Embed Size (px)
Citation preview
Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 63-67, DOI 10.15625/vap.2019000257
Khảo sát mối quan hệ ba chiều: Vận tốc, tải trọng xe di động và hệ số động lực trong cầu dầm Super T có bản mặt cầu
liên tục nhiệt bằng phương pháp số
Nguyễn Xuân Toản1, Nguyễn Duy Thảo2, và Trần Văn Đức3 1,2 Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng, 3 Trường Đại học Duy Tân
E-mail:1) [email protected], 2) [email protected]
Tóm tắt Bài báo giới thiệu một số kết quả phân tích, khảo sát mối quan hệ ba chiều giữa vận tốc, tải trọng xe di động và hệ số động lực trong cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt bằng phương pháp số. Kết cấu cầu được mô hình hóa bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Hoạt tải xe di động trên cầu có 3 trục, mỗi trục xe được mô phỏng thành 2 khối lượng, mỗi khối lượng được liên kết với một lò xo và một giảm chấn. Kết quả nghiên cứu cho thấy các xe tải có tải trọng lớn di chuyển trên cầu với tốc độ cao có ảnh hưởng lớn đến dao động của cầu, từ đó đưa ra các khuyến cáo về vận tốc lớn nhất cho các xe có tải trọng khác nhau lưu thông qua cầu nhằm hạn chế rung động trong kết cấu cầu. Từ khóa: Cầu dầm Super T, bản mặt cầu liên tục nhiệt, hệ số động lực (IM), tải trọng xe di động, tương tác cầu và xe.
1. Mở đầu Tải trọng xe di chuyển trên mặt cầu gây ra hiệu ứng
động trong kết cấu cầu. Để tính toán hiệu ứng này, trong các quy trình thiết kế [1], [2] đưa ra hệ số động lực IM được định nghĩa như sau:
(1 ) dyn
sta
RIM
R (1)
trong đó: Rsta, Rdyn- lần lượt là hiệu ứng tĩnh và hiệu ứng động trong kết cấu do tải trọng xe gây ra.
Hệ số động lực IM có vai trò quan trọng trong công tác thiết kế cầu cũng như phản ánh trạng thái làm việc thực tế của công trình cầu. Xác định chính xác giá trị hệ số động lực IM sẽ đảm bảo công trình cầu an toàn cũng như mang lại hiệu quả kinh tế trong công tác đầu tư xây dựng đối với các cây cầu mới; giá trị IM thực tế cũng cung cấp các thông tin quan trọng về tình trạng khai thác và quản lý đối với các cây cầu cũ đang khai thác sử dụng. Việc phân tích hệ số động lực IM trong công trình cầu khá phức tạp, phụ thuộc vào nhiều tham số trong bài toán phân tích dao động tương tác giữa cầu và xe: các đặc trưng về động lực của cả kết cấu cầu và tải trọng xe di động trên cầu, vận tốc xe, khối lượng xe, tình trạng khai thác của mặt đường xe chạy,...
R. Willis [3] là người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu dao động công trình cầu do hoạt tải di động gây ra. Đến nay, có nhiều công trình nghiên cứu của các tác giả trên thế giới và trong nước đã được công bố với mô hình tương tác động lực giữa công trình cầu và tải trọng xe di
động ngày càng gần với thực tế hơn. Các kết quả nghiên cứu của Yang [4] và Zhai [5] cho thấy hệ số động lực của cầu do hoạt tải gây ra là khá lớn. Trong các nghiên cứu của tác giả và các cộng sự đã công bố trước đây [6, 7],và [8] hệ số động lực của kết cấu cầu được tìm thấy khi có xét đến lực hãm xe, độ gồ ghề ngẫu nhiên của mặt cầu có sự gia tăng đáng kể so với giá trị hệ số động lực quy định trong các tiêu chuẩn thiết kế [1, 2].
Các nghiên cứu trên thường khảo sát hệ số động lực kết cấu cầu với các yếu tố ảnh hưởng theo mối quan hệ hai chiều. Trong bài báo này, các tác giả tiến hành phân tích và khảo sát mối quan hệ ba chiều nhằm xây dựng mặt ảnh hưởng giữa ba thông số: vận tốc, khối lượng xe chạy và hệ số động lực trong kết cấu cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt. Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để mô hình hóa kết cấu cầu, hoạt tải xe di động trên cầu có 3 trục. Phương trình dao động tương tác giữa cầu và xe được thiết lập theo nguyên lý cân bằng động. Nghiệm của phương trình dao động tương tác giữa cầu và xe được giải thông qua phương pháp Runge-Kutta. Các kết quả nghiên cứu được thực hiện trên mô hình phân tích số cầu Nguyễn Tri Phương - TP Đà Nẵng gồm 3 nhịp (1 liên) dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt.
2. Phương trình tương tác động lực học Cầu-Xe
2.1. Mô hình tính toán Kết cấu ba nhịp dầm Super T có bản mặt cầu liên
tục nhiệt tại cầu Nguyễn Tri Phương -TP. Đà Nẵng được mô hình hóa như Hình 1. Phần bản mặt cầu được cấu tạo liên tục nhiệt với chiều dài 2.4 (m) tại các gối cầu như Hình 1.
37.6m2.4m 2.4m
37.6m 37.6m
Hình 1. Sơ đồ dầm Super T cầu Nguyễn Tri Phương
Mô hình tương tác giữa phần tử dầm và xe di động được mô tả như Hình 2. Với chuyển vị theo phương đứng tại vị trí trục xe thứ i là wi. Hoạt tải xe di động được mô phỏng thành các trục xe, mỗi trục xe được mô hình hóa thành hai khối lượng, mỗi khối lượng được liên kết với một lò xo và một liên kết giảm chấn cản. Khối lượng thân
Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Thảo và Trần Văn Đức
xe và hàng hóa phân bố lên trục xe thứ i được mô hình hóa thông qua khối lượng m1i, khối lượng của trục xe thứ i được mô hình hóa thông qua khối lượng m2i; k1i và d1i lần lượt là độ cứng và độ giảm chấn cản của nhíp xe ở trục xe thứ i; k2i và d2i lần lượt là độ cứng và độ giảm chấn cản lốp xe ở trục xe thứ i.
d32 k33
z32
d31 k31
d22 k22
21 21
z22m21
d21 k 21
z21
d k 11 11d k
1131 zz z
w
O
L
x3
x
(z)
w3
x2 x1
w2 w1
m11
m22
m21
m32
m31 21
Hình 2. Mô hình tương tác giữa phần tử dầm và xe di động
trong đó: z1i, z2i- lần lượt là tọa độ tuyệt đối của khối lượng m1i và m2i theo phương thẳng đứng so với gốc tọa độ tại trọng tâm của khối lượng m1i và m2i khi hệ chưa dao động; Gisinψi- là lực kích thích điều hòa tại vị trí trục xe thứ i. 2.2. Phương trình tương tác động lực của phần tử dầm và xe di động
Theo Nguyễn Xuân Toản và các cộng sự [7] và [8], dao động tương tác giữa phần tử dầm chịu uốn và tải trọng xe di động thể hiện như sau:
.....).().(.
.sin......
....sin.).(),,(
),,(.
2
.
2211
.
11221
.
22.1
..
22
121
.
2111
.
1.1
..
11
12
..
21..
121
2
2
4
5
4
4
iiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiii
N
iiiiiiiiiii
dd
kwdgmzkzdzkkzddzm
gmGzkzdzkzdzm
axzmzmgmmGttzxp
tzxptw
twF
txw
xwEJ
(2) trong đó: EJd: độ cứng chống uốn của phần tử dầm; ρFd: trọng lượng của phần tử dầm trên 1 đơn vị chiều dài; θ và β: hệ số ma sát trong và hệ số ma sát ngoài của phần tử dầm. Sau khi biến đổi ta đưa về ma trận:
eee fqKqCqM
...
... (3)
trong đó Me, Ce, Ke lần lượt là ma trận khối lượng, ma
trận cản, ma trận độ cứng hỗn hợp; { },{ },{ },{ }q q q f
lần lượt là véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị, lực của toàn hệ (phần tử dầm và xe) và có thể xác định theo [8]. 2.3. Phương trình tương tác động lực cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt và hoạt tải xe di động
Toàn bộ kết cấu cầu dầm Super T được rời rạc hóa thành các phần tử dầm chịu tải trọng di động. Áp dụng thuật toán của phương pháp phần tử hữu hạn để thiết lập phương trình dao động cho toàn hệ thống cầu có dạng như sau:
FUKUCUM
..... (4)
trong đó: [M], [C], [K]- lần lượt là ma trận khối lượng,
ma trận cản, ma trận độ cứng của toàn hệ thống theo mô hình tương tác động lực học giữa cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt và tải trọng di động.
FUUU ,,,
... - lần lượt là véctơ gia tốc, vận tốc,
chuyển vị, lực tương đương mở rộng cho toàn hệ thống theo mô hình tương tác động lực học giữa cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt và tải trọng di động. Áp dụng phương pháp Runge-Kutta để giải phương trình (4), ta sẽ thu được các các đại lượng chuyển vị, nội lực của kết cấu theo miền thời gian.
3. Áp dụng phân tích trên mô hình số cầu Nguyễn Tri Phương, TP. Đà Nẵng
3.1. Các thông số ban đầu của kết cấu cầu và hoạt tải Sơ đồ rời rạc hóa kết cấu cầu được thể hiện như Hình
3; phần bản mặt cầu liên tục nhiệt có chiều dài là 2.4 (m) (giữa nút 5 và 6, nút 11 và 12). Các thông số ban đầu của kết cấu nhịp được lấy như sau: Môđun đàn hồi của vật liệu bê tông E= 3645485 (T/m2), Mômen quán tính của dầm Super T đối với trục đi qua trọng tâm tiết diện chịu uốn theo phương đứng Jd= 0.537 (m4), diện tích mặt cắt ngang của dầm Fd= 1.21 (m2), trọng lượng đơn vị của dầm Fd=2.904 (T/m), bản liên tục nhiệt có bề dày 20 (cm) và bề rộng 2.44 (m); hệ số ma sát trong và ma sát ngoài của kết cấu lấy theo kết quả nghiên cứu E.S. Sorokin và N.A. Popov lần lượt là =0.027, =0.01.
37.6m2.4m 2.4m
37.6m 37.6m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15
Hình 3. Mô hình rời rạc hóa kết cấu
Hoạt tải xe di động trên cầu là loại xe Foton có ba trục như Hình 4. Mỗi một trục xe chạy trên cầu được mô hình hoá như hệ hai bậc tự do gồm hai khối lượng di động và liên kết với phần tử dầm bằng lò xo đàn hồi và cản nhớt tuyến tính (độ cứng và độ cản của lốp xe), giữa hai khối lượng cũng được liên kết với nhau bằng lò xo đàn hồi và cản nhớt tuyến tính (độ cứng, độ cản của nhíp xe).
1.35m 3.90m
x
b1=2.68m
O
b3=2.57m
b2=1.22m
0.51
m
w
Hình 4. Mô hình Xe tải ba trục Foton
Các tham số cơ bản của hoạt tải xe Foton được lấy như sau: khối lượng của thân xe (không bao gồm các trục xe) m = 23.0 (T); khối lượng trục xe thứ 1 m1=0.25 (T); khối lượng trục xe thứ 2 m2=0.87 (T); khối lượng trục xe thứ 3
Khảo sát mối quan hệ ba chiều: Vận tốc, tải trọng xe di động và hệ số động lực trong cầu dầm Super T có bản
mặt cầu liên tục nhiệt bằng phương pháp số
m3=0.87 (T); khoảng cách từ trục 1 đến trọng tâm của xe b1=2.68 (m), khoảng cách từ trục 2 đến trọng tâm của xe b2=1.220 (m), khoảng cách từ trục 3 đến trọng tâm của xe b3=2.57 (m); các thông số độ cứng, độ cản của nhíp xe và bánh xe tại các trục xe 1,2,3 được lấy như sau: k11=120 (T/m), k12=240 (T/m), k21=k31=260 (T/m), k22=k32=380 (T/m), d11=0.734 (T.s/m), d12=0.367 (T.s/m), d21=d31=0.4 (T.s/m), d22=d32=0.8 (T.s/m). 3.2. Kết quả phân tích dao động cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt (Cầu Nguyễn Tri Phương – TPĐN)
Áp dụng thuật toán phân tích dao động tương tác giữa cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt dưới tác dụng của hoạt tải xe di động đã trình bày ở mục 2, ta được kết quả phân tích dao động trong dầm cầu Super T như sau:
Hình 5. Kết quả phân tích chuyển vị động và chuyển vị tĩnh
tại ½ nhịp 1 do xe tải ba trục Foton gây ra, V= 10 (m/s)
Hình 6. Kết quả phân tích chuyển vị động và chuyển vị tĩnh
tại ½ nhịp 1 do xe tải ba trục Foton gây ra, V=20 (m/s)
Hình 7. Kết quả phân tích chuyển vị động và chuyển vị tĩnh
tại ½ nhịp 2 do xe tải ba trục Foton gây ra, V=10 (m/s)
Hình 8. Kết quả phân tích chuyển vị động và chuyển vị tĩnh
tại ½ nhịp 2 do xe tải ba trục Foton gây ra, V=20 (m/s)
Từ kết quả phân tích chuyển vị động và chuyển vị tĩnh từ Hình 5 ÷ Hình 8 có thể nhận thấy khi thay đổi vận tốc xe chạy thì chuyển vị động trong kết cấu dầm Super T cũng thay đổi. Chuyển vị tĩnh và chuyển vị động của nhịp 1 nhanh chóng suy giảm khi hoạt tải di động di chuyển sang nhịp 2 và nhịp 3; nguyên nhân do độ cứng của bản liên tục nhiệt nhỏ hơn nhiều so với độ cứng của dầm.
3.3. Khảo sát ảnh hưởng của vận tốc xe chạy đến hệ số động lực (1+IM)
Thay đổi vận tốc xe chạy trong phạm vi V= 1÷45 (m/s). Ứng với mỗi giá trị vận tốc xe chạy, sử dụng thuật toán phân tích dao động giữa xe và cầu đã được giới thiệu ở mục 2 để xác định các chuyển vị động và chuyển vị tĩnh trong kết cấu; áp dụng công thức (1) ta xác định được hệ số động lực theo chuyển vị trong kết cấu cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt dưới tác dụng của xe ba trục Foton. Kết quả phân tích hệ số động lực được thể hiện ở Bảng 1 và Hình 9
Bảng 1: Kết quả phân tích hệ số động lực trong dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt khi thay đổi vận tốc xe
Vận tốc(m/s)
Vị trí nút khảo sát 2 3 4 7 8 9 Hệ số động lực của chuyển vị đứng
1 1.005 1.003 1.002 1.000 1.000 1.000 5 1.075 1.082 1.089 1.033 1.016 1.035
10 1.148 1.168 1.189 1.010 1.114 1.120 15 1.160 1.168 1.179 1.169 1.134 1.115 20 1.438 1.444 1.468 1.302 1.283 1.273 25 1.611 1.627 1.663 1.476 1.478 1.485 30 1.627 1.648 1.708 1.361 1.429 1.540 35 1.499 1.526 1.632 1.708 1.734 1.791 40 1.263 1.313 1.497 1.380 1.429 1.584 45 1.202 1.219 1.394 1.518 1.538 1.581 TB 1.303 1.320 1.382 1.296 1.316 1.352
Chuyển vị động
Chuyển vị tĩnh
Chuyển vị động
Chuyển vị tĩnh
Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Thảo và Trần Văn Đức
Hình 9. Quan hệ giữa hệ số động lực của dầm Suprer T
và vận tốc xe Kết quả nhiên cứu ở Hình 9 cho thấy: trong miền vận tốc xe chạy V<=15 (m/s) (54 km/h), các giá trị hệ số động lực theo chuyển vị đều không lớn hơn 1.179. Khi tăng vận tốc xe chạy giá trị hệ số động lực có xu hướng tăng theo; hệ số động lực trong dầm SuperT tại các nút 2, 3 và 4 của nhịp 1 đạt giá trị cực đại tại vận tốc xe chạy V = 30 (m/s) (108 km/h); hệ số động lực trong dầm SuperT tại các nút 7,8 và 9 của nhịp 2 đạt giá trị cực đại tại vận tốc xe chạy V=35 (m/s) (126 km/h). Khi vận tốc xe chạy lớn hơn 35 (m/s), hệ số động lực có xu hướng giảm xuống đáng kể như Hình 9.
3.4. Khảo sát ảnh hưởng tải trọng xe đến hệ số động lực (1+IM)
Bảng 2: Kết quả phân tích hệ số động lực trong dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt khi thay đổi tải trọng xe
Tải trọng
xe (Tấn)
Các nút khảo sát
2 3 4 7 8 9 Hệ số động lực của chuyển vị đứng
10 1.162 1.070 1.065 1.107 1.040 1.012
15 1.116 1.082 1.097 1.126 1.059 1.024
20 1.185 1.170 1.178 1.130 1.085 1.059
25 1.160 1.168 1.179 1.169 1.134 1.115
30 1.278 1.268 1.282 1.183 1.140 1.122
35 1.436 1.422 1.433 1.274 1.260 1.250
40 1.571 1.556 1.565 1.190 1.177 1.194
45 1.691 1.676 1.684 1.481 1.441 1.422
50 1.799 1.787 1.795 1.551 1.539 1.532
55 1.899 1.890 1.899 1.529 1.541 1.553
60 1.993 1.988 1.999 1.467 1.493 1.527
TB 1.481 1.462 1.471 1.292 1.264 1.255
Để xét đến ảnh hưởng của tải trọng xe đến khả năng gây ra dao động cho kết cấu cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt; tiến hành thay đổi khối lượng của thùng xe và hàng hóa trên xe trong phạm vi từ 10 đến 60 (Tấn), vận tốc xe chạy được xét ở tốc độ V=15 (m/s).
Ứng với mỗi giá trị của tải trọng xe, sử dụng thuật toán phân tích dao động giữa xe và cầu đã được giới thiệu mục 2 để xác định các chuyển vị động và chuyển vị tĩnh trong kết cấu, áp dụng công thức (1) ta xác định được hệ số động lực theo chuyển vị trong kết cấu cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt dưới tác dụng của xe ba trục Foton. Kết quả phân tích hệ số động lực theo chuyển vị được thể hiện ở Bảng 2 và Hình 10.
Hình 10. Quan hệ giữa hệ số động lực của dầm Suprer T
và tải trọng xe
Từ các kết quả phân tích ở Hình 10 cho thấy, tương ứng với vận tốc V=15 (m/s) khi tải trọng xe tăng lên, hệ số động lực trong kết cấu dầm Super T cũng có xu hướng tăng lên.
3.5. Khảo sát mối quan hệ ba chiều: vận tốc, tải trọng xe và hệ số động lực (1+IM)
Các khảo sát ở mục 3.3 và 3.4 thể hiện mối liên hệ hai chiều giữa hệ số động lực của dầm Super T và vận tốc xe hoặc khối lượng xe (tải trọng xe) di chuyển trên cầu. Thực tế, hệ số động lực phụ thuộc đồng thời vào cả vận tốc xe và khối lượng. Để minh họa cho vấn đề này, tiến hành thay đổi vận tốc xe chạy trong phạm vi V=1÷45 (m/s) và đồng thời xét khối lượng xe (tải trọng xe) thay đổi trong phạm vi từ 10 đến 60 (Tấn). Kết quả khảo sát thể hiện mối liên hệ ba chiều giữa vận tốc, tải trọng xe và hệ số động lực thể hiện như Hình 11÷Hình 13.
Hình 11. Quan hệ ba chiều giữa vận tốc, khối lượng xe và hệ số
động lực tại nút số 3 (giữa nhịp 1)
Khảo sát mối quan hệ ba chiều: Vận tốc, tải trọng xe di động và hệ số động lực trong cầu dầm Super T có bản
mặt cầu liên tục nhiệt bằng phương pháp số
Hình 12. Quan hệ ba chiều giữa vận tốc, khối lượng xe và hệ số
động lực tại nút số 4 (vị trí ¾ nhịp 1)
Hình 13. Quan hệ ba chiều giữa vận tốc, khối lượng xe
và hệ số động lực tại nút số 8 (vị trí ¼ nhịp 2)
Từ các kết quả phân tích ở Hình 11 ÷ Hình 13, trong trường hợp đã biết chính xác tải trọng xe chạy trên cầu. Ta có thể đưa ra các khuyến cáo về tốc độ tối đa xe chạy trên cầu nhằm hạn chế hiệu ứng dao động của kết cấu cầu (hệ số động lực <= 1.33 theo [1] và [2]). Vận tốc tối đa khuyến cáo tương ứng với các tải trọng xe chạy qua cầu được thể hiện như Bảng 3.
Bảng 3: Bảng vận tốc xe tối đa khuyến cáo khi di chuyển trên cầu tương ứng với các tải trọng xe khác nhau
Tải trọng xe Vận tốc xe tối đa khuyến cáo qua cầu
(T) (m/s) (Km/h) <=20 21.41 77.06 20-25 17.93 64.57 25-30 15.97 57.49 30-35 11.26 40.54
4. Kết luận
Bài báo trình bày một số kết quả phân tích, khảo sát mối quan hệ ba chiều giữa vận tốc, tải trọng xe di động và hệ số động lực trong cầu dầm Super T có bản mặt cầu liên tục nhiệt bằng phương pháp số. Các kết quả nghiên cứu được thực hiện trên mô hình phân tích số cầu Nguyễn Tri Phương – TP. Đà Nẵng. Các kết quả nghiên cứu cho
thấy các xe tải có tải trọng lớn di chuyển trên cầu với tốc độ cao có ảnh hưởng rất lớn đến dao động của cầu. Các kết quả nghiên cũng đưa ra các khuyến cáo về vận tốc lớn nhất cho các xe có tải trọng khác nhau lưu thông qua cầu giúp cho các cơ quan quản lý và khai thác cầu xây dựng chế độ khai thác hợp lý nhằm đảm bảo an toàn và tuổi thọ cho công trình cầu
Tài liệu tham khảo
[1] AASHTO LRFD, Bridge Design Specifications, 6th edition, American Association of State Highway and Transportation Officials, Washington, DC 2012.
[2] TCVN 11823:2017, Tiêu chuẩn Thiết kế cầu đường bộ, Bộ Khoa học và Công nghệ Việt Nam, 2017.
[3] Willis, R. The effect produced by causing weights to travel over elastic bars. Report of the commissioners appointed to inquire into the application of iron to railway structures, Appendix B, Stationery office, London, England 1849.
[4] Yang Yeong-Bin, Yau Jong-Dar. Vehicle-bridge interaction element for dynamic analysis. Journal of Structural Engineering, Vol. 123 Issue 11, p1512, 7p 1997.
[5] Zhai W.M., Cai C.B. Train/Track/Bridge Dynamic Interactions: Simulation and Applications. Vehicle System Dynamics, Supplement, Vol. 37, p653, 2002.
[6] Toan X.N, Duc V.T. A finite element model of vehicle - cable stayed bridge interaction considering braking and acceleration. The 2014 World Congress on Advances in Civil, Environmental, and Materials Research. Busan, Korea. P.109-20p, 2014.
[7] T. Nguyen-Xuan, Y. Kuriyama, T. Nguyen-Duy, “Stationary random vibration analysis of dynamic Vehicle-Bridge interaction due to road uneveness”, Lecture Notes in Mechanical Engineering, Springer, P.1121-1138, 2018.
[8] T. Nguyen-Xuan, Y. Kuriyama, T. Nguyen-Duy, “Analysis of dynamic impact factors due to moving vehicles using Finite element method”, Lecture Notes in Mechanical Engineering, Springer, P.1105-1119, 2018.
