Jelek_konyv_2

2. Analzis az idtartomnyban

Ebben a rszben megadjuk az olyan lineris, invarins rendszerek klnbz idtartomnybeli lerst, amelyeknek a gerjesztsei s a vlaszai vagy egyarnt diszkrt idejek (Dl) vagy egyarnt folytonos idejek (FI).

Az idtartomnybeli lers az jelenti, hogy a rendszer gerjesztsnek s vlasznak lersra az u[k] s y[k] illetve az u{f) s y{i) vltozkat hasznljuk. A 3. illetve a 4. rszben az idtartomnyban rtelmezett vltozkhoz rendelt ms (a frekvenciatartomnyban illetve a komplex frekvenciatartomnyban rtelmezett) vltozkat is hasznlunk majd.

A trgyals sorn vagy prhuzamosan vagy kzvetlenl egyms utn trgyaljuk a diszkrt idej s a folytonos idej rendszereket. A trgyalst a Dl esettel kezdjk, mert az tbbnyire egyszerbben kezelhet. Arra az esetre szortkozunk, amikor a jelek valsak s folytonos rtkek, teht mg a Dl esetben sem vesszk figyelembe a digitlis rendszerekben alkalmazott kvantls hatst.

A 2.1. fejezetben rtelmezzk a lineris rendszer impulzusvlaszt, s megmutatjuk nhny alkalmazst, mint pl. az adott gerjesztshez tartoz vlasz szmtsa, a rendszer gerjeszts-vlasz (GV) stabilitsnak vizsglata.

A 2.2. fejezetben rtelmezzk a lineris, invarins rendszer rendszeregyenlett, bemutatjuk megoldsnak nhny mdszert, megvizsgljuk a rendszer GV stabilitst a rendszeregyenletnek ismeretben. Ez a fejezet kihagyhat, a kvetkez, ennl clszerbb lerst tartalmaz fejezetek e nlkl is megrthetk. Egyes szakterleteken viszont ez az elterjedtebb rendszer lers.

A 2.3. fejezetben trgyaljuk a lineris, invarins rendszer llapotvltozs lerst s e lers megoldsnak nhny mdszert. rtelmezzk az aszimptotikus stabilitst s mdszert adunk annak eldntsre. A modellezend objektum vagy annak hlzati reprezentcija alapjn tbbnyire az llapotvltozs lers egyszerbben llthat el, mit akr az impulzusvlasz, akr a rendszeregyenlet. Az llapotvltozs lers azrt is ltalnosabb az elzknl, mert kzenfekvbb az ltalnostsa nemlineris vagy varins rendszerekre.

A 2.4. fejezetben lineris, invarins jelfolyam hlzatokkal foglalkozunk. Megmutatjuk, hogy miknt llthat el a hlzat ltal reprezentlt lineris, invarins, kauzlis rendszer llapotvltozs lersa, tovbb hogy miknt rendelhet jelfolyam hlzat egy llapotvltozs lersval vagy rendszeregyenletvel jellemzett rendszerhez. A hlzatok irnt nem rdekld olvas ezt a fejezetet kihagyhatja.

A 2.5. fejezet trgya a nemlineris rendszerek llapotvltozs lersa, jelfolyam hlzatos reprezentcija, az llapotegyenlet kzelt megoldsnak nhny mdszere, a megolds szemlltetse. Ennek a fejezetnek a tmjval a ksbbiekben nem foglalkozunk.

40 2. Analzis az idtartomnyban

Egy rendszernek az idtartomnybeli lersa tekinthet a termszetes trgyalsnak. Sok rendszerelmleti feladat azonban knnyebben megoldhat vagy a 3. rszben trgyaland frekvenciatartomnybeli vagy 4. rszben trgyaland komplex frekvenciatartomnybeli lersmddal. Vannak olyan feladatok, amelyek az idtartomnyban nem is fogalmazhatk meg egyszeren. A kt utbbi lersmd azonban csak lineris, invarins rendszerek esetn alkalmazhatk knyelmesen.

A 2. rsz nmagban lezrtnak tekinthet. Erre pl a 3. s a 4. rsz. Az utbbi tanulmnyozshoz az elbbi kihagyhat, vagy a kt fejezet tanulmnyozsnak sorrendje felcserlhet.

2.1. Az impulzusvlasz s alkalmazsai

Egy lineris, invarins rendszer vlaszt meg tudjuk hatrozni, ha ismerjk brmely konkrt u=u0 gerjesztshez tartoz y=y0 vlaszt. Ez az y0 jel jellemzi a rendszert, alkalmas explicit gerjeszts-vlasz kapcsolatnak megfogalmazsra. A legelterjedtebb ilyen specilis gerjeszts a diszkrt idej [k] egysgimpulzus, illetve a folytonos idej S(t) Dirac-impulzus, mert az ehhez tartoz h[k] illetve h() impulzusvlasz ismeretben a legegyszerbb a tetszleges u[k], illetve u(f) gerjesztshez tartoz y[k], illetve y(t) vlasz kifejezse.

A 2.1-1. szakaszban diszkrt idej rendszerekkel, a 2.1-2. szakaszban folytonos idej rendszerekkel foglalkozunk. Ltni fogjuk, hogy a diszkrt idej rendszerek kezelse egyszerbb, mint a folytonos idej rendszerek kezelse, ezrt - noha taln kevsb megszokottak - a tovbbiakban is a diszkrt idej rendszerekkel kezdjk vizsglatainkat.

2.1-1. Diszkrt idej rendszer impulzusvlasza 2.1-1.1. Az impulzusvlasz defincija Megadjuk a Dl rendszer impulzusvlasznak defincijt, majd bemutatjuk alkalmazst.

Egy diszkrt idej, lineris, invarins rendszer h = h[k] impulzusvlasza a rendszernek az egysgimpulzus gerjesztshez tartoz vlasza (1. bra):

r u[k]=[k} => y[k\=h[k\. (2.1-1)

Az impulzusvlaszt slyfggvnynek is nevezik. Ennek okt a kvetkez pontban ltni fogjuk.

i

-2 -1

u[k] = S[k]

0 1 ' > 4 5 k

A

J-L -2 -1

kauzlis o nem kauzlis

y[k]=h[k)

o f-s > 4 5 k 2.1-1. bra Egy Dl rendszer impulzusvlasza az egysgimpulzushoz tartoz vlasza


A lineris, invarins, diszkrt idej rendszer akkor s csakis akkor kauzlis, ha impulzusvlasza belp jel, vagyis /2[&]= 0, k s Z. tulajdonsg.

Nem rszletezzk e kzenfekv llts igazolst. Ha ismerjk a rendszer y =

2.1. Az impulzusvlasz s alkalmazsai 43

A mvelet neve: h s M konvolcija. A Dl konvolci szimbolikus alakja ^W=A[A:]*44 (2.1-4)

Ennek jelentst a (3) adja. Az Olvas is belthatja, hogy a konvolci kommutatv, asszociatv s az sszeadsra disztributv mvelet.

Ap = k - i j vltoz bevezetsvel a vlasz kifejezhet a kvetkez alakban is:

y[klF^ti[p}i[k-p]keZ. (2.1-5)

Kauzlis rendszerre /?[] belp jel s az sszefggsek egyszersdnek: k o>

jW=X ^ - ' M + X h[p}i[k-p\keZ. (2.1-6)

Ha a rendszer kauzlis s a gerjeszts belp jel, akkor a vlasz is belp:

^ ] = ff[*]ZA[M['"]-W *[?][*"/'] (2-1-7) /=0 ;>=0

A gyakorlati esetek tbbsgben a (7) alak hasznlhat. A (3) ltalnos alak akkor is rvnyes, ha a rendszer nem kauzlis nem GV stabilis s a gerjeszts nem belp. A ksbb trgyaland rendszer lersok egyike sem rendelkezik e tulajdonsgok mindegyikvel.

A vlasz rtkei kauzlis rendszer s belp gerjeszts esetn rszletesebben megadva a (7) rtelmben kvetkezk:

y[0] = h[0]u[0], y[l] = h[l]u[o}-h[6\u[\, (2.1-8) >{2]=A[2]H[0]+/[I]K[I]+A[0]/[2], . . . .

A vlasz y[k] rtkei akkor is szmthatk, ha h[k] s u[k] rtkei csak numerikus sorozatknt ismertek.

A konvolci egyszeren szmthat zrt alakban tetszleges k esetre, ha h[k] s u[k] egyarnt lerhat exponencilis fggvnnyel. Ebbe beletartozik az lland, a szinuszos s az exponencilisan csillaptott szinuszos jel is.

A vlasz (3) kifejezse a kvetkezkppen rtelmezhet. Az y[k] rtke valamennyi u[i] slyozott sszege. A h[k - i] adja meg azt a slyt, amellyel u[i] az y[k] kifejezsben szerepel. Ez magyarzza az impulzusvlasz slyfggvny" elnevezst is. A sly nulla is lehet. Kauzlis rendszerre a sly nulla k - i < 0, azaz i > k esetn, ami azt jelenti, hogy u[i] ezen rtkei nem befolysoljk y[k] rtkeit, a Jv" nem befolysolja a ,jelent".

Egy FIR tpus kauzlis rendszer impulzusvlasznak s az u[k] gerjesztshez tartoz vlasznak kifejezse

h[k] = (e[k] -e[k-L\lf[k] => y[k] = *[/] u[k-i]. (2.1 -9) ;=o

A vlasz k brmely rtkre legfeljebb L tag sszege: az u\k\ u[k -1\..., u[k - (L - j] linerkombincija. Ha a gerjeszts is vges idej, akkor y[k] is vges idej.

A (4) az y = 'W {u} explicit gerjeszts-vlasz kapcsolat egy konkrt alakja.


1. plda Egy Dl rendszer impulzusvlasza h\k\ = ^k] qk . Hatrozzuk meg a rendszer vlaszt, ha gerjesztse u[k\ = [] ak . A kauzlis rendszernek a belp gerjesztshez tartoz vlasza maga is belp jel,

vagyis y[k] = 0, ha k e Z.. Ha k e Z+ akkor pldul (8) rtelmben:

J>[0] = 1-1 = 1, y[l] = l-a+q-l = a+q ,y\\=\-a2+q-a+q2 -\ = a2 +qa+q2,

s gy tovbb. Mg ebben a nagyon egyszer esetben sem knny kitallni y[k] ltalnos kifejezst.

Alkalmazzuk most az ltalnos (3) vagy a most rvnyes specilis (7) alakot:

[*M*]/>M4MA:y-V= s[k]qk ( V a y[ . - - - . - _ - - _ ;=o ;=o =o v 9

E geometriai sor hnyadosa (a/q), a sor sszege a^q esetn ismeretesen

\-\alq) q-a Ellenrizhetjk, hogy k = 0, 1 s 2 esetn a mr szmtott eredmny addik. A vlasz teljes lersa (az a = q eset kzvetlenl is, hatrrtkknt is szmthat)

* + i _ /t+i

j [^] = 4 ^ ] ^ , a*q; y[k]=s[,](k+^)(lk' a = q. q- a

Ha |a |co. Ha akr | a |> l , akr |^|>1, akkor \y[k] | > oo, > oo. #

2. plda Hatrozzuk meg az elz pldban vizsglt rendszer vlaszt, ha gerjesztse

"W = (W~'e[*:_i])a!*' Leti, a*q. A vlasz szmthat (7) felhasznlsval. Ehhez az sszegezst kt rszre clszer

bontani: ha i - 0, 1,..., L-l, akkor u[i] = a', egybknt u[] = 0. Egyszerbb azonban a vlaszt a szuperpozci elvnek alkalmazsval szmtani.

Az H, [k] = e[k]ak gerjesztshez tartoz y\k\ vlasz az elz pldbl ismert. Az

u2[k] = ({k-L]ak =aLi{k-L}ak-L = aL u\k-L]

gerjesztshez tartoz vlasz a rendszer lineris s invarins jellege kvetkeztben nyilvn y2[k] = aL y^k~L~\. A keresett vlasz kifejezse teht

y[k] = s[k]q ' a + -s[k-L\aL-q-a q-a

ttekinthetbb a vlasz elemi talaktssal elllthat kvetkez, ablakozott alakja:

y[k] = (e[k}-e[k-L]> g ~" + s[k-L\i-=^-qk^ . q-a q-a

2.1. Az impulzusvtosz s alkalmazsai 45

Lthat, hogy |?| < 1 esetn l.y[#]|-> > * - , s ez fggetlen a rtktl. Ez nem meglep, hiszen a rendszer k > L esetn gerjesztetlen. #

3. plda Egy rendszer impulzusvlasza

h[k] = i{k\qk. Hatrozzuk meg az u\k] = [A:] COS 9k belp gerjesztshez tartoz vlaszt!

A konvolcis sszeg szmtsa nehz feladatnak ltszik. Egyszersdik a feladat az Euler-relci alkalmazsval ( j = v - 1 a kpzetes egysg jele):

e j a =cosa + j s i n a , e"j Z , ha U < \a\. l-(q/a)

Ha\q/a\ > 1, akkor a feladat rtelmetlen, mert _y[] rtke nem vges a & brmely vges rtkre. Az a tetszleges, de csak az [ a \ > 1 eset rtelmezhet k > -oo esetn is. #


2.1-1.3. Gerjeszts-vlasz stabilits

Az 1.2-2.5. szakaszban mr megadtuk a gerjeszts-vlasz (GV) stabilits defincijt. Az impulzusvlasz ismeretben adhatunk jobban hasznlhat felttelt is. Tovbbi rendszerlersok ismeretben tovbbi felttelekkel is meg fogunk ismerkedni.

A diszkrt idej, lineris, invarins rendszer akkor s csakis akkor gerjesztsvlasz stabilis {azaz brmely korltos gerjesztshez korltos vlasz tartozik), ha impulzusvlasza abszolt sszegezhet:

GV stabilis rendszer | / / [ * ] | < . (2.1-10)

Ennek egy szksges (s a gyakorlati esetek tbbsgben elegend) felttele h[k] -> 0, ha k -> oo. (2.1-11)

Ez a helyzet, ha h[k] cskken exponencilis fggvnnyel majorlhat. Kauzlis rendszer impulzusvlasza belp jel. Ekkor az sszegezs als hatra

tnylegesen k - 0. A vges impulzusvlasz rendszer felttlenl GV stabilis, hiszen ekkor a (10)

sszeg csak vges szm tagot tartalmaz. A //[:] =[:] (l+A:)""1 impulzusvlasz kielgti a (11) szksges felttelt, de az ltala

jellemzett rendszer mgsem GV stabilis, mert (10) nincs kielgtve. A stabilits hatrhelyzetben lvnek nevezhet az olyan nem GV stabilis Dl

rendszer, amelynek impulzusvlasza ugyan nem abszolt sszegezhet, de korltos. Az ilyen rendszer vlasza csak bizonyos gerjesztsek esetn nem korltos. Ha pldul k > oo esetn h[k] lland rtkhez tart, akkor y[k] csak olyan korltos u[k] esetn nem korltos, amely ugyancsak llandhoz tart. Szoks labilis rendszenek nevezni az olyan nem GV stabilis rendszert, amelyik nincs a GV stabilits hatrhelyzetben.

Plda Legyen a rendszer impulzusvlasza h[k] = e[k]qk, ahol q lehet vals vagy q = re'9 alakban komplex.

A rendszer akkor GV stabilis, ha \q\ < 1, vagyis komplex q = resl, akkor a rendszer GV labilis. Nyilvnval, hogy a

h[k} = [k}{Axqkl+A1qk2+.... + Atlql)

impulzusvlasz akkor s csakis akkor jellemez egy GV stabilis rendszert, ha minden^l-c l . #

A (10) llts igazolshoz legyen | u[k] | < Mu a korltos gerjesztsre. Ekkor (3) rtelmben


WH>[/>]4*-/>] *|A[p]||[*-/>]|^.2>[p]|. Az |>>[&] I vges marad, azazy[k] korltos, ha (10) teljesl, vagyis a felttel elegend.

A felttel szksgessgnek igazolshoz legyen u[k] = 1, ha h[-k] > 0 s legyen [] = - l , ha h[-k] < 0. Ekkor a (3) rtelmben k = 0 helyettestssel

y[]=h[P]u[-p]=\h[P)\. Ez csak akkor vges, ha (10) teljesl, vagyis e felttel szksges.

*2.1-1.4. Az ugrsvlasz s alkalmazsai

A lineris rendszer vlasza nem csak impulzusvlasznak ismeretben hatrozhat meg, hanem brmely adott gerjesztshez tartoz vlasznak ismeretben is. Itt csak a legegyszerbb s leggyakrabban hasznlt ltalnostst trgyaljuk.

Egy diszkrt idej, lineris, invarins rendszer g = g[k] ugrsvlasza a rendszernek az egysgugrs gerjesztsre adott vlasza:

u[k] = s[k] => y[k]=g[k]. (2.1-12) Kauzlis rendszer ugrsvlasza belp jel: g[&] = 0, k eZ_. Az impulzusvlasz kzvetlenl arrl ad felvilgostst, hogy miknt viselkedik a

rendszer vlasza a gerjeszts megsznse utn. Az ugrsvlasz azt adja meg, hogy miknt viselkedik a rendszer vlasza, ha gerjesztse egy bizonyos id utn lland marad.

Mivel t\k\= ^k\-^k-\\, ezrt a g ugrsvlasz ismeretben egyszeren kifejezhet a h impulzusvlasz s viszont:

h[kU[k]-g[k-\\ g[k]=fjh[i] (2.1-13) I=-QO

A tovbbiakban a rendszer jellemzsre az ugrsvlaszt nem fogjuk hasznlni.

2.1-l.F. Feladatok

F-I. Egy Dl rendszer impulzusvlasza

h[k] = 5s[k-l](0,5k^-0,lk-'). Hatrozza meg azy[k] vlaszt a k = 0, 1, 2, s 3 temekre, ha u[k] = e[k].

F-2. Hatrozza meg az y[k] vlasz kifejezst, ha a h[k] impulzusvlasz az elz feladatban megadott s a rendszer gerjesztse

{a)u[k] = e[k\. (b) u[k} = e[k]{-0,\)k. (c) u[k] = e[k](Q,l)k. (d)u[k}=s[k]-e[k-5]. {e) u[k] = 9(l-e[k]) + s[k]. Ellenrizze az eredmnyt k = 0,1 s 2 rtkre!


F-3. Egy Dl rendszer impulzusvlasza h\k\ = d^k\ qk . Hatrozza meg e rendszer u[k] = s[k] gerjesztsre adott y[k] = g[k] ugrsvlaszt! Mivel az impulzusvlasz rendszerint ilyen tagok szuperpozcija, ezrt az

eredmny sok esetre ltalnosthat.

F-4. Milyen tulajdonsg egy FIR tpus rendszer g[k] ugrsvlasza?

F-5. Egy kauzlis IIR tpus rendszer gerjesztse vges hosszsg: u[k = 0, k > L ]. Milyen tulajdonsg e rendszer vlasza?

F-6. Egy Dl rendszer explicit gerjeszts-vlasz kapcsolata

y[k] = lu[k + \} + \u[k}+ X-u[k-\], vagyis a vlasz a gerjeszts slyozott tlaga.

Hatrozza meg az impulzus vlaszt! Kauzlis-e, illetve GV stabilis-e ez a rendszer?

*F-7. Igazolja, hogy a kvetkez impulzusvlasz rendszerek GV stabilis rendszert jellemeznek:

{a)h[k]=e[k]-. (b) h[k] = e[k-l]k-2. {c)h[k]=e[k-l]k-a,a>\. ki

F-8. Adott a vlaszrtkek j[0], j[l],...,>>[Z] vges sorozata, tovbb (a) adott a gerjeszts w[0], [1],..., u[L] sorozata. Hatrozza meg az impulzusvlasz

h[0], h[l],..., h[L] sorozatt. Ez a rendszer-identifikci problmja. (b) adott az impulzusvlasz h[0], h[l],..., h[L] sorozata. Hatrozza meg a gerjeszts

K[0], W[1],..., U[L] sorozatt. Ez a feladat pldul, ha u[k] a mrend jel, h[k] jellemzi a mrmszert s y[k] a mrsi eredmny.

F-9. Egy Dl rendszernek az u[k] = [k] gerjesztsre adott vlasza y[k] = e[k]0,5k. Igaz-e, hogy e rendszer kauzlis, lineris, invarins s GV stabilis?

F-10. Egy Dl rendszer impulzusvlasza &,[&]. E rendszer y^k\ vlasza egy h2[k] impulzusvlasz rendszer u2[k] gerjesztse. Ez az elrendezs a kt rszrendszer kaszkd kapcsolsa (nevezik soros kapcsolsnak is).

(a) Adja meg az u = w, gerjeszts s y = y2 vlasz rendszer h impulzusvlaszt \ s h2 ismeretben! Megvltozik-e h kifejezse, ha a kt rszrendszer felcserljk?

(b) Adja meg h[k] kifejezst, ha /;1[A:]=/;2[A:]=f[A:]at alak! *(c) Szksges s elegend felttele-e a rendszer GV stabilitsnak mindkt

rszrendszer GV stabilitsa?

2.1-l.M. Megoldsok

M-l. h[0] = 0, h[l] = 0, h[2] = 2, h[3] = 1,2. Ezek felhasznlsvaly[0] = 0,y[l] = 0,y[2] = 2, h[3] = 3,2.

2.1. Az impulzus vlasz s alkalmazsai 49

M-2. A vlasz ltalnos alakja az (a)-(d) esetekben

y[k]=5 4fc-l]g(0,5 i-1-'- 0,lM)u\i]=5e[k -1] \ 0,5*"' 2 ' u\i]-0,l^ l 0 ' u\i]\.

Wy[t]=[*-l]{f-5(0^r + f(0.l)t

(*)jt]=fi[t-i]|-|(-(ur+f (wr- | (wr (c) >=*[*-i]{-f (o,ir+f (o,5r-5 * (0,1)* (d) y[k]= {e[k-l]-s[k- 6} {^ -5 (0,5)-+1 (otf* \ +

+f[Ar-6]J4.969(0,5)^6--(0,l)i

(e) [Ar] = 9-8[fe] => yM = 40 {l - e[k -1]} +

+ e[t_l]j_2|q + 4O(0^r-f((Ur

M-3. Konvolcival: g[k] = s[k](l-qk+1)/(l-q);ha q = 1, akkorg[k]=s[k](l+k). L-l

M-4. Ha g[k] = 0,k>L (L az impulzusvlasz hossza), akkor g[] = X ^ M lland k > L diszkrt idpontokban. Az lland nulla is lehet.

M-5. A vlasz elllthat L szm h[k - i] alak tag szuperpozcijaknt. M-6. (a) Az impulzusvlasz h[k] =


M-10. (a) Mivel y = y2=h2*u2=h2*yl=h2*(h*ul) = h2*h]*u, ezrt h = h2*h. Mivel a konvolci kommutatv mvelet, ezrt a rszrendszerek felcserlse ugyanazt az impulzus vlaszt eredmnyezi.

(b) Konvolcival h[k] = [*] a*" a ' =^Ma* (* + 0 *fe) A felttel elegend, de (legalbbis elmletileg) nem szksges. Gyakorlatilag

azonban ilyenkor a rendszer GV stabilitsa nem biztosthat megbzhatan.

2.1-2. Folytonos idej rendszerek impulzusvlasza 2.1-2.1. Az impulzusvlasz defincija Megadjuk a FI rendszer impulzusvlasznak defincijt, majd bemutatjuk alkalmazst.

Egy folytonos idej, lineris, invarins rendszer h = h(t) impulzusvlasza a rendszernek a Dirac-impulzus gerjesztshez tartoz vlasza (2. bra):

u(t) = S(t) => y(t)=h(t). (2.1-14)

A Dl s a FI rendszerek impulzusvlasznak sok hasonl tulajdonsga van. Pldul rvnyes mindkt esetben (2.1-1.1. pont). Viszont mg a %k] egysgimpulzus

egy kznsges" Dl fggvny, a

2.1-2. bra Folytonos idej rendszer impulzusvlasza a rendszernek a Dirac-impulzus gerjesztshez tartoz vlasza

A lineris, invarins, folytonos idej rendszer akkor s csakis akkor kauzlis, ha impulzusvlasza belp jel, vagyis h(t) = 0, t e R. tulajdonsg.

Nem rszletezzk e kzenfekv llts igazolst. A FI mpulzusvlasz mrsekor nem gerjeszthetjk az objektumot Dirac-

impulzussal, legfeljebb egy azt kzelt lefolys vltozval. A mrs eredmnye is csak kzeltse a FI impulzusvlasznak, a kzelts t kis rtkeire nem lehet j.

Elmletileg egyre rvidebb s egyre nagyobb amplitdj impulzusokkal kzelthetjk a Dirac-impulzust. Az amplitd azonban nem nvelhet korltlanul, mert a


linearits felttelezse nem lesz jogos. Ha viszont az amplitdt lland rtken tartva cskkentjk az impulzus hosszt, akkor a betpllt energia egyre kisebb lesz s a zajok egyre jobban torztjk a mrs eredmnyt. Egyesek nem tartjk korrekt (proper") modellnek az olyan rendszert, amelynek impulzusvlasza Dirac-impulzust tartalmaz, hiszen ez csak akkor lp fel, ha a jel terjedshez szksges id nulla.

Mg egy FIR tpus Dl rendszer knnyen megvalsthat digitlis objektummal, ez nem ll FIR tpus FI rendszerekre, amelyek csak nehezen valsthatk meg.

A FI rendszerek kzl az idtartomnyban a tovbbi fejezetekben csak ksbb definiland differencilis rendszerek rendszeregyenletnek s llapotvltozs lersnak trgyalsra szortkozunk. A frekvencia- s a komplex frekvenciatartomnyban ez a megszorts nem szksges.

2.1-2.2. A vlasz szmtsa

Meg akarjuk hatrozni egy h(t) impulzusvlasz FI rendszernek az adott u(t) gerjesztshez tartoz y(t) vlaszt.

Kzeltsk meg a gerjesztst szakaszonknt lland fggvnnyel (3. bra): w()(rj, Tk 2.1-3. bra A gerjeszts kzeltse szakaszonknt lland fggvnnyel

Egy folytonos idej, lineris, invarins s h = h{i) impulzusvlasz rendszernek az u = u(t) gerjesztshez tartoz y = y{t) vlasznak kifejezse:


y(t)= jh{t-r)u(r)dT, / eR . (2.1-15)

Ezt a h(f) s w(/) jelek konvolitcijnak nevezik. A FI konvolci szimbolikus alakja y(t) = h(t)*u{t). (2.1-16)

Ennek jelentst a (15) adja. A (16) az y = W{u] explicit gerjeszts-vlasz kapcsolat egy konkrt alakja.

Az Olvas is belthatja, hogy a konvolci kommutatv, asszociatv s az sszeadsra disztributv mvelet. A h*u konvolcirl belthat, hogy ltezik, ha h s u egyike korltos, msika abszolt integrlhat; mg akkor is folytonos, ha h s u egyarnt ugrsos; abszolt integrlhat, ha h s u egyarnt abszolt integrlhat.

A vlasz kifejezsnek egy msik alakjhoz juthatunk a & = / - x j integrcis vltoz bevezetsvel:

y(t) = \h{9)u{t-9)id, t e R . (2.1-17) co

Ha a rendszer kauzlis, akkor h belp jel s ekkor

y(t)= jh(t-z)u(T)dT= jh{d)u(t-S)d&, e R + . (2.1-18) -00 - 0

Kauzlis rendszer s belp gerjeszts esetn a kvetkez alakhoz jutunk:

y(t)= J7i(-r)w(r)dr= \h(9)u{t-d)dS, eR + . (2.1-19) -0 -0

Az integrl -0 als hatra azt fejezi ki, hogy ha akr h(t), akr u(t) tartalmaz S(t) sszetevt, akkor azt figyelembe kell venni az integrls sorn. A gyakorlati esetek tbbsgben a (19) alakok hasznlhatk. Az ltalnos (15) s (17) alakok nem kauzlis (fizikailag nem realizlhat) rendszerekre is rvnyesek.

Az impulzusvlaszt slyfiggvnynek is nevezik, mivel h{t-f) megadja w(x) slyt y(t) kifejezsben.

A konvolci szmtsa zrt alakban viszonylag knny, ha h s u egyarnt egyszer fggvny (pldul exponencilis, szinuszos, polinomilis fggvny, ezek sszege s szorzata). Nmi figyelemre van szksg a szmts sorn, ha a gerjeszts szakaszonknt elemi fggvny alakjban adott.

Gyakran szksges vagy elnys a konvolci numerikus kzelt szmtsa. Szortkozzunk kauzlis rendszerre s belp gerjesztsre. A (19) rtelmben

tk

y(h)= lh{tk-r)u(r)dT, , e R t . (2.1-20) o

Ha kiszmtjuk ezeket az rtkeket kellen srre vlasztott tx,t2,...,tnidpontokra, akkor y(t) ismertnek tekinthet. Szortkozzunk arra az esetre, amikor h(t) s u(t) egyarnt fggvny (nem tartalmaznak Dirac-impulzust). Kzeltsk e fggvnyeket a kvetkez lpcss fggvnyekkel:


u{t)~u(kT), h(t)~h(kT), kT


y(t) = -2-Ae-2-Ac->. a -p a- p

Ha t > T, akkor az integrl fels hatrul T rand (hiszen ez utn a gerjeszts nulla) s

MH-Alp-n-i]**'. a- p

A vlasz vgs kifejezse nmi rendezs utn y(f)= [s(t)-e(t-T)]-2-A [ e*- e - ]+ e(t-T)[e^-e""7]e^r>, / e R .

a-fi Az a = P specilis eset vizsglatt az Olvasra bzzuk. #

3. plda Hatrozzuk meg az elz pldban megadott impulzusvlasz rendszer vlaszt, ha gerjesztse u{t)=e(t)cos m t.

A konvolcis integrl szmtsa nem jelent klnsebb nehzsget. Felhasznlhatjuk azonban az elz plda eredmnyt, hiszen ( e R , esetn

ha uXt) = (t)e]0",akkor>;,(/)=^^(e^'-e""'). a + jta

Felhasznlva, hogy cos co t = azt kapjuk, hogy t e R+ esetn

y(t) = A Uia"-1"")+ A eia"- e"a' )= a + j a a-ja>

= 2" 1A[(a-jo>)ei" + (a+j))e-i"-2ae-a'].

Elemi talaktsok utn a kvetkez vgeredmnyhez jutunk: 2a 2

A*)=e{t) lA a +o)

COSU t + smffl-ae eR. a

A zrjelben ll els kt tag b cos( 0. Ekkor a vlasz kifejezse

y{t) = -^-Ae'", a>-p, GR a+p

Fizikailag csak a /?> 0 eset rtelmezhet t -> -oo esetn is. #


5. plda Egy FI rendszer impulzusvlasza s gerjesztse h(t) = aAs(t)e-a', (?)== e^e-"'; a*j3.

Hatrozzuk meg a vlaszt pontosan s kzeltleg is. A vlasz pontos kifejezse a 2. plda rszeredmnye rtelmben

a- p

A vlasz rtke atk=kT idpontokban y(kT) = ^ A [e ~m - e-" ], k e N.

A kzelt megolds a (21) rtelmben

i=o i=o e - 1

e ^7' * _ e " a "

Az elsknt szmtott kzelts vgs alakja

E nagyon egyszer pldban a kzelts arnyos $ pontos eredmnnyel:

yx (kT) = C, y{kT); Q = - ^ - , m - (a-/?)r . e - 1

Az arnyossgi tnyez annl kzelebb van az 1 rtkhez, minl kisebb | m | rtke, azaz minl kisebb T idkzt vlasztunk. Ha pldul m = 0,1, akkor C, = 0,951, ha m = -0 ,1 , akkor C, = 1,051, vagyis a relatv hiba mintegy 5 % #

2.1-2.3. Gerjeszts-vlasz stabilits

Az 1.2-2.5. szakaszban mr megadtuk a gerjeszts-vlasz (GV) stabilits defincijt. Az impulzusvlasz ismeretben adhatunk jobban hasznlhat .felttelt is. Tovbbi rendszerlersok ismeretben tovbbi felttelekkel is meg fogunk ismerkedni.

A folytonos idej, lineris, invarins rendszer akkor s csakis akkor gerjesztsvlasz stabilis (azaz brmely korltos gerjesztshez korltos vlasz tartozik), ha impulzusvlasza abszolt integrlhat:

GV stabilis rendszer o \\ h{t) \ t < . (2.1 -22)

Ennek egy szksges (s a gyakorlati esetek tbbsgben elegend) felttele /->oo => *(/)-> 0 . (2.1-23)

Ez a helyzet, ha h(t) a vgtelenben nullhoz tart exponencilis fggvnnyel majorlhat. Kauzlis rendszer impulzusvlasza belp jel. Ekkor (22)-ben az integrl als

hatra tnylegesen t = -0.


A stabilits hatrhelyzetben lvnek nevezhet az olyan nem GV stabilis FI rendszert, amelynek impulzusvlasza nem abszolt integrlhat, de korltos. Az ilyen rendszer vlasza csak bizonyos gerjesztsek esetn nem korltos. Ha pldul t > esetn h(t) lland rtkhez tart, akkor y(t) csak olyan korltos u{t) esetn nem korltos, amely ugyancsak llandhoz tart. Szoks labilis rendszernek nevezni az olyan nem GV stabilis rendszert, amelyik nincs a GV stabilits hatrhelyzetben.

Azok a megjegyzsek, amelyeket a 2.1-1.3. pontban Dl rendszerekkel kapcsolatban tettnk, rvnyesek a FI rendszerekre is (vges impulzusvlasz FI rendszerek azonban ritkn fordulnak el), gyanez vonatkozik az llts igazolsra is. Ezeket itt nem ismteljk meg.

1. plda Egy FI rendszer impulzusvlasza hif)= e{t)eQ'cos at ^9^{s(t)ep'}; p = a+)).

A rendszer GV stabilis, ha "WL \p\ = a < 0. Ekkor nem csak (23) teljesl, hanem mivel

l\h(t)\dt y(t) = g(t). (2.1-24) Kauzlis rendszer ugrsvlasza belp jel: g(


Az impulzusvlasz arrl ad felvilgostst, hogy miknt viselkedik a rendszer vlasza a gerjeszts megsznse utn. Az ugrsvlasz azt adja meg, hogy miknt viselkedik a rendszer vlasza, ha gerjesztse egy bizonyos id utn lland marad.

A g ugrsvlasz kifejezse a h impulzusvlasz ismeretben a (17) rtelmben

g(t)= \h{t)e{l-T)t= jh(z)dT. (2.1-25)

Ebbl kvetkezen a h impulzusvlasz a g ugrsvlasz ltalnostott derivltja: h(t)=g'(t). (2.1-26)

Kauzlis rendszer esetn (25)-ben az integrls als hatraknt x= -0 is rhat. A tovbbiakban arra a tipikus esetre szortkozunk, amikor a kauzlis rendszer

ugrsvlasza mindentt folytonos, kivve a t = 0 helyet, ahol vges ugrsa lehet, vagyis ltalnos alakja g(t)= e(t) f(f) s fit) differencilhat fggvny. Ennek ismeretben az impulzusvlasz kifejezse

gt) = s(t)f(t) ^h(t) = f{o)(t)+e(t)f'(t), (2.1-27) ahol az / '(/) egy fggvny (nem tartalmaz Dirac-impulzus sszetevt). Az sszefggs akkor hasznos, amikor az ugrsvlasz szmtsa vagy mrse egyszerbb, mint az impulzus vlasz.

A tetszleges u gerjesztshez tartoz y vlasz kifejezse az ugrsvlasz ismeretben (17) rtelmben a (26) felhasznlsval

y{t)= \g'{t-T)u{r)r. (2.1-28) - c o

Kauzlis rendszer esetn ez (27) rtelmben gy is rhat:

y{t) = ){f(0) {t-t)+ e(t - T)f'(t - T)} u{r)dr.

oo

Ezek szerint a vlasz kifejezse kauzlis rendszer esetn:

g(t) = s(t)f{i) => y(t) = f(0)u{t)+ f / ' ( / -r)(r)dr . (2.1-29)

Ezt az sszefggst nevezik Duhamel ttelnek is. Ms alakjai is hasznlatosak (pldul olyan, amelyben u derivltja szerepel).

A tovbbiakban a rendszer jellemzsre az ugrsvlaszt nem fogjuk hasznlni.

2.1-2.F. Feladatok

F-I. Egy FI rendszer impulzusvlasza

^)=4)[8e-'5^4e-01']. Hatrozza meg a rendszer >>(?) vlaszt, ha a rendszer gerjesztse:


(d) u{t) = e(t)~s(t-2). (e)()= [l-f(0]+ 2ff().

F-2. Egy FI rendszer impulzusvlasza

h(t)=3(t)+e(t) 8 e-0'5'- 4 e-0'1' ]. Hatrozza meg a rendszer y(t) vlaszt, ha gerjesztst az elz feladatban adott

(a) - () szerinti u(t) jel rja le!

F-3. Egy FI rendszer ugrsvlasza

g{t)=4h>". Hatrozza meg e rendszer h(t) impulzus vlaszt!

*F-4. Egy FI rendszer impulzusvlasza

h(t)=ea', a>0. Hatrozza meg e rendszer g(t) ugrs vlaszt!

F-5. Egy FI rendszer explicit gerjeszts-vlasz kapcsolata

(a) y{t) = u{t-T). (b) y(t) = )u(r)dT. -oo

, / i +T

(c) y(t) = ~ j ( r )d r , 7>0 . [d) y(t) = ~ J(r)dr, 7 >0 . J I-T * t

Hatrozza meg a rendszer impulzusvlaszt! Milyen tulajdonsg a rendszer (kauzlis, lineris, invarins, GV stabilis)?

*F-6. Egy FI rendszer explicit gerjeszts-vlasz kapcsolata

{a) y{t) = jf(r)dr. (b) y(t) = Tu'(t). (c) y{t) = u2(t). 0

Hatrozza meg a rendszer impulzus vlaszt! Milyen tulajdonsg a rendszer (kauzlis, lineris, invarins, GV stabilis)?

F-7. Egy FI rendszer impulzusvlasza ^(t). E rendszer y^t) vlasza egy h2(t) impulzusvlasz rendszer u2(t) gerjesztse. Ez az elrendezs a kt rszrendszer kaszkd kapcsolsa (nevezik soros kapcsolsnak is).

Adja meg az u = ux gerjeszts s y = y2 vlasz rendszer h impulzusvlaszt h^ ismeretben!

Megvltozik-e h kifejezse, ha a kt rszrendszert felcserljk?


*F-8. Egy lineris, invarins, FI rendszer gerjesztse s a hozz tartoz vlasz egyarnt ismert:

u(t) =e(t) e-"', y(t) = s(t) [A e~a' + B e~" ]. Hatrozza meg a rendszer impulzusvlaszt!

F-9. Egy FI rendszer impulzusvlasza

h{t)=e{t)[A+t]~c, A*0. Hatrozza meg C azon rtktartomnyt, amelyben a rendszer GV stabilis!

2.1-2.6. Megoldsok

M-l. Az (a) - (d) esetekre y(t) = e{t) J J8e" 0 5 ^ -4e^ i{,'z)]u{r)T,t>0. o

(a) y(t) = e(t)[-24 -16 e-'5'+ 40 e"01' ]. (b) y{t) = s{t) [- 24 - 60 e-'3'+ 24

e-'5'+ 60 e"0'1' ].

(C)j(/) = 4)[l0e-0 '5 '+8e--5 '-10e-0 '"]. {d) y{t)= [e{t)- s{t-2)][- 24 -16

e-'5'+ 40 e"04' ]f

+e (?-2)[l6 (l-e^e-0 '*-2)- 40 (l-e-0'2)e-'1('-2)]. (e) u(t) = l+e(t) =>y(/) = -24[l-f( /)]+4)[-48-16e^5 '+40e- '"] .

M-2. Jellje y{(i)&z elz feladat megoldst. Ekkor y(t) = 3u(t)+ yx(t). Clszer az egyforma exponencilis fggvnyeket sszevonni.

M-3. h(t) = \e{t) ep'} = (t) + p e(t) e


M-7. Mivel y = y2=h2*u2=h2*yl=h2*(hl*ul) = h2*hl*u, ezrt h = h2*hl. Mivel a konvolci kommutatv mvelet, ezrt a rszrendszerek felcserlse ugyanazt az impulzus vlaszt eredmnyezi.

*M-8. Az ismert y(t) vlaszt (pldul egy mrs eredmnynek kzelt fggvnyt) differenciljuk az id szerint. Az y(t) kifejezst is felhasznlva

$h(T)e-a{'-T)dr = (t)[Ae'"+Be l . A z j 4 * 0 kikts lnyeges!

2.2. A rendszeregyenlet

A rendszeregyenlet a vizsglt rendszer gerjeszts-vlasz kapcsolatnak egy implicit alakja. A rendszeregyenletben fellp a gerjeszts, a vlasz, valamint ltaluk meghatrozott tovbbi vltozk (pldul a Dl ksleltetett gerjeszts vagy vlasz, a FI gerjeszts vagy vlasz derivltja).

A rendszeregyenlet a rendszer jellemzsnek egy kzenfekv eszkze. Egyes szakterleteken (pldul gazdasgi folyamatok modellezsre) elterjedten hasznljk is, klnsen Dl modellekre.

A rendszeregyenlet meghatrozsa tbbnyire nem egyszer feladat akr a modellezend objektum, akr az objektum hlzati reprezentcijnak ismeretben.

A Dl rendszeregyenlet ismeretben az adott gerjesztshez tartoz vlasz numerikus meghatrozsa nagyon egyszer. A Dl s klnsen az FI rendszeregyenlet alapjn az adott gerjesztshez tartoz vlasz formuljnak ellltsa csak nagyon egyszer gerjeszts esetn knyelmes, az eljrs nehezen algoritmizlhat. A kvetkez fejezetben a rendszer idtartomnybeli lersnak egy clszerbb mdszert fogjuk trgyalni, amely azonban segdvltozk (az llapotvltozk) bevezetst ignyli, ezrt fogalmilag bonyolultabb a rendszeregyenletnl.

Ebben a fejezetben egyszer feladatok megoldsra szortkozunk. A 3. s 4. rszben a rendszeregyenlet ellltsra s megoldsra az itt trgyalandnl hatkonyabb mdszereket fogunk trgyalni (frekvenciatartomnybeli s komplex frekvenciatartomnybeli eljrsok).

A 2.2-1. szakaszban trgyaljuk az alapfogalmakat. Itt rtelmezzk a lineris, invarins, kauzlis (s FI esetben: differencilis) rendszer rendszeregyenlett. A tovbbiakban ennek a tpusnak a vizsglatra szortkozunk. Megmutatjuk, hogy a Dl rendszeregyenlet numerikus megoldsa nagyon egyszer.

A 2.2-2. szakaszban kt mdszert mutatunk a rendszeregyenletvel lert rendszer adott gerjesztshez tartoz vlasznak szmtsra. Az els lehetsg a rendszeregyenletbl az impulzusvlasz meghatrozsa, amelynek ismeretben a vlasz az elz fejezetben trgyalt mdon szmthat. A msodik lehetsg a vlasz felbontsa szabad s gerjesztett sszetevjre. E mdszernek fknt az elvi jelentsge lnyeges, szmtstechnikailag csak egyszer fggvnnyel lerhat gerjeszts esetn hasznos.

A 2.2-3. szakaszban a rendszer gerjeszts-vlasz stabilitsnak vizsglatt trgyaljuk a rendszeregyenlet ismeretben. Elegend felttelt adnunk a rendszeregyenlet ismeretben a rendszer GV stabilitsnak eldntsre a rendszer impulzusvlasznak szmtsa nlkl is.


2.2-1. A rendszeregyenlet fogalma

2.2-1.1. A rendszeregyenlet ltalnos alakja Tekintsnk egy olyan kauzlis Dl illetve kauzlis, differencilis (vagyis differencilegyenlettel lerhat) FI rendszert, amelynek egyetlen u = u[k] illetve u = u\t) gerjesztse s egyetlen y = y[k] illetve y = y(t) vlasza van (SISO rendszer).

A fenti tpus rendszerre a rendszeregyenlet explicit alakja me gadja y[k] kifejezst y[p],p

2.2. A rendszeregyenlet 63

A vlasz (2) vagy (3) szerinti kifejezsben a bt u[k - /'] tagok sszege a gerjeszts k tembeli s elz rtkeinek slyozott mozg tlagt (MA) fejezi ki, mg az a, j>[& - ;'] tagok sszege a vlasz k tem eltti rtkeinek slyozott mozg tlaga ltal okozott visszahatst vagy autoregresszit (AR) fejezi ki. ltalban a rendszer ARMA tpus (aut regressive, moving avarage"). Ha specilisan minden a,.=0( = 0), akkor a rendszer MA tpus; ekkor a rendszeregyenlet egyttal a gerjeszts-vlasz kapcsolat explicit alakja is, teht megoldsval nem is kell foglalkozni.

Az MA tpus rendszer egyttal FIR tpus (vges impulzusvlasz) is. Specilis felttelek teljeslse esetn lehet FIR tpus olyan rendszer is, amelynek rendszeregyenlete nem MA tpus. Ennek okt ksbb ltni fogjuk (reduklhat tviteli fggvny; 4.2-1.2. pont).

Tbbnyire csak k e N (azaz k = 0, 1, 2,...) esetre keressk y[k] rtkt. Erihez ismernnk kell a vlasz n szm j[o], y[l]5-.., ^ [ M - 1 ] kezdeti rtkt. Ezek sszessgt kezdeti feltteleknek is nevezik.

A kezdeti rtkek meghatrozsa akkor a legegyszerbb, ha a gerjeszts belp, mert ekkor - a kauzalits kvetkeztben - a vlasz is belp, vagyis

u[k]=0,keZ_ => y[-l]=y[-2]=...=y[-n]=0. (2.2-4) Ezeket nevezzk a vlasz kiindulsi rtkeinek. Albb ltni fogjuk, hogy a kiindulsi rtkekbl mr egyszeren szmthatk (a lpsrl lpsre mdszerrel) a kezdeti rtkek, amelyekre szksgnk van a rendszeregyenlet megoldshoz.

Nem belp gerjeszts esetn a kiindulsi rtkeket a rendszer mltja" alapjn kell meghatroznunk. Egy tipikus s egyszer eset, amikor a gerjeszts u[k] = w lland ha k e Z_. Ha a rendszer GV stabilis (lsd mg a 2.2-3. szakaszt is), akkor y[k] =y-lland ha k e Z_. A (2)-bl ekkor behelyettests utn kvetkezik, hogy

u[k]=u-,keZ => y\i]= b*+bi+-+K u~. i = -i>-2,...,-n. (2.2-5)

l + al+a2+...+ an

Ha a gerjeszts k = 0 eltti rtke nem lland, akkor a kiindulsi rtkek meghatrozsa bonyolultabb.

Ha a rendszer nem GV stabilis, akkor k vges negatv rtkeire a vlasz (kivteles esetektl eltekintve) nem vges, a megoldand feladat rtelmetlen. Gyakorlatilag ez nem GV stabilis rendszerekre mg belp gerjeszts esetn is gy van, mert a nullnak tekintett gerjeszts a valsgban nem tkletesen nulla.

Egy msik eset, amikor a kiindulsi rtkekre szksgnk van, a kvetkez. Legyen a gerjeszts intervallumonknt adott, pldul

u[k] = (e[k] - *[*-*, ]}f[k}+ e[k-k, ] f2 [k], ahol fi s fi elemi Dl fggvnyek. Elszr meghatrozzuk az w[]=e[]/i[] belp gerjesztshez tartoz y[k] vlaszt a 0 < k < , intervallumban nulla kiindulsi rtkekkel. A kvetkez, esetnkben k1


A rendszeregyenlet megoldsnak kt mdszert a kvetkez szakaszokban fogjuk trgyalni. Minden klns eljrs nlkl is meghatrozhatjuk azonban a vlasz rtkt a k = 0,1,2,... idpontokban fokozatos behelyettestssel, ms nevn a lpsrl lpsre (step by step") mdszerrel.

Kezdjk a k = 0 rtkkel y[0] = ba w[0] + b, u[-l] + ... + bm u[-m] - a, y[~l] - a2 y[-l] - . . . - a, j{-n] .

A u[k] gerjeszts rtkek ismertek, a kiindulsi rtkeket elzleg meghatroztuk (belp gerjeszts esetn mindegyik nulla), gy y[0] szmthat. Hasonl mdon kapjuk a vlasz tovbbi rtkeit:

M--K [0 1+6, ["!] + + *., "[--mj- -axy[- -l]-a2j[- 2]--....-ay[-], M* K [1J + bx A[0\+.. + ft[l- TW]- a.^0] -a^t-1]- ~j[l

-4 (2.2-6) y[2]-~-K u[2 \+b, [l] + .. + AW[2--m\- -a,j[l l-a2^[0]- -ay[2 -

-4-Minden lpsnl csak elzleg mr szmtott y[i] rtkek szerepelnek a jobb oldalon. A meghatrozand tagok szma minden k esetn legfeljebb n+m+1. Emlkeztetl: ha y[k] rtkt konvolcival szmoljuk, akkor ltalnos esetben k + 1 tagot kell meghatroznunk.

Az eljrs nagyon egyszer, igen alkalmas numerikus szmtsokra. A felhasznland u[k] rtkeket elegend numerikusan ismerni, nincs szksgnk formulra. Msrszt azonban tbbnyire nem egyszer a vlasz viselkedsrl ltalnos megllaptsokat tenni az adatsorozat ismeretben.

A lpsrl lpsre mdszer varins rendszer esetn is alkalmazhat, amikor a rendszeregyenlet kifejezst ugyancsak (2) adja, csak az aj =ai[k],bi=bi[k] egytthatk ekkor a k diszkrt id ismert fggvnyei.

Plda Hatrozzuk meg annak a Dl rendszernek az impulzusvlaszt nhny temre, amelynek rendszeregyenlete

y[k]-y[k-l]+0,24 y[k-2] = u[k]+0,5 u[k-l]-0,2 u[k-3]-Erre a rendszerre n = 2, vagyis a rendszeregyenlet msodrend.

Esetnkben u[k] = [k], y[k] = h[k],ezrt

h[k] = [k]+ 0,5 [k -1]- 0,2 S[k - 3]+ h[k ~ l ] - 0,24 h[k - \.

Minden kiindulsi rtk nulla. Az impulzusvlasz nulla, ha k e Z. s

A[0]=1 1+0,5 -0-0,2-0+1 -0-0,24-0=1, A[lJ=l 0+0,5 1-0,20+1 -1-0,24-0=1,5, /[2]=1 0+0,5 -0-0,2-0+1 1,5-0,241=1,26, h[\=\ 0+0,5 -0-0,2-1+1 1,26-0,241,5=0,70, fc[4]= 1 -0,70-0,24-1,26=0,3976,

A tovbbiakban az u[k-i) ltal meghatrozott minden tag nulla, mivel a gerjeszts vges hosszsg. Az impulzusvlasz azonban az autoregresszis hats kvetkeztben nem azonosan nulla, a rendszer nem FIR tpus.


A numerikus eredmnyek alapjn kzenfekv felttelezni, hogy az impulzusvlasz nullhoz tart, valsznleg abszolt sszegezhet is, de ebben mg sok tovbbi h[k] rtk kiszmtsa utn sem lehetnk biztosak. #

2.2-1.3. A folytonos idej rendszeregyenlet

Szortkozzunk olyan FI rendszerek vizsglatra, amelyek rendszeregyenlete olyan, hogy az u(t) gerjeszts s az y(t) vlasz t idpont eltti hatsa y(t) rtkre figyelembe vehet integrljukkal -oo s a vizsglt / idpont kztt. Az ilyen tpus rendszerek a differencilis rendszerek. Az elnevezs okt hamarosan ltni fogjuk. Ezzel kizrunk pldul az u{t-~f) vagy az y(t-r) alak, ugyancsak a mltat figyelembe vev tagokat.

Korbban bevezettk mr a jel els, msodik, ... (ltalnostott) derivltjra a kvetkez jellst:

x%)=*&, , W ( 0 = * ^ = ^ , (2.2-7) t t t

A jel els, msodik, ... integrljra vezessk be ezzel sszhangban a kvetkez jellst

x(-\t)= )x{z)T, x{-2)(t)=)x{-%)T,.... (2.2-8)

Sok gyakorlati esetben x(t) nulla valamilyen idpont (rendszerint t = 0) eltt, ekkor az integrls als hatraknt ez az idpont is vlaszthat.

Az u gerjeszts, y vlasz, folytonos idej, lineris, invarins, kauzlis, differencilis rendszer rendszeregyenlete integrlis alakban

y(t) = b0 u{t)+bx u(-%) + ... + bnu(-"\t)-aJ~l\t)-a2/-1\t)-...-aJ~"\t). (2.2-9)

Nem jelent megszortst, hogy a fellp integrlsok szmt a vlaszra s a gerjesztsre egyeznek vlasztottuk, mert a felesleges" tagokra az egytthat nulla.

A rendszeregyenletnek ez az alakja ritkn hasznlatos. Az integrloktl gy szabadulhatunk meg, hogy differenciljuk az egyenlet minden tagjt rc-szer a t id szerint. Felttelezzk, hogy legalbb ltalnostott rtelemben y{t) differencilhat -szer s u(t) is a szksges szmszor. A (7) s (8) szerint -szeri differencilssal {r ' ' (*))" =x(""''() addik. Szoksosan az ismeretlen vlaszt s derivltjait a bal oldalra rendezzk.

Az u gerjeszts, y vlasz, folytonos idej, lineris, invarins, kauzlis, differencilis rendszer rendszeregyenlete a szoksos differencilis alakban

/\t)+aJ"-\t) + ... + a_^\t)+any{t) = = b0 ul")(t) + b1i4(n-l)(t)+... + bnu(t); e R .

(2.2-10)

Az n a rendszeregyenlet rendszma. A folytonos idej rendszeregyenlet egy tmrebb alakja

y" )+2>-j' (' )=2X" (' )- (2-2-11)


A rendszeregyenletben brmelyik a, vagy bt egytthat nulla is lehet. A differencilis alakbl y {t) trendezssel kifejezhet. Ez gy rtelmezhet,

hogy a vlasz n-edik derivltja kifejezhet a gerjesztssel, a vlasszal s annak derivltjaival. Egy vltoznak azonban legfeljebb els vagy msodik derivltjnak adhat fizikai tartalom (a vltoz sebessge" s gyorsulsa"). Ez egy oka annak, hogy rendszerek lersra a FI rendszeregyenlet kettnl nagyobb rendszm esetn ritkn hasznlatos. Egy msik ok, hogy a szksges kezdeti rtkek meghatrozsa nagy rendszm esetn krlmnyes.

Plda Tekintsnk kt, integrlis alak FI rendszeregyenletet:

(a)y(t)+ai jy(T)T = b0u(t). co

(i) iy()+a1 jy(r)T = b0u(t) + b2 ti ju(r)dAd3.

Az els egyenlet els, a msodik egyenlet msodik derivltjt kpezve kapjuk a differencilis alakot:

(a) y%)+aiy(t) = b0u%). ib) y2)(?)+*,/>(/)=v(2>(0+62(0-

A (b) esetben rtelmes lehet csak az els derivltat kpezni. Ekkor a rendszeregyenletben a vlasznak csak az els derivltja lp fel, a gerjesztsnek pedig az els derivltja s els integrlja is. Ez azonban nem a (1) szerinti alak, mert abban nem szerepel sem a vlasz, sem a gerjeszts integrlja. #

A vlasz (9) szerinti kifejezsben a b-t u^'\t) tagok sszege a gerjeszts elz rtkeinek slyozott mozg tlagt (MA) fejezi ki, mg az at y (t) tagok sszege a vlasz elz rtkeinek slyozott mozg tlaga ltal okozott visszahatst vagy autoregresszit (AR) fejezi ki. ltalban a rendszer ARMA tpus (aut regressive, moving avarage"). Ha specilisan minden -"^\+0) kezdeti rtket, ahol

|J>(') / > ( + 0 ) , f , r = 0 , l , 2 , . . . , - l . (2.2-12) (=+0

A kezdeti rtkek sszessgt kezdeti feltteleknek is nevezik.


A kezdeti rtkek szmtsa mg akkor is nehz feladat, ha a gerjeszts belp, teht ha ( / ) = 0 , e R _ . Ebben az esetben y(-0) = 0 s minden y w ( - 0 ) = 0 , vagyis valamennyi kiindulsi rtk nulla. ltalban nem felttelezhetjk, hogy y(t), y^\t\..., y^it) folytonos, ezrt abbl, hogy minden kiindulsi rtk nulla, nem kvetkezik, hogy minden kezdeti rtk is nulla.

A kezdeti rtkek szmtst az n = 2 esetre mutatjuk be, amikor a rendszeregyenlet

y{1)(t)+ ajl){t)+ a2y{t) = b0u{2\t) + bxii(%t)+ b2u(t). (2.2-13)

A szmtand kezdeti rtkek y(+0) s j ( 1 ' (+ 0). Elszr vizsgljuk azt az esetet, amikor a gerjeszts belp, gy a vlasz is belp, teht w''(-0) = 0,y^''(-0) = 0, vagyis amikor minden kiindulsi rtk nulla. Integrljuk a rendszeregyenletet t = - 0 s t kztt:

t t

y{1\t)+aly(t)+a2 jy(r)dr = b()u(-1\) + bu(t) + b2 fw(r)dr, - 0 - 0

l t 9 l t 9

y(t)+al \y(r)r + a2 f fy(r)drd.9 =bau{t)+bx \u(r)dr + b2 f (r)drd,9 . -0 -0-0 -0 -0-0

Legyen t = +0. Szortkozzunk egyelre arra az esetre, amikor a gerjeszts nem tartalmaz Dirac-impulzust. (Az impulzusvlasz szmtsval a kvetkez szakaszban foglalkozunk.) Ekkor a t = ~0 s t = + 0 hatrok kztti integrlok rtke nulla. A kezdeti rtkekre vonatkoz egyenletrendszer (megfordtva az egyenletek sorrendjt)

y(+0) = bou(+0), y(l)(+0)+a,y(+0) = bou{,){+0) + blu{+0). (2.2-14)

Az els egyenlet megadja y(+0) kifejezst, a msodikbl ym(+0) ezutn egyszeren kifejezhet. rtelem szerinti az eljrs n tetszleges rtkre.

Tekintsk most azt az esetet, amikor a kiindulsi rtkek nulltl klnbzek. Ez a helyzet pldul akkor, amikor egymst kvet ( M, ';) intervallumokban klnbz fggvnyek rjk le a gerjesztst s gy a vlaszt is. Egy tipikus ilyen gerjeszts

u(t)= {e(t)~e{t - O J Q / + {f( - , )-(?-2)}C2 + e(t-t2)C3 e~3'.

Ekkor elszr megoldjuk a feladatot a (0, t{) intervallumban. A t = tx-Q idpontbeli y(tl-0),y^\tl-0) helyettestsi rtkek jelentik a kiindulsi rtkeket a (/,,/2) intervallumra, amelyre az y(/, + 0), y^fa + 0) kezdeti rtkeket kell meghatroznunk. Az elz gondolatmenet most is rvnyes, csak most nem az y*-''(+0) s i/ ' '(+0) rtkek fognak fellpni, hanem a megvltozsok. A rjuk vonatkoz lineris egyenletrendszer

y(il+0)-y{tl -0) = bt[u(ti +0)-(, - 0 ) ] , y%+0)-/% -0)+aibfa + 0 ) - A -0) ]= (2.2.14a)

= b0[u{l)(1 +0)-w ( , )(/1 -0)]+ft,[(, + 0 ) - M ( , - 0 ) ] . Az egyenletrendszer megoldsa, vagyis az j>(/, +0),yl-1\tl +0) kezdeti rtkek meghatrozsa nem jelent elvi nehzsget.

Ksbb (4. rsz) majd megismerkednk jobban kezelhet eljrssal is.


Ha u(t) = u~ ,t eR_ s a rendszer GV stabilis, akkor y(t) is lland ott, minden derivltjuk nulla. Az y kiindulsi rtke az ay(-0) = bnu~ egyenletbl szmthat, majd ennek ismeretben a kezdeti rtk is.

A FI rendszeregyenletre nincs olyan egyszer megolds, mint a lpsrl lpsre mdszer volt a Dl rendszeregyenletre. Alkalmazhatk kzelt numerikus megoldsok.

Plda Tekintsk a kvetkez FI rendszeregyenletet:

y{2\t)+4 /l\t) + 3 y{t)=5u%yU{t). Hatrozzuk meg az y(+ 0\ y(l)(+ 0)kezdeti rtkeket, ha a gerjeszts (a) u{t) = e{t)t. (b)u{t) = s(t). {c)u{t)={t).

Mindegyik gerjeszts belp, ezrt a vlasz is belp, a kt kiindulsi rtk nulla: X-0) = 0,/>(-()) = 0.

Az (a) esetben 5 w(1)() + u(t)= e(t)[5 +1\. Ez vges a t = 0 helyen, ezrt a vlasz s derivltja is folytonos ott, tehty(+ 0)= 0 s y


F-2. Igazolja, hogy a kvetkez FI rendszeregyenletek ugyanazt a rendszert rjk le, ha az egytthatk pontosnak tekinthetk:

(I) / ' +y = u, (II) y2) - / > - 2 y =


{/) Mivel a rendszer GV stabilis, ezrty[~l] =y[-2] = 20. Ennek felhasznlsval y[k] = 20 S[k] + 20 [k -1] +12 [k - 2] + 7,2


2.2-2.2. Az impulzusvlasz szmtsa

A Dl rendszer impulzusvlasza az u[k] = [k] egysgimpulzus gerjesztshez tartoz y[k] = h[k] vlasza, a FI rendszer impulzusvlasza az u(t) = (t) Dirac-impulzus gerjesztshez tartoz XO = h(t) vlasza. Mivel [k], illetve () belp jel, ezrt - a vizsglt rendszer felttelezett kauzalitsa kvetkeztben - az impulzusvlasz is belp jel. Emlkeztetl megadjuk az y vlasz kifejezst a h impulzusvlasz s az u gerjeszts konvolcijaknt. Szimbolikusan (2.1-1.2. illetve a 2.1-2.2. pont)

y = h*u . (2.2-16) Rszletesen felrva s a rendszer kauzalitst figyelembe vve: -

Dl: y[kh,h[k-i]u\i]; T (2-2-17)

FI: y(t) = J7/(f-z-)w(-)di-.

Belp gerjeszts esetn az sszegezs als hatra 0, az integrls als hatra - 0 . Mivel a vizsglt rendszer lineris s invarins, ezrt elegend a

DI: J W + X ^ - I M * ] . y[k]=K[k); 1=1

(2.2-18) FI: y")(0+^/)(0 = ^ ) , A*H,(t)

specilis esetet vizsglni. Az impulzusvlasz ugyanis a szuperpozci elve rtelmben kifejezhet a h0[k], illetve a h0(t) segd-impulzusvlasz ismeretben:

Dl: &[*]=&,. ftjifc-i]; (2.2-19)

FI: A(0=fti^')(0-Az azonos jelleg tagokat (tipikusan: exponencilis fggvnyeket) clszer sszevonni. Gondosan kvetni kell az e[k - i] tnyezk hatst.

A l\\k\, illetve a h0(t) fggvnyt a kvetkez alakban keressk:

Dl: hQ[k]=M2.k FI: h0()=Meil. (2.2-20) Minden alkalmas A*, illetve e' fggvny a rendszeregyenlet egy sajtfggvnye. Ltni fogjuk, hogy egyes esetekben a sajtfggvny ennl ltalnosabb is lehet. Helyettestsk ezt a rendszeregyenletbe s egyelre zrjuk ki a k = 0, illetve a t = 0 helyet:

Dl : M k + a, M^x + a2 M ^2+... + aM A*""= 0; FI: MA" tx'+axM A"-' e' + a2M A"~2 e'+...+an M eA'=0.

Az M Ak, illetve az M eAl tnyezvel egyszersthetnk. A Dl esetben clszer mg a A" tnyezvel megszorozni az egyenletet. Ezzel a Dl s a FI esetben a kvetkez kzs egyenlethez jutunk:


F(Z) = "+al"-1+a2"~2+... + arl_l+a=0; A = Al,A2,...,An. (2.2-21)

Ez a (15) Dl illetve FI rendszeregyenlet karakterisztikus egyenlete, az egyenlet A, gykei a rendszeregyenlet sajtrtkei, amelyek meghatrozzk a rendszeregyenlet A) illetve exp (A/) sajtfggvnyeit. Az F\A) a rendszeregyenlet karakterisztikus polinomja.

A rendszeregyenlet ismeretben karakterisztikus egyenlete kzvetlenl felrhat, nincs szksg a kzbls lpsekre. Mivel az ap egytthatk valsak, ezrt a A, sajtrtkek vagy valsak vagy konjuglt komplex prokat alkotnak.

Az -edfok karakterisztikus egyenletnek pontosan n szm gyke van. Kivteles esetektl eltekintve a gykk mind klnbzek, vagyis a sajtrtkek egyszeresek. A tovbbiakban elszr ezt az esetet trgyaljuk, azutn foglalkozunk az ltalnosabb esettel. Egyszeres sajtrtkek esete

Minden egyszeres At sajtrtk egy Mi A\, illetve M,.e't'' alak megoldst jelent. A rendszeregyenlet linearitsbl kvetkezik, hogy ezek sszege is megolds. A specilis (18) rendszeregyenletnek ezrt biztosan van

Dl: K[k]=s{k}\M,A\+M2Ak2+... + MX}; (22_22) FI: h(i(f)=e(t){Ml^'+M2el>'+... + MrltK'}

alak megoldsa. Igazolhat, hogy ha a sajtrtkek egyszeresek, akkor ez az ltalnos megolds, a homogn rendszeregyenletnek nincs msfle megoldsa. Msknt kifejezve: a rendszeregyenletnek csak az szm A\ , illetve e'' sajtfggvnye ltezik. A feladat ezek utn az n szm M, egytthat meghatrozsa.

A Dl esetben kzenfekv a k = 0,1,... ,-1 idpontbeli /^[k] rtkeket a lpsrl lpsre meghatrozni, majd ennek alapjn felrni az szm feltteli egyenletet. Igazolhat azonban, hogy elegend azt figyelembe venni, hogy 1\\k\ a negatv rtkeire nulla, mg a (18)-bl kvetkezen /^ [O] = 1, vagyis a feltteli egyenletek

Dl: h0[0] = h M-l]=0, ho[-2] = 0,...,h0[-{n-l)] = 0. (2.2-23) Ha pldul n = 2, akkor a kt feltteli egyenlet s megoldsa

1 -^ M, = - , M2 = ?

MxA;l+M2A-'=0;\ A,-A2 A2-Al

A FI esetben tudjuk, hogy h0(t) s valamennyi h^(t) derivltja nulla / negatv rtkeire. Belthat, hogy ez igaz a / = + 0 helyen is i = 0,1,...,-2 esetn. Ezt felhasznlva s a (18)-at integrlva / = - 0 s t = + 0 kztt

h^\+0)-h^(-0)=+]s(t)dt -0

addik. Az Mi egytthatk meghatrozsra szolgl egyenletrendszer teht

FI: h0{+0)=0, h1\+0)=0 ,..., /*


Pldul n = 2 esetn a kt feltteli egyenlet s megoldsa M, + M2=0, } 1 i

1 2 l => M, = , M2 = - .

Mj/lj + M22=\;\ \~K 1-l A kezdeti felttelek rvnyestse utn a h0[k], illetve a h0(t) jel ismert. Ezutn a

h[k], illetve a ft() impulzusvlasz a (19) felhasznlsval nehzsg nlkl szmthat. A konjuglt komplex sajtrtk-prokat egytt clszer kezelni:

Dl: 4= r , e j ' , AM=X; => M,$ +Ml+Xi =(Plco8&lk + Qlsm0lk)rlk, FI: A, =ai+)2l,,M =A'=>Mie'' + MM M,=3, M 2 =-2.

A rendszeregyenlet jobb oldalt is figyelembe vve kapjuk az impulzusvlaszt: h [k] = K [k] + 0,5 \ [k -1] - 0,2 \ [k - 3]=

= e[k] J3 (0,6)' - 2 (0,4)*}+ e[k -1] J,5 (O^)4"1 -1,0(0,4)*-'}+ + *[/fc - 3] {- 0,6 (0,6)*"3 + 0,4 (0,4)" }.

A = 0, 1 s 2 temeket kln clszer lerni, a (0,6)*-3 s a (0,4)*3 tagok egytthatit sszevonjuk:

h[k] = [k]+l,5[k-\+l,26S[k-2]+s[k-3]l(),5SS(0,6y'3+0,ll2(0Ay'3}-Ellenrizhetjk, hogy a k = 0, 1, 2, 3, 4 s 5 esetn a 2.2-1.2. pont pldjban a lpsrl lpsre mdszerrel kapott h[k] rtket addnak. #

2. plda Hatrozzuk meg annak a FI rendszemek az impulzusvlaszt, amelynek rendszeregyenlete

yV(t) + 4 y%)+ 3 j,(/) = 5 w (0 + (')


A rendszeregyenlet karakterisztikus egyenlete kzvetlenl felrhat:

2 2 + 4 2 + 3 = 0 = > A , = - 3 , /L,= - l .

A h0(t) segd-impulzusvlasz ltalnos alakja teht h0(t) = s(t) {M, e"3' + M2e^'}.

A kezdeti felttelek (24) rtelmben

M.+M^Q, -3M1-M2=1; =>M, = - - , M 2 = - .

A rendszeregyenlet jobb oldalt figyelembe vve kapjuk (a \ a t = 0 helyen folytonos)

^ ) = 5 ^ ( ) + /!o(/)=^)|^e-3'-|e-3j + ( / ) { - i e - 3 ' + I e - 3 j .

Elemi rendezs utn kapjuk az keresett impulzusvlaszt: /(0 = ^ ) { 7 e - 3 ' - 2 e - 3 ' } .

Ha a rendszeregyenlet jobb oldaln szerepelne egy w2'() tag is, akkor az impulzusvlaszban fellpne egy (t) tpus sszetev is. #

Tbbszrs sajtrtkek esete

Az eddigiekben feltteleztk, hogy a rendszeregyenlet minden sajtrtke egyszeres. A gyakorlati esetek tbbsgben ez gy is van (kivve az FI esetben a X = 0 sajtrtket).

Lehet gy rvelni, hogy tbbszrs sajtrtkek a valsgban nem lteznek, hiszen a rendszeregyenlet egytthati csak kivtelesen ismertek pontosan, azok tbbnyire kerektett szmtsi vagy mrsi eredmnyek. Brmelyik at egytthathoz ezrt hozzadhatunk egy olyan kis (pozitv vagy negatv) rtket, amelyrl felttelezhet, hogy az a kerektsi hibn bell nem jelent vltozst. Ha pldul valamelyik a, egytthat rtke 0,24 (vagy 0,240), akkor ez akr 0,241, akr 0,239 (vagy akr 0,2401, akr 0,2399) rtkkel helyettesthet. Az esetleges tbbszrs sajtrtkek ekkor tbbnyire tbb egyszeres sajtrtkbe megy t. Megtehetjk azt is, hogy a tbbszrs Aj sajtrtkeket helyettestjk tbb, egymshoz kellen kzeli egyszeres sajtrtkkel.

Fogalmilag s szmtstechnikailag egyarnt indokolt vzolni azonban az eljrst tbbszrs sajtrtkek esetre is. A kvetkezket igazols nlkl kzljk.

Ha Xi egy ^-szeres sajtrtk, akkor nem csak A), illetve e'' sajtfggvnye a rendszeregyenletnek, hanem

Dl: /[*]={*/, .+MM k+Miak2+... + Mu_x k-l}Mi ; / \ i (2.2-20)

FI fi(t)={Mi0+Mht + Ml2t2+... + Mirl r1)^' is sajtfggvny. Ez ugyangy n szm egytthatt tartalmaz, mint r, szm klnbz sajtrtkhez tartoz sajtfggvny sszege. Ha a FI esetben A,=0 egy r-szeres sajtrtk, akkor a hozz tartoz sajtfggvny egy (r,1) -edfok polinom. A ho[k], illetve a ho(t) segd-impulzusvlaszban szerepl egytthatk meghatrozsa ugyanazon felttelek alapjn trtnik, mint egyszeres sajtrtkek esetn.


*2.2-2.3. Szabad s gerjesztett sszetevkre bonts A (15) rendszeregyenletnek egy kzvetlen megoldsaknt az adott u gerjesztshez tartoz y vlaszt egy yt szabad sszetev s egy yg gerjesztett sszetev sszegeknt lltjuk el:

Dl: y[k]=yf[k]+yg[k]-> FI: y(t) = yt{thyt{t). (2-2 '27)

Mint mr emltettk: ez a mdszer csak akkor knyelmes, ha a gerjeszts egyszer fggvnnyel lerhat.

A szabad sszetev ltalnos alakja A vlasz y/ szabad sszetevje, rviden a szabad vlasz (pontosabban: a vlasz szabad sszetevjnek ltalnos alakja) a gerjesztetlen rendszer (u = 0) vlasza, vagyis a homogn rendszeregyenlet ltalnos megoldsa:

(2.2-28) FI: ^(O+I^'M.

;=o

A szabad vlaszt nevezik sajtvlasznak s termszetes vlasznak is. Az yt szabad vlasz ltalnos kifejezse megegyezik a ho segd-impulzusvlasz

ltalnos alakjval, hiszen a [k], illetve a (f) gerjeszts rendszerre a k=0, illetve a t=0 idponttl eltekintve nem hat gerjeszts. A rendszeregyenlet (21) karakterisztikus egyenletnek megoldsa utn ismerjk a rendszeregyenlet Xt sajtrtkeit. Ha ezek egyszeresek, akkor a szabad vlasz ltalnos alakja a (22) mintjra

Dl: yf[k} = M1^+M24+... + MX; (222g) FI: yf(t) = M1e>'+M2e^'+... + Me"'.

Az n szm Mt egytthat egyelre ismeretlen. Bizonythat, hogy a (28) egyenlet minden megoldsa ilyen alak, ezrt nevezik ezt a homogn egyenlet ltalnos megoldsnak. Ha valamelyik sajtrtk tbbszrs, akkor az ahhoz tartoz ltalnos megolds (26) szerinti. A hatrozatlan llandk sszes szma ekkor is n. Mint mr emltettk: a tbbszrs sajtrtkek megkerlhetk az ap egytthatknak vagy a tbbszrs 1, sajtrtkeknek a kerektsi hibn belli kis megvltoztatsval.

Amelyik Dl sajtrtkre \&\ \M


X pozitv vals X negatv vals X, k konjuglt komplex lm

^ . I l t . . lm-

-Y * i

fin

r ^ Ij .., j/tK. 1 1 l> * vL J Re 1 l \ *J Re Ji * lm

r\. [mii lm : ^ LM, lm r > > , i i; egyszeres V_ > * V, j ^ nr ^ y' u- ;

lm

|/l| = 1 /"" "Y ,f m

^ > ktszeres V_ T k Vj j* 4 . J 1 v Ju % I '

lm

\ . .ifi ^ , * ' . lm

r ^ |/l| > 1 - r Jm k V "J Re * 1 | i U J^ "%P*I 2.2-1. bra A Dl vlasz szabad sszetevjnek vltozsa nhny tipikus sajtrtk esetn

A ti illetve a kt neve idlland. Ha minden \At\ < 1, illetve ha minden WL{kj}


A szabad sszetev vltozst szemllteti nhny tipikus vals sajtrtk vagy komplex sajtrtk-pr esetre az 1. illetve a 2. bra. Figyeljk meg, hogy a Dl esetben az abszolt rtkben egynl kisebb vagy nagyobb, a FI esetben a negatv vagy a pozitv vals rsz sajtrtkhez tartoz szabad sszetev lnyegesen msknt viselkedik.

A gerjesztett sszetev

A vlasz vg gerjesztett sszetevje, rviden: a gerjesztett vlasz a vizsglt rendszernek az adott gerjesztshez tartoz egy lehetsges vlasza, Ez azrt nem jelenti a feladat megoldst, mert nem tesz eleget a kezdeti feltteleknek.

A matematikai terminolgia szerint a gerjesztett vlasz az inhomogn egyenlet egy partikulris megoldsa. A gerjesztett vlasz nem egyrtelmen meghatrozott, rendszerint a legegyszerbb alakot vlasztjuk.

A gerjesztett vlasz meghatrozsra nincs ltalnosan hasznlhat eljrs. Ha azonban az u gerjesztst egyszer fggvny rja le, akkor hasznlhat a prbafggvny mdszer: az vg gerjesztett vlaszt ugyanolyan alak, hatrozatlan szorztnyezt tartalmaz fggvny (pldul lland, exponencilis, szinuszos fggvny) alakjban keressk, mint amilyen a gerjeszts. Az adott u s a felttelezett y prbafggvnyt a rendszeregyenletbe helyettestjk. A megegyez fggvnyek egytthatinak egyezsbl lineris egyenleteket vagy egyenletrendszert kapunk az ismeretlen egytthatkra. A Dl esetben az w[/c -1] ,[&-2] , . . . , u[k-m] tagok fellpse miatt a prbafggvny csak k > m esetn rvnyes. A kvetkez kt tblzat nhny pldt ad a prbafggvnyek megvlasztsra. Figyeljk meg, hogy ha a gerjeszts megegyezik valamelyik X\, illetve e ' ' sajtfggvnnyel, akkor Ak X\, illetve Ate1' alak prbafggvnyt kell vlasztanunk.

Diszkrt idej prbafggvnyek u[k], k eN yg[k], k>m C A C ak (R/lj) Aa C cos 0k+Dsm0k (eje *kt) Acos&k+BnQk Ck"(pdN) A+A,k+A1k1++Apkp C k\ (/l; egyszeres) Ak%

Folytonos idej prbafggvnyek (/), e R ( ye(t),teR. C A C e " ^ ^ ) Ae"' Ccosn? + Z)sinfi? ( e J V 4 ) A cos l t + B sin Q t Ctp(psN) AQ+Al t+A2t2+...+Aptp

Cer' (/^.egyszeres) Ate'''


Ha a gerjeszts a megadott fggvnyek szorzata, akkor a prbafggvnyt is a megadott prbafggvnyek szorzatnak vlasztjuk, de az llandk szorzatt egyetlen llandnak tekintjk.

Ha a gerjeszts intervallumonknt rhat le az emltett egyszer fggvnyekkel, akkor minden intervallumot a gerjesztett vlasz s a kezdeti felttelek szempontjbl j feladatknt kezelnk.

A kezdeti felttelek rvnyestse

Igazolhat, hogy a rendszeregyenlet ltalnos megoldsa, (a vlasz ltalnos alakja) a szabad vlasz ltalnos alakjnak s a gerjesztett vlasz brmely alakjnak az sszege:

DI: M=y&]+yM' , , , , n FI: y(t)=yt(t) + y,(t). ( Z 2 " 3 1 )

Az ebben szerepl n szm hatrozatlan llandt gy kell megvlasztanunk, hogy a kezdeti felttelek ki legyenek elgtve. Mivel az eljrs nmileg eltr a Dl s a FI esetben ezrt ezeket egyms utn trgyaljuk.

Diszkrt idej rendszer vlasza

A gerjesztett vlasznak a prbafggvnnyel meghatrozott alakja csak k > m esetn rvnyes. Mivel az ltalnos alak n szm llandt tartalmaz, ezrt azt n szm temmel visszafel is rvnyesnek tekinthetjk, vagyis kiterjeszthetjk azt a k = m - 1, m - 2,..., m - n temekre is. Ezek szerint a kvetkez kezdeti rtkeket kell meghatroznunk:

y[m-n], y[m-n + l], y[m-n + 2\,..., y[m-\]. (2.2-32)

Ha m=0, akkor ezek megegyeznek azy[-l],y[-2], ...,y[-n] kiindulsi rtkekkel. Belp gerjeszts esetn ezek mindegyike nulla. Ha nv=\, akkor elszr y[0] rtkt a lpsrl lpsre mdszerrel kiszmtjuk (2.2-1.2. pont), tovbb felhasznljuk az>>[-l],y[-2], ..., j>[-+l] kiindulsi rtkeket. Ha m=2, akkor y[0] s y[l] rtkt szmtjuk a lpsrl lpsre mdszerrel s gy tovbb.

A szabad sszetevben szerepl hatrozatlan llandkat a kvetkez lineris egyenletrendszer megoldsaknt kapjuk:

yk] =y[k] - yg[k], k = m - n, m-n+1, ...,m-\. (2.2-33) Ha minden sajtrtk egyszeres, akkor (19) rtelmben a megoldand egyenletrendszer

J^Mt^ =y[k]-yg[k], k = m-n,m-n + \,...,m-\. (2.2-34)

Az egyenletrendszer megoldsa utn ismertek lesznek az addig hatrozatlan llandk (egyszeres sajtrtkek esetn MX,M2,...,M) Ezeket behelyettestve kapjuk a vlasz kifejezst:

y[k] =y[k]+yg[k], k>rn-n, (2.2-35)

mg y[k] rtkeit a 0 < k < m-n temekre korbban mr meghatroztuk. Ezzel a vlasz minden t e Z rtkre ismert s feladatunkat megoldottuk. Ha m < n, akkor y[k] formulja


a k = 0 rtktl mr hasznlhat, ha azonban m> n, akkor a & = 0, 1, ..., m--l temekre vonatkoz rtkeket egyenknt kell megadnunk.

1. plda Hatrozzuk meg azon Dl rendszer vlaszt, amelynek rendszeregyenlete s gerjesztse

y[/t]-^[*-l]+ Q,2Ay[k-l]=u[k\+0,5u[k-\\-Q,2u[k-3], u[k] = e[k]{2(0,5)k+3{0,6)k}.

A rendszeregyenlet karakterisztikus egyenlete s sajtrtkei A2 - 2 + 0,24=0 => 4=0,6, A, = 0,4.

A szabad vlasz ezek szerint (0,6) s (0,4) sajtfggvnyek szuperpozcija. A gerjesztett vlasz prbafggvnye (mivel 0,6 egy sajtrtk is!)

yg[k]=A{0,5)k+Bk(0,6f. A rendszeregyenletbe helyettestve (kln kezelhetjk a kt tagot)

A 10,5)* - (0,5)" + 0,24 (0,5)M }= 2 fo,5)* + 0,5 (0,5)" - 0,2 (0,5)"}, B jfc (0,6)* - (k - l)(0,6r + 0,24 (Jt - 2)(0,6)*-2 }= 3 |o,6)* + 0,5 (0,6)*"' - 0,2 (0,6)*"3}.

Az els egyenletbl a (0,5)* fggvny egytthatinak egyezsbl

^ _ 2 1 + 0,5(0,5^-0,2(0,5)-^ 2Q l-(0,5)_1+0,24(0,5)"2

A msodik egyenletbl a (0,6)* fggvny egytthatinak egyezsbl

B _ 3 1 + 0,5 (0,6)"'- 0,2 (0,6)"3= 49 l-(0,6)-'+0,24(0,6)"2 6 '

A k (0,6) fggvny egytthatinak sszege azonosan nulla, ezrt ez nem ad j egyenletet a megoldshoz.

A vlasz ltalnos alakja a k>m-n = 3-2 = l temtl rvnyes. Clszer ezrt a kitevket k - 1 alaknak vlasztani:

y[k]=M (0,6)" + M2 (0,4)*"' -10 (0,5)*"' + 4,9 (k -1)(0,6)*_1, fel. A lpsrl lpsre mdszerrel

y[0]={2 + 3) = 5, y[l] = 5 + (2 0,5 + 3 0,6)+ 0,5 (2 + 3) = 10,3, y[2]=10,3-0,24-5 + (2-0,52+3-0,62)+0,5(2-0,5 + 3-0,6) = 12,08.

A kezdeti feltteleket a k = 1 s 2 helyen kell kielgteni: k = l =>M,+M2-10 = 10,3, k = 2 => 0,6M, + 0,4M2-10 0,5 + 4,9-0,6 = 12,08.


Ebbl Ml = 30,1 s M2=- 9,8 addik. A vlasz vgs alakja ezek szerint

y[k] = 5[k]+s[k-\{30,l(0,6y-, -9,8(0,4)*-' - 1 0 (0,5)" + 4,9 (k-l)(0,6)kl}. Clszer lehet a lpsrl lpsre mdszerrel mg nhny y{k] rtket kiszmtani s sszevetni a megolds helyettestsi rtkvel. #

Folytonos idej rendszer vlasza

A FI rendszeregyenlet yf(t) szabad sszetevjben szerepl n szm ismeretlen llandt az ; r (+0) kezdeti feltteleket kifejez n szm lineris egyenletrendszer megoldsval hatrozhatjuk meg:

y\r){+0) = /r\+0)-y^{+0), r= 0 , 1 , 2 , . . . , K - I . (2.2-36)

Itt y^'if) SLzy(t) r-edik derivltja. Mint a 2.2-1.3. pontban mr lttuk: az y^r'(+0) kezdeti rtkek megegyeznek az

y {-0) kiindulsi rtkekkel, ha a rendszeregyenletben szerepl minden w''{t) derivlt vges a ( = 0 helyen. Ellenkez esetben kpezzk a gerjeszts annyiadik (mondjuk p-edik) integrljt, hogy arra a felttel teljesljn, az gy kapott gerjesztshez tartoz vlasznak kpezzk a p-edik (ltalnostott) derivltjt. Belp gerjeszts esetn minden kiindulsi rtk nulla.

Egyszeres sajtrtkek esetn a (29) rtelmben a (36) rszletes alakja

J^] Mi=y{r)(+0)-y^{+0), r = 0 ,1 ,2 , . . . , - l . (2.2-37)

rtelem szerinti az eljrs tbbszrs sajtrtkek esetn.

2. plda Hatrozzuk meg annak a FI rendszernek a vlaszt, amelynek rendszeregyenlete s gerjesztse

y{2) {t)+0,6 y{l)(t)+0,25 y(t) = 8 u(l){t)+16 u(t), u(t)=2{e(t)-s(t-)}.

A rendszeregyenlet karakterisztikus egyenlete s sajtrtkei 2+ 0,6A + 0,25 = 0 => A,=-0,3+j0,4, A2 = -0,3-j0,4.

A szabad vlasz ltalnos alakja ezek szerint yt (t) = {P cos 0,41 + Q sin 0,41\ e ^ 3 ' .

Vizsgljuk elszr a 0 < t < 1 intervallumot. Itt a gerjeszts u(t) = 2, ezrt a vlasz prbafggvnye is lland: yg(t)=A. A rendszeregyenletbe helyettestve (az lland derivltja nulla)

0 ,25^ = 16-2 => 4 = 128 .

A vlasz ltalnos alakja e vizsglt intervallumban y{t) ={Pcos0,4t + Qsin 0,4^e^'+US, 0 < < l .

2.2. A rendszeregyenlet g l

A kezdeti feltteleket a (36) egyenletrendszer megoldsval kapjuk, amely a (13) ltalnos alak rendszeregyenlet ktszeres integrlsval llthat el:

y(+0)=b()u(+0) ^y(+0) = 0, / ( + 0 ) + a, y(+0)=b0u{,)(+0) + ft,(+0) ^ ( l ) ( + 0 ) = 8-2 = 16.

Az y(t) s els derivltjnak kifejezsbe helyettestve ^ + 128 = 0, 1 j > = - 1 2 8 , -O ,3P + O,40 = 16;J ^ [Q = -56.

Tekintsk most az 1 < t < co intervallumot. Itt u(t) = 0, ezrt a vlasz megegyezik szabad sszetevjvel, ltalnos alakja (clszeren t - 1 vltozval)

j ( )={/?cosO,4(/- l ) + 5s inO,4( - l )}e- 3 ( M ) , 1 < / < O O . A kezdeti felttelekhez szksgnk van a t = 1 - 0 helyen fellp rtkekre, amelyek az elz intervallumra rvnyes megoldsba helyettestssel addnak:

,y( l-0)={-128cos 0 ,4-56 sin 0,4}e->3+128 = 24,505, y{1)(l-0)= {0,4-128sin0,4-0,4-56cos0,4}e-0 '3-

-0,3 {-128 cos 0,4 - 56 sin 0,4^= 30,535. Az elz egyenletrendszer mintjra

y(l + 0)-y(l-0) = 0 => y(l + 0) = 24,505, y{,)(l + 0)- /l)(\-0)+0,6{y(l + 0)- y(l-0)} = 8{u(\ + 0)-u(l-0)} => => / ' ( l + 0) = 30,535-0,6 {24,505-24,505}+8{0-2} = 14,535.

Az R s S llandkra vonatkoz egyenletrendszer ennek alapjn R = 24,505, -0 ,3 /?+ 0,45 = 14,535 => 5 = 54,716.

A keresett vlasz vgs alakja y(t) = {s(t)-e(t-\)}{[-128 cos 0,41-56 sin 0,41]^3' +128}+

+s(t -1) {24,5 cos 0,4 (/ -1) + 54,7 sin 0,4 (/ -1)} e~0'3 (M). Nem jelentett volna lnyeges bonyodalmat, ha a t = 1 idpont utn a gerjesztst

valamilyen ms egyszer fggvny rta volna le. Megjegyezzk, hogy ebben a specilis esetben a feladatot egyszerbben is

megoldhattuk volna. A gerjesztst tekinthetjk az ux(t) = 2s(t) s az u2(f)=-2e(t-\) gerjesztsek szuperpozcijnak. Mivel u1(t) = -ui(t - l ) , ezrt a 0 < < 1 intervallumra vonatkoz _y, (t) megoldst felhasznlva

y(t) = e(t){[-128 cos 0,4/-56sin0,4?]e~'3 ' +128 } -- s ( t - l ) { [ - 1 2 8 c o s 0 , 4 ( t - l ) - 5 6 s i n 0,4(t-l)]e->3(M) +128 }.

Trigonometriai talaktsokkal az elz alakhoz juthatunk. Az annyiban elnysebb, hogy a vlasz kt ablakozott jel sszegeknt van ellltva. #


2.2-2.F. Feladatok

F-I. Hatrozza meg a Dl rendszer vlaszt, ha rendszeregyenletey - 0,6 y^'= w2', s

gerjesztse (a) [*]=4*]. {b)u[k] = s[k}.

F-2. Hatrozza meg a Dl rendszer vlaszt, ha a rendszeregyenlete

y-0,6y{l)+0,05 y{2)=3u{2\

s a gerjesztse: (a) u{k]=e{k). {b)u[k] = s[k]{-0,)k. (c)u[k] = e[k](0,l)*. (


M-l. 4 = 0,6. {a)y[k] = s[k -2](p,6f-2. (b) y[k]=e[k-2]^2,5-1,5(0,6)*~2}.

M-2. A sajtrtkek A, = 0,5, A2 = 0,1. Azy[0], y[\] kezdeti rtkeket a lpsrl lpsre mdszerrel kell szmtani. A megolds kt albbi alakja kzl a msodik a clszerbb.

w j*M*]{f - f M+f (0.0* }=4* - 2]{f - ~ ({*]=s[*]{y (0,5)*- ^ (0,1)* - 75 * (0,1/j =

= s[k - 2 ] ^ ( 0 , 5 ) " - ^ (0,1)"- | (* - 2)(0,1) jt-2

W#]^^]-#-3]){^-^(0,5)V^(0,l)4-^-3]t3,125(0,5r+8,325(0,ir}=

=(s[k - 2] - s[k - 5By - j (0,5r2+ ^ (0,ir2| - *[* - 5] {3,281 (0,5)"+ 0,0831(0,1)"}. * [e)y[k] = 60, k Z., j[o] = >{l] = 60 ;

^ ] = ^ + 120(0,5)'-^0(0,l)1, ^ N ;

j{*] = 60 {1 - e[k - 2]}+s[k - 2][ + 30 (O^)*"2-- (0,l)*

M-3. A vlasz mindkt esetben j[] =[&] (0,5) . A (b) rendszeregyenlet sajtrtkei A, = 0,5 s X2 = 2. Az utbbi azonban nem szerepel a vlaszban. Ez a megllapts ms gerjesztsre is rvnyes. (A 2.2-1.F-I. feladatban belttuk, hogy a msodik rendszeregyenlet az elsbl kvetkezik. Ksbb ennek olyan rtelmezst is adhatunk, hogy a kt rendszer tviteli fggvnye megegyezik.)

M-4. A sajtrtkek A, =-1 s A ^ - 5 . Azy(f) folytonos, de y^\t) nem az, ha (?)nem folytonos. Integrljuk a rendszeregyenletet -0 s +0 kztt. Ennek alapjn azt kapjuk, hogy j ( 1 )(+0)- y(I)(-0) = w(1)(+0)-(I)(-0). Egy msik lehetsg, hogy pldul az (a) feladatnl elszr az ui(t)=e{t) gerjesztshez tartoz yx vlaszt szmtjuk, amelyre >'1(o) = 0, jW(o)=0, majd ennek ismeretben y{t)=y[{t).

A prbafggvnyek az (a) s (d) esetekben yg(t)=A, a (b) s az (e) esetben yg(t)=Ae~2', a (c) esetben yJj^Ate"1'. Az (a), (Z>), (c) s (d) esetekben y(+ 0) = 0, j(1)(+ 0) =1. A vlasz kifejezse: (a) y{t)=s{t) [l,8 - 2 e"' + 0,2 e~5' ]. () ,(/)=*(,)[-2 e"1'+ 2 e ^ e " 5 '


41 4 (c)y(ths(t)

( r f ) y ( 0 = [ ^ ) - ^ - l ) ] [ l , 8 - 2 e - + 0 , 2 e - 5 ' ] + ^ - l ) [ 2 ( l - e - , ) e - ( ' - l ) - 0 , 2 ( l - e - 5 ) e - 5 < ' - 1 ) ] . *(e) Az w(f) folytonos, ezrt >>(+0)=y(-0) = 9/5 , y ( 1 )(+o)=y ( , )(-0)=0;

9, r (0=7&-^)]+^) -e-2 '+4e" ' + e" 15

M-5. A vlasz kifejezse mindkt esetbeny(i) = e(/)[l-e"']. A (b) rendszer sajtrtkei \\ = -\,h.= +2. Az utbbi nem szerepel a vlaszban. Ez

ms gerjeszts esetn is rvnyes, (v. 2.2-1.F-2.) Ennek a megllaptsnak jelentsgt a stabilits trgyalsnl, a kvetkez szakaszban fogjuk ltni.

2.2-3. A gerjeszts-vlasz stabilits 2.2-3.1. A rendszeregyenlet sajtrtkei

A rendszer gerjeszts-vlasz stabilis, ha brmely korltos gerjesztshez korltos vlasz tartozik (1.2-2.5. pont). A rendszeregyenlet ismeretben erre elegend felttelt adunk.

A rendszeregyenletvel lert rendszer vlasza a szabad s a gerjesztett vlasz sszege. A Dl illetve a FI rendszer vlasznak szabad sszetevje egyszeres A, sajtrtkek esetn X\ illetve e*1' alak tagok sszege, mg tbbszrs sajtrtkek esetn X\, k X), k 2 X), ... illetve el,t JQ^',t2^',... alak tagok sszege. A szabad sszetev ltalnos alakja akkor s csakis akkor korltos, ha Dl esetben minden |A( |


sz az aszimptotikus stabilitsrl, tovbbi stabilitsfogalmakkal (pldul a Ljapunov-stabilitssal) a 2.5. fejezetben foglalkozunk. A biztonsg fel tvednk, ha a (38) feltteleket nem kielgt rendszert nem tekintjk GV stabilisnak.

Ha a rendszeregyenletnek van az egysgsugar krre es UJ = 1 illetve a kpzetes

tengelyre es M?{p}=0 tpus egyszeres sajtrtke, akkor az [&]=[]/?* illetve az u(t) = e(t)e'' gerjesztshez tartoz vlasznak lesz MpkAkp vagy M te*' tpus sszetevje. Ez az sszetev nem korltos, ennek kvetkeztben a rendszer csak kivtelesen lehet GV stabilis.

Imyh T J /N

M?A


Diszkrt idej rendszeregyenlet karakterisztikus egyenlete A diszkrt idej rendszer vizsgland rendszeregyenlete y [k]= y[k - i] jellssel

y + a}y(l)+...+ ayin) = b0u + b w(l)+... + bmu{m). (2.2-39) A rendszeregyenlet karakterisztikus egyenlete

F(A)=A"+alA"-'+....+ a^A + a=0. (2.2-40) Mint lttuk: a Dl rendszer biztosan GV stabilis, ha sajtrtkei kielgtik a \A,\ < 1, i = 1, 2 , . . . , n feltteleket. Igazolhat (Jry-kritrium), hogy ennek egy szksges felttele, hogy az egytthatk kielgtsk a kvetkez egyenltlensgeket:

1 + ] + a2 +... + an > 0, 1-j + a2 - . . . + (-l)"a >0, || l + a + a2>0, l - a , + a 2 > 0 , |a2 |2, akkor kpezznk az a egytthatkbl j [b ,cr,...) egytthatkat a kvetkez sma szerint (a Jury-eljrsnak ms vltozatai is ismertek):

(1) bp=a0ap-aa-p, p = 0,l,2,...,n-l; a0sl; (2)

Cp =bbp-b_x b^p, p = 0,l,2,...,n-2; (2.2-43)

("-2) g=f0f-f2f2_p, P = 0,l.


A karakterisztikus polinom nullahelyei akkor s csakis akkor esnek az egysgsugar kr belsejbe, ha a (41) felttelek mellett teljesl a kvetkez n-2 felttel is (sszesen teht n +1 felttelt kell kielgteni)

|o|>K|. N>|*-i| >> |go|>ki|- (2.2-44) Az lltsok hosszadalmas igazolst nem kzljk. Az Olvasra bzzuk annak beltst, hogy a (44) alapjn a GV stabilits elegend felttelei n = 3 esetn

n =3 => 1 + a, + a2 + a3 > 0, 1 - a, + a2 - a3 > 0, 1 > |a3|, 1 - a3 > \a2 - ata3\. (2.2-45) Ha brmelyik egyenltlensg nincs kielgtve, akkor a Dl rendszer tbbnyire nem

GV stabilis.

Plda Egy msodrend Dl rendszer ,=2 , a 2 =0 ,5 esetn nem elgti ki a stabilits elegend feltteleit. Bvtsk a rendszeregyenletet egy 3 J ' 3 ' taggal gy, hogy a rendszer biztosan GV stabilis legyen.

Az a3 egytthatra vonatkoz felttelek (45) rtelmben a 3 > - 3 , 5 , a 3 > - 0 , 5 , - l < a 3 < l , ( l - a 3 )> 0 ,5 -2 a3 .

Ebbl kvetkezik, hogy a - 0,58 < a3 < -0,5 felttelt kielgt brmely a} megfelel. Az a3 = 0 (msodrend rendszer) nem megfelel vlaszts. #

Folytonos idej rendszeregyenlet karakterisztikus egyenlete

A folytonos idej rendszer vizsgland rendszeregyenlete

y[n)+ o, j M ) + . . . + anA y(x)+ ay = b0u{n) + blU{"~l)+ ...+bnu. (2.2-46)

Itt y^'\t) az y(t) vlasz /-edik derivltja. A rendszeregyenlet karakterisztikus egyenlete

F(A)= A" +axXTl+... + a_, A + an = 0. (2.2-47) Mint lttuk: a FI rendszer biztosan GV stabilis, ha sajtrtkei kielgtik a 3?e {/!,} 0 , ; = 1,2,....,. (2.2-48)

Ezek a felttelek n = 1 s n = 2 esetn elegendek is:

= 2: a , > 0 , a 2 > 0 ; (2.2-49) ami azt jelenti, hogy az (a\. a2) pont a paramtersk els negyedbe esik (az Olvasra bzzuk a 4. brnak megfelel tartomny kijellst). Ha n = 3 s n = 4 , akkor hrom felttelt kell kielgteni:

= 3: a , > 0 , a2>0, a,a2-a3>0; (2.2-50)

n = 4: a , > 0 , a 2 > 0 , J a2 a 3 -a , 2 a 4 - f l 3 > 0 . (2.2-51)


ltalnos esetre a sokfle eljrs kzl Routh felttelrendszert adjuk meg. Kpezznk az ap egytthatkbl j (bq,cr,...) egytthatkat a kvetkez sma

szerint (a0 = 1 s pros Nesetn aN+i = 0 helyettestend):

a0 a2 a4 a6 a, a, a, a-,

bx b2 b3 b4

Ci C-> C-i C*

dl d2 d3 d4

A. _ a0a3

, >2 = 4 i a l

C\ fllft2

3 b, -

,c2 a5 ,

4 = b2-b^ , d2 = b3 c i Cl

gi - e Slfl

~

2 r

(2.2-52)

/ i A b ,cr,... szmok az elz kt sorbl a kvetkez oszlopban s az aktulis oszlopban ll szmokbl szrmaztathatk. A konstnikcib] kvetkezik, hogy minden j sorban eggyel kevesebb oszlop szerepel. A sorok szma N/2 vagy (N l)/2. Az F(A) akkor s csakis akkor Hurwitz-polinom, azaz minden zrusnak vals rsze negatv, ha

ap>0, p=\,2,...,N; bl>0,c1>0,...,gl>0. (2.2-53)

Ennek kvetkeztben: ha az (52) szerinti eljrsban az a , ,^ , . . . szmok valamelyike nulla, vagy negatv lenne, akkor F(X) nem Hurwitz-polinom, az eljrs befejezhet.

Vizsgljuk pldaknt az N = 4 esetet. Ha a1; a2, a3, a4 pozitv, akkor 1 a, a. a, a3 0

a a. a. => a, a, - a, > 0

a, 1 "2 "3

=> 3 ( a , a 2 - a 3 ) - a , 2 a 4>0. " 3 , a2-a3l a

Ha a msodik felttel ki van elgtve, akkor az els is teljesl, teht az el is hagyhat. Ezzel megkaptuk a mr megadott (51) felttelt.

Plda Egy harmadrend FI rendszer karakterisztikus polinomja F (A) = A3 + 2 K A2 + 3 K A + 4 K2 + 8.

Hatrozzuk meg a K paramter azon rtktartomnyt, amelyre a sajtrtkek a bal flskra esnek.

Elegend felttel a K > 0 s (50) rtelmben cna2>ai, vagyis (2K)(3K)>4K2 +8 = > : 2 > 4 ,

teht ^ > 2 esetn a rendszer biztosan GV stabilis. Ha K < 2, akkor a rendszer elmletileg lehet GV stabilis, de ez csak az impulzusvlasz ismeretben dnthet el. #


2.2-3.F. Feladatok

F-I. Legyen a rendszeregyenletben n = 0. GV stabilis-e ez a Dl vagy FI rendszer? Milyen tpus rendszert jellemez egy ilyen rendszeregyenlet?

F-2. Tudjuk, hogy az y{t) = C \u(r)dT explicit gerjeszts-vlasz kapcsolat FI rendszer oo

(integrtor) nem GV stabilis. Hogyan kvetkezik ez a rendszeregyenletre vonatkoz felttelekbl?

F-3. Egy stabilitsi tartalk biztostsa rdekben azt kvnjuk, hogy a Dl rendszert ler rendszeregyenlet sajtrtkei egy r sugar (r0, r2-r ax+a2 > 0 , r2|a2|> 0.

Ezek egy hromszg alak tartomnyt adnak az (a,, a2) paramterskon, amely a 4. bra hromszgn bell helyezkedik el.


M-4. Ellenrizznk egy j karakterisztikus polinomot: F{^ + a). Ennek a\ egytthati az ax, a2,... ,an egytthatktl s a a paramtertl fggnek. Ha n = 1, akkor a[ =ax+ a, teht a stabilits felttele a, > -er , ami A = -a , miatt nyilvnval. Ha n = 2, akkor a[=al+2a, a'2=a2+a a,+ -2 cr, a2 > - a a , - cr2. A hatrvonalak az (! , a2) skon egymst metsz egyenesek, az elegend felttelt kielgt pontok termszetesen az (a,, a2) paramtersk els negyedbe esnek.

M-5. A rendszeregyenletnek r e i S illetve -ajco egy komplex sajtrtk-prja. Lehetnek tovbbi sajtrtkei is. Ha az impulzusvlasz nem belp, akkor a rendszer nem kauzlis, rendszeregyenlete nem lehet az elzekben trgyalt alak.

2.3. Az llapotvltozs lers

Amint az elz fejezetben lttuk, a rendszeregyenlet a rendszer gerjeszts-vlasz kapcsolatnak egy tmr implicit formja. A rendszeregyenlet megoldsra nem adhat algoritmus, gy pldul krlmnyes szmtgpes programot kszteni a vlasz szabad s gerjesztett sszetevre bontsn alapul mdszerre. A Dl rendszeregyenlet numerikusan megoldhat a lpsrl lpsre mdszerrel.

Mint a 2.2. fejezet bevezetjben mr emltettk, clszer a rendszer lersra j vltozkat, az llapotvltozkat bevezetni. Ez a trgya ennek a fejezetnek, amelyben lineris, invarins, kauzlis rendszerekre szortkozunk.

A 2.5. fejezetben ltni fogjuk, hogy az llapotvltozs lers lnyegesen knnyebben ltalnosthat nemlineris vagy varins rendszerekre, mint a rendszeregyenlettel trtn lers. Nemlineris rendszerek nem rhatk le az impulzusvlasszal, amelynek alkalmazsa lineris, varins rendszerre sem egyszer. A 3. s 4. rszben trgyaland frekvenciatartomnybeli vagy komplex frekvenciatartomnybeli lers ltalnostsa nemlineris vagy varins rendszerekre gyakorlatilag nem is lehetsges.

A 2.3-1. szakaszban rtelmezzk az llapotvltozkat, megadjuk a rendszer llapotvltozs lersnak normlalakjt, megmutatjuk a rendszer llapotvltozs lersainak s rendszeregyenletnek kapcsolatait.

A 2.3-2. s a 2.3-3. szakaszban egy-egy mdszert adunk a diszkrt idej, illetve a folytonos idej rendszer llapotvltozs lersnak megoldsra.

A 2.3-4. szakaszban rtelmezzk a rendszer aszimptotikus stabilitst, tovbb kritriumokat adunk ennek eldntsre.

2.3-1. Alapfogalmak s alapegyenletek

2.3-1.1. Az llapotvltoz fogalma

j vltozk bevezetsvel megadhatjuk a rendszer gerjeszts-vlasz kapcsolatnak egy implicit alakjt, amelynek megoldsra tbb mdszer is ltezik.

Az elzek ltalnostsaknt most megengedjk, hogy a rendszernek tetszleges szm gerjesztse s vlasza legyen, mivel ez nem okoz fogalmi nehzsget s egyszersti a jellst. Egyes esetekben kln megadjuk az egy-gerjeszts, egy-vlasz rendszerre vonatkoz specilis alakot is.

Egy diszkrt idej illetve egy folytonos idej rendszer xi = x^k\ illetve xi = *,(*), i=l,2, . . . , N llapotvltozi olyan vltozk, amelyek a kvetkez kt tulajdonsggal rendelkeznek. Ismerve a rendszer viselkedst ler egyenleteket s a gerjesztseket, meg tudjuk hatrozni az xs[ka], x2[ka],..., xN[ka] illetve az x^tj, x2(ta),..., xN(ta) rtkek ismeretben (1) valamennyi x, llapotvltozk rtkt brmely h>ka illetve tb>ta idpontra; (2) valamennyi V; vlasz rtkt a ka illetve ta idpontban.


Az xi[ka], x2[ka],..., xn[ka] illetve az xi{ta), x2(Q,...,xdt^ rtkek sszessgt a rendszernek a k=ka illetve a t=ta idpontbeli llapotnak nevezik.

Az N szm a rendszer llapotvltozs lersnak rendszma. Ez rendszerint megegyezik a rendszer rendszeregyenletnek n rendszmval (lsd a 2.3-1.4. pontot). Elnys, ha a rendszm minl kisebb.

Egy fizikai objektum llapotvltoziknt tbbnyire olyan fizikai vltozk vlaszthatk, amelyek egy trolt mennyisget vagy annak vltozsi sebessgt jelentik. Ilyenek pldul a tmeg vagy a tmegram, az elektromos tlts vagy ram, raktrozott r mennyisge vagy napi vltozs, s gy tovbb. Az llapotvltoz ngyzete gyakran a trolt energival kapcsolatos. Ilyenek pldul egy test sebessge vagy mozgsmennyisge, egy rug ereje vagy megnylsa, egy kondenztor tltse vagy feszltsge. A 2.4. fejezetben ltni fogjuk, hogy egy jelfolyam hlzatval reprezentlt rendszer llapotvltozinak vlaszthatk a Dl ksleltetk illetve a FI integrtorok kimeneti vltozi. Nha ms vlasztsok clszerek (pldul az emltett vltozk alkalmas linerkombincija), mint ezt a megoldsi mdszerek sorn ltni fogjuk.

Az itt kvetett ltalnos trgyals sorn az llapotvltozkat segdvltozknak tekintjk s nem foglalkozunk jelentskkel.

2.3-1.2. Diszkrt idej rendszer llapotvltozs lersa Egy diszkrt idej, kauzlis rendszer llapotvltozs lersa kifejezi az llapotvltozk k +1 tembeli s a vlaszokat a k tembeli rtkt az llapotvltozk s a gerjesztsek k tembeli rkvel. Lineris rendszer esetn ezek a kifejezsek linerisak. A rendszert ler egyenletek ennek megfelelen

(2.3-1)

(2.3-2)

ahol TV az llapotvltozk, Nu a gerjesztsek, N a vlaszok szma. Ha ismerjk az llapotvltozs lerst (vagyis az Apq, Bpq, Cpq, Dpq egytthatkat),

az llapotvltozkat s a gerjesztseket a ka idpontban, akkor behelyettestssel meg tudjuk hatrozni a vlaszokat a ka idpontban, tovbb az llapotvltozkat a ka+l idpontban, majd a ka+2 s gy tovbb idpontokban - amint azt az llapotvltozk defincija megkveteli.

Ha a rendszer nem invarins, akkor az (1) s (2) alakok tovbbra is rvnyesek, de Dpq egytthatk a k diszkrt id ismert fggvnyei.

Tmrebb alak ellltsa rdekben vezessnk be vektorokat s mtrixokat: *zA>B,C,

x[k]-

x\k] x2[k]

xN[k\

An An AlN A2I A-a. A2N

AN\ AN2 A

rtelem szerinti a tbbi vektor s mtrix rtelmezse is. Az x, u s y llapot- gerjeszts- s vlasz-vektor dimenzija rendre N, Nu s Ny. Az A, B, C s D mtrixok dimenzija ennek megfelelen rendre NxN,NxNu,N x N s TV x Nu .

2.3. Az llapotvltozs lers 93

Alkalmazzuk tovbb az x'[&] = x[k +1] eddig is hasznlt jellst, akkor a kvetkez tmr alakhoz jutunk.

Egy diszkrt idej, lineris, invarins, kauzlis rendszer llapotvltozs lersa x' = Ax + Bu,

(2-3-3) y = Cx + Du. v '

Az els sor az llapotegyenlet, a msodik sor a vlaszvektor llapotvltozs alakja. Az x az llapotvektor, a kvadratikus A mtrix neve rendszermtrix. Pontosabban szlva (3) az llapotvltozs lers normlalakja. A tovbbiakban

csak a normlalakot nevezzk llapotvltozs lersnak. Ha a rendszernek csak egyetlen gerjesztse s egyetlen vlasza van, akkor a B

mtrixnak csak egyetlen oszlopa van, vagyis egy B vektor; a C mtrixnak csak egyetlen sora van vagyis egy CT sorvektor (egy C oszlopvektor transzponltja), a D mtrixnak csak egy sora s egy oszlopa van, vagyis egy D skalr. Az egy-gerjeszts, egy-vlasz rendszer llapotvltozs lersa ezek szerint

x' =Ax + B , T (2-3-4)

y = CTx + Du. Rendszerint a k e N temekre akarjuk a vlaszokat meghatrozni. Ehhez

ismernnk kell az x[0] kezdeti llapotot, azaz az x,[o], JC2[O], . . . , xw[o] kezdeti rtkeket. Ha minden gerjeszts a k = 0 helyen belp, akkor u[-1] = 0. A kauzalits kvetkeztben x[-1] = 0. Ezeket s a k = - 1 temet a (3)-ba helyettestve kapjuk, hogy

u[k]=0, e Z . => x[0] = 0. (2.3-5)

Ha k = 0 eltt a gerjeszts lland, azaz ha u[k]=u,keZ_ s a rendszer aszimptotikusan stabilis (2.3-4. szakasz), akkor ott az llapotvektor is lland, teht x[k +1] = x[k] = x" , k Z . . Az llapotegyenletbe helyettestve x = A x" + B u . Ebbl x[o] = x" kifejezhet (albb / a z A^-dimenzis egysgmtrix)

u[k]=u~,keZ. => x[0]=[l-A]ABu-. (2.3-6)

Ha a gerjeszts (a gerjesztsek egyike) szakaszonknt adott, mint pldul

[*] = (*[*M*-*.M*M*-*i]/2[*]. (2'3'7) akkor az eljrs a kvetkez. Elszr megoldjuk az llapotegyenletet a 0 < k < k{ intervallumban, ahol a gerjeszts fi[k], a kezdeti rtk x[0] = 0. Ez az x[k] a , helyen is rvnyes, hiszen az x[, - l ] s u[A:, - l ] ltal meghatrozott. Ez lesz az x[,] a kezdeti rtk a ks < k < co intervallumban. Hasonlan jrunk el tbb intervallum esetn.

A diszkrt idej rendszeregyenlet numerikusan megoldhat lpsrl lpsre. Ehhez helyettestsk k = 0, 1 ,2 , . . . rtkt a (3) egyenletekbe

y[k] = C x[k] + D u[k], x[k +1] = A x[k] + B v[k].

A kvetkez sszefggsek addnak:


* = 0 : k=\ k = 2

y[0] = Cx[0]+Z)u[0], y[l] = Cx[l]+flu[l] , y[2] = Cx[2]+Du[2],

x[l]=^x[0]+fiu[0], x[2]=Ax[]+Bu[l], x[3]=Ax[2]+Bu[2], (2.3-8)

Minden lpsnl csak ismert vagy elzetesen mr meghatrozott rtkek szerepelnek. Minden k rtknl Ny + N helyettestsi rtket kell szmtanunk. Ha Ny=\, akkor ez N+ 1 szm helyettestsi rtket jelent. Emlkeztetl: ha a vlaszt konvolucival szmtjuk, akkor a fc-adik temben k+ 1 helyettestsi rtket, a rendszeregyenlet megoldsakor minden temben n + m helyettestsi rtket kell szmtanunk.

Az eljrs nagyon egyszer, jl programozhat. Az eredmny alapjn azonban gyakran nehz kpet kapni a rendszer viselkedsnek ltalnos jellegzetessgeirl.

Az eljrs varins rendszer esetn is alkalmazhat, amikor a mtrixok elemei a diszkrt id ismert fggvnyei.

Plda Legyen egy Dl rendszer llapotvltozs lersa

0 -0,24 1 1

-0,24 1,50

u, y=[0 l] + u.

A gerjeszts belp, majd exponencilisan cskken: u[k]=s[k](0,5f.

A (8) sma s #, [o] = x2 [o] = 0 felhasznlsval kapjuk, hogy

y\ [o]=[o i] + 1 = 1,00, 0 -0,24 [1]" [iU~Li i

-0,24 1,50

-0,24 1,50

*[ c 4 ] [JH: rr^H*-[-r] tf2]=[0 1] -0,48

2,01 + 0,25 = 2,26, ...

Ksbb be fogjuk ltni, hogy a vlasz nullhoz tart. A lpsrl lpsre mdszer alkalmazsval ennek beltshoz mg sok lpsre van szksg. #

2.3-1.3. Folytonos idej rendszerek llapotvltozs lersa

A folytonos idej, kauzlis, differencilis rendszer llapotvltozs lersa kifejezi az llapotvltozk els derivltjt (sebessgt") s a vlaszokat brmely t idpontban az llapot-vltozknak s a gerjesztseknek ugyanezen / idpontbeli rtkeivel. Lineris rendszer esetn ezek a kifejezsek linerisak, invarins esetben az egytthatk az idtl fggetlenek. A rendszert ler egyenletek ennek megfelelen

(2.3-9)

(2.3-10)


ahol N az llapotvltozk, Nu a gerjesztsek, Ny a vlaszok szma. Nem differencilis rendszerek llapotvltozs lersa msfle tagokat is tartalmazhat mint pldul xq(t-T). Ilyen rendszereket ebben a rszben nem trgyalunk. A nem differencilis rendszereket a frekvencia- vagy a komplex frekvenciatartomnyban clszer lerni.

Ha ismerjk az llapotvltozs lerst (vagyis az Apq, Bpq, Cpq, Dpq egytthatkat), az llapotvltozkat s a gerjesztseket a ta idpontban, akkor meg tudjuk hatrozni az llapotvltozk x'p(ta) derivltjt a ta idpontban. Ennek ismeretben kzeltleg kifej e z h e t x ^ + t)~xp{ta)+x'p{ta)dt,spedig annl kisebb hibval, minl kisebb t rtket vlasztunk. Ez lehetv teszi minden xp(th) szmtst brmely j idpontban. Valamennyi xp(ta) ismeretben szmthatk a vlaszok is a ta idpontban. A megadott lers ezek szerint eleget tesz az llapotvltozkkal szemben tmasztott kt kvetelmnynek.

Ha a rendszer varins, akkor (9) s (10) rvnyes marad, de ekkor az egytthatk a t id ismert fggvnyei.

Az elz pontban ltotthoz hasonl mdon tmrebb alakhoz jutunk vektorok s mtrixok bevezetsvel.

Egy folytonos idej, lineris, invarins, differencilis, kauzlis rendszer llapotvltozs lersa

x' = Ax + Bu, (2.3-11) y=Cx + Du.

Az els sor az llapotegyenlet, a msodik sor a vlaszvektor llapotvltozs alakja. Az x az llapotvektor, a kvadratikus A neve rendszermtrix. Pontosabban szlva: a (11) az llapotvltozs lers normlalakja. A tovbbiakban

csak a normlalakot nevezzk llapotvltozs lersnak. Az egy-gerjeszts, egy-vlasz rendszer llapotvltozs lersa (4) mintjra

x' = Ax + Bu, (2.3-12)

y = CTx + Du.

Az esetek tbbsgben a vlaszt a t pozitv rtkeire akarjuk meghatrozni. Ehhez ismernnk kell az x(+0) kezdeti llapotot, amelyhez viszont elszr meg kell hatroznunk az x(-0) kiindulsi llapotot (2.3-2. 4. pont). Ha minden gerjeszts belp, akkor minden x, (- 0), x2 (- 0 ) , . . . , xN (- 0) rtk nulla:

u() = 0 , ? e R . => x(-0) = 0. (2.3-13)

Ha a t = 0 idpont eltt a gerjeszts lland, azaz ha u(t) = u , t e R. s a rendszer aszimptotikusan stabilis (2.3-4. szakasz), akkor x(t)= x~,x'() = 0, eR. s az llapotegyenletbl kvetkezik, hogy

u() = 0, e R . => x ( - 0 ) = - ^ u " . (2.3-14)

Ha a gerjeszts szakaszonknt adott, mint pldul (0=[*(0-^-O]/;(')+*('-'.)/2('). e-3-15)


akkor az eljrs a kvetkez. Elszr megoldjuk az llapotegyenletet a 0 < t = TAT-1 ,B = TB,C = CT ,D=D. (2.3-16) Ebbl kvetkezik, hogy egy rendszer llapotvltozi sokflekppen

megvlaszthatok. Az objektum alapjn rtelmezett xt llapotvltozknak rendszerint van fizikai jelentsk, az x, j llapotvltozknak rendszerint nincs.

A T transzfromcis mtrix alkalmas megvlasztsval az allapotvaltozs lers a megolds vagy a realizls szempontjbl elnys alakra hozhat. Egy fontos esetet a 2.3-3.7. pontban trgyalunk.


*2.3-1.5. Az llapotvltozs lers s a rendszeregyenlet kapcsolatai

Eddig kt implicit alakot trgyaltunk az egy-gerjeszts, egy-vlasz rendszer implicit gerjeszts-vlasz kapcsolatra. Az egyik a rendszeregyenlet:

Dl: y[*] + Ia iy )[*] = 2>i(i)[*], i=l 1=0

FI: ^(o+z^y' ,(o=:^(,)w. (2.3-17)

(2.3-18)

Itt a Dl esetben N = max (,) , a FI esetben N = n. A msik implicit alak az llapotvltozs lers:

Dl: x'[fc]=/lx[]+BM |>], y[k] = CTx[k]+Du[k]; FI: x'(t

Documents

Jelek_konyv_2