Introdução aos métodos numéricos

Introduo aos mtodos numricosRepresentao Numrica eErros

MotivaoFoguete Ariane 5 explode segundos depois de seu lanamento em 1996O foguete transportava um satlite de comunicaes A causa do acidente foi um erro numrico (overflow) no clculo da velocidade horizontal do foguete

MotivaoQual foi o prejuzo?

500 milhes de Dlares (preo do satlite)

7 bilhes de Dlares foram gastos no projeto do foguete

Solues numricas para problemas fsicosProblema FsicoModelagemSoluoModelo MatemticoResoluo

Erros na ModelagemSuponha uma queda livre de um prdio d = d0 +vot +1/2at2

Suponha os dados: d= 0 + 0x3 + 1/2x9.8x9 d = 44,1Este resultado coerente?

Representao NumricaComputadores possuem memria finita

O conjunto de nmeros que os computadores podem representar finito

Erros na ResoluoFortemente influenciados pela preciso

Relacionados Representao numrica

Erro do Foguete (mquinas com preciso diferente com mesmo software)

Representao numricaCada computador possui uma preciso numrica diferente

Esta preciso dependente do hardware, sistema operacional, compilador, etc

Representao NumricaO sistema convencional o de base 10 (dgitos de 0 a 9)

Computadores modernos usam a base numrica 2 (dgitos 0 e 1)

Mudana de Bases510 = 1012

5/2 = 2 resto 12/2 = 1 resto 0

510 = 1012

Mudana de Base5,25 = 5 + 0,25

5 sabemos como resolver

Mas e a parte decimal?

Mudana de baseMtodo das multiplicaes sucessivas

0,25 x 2 = 0,5

0,5 x 2 = 1,0

Logo 0,2510 = 0,012

Mudana de BaseConverso de base 2 para base 101002 = 410 1002 = 1x22 + 0x21 + 0x20 =4+0+0 = 4101012 = 1x22 + 0x21 + 1x20 =4+0+1 = 510100,12 = 1x22 + 0x21 + 0x20+1x2-1 == 4+0+0+0,5 = 4,510

Representao NumricaComputadores usam o Sistema de Ponto Flutuante Normalizado

0,c1c2c3cn x be

cn digito entre 0 e b-1 (mantissa)b nmero natural (base)e nmero Inteiro (expoente)

Representao NumricaDevido questo da memria finita, os sistemas de ponto flutuante normalizados possuem parmetros bem definidos durante o projetoNmero de caracteres da mantissa (n)Valor da base (b)Valor e1 menor e e2 maior expoentes do sistemae1 < 0 e e2 > 0

Representao NumricaMenor nmero positivo: x1=+0,10...0xbe1

Maior nmero: x2 = +0,c1c2...cnxbe2

Quantidade de nmeros: 2x(b-1)x b(n-1)x (e2-e1+1)+1

Representao Numricax1x2-x1-x2

Representao Numricax1x2-x1-x2overflowoverflowunderflow

Representao Binrias0111000000000010sinalmantissaSinal do expoenteexpoente

Representao Binrias0111000000000010sinalmantissaSinal do expoenteexpoenteSinal 0 = positivo, 1 = negativo

Representao NumricaA distribuio dos nmeros na reta real no uniforme

H concentrao de nmeros em trechos da reta

Representao NumricaB=2, n=3, e1=-1 e e2=2

Representao NumricaResultados de operaes aritmticas em sistemas de ponto flutuante nem sempre esto corretos

Representao NumricaB=2, n=3, e1=-1 e e2=2

Representao NumricaPropriedades aritmticas nem sempre so verificadas

Suponha x1=0,3491x104, x2=0,2345x100

(x2+x1)-x1 = x2 + (x1-x1)

A propriedade s se mantm com maquinas de preciso maior do que 7 digitos com truncamento

Representao NumricaPara somar x1 e x2 precisamos coloca-los na mesma base decimalx1=0,3491x104x2=0,2345x100=0,00002345x104Mquinas com preciso 7 ou menos no so capazes de representar x2

Representao Numrica(x2+x1)-x1 =(0,0000234x104+0,3491x104) -0,3491x104 = (0,3491234x104) -0,3491x104 = (0,0000234x104) = 0,234x10x2+(x1-x1)=0,2345x10+(0,3491x104 -0,3491x104) = 0,2345x10 + 0 = 0,2345x10

Tipos de Erro por PrecisoArredondamento - para Cima

Truncamento para baixo

Para o Nmero de mquina mais prximo

Erro por TruncamentoSo erros decorridos de processos que deveriam ser infinitos

Calculo de sries infinitas

Sen(x) =x - x3/3! + x5/5! x7/7!...

Erro por truncamentoDizimas peridicas binrias

0,110 = 0,0001100110011...2

Calculadora do Windows - sqrt(2)

ErrosSendo x o valor real e x o valor representado

Absoluto: |x x|

Relativos: |x - x|/ |x|

RevisoConsequncias dos erros

Sistema de Ponto Flutuante

Representao numrica em computadores

Erros

Concluso

Erros devem ser evitados quando possvel

Quando no for possvel evita-los:No devem ser ignoradosDevem ser reduzidos