Univerzitet u Tuzli Mašinski fakultet

I Grafički radPredmet: Nauka o čvrstoći I

Islamović Mersad III-23/14

Mašinski fakultet u Tuzli

Nauka o čvrstoći IZadatak broj: 1

List broj: 1

PROGRAMSKI ZADATAK I

STUDENT: Islamović Mersad KOMBINACIJA: 41

Zadatak br. 1

Za dati presjek prikazan na slici 1. i podatke iz tabele:1. Odrediti sopstvene momente inercije;2. Odrediti položaj glavnih centralnih osa inercije;3. Odrediti glavne centralne momente inercije i glavne centralne poluprečnike inercije i4. Nacrtati Mohr-ov krug inercije i centralnu elipsu inercije.

Komb. R[cm]

37 1038 1839 1740 1541 1942 1243 1644 1445 9

Slika 1.

Računanje ukupne površine datog presjeka računamo na sledeći način:

Radio Broj indexa Datum PregledalaIslamović Mersad III-23/14

Mašinski fakultet u Tuzli

Nauka o čvrstoći IZadatak broj: 1

List broj: 2

A = A1 + A2 + A3 – A4 + A5 – A6

Pojedinačne površine računamo :

A1 = 2R*2R = 4R2 = 4*192

A1 = 1444 [cm2]

A2 = (2 R)2∗π4

= (2∗19)2∗3.144

A2 = 1133.54 [cm2]

A3 = 2R*2R = 4R2 = 4*192

A3 = 1444 [cm2]

A4 = R2

2 = 192

2 A4 = 180.5 [cm2]

A5 = 2R∗2 R

2 = 4 R

2

2 = 2R2

A5 = 722 [cm2]

A6 = R2π A6 = 1133.54 [cm2]

Sada je ukupna površina datog presjeka:

A = (1444 + 1133.54 + 1444 -180.5 + 722 - 1133.54 ) [cm2] A = 3429.5 [cm2]

Sada treba da izračunamo XT, odnosno koordinatu težišta datog presjeka po X osi:

X1 = 3R = 3*19 X1 = 57 [cm]

X2 = 2R - 8R3 π

= 2*19 – 8∗19

3∗3.14

X2 = 21.86 [cm]

X3 = 3R = 3*19 X3 = 57 [cm]

X4 = 4R - R3

= 4*19 - 193

X4 = 67.67 [cm]

Radio Broj indexa Datum PregledalaIslamović Mersad III-23/14

Mašinski fakultet u Tuzli

Nauka o čvrstoći IZadatak broj: 1

List broj: 3

X5 = 2R - 2R3

= 2*19 – 2∗19

3 X5 = 25.33 [cm]

X6 = 2R = 2*19 X6 = 38 [cm]

Koordinata težišta po X osi iznosi :

XT = ∑XiAiA

= X 1 A1+X 2 A 2+X 3 A 3−X 4 A 4+X 5 A5−X 6 A6

A

XT = 57∗1444+21.86∗1133.54+57∗1444−67.67∗180.5+25.33∗722−38∗1133.54

3429.5 XT = 44.33 [cm]

Sada treba da izračunamo YT, odnosno koordinatu težišta datog presjeka po Y osi:

Y1 = 3R = 3*19 Y1 = 57 [cm]

Y2 = 2R + 8R3 π

= 2*19 + 8∗19

3∗3.14

Y2 = 54.13 [cm]

Y3 = R Y3 =19 [cm]

Y4 = R3

= 193

Y4 = 6.33 [cm]

Y5 = 2R - 2R3

= 2*19 – 2∗19

3 Y5 = 25.33 [cm]

Y6 = 2R = 2*19 Y6 = 38 [cm]

Koordinata težišta po Y osi iznosi:

YT = ∑YiAiA

= Y 1 A1+Y 2 A2+Y 3 A 3−Y 4 A 4+Y 5 A5−Y 6 A6

A

YT = 57∗1444+54.13∗1133.54+19∗1444−6.33∗180.5+25.33∗722−38∗1133.54

3429.5 YT = 42.33 [cm]

Radio Broj indexa Datum PregledalaIslamović Mersad III-23/14

Mašinski fakultet u Tuzli

Nauka o čvrstoći IZadatak broj: 1

List broj: 4

Slika 2. Računate površine i položaj težišta presjeka

Asijalni momenti inercije za ose X i Y :

Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3 - Ix4 + Ix5 - Ix6

IY = IY1 + IY2 + IY3 – IY4 + IY5 – IY6

Ix1 = Ix1' + Y12*A1

Ix1 =2R∗(2R)3

12 + 572 *1 444 =

= 2∗19∗8∗193

12 + 4 691 556 =

= 173 761.33 + 4 691 556 Ix1 = 4 865 317.33 [cm4]

Ix2 = Ix2' + Y22*A2

Ix2 = (π

16− 4

9∗π)*(2R)4 + 54.132*1 133.54 =

= ( 3.1416

− 49∗3.14 )∗16∗194 + 3 321 336.698 =

= (0.19625 – 0.14154) * 2 085 136 + 3 321 336.698

Radio Broj indexa Datum PregledalaIslamović Mersad III-23/14

Mašinski fakultet u Tuzli

Nauka o čvrstoći IZadatak broj: 1

List broj: 5

Ix2 = 3 435 408.62 [cm4]

Ix3 = Ix3' + Y32*A3

Ix3 = 2R∗(2R)3

36 + 192 *1 444 = 2∗19∗8∗193

36 + 521 284 =

= 57 920.44 + 521 284 Ix3 = 579 204.44 [cm4]

Ix4 = Ix4' + Y42*A4

Ix4 = R∗R3

36 + 6.332 *180.5 =

= 19∗193

36 + 7 232.44 =

= 3620.02 + 7232.44 Ix4 = 10 852.46 [cm4]

Ix5 = Ix5' + Y52*A5

Ix5 = 2R∗(2R)3

36 + 25.332 *722 =

= 2∗19∗8∗193

36 + 463 241.63 =

= 57 920.44 + 463 241.63 Ix5 = 521 162.07 [cm4]

Ix6 = Ix6' + Y62*A6

Ix6 = (2 R)4∗π64

+ 382*1 133.54 =

= (2∗19)4∗π64

+ 1 636 831.76 =

= 102 301.99 + 1 636 831.76 Ix6 = 1 739 133.75 [cm4]

Ix = 4 865 317.33 + 3 435 408.62 + 579 204.44 - 10 852.46 + 521 162.07 - 1 739 133.75 Ix = 7 651 106.25 [cm4]

Sada za osu Y :

Iy1 = Iy1' + X12*A1

Iy1 = 2R∗(2R)3

12 + 572 *1 444 =

= 2∗19∗8∗193

12 + 4 691 556 =

= 173 761.33 + 4 691 556 IY1 = 4 865 317.33 [cm4]

Iy2 = Iy2' + X22*A2

Radio Broj indexa Datum PregledalaIslamović Mersad III-23/14

Mašinski fakultet u Tuzli

Nauka o čvrstoći IZadatak broj: 1

List broj: 6

Iy2 = (π

16− 4

9∗π)*(2R)4 + 21.862*1 133.54 =

= ( 3.1416

− 49∗3.14 )∗16∗194 + 541 672.97 =

= (0.19625 – 0.14154) * 2 085 136 + 541 672.97 Iy2 = 655 744.89 [cm4]

Iy3 = Iy3' + X32*A3

Iy3 = 2R∗(2R)3

12 + 572 *1 444 =

= 2∗19∗8∗193

12 + 4 691 556 =

= 173 761.33 + 4 691 556 IY3 = 4 865 317.33 [cm4]

Iy4 = Iy4' + X42*A4

Iy4 = R∗R3

36 + 67.672 *180.5 = 19∗193

36 + 826 550.82 =

= 3620.03 + 826 550.82 Iy4 = 830 170.85 [cm4]

Iy5 = Iy5' + X52*A5

Iy5 = 2R∗(2R)3

36 + 25.332 *722 =

= 2∗19∗8∗193

36 + 463 241. 63 =

= 57 920.44 + 463 241. 63 Iy5 =521 162.07 [cm4]

Iy6 = Iy6' + X62*A6

IY6 = (2 R)4∗π64

+ 382*1 133.54 =

= (2∗19)4∗π64

+ 1 636 831.76 =

= 102 301.99 + 1 636 831.76 Iy6 = 1 739 133.75 [cm4]

IY = 4 865 317.33 + 655 744.89 + 4 865 317.33 - 830 170.85 + 521 162.07 - 1 739 133.75 IY = 8 338 237.02 [cm4]

Sada ćemo da izračunamo centrifugalni moment inercije : IXY = IX1Y1 + IX2Y2 + IX3Y3 - IX4Y4 + IX5Y5 - IX6Y6

Radio Broj indexa Datum PregledalaIslamović Mersad III-23/14

Mašinski fakultet u Tuzli

Nauka o čvrstoći IZadatak broj: 1

List broj: 7

IX1Y1 = X1*Y1*A1 = 57*57*1444 = 4 691 556 [cm4] IX2Y2 = X2*Y2*A2 = 21.86*54.13*1 133.54 = 1 341 297.25 [cm4] IX3Y3 = X3*Y3*A3 = 57*19*1444 = 1 563 852 [cm4] IX4Y4 = X4*Y4*A4 = 67.67*6.33*180.5 = 77 317.37 [cm4] IX5Y5 = X5*Y5*A5 = 25.33*25.33*722 = 463 241.63 [cm4] IX6Y6 = X6*Y6*A6 = 38*38*1133.54 = 1 636 831.76 [cm4]

IXY = 4 691 556 + 1 341 297.25 + 1 563 852 - 77 317.37 + 463 241.63 - 1 636 831.76 IXY = 6 345 797.75 [cm4]

Primjenjujući Štajnerove teoreme nalazimo momente inercije za težišne ose ξ i η: Iξ = Ix - YT

2*A Iξ = 7 651 106.25 - 42.332 * 3 429.5 Iξ = 1 506 029.04 [cm4]

Iη = Iy - XT2*A

Iη = 8 338 237.02 – 44.332 *3429.5 Iη = 1 598 758.87 [cm4]

Iξη = IXY – XT*YT*A Iξη = 6 345 797.75 – 44.33*42.33*3429.5 Iξη = -89 620.93 [cm4]

U nastavku je računanje momenta inercije za glavne ose :

I1 = I ξ+ I η

2 +

12

*√(I ξ−I η)2+4∗I ηξ

2 =

= 1506 029.04+1598 758.87

2 +

12

* √(1506 029.04−1 598758.87)2+4∗(−89 620.93)2

I1 = 1 653 297.95 [cm4]

I2 = I ξ+ I η

2 -

12

*√(I ξ−I η)2+4∗I ηξ

2

= 1506 029.04+1598 758.87

2 -

12

* √(1506 029.04−1 598758.87)2+4∗(−89 620.93)2

I2 = 1 451 489.96 [cm4]

Radio Broj indexa Datum PregledalaIslamović Mersad III-23/14

Mašinski fakultet u Tuzli

Nauka o čvrstoći IZadatak broj: 1

List broj: 8

Poluprečnik (radijus) elipse inercije se računa na sledeći način :

i1 = √ I 1A

= √ 1 653 297.953429.5

= 22.00 [cm]

i2 = √ I 2A

= √ 1 451 489.963429.5

= 20.50 [cm]

Položaj glavnih težišnih osa određujemo računanjem ugla α :

tg2 α = - 2∗IξηI ξ−I η

= - 2∗(−89620.93)

1506 029.04−1598 758.87

tg2 α = -1.938291486

α = arc tg (−1.938291486)

2 α = -31.36°

Slika 3. Centralna elipsa inercije datog presjeka sa poluprečnicima i1 i i2

Grafički prikaz dobijanja momenata inercije za glavne ose I1 i I2 ( Mohr-ov krug )

UI = 100 000[cm¿¿4 ]

1[cm ]¿

OA = I ξU I

= 15.06 [cm]

AB = I ηU I

= 15.98 [cm]

CD' = I ξηU I

= 0.89 [cm]

( CD' je negativno i nanosimoga u lijevu stranu)

Radio Broj indexa Datum PregledalaIslamović Mersad III-23/14

Mašinski fakultet u Tuzli

Nauka o čvrstoći IZadatak broj: 1

List broj: 9

Slika 4. Mohr-ov krug Grafički dobijene vrijednosti pomoću Mohr-ovog kruga za I1 i I2 su:

I1 = DN * UI = 16.53 [cm] * 100 000[cm¿¿4 ]

1[cm ]¿ = 1 653 000 [cm4]

I2 = DM * UI = 14.51 [cm] * 100 000[cm¿¿4 ]

1[cm ]¿ = 1 451 000 [cm4]

Radio Broj indexa Datum PregledalaIslamović Mersad III-23/14