ELASTICITA IN GRANDI DEFORMAZIONI

(IPERELASTICITA) (materiali elastomerici)

Forma e tipo di legame (polimeri termoindurenti)

cross-link

vulcanizzazione

Comportamento

MATERIALI ELASTOMERICI

VMQ gomma metil-vinil siliconica R = radicali metilico e vinilico

IPERELASTICITA

Quasi-incomprimibilit ( > 0.49) => utilizzo di elementi a formulazione speciale (elementi a formulazione ibrida in Abaqus) Necessario attivare non-linearit geometrica nella soluzione ad elementi finiti

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Deformazione [mm/mm]

Tens

ione

[N/m

m2 ]

IPERELASTICITA

XdRVXdURXdFxd

istrostiramentoditensoreVdestrostiramentoditensoreU

rotazioneditensoreRpolaredecompRVURF

posizionedigradientexF

coincidonorifdisistiseXxuXxbu

===

=

=

=

==

==

=+=

sin

).(

)..(

= stiramento = l/l0 l

l0

Ipotesi: lo sforzo deriva da una funzione energia di deformazione, W, t.c.

= tensore di Finger = i(Bs) = invariante i-simo di p = pressione idrostatica = - m

( ) ( )Ip

IWB

IWB

ss Bs

Bs

=

2

1

1

2~ (materiale incomprimibile)

p p

p

1 2

3

IPERELASTICITA

( ) 22 ( VVVVRRVRVRVFFV TTTTT =====sB

sB

1

1 2

3

2

3

=2

3

22

21

s

000000

B

(1-3 = direz. princ. di stiramento)

1I

I

I

23

22

213

23

22

23

21

22

212

23

22

211

==

++=

++=

(se materiale incomprimibile)

Esempio: trazione uniassiale

03

02

01 s

s1ww1

ll

======

w0 l0

s0

Tensore di Finger

IPERELASTICITA

Modelli pi semplici di energia di deformazione presenti nel software Abaqus

- Neo-Hooke - Mooney-Rivlin - Polinomiale

( ) ( )21

110 113 += elJD

ICW

( ) ( ) ( )21

201110 1133 ++= elJD

ICICW

( ) ( ) ( )==+

+=N

i

iel

i

N

ji

jiij JD

IICW1

2

121 1

133

(meglio per < 1)

IPERELASTICITA

( )00

1

03321

2162EK

D

VVIJel

==

=== ( )( )( )01100

100

1414

CCECE

++=

+=

(Neo-Hooke)

(M.-R. e Polinomiale)

E0 = modulo elastico in piccole deformazioni

Nota Se si pone D1=0 ovvero =0.5 il comportamento incomprimibile

Esempio: prova di trazione (materiale incomprimibile)

Con Mooney-Rivlin

( )101010 61~

lim CCE +=

=

=

==

==

2

2

1

2

32

22

1

21

1112

0~~

12~~

IW

IWp

pIW

IW

pIW

IW

pIW

IW

pIW

IW

=

=

=

22

31

233

22

21

222

22

11

211

12~

12~

12~

03

02

01 s

s1ww1

ll

======

IPERELASTICITA

+

=

0110

2 12~ CC

Determinazione da prova di trazione dei parametri del modello Mooney-Rivlin (materiale incomprimibile)

campo di validit A0 = sezione iniziale l0 = lunghezza iniziale

IPERELASTICITA

+

=

0110

2 12~ CC

01102 12

~~ CCMR +=

=

+=+

=

=====

1

~

0

0

0

0

0

0

lll

ll

AA

AA

AF

AF

Regressione lineare dei dati

1;~MR con il vincolo 1

1~0110 =+=

perCCMRNota: per avere un campo di validit il pi ampio possibile meglio avere a disposizione dati relativi a pi tipi di prove (traz. uniassiale, traz. equibiassiale, traz. planare) su cui effettuare il fitting

IPERELASTICITA

Tipi di prove su cui effettuare il fitting

Trazione uniassiale

Trazione planare

Trazione equibiassiale

Deformazione volumetrica (materiale comprimibile)

IPERELASTICITA

Equivalenza tra tipi di prove

Non d deformazione (e quindi non apporta energia) se il materiale incomprimibile

IPERELASTICITA

Determinazione automatica dei parametri utilizzando la funzione Evaluate allinterno della della definizione del materiale in Abaqus (regressione dei dati sperimentali col metodo dei minimi quadrati)

Note: I dati sperimentali da introdurre nella definizione del materiale sono (; ), in cui lo sforzo nominale F/A0 ed la deformazione nominale l/l0 Nel caso di modello polinomiale di energia di deformazione, il fitting pu essere fatto fino a N=2 (N=1 corrisponde a Mooney-Rivlin) Nel caso di modello polinomiale ridotto (sola dipendenza da I1), il fitting pu essere fatto fino a N=6 (N=1 corrisponde a Neo-Hooke) La funzione Evaluate determina anche i limiti di stabilit della funzione utilizzata come modello di energia di deformazione (d/d > 0)

La norma prescrive la geometria del provino e le condizioni di prova

METODOLOGIA DI TEST A TRAZIONE

METODOLOGIA DI TEST A TRAZIONE

EFFETTO MULLINS

Tensione vs Deformazione

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

0 1 1 2 2 3

Deformazione [mm/mm]

Tens

ione

[Mpa

]

e1 e2 e3 rottura

Tensione vs Deformazione

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Deformazione [mm/mm]Te

nsio

ne [M

pa]

e1 e2 e3 rottura

Teorico Reale (esempio gomma VMQ)

EFFETTO MULLINS

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Deformazione (%)

Tens

ione

(MPa

)

1 e2 2 e2 3 e2 4 e2

Effetto irreversibile ma non DEGENERATIVO Stabilizzazione del fenomeno gi dalla terza prova

Carichi ripetuti

Nota: leffetto Mullins modellabile in Abaqus, specificando dati sperimentali di carico-scarico per diversi livelli di deformazione

VISCOELASTICITA Esempio: funzione rilassamento ER(t) gomma VMQ

Note: La viscoelasticit si attiva in Abaqus esattamente come per il caso elastico (piccole deformazioni). In questo caso il comportamento elastico definito attraverso il modello di energia di deformazione La viscoelasticit utile per descrivere il comportamento viscoso con carichi che alternano fasi stazionarie e transitori di passaggio da una fase stazionaria allaltra (es.: sequenze di carico a gradini) La viscoelasticit nel caso degli elastomeri rappresenta (in Abaqus) un comportamento reologico solido

Modulo elastico / Tempo

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,5 1 1,5 2 2,5Tempo [min]

E [N

/mm

2]

Tensione / Tempo

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4 5Tempo [min]

[N/m

m2]

media 1

media 2media 3

Lentit della riduzione dipende dal livello di deformazione

ISTERESI e PERMANENT SET

Note: Listeresi si attiva in Abaqus specificando i parametri un modello di creep nonlineare Il comportamento elastico definito attraverso il modello di energia di deformazione Listeresi utile per descrivere il comportamento viscoso con carichi ciclici a bassa frequenza ed elevata ampiezza di deformazione Listeresi non accoppiabile (in Abaqus) con Mullins Il Permanent Set si attiva in Abaqus definendo un comportamento iperelastico-plastico, in cui la parte plastica si definisce come per lelastoplasticit

mCA =

Effetto Mullins

Stabilizzazione effetto Mullins

Isteresi

Permanent set

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