InzMatET Laplace

Inenjerska matematika ETLaplaceova transformacija

Sveuilini preddiplomski studij elektrotehnikeakad. god. 2008./2009.

N. rnjari-ic

Tehniki fakultet Sveuilita u Rijeci

Rijeka, 2008.

N. rnjari-ic | Inenjerska matematika ET - Laplaceova trannsformacija 1/15

Ishodi uenja - predavanja

Na kraju ovog poglavlja moi ete:definirati Laplaceovu transformaciju i inverznu Laplaceovu transformaciju ,iskazati svojstva Laplaceove transformacije i pravilno ih primijenitikod raunanja slika nekih funkcija,opisati rjeavanje diferencijalnih i integralnih jednadbi pomouLaplaceovih transformacija.


Ishodi uenja - vjebe

Na kraju pripadnih vjebi moi ete:izraunati Laplaceove transformacije tj. slike nekih funkcija,izraunati inverzne Laplaceove transformacije tj. originale nekihfunkcija,rijeiti diferencijalne i integralne jednadbe primjenom Laplaceovihtransformacija.


Laplaceova transformacija - definicija

Laplaceova transformacija funkcije f (t), koja je definirana za t > 0 jefunkcija F (s) definirana s

F (s) = 0

est f (t)dt. (1)

Funkcija f naziva se original, a funkcija F slika. Navedenu integralnutransformaciju koja funkciji f pridruuje funkciju F oznaavat emo s L:

F = L(f ).Obratna veza, koja slici F pridruuje original f , naziva se inverznaLaplaceova transformacija i oznaava s L1:

f = L1(F ) = 0

estF (s)ds.

Laplaceova transformacija funkcije f (t) postoji ako integral (1)konvergira. Prema tome, Laplaceova transformacija sigurno postoji za podijelovima neprekidne funkcije koje imaju konano mnogo prekida prvevrste i za koje postoje konstante a i M takve da je |f (t)| < Meat zat > 0.


Svojstva Laplaceove transformacije

LinearnostL(af (t) + bg(t)) = aF (s) + bG (s)

Teorem slinostiL(f (t)) = 1

F (

s)

Teorem o slici derivacije

L(f (t)) = sF (s) f (0)

L(f (n)(t)) = snF (s) [sn1f (0) + sn2f (0) + . . .+ f (n1)(0)]Teorem o derivaciji slike

L(tnf (t)) = (1)n dn

dsnF (s)

nastavak


Svojstva Laplaceove transformacije

Teorem o slici integrala

L( t0f ()d) =

F (s)s

= L1(F (s)s

) =

t0f ()d

Teorem o integralu slike

L( f (t)t

) =

s

F (s)ds = L1( s

F (s)ds) =f (t)t

Teorem o pomaku slike (Teorem o priguenju)

L(eat f (t)) = F (s a) = L1(F (s a)) = eat f (t)nastavak


Laplaceova transformacija - motivacija

Diferencijalna (ili integralna) jednadba

Odgovarajua algebarska jednadba Rjeenje algebarske jednadbe

Rjeenje diferencijalne (ili integralne) jednadbe

?-

6

L L1


Rjeavanje linearne diferencijalne jednadbe

Neka je zadana diferencijalna jednadba n-tog reda s konstantnimkoeficijentima

y (n) + an1y (n1) + . . .+ a1y + a0y = f (t),

uz zadane poetne uvjete y(0) = K0, y (0) = K1, . . . , y (n1)(0) = Kn1.Primjenom Laplaceove transformacije dobijemo jednadbu oblika

Pn(s)Y (s) = Qn1(s) + F (s),

pa je rjeenje algebarske jednadbe, koje predstavlja sliku rjeenjazadanog poetnog problema, jednako

Y (s) =Qn1(s) + F (s)

Pn(s).

Ovdje je Pn(s) karakteristini polinom diferencijalne jednadbe, Qn1(s)je polinom koji ovisi o poetnim uvjetima, a F (s) je Laplaceovatransformacija ulazne (input) funkcije.


Tablica Laplaceovih transformacija

Osnovne Laplaceove transformacije

( )f t ( )F s ( )f t ( )F s 0, 0

( )1, 0

tH t

t

Step funkcija

Jedinina step funkcija (Heavisideova funkcija) definirana je s

Step function and delta functionStep function and delta functionStep function and delta functionStep function and delta function

There are two common functions which are used to represent very rapidly changing quantities. The first of these is the step function u(t) defined by:first of these is the step function, u(t), defined by:

> 01 t

=

0001

)(tt

tu

u(t)

Slide number 40t

Laplaceova transformacija step funkcije jednaka je L(u(t)) = 1s .Pomaknuta step funkcija je jednaka

Step function and delta functionStep function and delta functionStep function and delta function Step function and delta function

If the step function switches on at t = a it is defined by:

=

atat

atu01

)( < at0

u(t-a)( )

Slide number 41

t =a t


Svojstva Laplaceove transformacije - pomak originala

Za zadanu funkciju f (t) definiramo pomaknutu funkciju

g(t) ={

0 , t < 0f (t a) , t a = f (t a)u(t a)

Shift inShift in ttShift in Shift in tt

Define a shifted function by:

Diracova funkcija (1/2)

Diracova funkcija je funkcija kojom se modeliraju kratki impulsi.Definirana je s

(t) = limbfb(t), gdje je fb(t) ={ 1

2b , |t| < b0 , |t| > 0 .

Step function and delta functionStep function and delta functionStep function and delta function Step function and delta function

The delta function can be considered as a limiting case as shown below:

(t)1/2b (t)

0lim b2bt

Slide number 44Iako nije funkcija u standardnom smislu, najee se smatra funkcijom tese pie

(t) ={ , t = 0

0 , t 6= 0 i (t a) ={ , t = a

0 , t 6= a .


Diracova funkcija (2/2)

Takoer vrijedi a+a

(t a)dt = 1 i a+a

(t a)f (t)dt = f (a).

Laplaceova transformacija jednaka je

L((t)) = 1.

Iz teorema pomaka potom slijedi da je

L((t a)) = eas .


Periodina funkcija

Laplaceova transformacija periodine funkcije Neka je f (t)periodina funkcija s perodom duljine T . Tada se Laplaceovatransformacija moe izraunati po formuli

L(f (t)) = 11 esT

T0

est f (t)dt.


Konvolucija

Konvolucija funkcija f1(t) i f2(t) definira se s

(f1 f2)(t) :=

f1()f2(t )d.

Tako dobivena funkcija ima Laplaceovu transformaciju, ako postojeLaplaceove transformacije funkcija f1(t) i f2(t). Opazimo da se funkcijaponitava izvan intervala [0, t] ako su f1(t) i f2(t) definirane samo zat > 0.Laplaceova transformacija konvolucije jednaka je

L((f1 f2)(t)) = F1(s)F2(s),

pa vrijediL1(F1(s)F2(s)) = (f1 f2)(t).


Documents

InzMatET Laplace