Introdução aos métodos numéricos

Representação Numérica e

Erros

MotivaçãoFoguete Ariane 5 explode segundos depois de seu lançamento em 1996

O foguete transportava um satélite de comunicações

A causa do acidente foi um erro numérico (overflow) no cálculo da velocidade horizontal do foguete

Motivação

Qual foi o prejuízo?

500 milhões de Dólares (preço do satélite)

7 bilhões de Dólares foram gastos no projeto do foguete

Soluções numéricas para problemas físicos

Problema Físico

Modelagem

Solução

Modelo Matemático

Resolução

Erros na Modelagem

Suponha uma queda livre de um prédio

d = d0 +vot +1/2at2

Suponha os dados:

d= 0 + 0x3 + 1/2x9.8x9

d = 44,1 Este resultado é coerente?

Representação Numérica

Computadores possuem memória finita

O conjunto de números que os computadores podem representar é finito

Erros na Resolução

Fortemente influenciados pela precisão

Relacionados à Representação numérica

Erro do Foguete (máquinas com precisão diferente com mesmo software)

Representação numérica

Cada computador possui uma precisão numérica diferente

Esta precisão é dependente do hardware, sistema operacional, compilador, etc

Representação Numérica

O sistema convencional é o de base 10 (dígitos de 0 a 9)

Computadores modernos usam a base numérica 2 (dígitos 0 e 1)

Mudança de Bases

510 = 1012

5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0

510 = 1012

Mudança de Base

5,25 = 5 + 0,25

5 sabemos como resolver

Mas e a parte decimal?

Mudança de base

Método das multiplicações sucessivas

0,25 x 2 = 0,5

0,5 x 2 = 1,0

Logo 0,2510 = 0,012

Mudança de Base

Conversão de base 2 para base 10 1002 = 410

1002 = 1x22 + 0x21 + 0x20 =4+0+0 = 410

1012 = 1x22 + 0x21 + 1x20 =4+0+1 = 510

100,12 = 1x22 + 0x21 + 0x20+1x2-1 =

= 4+0+0+0,5 = 4,510

Representação Numérica

Computadores usam o Sistema de Ponto Flutuante Normalizado

±0,c1c2c3…cn x be

cn – digito entre 0 e b-1 (mantissa) b – número natural (base) e – número Inteiro (expoente)

Representação Numérica

Devido à questão da memória finita, os sistemas de ponto flutuante normalizados possuem parâmetros bem definidos durante o projeto

Número de caracteres da mantissa (n) Valor da base (b) Valor e1 menor e e2 maior expoentes do sistema e1 < 0 e e2 > 0

Representação Numérica

Menor número positivo: x1=+0,10...0xbe1

Maior número: x2 = +0,c1c2...cnxbe2

Quantidade de números:

2x(b-1)x b(n-1)x (e2-e1+1)+1

Representação Numérica

x1 x2-x1-x2

Representação Numérica

x1 x2-x1-x2 overflowoverflow

underflow

Representação Binárias

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

sinal mantissa Sinal do expoenteexpoente

Representação Binárias

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

sinal mantissa Sinal do expoenteexpoente

Sinal

0 = positivo,

1 = negativo

Representação Numérica

A distribuição dos números na reta real não é uniforme

Há concentração de números em trechos da reta

Representação NuméricaB=2, n=3, e1=-1 e e2=2

Representação Numérica

Resultados de operações aritméticas em sistemas de ponto flutuante nem sempre estão corretos

Representação NuméricaB=2, n=3, e1=-1 e e2=2

Representação Numérica

Propriedades aritméticas nem sempre são verificadas

Suponha x1=0,3491x104, x2=0,2345x100

(x2+x1)-x1 = x2 + (x1-x1)

A propriedade só se mantém com maquinas de precisão maior do que 7 digitos com truncamento

Representação Numérica

Para somar x1 e x2 precisamos coloca-los na mesma base decimal

x1=0,3491x104

x2=0,2345x100=0,00002345x104

Máquinas com precisão 7 ou menos não são capazes de representar x2

(x2+x1)-x1 =(0,0000234x104+0,3491x104) -0,3491x104 = (0,3491234x104) -0,3491x104 = (0,0000234x104) = 0,234x10

x2+(x1-x1)=0,2345x10+(0,3491x104 -0,3491x104) = 0,2345x10 + 0 = 0,2345x10

Representação Numérica

Tipos de Erro por Precisão

Arredondamento - para Cima

Truncamento – para baixo

Para o Número de máquina mais próximo

Erro por Truncamento

São erros decorridos de processos que deveriam ser infinitos

Calculo de séries infinitas

Sen(x) =x - x3/3! + x5/5! – x7/7!...

Erro por truncamento

Dizimas periódicas binárias

0,110 = 0,0001100110011...2

Calculadora do Windows - sqrt(2)

Erros

Sendo x o valor real e x’ o valor representado

Absoluto: |x – x’|

Relativos: |x - x’|/ |x’|

Revisão

Consequências dos erros

Sistema de Ponto Flutuante

Representação numérica em computadores

Erros

Conclusão

Erros devem ser evitados quando possível

Quando não for possível evita-los:Não devem ser ignoradosDevem ser reduzidos