Prof. dr Zagorka Gospavić

dipl. inž. geod.

Školska 2013/2014. godina

INŽENJERSKA GEODEZIJA 1

Univerzitet u Beogradu Građevinski fakultet

Katedra za geodeziju i geoinformatiku

Obrada rezultata merenja

2

Greške

Neizostavno se javljaju prilikom geodetskih merenja

Postoje:

grube greške

sistematske greške

slučajne greške

3

Grube greške

Pojedini rezultati merenja mogu biti opterećeni grubim greškama i relativno ih je lako uočiti jer „odskaču“ od ostalih rezultata merenja

Da bi se smanjila mogućnost da se u rezultatima merenja potkrade neka gruba greška, tokom merenja treba vršiti njihovu neposrednu analizu:

kontrolisati uslove pri merenju (obezbediti nepromenljivost uslova)

proveravati čitanje i zapisivanje rezultata merenja (kod elektronskih instrumenata koji su danas u masovnoj upotrebi ne postoji mogućnost greške čitanja i zapisivanja jer se svi podaci skladište u memoriji instrumenta)

4

Šta je test na grube greške?

Nakon što su merenja realizovana uz njihovu neposrednu analizu na terenu, pristupa se statističkoj analizi rezultata merenja, tj. primeni statističkih testova za otkrivanje grubih grešaka u rezultatima merenja (primeni tzv. testova na grube greške)

Rezultati merenja jedne veličine smatraju se slučajnim veličinama koje se pokoravaju zakonu normalnog rasporeda:

gde su

-

rezultati merenja veličine

Suština testiranja rezultata merenja na prisustvo grubih grešaka je da se statistički utvrdi da li neki rezultat merenja sadrži grubu grešku, tj. odstupa od normalnog rasporeda

( )2,~ σaNXi

niX i ,...,2,1, = X

5

Načini testiranja na grube greške

Prilikom testiranja rezultata merenja na prisustvo grubih grešaka razlikuju se dva slučaja:

slučaj kada je poznato standardno odstupanje merenja

slučaj kada nije poznato standardno odstupanje merenja

Rezultati merenja mogu se testirati na prisustvo grubih grešaka korišćenjem:

kriterijuma značajnosti

raspona merenja

σ

σ

6

Kriterijum značajnosti

Testiranje rezultata merenja na prisustvo grubih grešaka primenom kriterijuma značajnosti je iterativan postupak

1. korak:

iz niza rezultata merenja jedne veličine odredi se:

srednja vrednost merenja

varijansa merenja

računa se samo ako nije poznato standardno odstupanje merenja )

broj stepeni slobode (broj suvišnih merenja)

niX i ,...,2,1, = X

∑=

=n

iiXnX

1

1

( )∑=

−−

=n

ii XXn 1

22

11σ̂

1−= nf

σ

7

Kriterijum značajnosti -

nastavak

2. korak:

nađe se koje najviše odstupa od srednje vrednosti

( -

sumnjiv rezultat merenja)

nakon što se iz skupa rezultata merenja izbaci rezultat odredi se:

nova srednja vrednost merenja

nova varijansa merenja

(računa se samo ako nije poznato standardno odstupanje merenja )

novi broj stepeni slobode (broj suvišnih merenja)

razlika između sumnjivog rezultata merenja i srednje vrednosti bez tog rezultata

kX

∑−

=−=

1

11 1

1 n

iiXnX

( )∑−

=

−−

=1

1

21

21 2

1ˆn

ii XXnσ

2−= nf

XXX k −max

kX

1XX kn −=Δ

σ

8

Kriterijum značajnosti -

nastavak

2. korak:

odredi se dozvoljeno odstupanje rezultata merenja od srednje vrednosti bez tog rezultata

ukoliko je poznato standardno odstupanje merenja

ukoliko nije poznato standardno odstupanje merenja

σ

σn

nzG1

2−⋅⋅=Δ σα

1ˆ1,2 −⋅⋅=Δ n

nt fG σα

9

Kriterijum značajnosti -

nastavak

Ukoliko je , to znači da je rezultat merenja opterećen grubom greškom; taj rezultat se izbacuje iz skupa merenja, a ukupan broj merenja u postaje ponavlja se korak 1

Ukoliko sumnjivi rezultat merenja zapravo nije opterećen grubom greškom usvajaju se , i (ukoliko nije poznato standardno odstupanje merenja ) iz prethodne iteracije

Gn Δ>Δ kX

1−= nn

Xn σ̂σ

10

Raspon merenja

Testiranje rezultata merenja na prisustvo grubih grešaka primenom raspona merenja je takođe iterativan postupak

Ovaj postupak je naročito efikasan za mali broj rezultata merenja ( )10<n

11

Raspon merenja -

nastavak

1. korak:

iz niza rezultata merenja jedne veličine odredi se:

srednja vrednost merenja

varijansa merenja

(računa se samo ako nije poznato standardno odstupanje merenja )

broj stepeni slobode (broj suvišnih merenja)

raspon merenja

niX i ,...,2,1, = X

∑=

=n

iiXnX

1

1

( )∑=

−−

=n

ii XXn 1

22

11σ̂

1−= nf

σ

minmax XXw −=

12

Raspon merenja -

nastavak

2. korak:

iz skupa rezultata merenja izbaci se ili („zasecanje“ zdesna ili sleva)

odredi se:

nova srednja vrednost merenja

nova varijansa merenja

(računa se samo ako nije poznato standardno odstupanje merenja )

novi broj stepeni slobode (broj suvišnih merenja)

dozvoljena vrednost raspona

maxX

∑−

=−=

1

11 1

1 n

iiXnX

( )∑−

=

−−

=1

1

21

21 2

1ˆn

ii XXnσ

2−= nf

1, σ̂⋅= npG WW

σ

minX

13

Raspon merenja -

nastavak

Ukoliko je , to znači da je rezultat merenja ( ) opterećen grubom greškom; taj rezultat se izbacuje iz skupa merenja, a ukupan broj merenja u tom slučaju postaje ; ponavlja se korak 1

Ukoliko sumnjivi rezultat merenja zapravo nije opterećen grubom greškom usvajaju se , i iz prethodne iteracije

GWw > maxX

1−= nn

Xn σ̂

minX

14

Funkcija merenih veličina

Pri rešavanju praktičnih zadataka često je potrebno razmatrati funkciju jedne ili nekoliko slučajnih (merenih) veličina (npr. koordinate jedne tačke kao funkciju koordinata druge tačke, merenog ugla i dužine)

Ukoliko je mereno veličina čije su istinite vrednosti , pri čemu su dobijeni rezultati merenja

odgovarajućih veličina , i ukoliko je funkcija rezultata merenja:

tada bi istinita vrednost funkcije bila (ukoliko su poznate istinite vrednosti merenih veličina):

nXXX ,..., , 21

n

HnAAA ,..., , 21

( )nXXXhH ,..., , 21=

( )nH AAAhA ,..., , 21=

15

Funkcija merenih veličina -

nastavak

Ukoliko su poznate očekivane vrednosti merenih veličina , moguće je naći očekivanu vrednost funkcije ( ):

pri čemu je ( -

slučajna greška)

Linearizacijom prethodnog izraza u okolini tačke dobija se:

, -

neke konstante

( ) ∑=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂+≈

n

ii

ain X

HaaahH1

21 ,..., , ε

( ) ii aXM =niX i ,...,2,1, =

( )HM( ) ( ) ( )[ ]nnaaahH εεε +++= ,...,, 2211

iii aX ε+= iε

( )naaaa ,..., , 21=

( ) 0=iM εaiX

H⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

( ) ( )naaahHM ,..., , 21≈⇒

16

Funkcija merenih veličina -

nastavak

U praksi su najčešće poznate samo srednje vrednosti dobijene kao aritmetičke sredine rezultata

višestrukih merenja pojedinih veličina

U tom slučaju je moguće naći samo ocenu funkcije:

pri čemu je:( ) HHM ≈

nXXX ,..., , 21

( )nXXXhH ,..., , 21=

17

Greška funkcije merenih veličina (zakon prenosa grešaka)

Istinite greške merenih veličina (argumenata funkcije) su obično nepoznate, dok se istinita greška funkcije može naći u slučaju kad je poznata teorijska vrednost funkcije (npr. zbir uglova u trouglu, suma visinskih razlika u zatvorenom poligonu)

U tom slučaju se apsolutna greška funkcije dobija kao razlika vrednosti funkcije izračunate iz rezultata merenja određenih veličina (merenih vrednosti argumenata) i teorijske vrednosti funkcije:

pri čemu je:

pa je:

( ) ( )nnH AAAhXXXh ,..., , ,..., , 2121 −=Δ

iii AX Δ+=

( ) ( )nnnH AAAhAAAh ,..., , ,..., , 212211 −Δ+Δ+Δ+=Δ

18

Greška funkcije merenih veličina (zakon prenosa grešaka) -

nastavak

Linearizacijom funkcije u okolini tačke dobija se:

gde je:

( ) ( )n

n

ii

AinH AAAhX

hAAAh ,..., , ,..., , 211

21 −Δ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂+≈Δ ∑

=

( )nAAAA ,..., , 21=

∑∑==

Δ⋅=Δ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂≈Δ

n

iii

n

ii

AiH hX

h11

'

Aii X

hh ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂='

19

Greška funkcije merenih veličina (zakon prenosa grešaka) -

nastavak

Saglasno definiciji disperzije važi:

odakle sledi:

Kako je i , to je:

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ⋅=Δ== ∑

=

2

1

22 'n

iiiHH hMMHDσ

( )

( ) ( )∑ ∑∑

∑∑∑∑−

= +==

−

= +===

Δ⋅Δ⋅⋅⋅+Δ⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ⋅Δ⋅⋅⋅+Δ⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ⋅=Δ=

1

1 11

22

1

1 11

222

1

22

''2'

''2''

n

i

n

ijjiji

n

iii

n

i

n

ijjiji

n

iii

n

iiiHH

MhhMh

hhhMhMMσ

( ) 22iiM σ=Δ ( ) ijji KM =Δ⋅Δ

∑ ∑∑−

= +==

⋅⋅⋅+⋅=1

1 11

222 ''2'n

i

n

ijijji

n

iiiH Khhh σσ

20

Greška funkcije merenih veličina (zakon prenosa grešaka) -

nastavak

Formula

je poznata pod nazivom zakon prenosa grešaka za slučaj korelisanih (zavisnih) merenih veličina (argumenata) -

-

kovarijansa merenih veličina i

Specijalni oblik prethodne formule je

i poznat je pod nazivom zakon prenosa grešaka za slučaj nezavisnih merenih veličina (argumenata) ili Gausov zakon prenosa grešaka -

jiKij ≠≠ ,0

jiijij rK σσ ⋅⋅= i j

∑=

⋅=n

iiiH h

1

222 ' σσ

jiKij ≠= ,0

∑∑∑−

= +==

⋅⋅⋅+⋅=1

1 11

222 ''2'n

i

n

ijijji

n

iiiH Khhh σσ

21

Dakle, formula:

predstavlja Gausov zakon prenosa grešaka koji se u geodetskoj praksi najčešće koristi za računanje greške funkcije jer su merenja ili u potpunosti nezavisna ili je njihova korelisanost veoma mala, tj. zanemarljiva

Ukoliko se za određivanje greške funkcije kao jedan od argumenata koristi i neka funkcija preostalih argumenata (npr. jedan ugao u trouglu se uvek može izraziti u funkciji preostala dva ugla - zbir uglova u trouglu je 180°), tada se korelisanost argumenata funkcije mora uzeti u obzir (primenjuje se opšti oblik zakona prenosa grešaka)

Gausov

zakon prenosa grešaka

∑=

⋅=n

iiiH h

1

222 ' σσ

22

Na prethodnim slajdovima je pokazano kako se može odrediti greška funkcije ukoliko su poznate greške merenih veličina (argumenata funkcije)

Postoji i obrnut zadatak - odrediti greške merenih veličina (argumenata) ukoliko je poznata greška funkcije

Postoji optimalno rešenje koje minimizira normu vektora grešaka argumenata, ali i približno rešenje bazirano na principu jednakih uticaja

Raspored -

alokacija grešaka

23

Ukoliko je data funkcija i poznato njeno standardno odstupanje , standardna odstupanja pojedinih argumenata (merenih veličina) mogu se odrediti primenom principa jednakih uticaja

Suština ovog principa je da svaka komponenta greške funkcije podjednako utiče na ukupnu grešku funkcije:

odakle sledi:

Princip jednakih uticaja

nkhhhh Hnn

n

iiiH

22222

222

21

21

1

222 '...''' σσσσσσ ==⋅==⋅=⋅⇒⋅=∑=

( )nXXXhH ,..., , 21=

Hσ

i

H

ii hnh

k'

1'

⋅==σσ

24

Princip zanemarljivosti se takođe koristi pri određivanju grešaka merenih veličina na osnovu poznate greške funkcije

Ovaj princip podrazumeva da je uticaj jedne grupe grešaka argumenata na ukupnu grešku funkcije zanemarljiv, odnosno da je uticaj te grupe grešaka zanemarljiv u odnosu na uticaj druge grupe (preostalih) grešaka

Varijansa funkcije se može, u skladu sa principom zanemarljivosti, napisati u obliku:

gde je ukupni uticaj značajnih grešaka na grešku funkcije, aukupni uticaj beznačajnih grešaka na grešku funkcije

Princip zanemarljivosti

222 BAH +=σ

AB

25

Primenjujući uslov beznačajnosti dobija se:

odnosno:

Zamenom u dobija se:

odnosno daljim sređivanjem:

Za dobija se:

Princip zanemarljivosti -

nastavak

( )0>⋅≤− ασασ HH A

( ) ( ) 222 11 AA HH ≤−⋅⇒≤−⋅ ασασ222 BAH +=σ

( ) ( ) 2222 1 ABA ≤−⋅+ α

( ) ( )( )

22

222222

1221 ABAB ⋅−−≤⇒⋅−≤−⋅αααααα

05.0=α22

91 AB ⋅≤

26

Testiranje hipoteza, tj. statistička provera hipoteza je zadatak matematičke statistike

Hipoteza nije ništa drugo do neka pretpostavka, npr. pretpostavka da su koordinate obeleženih tačaka jednake projektovanim koordinatama, da je raspon stubova mosta jednak projektovanom rasponu, da se koordinate tačaka na objektu nisu promenile između epoha (deformaciona analiza),...

Postupak verifikacije hipoteze pomoću rezultata merenja naziva se statističkim testom

Testiranje hipoteza

27

Neka su i istinite vrednosti rastojanja u trenucima i

U odnosu na te vrednosti može se formirati više pretpostavki, npr.:

(nulta hipoteza)

(alternativna hipoteza)

Prethodno navedena alternativna hipoteza je prosta i zahteva korišćenje jednostranog testa; može se formirati i složena alternativna hipoteza ( ) koja zahteva korišćenje dvostranog testa

Testiranje hipoteza -

nastavak

1L 2L L 1t 2t

210 : LLH =

21: LLHa <

21: LLHa ≠

28

Potrebno je formirati test veličinu koja je pogodna za testiranje, pri čemu ona mora biti funkcija rezultata merenja:

U primeru datom na prethodnom slajdu test veličina bi bila:

Oblast mogućih vrednosti test veličine deli se na dva disjunktna dela, i :

Test veličina

( )nXXXTT ,..., , 21=

212

⋅−

==Ld

LLdTσσ

TBA

α−1y 21 α−y2αy

A Bprosta hipoteza (jednostrani test)

A BBsložena hipoteza (dvostrani test)

29

Test veličina -

nastavak

A B

α−1

0 1yα−1y

β−1

βα

- područje prihvatanja nulte hipoteze

- kritična oblast (područje signifikantnosti)B

A

prosta hipoteza (jednostrani test)

0H

30

Mogućnosti u pogledu istinitosti i (ne)prihvatanja nulte hipoteze

0H Istinita Verovatnoća Neistinita Verovatnoća

Odbacuje seGreška prve vrste

Pravilan zaključak

Prihvata sePravilan zaključak

Greška druge vrste

α

α−1 β

β−1

31

Posmatraju se dva skupa rezultata nezavisnih merenja jedne iste veličine; prvi skup čini rezultata merenja, dok drugi skup čini rezultata merenja; njihove srednje vrednosti su irespektivno

Pretpostavka u slučaju testiranja jednakosti srednjih vrednosti je da je očekivana vrednost razlike tih srednjih vrednosti jednaka nuli (nulta hipoteza)

Prilikom testiranja jednakosti srednjih vrednosti javljaju se različiti slučajevi i to:

kada su nizovi merenja sa istim standardnim odstupanjemkada su nizovi merenja sa različitim standardnim odstupanjima

Testiranje jednakosti srednjih vrednosti

1n2n 1X 2X

32

Postoje dva slučaja, prvi kada je poznato standardno odstupanje i drugi kada to standardno odstupanje nije poznato već ga treba oceniti

U svakom slučaju je:(nulta hipoteza)

(alternativna hipoteza za jednostrani test)

(alternativna hipoteza za dvostrani test)

Ukoliko se formira razlika , hipoteze postaju:

(nulta hipoteza)

(alternativna hipoteza za jednostrani test)(alternativna hipoteza za dvostrani test)

Nizovi merenja sa istim standardnim odstupanjem

σ

( ) ( )210 : XMXMH =

( ) ( )21: XMXMHa <

( ) ( )21: XMXMHa ≠

12 XXd −=

( ) 0:0 =dMH( ) 0: >dMHa

( ) 0: ≠dMHa

33

Ukoliko je poznato standardno odstupanje , test veličina je:

Test odluka glasi:

-

prihvata se nulta hipoteza

-

odbacuje se nulta hipoteza

-

kvantil normalnog rasporeda (

-

za jednostrani test, -

za dvostrani test)

Nizovi merenja sa istim standardnim odstupanjem -

nastavak

σ

( ) 0

21

12 1,0~11

HN

nn

XXdtd +⋅

−==σ

σ

qd

td≤= σ

qt >

q α−= 1zq21 α−= zq

34

Ukoliko je nepoznato standardno odstupanje , test veličina je:

(nakon provere homogenosti disperzija)

Test odluka glasi:

-

prihvata se nulta hipoteza

-

odbacuje se nulta hipoteza-

kvantil Studentovog rasporeda (

-

za jednostrani

test, -

za dvostrani test)

Nizovi merenja sa istim standardnim odstupanjem -

nastavak

σ

210 ,~ˆ fffHtdt fd

+== σ

qd

td≤= σ̂

qt >q α−= 1,ftq

21, α−= ftq

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

21

22 11ˆˆnnd σσ

21

2221

212 ˆˆˆ

ffff

+⋅+⋅

=σσσ

35

Nizovi merenja sa različitim standardnim odstupanjima

Test veličina u ovom slučaju je:

Test odluka glasi:

-

prihvata se nulta hipoteza

-

odbacuje se nulta hipoteza

-

kvantil Studentovog rasporeda (

-

za jednostrani test, -

za dvostrani test)

0

2

22

1

21

12 ~ˆˆ

Ht

nn

XXt fσσ +

−=

( )2

221

21

121

2

2

1

2

,11nn

ncfc

fc

f σσσ+

=−+=

qd

td≤= σ̂

qt >

q α−= 1,ftq21, α−= ftq

36

I za kraj...