Introdução aos métodos numéricos

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Introdução aos métodos numéricos. Representação Numérica e Erros. Motivação. Foguete Ariane 5 explode segundos depois de seu lançamento em 1996. O foguete transportava um satélite de comunicações. - PowerPoint PPT Presentation

Text of Introdução aos métodos numéricos

  • Introduo aos mtodos numricosRepresentao Numrica eErros

  • MotivaoFoguete Ariane 5 explode segundos depois de seu lanamento em 1996O foguete transportava um satlite de comunicaes A causa do acidente foi um erro numrico (overflow) no clculo da velocidade horizontal do foguete

  • MotivaoQual foi o prejuzo?

    500 milhes de Dlares (preo do satlite)

    7 bilhes de Dlares foram gastos no projeto do foguete

  • Solues numricas para problemas fsicosProblema FsicoModelagemSoluoModelo MatemticoResoluo

  • Erros na ModelagemSuponha uma queda livre de um prdio d = d0 +vot +1/2at2

    Suponha os dados: d= 0 + 0x3 + 1/2x9.8x9 d = 44,1Este resultado coerente?

  • Representao NumricaComputadores possuem memria finita

    O conjunto de nmeros que os computadores podem representar finito

  • Erros na ResoluoFortemente influenciados pela preciso

    Relacionados Representao numrica

    Erro do Foguete (mquinas com preciso diferente com mesmo software)

  • Representao numricaCada computador possui uma preciso numrica diferente

    Esta preciso dependente do hardware, sistema operacional, compilador, etc

  • Representao NumricaO sistema convencional o de base 10 (dgitos de 0 a 9)

    Computadores modernos usam a base numrica 2 (dgitos 0 e 1)

  • Mudana de Bases510 = 1012

    5/2 = 2 resto 12/2 = 1 resto 0

    510 = 1012

  • Mudana de Base5,25 = 5 + 0,25

    5 sabemos como resolver

    Mas e a parte decimal?

  • Mudana de baseMtodo das multiplicaes sucessivas

    0,25 x 2 = 0,5

    0,5 x 2 = 1,0

    Logo 0,2510 = 0,012

  • Mudana de BaseConverso de base 2 para base 101002 = 410 1002 = 1x22 + 0x21 + 0x20 =4+0+0 = 4101012 = 1x22 + 0x21 + 1x20 =4+0+1 = 510100,12 = 1x22 + 0x21 + 0x20+1x2-1 == 4+0+0+0,5 = 4,510

  • Representao NumricaComputadores usam o Sistema de Ponto Flutuante Normalizado

    0,c1c2c3cn x be

    cn digito entre 0 e b-1 (mantissa)b nmero natural (base)e nmero Inteiro (expoente)

  • Representao NumricaDevido questo da memria finita, os sistemas de ponto flutuante normalizados possuem parmetros bem definidos durante o projetoNmero de caracteres da mantissa (n)Valor da base (b)Valor e1 menor e e2 maior expoentes do sistemae1 < 0 e e2 > 0

  • Representao NumricaMenor nmero positivo: x1=+0,10...0xbe1

    Maior nmero: x2 = +0,c1c2...cnxbe2

    Quantidade de nmeros: 2x(b-1)x b(n-1)x (e2-e1+1)+1

  • Representao Numricax1x2-x1-x2

  • Representao Numricax1x2-x1-x2overflowoverflowunderflow

  • Representao Binrias0111000000000010sinalmantissaSinal do expoenteexpoente

  • Representao Binrias0111000000000010sinalmantissaSinal do expoenteexpoenteSinal 0 = positivo, 1 = negativo

  • Representao NumricaA distribuio dos nmeros na reta real no uniforme

    H concentrao de nmeros em trechos da reta

  • Representao NumricaB=2, n=3, e1=-1 e e2=2

  • Representao NumricaResultados de operaes aritmticas em sistemas de ponto flutuante nem sempre esto corretos

  • Representao NumricaB=2, n=3, e1=-1 e e2=2

  • Representao NumricaPropriedades aritmticas nem sempre so verificadas

    Suponha x1=0,3491x104, x2=0,2345x100

    (x2+x1)-x1 = x2 + (x1-x1)

    A propriedade s se mantm com maquinas de preciso maior do que 7 digitos com truncamento

  • Representao NumricaPara somar x1 e x2 precisamos coloca-los na mesma base decimalx1=0,3491x104x2=0,2345x100=0,00002345x104Mquinas com preciso 7 ou menos no so capazes de representar x2

  • Representao Numrica(x2+x1)-x1 =(0,0000234x104+0,3491x104) -0,3491x104 = (0,3491234x104) -0,3491x104 = (0,0000234x104) = 0,234x10x2+(x1-x1)=0,2345x10+(0,3491x104 -0,3491x104) = 0,2345x10 + 0 = 0,2345x10

  • Tipos de Erro por PrecisoArredondamento - para Cima

    Truncamento para baixo

    Para o Nmero de mquina mais prximo

  • Erro por TruncamentoSo erros decorridos de processos que deveriam ser infinitos

    Calculo de sries infinitas

    Sen(x) =x - x3/3! + x5/5! x7/7!...

  • Erro por truncamentoDizimas peridicas binrias

    0,110 = 0,0001100110011...2

    Calculadora do Windows - sqrt(2)

  • ErrosSendo x o valor real e x o valor representado

    Absoluto: |x x|

    Relativos: |x - x|/ |x|

  • RevisoConsequncias dos erros

    Sistema de Ponto Flutuante

    Representao numrica em computadores

    Erros

  • Concluso

    Erros devem ser evitados quando possvel

    Quando no for possvel evita-los:No devem ser ignoradosDevem ser reduzidos