Toancap3.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp ...Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 2 Ví dụ 1. Cho 2 2 1 31 xx y x C iết phương tr nh tiếp tuyến

Toancap3.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

Yêu toán học Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 1

§1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm

A. Tóm tắt lý thuyết

Cho y f x C .

1. Tiếp tuyến tại một điểm

Tiếp tuyến với C tại 0 0;M x f x là đường thẳng

0 0 0: ' y f x x x f x .

T ng n i r ng tiếp với C hay C tiếp , h

và C tiếp nh u

Chú ý. Khi n i đến tiếp tuyến của C tại M , ta phải hiểu r ng M thu C và M là nơi ảy

ra sự tiếp

2. Tiếp tuyến qua một điểm

Tiếp tuyến qua M của C là tiếp tuyến với C tại m t điểm N nà đ Điể M thể

thu C h h ng tr ng trường h p thu C th M lại thể là tiếp điể h h ng

h nh v ưới

Bài toán. Viết phương tr nh tiếp tuyến qua 1 1;M x y của C .

Phương pháp giải. B1 Viết phương tr nh tiếp tuyến tại điể h ành đ 0x của C :

0 0 0: 'y f x x x f x .

B2 đi qu M hi và hỉ khi 1 0 1 0 0'y f x x x f x . Giải phương tr nh này để t 0x .

B3 Thay mỗi 0x t đư c bướ 2 và phương tr nh t đư c m t tiếp tuyến qua M của

C .

B. Các ví dụ

Δ

O

y

x

M x0;f x0

C( )

N

M

(C)

M

N

(C)

M≡N

(C)




Ví dụ 1. Cho 2

2

1

3 1

x xy

x

C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể M h ành đ

b ng 1.

Giải. T

2

22

3 4 1'

3 1

x xy

x

n lư t th y 1x và biểu th ủ y và 'y t đư

1

' 18

y và 1

14

y uy r phương tr nh tiếp tuyến với C tại M là:

1 1

: 18 4

y x 1 3

:8 8

y x .

Chú ý. T thể ng hi u y và 'y thay cho f và 'f tr ng trường h p bài t n hỉ đ p

đến t hà s .

Ví dụ 2. Cho 3 24 5 2y x x x C . iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại những

gi điể ủ C với trụ h ành

Giải. T phương tr nh ủ C , cho 0y t đư :

3 24 5 2 0x x x 2

2 1 0x x 2

1

x

x

.

Suy ra C h i gi điể với trụ h ành là 1 2;0M và 2 1;0M .

T 2' 3 8 5y x x suy ra ' 2 1y , ' 1 0y D đ phương tr nh tiếp tuyến với C tại

điể 1M , 2M l n lư t là:

1 : 1. 2 0y x 1 : 2y x ,

2 : 0. 1 0y x 2 : 0y .

Ví dụ 3. [ĐHB08] Ch 3 24 6 1y x x C iết phương tr nh tiếp tuyến đi qu điể

1; 9M ủ C .

Giải. Phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể h ành đ 0x là:

0 0 0: 'y y x x x f x

2 3 2

0 0 0 0 0: 12 12 4 6 1y x x x x x x .

Đi u i n đi qua 1; 9M tương đương với

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

http://hoctoancapba.com/




2 3 2

0 0 0 0 09 12 12 1 4 6 1x x x x x 3 2

0 0 08 6 12 10 0x x x 0

0

5

4

1

x

x

.

0

5

4x

0

0

15'

4

9

16

y x

y x

15 5 9

:4 4 16

y x

15 21

:4 4

y x .

0 1x

0

0

' 24

9

y x

y x

: 24 1 9y x : 24 15y x .

y phương tr nh tiếp tuyến đi qu điể M ủ C là 15 21

:4 4

y x , : 24 15y x .

C. Bài tập

Bài 1. iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết r ng:

1) C là đồ thị hà s 4 22 3y x x và h ành đ tiếp điể b ng 2 ;

2) C là đồ thị hà s 3 23 2y x x và tung đ tiếp điể b ng 2 ;

3) C là đồ thị hà s 2 3 4

1

x xy

x

và tiếp điể là gi điể ủ C với trụ tung;

4) C là đồ thị hà s 3 22 3 5y x x và tiếp tuyến đi qu 19

;412

A

;

5) C là đồ thị hà s 3 23 2y x x và tiếp tuyến đi qu 1;4A .

Bài 2. Cho 3 22 3 12 1y x x x C T những điể thu C à tiếp tuyến tại đ đi qu

g tọ đ

D. Hướng dẫn và đáp số

Bài 1 1) 24 43y x ; 2) 2y , 9 7y x ; 3) 7 4y x ; 4) 12 15y x , 21 645

32 128y x ,

4y ; 5) 4y , 9 7

4 4y x . Bài 2 1;12M .




§2. Điều kiện tồn tại tiếp tuyến


Xét bài t n s u đây

Bài toán. Ch đồ thị hà s y f x C T đi u ki n của tham s để C tiếp tuyến

thỏ ãn t đi u ki n nà đ

Phương pháp giải. B1 Viết phương tr nh tiếp tuyến tại điể h ành đ 0x của C :

0 0 0: 'y f x x x f x .

B2 Áp đi u ki n củ bài t n lên đường thẳng để nh n đư c m t phương tr nh ẩn 0x . Tiếp

tuyến tồn lại hi và hỉ hi phương tr nh này nghi m 0x .

B. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho 1

1

xy x

x

C Ch ng inh qu điể 1; 1I h ng tồn tại tiếp tuyến ủ

C .

Giải. Xét tiếp tuyến tại điể h ành đ 0x ủ C

0 0 0: 'y f x x x f x

0

02

00

12:

11

xy x x

xx

.

đi qu 1; 1I nghĩ là

0

02

00

121 1

11

xx

xx

0

0 0

121

1 1

x

x x

0

0

31

1

x

x

0 0

0

1 3

1 0

x x

x

0x .

y h ng tồn tại 0x để đi qu I N i h h qu I h ng tiếp tuyến ủ C .

Ví dụ 2. Cho 24 3 6y x mx C T m để C tiếp tuyến đi qu 1; 2A .

Giải. Phương tr nh tiếp tuyến với C tại điể h ành đ 0x là:

0 0 0: 'y y x x x y x 2

0 0 0 0: 8 3 4 3 6y x m x x x mx .

C tiếp tuyến đi qu 1; 2A hi và hỉ hi phương tr nh s u đây nghi đ i với 0x :

2

0 0 0 02 8 3 1 4 3 6x m x x mx . *




T

* 2

0 04 8 3 8 0x x m ( ' 12 48m ).

D đ * nghi hi và hỉ hi

' 0 12 48 0m 4m .

y C tiếp tuyến đi qu 1; 2A hi và hỉ hi 4m .

Ví dụ 3. Cho 2 1

2

xy

x

C T trên đường thẳng 3x điể à qu đ tiếp tuyến ủ

C .

Giải. Phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể h ành đ 0x ( 0 2x là:

0 0 0: 'y y x x x y x

002

00

2 15:

22

xy x x

xx

.

Điể A n trên đường thẳng 3x tọ đ A ạng 3;A a .

Qua A tiếp tuyến tới C hi và hỉ hi phương tr nh s u đây nghi đ i với 0x :

0

02

00

2 15: 3

22

xa x

xx

. 1

T thấy

1

2

0 0 0 0 0

0

2 5 3 2 1 2 2 0

2 0

a x x x x x

x

2

0 0 0 02 5 3 2 1 2a x x x x

2

0 02 2 2 1 4 17 0a x a x a . 2

Trường hợp 1. 2 0a 2a Khi đ 2 tr thành

010 21 0x 0

21

10x .

Tr ng trường h p này 2 nghi 1 nghi




Trường hợp 2. 2 0a 2a Khi đ 2 là phương tr nh b h i 5 35a D đ

tr ng trường h p này 1 nghi hi và hỉ hi 2 nghi t là

0 5 35 0a 7a .

y t p h p điể thỏ ãn yêu u bài t n là 3; 7A a a .

Ví dụ 4. [ĐHD02] Ch 22 1

1

m x my

x

C và :d y x T m để C tiếp với d .


0 0 0: 'y y x x x y x

2 2

0

0

0 0

2 11:

1 1

m x mmy x x

x x

2 2 2

0

0

0 0 0

2 11 1:

1 1 1

m x mm my x x

x x x

.

C tiếp với d hi và hỉ hi tồn tại 0x s h h i đường thẳng và d tr ng nh u T là

h s u đây nghi đ i với 0x

2

0

2 2

0

0

0 0

11

1

2 110

1 1

m

x

m x mmx

x x

. *

T

*

2

0

2

0

0

0

11 1

1

2 10 2

1

m

x

m x mx

x

.

1

0

0

0

1

1 1

1 1

x

x m

x m

0

0

0

1

2

x

x m

x m

.

1m 2 1m m 1 v nghi * v nghi




1m : 1 0

0

2

x m

x m

. Thay

0x m và vế tr i ủ 2 t

22 1

2 01

m m mVT m

m

0x m là t nghi ủ * * nghi y

C tiếp với d hi và hỉ hi 1m .

Ví dụ 5. Cho 4 28 7y x x C T m để đường thẳng : 60d y x m tiếp với C .

ới ỗi m t đư hãy hỉ r h ành đ tiếp điể ủ d và C .

Giải. Phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể h ành đ 0x là:

0 0 0: 'y y x x x y x 0 0 0 0: ' 'y y x x x y x y x .

C tiếp với d hi và hỉ hi tồn tại 0x sao cho và d tr ng nh u đi u đ nghĩ là h

s u đây nghi đ i với 0x

0

0 0 0

' 60

'

y x

x y x y x m

0

0 0

' 60 1

60 2

y x

m x y x

.

1 3

0 04 16 60x x 0 3x . Thay 0 3x và 2 t 164m .

y d tiếp với C hi và hỉ hi 164m Khi đ h ành đ tiếp điể là 0 3x .

C. Bài tập

Bài 1. Cho 1

xy

x

C Ch ng inh r ng qu 1;1I ủ C h ng tồn tại tiếp tuyến nà

ủ C .

Bài 2. T m s h đồ thị hà s 1

x my

x m

tiếp tuyến đi qu điể 0; 2A .

Bài 3. Cho 4 22y x x C .

1) T trên trục tung những điể à qu đ thể kẻ đư c tiếp tuyến tới C ;

2) T những điể trên đường thẳng 3y à qu đ thể kẻ đư c tiếp tuyến tới C .


Bài 2 2

13

m . Bài 3 1) Những điểm c n t ạng 0;A a với 1

3a ; 2) Những điểm c n

t ạng ;3A a với ; 3 3;a

.




§3. Hệ số góc của tiếp tuyến

A. Giới thiệu

Ta biết r ng 0'f x là h s g tiếp tuyến củ đồ thị hà s y f x tại điể h ành đ 0x

Tr ng bài họ này h ng t qu n tâ nhi u hơn đến h s g ủa tiếp tuyến.

B. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho 3 222 2

3y x x x C iết phương tr nh tiếp tuyến h s g b ng 2

ủ C .

Giải. T

0' 2y x

2

0 02 2 2 2x x 2

0 0 2 0x x 0

0

1

2

x

x

.

T 7

13

y , 2

23

y uy r tiếp tuyến thỏ ãn yêu u bài t n là:

1

7: 2 1

3y x 1

13: 2

3y x ,

2

2: 2 2

3y x 2

14: 2

3y x .

Ví dụ 2. Cho 3 23 12 5y x x x C iết phương tr nh tiếp tuyến h s g nhỏ nhất ủ

C .

Giải. H s g tiếp tuyến tại điể h ành đ 0x ủ C là:

22

0 0 0 0' 3 6 12 3 1 15 15k f x x x x 15k .

Dấu “” ảy r hi và hỉ hi 0 1x D đ k nhỏ nhất b ng 15 đạt đư hi và hỉ hi

0 1x T 1 9f suy r tiếp tuyến h s g nhỏ nhất ủ C là:

: 15 1 9y x : 15 6y x .

Ví dụ 3. [ĐHD10] Ch 4 2 6y x x C iết phương tr nh tiếp tuyến vu ng g với đường

thẳng 1

: 16

d y x ủ C .

Giải. Gọi là tiếp tuyến với C tại điể h ành đ 0x h s g là 0'k y x .

d 1

16

k 6k 3

0 04 2 6x x 0 1x .

0 1x 0 4y x : 6 1 4y x : 6 10y x .




y tiếp tuyến vu ng g với d ủ C là : 6 10y x .

Chú ý. ị trí tương đ i và g giữ h i đường thẳng phương tr nh ạng h s g

Cho 1 1 1: y k x m và 2 2 2: y k x m T :

1 2

1 2

1 2

k k

m m

;

1 2 1 2

1 2

k k

m m

;

1 2 1 2 1k k ;

Cho 0 ;90 t : 1 tạ với 2 g 1 2

1 2

tan1

k k

k k

;

Đ bi t nếu 2 0k th : 1 tạ với 2 g 1 tank .

Ví dụ 4. [ĐHD05] Ch 3 21 1

3 2 3

my x x

mC Gọi M là điể thu mC h ành đ

b ng 1 T m để tiếp tuyến tại M ủ mC s ng s ng với đường thẳng :5 0d x y .

Giải. Phương tr nh tiếp tuyến tại M ủ mC là

: ' 1 1 1y y x y : 1 12

my m x : 1 1

2

my m x .

T : 5d y x D đ d

1 5

1 02

m

m

4m .

y tiếp tuyến tại M ủ mC s ng s ng với đường thẳng d 4m .

Ví dụ 5. Cho 4 213 2

24y mx m x

mC Gọi A và B l n lư t là điể h ành đ

b ng 1 và 2 ủ mC T m để tiếp tuyến ủ mC tại A và B vu ng g với nh u




Giải. T 3 1' 4 6

12y x mx m x

h s g tiếp tuyến ủ mC tại A và B l n

lư t là 1

' 1 1012

y m và 1

' 2 446

y m D đ tiếp tuyến ủ mC tại A và B

vu ng g với nh u hi và hỉ hi

' 1 ' 2 1y y 1 1

10 44 112 6

m m

2 16 71440 0

3 72m m

1

24

71

1320

m

m

.

C. Bài tập

Bài 1. iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết

1) C là đồ thị hà s 3 23 5 1y x x x tiếp tuyến h s g nhỏ nhất

2) C là đồ thị hà s 3 215 2

3y x x x tiếp tuyến h s g lớn nhất

Bài 2. Cho 3 211

3y x mx x m C T m để h s g ủ tiếp tuyến h s g nhỏ

nhất ủ đồ thị là 10 . iết phương tr nh tiếp tuyến đ

Bài 3. iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết r ng

1) [ĐHB06] C là đồ thị hà s 2 1

2

x xy

x

và tiếp tuyến vu ng g với đường thẳng

: 1d y x .

2) C là đồ thị hà s 1 2

2 1

xy

x

và tiếp tuyến s ng s ng với đường thẳng : 4 1 0d x y .

3) C là đồ thị hà s 3 21 12 1

2 2y x x x và tiếp tuyến tạ với đường thẳng

: 3 1 0d x y g 45 .

Bài 4. T tất ả điể trên đồ thị C ủ hà s 31 2

3 3y x x à tiếp tuyến tại đ

vu ng g với đường thẳng 1 2

:3 3

d y x .




Bài 5. Cho 3 211 3 4 1

3y mx m x m x

mC T đi u i n ủ m để mC tiếp

tuyến vu ng g với đường thẳng 2012y x .


Bài 1 1) 2 2y x ; 2) 7

63

y x . Bài 2 3m , 3m th tiếp tuyến là 1 : 10 11d y x ,

3m th tiếp tuyến là 2 : 10 13d y x . Bài 3 1) 2 2 5y x , 2 2 5y x ; 2)

4 7y x 3) 1 1

2 2y x ,

1 229

2 54y x , 2 1y x ,

292

27y x . Bài 4 2;0

và

42;

3

.

Bài 5 1

48m ho c

7

240m . hoctoancapba.com




§4. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến


Ph n này sử dụng m t s kiến th c sau:

1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Ch điể 0 0;M x y và đường thẳng : 0ax by c T ng th tính h ảng h t

M đến :

0 0

2 2;

ax by cd M

a b

.

2. Giao điểm của hai đường thẳng

Tọ đ gi điể ủ h i đường thẳng là nghi ủ h gồ phương tr nh đường thẳng

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho 3 22 4y x x x C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến

tạ với Ox g 45 .

Giải. H s g ủ tiếp tuyến tại điể h ành đ 0x ủ C là:

2

0 0 0' 6 8 1k y x x x .

T

, 45Ox tan 45k 1

1

k

k

.

1k 2

0 06 8 1 1x x 0

0

0

4

3

x

x

.

+) 0 0x 0 0y x : y x .

+) 0

4

3x 0

28

27y x

4 28: 1.

3 27y x

64:

27y x .

1k 2

0 06 8 1 1x x 0

0

1

1

3

x

x

.




+) 0 1x 0 1y x : 1 1y x : y x .

+) 0

1

3x 0

1

27y x

1 1:

3 27y x

8:

27y x .

C tiếp tuyến tạ với Ox g 45 ủ C là: y x , 64

27y x , y x ,

8

27y x .

Ví dụ 2. Cho 1

2 1

xy

x

C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến h

1 1;

2 2I

t h ảng b ng 3

10.

Giải. Phương tr nh tiếp tuyến ủ C tại điể h ành đ 0x (0

1

2x là:

0 0 0: 'y y x x x y x

002

00

13:

2 12 1

xy x x

xx

2 2

0 0 0:3 2 1 2 4 1 0x x y x x

2 2

0 0 00

4 4

0 0

3 12 1 2 4 1

3 2 12 2;

9 2 1 9 2 1

x x xx

d I

x x

.

D đ :

3

;10

d A

0

4

0

3 2 1 3

109 2 1

x

x

4 2

0 02 1 10 2 1 9 0x x

2

0

2

0

2 1 1

2 1 9

x

x

0

0

0

0

0

1

1

2

x

x

x

x

.

0 0x

0

0

' 3

1

y x

y x

: 3 1y x .

0 1x

0

0

' 3

2

y x

y x

: 3 1 2y x : 3 5y x .




0 1x

0

0

1'

3

0

y x

y x

1

3: 1y x

1 1

3 3: y x .

0 2x

0

0

1'

3

1

y x

y x

1

3: 2 1y x

1 5

3 3: y x .

y b n tiếp tuyến thỏ ãn yêu u bài t n là: 3 1y x , 3 5y x , 1 1

3 3y x ,

1 5

3 3y x .

Ví dụ 3. Cho 3 2

1

xy

x

C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến h đ u

điể 7;6A và 3;10B .


0 0 0: 'y y x x x y x

002

00

3 25:

11

xy x x

xx

2 2

0 0 0:5 1 2 6 3 0x x y x x .

h đ u điể A và B hi và hỉ hi:

; ;d A d B

2 22 2

0 0 0 0 0 0

4 4

0 0

35 6 1 2 6 3 15 10 1 2 6 3

25 1 25 1

x x x x x x

x x

2 2

0 0 0 08 6 32 12 14 8x x x x 2 2

0 0 0 04 3 16 6 7 4x x x x

2 2

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

4 3 16 6 7 4

4 3 16 6 7 4

x x x x

x x x x

2

0 0

2

0 0

2 6 0 ' 5 0

2 0

voânghieämx x

x x

0

0

1

2

x

x

.




0 1x

0

0

5'

4

1

2

y x

y x

5 1

4:

21y x

5 7

4 4: y x .

0 2x

0

0

' 5

7

y x

y x

: 5 2 7y x : 5 17y x .

y phương tr nh tiếp tuyến h đ u A và B ủ C là 5 7

4 4y x , 5 17y x .

Ví dụ 4. Cho 2 1

1

xy

x

C T tọ đ điể M C s h h ảng h t điể 1;2I

tới tiếp tuyến ủ C tại M đạt gi trị lớn nhất.

Giải. Giả sử 0x là h ành đ ủ M tiếp tuyến tại M ủ ( )C phương tr nh:

0 0 0: 'y y x x x y x

02

00

3 3: 2

11y x x

xx

2 2

0 0 03 1 2 5 0x x y x x

2 2

0 0 00

4 42

0 002

0

3 2 1 2 2 1 6 1 6;

99 1 9 1 11

x x x xd I

x x xx

.

Th bất đẳng th C -si:

2

02

0

91 2 9 6

1x

x

, suy ra , 6d I Đẳng th ảy r

hi và hỉ hi

2

02

0

91

1x

x

2

0 1 3x 0 1 3x .

y h ảng h ;d I lớn nhất b ng 6 đạt đư hi và hỉ hi 0 1 3x

1 3;2 3M h 1 3;2 3M

Ví dụ 5. [ĐHD07] Ch 2

1

xy

x

C T tọ đ điể M thu C biết tiếp tuyến ủ C

tại M ắt h i trụ Ox , Oy tại A , B sao cho t gi OAB i n tí h b ng 1

4.




Giải. T

2

2'

1y

x

Xét điể M C , M h ành đ

0x T phương tr nh tiếp tuyến

với C tại M : hoctoancapba.com

0 0 0: y f x x x f x

0

02

00

22:

11

xy x x

xx

2

0

2 2

0 0

22:

1 1

xxy

x x

.

A Ox

2

0

2 2

0 0:

22

1 1

0

A

xxy

x

y

x

2

0 ;0A x ,

B Oy

2

0

2 2

0 0:

22

1 1

0

B

xxy

x

x

x

2

0

2

0

2

10;

x

xB

.

T 2

0OA x ,

2

0

2

0

2

1

xOB

x

4

0

2

0

.

2 1ABC

xOAOBS

x

.

1

4OABS

4

0

2

0

1

41

x

x

2

0 0

4 14x x

0 0

0

2

0

2

2 1

2 1

x x

x x

0 0

0 0

2

2

2 1 0

2 1 0 7 0 voânghieäm

x x

x x

0

10 2

1x

x

1;1

1; 2

2

M

M

.

C. Bài tập

Bài 1. Cho 4 212 3

2y mx m x

mC T m để tiếp tuyến ủ mC tại điể

h ành đ b ng 1 và 3 tạ với nh u t g -sin b ng 3

13.

Bài 2. Cho 3

4

xy

x

C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến h

4; 1A t h ảng b ng 7 2

5.




Bài 3. Cho 1

3 4

xy

x

C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết h ảng h t điể

4 1;

3 3I

tới tiếp tuyến đạt gi trị lớn nhất

Bài 4. [ĐHA09] Ch 2

2 3

xy

x

C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến ắt

trụ tọ đ tại điể A , B sao cho t gi OAB ân tại O .

Bài 5. Cho

3

2 1

xy

x

C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết tiếp tuyến ắt trụ

tọ đ tại điể A , B s h trung trự ủ đ ạn thẳng AB đi qu g tọ đ O .

Bài 6. Cho 2

2

xy

x

C iết phương tr nh tiếp tuyến ủ C biết r ng tiếp tuyến ắt

trụ tọ đ Ox , Oy l n lư t tại h i điể A , B phân bi t sao cho 2AB OA .


Bài 1. 1

48m h

7

240m . Bài 2. C tiếp tuyến thỏ ãn yêu u bài t n là:

7 15y x , 7 43y x , 1 3

7 7y x ,

1 25

7 7y x . Bài 3. C tiếp tuyến thỏ ãn yêu

u bài t n là: 1y x , 7

3y x . Bài 4. Đồ thị đ ng t tiếp tuyến thỏ ãn yêu u bài

t n là 2y x . Bài 5. C tiếp tuyến thõ ãn yêu u bài t n là 3

2y x ,

5

2y x .

Bài 6. Đồ thị đ ng t tiếp tuyến thỏ ãn yêu u bài t n là 4y x .




§5. Điều kiện tiếp xúc


1. Định nghĩa (H nh 1). Cho y f x C và y g x 'C .

C và 'C tiếp với nh u tại điể 0 0;M x y nếu ả h i đi u

i n s u đây thỏ ãn:

M là t điể hung ủ C và 'C ;

Tiếp tuyến ủ h i đường ng tại M tr ng nh u

Điể M đư gọi gọi là tiếp điể ủ h i đường ng đã h

Hình 1

2. Điều kiện tiếp xúc. Để ét sự tiếp ủ h i đồ thị hà s y f x C và y g x

'C t ét h :

' '

f x g x

f x g x

. *

T :

C và 'C tiếp nh u h * nghi đ i với x ;

Nghi ủ * hính là h ành đ tiếp điể ;

0x là h ành đ tiếp điể tiếp tuyến hung ủ C và 'C tại điể h ành đ 0x

là: 0 0 0'y f x x x f x .

Hệ quả. Đường thẳng y kx m là tiếp tuyến ủ đồ thị hà s y f x C hi và hỉ hi

h

'

f x kx m

f x k

nghi đ i với x .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. [SGKNC] Cho 3 52

4y x x C và 2 2y x x 'C Ch ng inh C và 'C

tiếp nh u và viết phương tr nh tiếp tuyến chung.

y

xO

y0

x0

M




Giải. K hi u 3 54

2f x x x và 2 2g x x x Xét h :

' '

f x g x

f x g x

I .

T I

3 2

''

3 2

52 2

4

52 2

4

x x x x

x x x x

3 2

4

2

0

53 2 1

4

xx x

x x

1

2x .

y C và 'C tiếp nh u tại điể h ành đ b ng 1

2.

1 5

2 4

1' 2

2

g

g

phương tr nh tiếp tuyến hung là: 1 5

22 4

y x

hay 9

24

y x .

Ví dụ 2. [ GK] Ch ng inh r ng đường thẳng y kx m là tiếp tuyến ủ p r b l

2y ax bx c ( 0a hi và hỉ hi phương tr nh 2ax bx c kx m 1 nghi ép

Giải. T

1 2 0ax b k x c m ( 2

4b k a c m ).

D đ : 1 nghi ép 0 2

4 0b k a c m .

Đường thẳng và p r b l đã h tiếp nh u hi và hỉ hi h s u đây nghi đ i với x

I

2

2

ax bx c kx m

ax b k

.

T I

2 0 1

22

ax b k x c m

k bx

a

.

I nghi 2

k bx

a

là nghi ủ 1

2

02 2

k b k ba b k c m

a a

2 2

04 2

b k b kc m

a a




2

4 0b k a c m 1 nghi ép ĐPCM hoctoancapba.com

Ví dụ 3. [SGKNC] iết phương tr nh đường thẳng qu điể 1; 2A và tiếp với p r b l

2 2y x x .

Giải. Phương tr nh đường thẳng qua 1; 2A h s g k ạng : 1 2y k x

: 2y kx k .

Xét phương tr nh 2 2 2x x kx k hay 2 2 2x k x k 1 ( 2

2 4 2k k ).

tiếp với p r b l đã h 1 nghi ép 0 2

2

k

k

.

2k : 2 1 2y x : 2y x .

2k : 2 1 2y x : 2 4y x .

y qu điể A h i đường thẳng tiếp với p r b l là: 2y x và 2 4y x .

Ví dụ 4. [ĐHB08] Ch 3 24 6 1y x x C iết phương tr nh tiếp tuyến đi qu điể

1; 9M ủ C .

Giải. Đường thẳng qu M h s g k phương tr nh ạng : 1 9y k x .

là tiếp tuyến ủ C hi và hỉ hi h s u đây nghi

I

3 2

2

4 6 1 1 9 1

12 12 2

x x k x

x x k

.

Thế 2 và 1 t :

3 2 24 6 1 12 12 1 9x x x x x 3 24 3 6 5 0x x x

5

4

1

x

x

.

D đ : I nghi 54

x là nghi ủ 2 h 1x là nghi ủ 2 .

Thay 5

4x và 2 t

15

4k

15: 1 9

4y x

15 21:

4 4y x .




Thay 1x và 2 t 24k : 24 1 9y x : 24 15y x .

y phương tr nh tiếp tuyến đi qu điể M ủ C là 15 21

4 4y x , 24 15y x .

Ví dụ 5. [ĐHD02] Ch 22 1

1

m x my

x

C và :d y x T m để C tiếp với d .

Giải. C tiếp với d hi và hỉ hi h s u đây nghi đ i với x

I

' 1

f x x

f x

.

T I

2

2

2 1

1

11

1

m x mx

x

m

x

22 1 1 1

2

1

m x m x x

x m

x m

x

D đ I nghi hi và hỉ hi

1

1

2 1

2 1

laø nghieäm cuûa

laø nghieäm cuûa

m

m

m

m

2

2

1

2 1 1

2 1

2 1 2 2 1

m

m m m m m

m

m m m m m

1

1

1

m

m

m

m

1m .

y C tiếp với d 1m .

C. Bài tập

Bài 1. [SGK] Ch ng inh đồ thị sau tiếp nh u và viết phương tr nh tiếp tuyến chung

1) 2 3 1y x x và 2 2 3

1

x xy

x

.

2) 2 3

2 2

xy x và

3

2

xy

x

.

3) 2 3 6y f x x x , 3 2 4y g x x x và 2 7 8y h x x x .

Bài 2. [SGK] Ch ng inh h i tiếp tuyến của parabol 2 3y x x đi qu điểm 3 5

;2 2

A

và

h ng vu ng g với nhau.




Bài 3. Viết phương tr nh tiếp tuyến qua A củ đồ thị C tr ng trường h p sau:

1) 23

; 29

A

, C là đồ thị hà s 3 23 2y x x .

2) 6;5A , C là đồ thị hà s 2

2

xy

x

.

Bài 4. Ch ng minh r ng qua 1;0A h i tiếp tuyến vu ng g với nhau củ đồ thị hà s

2 2 2

1

x xy

x

.

Bài 5. T m để đường thẳng 9y mx tiếp với đồ thị 4 28 7y x x .


Bài 1 1) 5y x ; 2) 3

2y x ; 3) 5 7y x . Chú ý. B đồ thị hà s y f x , y g x ,

y h x tiếp nh u hi và hỉ khi h

' ' '

f x g x h x

f x g x h x

nghi đ i với x . Bài 2

Đường thẳng qua 3 5

;2 2

A

h s g k 3 5

:2 2

y k x

. Ta ch ng minh tồn tại

h i gi trị của k tí h b ng 1 s h phương tr nh 2 3 53

2 2x x k x

nghi ép

Bài 3 1) 5 61

3 27y x , 9 25y x , 2y ; 2) 1y x ,

1 7

4 2y x . Bài 4 Ch ng minh

tồn tại h i gi trị của k tí h b ng 1 sao cho h

2

'2

2 21

1

2 2

1

x xk x

x

x xk

x

nghi m. Bài 5

0m .

Documents

Toancap3.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp ...Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 2 Ví dụ 1. Cho 2 2 1 31 xx y x C iết phương tr nh tiếp tuyến