Prof. dr Zagorka Gospavić

dipl. inž. geod.

Školska 2013/2014. godina

INŽENJERSKA GEODEZIJA 1

Univerzitet u Beogradu Građevinski fakultet

Katedra za geodeziju i geoinformatiku

Kontrola obeležavanja

2

Zašto i kako se vrši kontrola obeležavanja?

Nakon što se željene tačke obeleže na terenu vrši se kontrola obeležavanja da bi se moglo utvrditi da li stanje obeleženo na terenu odgovara projektovanom stanju

Kontrola obeležavanja se može vršiti na razne načine:

ponovnim obeležavanjem (npr. druga ekipa i drugi instrument pri proboju tunela)

merenjem uglova i dužina, frontova

naknadnim ocenjivanjem parametara figure čije je obeležavanje izvršeno (modelovanjem)

testiranjem različitih hipoteza

teren

kancelarija

3

Kontrola -

merenjem frontova i dijagonala

Δ<− noprojektovamereno DD

4

Tehnički izveštaj o kontroli obeležavanja

Dokument kojim se potvrđuje sprovedena kontrola obeležavanja

Trebalo bi da sadrži:

vreme i datum kada je obeležavanje izvršeno

opis i način materijalizacije obeleženih tačaka

način kontrole obeležavanja (metoda i instrumenti)

matematičke dokaze izvršene kontrole:

potpise odgovornih lica (za primopredaju radova)

Projektovano Obeleženo Dozvoljena razlika Način kontrole

5

Modelovanje kao način kontrole obeležavanja

Nije ništa drugo do ocenjivanje parametara figure čije je obeležavanje izvršeno

Da bi se vršilo ocenjivanje parametara figure mora biti poznata njena jednačina

*

Važna napomena:

Termin „figura“

se na ovom slajdu, kao i u nastavku predavanja uslovno koristi radi jednostavnosti objašnjenja (npr. prava sama po sebi nije figura, ali će biti podvedena pod tu kategoriju u nastavku)

6

Opšta podela geometrijskih figura

Figure sa beskonačnim brojem tačaka - tzv. kontinuirane figure (prava, parabola, kružnica, elipsa,...)

Figure sa konačnim brojem tačaka - tzv. izlomljene figure (dužina, trougao, n-tougao)

7

Jednačine nekih kontinuiranih figura

prava:

parabola:

kružnica:

elipsa:

bXaY ii +⋅=

2210 iii XaXaaY ⋅+⋅+=

( ) ( ) 220

20 RYYXX ii =−+−

12

2

2

2

=+bX

aY ii

8

Osnovne postavke modelovanja

1. korak - ocenjivanje vrednosti parametara modela, a zatim određivanje vrednosti zavisne promenljive iz modela na osnovu ocenjenih vrednosti parametara modela i njegove jednačine

2. korak - određivanje koeficijenta determinacije koji pokazuje koliko dobro nezavisna promenljiva opisuje zavisnu promenljivu (ovaj koeficijent ima vrednost u intervalu od 0 do 1):

3. korak - određivanje koeficijenta korelacije koji pokazuje koliko je jaka veza između promenljivih (ovaj koeficijent ima vrednost u intervalu od -1 do 1):

* Materijal i primer preuzeti iz sinteznog projekta Marine Radulović

( )

( )∑

∑

=

=

−

−= n

iii

n

iii

YY

YYR

1

2

1

2

2

ˆ

2Rr =

2R

r

9

Osnovne postavke modelovanja - nastavak

4. korak - određivanje standardnog odstupanja modela na osnovu sume kvadrata reziduala (odstupanja merenih ili eksperimentalno utvrđenih vrednosti zavisne promenljive iz modela od njenih ocenjenih vrednosti):

5. korak - određivanje standardnih odstupanja ocenjenih vrednosti parametara modela (npr. parametra ) na osnovu standardnog odstupanja modela i kvadratnog korena odgovarajućeg dijagonalnog člana matrice kofaktora :

unY −= vvT

σ

PPYP Q ˆˆˆ ⋅= σσ

P

xQ ˆ

10

Osnovne postavke modelovanja - nastavak

6. korak - testiranje hipoteza i ; ovo je značajno jer u slučaju da je , ne bi uticalo na , a ako bi bilo , regresiona prava bi prolazila kroz koordinatni početak

Test veličine su:

i

Test veličine se porede sa kritičnom vrednošću iz Studentovog rasporeda (kvantilom Studentovog rasporeda) za usvojeni nivo poverenja i broj stepeni slobode (najčešće je ili )

U slučaju prihvatanja nulte hipoteze zaključuje se da se testirani parametar ne razlikuje statistički značajno od nule

0ˆ:0 =aH 0ˆ:0 =bH0ˆ =a X Y 0ˆ =b

a

aT

ˆ

0ˆσ−

=b

bT

ˆ

0ˆ

σ−

=

05.0=α 01.0=α

11

Koeficijenat determinacije i korelacije

Koliko dobro nezavisna promenljiva opisuje zavisnu promenljivu u modelu

0%-25% neznatno

25%-50% slabo

50%-75% dobro

75%-90% veoma dobro

90%-100% značajno

2R Jačina veze

±0.00 do ±0.20 ne postoji

±0.21 do ±0.40 slaba

±0.41 do ±0.60 umerena

±0.61 do ±0.80 jaka

±0.81 do ±1.00 veoma jaka

r

koeficijent determinacije koeficijent korelacije

12

Primer: Modelovanje niza tačaka pravom

Za potrebe ovog primera simulirani su podaci (koordinate tačaka), pri čemu je uvedena pretpostavka da sva merenja (uslovno rečeno) imaju iste težine

0.682 1.514

0.748 1.648

0.910 1.941

1.574 3.026

1.147 2.293

1.226 2.458

0.972 2.039

1.427 2.757

1.534 2.924

0.893 1.882

[ ]mX[ ]mY

13

Uslov za primenu metoda najmanjih kvadrata je da broj merenih veličina bude veći od broja nepoznatih veličina (u ovom slučaju da je dato više od dve tačke jer je broj nepoznatih parametara prave 2, konkretno: , )

Jednačina regresione prave je:

MNK minimizira sumu kvadrata reziduala:

Modelovanje niza tačaka pravom -

nastavak

bXaY ii +⋅=

n u

10=n 2=u un >⇒

( ) minˆ1

2

1

2 =−=∑∑==

n

iii

n

ii YYv

14

Jednačine popravaka su oblika:

U matričnom obliku to bi bilo:

gde je:

i

Konačno:

Modelovanje niza tačaka pravom - nastavak

bXavY iii +⋅=+

fxAv +⋅= ˆˆ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

11

10

2

1

MM

X

XX

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

10

2

1

Y

YY

Mf

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=−

2493.06052.0

ˆˆ

ˆba

fAAAx T1T

15

Koeficijent determinacije je:

što znači da nezavisna promenljiva značajno

opisuje zavisnu promenljivu

Koeficijent korelacije je:

odnosno, sledi

, što navodi na zaključak da je veza između nezavisne promenljive i zavisne promenljive veoma jaka

Modelovanje niza tačaka pravom - nastavak

( )

( )9987.0

ˆ

1

2

1

2

2 =−

−=

∑

∑

=

=n

iii

n

iii

YY

YYR

9994.02 ±== Rr

XY

9994.0=rX Y

16

Standardno odstupanje modela je:

dok su standardna odstupanja ocenjenih vrednosti parametara modela:

i

Na kraju se vrši testiranje hipoteza i

Test statistike su i

Za i kvantil Studentovog rasporeda je:

Kako je i , to se oba testirana parametra modela statistički značajno razlikuju od nule

Modelovanje niza tačaka pravom - nastavak

cm 21.1=−

= unYvvT

σ

01.0ˆˆˆ =⋅= aaYa Qσσ cm 75.1ˆˆˆ =⋅=bbYb

Qσσ

0ˆ:0 =aH 0ˆ:0 =bH

660.790ˆ

ˆˆ =

−=

aa

aT σ 241.140ˆ

ˆˆ =−=

bb

bT σ05.0=α 8210 =−=−= unf

752.2,21 =− ft α

fa tT ,21ˆ α−> fbtT ,21ˆ α−>

17

Linearna regresija u Microsoft Excel-u

Za rešavanje jednostavnih problema linearne regresije korisnicima je na raspolaganju funkcija LINEST čijom primenom se kao rezultat dobijaju:

ocenjene vrednosti parametara regresione prave i

standardno odstupanje modela i standardna odstupanja ocenjenih vrednosti parametara modela i

koeficijent determinacije

F-statistika i broj stepeni slobode

suma kvadrata odstupanja ocenjenih od srednje vrednosti zavisne promenljive i

suma kvadrata reziduala

a b

Yσaσ b

σ2R

f

Y

vvT

18

Testiranje hipoteza kao način kontrole obeležavanja

Hipoteze čije se testiranje često vrši u inženjerstvu:

koordinate obeležene tačke jednake su projektovanim koordinatama

obeleženi raspon stubova mosta jednak je projektovanom rasponu

obeležena figura podudarna je projektovanoj figuri

izvedeni stub je vertikalan

19

Testiranje podudarnosti tačke

Nulta hipoteza - koordinate obeležene tačke 5 su jednake projektovanim koordinatama:

Alternativna hipoteza - koordinate obeležene tačke 5 nisu jednake projektovanim koordinatama:

Test veličina je:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

00

ˆˆ

:proj 55

proj 550 XX

YYMH

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≠⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

00

ˆˆ

:proj 55

proj 55

XXYY

MHa

( )0,,212

0

~ HfFkT ∞−

−

= ασdQd 1

dT

20

Testiranje podudarnosti tačke -

nastavak

-

rang matrice

-

dimenzija 2xu, pri čemu su svuda nule, osim na mestu za u prvom redu gde je jedinica, odnosno za u drugom redu gde je takođe jedinica, H = E.

Za i broj stepeni slobode , kvantil Fišerovog rasporeda je:

689.3,,21 =∞− fF α

Txd HHQQ ˆ=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=proj 55

proj 55

ˆˆ

XXYY

d

2=k dQH 5Y

5X

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5555

5555

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

XXYX

XYYY

QQQQ

dQ

05.0=α 2== kf

21

Testiranje obeleženog raspona stubova mosta

Nulta hipoteza - obeleženi raspon između tačaka 1 i 2 je jednak 50 m:

Alternativna hipoteza - obeleženi raspon između tačaka 1 i 2 nije jednak 50 m :

Test veličina je:

[ ] 050ˆ: 210 =−−dMH

( )0,,212

0

~ HfFkT ∞−

−

= ασdQd 1

dT

[ ] 050ˆ: 21 ≠−−dMHa

( ) ( ) 50ˆˆˆˆ50ˆ 2

12

2

1221 −−+−=−= − XXYYdL

22

-

rang matrice

Za i broj stepeni slobode , kvantil Fišerovog rasporeda je:

024.5,,21 =∞− fF α

Txd HHQQ ˆ=

50ˆ21 −= −dd

1=k dQ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂= 00

2211KX

LYL

XL

YL

1xuH

05.0=α 1== kf

Testiranje obeleženog raspona stubova mosta -

nastavak

[ ]00cossincossin 21

21

21

21 Kνννν −−=1xuH

23

Testiranje vertikalnosti stuba

Nulta hipoteza - tačke 101, 102 i 103 pripadaju istoj vertikali:

Alternativna hipoteza - tačke 101, 102 i 103 ne pripadaju istoj vertikali:

Test veličina je:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

0000

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

:

101103

101103

101102

101102

0

XXYYXXYY

MH

( )0,,212

0

~ HfFkT ∞−

−

= ασdQd 1

dT

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≠

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

0000

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

:

101103

101103

101102

101102

XXYYXXYY

MHa

24

Testiranje vertikalnosti stuba -

nastavak

- rang matrice

-

dimenzija 4xu,

Za i broj stepeni slobode , kvantil Fišerovog rasporeda je:

786.2,,21 =∞− fF α

Txd HHQQ ˆ=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

101103

101103

101102

101102

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

XXYYXXYY

d

4=k dQ

H

05.0=α 4== kf

25

I za kraj...