1

Sadržaj1. Uvod ..........................................................................................................2

2. Vrste perspektive.......................................................................................5

2.1 Semantička perspektiva......................................................................................................................5

2.2 Zakon kadra ili prilagođavanje veličine formatu..............................................................................8

2.3 Vertikalna perspektiva.......................................................................................................................9

2.4 Inverzna perspektiva.......................................................................................................................10

2.5 Geometrijska perspektiva.................................................................................................................11

2.6 Atmosferska perspektiva..................................................................................................................12

2.7 Koloristička perspektiva...................................................................................................................12

2.8 Poliperspektiva..................................................................................................................................13

3. Linearna (geometrijska ) perspektiva……………………………………………………15

4. Osnovni principi perspektive .………………………………………………………………20

5. Osnovni elementi perspektive……………………………………………………………..30

6. Perspektiva s jednim nedogledom……………………………………………………….37

7. Perspektiva s više nedogleda ……………………………………………………………….50

8. Kosa perspektiva ………………………………………………………………………………….58

9. Krivolinijska perspektiva……………………………………………………………………….69

10. Senke ………………………………………………………………………………………………….74

11. Refleksije ……………………………………………………………………………………………88

1.Uvodercepcija se može posmatrati kao jedan aspekt ljudskog ponašanja i kao takva podložna je mnoštvu istih uticaja koji oblikuju druge vidove ponašanja. Suženo gledano, svako

individualno iskustvo kombinuje se sa drugima na kompleksan način u svrhu formiranja reakcije na određene stimulanse u datoj situaciji. Za sveukupno čovečanstvo bazični proces percepcije je identičan, a razlike u sadržaju su samo refleksija različitih navika percepcije, odnosno iskustva u stvaranju iste. Iz tog razloga i reagovanja na, relativno jednostavne, geometrijsko-optičke iluzije su različita u različitim kulturnim sredinama, čak i civilizacijama. Međutim, ovo se nikako ne sme predstavljati kao „rasna“ razlika, nego isključivo kao razlika u podložnosti iluziji. Stoga nije za čudjenje različita percepcija perspektive (kao još jedne geometrijsko-optičke iluzije) kod pre-renesansnih slikara, umetnika renesanse ili u Egiptu iz doba faraona. Na slikama koje slede prikazane su neke jednostavne optičke iluzije, koje lako mogu proizvesti različite odgovore kod ljudi različitih podneblja, starosne dobi i kulturnih navika.

P

Slika 1.1-Koja je duž veće dužine?1

Oči takođe varaju i kod sledeće slike.

1 U pitanju je poznata Mueller-Lyer-ova iluzija, prikazana u knjiziMüller-Lyer, F.C. (1889) Arch. Anatomie u.Physiol. Physiologische Abt. 2 (Suppl.), 263preneta uSegall,M.,H.,Campbell,D.,T.,Herskovits,M.,J.(1966)The Influence of Culture on Visual Perception, The Bobbs-Merrill Company, Inc., USA

3

Slika 1.2-Koja je dijagonala duža?2

Direktan prikaz kako određene navike kreiranja percepcije mogu zavesti osobu i dovesti do krivih zaključaka je tzv. „horizontalno-vertikalno“ iluzija.

Slika 1.3-Iluzija „horizontalno-vertikalno“3

Posao umetnika odlikuje sposobnost predstavljanja objekata na način da izgledaju „čvrsto“ i na način da se ne čine ravnim kao papir ili druga ravna podloga na kojoj su nacrtani. Drugačije rečeno, umetnik prevodi trodimenzionalni svet na površinu dvodimenzionalnog papira korišćenjem tehnike perspektive, odnosno, perspektiva omogućuje kreiranje iluzije trodimenzionalnosti crtanjem dvodimenzionalnih slika (vidi sliku 4).

Napredak u oblasti računarske grafike je imao mnogo uticaja na razne aspekte arhitektonskog crtanja. Danas se konstrukcioni crteži, prve i druge projekcije, preseci i detalji, vrlo retko rade „rukom“. Dodatno, ručno rađeni fizički modeli koji se koriste pri raznim prezentacijama (klijentima naročito) uveliko su zamenjeni trodimenzionalnim kompjuterskim modelima sa mogućnošću virtuelne „šetnje“. Brzina i fleksibilnost današnjih CAD sistema učinila je da crtanje perspektive, kao važne tehnike istraživanja i prezentacije dizajna, postane gotovo suvišno.

2 Reč je o čuvenom Sander-ovom paralelogramu iz 1931. god.Segall,M.,H.,Campbell,D.,T.,Herskovits,M.,J.(1966)The Influence of Culture on Visual Perception, The Bobbs-Merrill Company, Inc., USA

3 Ibid.

S druge strane posmatrano, 3D modeliranje nije jednostavno i nije pogodno za rane stadijume kreiranja, kada slobodoručno crtanje predstavlja pogodniju opciju.

Slika 1.4-Uobičajeni prikaz perspektive4

Crteže perspektive, rađene na tradicionalan način, nije lako napraviti, i samo vešt umetnik može korektno predstaviti sve neizostavne proporcije. Zbog mnoštva neophodnih linija pri crtanju, korišćenje perspektive može biti i zamoran i dugotrajan proces. Konstrukcija senki i senčenje, premda daju utisak realističnosti crtežu, sami po sebi, iziskuju vreme i dodatni trud. Konačno, kao i svi drugi crteži na papiru, crteži perspektive teško se menjaju nakon završetka kreacije.

Stara istina kaže da bi neko naučio dobro svoj jezik mora upoznati strani. Analogno, da bi se dobro i sa razumevanjem mogle naučiti i koristiti sve prednosti današnje računarske grafike, neophodno je savladati klasičnu tehniku perspektive. U suprotnome, kreacije ili prezentacije ostavljaju „plitak“ utisak, slično osobi koja za osnovne računske operacije koristi kalkulator jer ne zna tablicu množenja.

4 Norling,E.,R.,(1999), Perspective MadeEasy, Dover Publications,Inc., NY

5

2. Vrste perspektive perspektivi se može govoriti kao o načinu prikazivanja prostora na slici i o načinu viđenja sveta, pri čemu se podrazumeva da je neko ili nešto ispred ili iza nekoga ili nečega, bilo da

je reč o prostoru, vremenu ili značenju.OPerspektiva se može podeliti na više načina, zavisno od svrhe podele i odabranih kriterijuma. U tekstu se izlaže podela koja odražava holistički pristup perspektivi i koja se čini najprimerenijom ovoj oblasti izučavanja.

2.1 Semantička perspektiva

vde je reč o značenju, hijerarhiji, o ''velikim'' i ''malim'' ljudima, odnosno o apsolutnom položaju u društvu.O

Slika 2.1.1 – Tutankamonov kovčežić za nakit, 1346. god. p.n.e.

Slika 2.1.2-Saobraćajni policajac (dečji crtež,5 god.)

7

Slika 2.1.3-„Bogorodica zaštitnica“, 1415. god., Ptuj, Slovenija

9

Slika 2.1.4-„Bogorodica Benediktinki“, 1300. god., Zadar, Hrvatska

2.2 Zakon kadra ili prilagođavanje veličine formatu

Slika 2.2.1 – Staroegipatska slika iz Tebe, 1410.god. p.n.e.

Slika 2.2.2 – „Poslednja večera“, 12. vek, Dižon, Francuska

2.3 Vertikalna perspektiva

11

Slika 2.3.1 – Percepcija perspektive kod starih Egipćana

Slika 2.3.2 – „Moja ulica“, dečji crtež, 7 god.

2.4 Inverzna perspektiva

Slika2.4.2 – „Klupe u razredu“, dečji crtež, 7 god.

2.5 Geometrijska perspektiva

Bliži predmeti su manji u odnosu na udaljenije predmete.

Slika 2.4.1

Paolo Veneciano, 14. vek

13

elja za što realnijim prikazivanjem stvarnosti dovela je do upotrebe određenih geometrijskih konstrukcija pri slikanju ili crtanju. Ž

Slika2.5.1 – Mikele Mariaski: „Crkva Dela Salute“

Slika 2.5.2 – Analiza Veronezeove slike „ Svadba u Kani“

Pri izradi ove slike Mikele Mariaski se koristio mračnom komorom radi stro-gog poštovanja za-kona perspektive.

2.6 Atmosferska perspektiva

Slika 2.6.1- Leonardo Da Vinči: „Bogorodica sa Sv. Anom“

2.7 Koloristička perspektiva

mišljena upotreba boja može dovesti do stvaranja utiska perspektive. Tople boje (žuta i crvena, na primer) stvaraju osećaj blizine, dok hladne boje (kao plava ili zelena) ostavljaju

utisak udaljenosti. Slike Pitera Brojgela ''Žetva'' iz 1565. godine i Anri Matisa ''Harmonija u crvenom'' iz 1909. godine su upečatljiv primer ovakve vrste perspektive.

S

Ako su osobe, odnosno predmeti u prvom planu na nekom uzvišenju, stiče se utisak udaljenosti.

Slika 2.6.2

M.K.Ešer: “Selo u južnoj Italiji“, 1929. god.

15

2.8 Poliperspektiva

Na slici se može prepoznati semantička, geometrijska i atmosferska perspektiva.

Slika 2.8.1

Albreht Direr: „Oplakivanje Hrista“

Slika 2.8.2

M.K.Ešer: „Spoljni svet“, 1947. god.

3. Linearna (geometrijska) perspektiva

d početka petnaestog stoleća, umetnici predvođeni Albertijem, Leonardom da Vinčijem i Albrehtom Direrom počeli su da proučavaju problem predstavljanja tri dimenzije putem

dve. Oni su pronašli geometrijske metode za taj postupak, međutim, ono što su umetnici započeli dovršili su matematičari mnogo kasnije (Jean-Victor Poncelet 1810. god.) stvaranjem nove geometrije koja se razlikuje od euklidske.

O

Slika 3.1-Albertijev rad

17

Glavna teškoća pri crtanju neke prostorne figure ili predmeta je ta što oni imaju tri dimenzije, a crtež samo dve. Retko kada se crta na krivim površinama (na primer, živopisi na svodovima), a skoro uvek na nekoj ravni. Ta teškoća je savladavana na razne načine, ali najprirodniji način je centralna projekcija ili perspektiva (perspicere – gledati kroz nešto).

Slika 3.2

Direrova studija iz 1527.god.-crtanje perspektive pomoću napete niti i staklene ploče

Slika 3.3

Direrova studija crtanja perspektive pomoću končane mreže

Slika 3.4

Direrova studija crtanja perspektive pomoću zakretne staklene ploče

Slika 3.5

Pretpostavljena početna studija za sliku 3.6

19

Slika 3.6

Albreht Direr: „Sv.Jeronim“

Ako se posmatra neki predmet kroz neki mali i nepomični otvor i ako se između predmeta i otvora stavi staklena, transparentna, ploča, pa se onda sve tačke predmeta spoje zracima sa tim otvorom, obeležena mesta prodora tih zraka kroz staklenu ploču predstavljaju perspektivnu sliku ili perspektivu tog predmeta. Prve perspektivne slike bile su konstruisane na isti ili vrlo sličan način, dok su kasnije slike crtane uz pomoć geometrijskih konstrukcija. Dakle, centralna ili perspektivna projekcija neke figure ili predmeta je skup projekcija pojedinih tačaka te figure ili predmeta, koje su dobijene pomoću zrakova koji prolaze kroz jednu stalnu tačku u prostoru.

Slika 3.7

Dobijanje centralne projekcije5

Kod centralne projekcije važe pravila:

1) zraci polaze iz jednog centra projiciranja,2) veličina slike zavisi od udaljenosti objekta od ravni slike,3) slika odgovara utisku oka, uz razliku da je površina slike kod oka šuplja sfera, dok je

površina perspektivne slike ravan6.Neophodno je istaći i to proističe iz navedenih pravila, da se crta ono šta se vidi. Različite mentalne predstave objekta crtanja ne prenose se na papir i ne mogu predstavljati sliku tog objekta rađenog tehnikom perspektive.

U daljem tekstu umesto naziva „geometrijska perspektiva“ koristiće se reč „perspektiva“.

5 Anagnosti, P. (1979), Perspektiva, Naučna knjiga, Beograd6 Smajić,Z.(2005), Nacrtna geometrija, tehničko crtanje i perspektiva-teorija i zadaci, Autorsko izdanje, Beograd

21

4. Osnovni principi perspektive pojmu principa u kontekstu perspektive mogućno je voditi dugu i široku raspravu, međutim, za potrebe ovog teksta dovoljno je prihvatiti principe perspektive kao nešto što je

„osnovno“, „bitno“, „neizbežno“ i „univerzalno“, odnosno, kao pojave ili stanja koja se empirijski mogu opaziti kad se proučava ili posmatra neko umetničko delo ili objekat u prostoru.

O

Smanjenje, to jest pojava da objekti izgledaju manji što su više udaljeni od posmatrača, prvi je princip i bitan je za percepciju prostora i njegove dubine. Dobar način da se neko uveri u to jeste da ispruži ruku, otvorenu šaku drži uspravno i posmatra ljude niz ulicu. Osoba koja stoji na 5-6m od posmatrača izgleda visoka kao dužina šake, osoba na udaljenosti oko 15m čini se da je visoka kao palac, dok neko udaljen 50-60m „smanjuje“ se na visinu nokta na palcu šake.

Slika 4.1-Smanjenje7

Svima se, verovatno, čine poznatim i jasnima ilustracije ovog principa koje slede.

7 Slike u ovom poglavlju preuzete su iz D’Amelio,J.(2004), Perspective Drawing Handbook, Dover Publishing,Inc., N.Y.

Slika 4.2-Smanjenje

Slika 4.3-Smanjenje

23

Skraćenje: linije ili površi paralelne sa licem posmatrača vide se u maksimalnoj veličini, a čim se zaokrenu od lica vide se skraćeno.

Slika 4.4

Olovka držana paralelno sa licem posmatrača vidi se u pravoj i maksimalnoj veličini

Slika 4.5

Kada se olovka lagano nagne, njena dužina izgleda kraća ...

Slika 4.6

I još kraća...

Slika 4.7

Kada je olovka usmerena direktno ka posmatraču, vidi joj se samo kraj

Ovaj poslednji slučaj može se kolokvijalno nazvati stopostotnim skraćenjem.

25

Slika 4.8

Cilindričnom predmetu ne vide se strane, a osnova se vidi kao krug

Slika 4.9

Kada se predmet lagano nagne, krug se „skraćuje“ i izgleda kao elipsa, a strane (koje su bile potpuno „skraćene“) se pojavljuju

Slika 4.10

Elipsa se još više „skraćuje“(postaje „ravnija“), a strane izgledaju duže

Slika 4.11

Na kraju, kružna osnova „skraćuje“ se na punu liniju, a strane (izvodnice cilindra) se vide u pravoj veličini

27

Konvergencija: linije ili ivice objekata koje su u stvarnosti paralelne izgleda kao da se približavaju i spajaju na krajevima, što se rastojanje od posmatrača povećava.

Slika 4.12

Kada se zid od cigala posmatra s čela (paralelno sa licem posmatrača), gornje i donje linije i svi horizontalni spojevi izgledaju paralelno i horizontalno (u nivou sa tlom)

Slika 4.13

Kada posmatrač promeni položaj i pogleda „niz“ zid, linije više nisu paralelne i u ravni sa tlom, nego izgleda kao da se njihovi krajevi približavaju jedni drugima

Slika 4.14

Elementi ograde, gledani čeono, jednaki su po visini i imaj isti razmak, a horizontalne ivice su paralelne i u ravni sa tlom

Slika 4.15

Kada posmatrač okrene glavu i pogleda „niz“ ogradu, gornja i donja linija teže da se spoje i to je direktno proporcionalno smanjenju elemenata sa povećanjem rastojanja

Na poslednjoj slici treba još zapaziti kako se širina i razmak između elemenata smanjuju kako se rastojanje povećava. Dakle, konvergencija se može predstaviti kao smanjenje blisko razmaknutih elemenata jednake veličine i ona implicira skraćenje (pošto se ne vidi čeona površina).

Preklapanje: ova jasna i jednostavna tehnika ne samo da pokazuje koji su objekti ispred, a koji iza, nego je i veoma važan način za postizanje utiska dubine i prostora na crtežima. Dovoljno je pogledati samo desni deo slike 4.16 i zapaziti konfuziju kada nema preklapanja.

Slika 4.16

Preklapanje

29

Senke: sasvim je prirodno da se oblik i struktura trodimenzionalnih objekata mogu razumeti samo ako se posmatraju pod nekim oblikom svetla. Senke stvorene ovim svetlom čine oblike „čitljivim“ i razumljivim po svim svojim dimenzijama.

Slika 4.17

Senke

Boje: boje, kao i opseg od crnog do belog, su oštre i jasne kada se gleda iz blizine, ali postaju sivlje, slabije i uopšte neutralne sa povećanjem njihovog rastojanja od posmatrača.

Detalji, teksture i obrasci: jasni su iz blizine, ali postaju neodređeniji i manje oštri sa povećanjem razdaljine. Ovaj princip se retko nalazi u knjigama vezanim za perspektivu jer se smatra da se „podrazumeva“.

Slika 4.18-Odnos detalja i rastojanja

Fokus-efekat: ovaj princip je vredno zapamtiti uprkos tome što ga ne primenjuju svi umetnici. Ukoliko se oko koje posmatra neki udaljeni objekat usmeri samo na njega i oko njega, predmeti u prvom planu biće „van fokusa“ i stoga zamagljeni.

Slika 4.19-Udaljena crkva „u fokusu“

Obrnuto, kada se oko usmeri na prednji plan, predmeti u drugom planu biće nejasni i zamagljeni.

Slika 4.20-Objekti u prednjem planu „u fokusu“

31

5. Osnovni elementi perspektivea bi se osnovni elementi perspektive učinili jasnima i lakše razumeli, neophodno je prvo razmotriti kako ljudi vide objekte u prostoru. Crtež rađen tehnikom perspektive će

izgledati korektno samo ukoliko se crtač i njegov smer gledanja objekta relativno ne pomeraju, što znači da crtač ima ograničeno polje viđenja. Ljudsko oko ne vidi ceo prostor ispred sebe, već samo jedan deo. Taj vidljivi prostor je konus sa vrhom u oku i čije izvodnice zaklapaju ugao od 450-600 sa osom gledanja. Međutim, i taj vidljivi prostor nije podjednako vidljiv: deo koji je bliži osi gledanja je jasan potpuno, ostali delovi su manje jasni, dok je periferija potpuno nejasna, tako da se na tom delu zapažaju samo pokreti, ali ne i tačke. Dakle, deo koji je potpuno jasan je, opet, konus čije izvodnice zaklapaju ugao između 150 i 200 sa osom gledanja. Proističe da, u želji da izgleda što prirodnije, ceo predmet treba da stoji u granicama tog konusa.

D

Slika 5.1-Vidni konus

Svako može da odredi koliki mu je vidni konus: treba da stane nepomično, ispruži ruke potpuno u stranu i polako ih skuplja dokle god ih jasno ne vidi (levi deo slike 5.1; desni deo slike ne treba bukvalno shvatiti jer vidni zraci u stvarnosti idu od objekta ka posmatraču).

Slika 5.2-Ljudsko oko i deformacija slike

Nekoj duži ''a'' na šupljoj sferi koja se nalazi na ivici vidnog ugla od 900 odgovara duž ''2a'' na ravnoj površini slike. Uzimajući u obzir utisak oka, to znači da nastaje deformacija ivice od 100%.

VIDNI UGAO 180 470 760 900

DEFORMACIJA 0 20% 40% 100%Kada ljudi posmatraju neki objekat, u stvari oni se fokusiraju na niz tačaka (središta interesovanja) koji je

vidnim zrakom „vezan“ za centar vidnog konusa. Taj zrak se naziva centralni vidni zrak. Ako se gleda kroz teleskop ili drži olovka tako da se vidi kao tačka, teleskop i olovka simbolizuju centralni vidni zrak.

Slika 5.3-Centralni vidni zrak

Da bi se u potpunosti razumeo ili nacrtao crtež u perspektivi, neophodno je zamisliti ravan slike (likoravan, L) između posmatrača i objekta. Ova ravan je uvek pod pravim uglom u odnosu na centralni vidni zrak. Stoga, pri crtanju, bez obzira da li je objekat gore, dole ili pravo ispred, mora se zamisliti da se posmatra kroz likoravan upravnu na centralni vidni zrak koji je okružen vidnim konusom.

Slika 5.4-Ravan slike (likoravan)

33

Koncept likoravni može se bolje razumeti ako se objekat posmatra kroz prozor ili drugu transparentnu površinu sa nepomičnog mesta. Vidni zraci, to jest mnoštvo vidnih zraka koji idu iz oka ka objektu će prodirati kroz tu ravan. Stoga, ako se pogodnim sredstvom (flomasterom, na primer) spoje sve tačke prodora, dobiće se izgled objekta posmatranja, čime je „transferisan“ stvarni trodimenzionalni objekat u dvodimenzionalnu ravan. Praktično, svaka podloga na kojoj se crta predstavlja likoravan i na njoj se crta šta bi se videlo kao da je ona providna i da stoji upravno na centralni vidni zrak.

Slika 5.5-Prozor kao likoravan

U stvarnom životu, prema tome i u realističnim crtežima, retko se može videti linija u visini oka – linija horizonta, a tačke nedogleda gotovo nikada. No, bez obzira na to, oba koncepta moraju biti potpuno razjašnjena i bez ikakvih nedoumica, jer rad sa njima je jedan od osnovnih preduslova crtanja perspektive.

Dve ili više linija koje su u stvarnosti paralelne, ukoliko se produže u beskonačnost, izgleda kao da se spajaju (ili bolje reći, susreću) u jednoj tački. Ta tačka se naziva nedogled (N) tih linija. Klasičan i još uvek najbolji primer su železničke šine, koje iako u stvarnosti paralelne, izgleda kao da se spajaju na udaljenom horizontu (slika 5.6). Mnoga umetnička dela koja prikazuju unutrašnjost crkava sa kolonadom kapitela s obe strane dvorane, koriste koncept nedogleda, pa linije koje spajaju osnove ili vrhove stubova kao da se spajaju u jednoj tački, obično negde na oltaru.

Izuzetak od ovog pravila postoji samo u slučaju kada su paralelne linije ujedno paralelne i sa licem posmatrača i sa likoravni. U tom slučaju, izgleda kao da one ne konvergiraju niti divergiraju nego ostaju paralelne i nemaju nedogled.

Slika 5.6-Nedogled

Kada su u pitanju više setova paralelnih linija usmerenih u različitim pravcima, svaki set kovergira svom nedogledu (slika 5.7). Prikaz komode sa fijokama u neredu sadrži više setova paralelnih linija, svaki sa svojim nedogledom. Treba primetiti da se neki nalaze van ravni crteža, bilo gore, dole, desno ili levo.

Ukoliko se spoje linijom sve tačke nedogleda u kojima se spajaju konvergirajuće linije koje su u stvarnosti horizontalne (paralelne sa ravni osnove), dobija se linija nedogleda (slika 5.8). Iz razloga što je svet koji je stvorio čovek uglavnom sastavljen od oblika čije ivice (ili oznake) aproksimiraju vetikalne i horizontalne linije, horizontalna linija nedogleda je izuzetno značajna u crtanju crteža u perspektivi.

35

Slika 5.7-Nedogledi

Slika 5.8-Linija nedogleda

Šta određuje lokaciju linije nedogleda?

Odgovor je jednostavan: ona je uvek na istoj visini kao i oko posmatrača. Drugim rečima, imaginarna ravan postavljena kroz oči posmatrača i paralelna sa ravni osnove diktira lokaciju (visinu iznad osnove) linije nedogleda za sve horizontale crteža. Nezavisno od toga da li posmatrač kleći, stoji ili je na nekom postolju, ova relacija važi.

Slika 5.9-Lokacija linije nedogleda

Horizont u prirodi (bilo da je vidljiv ili skriven) nalazi se uvek u visini očiju posmatrača i može se koristiti kao linija nedogleda za sve horizontalne linije.

Slika 5.10-Horizont i nedogled na njemu

37

Iako je sasvim jasno da kada se pogleda gore vidi se više neba ili plafona prostorije, kao i kada se pogleda dole više se vidi tla ili poda sobe, postoji bojazan da mnogima nije potpuno jasno da se linija horizonta (uvek u imaginarnoj ravni postavljenoj kroz oči posmatrača) pomera gore ili dole na inverzan način. Dakle, ako se na crtežu linija horizonta postavi visoko gore, posmatrač mora gledati odozgo na objekat koji crta; ukoliko je linija horizonta na sredini crteža to znači da posmatrač gleda horizontalno (glavni vidni zrak je aproksimativno u ravni horizonta); kada je linija horizonta postavljena nisko pri dnu crteža onda posmatrač mora gledati odozdo na objekat.

Slika 5.11-Pomeranje linije horizonta

6. Perspektiva s jednim nedogledomajbolje je objasniti teorijske postavke kroz jednostavne primere, stoga, neka je visina horizonta (odstojanje od osnovne ravni do oka posmatrača) 150cm, a rastojanje posmatrača

od likoravni (distancija) 330cm. Pretvaranje 3D situacije u 2D sliku vrši se kao na slici 6.1.N

Slika 6.1-Prenos 3D situacije u 2D prikaz8

Oznake na slici 6.1 (a koje će biti korišćene i u daljem tekstu) predstavljaju: O-očna tačka, N-nedogled, H-horizont (linija horizonta), O.L.-osnovna linija (osnovna prava), C.V.Z.-centralni (glavni) vidni zrak.

Kako pronaći tačku A koja se nalazi, na primer, 60cm desno od posmatrača, a dodiruje likoravan? Neka je visina oka (horizonta) 160cm, a distancija 360cm. Na papiru nacrtati liniju horizonta nešto više od 360cm (u razmeri, normalno) od donje ivice papira i postaviti nedogled otprilike na sredini horizonta. Zatim osnovnu liniju 150cm ispod horizonta, pa onda iz nedogleda povući zrak naniže upravno na horizont u dužini 360cm. Ta tačka predstavlja očnu tačku. Tačka A se nalazi tako što se lenjirom izmeri 60cm duž osnovne linije u desnu stranu od zraka koji spaja nedogled i očnu tačku (centralni vidni zrak). Ovo je prikazano slikom 6.2.

Ako se tačka A spoji zrakom sa nedogledom, dobija se linija koja u stvarnosti predstavlja liniju dužine 60cm u desno koja ide ka horizontu (slika 6.3)

8 Ilustracije u ovom delu preuzete su iz:White,G.(1989), Perspective-A Guide for Artists, Architects and Designers, BT Batsford LTD, LondonAnagnosti, P. (1979), Perspektiva, Naučna knjiga, BeogradSmajić,Z.(2005), Nacrtna geometrija, tehničko crtanje i perspektiva-teorija i zadaci, Autorsko izdanje, Beograd

39

Slika 6.2-Tačka koja dodiruje likoravan

Slika 6.3-Linija koja ide ka horizontu

Neka se tačka B nalazi 90cm u levo od posmatrača i neka dodiruje osnovnu liniju. U pogodnoj razmeri (istoj kao za tačku A) lenjirom se odredi 90cm od centryalnog vidnog zraka u levo, ucrta tačka B i povuče zrak od te tačke do nedogleda. Dobijena slika predstavlja dve paralelne linije razmaknute za 150cm koje sa sastaju u tački nedogleda na horizontu.

Slika 6.4-Dve paralelne linije na definisanom razmaku

Slika 6.5-Jedna od mogućnih realnih interpretacija situacije prikazane slikom 6.4

Ako se ranije pominjani principi smanjenja, skraćenja i konvergencije dovedu u kontekst crtanja perspektive s jednim nedogledom, dolazi se do toga da se lenjirom mogu unositi mere samo na likoravni. Sve ostalo mora biti mereno dovođenjem ili iza likoravni ili ispred likoravni tako da dodiruje likoravan. Stoga osobama koje imaju teškoća sa percepciom prostora nije jasno da dve osenčene površine na slici 6.6 predstavljaju dva kvadrata potpuno jednakih površina.

41

Slika 6.6-Kvadrati jednakih površina

Ukoliko se želi nacrtati kvadrat na osnovnoj površini pri tom znajući dužinu stranice koja dodiruje likoravan, treba znati da se lako određuju dužine ostalih strana kvadrata. Obeležiti tačke A i B na osnovnoj liniji, obe udaljene u levo i u desno od posmatrača za po 90cm, i povući iz tih tačaka zrake do nedogleda. Iz očne tačke vuku se zraci pod uglom od 450 do preseka sa horizontom, čime se praktično dobijaju leva i desna distantna tačka. Iz leve distantne tačke se povuče zrak do temena A; presek toga zraka i zraka koji ide od temena B do nedogleda daje tačku (teme) D kvadrata. Povlačenje paralele iz D do preseka sa zrakom koji iz A ide do nedogleda daje teme C. Na ovaj način dobijena je slika kvadrata stranice duge 180cm.

Slika 6.7-Kvadrat u perspektivi

Ovaj kvadrat moguće je podeliti na mnoštvo manjih kvadrata (na primer na 36) vrlo jednostavno. Pravu veličinu stranice kvadrata (koja je na osnovnoj liniji) podeliti na 6 jednakih delova i sve tačke spojiti sa nedogledom. Paralele sa osnovnom linijom povučene iz presečnih tačaka pomenutih zraka i dijagonale kvadrata daju manje kvadrate.

Slika 6.8-Podela kvadrata

Kvadrat ne mora ležati direktno ispred posmatrača. Na slici 6.9 prikazana je situacija kada kvadrat stranice 150cm ima teme koje je 60cm u levo od posmatrača.

Slika 6.9-Kvadrat koji nije direktno ispred očiju posmatrača

Takođe, kvadrat ne mora ležati kao do sada, da zadnjom stranom dodiruje osnovnu liniju, nego može i prednjom. To je prikazano slikom 6.10, gde a predstavlja poznatu dužinu stranice.

43

Slika 6.10-Kvadrat u perspektivi

Kada je kvadrat „odmaknut“ od osnovne prave, a poznata je dužina njegove stranice i položaj centra (preseka dijagonala), postupak crtanja je sledeći: prvo se nacrtaju horizont, očna tačka (nedogled, N), osnovna prava i centar kvadrata (K). Centar kvadrata se spoji sa distantnom tačkom. Spajanjem centra kvadrata sa očnom tačkom dobija se tačka L, koja je sredina stranice kvadrata (levo i desno od te tačke nanosi se po polovina stranice). Krajevi stranice (temena kvadrata) spajaju sa očnom tačkom i na preseku sa dijagonalom kvadrata (dobijenom spajanjem distantne tačke i centra kvadrata) određuje se veličina strane kvadrata.

Slika 6.11-Slučaj kada kvadrat ne dodiruje osnovnu pravu

Kako ucrtati „poznati“ položaj tačke? Na primer, kako odrediti položaj tačke D koja se nalazi 90cm u levo od posmatrača i 120cm odmaknuta od likoravni?

Na osnovnoj liniji izmeri se 90cm u levo od centralnog vidnog zraka i dobije tačka A, koja se potom spoji zrakom sa nedogledom. Iz tačke A se u desno nanese mera 120cm, dobije tačka B, i onda se ona spoji zrakom sa levom distantnom tačkom. Presek zraka iz A i B određuje traženu tačku D.

Slika 6.12-Crtanje „poznatog“ položaja tačke

Do sada su sve stvarne mere unošene duž osnovne prave, međutim, one se mogu unositi i uspravno po likoravni. Na slici 6.13 prikazana je linija dužine 90cm koja se nalazi 60cm u desno od posmatrača.

Slika 6.13-Crtanje uspravne linije na određenom mestu

45

Ako se tačka A nalazi 60cm u levo i tačka B nalazi 90cm isto tako u levo, i ako se u tim tačkama podignu uspravne linije visine 90cm koje se spoje sa nedogledom, praktično se dobija slika zida debljine 30cm i visine 90cm.

Slika 6.14-Zid

Slika 6.15-Stvarni zid nacrtan prema pravilu sa slike 6.14

Kako nacrtati visinu od 180cm u tački D koja je odmaknuta od likoravni? Ta visina se ne može meriti u toj tački lenjirom, nego samo na likoravni. Iz nedogleda se kroz tačku D ovuče zrak do preseka sa osnovnom pravom i dobije tačka B. U tački B se podigne vertikala dužine 180cm (sada se meri lenjirom) i gornji vrh spoji sa nedogledom. Svaka vertikala između ove dve, u stvarnosti horizontalne, linije ima visinu od 180cm, pa se onda jednostavno u tački D podigne vertikala do preseka sa gornjom linijom koja ide ka nedogledu. Ovaj slučaj je prikazan na slici 6.16.

Slika 6.16-Crtanje definisane vertikale u određenoj tački odmaknutoj od likoravni

Slika 6.17-Skica realne situacije objašnjene slikom 6.16

47

Neka transparentna kutija dimenzija 120x120x180cm leži neposredno ispred posmatrača i jednom stranicom dodiruje osnovnu liniju. Nacrtati kvadratnu osnovu i u tački B ucrtati visinu lenjirom. Iz tačke F povući zrak ka nedogledu i na tom zraku se nalazi gornja ivica kutije. Iz zadnjeg levog temena kvadrata podići vertikalu do gornje ivice. Postupak ponoviti i s druge (desne strane).

Slika 6.18-Crtanje transparentne kutije prizmatičnog oblika

Prikazana tehnika može se iskoristiti za crtanje jednostavnog enterijera.

Slika 6.19-Jednostavni enterijer

Da bi se odredila perspektivna projekcija kruga potrebno je kroz svaku njegovu tačku provući projekcijski zrak. Svi ti zraci skupa čine konus sa vrhom u očnoj tački. Kriva po kojoj likoravan seče konus je perspektivna projekcija kruga, što znači da može biti elipsa, parabola ili hiperbola. Projekcija kruga može biti krug samo u slučaju da je zadati krug paralelan sa likoravni.

Za crtanje kruga u frontalnoj perspektivi (perspektivi s jednim nedogledom) treba ucrtati kvadrat u kome se nalazi krug, distantnu tačku i očnu tačku (crtanje kvadrata je već objašnjeno). Tačke A, B, C i D, kao i 1, 2, 3 i 4, dobijaju se pri crtanju kvadrata. Iz tačke 2 opiše se polukrug od tačke C do tačke D. Iz tačke 2 se sada povlače dijagonale pod uglom od 45o na kružnicu, čime se dobijaju tačke 9 i 10. One se „vraćaju“ na pravu CD i spajaju sa očnom tačkom. Njihovi preseci sa dijagonalama kvadrata daju tačke 5, 6, 7 i 8.

49

Slika 6.20-Krug u perspektivi

Vertikalna prava povučena kroz centar kruga E do podnožja vertikalnog zida i spojena sa levom distantnom tačkom daće na osnovnoj pravoj x tačku od koje se levo i desno nanose veličine poluprečnika. Tako dobijene krajnje tačke prečnika kruga, spojene sa levom distantnom tačkom i produžene do podnožja zida daće na njemu krajnje tačke prečnika kruga. Podizanjem vertikala iz tih tačaka, na horizontalnom prečniku dobijaju se krajnje tačke 3 i 4. Za dobijanje vertikalnog prečnika treba naneti poluprečnike na spoj zida sa frontalnim zidom, koji je ujedno i likoravan. Spajanjem njihovih krajnjih tačaka sa očnom tačkom, na vertikali iz centra kruga E dobijaju se tačke 1 i 2. Tačke 5, 6, 7 i 8 dobijene su pomoću polukruga opisanog iz iz tačke 3 na već opisan način. Tangente u tačkama 5 i 7 odlaze u gornju distantnu tačku, a u donju distantnu tačku odlaze tangente iz tačaka 6 i 8.

Slika 6.21-Perspektiva kruga koji leži u vertikalnoj ravni

Česta je situacija da se poseduje samo ortogonalna projekcija nekog predmeta ili objekta, a da je neophodno nacrtati izgled u perspektivi. Kako to izgleda na primeru stola i stolice u imaginarnom enterijeru, prikazano je slikom 6.22.

Neka je visina horizonta 105cm, a distancija 150cm. Tačka A se nalazi 15cm udesno od posmatrača i odmaknuta je od likoravni za isto 15cm. Mere duže strane stola se nanose na osnovnoj pravoj, od A’ između D i F, pa onda ka nedogledu. Visina stola se nanosi u tački D. Leva gornja tačka pod uglom od 450 (leva distantna tačka) koristi se za bočne mere stola. Tačke PRTUW se uzimaju iz prve projekcije stolice i nanose na osnovnu pravu, počevši od tačke P. Tu se podižu vertikale za nanošenje visinskih dimenzija. Desna distantna tačka (gornja desna pod uglom od 450) se koristi za prednje i zadnje mere stolice, a koje se preuzimaju iz prve projekcije.

Slika 6.22-Crtanje izgleda u perspektivi na osnovu ortogonalnih projekcija

51

7. Perspektiva s više nedogleda mnogim slučajevima perspektiva s jednim nedogledom nije dovoljna niti pogodna za prikazivanje predmeta ili objekata. Isto tako, na jednoj slici može se nalaziti više vrsta

perspektive, gledano sa aspekta broja nedogleda.U

Slika 7.1-Perspektiva s jednim i sa dva nedogleda

Sa slike se vidi da su pragovi šina i horizontalni deo strukture pored pruge paralelni sa likoravni i stoga ne postoji konvergencija. Šine i duže strane strukture su upravne na likoravan i pošto su paralelne sa centralnim vidnim zrakom, one konvergiraju i njihov nedogled se nalazi u centru slike. Dakle, to je slučaj perspektive s jednim nedogledom. Međutim, kofer koji je na šinama stoji ukoso prema likoravni i oba seta njegovih horizontalnih linija su takođe ukoso prema likoravni. Stoga oni konvergiraju levo i desno. Posmatrač na desnoj strani slike (pogled odozgo) pokazuje u njihovom smeru u nameri da locira njihove nedoglede. Ovo je slučaj perspektive sa dva nedogleda.

Kada posmatrač usmeri svoju pažnju ka strukturi pored pruge (slika 7.2), železnički pragovi i donji deo strukture postaju ukoso prema likoravni, kao i šine i duži delovi strukture (ali na drugu stranu). Gledano odozgo (desni deo slike), posmatračeva desna ruka pokazuje na nedogled prvog seta linija, dok leva ruka pokazuje na nedogled drugog seta paralelnih linija. Što se kofera tiče, horizontalni set linija postaje upravan na likoravan i centralni vidni zrak je usmeren ka nedogledu koji se nalazi u centru slike. Drugi set linija kofera je paralelan sa likoravni i na crtežu ostaje paralelan.

Praktično, promenom smera posmatranja došlo je do promene vrste perspektive kod istih objekata.

Slika 7.2- Perspektiva s jednim i sa dva nedogleda

U dosadašnjem tekstu svi objekti koji su crtani u perspektivi imali su neki deo ili stranu paralelnu ili upravnu na osnovnu pravu. Iz tog razloga bilo je mogućno prave mere (dimenzije) nanositi duž osnovne prave ili vertikalno po likoravni. U slučaju kvadrata koji leži u osnovnoj ravni i čije strane konvergiraju ka linijama povučenim pod 450, jedna od dijagonala će biti paralelna sa osnovnom pravom.

Slika 7.3-Kvadrat u osnovnoj ravni sa dijagonalom paralelnom sa osnovnom pravom

53

Posmatrano spreda, ova situacija izgleda kao na slici 7.4.

Slika 7.4- Kvadrat u osnovnoj ravni sa dijagonalom paralelnom sa osnovnom pravom

Na slici nije prikazano da dijagonala koja je upravna na osnovnu pravu konvergira ka nedogledu u centru slike. Nanošenjem dužine dijagonale duž osnovne prave i obeležavanjem njenog rastojanja od iste, kvadrat se sada može nacrtati na uobičajeni način.

Slika 7.5-Korektni crtež kvadrata koji leži u osnovnoj ravni i čija je jedna dijagonala paralelna sa osnovnom pravom

Ukoliko kvadrat leži u levo ili u desno od posmatrača (od centralnog vidnog zraka), dijagonala će i dalje biti paralelna sa osnovnom pravom, što je prikazano na slici 7.6.

Slika 7.6-Kvadrat koji je pomeren u stranu u odnosu na posmatrača

Isti metod se primenjuje i kada je kvadrat odmaknut od likoravni.

Slika 7.7-Kvadrat koji je pomeren u stranu i odmaknut od likoravni

Sasvim je realno očekivanje da u stvarnosti kvadrat najčešće neće imati ni stranicu niti dijagonalu paralelnu sa osnovnom pravom. Konsekventno, dimenzije stranice ili dijagonale neće moći da se nanose direktno na osnovnu liniju. Da bi se rešio problem, neophodno je podsetiti se da ukoliko se želi odrediti neko rastojanje duž linije koja ide ka nedogledu, mera rastojanja se nanosi duž osnovne prave, potom zrakom „vraća“ do „nedogleda od 450“ (leve distantne tačke), presecajući liniju na traženom mestu.

Umesto merenja uglova od 450 u očnoj tački, jednostavnije je iz mesta gde centralni vidni zrak preseca horizont šestarom otvora jednakom rastojanju od tog mesta do očne tačke nacrtati polukrug koji preseca liniju horizonta s leve i s desne strane. Na taj način se dobijaju levi i desni „nedogled pod 450“ (leva i desna distantna tačka).

55

Slika 7.8-Kvadrat pod proizvoljnim uglom

Pošto se leva i desna distantna tačka (nedogledi pod 450) koriste za merenje rastojanja na liniji koja ide ka preseku centralnog vidnog zraka i horizonta, može se reći da te tačke predstavljaju merne tačke (MT) za linije kojima je presek centralnog vidnog zraka i linije horizonta nedogled. Da bi se odredila merna tačka za neki nedogled, dovoljno je iz nedogleda povući luk jednak rastojanju od nedogleda do očne tačke, sve do preseka sa linijom horizonta.

Slika 7.9-Kvadrat pod proizvoljnim uglom i odmaknut od likoravni

Neka kvadrat stranice dužine 150cm leži u osnovnoj ravni, pomeren 40cm udesno od posmatrača i odmaknut od likoravni za 50cm. Ovo teme kvadrata može se odrediti pomoću preseka

centralnog vidnog zraka i linije horizonta, i „nedogleda pod 450“. Stranice kvadrata nagnute su pod uglom od 600 (leva stranica) i 300 (desna stranica). Svaka merna tačka korišćena je za deobu kvadrata na 25 identičnih manjih kvadrata. ova situacija prikazana je slikom 7.9.

U slučajevima kada nije poznat položaj nedogleda, problem može biti njihova lokacija na crtežu. Nikako se ne sme smesti s uma svrha crtanja u perspektivi: dobijanje što je više moguće realističnog prikaza predmeta ili objekta, i stoga položaju nedogleda treba posvetiti dužnu pažnju.

Ako umetnik sedi i na prozorskom staklu crta sto koji se nalazi na tremu kuće (hipotetička situacija, samo u svrhu objašnjenja), realno su mogućne dve situacije i to bliski nedogledi, i nedogledi široko razmaknuti. Kako to deluje na izgled predmeta, prikazano je slikom 7.10, gde tačke A i B predstavljaju nedoglede.

Slika 7.10-Uticaj položaja nedogleda na izgled nacrtanog predmeta

Slučajevi kada su nedogledi jako blizu i kad na crtežu pravougaoni objekti dobijaju izgled izduženih romboida ili deltoida, ponekada u literaturi9 nazivaju se „violentna perspektiva“ ili „iskrivljena perspektiva“.

Uticaj razmaka nedogleda se lako uočava na slici 7.11, tako da se bez teškoća može izvesti zaključak da veliki razmak nedogleda daje verniji prikaz realne situacije koja se crta.

9 Norling,E.,R. (1999), Perspective Made Easy, Dover Publications,Inc., N.Y.

57

Slika 7.11- Uticaj položaja nedogleda na izgled nacrtanog predmeta

Promena položaja nedogleda sasvim menja izgled slike. Na primeru imaginarnog enterijera prikazano je kako pomeranje nedogleda sasvim u levo ili sasvim u desno daje drugačije prikaze. S druge strane gledano, ovo saznanje daje umetniku slobodu da bolje izrazi svoje ideje i ostvari realističan prikaz situacije.

Slika 7.12-Bliski nedogledi nalaze se na crtežu

Slika 7.13-Levi nedogled van crteža

Slika 7.14-Desni nedogled daleko van crteža

8. Kosa perspektivao nekim autorima10 ovo je najinteresantniji deo u proučavanju perspektive, pošto uzima u obzir P

različite nagibe predmeta ili objekata prema likoravni, uzbrdice i nizbrdice, krovove i slično.

Slika 8.1-Nagnuti krov u rastućoj ravni

Na slici 8.1 prikazan je krov koji se uzdiže ispred posmatrača, sa strehom koja je bliža likoravni nego što je to sleme (greben) krova. Za ovu stranu krova može se reći da je u rastućoj ravni.

Slika 8.2-Nagnuti krov u opadajućoj ravni

Dalja strana krova ima greben bliži likoravni nego što je streha. Ovo znači da je krov nagnut naniže i da se nalazi u opadajućoj ravni.

Na slici 8.3 prikazane su kuće koje nisu paralelne sa likoravni i čije se ravni krovova nalaze pod različitim uglovima. One su, u stvari, kose ravni koje nisu ni horizontalne ni vertikalne prema

10 White,G.(1989), Perspective-A Guide for Artists, Architects and Designers, BT Batsford LTD, London

59

likoravni, ali čiji kontakt sa likoravni može biti određen i zahtevane dimenzije ili rastojanja mogu biti merene duž linije nedogleda.

Slika 8.3-Krovovi u kosim ravnima

Slika 8.4-Pejzaž u kosoj perspektivi

Sa slike 8.4 se vidi da linije ulice i trotoara koje idu na dole imaju nedogled u označenoj tački na plaži, dok linije ivica kuća nedogled nalaze u tački na horizontu koja je tačno iznad tačke na plaži.

Neka kutija leži u osnovnoj ravni i neka njene strane idu ka nedogledima pod 450 sa leve i desne strane. Uz stranu kutije prisloniti (naravno hipotetički) komad čvrstog papira (slika 8.5).

Slika 8.5-Kutija u osnovnoj ravni i nedogledima pod 450

Sada se lagano otvori poklopac kutije i može se primetiti da dodiruje prislonjeni papir, bez obzira na ugao otvaranja.

Slika 8.6-Lagano otvaranje poklopca kutije

61

Ovo kazuje da se jedna ivica poklopca nalazi u istoj ravni kao i strana kutije. Kako ivice strane kutije idu ka nedogledu pod 450 u levo, vertikalna linija je povučena naniže kroz taj nedogled i na njoj će se nalaziti nedogledi svih položaja ivica poklopca koji se otvara. Što se više poklopac otvori, to nedogled biva niži, i za ravan poklopca se kaže da leži u opadajućoj (silaznoj) ravni.

Slika 8.7-Opadajući nedogled

Daljim otvaranjem poklopac će doći u poziciju da je otvoren 900, što sada znači da se ravan poklopca nalazi pod pravim uglom u odnosu na osnovnu ravan i kutija se može nacrtati u običnoj (paralelnoj) perspektivi s jednim nedogledom.

Slika 8.8-Uspravno otvoreni poklopac (perspektiva s jednim nedogledom)

Ako se kutija otvori još više (više od 900), poklopac će i dalje dodirivati prislonjeni papir, ali će nedogled promeniti mesto i postati rastući nedogled.

Slika 8.9-Promena položaja nedogleda

Sada se može izvući zaključak da ma koliko se poklopac otvori, svi nedogledi poklopca će se uvek nalaziti na vertikalnoj liniji povučenoj kroz nedogled kutije i njihovi uglovi se mogu naneti (respektivno) u mernoj tački na liniji horizonta. Ova situacija je prikazana slikom 8.10.

63

Slika 8.10-Unošenje vrednosti uglova u crtež

Sve prave su sadržane u nekoj ravni i svaka ravan sadrži distantnu pravu u kojoj se nalaze svi nedogledi i blisku pravu koja dodiruje likoravan na kojoj se mogu vršiti merenja. U paralelnoj (s jednim nedogledom) i ugaonoj (s više nedogleda) perspektivi, ove prave su poznate kao linija horizonta i osnovna linija. Sada je drugačija situacija i to je prikazano slikom 8.11.

Slika 8.11-Linije i ravni u kosoj perspektivi

Na slici 8.12 duž AB se nalazi u kosoj ravni, čiji smer je ka desnom nedogledu pod 450 i koja je nagnuta ka levom nedogledu pod 450 i čiji rastući nedogled je nešto iznad pomenutog. Distantna linija (distantna prava) na kojoj se nalaze svi rastući nedogledi je vertikalna linija povučena kroz nedogled pod 450. Uglovi nagiba se mere u mernoj tački (M.T) ovog nedogleda (u ovom slučaju 200). Da bi se dobila bliska linija koja dodiruje likoravan neophodno je povući liniju od N450

kroz F i A do preseka sa osnovnom linijom (O.L) u tački P. Zato što je linija nedogleda kose ravni vertikalna linija i bliska linija povučena kroz P će, takođe, biti vertikalna. Ova linija se naziva linija slike i na njoj se mogu vršiti direktna merenja.

Slika 8.12-Linija nedogleda i linija slike

Neka se sada kvadrat zaokrene kao na slici 8.13. U ovoj situaciji linija nedogleda korespondira liniji horizonta, linija slike osnovnoj liniji i postoji tačka u kojoj je meren ugao nagiba. Ova tačka korespondira tački O i obeležena je kao O2. Uglovi kose ravni mere se u O2.

65

Slika 8.13-„Okrenuta“ slika 8.12

Slika 8.14-Prava veličina duži na kosoj ravni

Sada je neophodhodno prisetiti se načina određivanja merne tačke (M.T) za neki nedogled (N): u otvor šestara se uzme rastojanje od N do O i opiše se luk koji preseca liniju koja sadrži nedogled, čime je nađena tačka M.T. U ovom slučaju, uzme se rastojanje od R.N do O2 u otvor šestara i tim radijusom opiše luk do preseka sa linijom koja sadrži nedogled. Na taj način dobijena je rastuća merna tačka (R.M.T). Ako se iz te tačke povuče zrak kroz A do preseka sa linijom slike i dobije tačka A’, potom zrak kroz B do preseka sa linijom slike i dobije B’, rastojanje A’B’ predstavlja pravu dužinu duži AB na kosoj ravni (slika 8.14).

Sada se slika može okrenuti u originalnu poziciju i dobija se izgled kao na slici 8.15.

Slika 8.15-Paralelogram u kosoj ravni

Neka prizmatična kutija leži u osnovnoj ravni i neka je distancija 300cm, a visina horizonta 150cm. Kako nacrtati kutiju sa poklopcem otvorenim pod uglom od 500?

Pretpostavka je da je osnovna skica napravljena i da se iz nje se vidi da kutija leži u osnovnoj ravni i da je poklopac otvoren pod datim uglom. Da je poklopac zatvoren, sve stranice bi konvergirale ka N450, ali čim se poklopac otvori, tačka konvergencije se pomera iznad N jer leži

67

u rastućoj ravni. Iznaći M.T450 i iskoristiti je kao O2. Iz tačke O2 povući zrak pod uglom od 500

iznad linije horizonta i produžiti ga do preseka sa vertikalnom linijom nedogleda povučenom pod pravim uglom kroz N450. Time se dobija rastući nedogled pod 500 (R.N 500). Kraće stranice poklopca „produžiti“ do ove tačke. Sada se uzme rastojanje od R.N500 do O2 i sa tim radijusom iz R.N500 opiše luk do preseka sa vertikalnom linijom nedogleda. Presečna tačka je rastuća merna tačka (R.M.T 500). Pošto K već dodiruje ravan slike, dužina poklopca se nanese do M’ i ta tačka spoji zrakom sa R.M.T 500, i u preseku tog zraka i zraka od K do R.N500 dobija se tačka M. Duž KM je tražena dužina poklopca. Linija od M do desnog N450 daće dužu ivicu poklopca, a linija od drugog temena koje je na isotj ivici sa K do RN500 daće drugu kraću ivicu poklopca.

Slika 8.16-Kutija sa poklopcem u rastućoj kosoj ravni, pod definisanim parametrima

Slika 8.17- Kutija sa poklopcem u opadajućoj kosoj ravni, pod definisanim parametrima

Kako se poklopac sada nalazi u opadajućoj ravni, ugao od 500 mora se naneti ispod linije horizonta. Nanese se ovaj ugao do preseka sa vertikalnom linijom nedogleda i time dobije O.N500, sa kojim se spoje kraće strane poklopca. Merna tačka ovog nedogleda se nalazi na uobičajeni način: sa O.N500 kao centrom opiše se luk radijusa O.N500-O2 do preseka sa vertikalnom linijom nedogleda i time dobija tačka O.M.T500. Odavde se povlači zrak kroz B do preseka sa linojom slike i dobija B’(na slici 8.17 tačka B’slučajno koincidira sa dnom kutije). Od B’do C se nanosi širina kutije i potom dobija tačka (teme) C’ u preseku zraka O.M.T500-C i O.N500-B. Ostale tačke i ivice poklopca crtaju se shodno slici 8.17.

69

9. Krivolinijska perspektiva proučavanjima perspektive od 19.veka naovamo, krivolinijska11 perspektiva uvek je predstavljala veliki izazov, jer uključuje predstavljanje prostora pomoću krivolinijskih

zraka ka nedogledima umesto uobičajenih pravolinijskih. Kako ove krive konvergiraju na oba svoja kraja, horizontalne i vertikalne transverzale stvaraju po dva nedogleda, a peti nedogled nastaje pomoću ortogonala paralelnih sa smerom posmatranja.

U

Razlika između linearne i krivolinijske perspektive se iskazuje u izgledu crteža tako da kod linearne perspektive udaljeni predmeti ili objekti izgledaju još dalji, a bliski objekti izgledaju preglomazni sa izraženim distorijama na oba kraja, dok kod krivolinijske perspektive „gomilaju“ se bočni izgledi objekta ka centru slike, ali se implicitno pojačava osećaj ličnog prisustva.

Slika 9.1-Čuveni Sierpinski fraktal nacrtan u krivolinijskoj perspektivi

11 U literaturi se krivolinijska perspektiva naziva još i sferična perspektiva, perspektiva sa pet nedogleda, „fish-eye“ perspektiva, ...

Krivolinijska perspektiva je često posmatrana kao deo kritika linijske perspektive, naročito po pitanju perspektivne distorzije. Uobičajeni i veoma efikasni načini za izbegavanje distorzije su posmatranje objekta sa veće distance, ili crtanje kose perspektive tako da naginjanje horizontalnih ili vertikalnih elemenata bude konzistentno sa uticajem jednog od nedogleda. Međutim, ovi zaobilazni načini su se pokazali kao veoma nepraktični za predstavljanje velikih i prostranih enterijera, naročito u verskim objektima, pošto suženi krug posmatranja onemogućuje uvid u celokupno arhitektonsko delo.

Slika 9.2-Unutrašnjost crkve u Roslinu12, Škotska, u krivolinijskoj perspektivi

U periodu od 16. do 20.veka teoretičari perspektive istraživali su problem geometrijski izobličenih (anamorfičnih) izgleda koji mogu biti „vraćeni nazad“ u svoj normalni perspektivni izgled posmatranjem u ogledalu zakrivljenom na odgovarajući način. Ova proučavanja često su se preklapala sa problemom perspektivne distorzije, naročito razlike u izgledima posmatrano pravo napred i ukoso na obe strane. Krivolinijska perspektiva, prema literaturi13, prvi put je predložena 1624. god. od strane Vilhelma Šikharta (Schickhardt), matematičara i astronoma iz Tibingena u Nemačkoj. Njegova hipoteza je bila da sve prave linije, ukoliko ne stoje direktno ispred oka ili ne prolaze kroz osu oka, obavezno postaju pomalo zakrivljene. Na slici 9.3, prema Šikhartu, linije ab i cd što se više odmiču od posmatrača u tački v postaju sve manje i manje, ali na način da ne proizvode oštre uglove u tačkama o i p, nego luk. Ovu hipotezu oborio je Johanes Kepler, čuveni astronom i Šikhartov savremenik, logički dokazavši da je ljudima fizički nemoguće da vide nedoglede x i y gledajući pravo napred, a da bi ih videli mora se promeniti smer posmatranja, dakle cela perspektivna geometrija. Šikhartove krive nisu ništa drugo do

12 Rosslyn Chapel, pravo ime Collegiate Chapel of St Matthew, postala je svetski poznata nakon knjige Dena Brauna “DaVinčijev kod”.13 Panofsky,E.(1991), Perspective as Symbolic Form, Zone Books, New York

71

srednja vrednost neograničenog broja različitih perspektivnih projekcija dobijenih okretanjem glave ili likoravni od jednog smera posmatranja do drugog.

Slika 9.3-Ilustracija Šikhartove hipoteze

I pre nastanka pominjanog matematičkog predloga, mnogi renesansni umetnici počevši od Leonarda, bili su svesni da linearna perspektiva izgleda ne prikazuje tačno svo vizualno iskustvo. Tokom renesanse jedna od osnovnih ideja je bilo fundamentalno jedinstvo između viđenja i znanja, pa linearna perspektiva nije toliko reprezentacija viđenja, nego je više područje gde se viđenje i znanje preklapaju. Tokom 18.veka evropska kultura počela je da se ozbiljno zanima za probleme percepcije boja i vizualne iluzije, i tada je nedvosmisleno dokazano da je viđenje fiziološki i subjektivan proces, različit od znanja. Tada je nastala razlika koja se manifestovala radovima brojnih umetnika, kao na primer Konstabl (Constable), Mone (Monet) i drugi, koji su prihvatili da je vizuelno iskustvo različito od znanja (zasnovanog na percepciji). Neki umetnici u koje spadaju Mane (Manet), Sera (Seurat) i drugi, svojim radovima su pokazivali da ono što se vidi normalno posmatrano ne predstavlja ono što se stvarno vidi gledano izbliza. Kao reakcija, mnogi umetnici odbacili su vizualne činjenice radi uvida u ono što izgleda kao iskustvena posledica percepcije. Oni su našli načine da predstave „realnosti višeg reda“ kao vrstu vizualnog iskustva koje nije eksplicitno vezano za optičke ili statičke izglede objekata, predmeta i drugog. Istaknuti stvaraoci koji su uspeli da predstave duhovna iskustva i emocije na ovaj način su Matis (Matisse), Kandinski (Kandinsky), Pikaso (Picasso), Polok (Pollock),... Krivolinijska perspektiva može se predstaviti kao konzervativna reakcija, kao pokušaj ponovnog stvaranja jedinstva između viđenja i znanja izmenom pravila posmatranja kako bi odgovarala intuiciji trodimenzionalnog znanja.

Za konstruisanje krivolinijske perspektive neophodno je nacrtati pogodnu mrežu i to je dugotrajan posao bez velikog zamora. Cilj je napraviti podlogu (templejt) koja predstavlja pravougaonu mrežu beskonačne dužine i širine, paralelnu sa likoravni, posmatranu u krivolinijskoj perspektivi, odnosno, sferičnu mrežu kao što je prikazano na slici 9.4. Prikazana mreža ima podelu od 50 (što, otprilike, odgovara dužini od 30cm posmatranoj sa oko 3,3m udaljenosti) i pri uglu posmatranja od 600 predstavlja 70% ukupnog viđenja prostora. Crtanje objekata na takvoj mreži prikazano je slikom 9.6.

Slika 9.4-Podloga za crtanje krivolinijske perspektive

Slika 9.5-Umetnički rad koji liči na podlogu za crtanje krivolinijske perspektive

73

Slika 9.6-Crtanje krivolinijske perspektive

Postoji konsenzus savremenih teoretičara perspektive oko toga da se nijedna dvodimenzionalna projekcija ne može staviti iznad standardnih metoda linearne perspektive u slučaju kada se objekat posmatra jednim okom iz centra projiciranja. Pod ovim uslovima perspektivni crtež zaista obuhvata sve vizualne uglove originalne scene. Postojeća perspektivna distorzija postoji zato što se objekat ne posmatra iz odgovarajućeg centra projiciranja i smera posmatranja, ili je u pitanju promena perspektivne geometrije, ili, u najgorem slučaju, više različitih geometrija je stopljeno u jedan nacrtani izgled.

Krivolinijska perspektiva, može se slobodno reći, predstavlja stanje posmatranja u isto vreme u više pravaca, odnosno, ona sumira mnoge moguće izglede dobijene iz jedne tačke posmatranja, i stoga se može smatrati vizualno sinkretičkom i filozofski postmodernom.

Slika 9.7-Bruklinski most u dve različite perspektive

75

10. Senkeeometrija prirodnih (sunčevih) senki često može predstavljati izuzetno kompleksne perspektivne konstrukcije usled mnogobrojnih mogućih aranžmana izvora svetla, ivice

objekta koja stvara senku i površine na koju pada senka, a sve u odnosu na položaj posmatrača. Izučavanje senki uzrokovanih suncem predstavlja osnovu za konstrukcije senki usled veštačkih izvora svetla, bez obzira na to da li je reč o enterijeru ili eksterijeru.

G

Kada god se započinje perspektivna analiza ili konstrukcija senke, korisno je razmotriti šest faktora koji utiču na oblik i izgled senke:

1) lokacija izvora svetla, u odnosu na objekat koji stvara senku, mesto i smer posmatranja (ispred ili iza posmatrača, iznad ili ispod posmatrača, levo ili desno od posmatrača),

2) geometrija objekta, oblik i lokacija (u odnosu na posmatrača i izvor svetla) materijalnog tela koje stvara senku (nnpr. vertikalni stub, horizontalni most, nagnuti krov, ...),

3) geometrija površine na koju pada senka (vertikalni zid, horizontalni pod, nagnuti krov, lučni otvor u bočnom zidu, ...),

4) vizualni ugao izvora svetla gledano sa ivice koja stvara senku (ugao u horizontalnoj ravni meren u radijanima), koji određuje zatamnjenost i oštrinu ivice senke (vizualno mali ili jako udaljeni izvori svetla proizvode oštrije senke),

5) distanca senke, odnosno rastojanje od ivice koja stvara senku do površine na koju pada senka (mala distanca daje oštrije senke),

6) razlika u luminescenciji i boji između izvora svetla koje stvara senku i svetlosnog izvora (ukoliko postoji) usmerenog ka senki (veliki kontrast u osvetljenosti zatamnjuje senku).

U velikom broju situacija poslednja tri faktora imaju fiksan uticaj: ugaona veličina sunca je relativno mala (oko 0,50), največi broj objekata koji stvaraju senku su na tlu ili blizu njega, i konačno, sunce je izuzetno svetao izvor svetla (logično, izuzetak je oblačno vreme kada je sunčevo svetlo slabije i difuzno). Sve ovo redukuje konstrukciju senke u perspektivi na geometriju izvora svetla, posmatrača, objekat i površinu, koji se sa svoje strane tradicionalno predstavljaju ili pravim uglovima ili lučnim arhitektonskim formama.

Za bolje razumevanje razlike između pojmova „površina u senci“ i „senka“ neophodno je pogledati sliku 10.1. Površina objekta koja nije direktno pod uticajem svetla („okrenuta leđima svetlu“) nalazi se u senci, ali senka14 objekta nalazi se na površini na koju pada. Isto tako, neophodno je imati u vidu da stvarne senke imaju difuzne ivice15 koje umanjuju zatamnjenost cele senke, međutim, ova pojava se može sasvim zanemariti kod sunčevih senki i njen uticaj se može razmatrati samo ako se senka posmatra sa velike udaljenosti (slika 10.2).

14 U anglosaksonskoj literaturi, ali i u našem jeziku ponekad, senka se naziva umbra.15 Ove ivice se nazivaju penumbra.

Slika 10.1-Površina u senci i senka

Slika 10.2-Umbra i penumbra

Na slici 10.2 prikazana je senka kocke pod svetlom fluorescentne cevi. Uočljivo je da je penumbra jako izražena i koliki je njen uticaj na oštrinu i veličinu senke.

Na slici 10.3 prikazana je razlika između sunčeve senke i senke usled veštačkog izvora svetla. Lako se primećuje da je senka usled sunca oštrija i bez zamagljenih ivica.

77

Slika 10.3-Razlika senki usled sunca i usled veštačkog izvora svetla

Kako je udaljenost Sunca od Zemlje približno jednaka 108 njegovih prečnika i kako zbog toga njegova vizualna veličina iznosi oko 0,50, u poređenju sa visinom objekata na Zemlji zraci sunčevog svetla pokazuju istu vizualnu konvergenciju kao paralelni zraci. Sunčev disk je dovoljno mali da sa dovoljno tačnosti aproksimira nedogled tih paralelnih zraka. Dakle, sunčevi zraci padaju paralelno na objekte koji usled toga stvaraju senku.

Slika 10.4-Sunčevi zraci i senka

Ako se pretpostavi da je sunce ispred posmatrača, onda će senka posmatrača biti iza njega i biće odmaknuta od linije horizonta (slika 10.5).

Slika 10.5-Sunce ispred posmatrača

Ukoliko se spusti vertikala iz tačke S (sunce) do linije horizonta, dobija se tačka koja predstavlja nedogled senke svih vertikala u osnovnoj ravni. Sada, ako se povuče zrak iz nedogleda senke kroz osnovu vertikale, dobija se smer senke. Povlačenjem zraka iz tačke S kroz vrh vertikale do preseka sa smerom senke, dobija se dužina senke. Na slici 10.6 prikazan je slučaj kada je sunce tačno iznad preseka centralnog vidnog zraka i horizonta, odnosno vertikala spuštena iz tačke S pada u tu tačku. Sa slike se takođe može videti da je sunce pod uglom od 45 0 u odnosu na horizont.

Slika 10.6-Određivanje dužine senke

79

Sa slike 10.7 se vidi da je sunce ulevo od posmatrača pod uglom od 600 i u odnosu na horizont pod uglom od 450 (obratiti pažnju na to da je ugao od 450 nanet u mernoj tački za 600 ).

Slika 10.7-Sunce ulevo od posmatrača

Slika 10.8-Sunce je udesno od posmatrača za 450 i nisko na horizontu pod uglom od 300

Zato što je sunce jako udaljeno i zato što su njegovi zraci paralelni, u slučaju da se ono nalazi direktno iza posmatrača, senka će imati nedogled u preseku glavnog vidnog zraka i horizonta (slika 10.9)

Slika 10.9-Sunce direktno iza posmatrača

Pod istim uslovima i ostali vertikalni objekti će imati isti nedogled senke kao i posmatrač.

Slika 10.10-Nedogled senke uspravnih objekata

U slučaju kada je sunce iza posmatrača, ono se ne može nacrtati na crtežu, ali se može označiti tačka nedogleda senki, i ta tačka će se koristiti u kasnijim konstrukcijama. Ako se pretpostavi da je sunce ulevo iza posmatrača (senka, normalno, ide udesno), produži se linija senke do preseka sa horizontom i ta tačka preseka se naziva nedogledom senke na osnovnoj ravni. Pravac od nedogleda duž senke ukazuje na pravac sunca. Ukoliko se spoji vrh senke sa vrhom objekta koji pravi senku i nastavi zrak na dalje, ići će se u pravcu sunca. Ugao koji taj zrak pravi sa osnovnom ravni određuje visinu sunca (slika 10.11) i taj ugao je mogućno izmeriti.

81

Slika 10.11-Nedogled senke i ugao koji definiše visinu sunca

Dakle, paralelni sunčevi zraci prolaze kroz vrh objekta i vrh njegove senke sve do tačke preseka sa vertikalom spuštenom iz nedogleda senke. Ta tačka preseka naziva se nedogledom sunčevih zraka i uvek se nalazi i crta na papiru ispod linije horizonta.

Slika 10.12-Nedogled sunčevih zraka

Visina sunca se meri u mernoj tački nedogleda njegovog pravca, ali u ovom slučaju meri se ispod horizonta. Linija od merne tačke do nedogleda sunčevih zraka određuje ugao pod kojim sunčevi zraci padaju na objekat.

Slika 10.13-Određivanje ugla pod kojim padaju sunčevi zraci

Na slici 10.14 prikazan je slučaj kada je sunce udesno iza posmatrača pod uglom od 450 u odnosu na likoravan, a pod 300 u odnosu na horizont (visina sunca). Smer senke će biti ka levom nedogledu od 450, i onda se ugao od 300 nanosi iz merne tačke 450 ispod horizonta do preseka sa vertikalom povučenom iz nedogleda. Tačka preseka je nedogled sunčevih zraka. Linija povučena kroz vrh objekta do ovog nedogleda određuje dužinu senke.

Slika 10.14-Sunce udesno iza posmatrača

83

Senke koje padaju na kosu ravan su poseban slučaj (slika 10.15). Kada senka padne na ravnu osnovnu ravan njen nedogled se nalazi na liniji horizonta, to jest na liniji nedogleda ravni na koju senka pada.

Slika 10.15-Senka na kosoj ravni

Ako senka npr. vertikalne linije pada na kosu ravan, neophodno je odrediti liniju nedogleda te ravni, a to se čini tako što se povuče linija kroz bilo koja dva njena nedogleda (smer linije je nebitan). Vertikalni zrak spušten iz sunca do ove linije daje nedogled senke u toj ravni, dok dužinu senke određuje zrak povučen kroz vrh objekta.

Na slici 10.15 prikazan je slučaj stuba koji stoji na ravni koja ide gore nadesno odmah ispred posmatrača pod uglom od 300. Sunce je udesno iza posmatrača pod uglom od 450 i na visini od 400. Vertikalni zrak povučen iz sunca do linije nedogleda daje nedogled senke. Linija iz nedogleda senke povučena kroz osnovu stuba daje smer senke, a zrak od sunca kroz vrh stuba daje dužinu senke.

Kada senku baca veštačko svetlo mogućno je odrediti tačku direktno ispod izvora svetla („normalna tačka“) iz koje polazi senka. Slično kao kod senke od sunca, zrak od svetla kroz vrh objekta određuje dužinu senke.

Slika 10.16-Senka od veštačkog izvora svetla

Slika 10.15-Senka na nagnutoj ravni

Ukoliko senka vertikalnog stuba „susreće“ vertikalni zid, onda se ona „penje“ uz njega (slika 10.17).

Kada senka vertikalnog stuba pada na nagnutu ravan, onda ona produžava u smeru te ravni (slika 10.18).

85

Slika 10.17-Senka „susreće“ vertikalni zid

Slika 10.18-Senka pada na nagnutu ravan

Ranije pomenuta „normalna tačka“ je tačka na ravni koja je fizički najbliža izvoru svetla, odnosno, ta tačka se nalazi na normali iz izvora svetla na horizontalnu ravan na koju pada svetlo. Glavna komplikacija pri konstrukciji senki zbog veštačkog svetla u enterijeru nastaje usled činjenice da svaki unutrašnji zid, pod, tavanica i nameštaj imaju normalnu tačku za senku koja pada na njih od svakog izvora svetla (slika 10.19).

Slika 10.19-Normalne tačke u jednostavnom enterijeru

Za svaku arhitektonsku površinu normalna tačka, u stvari, predstavlja nedogled senke koja se stvara na njoj (slika 10.20).

Ukoliko objekti koje stoje u horizontalnoj (osnovnoj) ravni koso u odnosu na zidove i na različitim rastojanjima u odnosu na iste, neophodno je obratiti pažnju na to da senka prelazi na relevantne zidove.

Difuzno svetlo stvara difuzne senke (slika 10.21), međutim, te senke su zaista kompleksne i nepraktično ih je konstruisati perspektivnim tehnikama. Znanje tih tehnika treba iskoristiti za određivanje ivica senke i njenog tamnog dela, što predstavlja osnovu za slobodoručno crtanje kompletne senke kasnije.

87

Slika 10.20-Normalne tačke kao nedogledi senki

Slika 10.21-Senke od difuznog svetla

Slika 10.22-Primer senki u enterijeru

Slika 10.23-Primer senki u enterijeru

89

11. Refleksije

Slika 10.1-Refleksije

efleksije su linearna perspektiva izgleda (objekta) transformisanog od strane oblika površine (refleksne). Ako je ta površina ravna, kao na primer vodeno ogledalo (mirna

površina vode), tada je izgled obrnut: ono što je gore vidi se dole, a ako je u pitanju vertikalno ogledalo, izgled je isto obrnut, samo u smeru levo-desno.

R

Glavno pravilo kada su u pitanju refleksije od ravne površine je vrlo jednostavno: sve je upravljano od strane linija upravnih na površinu ogledala. O čemu se radi? Identične tačke objekta i njegove reflesije leže na jednoj (istoj) liniji upravnoj na površinu ogledala, i refleksija objekta izgleda kao da je na istom rastojanju iza ogledala kao i objekt ispred istog. „Optika“ ove situacije prikazana je slikom 10.2, gde posmatrač sa mesta posmatranja ukoso gleda u ogledalo koje se nalazi u ravni ax. Vidni zraci se reflektuju od ogledala i pri ovome veličine vizualnog ugla 1 (pre refleksije) i vizualnog ugla 2 (posle refleksije) su potpuno jednake, i uglovi se nalaze na suprotnim stranama vertikale na površinu ogledala. Stoga objekat izgleda kao da je prešao pravolinijsku putanju kroz ogledalo do virtualnog prostora iza ogledala. Izgled objekta kao da je dobijen posmatranjem sa virtualne tačke posmatranja (a ne stvarne) i obrnut je na način levo-desno u smeru koji je, takođe, upravan na površinu ogledala.

Ova logika vredi i za objekte koji se ne vide u ogledalu, na primer posmatrač. Virtualna tačka posmatranja je udaljena isto toliko iza ogledala koliko je stvarna tačka posmatranja ispred njega, i obe se nalaze na liniji povučenoj kroz tačku x upravno na površinu ogledala.

Slika 10.2-Glavno pravilo refleksija

Ako se između dlanova stavi komad providnog stakla i povuče se neprekidna linija po staklu oko dlana, rezultat će biti identičan kao da se dlan „ogleda“ u ogledalu. Odnosno, dlan ispod stakla predstavlja reflesiju dlana iznad.

Slika 10.3-Dlan kao refleksija drugog dlana

91

U literaturi16 se može naći da je refleksija na ravnim površinama „levoruka i obrnuta naglavačke“. Kako je ponekad teško odlučiti šta je refleksija, a šta stvarni izgled (fotografija odraza planine u mirnoj jezerskoj vodi, na primer), u tim slučajevima važi pravilo da što je nivo oka (linija horizonta) bliži površini ogledala, to je veća sličnost refleksije i stvarnog izgleda.

Slika 10.4-Refleksija „levoruka i obrnuta naglavačke“

Refleksija nekog objekta može se nacrtati i uz pomoć ortografskih projekcija (slika 10.5). Neka je visina oka 142cm, a distanca od likoravni 255cm. Prema ovoj metodi, prva projekcija (tlocrt) crta se iznad linije horizonta. Tačka A nalazi se 90cm udesno od posmatrača i isto toliko je udaljena od likoravni.

16 Norling,E.,R.(1999.), Perspective made easy, Dover Publications,Inc., Mineola,N.Y.

Slika 10.5-Crtanje refleksije pomoću ortografskih projekcija

Pošto je upadni ugao jednak odbojnom uglu (uglu refleksije) jednostavno je nacrtati tlocrt refleksije, ali pravi problem je kako „staviti“ sve to u kontekst perspektive. Potrebno je nacrtati osnovni dijagram na uobičajeni način, odrediti nedoglede i pronaći tačku A, sada označenu sa A 2

(kako je prikazana slika mala, tačke se ne vide jasno: tačka A2 je na donjem levom uglu perspektivne slike slike pravougaonika desno od glavnog vidnog zraka). Iz svih uglova tlocrta i refleksije pravougaonika ovuku se linije ka očnoj tački (O). Gde ove linije seku liniju horizonta dobijaju se tačke iz kojih se spuštaju vertikale ka osnovnoj ravni. Linija iz A prolazi kroz

93

A’(presek sa linijom horizonta) do A2, potom se povlače horizontale do preseka sa spuštenim vertikalama i, na kraju, iz presečnih tačaka vuku se zraci do preseka glavnog vidnog zraka i horizonta. Linija iz A2 povučena preko ivice ogledala preseca je u P2 i onda se vraća do N600. Korišćenjem vertikala i nedogleda sada se mogu nači ostale tačke perspektivnog crteža.

Slika 10.6-Refleksija u ogledalu

Refleksije u ogledalu su stvar koja nema neku veliku primenu u arhitektonskom crtanju, pogotovo enterijera. No, neka su početni podaci (visina oka i distancija) za crtanje slike 10.6 identični podacima slike 10.5. Pravougaonik 90cm x 120cm leži u osnovnoj ravni sa najbližim temenom 90cm ulevo od posmatrača i isto toliko udaljenim od likoravni. Vertikalno ogledalo didiruje likoravan u tački 112,5cm udesno i ima nedogled ulevo pri 600. Prvo se nacrta trag ogledala i pravougaonik uobičajenim tehnikama crtanja perspektive. Upadni ugao je 600, dakle, i ugao refleksije je isto toliko. Stranice pravougaonika koje su paralelne sa likoravni seprodužuju zracima do ogledala i potom do N600. Korišćenjem merne tačke MT600 meri se rastojanje AP udesno od Q po osnovnoj liniji. Ovo rastojanje „vraća“ se unazad do MT600, čime AP postaje jednako PB. Refleksija se crta korišćenjem N300.

Ukoliko postoji sumnja u ispravnost rada, korisno je nacrtati mali crtež (slika 10.6 gore desno) i iz njega odrediti ugao refleksije.

Mnogo komplikovaniji slučaj postoji ako je objekat nagnut u odnosu na vertikalno ogledalo (slika 10.7). Neka horizontalni trag ogledala bude nagnut ulevo za 500, a neka vertikalna strana kocke leži u ravni nagnutoj udesno pod uglom od 600. Crtajući mali crtež (slika 10.7 gore desno) može se izračunati da je upadni ugao 700 (60+50+70=180).

Slika 10.7-Refleksija nagnutog objekta u vertikalnom ogledalu

Sa malog crteža se dobija da je ugao refleksije prema likoravni jednak 200. Dakle, vertikalna strana kocke čija refleksija je predmet interesovanja biće u ravni nagnutoj za 200 prema likoravni. Korišćenjem nedogleda i merne tačke MT200 kocka se može nacrtati na uobičajeni način.

Refleksije na zakrivljenim površinama, kao na primer cilindrima, poliranim čeličnim stubovima, sferama ili ispupčenim prozorima, predstavljaju poseban problem. Crtanje konveksnih ili konkavnih refleksija je u današnje vreme stvar softverskih paketa ili zaista mukotrpnog i dugotrajnog crtanja rukom. Preporuka je da se koristi fotografija objekta i jednostavno slobodoručno precrta ono što se vidi, uz očekivanu veliku distorziju. Naime, bliski predmeti izgledaju veći, a udaljeni mnogo manji nego što bi se pretpostavljalo (slika 10.8).

Refleksije sa velikom distorzijom mogućno je dobiti i tzv. reversnim inženjerstvom, odnosno, iz anamorfnih crteža koji su dvodimenzionalni i neprepoznatljivi, ali koji postaju „čitljivi“ gledani pod nekim posebnim uglom ili kao refleksija u zakrivljenom ogledalu.

95

Slika 10.8-M.K.Ešer: Ruka sa reflektujućom sferom (1935.)