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ax
a
1 x
−
Formulario de integrales
c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis
Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licenciaCreative Commons Atribucion 2.1 Espan˜a.
S´eptima revision: Febrero 2005
Sexta revision: Julio 2003Quinta revision: Mayo 2002Cuarta revision: Mayo 2001
Tercera revision: Marzo 2001
1. Integrales indefinidas
1.1. Funciones racionales e irracionales
1.1.1. Contienen ax + b
(1)
Z
(ax + b)n dx = 1
a(n + 1)(ax + b)n+1 + C, n = 1
(2)Z
dx ax + b
1=
a ln |ax + b| + C
(3)
Z dx
= ln
+ C
x(ax + b) a ax + b
(4)
Z dx
1 1= − · + C
(5)
(1 + x)2
Z xdx
(1 + bx)3
1 + x
1 2= 2b
· (1 + bx)2
1−
2b · 1
+ C1 + bx
1.1.2. Contienen √
+ b
(6)
Z √x a + bxdx =
2(3bx − 2a)(a + bx)3/2
15b2 + C
Z x
(7) √ dx =2(bx − 2a)
√
2
+ bx+ C
a + bx 3b
1
2
a
a arctan
a
x2
±
3
Z √
√
−
x
Z 2
2
a
Z
1
√a+bx−
√a
(8)
Z dx
√ √
a ln
√
= a+bx+√
+ C, a > 0
x a + bx
Z √
2 q
a+bx√ −a
+ C, a < 0
(9)a + bx
xdx = 2
√ Z
+ bx + adx√a + bx
+ C
1.1.3. Contienen x2 ± a2
(10)
(11)
Z dx
a2 + x2 =
Z xdx
1 xarctan
a a
1= √
+ C, a > 0
+ C(x2 ± a2 )3/2 x2 ± a2
1.1.4. Contienen a2 − x2 , x < a
(12) (a2 − x2 )3/2 dx = x p
a2 − x2 + a
xarc sen + C, a > 0
Z dx
2 2 a
1 a + x
1 x
(13) = ln
+ C = arctanha2 − x2 2a
a − x
a a
(14)
Z dx x
= √ + C(a2 − x2 )3/2 a2 a2 − x2
1.1.5. Contienen √
± a
Z px2 2
1 p 2 2 2
p 2 2
(15) ± a dx = x a
2(
1 √
2
± x + a
2 a2
ln x + x
+ C =
= 2 x a + x +
2 arcsenhx + C (+)
1 √
a2
2 x a2 − x2 +
Z2
arccoshx + C (−)
(16)
(17)
xp
x2 ± a2 dx = 1
(x2 ± a2 )3/2 + C
x3 p
x2 + a2 dx = ( 1
x2 − 2
a2 )(a2 + x2 )3/2 + C5 5
x2 − a2 p a(18)
xZ
dx
dx = x2 − a2 − a · arc cos
x
+ C|x|
(19)x2 + a2
Z dx
= a · arcsenh a
+ C
x(20) √ = ln
x +
px2 − a2 + C =
arccosh+ C, (a > 0)
(21)x2 − a2 Z
dx√
√
√2
a2
pa2
3
√
√
√
√
√
√
2
Z2
−
x−
(22)
Z dx
√x2 ± a2
= ∓ + Cx2 x2 ± a2 a2 x
(23)
Z xdx
x2 ± a2
Z √
= p
x2 ± a2 + C
(24)x2 ± a2
x4dx = ∓(a2 + x2 )3/2
3a2 x3 + C
(25)
Z x2
x2 − a2dx =
x px2 − a2 −
a2 xarccosh + C
2 a
1.1.6. Contienen √ ± x2
(26)Z
− x dx =
Z
1 xp
a2 − x2 −a2 x
arc sen2 a
+ C, (a > 0)
(27)
(28)
xp
a2 ± x2 dx = ± 1
(a2 ± x2 )3/2 + C
x2 p
a2 − x2 dx = x
(2x2 − a2 )p
a2 − x2 + a
xarc sen + C, a > 0
8 8 aZ √
a2 ± x2 p a + √
a2 ± x2 (29) dx =
xa2 ± x2 − a ln
+ C
x
(30)
Z dx
√− a2
= 2
x2+ C
x2 a2 − x2 a x
(31)
Z dx
a2 − x2
x= arc sen
a+ C, a > 0
Z dx 1
a +
√ − x(32) √
a2 − x2= ln
a a2 2
+ Cx
(33)
Z x
a2 ± x2
Z x2
dx = ±p
a2 ± x2 + C
x p a2 x(34) a2 ± x2
Z dx
dx = ± 2
a2 ± x2 ∓ arc sen2 a
+ C, a > 0
x(35)
a2 + x2= ln
x +
pa2 + x2
+ C =
arcsenha
+ C, a > 0
1.1.7. Contienen ax2 + bx + c
1
2ax+b−
√b2 −4ac
√ ln
√
= b2 −4ac 2ax+b+ b2 −4acZ
dx
2 2ax+b 2(36)
2 2
= =
b2 −4ac arctanh √
b2 −4ac + C, b > 4ac
ax2 + bx + c √ 2 2ax+b 24ac−b2
arctan √4ac−b2
+ C, b
− 2ax+b
+ C,
b
< 4ac
= 4ac
ax2
√
√
√
1
12
+ C, ∆ > 0, a < 0;
√
√√
√
2
2
√
(37)
Z x
dx =1
ln ax2 + bx + c
−
b Z
dx+ C
ax2 + bx + c 2a
2a ax2 + bx + c
(38)
Z x · dx
(ax2 + bx + c)n =
bx + 2c
+ (b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
+ b(2n − 3)
(b2 − 4ac)(n − 1)
Z dx
(ax2 + bx + c)n−1
, n = 0, 1, b2 < 4ac
(39)
Z dx
(ax2 + bx + c)n = 2ax + b
+−(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx +
c)n−1
+ 2a(2n − 3)
−(b2 − 4ac)(n − 1)
Z dx
(ax2 + bx + c)n−1
, n = 0, 1, b2 < 4ac
1.1.8. Contienen √
+ bx + c
(40)Z p
ax2 + bx + cdx = 2ax + b p
ax2 + bx + c + 4ac
− b
Z dx
4aZ
a0 + a1 x + . . . + an xn
8a √
ax2 + bx + c
(41)ax2 + bx + c
dx Ver §3.5, pag. 11: m´etodo aleman
(42)
Z dx
ax2 + bx + c
1= √
aln
2ax + b +
√ap
ax2 + bx + c + C =
1 arcsenh 2ax+b + C, ∆ < 0, a > 0;√
a 4ac−b2
√a
ln |2ax + b| + C, ∆ = 0, a > 0; , ∆ =
b
− 4ac
−√
−a arc sen 2ax+b√
b −4ac
Z x
(43) √ dx =ax2 + bx + c b
Z dx
− √ax2 + bx + c
a 2a ax2 + bx + c
2√
c ax2 +bx+c+bx+2c
Z dx −1 ln
+ C, c > 0
(44) √ = c x
x ax2 + bx + c
1 arc sen bx+2c + C, c < 0−c |x| b2 −4ac
1.2. Funciones trigonom´etricas
1.2.1. Contienen sen ax
(45)
Z dx
=1
ln tan
ax + C
sen ax a 2
Z
(46) sen2 axdx = 1
· ax − cos ax · sen ax
+ C = x sen 2ax
2 a 2 −
4a + C
n−1
ln
Z
∓
Z
(47) senn axdx = − sen ax · cos ax
+ n − 1
Z
senn−2 axdx, n = 0, −1;a · n
Z 1 cos(a + b)x
n
1 cos(a − b)x 2 2(48) sen ax sen bxdx = − 2
Za + b
− 2
Z+ C, a = b a − b
(49) xn sen axdx = − 1
xn cos ax + n
xn−1 cos axdx
(50)
Z sen ax
a∞
dx = X
a
(ax)2ν −1
xν =0
(2ν − 1) · (2ν − 1)!
(51)
Z dx
=1 ± sen ax
1 tan
ax
a 2
π + C
4
1.2.2. Contienen cos ax
(52) cos2 axdx = 1
· ax + cos ax · sen ax
+ C
(53)
Z dx
=cos ax
2
1 tan
a
a
ax π2
− 4
+ C
(54)
Z cos ax
x
Z
∞
dx = ln |ax| + X
(−1)ν
ν =1
n−1
(ax)2ν
+ C(2ν) · (2ν)!
Z(55) cosn axdx =
cos ax · sen ax +
n − 1cosn−2 axdx+ C, n = 0, −1;
a · nZ
1 sen(a − b)x
n
1 sen(a + b)x 2 2(56) cos ax cos bxdx = −
2Z
+a − b 2
Z
+ C, a = b a + b
(57) xn cos axdx = 1
xn sen ax − n
xn−1 sen axdx + C, n = −1
(58)Z
dx1 ± cos ax
a
1= ±
a
a
axtan + C
2
1.2.3. Contienen tan ax o cot ax
(59)
(60)
Z 1tan axdx = − a
ln cos ax + C
Ztan2 xdx = tan x − x + C
(61)
Z
tann axdx = tann−1 ax
Z
− tann−2 axdx, n = 1, 0;(62)
Z
cot axdx =
Z
a(n − 1)
1
ln sen ax + Ca
n−1 Z
(63) cotn axdx = − cot ax
− cotn−2 axdx + C, n = 1, 0;a(n − 1)
n−2 −
−
n−2
p
1.2.4. Contienen sec ax o csc ax
(64)
Z 1 h
sec axdx = lna
Z
axcos
2+ sen
ax
2− ln ax
cos2
− sen ax i + C
2
(65)
(66)
sec2 axdx = 1
tan ax + Ca
Z
secn xdx = 1 tan ax · sec ax 1 n 2
+ 1 n−2ax · dx + C, n = 1;
a n − 1Z
a n − 1 sec
(67)
Z
(68)
csc2 axdx = 1
cot ax + Ca
cscn axdx = − 1 cot ax · csc 1 n − 2
Z
+ · cscn−2 ax ·dx + C, n = 1;a n − 1 a n − 1
1.2.5. Varias funciones
(69)Z
sec x · tan ax · dx = sec x + C
(70)Z
csc x · cot x · dx = − csc x + C
Z ( cosm−1 x·senn+1 x m−1
R cosm−2 x senn
(71) cosm x · senn x · dx =
m+n +
m+n· x · dx
cosm+1 x·senn−1 x n−1 m n−2m+n
+ m+n
R cos x · sen x · dx
1.2.6. funciones trigonom´etricas inversas
(72)
(73)
Zarc sen
Zarc cos
x x a
dx = x · arc sen a
x x a
dx = x · arc cos a
+ p
a2 − x2 + C, a > 0;
− a2 − x2 + C, a > 0;
(74)Z
arctanx xa
dx = x · arctan a
−1
a ln 1 +a
x2
a2
+ C, a > 0;
(75)Z
arccot
Z
xdx =
a1 xa
x · arccot a
+a
ln(a2 + x2 ) + C2
(76) x · arc cos xdx = x · arc cos x + arc sen x + C
n
−
Ze
Ze
1.3. Funciones exponenciales y/o logar´ıtmicas
(77)
Z
xn eaxdx = x eax n
Z
− xn−1 eax dx
(78)
a
ax
eax sen bx · dx =
a
(a sen bx − b cos bx)a2 + b2
+ C
(79)ax
eax cos bx · dx =(b sen bx + a cos bx)
a2 + b2 + C
(80)
Z dx
a + benx
Z
x=
a − ln(a + benx)
+ Can
x(81) loga xdx = x loga x −
ln a + C, ∀a > 0;
Z 2x2 ln x − x2
(82) x ln xdx =
Z
+ C4
ln ax 1
(83) xn ln ax · dx = xn+1
n + 1 −
(n + 1)2 + C
(84)Z
n+1 Zxn (ln ax)m dx =
x
n + 1(ln ax)m m
n + 1xn (ln ax)m−1 dx, n, m = −1, x > 0;
(85)Z
ln axdx = x ln ax − x + C, x > 0;
(86)
Z eax
xZ
∞
dx = ln |x| + X
i=1
(ax)i+ C
i · i!Z
ax
(87) eax ln x · dx = 1
eax ln |x| − 1 e
dx + C
Z dx
a a x∞
lni x(88)
ln xZ
dx
= ln | ln x| + X
i=1
i · i! + C, x > 0;
(89)x ln x
Z lnn x
= ln | ln x| + C, x > 0;
1(90) dx =
x x + 1lnn+1 x, n = −1, x > 0;
p
a a
Z
a
−
−
1.4. Funciones hiperbolicas
(91)Z
senh axdx =
Z
1cosh ax + C
a
(92) senh2 xdx = 1
senh 2x − 1
x + C
(93)Z
cosh axdx =
Z
4 2
1senh ax + C
a
(94) cosh2 xdx = 1
senh 2x + 1
x + C
(95)
(96)
Ztanh axdx =
Zcoth axdx =
Z
4 2
1a
ln | cosh ax| + C
1a
ln | senh ax| + C
(97) sechxdx = arctan(senh x) + C
(98)Z
sech2 xdx = tanh x + C
(99) cschxdx = ln tanh
x = −
1 ln
cosh x + 1 + C
2
2Z
cosh x − 1
(100)
Z(101)
senh x · tanh x · dx = −sechx + C
cschx · coth x · dx = −cschx + C
1.4.1. funciones hiperbolicas inversas
Z(102) arcsenh
x x dx = x arcsenh
a a− a2 + x2 + C, a > 0
Z x
(x arccosh x −
√x2 − a2 + C, arccosh x > 0, a > 0;
(103) arccosha
dx = a
x arccosh x +√
x2 − a2 + C, arccosh x < 0, a > 0;Z
(104) arctanhx x
dx = x arctanh +a a
1 a ln(a2 x2 ) + C
2Z
(105) arccothx x
dx = x arccoth +a a
1 a ln(x2 a2 ) + C
2Z
(106) arcsenhx x
dx = x arcsecha a
r x2
− a arc sen 1 − a2
+ C
Z(107)
xarcsech
ax
dx = x arccscha
r x2
+ a arccosh 1 + + C
2
2
2 2
2
2
2. Integrales definidas
(108)
Z ∞
xn e−qx dx = n!
0 qn+1
, n > −1, q > 0;
(109)Z ∞
xm e−ax dx =0
Γ[(m + 1)/2]
2a(m+1)/2
n!
, a > 0
= 2an+1 , Si m impar : m = 2n + 1
= 1 · 3 · . . . · (2n − 1)
r π
, Si m par : m = 2n
(110)
Z x2 e−ax dx = − e−a
2n+1
1 r
π+
erf(
a2n+1
√a)
0 2a 4 a3
(111)Z ∞ at
2 2 n n
xn e−ax dx = n!e−
t an+1
a t1 + at +
2!a t
+ . . . +n!
, n = 0, 1, . . . , a > 0;
(112)Z ∞
xn e−ax dx =n − 1
Z ∞xn−2 e−ax dx
(113)
0Z ∞
e−ax dx =
2a 0
1 r
π
0 2 aZ ∞
2 1(114)
(115)
xe−ax dx =0 2a
Z x dx 1= ln
(116)
(117)
0 1 − xZ x dx
=0 (1 − x)2
Z x dx 1=
0 1 + x
1 − x
x1 − x
ln(1 + x)
(118)
Z x 1 + x 1dx = (1 + ) ln − x
(119)
0 1 − xZ x 1 + x
0 (1 − x)2 dx =
1 − x
(1 − )x1 − x
− ln1
1 − x
(120)
Z x (1 + x)2
dx = 2 (1 + ) ln(1 − x) + 2 x +
(1 + )2 x
(121)
0 (1 − x)2
Z x dx=
0 (1 − x)(ΘB − x)1
lnΘB − 1
ΘB − xΘB (1 − x)
1 − x
, ΘB = 1
(122) Z x dx 0 ax2 + bx + c
Q(x)
R dx
1. R
dx
4. M
x+N
R M x+N
r
Z x dx
0 ax2 + bx + c
1
q= ln ·
a(p − q) px − p
x − q, b2 > 4ac; p, q son las ra´ıces;
(124)Z x a + bx
dx =bx
+ ag − bc
ln(c + gx)0 c + gx g g2
3. M´etodos de integracion
3.1. Integracion por partes:
Z Zu · dv = u · v − v · du
3.2. Integracion por sustitucion:
si x = g(t) es un funcion que admite derivada cont´ınua no nula y funcion inversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f (g(t))g0 (t) se tiene que:
Zf (x)dx = F (h(x)) + C
3.3. Integracion de funciones racionales:
Queremos hallar R
F (x) dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeficientesreales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la division para obtenerR
F (x) R(x)Q(x)
dx = R
C (x)dx + R
Q(x) dx. La primera integral es inmediata. Para la
segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera:Q(x) = a0 (x − a)p . . . (x − a)q [(x − c)2 + d2 ]r . . . [(x − e)2 + f 2]s y es u´nica.
Ental caso, el integrando del segundo t´ermino se puede descomponer como
sigue:R(x) A1 A2 Ap B1 B2 Bq
Q(x) =
(x−a)p + (x−a)p−1 + . . . +
x−a + . . . +
(x−b)q + (x−b)q−1 + . . . +
x−b +
M1 x+N1 Mr x+Nr H1 x+K1 Hs x+Ks((x−c)2 +d2 )r−1 + . . . +
(x−c)2 +d2 + . . . + ((x−e)2 +f 2 )s + . . . +
(x−e)2 +f 2 . Todas
las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando seobtienen integrales del siguiente tipo:
x−a = ln |x − a| + C
2. R
dx 1(x−a)p =
(1−p)(x−a)p−1 + C
3. R
M x+N M 2 2 M c+N x−c(x−c)2 +d2 dx =
2 ln |(x − c) + d | +
d arctan
d + C
[(x−c)2 +d2 ]r dx ⇒ Llamemos Ir =operando se obtiene [(x−c)2 +d2 ]r dx y Jr = [(x−c)2 +d2 ]r dx
I = M2(1−r)
1· ((x−c)2 +d2 )r−1
+ (M c + N ) · Jr
Jr = 1 Jd2 r−1 + x−c 1d2 2(1−r)((x−c)2 +d2 )r−1 −
d2 2(1−r) Jr − 1
ax + b
n
!
cx+d
ax2√
ax2
2. m+1
3. m+1 = t
3.4. M´etodo de Hermite
Si Q(x) = (x − a)m . . . (x − b)n · (x − c)2 + d2
. . .
(x − e)2 + f 2
entonces
Z R(x)Q(x)
dx =U (x)
+ (x − a)m−1 . . . (x − b)n−1 . . . [(x − c)2 + d2 ]
p−1 . . . [(x − e)2 + f
2]q−1
Z dx
Kx − a
+ . . . + L
Z dx
x − b
Z C x + D
+(x − c)2 + d2dx + . . . +
Z Ex + F
dx(x − e)2 + f 2
donde U (x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las constantes se determinan derivando la expresion e identificando coeficientes.
3.5. Integracion de funciones irracionales algebraicas
Integrales del tipo
Z
R x,
m1 ax + b
n1
cx + d, . . . ,
ms s
dx cx + d
| a, b, c, d ∈ R; ni, mi ∈ Z; ni = 0
y c y d no se anulan simultaneamente. Se transforma en integral racional mediante el cambio ax+b = tm siendo m el m´ınimo comu´n mu´ltiplo de lasni .
Integrales del tipo R
R x,
√ax2 + bx + c
dx se consideran los siguientes
casos:
1. a > 0 → √
+ bx + c = ±√
a · x + t
2. c < 0 → ax2 + bx + c = ±√
c + x · t
3. a, c < 0 → √
+ bx + c = t · (x − α) siendo α una de las raices delpolinomio.
M´etodo Aleman: R
√
P (x)dx = Q(x) ·
√2 + bx + c + K
R √ dx
ax2 +bx+c ax
ax2 +bx+cDonde gradQ(x) = grad(P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeficientesse obtienen derivando la expresion e identificando t´erminos.
Series binomicas: R
xm (a + bxn )p dx | a, b ∈ R; m, n, p ∈ Q. Estas inte- grales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios indicados.
1. p ∈ Z → x = tq donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m.
n ∈ Z → a + bxn = tq
n
siendo q el denominador de p.
n + p ∈ Z → a+bx qxn siendo q el denominador de p.
En cualquier otro caso se puede expresar como funcion elemental.
3.6. Integracion de funciones trascendentes
Si R(u) es una funcion racional y u = f (x) es una funcion que admite funcion inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f (x)) se reduce a una integral racional mediante el cambio f (x) = t00 .
2
m+1
m+1
3. I = m−
1
m+1
p(x)dx
2
Z
3.7. Integracion de funciones trigonom´etricas
Integracion de R
R(sen x, cos x)dx: en general se hace el cambio tan x = t
con lo que sen x = 2dt , cos x = 1−t, dx = 2t . En elgunos casos se1+t2
pueden intentar otros cambios:1+t2 1+t2
1. Si R(sen x, cos x) = −R(sen x, − cos x) se hace el cambio sen x = t
2. Si R(sen x, cos x) = −R(− sen x, cos x) se hace el cambio cos x = t
3. Si R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) se hace el cambio tan x = t
Integrales del tipo Im,n = R
senm xn ·x·dx se puede reducir de las siguientesformas:
1. Im,n = sen x·cosn−1 x n−1m+1
+ m+1
Im+2,n−2 , m = −1
2. Im,n = senx·cosn−1 x n−1
m+n +
m+n Im,n−2 , m + n = 0
senm−1
m,n −x·cosn+1 x m−1
m+1 +
n+1 Im+2,n+2 , m = −1
4. Im,n = − sen x·cosn+1 x m−1m+n
+ m+n
Im−2,n , m + n = 0
5. Im,n = − sen x·cosn+1 x m+n−2
m+1
n+1 +
n+1
n+1 Im,n+2 , n = −1
6. Im,n = sen x·cos x m+n−2m+1
+m+1
Im+2,n+2 , m = −1
4. Ecuaciones diferenciales ordinarias
4.1. Ecuaciones diferenciales lineales
Ry0 + p(x)y = q(x) =⇒ y = e−
(x)dx
R
q(x)e + C
τ y0 + y = p(t) =⇒ y =
e−t/τ
1
Z tp(t)et/τ dt + y0
τ 0
5. Solucion num´erica de ecuaciones diferenciales
5.1. M´etodo de Runge-Kutta de cuarto orden
1y0 = f (x, y) → yi+1 = yi +
6 (k1 + 2k2 + 2k3 +
k4)h
k1 = f (xi , yi) k2 = f (xi + h/2, yi + k1 h/2)k3 = f (xi + h/2, yi + k2 h/2) k4 = f (xi + h, yi + k3 h)