INTEGRALPertemuan 14

SUB PEMBAHASAN

Integral Tak Tentu

Kaidah-kaidah Integrasi Tak Tentu

Integral Tertentu

Kaidah-kaidah Integral Tentu

Integral tak tentu merupakan kebalikan dari diferensial yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal jika turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui.

Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.

Bentuk umum integral dari f(x)

න𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝒌

Keterangan:• k adalah konstanta yang nilainya tidak tertentu• adalah tanda integral

• 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 adalah diferensial dari F(x)• f(x) adalah integran• dx adalah diferensial• F(x) adalah integral partikular’• F(x) + k adalah fungsi asal

• Formula pangkat

Kaidah 1

• Formula logaritmis

Kaidah 2

• Formula eksponensial

Kaidah 3

• Formula penjumlahan

Kaidah 4

• Formula perkalian

Kaidah 5

• Formula subtitusi

Kaidah 6

Kaidah 1. Formula Pangkat

න𝒙𝒏𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝒌

Contoh: a. 𝑥4𝑑𝑥 =

𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝑘 =

𝑥5

5+ 𝑘 = 0,2𝑥5 + 𝑘

𝒏 ≠ 𝟏

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥0,2𝑥5 + 𝑘 = 𝑥4

b. 4 𝑑𝑥 =4𝑥0+1

0+1+ 𝑘 = 4𝑥 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥4𝑥 + 𝑘 = 4

Lanjutan...contoh

c. 3𝑥2𝑑𝑥 =3𝑥2+1

2+1+ 𝑘 = 𝑥3 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥𝑥3 + 𝑘 = 3𝑥2 d. 𝑑𝑥 =

𝑥0+1

0+1+ 𝑘 = 𝑥 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥𝑥 + 𝑘 = 1

e. (𝑥 + 1)2𝑑𝑥 =(𝑥+1)2+1

2+1+ 𝑘 =

1

3(𝑥 + 1)3 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥

1

3(𝑥 + 1)3+𝑘 = (𝑥 + 1)2

Kaidah 2. Formula Logaritmis

න𝟏

𝒙𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒌

Contoh: a. 3

𝑥𝑑𝑥 = 3 ln 𝑥 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥3 ln 𝑥 + 𝑘 =

3

𝑥

b. 3

𝑥+1𝑑𝑥 =

3𝑑(𝑥+1)

𝑥+1+ 𝑘 = 3 ln (𝑥 + 1) + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥{3 ln 𝑥 + 1 + 𝑘} =

3

𝑥 + 1

Kaidah 3. Formula Eksponensial

න𝒆𝒙𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝒌

Contoh:

a. 𝑒𝑥+2𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+2𝑑 𝑥 + 2 = 𝑒𝑥+2 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥+2 + 𝑘 = 𝑒𝑥+2

b. 𝑒2𝑥𝑑𝑥 =1

2 𝑒2𝑥 𝑑(2𝑥) =

1

2𝑒2𝑥 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥

1

2𝑒2𝑥 + 𝑘 = 𝑒2𝑥

න𝒆𝒖𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 + 𝒌 𝑢 = 𝑓(𝑥)

c. 𝑒−3𝑥+2𝑑𝑥 = −1

3 𝑒−3𝑥+2𝑑 −3𝑥 + 2 = −

1

3𝑒−3𝑥+2 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥−1

3𝑒−3𝑥+2 + 𝑘 = 𝑒−3𝑥+2

Kaidah 4. Formula Penjumlahan

න 𝒙 + 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = න𝒇(𝒙)𝒅𝒙 +න𝒈 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒌 = 𝑭 𝒙 + 𝑮 𝒙 + 𝒌

Contoh:

a. (𝑥4+3𝑥2)𝑑𝑥 = 𝑥4𝑑𝑥 + 3𝑥2𝑑𝑥 = 0,2𝑥5 + 𝑥3 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥0,2𝑥5 + 𝑥3 + 𝑘 = 𝑥4 + 3𝑥2 b. (𝑒𝑥+

1

𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 +

1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + ln 𝑥 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 + ln𝑥 + 𝑘 = 𝑒𝑥 +

1

𝑥

c. (3𝑥2−10𝑥)𝑑𝑥 = 3𝑥2 𝑑𝑥 − 10𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑘 = 3𝑥2 − 10𝑥

Kaidah 5. Formula Perkalian

න𝒏𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒏න𝒇(𝒙)𝒅𝒙

Contoh:

a. 3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥2𝑑𝑥3 = 3𝑥2+1

2+1+ 𝑘𝑖 = 𝑥3 + 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥𝑥3 + 𝑘 = 3𝑥2

b. −𝑥3𝑑𝑥 = 1− 𝑥3 𝑑𝑥 = −1 +𝑥3+1

2+1+ 𝑘𝑖 =

1

4𝑥4 ± 𝑘

Bukti: 𝑑

𝑑𝑥−1

4𝑥𝑥 ± 𝑘 = −𝑥3

𝒏 ≠ 𝟎

Kaidah 6. Formula Subtitusi

න𝒇(𝒖)𝒅𝒖

𝒅𝒙𝒅𝒙 = න𝒇(𝒖)𝒅𝒖 = 𝑭 𝒖 + 𝒌

Contoh 1:

6𝑥(3𝑥2−10)𝑑𝑥 = 𝑑𝑥(18𝑥3−60𝑥) = 4,5𝑥4 − 30𝑥2 + 𝑘

Di mana u = g(x)dan 𝑑𝑢 merupakan subtitusi bagi 𝑑𝑥

Selesaikanlah 6𝑥(3𝑥2−10)𝑑𝑥

Dengan cara penyelesaian biasa atau langsung:

Dengan cara subtitusi, misal 𝑢 = 3𝑥2 − 10; maka 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 6𝑥, atau 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

6𝑥, sehingga:

6𝑥(3𝑥2−10)𝑑𝑥 = 6𝑥 𝑢𝑑𝑢

6𝑥= 𝑢 𝑑𝑢 =

𝑢2

2+ 𝑘 =

(3𝑥2−10)2

2+ 𝑘𝑖

=1

2(9𝑥4 − 60𝑥2 + 𝑘𝑖)

= 4,5𝑥4 − 30𝑥2 + 50 + 𝑘𝑖)

= 4,5𝑥4 − 30𝑥2 + 𝑘𝑖 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑘 = 50 + 𝑘

Lanjutan....Formula Subtitusi

Contoh 2:

Selesaikanlah 𝑥=3

𝑥2+6𝑥𝑑𝑥

Misal 𝑢 = 𝑥2 − 6𝑥; maka 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥 + 6𝑥

න𝑥 + 3

𝑥2 + 6𝑥𝑑𝑥 = න

12 (

𝑑𝑢𝑑𝑥

)

𝑢𝑑𝑥

= න

12𝑑𝑢

𝑢=1

2න𝑑𝑢

𝑢

Karena pembilang (x + 3) =1

3

𝑑𝑢

𝑑𝑥sehingga:

=1

2න1

𝑢𝑑𝑢 =

1

2ln 𝑢 + 𝑘

Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya

(memiliki batas-batas) tertentu.

Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva

y = f(x) dan sumbu horizontal x, dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh x

= a dan x = b.

Bentuk Umum Integral Tertentu

න

𝒂

𝒃

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙) 𝒂𝒃 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)

Keterangan:

• 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 dibaca integral f(x) untuk x dari a ke b

• 𝑎 adalah batas-bawah integrasi• 𝑏 adalah batas-atas integrasi

Untuk a < c < b, berlaku:

𝒂 .1𝒃𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) 𝒂

𝒃 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)

Contoh:

න

2

5

𝑥4𝑑𝑥 =𝑥5

5

5

=1

5𝑥5 2

5 =1

53125 − 32 = 618,6

.2𝒂

𝒂𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎

Contoh:

න

2

2

𝑥4𝑑𝑥 =𝑥2

52

2

=1

5𝑥5 2 =

1

532 − 32 = 0

Lanjutan...

.3𝒂

𝒃𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = −

𝒃

𝒂𝒇(𝒙)

Contoh:

න

2

5

𝑥4𝑑𝑥 = 618,6

𝒂 .4𝒃𝒌𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌𝒂

𝒃𝒇 𝒙 𝒅𝒙

Contoh:

න

2

5

5𝑥4𝑑𝑥 = 𝑥5 25 = 3125 − 32 = 3093

5-2𝑥4𝑑𝑥 = −

𝑥5

5 5

2

= −1

5𝑥5 5

2 = −1

532 − 3125 = 0

5න

2

5

𝑥4𝑑𝑥 = 5 618,6 = 3093

Lanjutan...

𝒂 .5𝒃𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒂

𝒃𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒂

𝒃𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Contoh:

න

2

5

(𝑥4+5𝑥4)𝑑𝑥 = න2

5

𝑥4𝑑𝑥 +න2

5

5𝑥4 𝑑𝑥

𝒂 .6𝒄𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒄

𝒄𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒂

𝒃𝒇 𝒙 𝒅𝒙

Contoh:

න

2

3

𝑥4𝑑𝑥 = න3

5

𝑥4 𝑑𝑥

=𝑥5

52

3

+𝑥5

53

5

= 618,6 + 3039 = 3.711,6

=1

5243 − 32 +

1

5(3125 − 243) = 618,6

Terima Kasih