[Ingegneria - ITA]Elettrotecnica

Pisi - Elettrotecnica

Appunti 1

ELETTROTECNICA(prof. MARIA MARTELLI)

PARTE 0PREREQUISITI

operatori di uso frequente e loro proprietà notevoli

Gradiente:Definito per un campo scalare f come:

grad f = ∂f/∂x i + ∂f/∂y j + ∂f/∂z k• Per spostamenti infinitesimi dl = dx i + dy j + dz k risulta:

(grad f)×(dl) = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz = df = differenziale di f e quindi:

.data una qls. superficie S su cui f=costante: 0 = df = (grad f)×(dl) ⇒ grad f ⊥ dl ∀ dl ∈ S

.data una qls. linea l∈domf:

l∫12 (grad f)×(dl) = l∫12 df = f2-f1⇒ indipendente dal percorso l tra 1e 2

Rotazionale:Definito per un campo vettoriale A come:

• Teorema Di Stokes:

l(∫) A×dl = Sl∫ (rotA)×n dS = ϕCl(rotA)

• Risultano rilevanti le proprietà dei campi vettoriali a rotazionale nullo, definiamo quindi:.vettore irrotazionale ≡ A t.c. rotA≡0

Tali vettori risultano godere delle seguenti proprietà:.sono esprimibili come gradiente di un opportuno campo scalare f (detto “potenziale” di A):

∃ f t.c. A = gradf

Divergenza:Definita per un campo vettoriale A come:

div A = (∂Ax/∂x) + (∂Ay/∂y) + (∂Az/∂z)• Teorema della divergenza:

S(∫) A×n dS = VS∫ divA dV

• Risultano rilevanti le proprietà dei campi vettoriali a divergenza nulla, definiamo quindi:.vettore solenoidale ≡ A t.c. divA≡0

Tali vettori risultano godere delle seguenti proprietà:.hanno flusso nullo attraverso una qualsiasi superficie chiusa (immediato dal teorema della divergenza, considerando che un vettore solenoidale può essere pensato come rotazionale di un altro vettore):

S(∫) A×n dS ≡ 0

.hanno tubi di flusso chiusi e, all’interno di questi, flusso costante per ogni loro sezione:ϕ1 = ϕ2 = ... = ϕn

.data una superficie aperta S di bordo l, è possibile parlare di flusso di A attraverso S concatenato alla linea chiusa l (in quanto tale flusso di dipende appunto solo dai valori assunti da A su di essa - v. th. Stokes; la dipendenza della normale di S dal verso di percorrenza di l viene desunto dalla regola del cavatappi):

ϕ(A) = ϕCl(A).essendo div(rot)≡0, il rotazionale di un qualsiasi vettore A è un vettore solenoidale:

divB = 0 ∀ B t.c. B = rotA, A qualsiasi


Appunti 2

richiami di elettromagnetismo

Sistema elettrico ≡ regione dello spazio, contenente corpi di diversa natura, che diviene sede di fenomenielettromagnetici quando in essa agiscono sollecitazioni (generalmente coincidenti contrasformazioni di energia non elettrica in elettrica e viceversa.

La caratterizzazione quantitativa di tali fenomeni richiede l’uso delle grandezze (funzioni dello spazio e del tempo):• campo elettrico E volt• induzione elettrica D coulomb/m2 → ε0 volte il campo elettrico che si avrebbe in

assenza di materia polarizzata• induzione magnetica B weber/m2 → (il campo magnetico di Fisica II)

• campo magnetico H ampére-spire/m → 1/µ0 volte il campo B in assenza di materiamagnetizzata (l’induzione magnetica di Fisica II)

• densità volumetrica di carica ρ coulomb/m3 → (la densità di carica ρf di Fisica II)

• densità di corrente di conduzione G ampére/m2 → (la corrente jf di Fisica II)

• costante dielettrica ε farad/m → (la permittività elettrica ε=ε0(1+χe) di Fisica II)

• permeabilità magnetica µ henry/m → (la permittività magnetica µ=µ0(1+χm) di Fisica II) • conducibilità elettrica γ ohm-1 → (in Fisica II era, nei conduttori ohmici, la costante di

proporzionalità σ di j=σE; il suo inverso 1/σ è laresistività; per un filo lungo d e di sezione S si definisce laresistenza R=d/σS, da cui V=iR)

Tali grandezze risultano legate dalle:(MM1 L) rot E = - ∂B/∂t → equazione di Maxwell (3° eq. Maxwell nella materia)

(MM2 L) rot H = G + ∂D/∂t → equazione di Maxwell (4° eq. Maxwell nella materia)

(C L) div G = - ∂ρ/∂t → equazione di continuità (conserv. carica, forma locale)

Da esse, tramite i teoremi di Stokes e della Divergenza, si possono ricavare (e per questo vengono qui riportate separatedalle precedenti) le seguenti:(D1 L) div D = ρ → equazione della divergenza (1° eq. Maxwell materia)

(D2 L) div B = 0 → equazione della divergenza (2° eq. Maxwell materia)

Tutte e 5 possono poi essere riscritte in forma integrale anziché locale:(MM1 I) l

(∫) E×dl = - dϕCl(B)/dt...da: l

(∫) E×dl = Sl∫ (rotE)×n dS = Sl∫ (-∂B/∂t)×n dS = - d/dt Sl∫ B×n dS = - dϕCl(B)/dt(MM2 I) l

(∫) H×dl = iCl

...da: l(∫) H×dl = Sl∫ (rotH)×n dS = Sl∫ G×n dS + Sl∫ (∂D/∂t)×n dS = i + is = iCl = iracc Sl

(C I) S(∫) G×n dS = iuscente = - dq/dt

...da: S(∫) G×n dS = VS∫ divG dV = VS∫ (-∂ρ/∂t) dV = - d/dt VS∫ ρ dV = - dq/dt = iuscente

(D1 I) S(∫) D×n dS = Qin

...da: S(∫) D×n dS = VS∫ divD dV = VS∫ ρ dV = Qin

(D2 I) S(∫) B×n dS = 0

...da: S(∫) B×n dS = VS∫ divB dV = VS∫ 0 dV = 0

L’esperienza suggerisce inoltre alcune equazioni che traducono analiticamente l’influenza sui fenomeni elettromagneticitrattati (siano Ei e Gi i campi impressi di tensione e corrente) dei mezzi materiali (supposti lineari, omogenei, isotropi etempo-invarianti):(LM1) D = ε E → equazione di legame materiale(LM2) B = µ H → equazione di legame materiale(LM3) G = γ(E+Ei) + Gi → equazione di legame materiale

condizioni al contorno

Nel passaggio da una parte all’altra di una superficie di separazione tra due mezzi materiali 1 e 2:• i vettori E ed H conservano le componenti tangenziali: E//1 = E//2 H//1 = H//2

• i vettori D, B e G conservano le componenti normali: D⊥⊥⊥⊥1 = D⊥⊥⊥⊥2 B⊥⊥⊥⊥1 = B⊥⊥⊥⊥2 G⊥⊥⊥⊥1 = G⊥⊥⊥⊥2


Appunti 3

relazioni energetiche

Vettore di Poynting ≡ E^H

Teorema di Poynting:E’ la più generica equazione di bilancio energetico per un sistema elettromagnetico racchiuso da una superficie chiusa S:

[ VS∫ G×Ei dV ]dt = [ S(∫) (E^H)×n dS ]dt + d[VS∫ ½µH2 + ½εE2 dV ] + [ VS∫ G2/γ dV ]dt

energia fornita energia irradiata incremento di energia elm energia dissipata dal campo impresso

Dimostrazione:step 1. div(E^H) =

= by calcolo vettoriale (rotE)×H - (rotH)×E == by equazioni di Maxwell (-∂B/∂t)×H - (G+∂D/∂t)×E == by equazioni di legame materiale (-µ∂H/∂t)×H - (G+ε∂E/∂t)×E == by passaggi algebrici -µH×∂H/∂t - G×E - εE×∂E/∂t == by equaizoni di legame materiale -µH×∂H/∂t - G×(G/γ - Ei) - εE×∂E/∂t = ← Nota: Gi = 0= by passaggi algebrici -µH×∂H/∂t - G

2/γ + G×Ei - εE×∂E/∂t

step 2. S(∫) (E^H)×n dS =

= by teorema della divergenza VS∫ div(E^H) dV == by sostituzione del punto a. VS∫ [-µH×∂H/∂t - G

2/γ + G×Ei - εE×∂E/∂t ] dV == by passaggi algebrici VS∫ [-µH×∂H/∂t - εE×∂E/∂t] dV - VS∫ [G2/γ] dV + VS∫ [G×Ei] dV == by passaggi algebrici -d/dt VS∫ [ ½µH2 + ½εE2 ] dV - VS∫ [G2/γ] dV + VS∫ [G×Ei] dV

quindi, avendo tutti i termini le dimensioni di una potenza:

VS∫ [G×Ei] dV = S(∫) (E^H)×n dS + d/dt VS∫ [ ½µH2 + ½εE2 ] dV + VS∫ [G2/γ] dV

potenza fornita potenza irradiata verso variazione di energia elm potenza dissipata dal campo impresso l’esterno del sistema nel tempo infinitesimo dt

step 3. Moltiplicando per il tempo dt avrò quindi il bilancio energetico richiesto.


Appunti 4

PARTE 1INTRODUZIONE AL MODELLO CIRCUITALE A COSTANTI CONCENTRATE

ipotesi

Teorema di Shannon:Fissa l’intervallo di tempo massimo con cui è possibile campionare (in pratica sostituire all’onda continua un’ondadiscreta) una grandezza avente frequenza f in:

t0 = 1/2f

Ipotesi di “costanti concentrate”:L’individuazione (in ogni punto dello spazio e in ogni istante del tempo) delle grandezze elettriche rappresentative di unsistema elettrico può essere notevolmente semplificata se la regione di spazio in esame soddisfa all’ipotesi che...:

“la velocità di propagazione dei fenomeni elettromagnetici sia così elevata da poter essere idealmente ritenuta infinita”ovvero

“sia nullo il tempo di trasmissione di un qls. fenomeno elettromagnetico tra due qualsiasi punti della regione interessata”

• Limiti di validità dell’ipotesi di “costanti concentrate”:Sia S la regione di spazio considerata ed Lmax la massima distanza percorribile al suo interno dal fenomeno elm studiato;poiché la velocità di propagazione di questo è, come noto, pari alla velocità della luce c, il tempo da esso impiegato adattraversare il tratto Lmax sarà dato da:

t = Lmax/cSia ora fmax la frequenza massima associata alle grandezze elettriche presenti nella regione; grazie al teorema di Shannone alla seconda formulazione dell’ipotesi di “costanti concentrate”, si può dunque asserire che essa sarà valida se:

Lmax/c = t << t0 = 1/2fmax

Occorre dunque che le dimensioni della regione d’interesse e le frequenze delle grandezze elettriche presenti siano talida soddisfare la relazione:

2Lmaxfmax/c << 1

Modello circuitale a costanti concentrate:Supposte valide le precedenti relazioni, essendo t<<t0 si può quindi approssimare come se fosse t=0, cioè c=∞.Essendo c2=1/µε, questo equivale a ritenere nullo il prodotto µε.E’ immediato constatare che risulta µε = 0 per:

.fenomeni induttivi ε=0, µ≠0 (B elevato; es: un solenoide con dentro un ferromagnetico)

.fenomeni capacitivi ε≠0, µ=0 (E elevato; es: un condensatore)

.altri fenomeni t.c. ε = µ = 0Segue la possibilità di concentrare ognuno di questi fenomeni in una certa regione di spazio e quindi “separare ifenomeni elettromagnetici nello spazio per studiare i singoli sistemi così ottenuti senza ricorrere alle equazioni diMaxwell”; ciò che si ottiene è un “modello circuitale”.


Appunti 5

caratterizzazione in tensione e corrente

Fenomeni induttiviε = 0µ ≠ 0

Da ε=0 segue D=εE=0, quindi ∂D/∂t=0 da cui rotH=G ⇒ e divD=ρ=0 da cui ∂ρ/∂t=0 ⇒ no accumulo di cariche

Da µ≠0 segue B=µH≠0, quindi -∂B/∂t=rotE≠0 ⇒ non esiste potenziale di E

Teorema di Hopkinson:Considerando materiali lineari si avrà che B=µH.Sia σ la sezione di un generico tubo di flusso di B; risulta allora che:

ic = R Φ(B) dove .R ≡ l(∫) 1/σµ dl = riluttanza

.Φ(B) = flusso di B nei tubi che si appoggiano ad l

“Esistono tubi di flusso di B se e solo se esiste corrente concatenata a tali tubi(che cioè attraversa le superfici da essi racchiuse)”.

Dimostrazione:ic = l

(∫)H×dl = l(∫)(B/µ)×dl = l

(∫)(B/µ)dl = l(∫)(Bσ/µσ)dl = Φ(B)l

(∫) dl/σµ = RΦ(B)

Solenoidalità della corrente di conduzione:Dove la costante dielettrica è nulla (ε≡0) risulta D=εE≡0 quindi ∂D/∂t=0 (densità nulla di corrente di spostamento).Segue perciò che rotH=G+∂D/∂t=G quindi divG=div(rotH)=0

“Alla corrente di conduzione G resta associato un campo solenoidale: i suoi tubi di flussi sarannoperciò chiusi (e concatenati ai tubi di flusso di B, v. th. Hopkinson)”.

• (Auto)-induttore:Si può identificare una regione induttiva con lo spazio occupato da una bobina con N spire (avvolta attorno a un materiale con µ>>1o composta da un numero di spire N>>0), nelle quali circoli una corrente i.Il flusso di B concatenato alla n-esima spira sarà dato da (v. th. Hopkinson)... ΦCn(B) = (1/R)ic = (1/R)NiIl flusso totale di B nelle spire della bobina sarà quindi dato da... ΦC(B) = ΣnΦCn(B) = NΦCn(B) = (N2/R)iData la proporzionalità del flusso totale con la corrente che attraversa le spire, si usa allora esprimere:

ΦC(B) = L i dove .L = N2/R = coefficiente di autoinduzioneSupponendo che sia, lungo la bobina, γ=∞, Ei=0, Gi=0, risulta:

∫12E×dl = ∫12(G/γ)×dl = ∫12(G/∞)×dl = 0E circuitando anche su l’+l” (v.figura) risulta, per additività dell’integrale (nota: l’+l”

(∫) = 0)0 = ∫12E×dl = ∫12E×dl + l’+l”

(∫)E×dl = bobina+l’(∫)E×dl + l”∫12E×dl = - dΦC(B)/dt + V1-V2

Derivando, si ha dΦC(B)/dt = Ldi/dt; esprimendo la tensione v12 tra i morsetti 1 e 2 come la differenza di potenziale V1-V2, si ha:v12 = V1-V2 = dΦC(B)/dt = d/dt(Li) = L di/dt

Da cui la relazione costitutiva in tensione e corrente:v12 = L di/dt

• Mutuo-induttore:Una regione induttiva può anche essere costituita da due (o più) bobine accoppiate magneticamente, in modo che ogni bobina, oltreai propri flussi concatenati, sia attraversata anche da alcuni dei flussi di B prodotti dalla corrente che circola nell’altra. bobina. Siano:

.ϕAj il valore del flusso di B nel suo generico tubo di flusso prodotto dalla corrente nelle spiredella bobina j e non concatenati alle spire della bobina i.

.ϕBj il valore del flusso di B nel suo generico tubo di flusso prodotto dalla corrente nelle spiredella bobina j e concatenato alle spire della bobina i.

Possiamo esprimere il flusso di B prodotto dalla bobina i e concatenato alla bobina i come: ΦCii

= ΣΦAi+ΣΦBi = Li ii

Possiamo esprimere il flusso di B prodotto dalla bobina j e concatenato alla bobina j come: ΦCjj = ΣΦAj+ΣΦBj = Lj ij

Possiamo esprimere il flusso di B prodotto dalla bobina j e concatenato alla bobina i come: ΦCij = ΣΦBj = M ij

Possiamo esprimere il flusso di B prodotto dalla bobina i e concatenato alla bobina j come: ΦCji = ΣΦBi = M ii

Avremo dunque che il flusso totale di B concatenato alla bobina j sarà dato da: ΦCj = ΦCjj+ΦCji = Ljij+Mii

Si giunge perciò ad esprimere il sistema:ΦC1 = L1i1 + Mi2

ΦC2 = L2i2 + Mi1

Da cui, essendo banalmente vi = dΦCi/dt, la relazione costitutiva in tensione e corrente:v1 = L1(di1/dt) + M(di2/dt)v2 = L2(di2/dt) + M(di1/dt)

G solenoidale, tubi di flusso chiusi, correntesolo di conduzione, non di spostamento

Altre definizioni:

tubo di flusso ≡ insieme/fascio di linee di forzadi un vettore che si appoggiano a unastessa linea (detta linea media)

tubo di flusso elementare ≡ tubo di flusso sottile,infinitesimo, tale cioè che si possaconsiderare la linea media come il tubodi flusso stesso (allo scopo di avereq.tà iftsm e non dover integrare).

Data un tubo di flusso di B avente sezione σ,essendo B parallelo ai suoi tubi di flusso, sarà:

Φ(B) = σB


Appunti 6

Fenomeni capacitiviε ≠ 0µ = 0

Da ε≠0 segue D=εE≠0, quindi ∂D/∂t≠0 da cui G≠rotH ⇒ corrente anche di spostamento e divD=ρ≠0 da cui ∂ρ/∂t≠0 ⇒ accumulo di cariche

Da µ=0 segue B=µH=0, quindi -∂B/∂t=rotE=0 e E=-gradV⇒ esiste potenziale di E

• Condensatore:E’ già nota dalla Fisica II la relazione costitutiva:

v12 = V1-V2 = Q/CChe può essere espressa in termini di tensione e corrente ponendo Q = ∫0Qdq = ∫-∞t i(t’)dt’ da cui la relazione costitutiva:

v12 = 1/C ∫-∞t i(t’)dt’

Altri fenomeni:ε = 0µ = 0

Da ε=0 segue D=εE=0, quindi ∂D/∂t=0 da cui rotH=G ⇒ e divD=ρ=0 da cui ∂ρ/∂t=0 ⇒ no accumulo di cariche

Da µ=0 segue B=µH=0, quindi -∂B/∂t=rotE=0 e E=-gradV⇒ esiste potenziale di E

• Resistenza:0≠γ<∞ Ei=0 Gi=0

Si può identificare la regione resistiva con un conduttore reale filiforme di sezione σ percorso da corrente i.v12 = V1-V2 = ∫12E×dl = ∫12Edl = ∫12 (G-Gi)/γ -Ei dl = ∫12 G/γ dl = ∫12 Gσ/γσ dl = ∫12 i/γσ dl = i∫12 dl/γσ = i R

Da cui la relazione costitutiva (peraltro già nota):v12 = R i

• Lato di cortocircuito:0≠γ=∞ Ei=0 Gi=0

Si può identificare tale regione con un conduttore ideale a conducibilità infinita.Dalla precedente v12 = V1-V2 = ∫12 G/γ dl si ricava, banalmente, che v12 = 0 e quindi la relazione costitutiva:

V1 = V2

• Vuoto:γ=0 Ei=0 Gi=0

• Generatore di tensione:γ=∞ Ei≠0 Gi=0

Dall’equazione di legame materiale G=γ(E+Ei)+Gi segue, in questo caso, G=γ(E+Ei) da cui E+Ei=G/γ=0E quindi, da E=-Ei segue che v12 = V1-V2 = ∫12E×dl = -∫12Ei×dl = ∫21Ei×dl e, infine, la relazione:

v12 = ∫21Ei×dl

• Generatore di corrente:γ=0 Ei=0 Gi≠0

Dall’equazione di legame materiale G=γ(E+Ei)+Gi segue, in questo caso, G=Gi

G solenoidale, tubi di flusso chiusi, correntesolo di conduzione, non di spostamento


Appunti 7

PARTI 2, 3 e 5COMPONENTI DI UN CIRCUITO ELETTRICO E LORO PROPRIETA’

Circuito elettrico ≡ Struttura costituita dalla connessione di componenti ideali caratterizzati da opportuni legamidi tensione e corrente ad essi applicati (ciascuna connessione considerata a potenzialecostante e priva di dimensioni geometriche.

Componenti ≡ Elementi costitutivi di un circuito elettrico, generalmente rappresentabili con un rettangolo dacui emergono due o più terminali filiformi, ciascuno dei quali avente per estremo un punto,detto morsetto. I componenti possono godere o meno delle proprietà di:

.linearità rispetto a una causa agente e ad un corrispondente effetto, nel caso l’effetto sia direttamente proporzionale rispetto alla causa considerata..permanenza o tempo-invarianza, se l’effetto non dipende dall’istante in cui la causa viene applicata (cioè se il componente non si modifica nel tempo)..passività, se il componente è impossibilitato a fornire un’energia quantitativamente superiore a quella acquisita fino all’istante considerato. Indicata con p(t) la potenza istantaneamente assorbita dal componente, deve risultare:

E(t) = ∫-∞t p(t’) dt’ ≥ 0 ∀ t In caso contrario il componente si dice attivo.

Porta (di un componente) ≡ Coppia di morsetti tali che la corrente entrante nell’uno è uguale ed opposta a quella entrantenell’altro.

Bipolo ≡ Componente a due terminali, caratterizzato - dal punto di vista elettrico - dalla tensione tra isuoi morsetti e dalla corrente che lo attraversa.

.Un bipolo è un componente ad una porta. La dimostrazione si ottiene immediatamente, considerando il flusso di G=rotH

attraverso una superficie chiusa S che racchiuda il bipolo senza attraversare alcun condensatori (su S risulta dunque ∂D/∂t=0):

i2-i1 = S(∫)G×ndS = Vs∫divGdV = Vs∫div(rotH)dV=0)

.I versi positivi per tensione e corrente possono essere scelti

.arbitrariamente; è tuttavia usuale sceglierli coordinati secondo la convenzione da utente, in modo che il loro prodotto v i coincida con la potenza elettrica assorbita dal bipolo. La dimostrazione si avvale del fatto che, racchiuso il componente in una superficieS con normale rivolta all’interno, il flusso del vettore di Poynting attraverso Srappresenta la potenza irradiata: assorbita/ceduta se, rispettivamente, positivo/negativo.

S(∫)(E^H)×ndS = S

(∫)-(∇∇∇∇V^H)×ndS = S(∫)-∇∇∇∇^(VH)×ndS + S

(∫)V(∇∇∇∇^H)×ndS = = VS

(∫)div(rot(VH)dV + S(∫)V(∇∇∇∇^H)×ndS =

= S(∫)V(∇∇∇∇^H)×ndS = S

(∫)VG×ndS = G≠0 solo nei punti in cui il filo esce da S

= V1(+i)+V2(-i) = (V1-V2)i = vi E quindi, sostituendo [S

(∫)(E^H)×ndS]dt = vidt al già noto bilancio energetico (etenendo conto, nel segno del flusso del v. di Poynting, del verso, qui opposto, di n):

vidt + [VS∫G×EidV]dt = dVS∫½µH2+½εE2dV + [VS∫(G2/γ)dV]dt “l’energia vidt fornita ad un bipolo tramite la coppia dei suoi morsetti, sommata

all’energia fornita dai generatori di tensione interni ad esso, in parte va ad incrementare l’energia elettromagnetica e in parte viene dissipata”.

.Nel caso di generatori di tensione o corrente, è invece uso scegliere versi concordiper tensione e corrente, secondo la cosiddetta convenzione da generatore; in questomodo, il valore del prodotto v i viene a coincidere con la potenza erogata dalgeneratore al circuito cui è collegato.

N-polo ≡ Componente avente n terminali.


Appunti 8

componenti, loro relazioni costitutive fondamentali e bilanci energetici

• Resistore:Relazione costitutiva: v = R iEquazione di bilancio energetico: E(t) = ∫-∞t R i2 dt ≥ 0

- E’ un componente bipolare, lineare e tempo-invariante (ma esistono anche resistori non lineari, come i “diodi”, o tempo-varianti).- R è detta resistenza e si misura in Ohm [Ω]; il suo inverso g = 1/R è detto conduttanza e viene misurata in Mho [Ω-1].- Nel piano v,i il legame tra tensione e corrente è rappresentato da una retta per l’origine detta caratteristica del resistore.- L’espressione dell’energia deriva da dE = pdt = vidt = Ri2dt ≥ 0 da cui E(t) = ∫dE = ∫-∞t Ri2dt- E’ un componente passivo, il flusso di energia è sempre entrante.

• Condensatore / Capacitore:Relazione costitutiva: q = v CEquazione di bilancio energetico: E(t) = ½ q2/c ≥ 0

- E’ un componente bipolare, lineare e tempo-invariante.- C è detta capacità e si misura in Farad [F].- Nel piano q,v il legame tra carica sulle armature e tensione è rappresentato da una retta per l’origine detta caratteristica del condensatore.- L’espressione dell’energia deriva da dE = pdt = vidt = (q/c)(

dq/dt)dt = 1/cq dq = d(1/2cq2)

da cui E(t) = ∫dE = ∫-∞t d(1/2c q2) = ½ 1/C Q2 con q(t=-∞)=0

- E’ un componente passivo, ma la direzione, istante per istante, del flusso di energia non è decidibile.

• Induttore:Relazione costitutiva: ΦC = L iEquazione di bilancio energetico: E(t) = ½ L i2 ≥ 0

- E’ un componente bipolare, lineare e tempo-invariante.- L è detta induttanza e si misura in Henry [H].- Nel piano ΦC,i il legame tra flusso del campo magnetico nella bobina e corrente è rappresentato da una retta per l’origine detta caratteristica dell’induttore.- L’espressione dell’energia deriva da dE = pdt = vidt = (dΦc/dt)idt = di/dtLidt = d(½Li2) da cui E(t) ∫dE = ∫d(½Li2) = ½Li2

- E’ un componente passivo, ma la direzione del flusso di energia non è decidibile.

• Induttori mutuamente accoppiati: ΦC1 = L1i1 + Mi2

Relazione costitutiva: ΦC2 = L2i2 + Mi1

Equazione di bilancio energetico: E(t) = ½ L1i12 + ½ L2i2

2 + Mi1i2

- E’ costituito da una coppia di componenti bipolari, lineari e tempo-invarianti.- L ed M sono rispettivamente auto-induttanza e mutua-induttanza, misurate in Henry [H].- L’espressione dell’energia deriva da

dE1 = p1dt = v1i1dt = (dΦc1/dt)i1dt = (di1/dtL + di2/dtM)i1dt = Li1di1 + Mi1di2

dE2 = p2dt = v2i2dt = (dΦc2/dt)i1dt = (di2/dtL + di1/dtM)i2dt = Li2di2 + Mi2di1

dE = dE1+dE2 = Li1di1 + Mi1di2 + Li2di2 + Mi2di1 = d(½L1i12) + d(½L2i2

2) + d(Mi1i2) da cui E(t) ∫dE = ∫-∞td(½L1i1

2)+d(½L2i22)+d(Mi1i2) = ½L1i1

2 + ½L2i22 + Mi1i2

- Il valore di M decide della passività del componente (compare infatti nell’unico termine di E(t) che può essere negativo) Escluso il caso (in cui il mutuo induttore è banalmente passivo) in cui i1=i2=0, esprimendo x=i1/i2 ed y=2E/i2

2

avrò che il segno di E coincide con quello di y; l’equazione può essere riscritta nella forma di quella di una parabola:y = L1x

2 + 2Mx + L2

Essendo la concavità rivolta verso l’alto, è noto che y non assume valori negativi solo se tale equazione non ammette radici reali distinte, cioè se risulta ____ ∆/4 = (b2-4ac)/4 = M2-L1L2 ≤ 0 Il componente è dunque passivo per |M| ≤ √L1L2

Introdotto k = |M|/√L1L2 (detto “coefficiente di accoppiamento”), il componente risulta dunque passivo per(induttori disaccoppiati) 0 ≤ k ≤ 1 (induttori strettamente accoppiati)


Appunti 9

• Generatore indipendente di tensione:Relazione costitutiva: v = EEquazione di bilancio energetico: E(t) = ∫-∞t E i dt

- E’ un componente bipolare, e lineare.- E rappresenta la tensione, ovviamente misurata in volt [V], che il generatore mantiene tra i suoi morsetti, qualunque sia il valore della corrente i che lo attraversa.- L’espressione dell’energia (che, seguendo la convenzione da generatore per i versi di v e i, risulta positiva se erogata al circuito, non se assorbita dal bipolo) è: dE = pdt = vidt = Eidt da cui E(t) ∫dE = ∫-∞tEidt- Il valore della corrente i che attraversa il componente decide della sua passività o attività.

• Generatore indipendente di corrente:Relazione costitutiva: i = IEquazione di bilancio energetico: E(t) = ∫-∞t v I dt

- E’ un componente bipolare e lineare.- I rappresenta la corrente, ovviamente misurata in ampere [A], che il generatore fa circolare in entrata e in uscita dai suoi morsetti, qualunque sia il valore della tensione v che gli si applica.- L’espressione dell’energia (che, seguendo la convenzione da generatore per i versi di v e i, risulta positiva se erogata al circuito, non se assorbita dal bipolo) è: dE = pdt = vidt = vIdt da cui E(t) ∫dE = ∫-∞tvIdt- Il valore della tensione v applicata al componente decide della sua passività o attività.- Più che come modellizzazione di un elemento di un circuito reale, è usato per costruire circuiti equivalenti di altri circuiti reali.

• Generatore di tensione/corrente pilotati in tensione/corrente:- Sono componenti la cui grandezza impressa (tensione o corrente) è proporzionale, tramite una costante k che detta parametro di controllo, ad un’altra grandezza elettrica (tensione o corrente) presente su un altro lato del circuito.

Relazione costitutiva: vg = kvi ip (gen.ten.pil.in corr.)Equazione di bilancio energetico: E(t) = ∫-∞t kviip ig dt

Relazione costitutiva: vg = kvv vp (gen.ten.pil.in ten.)Equazione di bilancio energetico: E(t) = ∫-∞t kvvvp ig dt

Relazione costitutiva: ig = kii ip (gen.corr.pil.in corr.)Equazione di bilancio energetico: E(t) = ∫-∞t vg kiiip dt

Relazione costitutiva: ig = kiv vp (gen.corr.pil.in ten.)Equazione di bilancio energetico: E(t) = ∫-∞t vg kivvp dt

- Si tratta comunque di componenti bipolari e lineari.- L’espressione dell’energia segue banalmente da quella vista a proposito dei generatori indipendenti.- Si tratta ovviamente di componenti che possono essere attivi.


Appunti 10

topologia

Grafo di un circuito ≡ Figura che si ottiene dal circuito stesso sostituendone con segmenti i componenti..A ogni circuito possono evidentemente essere associati più grafi, mentre lo stesso grafo può corrispondere a diversi circuiti..Il grafo viene orientato assegnando a ogni suo lato un verso di percorrenza

(di solito coincidente col verso positivo della corrente che lo percorre).

Lato / Ramo ≡ Un qualsiasi segmento del grafo.

Nodo ≡ Punto del grafo che sia unione di due o più lati (cioè toccato contemporaneamente da3 o più componenti; il punto di congiunzione di 2 componenti in serie noncostituisce un nodo, in quanto entrambi i componenti sono visti come appartenentiallo stesso lato).

Taglio ≡ Insieme di lati del grafo che possono venire intersecati da una linea chiusa che tagliaognuno di essi in uno e un sol punto (nel caso di un grado tridimensionale si ricorread una superficie chiusa).

Maglia ≡ Insieme di lati del grafo, ciascuno considerato una volta sola, costituenti un percorsochiuso che a partire da un nodo ritorna al nodo stesso.

Albero ≡ Insieme di lati del grafo, ciascuno considerato una volta sola, che collega a due a duetutti i nodi presenti, senza formare percorsi chiusi.

.Per uno stesso grafo esistono, evidentemente, più possibili alberi.

.Dato un grafo con N nodi, ogni suo possibile albero avrà [N-1] lati

Coalbero di un albero ≡ Insieme di lati del grafo che non appartengono a un dato suo albero..Dato un grafo con N nodi e R lati, ogni suo possibile coalbero avràovviamente R-[N-1] lati (cioè il n° totale di lati, meno quelli dell’albero).

Maglia fondamentale ≡ Maglia individuata dall’aggiunta di uno dei rami di coalbero a un dato albero..L’aggiunta di un ramo di coalbero all’albero individua sempre una maglia..Dato un grafo con N nodi e R lati, esso avrà ovviamente R-[N-1] magliefondamentali (cioè tante quanti i rami di coalbero)..Una maglia fondamentale contiene sempre uno e un solo lato di coalbero eogni lato di coalbero compare sempre in una e una sola maglia fondamentale del suo grafo.

Taglio fondamentale ≡ Taglio i cui lati appartengono tutti al coalbero tranne uno che appartiene all’albero..Dato un grafo con N nodi e R lati, esso avrà ovviamente [N-1] taglifondamentali (cioè tanti quanti i rami di albero).


Appunti 11

PARTI 4, 6,7 e 8TEOREMI FONDAMENTALI

leggi di KirchhoffSi tratta di approssimazioni delle leggi di Maxwell, che tuttavia risultano valide nell’ambito dei circuiti a costanticoncentrate (e devono dunque essere soddisfatte dalle tensioni e dalle correnti presenti in tali circuiti).

Prima legge di Kirchhoff (o leggei di Kirchhoff sulle correnti):“La corrente che complessivamente esce da una superficie chiusa che interseca il circuito solo in presenza di terminali è

uguale a quella che vi entra”.

Motivazioni:• Segue dall’equazione di continuità in forma integrale: 0 = S

(∫) G×n dS = iuscente

Osservazioni:• L’applicazione della legge delle correnti ad un bipolo (che viene dunque idealmente racchiuso da una superficie

chiusa, collocata al suo esterno in modo tale che non intersechi altri componenti) mostra che la corrente che entra inun morsetto è uguale ed opposta a quella che entra nell’altro.

• L’applicazione della legge delle correnti ad un nodo (quindi circondato da una superficie chiusa che interseca i latiche vi entrano senza attraversare nessun componente ivi contenuto) conduce alla seguente equazione algebrica:

Σk ik = 0 con k che assume i valori da 1 al numero di lati che toccano il nodo scelto• (trattandosi di quantità algebriche, quindi con segno, il verso positivo di ogni corrente può essere scelto

arbitrariamente; trovato poi un eventuale valore negativo, il verso positivo della corrente corrispondente sarà dunqueopposto a quello scelto).

• Essendo la carica elettrica l’integrale rispetto al tempo della corrente q(t) = ∫-∞t i(t’) dt’, la legge delle correntiimplica l’impossibilità di un accumulo di carica entra una superficie chiusa (che non attraversi alcun componente!!)in un circuito a costanti concentrate.

Seconda legge di Kirchhoff (legge delle tensioni):“E’ nulla la somma algebrica delle tensioni (= differenze di potenziale) che si incontrano spostandosi lungo una linea

chiusa e finita che incontra il circuito solo in corrispondenza di morsetti”

Motivazioni:• Segue dall’equazione dalla seconda legge di Maxwell: ∂B/∂t = 0 ⇒ ∇∇∇∇^E = -∂B/∂t = 0 ⇒ l

(∫) E×dl = 0

Osservazioni:• L’applicazione della legge delle tensioni ad una maglia (presa dunque una linea chiusa che la tocchi nei soli morsetti

dei componenti su essa presenti) conduce alla seguente equazione algebrica:Σk vk = 0 con k che assume i valori da 1 al numero di componenti che appartengono alla maglia scelta

• (si tratta sempre di quantità algebriche, quindi con segno; le tensioni vanno sommate col proprio segno se il loroverso è concorde - cioè è opposto !!! - a quello scelto per la circuitazione).

• E’ uso scrivere le equazioni di Kirchhoff delle tensioni separando le grandezze impresse (es: tensioni corrispondentia generatori di tensioni) dalle altre e portandole, col segno cambiato, all’altro membro.

⇓⇓⇓⇓

• Le equazioni che esprimono le leggi di Kirchhoff sono lineari e omogenee nelle correnti e nelle tensioni deicomponenti del circuito. Esse non dipendono dalla natura dei componenti, ma solo dal loro numero e dal modo incui sono collegati, cioè dalla “topologia del circuito”.

• Per un circuito con R lati ed N nodi si avranno si potranno avere da determinare R possibili correnti (presenti su dettisuoi rami) o, equivalentemente, R possibili tensioni (tra i loro estremi).

• Per un tale circuito è possibile, grazie alle equazioni di Kirchhoff (sulle tensioni EKT, sulle correnti EKC), scrivereun sistema di R equazioni in tali R incognite:

R lati coalberi con R-[N-1] lati ⇒ R-[N-1] maglie fondamentali⇒ R-[N-1] EKTN nodi alberi con [N-1] lati ⇒ [N-1] tagli fondamentali ⇒ [N-1] EKC

• Svolgendo, a seconda delle necessità, il legame tra tensione e corrente di ogni singolo componente a favore dell’unao dell’altra caratteristica elettrica si ottengono R equazioni linearmente indipendenti (a causa della presenza di unramo unico in ogni taglio/maglia fondamentale) nelle R incognite costituite dalle tensioni o dalle correnti presenti.


Appunti 12

teorema di Tellegen e principio di conservazione della potenza elettrica

Sono entrambi immediate conseguenze delle leggi di Kirchhoff e si dimostrano con riferimento ad esse.

Teorema di Tellegen:“Dati due circuiti chiusi C’ e C” aventi lo stesso grafo orientato e a cui corrispondano i sistemi di tensioni e correnti

coordinate (v’i’) e (v”i”), risulta:Σk vk’ ik” = Σk vk” ik’ = 0

(con k che varia da 1 al numero di lati del comune grafo dei due circuiti)”.

Dimostrazione:• Consideriamo l’ n-esimo lato del grafo; siano:

.Pn e Qn i suoi estremi

.in e vn le sue corrente e tensione coordinate

.a,b i lati del grafo che toccano il nodo Pk (solo indicativamente in numero di due; la dimostrazione è valida comunque)

.c,d i lati del grafo che toccano il nodo Qk (solo indicativamente in numero di due; la dimostrazione è valida comunque)

.A,B,C,D gli altri estremi dei succitati lati Risulta, allora:

Σk vk’ ik” = (VP’-VQ’)in” + (VP’-VA’)ia” + (VP’-VB’)ib” + (VC’-VQ’)ic” (VD’-VQ’)id” + ... == by raccoglimenti VP’(Σ correnti al nodo P) + VQ’(Σ correnti al nodo Q) + ...altri raccoglimenti analoghi == by EKC VP’(0) + VQ’(0) + ...altri prodotti analoghi per gli altri nodi = 0

Osservazioni:• Il suddetto teorema è valido per un qualsiasi tipo di circuito a costanti concentrate, quali che siano i suoi elementi

(lineari, passivi, tempo-invarianti oppure no)

Principio di conservazione della potenza elettrica:

Bilancio di potenza per un circuito chiuso:“La potenza complessiva assorbita da un circuito chiuso è nulla”

Dimostrazione:• E’ immediata conseguenza del Th. di Tellegen, preso come secondo circuito, omografo al primo, lo stesso circuito:

p = Σk pk = Σk vk ik = Σk vk”ik’ = Σk vk’ik” = 0

Bilancio di potenza per un circuito aperto:“La potenza assorbita da un N-polo è uguale alla potenza in ingresso all’N-polo stesso”

Dimostrazione:• Note introduttive: prendendo nullo il potenziale (che tanto è definito a meno di una costante additiva) relativo a uno

degli N morsetti, ad esempio il morsetto N (cioè mettendolo “a terra”: VN=0 ), si può far coincidere la tensione traun qualsiasi altro morsetto e questo (cioè la differenza di potenziale tra di essi) con il potenziale del morsetto di voltain volta considerato:

vk = Vk-VN = Vk-0 = Vk

In questo modo, la potenza p = vi rimane espressa da:pk = vkik = Vkik

E la potenza totale: P = Σk=1

N-1 pk = Σk=1N-1 Vkik

• L’N-polo è un modo per rappresentare un circuito aperto, dotato di un certo numero di lati, di un certo numero dinodi interni (non accessibili dall’esterno) e di N nodi esterni (accessibili dall’esterno).

Per i nodi interni Pj varrà, come per il bilancio di potenza di un circuito chiuso, che:P = Σj pj = Σj Vj ij = Σj Vj (Σ corrente in Pj) = by EKC Σj Vj (0) = 0

Per i nodi esterni Pk, in ognuno dei quali entra una corrente iextk, sarà invece:

P = Σk pk = Σk Vk ik = Σk Vk (Σ corrente in Pk) = by EKC Σj Vj (iext

k)

“La potenza entrante dai morsetti di un circuito aperto è dunque pari a quella dissipatanei vari componenti dei suoi lati interni, cioè alla potenza assorbita dal circuito stesso”.

↓ (altri lati che non toccano l’n-esimo)


Appunti 13

caratterizzazione esterna di un bipolo lineare e tempoinvariante

Teorema di sostituzione:“Ogni bipolo lineare tempo-invariante è caratterizzato, esternamente ai suoi morsetti, da una equazione lineare non

omogenea che lega la tensione in ingresso v alla corrente in ingresso i”

Dimostrazione:• Il bipolo sopra descritto rappresenta un circuito aperto accessibile da due morsetti. Assunto, ad esempio, come

riferimento il morsetto 2 (quindi “messo a terra”: V2=0 ) la tensione tra il morsetto 1 e quello di riferimentocoincide con il potenziale del morsetto 1: v = V1.

• Sia N il numero dei nodi interni ed R il numero dei lati interni al bipolo, possiamo distinguere:.R correnti negli R lati interni.la corrente in ingresso i.N tensioni tra gli N nodi interni ed il morsetto 2 di riferimento.la tensione v

tali R+N+2 grandezze elettriche non sono tuttavia indipendenti tra loro, ma risultano legate da:.R relazioni costitutive per i componenti sugli R lati.N+1 equazioni di Kirchhoff delle correnti

• cioè da R+N+1 relazioni lineari non omogenee; al sistema è lasciato dunque un solo grado di libertà, dato daipossibili valori della corrente in ingresso (oppure della tensione applicata, a seconda di quale delle due sia sceltacome variabile indipendente).

v = a i + b o anche i = c v + d• Dunque, per caratterizzare il bipolo esternamente ai suoi morsetti è sufficiente conoscere i valori di a e b (misurati

rispettivamente in Ω e V), oppure di c e d (misurati rispettivamente in Ω-1 e A).

Teorema di Thevenin:“Un generico bipolo è sempre equivalente, esternamente ai suoi morsetti diaccesso, ad un bipolo costituito da un generatore di tensione in serie ad un

resistore”, tali che:♦ la f.e.m. E del generatore di tensione è pari alla tensione a vuoto v0 tra i morsetti (cioè per i=0)

♦ la resistenza R è data dal rapporto tra la tensione a vuoto v0 e la corrente icc su un lato di cortocircuito tra tali morsetti

Il bipolo equivalente di Thevenin è il modello circuitale che soddisfa, vedi il teorema di sostituzione, alla relazione:v = - R i + E

Per quanto detto sopra, è possibile conoscere i valori di E ed R analizzando durante due particolari (e separati !!) tipi difunzionamento del circuito le tensioni e le correnti tra i morsetti interessati:

.funzionamento a vuoto i = 0 E = v0

.funzionamento in cortocircuito v = 0 R = E/icc = v0/icc

♦ un altro possibile modo per trovare R (sse nel bipolo interessato non vi sono generatori pilotati) consistenell’annullare i generatori indipendenti (sostituendoli con un lato di cortocircuito, se di tensione; sostituendoli con un

tasto aperto,se di corrente) e calcolare R come una normale resistenza equivalente:

.funzionamento a generatori annullati R = v/i (...da v = -Ri + 0 )

Teorema di Norton:“Un generico bipolo è sempre equivalente, esternamente ai suoi morsetti di accesso, ad un bipolo

costituito da un generatore di corrente in parallelo ad un resistore”, tali che:♦ la corrente I impressa dal generatore di corrente è pari alla corrente icc su un lato di cortocircuito tra i morsetti

♦ la resistenza R è data dal rapporto tra la tensione a vuoto v0 e la corrente impressa I.

Il bipolo equivalente di Norton è il modello circuitale che soddisfa, vedi il teorema di sostituzione, alla relazione:i = - g v + I oppure i = -1/R v + I

Per quanto detto sopra, è possibile conoscere i valori di I ed R analizzando durante due particolari (e separati !!) tipi difunzionamento del circuito le tensioni e le correnti tra i morsetti interessati:

.funzionamento in cortocircuito v = 0 I = icc

.funzionamento a vuoto i = 0 R = v0/I = v0/icc = 1/g

♦ anche qui è possibile trovare R annullando i generatori indipendenti:.funzionamento a generatori annullati R = 1/g = v/i (...da i = -gv + 0 )


Appunti 14

Teorema di Millman:E’ poco più di un’applicazione del teorema di Thevenin; recita:

“Un bipolo costituito dal parallelo di vari bipoli di Thevenin è sempre equivalente, esternamente ai suoi morsetti diaccesso, ad un unico bipolo di Thevenin”

Per quanto già visto a riguardo del teorema di Thevenin, è possibile conoscere i valori delle E ed R equivalentianalizzando il circuto durante:

.funzionamento a vuoto i = 0 E = v0

.funzionamento in cortocircuito v = 0 R = E/icc = v0/icc

Calcolando v0, risulta in particolare che:v0 = R1 i1 + E1

v0 = R2 i2 + E2

...v0 = Rn in + En

dividendo entrambi i membri di ogni equazione per il corrispondente Rj e sommandomembro a membro si ottiene:

v0 (1/R1+

1/R2+...+1/Rn) = (E1/R1+E2/R2+...+E3/R3) + (i1+i2+...+in)

poiché nel funzionamento a vuoto risulta iext = Σk ik = 0, allora è immediato che:E = v0 = (Σk Ek/Rk) / (Σk 1/Rk)

Per calcolare icc, si ottiene che v12 = 0 = Rkik+Ek ∀k da cui ik = Ek/Rk e quindi:icc = Σk ik = Σk Ek/Rk

E’ dunque immediato che:R = E/icc = [ (Σk Ek/Rk) / (Σk 1/Rk) ] / [ 1 / Σk Ek/Rk ] = 1 / (Σk 1/Rk)

Era anche qui possibile calcolare R annullando i generatori e ottenendo, come un normale parallelo di resistenze:R = 1 / (Σk 1/Rk)

Passaggio dal bipolo equivalente di Thevenin al bipolo equivalente di Norton, e viceversa:Le resistenze dei due bipoli equivalenti sono evidentemente le stesse e valgono quanto:

R = 1/g = v0/icc

Dalla relazione per il bipolo di Norton si ricava:i = -gv + I = -(1/R)v + IRi = -v + RIRI = Ri + v

Dalla relazione per il bipolo di Thevenin si ricava:v = -Ri + EE = v + Ri

E dal confronto:E = R I

Altre equivalenze notevoli e/o utili:

a) Generatori di tensione in serie

b) Generatori di corrente in parallelo

c) Generatori di tensione e corrente in serie: la corrente tra 1 e2 viene definita da I, la tensione resta indefinita (la presenzadi E è vanificata da quella di I in serie).

d) Generatori di tensione e corrente in parallelo: la tensione tra

1 e 2 viene definita da E, la corrente resta indefinita (lapresenza di I è vanificata da quella di E in parallelo).


Appunti 15

Resistori in serie e in parallelo:

Capacitori in serie e in parallelo:

paralleloSiano dati N resistori in parallelo, tutti collegati tra la stessacoppia di morsetti A e B.Essendo la tensione v ad essi applicata sempre la stessa, si avrà:

vAB = R1 i1

vAB = R2 i2

...vAB = RN iN

Dividendo entrambi i membri di ogni equazione per ilcorrispondente Rj si ottiene:

vAB/Rk = ik

Sommando membro a membro, e considerando che la sommadelle correnti ik sui resistori è pari alla corrente totale i che passatra i morsetti A e B, si giunge a:

vAB ( Σk 1/Rk ) = Σk ik = iDa cui:

vAB = [ 1 / ( Σk 1/Rk ) ] iVolendo sostituire gli N resistori in parallelo tra A e B con ununico resistore equivalente, tale che...

vA B = Req i...dovrà essere:

Req = 1 / ( Σk 1/Rk )

serieSiano dati N resistori in serie, collegati uno dopo l’altro tramite imorsetti A,B,..,N+1 (ogni resistore ha un morsetto di ingresso euno d’uscita; per questo N+1 è il loro numero totale).Essendo la corrente i che li attraversa sempre la stessa, si avrà:

vA N+1 = VA-VN+1 == (VA-VB)+(VB-VC)+...+(VN-VN+1) == vAB + vBC + ... + vNN+1 == RA i + RB i + ... + RN i == (RA+RB+...+RN) i

Da questo si evince che, volendo sostituire gli N resistori in serietra A e N+1 con un unico resistore equivalente, tale che...

vA N+1 = Req i...dovrà essere:

Req = Σk Rk

paralleloSiano dati N capacitori in parallelo, tutti collegati tra la stessacoppia di morsetti A e B.Essendo la tensione v ad essi applicata sempre la stessa, si avrà:

vAB = vi = Qi/Ci

Da cui:Ci = Qi/vAB

Sommando membro a membro tra tutti gli N capacitori si ha:

Σi Ci = Σi (Qi/vAB) = (Σi Qi) / vAB = Qtot/vAB

Da cui la possibilità di sostituire tutti i condensatori in parallelocon un unico condensatore tra A e B, di capacità equivalente:

Ceq = Q/vAB = Σi Ci

serieSiano dati N capacitori in serie, collegati uno dopo l’altro tramite imorsetti A,B,..,N+1. Abbiamo già visto la possibilità di esprimerela tensione tra il morsetto A e il morsetto N+1 come:

vA N+1 = VA-VN+1 == (VA-VB)+(VB-VC)+...+(VN-VN+1) == vAB + vBC + ... + vN N+1 == Σi=1

N vi

Essendo i capacitori in serie, la carica su ognuna delle loro 2Narmatura sarà sempre la stessa (a meno del segno):

Qi = ±QE quindi:

vA N+1 = Σi vi = Σi Qi/Ci = Σi Q/Ci = Q Σi1/Ci

Da cui la possibilità di sostituire la serie di condensatori con ununico condensatore di capacità equivalente:

Ceq = Q/vA N+1 = Q / (QΣi1/Ci) = 1/(Σi

1/Ci)


Appunti 16

Partitore di Tensione:Essendo il circuito in figura costituito da un unica maglia...:

.la corrente i che vi circola è uguale per ogni componente

.la tensione v = E, fornita dal generatore, si ripartisce sulle resistenze in modo direttamente proporzionale alle resistenze stesse: vk ∝ Rk

Pensando le resistenze presenti (in serie) come un’unica resistenza equivalente Req; taleresistenza è evidentemente in parallelo col generatore tra i morsetti A e B, tra cui vi èovviamente una tensione pari ad E. Posso allora scrivere:

i = v / Req = E / ΣkRk

Per ogni singola resistenza avrò dunque:vk = Rk i = Rk (E / ΣkRk ) = E Rk / ΣkRk = E [ Rk ] [ 1 / ΣkRk ]

E’ inoltre verificato, ovviamente, il fatto che v = Σk vk.

Partitore di Corrente:Nel circuito rappresentato in figura...:

.la tensione v tra i morsetti A e B è la stessa su ogni ramo.

.la corrente i = I, fornita dal generatore, si ripartisce sulle resistenze in modo inversamente proporzionale alle resistenze stesse: ik

1/∝ Rk

Pensando le resistenze presenti (in parallelo) come un’unica resistenza equivalenteReq; tale resistenza verrà evidentemente attraversata da una correntepari a ieq = Σk ik = I. Posso allora scrivere:

vAB = v = Req ieq = [ 1/(Σk 1/Rk) ] I = I / (Σk

1/Rk)Per ogni singola resistenza avrò dunque:

ik = v / Rk = [ I / (Σk 1/Rk) ] / Rk = I / [ Rk (Σk

1/Rk) ] = I [ 1/Rk] [ 1 / Σk1/Rk ]O più semplicemente, tramite le ammettenze gk = 1/Rk:

ik = I [ gk ] [ 1 / Σk gk ]


Appunti 17

caratterizzazione esterna di un 3-polo lineare e tempoinvariante

Posto a terra uno dei suoi morsetti (ad esempio il 3) e indicate con:.v1 e v2 le tensioni tra, rispettivamente, i morsetti 1 e 3 e i morsetti 2 e 3.i1 e i2 le correnti in ingresso, rispettivamente, ai morsetti 1 e 2

un tale 3-polo risulta caratterizzato, esternamente ai suoi morsetti, dalle relazioni:v1 = R11 i1 + R12 i2 + E1

v2 = R21 i1 + R22 i2 + E2 ovvero

Equivalenza stella-triangolo:Due tripoli passivi (dove dunque Ek=0 ∀k), costituiti rispettivamente da:

.3 resistenze Rk disposte a triangolo

.3 resistenze rk disposte a stellasono equivalenti, esternamente ai loro morsetti, nel caso diano luogo allostesso sistema del tipo sopra enunciato.Occorre dunque, preliminarmente, esplicitare le relazioni che intercorrono tra le Rjk del sistema sopra scritto e leresistenze interne ai tripoli considerati.

Mettendo a confronto le relazioni fin qui trovate, si ottiene dunque la relazione tra le Rk e le rk che stabiliscel’equivalenza stella-triangolo dei loro rispettivi tripoli:

Rk = (rirj + rjrk + rkri ) / rk rk = ( Ri Rj ) / ( Ri + Rj + Rk )

vv

R RR R

ii

EE

1

2

11 12

21 22

1

2

1

2

=

+

stellaLe relazioni tra le Rij del sistema e le rk del tripolo a stella sidesumono, analogamente, lasciandostaccato uno dei 2 morsetti non aterra e collegando gli altri 2tramite un generatore di correnteunitario I=1 (e facendo poi viceversa).

Ciò che si ottiene stavolta è uncircuito a una sola maglia con ungeneratore di corrente in serie a dueresistori. Con procedimenti analoghi aquelli esposti a lato si trovano letensioni espresse in funzione delle resistenze equivalenti,da cui le relazioni:

R11 = r1+r3

R21 = r3

Analogamente, si trovano:R12 = R21

R22 = R1(R2+R3)/(R1+R2+R3)

triangoloLe relazioni tra le Rij del sistema e le Rk del tripolo a triangolo sipossono facilmente desumere lasciando staccato uno dei 2morsetti non a terra e collegandogli altri 2 tramite un generatoredi corrente unitario I=1(e facendo poi viceversa).

Sia 1 connesso con 3 e 2 staccato.In questo modo risultano:

i1 = I = 1i2 = 0

da cui:v1 = R11i1+R12i2+E1 = R11i1+R120+0 = R11i1

v2 = R21i1+R22i2+E1 = R21i1+R220+0 = R21i1

Per trovare R11 si riduce, ragionando sui resistori in serie eparallelo presenti, il partitore di corrente ottenuto ad un’unicamaglia formata dal al generatore I in serie/parallelo un sempliceresistore Req,, su cui circoli dunque la I=1 fornita dal generatoree che condivida la stessa tensione con esso:

v1 = Req I = R2(R1+R3)/(R1+R2+R3) = R11

Per trovare R21, che coincide così (v. sistema sopra) con latensione v2, si trovano le correnti che percorrono i lati delpartitore di corrente e si ricava v2 di conseguenza come latensione sulla resistenza R1. Risulta:

R21 = (R1R2)/(R1+R2+R3)

Analogamente, si trovano:R12 = R21

R22 = R1(R2+R3)/(R1+R2+R3)


Appunti 18

PARTE 9ANALISI DI CIRCUITI LINEARI TEMPOINVARIANTI SENZA MEMORIA

Note le caratteristiche dei suoi componenti, le loro interconnessioni e le eccitazioni presenti, l’analisi di un circuitoelettrico consiste nella determinazione del suo comportamento (correnti e tensioni). Per circuiti lineari e tempo-invarianti, nelle relazioni costitutive (in tensione e corrente) dei cui componenti non compaiano legami integro-differenziali (*), iseguenti metodi permettono la scrittura immediata del sistema algrebrico risolvente.(*) = Tali circuiti sono detti “senza memoria” in quanto il valore assuntovi da ciascuna grandezza elettrica u(t), tensione o corrente, non dipende dai valori assunti negli istanti

precedenti.

Dato un circuito con R lati ed N nodi, la premessa comune ad entrambi è l’utilizzo delle R equazioni di Kirchhofflinearmente indipendenti che si possono applicarvi:

.R-(N-1) EKT relative alle R-(N-1) maglie fondamentali

.N-1 EKC relative a N-1 degli N nodi presenti

Metodo di analisi su base maglie:1) Scelta di un albero qls e scrittura delle R-(N-1) EKT relative alle R-(N-1) maglie fondamentali2) Espressione in funzione delle correnti, tramite le relazioni costitutive dei singoli componenti (eccezion fatta per i

generatori di tensione, da cui avremo i “termini noti”), delle tensioni presenti nelle R-(N-1) EKT: v = v(i) (allo scopo di far sì che le R-(N-1) incognite siano tutte correnti: le correnti presenti sui lati di coalbero che individuano le maglie fondamentali scelte)3) Espressione, tramite le EKC, delle N-1 correnti di albero in funzione di quelle di coalbero ia

k = iak(i

co1,...,i

coR-(N-1))

4) Loro sostituzione nelle EKT.Si giunge al seguente sistema di R-(N-1) equazioni indipendenti nelle R-(N-1) incognite date dalle correnti di coalbero:

• Risolvendo il sistema si trovano le R-(N-1) correnti di coalbero ico1, ..., i

coR-(N-1)

• Per trovare le restanti N-1 correnti di albero si sostituiscono i valori trovati nelle equazioni, precedentementericavate:

iak = ia

k (ico

1,...,ico

R-(N-1))

• In presenza di generatori di tensione pilotati, si affianca semplicemente al sistema la loro relazione costitutiva:ek = f(ij) oppure ek = f(ej)

• In presenza di generatori di corrente si può:.sostituirli tutti, tramite opportune ed eventualmente successive equivalenze circuitali, fino ad ottenere un circuito con soli generatori di tensione (metodo lungo e, a mio parere, incasinante non poco).fare in modo che tali generatori cadano su lati di coalbero; in tal modo si risparmia anche un’equazione del sistema (in quanto per simili maglie, la corrente di coalbero ico

k è già definita e data dalla corrente Ik fornita dal generatore ivi presente). NOTA BENE: se lo stesso si vuole scrivere l’equazione del sistema, ad essa dovrà essere assegnata un ek = indefinito NON ek = 0 OPPURE ek = Σ epresenti sulla maglia k

in quanto la tensione ai morsetti di un generatore di corrente non è definita.

dove .ek = somma algebrica delle tensioni impresse dai generatori presenti sulla maglia k-esima (col segno “-“ se la maglia è percorsa in senso opposto al verso dato alla tensione ek secondo

la convenzione da generatore) .ik = corrente sul ramo di coalbero presente sulla k-esima maglia fondamentale .(rik) = matrice diagonale composta da opportune

combinazioni delle resistenze presenti: rkk = somma delle resistenze presenti sulla maglia k-esima (tutte col segno “+”: maglia percorsa sempre nello stesso verso) rhk = somma algebrica delle resistenze in comune alle maglie fondamentali h e k (resistenze sommate col segno “-“ se il lato su cui si trovano è percorso in sensi opposti a seconda della maglia h o k).


Appunti 19

Metodo di analisi su base nodi:1) Scelta di un albero necessariamente a stella (al limite aggiungendo, per ottenerlo, un ramo a resistenza infinita) con

verso di percorrenza orientato verso il centro stella (posto a terra) scelto; scrittura delle N-1 EKC relative agli N-1tagli fondamentali (cioè ai nodi diversi dal centro stella).

2) Espressione in funzione delle tensioni, tramite le relazioni costitutive dei singoli componenti (eccezion fatta per igeneratori di corrente, da cui avremo i “termini noti”), delle correnti presenti nelle N-1 EKC: i = i(v)

(allo scopo di far sì che le N-1 incognite siano tutte tensioni: le tensioni presenti sui lati dell’albero)3) Espressione, tramite le EKT, delle R-(N-1) tensioni di coalbero in funzione di quelle di albero vco

k = vcok(v

a1,...,v

aN-1)

4) Loro sostituzione nelle EKC.Si giunge al seguente sistema di N-1 equazioni indipendenti nelle N-1 incognite date dalle tensioni di albero:

• Risolvendo il sistema si trovano le N-1 tensioni di albero va1, ..., v

aN-1

• Per trovare le restanti R-(N-1) tensioni di coalbero si sostituiscono i valori trovati nelle già ricavate equazioni:vco

k = vcok (v

a1,...,v

aN-1)

• In presenza di generatori di corrente pilotati, si affianca semplicemente al sistema la loro relazione costitutiva:Ik = f(vj) oppure Ik = f(ij)

• In presenza di generatori di tensione si può:.sostituirli tutti, tramite opportune ed eventualmente successive equivalenze circuitali, fino ad ottenere un circuito con soli generatori di corrente (metodo anche questo lungo e, a mio parere, incasinante non poco).fare in modo che tali generatori cadano su lati di albero; in tal modo si risparmia anche un’equazione del sistema (in quanto per simili maglie, la tensione di albero va

k è già definita e data dalla tensione vk mantenuta dal generatore ivi presente). NOTA BENE: se lo stesso si vuole scrivere l’equazione del sistema, ad essa dovrà essere assegnata un Ik = indefinito NON Ik = 0 OPPURE Ik = Σ Iimpresse che fluiscono al nodo k

in quanto la corrente ai morsetti di un generatore di tensione non è definita.

Principio di sovrapposizione degli effetti:“In circuiti costituiti da soli bipoli con relazioni costitutive (in tensione e corrente) lineari, è evidente che l’espressionedi una qualsiasi grandezza u(t), tensione o corrente, si può ottenere sommando gli effetti di tutti i generatori presenti nel

circuito, cioè facendone a turno agire uno solo e annullando gli altri”NOTA 1: annullare un gen. tensione significa sostituirlo con un lato di cortocircuito; annullare un gen. corrente sostituirlo con un tasto aperto.NOTA 2: Non vanno mai annullati i generatori pilotati !!!NOTA 3: rimane evidentemente escluso dall’ambito di applicazione di tale principio, il calcolo della potenza (non lineare: v=Ri2 !!)

Altre osservazioni:• Se le eccitazioni che agiscono sul circuito senza memoria hanno tutte lo stesso andamento nel tempo (costante,

sinusoidale con pari frequenza, ecc...), ogni grandezza u(t) avrà tale stesso tipo di andamento nel tempo.• Tutta la disquisizione sui circuiti senza memoria è limitatamente ai soli resistori ben poco utile; tornerà invece

parecchio utile trasportando i circuiti nel dominio complesso: tutte impedenze, tutto lineare.

dove .Ik = somma algebrica delle correnti impresse chefluiscono al k-esimo nodo (col segno “+“ seentranti, “-“ se uscenti)

.vk = tensione sul k-esimo ramo di albero .(gik) = matrice diagonale composta da opportune

combinazioni delle conduttanze presenti: gkk = somma delle conduttanze presenti sui lati che toccano il k-esimo nodo (tutte col segno “+”) ghk = somma cambiata di segno (quindi

sempre segno “-“, in buona sostanza) delle conduttanze presenti sul lato di coalbero che collega i nodi h e k (il segno “-“ si spiega col fatto che la corrente esce in un nodo ed entra nell’altro: sempre versi di percorrenza opposti rispetto ai due nodi, dunque).


Appunti 20

PARTI 10, 11 e 12ANALISI DI CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI CON MEMORIA

Condensatori, induttori e induttori mutuamente accoppiati, poiché presentano relazioni costitutive prevedenti operazionidi integrazione e derivazione, vengono detti “componenti con memoria”. L’integrazione estende infatti la dipendenzadei valori istantanei delle grandezze elettriche a tutti gli istanti precedenti quello attuale, mentre la derivazione li legaalla loro rapidità di variazione nel tempo.In presenza di eccitazioni costanti, eventuali induttori e condensatori presenti nel circuito si comportano rispettivamentecome lati di cortocircuito e tasti aperti, riportando l’analisi al caso particolare dei circuiti senza memoria; per questomotivo le eccitazioni che si considerano sono generalmente di tipo sinusoidale.

L’ “analisi” di questi circuiti consiste sovente nel determinare le correnti (in funzione del tempo: i(t) ) che circolano sualcuni suoi lati, si possono a tal proposito distinguere due diversi tipi di “analisi” effettuabili su tali circuiti:

Analisi in condizioni transitorie:.Al tempo iniziale t=0 si verifica un evento (generalmente l’apertura / chiusura di tasti) che instaura nel circuito, oltre alla corrente che normalmente vi si avrebbe, una ulteriore componente di corrente detta “transitoria” (in quanto tendente a zero col procedere del tempo). Tale corrente dipende solo dall’evento verificatosi e non dalle eccitazioni presenti nel circuito; si parla, infatti di corrente presente “in assenza di eccitazioni” (viene infatti calcolata ponendo queste a 0 e tende perciò ad esaurirsi col tempo, da cui il nome)..Si suppone che, all’istante precedente quello iniziale, fosse esaurito ogni eventuale altro transitorio..Agli istanti t>0, la corrente interessata sarà dunque data dalla somma dei contributi della corrente di regime (v.sotto) e della corrente transitoria.

Analisi in regime sinusoidale:.Si tratta di una specie di caso particolare del precedente (e, come tale, non ha nemmeno beneficiato di untrattamento autonomo da parte della Maria). E’ infatti evidente come, anche durante l’analisi in condizionitransitorie, si incontri un tale tipo di funzionamento durante il calcolo della componente di regime dellacorrente e delle condizioni del circuito agli istanti precedenti quello iniziale..Si parla di regime sinusoidale supponendo esaurito ogni altro transitorio eventualmente presente.

Data la palese inclusione del 2° tipo di analisi nel 1°, nel seguito si tratterà direttamente dell’analisi di circuiti conmemoria in presenza di condizioni transitorie (eccezion fatta per quanto riguarda l’argomento “potenze”, v. parte 14).In particolare, il discorso sulla trasformazione simbolica di Steinmetz (che consente di trasportare i singoli componentiin un dominio diverso da quello del tempo, linearizzandone le relazioni costitutive in tensione e corrente) verràaffrontato come mero strumento per il calcolo della corrente di regime (come durante il corso per scelta -opinabile- didattica, così qui per miapigrizia).

analisi matematica di un circuito con memoria

1) Individuare il sistema integro-differenziale risolvente (procedimento immodificato rispetto ai circuiti senza memoria,data l’indipendenza delle equazioni di Kirchhoff dalla natura dei componenti presenti):

.scelta delle grandezze elettriche incognite e scrittura delle equazioni di equilibrio EKT ed EKC

.esplicitazione delle grandezze elettriche note (o comunque non interessate) in funzione di quelle incognite utilizzando le relazioni costitutive dei componenti

2) Risoluzione del sistema integro-differenziale

• Oltre alle imprecazioni contro Pontini (docente di Analisi I e II), ai fini dello svolgimento del passo 2, è utilericordare che nel sistema ottenuto:

a) l’unica variabile presente è il tempo, quindi tutte le derivate presenti sono totali [grazie all’ “ipotesi di costanti concentrate”: no variabili spaziali né dimensioni geometriche]

b) il sistema è lineare, quindi tutte le funzioni incognite compaiono sempre alla prima potenza [grazie alla linearità del circuito, cioè dei suoi componenti]

c) i coefficienti delle equazioni che compongono il sistema sono costanti reali indipendenti dal tempo [grazie alla tempo-invarianza del circuito, cioè dei suoi componenti]


Appunti 21

risposta di un circuito con memoria ad eccitazioni cisoidali:“trasformata di Steinmetz” e metodo delle “cisoidi”

L’analisi matematica procede all’individuazione dell’integrale generale di tale equazione come somma di una soluzioneparticolare della completa e dell’integrale generale dell’omogenea associata, risolvendo poi le costanti di integrazionecomparse imponendo le condizioni iniziali.Il metodo delle “cisoidi” ricalca, avvalendosi delle proprietà già viste per i circuiti elettrici a costanti concentrate, ilsuddetto procedimento analitico; poiché la tensione v(t) ai morsetti rappresenta (nell’EKT scritta) il “termine noto”,mentre la corrente i(t) gioca il ruolo della funzione da cercare, vige il seguente parallelo:

1) Integrale particolare della completa ↔ Componente ir(t), detta corrente di regime (in quanto lealtre componenti tendono a 0 col tempo) della correntetotale i(t). Per linearità, anche ir(t) deve soddisfare allastessa EKT scritta per il circuito in questione

2) Integrale generale dell’omogenea ↔ Componente it(t), detta corrente transitoria (in quantotendente a 0 col tempo) della corrente totale i(t). Dato ilruolo visto per v(t), it(t) corrisponde alla corrente checircola nel circuito in assenza di eccitazioni esterne (ed èper questo ovviamente decrescente col tempo).

3) Integrale generale della completa ↔ Dato semplicemente dalla corrente totale i(t) = ir(t) + it(t)4) Condizioni iniziali ↔ Da trovare ragionando sulle condizioni del circuito al

tempo t=0- (in quanto al tempo t=0 si verifica un evento,dato dal problema, che dà luogo a un transitorio it) e suquali sue proprietà si conservano all’istante t=0+. Sostituendo i valori trovati di i(t=0+) e delle sue derivatesuccessive (se necessario, a seconda del numero dicostanti di integrazione presenti) nell’integrale generale siricavano i valori delle costanti di integrazione.

5) Integrale richiesto della completa ↔ E’ la i(t) con le costanti di integrazione risolte.

Funzione cisoidale:E’ una funzione y(t) del tipo:

y(t) = Y eσt cos(ωt + α) dove .Y∈R è detta ampiezza.σ∈R è detto coefficiente di smorzamento (σ<0)

o coefficiente di amplificazione (σ>0).ω∈R è detta pulsazione.α∈R è detta fase

• Le funzioni sinusoidali, esponenziali e costanti sono casi particolari di funzioni cisoidali:σ = 0 ⇒ y(t) = Ycos(ωt+α) ⇒ funzione (co)sinusoidaleω = 0 ⇒ y(t) = [Ycos(α)]eσt ⇒ funzione esponenzialeσ = ω = 0 ⇒ y(t) = Y ⇒ funzione costante

• Una funzione cisoidale può essere riscritta come:y(t) = Yeσtcos(ωt+α) = Re[Yeσtcos(ωt+α) + j(qls cosa)] = Re[Yeσtcos(ωt+α) + j Yeσtsin(ωt+α)] =

= Re[ Yeσt (cos(ωt+α)+jsin(ωt+α)) ] = Re[Yeσtej(ωt+α)] = Re[Yeσtejωtejα] == Re[ (Yejα) (e(σ+jω)t) ] = Re [ Y est ]

che mostra come, a parità di s, detta pulsazione complessa (cioè a parità di smorzamento σ e frequenza ω) per una funzione cisoidale y(t) resti definita la corrispondenza biunivoca col numero complesso Y:

y(t) ↔ Y = Yejα(nell’insieme delle y(t) t.c. s = σ+jω )

Dove possiamo notare le relazioni:Y = ampiezza della funzione cisoidale = modulo del numero complesso Y associatoα = fase della funzione cisoidale = argomento di Y (angolo con l’asse reale in C)

• E’ immediato verificare che anche le derivate successive di una funzione cisoidale appartengono allo stesso insiemedi pari pulsazione complessa:

y(t) = Re[Yest] y’(t) = Re[sYest] y”(t) = Re[s2Yest] e quindi, anche per tali derivate successive resta definita una corrispondenza biunivoca con un numero complesso:

y(t) ↔ Y y’(t) ↔ sY y”(t) ↔ s2Y


Appunti 22

Risposta di un bipolo R-L-C ad un’eccitazione cisoidale:Per esso, il legame tra tensione ai morsetti v = v(t) e corrente i = i(t) si traduce,grazie all’EKT e alle relazioni costitutive dei componenti, nella equazione integrodifferenziale:

v = R i + L di/dt + 1/C ∫-∞t i(t’)dt’o anche, derivando una volta rispetto al tempo, nell’equazione differenziale linearedel secondo ordine a coefficienti costanti:

dv/dt = R di/dt + L d2i/dt2 + 1/C i

1) Corrente di regime:Si cerca una componente ir(t) della corrente che abbia uguale pulsazione complessa s (nessuna richiesta, invece, per quanto riguardala fase αi) alla eccitazione applicata:

v(t) = V eσt cos(ωt+αv) = Re[Vest] dove .V = V ejαv quindiv ↔ V.s = σ + jω

Tale componente esiste (e risulterà essere quella che permane “a regime”, mentre le altre tendono a 0) ed è della forma:ir(t) = I eσt cos(ωt+αi) = Re[Iest] dove .I = I ejαi quindiir ↔ I

da cui, banalmente, anche le derivate:ir = Re[Iest] ↔ Idir/dt = Re[sIest] ↔ sId2ir/dt2 = Re[s2Iest] ↔ s2I

Sostituendo quanto ottenuto nella EKT scritta per il bipolo (in quella differenziale, per evidente comodità) si ottiene:dv/dt = R di/dt + L d2i/dt2 + 1/C iRe[sVest] = R Re[sIest] + L Re[s2Iest] + 1/C Re[Iest] = Re[ est ( R sI + L s2I + 1/C I ) ]

Poiché v e ir appartengono alla stessa famiglia di ugual pulsazione complessa, questa uguaglianza implica quella tra i numericomplessi che le rappresentano:

sV = R sI + L s2I + 1/C I = ( R s + L s2 + 1/C ) IV = ( R + L s + 1/Cs ) I = Z I dove .Z = Z(s) è detta impedenza

E’ in generale possibile trasportare singolarmente tutti i componenti delcircuito in esame nel dominio complesso(v. riquadro a lato) ottenendo un circuito costituito da soli bipoli aiquali siano associate impedenze, e quindi relazioni costitutive lineari (!)nelle tensioni e corrente espresse anch’esse in funzione della variabilecomplessa s; tale operazione è dettatrasformazione simbolica di Steinmetz.

Risulta così possibile ragionare in termini di serie e paralleli diimpedenze negli stessi modi (e con gli stessi strumenti) visti per i

circuiti costituiti da soli resistori.

Si procede dunque a calcolare l’impedenza equivalente Z del ramo inesame, che sarà un numero complesso del tipo:

Z = Z ejϕ

Nota la tensione (anch’essa portata nel piano complesso) V ai capi delramo, si ricava la corrente di regime “complessa” I tramite la relazione:

I = V/Z = (V/Z)ej(αv-ϕ) = I ejαi

Da cui la corrente nel dominio del tempo:ir(t) = I eσt cos(ωt+αi) dove .I = | I |

.σ = la stessa di v

.ω = la stessa di v

.αi = angolo di I con l’asse Re

Casi particolari:Poiché nell’espressione delle impedenze di induttori e condensatori entra in gioco il valore di s = σ+jω cioè lo smorzamento e lafrequenza della tensione data, saltano immediatamente agli occhi i seguenti casi particolari:

• Alimentazione costante: v(t) = V ⇒ s = σ+jω = 0Resistore → Zresistore = R = RInduttore → Zinduttore = sL = 0 → lato di cortocircuito (nel dominio complesso)Condensatore → Zcondensatore = 1/sC = ∞ → tasto aperto (nel domino complesso)

• Alimentazione sinusoidale: v(t) = Vcos(ωt+αv) ⇒ s = σ+jω = jωResistore → Zresistore = R = R → valori di tensione e corrente in faseInduttore → Zinduttore = sL = jωL → valori di corrente in ritardo di π/2 sulla tensioneCondensatore → Zcondensatore = 1/sC = - j/ωC → valori di corrente in anticipo di π/2 sulla tensione

Trasformazioni simboliche di Steinmetz:


Appunti 23

2) Corrente transitoria:Si cerca l’integrale generale dell’equazione differenziale lineare omogenea associata all’EKT trovata, quindidell’equazione (che si ottiene con ragionamenti analoghi a quelli visti per la corrente di regime):

0 = Z I (cioè, come annunciato, la corrente che sussiste in assenza di eccitazioni)

Poiché non interessa una soluzione particolare (quale potrebbe essere ovviamente, ad esempio, I = 0 ) e sia I che Zsono in funzione di s, si cerca allora un valore di s che renda vera la suddetta equazione.Dal momento che Z = Z(s), tale valore può essere quello per cui risulta:

Z(s) = 0che si risolve uguagliando a 0 l’espressione di Z trovata e ricavando s di conseguenza.

Nel caso di un bipolo R-L-C, deve risultare Z(s) = R + sL + 1/sC = 0 da cui (moltiplicando ambo i membri per sC):s2LC + sRC + 1 = 0

che permette di ricavare s come da una normale equazione di 2° grado: _s1,2 = ( -RC ± √ R2C2 - 4CL ) / 2LC = ( - R ± √ R2 - 4(L/C) ) / 2L = ( - R ± √∆ ) / 2L

Distinguiamo i seguenti 3 casi:

• La parte reale della pulsazione complessa s, cioè σ, è sempre negativa: in tutti e tre i casi si ha effettivamente unosmorzamento e dunque è verificato che it(t) t→∞→ 0

• L’antireciproco τ del coefficiente di t nell’argomento dell’esponenziale prende il nome di costante di tempo erappresenta la rapidità con cui la componente transitoria tende ad annullarsi (cioè la rapidità con cui la componentedi regime tende ad identificarsi con la corrente totale).

3) Integrale generale:Si ottiene banalmente come: I eσt cos(ωt+αi) + I1 e

(-R/2L)t cos(√∆/2Lt) + I2 e(-R/2L)t sin(√∆/2Lt)

i(t) = ir(t) + it(t) = I eσt cos(ωt+αi) + I1 e(-R/2L)t + I2 t e

(-R/2L)t

I eσt cos(ωt+αi) + I1 e[(-R+√∆)/2L]t + I2 e

[(-R-√∆)/2L]t

4 e 5) Condizioni iniziali e soluzione richiestaSi ricavano ragionando sulle condizioni del circuito al tempo t=0- e su quali sue proprietà si conservano all’istante t=0+.Alla base di questa indagine, sta l’imposizione che l’energia conservativa immagazzinata nel circuito non può subirevariazioni con discontinuità in assenza di sorgenti di potenza infinita:

dE = P dt ⇒ dE = iftsm per P<∞Ciò permette di asserire che, in assenza di sorgenti di potenza infinita, si conserva il valore della corrente in un induttoree della tensione ai morsetti di un condensatore:

Em(0-) = Em(0+) ⇒ ½LiL2 per t=0- = ½LiL

2 per t=0+ ⇒ iL(0-) = iL(0+)Ee(0

-) = Ee(0+) ⇒ ½Cvc

2 per t=0- = ½Cvc2 per t=0+ ⇒ vc(0

-) = vc(0+)

Sapendo questo, dall’analisi del circuito dato si riesce a ricavare il valore di i(t=0+) e l’espressione delle sue derivatesuccessive, da sostituire nell’integrale generale per ricavare le costanti di integrazione.La soluzione richiesta si ottiene semplicemente riscrivendo l’integrale generale sostituendo alle costanti di integrazione ivalori precedentemente trovati per esse.

Quando le eccitazioni che agiscono non sono tutte nella stessa pulsazione, grazie alla linearità del circuito, è possibile trovare le grandezze elettrichedi interesse applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, facendo agire separatamente le eccitazioni di diversa frequenza. LE VARIECOMPONENTI DI UNA STESSA GRANDEZZA, RELATIVE A ECCITAZIONI DI DIVERSA FREQUENZA, POSSONO ESSERE SOMMATETRA LORO SOLO DOPO ESSERE STATE RICONDOTTE NEL DOMINIO DEL TEMPO!!!

Utilizzando, dunque, opportune corrispondenze è possibile ottenere un componente elettrico “fittizio” associato ad ognicomponente di un circuito a costanti concentrate; la relazione costitutiva di tale componente fittizio si ottienetrasformando la relazione costitutiva del corrispondente componente nel dominio del tempo. Nell’effettuare questatrasformazione spariscono le operazioni di derivazione ed integrazione e pertanto i componenti fittizi si comportano neldominio complesso come se fossero senza memoria. Tutte le equazioni che caratterizzano il circuito, e precisamente leequazioni di Kirchhoff che impongono l’equilibrio delle correnti nei nodi e delle tensioni lungo le maglie, sonosoddisfatte dalle grandezze elettriche trasformate. L’analisi del circuito trasformato può dunque essere effettuataapplicando tutti i metodi visti per l’analisi dei circuiti senza memoria nel dominio del tempo.

∆ < 0 Soluzioni complesse coniugate:

s1,2 = ( - R ± j√|∆| ) / 2L

it(t) = I1e(-R/2L)tcos(√|∆|/2L t) + I2e

(-

R/2L)tsin(√|∆|/2L t)

∆ = 0 Soluzioni reali coincidenti:

s1,2 = - R / 2L

it(t) = I1 e(-R/2L)t + I2 t e

(-R/2L)t

∆ > 0Soluzioni reali distinte:s1,2 = ( - R ± √∆ ) / 2L

it(t) = I1 e[(-R+√∆)/2L]t + I2 e

[(-R-√∆)/2L]t


Appunti 24

Risposta di un circuito con memoria ad eccitazionitrasformabili secondo Laplace

Analogamente al metodo delle cisoidi, anche questo metodo propone di trasportare le relazioni costitutive deicomponenti in un dominio differente da quello del tempo e tale che l’equazione integro-differenziale fornita dall’EKTdiventi una normale equazione algebrica.Essendo scontate le minori difficoltà presentate dalla risoluzione di quest’ultima, la convenienza complessiva delmetodo è legata alla facilità di eseguire le operazioni di trasformazione e anti-trasformazione nel dominio di Laplace(ma esistono tabelle da consultare per questo,... peccato non poter tenere i testi durante l’esame, vero Maria?).Tale metodo è certamente più automatico, ma offre meno padronanza fisica di ciò che avviene nel circuito; in particolarenon presenta distinzione tra parte transitoria e parte a regime della corrente: gli elementi con memoria portano con sé neldominio di Laplace (a causa di particolari proprietà delle stesse trasformate secondo Laplace) il loro stato iniziale, sottoforma di opportuni generatori di tensione.Vengono tuttavia anche prese in considerazione (grazie all’inclusione dell’istante t=0-) le discontinuità nell’originedovute a sorgenti di potenza infinita quali, ad esempio, distribuzioni impulsive.

Trasformata (unilaterale) di Laplace:Data una funzione f(t) nel dominio del tempo, si definisce sua “trasformatadi Laplace” F(p), dove p = variabile complessa = σ + jω, il limite:

F(p) = L[f(t)] = limτ→∞ ∫0-τ f(t) e-pt dt

L’operazione inversa si può effettuare in modo univoco e prende il nome di“antitrasformata di Laplace”:

f(t) = L-1[F(p)]

• L’insieme dei valori di p per cui tale limite esiste ed è finito viene detto“dominio di convergenza”.

• L’estremo inferiore di integrazione è preso uguale a t=0- per considerareanche eventuali impulsi nell’origine presentati dalla f(t), quali ad esempiodistribuzioni impulsive unitarie δ.

Trasformate di funzioni di uso frequente:• Costante f(t) = E F[p] = E/p

...in quanto: limτ→∞ ∫0-τ E e-pt dt = limτ→∞ [-Ee-pt/p]0-

τ = E/p...che resta definita per Re[p] > 0

• Esponenziale f(t) = ekt F[p] = 1/(p-k)...in quanto: limτ→∞ ∫0-

τ e(k-p)t dt = limτ→∞ [-e(k-p)t/(k-p)]0-τ = -1/(k-p) = 1/(p-k)

...che resta definita per Re[p] > k

• Impulsiva f(t) = δ(t) F[p] = 1...in quanto: limτ→∞ ∫0-

τ δ(t) e-pt dt = limτ→∞ e-0t = limτ→∞ 1 = 1...che resta definita ∀ Re[p]

Proprietà:Le seguenti proprietà valgono sotto ipotesi certamente verificate per quanto riguarda le espressioni di correnti e tensioni.Date due funzioni f1(t), f2(t) L-trasformabili, rispettivamente, in F1(p), F2(p):• Unicità:

F1(p) = F2(p) ⇒ f1(t) =q.o.= f2(t) dove “q.o.” intende “tranne sui punti di un insieme di misura nulla”

• Linearità:f(t) = c1f1(t) + c2f2(t) ⇒ ∃ F(p) = c1F1(p) + c2F2(p) dove c1, c2 siano costanti reali

• Derivazione rispetto al tempo:L[ df1/dt ] = pF1(p) - f1(t=0-)

• Integrazione rispetto al tempo:L[ ∫0-

t f1(τ) dτ ] = F1(p)/p

• Trasformabilità del prodotto integrale:L[ f1(t)*f2(t) ] = F1(p)F2(p)

• Antitrasformabilità delle funzioni razionali:L-1[H(p)] = L-1[Σi Ai/(p+pi)

ni] = L-1[Σj Aj/(p+pj)] = Σj Aj e-pjt

Distribuzione impulsiva:E’ una funzione u0,ε(t) che vale 0 ovunquetranne che nell’intervallo [0,ε], dove vale 1/ε:

In questo modo risulta:∫-∞+∞ u0,ε(t) dt = 1

Studiando cosa accade per distribuzioniimpulsive con ε→0 otteniamo gli effetti di unasorgente di tensione/corrente che agisceistantaneamente ma con un valore nontrascurabile.Tuttavia, poiché...

limε→0 ∫-∞+∞ u0,ε(t) dt = 1

∫-∞+∞ limε→0 u0,ε(t) dt = 0...allora u0,ε(t) non rientra nell’insieme delle“funzioni”, ma nelle “distribuzioni”.

Distribuzione unitaria (o di Dirac):

δ(t)

e tale che:lim

ε→0 ∫-∞+∞ δ(t) dt = 1

= 0 ∀ t ≠ 0≠ 0 per t = 0

dove f1(0-) è il limite sinistro di f1 nell’origine: in questo

modo si considerano eventuali discontinuità di f1 in 0 !!

Prodotto integrale (o di convoluzione):f1(t)*f2(t) = ∫0t f1(τ) f2(t-τ) dτ

• Gode della proprietà commutativa

Funzioni razionali:H(p) = [a0+a1p+..+anp

n] / [b0+b1p+..+brpr]

• Esprimibili come H(p) = Σ Ai/(p+pi)ni

dove pi radice del denom. con moltepl. = ni

• Sono dette “proprie” se n<r


Appunti 25

Risposta di un bipolo R-L-C ad un’eccitazione trasformabile secondo Laplace:Abbiamo già visto che il legame tra la tensione v = v(t) ai morsetti e la corrente i = i(t) si traduce, grazie all’EKT ealle relazioni costitutive dei componenti, nell’equazione integro differenziale:

v = R i + L di/dt + 1/C ∫-∞t i(t’)dt’Supposto di conoscere la L-trasformata V(p) di v(t) e che i(t) sia L-trasformabile nella funzione I(p) (ipotesi questa chesarà poi verificata quando, trovata I(p), quest’ultima risulterà effettivamente anti-L-trasformabile in una funzione i(t) neldominio del tempo), grazie alle proprietà viste, possiamo esprimere tale equazione nel dominio di Laplace come:

v(t) = R i(t) + L di/dt + 1/C ∫-∞t i(t’)dt’V(p) = R I(p) + L pI(p) - L i(t=0-) + I(p)/Cp + vc(t=0-)/p

V(p) = I(p) R + Lp + 1/Cp + - Li(0-) + vc(0-)/p

V(p) = I(p)impedenza Z(p) + condizioni iniziali

Da cui è immediato ricavare I(p) come somma delle seguenti funzioni razionali proprie (e quindi anti-L-trasformabile):I(p) = E(p)/Z(p) + Li(0-)/Z(p) - vc(0

-)/ pZ(p)infatti:

.L-1[E(p)/Z(p)] = L-1[E(p) 1/Z(p)] = L-1[E(p) H(p)] = L-1[ L[e(t)] L[h(t)] ] = e(t)*h(t)

.L-1[Li(0-)/Z(p)] = L-1[Li(0-) 1/Z(p)] = L-1[Li(0-) H(p)] = Li(0-)h(t)

.L-1[vc(0-)/pZ(p)] = L-1[vc(0

-) 1/pZ(p)] = L-1[vc(0-) K(p)] vc(0

-)k(t)

• Anziché in parte permanente e transitoria, la correntei(t) ottenuta anti-L-trasformando la I(p) calcolata neldominio di Laplace viene suddivisa in:

.risposta libera: ottenuta facendo agire solo leeccitazioni interne (cioè i generatori ottenutiL-trasformando i componenti con memoria)

iL(t) = L-1[IL(p)].risposta forzata: ottenuta facendo agire solo leeccitazioni esterne (cioè gli L-trasformati deigeneratori presenti anche nel domino del tempo)

iF(t) = L-1[IF(p)]

• Il procedimento visto, articolato nei seguenti passi,può essere facilmente esteso ad un qualsiasi circuito acostanti concentrate, lineare e tempo-invariante:

1) Individuazione del sistema risolvente il circuito neldominio di Laplace:

.trasformazione, come da tabella, dei singolicomponenti del circuito nel dominio dellavariabile p.espressione degli equilibri del circuitotrasformato tramite le equazioni di Kirchhoff(che è immediato verificare essere soddisfatteanche dalle grandezze elettriche trasformate).

2) Soluzione del sistema nel dominio di Laplace:.conseguimento dell’espressione esplicita in p delle grandezze di interesse

3) Antitrasformazione dal dominio di Laplace a quello del tempo delle grandezze trovate

Sorgenti di potenza infinita:E’ possibile affermare che ad un certo istante t0 in un circuito insorgono degli impulsi di tensione o corrente se,ipotizzato che le correnti di ogni induttore e le tensioni ai capi di ogni condensatore non subiscono discontinuitàall’istante considerato, le equazioni di Kirchhoff scritte per il circuito non sono violate nell’istante immediatamentesuccessivo a t0.In tal caso si parla della presenza di sorgenti di potenza infinita, le quali rendono non più possibile la conservazionedella correnti negli induttori e delle tensioni ai capi dei condensatori. Si conservano tuttavia:

.il flusso complessivo concatenato con gli induttori presenti nel circuito, indipendentemente da come sia realizzato il loro collegamento:

Σk Lk ik(0-) = Φtot

CL(0-) = ΦtotCL(0+) = Σk Lk ik(0

+)..la carica complessivamente immagazzinata sui condensatori presenti nel circuito:

Σk Ck vk(0-) = Σk qk(0

-) = qtot(0-) = qtot(0+) = Σk qk(0+) = Σk Ck vk(0

+)

NOTA: 1/C ∫-∞t i(t’)dt’ = 1/C∫-∞

0- i(t’)dt’ + 1/C∫0-t i(t’)dt’ =

= vc(0-) + 1/C∫0-

t i(t’)dt’ L→ vc(0

-)/p + I(p)/Cp


Appunti 26

PARTE 13FUNZIONI DI RETE

Nel dominio complesso (del piano di Gauss):Un qualsiasi circuito, anche a più maglie, risulta descritto da sistemi matriciali del tipo:

[ E ] = [ Z ] [ I ] oppure [ I ] = [ Y ] [ V ] vettore colonna matrice vettore colonna vettore colonna matrice vettore colonna delle eccitazioni delle delle correnti sui delle correnti che delle delle tensioni tra i sulle varie maglie impedenze lati di coalbero fluiscono ai vari ammettenze vari nodi e il centro fondamentali nodi dell’albero

Dalla suddetta descrizione si ricavano dunque, per le singole eccitazioni, relazioni del tipo:Ei = Σk Zik Ik

e per le singole correnti:Ii = Σk Yik Vk

Se definiamo...“cause” o “eccitazioni” i singoli elementi del vettore colonna di destra“effetti” o “risposte” i singoli elementi del vettore colonna di sinistra

...otteniamo che facendo agire una sola causa per volta, chiamata (infelicemente) E, e considerandone un solo effetto,detto U, il legame tra di essi risulta di proporzionalità diretta, dato da:

U = H E dove .H è una combinazione di impedenze/ammettenze (ed èquindi funzione della variabile complessa s: H=H(s)) cheprende il nome di “funzione di rete” ed è definita comerapporto tra la risposta U e l’eccitazione E.

H(s) ≡ U(s) / E(s)Nel dominio di Laplace:Eccitazioni E e risposte U saranno espresse tramite le loro L-trasformate, dunque in funzione della variabile complessa p.Continuando a valere la linearità del circuito, tra di esse sussisterà il legame di proporzionalità diretta; la loro funzionedi rete H resta allora analogamente definita come: H(p) ≡ U(p) / E(p)

Proprietà:• Per come stata è definita, una funzione di rete dipende solo dalla struttura del circuito, cioè da:

.tipo e posizione del generatore di eccitazione

.tipo e posizione della grandezza elettrica considerata come risposta• Ogni funzione di rete è una funzione razionale e a coefficienti reali nella variabile complessa (s o p); ciò è immediato

pensando all’espressione dell’impedenza come combinazione lineari di termini del tipo R+Lx+1/Cx (dove xrappresenta la variabile complessa s o p)

Risposta impulsiva:E’ così chiamata una grandezza elettrica che si instaura in un circuito quando la causa che la ha generato ha andamentonel tempo coincidente con un impulso unitario.Poiché L[δ(t)] = 1 è facile verificare che:

.nel dominio di Laplace, la risposta di un circuito coincide con la corrispondente funzione di rete quando l’eccitazione vale 1

U(p) ≡ H(p) se E(p) = L[δ(t)] = 1.nel dominio del tempo, la risposta ad un impulso è uguale all’anti-L-trasformata della corrispondente funzione di rete

u(t) ≡ L-1[H(p)] se e(t) = δ(t).in un circuito, nota la risposta h(t) ad un impulso, è determinata la risposta u(t) a una generica eccitazione e(t):

u(t) = L-1[U(p)] = L-1[H(p)E(p)] (??? v.pag.109 dispense).la risposta u(t) di un circuito è uguale al prodotto integrale tra la risposta h(t) ad un impulso e la funzione di eccitazione e(t):

u(t) = h(t)*e(t) (??? v.pag.109 dispense)

Stabilità:Un circuito si dice “asintoticamente stabile” se “sottoposto ad eccitazioni esterne di durata limitata è capace di ritornarealla situazione di riposo dopo che le eccitazioni esterne hanno finito di agire” ovvero, nell’ipotesi di costanti concentrate(potendosi trattare, senza perdere di generalità, come impulsive le eccitazioni di breve durata), se “tutte le sue risposteimpulsive tendono a zero col crescere del tempo”.• Si può dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinché una risposta impulsiva tenda a zero al crescere del tempo è che la L-trasformata della corrispondente funzione di rete abbia tutti i poli con parte reale negativa

Per analizzare la stabilità dei circuiti elettrici, essi vengono suddivisi in:.passivi: componenti solo immagazzinatori di energia (L,M,C) o disspatori (R); stabili (Re[poli di H(p)]≤ 0)

.attivi: anche componenti capaci di fornire energia (es: generatori dipendenti); stabili o instabili.

PARTE 14


Appunti 27

POTENZE ASSORBITE E SCAMBIATENEL FUNZIONAMENTO IN REGIME PERMANENTE SINUSOIDALE

Le grandezze impresse dai generatori che più comunemente si incontrano nelle applicazioni hanno andamentosinusoidale. In presenza di circuiti stabili, la risposta cui ci si interessa è quella che predomina al passare del tempo.

Potenza assorbita da un bipolo in regime permanente sinusoidale:Scelte su di esso la tensione v(t) e la corrente i(t) coordinate, sfasate tra loro,sul piano complesso, di un angolo ϕ = αv-αi (detto angolo di sfasamento tratensione e corrente): _ _

v(t) = V cos(ωt+αv) = VE√2 cos(ωt+αv) = _ VE√2 cos(ωt)i(t) = I cos(ωt+αi) = IE√2 cos(ωt+αi) = IE√2 cos(ωt-ϕ)

la potenza istantanea p(t) assorbita dal bipolo può essere espressa come:p(t) = v(t)i(t) = VE√2 cos(ωt) IE√2 cos(ωt-ϕ) =

= 2VEIEcos(ϕ)cos2(ωt) + 2VEIEsin(ϕ)cos(ωt)sin(ωt) == 2VEIEcos(ϕ)cos2(ωt) + VEIEsin(ϕ)sin(2ωt) == pa(t) + pr(t)

dove i due termini finali ottenuti sono detti:.pa(t) = 2VEIEcos(ϕ)cos2(ωt) ≡ potenza attiva istantanea

.cosinusoidale

.positiva (se cosϕ>0)

.in pulsazione doppia (?)

.valor medio Pam positivo

.sempre in ingresso (quindi effettivamente assorbita dal bipolo)

.pr(t) = VEIEsin(ϕ)sin(2ωt) ≡ potenza reattiva istantanea.sinusoidale.in pulsazione doppia.valor medio Prm nullo.scambiata dal bipolo con l’esterno

In riferimento a un periodo T dell’oscillazione, si definiscono invece:.P = 1/T ∫0T p(t) dt ≡ potenza attiva non istantanea

.è definita come il valor medio su di un periodo della potenza istantanea p(t), ma poiché il valor mediodella potenza reattiva istantanea pr(t) è nullo, allora P coincide col valor medio su di un periodo dellapotenza attiva istantanea pa(t):

P = 1/T ∫0T pa(t) dt = VEIE cos(ϕ) = (VMIM/2) cos(ϕ)dove il fattore cos(ϕ) è detto “fattore di potenza”.P viene misurata in watt [W]

.Q = maxt∈T pr(t) sign(ϕ) ≡ potenza reattiva non istantanea

.E’ definito come il valor massimo della potenza reattiva istantanea pr(t) con il segno dell’angolo ϕ;poiché il seno sente il segno dell’angolo, può dunque essere espressa come:

Q = VEIE sin(ϕ) = (VMIM/2) sin(ϕ).Dalla positività di sin(ϕ), quindi di Q, si vede se la corrente è in ritardo (>0) o in anticipo (<0) sulla tensione..Q viene misurata in volt.ampére reattivi [VAr]

PA = VEIE ≡ potenza apparente.Essendo definita come prodotto dei valori efficaci di tensione e corrente, è ovviamente:

PA ≤ P.PA viene misurata in volt.ampére [VA]

Valore efficace (di grandezze periodiche):YE = √ 1/T ∫0T y2(t) dt

Valore massimo (di grandezze sinusoidali):Coincide con l’ampezza; dato:

y(t) = Ycos(ωt+α)il suo valore massimo sarà:

YM = Y• Poiché ∫0Tcos2(ωt+α)dt = T/2 è facile

verificare che per esse risulta:YE = YM/√2

da cui l’espressione:y(t) = YE√2 cos(ωt+α)


Appunti 28

Potenza complessa:Date la tensione e la corrente ai morsetti del bipolo: _ _

v(t) = VE√2 cos(ωt+αv) = Re[ VE√2 ejαv e(0+jω)t] ↔ V = VE√2 ejαv = VE√2 da cui VE = VE

i(t) = IE√2 cos(ωt+αi) = Re[VE√2 ejαi e(0+jω)t] ↔ I = IE√2 ejαi = IE√2 e-jϕ da cui IE = IE e-jϕ

si definisce “potenza complessa” il numero complesso dato dal prodotto:N ≡ VEIE

* = VE IE e+jϕ = VEIE [ cos(ϕ) + jsin(ϕ) ] = VEIEcos(ϕ) + jVEIEsin(ϕ) = P + jQ

Nel caso di eccitazioni sinusoidali (smorzamento σ nullo ⇒ s = σ+jω = jω) l’impedenza di un bipolo si presenta come:Z = R + sL + 1/sC = R + jωL + 1/jωC = R + jωL - j/ωC

e, indicando con R la resistenza e con X = ωL - 1/ωC l’ammettenza del bipolo, può essere riscritta come:Z = R + j(ωL - 1/ωC) = R + jX

da cui la tensione:V = Z I = (R+jX) I

e, per linearità, i numeri complessi derivati dai valori efficaci:VE = Z IE = (R+jX) IE

La potenza complessa vale dunque:N = VEIE* = (ZIE )IE* = Z (IE IE*) = Z |IE|2 = (R+jX) IE

2 = RIE2 + jXIE

2

da cui:P = VEIEcos(ϕ) = Re[N] = R IE

2 Q = VEIEsin(ϕ) = Im[N] = X IE2

Casi particolari:

Resistore: Z = R∈R V = ZI = RI ⇒ ϕ = 0P = VEIEcos(ϕ) = VEIEcos(0) = VEIE = RIEIE = R IE

2

Q = VEIEsin(ϕ) = VEIEsin(0) = 0Come già visto, tensione e corrente sono in fase.Si ha il massimo assorbimento possibile di potenza, mentre non vi è scambio di potenza con l’esterno.

Induttore: Z = jωL V = ZI = +jωLI ⇒ ϕ = +π/2

P = VEIEcos(ϕ) = VEIEcos(+π/2) = 0Q = VEIEsin(+π/2) = VEIE > 0Come già visto, poiché αi = -ϕ = -π/2, la corrente è in ritardo sulla tensione di π/2.Non vi è assorbimento di potenza: tutta la potenza viene scambiata con l’esterno.

Condensatore: Z = -j/ωC V = ZI = (-j/ωC)I ⇒ ϕ = -π/2

P = VEIEcos(ϕ) = VEIEcos(-π/2) = 0Q = VEIEsin(ϕ) = VEIEsin(-π/2) = VEIE < 0Come già visto, poiché αi = -ϕ = +π/2, la corrente è in anticipo sulla tensione di π/2.Non vi è assorbimento di potenza: tutta la potenza viene scambiata con l’esterno.

Conservazione della potenza complessa:“La somma delle potenze complesse assorbite da tutti i i bipoli presenti nel circuito è nulla” Σk Nk = 0

La dimostrazione è conseguenza delle proprietà topologiche del circuito già viste a proposito del Teorema di Tellegen.Da quanto detto segue immediatamente che, in regime permanente sinusoidale:

“La somma delle potenza attive assorbite da tutti i i bipoli presenti nel circuito è nulla” Σk Pk = 0“La somma delle potenza reattive assorbite da tutti i i bipoli presenti nel circuito è nulla” Σk Qk = 0

Additività della potenza attiva non istantanea (per gruppi non isofrequenziali di eccitazioni):“La potenza attiva non istantanea P assorbita da un bipolo è ottenibile per sovrapposizione degli effetti dei vari gruppi

non isofrequenziali di eccitazioni (isofrequenziali tra loro all’interno di ogni singolo gruppo)”.L’inghippo è che i(t)=Σkik(t) e v(t)=Σkvk(t) da cui

p(t)=i(t)v(t)=[Σkik(t)][Σkvk(t)] = Σkik(t)vk(t) + altri_termini e non p(t) = Σkpk(t) = Σkik(t)vk(t)Scegliendo come periodo T il minimo comune multiplo tra i periodi Tk dei vari gruppi (e anche tra le loro somme e differenze), si avrà:

Pk = 1/T ∫0T pk(t) dtP = 1/T∫0Tp(t)dt = 1/T∫0T[Σkik(t)][Σkvk(t)]dt = 1/T∫0T[Σkik(t)vk(t) + altri]dt = 1/T∫0Tpk(t)dt + 1/T∫0T(altri)dt = ΣkPk + altro

e il termine “altro” risulta nullo se e solo se si prendono le varie pk appartenenti a gruppi non isofrequenziali tra loro (inquanto contiene integrali di coseni di somme o differenze delle varie frequenze che, poiché calcolati tra 0 e il periodo Tm.c.m. anche di somme e differenze, risulta nullo solo se le frequenze sono diverse tra loro, quindi cos(ωa±ωb)≠cos(0)=1che integrato tra 0 e T non si annulla di certo).


Appunti 29

Trasferimento della potenza attiva ad un bipolo attraverso i suoi morsetti:E’ questo un problema di grande interesse pratico, ma che si presenta sotto dueaspetti fondamentalmente diversi, a seconda che il bipolo in questione faccia partedi un sistema di trasmissione di segnali o di potenza elettrica.

Definiamo “rendimento del trasferimento di potenza attiva” il rapporto:η ≡ (potenza attiva in ingresso al bipolo) / (potenza attiva erogata dal generatore)

Nel circuito in figura, utilizzando i valori efficaci (in seguito, per brevità di notazione, V=VE, I=IE et similia), poiché...Pbipolo = Re[N] = Re[VI*] = Re[ZII*] = Re[Z I2] = R I2

Pgeneratore = Re[N] = Re[EI*] = Re[(Z+ZL)II*] = Re[(Z+ZL) I2] = (R+RL) I2

...è immediato verificare che il rendimento η vale:η = Passorbita dal bipolo / Pfornita dal generatore = R I2 / (R+RL) I2 = R / (R+RL)

Utente di tipo R-L:Il rifasamento è ottenuto mettendo l’utente in parallelo con uncondensatore, la cui presenza conduce a un’EKC al nodo A del tipo:

I’ = IC + I

• invarianza della tensione V, della corrente I e del fattore di potenza cos(ϕ) sull’utente

• sfasamento di +π/2 della corrente IC rispetto alla tensione V (supposta giacente sull’asse Im per comodità di rappresentazione; v. figura)• riduzione ad I’ della corrente di linea; tale valore si ottiene anche come

semplice somma vettoriale (sul piano complesso) di IC con I e risulta sfasatodi un nuovo angolo ϕ’ rispetto a V.

Risulta evidente che:I cos(ϕ) = I’ cos(ϕ’)

• la potenza attiva P assorbita dal bipolo utente (inalterata) è: P = VI cos(ϕ)

• la potenza reattiva Q scambiata dal bipolo utente è data da: Q = VI sin(ϕ) = P tg(ϕ)

• la potenza attiva Pc assorbita dal condensatore è, come noto: Pc = 0

• la potenza attiva P’ assorbita dal complesso utente-condensatore è: P’ = P+Pc = P tale potenza è inoltre pari (v. th.cons.pot.compl.) a quella erogata dal generatore meno quella dissipata sulla linea; data I’ corrente di linea, sfasata di ϕ’ rispetto alla tensione V ai suoi capi, risulta: P’ = VI’cos(ϕ’) = P

• la potenza reattiva Q’ scambiata dal complesso utente-condensatore è

pari (v. th.cons.pot.compl.) a quella scambiata dal complesso generatore

più linea e risulta; risulta evidentemente: Q’ = P’ tg(ϕ’) = P tg(ϕ’)

• la potenza reattiva Qc scambiata dal condensatore è quindi: Qc = Q’-Q = Ptg(ϕ’)-Ptg(ϕ) = P[tg(ϕ’)-tg(ϕ)]Dal confronto di quest’ultima equazione con l’espressione Qc = XcIc

2 = (-1/ωC) |V2/(- j/ωC)|2 = -V2ωCsi ricava la capacità richiesta al condensatore per ottenere ϕ’: C = P[tg(ϕ’)-tg(ϕ)] / ωV2

Il rendimento migliora in quanto, essendo I’<I, vi è minore dissipazione di potenza sulla linea:ηrifasato = RI2/(RI2+RLI’2) > RI2/(R+RL)I2 = ηnon rifasato

↑ NOTA BENE !!

generatore = emettitore di un segnalebipolo = ricevente

scopo = ricezione del segnale

⇓massima potenza (che il bipolo poi assorbirà) sul circuito

Dall’espressione della potenza assorbita dal bipolo...P = RI2 = R|I|2 = R | E/√(R+RL)2+(X+XL)2 |2

segue che, a parità di generatore E, giocando sullaimpedenza di linea, si ottiene la funzione:

P = P(RL,XL) = RE2 / [(R+RL)2+(X+XL)2]che dovremmo sapere dall’analisi essere massimizzata per:

∂P/∂RL = 0 ∂P/∂XL = 0

⇓

Soluzioni di questo sistema sono i valori (teorema delmassimo trasferimento di potenza attiva):

RL = R XL = -X

In tale situazione si ottiene un rendimento pari a:η = R/(R+RL) = R/2R = ½

molto basso, ma lo stesso accettabile in quanto non era questol’obiettivo posto dal problema.

generatore = fornitore di potenza (a pagamento)bipolo = utente con specifiche (P=assegnata, V=costante)

scopo = guadagno sul servizio fornito

⇓massimo rendimento

Dalla EKT per il circuito dato, segue la tensione sulbipolo:

V = E - ZLIPer poter fornire all’utente la “tensione nominale”richiesta, è necessario limitare entro prefissati limiti lecadute di tensione dovute all’impedenza di linea ZL;poiché questa risulta per solito non trascurabile a causadella lunghezza della linea stessa, per ottenere questorisultato ènecessario che la corrente I sia opportunamente piccola.

Ciò nondimeno, è necessario garantire all’utente anche lacorretta “potenza nominale” per cui è stato progettato,cioè il giusto valore di P=VIcos(ϕ).

Tale operazione è detta rifasamento del bipolo.

⇓

ovvero Z = ZL*


Appunti 30

Eccitazioni periodiche:Una eccitazione f(t) si dice periodica se il suo andamento si ripete ad intervalli regolari di tempo (WOW!) cioè sesoddisfa alla condizione:

f(t) = f(t+T) ∀ t ∈ [-∞,+∞]

Serie di Fourier:Una qualsiasi funzione periodica che soddisfi alle condizioni di Dirichlet può essere rappresentata tramite una somma difunzioni sinusoidali, detta appunto “serie di Fourier”, del tipo:

f(t) = a0 + Σk=1∞ [ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t)] dove .ω0 = 2π/T

.a0 = 1/T ∫0T f(t) dt

.ak = 2/T ∫0T f(t)cos(kω0t) dt

.bk = 2/T ∫0T f(t)sin(kω0t) dt• Il termine a0 risulta nullo se l’onda è simmetrica rispetto all’asse del tempo (ne è infatti il valor medio)• La componente di pulsazione ω0 (cioè per k=1) prende il nome di componente fondamentale• La componente di pulsazione kω0 (con k≠1) prende il nome di armonica di ordine k

Onda quadra:E’ un caso particolare di funzione periodica che può essere rappresentata come limite di una serie di Fourier avente:

.termini cosinusoidali tutti nulli

.termini sinusoidali pari tutti nulli


Appunti 31

PARTE 14CIRCUITI RISONANTI E ANTI-RISONANTI

Risonanza:E’ una situazione particolare in cui, nei circuiti del tipo infigura, si verifica una notevole intensificazione dell’effettodell’eccitazione.

Sia l’alimentazione V una tensione sinusoidale di valoreefficace costante e frequenza ω variabile.Studiamo come varia, al variare di ω, il modulo H dellafunzione di rete H(ω) relativa al generatore di tensione V(eccitazione) e alla tensione VR sul resistore (risposta).

VR = RI = R V/[R+j(ωL-1/ωC)]H = VR/V = R/[R+j(ωL-1/ωC)]

E così come |a+jb| = √ a2+b2 allora avremo:H = H(ω) = |H| = R / √R2+(ωL-1/ωC)2

• per ω→0, il denominatore tende a ∞ e H→0• per ω→+∞, il denominatore tende a ∞ e H→0• HMAX = 1 per ω = ω0 = 1/√LC ω0 è detta “pulsazione di risonanza”

⇓Per ω ≠ ω0 si avrà VR << EVengono quindi tagliate le frequenze molto lontane daquella di risonanza, come in un filtro.

Altre note:• La forma della campana può essere ristretta/allargata

variando i valori di L,R,C.• L’argomento di H(ω) rappresenta lo sfasamento ϕ tra

tensione V del generatore e corrente I sul resistore.ϕ<0 se ω<ω0: corrente in anticipo e reattanza capacitiva che prevale su quella induttiva.ϕ>0 se ω>ω0: corrente in ritardo e reattanza induttiva che prevale su quella capacitiva.

Anti-risonanza:E’ una situazione particolare in cui, nei circuiti del tipo infigura, si verifica un notevole smorzamento dell’effettodell’eccitazione.

Sia l’alimentazione V una tensione sinusoidale di valoreefficace costante e frequenza ω variabile.Studiamo come varia, al variare di ω, il modulo H dellafunzione di rete H(ω) relativa al generatore di tensione V(eccitazione) e alla corrente IR nel resistore (risposta).

L’induttanza offerta dall’induttore e dal condensatore inparallelo sarà data da:

ZLC = (-jωL)(j/ωC) / (jωL - j/ωC) = -j (L/C) / (ωL - 1/ωC)

Da cui:IR = I = V/Ztot = V / [R - j(L/C)/(ωL-1/ωC)]H = I/E = 1 / [R - j(L/C)/(ωL-1/ωC)]

E così come |a+jb| = √ a2+b2 allora avremo: dH = H(ω) = |H| = 1 / √R2+[(L/C)/(ωL-1/ωC)]2

• per ω→0, avrò che H→1/R

• per ω→+∞, avrò che H→1/R___• HMIN = 0 per ω = ω0 = 1/√LC ω0 è detta “pulsazione di anti-risonanza”

⇓Per ω ≈ ω0 si avrà IR ≈ 0Vengono quindi tagliate le correnti con frequenze moltovicine a quella di anti-risonanza, come in un filtro.

Altre note:• La forma della cuspide può essere ristretta/allargata

variando i valori di L,R,C.• Per le frequenze ω≈ω0 si ottiene una impedenza che

tende all’infinito sul parallelo LC, ai capi del quale èdunque presente la tensione V (non essendovi cali ditensione causati dal resistore, in quanto IR=0).


Appunti 32

PARTE 15I SISTEMI TRIFASE

Il trasporto dell’energia elettrica dai luoghi di produzione ai luoghi di utilizzazione avviene prevalentemente per mezzodi linee elettriche a tre fili; le linee, i generatori che le alimentano e gli utilizzatori (carichi) ad esse collegaticostituiscono nel loro insieme i cosiddetti sistemi trifase.

• L’insieme G dei generatori è in genere costituito da 3 generatori ditensione collegati a stella (o a triangolo).

• Il carico U è sempre rappresentabile tramite 3 impedenze collegate astella (v. nozioni di “equivalenza” e “teorema di equivalenza”)

• Le correnti I1, I2, I3 prendono il nome di “correnti di linea” e soddisfano, ovviamente, alla EKC:I1 + I2 + I3 = 0

• Le tensioni V12, V23, V31 tra le linee elettriche prendono il nome di “tensioni concatenate” calcolate incorrispondenza di una loro generica sezione b (ma che è lecito supporre indipendenti dalla sezione scelta, risultandotrascurabili le cadute di tensione in linea) sono date dalle differenze di potenziale tra i punti L1, L2, L3 (o, per quantodetto sopra, tra punti qls delle corrispondenti linee 1, 2, 3):

V12 = VL1 - VL2 V23 = VL2 - VL3 V31 = VL3 - VL1

da cui segue, banalmente, che:V12 + V23 + V31 = 0

Studio di un generico sistema trifase:Sia dato un circuito del tipo in figura, dove:• Le tensioni Egk indicano le tensioni erogate dai generatori e

prendono il nome di tensioni stellate• Le impedenze Zk sono l’equivalente del generico carico U• Le tensioni Ek sulle tre impedenze dell’utente prendono il

nome di tensioni di fase• La generica tensione concatenata Vhk è ottenibile come (EKT):

Vhk = Egh - Egk

(tali tensioni sono dunque rappresentabili, sul piano complesso, come i lati del triangolo i cui vertici sono dati dalle 3 tensioni stellate).

Correnti di linea:

1) Calcolo della tensione E0 tra il centro stella O’ dell’utente e ilcentro stella O dei generatori (ci si serve a questo proposito delleformule viste per il Teorema di Millman; il bipolo OO’ presenta infatti3 lati in parallelo, ognuno costituito da un generatore in serie aun’impedenza):

E0 = [ Σk=13 Ek/Zk ] / [ Σk=1

3 1/Zk ]

1bis) Collocamento nel piano del complesso dei vettori (“fasori”) rappresentanti le tensioni stellate Egk e la tensione E0

2) Calcolo delle tensioni di fase Ek (possibile anche graficamente sul piano complesso come congiungenti le Egk ed E0)Ek = Egk - E0

3)) Calcolo delle correnti di linea, banalmente ottenibili da:Ik = Ek / Zk

Potenza complessa (richiesta dal carico U alla linea):Applicando la definizione si ha la formula (che richiede l’utilizzo di 3 voltmetri per le misurazioni):

N = Σk=13 Ek Ik*

Tuttavia, poiché è possibile esprimere una delle correnti (es: I2) in funzione delle altre, risulta:N = Σk EkIk* = Σk (Egk

-E0)Ik* = Σk EgkIk* - E0(Σk Ik*) = Σk EgkIk* = Eg1I1* + Eg2(-I1*-I3*) + Eg3I3* = = (Eg1-Eg2)I1* + (Eg3-Eg2)I3* = V12 I1* + V32 I3* = V12 I1* - V23 I3*


Appunti 33

Equivalenza di 2 carichi U e U’:Sottoposti alle stesse tensioni concatenate assorbono le medesime correnti (quindi la stessa potenza).

Teorema di equivalenza:Per definizione, le impedenze di una stella equivalente ad U devono soddisfare il sistema:

V12 = E1 - E2 = Z1I1 - Z2I2

V23 = E2 - E3 = Z2I2 - Z3I3(la terza equazione è superflua, risultando combinazione lineare delle prime due)

che presentando 2 equazioni nelle 3 incognite Zk ammette quindi infinite soluzioni; esistono perciò un’infinità di stelleequivalenti ad U, una generica delle quali può essere individuata fissando arbitrariamente un’incognita e ricavando le altre.

Simmetria di un sistema trifase (condizione sui generatori):Definite le 3 radici cubiche complesse dell’unità (α’ n+3 = α’ n ) come:

1 = 1α’ = e+j(2/3)π = - ½ + j √3/2

α’2 = e-j(2/3)π = - ½ - j √3/2 Avremo simmetria diretta se le tensioni stellate sono del tipo:

Eg1 = 1 EEg2 = α’2 EEg3 = α’ E

Avremo simmetria inversa se le tensioni stellate sono del tipo:Eg1 = 1 EEg2 = α’ EEg3 = α’ 2 E

• In entrambi i casi risulta che:Σk Egk = 0

• Le tensioni concatenate hanno somma nulla (come nel caso generale) e tutte modulo:V = √3 E (ottenibile immediatamente, per proprietà geometriche, v. figura)

e costituiscono anch’esse una terna simmetrica dello stesso tipo di quella delle tensioni stellate; ad esempio, se diretta:

V12 = Eg1-Eg2 = E(1-α’2) = 1[E(1-α’2)] = 1 qlcV23 = Eg2-Eg3 = E(α’2-α’) = E(α’2-α’4) = α’2[E(1-α’2)] = α’2 qlcV31 = Eg3-Eg1 = E(α’-1) = E(α’-α’3) = α’[E(1-α’2)] = α’ qlc

Sistema trifase equilibrato (condizione sulle impedenze):E’ un sistema tale che le impedenze (o, analogamente, le ammettenze) nel carico U sono tutte uguali fra loro:

Zk = Z ∀ k∈[1,3] 1/Zk = Yk = Y ∀ k∈[1,3]

Proprietà di un sistema trifase simmetrico ed equilibrato:• Risulta nulla la tensione E0 tra il centro stella O’ dell’utente U e il centro stella O del sistema di generatori G:

E0 = [Σk=13 Ek/Zk]/[Σk=1

3 1/Zk] = [Σk=13 EkYk]/[Σk=1

3 Yk] = Y[Σk=13 Ek]/3Y = 1[0]/3 = 0

• Le tensioni di fase coincidono (essendo nulla E0) con le tensioni stellate: Ek = Egk

• Anche la terna delle correnti di linea risulta simmetrica dello stesso tipo di quella delle tensioni stellate:Ik = Ek/Zk = (3√1 E)/Z = 3√1 (E/Z) dove 3√1 = 1,α’,α’2

e tutte le Ik risultano sfasate rispetto alla relativa Egk di uno stesso angolo Φ.

• La potenza complessa richiesta dall’utente vale (intendendo i seguenti come valori efficaci):N = Σk EkIk* = Σk EgkIk* = 3|Eg||I|e

jΦ = 3EgIcosΦ + j 3EgIsinΦ = P+jQ da cui le potenze attive e reattive: _ _ _

P = 3EgIcosΦ = 3EIcosΦ = √3 (E√3)IcosΦ = √3VIcosΦQ = 3EgIsinΦ = 3EIsinΦ = √3 (E√3)IsinΦ = √3VIsinΦ

• La potenza istantanea complessiva assorbita dal carico U è costante (non lo sono invece,ovviamente, le pk(t) dissipate sulle singole impedenze Zk essendo gli Egk sinusoidali) ed è pari alla potenza attivatotale.


Appunti 34

Riconducibilità di un sistema trifase non simmetrico e non equilibrato al caso simmetrico equilibrato:Le seguenti proprietà matematiche permettono di ricondurre il caso generale di un sistema trifase qualsiasi al caso simmetrico.

Dati 3 numeri complessi qualsiasi A1, A 2, A 3 è possibile associare ad essi una terna di altri vettori A o, A d, A i

tali che sia soddisfatto il sistema:

ovvero

Essendo non nullo il determinante della matrice dei coefficienti, esisterà una e una sola terna (Ao, Ad, Ai) che siasoluzione del sistema dato; tale terna sarà ottenibile (dopo brevi calcoli) come:

Se la terna data (Ao, Ad, Ai) rappresenta le terna delle tensioni stellate di un sistema trifase qualsiasi, valendo perlinearità il principio di sovrapposizione degli effetti, è possibile studiare il sistema dato facendo agire una alla volta leterne o, d, i sopra evidenziate nel sistema in forma cartesiana...

...si vede che:

• la terna omopolare dà sempre contributi nulli, in quanto per essa risulta:Ek = Egk - E0 = Egk - (Σk EgkYk)/(Σk Yk) = Ao - Ao(Σk Yk)/(Σk Yk) = Ao - Ao = 0

• lo studio del sistema può dunque essere ricondotto allo studio di 2 sistemi trifase simmetrici (uno diretto e unoinverso) di cui sommare poi gli effetti.

Potenza complessa trasportata:“La potenza complessa trasportata da un generico sistema trifase è uguale ala somma delle potenze complesse

trasportate singolarmente dai due sistemi trifase simmetrici ed equilibrati diretto ed inverso ottenibili sostituendo allaterna di tensioni e di correnti le loro componenti di sequenza”:

N = 3 Ed Id* + 3 Ei Ii*

Dimostrazione:.Poiché Ao = 1/3(A1+A2+A3) allora non esiste componente omopolare di una terna di vettori la cui somma sia nulla; da Σk Ik = 0 segue dunque che Io = 0..Si osserva che per i coniugati delle radici cubiche dell’unità risulta: α’* = α’2 (α’2)* = α’.Sostituendo a Egk e Ik le terne omopolari, dirette e inverse, e sommandone gli effetti, si ottiene l’espressione:

N = E1I1* + E2I2* + E3I3* = = (Ego+Egd+Egi)(Id*+Ii*) + (Ego+α’2Egd+α’Egi)(α’Id*+α2Ii*) + (Ego+α’Egd+α’2Egi)(α’2Id*+α’Ii*) = = ... = = 3 Ed Id* + 3 Ei Ii*

A A A AA A A AA A A A

o d i

o d i

o d i

1

22

32

= + += + += + +

α αα α

AAA

AAA

o

d

i

1

2

3

2

2

1 1 1

1

1

=

α αα α

( )( )( )

om om

om

om

AAAi

A A AA A AA A A

c ponente di sequenza opolarec ponente di sequenza direttac ponente di sequenza inversa

o

d

=+ +

+ ++ +

=

13 1 2 3

13 1 2

23

13 1

22 3

α αα α

AAA

AAA

o

o

o

1

2

3

=

AAA

AAA

d

d

d

1

2

3

2

=

αα

AAA

AAA

i

i

i

1

2

32

=

αα

terna terna ternaomopolare: simmetrica simmetrica

diretta: inversa:


Appunti 35

PARTE 17STRUMENTI ELETTRODINAMICI DI MISURA

concetto alla base

Consideriamo due bobine accoppiate 1 e 2 tali che:

a) possano muoversi ruotando attorno a un comune asse di rotazionequindi, per semplicità, considereremo che la prima sia fissa eche la seconda, ruotando, descriva un angolo β rispetto a essa

b) siano immerse in un materiale lineare e isotropo le cuicaratteristiche abbiano simmetria cilindrica rispetto all’asse dirotazione

in modo tale che i coefficienti di auto-induzione L1 e L2 simantengano costanti quale che sia la posizione occupata dallacorrispondente bobina, mentre per quello di mutua induzionevarrà la dipendenza M=M(β).

A posizioni fissate, ad esse corrisponderà, come noto, la variazione infinitesima di energia (nel tempo dt):dE = pdt = v1i1dt + v2i2dt = (dΦC1/dt)i1dt + (dΦC2/dt)i2dt = i1dΦC1 + i2dΦC2

Non essendovi altre energie in gioco, tale variazione di energia dE coinciderà con la variazione di energia magneticadEm del sistema. Il valore di tale energia magnetica può essere calcolato, come noto, da:

Em = ½L1i12 + ½L2i2

2 + Mi1i2 = ½L1i12 + ½L2i2

2 + ½Mi1i2 + ½Mi1i2 = ½i1(L1i1+Mi2) + ½i2(L2i2+Mi1) = ½i1ΦC1 +½i2ΦC2

Da cui la variazione:dEm = d(½L1i1

2 + ½L2i22 + Mi1i2) = d(½i1ΦC1 + ½i2ΦC2)

Si può inoltre determinare, come segue, il valore della coppia C esercitata dall’avvolgimento fisso su quello mobile.In corrispondenza di uno spostamento infinitesimo dβ, tale coppia darà luogo a un termine di lavoro meccanicoesprimibile, per una trasformazione infinitesima virtuale (cioè arbitraria, purché concettualmente realizzabilecompatibilmente con i vincoli imposti al sistema) come:

dLm = (C+dC)dβ = Cdβ + dCdβ = a meno di iftsm di ordine superiore CdβFacendo entrare tale termine nel computo della variazione di energia dE del sistema, si avrà:

dE = dEm + dLm

Da cui, banalmente:dLm = dE - dEm

Scegliendo una trasformazione virtuale in cui rimangano costanti i valori delle correnti i1 e i2 (discorso che torneràdunque utile a proposito delle macchine a corrente continua) e confrontando questa quantità con i risultatiprecedentemente trovati, si ottiene:

Cdβ = ( i1dΦC1 + i2dΦC2 ) - d(½i1ΦC1 + ½i2ΦC2) = i1dΦC1 + i2dΦC2 - ½i1dΦC1 - ½i2dΦC2 = = ½i1dΦC1 + ½i2dΦC2 = d(½i1ΦC1 + ½i2ΦC2)

Come è evidente, tale valore coincide con quello ricavabile per dEm:Cdβ = d(½i1ΦC1 + ½i2ΦC2) = d(½L1i1

2 + ½L2i22 + Mi1i2) = dEm

A correnti i1, i2 mantenute costanti, il modulo della coppia C tra le due bobine è dunque pari alla variazione di energiamagnetica dEm che accompagna la variazione dβ dell’angolo che esse formano:

C = dEm/dβTenuto conto che Em = ½L1i1

2 + ½L2i22 + Mi1i2 ma che a causa delle ipotesi fatte riguardo al mezzo magnetico

L1,L2 risultano indipendenti da β, nonché della costanza delle correnti i1, i2, risulterà:C = i1 i2 dM/dβ ovvero C = i1 i2 dM/ωrdt

Negli strumenti di misura si realizzano in genere condizioni costruttive tali da poter ritenere M funzione lineare di β;da M ∝ β, risulterà allora che dM/dβ = costante = h, e quindi:

C = i1 i2 hIn tali strumenti, la coppia C che si esercita tra i due avvolgimenti è dunque proporzionale, secondo una costante h, alprodotto delle correnti che li attraversano.

← Cioè il consueto “forza per spostamento”

NOTA per gli esercizi:In presenza di tali tipi di avvolgimenti mobili accoppiati, la forza contro-elettromotrice che ognunodi essi induce è pari a:

e = dΦC/dt = d(Ljij+Mik)/dt = Ljdij/dt + Mdik/dt + ikdM/dt = = Ljdij/dt + Mdik/dt + ik(dM/dβ)(dβ/dt) = Ljdij/dt + Mdik/dt + ikωrdM/dβ

Il segno “-“ che dovrebbe precedere dΦC/dt è già incluso nel prefisso “contro”; si intende cioè che,tale f.c.em. “e” dovrà essere inserita nel circuito elettrico cui appartiene l’avvolgimento j-esimo(accoppiato col k-esimo) con verso opposto a quello della corrente ij che vi circola.


Appunti 36

realizzazione degli strumenti di misura

Uno strumento elettrodinamico è costituito fondamentalmente da due avvolgimenti del tipo di quelli precedentemente descritti e dauna molla che contrasta il movimento dell’avvolgimento mobile. Sono quindi presenti nel funzionamento di tale strumento duecoppie:

.una elettromagnetica, la cui espressione è data daCelm = i1 i2 dM/dβ = i1 i2 h

.l’altra elastica, il cui valore è proporzionale all’angolo β di deviazione dalla posizione di riposo dell’avvolgimento mobile:Cel = c β

Nel funzionamento di regime in corrente continua, in condizioni di equilibrio le due coppie si equivarranno:c βeq = i1 i2 h

Il valore dell’angolo β in condizioni di equilibrio sarà dunque dato da:βeq = h/c i1 i2 = k i1 i2

dove, poiché dM/dβ si può ritenere di valore costante h, come si è osservato precedentemente, allora anche k, rapporto tra dM/dβ ela costante elastica c della molla, può essere ritenuto costante.Lo strumento misura quindi, tramite l’angolo di deviazione del suo indice, il prodotto delle correnti dei due avvolgimenti.

Nel funzionamento di regime in corrente alternata, variando nel tempo le correnti i1 e i2, varierà anche la coppia elettromagnetica.In conseguenza di ciò l’avvolgimento mobile oscilla attorno alla posizione di equilibrio anche se, a causa della sua inerzia, l’indicedell’apparecchio appare fermo.Il valore che esso indica corrisponde ovviamente al valor medio della coppia elettromagnetica; vale pertanto la relazione:

βeq = k (i1i2)medio = k 1/T ∫0T i1i2 dt = k i1eff i2eff cosϕ dove ϕ è l’angolo di sfasamento tra le due correnti.

Amperometro:Misura la corrente che attraversa un bipolo (utilizzatore).E’ costituito da due avvolgimenti in serie tra loro e col bipolo interessato (l’impedenza internadei due avvolgimenti deve essere molto piccola rispetto a quella del bipolo per non alteraresensibilmente il valore della corrente che si vuole misurare); risulta:

i1eff = i2eff = ieff

ϕ = 0Segue allora immediatamente che:

βeq = k ieff2

Noti i valori di k e di βeq è immediato risalire al valore efficace ieff della corrente I nel bipolo(nel caso di corrente continua, i valori considerati rappresentano invece, ovviamente, quelli effettivi).

Voltmetro:Misura la tensione ai morsetti di un bipolo.E’ costituito da due avvolgimenti in serie tra loro e con una resistenza RV di elevato valore (per avere IV

molto piccola e non alterare la tensione V misuranda) posti in parallelo con il bipolo interessato; risulta:i1eff = i2eff = iVeff

ϕ = 0veff = ZV iVeff

Segue allora immediatamente che:βeq = k iVeff

2 = k (veff/ZV)2 = kV veff2

Noti i valori di kV e di βeq è immediato risalire al valore efficace veff della tensione V da misure (nelcaso di corrente continua, i valori considerati rappresentano invece, ovviamente, quelli effettivi).

Wattmetro:Misura la potenza attiva assorbita da un bipolo (nel funzionamento in corrente alternata).E’ costituito da un avvolgimento in serie con una resistenza RV di elevato valore e posti in parallelocon la serie formata da un secondo avvolgimento (accoppiato al primo) e dal bipolo interessato.Per rendere trascurabile la perturbazione introdotta nel sistema dallo strumento, l’avvolgimento inserie al bipolo dovrà avere una bassa impedenza, mentre dovrà averne una alta l’altro avvolgimento.Sarà, allora:

i1eff = ieff

i2eff = iVeff

Risulta, dunque:βeq = k i1eff i2eff cosϕ = k ieff iVeff cosϕ = k ieff (veff/ZV) cosϕ = kV ieff veff cosϕ = kV P

Noti i valori di kV e di βeq è immediato risalire al valore P della potenza attiva assorbita dal bipolo.


Appunti 37

PARTE 16I CIRCUITI MAGNETICI

descrizione

Gran parte dei dispositivi elettrici sono costituiti da avvolgimenti percorsi da corrente e nuclei di ferromagnetici, quindidi materiali aventi permeabilità magnetica µ >> µaria, che li sorreggono (il funzionamento avviene spesso in presenza diparti in movimento e implica quindi una trasformazione di energia meccanica in energia elettromagnetica e viceversa).Tali materiali diventano dunque sede di un flusso Φ dell’induzione magnetica B, il quale, se variabile nel tempo, inducenelle bobine (composte da N spire) avvolte attorno ad essi una forza contro-elettromotrice pari a:

E = -dΦC(B)/dt = - N dΦ(B)/dt

Per analizzare tali strutture è opportuno introdurre dunque una nuova categoria di circuiti, detti “magnetici”, la cuiseguente modellizzazione è da ritenersi valida sotto le stesse ipotesi semplificative introdotte per i circuiti elettrici acostanti concentrate.Consideriamo una struttura fisica costituita da un insieme di materiali magnetici aventi le seguenti caratteristiche:• isotropia, per esprimere il legame tra B e H tramite una quantità scalare µ (costante in caso di linearità)• validità dell’ipotesi di velocità infinita di propagazione del fenomeno elettromagnetico; essendo come già visto µ≠0,

ciò equivale a porre nulla la costante dielettrica ε e dunque a considerare nullo il vettore D. E’ quindi nulla la densitàdi corrente di spostamento ∂D/∂t e il campo magnetico H vorticherà attorno alle sole correnti di conduzione G.

• conducibilità γ nullaLe grandezze in gioco risultano dunque essere legate dalle seguenti equazioni:

rotE = - ∂B/∂t (divD = ρ)rotH = G + ∂D/∂t = G (divB = 0)B = µH

La struttura magnetica in questione può dunque essere schematizzata come un insieme di regioni di spazio, ciascunaoccupata da un materiale omogeneo avente conducibilità elettrica nulla e permeabilità magnetica molto maggiore diquella della regione di spazio in cui la struttura è immersa; tale regione viene dunque considerata con buonaapprossimazione a permeabilità nulla (viene infatti, ad esempio, posto che sia µaria ≈ 0 ).

Come conseguenza immediata di queste ipotesi, l’induzione magnetica B (e con essa il suo flusso Φ) è diversa da zerosolo all’interno della struttura magnetica (dove è cioè B = µH con µ≠0).


Appunti 38

equivalenti delle leggi di Kirchhoff

Legge di Kirchhoff sul flusso dell’induzione magnetica:“E’ uguale a zero la somma algebrica dei flussi di B entranti in una superficie

chiusa che tagli le varie regioni di una struttura magnetica”.Σk Φk(B) = 0

Dimostrazione:Essendo µ≠0 solo nelle intersezioni che S forma con la struttura magnetica, èimmediatamente evidente che si avrà Φ(B)≠0 solo attraverso le superfici cosìindividuate.Con riferimento alla figura, si avrà dunque:

Φ(B) = Σk Φk(B) = Φ1(B) + Φ2(B) + Φ3(B)Per la solenoidalità di B (in quanto divB = 0 ) risulta tuttavia:

Φ(B) = S(∫) B×n dS = VS∫ divB dV = VS∫ 0 dV = 0

Legge di Kirchhoff sulle tensioni magnetiche:“La circuitazione del campo magnetico H su una linea chiusa b totalmente

interna alla struttura magnetica è pari al valore della corrente ic concatenataalla superficie racchiusa da b (tale valore è ovviamente nullo se attorno allaregione magnetica non vi sono avvolgimenti le cui spire attraversino Sb)”

b(∫) H×dl = ic

Dimostrazione:Data l’ipotesi di conducibilità elettrica nulla dei materiali costituenti lastruttura magnetica, nonché di assenza di densità di corrente di spostamento,risulta (scelto un verso di percorrenza su b e la conseguente orientazione dellanormale su Sb):

b(∫) H×dl = Sb∫ rotH×n dS = Sb∫ G×n dS = ic

Osservazioni:• La quantità ic è l’effetto di una azione esterna alla struttura

elettromagnetica (è infatti nulla se non esistono bobine le cui spireattraversano Sb) e prende il nome di “forza magnetomotrice”.

• Considerando le m diverse regioni della struttura magnetica attraversate da b, posso dividere la circuitazione di H inm termini bk∫ H×dl = Uk, ognuno dei quali prende il nome di “tensione magnetica”.

⇓La presente legge di Kirchhoff può dunque essere espressa nella forma:

“La somma algebrica delle tensioni magnetiche delle regioni toccate da una linea chiusa interna ad una strutturamagnetica è uguale alla forza magnetomotrice impressa dagli avvolgimenti concatenati con essa; tale f.m.m. coincide

con la corrente che attraversa una generica superficie Sb avente la linea considerata b come contorno”.Σk Uk = ic


Appunti 39

bipoli magnetici

Facendo le ipotesi che...• ciascuna regione della struttura magnetica sia a connessione semplice• ciascuna regione della struttura magnetica sia accessibile solo da due superfici...si ottiene che ogni regione così definita, che prende il nome di “bipolo magnetico”, ècaratterizzata da due grandezze univocamente definite, dette “tensione magnetica” e “flusso magnetico”.

Ad ogni struttura magnetica costituita da regioni di questo tipo è dunque possibile associare un circuito magnetico,sostituendo alle sue varie parti opportuni bipoli caratterizzati in tensione e flusso e inserendo opportunamente igeneratori di forza magnetomotrice (che schematizzeranno dunque gli avvolgimenti percorsi da correnti che possono omeno circondare le regioni in questione).

Univocità di definizione della tensione magnetica:“la tensione magnetica di una generica regione è univocamente definita quando sulle

due superfici di accesso siano stati scelti due punti di riferimento”Dimostrazione:Data l’assenza sia di correnti di spostamento ∂D/∂t (per l’ipotesi di velocità di propagazione infinita dei fenomenielettromagnetici) che di conduzione G (per l’ipotesi di conducibilità elettrica nulla), il campo H risulta conservativo(rotH = G+∂D/∂t = 0+0 = 0) all’interno di ogni regione. Da...

0 = b(∫) H×dl = ∫12 H×dl + ∫21 H×dl

...segue immediatamente che...U = ∫12 H×dl

...non dipende dalla linea scelta tra i punti 1 e 2.

Univocità di definizione del flusso magnetico:“E’ possibile identificare la regione considerata con un tubo di flusso di B; il valore di tale flusso sarà univocamente

definito e costante per ogni sezione della regione il cui piano secante intersechi la sola superficie laterale”.Dimostrazione:Parte I: “Il flusso di B in ingresso da una superficie di accesso è uguale a quello in uscita dall’altra superficie”.La superficie che delimita l’intera regione sarà infatti costituita dalle due basi (accessibili per ipotesi) e dalla superficielaterale (non accessibile) che le collega. Data l’irrotazionalità di B, risulta:

0 = S(∫) B×n dS ∀ S chiusa

E nel nostro caso:0 = S

(∫) B×n dS = Φbase1B + Φbase2(B) + Φlaterale(B)Potendo ritenere (con buona approssimazione, date le ipotesi fatte) che sia...

Φlaterale(B) = 0...risulta evidentemente che:

Φbase1B = - Φbase2(B) = ΦParte II: “Φ è lo stesso anche per ogni sezione della regione il cui piano secante intersechi la sola superficie laterale”.Per dimostrare questo è sufficiente ripetere il ragionamento, considerando come superficie chiusa quella formata da unadelle due basi d’accesso, dalla superficie laterale e dalla sezione interessata.


Appunti 40

componenti

• Generatore di forza magnetomotrice:E’ chiaro il suo significato, anche grazie all’evidente parallelo col generatore di tensione dei circuiti elettrici (la f.m.m.“ic

” è l’analogo della f.e.m. “E”). Data, inoltre, la possibilità di rappresentare i circuiti magnetici tramite il simbolismogià visto per i circuiti elettrici, immagino che la relazione costitutiva di tale generatore sarà data da:

U = ic = N i dove: .i = corrente che circola nell’avvolgimento che circonda il bipolo magnetico dato.N = numero di spire dell’avvolgimento

• Regione resistiva:E’ una regione avente conducibilità elettrica nulla e permeabilità µ tale che il legame tra B ed H risulti lineare.La sua relazione costitutiva (analoga della legge di Ohm per le resistenze elettriche) risulta data dalla legge diHopkinson:

U = ∫12 H×dl = ∫12 B/µ×dl = dove: .σ è la generica sezione vista per l’univocità di Φ = ∫12 Bσ/µσ×dl = Φ(B) ∫12 dl/µσ = Φ R .R = ∫12 dl/µσ è detta “riluttanza magnetica”

Ovvero, in breve:U = R Φ

- Supponendo di avere una regione lineare cilindrica di altezza b e base S (quindi tale che la sua generica sezione σ normale all’asse sarà parallela ed equiestesa ad S), che in essa sia B // asse e B=costante ∀P∈σ, si può porre:

Φ = Bσ = µHσR = ∫12 dl/µσ = b/µσ

Da cui:U = b H

- Un’eccezione alla ipotesi di poter considerare praticamente nulla la permeabilità magnetica della regione esterna alla struttura magnetica è rappresentata dai cosiddetti traferri. Sono essi tratti di materiale non ferromagnetico (generalmente aria) interposti tra due tratti contigui di materiale ferromagnetico e aventi spessore δ inferiore di molti ordini di grandezza alla lunghezza b del circuito ferromagnetico. In tali condizioni sono presenti valori molto alti, ma non infiniti, di riluttanza R0 nel traferro (in tal modo si possono chiudere i tubi di flusso di Φ) e non è più possibile, dunque, considerare µ0 ≈ 0. Risulta, infatti: _

R0 = δ / µ0S >> 0 dove: .δ = spessore del traferro << √S << b.S = area della sua sezione

Se in un circuito magnetico è presente un traferro, la riluttanza di questo è predominante rispetto alle riluttanze delle parti costituite da materiale ferromagnetico.


Appunti 41

• Induttore elettrico e forza magnetomotrice:Data la situazione rappresentata in figura,...

.gli eventuali tubi di flusso Φ di B si chiuderanno all’interno della regione magnetica, in quanto al di fuori di essa è µ=0..la corrente i che percorre l’avvolgimento sostiene l’induzione magnetica H e quindi il flusso di B=µH concatenato alle spire dell’avvolgimento stesso, risultando ΦC = NΦ (prendiamo, per semplicità, i versi di Φ e ΦC concordi con la normale delle superfici racchiuse dalle spire, il cui verso è ricavato in base alla regola del cavaturaccioli, dal verso di i)..se il flusso di B non è costante nel tempo, esso induce sulla bobina una forza contro-elettromotrice di valore e = dΦC/dt = N dΦ/dt

- Nel circuito magnetico, la presenza della forza magnetomotrice causata da i può essere modellizzata come un generatore di f.m.m. pilotato in corrente elettrica; il valore di questo si ricava dalla b

(∫)H×dl = ic ed è dunque pari a ic = Ni. Segue l’equazione di Kirchhoff delle tensioni magentiche (EKTM):

Ni = RΦ Da cui è immediato ricavare l’espressione del flusso Φ:

Φ = Ni/R

- Nel circuito elettrico, la forza contro-elettromotrice causata dal variare di ΦC nel tempo può essere modellizzata come un generatore di tensione pilotato in modo non lineare dallo stesso flusso concatenato; il suo valore sarà e = dΦC/dt, da cui si ricava l’EKT:

eg - e = Rieg = Ri + e = Ri + dΦC/dt

Svolgendo la dipendenza di ΦC dalla corrente i e introducendo il coefficiente di autoinduzione L (che viene appunto ricavato proprio in questo modo)...

e = dΦC/dt = N dΦ/dt = N d(Ni/R)/dt = (N2/R) di/dt = L di/dt si ottiene la già ben nota EKT:

eg = Ri + Ldi/dt

• Induttori elettrici mutuamente accoppiati:Il loro accoppiamento è realizzato tramite una struttura magnetica del tipo in figura, dove:

.gli eventuali tubi di flusso Φ di B si chiuderanno all’interno della regione magnetica, in quanto al di fuori di essa è µ=0..le correnti i1 e i2 che percorrono gli avvolgimenti sostengono l’induzione magnetica H e quindi i flussi di B=µH concatenati alle spire degli avvolgimenti, risultando ΦC1 = ±N1Φ, ΦC2 = ±N2Φ (i segni dei vari ΦC vanno presi a seconda che le normali delle spire degli avvolgimenti 1 e 2, il cui verso è dato dalle correnti i1 e i2, siano concordi o meno con il verso di Φ. Relativamente alla figura, si avrà: ΦC1 = +N1Φ, ΦC2 = -N2Φ)..se i flussi concatenati di B non sono costanti nel tempo, indurranno sulle relative bobine delle forze contro-elettromotrici di valore ei = dΦCi/dt

- Nel circuito magnetico risulteranno dunque essere presenti due generatori di f.m.m. pilotati in corrente N1i1 ed N2i2; segue la EKTM:

N1i1 -N2i2 = RΦ E’ immediato ricavare l’espressione del flusso Φ:

Φ = (N1i1 -N2i2)/R Analogamente a quanto fatto sopra, svolgendo la dipendenza dei ΦC1 e ΦC2 dalle correnti i1 e i2 si introducono (e ricavano) i coefficienti di auto e mutua induzione L1, L2 e M:

ΦC1 = N1 Φ = N1 (N1i1 -N2i2)/R = (N12/R)i1 - (N1N2/R)i2 = L1i1 - Mi2

ΦC2 = -N2 Φ = -N2 (N1i1 -N2i2)/R = (N22/R)i2 - (N1N2/R)i1 = L2i2 - Mi1


Appunti 42

assorbimento di energia e tipo di legame U-ΦΦΦΦ

Senza fare ipotesi sulla linearità della struttura magnetica considerata (quindisenza sfruttare né il Th.Hopkinson né il concetto di riluttanza) è possibile, dato uncircuito del tipo in figura, calcolare l’energia da essa assorbita attraverso imorsetti A e B durante l’intervallo di tempo [t1,t2].Tale energia sarà infatti pari a quella erogata dal generatore di corrente i(t), edessendo e(t) = dΦC/dt = NdΦ/dt, sarà dunque esprimibile come:

E12 = ∫t1t2 e(t)i(t) dt = ∫t1t2 (NdΦ/dt)i(t) dt = ∫Φ(t=1)Φ(t=2) Ni dΦ = ∫Φ1

Φ2 UdΦ

Detta energia corrisponde, graficamente, all’area sottesa dalla curva che fornisce lo statodel circuito nel piano ΦU.

A seconda del tipo di legame che intercorre tra Φ ed U si ha una diversificazione deicomportamenti energetici della struttura considerata, soprattutto per quanto riguarda lasua capacità di restituire o meno l’energia assorbita. Distinguiamo a questo proposito iseguenti 2 casi...

Relazione tra Φ ed U di tipo lineare:Risulta essere B=µH con µ=cost; valendo il teorema di Hopkinson si avrà dunque:

Ni = U = RΦda cui, sostituendo nell’espressione dell’energia:

E12 = ∫Φ1Φ2 (RΦ)dΦ = differenziale esatto ∫Φ1

Φ2 d(½RΦ2) = [½RΦ2]Φ1Φ2

che volendo, posso riscrivere come:[½RΦ2]Φ1

Φ2 = [½R2Φ2/R]Φ1Φ2 = [½N2i2/R]i1

i2 = [½Li2]i1i2

E’ immediato constatare che, invertendo gli estremi di integrazione si ottiene un’energia non assorbita, ma restituita: gliinduttori lineari scambiano solo energia: non la bruciano!!!

Relazione tra Φ ed U di tipo isteresi (simmetrico):La dipendenza di Φ da U (e quindi da i, essendo U=Ni) risulta non lineare, ma tale che:

.partendo da un’istante iniziale in cui il materiale sia smagnetizzato (B=H=0, Φ=U=0), al crescere di i, Φ aumenta in modo lineare fino a un punto detto “ginocchio di saturazione”..Oltre tale punto Φ non cresce più in modo direttamente proporzionale a U, quindi a i, ma giunge, anzi, ad un valore massimo detto “di saturazione”..Diminuendo il valore di i (finanche a valori negativi) i valori di Φ decrescono ma disegnando un percorso diverso da quello finora seguito; si giunge a un valore minimo, simmetrico di quello massimo di saturazione..Incrementando di nuovo i (a cui può dunque essere ad esempio assegnato un andamento sinusoidale) Φ cresce di nuovo fino al suo valore massimo già incontrato, percorrendo un cammino simmetrico a quello tracciato in precedenza..Il ciclo si ripete, senza passare più per l’origine.

Poiché il verso di percorrenza dei vari tratti è fissato, invertendo gli estremi di integrazione (che è poi quanto fattoappena sopra, nella descrizione del ciclo) si ottiene solo di percorrerne alternativamente uno dei due lati. L’energiaassorbita, anche in questo caso rappresentata dall’area sottesa alla curva (e quindi dall’area interna all’intero laccio, perun ciclo intero, v. pag. dopo) non viene mai restituita!!!


Appunti 43

PARTI 18 e 19MACCHINE ELETTRICHE

Le macchine elettriche in seguito illustrate sono schematizzabili come l’insieme di due avvolgimenti magneticamente accoppiati.Tale accoppiamento viene realizzato avvolgendo le due bobine attorno a una stessa struttura magnetica, generalmente realizzata inferro (o comunque in materiale ferromagnetico, ma sempre considerando un funzionamento lineare, sotto al “ginocchio disaturazione”).

La scelta del ferro si giustifica a causa del basso valore di riluttanza Rfe di quest’ultimo (o,equivalentemente, della sua alta permeabilità magnetica µfe): in tal modo si ottiene un elevatovalore del flusso Φ dell’induzione magnetica B senza che le correnti negli avvolgimentidebbano assumere valori troppo elevati.Dalla legge di Hopkinson segue infatti che, preso un normale avvolgimento come quello in figura:

N i = R ΦA parità di numero di spire N e di corrente i che le attraversa, il flusso Φ ottenuto saràtanto maggiore quanto più piccola è la riluttanza R considerata.

perdite del ferro

Si tratta di dissipazioni di energia, introdotte dalla struttura magnetica con esso realizzata, essenzialmente di due tipi:

Perdite per isteresi:Considerando, graficamente, le energie assorbite durante l’ “andata” e il “ritorno” diun ciclo di isteresi (vedi figura a lato), è facile constatare come l’energia in totaleassorbita corrisponda all’area sottesa in un periodo.Si tratta, come visto, di un’energia che non è possibile restituire invertendo i valoridi i (come fatto nel caso lineare); col procedere sinusoidale di i non viene dunque

scambiata con l’esterno, ma anzi, ne viene consumataaltrettanta ad ogni ciclo: in condizioni di non linearità,la struttura magnetica contenuta nell’avvolgimentodissipa energia!!!

Il valore dell’energia dissipata ad ogni ciclo dipende,come è evidente, dal valore massimo Bmax assunto dall’induzione magnetica B (o, analogamente dalvalore massimo Φmax assunto dal suo flusso Φ). A valori massimi maggiori corrisponderanno infatti areedi maggiori dimensioni racchiuse dalla curva tracciata sul piano U,Φ.

Perdite per correnti parassite:L’ipotesi semplificativa (volta a evitare che la struttura magnetica divenisse sede di fenomeni elettrici), a suo tempo fatta ponendonulla la conducibilità del ferro (γfe=0), non è in realtà esatta.La pur modesta conducibilità del ferro lo rende sede di tubi di flusso di G (che si chiudono all’interno della struttura); tali flussi sonosostenuti da una forza contro-elettromotrice e = -dΦC/dt (indotta nel ferro stesso dal variare del flusso Φ in esso) e dissipanoenergia a causa della resistenza elettrica R che la struttura magnetica oppone al passaggio di cariche.

Anche il valore di tali perdite dipende dal valore massimo Bmax assunto dall’induzione magnetica B = Bmaxcos(ωt):.Preso un generico tubo di flusso di G interno al ferro, esso racchiuderà una superficie S attraverso la quale si avrà un flusso concatenato: ΦC = SB = SBmaxcos(ωt).La forza contro-elettromotrice indotta su tale tubo (pensabile in effetti come una specie di “circuito”) sarà dunque pari a:

e(t) = -dΦC/dt = -SBmaxωsin(ωt).La potenza dissipata sarà quindi: p(t) = Ri2 = R(e/R)2 = e2/R = -S2Bmax

2ω2sin2(ωt)/R.E la potenza attiva non istantanea: P = 1/T∫0Tp(t)dt = S2Bmax

2ω2/2R = P(Bmax)

E’ possibile arginare le perdite per correnti parassite (a differenza di quelle per isteresi) prendendo nuclei in ferro non massicci, malaminati (costituiti, cioè, da un insieme di lamierini isolati elettricamente l’uno dall’altro e disposti in modo da riprodurre lageometria voluta per la struttura); i “circuiti elettrici” dati dai tubi di flusso di G sono così costretti a chiudersi all’interno di ognilamierino, ottenendo dunque che: .Calano le superfici S da essi racchiuse, quindi i flussi ΦC ad esse concatenati, quindi le forze contro-elettromotrici, che

stanno, come visto, al numeratore dell’espressione della potenza: p = e2/R e→0→ 0.Calando le possibili sezioni σ dei tubi di flusso di G, aumentano le resistenze elettriche R=l/εσ (offerte dal ferro al passaggio delle cariche in essi), che si trovano ai denominatori delle potenze dissipate: p = e2/R R→∞→ 0

(Anche in presenza di materiali ferromagnetici non lineari ètuttavia possibile ottenere andamenti abbastanza lineari:occorre soltanto considerare valori di i non troppo alti, cioètali che Φ rimanga al di sotto del ginocchio di saturazione).

Appunti 44

trasformatore monofase spazi

E’ una macchina statica (schematizzabile come in figura) costituita essenzialmente da 2 avvolgimenti avvolti su di unnucleo laminato di materiale ferromagnetico (il cui comportamento sia supposto lineare, tramite un utilizzo al di sottodel ginocchio di saturazione ed altre approssimazioni).

.Il primo di essi viene alimentato dall’esterno con una tensione v1 e prende il nome di “avvolgimento primario”; le grandezze elettriche i1 e v1 che lo descrivono sono prese.coordinate in modo che il loro prodotto p1 rappresenti la potenza assorbita dall’alimentazione esterna..Il secondo, detto “avvolgimento secondario”, alimenta invece un carico C; le grandezze elettriche i2 e v2 che lo descrivono sono prese in modo che il loro prodotto p2

indichi la potenza fornita al carico (cioè quella da esso assorbita).

Alimentando con un generatore di tensione sinusoidale v1 il primario, la corrente i1 che si instaura genera un flusso Φdell’induzione magnetica B. Tale flusso, variando nel tempo, induce forze contro-elettromotrici in entrambi gliavvolgimenti; tali forze sono valutabili tramite i flussi concatenati.Facendo cadere l’approssimazione di permeabilità nulla dell’aria (µ0=0), non tutti i tubi di flusso di B si chiuderannoall’interno della struttura magnetica concatenandosi ad entrambi gliavvolgimenti; oltre al “flusso principale” Φ esisteranno, infatti, anche i“flussi di dispersione primario e secondario” ΦCd1 e ΦCd2, aventi tubi diflusso chiusi nell’aria e concatenati solo ad una delle due bobine(rispettivamente, la primaria e la secondaria; essendo chiusi in aria, taliflussi avranno andamento lineare nonostante la saturazione dellastruttura magnetica - Maria dixit).Il flusso totale concatenato a ogni singola bobina può essere perciòcalcolato, supponendo un comportamento lineare anche per il flussoprincipale, come:

ΦC1 = N1Φ + ΦCd1 ΦC2 = N2Φ + ΦCd2

Sostituendo le espressioni dei vari flussi nel sistema descrivente il circuito elettrico dato... v1 - dΦC1/dt = R1i1

-v2 - dΦC2/dt = R2i2

...si ottiene (in forma embrionale) il sistema matematico che rappresenta il funzionamento di un trasformatore monofaseavente rappresentazione circuitale come quella in figura (anch’essa embrionale, perché di scarsa utilità):

v1 = R1i1 + (L1 + ld1)di1/dt + M di2/dt - v2 = R2i2 + (L2 + ld2)di2/dt + M di1/dt

Un trasformatore trifase presenterebbe, invece, gliavvolgimenti primario e secondario costituiti non da unasola bobina, ma ciascuno da una terna di bobinecollegate a stella o a triangolo.

dove: .Φ = (N1i1+N2i2)/R .ΦCd1 = ld1i1

.ΦCd2 = ld2i2

.L1 = N1

2/R .L2 = N2

2/R .M = N1N2/R


Appunti 45

E’ possibile ottenere una più semplice e utile rappresentazione circuitale del trasformatore esprimendo l’uno in funzionedell’altro, dato il loro evidente legame, i coefficienti di induzione...

L1 = N12/R = L1

L2 = N22/R = L1(N2/N1)

2 = L1/n2

M = N1N2/R = L1(N2/N1) = L1/n...ed operando opportuni cambi di variabile per introdurre le cosiddette “grandezze di secondario riferite a primario”(dove il rapporto n = N1/N2 tra il numero di spire dell’avvolgimento primario e del secondario prende il nome di“rapporto di trasformazione”):

v12 = v2(N1/N2) = v2 ni12 = i2(N2/N1) = i2 / nR12 = R2(N1/N2)

2 = R2 n2

ld12 = ld2(N1/N2)2 = ld2 n2

Tali grandezze, introdotte nel sistema scritto in precedenza, portano alla descrizione di un nuovo sistema elettrico detto“rete equivalente del trasformatore”...

v1 = R1i1 + (L1 + ld1)di1/dt + M di2/dt - v2 = R2i2 + (L2 + ld2)di2/dt + M di1/dt

↓

v1 = R1i1 + (L1 + ld1)di1/dt + L1(N2/N1)di2/dt - v2 (N1/N2) = R2i2 + [L1(N2/N1)

2 + ld2]di2/dt + L1(N2/N1)di1/dt (N1/N2)

↓

v1 = R1i1 + (L1 + ld1)di1/dt + L1di12/dt - v12 = (N1/N2)

2R2(N2/N1)i2 + [L1(N2/N1) + ld2(N1/N2)]di2/dt + L1di1/dt

↓

v1 = R1i1 + (L1 + ld1)di1/dt + L1di12/dt - v12 = R12i12 + [L1 + ld2(N1/N2)

2](N2/N1)di2/dt + L1di1/dt

↓

v1 = R1i1 + (L1 + ld1)di1/dt + L1di12/dt - v12 = R12i12 + (L1 + ld12)di12/dt + L1di1/dt

...avente rappresentazione circuitale del tipo:

• Note le grandezze di secondario riferite a primario v12 e i12, sono note anche le grandezze di secondario v2 e i2.

• La corrente iµ è detta “corrente magnetizzante” ed è nota se è noto il flusso Φ (e viceversa); risulta infatti:iµ = i1 + i12 = i1 + (N2/N1)i2 = (N1i1+N2i2)/N1 = RΦ/N1

• Tale corrente può essere vista come la corrente di primario che, in assenza di corrente nel secondario, sosterrebbe lostesso flusso Φ nella struttura magnetica; dalla precedente equazione risulta infatti:

RΦ = N1iµ = N1iµ + N2i2

• E’ immediato osservare che la potenza p12 valutata sulle grandezze di secondario riferite a primario è uguale allapotenza p2 realmente fornita al carico C:

p12 = R12i122 = [R2 n2] [i2 /

n2] = R2i22 = p2

Le EKT relative alle due maglie di talecircuito sono infatti: v1 = R1i1 + ld1di1/dt + L1d(i1+i12)/dt -v12 = R12i12 + ld12di12/dt + L1d(i1+i12)/dtdove: i1 + i12 = iµ


Appunti 46

Il circuito ottenuto non tiene, tuttavia, ancora conto delle perdite del ferro. Queste possono essere “simulate”, nellarappresentazione strutturale e circuitale del trasformatore, introducendo un terzo avvolgimento fittizio percorso da unacorrente i3 e chiuso su un’opportuna resistenza R3 tale che la potenza ivi dissipata coincida con quella realmentedissipata nel ferro (si considerano trascurabili i flussi di dispersione ad esso corrispondenti - non si tratta infatti di unavvolgimento fisicamente presente, ma di un semplice barbatrucco costruito ad hoc).Dallo schema in figura si ottiene:

v1 = R1i1 + dΦC1/dt = R1i1 + N1dΦ/dt + ld1di1/dt - v2 = R2i2 + dΦC2/dt = R2i2 + N2dΦ/dt + ld2di2/dt 0 = R3i3 + dΦC3/dt = R3i3 + N3dΦ/dt

Dalla EKTM applicata alla struttura magnetica data si ha...RΦ = N1i1 + N2i2 + N3i3

...che sostituita nel precedente sistema permette di ricavare icoefficienti di induzione...

Lk = Nk2/R k=1,2,3

Mhk = NhNk/R h,k=1,2,3 h≠k ...da cui il sistema equivalente:

v1 = R1i1 + (L1+ld1)di1/dt + M12di2/dt + M13di3/dt - v2 = R2i2 + (L2+ld2)di2/dt + M12di1/dt + M23di3/dt 0 = R3i3 + L3di3/dt + M13di1/dt + M23di2/dt

Introdotte le già viste grandezze di secondario riferite a primario e posto che sia (detto m = N1/N3)...ia = -(N3/N1)i3 = - i3 / mR0 = (N1/N3)

2R3 = R3 m2

...sostituendo nel precedente sistema si ottengono le equazioni della rete equivalente del trasformatore che tiene contoanche delle perdite del ferro:

v1 = R1i1 + (L1+ld1)di1/dt + L1di12/dt - L1dia/dt - v12 = R12i12 + (L1+ld12)di12/dt + L1di1/dt - L1dia/dt 0 = R0ia + L1dia/dt - L1di1/dt - L1di12/dt

Tale rete ha la seguente rappresentazione circuitale:

• La corrente ia prende il nome di “corrente attiva”.• La corrente iµ = i1+i12-ia è ancora detta “corrente magnetizzante”


Appunti 47

Rete equivalente del trasformatore (con perdite del ferro) in regime di funzionamento in corrente alternata:

Siano, per ipotesi, il circuito magnetico lineare e l’avvolgimento primario alimentato con tensione sinusoidale v1 inpulsazione ω. Operando le trasformate di Steinmetz delle equazioni fin qui ottenute, si ha:

v1 = R1i1 + (L1+ld1)di1/dt + L1di12/dt - L1dia/dt - v12 = R12i12 + (L1+ld12)di12/dt + L1di1/dt - L1dia/dt 0 = R0ia + L1dia/dt - L1di1/dt - L1di12/dt

↓ (Steinmetz)

V1 = [R1 + j(X0+Xd1)] I1 + jX0 I12 - jX0 Ia

- V12 = [R12 + j(X0+Xd12)] I12 + jX0 I1 - jX0 Ia

0 = [R0 + jX0] Ia - jX0 I1 - jX0 I12

• X0 = ωL1 è detta “reattanza magnetizzante”• Xd1 = ωld1 è detta “reattanza di dispersione primaria”• Xd12 = ωld12 è detta “reattanza di dispersione di secondario riferita a primario”• A regime (in particolare per f = ω/2π = 50 Hz) i valori delle resistenze R1 ed R12 e della reattanze di dispersione Xd1

e Xd12 sono qualche “percento” della impedenza del carico, la quale è a sua volta qualche “percento” di R0 e X0.

Riprendendo in mano il circuito con ancora le grandezze di secondario non riferite a primario e considerando latrasformata di Steinmetz del sistema che lega le correnti e il flusso Φ dell’induzione magnetica...

v1 - N1dΦ/dt = R1i1 + ld1di1/dt + -v2 - N2dΦ/dt = R2i2 + ld2di2/dt 0 - N3dΦ/dt = R3i3

RΦ = N1i1 + N2i2 + N3i3

↓ (Steinmetz)

V1 - jωN1Φ• = (R1 + jωld1) I1

- V2 - jωN2Φ• = (R2 + jωld2) I2

+ 0 - jωN3Φ• = R3 I3

RΦ• = N1I1 + N2I 2 + N3I 3

...si ottiene che, risultando molto piccoli i coefficienti di I1 e I2, è possibile approssimare che i valori delle tensioni diprimario e secondario siano direttamente proporzionali al numero di spire che costituisce il relativo avvolgimento (ciò èvalido, per quanto detto sopra, in particolare per il primario: fissato un certo N1, l’induzione magnetica sarà fortementecondizionata dal valore assunto da V1):

V1 =≈ jωN1Φ•

-V2 ≈≈ jωN2Φ•

Da cui, volendo, anche l’approssimazione:

V1/V2 ≈ N1/N2

Nota: non disponendo di altro carattere, “Φ•”rappresenta il numero complesso “ΦejαΦ” associatoa Φ nell’insieme di pulsazione complessa s=jω)

Scopo di un trasformatore di potenza è infatti quellodi passare da potenze alte a basse e viceversa

Esempio: ponendo N2>>N1 si può ottenere V2>>V1

da cui p2 (∝V2) >> p1 (∝V1)


Appunti 48

Funzionamenti particolari:

Il funzionamento per cui un dispositivo (in questo caso il trasformatore) è stato progettato è detto “nominale”; tuttavia,per il trasformatore, hanno particolare interesse due tipi particolari di funzionamento, dai quali è possibile ricavareinformazioni utili per gli altri tipi:

Funzionamento a vuoto:- La corrente secondaria è nulla (I12o=0 ⇒ I2o=0)- La corrente primaria è molto piccola rispetto al suo valore nominale (I1o=Iµ+Ia= somma di “percenti” della corrente nominale)

- Le perdite nel rame sono trascurabili (R12 ignorata perché I12o=0; R1 ignorabile perché in serie con la più grande Z0=R0//jX0

e perché, inoltre, I1o è molto piccola)

- Se V1 = nominale, allora le perdite nel ferro coincidono con quelle riscontrabili nel funzionamento nominale (Dati i punti precedenti, è qui particolarmente valida l’approssimazione V1 = jωN1Φ•; pertanto V1 nominale ⇒ Φ• nominale ⇒ perdite nominali)

- V1/V2 = N1/N2 (In quanto nel presente funzionamento risulta: V1 = V12 = V2 n = V2(N1/N2) )

Funzionamento in cortocircuito:- La tensione secondaria è nulla (V12cc=0 ⇒ V2cc=0)- La tensione primaria è molto piccola rispetto al suo valore nominale (Essendo l’impedenza complessiva molto bassa, ciò è d’uopo per evitare alti valori di I1cc e funzionamenti pericolosi o dannosi per l’apparrecchio)

- Le perdite nel ferro sono trascurabili (Anche se con minor precisione, si può anche qui approssimare V1=jωN1Φ•; ma V1cc è molto piccola!)

- Le perdite nel rame coincidono in pratica con quelle riscontrabili nel funzionamento nominale (Alimentando il primario con un’adeguata V1cc, si ottengono infatti praticamente le correnti nominali)

- I1/I2 = N2/N1 (Immediata conseguenza del fatto che I1cc = -I2cc = -I2 / n = -I2(N2/N1) )

Dato un trasformatore reale, servendosi di questi funzionamenti e dei valori di V1eff, I1eff, P (rilevati di volta in voltada opportuni strumenti di misura) è possibile ricavare i valori da assegnare ai componenti che compaiono nella rete chemodellizza il trasformatore stesso. [Nota: i valori di seguito sono tutti moduli!!!].

Dal funzionamento a vuoto....Resistenza R0:

Po = Pdissipata dal ferro = R0Ia2 = R0(V1/R0)

2 = V12/R0 ⇒ R0 = V1

2/Po

.Reattanza magnetizzante X0:Po = V1I1ocos(ϕo) ⇒ ϕo = acos(Po/V1I1o)Qo = X0Iµ

2 = X0(V1/X0)2 = V1

2/X0 ⇒ X0 = V12/Qo = V1

2/Potg(ϕo)

Dal funzionamento in cortocircuito...(è possibile calcolare solamente il valore complessivo delle impedenze di primario e di secondario riferito a primario, cioè ivalori RT=R1+R12, XT=Xd1+Xd12; l’esperienza mostra, però, che è possibile ottenere una buona modellizzazionesemplicemente assegnando ad ognuno dei due avvolgimenti la metà del valore totale trovato).Resistenza totale RT:

Pcc = V1ccI1cccos(ϕcc) ⇒ cos(ϕcc) = Pcc/V1ccI1cc

RT = ZTcos(ϕcc) = (V1cc/I1cc)(Pcc/V1ccI1cc) ⇒ RT = Pcc/I1cc2

.Induttanza di dispersione totale Xdt: ________.XdT = √ ZT

2 - RT2 ⇒ XdT = √ ZT

2 - RT2

“Rete di Kapp”: R0//jX0 viene in pratica by-passata, essendo molto maggiore di R12+jX12


Appunti 49

Trasformatori di misura:Una applicazione pratica di un trasformatore, sempre facendo ricorso ai due suddetti particolari tipi di funzionamento,riguarda la misurazione di correnti e tensioni talmente elevate da non poter essere direttamente misurate dai normalivoltmetri e amperometri.

Trasformatore voltmetrico:Il suo primario è alimentato con la tensione V1 che si vuole misurare, mentre ilsecondario è chiuso su di un volt-metro. Poiché, come noto, l’impedenza del voltmetro èmolto elevata, il funzionamento del trasformatore può essere approssimato a unfunzionamento a vuoto, nel quale risulta V1/V2 = N1/N2.Il voltmetro fornisce il valore di V2 dal quale, noto il rapporto di trasformazione N1/N2,si risale alla tensione V1.A causa delle limitazioni dovute al voltmetro, la tensione V2 deve però essere mantenutasufficientemente bassa; questo risultato è ottenuto facendo sì che, per caratteristichecostruttive, risulti N2<<N1, da cui V2<<V1.

Trasformatore ampermetrico:Il suo primario è percorso dalla corrente I1 che si vuole misurare, mentre il secondario èchiuso su di un amperometro. Poiché, come noto, l’impedenza dell’amperometro èmolto bassa, il funzionamento del trasformatore può essere approssimato a unfunzionamento in cortocircuito, nel quale risulta I1/I2 = N2/N1.L’amperometro fornisce il valore di I2 dal quale, noto l’inverso N2/N1 del rapporto ditrasformazione, si risale alla corrente I1.A causa delle limitazioni dovute all’amperometro, la corrente I2 deve però essere mantenuta sufficientemente bassa;questo risultato è ottenuto facendo sì che, per caratteristiche costruttive, risulti N1<<N2, da cui I2<<I1.

(Nota: la presenza del tasto aperto, in figura, è dovuta alla necessità di impedire un funzionamento a vuoto del trasformatorein un eventuale istante in cui fosse disinserito l’amperometro (il tasto viene dunque chiuso ad amperometro scollegato)

Rendimento di un trasformatore:Analogamente a quanto visto in precedenza, si definisce rendimento del trasformatore il rapporto tra la potenza attivanon istantanea P2 fornita al carico dal suo secondario e la potenza attiva non istantanea P1 assorbita dal suo primario:

η ≡ P2 / P1

Essendo il valore del rendimento di un trasformatore molto vicino a uno, un piccolo errore nella misurazione di P1 o P2

può portare anche a notevoli errori (del tipo rendimenti η>1 !!!). Si preferisce pertanto ricorrere ad una definizioneconvenzionale di rendimento, quale quella data dalla relazione:

η ≡ P2 / ( P2 + PFe + PCu ) dove .P2 rappresenta la potenza fornita la carico.PFe rappresenta la potenza dissipata a causa delle perdite del ferro.PCu rappresenta la potenza dissipata a causa delle perdite del rame

In tal modo, la misura del rendimento è dunque ricondotta alla misura delle perdite del ferro e del ramo (mentre ilvalore di P2 è quanto si legge sulla targa del trasformatore stesso). Tali perdite vengono desunte misurando, tramite unwattmetro, la potenza assorbita dal trasformatore nei funzionamenti...

.a vuoto + V1 nominale ⇒ Passorbita (e misurata dal wattmetro) = PFe

.in cortocircuito + V1cc t.c. correnti nominali⇒ Passorbita (e misurata dal wattmetro) = PCu


Appunti 50

macchine a corrente continua

A differenza che nel trasformatore, in una macchina a corrente continua vi sono parti in movimento; in essa avviene dunque unatrasformazione di energia meccanica in elettromagnetica (funzionamento da generatore) o viceversa (funzionamento da motore).

La struttura di una tale macchina è rappresentabile tramite la sezione riprodotta in figura.

• Il cilindro esterno, detto “statore” in quanto fisso, è cavo e la sua superficieinterna presenta due espansioni (o “poli” sud e nord) attorno ai quali sonopresenti due avvolgimenti in qui circola una stessa corrente continua I1.Detta corrente provoca dunque un flusso Φ all’interno di tali avvolgimenti equindi delle espansioni.

• L’anello interno, detto “rotore” in quanto mobile, ha la possibilità di ruotare(sia ωr la sua velocità angolare). L’avvolgimento che lo circonda presentaun altissimo numero di spire, tutte disposte in modo perfettamentesimmetrico rispetto al centro (data una qls spira, ne esisterà anche unaopposta ad essa). In esse può circolare una corrente I2.

• Le due (o anche più, purché sempre a coppie) “spazzole” A e B, dotateognuna di un morsetto di accesso, sono corpi conduttori (es: grafite) chegarantiscono un contatto elettrico al passaggio della generica spiradell’avvolgimento di rotore. Tra di essi è presente (raccolta dalle spire dirotore, o imposta ad esse dalle spazzole stesse) una tensione E.

Essendo B un campo ovunque solenoidale (divB=0), i suoi tubi di flusso che attraversano gliavvolgimenti statorici saranno poi catturati (a meno delle linee di dispersione, qui trascurate)dall’anello interno e si chiuderanno come illustrato in figura. Data la perfetta simmetria dell’interastruttura rispetto all’asse orizzontale e verticale, è lecito porre che il flusso Φ che, in totale,attraversa ogni avvolgimento statorico si equiripartisca come Φ/2 e Φ/2 tra il tubo superiore e quelloinferiore.A causa del passaggio di Φ nell’anello interno, sugli avvolgimenti di rotore vi potranno essere f.e.m.indotte dalle sue variazioni. Pur essendo Φ costante (essendo continua la corrente I1 chelo genera), per valutare i flussi concatenati alle spire occorre tuttavia tenere conto delfatto che, a causa della rotazione ωr, una stessa spira si troverà ad occuparesuccessivamente le posizioni A, B, C, D in figura. Fissata la normale n, il flussoconcatenato sarà di volta in volta pari a...

ΦCA = Φ/2 ΦCB = 0 ΦCC = -

Φ/2 ΦCD = 0...assumendo con continuità tutti i valori intermedi (si potrebbe pensare ad unandamento sinusoidale, ma a causa della saturazione del ferro si possono avvertire glieffetti dovuti anche ad una terza armonica).Variando il flusso concatenato a ogni spira di rotore, su ognuna di esse sarà indotta unaforza contro-elettromotrice pari a e = - dΦC/dt. Ciononostante, data la simmetriadell’avvolgimento rotorico, l’insieme delle coppie di spire opposte presenterà flussiconcatenati e f.e.m. uguali e opposte, quindi in totale nulle.

In mancanza delle spazzole A e B, la situazione creatasi non porterebbe a nulla. Tali spazzole, invece, essendo istante per istante incontatto elettrico con le spire di rotore, raccolgono una tensione E equivalente alla somma delle forze contro-elettromotrici presentisu una delle due metà dell’avvolgimento rotorico.Tale tensione può essere espressa come:

E = ± k’ Φ ωr dove:.k’ è una “costante di macchina” che tiene conto di π, N, etc...

Nell’avvolgimento rotorico si genererà allora un’adeguata corrente di rotore I2, la quale sosterrà un ulteriore flusso di B che andrà asovrapporsi (anche se non vi è, a rigore, linearità) a quello principale Φ entrante/uscente dai poli, senza tuttavia alterarlocomplessivamente a causa della simmetria costruttiva della macchina (eventuali apporti a Φ/2 nella metà superiore vengono bilanciatida pari smorzamenti di Φ/2 in quella inferiore, o viceversa).Il flusso totale Φ risulta quindi essere in pratica sostenuto dalla sola corrente di statore I1, permettendo così di scrivere:

RΦ = N1I1

Da cui l’espressione di E come:E = ± k I1 ωr dove: .k tiene ora conto anche di R e N1.

Analogamente a quanto già visto a proposito degli avvolgimenti mobili, tra l’avvolgimento distatore e quello di rotore esisterà infine una coppia C, di segno sempre opposto a E, la cuiespressione sarà data, come noto, da:

C = - ± k I1 I2

A seconda che tale coppia C sia concorde o meno alla velocità angolare ωωωωr, si avrà, rispettivamenteun “motore” (cioè l’omonimo funzionamento) o una “dinamo” (cioè un funzionamento dageneratore).

.il ± dipende dalla positività degli avvolgimenti (le spire di rotore potrebbero infatti venire percorse da una corrente che generi una normale opposta a quella assegnata per trovare ΦC)

Schematizzazione circuitale:


Appunti 51

Esempio di funzionamento da motore: Dato un circuito come quello in figura (in cui, dunque, l’avvolgimento distatore sia collegato in parallelo alla corrente di rotore), chiudendo il tasto T1

in figura si dà origine a un transitorio elettrico e a un transitorio meccanico.Si raccolgono dunque delle correnti i1 e i2 entrambe diverse da zero, da cuiuna coppia meccanica C = k i1i2 ≠0. Il carico collegato all’albero offrirà, invece, una coppia resistente Cr(eventualmente data soltanto dall’attrito se nessun carico è agganciato) chesupponiamo essere minore della coppia C (anche perché, altrimenti, non simuove nulla, anzi...): Cr < C. La coppia C, presente tra l’avvolgimento di statore e quello di rotore,prevale e mette in moto l’avvolgimento di rotore con velocità angolare ωr ≠ 0. Le spazzole raccolgono dunque una tensione E non nulla, ma pari a: E = k i1ωr. Tale tensione opererà come una forza contro-elettromotrice sulla corrente di rotore i2, la quale dunque decresce;conseguentemente, anche la coppia C verrà decrementata fino ad eguagliare il valore di Cr.Ricordando che “(coppia totale C-Cr)=(momento d’inerzia J)(variazione della velocità angolare dωr/dt)”, il processosopra descritto può essere seguito tramite le equazioni...

v = R1i1 + L1di1/dt v = k ωri1 + R2i2 + L2di2/dtdωr/dt = 1/J(C-Cr) = 1/J(k i1i2-Cr)

...che costituiscono, come è evidente, un sistema di 3 equazioni differenzialinon lineari (data la presenza dei termini in ωri1 e i1i2) a coefficienti costantinelle 3 variabili i1 i2 e ωr.

A regime, la coppia C uguaglia in modulo la coppia resistente Cr.Ragionando, ma anche semplicemente guardando la terza equazione delprecedente sistema, si vede che questo comporta che la velocità angolare ωr

rimanga costante (dωr/dt=0). La tensione v è costante per ipotesi (dovendoprodurre una corrente i1 che sia continua) e stabilizzandosi C diverrà dunquecostante anche la corrente i2 (essendo C=ki1i2).In tali condizioni, il sistema matematico descrivente il circuito si semplificanotevolmente, risultando:

v = R1i1

v = k ωri1 + R2i2

dωr/dt = 0

L’angolo di SPICE:La terza equazione dei sistemi precedenti esprime una relazione meccanica; una possibile interpretazione circuitale dellastessa (ad esempio per introdurre le relative grandezze in un programma quale SPICE) potrebbe essere quella riportatain figura (dove si è supposto che il carico agganciato all’albero sianullo).Possibili valori per i componenti presenti potrebbero essere, adesempio:

R1 = 200 Ω << R2 = 0,75 ΩL1 = 10 H << L2 = 10 mHV = 120 VJ = 1,7 Kgmk = 1,3333...

Dati questi valori, e avendo assunto che sia Cr = 0, a regime si avrà:.una coppia motrice C = k i1i2 = 0.una corrente di rotore i2 = 0

Altri valori a regime (ma non ho capito il perché, né ho avuto la voglia di provare a farlo...) sono:.E = 120.ωr = 150giri/min

NOTA: un generatore pilotato è descritto,in SPICE, da qualcosa del tipo:_

° ° boh?)Ma non ce l’ha un help in linea ‘sto programma?

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[Ingegneria - ITA]Elettrotecnica