Lic. Martín Alonso C

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CALCULO II

Clase: # 7

UNIDAD II: TECNICAS DE INTEGRACION

Tema: INTEGRACION POR PARTES

Integración por partes

Una de las técnicas de integración más ampliamente usadas es la integración por partes, que se

obtiene de la fórmula para la derivada del producto de dos funciones. Si f y g son funciones

diferenciables, entonces

����������� ��������� � ���������

��������� ����������� ���������

Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene

� ����������� � ������������� � �����������

� ����������� �������� � ����������� �1�

La fórmula (1) recibe el nombre de fórmula de integración por partes. Para los propósitos de

cálculo, una forma más conveniente de esta fórmula se obtiene al considerar

� ���� � � ���� Entonces

du = f’(x)dx y dv = g’(x)dx

de modo que (1) se transforma en

� � �� �. � � � �� �2�

Consejo sobre como escoger u y v’

Esta fórmula expresa la integral � � �� en términos de otra integral � � ��. Mediante una

elección adecuada de u y dv, puede evaluarse más fácilmente la segunda integral que la primera.

Cuando se eligen las sustituciones para u y dv, por lo general se considera que dv es el factor

más complejo del integrando y puede integrarse directamente, y que u es una función cuya

derivada es una función más simple. Este método se mostrara mediante ejemplos ilustrativos.

• Cualquiera que sea v’, es necesario poder hallar v.

• Es útil si u´ es más sencilla que u (o al menos no más complicada que v)

• Es útil si v es más sencilla que v´ (o al menos no más complicada que v´=

Ejemplo 1: Evalué

� �� ��� ��

Respuesta: �� ����� �

! �� � "

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Ejemplo 2: Evalué

� #� $#� � ��

Respuesta: �% #��$#� � cos �� � "

Ejemplo 3: Evalué

� � )*$ � ��

Respuesta: � $#�� � )*$� � "

Ejemplo 4: Evalué

� +,�-� � ��

Respuesta: � +,�-�� �% ���1 � �%� � "

Ejemplo 5:

���� ��%��

Respuesta: � �ln ��% 2� ln � � 2� � "

Ejemplo 6:

� �% #� ��%

0

Respuesta: 1�% #� 2� #� � 2#�|0% 12.7781

� #56 $#����� �� #56,% � �% �, sen ���� � )*$���� � " �3�

� #56 )*$���� �� #56,% � �% �, cos ���� � $#����� � " �4�

Donde a y u son números reales diferente de cero

Bibliografía: El Cálculo 7ma

Edición, Autor: Louis Leithold

Ejercicios 7.1 (páginas 553 y 554)

Resolver los ejercicios impares.