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Repaso de matemáticas II
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Teorema de Pitágoras
Triángulo: Porción del plano limitada por tres rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices, tiene tres lados y por lo tanto tres ángulos y tres vértices.Clasificación de los triángulos: los triángulos se clasifican según la igualdad o desigualdad de sus lados, o la clase de ángulos que tenganPor sus lados :Equiláteros: Cuando sus tres lados son igualesIsósceles: Cuando dos de sus lados son igualesEscalenos: Cuando sus tres lados son diferentes Es importante señalar que los triángulos equiláteros también son isósceles ya que dos de sus lados son iguales.Por sus ángulos: Acutángulos: Cuando poseen tres ángulos agudos(si
mide menos de ). Rectángulos: Cuando uno de sus ángulos es recto(si
mide ). Obtusángulo: Cuando poseen un ángulo obtuso(si
mide mas de ).
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Teorema de Pitágoras
Para recordar:
Según sus lados, los triángulos pueden ser equiláteros, isósceles o escalenos.
Según sus ángulos, los triángulos se clasifican en acutángulos, rectángulos y obtusángulos.
En todo triángulo, cualquier lado es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su diferencia.
Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales y tres ángulos iguales.
Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales(los opuestos a los lados iguales)
La suma de los ángulos de un triángulo es .
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Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras: El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos, algebraicamente se representa como: como vector tenemos =
La trigonometría: es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y lados en cualquier triángulo.Un ángulo es la amplitud de rotación BN de una semirrecta que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj. El lado donde empieza se llama inicial, mientras que el lado al que llega recibe el nombre de terminal o final.
lado terminal β lado inicial N
A
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El ángulo se considera positivo, si el giro es en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
Mientras que recibe el nombre de ángulo negativo si el giro es en el mismo sentido en el que giran las manecillas del reloj.
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Si consideramos el triangulo ABC tendremos para el ángulo A las siguientes funciones : B Sen A = Cos A =
c Tg A = a
A C b
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Trigonometría del triángulo rectángulo: podemos comparar los lados de un triángulo en función de un ángulo agudo, una vez identificado el ángulo, debe marcarse el lado opuesto y el adyacente a dicho ángulo y relacionarlo con las funciones anteriores. y Sen ∝= ∴ = sen∝ Cos ∝= ∴ = cos∝ ∝ x Fr=
Tg ∝= = arc
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Signos de las funciones trigonométricas seno y coseno:
Primer cuadrant
e
Segundocuadrante
TercerCuadrante
CuartoCuadrante
Seno + + - -
Coseno + - - +
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Método de las componentes para sumar vectores:
Estrategia para resolver problemas
1.-Seleccione un sistema de coordenadas.2.-Trace el polígono adecuado con los vectores, dibujando cada vector con longitudes y ángulos proporcionales con una etiqueta en cada vector.3.-Halle las componentes X y Y de todos los vectores usando trigonometría si es necesario. Verifique que los signos algebraicos sean correctos (ver tabla en la parte superior de esta diapositiva).4.-Utilice el teorema de Pitágoras para hallar la magnitud del vector resultante.5.-Utilice una función trigonométrica apropiada para hallar el ángulo que el vector resultante forma con el eje x positivo.
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Solución de triángulos oblicuángulos: Un triángulo es oblicuángulo cuando sus tres lados son oblicuos, es decir, no tiene un ángulo recto. Este tipo de triángulos se resuelven mediante la Ley de senos, de cosenos.Ley de senos: La razón que existe entre un lado de un triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado es proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos restantes.Esta ley se utiliza cuando:
Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.
C b a = =
A B c
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Ley de cosenos: El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado. C b a A B c Esta ley de cosenos se utiliza cuando:
Se tiene el valor de 2 lados y el ángulo comprendido entre ellosSe tiene el valor de los 3 lados.
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Teorema de Pitágoras
Resuelva correctamente los siguientes problemas :Un automóvil parte del punto A, se desplaza hacia el norte 40 km y llega al punto B; desde ese punto cambia su dirección hacia el este desplazándose 30 km hasta que llega al punto C. ¿Cuál será la resultante y la dirección del automóvil?Datos: Diagrama: Fórmula= 40 km ´´N´´ N = 30 km ´´E´´ b c = o a E s
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Desarrollo = = 50 km = 0,75
Arc tg 0,75=
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300
100 m
Resuelva correctamente los siguientes problemas en su cuaderno:Encuentre las componentes horizontal y vertical del desplazamiento de 100 m de Batman que vuela desde lo alto de un edificio a lo largo de la trayectoria ilustrada en la fig.
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a
b
T
Q
P
R
250
𝟑𝟖𝟎
𝟒𝟖𝟎𝟑𝟎❑
En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 m de altura, a través de ella se construirá un túnel. La punta de la montaña se observa bajo en ángulo de desde un punto P en un extremo de la montaña, y bajo un ángulo de desde el otro extremo. ¿Cuál será la longitud del túnel?
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Teorema de Pitágoras Ley de cosenos:
Dos personas jalan, mediante una cuerda cada una, un baúl de madera, como se observa en la figura, una de las personas aplica una fuerza de 300 N con un ángulo de respecto al Este. Determinar gráfica y analíticamente, la fuerza que debe aplicar la otra persona y el ángulo que debe formar respecto al Este para que el baúl se desplace hacia el Este con una fuerza resultante de 450 N.
Método gráfico:Se establece una escala conveniente se traza la con un ángulo de respecto al Este después se traza la resultante cuyo valor es de 450 N dirigida al Este. Unimos el extremo con el extremo de y esta línea representará la paralela de la buscada. Medimos su valor y el ángulo formado con respecto al Este. Trazamos con estos datos la y encontramos un valor de 190 N con un ángulo de respecto al este
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝑭 𝑹180
290∝=¿?290
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Formulas: Desarrollo:=+-2 bc cos A -2 cos
= N)(450N) - 256 797 Si calculamos el ángulo ∝ que forma aplicando ley de senosTenemos:= ∴ sen ∝= Sen ∝= = 0,4906
Arc sen 0,4906=
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Teorema de Pitágoras
Cuando el ángulo de elevación del sol es , un poste telefónico que está inclinado un ángulo de en la dirección a la que se encuentra el sol, hace una sombra de 21 ft de longitud sobre el piso. Determine la longitud del poste. Formula:
A=C)
=
Ley de Senos
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Desarrollo:
𝛄=-(+)=-)=
= ∴ a= = = 33 ft
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Teorema de Pitágoras
Resuelva correctamente los siguientes problemas:Para calcular la distancia entre dos puntos a la orilla de un lago, se establece un punto P a 100 m del punto M; al medir los ángulos resulta que ∠M= y ∠P= ¿Cuál es la distancia entre los puntos M y Q?
dQ
M
P
1100
400100m
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Teorema de Pitágoras
d
P
250 m380 m
38020 ´
Un observador se encuentra en un punto P que dista de 2 edificios, 250 m y 380 m, respectivamente. Si el ∡ formado por los 2 edificios y el observador es de , precisa la distancia entre ambos edificios.
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Teorema de Pitágoras
Bibliografía:
1. Acosta, S. Raymundo (2002) Matemáticas II, Ed. fondo de cultura económica ediciones, México.
2. Aguilar, M. Arturo, Bravo, V. Fabián Valapai, Cerón, V. Miguel, Gallegos, R. Herman A., Reyes, F. Ricardo (2010) Geometría, Trigonometría y geometría analítica, Ed. Pearson Educación, México.
3. Guzmán H. Abelardo (2002) Geometría y Trigonometría, Ed. Publicaciones Culturales.
4. Rich, B. (1991) Geometría, Ed. Mc Graw Hill.5. Aguilar, M. Arturo, Bravo, V. Fabián Valapai, Cerón, V. Miguel, Gallegos, R. Herman A., Reyes, F. Ricardo (2010) Aritmética, Ed. Pearson Educación, México.6. W. Swokowski E. (1986) Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Ed. Grupo Editorial Iberoamericana.
