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MÉTODOS NUMÉRICOS EM PROBLEMAS DE DIFUSÃO
Viriato Semião 2004
ii
PROÉMIO
O presente texto foi elaborado para constituir um meio de
estudo da disciplina de Transferência de Calor e Massa II, da
Licenciatura em Engenharia Mecânica, ramo de Termodinâmica
Aplicada, do Instituto Superior Técnico, no que se refere à
matéria de Métodos Numéricos aplicados a problemas de
difusão. Todavia, o seu conteúdo e, portanto, a sua
utilização são extensíveis a outras disciplinas de outras
Licenciaturas.
O fio condutor que norteou a sua elaboração teve por
inspiração o livro intitulado Computer-Aided Engineering:
Heat Transfer and Fluid Flow, dos autores A.D. Gosman, B.E.
Launder e G.J. Reece, que consta das referências, já que o
mesmo foi editado precisamente para o ensino desta matéria.
Contudo, o presente texto é bastante mais completo,
particularmente no que se refere aos detalhes dos fundamentos
matemáticos apresentados e aos da dedução das equações
algébricas a partir da equação de Poisson, com recurso ao
método das diferenças finitas, matérias que constituem o
capítulo terceiro. Além disso, o conteúdo da parte de
aplicações é consideravelmente diferente, na medida em que
parte dos problemas de aplicação escolhidos, e aqui propostos
para os alunos executarem com o código numérico, são diversos
dos originais, tendo-se inclusivamente introduzido um
problema de difusão de massa em meio estagnado.
A família de códigos computacionais a que o texto se
reporta (programas TEACH) exibe, relativamente aos códigos
comerciais de CFD (Computational Fluid Dynamics), a vantagem
de prover o espírito do aluno com uma armadura intelectual
que lhe confere a capacidade de elaborar, por si próprio,
modelos numéricos, com base em modelos físicos e matemáticos,
iii
sem ter necessidade de recorrer aos códigos comerciais
utilizando-os como verdadeiras caixas pretas. Ainda assim, a
opção futura de usar códigos comerciais fica em aberto para o
engenheiro (actual aluno), que decidirá consoante as
circunstâncias do momento, com a certeza, porém, de que detém
na sua bagagem o conhecimento dos fundamentos que sustentam
esse tipo de códigos.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
iv
ÍNDICE
PROÉMIO ii
ÍNDICE iv
1 INTRODUÇÃO 1
2 APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA TEACH-C 3
2.1 As capacidades do programa 3
2.2 Organização do presente texto 5
2.3 O método de estudo e de uso do programa 6
3 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 10
3.1 Nota introdutória 10
3.2 Equação geral da condução de calor 10
3.3 Discretização da equação do calor pelo método dos volumes de controlo 14
3.3.1 A malha e a sua notação 15
3.3.2 Derivação da equação do calor discretizada 18
3.3.3 A especificação do factor de ponderação f 26
3.3.4 As condições de fronteira 29
3.4 Detalhes sobre a equação do calor discretizada 33
3.5 Equação discretizada a três dimensões 37
3.6 Método de resolução das equações algébricas: TDMA 39
3.7 Procedimento iterativo global 45
3.8 Convergência, precisão e estabilidade numérica 47
3.9 Uso de coordenadas curvilíneas ortogonais 49
4 DESCRIÇÃO DO CÓDIGO TEACH-C 51
4.1 Nota introdutória 51
4.2 O sistema de coordenadas bi-radial 52
4.3 Estrutura global do código TEACH-C 53
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
v
4.4 Símbolos e convenções importantes 55
4.4.1 A malha 55
4.4.2 Variáveis dependentes e propriedades do material 58
4.4.3 Parâmetros de controlo 58
4.4.4 Coeficientes da equação discretizada 59
4.5 Descrição do CASO_BASE resolvido na versão original do código 60
4.5.1 Natureza do problema 60
4.5.2 Variáveis relevantes e descrição das subrotinas 61
4.5.3 Metodologia de modificações ao código TEACH-C 65
4.6 Descrição do CASO_TESTE para adaptação faseada 67
5 APLICAÇÕES DO CÓDIGO TEACH-C 69
5.1 Problema 1: Condução de calor unidimensional 69
5.1.1 Lição 1: Regime estacionário e sem fontes 69
5.1.2 Lição 2: Regime transiente e sem fontes 75
5.1.3 Lição 3: Regime transiente e com fontes 81
5.2 Problema 2: Condução de calor bidimensional 84
5.2.1 Lição 1: Regime transiente e sem fontes 84
6 APLICAÇÕES FACULTATIVAS DO CÓDIGO TEACH-C 88
6.1 Problema 1: Escoamento potencial 88
6.2 Problema 2: Escoamento desenvolvido em condutas de secção
não circular 92
6.3 Problema 3: Difusão de massa em meio estagnado 94
REFERÊNCIAS 99
Apêndice 1 LISTAGEM DO PROGRAMA TEACH-C 101
Apêndice 2 SÍMBOLOS EM FORTRAN E SIGNIFICADO DAS
PRINCIPAIS VARIÁVEIS DO PROGRAMA TEACH-C 112
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
1
CAPÍTULO
1
INTRODUÇÃO
Hodiernamente, com o advento dos computadores digitais, detentores de elevadas
velocidade de cálculo e capacidade de memória, o cálculo computacional constitui uma
ferramenta poderosa para o projecto de engenharia em geral e, em particular, para a
resolução de problemas de Mecânica de Fluidos e de Transferência de Energia e de Massa.
Os detalhes precisos fornecidos por este tipo de ferramenta numérica para os fenómenos
extremamente complexos que ocorrem em sistemas industriais de combustão, em motores
de combustão interna, em permutadores de calor, em reactores químicos, em módulos
enrolados em espiral de separação por membranas e em outros equipamentos industriais
concedem-lhe a credibilidade que detêm.
Deve salientar-se que apenas uma percentagem mínima de problemas práticos de
Mecânica de Fluidos e de Transferência de Energia e de Massa se podem resolver pela via
analítica. Mais do que isso, para uma grande parte dos casos em que essa solução analítica
existe, a sua complexidade torna-a pouco atractiva. É, contudo, crucial que se não
menospreze o método analítico como ferramenta de resolução de problemas práticos de
Mecânica de Fluidos e de Transferência de Energia e de Massa, pois ele detém méritos
próprios e campos específicos de aplicação. Da mesma forma, o método experimental em
laboratório constitui também uma forma de resolver problemas práticos. Na realidade, o
estudo de um problema prático de Mecânica de Fluidos ou de Transferência de Energia e
de Massa deve efectuar-se com uma combinação criteriosa dos três métodos, o analítico, o
numérico e o experimental, numa proporção que deve ser determinada pela natureza do
problema, pelo objectivo do estudo, por condições económicas e por outros factores
restritivos, derivados do caso particular em estudo.
O contacto com códigos computacionais, que recorrem a métodos numéricos para
resolver problemas de Mecânica de Fluidos ou de Transferência de Energia e de Massa,
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
2
deve iniciar-se ainda na Licenciatura, para conceder ao aluno uma formação sólida em
todas as vertentes de abordagem de um problema. Na medida em que os métodos analítico
e experimental são os mais usuais no ensino corrente, deve privilegiar-se a leccionação de
cursos sobre métodos numéricos, que imponham, por parte dos alunos, o uso de códigos
pedagogicamente preparados, para que a aprendizagem introdutória deste tema seja
profícua. É este o caso do programa TEACH-C, o mais simples da família TEACH, que
permite resolver problemas de difusão de quantidade de movimento, de energia ou de
massa, e que foi desenvolvido com fins pedagógicos no Imperial College of Science,
Technology and Medicine [1].
Apesar de existir uma literatura cada vez mais vasta sobre Cálculo Numérico em
Mecânica de Fluidos ou em Transferência de Energia e de Massa, o aluno iniciado depara-
se com meios de estudo insuficientes, quer por se tratarem de livros demasiado avançados
para o nível pretendido, quer pela abordagem generalista que, por vezes, os autores
utilizam. Note-se que são os pequenos detalhes que determinam, amiúde, o sucesso de um
determinado cálculo. A percepção e o conhecimento desses detalhes advêm da experiência
pessoal, ou daquela que é transmitida por escrito, mas que nem sempre está patente na
literatura. É no intuito de colmatar essa lacuna que se elabora o presente texto, pretendendo
o mesmo constituir um material de estudo simultaneamente simples e suficiente para
permitir ao aluno que inicia este estudo uma aprendizagem profícua dos métodos
numéricos em Mecânica de Fluidos ou de Transferência de Energia e de Massa.
Uma vez que o código usado pelos alunos será o programa TEACH-C, na sua versão
em FORTRAN-90 (adaptada no Instituto Superior Técnico a partir da versão original em
FORTRAN-IV), está implicitamente feita a opção pela família de códigos que usam a
abordagem dos volumes de controlo, cuja característica vantajosa mais marcante é o facto
de se basear essencialmente em considerações de natureza física. Efectivamente, as
equações diferenciais que regem os fenómenos de Mecânica de Fluidos ou de
Transferência de Energia e de Massa são integradas em volumes de controlo definidos por
uma malha, com recurso auxiliar ao método das diferenças finitas, e são transformadas em
equações algébricas, cuja solução requer somente conhecimentos básicos de Álgebra e
Cálculo Elementar.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
3
CAPÍTULO
2
APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA TEACH-C
2.1 As capacidades do programa
O programa TEACH-C, na sua versão em FORTRAN-90 adaptada a partir do
programa original, constitui-se em ferramenta de cálculo para a resolução de problemas
bidimensionais regidos pela versão não-estacionária da equação de Poisson. Há uma
variada gama de problemas de interesse que podem ser descritos pela referida equação, e
que abrangem as áreas do conhecimento já mencionadas: Mecânica de Fluidos, Condução
Térmica e Difusão de Massa em meio sem movimento, i.e., estagnado.
O código numérico referido foi construído com o intuito pedagógico de se revestir de
generalidade e flexibilidade de utilização: os alunos, após o estudo do código, podem
simular uma vasta gama de situações com um mínimo de modificações.
A equação de Poisson, já referida, tem a seguinte forma genérica na sua versão
estacionária:
ϕψ =∇ 2 (2.1)
Para o caso da condução de calor (energia térmica) não estacionária, e sendo ρ a
massa volúmica do material, C o seu calor específico, k a sua condutibilidade térmica, Q
uma fonte ou poço de energia e T a temperatura do material, a equação de Poisson toma a
forma:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
4
( ) 0=−∇∇−∂∂
ρ QTktTC (2.2)
O programa TEACH-C resolve esta equação em coordenadas cartesianas ou
cilíndricas axissimétricas, i.e., bidimensionalmente, e habilita o aluno iniciado com os
meios para compreender a física do mecanismo de difusão de calor e descobrir
consequências de interesse prático deste fenómeno em casos particulares.
Para o caso da difusão de massa em meio estagnado, ( 0v = ), e sendo ρ a massa
volúmica da solução binária das espécies A e B, ρA a massa da espécie A por unidade de
volume da mistura, DAB o seu coeficiente binário de difusão mássica, NA uma fonte ou
poço da espécie A (através de reacção química) por unidade de volume e wA a
concentração mássica da espécie A, a equação de Poisson toma a forma:
( ) 0NwDt AAABA =−∇∇−
∂∂
ρρ (2.3)
O programa TEACH-C resolve igualmente esta equação em coordenadas cartesianas
ou cilíndricas axissimétricas, fornecendo ao aluno principiante os meios de compreensão
da física do mecanismo de difusão pura de massa e permitindo-lhe, com simples estudos
paramétricos, descobrir aspectos de interesse pragmático deste fenómeno em casos menos
vulgares.
No âmbito da área da Mecânica de Fluidos, os problemas que o código TEACH-C
permite resolver referem-se ao escoamento estacionário, laminar e desenvolvido em
condutas de secção recta circular ou rectangular, ou ainda ao caso do escoamento
irrotacional. No primeiro caso, e sendo μ a viscosidade absoluta do fluido, u a sua
velocidade na direcção axial xx e p a pressão, a equação de Poisson reduz-se a:
( ) 0d
pdu =+∇∇x
μ (2.4)
No segundo caso, e sendo ψ a função de corrente de um escoamento irrotacional, a
equação de Poisson reduz-se à equação de Laplace, ou seja:
02 =∇ ψ (2.5)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
5
O programa TEACH-C também resolve as duas equações anteriores em coordenadas
cartesianas ou em coordenadas cilíndricas axissimétricas. A sua utilização nesta vertente
pelo aluno principiante concede-lhe os meios para que ele compreenda a física do
mecanismo de transporte difusivo de quantidade de movimento em escoamentos
desenvolvidos – resultante da aplicação da 2ª Lei de Newton com equilíbrio entre forças de
pressão e de atrito, i.e., na ausência de forças de inércia - no interior de condutas, e para
que ele possa estudar escoamentos potenciais, descobrindo efeitos de interesse prático
destes fenómenos, com simples variações de parâmetros do problema em casos especiais.
Para além das já mencionadas aplicações que permitem um ensino dos fenómenos
físicos subjacentes, o programa TEACH-C pode, e deve, contribuir para o ensino iniciático
dos métodos numéricos com a abordagem do volume de controlo, auxiliada pelo método
das diferenças finitas.
2.2 Organização do presente texto
O presente texto encontra-se dividido em seis capítulos. O primeiro capítulo constitui
a introdução.
O presente capítulo (o segundo) apresenta o programa TEACH-C.
No terceiro capítulo explanam-se os fundamentos teóricos que sustentam o programa
TEACH-C, nomeadamente os seus modelos físicos, matemáticos e numéricos. Neste
capítulo, apresenta-se a forma geral da equação diferencial às derivadas parciais que se
pretende resolver e é efectuada, a partir dela, a derivação do sistema de equações
algébricas que a representa, recorrendo à abordagem do volume de controlo e ao método
das diferenças finitas, em pontos do domínio de solução definidos através de uma malha:
os nós. É também apresentado um método de tratamento das condições de fronteira do
problema, um método para a resolução numérica do sistema de equações algébricas e são
discutidos tópicos como convergência, estabilidade e precisão de resultados.
No quarto capítulo descreve-se o modo como os modelos tratados no capítulo 3 são
convertidos num código computacional. Começa por se discutir a estrutura do programa e
a nomenclatura utilizada para os símbolos mais importantes. De seguida, com o objectivo
de facilitar a aprendizagem do código, efectua-se a descrição de uma aplicação do
programa TEACH-C, doravante designada por CASO_BASE, descrevendo-se todas as
subrotinas e discutindo-se as operações mais relevantes efectuadas em cada uma delas.
Neste capítulo é ainda apresentado um caso semelhante ao CASO_BASE, a que
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
6
chamaremos CASO_TESTE, que constituirá o primeiro exemplo de aplicação a ser
introduzido no código TEACH-C com as modificações efectuadas pelos alunos com
eventual auxílio da exposição em aula prática efectuada pelo docente. Os alunos deverão
proceder às modificações sugeridas pelo docente e, de seguida, correr o código, com a
finalidade de efectuarem uma adaptação faseada ao programa.
No quinto capítulo do presente texto apresentam-se as lições práticas sequenciais,
constituídas por problemas de aplicação que os alunos devem resolver, com utilização do
código TEACH-C, cumprindo escrupulosamente as indicações fornecidas.
No capítulo último, o sexto, são propostos problemas do tipo de difusão que não se
reportam à difusão de calor, e que são facultativos.
Existem ainda 2 apêndices: o Apêndice 1 com a listagem do programa e o Apêndice
2 com um dicionário de símbolos em FORTRAN das variáveis mais importantes.
2.3 O método de estudo e de uso do programa
Actualmente, os meios informáticos pessoais ou institucionais disponíveis não
colocam qualquer espécie de restrição ao uso do programa TEACH-C. Os alunos dos
últimos anos dos Mestrados Integrados do Departamento de Engenharia Mecânica, ou
mesmo os alunos de outros Mestrados Integrados em Engenharia, são os potenciais
interessados na aprendizagem aqui proposta. O ensino desta matéria pode ser simbiótico
entre aulas teóricas de exposição dos fundamentos, aulas práticas de reconhecimento do
código e adaptação ao código, em que os alunos efectuam numa listagem do programa as
modificações a realizar, e o docente fará o mesmo recorrendo aos meios audiovisuais que
melhor entender, para se efectuar o estudo de um caso concreto: o CASO_TESTE. Não
obstante, o presente texto foi elaborado para permitir ao aluno um estudo totalmente
autónomo. Assim, é crucial o investimento individual dos alunos, fora das aulas, com a
realização dos trabalhos constantes do capítulo 5, com o acompanhamento por parte do
docente para esclarecimento de dúvidas.
Com a aprendizagem aqui proposta, os alunos deverão ficar com conhecimentos
sólidos sobre os fundamentos dos Métodos Numéricos, compreendendo e sendo capazes de
derivar sozinhos as equações algébricas a partir das equações diferenciais regentes. A
estrutura do programa TEACH-C (subrotinas e suas funções) deverá ser bem
compreendida pelo aluno duma forma genérica. Todavia, há algumas variáveis mais
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
7
importantes com as quais o aluno deverá familiarizar-se e de que deverá conhecer o seu
significado, função no código e em que subrotinas aparecem.
Após a apresentação teórica do método e da apresentação detalhada do código, os
alunos deverão passar à actividade prática, ou seja, ao uso e modificação do programa, por
etapas, e na sequência dos exercícios propostos no capítulo 5. Embora o programa
TEACH-C seja um código pedagogicamente desenvolvido para o ensino e, portanto, de
acessível manipulação por parte do utilizador, existem problemas cuja adaptação do código
se pode revelar extensa. Assim, a referida sequência de exercícios foi determinada pelo
grau crescente de dificuldade dos mesmos e pela complexidade das modificações a fazer
ao programa.
De acordo com a figura 2.1, que mostra os níveis de contacto do aluno com o código
TEACH-C através da estrutura de modificações a efectuar, é conveniente usar em cada
exercício três níveis de modificações (operações que envolvem alterações ao código
inicial).
Figura 2.1 – A estrutura de modificações do programa TEACH-C.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
8
No primeiro nível de modificação, designado por PROBLEMA n - Modificação, o
código deve ser mudado de forma a adaptar-se ao caso ou tópico em estudo (a título
exemplificativo, suponha-se que se está a estudar a condução de calor unidimensional não
estacionária, tal como consta da tabela 2.1).
Num segundo nível de contacto com o código e aprendizagem, cria-se aquilo que se
designa por LIÇÃO n - Modificação (ver figura 2.1). Para o exemplo acima referido
(difusão de calor unidimensional não estacionária), podem imaginar-se três lições
possíveis: uma placa plana composta com variação de temperatura em degrau imposta à
superfície, uma placa simples com uma fonte de calor dependente da temperatura e a
evolução da temperatura no solo terrestre com temperatura à superfície com variação
sinusoidal (ver tabela 2.1).
No último nível, efectuam-se estudos paramétricos, criando aquilo que se designa por
CORRIDA n - Modificação (ver figura 2.1), para permitir ao aluno explorar os efeitos
desses parâmetros na solução do problema que está a estudar (ver tabela 2.1).
Tabela 2.1 – A estrutura de um problema típico para o programa TEACH-C.
PROBLEMA n LIÇÃO n CORRIDA n
LIÇÃO 1 Placa plana composta com
variação em degrau da temperatura à superfície
CORRIDA 1 Materiais a estudar: estuque,
fibra de vidro e madeira CORRIDA 2
Materiais a estudar: estuque, betão, caixa-de-ar e betão
LIÇÃO 2 Placa plana simples com
fonte de calor dependente da temperatura
CORRIDA 1 Variação da intensidade de
fonte de calor CORRIDA 2
Variação do coeficiente de transferência de calor
PROBLEMA 1 Condução de calor térmica
unidimensional não estacionária
LIÇÃO 3 Temperatura da superfície
terrestre com variação sinusoidal
CORRIDA 1 Variação do período da
função sinusoidal CORRIDA 2
Variar o amplitude da função sinusoidal
CORRIDA 3 Uso de propriedades de
outros materiais
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
9
Com a estrutura de modificações ao programa TEACH-C programada conforme se
explanou, os alunos podem adquirir um domínio excelente do método dos volumes de
controlo, do código e, em geral, do uso de métodos numéricos para resolver problemas de
Mecânica de Fluidos e de Transferência de Energia e de Massa.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
10
CAPÍTULO
3
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
3.1 Nota introdutória
A maior parte dos fenómenos de Mecânica dos Fluidos e de Transferência de Energia
ou de Massa são regidos matematicamente por equações diferenciais às derivadas parciais,
que traduzem um princípio de conservação geral. O programa a utilizar, TEACH-C, deve
ser encarado como uma ferramenta de cálculo geral, com a qual é possível resolver
problemas de uma vasta gama de situações físicas. Contudo, por questões de brevidade de
exposição e de clareza de descrição, apenas se apresentará aqui o método de derivação das
equações algébricas a partir da equação diferencial regente para o caso não estacionário da
difusão de energia, um dos casos mais complexos dos apresentados na secção 2.1, descrito
pela forma da equação de Poisson expressa na equação (2.2).
De qualquer forma, após o estudo deste caso, e uma vez que os restantes casos são
descritos também pela equação de Poisson em formas semelhantes, os alunos deverão
deduzir sozinhos, por método similar, as equações algébricas para os casos: a) difusão de
massa em meio estático – a partir da equação diferencial regente (2.3); b) escoamento
estacionário, laminar e desenvolvido em condutas de secção recta circular ou rectangular –
a partir da equação diferencial regente (2.4); c) escoamento irrotacional – a partir da
equação diferencial regente (2.5).
3.2 Equação geral da condução de calor
A aplicação das leis fundamentais da condução de calor origina uma equação
diferencial para a temperatura T (na realidade, e já que T é uma propriedade intensiva [2],
é a energia térmica (propriedade extensiva) que se difunde sob a forma de calor segundo a
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
11
equação diferencial referida, mas a sua forma matemática explicita T como variável
dependente), cuja derivação em detalhe pode ser encontrada na literatura da especialidade,
como por exemplo [3] a [6].
Para meios isotrópicos e heterogéneos, e em coordenadas cartesianas a duas
dimensões e cilíndricas axissimétricas (assim denominadas por se referirem a geometrias
com simetria axial), que são aquelas que o programa utiliza, respectivamente, a referida
equação (2.2) toma as formas seguintes:
QTkTktTC +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=∂∂
ρyyxx
(3.1)
QTkTktTC +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=∂∂
ρxxr
rrr
1 (3.2)
Nas equações anteriores T é a temperatura do material, ρ é a massa volúmica do
material, C o seu calor específico a, k a sua condutibilidade térmica e Q é uma fonte ou
poço de energia e representa a taxa de energia gerada por unidade de volume no interior do
material.
As figuras 3.1.a e 3.1.b, representam geometrias típicas de alhetas, em coordenadas
cartesianas e cilíndricas axissimétricas, respectivamente, que podem ser modeladas a duas
dimensões pelo programa TEACH-C.
A denominada equação do calor – nas formas das equações (3.1) e (3.2) – é, como se
pode observar, uma equação diferencial às derivadas parciais de 2ª ordem nas variáveis
espaciais e de 1ª ordem na variável tempo. A sua integração vai gerar o aparecimento de
um número determinado de constantes, que têm de ser calculadas com recurso a um
número igual de equações adicionais, que constituem as condições aos limites. Isto não
constitui novidade, na medida em que, fisicamente, esta necessidade de condições aos
limites traduz um facto conhecido: a distribuição de temperaturas no interior de um sólido
depende, além das propriedades físicas do próprio material, das condições a que se
sujeitam as suas fronteiras (condições de fronteira) e, em caso de difusão não estacionária
de energia, depende também da condição inicial. Assim, em termos matemáticos, para se
especificar completamente um problema particular de condução de calor é necessária a
seguinte informação auxiliar:
(a) valores das propriedades dos materiais, ρ, C e k;
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
12
Figura 3.1.a – Geometria típica de uma alheta a simular com o programa TEACH-C, em coordenadas cartesianas bidimensionais.
x
r
W
H
r0T = TB
Figura 3.1.b – Geometria típica de uma alheta a simular com o programa TEACH-C, em coordenadas cilíndricas axissimétricas.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
13
(b) distribuição discretizada das fontes de calor Q no domínio de solução, ou
das funções matemáticas adequadas no caso das fontes dependerem do
tempo, da posição no espaço ou da temperatura;
(c) a condição inicial, i.e., para o instante t=0, a distribuição inicial de
temperaturas em todo o meio (esta condição só é estritamente necessária em
problemas dependentes do tempo, se bem que, como veremos, por se tratar
de um processo iterativo de solução aquele que o programa usa, o código
requer sempre uma distribuição inicial de temperaturas);
(d) prescrição dos valores da temperatura (condição do tipo Dirichlet), dos
valores do fluxo de calor (condição do tipo Neumann), ou do tipo misto em
todas as fronteiras do sistema e para todos os instantes no tempo.
Estas condições de fronteira assumem a seguinte forma geral:
0TnT
321 =++∂
∂ λλλ (3.3)
em que n é a normal exterior à superfície que define a fronteira e λ1, λ2, e λ3 são funções
que especificam a condição de fronteira particular a aplicar, tal como expresso na tabela
3.1 para os casos mais comuns.
Tabela 3.1 – Definição de λ1, λ2, e λ3 na equação (3.3) para as condições de fronteira mais comuns.
Natureza da condição de fronteira λ1 λ2 λ3
Dirichlet: Temperatura TB imposta 0 1 - TB
Neumann: Fluxo de calor QB imposto k 0 - QB
Coeficiente de transferência de calor por convecção h de um fluido exterior à temperatura TF imposto (trocas de calor por convecção com um fluido)
k h - h TF
Para a condição inicial, no caso de se estar a resolver um problema não estacionário,
a solução vai depender, como se viu, da distribuição de temperaturas no material num dado
instante, a que se convenciona chamar instante inicial (t = 0). Se o domínio físico em
coordenadas cartesianas for Ω, a condição inicial é expressa por:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
14
( )yx,yx,yx, 0T),0t(T ==∴∈∀ Ω (3.4)
A razão pela qual se designa esse instante por inicial é o facto de ele representar o
início no tempo da evolução das temperaturas do material que se está a estudar.
3.3 Discretização da equação do calor pelo método dos volumes de
controlo
Quando se resolve numericamente uma equação diferencial a uma variável
dependente, está necessariamente a substituir-se a informação contínua que a solução
exacta ou analítica da equação estabelece, quando existe tal solução, por um conjunto
discreto de valores da variável num número finito de pontos, i.e., estamos a discretizar a
solução. Assuma-se que se tem como solução de uma dada equação diferencial, para a
variável ϕ, o seguinte polinómio, em que a0, a1, a2, b1, b2 e c são constantes conhecidas:
xyyyxx cbbaaa 2
212
210 +++++=ϕ (3.5)
Admita-se ainda que se emprega um método numérico para se resolver a equação
diferencial cuja solução analítica é a equação (3.5). A solução numérica κΨ da equação
diferencial no domínio físico Ω definido por uma malha de N nós (i nós na direcção xx e j
nós na direcção yy) não é mais do que o seguinte conjunto finito A, em que κΨ aproxima a
solução exacta κϕ a menos de um erro ε, com uma ordem de grandeza O(ε):
( ) ( ) ( ) ε+ϕ=ψ∧∈∀ψ=ψ∴ψ= = Oy,xΩy,x,y,xA jikkjijikn,1k,k (3.6)
A solução numérica de uma equação diferencial consiste, pois, num conjunto
discreto de valores da variável dependente em pontos específicos do domínio de solução
(no caso do programa TEACH-C são os chamados nós da malha), a partir dos quais a
distribuição daquela variável pode ser construída. Assim, na solução de um método
numérico, as incógnitas são precisamente os valores que a variável dependente pode tomar
num número finito de posições do espaço, normalmente definidos por uma malha e
designados por nós da malha, que definem o domínio físico em estudo. Portanto, o método
numérico tem necessariamente que conter um algoritmo para obtenção do sistema de
equações algébricas a partir da equação diferencial regente, cujas incógnitas são os valores
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
15
da variável dependente num número finito de pontos do espaço e, simultaneamente, um
algoritmo matemático e computacional de resolução do sistema de equações algébricas
obtido.
3.3.1 A malha e a sua notação
Uma malha computacional é um conjunto de linhas (ortogonais para o caso do
programa TEACH-C) que se intersectam em pontos que, como referido, se designam por
nós. A malha deve abranger todo o domínio físico de solução e os seus nós são os pontos
onde a variável dependente (temperatura para o caso da condução de calor) assumirá
valores-solução de forma discretizada. As figuras 3.2 e 3.3 representam casos típicos de
malhas, respectivamente em coordenadas cartesianas para o caso de uma secção
rectangular e em coordenadas cilíndricas axissimétricas para o caso de uma secção de
revolução em forma de T.
Figura 3.2 – Uma malha típica em coordenadas cartesianas (linhas a cheio) e os volumes de controlo (linhas a tracejado) que lhe estão associados.
Apesar da figura 3.2 poder induzir tal raciocínio, note-se que a malha não tem
necessariamente que ter um espaçamento uniforme. Pelo contrário, a concentração de nós
da malha deve ser mais acentuada nas regiões em que o gradiente da variável dependente é
mais elevado, de forma a minimizar o erro de discretização, como adiante se verá. A figura
3.3 representa precisamente uma malha não uniforme.
Cada nó da malha pode ser conceptualizado como o ponto representativo do volume
de controlo (também designado por célula) que o rodeia, cujas fronteiras estão definidas
pelas linhas a tracejado nas figuras 3.2 e 3.3, definindo-se estas como as linhas bissectrizes
que são perpendiculares às linhas da malha que unem dois nós consecutivos. Desta forma,
no caso de malhas não-uniformes, o nó da malha que representa uma determinada célula
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
16
não se localizará no centro geométrico dessa célula, tal como se pode observar na figura
3.4, que representa um nó P da malha e os nós N, S, E e W, que lhe são vizinhos. Nesta
figura é ainda possível verificar a restante notação usada, nomeadamente no que se refere
aos pontos das fronteiras dos volumes de controlo ou células: n, s, e e w. As coordenadas
do nó da malha P, coordenada axial e radial, são denominadas respectivamente por xP e rP.
As dimensões do volume de controlo são δxew na direcção axial e δrns na direcção radial.
As restantes dimensões axiais e radiais da figura, tais como por exemplo δxEP ou δrPS são
auto-explicativas. As variáveis qn, qs, qe e qw representam os fluxos de calor nas interfaces
dos volumes de controlo. Se a figura 3.4 representasse um volume de controlo em
coordenadas cartesianas seria em tudo semelhante, bastando substituir r por y e δr por δy.
Figura 3.3 – Uma malha típica em coordenadas cilíndricas axissimétricas (linhas a cheio) e os volumes de controlo (linhas a tracejado) que lhe estão associados.
Deve ter-se em conta que se podem construir malhas de forma diversa daquela que o
programa TEACH-C utiliza. Tal como descrito em detalhe por Patankar [7], a prática de
construção da malha pode ser a inversa da que usa o TEACH-C, i.e., em vez de se
localizarem as interfaces dos volumes de controlo a meia distância entre dois nós
consecutivos, podem localizar-se os nós nos centros geométricos dos referidos volumes de
controlo. Neste caso, estabelecem-se primeiro as linhas que definem as fronteiras (ou
interfaces) dos volumes de controlo, e só depois se definem as linhas da malha, para se
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
17
assegurar a localização dos nós na posição pretendida, i.e., no centro geométrico do
volume de controlo.
Figura 3.4 – Coordenadas cilíndricas axissimétricas: um conjunto típico de nós de uma malha.
Quando as malhas são uniformes, as duas práticas anteriormente explicitadas
conduzem ao mesmo resultado. Todavia, se o espaçamento da malha não for uniforme, os
resultados não são os mesmos. De facto, a prática usada pelo código TEACH-C, que
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
18
coloca as interfaces dos volumes de controlo a meia distância entre dois nós consecutivos,
permite um cálculo mais preciso dos fluxos de calor nessas fronteiras. Esta característica
deriva do facto do declive de uma parábola num ponto C, localizado a meia distância entre
dois pontos quaisquer A e B, ser exactamente igual ao declive da recta que une esses dois
pontos A e B. Assim, apesar de se usar um perfil linear de temperatura entre dois nós
consecutivos, os resultados obtidos por esta abordagem correspondem ao uso de um perfil
parabólico, ou seja, uma aproximação com uma ordem superior àquela que está
explicitada. Obviamente, a derivada de uma parábola num ponto que não esteja a meia
distância entre os dois extremos não é igual ao declive da recta que os une, e este facto
reduz a precisão da discretização quando se usa uma malha com os nós colocados no
centro geométrico do volume de controlo, pois os fluxos calculados estão afectados de um
determinado erro.
Por outro lado, o facto do nó da malha não estar no centro geométrico do volume de
controlo a que pertence gera também uma desvantagem: o valor da temperatura nesse nó,
TP, não deve ser encarado como o valor que melhor representa a temperatura do volume de
controlo para uso no cálculo dos valores das fontes, da condutibilidade térmica ou de
outras variáveis que dependam da temperatura. Ao fazê-lo, comete-se uma imprecisão.
Esta localização descentrada do nó P (e dos nós vizinhos N, S, E, W) em malhas não
uniformes, quando se colocam as interfaces dos volumes de controlo a meia distância entre
dois nós consecutivos, leva, da mesma forma a cometer-se a imprecisão de aceitar que o
fluxo de calor nas interfaces dos volumes de controlo seja definido pelo seu valor num
ponto que não está localizado no centro dessa interface (ver figura 3.4, pontos n, s, e e w
das interfaces dos volumes de controlo).
No entanto, a prática de se colocarem as interfaces dos volumes de controlo a meia
distância entre dois nós consecutivos, como no TEACH-C, exibe uma vantagem que o
torna mais atractivo: as fronteiras físicas do problema coincidem exactamente com as
interfaces dos volumes de controlo de fronteira (vejam-se figuras 3.2 e 3.3), o que torna a
prescrição das condições de fronteira mais exequível, pois não é necessário efectuar uma
discretização especial para as equações matemáticas que definem as referidas condições
aos limites.
3.3.2 Derivação da equação do calor discretizada
Reportando-nos à figura 3.4 e à sua nomenclatura, há um conjunto de áreas
superficiais, bem como o volume dos volumes de controlo (mantenha-se em mente que
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
19
trabalhamos a duas dimensões e, portanto, fala-se de grandezas por unidade de
profundidade em coordenadas cartesianas ou de ângulo azimutal em coordenadas
cilíndricas axissimétricas), que devem ser conhecidos, pois vão ser recorrentemente
utilizados no processo de derivação da equação de calor discretizada. Para o volume de
controlo do nó genérico P, teremos o seu volume VP e as áreas superficiais das interfaces
an, as, ae e aw, aproximadas por:
ewnsPP xrrV δδ≈ (3.7.a)
ewnn xra δ≈ (3.7.b)
ewss xra δ≈ (3.7.c)
nsPe rra δ≈ (3.7.d)
nsPw rra δ≈ (3.7.e)
Se o domínio de solução for representado por coordenadas cartesianas, aquelas variáveis
expressam-se pelas seguintes equações (note-se que nestas coordenadas os valores das
áreas e do volume são exactos e resultam das equações anteriores fazendo 1i =r e
yr δδ = ):
ewnsPV xy δδ= (3.8.a)
ewna xδ= (3.8.b)
ewsa xδ= (3.8.c)
nsea yδ= (3.8.d)
nswa yδ= (3.8.e)
Os valores das áreas superficiais e do volume para o caso das coordenadas cilíndricas
axissimétricas são aproximados, i.e., não são exactos, precisamente porque o ponto P não
está no centro do volume de controlo. De facto, o volume de um cilindro oco de altura xδ
e raios exterior e interior intext r,r , vale ( ) xrrV 2int
2extcil δ−π= , que é equivalente a
( ) x2
rrrr2V intext
intextcil δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−π= . Ora, se dividirmos a equação anterior por π2 e
aproximarmos medintext r
2rr
≈+
, obtemos a aproximação expressa pela equação (3.7.a).
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
20
De seguida efectuar-se-á a dedução das equações algébricas a partir das equações
diferenciais regentes: equações (3.1) e (3.2), respectivamente para coordenadas cartesianas
e cilíndricas axissimétricas. O ponto de partida será então o conjunto dos seguintes
integrais:
0dtddQTkTktTC
t1
p
tt
t
n
s
e
w
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−∂∂
∫ ∫ ∫+
yxyyxx
ρδ
δ
(3.9.a)
0dtddrQTkTk1tTC
t1
p
tt
t
n
s
e
w
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−∂∂
∫ ∫ ∫+
rxxxr
rrr
ρδ
δ
(3.9.b)
Note-se que esta abordagem é bastante diferente do método puro das diferenças
finitas, que consiste em aproximar as derivadas da equação diferencial a uma série de
Taylor truncada. De facto, para o caso unidimensional de malha uniforme, com
espaçamento entre nós de Δx, e sendo 1, 2 e 3 os números de três nós consecutivos e
adjacentes onde φ assume, respectivamente, os valores φ1, φ2 e φ3, a abordagem pelo
método das diferenças finitas, desenvolvendo a série de Taylor em torno do nó 2,
estabelece:
( ) L−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
22
22
221 d
d21
dd
xx
xx φΔφΔφφ (3.10.a)
( ) L+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ φΔ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ φ
Δ+φ=φ2
2
22
223 x
x21
xx
dd
dd (3.10.b)
Truncando a série após o termo da primeira derivada e subtraindo as duas equações
anteriores, já truncadas, obtém-se a transformação da derivada em diferenças finitas:
xx Δφφφ
2dd 13
2
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ (3.11)
Os integrais anteriores, que utilizam o método dos volumes de controlo, i.e., a
integração da equação diferencial no volume de controlo definido a partir da malha e que,
como se viu, diferem do método das diferenças finitas, podem rescrever-se da seguinte
forma:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
21
0
4I
dtddQt
1
3I
dtddTkt
1
2I
dtddTkt
11I
dtddtTC
t1
tt
t
n
s
e
w
tt
t
n
s
e
w
tt
t
n
s
e
wp
tt
t
n
s
e
w
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫++
++
4444 34444 21444444 3444444 21
444444 8444444 76444444 8444444 76
yxyxyy
yxxx
yx
δδ
δδ
δδ
δρ
δ (3.12.a)
0
4J
dtddQt
1
3J
dtddTkt
1
2J
dtddTkt
11J
dtddtTC
t1
tt
t
n
s
e
w
tt
t
n
s
e
w
tt
t
n
s
e
wp
tt
t
n
s
e
w
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫++
++
4444 34444 21444444 3444444 21
444444 8444444 76444444 8444444 76
rxrrxrxx
rxr
rr
rxr
δδ
δδ
δδ
δρ
δ (3.12.b)
Seguidamente, tratar-se-ão em separado cada um dos integrais das equações (3.12.a)
e (3.12.b). Para o termo não estacionário (integrais I1 e J1), e assumindo que as
propriedades do material que aparecem neste integral são constantes no tempo e não
variam com a posição no espaço, obtém-se sucessivamente:
tt
t
n
s
e
w
pp
tt
t
n
s
e
w
ddTt
Cdtdd
tTC
t11I
δδ
δρ
ρδ
++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
= ∫ ∫∫ ∫ ∫ yxyx (3.13.a)
tt
t
n
s
e
w
pp
tt
t
n
s
e
w
ddTt
Cdtdd
tTC
t11J
δδ
δρ
ρδ
++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
= ∫ ∫∫ ∫ ∫ rxrrxr (3.13.b)
( ) nsew1n
PnP
p TTt
C1I yx δδ
δρ −−= (3.14.a)
( ) nsew1n
PnPP
p TTt
C1J yxr δδ
δρ −−≈ (3.14.b)
em que, os índices superiores n e n-1 se referem aos valores nos instantes t+δt e t,
respectivamente.
Os segundos integrais, I2 ou I3 e J2 ou J3, podem ser parcialmente calculados da
seguinte forma:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
22
dtdTkt
1dtddTkt
13I
dtdTkt
1dtddTkt
12I
tt
t
n
s
w
e
tt
t
n
s
e
w
tt
t
e
w
n
s
tt
t
n
s
e
w
∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫++
++
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=
δδ
δδ
δδ
δδ
xy
yxyy
yx
yxxx
(3.15.a)
dtdTkt
1dtddTkt
13J
dtdTkt
1dtddTkt
12J
tt
t
e
w
n
s
tt
t
n
s
e
w
tt
t
n
s
e
w
tt
t
n
s
e
w
∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫++
++
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=
δδ
δδ
δδ
δδ
rx
rrxrxx
xx
rrxr
rr
(3.15.b)
Utilizando agora diferenças finitas para calcular os fluxos nas interfaces dos volumes
de controlo (método pelo qual as diferenças infinitesimais são transformadas, como se viu,
em diferenças finitas), i.e., assumindo variações lineares e unidimensionais da variável
dependente para calcular os fluxos de calor nas interfaces dos volumes de controlo (ver
equação (3.11)), tal como se expressa a título exemplificativo na equação (3.16) para o
fluxo na interface w,
nsPW
WPWPn
s w
yx
TT2
kkd
xTk δ
δ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∫ y (3.16)
os integrais anteriores podem-se simplificar:
dtTT
2kkTT
2kk
t13I
dtTT
2kkTT
2kk
t12I
tt
tew
PS
SPSP
NP
PNPN
tt
tns
PW
WPWP
EP
PEPE
∫
∫+
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
δ
δ
δδδδ
δδδδ
xyy
yxx
(3.17.a)
dtTT
2kkTT
2kk
t13J
dtTT
2kkTT
2kk
t12J
tt
tns
PW
WPWP
EP
PEPEP
tt
tew
PS
SPSPs
NP
PNPNn
∫
∫+
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+≈
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+≈
δ
δ
δδδδ
δδδδ
rxx
r
xr
rr
r (3.17.b)
Coloca-se agora a questão da integração temporal das equações (3.17.a) e (3.17.b).
Para tal, efectua-se uma ponderação entre os valores das variáveis no instante t+δt (índice
superior n) e no instante t (índice superior n-1), recorrendo ao factor de ponderação f, cujo
intervalo de variação é 0 ≤ f ≤ 1:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
23
1n
ewPS
SPSP
NP
PNPN
n
ewPS
SPSP
NP
PNPN
1n
nsPW
WPWP
EP
PEPE
n
nsPW
WPWP
EP
PEPE
TT2
kkTT2
kk)1(
TT2
kkTT2
kk3I
TT2
kkTT2
kk)1(
TT2
kkTT2
kk2I
−
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−+
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−+
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
xyy
f
xyy
f
yxx
f
yxx
f
δδδ
δδδ
δδδ
δδδ
(3.18.a)
1n
ewPS
SPSPs
NP
PNPNn
n
ewPS
SPSPs
NP
PNPNn
1n
nsPPW
WPWP
EP
PEPE
n
nsPPW
WPWP
EP
PEPE
TT2
kkTT2
kk)1(
TT2
kkTT2
kk3J
TT2
kkTT2
kk)1(
TT2
kkTT2
kk2J
−
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−+
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+≈
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−+
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+≈
xr
rr
rf
xr
rr
rf
rrxx
f
rrxx
f
δδδ
δδδ
δδδ
δδδ
(3.18.b)
Deve ser notado, entretanto, que foi consentida na integração a variação espacial da
condutibilidade térmica do material. Mais concretamente, foi assumida uma variação
linear, pois os valores de k nas interfaces dos volumes de controlo são calculados através
da média dos valores de k nós vizinhos dessa interface, que lhe são equidistantes. Esta
prática assegura a continuidade dos fluxos de calor nas interfaces dos volumes de controlo,
preservando assim a precisão e o realismo físico dos resultados. Obviamente que qualquer
outro tipo de variação não linear poderia ser admitida, particularmente se k exibisse
gradientes espaciais muito intensos.
No que se reporta ao integral do termo de fonte, I4 ou J4, a metodologia usada é
igual à que se usou para os integrais I2, I3, J2 e J3. Note-se que, embora o termo de fonte
possa assumir dependência espacial com várias formas algébricas, e.g., polinómios de
ordem vária em x e em y, ou em T, é sempre possível exprimir o resultado da integração
sob a forma de uma função linearizada e da média temporal da temperatura no volume de
controlo, TP:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
24
( ) ( )
( ) ( )1nU
1nP
1nP
nU
nP
nP
tt
t
n
s
e
w
1nU
1nP
1nP
nU
nP
nP
tt
t
n
s
e
w
STS)1(STSdtddQ4J
STS)1(STSdtddQ4I
−−−+
−−−+
+−++==
+−++==
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
ffxrr
ffyx
δ
δ
(3.19)
Adiante ver-se-á em detalhe o procedimento a adoptar para se linearizar
correctamente o termo de fonte.
Reunindo agora os termos todos das duas equações, uma em coordenadas cartesianas
e outra em coordenadas cilíndricas axissimétricas, obtém-se, respectivamente:
( )
( ) ( ) 0STS)1(STS
TT2
kkTT2
kk)1(
TT2
kkTT2
kk
TT2
kkTT2
kk)1(
TT2
kkTT2
kk
TTt
C
1nU
1nP
1nP
nU
nP
nP
1n
ewPS
SPSP
NP
PNPN
n
ewPS
SPSP
NP
PNPN
1n
nsPW
WPWP
EP
PEPE
n
nsPW
WPWP
EP
PEPE
nsew1n
PnP
p
=+−−+−
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−−
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−−
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−
−−
−−−
−
−
−
ff
xyy
f
xyy
f
yxx
f
yxx
f
yx
δδδ
δδδ
δδδ
δδδ
δδδρ
(3.20.a)
( )
( ) ( ) 0STS)1(STS
TT2
kkTT2
kk
TT2
kkTT2
kk
TT2
kkTT2
kk)1(
TT2
kkTT2
kk
TTt
C
1nU
1nP
1nP
nU
nP
nP
1n
ewPS
SPSPs
NP
PNPNn
n
ewPS
SPSPs
NP
PNPNn
1n
nsPPW
WPWP
EP
PEPE
n
nsPPW
WPWP
EP
PEPE
nsPew1n
PnP
p
=+−−+−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−−
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−
−−
−−−
−
−
−
ff
xr
rr
rf
xr
rr
rf
rrxx
f
rrxx
f
rrx
δδδ
δδδ
δδδ
δδδ
δδδρ
(3.20.b)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
25
As duas equações anteriores podem ser escritas de uma forma mais compacta e,
consequentemente, de maior facilidade de programação:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0STSTTA)1(
STSTTATTD
W,E,S,Ni
1nU
1nP
1nP
1ni
1nP
1ni
W,E,S,Ni
nU
nP
nP
ni
nP
ni
1nP
nPP
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−−+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−+−
∑
∑
=
−−−−−−
=
−
f
f (3.21)
Nesta equação, para o caso das coordenadas cartesianas, e recorrendo às equações
(3.8.a-3.8.e) tem-se para a capacitância térmica do volume de controlo, DP, e para os
coeficientes Ai, i=N, S, E, W, que são o inverso das resistências térmicas, também
designados por condutâncias térmicas do fluxo de calor entre dois volumes de controlo
adjacentes, as seguintes equações:
Pp
nsewp
P Vt
Ct
CD
δρ
δδδρ
== yx (3.22.a)
n
NP
nPNn
NP
ewPNnN
a2
kk2
kkA ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
yyx
δδδ
(3.22.b)
n
PS
sPSn
PS
ewPSnS
a2
kk2
kkA ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
yyx
δδδ
(3.22.c)
n
EP
ePEn
EP
nsPEnE
a2
kk2
kkA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
xxy
δδδ
(3.22.d)
n
PW
wPWn
PW
nsPWnW
a2
kk2
kkA ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
xxy
δδδ
(3.22.e)
Na equação (3.21), para coordenadas cilíndricas axissimétricas, e recorrendo às
equações (3.7.a-3.7.e) tem-se, para os mesmos parâmetros:
Pp
nsPewp
P Vt
Ct
CD
δρ
δδδρ
== rrx (3.23.a)
n
NP
nPNn
NP
ewnPNnN
a2
kk2
kkA ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
yyxr
δδδ
(3.23.b)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
26
n
PS
sPSn
PS
ewsPSnS
a2
kk2
kkA ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
yyxr
δδδ
(3.23.c)
n
EP
ePEn
EP
nsPPEnE
a2
kk2
kkA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
xxrr
δδδ
(3.23.d)
n
PW
wPWn
PW
nsPPWnW
a2
kkr2
kkA ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
xxr
δδδ
(3.23.e)
3.3.3 A especificação do factor de ponderação f
A dedução das equações algébricas a partir da equação diferencial regente, realizada
na secção anterior, só ficará completa quando se definir o factor de ponderação f da
integração temporal. A literatura da especialidade em Análise Numérica, e.g., [8] e [9],
indica que têm sido usados diversos procedimentos, cada um exibindo vantagens e
desvantagens. Há valores particulares de f que transformam a equação discretizada numa
equação do tipo parabólico.
Para f = 0, o esquema de discretização é o esquema explícito e a equação (3.21) toma
a forma:
1n
U1n
P1n
PW,E,S,Ni
1niP
W,E,S,Ni
1ni
1ni
nPP STSADTATD −−−
=
−
=
−− +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+= ∑∑ (3.24)
Com este método o valor da temperatura em cada instante t+δt , n
PT , pode ser calculado
explicitamente pela equação (3.24) em cada nó P da malha, e apenas em função dos
valores de todas as variáveis no instante t.
A figura 3.5 permite-nos fazer uma interpretação imediata de cada um dos métodos
de discretização temporal em análise. Se supusermos que 1nPP TT −= , a figura 3.5 mostra-
nos que, essencialmente, o esquema explícito considera que a temperatura no instante t, 1n
PT − , prevalece em todo o intervalo temporal de integração δ t, excepto no instante t+δt .
O método explícito tem como principal desvantagem a instabilidade numérica. Para a
evitar há que assegurar que na equação (3.24) o valor do coeficiente de 1nPT − seja não
negativo de forma a que, na ausência de fontes, a um aumento de T num dos nós vizinhos
de P (mantendo-se T constante em qualquer dos outros nós vizinhos) corresponda também
um aumento de T no nó P, ou seja, o intervalo de integração δt tem um valor máximo.
Matematicamente, esta exigência expressa-se pela condição:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
27
Figura 3.5 – Representação gráfica dos esquemas de discretização temporal: f = 0 - esquema explícito, f = 0,5 - Crank-Nicolson, f = 1 - esquema implícito.
1n
PW,E,S,Ni
1ninsew
p SAt
C −
=
− −≥ ∑yx δδδρ
(3.25.a)
que, na ausência de fontes, e em problemas de materiais com condutibilidade térmica, k,
constante e malha uniformemente espaçada nas duas direcções do espaço, com
espaçamento Δ, se reduz a:
k4C
tk4t
C 2p
max2p Δρ
δΔδρ
=⇔≥ (3.25.b)
A violação desta condição conduz a resultados fisicamente irrealistas. Esta equação
traduz, pois, que a dimensão da célula é a distância máxima que a temperatura na sua
propagação pode penetrar no interior do sólido durante o intervalo de tempo δt , restrição
que se pode tornar demasiado onerosa, computacionalmente, já que para malhas muito
refinadas, por vezes requeridas nos cálculos por razões de precisão, o valor de Δ2 se torna
proibitivamente pequeno. Por esta razão, o método explícito não será aqui usado.
O método de Crank-Nicolson, ao qual corresponde fazer f = 0,5, assume uma
variação linear da temperatura entre os instantes t e t+δt (ver figura 3.5). Por seu turno, o
esquema implícito, ao qual corresponde impor f = 1, postula que no instante t o valor de TP
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
28
muda repentinamente de 1nPT − para n
PT , mantendo-se com este último valor em todo o
intervalo temporal de integração.
À primeira vista poderia parecer que o método linear, ou de Crank-Nicolson, seria
mais apropriado que qualquer dos outros dois pois, inclusivamente, é denominado por
«esquema incondicionalmente estável». Um utilizador menos experiente poderá, pois,
pensar que aquela designação traduz a existência inexorável de uma solução fisicamente
realista, qualquer que seja o intervalo de tempo adoptado como passo, tanto mais que,
como mostrou Smith [8], não há restrições ao passo temporal a usar quando 0,5 ≤ f ≤ 1,0.
Esse utilizador ficará, então, surpreendido, ao deparar-se com soluções que são
oscilatórias, e a referida «estabilidade incondicional» apenas assegurará que as oscilações
acabarão por ser amortecidas conduzindo a uma solução final, sem que contudo haja
garantia que essa solução seja fisicamente realista. Este facto foi claramente demonstrado
por Patankar e Baliga [10].
Para o caso unidimensional, sem fontes nem poços, isto é fácil de ser mostrado. Para
f = 0,5, o coeficiente de 1nPT − na equação (3.21) fica: ( )1n
W1n
EP AA21D −− +− . Se assumirmos
uma malha uniforme com espaçamento Δ e condutividade térmica do material constante, o
referido coeficiente vale: Δδ
Δρ kt
C 2p −⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛. Tal como para o método explícito, se o intervalo
de tempo δ t não for suficientemente pequeno para o método de Crank-Nicolson, aquele
coeficiente assume valores negativos, o que constitui um potencial elevado para se obterem
resultados fisicamente irrealistas. Assim, o aparentemente razoável perfil linear da figura
3.5 constitui uma boa representação da variação da temperatura com o tempo apenas para
intervalos de tempo relativamente pequenos. Para intervalos de tempo consideravelmente
grandes, o decaimento intrinsecamente exponencial da temperatura assume a forma de uma
queda brusca nos primeiros instantes, seguido de um patamar de temperatura constante,
aspecto gráfico que, conforme se pode observar na figura 3.5, se aproxima muito mais do
esquema implícito do que do método de Crank-Nicolson.
Para f = 1, o esquema de discretização é o esquema implícito e a equação (3.21)
toma a forma:
( ) ( ) ( ) 0STSTTATTD n
UnP
nP
W,E,S,Ni
ni
nP
ni
1nP
nPP =+−−+− ∑
=
− (3.26)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
29
Com este método, o valor da temperatura em cada instante t+δt , nPT , pode ser calculado
explicitamente pela equação (3.26) em cada nó P da malha, apenas em função dos valores
da variável em todos os nós vizinhos e no mesmo instante t+δt .
É mais vantajoso rescrever a equação (3.26) apenas em termos de coeficientes e das
fontes nos nós da malha em causa (P, N, S, E, W). Para tal, efectuam-se as seguintes
atribuições:
∑
=
=W,E,S,Ni
niP AA (3.27.a)
1nPP
nUU TDSS −+= (3.27.b)
PnPP DSS −= (3.27.c)
Com estas atribuições, a equação (3.26) assume a forma simplificada expressa pela
equação (3.28) que, como se pode observar, é extremamente adequada à programação em
computador. Por razões de simplicidade de escrita e manuseamento de equações, e sendo o
esquema implícito aquele que o programa TEACH-C usa para discretizar no tempo a
equação diferencial regente do fenómeno de condução de calor, prescindir-se-á do índice
superior n, do instante t+δt :
( ) U
W,E,S,NiiiPPP STATSA +=− ∑
=
(3.28)
3.3.4 As condições de fronteira
É crucial assegurar que o princípio de conservação de energia, traduzido pela
equação diferencial regente do fenómeno de condução de calor, seja aplicado a todo o
domínio de solução Ω, incluindo as suas fronteiras. Como referido atrás, a prática de
construção da malha e dos volumes de controlo adoptada pelo código TEACH-C coloca as
interfaces daqueles a meia distância de duas linhas consecutivas da malha. Desta forma, as
interfaces dos volumes de controlo coincidem exactamente com as fronteiras do domínio
de solução, tal como se pode ver nas figuras 3.2 e 3.3. Além disso, os volumes de controlo
não se sobrepõem entre si e o seu somatório é precisamente o domínio de solução Ω.
Ao construir a malha segundo o método usado pelo código TEACH-C, e para que os
volumes de controlo se estendam exactamente até à fronteira do domínio de solução, é
necessário criar nós (e, consequentemente, linhas da malha) que são exteriores ao domínio
de solução. É importante salientar que os valores que a variável dependente assume nos
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
30
nós exteriores ao domínio de solução, neste caso a temperatura, bem como os valores
correspondentes das restantes variáveis da equação (3.28), não têm qualquer significado
físico. Poderia então ser-se levado a pensar que se trata de um desperdício de memória de
computador o recurso a este tipo de método de construção da malha. Na realidade passa-se
exactamente o contrário, pois os referidos nós exteriores constituirão os pontos em que se
incluirão as condições de fronteira, e os termos da equação (3.28) que lhes correspondem
são aqueles que carecerão de substituição de modo a incorporarem-se as referidas
condições.
Sob o ponto de vista computacional, a maneira mais conveniente de efectuar a
substituição dos termos da equação (3.28) referentes aos nós exteriores (N, S, E, W) é, em
primeiro lugar, a supressão dos termos redundantes do fluxo de calor entre o nó P e o nó
exterior adjacente, através da imposição de anulação do respectivo coeficiente Ai, i=N, S,
E, W. A anulação do coeficiente que liga o nó P ao nó exterior adjacente equivale a impor
um fluxo de calor nulo nessa fronteira, tal como se infere da equação (3.28), o que não é
realista quando a fronteira não é adiabática. Assim, e em segundo lugar, é necessário repor
o fluxo real e correcto na fronteira onde ele foi anulado. Esta operação pode efectuar-se
através da criação de uma falsa fonte de calor, com recurso aos termos SU e SP da equação
(3.28). Esta metodologia é ilustrada de seguida através de um exemplo, cuja representação
esquemática se apresenta na figura 3.6, referente a um caso bidimensional de condução de
calor. Nesta figura, a fronteira em causa, fronteira norte cujo ponto na fronteira
representativo é o ponto B, troca energia com um fluido à temperatura TF e com um
coeficiente de transferência de calor por convecção, h, conhecido.
A observação da equação (3.28) permite-nos deduzir que, se N não fosse um ponto
exterior ao domínio de solução (i.e., se fosse um nó da malha interior), o fluxo de calor na
interface norte do volume de controlo seria dado por: ( )NPNn TTAq −−= . Sendo N um nó
exterior, como o da figura 3.6, este valor do fluxo está obviamente errado, já que, como
anteriormente referido, os valores da variável dependente nos nós exteriores ao domínio de
solução são desprovidos de significado físico. A supressão deste termo, anulando o fluxo
de calor nessa fronteira como acima foi mencionado, obtém-se fazendo 0A N = . Depois, a
também já referida inclusão do verdadeiro valor do fluxo na fronteira em causa, cuja
expressão é obtida recorrendo à equação (3.3) e ao procedimento que usa diferenças
finitas, pode ser deduzida, sendo dada por:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
31
( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
−−=
h1
kk2
aTTq
PB
BP
nFPn yδ
(3.29)
em que ( )[ ] nPBBP a/h/1kk/2R ++= yδ é a resistência térmica entre o nó P e o fluido
(aqui representado pelo nó N).
N
P
B
fluido (TF, h)
fronteira física
sólido
δrBP ou δyBP
qB
volume de controlo de fronteira
Figura 3.6 – Volume de controlo da fronteira norte exposta a trocas de calor por
convecção com um fluido à temperatura TF e com um coeficiente de transferência de calor h.
Falta agora repor o fluxo correcto na fronteira, através da criação de uma falsa fonte de
calor, que terá as seguintes equações:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
−=
h1
kk2
aS
PB
BP
nP yδ
(3.30.a)
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
=
h1
kk2
TaS
PB
BP
FnU yδ
(3.30.b)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
32
Assim, para o nó P cujo volume de controlo tem a interface norte coincidente com a
fronteira do domínio de solução, a equação discretizada assumirá a seguinte forma:
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
++=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
+− ∑=
h1
kk2
TaSTAT
h1
kk2
aSA
PB
BP
FnU
W,E,Sii
niP
PB
BP
nPP yy δδ
(3.31)
A tabela 3.2 sumaria as equações dos coeficientes da falsa fonte de calor, SU e SP,
para todas as condições de fronteira possíveis em problemas de condução de calor.
Um uso distinto da falsa fonte de calor, SU e SP, pode constituir recurso quando se
pretende fixar o valor da temperatura – Tfix - num ou em quaisquer nós da malha, no
interior do domínio de solução, como por exemplo no caso desses nós se referirem à
temperatura de um fluido arrefecedor que atravessa o interior de um sólido. Nestas
circunstâncias, para esse(s) nós P em questão, deverá fazer-se:
γ−=PS (3.32.a)
fixU TS γ= (3.32.b)
sendo γ um valor bastante elevado, e.g. 3010=γ .
Tabela 3.2 – Definição de SU e SP para as condições de fronteira mais comuns.
Natureza da condição de fronteira SU SP
Dirichlet: Temperatura TB imposta ( )
BP
FnPB Ta
2kk
yδ
+
( )
BP
nPB a
2kk
yδ
+
−
Neumann: Fluxo de calo qB imposto Bn qa 0
Coeficiente de transferência de calor por convecção h de um fluido exterior à temperatura TF imposto (trocas de calor por convecção com um fluido)
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+ h1
kk2
Ta
PB
BP
Fn
yδ( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
−
h1
kk2
a
PB
BP
n
yδ
Com este procedimento, o valor do nó P ficará com uma temperatura imposta e igual
a Tfix, como se pode confirmar pela seguinte equação obtida a partir da equação (3.28), cuja
solução – TP – é esclarecedora:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
33
( ) fixUW,E,S,Ni
iniPPP TSTATSA γγ ++=−− ∑
=
(3.33.a)
( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−
++−
+=
∑=
γβ
γ
αγ
43421
44 344 21PP
fix
PP
W,E,S,NiUi
ni
P
SA
TSA
STAT (3.33.b)
Note-se que o primeiro termo α da equação (3.33.b) é praticamente nulo, pois 3010=γ .
Por outro lado, o termo β é desprezável face a 3010=γ , pelo que a temperatura no nó P
ficará com o valor fixado e pretendido, i.e., aproximadamente igual a Tfix.
3.4 Detalhes sobre a equação do calor discretizada
Tal como referido anteriormente, o método de discretização de uma equação
diferencial que rege um determinado fenómeno físico, como o caso da condução de calor,
deve obedecer a uma série de regras básicas que assegurem, a um tempo, o realismo físico
da solução e a obediência ao balanço global da variável que se está a estudar, que no caso
em análise é a energia sob a forma de calor. As referidas regras são em número de quatro
[7] e são explicitadas e discutidas de seguida.
Regra 1: Consistência nas interfaces dos volumes de controlo. Quando uma
interface é comum a dois volumes de controlo adjacentes, o fluxo de calor que
atravessa essa interface tem que ser representado pela mesma expressão matemática
nas equações discretizadas para os dois volumes de controlo.
Obviamente, o fluxo de calor que abandona um determinado volume de
controlo através de uma dada interface tem que ser exactamente igual ao fluxo de
calor que entra pela mesma interface no volume de controlo que lhe é adjacente, sob
pena de se violarem os balanços local e global de energia se tal não se verificar.
Apesar de se tratar de um princípio muito claro e de fácil apreensão, é necessário
estar-se muito atento para se evitarem erros subtis e comuns que se podem cometer
como, por exemplo, admitir-se na discretização que conduziu às equações (3.17.a) e
(3.17.b) que o fluxo de calor nas interfaces de um volume de controlo é regido pela
condutividade térmica do nó desse volume, Pk . Se se usasse esta prática, e
reportando-nos à interface este, designada por e, chegaríamos à seguinte
inconsistência: o fluxo de calor nessa interface calculado a partir do volume de
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
34
controlo do nó P seria dado por ( ) EPEPP /TTk xδ− , enquanto que o mesmo fluxo
calculado a partir do volume de controlo adjacente, contendo o nó E, seria dado por
( ) EPEPE /TTk xδ− . Para evitar este erro, devem considerar-se os pontos localizados
nas interfaces como entidades autónomas, com valores das propriedades e das
variáveis diferentes das dos nós dos volumes de controlo, tal com se fez na
discretização da equação do calor efectuada na secção 3.3.
Regra 2: Coeficientes positivos da equação discretizada. Todos os coeficientes
da equação discretizada, ( ) WESNPP A,A,A,A,SA − , devem ser sempre positivos.
Quando o valor da temperatura num nó qualquer da malha sofre um aumento
no seu valor, e mantendo-se inalteráveis as restantes condições, o valor da
temperatura do nó vizinho adjacente deve também aumentar, e nunca diminuir. Se
este último caso sem significado físico ocorresse, significaria que havia uma
inconsistência no cálculo dos coeficientes, ou seja, tinha-se cometido um erro. De
facto, na equação (3.28), ( ) UWWEESSNNPPP STATATATATSA ++++=− , se o
valor de ET aumenta, para que seguramente aumente também o valor de PT ,
mantendo-se constantes as restantes condições, é necessário que sejam
intrinsecamente do mesmo sinal, i.e., ambos positivos ou ambos negativos, os
coeficientes EA e ( )PP SA − . Perante a livre opção da escolha enunciada, opta-se
por exigir positividade de todos os coeficientes. Note-se que no processo de
discretização efectuado na secção 3.3, a positividade de todos os coeficientes dos nós
vizinhos de P foi assegurada, como se pode ver a partir das equações (3.22.a) a
(3.22.e) ou (3.23.a) a (3.23.e). Quanto ao coeficiente do nó P, ( )PP SA − , e uma vez
que, como se verá de seguida, deve verificar-se a relação ∑=
=W,E,S,Ni
iiP TAA , o seu
valor será intrinsecamente positivo se se assegurar que PS é sempre inferior ou igual
a zero, exigências estas que nos levam às duas regras seguintes.
Regra 3: Fonte linearizada com declive negativo ou nulo. Sempre que o termo
de fonte é linearizado sob a forma UPP STSS += , o coeficiente PS tem que ser
sempre menor ou igual a zero.
A primeira questão que esta regra coloca é a da linearização do termo de fonte.
Em muitos casos práticos, o termo de fonte é, como atrás referido, função da própria
temperatura local T, e o conhecimento dessa dependência é crucial no processo de
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
35
discretização. Quando a fonte S é uma função não linear da temperatura, deve-se
proceder à sua linearização, sob a forma UPP STSS += , o que significa que os
próprios coeficientes US e PS passam a depender de T. Se, por exemplo, a fonte for
dada pela equação 3T54S −= pode efectuar-se a sua linearização de várias formas
(o índice superior n-1 representa o valor da variável a que se refere, na iteração
anterior):
i) 1n,3PU T54S −−= e 0SP = , que é a abordagem menos correcta, na medida em
que não faz uso da informação disponível da variação do termo de fonte com T.
ii) 4SU = e 1n,2PP T5S −−= , que, embora parecendo mais correcta que a
anterior, enferma ainda da incorrecção de não representar a tangente no ponto
P à curva 3T54S −= .
iii) 1n,3PU T204S −+= e 1n,2
PP T25S −−= , que, embora parecendo mais correcta
que a primeira, enferma também da incorrecção de não representar a tangente
no ponto P à curva 3T54S −= .
iv) 1n,3PU T104S −+= e 1n,2
PP T15S −−= , que é a aproximação correcta, pois
representa a tangente no ponto P à curva 3T54S −= , na medida em que
( )1nPP
1n1n TT
dTdSSS −
−− −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= , i.e., ( )1n
PP1n,2
P1n,3
P TTT15T54S −−− −−−= .
A outra questão que se coloca nesta regra é a da negatividade do declive da
equação da recta que representa a fonte linearizada. De facto, se quisermos respeitar
a Regra 2, para que o coeficiente do nó P, ( )PP SA − , seja positivo, e já que
∑=
=W,E,S,Ni
iP AA é seguramente positivo, é necessário assegurar que PS é sempre
inferior ou igual a zero. À semelhança do que se fez acima, use-se um exemplo
esclarecedor do procedimento a adoptar para assegurar um declive negativo da
equação linear da fonte, sob a forma UPP STSS += . Se, por exemplo, a fonte for
dada pela equação T73S += , pode efectuar-se a sua linearização de várias formas:
i) 3SU = e 7SP = , que é a abordagem incorrecta, na medida em que não
assegura que o declive da recta seja negativo.
ii) 1nPU T73S −+= e 0SP = , que é a abordagem mais correcta.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
36
iii) 1nPU T93S −+= e 2SP −= , que, embora parecendo tão correcta como a
anterior, pode conduzir à alteração da convergência do processo, pois, na realidade,
está a criar-se um declive negativo artificial, 2SP −= , e outro positivo também
artificial, 1nPU T93S −+= , ambos diferentes do declive real, e que no processo
iterativo, influenciam a taxa de convergência.
Regra 4: Coeficiente do nó P como soma dos coeficientes dos nós vizinhos. Em
qualquer nó P do domínio de solução, exige-se que (como já se expressou acima)
∑=
=W,E,S,Ni
iP AA , de forma a assegurar que a equação diferencial regente continua a ser
satisfeita mesmo que se adicione à solução T uma constante C1, i.e., T+C1 continua a
ser solução para a referida equação diferencial.
Quando a equação diferencial regente do fenómeno em estudo se expressa
apenas em termos de derivadas parciais da variável dependente, então, se T é solução
da equação diferencial, T+C1, sendo C1 uma constante arbitrária, deve continuar a ser
solução da equação. Esta propriedade das equações diferenciais tem que estar
reflectida nas equações algébricas derivadas da equação diferencial, i.e., a seguinte
forma da equação (3.28) ∑=
=W,E,S,Ni
iiPP TATA , deve manter-se válida mesmo quando
se adiciona C1 aos valores de TP e dos nós vizinhos TN, TS, TE, TW. Para assegurar
este requisito, é necessário que ∑=
=W,E,S,Ni
iP AA .
Note-se, no entanto, que a equação (3.28) não reflecte aquela propriedade das
equações diferenciais, uma vez que existe uma fonte nessa equação, que é função da
temperatura e, nesse caso, nem T nem T+C1 são solução da equação diferencial. Não
se trata de uma violação da Regra 4, mas apenas de um caso em que ela não é
aplicável. De qualquer forma, e para assegurar que a propriedade referida se mantém
aplicável na ausência de fontes, a regra deve ser tida em conta no processo de
discretização. Aliás, se se interpretar a Regra 4 da seguinte forma, percebe-se a
necessidade de assegurar a sua vigência no processo de discretização: na ausência de
fontes, se o valor da temperatura dos nós vizinhos de P, concretamente TN, TS, TE,
TW, forem todos iguais, então a temperatura do nó P, TP, deve ter o mesmo valor que
a temperatura dos nós vizinhos. Só um processo incorrecto de discretização não
levaria à previsão, nestas circunstâncias, de WESNP TTTTT ==== .
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
37
3.5 Equação discretizada a três dimensões
Apesar do programa TEACH-C ser aplicável a problemas de duas dimensões [11] e
[12], a sua extensão para um código tridimensional é bastante acessível, se bem que pode
ser um processo moroso que requer bastante atenção para evitar erros de execução. Os
alunos que revelem maior apetência para trabalhar nesta vertente de resolução de
problemas de Fenómenos de Transferência podem facilmente converter o código para três
dimensões. Para o fazerem, bastará partir da equação do calor a três dimensões, que na sua
forma para coordenadas cartesianas é:
QTkTkTktTCp +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=∂∂
zzyyxxρ (3.34)
Seguindo um processo em tudo idêntico ao caso bidimensional, e designando por u e
d os pontos nas interfaces do volume de controlo na direcção zz, respectivamente a
montante e a jusante do nó P, tem-se sucessivamente, e de forma abreviada:
0dtddQTkTk
TktTC
t1 tt
t
n
s
e
w
d
u
p
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−∂∂
∫ ∫ ∫ ∫+
yx
zzyy
xxδρ
δ (3.35.a)
0
5L
dtdddQt
1
4L
dtdddTkt
13L
dtdddTkt
1
2L
dtdddTkt
1
1L
dtdddtTC
t1
tt
t
n
s
e
w
d
u
tt
t
n
s
e
w
d
u
tt
t
n
s
e
w
d
u
tt
t
n
s
e
w
d
u
p
tt
t
n
s
e
w
d
u
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
++
+
+
+
4444 34444 214444444 34444444 21
4444444 34444444 21
4444444 84444444 76
4444444 8444444 76
zyxzyxzz
zyxyy
zyxxx
zyx
δδ
δ
δ
δ
δδ
δ
δ
ρδ
(3.35.b)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
38
dtTT
2kkTT
2kk
t14L
dtTT
2kkTT
2kk
t13L
dtTT
2kkTT
2kk
t12L
tt
tnsew
PU
UPUP
DP
PDDU
tt
tudew
PS
SPSP
NP
PNPN
tt
tudns
PW
WPWP
EP
PEPE
∫
∫
∫
+
+
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
δ
δ
δ
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
yxyz
zxyy
zyxx
(3.36)
( ) udnsew1n
PnP
p TTt
C1L zyx δδδ
δρ −−= (3.37.a)
1n
udnsPW
WPWP
EP
PEPE
n
udnsPW
WPWP
EP
PEPE
TT2
kkTT2
kk)1(
TT2
kkTT2
kk2L
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−+
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
zyxx
f
zyxx
f
δδδδ
δδδδ
(3.37.b)
1n
udewPS
SPSP
NP
PNPN
n
udewPS
SPSP
NP
PNPN
TT2
kkTT2
kk)1(
TT2
kkTT2
kk3L
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−+
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
zxyy
f
zxyy
f
δδδδ
δδδδ
(3.37.c)
1n
nsewPU
UPUP
DP
PDPD
n
nsewPU
UPUP
DP
PDPD
TT2
kkTT2
kk)1(
TT2
kkTT2
kk4L
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−+
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
yxzz
f
yxzz
f
δδδδ
δδδδ
(3.37.d)
( ) ( )1nU
1nP
1nP
nU
nP
nP
tt
t
n
s
e
w
d
u
STS)1(STSdtdddQ5L −−−+
+−++== ∫ ∫ ∫ ∫ ffzyxδ
(3.37.e)
Nas equações anteriores, udzδ representa a dimensão do volume de controlo na
direcção zz, os índices D e U referem-se aos nós da malha vizinhos de P na direcção zz, e
DPzδ e PUzδ às distâncias entre esses mesmos nós e o nó P. Com a utilização do método
implícito, chega-se finalmente ao conjunto de equações:
( ) U
D,U,W,E,S,NiiiPPP STATSA +=− ∑
=
(3.38)
udnsewp
P tC
D zyx δδδδρ
= (3.39.a)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
39
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
NP
udewPNN 2
kkA
yzx
δδδ
(3.39.b)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
PS
udewPSS 2
kkA
yzx
δδδ
(3.39.c)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
EP
udnsPEE 2
kkAx
zyδδδ
(3.39.d)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
PW
udnsPWW 2
kkA
xzy
δδδ
(3.39.e)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
DP
nsewPDD 2
kkAz
yxδδδ
(3.39.f)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
PU
nsewPUU 2
kkA
zyx
δδδ
(3.39.g)
∑=
=U,UD,W,E,S,Ni
niP AA (3.39.h)
PPUU TDSS += (3.39.i)
PnPP DSS −= (3.39.j)
3.6 Método de resolução das equações algébricas: TDMA
A equação (3.28) expressa um balanço de energia para cada volume de controlo do
domínio de solução, já que ela é escrita para cada um dos nós da malha que se localizam
no interior do referido domínio. Desta forma, e como já referido, a discretização da
equação diferencial regente consiste numa série de procedimentos analíticos que
convertem essa equação diferencial num sistema de equações algébricas, cujo número
iguala o número de nós da malha onde a variável dependente é desconhecida. A tarefa
seguinte para a obtenção da distribuição de temperaturas consiste, então, em resolver as
referidas equações algébricas simultâneas.
Deve ter-se em conta que o processo de discretização anteriormente efectuado e o
processo de resolução das equações algébricas, resultantes dessa discretização, são
procedimentos distintos. Assim, a escolha da metodologia de discretização da equação
diferencial não influencia o algoritmo de solução das equações algébricas resultantes. Para
este último, existe na literatura um conjunto bastante vasto de métodos, de complexidade
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
40
diversa, a que se pode recorrer: desde o simples processo iterativo ponto-a-ponto até aos
complexos métodos de inversão matricial directa (ver, e.g., [13] a [16]).
Antes de se expor o método usado pelo programa TEACH-C, far-se-á de seguida
uma breve síntese do método pontual de Gauss-Seidel, que é o mais simples de todos os
métodos iterativos. Este método concretiza a resolução de um sistema de equações
calculando os valores da variável dependente em cada ponto da malha e por uma
determinada ordem.
Sendo a equação discretizada a seguinte: ( ) Unbi
iiPPP STATSA +=− ∑=
, em que nb
designa os nós vizinhos de P, então o valor de TP é dado por:
( )PP
Unbi
ii
P SA
S*TAT
−
+=∑= (3.40)
em que *Ti é o valor do nó vizinho calculado mais recentemente, ou seja, o valor que se
encontra na memória do computador. Este valor tanto pode ser o valor da iteração em
curso, se se referir a um nó já visitado pelo procedimento iterativo, como pode ser o valor
da iteração anterior, se se referir a um nó ainda por visitar na iteração em curso.
Para ilustrar o método de Gauss-Seidel, apresentam-se de seguida dois exemplos
muito simples.
EXEMPLO 1:
Seja o seguinte sistema de equações:
⎩⎨⎧
+=+=0,1TT
2,0T4,0T
12
21
A solução numérica deste sistema, recorrendo ao método de Gauss-Seidel é:
Iteração nº 0 1 2 3 4 5 ... ∞
T1 0 0,2 0,68 0,872 0,949 0,980 ... 1,0
T2 0 1,2 1,68 1,872 1,949 1,980 ... 2,0
Como se pode observar, começando com a estimativa inicial ( ) ( )0,0T,T 21 = , foi
possível efectuar iterações até se alcançar o resultado correcto.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
41
EXEMPLO 2:
Seja o seguinte sistema de equações:
⎩⎨⎧
−=−=
5,0T5,2T0,1TT
12
21
O sistema tem como resultado para as primeiras quatro iterações, usando o método de
Gauss-Seidel:
Iteração nº 0 1 2 3 4
T1 0 -1,0 -4,0 -11,5 -30,25
T2 0 -3,0 -10,5 -29,25 -76,13
Como se pode observar, começando com a estimativa inicial ( ) ( )0,0T,T 21 = , não foi
possível efectuar iterações até se alcançar o resultado correcto, pois o método divergiu, ao
contrário do caso anterior em que o método tinha convergido. E o mais curioso é que o
segundo sistema de equações é exactamente o mesmo sistema que o do exemplo 1, com
rearranjo dos termos, que tinha convergido. É óbvio que, dos exemplos anteriores, a
conclusão que se extrai é que nem sempre o método de Gauss-Seidel converge. Na
realidade, existe um critério de convergência para o método de Gauss-Seidel, que foi
formulado por Scarborough [17] e que estabelece a seguinte condição de suficiência para a
convergência do método:
⎩⎨⎧<≤
−∑
equaçãoumamenospelopara,1equaçõesastodaspara,1
SAA
PP
nb (3.41)
Objectivamente, o critério de Scarborough, que é uma condição suficiente mas não
necessária podendo, portanto, ser violado em sistemas cujo processo iterativo converge
para a solução, estabelece a dominância da diagonal principal da matriz dos coeficientes
das equações. Repare-se que as regras básicas enunciadas na secção 3.4 reforçam este
critério: sendo o declive da fonte (Regra 3) sempre negativo ( 0SP < ), o critério é mais
rapidamente satisfeito, particularmente porque a Regra 4 estabelece que ∑= nbP AA , e a
Regra 2 estabelece que os coeficientes Anb são sempre positivos.
A maior desvantagem do método de Gauss-Seidel é a relativa lentidão da
convergência do processo iterativo, particularmente para malhas com um elevado números
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
42
de nós, devido à dificuldade que o método tem em transmitir a informação das fronteiras,
expressa pelas condições de fronteira, para o interior do domínio de solução. Por essa
razão, o código TEACH-C não usa este método iterativo.
Note-se, no entanto, que a estrutura do programa TEACH-C é extremamente versátil,
admitindo qualquer algoritmo de solução das equações algébricas. A versão do código que
se utilizará contém o algoritmo de Thoma ou TDMA (Tri-Diagonal Matrix Algorithm),
que é um procedimento que resolve simultaneamente as equações para T ao longo de uma
linha da malha, no caso uma coluna I=constante, usando os valores de T mais
recentemente calculados para as colunas adjacentes àquela a que se está a aplicar o
algoritmo de Thoma. Desta forma, este procedimento linha-a-linha é uma extensão do
método iterativo ponto-a-ponto de Gauss-Seidel (ver, e.g., [15]).
Aplicando então o referido procedimento a uma determinada coluna I=constante da
malha, começando pela coluna mais a oeste, W, e efectuando o varrimento coluna-a-coluna
no sentido W-E, a equação (3.28) para cada nó dessa coluna toma a forma:
( ) *
USSNNPPP STATATSA ++=− (3.42.a)
1kE
1kEWWU
*U TATASS −−++= (3.42.b)
Nas equações anteriores, o termo de fonte *US é determinado com os valores de TW e
TE que estão disponíveis no momento do cálculo, i.e., TW é o valor de T que acabou de ser
calculado na iteração em curso para a coluna a montante e TE é o valor de T que foi
calculado na iteração anterior para a coluna a jusante, explicitado pelo índice superior k-1
na equação (3.42.b).
Se designarmos por J=constante as linhas perpendiculares à coluna para a qual se
está a aplicar o algoritmo de Thoma (coluna I=constante), a equação (3.42.a) pode
rescrever-se na forma da equação (3.43), em que o índice j determina a posição do ponto P
na coluna:
j1jj1jjjj cTbTaTd ++= −+ (3.43)
Uma vez que, para cada coluna, J vai variar de J = 2 até J = NJ-1, sendo NJ o número
de nós na direcção yy, o sistema anterior é dado pelas equações:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
43
1nj2nj1nj1nj1nj
2nj1nj2nj1nj2nj2nj2nj
4345444
3234333
23222
cTbTd
cTbTaTd
cTbTaTd
cTbTaTd
cTaTd
−−−−−
−−−−−−−
+=
++=
++=
++=
+=
M (3.44)
Note-se que b2 e anj-1 foram eliminados, já que o seu valor é nulo em resultado do
procedimento descrito na subsecção 3.3.4 para introdução das condições de fronteira,
segundo o qual se anula o coeficiente que liga o nó junto à fronteira ao nó exterior
adjacente e se introduz a expressão correcta do fluxo difusivo através do termo de fonte.
Este termo de fonte, no sistema anterior, está incluído em c2, d2, cnj-1 e dnj-1.
Prosseguindo com a dedução da fórmula de recorrência gerada pela aplicação do
algoritmo de Thoma, o sistema de equações (3.44) é resolvido através de um processo de
eliminação sucessiva, seguido de um processo de substituição que se aplica em sentido
inverso, da última para a primeira linha:
( ) ( )
4342143421*2c
d/cT*2a
d/aT 223222 += (3.45.a)
Substituindo agora o valor de T2 na equação de T3 do sistema de equações (3.44)
obtém-se:
( )( ) ( ) ( )( )
4444 34444 2144 344 21*c
abd/cbcT*a
abd/aT ***
33
233233323334 −++−= (3.45.b)
Procedendo sucessivamente da mesma forma para as equações seguintes do sistema
(3.44), chega-se ao sistema:
*1nj1nj
*2nj1nj
*2nj2nj
*34
*33
*23
*22
cT
cTaT
cTaT
cTaT
−−
−−−−
=
+=
+=
+=
M (3.46)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
44
O sistema de equações anterior pode então ser resolvido por substituição inversa, i.e.,
por substituição da última equação na penúltima, e assim sucessivamente até se chegar à
substituição da segunda equação na primeira. De facto, a última equação do sistema (3.46)
dá directamente o valor de 1njT − . Este valor, quando substituído na penúltima equação do
referido sistema, permite obter directamente o valor de 2njT − . Procedendo sucessivamente
nesta sequência, obtém-se directamente o valor de T2.
Um problema que se pode colocar é o da escolha da direcção segundo a qual se deve
fazer o varrimento de cálculo, i.e., a escolha da correcta sequência em que as linhas numa
dada direcção são calculadas. Por exemplo, para o caso representado na figura 3.7, a
maneira mais conveniente para se resolverem as equações algébricas discretizadas, é
efectuar o varrimento da esquerda para a direita para as linhas I=constante (xx constante),
que é a direcção preferencial do fluxo de calor. Note-se que sendo a parede da direita
adiabática, o calor acabará por fluir todo pelas paredes à temperatura T1. Com este
procedimento, a informação da fronteira a montante, fronteira oeste com uma temperatura
igual a T2, será mais facilmente transmitida para o interior do domínio de solução. Tendo a
fronteira este uma condição de fluxo nulo, pois é adiabática, um varrimento da direita para
a esquerda não transmitiria para o interior do domínio de solução uma informação tão útil
como no caso da condição de temperatura imposta.
y
x
ADIABÁTICO
T1
T2
(T2 > T1) T1
Direcção preferencial do fluxo de calor
Figura 3.7 – Exemplo típico de um caso em que há vantagem de efectuar o varrimento de cálculo da esquerda para a direita, direcção preferencial do fluxo de calor.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
45
Como já referido anteriormente, existem muitos outros métodos iterativos de solução
de sistemas de equações lineares, que não serão aqui descritos, mas que merecem destaque
devido à generalização do seu uso. É o caso do método linha-a-linha designado por ADI
(Alternative Direction Implicit), desenvolvido por Peaceman e Rachford [18], e do método
SIM (Strong Implicit Method), desenvolvido por Stone [19].
3.7 Procedimento iterativo global
A figura 3.8 esquematiza o procedimento iterativo global, no qual se podem observar
os vários passos envolvidos no cálculo da evolução não estacionária da temperatura, num
problema de difusão de calor, começando-se com uma distribuição inicial no instante
inicial t=t0. O procedimento prossegue com o cálculo dos coeficientes das equações
algébricas discretizadas para o instante t1=t0+δ t, usando as temperaturas iniciais. Segue-se
o processo iterativo linha-a-linha definido pelo algoritmo de Thoma para resolver o sistema
de equações lineares, até se obter uma solução convergida, segundo um critério de
pequenez numérica do resíduo global, que se verá de seguida. Se o critério não for
satisfeito, as iterações prosseguem, recomeçando o ciclo no cálculo dos coeficientes das
equações algébricas discretizadas. Quando o critério de convergência é satisfeito, o
processo memoriza então as temperaturas calculadas como temperaturas do instante
anterior t1, e prossegue o cálculo para o instante ttt 12 δ+= , e assim sucessivamente até
que o tempo total estabelecido tenha sido cumprido.
Existem assim três processos iterativos, correspondendo o processo iterativo mais
interior ao algoritmo de Thoma. Este processo iterativo é, por sua vez, repetido para cada
instante de tempo, tantas vezes quantas as necessárias para se obter um campo convergido,
i.e., um campo de temperaturas com um resíduo suficientemente pequeno. Este ciclo no
espaço existe devido ao facto de muitos dos problemas a resolver não serem lineares e,
portanto, haver necessidade de recalcular os coeficientes das equações algébricas para cada
novo campo de temperaturas obtido. O ciclo exterior, que corresponde ao processo não
estacionário, executa os ciclos anteriormente referidos até se atingir o tempo total de
cálculo, que é pré-estabelecido.
A variante estacionária deste procedimento é aquela que executa apenas uma iteração
no tempo com um passo temporal δt=∞, aspecto que é assegurado pela formulação
implícita, o que é equivalente a dizer que não se opera o ciclo exterior.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
46
Figura 3.8 – O fluxograma do processo iterativo global.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
47
3.8 Convergência, precisão e estabilidade numérica
Existem outras operações de cálculo e de testes no interior do programa TEACH-C
que se relacionam com aspectos importantes do cálculo numérico de equações diferenciais,
que se abordam seguidamente.
Pode definir-se convergência como a propriedade de um processo iterativo que
assegura a evolução suave dos valores calculados para a variável dependente, desde um
conjunto de valores iniciais estimados até à solução final e aceitável das equações
algébricas, obtidas da discretização da equação diferencial regente. O critério designado
por aceitável para a solução final avalia-se de duas formas:
i) A variação do campo de temperaturas produzido por duas iterações
consecutivas é suficientemente pequeno, de acordo com um valor prescrito
a priori;
ii) O resíduo RP das equações discretizadas a partir da equação diferencial
regente, neste caso a equação geral do calor – equações (3.1) e (3.2), atinge
um valor suficientemente pequeno. O resíduo RP define-se pelo seguinte
balanço de energia:
( ) U
W,E,S,NiiiPPPP STATSAR −−−= ∑
=
(3.47)
O último critério é o mais importante e, na prática, o procedimento usado pelo
programa TEACH-C exige que a soma dos valores absolutos dos resíduos para todos os
volumes de controlo (o que é equivalente a dizer a soma dos valores absolutos de todos os
balanços de energia locais em todo o domínio de solução) seja inferior à fracção muito
pequena e pré-estabelecida λ de um fluxo de calor de referência, como por exemplo, o
fluxo total de calor em jogo QTOT, i.e.:
TOT
n
1ii,P QR λ≤∑
=
(3.48)
No que se refere à precisão dos resultados numéricos, a sua principal dependência
pode ser fixada nos dois seguintes factores:
i) Obtenção de uma solução aceitável para as equações discretizadas;
ii) Estabelecimento da amplitude adequada para o passo no tempo, δt, e para o
espaçamento da malha, i.e., para a distância entre nós consecutivos, que
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
48
devem ser suficientemente pequenos para que a solução obtida não varie
com a redução destes parâmetros. Relativamente ao espaçamento da malha,
é usual designar-se como solução independente da malha aquela que é
obtida com uma malha cujo refinamento deixa de a alterar.
Finalmente, falta referir a estabilidade numérica do método. O processo iterativo
interior para resolução das equações algébricas, que se explanou anteriormente, ou o
processo iterativo de resolução das não linearidades possivelmente existentes em alguns
problemas foram formulados de forma a assegurar, tanto quanto possível, a convergência
do processo, nomeadamente através da garantia da dominância da diagonal principal da
matriz dos coeficientes das equações discretizadas. Este requisito, cuja formulação
matemática se pode traduzir pela equação ∑=
≥−nbi
iPP ASA , deve ser verificado para
todos os nós da malha, sendo que, como se viu pela equação (3.41), a inequação estrita
deve ser verificada para, pelo menos, um nó da malha. Pode-se demonstrar que, na
ausência de fontes de calor que aumentam com a temperatura, este critério é sempre
obedecido qualquer que seja a dimensão da malha e o passo no tempo. No caso de haver
fontes de calor que aumentam com a temperatura, o critério anterior é obedecido desde que
se procurem o espaçamento da malha e o passo no tempo adequados.
No caso de problemas acentuadamente não lineares, em que os próprios coeficientes
podem ser função da variável dependente como, por exemplo, no caso em que a
condutibilidade térmica é função da temperatura, o critério anterior pode não ser
estritamente válido, apesar da experiência numérica mostrar que é uma condição quasi-
suficiente. Mesmo assim, neste tipo de problemas acentuadamente não-lineares é, por
vezes, necessário limitar as variações da variável dependente (neste caso, a temperatura T)
entre duas iterações consecutivas. Há duas maneiras possíveis de efectivar numericamente
esse amortecimento da variação da variável dependente:
i) Utilizando passos no tempo muito reduzidos;
ii) Introduzindo uma sub-relaxação à variável dependente, que consiste na
ponderação do seu valor entre duas iterações consecutivas.
Esta sub-relaxação expressa-se matematicamente, para cada nó P, pela equação
matemática seguinte:
( ) 1n
PnPP T1TT −−+= αα (3.49)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
49
em que nPT e 1n
PT − são, respectivamente, as soluções das iterações n e n-1, e α é o factor de
sub-relaxação, cuja gama de valores admissíveis é 10 ≤≤ α . Substituindo o valor de nPT ,
obtido a partir da equação (3.49), na equação ( ) Unbi
iiPPP STATSA +=− ∑=
, obtém-se a
equação algébrica final, sub-relaxada, usada pelo código TEACH-C:
( ) ( ) ( )
αα
αPP1n
PUnbi
iiPPP SA
T1STATSA −
−++=− −
=∑ (3.50)
3.9 Uso de coordenadas curvilíneas ortogonais
As derivações apresentadas neste texto referiram-se a coordenadas cartesianas e a
coordenadas cilíndricas axissimétricas. No entanto, existem casos práticos em engenharia
cujas geometrias não são adaptáveis a estes sistemas de coordenadas. Assim, para resolver
problemas com geometrias cujos domínios exibem formas irregulares é, por vezes,
conveniente recorrer a coordenadas curvilíneas ortogonais como a que se representa na
figura 3.9.
Figura 3.9 – Volume de controlo numa malha em coordenadas curvilíneas ortogonais.
Para esta malha, o cálculo das várias distâncias, das áreas das interfaces e do próprio
volume dos volumes de controlo não se processa de forma tão directa como no caso das
coordenadas cartesianas ou das cilíndricas axissimétricas. Contudo, toda a metodologia
aqui desenvolvida é aplicável a este sistema de coordenadas desde que se assegure a
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
50
ortogonalidade das linhas que definem a malha. De facto, a forma como o fluxo difusivo é
calculado na interface de um volume de controlo, em função dos valores da variável
dependente nos dois nós que lhe são adjacentes, requer que essa interface seja normal à
linha da malha que une esses dois nós.
Não se trata, no entanto, de tarefa de fácil execução, esta da geração da malha em
coordenadas curvilíneas ortogonais. Existem vários métodos para gerar estas malhas (ver,
e.g., referências [20] e [21]), mas é um assunto demasiado avançado para o objectivo do
presente texto, e, como tal, não se abordará aqui.
Pode-se ainda referir que existe outro tipo de malhas, as designadas malhas não-
estruturadas, para as quais a discretização das equações diferenciais tem um procedimento
peculiar, que também sai fora do âmbito introdutório do presente texto.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
51
CAPÍTULO
4
DESCRIÇÃO DO CÓDIGO TEACH-C
4.1 Nota introdutória
Neste capítulo, o programa TEACH-C é descrito tendo em mente que a sua aplicação
pode ser tão vasta como a do método desenvolvido no capítulo 3. O código é, portanto,
aplicável a problemas de difusão de calor (ou de massa, ou de quantidade de movimento),
em situações estacionárias ou transientes, em problemas com coordenadas cartesianas ou
cilíndricas axissimétricas, com ou sem fontes de calor (ou de massa, ou de quantidade de
movimento), com condutibilidade térmica uniforme ou variável (dependente da
temperatura ou variável com a posição espacial) e sem qualquer restrição às condições de
fronteira. Apesar de se ter imposto a constância das propriedades do material, massa
volúmica e calor específico, o programa pode ser alterado, sem dificuldades acrescidas, de
forma a incorporar variações dessas propriedades.
Embora o programa original estivesse escrito em FORTRAN-IV, a versão aqui
apresentada foi rescrita para FORTRAN-90 e pode ser executada num computador pessoal
com um compilador vulgar de FORTRAN.
Por outro lado, o programa TEACH-C foi escrito de forma a ser uma solução de
compromisso entre as soluções algo conflituosas de códigos de aplicação genérica,
eficientes em termos de memória e tempo de cálculo requeridos e a facilidade de
compreensão e de manipulação desses códigos.
Deverá ainda salientar-se que todos os valores a introduzir no programa TEACH-C
deverão estar em unidades SI.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
52
4.2 O sistema de coordenadas bi-radial
Uma das características do código, criada como forma de redução da memória
computacional requerida, é o uso de vectores (matrizes unidimensionais) para armazenar
os valores dos coeficientes das equações algébricas, que vão sendo redefinidos à medida
que o código executa o processo iterativo e muda de uma linha para a seguinte. Esta opção
poderia criar uma situação de inflexibilidade do código no que se refere à melhor
orientação a dar ao domínio de solução, que, tal como explicado na secção 3.6, pode
acarretar inconvenientes e, portanto, carece de remoção.
Um caso típico que poderia gerar este tipo de inconvenientes é o de uma alheta
anular, como a que se representa na figura 4.1. Tal como explicado na subsecção 3.6, é
preferível executar o varrimento do processo iterativo de solução na direcção preferencial
do fluxo de calor, i.e., em linhas verticais que são perpendiculares à direcção
preferencialmente radial do fluxo de calor. Se a alheta não fosse cilíndrica e axissimétrica,
uma simples reorientação seria suficiente para resolver o problema. No entanto, num
sistema clássico de coordenadas cilíndricas axissimétricas, como o representado na figura
4.1 (a), tal não é possível. Se, contudo, o sistema de coordenadas for bi-radial como o do
programa TEACH-C, em que a direcção radial pode ser indiferentemente orientada
segundo o eixo dos yy (tomando a designação ry) ou segundo o eixo dos xx (tomando a
designação rx), a reorientação pretendida é facilmente exequível, tal como ilustrado na
figura 4.1 (b).
(a) (b)
Figura 4.1 – Ilustração do uso de coordenadas bilabiais para uma alheta com geometria
axissimétrica: (a) Orientação clássica, (b) Orientação alternativa.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
53
Assim, o versátil código TEACH-C admite um sistema de coordenadas com dois
raios possíveis de curvatura, rx e ry. É obviamente inadmissível executar o programa
simultaneamente com dois raios de curvatura, o que equivaleria a ter uma geometria com
dois eixos de simetria. Para impedir este procedimento errado, o código iguala à unidade o
raio de curvatura que não é relevante, e contém um teste (filtro) para interrupção da
execução do programa caso o utilizador menos atento imponha a coexistência de dois raios
de curvatura.
Não constitui tarefa árdua generalizar a equação (3.21) para admissibilidade de
coordenadas bi-radiais. Na realidade, basta apenas alterar as expressões de cálculo do
volume de cada célula, bem como das áreas das suas interfaces, que aparecem no cálculo
dos coeficientes das equações algébricas: equações (3.23.a) a (3.23.e).
Desta forma obtém-se:
ewnsy,Px,PPV xyrr δδ≈ (4.1.a)
ewx,Py,nna xrr δ≈ (4.1.b)
ewx,Py,ssa xrr δ≈ (4.1.c)
nsx,ey,Pea yrr δ≈ (4.1.d)
nsx,ey,Pwa yrr δ≈ (4.1.e)
É esta a versão que o código TEACH-C utiliza.
4.3 Estrutura global do código TEACH-C
A figura 4.2 representa, de forma resumida e em formato de fluxograma, a estrutura
global do código TEACH-C, onde se podem observar as subrotinas contidas pelo código, a
sua função e a relação entre elas, bem como a sequência pela qual elas são chamadas.
O PROGRAMA PRINCIPAL constitui-se no bloco central do código. Neste bloco, o
primeiro capítulo executa operações de atribuição de valores aos parâmetros de controlo,
nomeadamente para a malha e para as coordenadas a usar, estabelece as dimensões do
domínio de solução e as propriedades do material e efectua a escolha do ponto monitor e
das variáveis de controlo do progresso do código.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
54
Figura 4.2 – Estrutura global do programa TEACH-C.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
55
No capítulo seguinte, o capítulo 2, o programa chama a SUBROUTINE INIT, onde
as variáveis são inicializadas a zero, ou com um valor a definir pelo utilizador, e onde são
calculadas todas as grandezas geométricas relacionadas com a malha, i.e., as dimensões
dos volumes de controlo.
Neste capítulo do PROGRAMA PRINCIPAL são ainda atribuídos os valores
numéricos que serão usados nas condições de fronteira e a SUBROUTINE PROPS é
chamada para inicializar o valor das propriedades do material em todos os nós do domínio
de solução, nomeadamente a condutibilidade térmica do material. Por fim, é possível
efectuar uma impressão das condições iniciais com recurso à SUBROUTINE PRINT.
No capítulo 3 do PROGRAMA PRINCIPAL procede-se à resolução do problema
com o cálculo propriamente dito, através da execução dos ciclos iterativos no tempo e no
espaço. O cálculo dos coeficientes das equações algébricas discretizadas é efectuado para
cada nó do domínio de solução na SUBROUTINE CALCT, que é chamada pelo
PROGRAMA PRINCIPAL, e que, por sua vez, recorre à SUBROUTINE PROMOD para
especificar as condições de fronteira e fontes, se existirem, e à SUBROUTINE SOLVE
para efectuar a solução das equações algébricas pelo algoritmo de Thoma ou TDMA. É
ainda na SUBROUTINE CALCT que se calcula o resíduo global para efectuar o teste de
convergência. Seguidamente, o PROGRAMA PRINCIPAL retoma a SUBROTINE
PROPS para actualizar os valores das propriedades do material, particularmente no caso de
problemas em que a condutibilidade térmica do material depende da temperatura. Neste
capítulo do PROGRAMA PRINCIPAL são ainda impressos os campos da temperatura,
chamando a SUBROUTINE PRINT, de acordo com os critérios estabelecidos pelo
utilizador na escolha que efectuou para os parâmetros de controlo, no capítulo 1.
O processo termina com o capítulo 4, onde o utilizador pode adicionar as operações
finais que entenda, não existentes actualmente no programa.
Detalhes mais relevantes da estrutura do código serão descritos adiante, neste
capítulo, na subsecção 4.5.
4.4 Símbolos e convenções importantes 4.4.1 A malha
A figura 4.3 apresenta um volume de controlo típico de uma malha com todas as
dimensões e cotas expressas com a notação usada em FORTRAN pelo código TEACH-C.
Como se pode observar, cada nó P da malha é referenciado pelos índices (I,J), sendo I o
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
56
índice que especifica a linha da malha na direcção xx com uma coordenada X(I) e J é o
índice que especifica a linha da malha na direcção yy com uma coordenada Y(J). Os
valores de I e de J têm como limites: 1 ≤ I ≤ NI e 1 ≤ J ≤ NJ. No entanto, estes limites nem
sempre definem o domínio de solução.
Figura 4.3 – Notação em FORTRAN das variáveis geométricas.
De facto, para geometrias irregulares como a que se representa na figura 4.4 ou a da
figura 3.3, o código torna inactivos alguns dos nós da malha ou volumes de controlo,
recorrendo, para tal, às variáveis JS(I) e JN(I), que estabelecem o limite inferior, JS(I), e o
limite superior, JN(I), do domínio de solução para cada linha I.
Para o caso da figura 4.4, em que a malha tem 12×8 nós (NI×NJ), respectivamente
nas direcções xx e yy, a variável JS(I) deveria ser definida como: JS(I) = 2 para I = 2 a 4;
JS(I) = 3 para I = 5; JS(I) = 4 para I = 6; JS(I) = 5 para I = 7; JS(I) = 6 para I = 8 a 11.
O código disponibiliza três sistemas possíveis de coordenadas: cartesianas e
cilíndricas, tendo este último a opção bi-radial. Esta escolha é efectuada através das
variáveis lógicas INCYLX e INCYLY: quando ambas assumem o valor lógico .FALSE., o
utilizador optou por coordenadas cartesianas e, automaticamente, o programa atribui um
valor unitário aos dois raios de curvatura rx e ry. Quando se impõe INCYLX = .TRUE. e
INCYLY = .FALSE., o raio de curvatura rx é calculado e ry é igualado à unidade, tendo o
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
57
utilizador optado pela geometria radial com axissimetria no eixo yy (ver figura 4.1 (b)).
Caso contrário, quando INCYLX = .FALSE. e INCYLY = .TRUE., o raio de curvatura ry é
calculado e o raio rx é igualado à unidade, tendo o utilizador optado pela geometria radial
com axissimetria no eixo xx (ver figura 4.1 (a)).
Tal como já referido, se INCYLX = .TRUE. e INCYLY = .TRUE., o programa é
automaticamente interrompido emitindo uma mensagem de erro.
Domínio
Fronteira real
y
Linhas definidoras das interfaces dos volumes de controlo
x Fronteira fictícia
Malha
Figura 4.4 – Uso de uma malha regular numa geometria irregular. A variável JS(I) define, para cada I, o limite inferior do domínio de solução.
Os valores de NI, NJ, X(I), Y(J), JS(I), JN(I), INCYLX e INCYLY têm que ser
obrigatoriamente fornecidos pelo utilizador do programa. A partir destes dados, o
programa, para além dos raios de curvatura já mencionados, calcula as seguintes variáveis
geométricas:
DXPW(I) distância entre os nós P e W, δxPW;
DXEP(I) distância entre os nós P e E, δxEP;
DYPS(J) distância entre os nós P e S, δyPS;
DYNP(J) distância entre os nós P e N, δyNP;
SEW(I) dimensão do volume de controlo na direcção xx em torno de P, δxew;
SNS(J) dimensão do volume de controlo na direcção yy em torno de P, δyns.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
58
4.4.2 Variáveis dependentes e propriedades do material
As temperaturas da iteração em curso (ou iteração actual) são armazenadas na matriz
T(I,J) e os da iteração anterior na matriz TOLD(I,J), para se poderem resolver problemas
transientes, sendo I e J os índices que definem a posição do nó em causa. De forma a poder
considerar-se a condutibilidade do material variável com o espaço ou com a temperatura, o
código dispõe da matriz GAMH(I,J). Contudo, como referido na subsecção 3.3.2, não está
prevista pelo programa TEACH-C a variação da massa volúmica ρ do material nem do seu
calor específico Cp.
4.4.3 Parâmetros de controlo
Além dos parâmetros de escolha das coordenadas INCYLX e INCYLY, existem no
programa outras variáveis de controlo que definem opções importantes para o utilizador, e
que, portanto, este deve conhecer. Essas variáveis são as seguintes:
INTIME é uma variável lógica que define o regime em estudo como estacionário
quando INTIME = .FALSE., ou transiente quando INTIME = .TRUE. e, no primeiro caso,
o cálculo do termo transiente da equação algébrica, ( )1nP
nPP TTD −− , não é executado e o
programa apenas itera no espaço para a obtenção da solução final. Apesar desta prática ser
equivalente a impor um passo temporal δt infinito, é computacionalmente mais económica
e eficiente.
INPRO é também uma variável lógica que permite ao utilizador estabelecer se vai
resolver um problema com condutibilidade térmica constante (INPRO = .FALSE.) ou, se
pelo contrário, aquela propriedade é variável (INPRO = .TRUE.). Neste último caso, o de k
variável, a SUBROUTINE PROPS é chamada repetidamente no interior do ciclo espacial
para actualizar o valor da condutibilidade térmica k, de acordo com a especificação dada
pelo utilizador, sempre que há novos valores da temperatura T, ou seja, sempre que termina
a execução da SUBROUTINE CALCT. No caso da condutibilidade térmica do material ser
constante, a SUBROUTINE PROPS só é chamada uma vez no início dos cálculos.
MAXSTP é a variável que define o número máximo de passos no tempo a executar.
Quando o utilizador estabelece regime estacionário (INTIME = .FALSE.) para o seu
problema, o código impõe automaticamente um valor unitário para MAXSTP. No caso de
regime transiente, o número de passos no tempo realmente efectuado vai sendo
contabilizado cumulativamente pela variável NSTEP.
MAXIT é a variável que define o número máximo de iterações no espaço, para cada
passo no tempo. No caso deste número limite ser atingido, sem se ter alcançado a
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
59
convergência do processo iterativo, o programa é interrompido e envia uma mensagem de
aviso de erro. O número de iterações realmente efectuadas vai sendo cumulativamente
contabilizado pela variável NITER.
SORMAX é valor de λ da equação (3.48) que estabelece o nível de convergência do
processo em ralação a um valor de referência, Qref. Assim, a soma adimensionalizada dos
valores absolutos dos resíduos para todos os volumes de controlo, ref
n
1iPi Q/R∑
=
, deverá ser
inferior ao valor de SORMAX pré-estabelecido. RESORT é a soma dos valores absolutos
dos resíduos para todos os volumes de controlo, cuja adimensionalização, ou normalização,
se efectua dividindo RESORT por SNORM, sendo este o valor de referência do fluxo de
calor, Qref.
DT é o passo no tempo, δt, a ser especificado pelo utilizador, e que pode ser variável
durante o processo de cálculo transiente.
URFT é o factor de sub-relaxação, α, para a temperatura, de acordo com a equação
(3.50).
NITPRI é uma variável de controlo de impressão de resultados. Esta variável define
o intervalo dentro de cada iteração temporal, medido em número de iterações espaciais,
para o qual o campo de temperaturas é impresso.
NSTPRI é a variável que controla a impressão de resultados transientes do campo de
temperaturas num intervalo medido em número de iterações no tempo. Assim, os
resultados transientes são impressos a cada múltiplo do número de iterações no tempo,
NSTPRI, e, entre duas iterações temporais consecutivas, o campo de temperaturas é ainda
impresso a cada múltiplo do número de iterações espaciais, NITPRI.
IMON, JMON é o par de índices (I,J) que define o ponto monitor, que é um ponto do
interior do domínio de solução seleccionado pelo utilizador, para o qual o valor da
temperatura é impresso ao longo do processo iterativo, permitindo-lhe avaliar a evolução
da convergência do referido processo iterativo.
4.4.4 Coeficientes da equação discretizada
Os coeficientes da equação discretizada - ver equação (3.28) - AN, AS, AE, AW, AP,
SU e SP, constituem parâmetros do programa que o utilizador deve conhecer e, acima de
tudo, deve saber onde são calculados e onde devem ser modificados quando se referem a
nós da fronteira. O equivalente em FORTRAN dos referidos coeficientes é dado na tabela
4.1.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
60
Note-se que os coeficientes correspondem a símbolos no código que são matrizes
unidimensionais, i.e., vectores, por razões de economia de memória computacional
requerida. Assim, quando o processo iterativo progride de uma linha I = constante para a
linha seguinte, os coeficientes são recalculados, perdendo-se os valores para a linha
anterior definitivamente.
Tabela 4.1 – Símbolos em FORTRAN dos coeficientes da equação discretizada.
Coeficiente Símbolo em FORTRAN
AN AN(J)
AS AS(J)
AE AE(J)
AW AW(J)
AP AP(J)
SU SU(J)
SP SP(J)
4.5 Descrição do CASO_BASE resolvido na versão original do
código 4.5.1 Natureza do problema
A versão original do código TEACH-C resolve um problema de condução de calor
bidimensional e transiente. A figura 4.5 mostra a geometria deste problema que, como se
pode observar, se trata de uma barra muito longa de secção recta rectangular (W×H).
Inicialmente, a barra está toda à temperatura de 0 ºC. Subitamente, é imposta a temperatura
de 100 ºC na face superior da barra, mantendo-se as outras faces à temperatura de 0 ºC.
As propriedades do material são as seguintes: k = 14,68 W m-1 ºC-1, ρ = 7800 kg m-3,
Cp = 485,67 J kg-1 ºC-1. O objectivo do problema é estudar a evolução ao longo do tempo
da distribuição de temperaturas no interior da barra, até se atingir o regime estacionário.
Na medida em que o comprimento da barra é muito maior que as suas altura e
largura, respectivamente H e W, o problema pode ser abordado bidimensionalmente se
desprezarmos o efeito dos topos. Assim, o problema resume-se ao caso representado na
figura 4.6.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
61
Figura 4.5 – Geometria real do CASO_BASE da versão inicial do código TEACH-C.
Figura 4.6 – Geometria bidimensional realmente calculada pelo CASO_BASE da versão inicial do código TEACH-C.
4.5.2 Variáveis relevantes e descrição das subrotinas
Na versão original do programa TEACH-C, as seguintes variáveis constituem um
conjunto relevante para a demonstração do problema:
H Altura H da barra [m]
W Largura W da barra [m]
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
62
TCON(I,J) Condutibilidade térmica do material [W m-1 ºC-1]
CV(I,J) Calor específico do material [J kg-1 ºC-1]
DENSIT(I,J) Massa volúmica do material [kg m-3]
TTOP Temperatura da face superior da secção recta da barra [ºC]
TBOT Temperatura da face inferior da secção recta da barra [ºC]
TLEFT Temperatura da face esquerda da secção recta da barra [ºC]
TRIGHT Temperatura da face direita da secção recta da barra [ºC]
De seguida, fornecer-se-ão alguns pormenores de cada uma das subrotinas do código
TEACH-C, que devem ser lidos em conjunto com a totalidade da listagem do código
fornecida no Apêndice 1, para uma análise mais objectiva e profícua do programa.
Primeiro serão referidas as subrotinas que dependem do problema e, depois, as subrotinas
que são independentes do problema e, como tal, imutáveis.
PROGRAMA PRINCIPAL
i) Capítulo 0: trata das operações preliminares como a especificação da dimensão
das matrizes, IT e JT, e da dimensão da malha, NI e NJ. São dados valores a NI e NJ
correspondendo a uma malha de 12 × 12 (10 volumes de controle em cada direcção do
espaço, visto os nós externos serem inactivos).
ii) Capítulo 1: começa com as dimensões globais do domínio de solução e com a
malha. O sistema de coordenadas cartesianas é seleccionado atribuindo o valor .FALSE. às
variáveis INCYLX e INCYLY.
Os dados para a geometria da barra são especificados (H = 1,0 m e W = 1,0 m). A
malha pode ser uniforme, ou com expansão regular através dos factores de expansão
FEXPX e FEXPY para as coordenadas dos nós X(I) e Y(J), respectivamente. A malha é
uniforme se se atribuir a estes factores o valor 1,0. Aos limites do domínio de cálculo JS(I)
e JN(I) são atribuídos os valores 2 e NJ – l, respectivamente.
As propriedades do material que estão especificadas são as do aço, em unidades do
Sistema Internacional.
Os valores atribuídos aos parâmetros de controlo são: 20 passos no tempo com a
duração de 50 s cada um, com um número máximo possível de 100 iterações espaciais para
cada passo no tempo.
O campo de temperaturas será escrito em todos os passos no tempo (NSTPRI = 1) e,
dentro de cada passo no tempo, em cada NITPRI iterações espaciais (NITPRI = 110, i.e.,
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
63
não se escreve o campo de temperaturas para as iterações espaciais). Não se procede à
relaxação do campo de temperaturas (URFT = 1,0) e o critério de convergência é
SORMAX = 10-3, i.e., 0,1% do fluxo de calor de referência.
A localização do ponto monitor é especificada (IMON = 6, JMON = 6).
iii) Capítulo 2: começa com uma chamada à SUBROUTINE INIT, onde são
calculados os parâmetros geométricos da malha e as matrizes são inicializadas a zero. De
volta ao PROGRAMA PRINCIPAL são atribuídos os valores das temperaturas nas
fronteiras. A SUBROUTINE PROPS é chamada para inicializar a matriz da
condutibilidade térmica. Em seguida, o factor de normalização do resíduo, SNORM, é
calculado. Esta quantidade depende do problema e deve ser especificada pelo utilizador.
Neste caso particular SNORM é calculado da seguinte forma: ( ) H/WTTk BOTTOP − . Esta
equação expressa uma referência do fluxo de calor em jogo neste problema.
O capítulo fecha com a escrita das especificações do problema de acordo com os
dados do utilizador.
iv) Capítulo 3: este capítulo do código TEACH-C diz respeito ao cálculo
propriamente dito, e não requer nenhuma modificação para o presente problema. Contudo,
amiúde, são necessárias alterações do seguinte tipo:
- para cálculos não-estacionários é necessário, por vezes, ajustar o DT durante o
cálculo, para minimizar o tempo de cálculo;
- alteração das condições fronteiras e/ou fontes que podem depender do tempo ou da
temperatura;
- alterações nas operações de escrita.
Uma das principais funções deste capítulo é supervisionar o desenvolvimento do
processo iterativo. Um dos testes que é feito consiste em comparar o valor do resíduo
normalizado com um certo valor predefinido. Este teste é feito para um número de
iterações a partir de um valor estabelecido, NITER ≥ 20. Se a fonte exceder o valor
prescrito o programa pára, indicando que o processo está a divergir.
v) Capítu1o 4: escreve o campo final de temperaturas.
SUBROUTINE PROMOD
Nesta subrotina são incorporadas as condições de fronteira. No exemplo apresentado,
todas as fronteiras são do tipo Dirichlet, i.e., temperatura imposta. Assim, será suficiente
examinar o tratamento de apenas uma fronteira, por exemplo a fronteira NORTE, para se
perceber o procedimento.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
64
A expressão para o fluxo de calor na equação discretizada, que é calculado
incorrectamente pela SUBROUTINE CALCT, é suprimida, fazendo AN(NJM1) = 0. A
expressão correcta para o fluxo de calor ( ) BPewPBBn /TTkq yx δδ−= é inserida em
SU(NJM1) e SP(NJM1) com auxílio da quantidade BPewB /k yx δδ representada por DN.
As restantes fronteiras são tratadas de um modo semelhante. As alterações a SU(NJM1) e
SP(NJM1) são feitas de um modo aditivo, para não interferir com as quantidades já
armazenadas nestas duas matrizes, o que pode acontecer num problema com fontes de
calor. Caso isso aconteça, estes são também inseridos nesta subrotina.
O índice IL contém o valor da linha I=constante que se está a resolver no processo
iterativo, para que se possa dar conhecimento ao programa do momento adequado para se
aplicarem as modificações para as fronteiras laterais (este e oeste).
SUBROUTINE PROPS
Esta subrotina só é modificada quando a condutibilidade térmica varia de
determinada maneira com a temperatura ou com o espaço. Nestas circunstâncias, o
utilizador deve especificar a lei matemática dessa variação na SUBROUTINE PROPS. No
exemplo que consta da versão inicial do código TEACH-C, a condutibilidade térmica é
constante e portanto o valor atribuído a TCON no PROGRAMA PRINCIPAL é
introduzido automaticamente na matriz GAMH(I,J) e uma única vez.
De seguida efectuar-se-á a descrição das subrotinas independentes do problema.
SUBROUTINE CALCT
i) Capítulo 1: trata do cálcu1o dos coeficientes das equações discretizadas. Este
cálculo é feito linha-a-linha, para linhas I=constante, e com os valores de I a variar no
intervalo: 2 ≤ I ≤ NI-1. Os limites inferior e superior para cada uma das linhas são
estabelecidos, respectivamente, por JS(I) e JN(I). Devido à relação de reciprocidade entre
os vários coeficientes, AS(J) = AN(J-1) e AW(J) (para a linha I) = AE(J) (para a linha I–1),
só são calculados dois coeficientes para cada volume de controlo: AN(J) e AE(J).
ii) Capítulo 2: chama a SUBROUTINE PROMOD, onde os coeficientes são
modificados, sempre que necessário.
iii) Capítulo 3: associa os coeficientes de forma conveniente para que o método de
resolução do sistema de equações algébricas seja aplicado. Neste capítulo calculam-se e
somam-se resíduos e incorpora-se a sub-relaxação.
iv) Capítulo 4: chama a SUBROUTINE SOLVE que de descreve de seguida.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
65
SUBROUTINE SOLVE
i) Capítulo 1: as equações algébricas são resolvidas para cada linha I=constante,
através do algoritmo de cálculo TDMA. A sequência é a seguinte: os coeficientes da
equação (3.43) são calculados, seguindo-se o cálculo dos coeficientes das equações (3.46)
e, finalmente, as temperaturas são calculadas por substituição por ordem inversa, desde a
última equação até à primeira equação, no sistema definido pelas equações (3.46).
SUBROUTINE INIT
i) Capítulo 1: contém teste de erro à incompatibilidade de definição de duplo
sistema radial.
ii) Capítulo 2: contém os cálculos relacionados com a malha, cuja nomenclatura
permite que sejam auto-explicativos. Deve notar-se que os valores das coordenadas das
linhas extremas (I=1, I=NI, J=1, J=NJ) são reajustados de forma a garantir que coincidem
com os valores das coordenadas extremas do domínio físico de solução para facilitar a
leitura dos resultados.
iii) Capítulo 3: inicializa as variáveis. Neste capítulo, o utilizador pode
eventualmente alterar os valores de inicialização das variáveis de acordo com as condições
específicas de cada problema.
SUBROUTINE PRINT
Trata-se de uma subrotina geral para as operações de escrita. Esta subrotina escreve o
conteúdo de qualquer matriz bidimensional PHI(I,J) com um título especificado no
FORMAT apropriado. A variável PHI(I,J) é argumento da subrotina.
4.5.3 Metodologia de modificações ao código TEACH-C
Querendo adaptar-se o programa TEACH-C a um problema particular, deve
proceder-se de acordo com a seguinte metodologia e sequência de modificações
necessárias:
PROGRAMA PRINCIPAL
Capítulo 0
• Especificar as dimensões (IT,JT) das matrizes bidimensionais, e da malha (NI,NJ).
Capítulo 1
• Seleccionar o sistema de coordenadas através das variáveis INCYLX e INCYLY
• Fornecer o modo de calcular as coordenadas dos pontos da malha X(I) e Y(J)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
66
• Especificar os limites superior e inferior do domínio de solução, respectivamente
JN(I) e JS(I), para cada linha I=constante.
• Atribuir valores apropriados aos parâmetros de controlo INTIME e INPRO.
• Se os cálculos são não-estacionários, atribuir valores ao intervalo de tempo DT e ao
intervalo para a operação de escrita NSTPRI. Para cálculos estacionários, os
valores destas duas variáveis, DT e NSTPRI, são irrelevantes.
• Fornecer os valores das propriedades dos materiais TCON, CV e DENSIT.
• Se as propriedades dos materiais são dependentes da temperatura, inserir a
sequência de cálculos para essas propriedades na SUBROUTINE PROPS.
• Especificar o valor dos parâmetros de controlo do processo iterativo MAXIT,
URFT e SORMAX.
• Especificar o valor dos parâmetros de controlo de escrita NITPRI, NSTPRI e
IMON, JMON.
Capítulo 2
• Fornecer o valor das temperaturas nas fronteiras (caso sejam condições fronteiras
de temperatura imposta) e inicializar os valores da temperatura no interior do
domínio. Em adição, deve explicitar-se neste capítulo o conjunto de valores que são
necessários à definição das condições de fronteira.
• Fornecer um processo de cálculo apropriado para o factor de normalização da fonte
SNORM.
• Adaptar a escrita da informação da especificação do problema.
SUBROUTINE PROMOD
Inserir as condições de fronteira e os termos de fonte apropriados ao problema, tendo
em atenção que:
• Tem de se especificar condições em todas as fronteiras.
• Para inserir uma condição de fronteira deve quebrar-se a ligação normal,
estabelecida automaticamente, e inserir a equação correcta através dos coeficientes
de uma fonte linearizada.
• Os termos de fonte referentes a fontes reais devem também ser linearizados.
• As alterações feitas aos coeficientes da fonte são feitas de uma maneira aditiva, de
tal modo que não interfiram com os valores já armazenados nesses coeficientes.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
67
4.6 Descrição do CASO_TESTE para adaptação faseada
Nesta secção apresenta-se o CASO_TESTE, que é um problema semelhante ao do
CASO_BASE, que se destina a ser resolvido em conjunto pelo docente e pelos alunos nas
aulas práticas, para que os alunos se adaptem progressivamente ao código.
A figura 4.7 mostra a geometria deste problema que, como se pode observar, se trata
de uma barra muito longa, de secção recta rectangular (2W = 2,0 m × 2H = 0,2 m).
Inicialmente, a barra está toda à temperatura de 800 ºC. Subitamente, é imersa num fluido
à temperatura de 80 ºC, que tem um coeficiente de transferência de calor por convecção
constante, h = 520 W m-2 ºC-1. As propriedades do material de que é feita a barra são as
seguintes: k = 520 W m-1 ºC-1, ρ = 7850 kg m-3, C = 460 J kg-1 ºC-1. O objectivo do
problema é estudar a evolução ao longo do tempo da distribuição de temperaturas dentro
da barra, até se atingir o regime estacionário.
2H
2W
y
x
h, TF
A área sombreada representa o domínio da solução
zh, TF
Figura 4.7 – Geometria real do CASO_TESTE para inserir no código TEACH-C.
Na medida em que o comprimento da barra é muito maior que as suas altura e
largura, respectivamente 2H e 2W, o problema pode ser abordado bidimensionalmente se
desprezarmos o efeito dos topos da barra.
Mais do que isso, e na medida que há simetria axial em qualquer das duas direcções
do espaço, o domínio de solução pode ser reduzido a um quarto da secção recta, desde que
se imponha condição de fluxo nulo nos dois eixos de simetria.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
68
Assim, o problema resume-se ao caso cuja geometria e domínio de solução estão
representados na figura 4.8.
A malha a utilizar deve ter 102 nós na direcção xx e 12 nós na direcção yy.
O passo no tempo deve ser imposto como δt = 30 segundos.
Os alunos deverão proceder às alterações do código propostas pelo docente na aula,
correr o programa e construir os gráficos que entenderem pertinentes para analisar os
resultados na aula prática seguinte.
y
x
H/2
W/2
Figura 4.8 – Geometria bidimensional a ser realmente calculada pelo CASO_TESTE no
código TEACH-C.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
69
CAPÍTULO
5
APLICAÇÕES DO CÓDIGO TEACH-C
5.1 Problema 1: Condução de calor unidimensional 5.1.1 Lição 1: Regime estacionário e sem fontes
Para que o calor se escoe apenas segundo uma direcção do espaço, o material tem
que ser, teoricamente, infinito segundo as outras duas dimensões. Na prática, isto é
conseguido com uma aproximação bastante boa isolando os topos da placa ou, em
alternativa, estudando apenas a zona central de uma placa cuja espessura seja muito
inferior às outras dimensões (largura e altura), de forma a poderem desprezar-se os efeitos
das extremidades.
Considere-se então uma placa plana infinita de espessura L e condutibilidade
térmica, k, constante, de um material isotrópico e homogéneo. A placa está ladeada por
dois fluidos às temperaturas T1 e T2 (T1 > T2) e são conhecidos os coeficientes de
transferência de calor por convecção h1 e h2, conforme se mostra na figura 5.1.
A equação do calor que rege este caso e as respectivas condições de fronteira são:
0d
Td2
2
=x
(5.1)
( )1,P11 TThq0 −=∴=x (5.2)
( )22,P2 TThqL −=∴=x (5.3)
Trata-se de um problema muito simples para o qual existe solução analítica, o que
constitui uma vantagem para a validação das previsões numéricas efectuadas pelo código
TEACH-C. De facto, o perfil de temperaturas no interior da placa é linear, resultando da
integração directa da equação (5.1), com a forma:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
70
21 CCT += x (5.4)
em que C1 e C2 são constantes de integração obtidas a partir das condições de fronteira
dadas pelas equações (5.2) e (5.3).
Figura 5.1 – Placa plana simples sem fontes.
O fluxo de calor por unidade de área, que é constante, é calculado a partir das
equações (5.2), (5.3) e (5.5):
( )2,P1,P TTLkq −= (5.5)
valendo, portanto:
21
21
h1
kL
h1
TTq
++
−= (5.6)
Nesta lição vão-se estudar dois casos, visando a sua comparação e o
desenvolvimento da destreza do aluno na manipulação do código TEACH-C: uma placa
plana simples e uma placa plana múltipla, ambos com solução analítica conhecida.
Caso 1
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
71
O primeiro caso a estudar será o de uma chapa simples de aço (k = 58 W m-1 ºC-1),
com uma espessura de L = 5 mm, ladeada, de um dos lados por um gás quente à
temperatura de 1000 ºC e com um coeficiente h1 = 50 W m-2 ºC-1 e, do outro lado, por um
fluido menos quente, à temperatura T2 = 300 ºC (h2 = 1000 W m-2 ºC-1).
Com esta lição pretende-se, em primeiro lugar, que o aluno efectue previsões
numéricas do perfil de temperaturas e as compare com a solução analítica, investigando
simultaneamente o efeito das variáveis T1, T2, h1, h2, k, e L no perfil obtido.
Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as seguintes indicações:
Dado que se trata de um problema unidimensional, é possível efectuarem-se os
cálculos apenas numa linha de pontos da malha. Por outro lado, é vantajoso seleccionar
uma linha vertical de pontos no cálculo numérico, de forma a que a direcção da variação da
temperatura real (eixo xx na figura 5.1) coincida com a direcção segundo a qual se aplica o
método iterativo TDMA (eixo yy na figura 5.2), conforme se mostra na figura 5.2. Em
resumo, para modelar numericamente o problema colocado deverão trocar-se os eixos.
Como se pode observar na figura 5.2, os cálculos são efectuados ao longo da linha vertical
I=2, sendo as linhas I=1 e I=3 usadas para armazenar as condições de fronteira. Esta
abordagem assegura também a condição de fluxo unidimensional, pois não haverá
transferência de calor na direcção xx (figura 5.2), já que se irão quebrar as ligações dos nós
da linha I=2 com os nós vizinhos das linhas I=1 e I=3, operação que se efectuará na
SUBROUTINE PROMOD. É também nesta subrotina que se devem especificar as
condições de fronteira, de acordo com a tabela 3.3 do capítulo 3.
A malha deve ser criada no PROGRAMA PRINCIPAL, que é também o bloco do
programa onde devem ser inseridas as propriedades do material (condutibilidade térmica,
que é constante) e os valores dos coeficientes de transferência de calor por convecção.
A adaptação do programa à condição de regime estacionário faz-se impondo o valor
.FALSE. à variável INTIME no PROGRAMA PRINCIPAL.
Para efectuar o estudo paramétrico, i.e., o estudo da influência das principais
variáveis no perfil de temperaturas, deverão ser também previstos os referidos perfis na
placa de aço variando os seguintes parâmetros (um de cada vez, mantendo os restantes
valores constantes):
i) T1 = 700 ºC
ii) h1 = 200 W m-2 C-1
iii) T2 = 700 ºC
iv) h2 = 2000 W m-2 C-1
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
72
v) k = 390 W m-2 C-1
vi) L = 20 mm
Figura 5.2 – Placa plana sem fontes: domínio de solução.
O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar um relatório sucinto dos resultados
contendo a comparação das previsões numéricas obtidas para o caso de base com os da
solução analítica e a comparação dos resultados do caso de base com os do estudo
paramétrico.
Caso 2
O segundo caso a estudar será o de uma parede múltipla constituída por três placas
planas: uma de estuque (k1 = 0,25 W m-1 ºC-1, L1 = 10 mm), adjacente a uma placa de fibra
de vidro (k2 = 0,038 W m-1 ºC-1, L2 = 100 mm), que por sua vez está adjacente a outra
placa de madeira (k1 = 0,10 W m-1 ºC-1, L1 = 20 mm) conforme se mostra na figura 5.3.
Esta parede múltipla está ladeada, de um dos lados, por ar à temperatura Tint = 20 ºC e com
um coeficiente de transferência de calor por convecção hint = 30 W m-2 ºC-1 e, do outro
lado, por ar exterior à temperatura Text = 0 ºC (hext = 60 W m-2 ºC-1).
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
73
L1
T2 ,h2
T1 ,h1
yx
O
k1
L2 L3
k2 k3
Tp1
Tp2
Tp3
Tp4
Figura 5.3 – Placa plana múltipla sem fontes: caso genérico e caso de aplicação.
Chama-se a atenção para o facto de haver, obviamente, alteração das equações que
estabelecem o fluxo de calor e a do perfil de temperaturas. Para o fluxo de calor de uma
placa com três ou com mais materiais, a equação (5.6) transforma-se, respectivamente, em:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
74
ext3
3
2
2
1
1
int
extint
h1
kL
kL
kL
h1
TTq
++++
−= (5.7.a)
exti i
i
int
extint
h1
kL
h1
TTq
++
−=
∑ (5.7.b)
Tal como no caso anterior, pretende-se com esta lição, e em primeiro lugar, que o
aluno efectue previsões numéricas do perfil de temperaturas e que as compare com a
solução analítica, investigando simultaneamente o efeito das variáveis k2 e hext no perfil
obtido.
Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as mesmas indicações que
se seguiram para o Caso 1. Deve, no entanto, levar-se em linha de conta que as interfaces
entre os vários materiais têm que coincidir com as faces dos volumes de controlo. A malha
constante da figura 5.4 é um exemplo típico que mostra o que se pretende.
As propriedades dos vários materiais devem ser inseridos na SUBROUTINE
PROPS.
Para efectuar o estudo paramétrico, i.e., a influência das variáveis escolhidas,
deverão ser também previstas as distribuições de temperatura na parede múltipla variando
os seguintes parâmetros (um de cada vez, mantendo os restantes valores constantes):
i) k2 = 1 W m-2 ºC-1 (tijolo)
ii) hext = 120 W m-2 ºC-1
O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar o relatório sucinto dos resultados,
que deverá incluir a comparação das previsões numéricas obtidas para o caso de base com
os valores da solução analítica e a comparação dos resultados do caso de base com os do
estudo paramétrico. Deverá ainda identificar o constituinte da resistência térmica da parede
múltipla que determina de forma mais acentuada o valor do fluxo de calor e calcular a
percentagem do aumento de fluxo de calor quando se muda a constituição da parede,
substituindo a fibra de vidro pelo tijolo.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
75
Madeira
Fibra de vidro
Estuque
I = 1 I = 2 I = 3 J = 1
J = N J
y
Figura 5.4 – Placa plana múltipla sem fontes: exemplo típico da malha.
5.1.2 Lição 2: Regime transiente e sem fontes
Considere-se uma placa plana infinita de espessura 2H e condutibilidade térmica, k,
constante, de um material isotrópico e homogéneo, sem fontes e que está inicialmente à
temperatura T1. Subitamente, no instante t = 0, as superfícies superior e inferior da placa
são sujeitas à temperatura TB, conforme se mostra na figura 5.5. A igualdade das
temperaturas nas superfícies superior e inferior assegura que, mesmo em regime transiente,
existe simetria do perfil de temperaturas em torno do eixo y = H. Por isso, e como está
expresso na figura 5.5, o domínio de solução fica restringido a meia placa, i.e., 0 ≤ y ≤ H.
A equação do calor que rege este caso e as respectivas condições inicial e de
fronteira são:
0TktTC 2
2
v =∂∂
−∂∂
yρ (5.8)
y∀=∴= 1TT0t (5.9)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
76
BTT0,0t =∴=≥ y (5.10)
0TH,0t =∂∂
∴=≥y
y (5.11)
Figura 5.5 – Placa plana simples sem fontes com temperatura imposta.
Este problema, e à semelhança do problema da lição 1, também tem solução
analítica. Contudo, para este caso, a solução analítica não é trivial, expressando-se por uma
série, mas pode ser encontrada nos livros básicos de Transferência de Calor, como por
exemplo [3], [4] e [6]. Um problema interessante para se analisar é o que se refere aos
primeiros instantes de tempo (pequenos valores de t), em que apenas há variações
significativas da temperatura nas proximidades da parede y = 0, e em que a condição de
fronteira em y = H não influencia ainda a solução. Na realidade, nestes tempo e espaço
reduzidos, a variação da temperatura é equivalente à variação da temperatura de um bloco
semi-infinito com uma superfície localizada em y = 0 e a outra a uma distância infinita. A
condição de fronteira (5.11) modifica-se então para:
1TTy,0t =∴∞→≥ (5.12)
Nestas condições, pode-se demonstrar que a solução da equação diferencial regente,
equação (5.8) é dada por (e.g., referência [6]):
∫ −==−−
=η
ηηπ
ηθ0
2
B1
B d)exp(2)(erfTTTT (5.13.a)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
77
t2 αη y= (5.13.b)
sendo ( )vCk ρα /= a difusividade térmica do material.
Também é fácil demonstrar que o fluxo de calor é dado por (e.g., referência [6]):
( )B1v
0yB TT
tCk2Tkq −=
∂∂
−==
ρπy
(5.14)
A quantidade ( ) 2/1tα tem a dimensão de um comprimento e pode ser interpretada
como a medida da distância a que, no tempo t, o fluxo de calor penetra no sólido, i.e., é a
profundidade da penetração do calor, pelo que é legítimo considerar que, no período em
que a evolução da temperatura se assemelha à de um corpo semi-infinito, a distribuição de
temperaturas dependa apenas de y, i.e., da variável η. Obviamente que ao fim de um tempo
alargado a variação de temperatura acabará por atingir o eixo de simetria e a abordagem
aqui apresentada deixa de ter validade. De facto, neste caso, a distribuição de temperaturas
passa a depender de dois parâmetros adimensionais: a posição adimensional y/H e o tempo
adimensional, também conhecido como número de Fourier, 2HtFo α
= .
Nesta lição vão-se estudar dois casos, visando a sua comparação (efeitos do número
de Fourier e, no caso 2, do número de Biot) e o desenvolvimento da destreza do aluno na
manipulação do código TEACH-C: placa plana simples em regime transiente com
temperatura imposta e placa plana simples em regime transiente com fluxo por convecção
imposto nas fronteiras.
Caso 1
O primeiro caso a estudar é o de uma chapa de aço com uma espessura 2H = 20 cm
(k = 58 W m-1 ºC-1, ρ = 7850 kg m-3, Cp = 460 J kg-1 ºC-1), que estando inicialmente à
temperatura de 1000 ºC, é sujeita repentinamente a uma temperatura de 400 ºC nas suas
fronteiras.
Com esta lição pretende-se, em primeiro lugar, que o aluno efectue previsões
numéricas da evolução no tempo do perfil de temperaturas, devendo explicar fisicamente
os resultados, particularmente no que se refere à comparação com resultados para uma
placa plana semelhante à anterior, sujeita às mesmas condições inicial e de fronteira, mas
sendo feita de cobre (k = 390 W m-1 ºC-1, ρ = 8960 kg m-3, Cp = 380 J kg-1 ºC-1). O
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
78
segundo objectivo desta lição é a sensibilização do aluno para os efeitos do passo no tempo
escolhido e do refinamento da malha na precisão dos resultados obtidos.
O número de nós da malha na direcção yy deverá ser NJ = 12, com um factor de
expansão FEXPY = 1,1 e um passo no tempo DT tal que, quer para o cobre quer para o
aço, se possa imprimir a distribuição de temperaturas para o número de Fourier de 0,5, i.e.,
Fo = 0,5.
De seguida, o aluno deverá estudar a influência do passo no tempo, efectuando
corridas do programa para o caso do aço com metade do valor de DT e com o dobro do
valor de DT. De novo para o caso do aço, e mantendo a corrida inicial como caso de base,
o aluno deverá então estudar a influência do refinamento da malha correndo o programa
com duas outras malhas: NJ = 20 e NJ = 6 (o que permitirá alterar o espaçamento da
malha).
Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as indicações seguintes:
Criar no PROGRAMA PRINCIPAL novas variáveis, THETA e ETA, que
representem, respectivamente, a temperatura e a profundidade adimensionalizadas. A
variável FO para o número de Fourier deve também ser criada e impressa sempre que se
efectua uma impressão dos resultados.
A malha (ver figura 5.6) deve ser criada no PROGRAMA PRINCIPAL, que é
também o bloco do programa onde devem ser inseridas as propriedades do material
(condutibilidade térmica, massa volúmica e calor específico, que são constantes).
A adaptação do programa à condição de regime transiente faz-se impondo o valor
.TRUE. à variável INTIME no PROGRAMA PRINCIPAL.
O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar um relatório sucinto dos resultados,
contendo a comparação das previsões numéricas obtidas para os casos estudados e a
comparação com a solução analítica com críticas sobre a sua validade.
Caso 2
O outro caso a estudar é também o de uma chapa de aço, à temperatura de 1000 ºC,
com uma espessura 2H = 20 cm (k = 58 W m-1 ºC-1, ρ = 7850 kg m-3, Cp = 460 J kg-1 ºC-1),
que no instante t=0 é sujeita repentinamente a um fluxo de calor por convecção nas suas
fronteiras pelo contacto com um fluido a uma temperatura TF conhecida (400 ºC) e com
um coeficiente h de convecção, também conhecido, conforme se mostra na figura 5.7, onde
a espessura da placa 2H é muito inferior às duas outras dimensões, W e L.
Neste caso, a formulação matemática do problema passa a ser:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
79
y
A área sombreada representa o domínio da solução
T = TB
J = 1
J = NJ
I = 1
∂T/∂y = 0
I = 2 I = 3
H
Figura 5.6 – Placa plana sem fontes: malha típica.
0TktTC 2
2
v =∂∂
−∂∂
yρ (5.15)
y∀=∴= 1TT0t (5.16)
( )FB0
B TThTkq0,0t −−=∂∂
−=∴=≥=yy
y (5.17)
0TH,0t =∂∂
∴=≥y
y (5.18)
Figura 5.7 – Placa plana sem fontes: fluxo convectivo imposto nas fronteiras.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
80
A solução deste problema é função de dois números adimensionais: o de Fourier e o
número de Biot: k/hHBi = , que representa fisicamente a razão entre as resistências
térmicas do bloco de material e da camada térmica do fluido. Quando Bi é muito elevado, a
resistência térmica da camada de fluido é desprezável face à resistência de condução e
estamos perante uma situação similar ao caso 1. No caso de Bi ser muito pequeno,
significando que a resistência térmica convectiva é dominante, pode-se admitir que a
temperatura no interior do sólido é uniforme. Nestas circunstâncias, a temperatura do
sólido varia de acordo com a seguinte lei, que resulta da integração da equação (5.15) com
as condições inicial e de fronteira dadas por (5.16) a (5.18) (ver, e.g., referência [6]):
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=
−−
=vB1
B
CHthexp)BiFoexp(
TTTT
ρθ (5.19)
Com esta lição pretende-se, em primeiro lugar, que o aluno efectue previsões
numéricas da evolução no tempo do perfil de temperaturas, devendo explicar fisicamente
os resultados, particularmente no que se refere à comparação com o Caso 1, bem como da
variação do perfil de temperaturas com o número de Biot. O problema base de estudo
corresponderá a Bi = 0,001 e DT = 50 s, devendo-se efectuar também o estudo paramétrico
com Bi = 10 e DT = 0,05 s, e Bi = 100 e DT = 0,015 s.
O número de nós da malha na direcção yy deverá ser NJ = 16, com um factor de
expansão FEXPY = 1,1. Para normalizar o resíduo, o aluno deverá usar para a variável
SNORM a seguinte expressão:
h1
kH
TTQ HyF
ref
+
−= = (5.20)
Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as indicações seguintes:
Criar no PROGRAMA PRINCIPAL novas variáveis, ALFA e BIOT, que
representem, respectivamente, o coeficiente h e o número de Biot. A variável TF para a
temperatura do fluido deve também ser criada.
O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar um relatório sucinto dos resultados
contendo a comparação das previsões numéricas obtidas para os casos estudados, em
particular o efeito do número de Biot e o tempo necessário para se atingir o regime
estacionário. O perfil de temperaturas para Fo = 0,5, tal como para o Caso 1, deve ser
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
81
sempre apresentado e discutido. Deverá ser traçado o gráfico em coordenadas logarítmicas
da temperatura adimensionalizada ( ) ( )FBHyB TT/TT −− = em função de Bi, para Fo = 0,5 e
analisada a evolução no que se refere à consistência com a interpretação física do número
de Biot. Os alunos deverão ainda traçar o gráfico em coordenadas semi-logarítmicas (a
escala logarítmica é o da temperatura adimensionalizada) de ( ) ( )FBHyB TT/TT −− = em
função de Fo, para Bi = 0,001, e discutir os resultados à luz da solução analítica do
problema dada pela equação (5.19).
5.1.3 Lição 3: Regime transiente e com fontes
Existem inúmeros problemas de condução de calor na indústria que envolvem a
geração de calor por um material condutor, como por exemplo a geração de calor nas
paredes de um pneu em movimento, a libertação de calor num elemento de combustível de
um reactor nuclear ou o aquecimento e a libertação de calor por efeito de Joule pela
resistência de um aquecedor eléctrico. Neste último caso é muito vulgar o material
condutor de que é feita a resistência exibir uma resistividade que depende da temperatura
e, em certas circunstâncias, a taxa de geração de calor é uma função linear da temperatura.
Nesta lição, é precisamente este o caso que se vai estudar.
Considere-se uma placa plana infinita de espessura 2H = 0,0002 m e condutibilidade
térmica, k, constante, de um material condutor que, à passagem de corrente eléctrica, gera
calor segundo a equação (ver figura 5.8):
( )[ ]00 TT1qQ −+= β (5.21)
sendo q0 a taxa de geração de energia de referência (à temperatura T0) por unidade de
volume, e β o coeficiente de dependência da resistividade do material condutor com a
temperatura. A forma da equação (5.21) permite inferir imediatamente que, para valores de
β positivos, o valor da fonte cresce com o aumento da temperatura, aspecto que torna a
solução inerentemente instável. Assim, para valores de β acima de um dado valor a
determinar, o calor gerado não se dissipa (não é conduzido para o exterior) e não é possível
atingir o regime estacionário.
A placa condutora acima referida, estando à temperatura ambiente TF = 300 ºC, no
instante t =0, é subitamente sujeita à passagem de uma corrente eléctrica de intensidade
constante, estando mergulhada num fluido à temperatura TF com um coeficiente h de
transferência de calor por convecção constante.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
82
A simetria verificada na situação da subsecção 5.1.2 mantém-se e, para além da
equação (5.21), a restante formulação matemática do problema é:
0QTktTC 2
2
v =−∂∂
−∂∂
yρ (5.22)
yTT0t F ∀=∴= (5.23)
( )FB0
B TThTkq0,0t −−=∂∂
−=∴=≥=yy
y (5.24)
0TH,0t =∂∂
∴=≥y
y (5.25)
Figura 5.8 – Placa plana com fontes: fluxo convectivo imposto nas fronteiras.
A análise dimensional deste problema, e fazendo arbitrariamente T0 = TF, mostra que
a distribuição da temperatura é dependente de quatro variáveis adimensionais, i.e.:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=− *S,Bi,Fo,
hfTT F
yβ (5.26.a)
Hk
HS*S β= (5.26.b)
A equação (5.26.b) representa a fonte adimensionalizada e pode ser interpretada como a
razão entre a geração adicional de calor e a condução adicional de calor resultantes do
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
83
aumento unitário da temperatura do material. Este problema tem uma solução analítica
para números de Biot muito elevados e para regime estacionário, i.e., ao fim de um grande
período de tempo após a aplicação da corrente eléctrica, que se expressa pela seguinte
equação (ver referência [5]):
( )
( )
1*Scos
H
*SHcos
TT F −⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −
=−=
y
βθ (5.27)
Para valores de *Scos próximos de zero a temperatura assume valores muito elevados, o
que acontece quando 4/*S 2π= e tem como consequência a falha no funcionamento do
condutor.
O objectivo desta lição é, em primeiro lugar, fazer com que o aluno efectue previsões
numéricas da evolução no tempo do perfil de temperaturas de uma placa infinita com uma
fonte da calor linearmente dependente da temperatura, devendo ainda explicar fisicamente
os resultados obtidos, particularmente no que se refere à comparação com a solução
analítica para o caso particular referido.
O material da placa condutora é cobre que, como a maioria dos metais, tem um
coeficiente de resistividade positivo. As propriedades do cobre são: k = 390 W m-1 ºC-1,
ρ = 8960 kg m-3, Cp = 380 J kg-1 ºC-1, β = 4×10-3 ºC-1. O valor de h deve ser ajustado de
forma a que o número de Biot seja grande, i.e., 1026. Para estes valores devem ser
executadas três corridas do programa:
(i) S* = 1
(ii) S* = 2
(iii) S* = 3
Mantendo o valor de S* = 1, dever ser feito o estudo paramétrico da influência do
número de Biot, variando h para assegurar os seguintes valores:
(i) Bi = 102,6
(ii) Bi = 10,26
(iii) Bi = 1,026
(iv) Bi = 0,1026
Para concretizar o problema, e partindo da solução do problema da subsecção 5.1.2 o
aluno deverá criar no PROGRAMA PRINCIPAL novas variáveis, BETA, SAST, T0, Q e
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
84
Q0, que representem, respectivamente, o coeficiente de resistividade, a fonte
adimensionalizada, a temperatura de referência, a variável para a fonte - Q na equação
(5.22), e o valor da fonte à temperatura de referência.
O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar um relatório sucinto dos resultados
que contenha a comparação das previsões numéricas obtidas para os casos estudados, em
particular o efeito do número de Biot, em regime estacionário e para S* = 1, sobre o perfil
de temperaturas ( )FTT −β , e a comparação do caso de Bi = 1026 com a solução analítica.
Sabendo que o cobre funde a 1356 K, e com recurso a gráficos de coordenadas bi-
logarítmicas, o aluno deverá ver para os vários valores de S*, ao fim de quanto tempo
funde o material (as ordenadas mostram os valores da a temperatura máxima atingida),
sabendo que Bi = 1026. Fazer a mesma análise no mesmo tipo de gráfico, mas fixando
agora S* = 1 e variando o número de Biot conforme indicado.
5.2 Problema 2: Condução de calor bidimensional 5.2.1 Lição 1: Regime estacionário e com fontes
A distribuição de temperaturas para um cilindro de diâmetro 2H e altura 2W,
conforme se mostra na figura 5.9, no seio do qual se gera uma potência calorífica uniforme
Q, e em que se mantém todas as superfícies do cilindro à temperatura T1, é regida pela
seguinte formulação matemática, desde que se despreze a condução axial:
kQ
ddT
dd1
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛r
rrr
(5.28)
1TTH =∴=r (5.29)
0ddT0 =∴=
rr (5.30)
A solução da equação (5.28) é dada pela equação:
( ) BlnAk4
QrT 2 ++−= rr (5.31)
As constantes A e B de integração obtêm-se facilmente das condições de fronteira,
expressas pelas equações (5.29) e (5.30):
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
85
0A = (5.32)
21 H
k4QTB += (5.33)
donde resulta:
( ) 12
22
TH
1k4
QHT +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
rr (5.34)
Caso se considere a condução axial, a formulação matemática passa a ser:
kQTT1
2
2
−=∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
xrr
rr (5.35)
1TTH =∴=r (5.36)
0T0 =∂∂
∴=r
r (5.37)
1TT0 =∴=x (5.38)
0x
x =∂∂
∴=TW (5.39)
Figura 5.9 – Cilindro condutor com fontes e temperatura constante nas superfícies.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
86
Este problema, e no caso da fonte não ser uniforme, não tem solução analítica.
Assim, o código TEACH-C é uma ferramenta útil e indispensável para a resolução deste
tipo de problemas.
Nesta lição vamos considerar então o caso de aquecimento do elemento de
combustível cilíndrico de um reactor nuclear com a geometria representada na figura 5.9.
O material do elemento de combustível é dióxido de urânio (k = 9,174 W m-1 ºC-1),
servindo como combustível do reactor através de um processo de fissão nuclear
(desintegração atómica controlada), estando dentro de um contentor cuja superfície
exterior é arrefecida por um escoamento de água em ebulição.
A taxa volumétrica local de libertação de calor, Q, não é uniforme, mas aumenta com
a densidade do fluxo neutrónico, densidade essa que é usual considerar-se como variando
sinusoidalmente através do elemento de combustível segundo a expressão:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
W2senQQ MAX
xπ (5.40)
em que QMAX é proporcional à taxa de fissão nuclear.
É razoável assumir que a temperatura nas superfícies do combustível (incluindo os
círculos do topo) é constante, devendo neste problema ser assumido o valor de 600 ºC. Por
razões de segurança, o valor máximo da temperatura no interior do elemento de
combustível não pode nunca exceder os 900 ºC. Esta limitação compulsiva levanta de
imediato um problema que terá que se resolver: qual a taxa máxima de geração de calor
admissível para que a temperatura no interior do elemento de combustível não exceda os
900 ºC?
Vamos tomar como dimensões do cilindro de combustível os seguintes valores:
Diâmetro: 2H = 0,02 m
Altura: 2W = 4,0 m.
A equação (5.40), que expressa a taxa de geração de calor no elemento de
combustível cilíndrico, permite saber que essa geração exibe uma simetria geométrica em
relação à secção x = W. Por outro lado, existe também simetria em θ (ângulo azimutal das
coordenadas cilíndricas), pelo que bastará simular 1/4 da secção axial do elemento de
combustível (ver figura 5.9).
Assim, o domínio de solução será definido por: 0 ≤ x ≤ W e 0 ≤ r ≤ H.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
87
Deverão ser usadas coordenadas cilíndricas (INCYLY = .TRUE.) com uma malha
uniforme com um número de nós NI = 12 e NJ = 8.
O factor de normalização do resíduo global do erro usado deve ser 2/WHQ 2MAX ,
que traduz aproximadamente o valor total de calor gerado por unidade de ângulo θ.
Deve efectuar-se um estudo para vários valores crescentes de QMAX, visando
encontrar o valor da taxa máxima para a qual o elemento de combustível atinge a
temperatura máxima admissível.
O primeiro valor a ser utilizado deverá ser QMAX = 103 W rad-1, devendo-se de
seguida duplicar sucessivamente este valor. Deve ter-se em mente que a grandeza QMAX,
que consta na equação (5.35), é uma variável com unidades expressas em [W m-3].
Deve criar-se uma nova variável, S, no PROGRAMA PRINCIPAL, que conterá os
valores de QMAX. Deve assegurar-se regime estacionário, incluindo no PROGRAMA
PRINCIPAL as seguintes instruções: INTIME = .FALSE. e DT = 0.
Tal como nos casos anteriores, na SUBROUTINE PROMOD deverão incluir-se as
condições de fronteira (temperatura imposta nas fronteiras norte e oeste e fluxo nulo, i.e.
condição de simetria nas fronteiras sul e este). Para além disso, no fim da SUBROUTINE
PROMOD deve inserir-se a fonte de calor Q.
O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar um relatório sucinto dos resultados
contendo as previsões numéricas obtidas para os casos estudados, e a variação da
temperatura máxima com o valor de QMAX, deduzindo o seu valor máximo admissível para
que a temperatura não exceda os 900 ºC.
O aluno deverá ainda desprezar a condução axial (impondo um valor nulo para AE(J)
e AW(J) em todas as linhas I = constante) e comparar os resultados, quer com a solução
analítica, quer com o caso numérico bidimensional. Note que deve impor neste caso uma
fonte uniforme.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
88
CAPÍTULO
6
APLICAÇÕES FACULTATIVAS DO CÓDIGO
TEACH-C
6.1 Problema 1: Escoamento potencial
Em escoamentos como o do ar em torno de um avião ou o de um jacto de vento que
embate frontalmente na fachada de um edifício, os efeitos da viscosidade e, portanto, das
tensões de corte, são desprezáveis (obviamente que nos referimos a regiões afastadas das
superfícies sólidas, o suficiente para que os seus efeitos já não se façam sentir).
O problema que agora se propõe resolver aqui trata do estudo do escoamento de um
jacto que embate frontalmente numa parede, recorrendo à modelação invíscida, i.e.,
modelação de fluído perfeito ou de escoamento potencial, para avaliar a plausibilidade do
modelo.
A omissão dos termos viscosos das equações de Navier-Stokes, assumindo que as
propriedades físicas do fluído são constantes (massa volúmica), simplifica-as
consideravelmente. No caso bidimensional e para coordenadas cartesianas, o escoamento
potencial é descrito por [22]:
xyx ∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂ p1uvuu
tu
ρ (6.1)
yyx ∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂ p1vvvu
tv
ρ (6.2)
0vu=
∂∂
+∂∂
yx (6.3)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
89
É vantajoso, por vezes, combinar as equações do momento de forma a eliminar delas
a variável da pressão, o que se consegue facilmente subtraindo a derivada em xx da
equação (6.2) da derivada em yy da equação (6.1). Tendo em conta a equação da
continuidade (6.3), obtém-se sucessivamente:
0p1vvvutv
xp1uvuu
tu
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
yyxxyxy ρρ (6.4.a)
0vuvvuu
0
vuvu
0
pp1vut
22
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
+
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
xyyxyx
yxxyyxyxxy43421444 3444 21
ρ (6.4.b)
Definindo agora a vorticidade ω como:
xy ∂∂
−∂∂
=vuω (6.5)
a equação (6.4.b) fica:
0vut
=∂∂
+∂∂
+∂∂
yxωωω (6.6)
A equação (6.6) estabelece que, num escoamento de fluído perfeito, a vorticidade de
um elemento de volume do fluido se mantém constante. De facto, se o fluido iniciar o seu
movimento a partir do repouso (vorticidade nula em todo o espaço), e se a vorticidade for
nula nas fronteiras, então a vorticidade manter-se-á nula ao longo do tempo em todo o
escoamento. A um escoamento de fluído perfeito (i.e., invíscido), em que a vorticidade é
nula em todo o espaço, 0=ω , chama-se escoamento irrotacional, e tem-se:
0vu=
∂∂
−∂∂
=xy
ω (6.7)
Introduza-se agora o conceito de função de corrente ψ (x,y), definida como a função
que obedece às equações (6.8.a) e (6.8.b) [22]:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
90
u=∂∂
yψ (6.8.a)
v−=∂∂
xψ (6.8.b)
As linhas ψ (x, y) = C, sendo C uma constante, e que se denominam por linhas de
corrente, constituem o lugar geométrico dos pontos que, em cada instante, são tangentes ao
vector velocidade, tal como se infere das equações (6.8.a) e (6.8.b).
Note-se que a função de corrente satisfaz a equação da continuidade: basta substituir
as equações (6.8.a) e (6.8.b) na equação (6.3) para se obter uma identidade.
A substituição das equações (6.8.a) e (6.8.b) na equação de definição de vorticidade,
equação (6.7), permite obter a equação de Laplace para a vorticidade, ou seja a equação
regente de um escoamento irrotacional (ver subsecção 2.1):
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yxψψ (6.9)
Considere-se então o problema de um jacto que embate frontalmente numa parede,
como se mostra na figura 6.1. Apesar de irmos usar coordenadas cartesianas, a figura é
genérica pois refere-se a coordenadas cartesianas ou cilíndricas axissimétricas.
Estabeleça-se então o ponto de partida no programa TEACH-C, que calculará a zona
do escoamento representado na referida figura (rectângulo de altura H e largura W). Uma
velocidade horizontal constante (u = 1,0) é prescrita na fronteira vertical a montante e uma
velocidade vertical também constante (v = 1,0) é prescrita na fronteira horizontal a jusante.
Estas especificações traduzem as condições de fronteira da função de corrente ψ, através
das equações (6.8.a) e (6.8.b). Obviamente que o escoamento não atravessa a parede nem o
eixo de simetria.
Note que neste caso as propriedades do material que se usaram nos problemas de
condução de calor devem ser igualadas à unidade no código TEACH-C para que seja
representativo da equação a simular, a equação (6.9).
Com as condições de fronteira acima explicitadas, o escoamento resultante é
irrotacional e de ponto de estagnação [22], tendo a seguinte solução analítica (note que se
está a admitir que x = 0 corresponde à fronteira vertical a montante):
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
91
( )WHW xy −
=ψ (6.10)
Recorrendo às equações (6.8.a) e (6.8.b) obtém-se facilmente:
( )
WHWu x−
= (6.11.a)
WHv y= (6.11.b)
O objectivo deste problema é efectuar a simulação deste escoamento recorrendo ao
programa TEACH-C e a comparação dos resultados numéricos com as soluções analíticas.
Note que o código fornece a solução para ψ através da resolução da sua equação
diferencial regente, equação (6.9), mas não fornece as componentes da velocidade u e v.
Para as calcular, deverá programar a sua determinação a partir da solução de ψ convergida,
transformando as equações diferenciais (6.8.a) e (6.8.b) em equações às diferenças finitas.
Sugere-se ainda que se faça um estudo do efeito da malha, analisando três casos:
(i) NI = 12, NJ = 12;
(i) NI = 12, NJ = 8;
(i) NI = 12, NJ = 16.
Figura 6.1 – Escoamento potencial de um jacto contra uma parede.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
92
6.2 Problema 2: Escoamento desenvolvido em condutas de secção
não circular
Ao contrário do que acontecia no problema anterior, em que os termos difusivos
eram omitidos, neste caso de um escoamento desenvolvido numa conduta, são os termos
convectivos das equações de Navier-Stokes que são nulos.
De facto, um escoamento laminar desenvolvido no interior de uma conduta, como a
que se mostra na figura 6.2, é regido, para além da equação da continuidade, pela seguinte
forma da equação da componente w da velocidade (na direcção zz), que reduz o problema a
um problema bidimensional (note que as componentes da velocidade, u na direcção xx e v
na direcção yy, são nulas):
0pww=
∂∂
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
zyyxxμμ (6.12)
em que p é a pressão e μ a viscosidade absoluta (ou dinâmica) do fluido.
A observação da equação (6.12), e a sua comparação com a equação geral do calor
em regime estacionário, 0QTkTk =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
yyxx, mostra que são equações
equivalentes, desde que se efectuem as seguintes substituições de variáveis:
i) T é substituída por w;
ii) k é substituída por μ;
iii) Q (fonte) é substituída por z∂
∂ p .
Obviamente que a simetria da figura leva a que se simule apenas um quarto da
secção da conduta, como se mostra na figura 6.3. Por outro lado, as condições de fronteira
são também aquelas que constam da referida figura: velocidade w nula nas paredes
(fronteiras norte e oeste) e tensão de corte nulas nos eixos de simetria (fronteiras sul e
este).
As dimensões da conduta são: W = H = 1,0 m.
O gradiente de pressão é: 1mPa1000dxdp −−= .
As propriedades do fluído são: ρ = 0,1 kg m-3 e μ = 0,1 Pa s.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
93
Deve obter-se a solução numérica do problema, recorrendo ao código TEACH-C,
usando uma malha não uniforme, com 144 nós, NI = NJ = 12, com expansão em xx dada
por FEXPX = 1,1 e contracção em yy dada por FEXPY = 1,0/ FEXPX.
H
W
w = 0
A área sombreada representa o domínio da solução
0=∂∂=
xwμxzτ
y
xz
Figura 6.2 – Conduta de secção não circular [W× H] com escoamento desenvolvido.
A partir da solução convergida, e do conhecimento da área S a secção recta da
conduta, deve determinar-se o caudal mássico ( m& ), a velocidade média na secção
( S/mw ρ&= ), o diâmetro hidráulico ( P/S4Dh = , em que P é o perímetro molhado), o
factor de atrito ( ( )w/f 21
parede ρτ= , em que paredeτ é o valor médio da tensão de corte), e o
número de Reynolds ( μρ /DwRe h= ).
O aluno deverá construir os gráficos que entender pertinentes para analisar os
resultados numéricos.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
94
0=∂∂
=xwμτ
0=∂∂
=ywμτ
Figura 6.3 – Conduta de secção não circular [W/2× H/2] com escoamento desenvolvido.
6.3 Problema 3: Difusão de massa em meio estagnado
O processo de difusão de massa tem semelhanças consideráveis com o processo de
difusão de calor. A primeira lei de Fick relaciona o fluxo difusivo de massa de uma espécie
A no seio de outra espécie (B) com o gradiente de concentração (massa de A por unidade
de volume da mistura) da espécie que se difunde. À semelhança da lei de Fourier para o
calor, a lei de Fick é uma lei empírica e estabelece para o fluxo da espécie A [23]:
xx dd
Dj AAB,A
ρ−= (6.13)
em que DAB é a difusividade da espécie A em B [m2s-1] e ρA é a massa da espécie A por
unidade de volume da mistura.
Uma vez que a concentração mássica da espécie A, wA, é definida por (6.14.a), se a
massa volúmica da mistura, ρ (dada por BA ρρρ += ), for constante, tem-se:
ρρA
Aw = (6.14.a)
xx dwd
Dj AAB,A ρ−= (6.14.b)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
95
Considere-se agora a situação de um fluido A que se difunde através de um gás B
estagnado, tal como se mostra na figura 6.4.
Figura 6.4 – Difusão em camada estagnada.
A variação do fluxo mássico de B ( xx ,BB,B vn ρ= ), cujas unidades são [kg s-1 m-2], é
nula:
0dnd ,B =
xx (6.15.a)
Cten ,B =x (6.15.b)
Uma vez que o fluido B está estagnado e se, além disso, for insolúvel em A, o valor
da constante da equação (6.15.b) é nulo, traduzindo que não há entrada nem saída do fluido
B no domínio de solução em estudo.
A um fluxo nulo corresponde necessariamente uma velocidade nula que expressa
precisamente a condição de estagnação, i.e.:
0v ,B =x (6.15.c)
Pode demonstrar-se (ver, e.g., [23]) que o fluxo mássico da espécie A é dado por:
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
96
( )xxxx d
wdDnnwn A
AB,B,AA,A ρ−+= (6.16)
Se estivermos perante um problema de fluxo difusivo em meio estagnado, a equação
(6.15.c) é substituída na equação (6.16) e obtém-se, sucessivamente:
xxx dwd
Dnwn AAB,AA,A ρ−= (6.17.a)
( )xx d
wdDw1n A
ABA,A ρ−=− (6.17.b)
( )A
AAB
,A w1dwd
Dn
−−=
xx
ρ (6.17.c)
A variação do fluxo mássico de A ( xx ,AA,A vn ρ= ), cujas unidades são [kg s-1 m-2], é
nula:
0dnd ,A =
xx (6.18.a)
0x ,A,A nn = (6.18.b)
As equações (6.18.a) e (6.17.c) são as equações a simular numericamente no código
TEACH-C. Note que se substituir a equação (6.17.c) na equação (6.18.a) chega a uma
equação semelhante à equação (2.3). Contudo, o coeficiente da equação resultante, que tem
a forma ( )
0dwd
w1D
dd A
A
AB =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−xx
ρ , não é constante. Estamos pois perante uma situação
semelhante à de condução de calor em que k é função da própria temperatura. Neste caso,
pode supor-se que ( )A
AB
w1D−
é a difusividade efectiva da espécie A.
Integrando a equação (6.17.c), tendo em conta a equação (6.18.b) e que a
concentração mássica da espécie A para x=0 é conhecida (wA,0), obtém-se, sucessivamente
[24]:
( )A
A
AB
,A
w1wdd
Dn
−−=x0
ρ (6.19.a)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
97
x0
AB
,A
0,A
A
Dn
w1w1
lnρ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− (6.19.b)
Se a camada estagnada do fluído B tiver uma altura L conhecida, então a
concentração mássica da espécie A para x=L, (wA,L), é determinável a partir da equação
(6.19.b):
AB
,A
0,A
L,A
DLn
w1w1
lnρ
0=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
− (6.19.c)
O caso a simular com o código TEACH-C encontra-se representado na figura 6.5.
Suponha que tem uma camada de água (fluido A) a 25 ºC, com 1 mm de altura, no chão de
uma sala à pressão atmosférica e também à temperatura de 25 ºC. O ar ambiente (fluido B)
tem uma humidade absoluta ou específica osecarvapor3 kg/kg102 −×=ω . Admite-se que a
evaporação é exclusivamente realizada por difusão molecular numa camada gasosa
estagnada de 5 mm de altura. Pretende determinar-se a distribuição da concentração
mássica do vapor de água na camada gasosa estagnada e compará-la com a solução
analítica: equação (6.19.b).
São conhecidos os seguintes parâmetros: 124
AB sm1026,0D −−×= 1928 −= kmolekg,PMar
3agua mkg1000 −=ρ
osecarvaporsatur kg/kg31020 −×=ω
Da equação (6.19.c) é possível determinar o valor de 0,An :
0,AAB
0,A
L,A nLD
w1w1
ln =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
− ρ
3
4
3
3
,A 1051026,018,1
109,1811021lnn −
−
−
−
×××
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×−×−
=0
2130 1024876 −−−×= mskg,n ,A
Nos cálculos anteriores usou-se 35
ar mkg18,12983,8314
9,2810013,1 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×××
=ρ .
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
98
O problema deve ser simulado unidimensionalmente com uma malha uniforme de
3×12 nós (NI×NJ), fazendo depois NJ variar para 18 e 24 nós para estudar a influência da
malha.
O aluno deverá construir os gráficos que entender pertinentes para analisar os
resultados numéricos, particularmente no que se refere à comparação destes com os da
solução analítica.
Figura 6.5 – Geometria do problema a estudar.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
99
REFERÊNCIAS
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Transfer and Fluid Flow, Ellis Horwood Limited, Chichester, England, 1985.
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[24] Pinho, MN, Prazeres, DM, Afonso, MD, Transferência de Massa, AEIST, 1996.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
101
APÊNDICE
1
LISTAGEM DO PROGRAMA TEACH-C
Neste apêndice apresenta-se a listagem do programa TEACH-C, dividida pelos seguintes
módulos de programação:
1 – PROGRAMA PRINCIPAL
2 – SUBROUTINE PROPS
3 – SUBROUTINE INIT
4 – SUBROUTINE CALCT
5 – SUBROUTINE SOLVE
6 – SUBROUTINE PROMOD
7 –SUBROUTINE PRINT
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
102
1 – PROGRAMA PRINCIPAL
PROGRAM TEACHC IMPLICIT NONE
C C********************************************************************** C * C PROGRAM RINCIPAL * C * C********************************************************************** C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C
REAL::GREAT,PI,URFT,SORMAX,SNORM,DT,TIME,SOURCE,TTOP,TBOT,TLEFT, 1 TRIGHT,W,H,BK,AK,RESORT INTEGER,PARAMETER::IT=22,JT=22,NI=22,NJ=22 REAL,DIMENSION(NI,NJ)::TCON,T,TOLD,CV,DENSIT,GAMH REAL,DIMENSION(NI)::X,DX,RX,DXEP,DXPW,SEW,XU,RU REAL,DIMENSION(NJ)::Y,DY,RY,DYPS,DYNP,SNS,YV,RV,
1 AN,AS,AE,AW,SU,SP INTEGER,DIMENSION(NI)::JS,JN INTEGER::NIM1,NJM1,I,J,IMON,JMON,MAXIT,MAXSTP,NSTEP,NITER,K INTEGER::NITPRI,NSTPRI LOGICAL::INPRO,INTIME,INCYLX,INCYLY
C C------DEFINIR VALORES C
GREAT=1.0E30 PI=4.0*ATAN(1.0)
C C------CAPÍTULO 1 - PARAMETROS E INDICES DE CONTROLO C C------ESPECIFICAR A MALHA C------ESTABELECER COORDENADAS CARTESIANAS OU CILINDRICAS AXIXXIMETRICAS C------FAZENDO INCYLX/INCYLY=.FALSE./.TRUE.
INCYLX=.FALSE. INCYLY=.FALSE.
C NIM1=NI-1 NJM1=NJ-1
C C DIMENSÕES TOTAIS DO DOMÍNIO DE SOLUÇÃO (W-LARGURA/H-ALTURA [m]) C
W=1.0 H=1.0
C C------CALCULA ABCISSAS NA DIRECÇÃO XX
DX(1)=W/(NIM1-1) X(1)=-0.5*DX(1) DO I=2,NI DX(I)=DX(1) X(I)=X(I-1)+DX(I-1) END DO
C------CALCULA ORDENADAS NA DIRECÇÃO YY DY(1)=H/(NJM1-1) Y(1)=-0.5*DY(1) DO J=2,NJ DY(J)=DY(1) Y(J)=Y(J-1)+DY(J-1) END DO
C------ESTABELECE LIMITES DO DOMINIO DO I=1,NI JS(I)=2 JN(I)=NJ-1 END DO
C------ESTABELECE PONTO MONITOR IMON=6 JMON=6
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
103
C C------PROPRIEDADES DO MATERIAL
DO I=1,NI DO J=1,NJ TCON(I,J)=14.68 CV(I,J)=485.67 DENSIT(I,J)=7800.0 IF(I.EQ.1.AND.J.EQ.1) THEN BK=TCON(I,J) ENDIF END DO END DO
C C------PARAMETROS DE CONTROLO DO PROGRAMA
MAXIT=100 MAXSTP=20 NITPRI=110 NSTPRI=1
C------FACTOR DE SUB-RELAXAÇÃO,MAXIMO RESIDUO E INTERVALO DE TEMPO [s] URFT=1.0 SORMAX=0.001 DT=50.0
C C------SELECCIONA OPÇÃO ESTACIONARIO (INTIME=.FALSE.) OU OPÇÃO C------NÃO-ESTACIONÁRIO (INTIME=.TRUE.)
INTIME=.TRUE. IF (.NOT.INTIME) THEN MAXSTP=1 ENDIF
C------SELECCIONA OPÇÃO PROPRIEDADES CONSTANTES (INPRO=.FALSE.) C------OU OPÇÃO PROPRIEDADES VARIAVEIS (INPRO=.TRUE.)
INPRO=.FALSE. C C------CAPÍTULO 2 - OPERAÇÕES INICIAIS C C------CALCULA DIMENSÕES DA MALHA E ANULA VECTORES/MATRIZES
CALL INIT(NI,NJ,NIM1,NJM1,RX,DXEP,DXPW,SEW,XU,RU,RY,DYPS, 1 DYNP,SNS,YV,RV,AN,AS,AE,AW,SU,SP,GAMH,TOLD,T,INCYLX,INCYLY) TIME =0.0
C C------IMPOR VALORES DE FRONTEIRA E INICIALIZAR VARIAVEL DEPENDENTE C C------ESTE CASO NÃO PRECISA INICIALIZAR C------T(I,J)=0 EM TODOS OS NÓS C C------VALORES DE FRONTEIRA C
TTOP=100.0 TBOT=0.0 TLEFT=0.0 TRIGHT=0.0 DO I=2,NIM1 T(I,1)=TBOT T(I,NJ)=TTOP END DO DO J=2,NJM1 T(1,J)=TLEFT T(NI,J)=TRIGHT END DO
C C------INICIALIZAR VARIAVEL DEPENDENTE C------INICIALIZAR CAMPO DE PROPRIEDADES DO MATERIAL C
CALL PROPS(NI,NJ,GAMH,TCON) C C------CALCULA FACTOR DE NORMALIZAÇÃO DO RESIDUO C
AK=BK SNORM=AK*(TTOP-TBOT)*W/H SNORM=ABS(SNORM)
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104
C C------ESCREVER ESPECIFICAÇÕES DO PROBLEMA
WRITE(10,2900) H,W,DT,SNORM,NI,NJ CALL PRINT(1,1,NI,NJ,IT,JT,X,Y,T)
C C------CAPTÍTULO 3 - ITERAÇÕES NO TEMPO E NO ESPAÇO C
WRITE(10,3000)IMON,JMON C C------ITERAÇÕES NO TEMPO
DO NSTEP=1,MAXSTP TIME=TIME+DT DO I=1,NI DO J=1,NJ TOLD(I,J)=T(I,J) END DO END DO
C C------ITERAÇÕES NO ESPAÇO
DO NITER=1,MAXIT C C------CALCULA TEMPERATURAS
CALL CALCT(NI,NJ,NIM1,NJM1,DXEP,RU,RX,SEW,DYNP,RV,RY,SNS,AS, 1 AN,AW,AE,SU,SP,GAMH,CV,DENSIT,T,TOLD,URFT,JS,JN,INTIME,RESORT)
C C------CALCULA PROPRIEDADES DO MATERIAL
IF (INPRO)THEN CALL PROPS(NI,NJ,GAMH,TCON) ENDIF
C C------ACTUALIZA CONDIÇÕES FRONTEIRA E FONTES SE NECESSARIO C C------CALCULA RESIDUO NORMALIZADO
SOURCE=RESORT/SNORM C C------ESCREVE INFORMAÇÃO DAS ITERAÇÕES DO PONTO MONITOR
WRITE(10,3700) NITER,SOURCE,T(IMON,JMON),TIME,DT,NSTEP C------ESCREVE TEMPERATURAS EM INTERVALOS ESPECIFICADOS POR NITPRI
IF (MOD(NITER,NITPRI).EQ.0) THEN CALL PRINT (1,1,NI,NJ,IT,JT,X,Y,T) IF (NSTEP.NE.MAXSTP.OR.SOURCE.GT.SORMAX) WRITE(10,3000) IMON,JMON ENDIF
C C------TESTA RESIDUO DO PROCESSO ITERATIVO
IF (SOURCE.LT.SORMAX) GOTO 9997 C C--------------TERMINA CALCULOS SE NÃO CONVERGE (MAXIT E RESÍDUO > 10)
IF (NITER.GE.MAXIT.AND.SOURCE.GE.10) THEN WRITE(10,3900) STOP END IF
C C------TERMINA CICLO NO ESPAÇO C
END DO C 9997 CONTINUE C------ESCREVE SOLUÇÃO CONVERGIDA NO INTERVALO ESPECIFICADO POR NSTPRI
IF (MOD(NSTEP,NSTPRI).EQ.0.AND.MOD(NITER,NITPRI).NE.0) THEN CALL PRINT (1,1,NI,NJ,IT,JT,X,Y,T) ENDIF IF (NSTEP.NE.MAXSTP) WRITE(10,3000) IMON,JMON
C------TERMINA CICLO TEMPO END DO
C STOP
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
105
C C------FORMAT STATMENTS C 2900 FORMAT(/44X,9HTEACH-C //15X,65HCONDUCTION IN RECTANGULAR BAR WITH
1 PRESCRIBED SURFACE TEMPERATURE// 1 /16X,40H HEIGHT, H ----------------------------=,0PF10.4,2H M 1 /16X,40H WIDTH, W -----------------------------=,F10.4,2H M 1 /16X,40H INITIAL TIME STEP, DT ----------------=,F10.4,2H S 1 /16X,40H SOURCE NORMALISATION FACTOR, SNORM ---=,F06.0 1 /16X,40H NUMBER OF NODES IN X DIRECTION, NI ---=,2X,I3 1 /16X,40H NUMBER OF NODES IN Y DIRECTION, NJ ---=,2X,I3)
3000 FORMAT(//17X,5HNITER,3X,6HSOURCE,5X,2HT(,I2,1H,,I2,1H),4X, 1 7HTIME(S),5X,5HDT(S),7X,5HNSTEP)
3700 FORMAT (1H ,16X,I3,1P4E12.3,6X,I3) 3900 FORMAT (//12X,49H** CAUTION ** CONVERGENCE CRITERION NOT SATISFIED
1 ,/25X,39H WHEN PROGRAM TERMINATED AT NITER=MAXIT) C
CONTAINS C
2 – SUBROUTINE PROPS C***********************************************************************
SUBROUTINE PROPS(NI,NJ,GAMH,TCON) C C------CALCULA PROPRIDADES DO MATERIAL C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C
INTEGER,INTENT(IN)::NI,NJ REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(INOUT)::GAMH REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(IN)::TCON
C C------CAPÍTULO 1 - ACTUALIZA PROPRIEDADES
DO I=1,NI DO J=1,NJ GAMH(I,J)=TCON(I,J) END DO END DO
C END SUBROUTINE PROPS
3 – SUBROUTINE INIT C*********************************************************************** C
SUBROUTINE INIT (NI,NJ,NIM1,NJM1,RX,DXEP,DXPW,SEW,XU,RU,RY,DYPS, 1 DYNP,SNS,YV,RV,AN,AS,AE,AW,SU,SP,GAMH,TOLD,T,INCYLX,INCYLY)
C C------OPERAÇÕES DE INICIALIZAÇÃO C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C
INTEGER,INTENT(IN)::NI,NJ, NIM1,NJM1 REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(INOUT)::GAMH,TOLD,T REAL,DIMENSION(NI),INTENT(OUT)::RX,DXEP,DXPW,SEW,XU,RU REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(OUT)::RY,DYPS,DYNP,SNS,YV,RV, 1 AN,AS,AE,AW,SU,SP INTEGER::I,J LOGICAL,INTENT(IN)::INCYLX,INCYLY
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
106
C C------CAPÍTULO 1 - ERRO DE DADOS: TERMINA PROGRAMA SE C------INCYLX E INCYLY TIVEREM AMBOS O VALOR .TRUE. C
IF (INCYLX.AND.INCYLY) THEN WRITE (10,3900) STOP
3900 FORMAT (//10X,37H INCYLX AND INCYLY BOTH SET TO .TRUE. 1 //16X,26H*** PROGRAM TERMINATED ***) ELSE
C C------CAPÍTULO 2 - CALCULA DIMENSÕES DA MALHA C------IMPOE RX=X SE AXISSIMETRICO NA DIRECÇÃO XX C
DO I=1,NI RX(I)=1.0 IF (INCYLX) THEN RX(I)=X(I) ENDIF END DO
C------IMPOE RY=Y SE AXISSIMETRICO NA DIRECÇÃO YY DO J=1,NJ RY(J)=1.0 IF (INCYLY) THEN RY(J)=Y(J) ENDIF END DO
C------CALCULA DISTANCIAS ENTRE NOS DXPW(1)=0.0 DXEP(NI)=0.0 DO I=1,NIM1 DXEP(I)=X(I+1)-X(I) DXPW(I+1)=DXEP(I) END DO DYPS(1)=0.0 DYNP(NJ)=0.0 DO J=1,NJM1 DYNP(J)=Y(J+1)-Y(J) DYPS(J+1)=DYNP(J) END DO
C------CALCULA DIMENSÕES DOS VOLUMES DE CONTROLO SEW(I)=0.0 SEW(NI)=0.0 DO I=2,NIM1 SEW(I)=0.5*(DXEP(I)+DXPW(I)) END DO SNS(1)=0.0 SNS(NJ)=0.0 DO J=2,NJM1 SNS(J)=0.5*(DYNP(J)+DYPS(J)) END DO
C------LOCALIZA FRONTEIRAS DOS VOLUMES DE CONTROLO XU(1)=0.0 RU(1)=0.0 DO I=2,NI RU(I)=0.5*(RX(I)+RX(I-1)) XU(I)=0.5*(X(I)+X(I-1)) END DO YV(1)=0.0 RV(1)=0.0 DO J=2,NJ RV(J)=0.5*(RY(J)+RY(J-1)) YV(J)=0.5*(Y(J)+Y(J-1)) END DO
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
107
C------MODIFICA VALORES DE FRONTEIRA DE X E DE Y X(1)=XU(2) IF (X(1).LT.(XU(NI)-XU(2))*1.0E-3) X(1)=0.0 X(NI)=XU(NI) Y(1)=YV(2) IF (Y(1).LT.(YV(NJ)-YV(2))*1.0E-3) Y(1)=0.0 Y(NJ)=YV(NJ)
C C------CAPÍTULO 3 - INICIALIZA MATRIZES A ZERO C
DO J=1,NJ AE(J)=0.0 AW(J)=0.0 AN(J)=0.0 AS(J)=0.0 SU(J)=0.0 SP(J)=0.0 DO I=1,NI GAMH(I,J)=0.0 TOLD(I,J)=0.0 T(I,J)=0.0 END DO END DO ENDIF
C END SUBROUTINE INIT
C
4 – SUBROUTINE CALCT C***********************************************************************
SUBROUTINE CALCT(NI,NJ,NIM1,NJM1,DXEP,RU,RX,SEW,DYNP,RV,RY,SNS,AS, 1 AN,AW,AE,SU,SP,GAMH,CV,DENSIT,T,TOLD,URFT,JS,JN,INTIME,RESORT)
C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C
INTEGER,INTENT(IN)::NI,NJ, NIM1,NJM1 REAL,DIMENSION(NI),INTENT(IN)::RX,DXEP,SEW,RU REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(IN)::RY,DYNP,SNS,RV REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(INOUT)::AN,AS,AE,AW,SU,SP REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(INOUT)::GAMH,CV,DENSIT,TOLD,T REAL,INTENT(IN)::URFT REAL,INTENT(OUT)::RESORT INTEGER,DIMENSION(NI),INTENT(IN)::JS,JN REAL,DIMENSION(NJ)::AP REAL::AREAN,AREAE,VOL,DP,DN,DE,RESOR,GAME,GAMN INTEGER::I,J,IL,LJS,LJN LOGICAL,INTENT(IN)::INTIME
C C------CAPÍTULO 1 - CALCULA COEFFICIENTES C
RESORT=0.0 C------CICLO PELAS COLUNAS I=CTE
DO I=2,NIM1 C------ENCONTRA LIMITES JJ INFERIOR E SUPERIOR PARA COLUNA I=CTE
LJS=JS(I) LJN=JN(I)
C------CALCULA COEFICIENTES PARA TODA A COLUNA I=CTE DO J=LJS,LJN
C------DETERMINA AREAS E VOLUME AREAN=RV(J+1)*SEW(I)*RX(I) AREAE=RY(J)*SNS(J)*RU(I+1) VOL=RY(J)*SNS(J)*SEW(I)*RX(I)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
108
C------CALCULA COEFICIENTES DE DIFUSÃO GAMN=0.5*(GAMH(I,J)+GAMH(I,J+1)) GAME=0.5*(GAMH(I,J)+GAMH(I+1,J)) DN=GAMN*AREAN/DYNP(J) DE=GAME*AREAE/DXEP(I)
C------TERMOS DE FONTE QUANDO EXISTENTES SU(J)=0.0 SP(J)=0.0
C------COEFICIENTES TRANSIENTES IF (INTIME) THEN DP=VOL*CV(I,J)*DENSIT(I,J)/DT SU(J)=SU(J)+DP*TOLD(I,J) SP(J)=SP(J)-DP ENDIF
C------CALCULA COEFICIENTES AN(J)=DN AS(J)=AN(J-1) AW(J)=AE(J) AE(J)=DE END DO
C IL=I
C C------CAPÍTULO 2 - MODIFICAÇÕES DO PROBLEMA: CONDIÇÕES DE FRONTEIRA C
CALL PROMOD(NI,NJ,NIM1,NJM1,IL,RV,YV,Y,SNS,SEW,X,XU, 1 AN,AS,AE,AW,SU,SP,GAMH,T)
C C------CAPÍTULO 3 - COEFICIENTES FINAIS + RESÍDUO C
DO J=LJS,LJN AP(J)=AN(J)+AS(J)+AE(J)+AW(J)-SP(J) RESOR=AN(J)*T(I,J+1)+AS(J)*T(I,J-1)+AE(J)*T(I+1,J)
1 +AW(J)*T(I-1,J)-AP(J)*T(I,J)+SU(J) VOL=RY(J)*SEW(I)*SNS(J)*RX(I)
C------MODIFICA RESOR SE CONDIÇÕES DE FRONTEIRA SAO C------APLICADAS COM RECURSO A SP=-GREAT
IF (-SP(J).GT.0.5*GREAT) THEN RESOR=RESOR/GREAT ENDIF
C------SOMA RESÍDUO PARA ESTA COLUNA I=CTE RESORT=RESORT+ABS(RESOR)
C------SUB-RELAXATÇÃO AP(J)=AP(J)/URFT SU(J)=SU(J)+(1.0-URFT)*AP(J)*T(I,J) END DO
C C------CAPÍTULO 4 - SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS C C------EFECTUA ITERAÇÃO LINHA A LINHA
CALL SOLVE (NI,NJ,IL,LJS,LJN+1,T,AN,AS,AE,AW,AP,SU,SP) END DO
C END SUBROUTINE CALCT
C
5 – SUBROUTINE SOLVE C***********************************************************************
SUBROUTINE SOLVE (NI,NJ,IL,JSTART,JEND,PHI,AN,AS,AE,AW,AP,SU,SP) C C------ALGORITMO DE THOMA: TDMA C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C
INTEGER,INTENT(IN)::JSTART,JEND,NI,NJ,IL REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(INOUT)::PHI REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(IN)::AP,AN,AS,AE,AW,SU,SP REAL,DIMENSION(NJ)::A,B,C,D REAL::DIV,TERM INTEGER::JENDM1,JSTM1,J,JJ,I
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
109
C C------CAPÍTULO 1 - PROCESSO DE ITERAÇÃO LINHA A LINHA C
JENDM1=JEND-1 JSTM1=JSTART-1
C C------INICIALIZAÇÃO
DO J=JSTART,JEND A(J)=0.0 B(J)=0.0 C(J)=0.0 D(J)=0.0 END DO
C C
A(JSTM1)=0.0 I=IL C(JSTM1)=PHI(I,JSTM1)
C DO J=JSTART,JENDM1
C------ASSEMBLE TDMA COEFFICIENTS A(J)=AN(J) B(J)=AS(J) C(J)=AE(J)*PHI(I+1,J)+AW(J)*PHI(I-1,J)+SU(J) D(J)=AP(J)
C------CALCULATE COEFFICIENTS OF RECURRENCE FORMULA DIV=D(J)-B(J)*A(J-1) TERM=1.0/DIV A(J)=A(J)*TERM C(J)=(C(J)+B(J)*C(J-1))*TERM END DO
C------OBTEM NOVOS PHI'S POR SUBSTITUIÇÃO PARA TRÁS DO JJ=JSTART,JENDM1 J=JEND+JSTM1-JJ PHI(I,J)=A(J)*PHI(I,J+1)+C(J) END DO END SUBROUTINE SOLVE
C
6 – SUBROUTINE PROMOD C***********************************************************************
SUBROUTINE PROMOD(NI,NJ,NIM1,NJM1,IL,RV,YV,Y,SNS,SEW,X,XU, 1 AN,AS,AE,AW,SU,SP,GAMH,T)
C C------MODIFICAÇÕES DO PROBLEMA C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C
INTEGER,INTENT(IN)::NI,NJ, NIM1,NJM1,IL REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(IN)::RV,YV,Y,SNS REAL,DIMENSION(NI),INTENT(IN)::SEW,X,XU REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(INOUT)::AN,AS,AE,AW,SU,SP REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(IN)::GAMH,T REAL::DXW,DXE,RDYN,DN,DS,DW,DE,RDYS INTEGER::I
C C------CAPÍTULO 1 - ENERGIA TÉRMIC: TEMPERATURA C
I=IL C-------FRONTEIRA NORTE
RDYN=RV(NJ)/(YV(NJ)-Y(NJM1)) AN(NJM1)=0.0 DN=GAMH(IL,NJM1)*SEW(IL)*RDYN SU(NJM1)=SU(NJM1)+DN*T(IL,NJ) SP(NJM1)=SP(NJM1)-DN
C-------FRONTEIRA SUL RDYS=RV(2)/(Y(2)-YV(2)) AS(2)=0.0 DS=GAMH(IL,2)*SEW(IL)*RDYS SU(2)=SU(2)+DS*T(IL,1) SP(2)=SP(2)-DS
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
110
C-------FRONTEIRA OESTE IF (IL.EQ.2) THEN DXW=X(2)-XU(2) DO J=2,NJM1 AW(J)=0.0 DW=GAMH(IL,J)*SNS(J)*RY(J)/DXW SU(J)=SU(J)+DW*T(1,J) SP(J)=SP(J)-DW END DO ENDIF
C-------FRONTEIRA ESTE IF (IL.EQ.NIM1) THEN DXE=XU(NI)-X(NIM1) DO J=2,NJM1 AE(J)=0.0 DE=GAMH(IL,J)*SNS(J)*RY(J)/DXE SU(J)=SU(J)+DE*T(NI,J) SP(J)=SP(J)-DE END DO ENDIF END SUBROUTINE PROMOD
C
7 – SUBROUTINE PRINT C***********************************************************************
SUBROUTINE PRINT (ISTART,JSTART,IEND,JEND,IT,JT,X,Y,PHI) C C------IMPRESSÃO DE VARIÁVEIS CALCULADASW C C------CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES C
INTEGER,INTENT(IN)::ISTART,JSTART,IEND,JEND,IT,JT REAL,DIMENSION(NJ),INTENT(IN)::Y REAL,DIMENSION(NI),INTENT(IN)::X REAL,DIMENSION(NI,NJ),INTENT(IN)::PHI REAL,DIMENSION(NI)::STORE REAL::A INTEGER::ISKIP,JSKIP,LINLIM,LINSTA,LINEND,JJ,J,IS,I
C C------CAPÍTULO 1 - INICIALIZAÇÃO E CABEÇALHOS C
ISKIP=1 JSKIP=1 LINLIM=8 LINSTA=ISTART
C------ESCREVE CABEÇALHO DA MATRIZ WRITE(10,1800)
C------ESCREVE CABEÇALHOS DAS LINHAS 1100 CONTINUE
LINEND=LINSTA+(LINLIM-1)*ISKIP LINEND=MIN0(IEND,LINEND) WRITE(10,1810) (I,I=LINSTA,LINEND,ISKIP)
C C------CAPÍTULO 2 - ESCREVE MATRIZ PHI C
WRITE(10,1900) DO JJ=JSTART,JEND,JSKIP J=JSTART+JEND-JJ IS=0 DO I=LINSTA,LINEND,ISKIP A=PHI(I,J) IF (ABS(A).LT.1.0E-20) A=0.0 IS=IS+1 STORE(IS)=A END DO WRITE(10,1820) J,Y(J),(STORE(I),I=1,IS) END DO WRITE(10,2900) (X(I),I=LINSTA,LINEND,ISKIP) LINSTA=LINEND+ISKIP IF (LINEND.LT.IEND) GOTO 1100
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
111
C C--------FORMATS 1800 FORMAT (//1X,15(2H*-),2X,16H TEMPERATURA (C),2X,15(2H-*)) 1810 FORMAT (//10X,5H I =,2X,I2,7(8X,I2)) 1820 FORMAT(1H ,I3,F9.4,8(0PE10.3)) 1900 FORMAT (3H J,6X,3HY =) 2900 FORMAT (/10X,4H X =,0PF9.4,7F10.4)
END SUBROUTINE PRINT C*********************************************************************** C
END PROGRAM TEACHC
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
112
APÊNDICE
2
SÍMBOLOS EM FORTRAN E SIGNIFICADO
DAS PRINCIPAIS VARIÁVEIS DO PROGRAMA
TEACH-C
Neste apêndice apresenta-se a listagem dos símbolos em FORTRAN e do significado das
principais variáveis do programa TEACH-C.
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
113
SIMBOLO EM FORTRAN SIGNIFICADO
A(J) Coeficiente aj na equação do TDMA
AE(J) Coeficiente AE na equação discretizada
AN(J) Coeficiente AN na equação discretizada
AP(J) Coeficiente AP na equação discretizada
AS(J) Coeficiente AS na equação discretizada
AW(J) Coeficiente AW na equação discretizada
B(J) Coeficiente bj na equação doo TDMA
C(J) Coeficiente cj na equação do TDMA
CV Calor específico a pressão constante
D(J) Coeficiente dj na equação do TDMA
DENSIT Massa volúmica do material, ρ
DT Passo no tempo, δt
DXEP(I) Distância na direcção xx entre dois nós consecutivos E e P:
δxEP = X(I+1)-X(I)
DXPW(I) Distância na direcção xx entre dois nós consecutivos W e P:
δxPW = X(I)-X(I-1)
DYNP(J) Distância na direcção yy entre dois nós consecutivos N e P:
δyNP = Y(J+1)-Y(J)
DYPS(J) Distância na direcção yy entre dois nós consecutivos S e P:
δyPS = Y(J)-Y(J-1)
GAMH(I,J) Condutibilidade térmica k local no nó P(I,J)
GREAT Número suficientemente grande, γ = 1030, utilizado para fixar
a temperatura num nó P(I,J)
H Altura H da barra rectangular
I Índice para designar a posição axial na malha
IMON Índice de um ponto do domínio de solução, para o qual a
temperatura é escrita em cada iteração
INCYLX Variável lógica para seleccionar coordenadas cilíndricas com
a coordenada radial na direcção xx (INCYLX = .TRUE.)
INCYLY Variável lógica para seleccionar coordenadas cilíndricas com
a coordenada radial na direcção yy (INCYLY = .TRUE.)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
114
INPRO Variável lógica que dita se a condutibilidade térmica é ou não
recalculada, por não ser constante, de acordo com:
INPRO = .TRUE., é recalculada
INPRO =.FALSE., não é recalculada
INTIME Variável lógica que selecciona se o problema é não-
estacionário ou estacionário de acordo com:
INTIME = .TRUE., não estacionário
INTIME =.FALSE., estacionário
IT Dimensão de I em todas as matrizes bidimensionais
J Índice para designar a posição radial na malha
JMON Índice J de um ponto do campo, para o qual a temperatura é
escrita em cada iteração
JN(I) Matriz contendo o número da linha horizontal da malha que
define o limite superior do domínio de solução para cada
linha vertical da malha
JS(I) Matriz contendo o número da linha horizontal da malha que
define o limite inferior do domínio de solução para cada linha
vertical da malha
JT Dimensão de J em todas as matrizes bidimensionais
MAXIT Número máximo de iterações espaciais permitido para cada
passo no tempo
MAXSTP Número total de passos no tempo
NI Número total de linhas verticais da malha
NIM1 NIM1 = NI-1
NITER Contador das iterações espaciais já efectuadas
NITPRI Intervalo, medido em número de iterações, para o qual o
campo de temperaturas é escrito no processo iterativo
NJ Número total de linhas horizontais da malha
NJM1 NJM1 = NJ-1
NSTEP Contador do número de passos no tempo já efectuados
NSTPRI Intervalo medido em passos no tempo, para o qual a solução
convergente é impressa
PI π ( = 3.14159....)
Métodos Numéricos em Problemas de Difusão
115
RESORT Somatório dos valores absolutos dos resíduos da equação de
energia
RU(I) Distância radial do eixo de simetria à fronteira oeste do
volume de controlo de P (I,J), quando INCYLX = .TRUE.
RV(J) Distância radial do eixo de simetria à fronteira sul do volume
de controlo de P(I,J), quando INCYLY =.TRUE.
RX(I) Distância radial a que o nó P(I,J) se encontra do eixo de
simetria, quando INCYLX = .TRUE.
RY(J) Distância radial a que o nó P(I,J) se encontra do eixo de
simetria, quando INCYLY = .TRUE.
SEW(I) Dimensão axial do volume de controle de P(I,J)
SNORM Fluxo de calor normalizador característico do problema
SNS(J) Dimensão radial do volume de controle P(I,J)
SOURCE Resíduo total normalizado
SORMAX Valor preestabelecido do resíduo total normalizado, para o
qual a solução é considerada convergente
SP(J) Coeficiente SP na equação discretizada
SU(J) Coeficiente SU na equação discretizada
T(I,J) Temperatura no passo de tempo actual
TBOT Temperatura do lado de baixo da barra rectangular
TCON Condutibilidade térmica de referência
TIME Valor do tempo t total para o qual os cálculos são efectuados
TLEFT Temperatura do lado esquerdo da barra rectangular
TOLD(I,J) Temperaturas no passo de tempo anterior
TRIGHT Temperatura do lado direito da barra rectangular
TTOP Temperatura do lado de cima da barra rectangular
URFT Factor de sub-relaxação α
W Largura W da barra rectangular
X(I) Coordenada horizontal, i.e. abcissa, do nó P(I,J)
XU(I) Coordenada horizontal, i.e. abcissa, da fronteira oeste do
volume de controle de P(I,J)
Y(J) Coordenada vertical, i.e. ordenada, do nó P(I,J)
YV(J) Coordenada vertical, i.e. ordenada, da fronteira sul do
volume de controle de P(I,J).