INTEGRACIN “POR INTEGRACIN “POR PARTES”PARTES”PARTES”blog. Clculo de primitivas MATEMTICAS II 1 INTEGRACIN “POR INTEGRACIN “POR PARTES”PARTES”PARTES” 1) ∫∫∫∫xsenxdx

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  • Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 1

    INTEGRACIN POR INTEGRACIN POR INTEGRACIN POR INTEGRACIN POR PARTESPARTESPARTESPARTES

    1) x senxdx

    Si derivamos x se simplifica y al integrar sen x no se complica la integral. Por tanto, tomamos:

    u x du dx

    dv sen xdx v senxdx cosx

    = =

    = = =

    xsen xdx xcosx cosx dx xcosx senx C= + = + +

    2) x arctgxdx

    Tomamos:

    2

    dxu arctgx du

    1 x

    dv dx v dx x

    = =+

    = = =

    ( )22 2

    x 1 2x 1arc tgx dx xarctgx dx xarctgx dx xarctgx ln 1 x C

    2 21 x 1 x= = = + +

    + +

    3) 4 xx e dx

    Si derivamos x4 se simplifica y al integrar ex no se complica la integral. Por tanto, tomamos:

    4 3u x du 4x dx= = x x xdv e dx v e dx e= = =

    = 4 x 4 x 3 xx e dx x e 4 x e dx Volvemos a aplicar el mismo procedimiento:

    3 2u x du 3x dx= = x x xdv e dx v e dx e= = =

    = 3 x 3 x 2 xx e dx x e 3 x e dx Siguiendo el mismo razonamiento obtenemos:

    = 2 x 2 x xx e dx x e 2 xe dx

    = = + x x x x xxe dx xe e dx xe e C Por tanto, la integral quedara:

    = + 2 x 2 x x xx e dx x e 2xe 2e = + 3 x 3 x 2 x xx e dx x e 3x e 6x 6e

    = + + + 4 x 4 x 3 x 2 x x xx e dx x e 4x e 12x e 24xe 24e C

  • Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 2

    4) 2sen xdx

    = =

    = = =

    u senx du cos xdx

    dv sen xdx v senxdx cosx

    = + = + = + 2 2 2 2sen xdx senxcosx cos xdx senxcosx (1 sen x)dx senxcosx x sen xdx = + 22 sen x dx senxcos x x = + 2

    1 1sen xdx senxcosx x

    2 2

    5) xlnxdx

    Tomamos:

    1u lnx du dx

    x= = 21dv xdx v x dx x

    2= = =

    2 22 2 2 2 21 1 x 1 1 1 1 x 1 1xlnxdx x lnx dx x lnx x dx x lnx C x lnx x C

    2 2 x 2 2 2 2 2 2 4= = = + = +

    6) 2xx e dx

    Tomamos:

    u x du dx= = 2x 2x1dv e dx v e2

    = =

    2x 2x 2x 2x 2x 2x 2xx 1 x 1 x 1xe dx e e dx e 2e dx e e2 2 2 4 2 4

    = = =

    7) 3x cos xdx

    Si derivamos x se simplifica y al integrar cos x no se complica la integral. Por tanto, tomamos:

    = =

    = = =

    u x du dx

    dv cosx dx v cos xdx senx

    = = = + + 3xcosx dx 3 xcosx dx 3xsenx 3 senx dx 3xsenx 3cosx C

    8) ln(2x 1)dx

    Tomamos:

    = =

    = = =

    2u ln(2x 1) du dx

    2x 1

    dv dx v dx x

    = = + = + 2x 1 1

    ln(2x 1)dx xln(2x 1) dx xln(2x 1) 1 dx x ln(2x 1) x ln(2x 1) C2x 1 2x 1 2

  • Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 3

    9) xx

    dxe

    Tomamos:

    = =

    = = = = x x

    x x

    u x du dx

    1 1dv dx v e dx e

    e e

    = = + = + xx x x x x xx x x 1 x 1

    dx e dx dx Ce e e e e e

    10) arc tgxdx

    Tomamos:

    2

    dxu arctgx du

    1 x

    dv dx v dx x

    = =+

    = = =

    ( )22 2

    x 1 2x 1arc tgx dx xarctgx dx xarctgx dx xarctgx ln 1 x C

    2 21 x 1 x= = = + +

    + +

    11) arccos xdx

    Tomamos:

    = =

    = = =

    2

    dxu arccosx du

    1 x

    dv dx v dx x

    = + = = +

    2

    2 2

    x 1 2xarccosx dx xarccos x dx xarccosx dx xarccosx 1 x C

    21 x 1 x

    12) 2x lnx dx

    Tomamos:

    = =

    = = =2 2 3

    1u lnx du dx

    x1

    dv x dx v x dx x3

    = = = + = + 3 3

    2 3 3 2 3 3 31 1 x 1 1 1 1 x 1 1x lnx dx x lnx dx x lnx x dx x lnx C x lnx x C3 3 x 3 3 3 3 3 3 9

  • Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 4

    13) 2x senxdx

    Si derivamos x se simplifica y al integrar sen x no se complica la integral. Por tanto, tomamos:

    = =

    = = =

    2u x du 2xdx

    dv sen xdx v senxdx cosx

    = + 2 2x senx dx x cos x 2 xcosx dx

    Resolvemos la integral xcos xdx por partes.

    Tomamos:

    = =

    = = =

    u x du dx

    dv cosx dx v cos xdx senx

    = = + + xcos xdx xsenx senx dx xsenx cosx C

    Por tanto:

    = + + + 2 2x senx dx x cos x 2xsenx 2cosx C

    14) 2 2xx e dx Tomamos:

    = =

    = =

    2

    2x 2x

    u x du 2xdx

    1dv e dx v e

    2

    = = 2 2

    2 2x 2x 2x 2x 2xx 1 xx e dx e 2xe dx e xe dx2 2 2

    Resolvemos la integral 2xxe dx por partes. Para ello, tomamos:

    u x du dx= = 2x 2x1dv e dx v e2

    = =

    2x 2x 2x 2x 2x 2x 2xx 1 x 1 x 1xe dx e e dx e 2e dx e e2 2 2 4 2 4

    = = = Por tanto:

    = + + = + +

    2 2

    2 2x 2x 2x 2x 2xx x 1 x x 1x e dx e e e C e C2 2 4 2 2 4

  • Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 5

    15) xe senxdx

    Tomamos:

    = =

    = = =

    x xu e du e dx

    dv sen xdx v senxdx cosx

    = + x x xe senxdx e cos x e cosxdx

    Resolvemos la integral xe cosx dx por partes. Tomamos:

    = =

    = = =

    x xu e du e dx

    dv cosx dx v cos xdx senx

    = x x xe cos xdx e senx e senxdx

    Por tanto:

    = + x x x xe sen xdx e cosx e sen x e senxdx = + x x x2 e senx dx e cos x e senx

    ( )= + + = + x x x x1 1 1

    e senxdx e cos x e sen x C e sen x cosx C2 2 2

    16) 2 x(x 1) e dx++++

    Tomamos:

    = + = +

    = = =

    2

    x x x

    u (x 1) du 2(x 1)dx

    dv e dx v e dx e

    + = + + 2 x 2 x x(x 1) e dx (x 1) e 2 (x 1)e dx

    Resolvemos la integral + x(x 1)e dx por partes. Tomamos:

    = + =

    = = =x x x

    u (x 1) du dx

    dv e dx v e dx e

    + = + = + = x x x x x x(x 1)e dx (x 1)e e dx (x 1)e e xe Por tanto:

    + = + + = + + 2 x 2 x x 2 x(x 1) e dx (x 1) e 2xe C (x 1)e C

  • Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 6

    17) xx2 dx

    Tomamos:

    x x x

    u x du dx

    1dv 2 dx v 2 dx 2

    ln2

    = =

    = = =

    ( )x

    x x x x2

    x 1 x 2x2 dx 2 2 dx 2 C

    ln2 ln2 ln2 ln2

    = + = +

    18) 3x senxdx 3 2u x du 3x dx

    dv sen xdx v senxdx cosx

    = =

    = = =

    3 3 2x senx dx x cosx 3 x cosx dx= +

    Resolvemos la integral 2x cosxdx por partes. Tomamos:

    2u x du 2xdx

    dv cosx dx v cos xdx senx

    = =

    = = =

    2 2x cosx dx x senx 2 xsenxdx= Tomamos:

    u x du dx

    dv sen xdx v senxdx cosx

    = =

    = = =

    xsen xdx xcosx cosxdx xcos x senx= + = +

    Por tanto:

    2 2x cosxdx x senx 2xcosx 2senx= +

    3 3 2x senx dx x cosx 3x senx 6xcos x 6senx C= + + +

  • Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 7

    19) xe cosx dx

    Tomamos:

    x xu e du e dx

    dv cosx dx v cos xdx senx

    = =

    = = =

    x x xe cos xdx e senx e senxdx=

    Resolvemos la integral xe senxdx por partes. Tomamos:

    x xu e du e dx

    dv sen xdx v senxdx cosx

    = =

    = = =

    x x xe senxdx e cos x e cosxdx= +

    Por tanto:

    x x x xe cos xdx e senx e cos x e cosx dx= + x x x2 e cosx dx e senx e cosx= +

    ( )x x1e cos xdx e senx cosx C2

    = + +

    20) 35 xx e dx

    Tomamos:

    3 3 3

    3 2

    2 x 2 x x

    u x du 3x dx

    1dv x e dx v x e dx e

    3

    = =

    = = =

    ( )3 3 3 3 3 35 x 3 x 2 x x x x 31 1 1 1x e dx x e x e dx e e C e x 1 C3 3 3 3

    = + = + = + +

    21) ln(x 3)dx

    Tomamos:

    ( ) 1u ln x 3 du dxx 3

    dv dx v x

    = =

    = =

  • Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 8

    x

    ln(x 3)dx x ln x 3 dxx 3

    =

    Efectuando la divisin:

    x 3dx 1 dx x 3ln x 3

    x 3 x 3 = + = +

    Por tanto:

    ln(x 3)dx x ln x 3 x 3ln x 3 C (x 3)ln x 3 x C = + = +

    22) ln x

    dxx

    Tomamos:

    1 1 1u ln x du dx dx

    2xx 2 x

    1dv dx v 2 x

    x

    = = =

    = =

    ln x 2 x 1dx 2 x ln x dx 2 x ln x dx 2 x ln x 2 x C

    2xx x= = = +

    23) 2(lnx) dx

    Tomamos:

    2 1u (ln x) du 2ln x dxx

    dv dx v x

    = =

    = =

    2 2 2lnx(lnx) dx x(lnx) 2 x dx x(lnx) 2 lnxdxx

    = = Tomamos:

    1u lnx du dx

    xdv dx v x

    = =

    = =

    xlnxdx x ln x dx x ln x x

    x= =

    Por tanto:

    2 2 2lnx(lnx) dx x(lnx) 2 x dx x(lnx) 2x lnx 2x Cx

    = = + +

  • Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 9

    24) Encuentra una primitiva de la funcin f (x) = x2 sen x cuyo valor para x = sea 4.

    La funcin que buscamos es F(x) = 2x senx dx tal que F() = 4.

    Integramos por partes:

    = =

    = = =

    2u x du 2xdx

    dv sen xdx v senxdx cosx

    = + 2 2x senx dx x cos x 2 xcosx dx

    Resolvemos la integral xcos xdx por partes.

    Tomamos:

    = =

    = = =

    u x du dx

    dv cosx dx v cos xdx senx

    = = + + xcos xdx xsenx senx dx xsenx cosx C

    Por tanto:

    = + + + 2 2x senx dx x cos x 2xsenx 2cosx C

    Como F() = 4, se verifica:

    F() = 2 cos + 2sen + 2cos + C = 4 2 2 + C = 4 C = 6 2

    Luego la funcin es:

    2 2F(x) x cosx 2xsenx 2cos x 6= + + +

    25) Determina la funcin f (x) sabiendo que f(x) = x ln x, f(1) = 0 y f(e) =e4

    .

    f(x) = f(x)dx f(x) = x ln xdx

    Tomamos:

    2

    1u lnx du dx

    x1

    dv xdx v x dx x2

    = =

    = = =

    2 22 2 2 2 21 1 x 1 1 1 1 x 1 1xlnxdx x lnx dx x lnx x dx x lnx C x lnx x C

    2 2 x 2 2 2 2 2 2 4= = = + = +

    Como f(1) = 0 f(1) = 1 1 1

    ln1 C C2 4 4

    + = + = 0 C = 14

  • Ejercicios: Clculo de primitivas MATEMTICAS II 10

    Por tanto: f(x) = 2 2 21 1 1 1 1 1

    x lnx x x lnx2 4 4 2 2 4

    + = +

    f(x) = f(x)dx f(x)