicación de estrategias de auto-modulación
basadas en leyes o reglas empíricas para el ajuste de parámetros de control (Leva, 1993;
Wang et al., 1997; Papadopoulos y Margaris, 2013; Moradi, 2013).
Las dos reglas de sintonización más conocidas y empleadas son el Método de
Ziegler-Nichols y el Método de Cohen-Coon (Rebollo et al., 2001). Estas estrategias son
empíricas y el análisis necesario para determinar los valores de las variables del
controlador debe realizarse previamente a la operación de control (O´Dwyer, 2000). A
continuación se describen estas técnicas.
Específicamente, el método de sintonización de Ziegler-Nichols, ha mostrado
una capacidad de ajuste de parámetros de control aceptable (Rebollo et al., 2001). Este
procedimiento de ajuste se realiza con el objetivo de que el sistema a controlar cumpla
con las especificaciones de respuesta transitoria y de estado estacionario requeridas
(Ollero y Fernández, 1997). La metodología de sintonización se basa en dos variantes,
las cuales se resumen a continuación.
i) Método en lazo cerrado: Este método consiste en obtener determinada información
de la respuesta de un controlador Proporcional incorporado a un proceso a lazo cerrado
en el que genera una perturbación. En función de la respuesta y si ésta es amortiguada,
se incrementa la ganancia hasta lograr oscilaciones constantes, es decir, hasta mantener
20
una oscilación de amplitud constante. A esta ganancia del controlador Proporcional se
denomina última ganancia, 𝐾𝐶𝑈 , y el periodo de la oscilación se denomina último
periodo, 𝜏𝑈 . Finalmente, los valores de los parámetros de ajuste del controlador se
calculan como se muestra en la Tabla 1 (Ollero y Fernández, 2007).
Tabla 1. Elementos de sintonización de los controladores P, PI y PID a través del
método de Ziegler-Nichols a lazo cerrado.
Controlador 𝐾𝑝 𝜏𝐼=
𝐾𝑃
𝐾𝐼 𝜏𝐷 =
𝐾𝑃
𝐾𝐷
P 𝐾𝐶𝑈/2 ∞ 0
PI 𝐾𝐶𝑈/2.2 𝜏𝑢/1.2 0
PID 𝐾𝐶𝑈/1.7 𝜏𝑢/2 𝜏𝑈/8
donde 𝐾𝑝 es la ganancia del elemento proporcional, 𝜏𝐼 es el tiempo Derivativo y 𝜏𝐷 es
el tiempo integral.
ii) Método en lazo abierto: En este método las características estacionarias y dinámicas
del sistema se obtienen de un ensayo a lazo abierto. Esto parte de la generación de una
perturbación tipo escalón sobre el proceso para así obtener una curva de reacción del
sistema ante tal perturbación y a partir de ésta, analizar y determinar ciertos parámetros.
Para este análisis, se aplica el Método del Punto de Inflexión sobre la curva de reacción
generada ante la perturbación incidida y donde esta curva se considera que sigue un
comportamiento de un modelo de primer orden más tiempo muerto (FOPDT) que está
descrito por la Ecuación (19).
La Figura 4 ilustra el método del punto de inflexión sobre la curva de reacción y
que se adapta a un modelo de FOPDT.
21
Figura 4. Método de punto de inflexión sobre una curva de reacción para la
determinación de parámetros de ajuste de un sistema de control a través del método de
Ziegler-Nichols a lazo abierto.
A partir de la Figura 4 se obtienen los parámetros K, τ y t0 mediante las
siguientes expresiones (Arantegui, 2011)
𝐾 =𝐵
𝐴=
𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
𝐸𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 (35)
𝜏 =𝐵
𝑆=
𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖 ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖 ó𝑛 (36)
𝑡𝑜 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (37)
Estos parámetros (K. τ y t0) corresponden a los elementos para la sintonización
de los controladores del controlador SMC para un modelo de primer orden con tiempo
muerto (Camacho y Smith, 2000).
Sin embargo, ante sistemas multivariables, altamente no lineales y sujetos a la
presencia de múltiples perturbaciones y/o con respuesta inversa, la sintonización de los
parámetros de control a través del método de Ziegler-Nichols puede llegar a tornarse
impráctica. Por tanto, es necesario contar con métodos o procedimientos robustos para
su sintonización (Pisano y Usai, 2011).
2.3.2. Sintonización de parámetros a través de estrategias numéricas
Puesto que la acción de control en un sistema es dependiente de los valores
asignados a los parámetros de sintonización del controlador, es posible abordar esta
22
parte como un problema de optimización, resultando necesario contar con las
herramientas numéricas adecuadas para tal fin (Linninger, 2005).
Existen diversos estudios que han aplicado alguna estrategia numérica con fines
de optimización en los esquemas de control. Este tipo de herramientas, en función a su
formulación o forma de operar, se clasifican en dos categorías: las estrategias de
optimización global de tipo determinista y del tipo estocástico.
2.3.2.1 Sintonización de parámetros empleando estrategias deterministas
La estrategias deterministas aprovechan de las propiedades analísticas del sistema
para generar una secuencia de puntos que convergen a una solución óptima global (Min-
Hua et al., 2012). Sin embargo, para determinadas condiciones la solución será única
(Krone, 1980). Por tanto, es posible llevar a cabo la sintonización de los parámetros de
ajuste de un esquema de control a través de estos métodos (Luersen y Riche, 2004).
En particular, el algoritmo de búsqueda Nelder-Mead, es un método de
localización local creado en 1965, que una modificación del método simplex propuesto
en 1962 (Nelder y Mead, 1965). Este algoritmo es tan eficaz que se convertido en uno
de los métodos más empleados para la optimización de sistemas no lineales,
especialmente en el campo de la Química, Ingeniería Química y Medicina (Kelley,
1999). La ventaja que provee este método es la generación de un valor que evaluará la
función objetivo, por lo que no es necesario calcular todos los valores posibles porque el
algoritmo va reemplazando cada vez uno de los puntos de prueba ajustando con el
propósito de encontrar los valores que satisfaga la función en menor tiempo.
Entre los casos donde se han utilizado el algoritmo de Nelder-Mead en
problemas de control, están: el trabajo de Camacho et al. (1999) en el que se
implementó un control para una reacción con respuesta inversa. Camacho y Smith
(2000) utilizaron este mismo controlador para un tanque de agitación continua y un
reactor exotérmico. Mingzhong et al. (2001) utilizaron un controlador híbrido PID-SMC
para el control de pH en un reactor. Musmade et al. (2011) acoplaron un controlador
SMC al algoritmo Nelder-Mead para un reactor de fermentación y un conjunto de
tanques interconectados.
23
2.3.2.2 Sintonización de parámetros empleando estrategias estocásticas
Por su parte, las estrategias de optimización estocásticas se caracterizan por ser
métodos que superan las limitantes que exhiben las estrategias deterministas. Al no ser
dependientes de las estimaciones iniciales, poseer la habilidad de escapar de los óptimos
locales y no requieren reformulación alguna del caso de estudio (Massaci y Patrizi
1985; Deb et al., 2002; Yang y Deb, 2009; Higuera et al., 2010; Parpas y Webster,
2014).
El funcionamiento de las estrategias estocásticas se basa en heurísticas ya que
buscan emular mecanismos naturales o fenómenos físicos (Yang y Deb, 2009). En los
años setenta surgió una nueva clase de algoritmos cuya idea básica era combinar
diferentes métodos heurísticos a un nivel más alto para conseguir una exploración del
espacio de búsqueda de forma eficiente y efectiva. Estas técnicas se nombraron
metaheurísticas (Glober et al., 2000).
Existe una amplia variedad de estudios en los que se han implementado las
estrategias metaheruísticas en diversos problemas. Por citar algunos casos está el trabajo
de Altinten et al. (2004) quienes aplicaron Algoritmos Genéticos (AG) para el ajuste de
parámetros de un control PID en un problema de un reactor de polimerización.
Mohideen et al. (2013) aplicaron este algoritmo y controlador para un sistema de
aeronáutica. Hamzah et al. (2013) implementaron AG en un control SMC para la
estabilización de un volante posterior a un giro. Obaid et al. (2013) utilizaron el
algoritmo Enjambre de Partículas para el cálculo de los parámetros de ajuste de un
control SMC en un sistema de suspensión. Dehdarinejad et al. (2013) emplearon el
mismo algoritmo y controlador para un convertidor eléctrico DC-DC.
De acuerdo a los resultados obtenidos en estos estudios, la incorporación de las
estrategias de optimización global de tipo estocástico, han mostrado la adecuada
generación de parámetros óptimos para esquemas de control. Por tal razón, estas
estrategias numéricas se convierten en una alternativa atractiva para la sintonización de
parámetros dentro de un esquema de control (Yildis, 2009; Higuera et al., 2010).
Es de interés denotar que la mayoría de las aplicaciones de estas estrategias
numéricas estocásticas se centran en problemas que incorporan esquemas de control de
tipo PID y son escasos los casos reportados donde se incorpore en esquemas de control
24
de tipo SMC (Hamzah et al., 2013; Obaid et al., 2013; Dehdarinejad et al., 2013; Kessal
y Rahmani, 2014).
2.4 Estrategia numérica estocástica de optimización global Cuckoo Search
Yang y Deb (2009) propusieron y desarrollaron un algoritmo de búsqueda
metaheuristico denominado Cuckoo Search (CS), el cual está inspirado en el
comportamiento parásito de estas especies de aves al poner sus huevos en los nidos de
otras especies de aves. Si el anfitrión descubre que no son sus huevos, éste los elimina o
bien abandona el nido. Si no los elimina y se queda a empollar los huevos propios y
parásitos, al nacer los polluelos del Cuckoo, éstos por instinto desplazarán a los huevos
huésped hacia fuera del nido, aumentando su probabilidad de acceso al alimento
proporcionado por el ave anfitrión y garantizando así su propia supervivencia. Este
comportamiento obedece a la incapacidad que presentan las especies Cuckoo para
alimentar a sus propias crías debido a la gran demanda de alimento que estas especies
exigen.
Diversos estudios han demostrado que el comportamiento de vuelo errático en
diversos animales y moscas de fruta sigue el principio de vuelo de Levy (Moravej y
Akhlaghi, 2013; Yang y Deb, 2013). Así, a partir de la aplicación de este principio se
puede obtener una ecuación para la generación de nuevas soluciones, 𝑋𝑖 𝑡+1
dada por:
𝑋𝑖 𝑡+1
= 𝑋𝑖 𝑡
+ (𝛼)𝐿e𝑣𝑦 𝑖 (38)
donde α (α > 0) es el tamaño de paso el cual debe estar relacionado a las escalas del
problema bajo estudio (generalmente se asigna un valor unitario), 𝑋𝑖 𝑡
es la solución del
problema en un tiempo previo al siguiente movimiento para generar una nueva solución,
y Levy(i) es la distribución Levy. El vuelo de Levy esencialmente proporciona un camino
aleatorio mientras la longitud de paso aleatorio se extrae de la distribución Levy.
El principio de colocación de huevos de estas aves en los nidos huésped es
análogo al que siguen en la naturaleza algunas especies de moscas de frutas y aves en la
búsqueda de alimento (Higuera et al., 2010), lo cual es de manera aleatoria, ya que la
trayectoria que siguen es al azar pues cada movimiento se basa partiendo de la
ubicación actual y en función de una determinada probabilidad para cambiar de posición
en cierta dirección.
25
2.4.1. Funcionamiento del algoritmo de optimización Cuckoo Search
Los pasos forman esencialmente un proceso de caminata aleatoria a través del
espacio de búsqueda. Así, algunas de las nuevas soluciones generadas por la
distribución de Levy generan una posible mejor solución respecto a la actual. Algunas
de estas nuevas soluciones podrían localizarse en un espacio alejado del inicial. Esta
etapa de diversificación evita que el proceso de búsqueda no quede entrampado en
óptimos locales (Yang y Deb, 2009). Por tanto, el algoritmo CS se basa en tres reglas
cíclicas dadas por:
Cada Cuckoo genera un huevo y es colocando en un nido huésped de manera
aleatoria.
Los mejores elementos (huevos) se mantienen y pasan a la siguiente generación.
El número de nidos es fijo y cada huevo puesto por el Cuckoo tiene probabilidad
de ser descubierto por el ave huésped con una probabilidad 𝑃𝑎 ∈ 0,1 en cuyo
caso estos huevos (elementos) son eliminados y sustituidos en otros espacios de
búsqueda. Una descripción más detallada de este algoritmo es descrita en el
trabajo de Yang y Deb (2009).
Es por ello que el objetivo de este trabajo es la incorporación de esta reciente
herramienta de optimización global de tipo estocástico como una estrategia de ajuste de
los parámetros de control en sistemas del área de Ingeniería Química, lo cual será el
primer estudio que aborda estas herramientas empleando un control PI/PID y un control
SMC. En el siguiente apartado se describe el procedimiento para la incorporación de
estas herramientas en un esquema de control de procesos.
2.5 Evaluación de la robustez del sistema de control
De la forma de la respuesta transitoria se deduce un índice de comportamiento
que indica cuantitativamente la capacidad del sistema para ser controlado, es decir, la
robustez del sistema de control en un proceso. A este índice también se le conoce como
error dinámico, el cual considera la magnitud de la desviación y su duración y cuantifica
el área comprendida entre la curva de respuesta y la línea del valor de referencia.
26
Un sistema puede considerarse optimizado cuando este índice posee su valor mínimo,
ya que está en función de los valores asignados a los parámetros de ajuste del sistema de
control. Existen diversos tipos de errores dinámicos, por ejemplo:
a) Integral del error (I.E.)
Este índice presupone que las desviaciones positivas y negativas respecto al
valor de referencia de la variable de control se compensan entre sí. Su
expresión está dada por
𝐼. 𝐸. = 𝑒 𝑡 𝑑𝑡∞
0 (39)
b) Integral del error cuadrático (I.E.C.)
Independientemente del signo de las desviaciones, este índice penaliza más
las desviaciones de mayor magnitud que las de menor magnitud, por lo que
un sistema optimizado bajo este índice presentará oscilaciones durante un
mayor tiempo pero de amplitud mínima. Su expresión es:
𝐼. 𝐸. 𝐶. = 𝑒 𝑡 2𝑑𝑡∞
0 (40)
c) Integral del error absoluto del error (I.E.A.)
Este índice penaliza por igual las desviaciones de ambos signos y lo hace
proporcionalmente a la magnitud de la desviación:
𝐼. 𝐸. 𝐴. = 𝑒 𝑡 𝑑𝑡∞
0 (41)
d) Integral del producto del tiempo y el cuadrado de la magnitud del error
(I.T.E.C.)
Éste penaliza las desviaciones grandes más que las pequeñas y penaliza
severamente la duración de las oscilaciones:
𝐼. 𝑇. 𝐸. 𝐶. = 𝑡 𝑒 𝑡 2𝑑𝑡∞
0 (42)
e) Integral del producto del tiempo y el valor absoluto del error (I.T.E.A.)
Este índice penaliza de sobremanera la duración de la desviación:
𝐼. 𝑇. 𝐸. 𝐴. = 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡∞
0 (43)
27
3. METODOLOGÍA
3.1. Incorporación de un sistema de control de procesos
La incorporación de un esquema de control es una necesidad plausible en todo
sistema o proceso susceptible a la presencia de desviaciones o cambios en su dinámica,
debido a la existencia de perturbaciones. El efecto de estas perturbaciones puede ser
anulado o minimizado a través de la incorporación de un esquema de control apropiado
dentro del proceso, y para ello, debe medirse continuamente la evolución del sistema
controlado hasta su estabilización, esto último a través de una retroalimentación de la
respuesta del sistema controlado.
La Figura 5 muestra un diagrama de bloques de un sistema de control con
retroalimentación, así como las variables de entrada-salida involucradas.
Figura 5. Diagrama de bloques de un sistema de control a lazo cerrado.
donde R(ψ) es el valor deseado de la variable a controlar dentro del proceso estudiado,
X(ψ) es el valor de la variable de control a la salida del proceso, e(ψ) es el error o
desviación existente entre el valor deseado de la variable de control y su respuesta a la
salida del proceso y U(ψ) es la acción del controlador a la entrada del proceso. El
símbolo (ψ) se refiere a que las señales que intervienen en la entrada-salida de cada
bloque pueden estar en el dominio del tiempo (t) o en el dominio de Laplace (s). La
expresión matemática para el cálculo del error está definida por:
𝑒 𝝍 = 𝑅 𝝍 − 𝑋 𝝍 (44)
En los siguientes apartados se describe la metodología desarrollada para la
incorporación de la estrategia numérica de optimización, las características de operación
del algoritmo que fueron utilizadas para el ajuste de los parámetros de los controladores
PI/PID y SMC.
Proceso Control e(ψ) + -
U(ψ) X(ψ) R(ψ)
28
3.2. Descripción de los esquemas de control
Tal como se mencionó en el Marco Teórico de este trabajo, un esquema de
control es el elemento responsable de generar una señal correctiva que continuamente es
enviada al elemento final de regulación del proceso, con el fin de alcanzar, restablecer o
mantener las condiciones deseadas del proceso. Además, los diversos modos de
actuación que determinan la salida del controlador se denominan modos de regulación y
éstos son dependientes de la incorporación combinada de diferentes acciones de control.
Por lo anterior, existe una amplia diversidad de estructuras de control que se han
desarrollado y acoplado, mostrando sus bondades y ventajas en los casos estudiados. De
acuerdo a su estructura, estas estrategias se clasifican como estrategias de control
clásicas o modernas y su acción depende en gran medida de las características del
problema en que se incorpore.
En este trabajo se estudió un esquema de control clásico (PI/PID) y un esquema
de control moderno (SMC), para tener un comparativo de su efecto sobre cada caso a
tratar.
3.3. Incorporación de una estrategia numérica de optimización global en un
esquema de control de procesos
Además de las ventajas que tiene el incorporar una estrategia de optimización
como una herramienta de auto-ajuste en un sistema de control, otra ventaja adicional
respecto al método de Ziegler-Nichols para el ajuste de parámetros es que se exime la
necesidad de detener el proceso para localizar la última ganancia (𝐾𝐶𝑈) y el periodo de
la oscilación (𝜏𝑈), y de analizar la curva de reacción, y así determinar los parámetros del
controlador PID y SMC, respectivamente, los cuales están en función de la magnitud de
la desviación a la que es sometido el sistema.
Esto significa que los valores adecuados de los parámetros del controlador
cambian para cada perturbación (magnitud) y ésto conlleva a efectuar un análisis
individual que en un proceso en operación tomaría tiempo y sería impráctico. Es a
través de la implementación de la estrategia numérica de optimización que se evita este
proceso haciendo robusta la respuesta del controlador, independientemente de la
magnitud de la perturbación que se presente.
29
La Figura 6 muestra un diagrama de bloques de un sistema de control a lazo cerrado con
la incorporación de la etapa de optimización de parámetros en el proceso mismo, así
como las variables de entrada-salida involucradas en cada etapa, donde 𝑣 corresponde al
vector de parámetros de ajuste que fueron optimizados por el algoritmo para el sistema
de control con que se trabaje.
Figura 6. Diagrama de bloques de un sistema de control a lazo cerrado con etapa de
autoajuste de parámetros mediante un algoritmo de optimización.
Para este trabajo se implementó la estrategia estocástica de optimización global
denominada Cuckoo Search (CS), la cual aún no se ha implementado en problemas de
sistemas de control de procesos o en sistemas con presencia de respuesta inversa. Los
siguientes apartados describen el funcionamiento de este algoritmo y su operación
dentro del sistema de control.
3.4 Descripción del funcionamiento del esquema de control de procesos con
el algoritmo de optimización para el ajuste de parámetros de control
Partiendo del diagrama de bloques de la Figura 6, el proceso de control se define en
los siguientes pasos:
i) El sistema debe estar definido por las ecuaciones gobernantes, por lo
general, está compuesto por un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias simultáneas.
ii) El sistema de control a incorporar puede ser un PI (Ecuaciones (8) y
(9) ) o PID (Ecuaciones (12) y (13)), tanto en el dominio del tiempo o
en el dominio de Laplace. También, puede incorporarse un control
SMC, descrito por las Ecuaciones (29) y (30).
Proceso Control e(ψ)
+ -
U(ψ) X(ψ) R(ψ)
Algoritmo de
optimización
30
iii) Los elementos que componen al sistema se acoplan como se muestra
en la Figura 6 y en un determinado tiempo se genera una perturbación
sobre el proceso, afectando la respuesta de salida de una determinada
variable de control.
iv) La variable de control genera una respuesta de salida que se compara
con el valor de referencia. Así se estima la magnitud del error en el
proceso debido a la perturbación incidida.
v) De acuerdo a la magnitud de la desviación, en comparación con una
tolerancia preestablecida (1E-3), el algoritmo de optimización generará
un vector de parámetro de ajuste para estabilizar el proceso si la
magnitud de la desviación es mayor a la tolerancia. El paso anterior
será repetido por el algoritmo de optimización hasta que la magnitud
de la desviación sea menor que la tolerancia.
vi) Cuando la combinación de estos parámetros de ajuste satisfaga la
tolerancia, se denominará al vector como los parámetros óptimos de
ajuste.
Las condiciones de operación programadas en el algoritmo de optimización se
resumen a continuación.
Espacio de búsqueda de cero a dos veces la magnitud del parámetro de ajuste
calculado por el método de Ziegler-Nichols (Theran y Camacho, 2005).
10 partículas o nidos (Babaee y Khosravi, 2012; Asadi, 2013).
Probabilidad de que el huevo sea descubierto por el ave huésped P=0.25
(Higuera et al., 2012).
400 iteraciones (cantidad máxima recomendada por el algoritmo desarrollado en
MATLAB® por Yang y Deb, 2010).
100 ejecuciones (Higuera et al., 2012).
Evaluación de la función objetivo a través del error cuadrático medio 𝐸. 𝐶. 𝑀.
(Haugen, 2010; Higuera et al., 2012):
𝐸. 𝐶. 𝑀. = (𝑅 𝝍 − 𝑋 𝝍 )2 (45)
Tanto las ecuaciones gobernantes del proceso como del controlador incorporado
al sistema, se desarrollaron a través de programación de bloques de SIMULINK. El
31
algoritmo de optimización CS es el creado por Yang y Deb (2009) y está codificado en
lenguaje de MATLAB®, así, tanto los bloques de SIMULINK y el código del CS se
acoplaron para tener la estructura del sistema de control de la Figura 6.
3.5 Criterio para evaluar la robustez de los sistemas de control
Mientras el valor de la variable de control no coincida con el valor de referencia
o deseado, se estará operando el proceso en una condición indeseable. Así, en función
del tipo de sistema y de la magnitud de la desviación, la operatividad del proceso puede
comprometerse, ya que ésta puede ser inadmisible e incluso riesgosa. Por ejemplo, el
rebasar la temperatura en un sistema puede llegar a generar fraccionamiento molecular,
carbonización, cristalización, aumento excesivo de presión, reacciones químicas
indeseables, deformaciones o roturas en tuberías o producto fuera de especificación.
Por tanto, es necesario establecer un criterio que permita analizar y evaluar la
respuesta transitoria de un determinado sistema de control frente a una perturbación
hasta lograr su estabilización. Así, mediante el ajuste de los parámetros del controlador,
se busca optimizar la respuesta del sistema hasta satisfacer los requisitos impuestos.
Existen diversos criterios o parámetros a considerar en la evaluación de la
robustez de un sistema de control implementado tales como el sobreimpulso máximo,
tiempo de asentamiento, tiempo de retardo, tiempo de primer error nulo, razón de
amortiguamiento, error estático e índice de error o de desempeño, siendo este último el
más utilizado.
La selección de qué índice conviene más aplicar para evaluar la robustez de un
controlador no es tarea fácil ya que depende en gran medida del tipo de proceso y la
forma que toma su respuesta transitoria durante el proceso de control. Por tanto en este
estudio se evaluaron los cinco índices.
3.6. Sistemas de procesos estudiados
Definidos los sistemas de control a implementar, el algoritmo de optimización
para el ajuste de los parámetros de los controladores, el procedimiento realizar la
interfaz de éstos, las condiciones de operación del algoritmo y los criterios para analizar
y evaluar la confiabilidad del sistema de control en el proceso y por ende la robustez del
32
algoritmo de optimización, se procedió a evaluar un conjunto de procesos. La idea
esencial de los sistemas estudiados se describe a continuación.
Sistema de tres tanques interconectados. El controlador debe mantener el nivel
de los tanques sin vaciarse o derramarse, tras recibir una perturbación positiva
tipo escalón unitario (Tahir y Al-Rawi, 2006).
Tanque de reacción de agitación continua donde se lleva a cabo una reacción
exotérmica. El sistema de control se empleó para controlar el cambio de
temperatura dentro del reactor durante la reacción química y se desea que el
líquido que contiene el reactor se mantenga a 88°C (Camacho y Smith, 2000).
Tanque de reacción de agitación continua donde se lleva a cabo una reacción
exortérmica y recibe una perturbación externa en el flujo de alimentación. Al
igual que el caso anterior, el líquido que contiene el reactor se debe mantener a
88°C. Sin embargo el sistema de control debe corregir el cambio de temperatura
a causa de una perturbación generada en el flujo de alimentación (Camacho y
Smith, 2000).
Tanque agitado que es alimentado con un flujo a alta y otro a baja
Temperatura. Se desea mantener la Temperatura a la salida de una tubería que
conecta al tanque a 150°F tras recibir múltiples perturbaciones negativas al flujo
de alimentación de agua caliente (Camacho y Smith, 2000).
Dado que en realidad sería impráctico analizar cada conjunto de parámetro de
ajuste optimizado por el tiempo de cómputo requerido, se analizó y determinó la
robustez del sistema de control considerando los valores de los parámetros de ajuste
localizados contemplando el valor mayor, el menor y el promedio de las funciones
objetivo generadas en las 100 ejecuciones. A su vez, estos índices se compararon con
los obtenidos al considerar los valores de los parámetros de ajuste tomados de las
referencias y con los cuales de igual forma se evaluó cada uno de los sistemas de control
incorporados en cada estudio.
33
4. RESULTADOS
En esta sección se detallan los casos de estudio que se han mencionado
anteriormente, se presentan las ecuaciones gobernantes que describen la dinámica de
cada sistema y los valores de los parámetros operativos, así como el tipo y magnitud de
perturbación que se hace presente en cada sistema. También, se describe el sistema de
control que se incorpora en cada caso de estudio, así como los resultados obtenidos al
integrar la herramienta numérica de optimización para el ajuste de los parámetros del
sistema de control implementado.
4.1 Evaluación de un sistema de control en el proceso de tanques
interconectados
Se tiene un sistema de tres tanques interconectados en una configuración
cerrada, donde la señal de respuesta del actuador presenta un retraso de 0.25 min. El
sistema opera en condiciones estables manteniendo los niveles de cada tanque
constantes, lo cual evita que éstos se vacíen o llegue a presentarse desbordamiento. En
cierto tiempo, se presenta una perturbación tipo escalón de magnitud unitaria en el
tanque 1. La Figura 7 muestra el esquema de este sistema (Tahir y Al-Rawi, 2006).
Figura 7. Esquema de un sistema de tres tanques interconectados.
34
El modelo matemático que describe la dinámica del proceso está representado
por la función de transferencia dada por:
𝐺 𝑠 =1.68𝑒−0.25𝑠
1.1𝑠+1 0.21𝑠+1 (46)
Las dos constantes de tiempo (1.1 y 0.21 min) están asociadas con la
capacitancia del tanque y el canal de retraso, respectivamente. La constante 0.25 min
está relacionada al retraso de la señal en el actuador, cuyo elemento de retraso (e-0.25s
)
puede obtenerse mediante una aproximación de Padé de primer orden, representada por:
𝑒−0.25𝑠 =1−0.125𝑠
1+0.125𝑠 (47)
Por tanto, la conjunción de las Ecuaciones (45) y (46) describen la función de
transferencia del sistema estudiado:
𝐺 𝑠 =1.68 1−0.125𝑠
1.1𝑠+1 0.21𝑠+1 1+0.125𝑠 (48)
En una primera etapa, el sistema de control se estructuró de acuerdo a la Figura
2, la cual corresponde a un sistema de control a lazo cerrado. En esta estructura se
implementó un controlador clásico tipo PID, representado por la Ecuación (12), que
corresponde al esquema de control utilizado en la referencia de la cual se tomó este caso
de estudio. Primero, se reprodujo el sistema utilizando los valores de los parámetros de
ajuste empleados en la referencia, los cuales fueron determinados a través del método de
Ziegler-Nichols. Posteriormente, se implementó el método de optimización CS
adaptando el sistema de control a la estructura dada por la Figura 6 y utilizando el
mismo tipo de controlador antes indicado. La función objetivo a minimizar es:
𝐹. 𝑂. = (1 − 𝑋 𝝍 )2 (49)
donde el valor de 1 corresponde al valor deseado del sistema.
Se acoplaron los valores que delimitan el espacio de búsqueda del algoritmo de
optimización para el sistema de los tres tanques interconectados, estos rangos se
muestran en la Tabla 2.
35
Tabla 2. Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador PID implementado en un sistema de tanques
interconectados.
Parámetro Cota inferior Cota superior
𝐾𝑃 0 2.4
𝜏𝐼 0 1.92
𝜏𝐷 0 0.6
De acuerdo a los resultados obtenidos al emplear la herramienta de optimización
para el ajuste de los parámetros del controlador PID, se consideraron los valores de los
parámetros de ajuste del controlador correspondientes al valor más alto -fobj.(Mayor)-, al
valor promedio -fobj.(Promedio)- y al valor más bajo -fobj.(Menor)-, obtenidas en las 100
simulaciones efectuadas. La Tabla 3 muestra los valores de los parámetros de ajuste del
controlador PID implementado, considerando los valores referenciados y los obtenidos
durante el proceso de optimización.
Tabla 3. Parámetros de ajuste de la referencia obtenido por el método de Ziegler-
Nichols y optimizados para un controlador PID implementado en un sistema de tanques
interconectados.
Parámetro
Referencia
Optimizados
fobj.(Mayor) fobj.(Promedio) fobj.(Menor)
𝐾𝑃 1.2 2.25 2.12 1.41
𝜏𝐼 0.96 0.87 0.85 0.77
𝜏𝐷 0.3 0.17 0.17 0.17
fobjetivo. 1.2E-6 1E-33 5.16E-13 4.47E-11
* Datos tomados de la referencia Tahir y Al-Rawi (2006).
36
La Tabla 3 muestra que los parámetros de ajuste que corresponde a fobj.(Mayor) y
fobj.(Promedio) son cercanos, por lo que la dinámica transitoria de estos parámetros
optimizados será parecida. Así también, la magnitud del tiempo derivativo es igual en
los tres vectores optimizados, sin embargo aunque tengan la misma magnitud la acción
Derivativa, por sí sola, no es capaz de controlar un proceso. Además se observa que el
valor de la función objetivo decrece considerablemente al emplear los parámetros
optimizados.
Con fines ilustrativos, se efectuaron las simulaciones del sistema de control
utilizando los parámetros de ajuste indicados en la Tabla 2. La Figura 8 muestra el
efecto de estos parámetros de ajuste sobre el comportamiento de transición que tiene la
variable de salida.
Figura 8. Comportamiento transitorio de la respuesta de un control PID para un sistema
de tres tanques interconectados.
La Figura 8 muestra que al emplear a los parámetros de ajuste de fobj.(Mayor) y
fobj.(Promedio) presentan un sobreimpulso de mayor magnitud respecto a los parámetros de
referencia y fobj.(Menor). Sin embargo, el tiempo de asentamiento de fobj.(Mayor) y fobj.(Promedio)
es menor en comparación a los parámetros referenciados y los obtenidos con la función
objetivo menor.
37
Si bien es cierto que el tiempo de asentamiento es un parámetro importante en
los sistemas de control de procesos, éste no es un parámetro que indique la robustez del
mismo, por lo cual se emplean los índices de desempeño descritos en la Metodología.
Estos índices se determinaron considerando a los parámetros de control referenciados y
los obtenidos durante el proceso de optimización, los cuales se indican en la Tabla 3.
Cada uno de los índices (errores) calculados se muestran en la Tabla 4, donde se
muestra el tipo de error y bajo qué conjunto de parámetros de ajuste se obtuvo.
Tabla 4. Índices de desempeño obtenidos en un sistema de control para un proceso de
tanques interconectados empleando un control PID.
Parámetros
Índices de desempeño
I.E. I.E.C. I.E.A. I.T.E.C. I.T.E.A.
Referencia 2,86E1 6,11E2 1,46E3 3,77E1 6,43E2
fobj.(Mayor) 7,42E1 1,09E4 2,39E4 6,83E2 5,80E3
fobj.(Promedio) 6,28E1 1,61E4 3,45E4 9,53E2 7,63E3
fobj.(Menor) 4,77E1 5,37E1 1,15E2 3,24 2,51E1
Acorde a los datos numéricos expuestos en la Tabla 4, se muestra que los valores
referenciados presentan un menor error si se considera el I.E. Sin embargo, los
parámetros optimizados obtenidos de la fobj.(Menor) presentan de igual forma un mejor
resultado en los demás índices de desempeño en comparación a los datos referenciados.
Considerando lo anterior, el orden de la robustez del sistema de control estará dado en el
siguiente orden: fobj.(Menor) < referenciados <fobj.(Mayor)< fobj.(Promedio).
4.2 Evaluación de un sistema de control para un proceso de tanque de
reacción con agitación continua
Para este caso, el sistema que se analizó consiste en un reactor CSTR donde se
lleva a cabo una reacción exotérmica de tipo 𝐴 → 𝐵. El tanque se encuentra a una
38
temperatura de 88°C, por lo que al producirse la reacción, la temperatura del fluido
dentro del reactor aumentará siendo necesario implementar un sistema de control que
permita retornar este parámetro a su estado inicial. La Figura 9 muestra el esquema de
este sistema (Camacho y Smith, 2000).
Figura 9. Esquema de un sistema de un reactor CSTR.
Para remover el calor producido por la reacción, el reactor es rodeado por una
chaqueta a través de la cual un fluido refrigerante fluye a 27°C. Al iniciar la reacción
exotérmica, la temperatura del sistema se incrementará, por lo que el flujo del
refrigerante variará con el objetivo de estabilizar la temperatura del reactor a 88°C.
Se consideran los siguientes supuestos:
El calor perdido proveniente de la chaqueta hacia el exterior es despreciable.
Las capacidades caloríficas y la densidad de los reactantes y de los productos
son iguales y constantes.
El calor de reacción es constante.
El nivel de líquido en el reactor es constante.
El refrigerante contenido entre el reactor y la chaqueta que lo envuelve, se
encuentra perfectamente mezclado.
El sistema de ecuaciones simultáneas que describe la dinámica de cada una de
las partes que compone al anterior proceso son:
39
Balance molar del reactivo A:
𝑑𝐶𝐴
𝑑𝑡=
𝐹 𝑡
𝑉 𝐶𝐴𝑖 − 𝐶𝐴 − 𝑘𝐶𝐴
2 (50)
Balance energético en la chaqueta:
𝑑𝑇𝑐
𝑑𝑡=
𝑈𝐴
𝑉𝑐𝜌𝑐𝐶𝑃𝐶 𝑇 − 𝑇𝐶 −
𝐹𝐶 𝑡
𝑉𝐶 𝑇𝐶 − 𝑇𝐶𝑖 (51)
Balance de energía dentro del reactor:
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
𝐹 𝑡
𝑉 𝑇𝑖 − 𝑇 −
∆𝐻𝑅
𝜌𝐶𝑃𝑘𝐶𝐴
2 −𝑈𝐴
𝑉𝜌𝐶𝑃 𝑇 − 𝑇𝐶 (52)
Coeficiente de velocidad de reacción:
𝑘 = 𝑘𝑜𝑒−
𝐸
𝑅 𝑇+273 (53)
Transmisor de Temperatura:
𝑑𝑇𝑂 𝑡
𝑑𝑡=
1
𝜏𝑇 𝑇 𝑡 −80
20− 𝑡 (54)
Válvula de control:
𝐹𝐶 𝑡 = 𝐹𝑐𝑚𝑎𝑥 𝛼−𝑚 𝑡 (55)
Señal del error:
𝑒 𝑡 = 𝑇𝑂 𝑡 − 𝑇𝑂 (56)
La descripción de cada variable operativa contenida en las anteriores
expresiones, así como su valor en estado estable se muestra en la Tabla 4.
40
Tabla 5. Descripción de los parámetros de diseño y sus valores en estado estable para un
sistema de reactor CSTR.
Variable Descripción Valor
𝐶𝐴 Concentración del reactivo A en el reactor. 1.133𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙/𝑚3
𝐶𝐴𝑖 Concentración del reactivo A en la alimentación al reactor. 2.88 𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙/𝑚3
T Temperatura en el reactor. 88°C
𝑇𝐶𝑖 Temperatura del líquido de la chaqueta. 27°C
∆𝐻𝑅 Calor de reacción. -9.6E7 J//𝐾𝑔𝑚𝑜
𝐶𝑝 Capacidad calorífica del reactivo y del producto. 1.815E5 J/ 𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙°𝐶
U Coeficiente de transferencia de calor. 3550 J/𝑚𝑖𝑛𝑚2°𝐶
𝜌𝐶 Densidad del líquido de la chaqueta. 1000 𝐾𝑔/𝑚3
A Área de transferencia de calor. 5.4 𝑚2
𝜌 Densidad del contenido del reactor. 19.2 𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙/𝑚3
𝑉𝐶 Volumen de la chaqueta. 1.82 𝑚3
F(t) Flujo de alimentación al reactor. 0.45 𝑚3/𝑚𝑖𝑛
𝐹𝑐𝑚𝑎𝑥 Máximo flujo por el cual pasa a la válvula de control. 0.020 𝑚2/𝑚𝑖𝑛
𝐶𝑃𝐶 Calor específico del líquido de la chaqueta. 4184 𝐽/𝐾𝑔°𝐶
𝛼 Rangeabilidad de la válvula de control. 50
𝜏𝑇 Tiempo constante del sensor de Temperatura. 0.33 min
𝐾0 Parámetro de frecuencia de Arrhenius. 4.462 𝑚3/𝑚𝑖𝑛𝐾𝑔𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙
E Energía de activación del reactor. 1.182E7 𝐽/𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙
𝑇𝐶 Temperatura de la chaqueta. 50.5 °C
𝑚 Señal de la salida del controlador en estado estacionario. 0.254
V Volumen del reactor. 7.08 𝑚3
R Constante de la ley de gases ideales. 8314.39 𝐽/𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙
𝑇𝑂 Señal de la salida del transmisor en estado estacionario. 0.4
41
4.2.1 Implementación de un sistema de control PI
Al igual que en el caso anterior, se implementó un sistema de control a lazo
cerrado donde el controlador empleado fue un PI, mismo que utilizaron Camacho y
Smith (2000) en su estudio. Dado que las ecuaciones gobernantes del proceso están
formuladas en el dominio del tiempo, la ecuación del controlador a utilizar corresponde
a la Ecuación (7) antes descrita en este trabajo. Los parámetros del controlador a
considerar como de referencia fueron obtenidos por los autores empleando el método de
Ziegler-Nichols.
Posteriormente, se implementó el método de optimización CS adaptando el
sistema de control a la estructura dada por la Figura 6 con la función objetivo:
𝐹. 𝑂. = (88 − 𝑋 𝝍 )2 (57)
donde 88 corresponde a la temperatura que se desea en el interior del reactor.
Además, se definió el espacio de búsqueda del algoritmo de optimización para el
sistema de reactor CSTR, tal como se muestra en la Tabla 6.
Tabla 6.Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador PI implementado un sistema de reactor CSTR.
Parámetro Cota inferior Cota superior
𝐾𝑃 0 4
𝐾𝐼 0 6.66E-3
Con la Ecuación (57) y los intervalos de búsqueda de los parámetros de ajuste
del algoritmo de la Tabla 6. La Tabla 7 muestra los valores de los parámetros de ajuste
del controlador PI implementado, considerando los valores referenciados y los
obtenidos durante el proceso de optimización.
42
Tabla 7. Parámetros de ajuste de la referencia obtenido por el método de Ziegler-
Nichols y optimizados para un controlador PI implementado en un reactor CSTR.
Parámetro
Referencia*
Optimizados
fobj.(Mayor) fobj.(Promedio) fobj.(Menor)
𝐾𝑃 2 2.49 2.33 1.24
𝐾𝐼 3.33E-3 5.4E-3 5.01E-3 4E-3
fobjetivo. 2.5E-6 1E-33 1.5E-11 1.18E-9
* Datos tomados de la referencia Camacho y Smith (2000).
La Tabla 7 muestra que los parámetros de ajuste fobj.(Mayor) y fobj.(Promedio) poseen
valores cercanos, por lo que su dinámica transitoria será semejante, mientras que la
magnitud de la función objetivo difieren en 20 órdenes de magnitud. Además, la
función objetivo de la referencia es menor respecto a los parámetros optimizados.
Con los valores de los parámetros de ajuste de la Tabla 7, se realizó la
simulación del proceso para así visualizar el comportamiento transitivo que presenta
cada esquema para retornarlo a la estabilidad, como se muestra en la Figura 10.
Figura 10. Comportamiento transitorio de la respuesta de un control PI para un
sistema CSTR.
43
La Figura 10 muestra que los parámetros de ajuste referenciados y los obtenidos
seleccionando la función objetivo mayor y promedio presentan un comportamiento
análogo en la dinámica transitiva. Mientras que los parámetros de referencia muestran el
tiempo de asentamiento más lento y con una magnitud de la función objetivo menos
robusta.
4.2.2 Implementación de un sistema de control SMC
Considerando la estructura de control a lazo cerrado representado por la Figura 2
se implementó un esquema de control de tipo SMC representado por las Ecuaciones (29)
y (30). Posteriormente, la estructura de control se acopló la etapa del algoritmo de
optimización para el ajuste de parámetros que está representado por la Figura 6. La
ecuación que describe la función objetivo corresponde a la Ecuación (57), mientras que
los valores que comprende el espacio de búsqueda se muestra en la Tabla 8.
Tabla 8. Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador SMC implementado un sistema de reactor CSTR.
Parámetro Cota inferior Cota superior
𝑡0 0 3.9
𝜏 0 6.66E-3
K 0 4.05
Con la Ecuación (57) y el espacio de búsqueda de la Tabla 8 se realizaron las
simulaciones donde se obtuvieron los valores de los parámetros de ajuste referenciados
por los autores y los obtenidos durante el proceso de optimización, ésto se muestra en la
Tabla 9.
44
Tabla 9. Parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un controlador SMC
implementado en un reactor CSTR.
Parámetro
Referencia*
Optimizados
fobj.(Mayor) fobj.(Promedio) fobj.(Menor)
𝑡0 1.95 0.50 1.62 4.23
𝜏 0.85 1.48 1.49 1.79
K 1.35 2.86 1.84 1.33
fobjetivo. 8.5E-2 3.52E-24 6.57E-7 5.22E-5
* Datos tomados de la referencia Camacho y Smith (2000).
La Tabla 9 muestra que los parámetros de ajuste de los parámetros de referencia
como los optimizados no son cercanos, es decir, la dinámica transitoria de cada vector
de parámetros será diferente. Así también el valor de la función objetivo de fobj.(Mayor)
posee 20 órdenes de magnitud menor respecto a los parámetros calculados por el
método de Ziegler-Nichols.
Considerando los valores reportados en la Tabla 9, se efectuaron las
simulaciones del sistema a controlar para así visualizar la dinámica transitiva del
sistema para cada conjunto de parámetros de ajuste referenciados y optimizados. La
Figura 11 muestra el comparativo.
45
Figura 11. Comportamiento transitorio de la respuesta de un control SMC para un
sistema CSTR.
En la Figura 11 se observa que el tiempo de asentamiento varia para cada
conjunto de parámetros, donde el orden está dado por: fobj.(Mayor)<fobj.(Promedio)<
referenciados, mientras que los parámetros fobj.(Menor) no logra retornar. Con respecto a la
presencia de sobreimpulso, en todos los casos se presenta donde de acuerdo a su
magnitud se establece en el siguiente orden: fobj.(Mayor)< fobj.(Promedio)<referenciados<
fobj.(Menor).
4.2.3 Evaluación de la robustez de la acción de control PI vs SMC
Los índices de desempeño fueron calculados a partir de los parámetros de
control de la referencia y los obtenidos durante el proceso de optimización. Las Tablas
10 y 11 muestran el resultado del cálculo de los índices para cada conjunto de
parámetros en el controlador PI y SMC, respectivamente.
46
Tabla 10. Índices de desempeño obtenidos de un sistema CSTR empleando un control
PI.
Parámetros Índices de desempeño
I.E. I.E.C. I.E.A. I.T.E.C. I.T.E.A.
Referencia 9,65E6 1,34E-03 1,82 2,60E1 2,36E4
fobj.(Mayor) 9,44E6 8,88E-04 1,20 1,67E1 2,34E4
fobj.(Promedio) 9,37E6 8,08E-04 1,15 1,72E1 2,56E4
fobj.(Menor) 9,34E6 4,34E-03 2,22 3,19E1 7,09E4
Tabla 11. Índices de desempeño obtenidos de un sistema CSTR empleando un control
SMC.
Parámetros Índices de desempeño
I.E. I.E.C. I.E.A. I.T.E.C. I.T.E.A.
Referencia 1,28E8 6,23E1 4,74E3 8,56E4 9,07E6
fobj.(Mayor) 9,63E7 5,31E-1 4,47E2 5,27E2 4,57E5
fobj.(Promedio) 1,39E8 5,32E-1 6,27E2 4,06E2 6,92E5
fobj.(Menor) 1,36E8 3,40 1,86E3 6,52E3 3,90E6
La Tabla 10 muestra que para el control PI, los índices obtenidos con los
parámetros optimizados son menores y, por consiguiente, mejores en comparación a los
índices generados a través de los datos referenciados. El orden de los parámetros en la
generación del error mínimo que en este caso es el I.E.C. es: fobj.(Promedio) < fobj.(Mayor)
<fobj.(Menor)<referenciado.
Para el caso del controlador SMC, la Tabla 11 muestra los resultados de los
índices obtenidos. Se observa que el índice I.E.C. son los que presentan magnitudes
47
menores, así el orden que estaría generándose en función de los parámetros es:
fobj.(Mayor)< fobj.(Promedio)< fobj.(Menor)<referenciado.
4.2.4 Análisis comparativo entre el esquema de control PI y SMC
Como parte de evaluar las bondades de los esquemas de control que se utilizaron
en este estudio, se comparó el efecto que éstos tienen sobre la dinámica del controlador.
Con fines ilustrativos la simulación se efectuó empleando los parámetros de ajuste
obtenidos durante el proceso de optimización. Particularmente, se consideraron los
parámetros correspondientes a los de la fobj.(Promedio) para ambos controladores ya que se
desea mostrar la dinámica promedio del controlador. La Figura 12 muestra un
comparativo de la acción de cada controlador durante el proceso de estabilización.
Figura 12. Dinámica de acción del controlador en un sistema CSTR, empleando un
controlador de tipo PI y SMC.
En la Figura 12 se observa cómo el sistema de control SMC muestra una
dinámica de acción más suave (bajas oscilaciones) en comparación a la dinámica de
acción que genera el controlador PI. Tal como se indicó en la Metodología, una de las
ventajas que presenta la acción de control del SMC es que busca estabilizar los sistemas
llevando su dinámica a través de una superficie deslizante tratando de evitar en la
manera de lo posible la presencia de altas oscilaciones que pudiesen dañar
posteriormente al actuador.
48
4.3. Evaluación de un sistema de control para un proceso de tanque de
reacción con agitación continua y presencia de perturbación en el flujo de
alimentación.
Este caso es análogo al caso 4.2, donde aunado a la existencia de la reacción
exotérmica en el sistema, se tiene la presencia de una perturbación positiva de entrada
sobre el flujo de alimentación del reactivo con una magnitud del 10%. Por tanto, se
requiere la implementación de un esquema de control que retorne al sistema a un estado
estable. La Figura 9 corresponde al diagrama de este sistema (Camacho y Smith, 2000).
Las consideraciones del sistema como los modelos matemáticos y sus valores de estado
estable descritos en el anterior problema corresponden a este mismo sistema.
4.3.1 Implementación de un sistema de control PI
De nueva cuenta, se programó el esquema de control a lazo cerrado como lo
ilustra la Figura 2 y fue incorporado un sistema de control PI correspondiente a la
Ecuación (7) que corresponde al empleado por Camacho y Smith (2000) en su estudio.
De igual forma, los parámetros de ajuste de control que utilizaron estos autores fueron
obtenidos mediante el método de Ziegler-Nichols, los cuales se tomaron como datos de
referencia. Posteriormente, se incorporó al esquema de control la etapa de ajuste por
optimización representado por la Figura 6 y la ecuación de la función objetivo a
minimizar correspondió a la Ecuación (57), mientras que el espacio de búsqueda se
muestra en la Tabla 12.
Tabla 12. Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador PI implementado un sistema de reactor CSTR con
presencia de perturbación en el flujo de alimentación.
Parámetro Cota inferior Cota superior
𝐾𝑃 0 3.6
𝐾𝐼 0 6.66E-3
Con la Ecuación (57) y los intervalos de búsqueda de los parámetros de ajuste
del algoritmo de la Tabla 12, se realizaron las simulaciones para localizar los
49
parámetros de ajuste óptimos para este caso. La Tabla 13 muestra los parámetros de
ajuste de referencia y los optimizados con la magnitud de la función objetivo.
Tabla 13. Parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un controlador
PI implementado en un reactor CSTR con presencia de perturbación en el flujo de
alimentación.
Parámetro
Referencia*
Optimizados
fobj.(Mayor) fobj.(Promedio) fobj.(Menor)
𝐾𝑃 1.8 1.84 2.01 1.82
𝐾𝐼 3E-3 4.4E-3 4.99E-3 4.2E-3
fobjetivo. 5.1E-5 1E-33 1.81E-21 9.82E-20
* Datos tomados de la referencia Camacho y Smith (2000).
La Tabla 13 muestra que la magnitud de los parámetros de ajuste de la
referencia, fobj.(Mayor) y fobj.(Promedio) tendrán una dinámica transitoria semejante. Sin
embargo, la magnitud de la función objetivo para los parámetros de referencia es menor
respecto a los parámetros optimizados, ésto debido a las oscilaciones sostenidas del
sistema que no permite retornar al valor deseado.
Tomando los valores de la Tabla 13, se procedió a efectuar las simulaciones del
sistema para visualizar el comportamiento transitivo que tiene la variable de control
(temperatura del reactor) hasta lograr su asentamiento, ésto se ilustra en la Figura 13.
50
Figura 13. Comportamiento transitorio de la respuesta de un control PI para un sistema
CSTR con perturbación a la entrada.
La Figura 13 muestra que los parámetros de ajuste producto de la optimización
muestran un comportamiento muy similar, mientras que la simulación realizada con los
parámetros referenciados requiere mayor tiempo para lograr su asentamiento, en
comparación a los parámetros optimizados. Así mismo, se observa que
independientemente de los parámetros aplicados, la presencia de sobreimpulso en el
sistema está presente y de magnitud semejante para todos los casos.
4.3.2 Implementación de un sistema de control de tipo SMC
Siguiendo el procedimiento de los casos anteriores, se incorporó el control SMC
a la estructura de lazo cerrado de la Figura 2 y donde este controlador está representado
por las Ecuaciones (29) y (30). Se efectuó la simulación considerando los parámetros de
ajuste reportados en la referencia (Camacho y Smith, 2000) con el objetivo de
reproducir la información reportada.
A continuación, se implementó el esquema de control representado por la Figura
6 mediante la incorporación del algoritmo de optimización para el auto-ajuste de los
parámetros del controlador. Al igual que en la sección anterior la función objetivo a
minimizar correspondió a la Ecuación (57) y el espacio de búsqueda del algoritmo se
muestra en la Tabla 14.
51
Tabla 14. Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador SMC implementado un sistema de reactor CSTR con
perturbación a la entrada.
Parámetro Cota inferior Cota superior
𝑡0 0 6
𝜏 0 26
K 0 1.64E-2
Definida la función objetivo y el espacio de búsqueda mostrado en la Tabla 14
se procedió con las simulaciones. La Tabla 15 indica los valores de los parámetros de
ajuste referenciados y los obtenidos durante el proceso de optimización, así como la
magnitud de la función objetivo.
Tabla 15. Parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un controlador SMC
implementado en un reactor CSTR con presencia de una perturbación en el flujo de
alimentación.
Parámetro
Referencia*
Optimizados
fobj.(Mayor) fobj.(Promedio) fobj.(Menor)
𝑡0 3 3.71 1.65 2.24
𝜏 13 9.54 1.42 1.49
K 1.6 0.59 1.73 1.19
fobjetivo. 8.2E-2 9.77E-26 9.69E-8 4.89E-6
* Datos tomados de la referencia Camacho y Smith (2000).
La Tabla 15 muestra que tanto los parámetros de ajuste de referencia como los
optimizados poseen diferente magnitud, por lo que la dinámica de cada vector de
parámetros será única. Mientras que la función objetivo se observa que los parámetros
optimizados nuevamente son menores respecto a los referenciados.
52
De igual manera, los parámetros de ajuste reportados en la Tabla 15 fueron
empleados para generar las simulaciones correspondientes del sistema de control y
visualizar su dinámica transitiva para cada conjunto de parámetros de ajuste. Así, la
Figura 14 muestra el comparativo de este comportamiento.
Figura 14. Comportamiento transitorio de la respuesta de un control SMC para un
sistema CSTR con perturbación a la entrada.
La Figura 14 muestra las diferentes dinámicas transitorias para cada conjunto de
parámetros de ajuste de referencia y optimizados. Se observa además que fobj.(Mayor)
retorna al estado estable en menor tiempo respecto a fobj.(Promedio). Mientras que la
función objetivo menor muestra mayor oscilaciones respecto a los parámetros de
referencia, aunque su tiempo de asentamiento sea menor.
4.3.3 Evaluación de la robustez de la acción de control PI vs SMC
La robustez de cada uno de los controladores antes descrito fue evaluada
mediante la obtención de los índices de desempeño. Este estudio se efectuó
considerando tanto los parámetros de ajuste referenciados como los obtenidos posterior
al proceso de optimización para cada uno de los esquemas de control implementados.
Las Tablas 16 y 17 muestran los resultados de dichos índices para cada conjunto de
parámetros y en cada controlador estudiado, respectivamente.
53
Tabla 16. Índices de desempeño obtenidos de un sistema CSTR con perturbación a la
entrada empleando un control PI.
Parámetros Índices de desempeño
I.E. I.E.C. I.E.A. I.T.E.C. I.T.E.A.
Referenciados 1,74E7 9,09 9,41E2 7,57E3 8,77E5
fobj.(Mayor) 1,73E7 1,58E1 1,59E3 1,14E4 1,17E6
fobj.(Promedio) 1,72E7 8,41 8,10E2 6,29E3 6,06E5
fobj.(Menor) 1,73E7 8,68 8,31E2 6,57E3 6,30E5
Tabla 17. Índices de desempeño obtenidos de un sistema CSTR con perturbación a la
entrada empleando un control SMC.
Parámetros Índices de desempeño
I.E. I.E.C. I.E.A. I.T.E.C. I.T.E.A.
Referenciados 1,13E8 2,18E2 1,31E4 3,58E5 2,68E7
fobj.(Mayor) 7,18E7 5,21E1 4,21E3 5,39E4 4,61E6
fobj.(Promedio) 7,87E7 1,58E2 9,26E3 2,28E5 1,46E7
fobj.(Menor) 7,79E7 1,41E4 4,22E4 6,85E7 1,84E8
La Tabla 16 muestra para el caso del controlador PI que a través de la
optimización de los parámetros de ajuste, se obtiene índices de error menores en
comparación a los índices que se generan a través de los parámetros referenciados. El
orden de los parámetros en la generación del error mínimo que en este caso es el I.E.C.
es: fobj.(Promedio)<fobj.(Menor)<referenciado < fobj.(Mayor).
Para el caso del controlador SMC, la Tabla 17 muestra que, de igual forma, los
parámetros optimizados generan en ciertos casos magnitudes de los índices menores a
los obtenidos a través de los parámetros de referencia. En este caso y considerando el
54
índice I.E.C., el orden de los parámetros es: fobj.(Mayor)<fobj.(Promedio)<referenciado<
fobj.(Menor).
4.3.4 Análisis comparativo entre el esquema de control PI y el SMC
Se analizaron los controladores PI y SMC sobre la dinámica del controlador, y
donde se consideró únicamente los valores de los parámetros de ajuste optimizados,
específicamente, a los correspondientes de la fobj.(Promedio), para mostrar la dinámica
promedio del controlador. La Figura 15 muestra el comparativo de la dinámica del
actuador para cada sistema de control.
Figura 15. Dinámica de acción del controlador de un sistema CSTR con perturbación a
la entrada, empleando un controlador de tipo PI y SMC.
La Figura 15 muestra, al igual que en el caso previo, que el control SMC genera
una acción de control más suave respecto al del control PI. Una vez más se observa que
el controlador SMC reduce la alta dinámica de acción, respecto a lo que se obtiene al
implementar los controladores clásicos en este caso de estudio.
55
4.4. Evaluación de un sistema de control para un proceso de un tanque de
agitación constante con múltiples perturbaciones
El sistema que se analizó consistió en un tanque agitado que es alimentado con
un flujo a alta y otro a baja temperatura. El fluido en el tanque se encuentra a una
temperatura de 150°F y es transportado a través de una tubería; se desea mantener esta
temperatura posterior a la presencia de múltiples perturbaciones negativa en el flujo de
alta temperatura. Por tanto, se implementa un esquema de control que garantice la
estabilidad del sistema. La Figura 16 muestra el esquema de este sistema (Camacho y
Smith, 2000).
Figura 16. Esquema de un tanque de agitación constante.
Se aplican los siguientes supuestos:
El volumen del fluido en el tanque es considerado constante.
El líquido contenido en el tanque es homogéneo.
El reactor y la tubería externa se encuentran perfectamente aislados.
4.4.1. Modelo matemático del proceso
El sistema de ecuaciones simultáneas que describe la dinámica de cada una de las
partes que compone al anterior proceso está definido por:
Balance de energía alrededor del tanque de agitación:
𝑊1 𝑡 𝐶𝑃1 𝑡 𝑇1 𝑡 + 𝑊2 𝑡 𝐶𝑃2 𝑡 𝑇2 𝑡 − 𝑊1 𝑡 + 𝑊2 𝑡 𝐶𝑃3 𝑡 𝑇3 𝑡 =
𝑉𝜌𝐶𝑃3 𝑡 𝑑𝑇3
𝑑𝑡 (58)
Retraso de señal entre el tanque y el sensor:
56
𝑇4 𝑡 = 𝑇3 𝑡 − 𝑡0 (59)
Tiempo muerto:
𝑡0 =𝐿𝐴𝜌
𝑊1 𝑡 +𝑊2 𝑡 (60)
Señal del transmisor:
𝑑𝑇𝑂 𝑡
𝑑𝑡=
1
𝜏𝑇 𝑇4 𝑡 −100
100− 𝑡 (61)
Posición de la válvula:
𝑑𝑉𝑃 𝑡
𝑑𝑡=
1
𝜏𝑉𝑃 𝑚 𝑡 − 𝑉𝑃 (62)
Ecuación de la válvula:
𝑊2 𝑡 =500
60𝐶𝑉𝐿𝑉𝑃 𝐺𝑓∆𝑃𝑉 (63)
La descripción de cada variable operativa contenida en las anteriores
expresiones, así como su valor en estado estable se muestra en la Tabla 13.
57
Tabla 18. Descripción de los parámetros de diseño y sus valores en estado estable para
un sistema de un tanque de agitación continua.
Variable Descripción Valor
𝑊1 Flujo de la corriente caliente. 250 𝑙𝑏/𝑚𝑖𝑛
𝑊2 Flujo de la corriente fría. 191.17 𝑙𝑏/𝑚𝑖𝑛
𝐶𝑃1
Capacidad calorífica del líquido a presión contante del
fluido caliente.
0.8 𝐵𝑇𝑈/𝑙𝑏°𝐹
𝐶𝑃2 Capacidad calorífica del líquido a presión contante del
fluido frío.
1.0𝐵𝑇𝑈/𝑙𝑏°𝐹
𝐶𝑃3 Capacidad calorífica del líquido a presión contante del
fluido en el tanque.
0.9𝐵𝑇𝑈/𝑙𝑏°𝐹
𝐶𝑉3 Capacidad calorífica del líquido a presión contante del
fluido en el tanque.
0.9𝐵𝑇𝑈/𝑙𝑏°𝐹
𝑇1 Temperatura de la corriente caliente. 250°F
𝑇2 Temperatura de la corriente fría. 50°F
𝑇3 Temperatura del fluido del tanque. 150°F
𝜌 Densidad del fluido del tanque. 62.4 𝑙𝑏/𝑓𝑡3
𝑚 Señal de la salida del controlador en estado estacionario. 0.478
V Volumen del tanque. 15 𝑓𝑡3
𝑚 Señal de la salida del transmisor en estado estacionario. 0.5
𝑉𝑃 Posición de la válvula. 0.478
𝐶𝑉𝐿 Coeficiente del flujo de la válvula. 12 𝑙𝑏/𝑚𝑖𝑛
∆𝑃𝑉 Caída de presión en la válvula. 16 psi
A Diámetro de la tubería externa. 0.2006 𝑓𝑡2
L Longitud de la tubería. 125 ft
Tal como se realizó en los casos anteriores, se desarrolló un sistema de control a
lazo cerrado como se muestra en la Figura 2, donde Camacho y Smith (2000)
implementaron un controlador PI descrito por la Ecuación (7) de este trabajo. La
ecuación que corresponde a la función objetivo para este caso es:
58
𝐹. 𝑂. = (150 − 𝑋 𝝍 )2 (64)
donde 150 corresponde a la temperatura de referencia en el interior del tanque.
La Tabla 19 muestra el espacio de búsqueda del algoritmo de optimización para
este caso de estudio.
Tabla 19. Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador PI para un tanque de agitación con múltiples
perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente.
Parámetro Cota inferior Cota superior
𝐾𝑃 0 -1.0
𝐾𝐼 0 -0.44
Establecida la función objetivo de la Ecuación (64) y el espacio de búsqueda del
algoritmo de la Tabla 19, se realizaron las simulaciones con los parámetros del
controlador calculados por los autores como los localizados en el proceso de
optimización se muestran en la Tabla 20.
Tabla 20. Parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un controlador PI
implementado en un tanque de agitación con presencia de múltiples perturbaciones en el
flujo de alimentación del fluido caliente.
Parámetro
Referencia*
Optimizados
fobj.(Mayor) fobj.(Promedio) fobj.(Menor)
𝐾𝑃 -0.5 -0.30 -0.28 -0.26
𝐾𝐼 -0.22 -0.13 -0.14 -0.17
fobjetivo. 6.12E-6 4.68E-16 1.12E-3 4.2E-2
* Datos tomados de la referencia Camacho y Smith (2000).
59
La Tabla 20 muestra que la dinámica transitoria para fobj.(Mayor) y fobj.(Promedio) será
semejante. Sin embargo, la magnitud de la función objetivo difiere en 13 órdenes de
magnitud. Cabe mencionar que fobj.(Menor) y fobj.(Promedio) poseen una magnitud mayor
respecto a los parámetros de referencia.
Con los vectores de los parámetros de ajuste calculados por el Método de
Ziegler-Nichols y los optimizados se evaluó el comportamiento transitivo que tiene la
variable de control (temperatura de salida de la tubería), como se muestra en la Figura
17.
Figura 17. Comportamiento transitorio de la respuesta de un control PI para un tanque
de agitación con múltiples perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente.
En la Figura 17 se observa que la dinámica transitoria de los parámetros de
referencia y los optimizados difieren, sin embargo, los parámetros fobj.(Mayor) retorna al
estado estable en menor tiempo respecto a fobj.(Promedio). Además, el comportamiento del
sistema con los parámetros de ajuste de referencia y los fobj.(Menor) tienen amplias
oscilaciones pero éstas son decrecientes.
60
4.4.2 Implementación de un sistema de control de tipo SMC
En base a la Figura 2 se implementó un esquema de control de tipo SMC
representado por las Ecuaciones (29) y (30). Se efectuaron las simulaciones
considerando los parámetros de ajuste reportados por Camacho y Smith (2000) con el
objetivo de reproducir la información reportada. A continuación, se acopló el algoritmo
de optimización para el ajuste de parámetros que se muestra en la Figura 6, se programó
la Ecuación (64) como la función objetivo a minimizar y se introdujeron los valores
límites correspondientes a la Tabla 21.
Tabla 21. Valores límites donde se realizó la búsqueda de los parámetros de ajuste
optimizados para un controlador SMC para un tanque de agitación con múltiples
perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente
Parámetro Cota inferior Cota superior
𝑡0 0 5.94
𝜏 0 4.64
K 0 1.56
Con la Ecuación (64) y la Tabla 21 se realizaron las simulaciones para localizar
los parámetros óptimos de ajuste. La Tabla 22 muestra los parámetros de ajuste de la
referencia y los optimizados.
Tabla 22. Parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un controlador SMC
implementado en un tanque de agitación con presencia de múltiples perturbaciones en el
flujo de alimentación del fluido caliente.
Parámetro
Referencia*
Optimizados
fobj.(Mayor) fobj.(Promedio) fobj.(Menor)
𝑡0 2.97 2.05 2.28 1.69
𝜏 2.32 2.10 2.16 2.32
K -0.78 -0.56 -0.58 -0.62
fobjetivo. 2.26E-18 6.59E-15 2.0E-3 1.92E-2
* Datos tomados de la referencia (Camacho y Smith, 2000).
61
La Tabla 22 muestra que los parámetros de ajuste referenciados y los
optimizados tendrán diferentes dinámicas transitorias, además se observa que la función
objetivo con los parámetros de referencia es menor respecto a los parámetros
optimizados, esto a causa de las oscilaciones sostenidas que no permiten al sistema
retornar a la dinámica estable.
Con los valores reportados en la Tabla 22, se realizaron las simulaciones del
sistema a controlar para evaluar su dinámica transitiva con cada conjunto de parámetros
de ajuste. La Figura 18 muestra dicho comportamiento de la dinámica para cada
conjunto de parámetros de ajuste obtenidos.
Figura 18. Comportamiento transitorio de la respuesta de un control SMC un tanque de
agitación con múltiples perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente.
En la Figura 18 muestra que la dinámica transitoria de los parámetros
optimizados tienen un comportamiento oscilatorio decreciente, mientras que los
parámetros referenciados retornan a la dinámica estable sin mostrar sobreimpulsos
además de retornar a la dinámica estable en menor tiempo respecto a los parámetros
localizados por el algoritmo de optimización.
62
4.4.3 Evaluación de la robustez de la acción de control PI vs SMC
Se evalúo el índice de desempeño para conocer la robustez de cada esquema de
control. Se consideraron los parámetros de ajuste propuesto por los autores y los
obtenidos por el proceso de optimización. Las Tablas 23 y 24 muestran los resultados de
cada conjunto de parámetros y controlador analizado.
Tabla 23. Índices de desempeño obtenidos de un tanque de agitación con múltiples
perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente empleando un control PI.
Parámetros Índices de desempeño
I.E. I.E.C. I.E.A. I.T.E.C. I.T.E.A.
Referenciados 2,44E6 4,26 1,89E2 2,43E2 1,12E4
fobj.(Mayor) 2,37E6 5,59 2,06E2 2,93E2 1,12E4
fobj.(Promedio) 2,36E6 4,49 1,69E2 2,07E2 8,11E3
fobj.(Menor) 2,35E6 3,73 1,55E2 2,13E2 9,27E3
Tabla 24. Índices de desempeño obtenidos de un tanque de agitación con múltiples
perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente empleando un control
SMC.
Parámetros Índices de desempeño
I.E. I.E.C. I.E.A. I.T.E.C. I.T.E.A.
Referenciados 2,43E6 4,86 2,1E2 3,15E2 1,35E4
fobj.(Mayor) 2.67E6 3,84 1,86E2 1,67E2 8,45E3
fobj.(Promedio) 2.49E6 5,8 2,38E2 3.2E2 1,24E4
fobj.(Menor) 3.12E6 3,58 1,83E2 2,52E2 1,3E4
La Tabla 23 muestra para el caso del controlador PI que la acción de control al
emplear los parámetros optimizados es mejor en comparación a los parámetros
63
referenciados. Así, el orden al emplear el error definido por el I.E.C. es: fobj.(Menor)<
referenciado<fobj.(Promedio)<fobj.(Mayor).
En el caso del controlador SMC, la Tabla 24 muestra que en la mayoría de los
índices, los parámetros optimizados generan un comportamiento más robusto en el
sistema de control. Así, considerando el mismo índice I.E.C. el orden es:
fobj.(Menor)<fobj.(Mayor)< referenciados< fobj.(Promedio).
4.4.4. Análisis comparativo entre el esquema de control PI y el SMC
Se evaluó el efecto de los controladores PI y SMC sobre la dinámica del
controlador; en este caso de estudio se consideraron los parámetros de ajuste
optimizados fobj(Promedio). La Figura 19 muestra el comparativo de dicha dinámica para
cada sistema de control.
Figura 19. Dinámica del controlador de un tanque un tanque de agitación con múltiples
perturbaciones en el flujo de alimentación del fluido caliente, empleando un controlador
de tipo PI y SMC.
La Figura 19 muestra que el control SMC genera una dinámica más suave (pocas
oscilaciones) en comparación a la dinámica por parte del control PI. Este
comportamiento es análogo al obtenido en otros casos de estudio mostrados en las
secciones anteriores, por lo que la implementación de un sistema de control moderno
64
con parámetros de ajuste optimizados, la acción del controlador causará menores daños
respecto al control clásico PI.
65
5. CONCLUSIONES
5.1 Generales
De acuerdo a los resultados obtenidos en estos casos de estudio, la aplicación de
la estrategia de optimización de tipo estocástica Cuckoo Search ha mostrado ser una
buena opción para el ajuste de parámetros en controladores de tipo PID y SMC. .
Se localizaron los parámetros óptimos de ajuste para el control PID/PI donde se
encontró que en tres de los cuatro casos analizados que los parámetros fobj.(Promedio) y
fobj.(Mayor) eran cercanos, proporcionando una dinámica transitoria semejante. Mientras
que para el control SMC no se observó este comportamiento.
Al evaluar la magnitud de la función objetivo, tiempo de asentamiento y
máximo sobreimpulso de los parámetros de ajuste de la referencia respecto a los
optimizados, se observo que en todos los casos donde se analizó esquema de control
PI/PID, mostró ser menor al emplean los parámetros optimizados. Mientras el
controlador SMC, se observa que, a excepción del sistema de tanque con múltiples
perturbaciones, el empleo de los parámetros optimizados ayuda al retorno al valor
deseado en menor tiempo respecto a los parámetros referenciados.
El análisis de los índices de desempeño muestra que, a excepción del índice I.E.,
el control PI/PID y SMC con los parámetros de ajuste optimizados tienen una magnitud
menor respecto a los parámetros de referencia.
A su vez, se ha demostrado que al emplear los fobj.(Promedio), se observa cómo la
dinámica del control SMC muestra oscilaciones más suave (bajas oscilaciones) en
comparación a las generadas por el controlador PI.
El principal aporte de los parámetros optimizados sobre el control PI, es que el
sistema retorna al valor deseado tras recibir múltiples perturbaciones. Mientras que para
el controlador SMC se encontró que el tiempo de asentamiento se reduce
considerablemente respecto a los parámetros referenciados además de no trasgredir las
suaves oscilaciones características de este esquema de control.
5.2 Específicas
Al analizar los casos que comprendían perturbaciones de tipo menor (reactor
químico), intermedio (reactor químico con perturbación), unitario (tanques
interconectados) y múltiple (tanque de agitación), se obtuvo:La dinámica transitoria
66
muestra que el empleo de los parámetros optimizados con el controlador PI/PID, se
observó que el tiempo de asentamiento y sobreimpulso se reduce, mostrando que la
implementación del algoritmo Cuckoo Seach es una alternativa viable para la
localización de parámetros óptimos de ajuste.
Al implementar los parámetros óptimos de ajuste en el control de tipo deslizante,
se observó que para el sistema con una perturbación menor es recomendable porque
reduce el tiempo de asentamiento y máximo sobreimpulso. Mientras que en el caso del
reactor químico con perturbación, no se presentó una diferencia significativa respecto a
los parámetros de referencia. En el caso del tanque con múltiples perturbaciones se
observó que los parámetros optimizados son menos robustos a causa del que el
algoritmo de búsqueda local Nelder-Mead forma parte de la parte continua y
discontinua de las ecuaciones que componen a este esquema de control moderno.
Si se desea que el control PI/PID y SMC tengan dinámicas transitivas con menor
tiempo de asentamiento, sobreimpulsos e índices de desempeño más robusto se
recomienda implementar otras funciones objetivo a minimizar tales como los índices de
desempeño.
67
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74
7. APÉNDICES
7.1. Esquemas de control
7.1.1. Controlador PID
7.1.2. Controlador SMC
75
7.1.2.1. Superficie deslizante S(t)
7.2. Casos de estudio
En el siguiente apartado se muestran los diagramas de bloque de cada caso de
estudio así como su entrelazado.
7.2.1. Sistema de control en el proceso de tanques interconectados
7.2.2. Sistema de control para un proceso de tanque de reacción con agitación
continua.
Balance de masa para el reactivo A (Ecuación 50).
Balance del casquillo (Ecuación 51).
76
Balance de energía dentro del reactor (Ecuación 52).
Coeficiente de reacción (Ecuación 53).
Transmisor de temperatura (Ecuación 54).
77
Válvula de control (Ecuación 55).
Señal del error (Ecuación 56).
Las Ecuaciones 50, 51, 52, 53, 54, 55 y 56 así como las acciones de control
fueron entrelazadas tal como se muestra en el diagrama global.
78
7.2.3. Sistema de control para un proceso de tanque de reacción con
agitación continua y presencia de perturbación en el flujo de alimentación.
Análogo al caso anterior, este sistema consistió en evaluar la acción de control
PI y SMC con los parámetros de ajuste referenciados y optimizados para un tanque
CSTR donde se lleva a cabo una reacción química y una perturbación positiva en el
flujo de alimentación. En este caso se incluyó un bloque de perturbación de tipo escalón
positivo en el flujo de alimentación, tal como se muestra en el siguiente diagrama.
7.2.4. Sistema de control para un proceso de un tanque de agitación
constante con múltiples perturbaciones
Balance de energía alrededor del tanque de agitación (Ecuación 58).
79
Retraso de señal entre el tanque y el sensor (Ecuación 59).
Tiempo muerto (Ecuación 60).
Señal del transmisor (Ecuación 61).
80
Posición de la válvula (Ecuación 62).
Ecuación de la válvula (Ecuación 63).
Las Ecuaciones 58, 59, 60,61, 62 y 63 las múltiples perturbaciones y el sistema
de control PI y posteriormente SMC; fueron enlazadas entre sí tal como se muestra en el
diagrama global.
81
