Kraftanalys och framtagning av mätanordning för vertikala ...uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:447133/FULLTEXT01.pdf · % in the simulation using SolidWorks 2010. For the experimental

UPTEC TVE 11 0013 juni

Examensarbete 15 hpJuni 2011

Kraftanalys och framtagning av mätanordning för vertikala vindkraftverket Lucias bärarmar

Henning HammarDaniel Constanda

Teknisk- naturvetenskaplig fakultet UTH-enheten Besöksadress: Ångströmlaboratoriet Lägerhyddsvägen 1 Hus 4, Plan 0 Postadress: Box 536 751 21 Uppsala Telefon: 018 – 471 30 03 Telefax: 018 – 471 30 00 Hemsida: http://www.teknat.uu.se/student

Abstract

Kraftanalys och framtagning av mätanordning för vertikalavindkraftverket Lucias bärarmarForce analysis and development of a measuring devicefor vertical axis wind turbine Lucia's bearings

Henning Hammar, Daniel Constanda

The project contains a force analysis of the vertical axis wind turbine Lucia's supporting arms and a measuring device to experimentally measure the forces is made. The forces between the supporting arms and the tower are calculated theoretically and then simulated by a computere. A measuring devise is then designed to measure the forces experimentally. The forces acting on the attachment between the supporting arms and the tower is primarily the centripetal force, gravitational force and the aerodynamic forces on the rotor wings. The maximum forces were theoretically calculated and is 13.38 kN along the x-axis, -0.25 kN along the y-axis and then 0.5 kN along the z-axis. The axis are acording to a rotational reference system where the x-axis runs along the supporting arm and the y-axis runs along the axis of rotation. The maximum torque that occurs is 0.53 kNm along the y-axis and 1.29 kNm along the z-axis. The size of the forces have been confirmed with a deviation of up to 1.8 % in the simulation using SolidWorks 2010.

For the experimental measurements a measuring device has been developed which consists of S-load cells with wave indicator and transmitter, an attachment for the measuring equipment and distanceplates to stabilize the rotor. S-load cells, wave indicator and transmitter were ordered and drawings for the attachment of the measuring equipment and spacer plates was done. The eigenfrequencies and the stress have been investigated for the parts. The eigenfrequencies for the wind turbine was estimated to decline up to 13 % when the measuring device was mounted and the lowest Factor of Safety was 1.67. Before the attachment of the measuring device and the spacer plates can be ordered the attachment of the supporting arms, how the loadcells should be attached to the device and the safety margins need to be examined.

ISSN: 1401-5757, UPTEC TVE 11 0013 juniExaminator: Urban LundinÄmnesgranskare: Hans BernhoffHandledare: Kristian Trolin

Kraftanalys och framtagning av mätanordning för vertikala vindkraftverket Lucias bärarmar

AvHenning HammarDaniel Constanda

Uppsala universitet

Civilingenjörsprogrammet i Teknisk fysik

Självständigt arbete i Teknisk fysik, 15 hp

30 maj 2011

Handledare - Kristian TrolinÄmnesgranskare – Hans Bernhoff

Examinator – Urban Lundin

Division for ElectricityDepartment of Engineering Sciences

Uppsala University

1

SammanfattningProjektet går ut på kraftanalys av det vertikala vindkraftverket Lucias bärarmar och ta fram en mätanordning för att experimentellt ta fram krafterna. Krafterna mellan bärarmarna och tornet beräknas teoretiskt och simuleras i dator och en mätanordning utformas för att mäta krafterna experimentellt. De krafter som påverkar fästet mellan bärarmar och torn är främst centripetalkraften, gravitationskraften och de aerodynamiska krafterna på rotorvingarna. De maximala krafter som uppstår i fästet enligt de teoretiska beräkningarna är 13,38 kN i x-led, -0,25 kN i y-led och 0,5 kN i z-led, i ett roterande referenssystem där x-axeln går längs bärarmarna och y-axeln går längs rotationsaxeln. De maximala moment som uppstår är 0,53 kNm i y-led och 1,29 kNm i z-led. Värden för krafterna har bekräftats med en avvikelse på max 1,8 % vid simulering i SolidWorks 2010.

För de experimentella mätningarna har en mätanordning tagits fram vilken består av S-lastceller med vågindikator och sändare, fästen för mätutrustningen och distansplattor för att stabilisera rotorn. S-lastcellerna, våggivare och sändare beställdes och ritningar för fästena för mätutrustningen och distansplattorna togs fram. Egenfrekvensen och spänningarna har undersökts för delarna. Lägsta egenfrekvensen för vindkraftverket beräknades minska med max 13 % då mätanordning monteras och lägsta Factor of Safety som simulerades blev 1.67. Innan delarna till mätanordning kan beställas behövs fästena på bärarmarna, hur lastcellerna ska fästas i anordningen och säkerhetsmarginalerna undersökas.

2

InnehållsförteckningKraftanalys och framtagning av mätanordning för vertikala vindkraftverket Lucias bärarmar ..........1Sammanfattning....................................................................................................................................21. Inledning...........................................................................................................................................4

1.1 Syfte ..........................................................................................................................................42. Teori..................................................................................................................................................5

2.1 Kraftanalys.................................................................................................................................52.1.1 Begränsningar i analysen...................................................................................................62.1.2 Statiska krafter...................................................................................................................62.1.3 Dynamiska krafter..............................................................................................................72.1.4 Resulterande krafterna.......................................................................................................9

2.2 Vibrationer och mekaniska svängningar..................................................................................112.2.1 Svängningar och vibrationer på grund av rotation ..........................................................112.2.2 Vibration av balk..............................................................................................................14

2.3 Datorsimulering av krafter, spänningar och egenfrekvenser ..................................................163. Mätanordningar .............................................................................................................................17

3.1 Lastceller..................................................................................................................................173.2 Konstruktion av mätanordningar.............................................................................................173.3 Hållfasthet i mätanordningarna................................................................................................193.4 Mätutrustning...........................................................................................................................19

4. Resultat...........................................................................................................................................214.1 Beräkning av krafter ..............................................................................................................21

4.1.1 Angivna data för vindkraftverket.....................................................................................214.1.2 Analytisk beräkning av krafter på fästen utan mätanordning..........................................224.1.3 Analytisk beräkning med mätanordning..........................................................................224.1.4 Modellering i SolidWorks................................................................................................234.1.5 Simulering av krafter i SolidWorks..................................................................................23

4.2 Beräkning av egenfrekvens och spänningar för konstruktionen .............................................254.2.1 Teoretisk beräkning av ändring av egenfrekvens på grund av förändring i tröghetsmoment och massa.......................................................................................................25

4.2.2 Krafter på tornet....................................................................................................................264.2.3 Simulering i Comsol .......................................................................................................27

4.3 Mätanordningarnas dimensioner..............................................................................................344.4 Hållfasthetsimuleringar i SolidWorks av mätanordningarna...................................................36

5. Diskussion......................................................................................................................................375.1 Kraftanalys...............................................................................................................................375.2 Spänningar och egenfrekvenser för tornet och rotorn ............................................................385.3 Mätanordningar........................................................................................................................39

6. Slutsats............................................................................................................................................407. Referenser.......................................................................................................................................41Bilaga A..............................................................................................................................................42Bilaga B..............................................................................................................................................43Bilaga C..............................................................................................................................................49

3

1. InledningI försöken att utveckla förnybar energi så är vindkraften ett område med många satsningar och intensiv utveckling. Uppsala universitet samarbetar med företaget Vertical Wind för att utveckla en typ av vertikalaxlade vindkraftverk, med en så kallad H-rotor. En del i utvecklingen av vindkraftverket är att identifiera krafterna som bärarmarna utsätts för under drift, undersöka hur de påverkas av dem och slutligen mäta krafterna. Detta är av intresse av hållfasthetsmässiga och driftmässiga skäl och gör att vi i framtiden kan förebygga risken för resonanser och strukturbrott. Detta är en ganska kritisk del i designen av H-rotor vindkraftverk då krafterna är stora vid fästena mellan bärarmar och torn.

1.1 Syfte Syftet är att identifiera de krafter som verkar på bärarmarna under drift. I detta fall vid rated wind speed, vilket är den vindhastighet som vindkraftverket är optimerat för. Det vindkraftverk för vilket krafterna ska identifieras är 12kW-experimentkraftverket Lucia, se figur 2, detta har en rated rotational speed 127 rpm och en rated wind speed på 12 m/s. Identifieringen av krafterna görs genom att först skapa en teoretisk grund med kraftanalys och sedan göra datorsimuleringar. Detta ska ge underlag för vilken mätutrustning som ska köpas in, så att man ska kunna göra en experimentell analys genom att samla mätdata från vindkraftverket. Baserat på vilken mätutrustning som är passande så designas förslag på anordningar, för att fästa mätutrustningen på vindkraftverket, som eventuellt kan köpas in. För att avgöra om designen är bra och vilket material som är passande till dem så simuleras de i CAD-program. I projektet gick det ej att genomföra några mätningar på Lucia eftersom det var nermonterat under projektets gång. Däremot togs det fram rätt mätutrustning och förslag på mätanordning eftersom mätningarna kan utföras senare. Dessutom så kommer mätutrustningen att vara till användning vid framtida experiment på detta eller liknande vindkraftverk.

4

Figur 1.1: Vindkraftverket Lucia belägen i Marsta

2. Teori

2.1 KraftanalysDe krafter som uppstår vid fästena mellan torn och bärarmar beror av flera olika källor, de är följande:

• Gravitationskraft

• Centripetalkraft

• Aerodynamiska krafter på rotorbladen; Drag- och lyftkraft, omvandlas till de intressanta krafterna normalkraft och tangentiell kraft

• Vridmomentet som skapas vid inbromsning av rotorn

• Gyroskopisk kraft vid instabiltitet i rotorn

• Fjädrande krafter i konstruktionen och rotorn

• Bärarmarnas aerodynamiska krafter

• ”Pitching moment” på rotorbladen

Gravitationskraften verkar hela tiden på både bärarmarna och rotorbladen och är alltid densamma. Centripetalkraften uppstår vid rotationsrörelse och verkar på både bärarmarna och rotorbladen eftersom båda roterar. De aerodynamiska krafterna uppstår eftersom rotorn och bärarmarna rör sig genom luften och luften dessutom rör sig på grund av vinden. Vridmomentet som skapas vid inbromsning av rotorn uppstår när rotorn når över sin maximalt tillåtna hastighet, så att de hastighetsberoende krafterna inte blir för stora. Gyroskopisk kraft uppstår då rotorn är instabil vilket gör att den kan vicka. En fjädrande kraft uppstår i konstruktionen då den agerar som en fjäder på grund av materialet. ”Pitching moment” är vridmoment i rotorbladet som uppstår pga lyftkraften.

5

Figur 2.1: Ramverket med infört koordinatsystem

2.1.1 Begränsningar i analysenDe kraftkällor som togs med i analysen var gravitationskraften, centripetalkraften och de aerodynamiska krafterna på rotorbladen. För att förenkla analysen så bortsågs de andra källorna. Vridmoment vid inbromsning bortsågs från då det ej förekommer vid normal drift. Gyroskopisk kraft bortsågs från eftersom rotorn antogs vara stabil. Den fjädrande kraften påverkar dynamiken mer än kraftanalysen, den diskuteras mer i del 2.2. De aerodynamiska krafterna från bärarmarna består av flera komponenter. Dels den tangentiella kraften vilken uppstår i z-led och skapar ett moment kring y-axeln. Denna ger en bromsande/motverkande effekt på de drivande, tangentiella krafterna från rotorbladen. Den aerodynamiska normalkraften från bärarmarna ger också ett bidrag, en lyftande eller sänkande effekt vilket resulterar i krafter i y-led. Denna kraft uppstår främst på grund av turbulens i detta fall då det ej bör uppstå någon lyftkraft eftersom infallsvinkeln bör vara noll. De aerodynamiska krafterna för bärarmarna bortsågs också från, för att förenkla modellen. Det gjorde även ”pitching moment” som dessutom ej bör ha stor inverkan då det inte är så stort jämfört med källorna som tas med.

De källor som tas med kan delas upp i statiska krafter och dynamiska krafter. För en enkel analys så infördes en figur och ett koordinatsystem, se figur 2.1. I analysen av krafter analyserades endast ett ramverk. Koordinatsystemet som användes är ett roterande koordinatsystem med kartesiska koordinater. I denna rapport så tas de krafter upp som uppstår i den ögonblicksbild då ramverket är som i figur 2.1. De krafter som uppstår mellan rotorbärarmarna och dess fästen sker främst i x-led, utöver detta uppstår det krafter i de andra leden och moment kring fästena. I kraftanalysen så undersöktes det också hur krafterna ändrar sig då mätanordningen monteras.

2.1.2 Statiska krafterDe statiska krafterna som uppstår i denna analys är gravitationskraften och centripetalkraften. Centripetalkraften är statisk endast vid konstant vinkelhastighet, detta antogs då det har skapats ett kontrollsystem för Lucia där vinkelhastigheten hålls konstant vid vindhastigheter över 10 m/s [1]. Centripetalkraften uppstår i x-led och gravitationskraften uppstår i y-led. Förenklat så uppstår gravitationskraften för rotorbärarmarna, Fg1, och rotorbladen, Fg2, i masscentrum. Centripetalkraften angavs i varje del i masscentrum, en förenkling som är möjlig på grund av symmetri. Centripetalkraften på bärarmarna är Fc1 och på rotorbladet Fc2.

Gravitationskraften ges avF g=m g (2.1)

där m är massan och g är gravitationskonstanten, ca 9,82 m/s2. Centripetalkraften för bärarmarna varierar med avståndet från tornet. Bärarmen antogs vara homogen med massa m och en total kraft fås vid integration över längden på bärarmen, L. Den ges av

F c1=∫∫2 dmdr=2 m/L∫ r dr=2 mL/ 2 (2.2)

där m är massan, ω är vinkelhastigheten och L är längden i x-led på bärarmarna. Centripetalkraften för bladet ges av

F c2=mLω2 (2.3)

där m är massan, ω är vinkelhastigheten och L är längden i x-led på bärarmarna.

6

Centripetalkraften för bladet och bärarmarna kommer att bli större då mätanordningen fästs på tornet. Rotorn kommer då att få större radie och det kommer också att uppstå en centripetalkraft från mätanordningen, denna kommer däremot inte att mätas av mätutrustning då den endast mäter de andra krafterna som uppstår på grund av dess position.

2.1.3 Dynamiska krafterDå vinden relativt rotorbladen varierar, alltså rotorbladens anfallsvinkel varierar, så är de aerodynamiska krafter som uppstår dynamiska. De varierar periodiskt för varje rotation. För en vingprofil så uppstår det två krafter, dragkraften och lyftkraften [2]. Det som driver kraftverket är lyftkraften. Krafterna resulterar i en drivande tangentiell kraft och en normalkraft på bärarmen, det är normalkraften som är mest intressant för analysen då den sker i x-led och kommer att mätas. I figur 2.2 visas hur de aerodynamiska krafterna uppstår för en vertikalaxlad turbin.

Normalkraften tas fram genom teorin av Manwell et al [2] och Deglaire [4] och kan enkelt beskrivas med

F N=C NρcU 2

2(2.4)

där CN är normalkraftskoefficienten, ρ är luftens densitet, U är den inkommande luftens hastighet

7

Figur 2.2: De aerodynamiska krafterna som uppstår på ett rotorblad. L är lyftkraft, D är dragkraft, N är normalkraft och T är tangentiell kraft.

Chord

Relative Wind

Angle ofAttack θ

L N

TD

Arm

och c är längden på vingprofilen. Uttrycket ρcU2/2 är luftens energi medan normalkraftskoefficienten beror av vingprofilens attackvinkeln och Reynoldstal. Den tangentiella kraften ges på samma sätt som normalkraften av

FT =CTρcU 2

2(2.5)

där CT är tangentialkraftskoefficienten.

Den aerodynamiska normalkraften är svår att beräkna analytiskt och det krävs simuleringar för att få ett bra uppskattning då lyftkraften och dragkraften beror av den fluid som de rör sig i och dess turbulens. Detta är ett aktuellt forskningsområde och i analysen har det valts att utgå från de resultat av Klimas [3] där man har simulerat och experimentellt mätt upp normal- och tangentialkraftskoefficienten för en 2-bladig H-rotor under ett varv. Koefficienterna varierar under ett varv då de är beroende av attackvinkeln, Reynoldstalet är givet. Vindkraftverk som användes av Kilmas [3] har parametrarna som visas i tabell 2.1.

Tabell 2.1. Parametrar för det vindkraftverk som användes av Kilmas [3], både med och utan dimensioner.

Dimensional parameters

Wing section NACA0012

Chord 9,14 cm

Number of blades 2

Turbine radius 0.61m

Turbine height 1.1 m

Tip speed ratio 5

Blade Reynolds nr 40 000

Attachment point Quarter chord

Non dimensional parameters

Solidity 0.29

Chord to radius ratio 0.15

Aspect ratio 12

I experimentet av Klimas [3] undersöktes en 2-bladig H-rotor och det är koefficienterna för ett blad som togs fram och visas i figur 2.3 och 2.4. Dessa gav en bra uppskattning på hur stora koefficienterna är för vindkraftverk Lucia som undersöks i denna rapport.

8

Figur 2.3: Normalkraftkoefficienter för ett av bladen på turbinen efter det tredje varvet [3], figur av Deglaire [4]

Figur 2.4: Normal- och tangentialkraftkoefficienter för ett av bladen på turbinen efter det tredje varvet [3], figur av Deglaire [4]

2.1.4 Resulterande krafternaFör kraftanalysen analyserades problemet i figur 2.5. I modellen så antogs ett system i jämnvikt och analysen tog fram uttryck för de resulterande krafterna och moment i fästet mellan torn och

9

bärarmar. Analysen tog inte med de stödjande pinnarna mellan bärarmarna och antog att maximala tangentiella krafter verkar.

Figur 2.5: Krafter och moment på ramverket

Då systemet är i jämvikt fås att

x-led: 2Fc1F c2 – F R, X1−F R , X2F N t = 0

y-led: F R ,Y1F R ,Y2−2Fg1 – F g2 = 0

z-led: −F R , Z1−F R ,Z2F T t = 0

moment y-led: M R ,Y LFT t = 0

moment z-led: M R, Z+2 L2

F g1+LF g2 = 0

där FR,Y1,2 är y-komponenterna i den resulterande kraften i fästet, FR, X 1,2 är x-komponenterna, MR är det resulterande momentet i fästet och L är längden på bärarmarna i x-led. På grund av symmetri antogs att

F R ,Y1 = F R ,Y2 = 12

F R ,Y

F R , X1 = F R , X2 = 12

F R , X

och att momentet kring varje fäste är det halva totala momentet MR, Y/Z.

De resulterande krafterna och momenten blev dåF R , X = 2Fc1F c2F N t (2.6)

10

F R ,Y = 2Fg1F g2 (2.7)

F R , Z = FT t (2.8)

M R ,Y =−LFT t (2.9)

M R , Z =−L F g1F g2 (2.10)

där FR,X, FR,Y, FR,Z är de resulterande krafterna i x-led, y-led respektive z-led och MR,Y , MR,Z är momenten i y-led respektive z-led.

2.2 Vibrationer och mekaniska svängningarVibrationer och mekaniska svängningar uppstår i konstruktionen på grund av elasticitet i konstruktionens material och krafterna från ramverket. Vibrationernas egenfrekvenser undersöktes så att dessa inte är samma som rotorns frekvens då det skapar resonans. Det är en faktor som har tagits i åtanke vid konstruktion av tornet av Brolin [5], vid konstruktionen av bärarmarna av Deglarie [4] och vid konstruktion av generatorn av Eriksson [6]. För att undersöka hur egenfrekvensen ändrar sig då mätanordningen monteras på vindkraftverket, så att resonans ej ska uppstå, testades modeller med mätanordningen påmonterad.

Mätanordning behöver vara designad så att resonans undviks. Detta görs genom att vindkraftverkets egenfrekvenser är högre än rotorns frekvens då denna varierar mellan 0-3 Hz. Kravet är alltså att vindkraftverkets egenfrekvenser inte är under 3 Hz, detta designkrav har använts för tornet av Brolin [5]. Vibrationerna i konstruktionen kan enklast teoretiskt beskrivas genom att dela in konstruktionen i olika delar. Vibrationerna som uppstår är resultat från främst av rotationen, centripetalkraften, de aerodynamiska krafterna och gravitationskraften. För rotationen och varje påverkande kraft togs det fram en enkel differentialekvation och utifrån dessa ett uttryck för vibrationernas egenfrekvenser. Detta för att identifiera de faktorer som spelar in då mätanordningen monteras. För hela konstruktionen så existerar det ett flertal frihetsgrader och då detta blev för komplicerat för att beräkna analytiskt gjordes detta i ett FEM-program. I detta projekt valdes Comsol Multiphysics 4.1, en uppdaterad variant av FEM-lab som Brolin [5] använde sig av.

2.2.1 Svängningar och vibrationer på grund av rotation Analysen av vibrationer vid rotationen utgick från teorin av Eriksson et al [9]. Då rotorn roterar så kommer en viss tröghet i systemet att uppstå. Generatorn bromsar upp rotationen och axeln ”fjädrar” då den vrids. Generatorn fungerar som en dämpning. Detta på grund av att rotorn och statorn interagerar då den genererade spänningen ökar linjärt med rotationshastigheten. Differentialekvationen för detta är

M −k −c =J total (2.11)

där M är det drivande momentet från rotorn, c är generatorns dämpning och θ är vridningen längs axeln från fästet i generatorn till rotorn, kθ är axelns fjäderkonstant för vridning och Jtotal är det totala tröghetsmomentet. Axelns fjäderkonstant för vridning ges av

k=GKL (2.12)

där G är materialets skjuvmodul, K är polärmomentet och L är längden på axeln. Polärmomentet

11

ges av

K=2 b4−a4 (2.13)

där b är ytterradien på axeln och a är innerradien på axeln då denna är ihålig. Det totala tröghetsmomentet ges av

J total= 1J 1

1J 2

−1

(2.14)

där J1 är tröghetsmomentet för rotorn och J2 är tröghetsmomentet för generatorn, se figur 2.6.

För rotorns tröghetsmoment kring z-axeln kan vingprofilerna förenklat beskrivas som tröghetsmoment för antingen en cylinder eller ett rektangulärt block. Tröghetsmomentet för en cylinder är

J cylinder=1

12m3r2h2 (2.15)

där m är massan för cylindern, r är radien och h är höjden/längden. Tröghetsmomentet för ett rektangulärt block ges av

J rektangulärt block=1

12mb2l 2 (2.16)

där m är massan, b är bredden och l är längden [10]. Då geometrin av vingprofilerna endast gav en skillnad i tröghetsmoment på mindre än 1 % så förenklades bärarmarna till tunna stavar och rotorblad till punktmassor. Det totala tröghetsmomentet för rotorn ges av

J 1=6 J bärarm3 mrotorblad r 2(2.17)

där Jbärarm är tröghetsmomentet för bärarmarna, mrotorblad är massan för rotorbladen och r är radien på rotorn. Tröghetsmoment för bärarmarna ges av tröghetsmoment för en tunn stav

J bärarm=mbärarm r 2

3(2.18)

där mbärarm är massan för bärarmen och r är radien på rotorn vilket är längden på bärarmarna. Tröghetsmoment för rotorbladen ges av Steiners sats. Tröghetsmomentet för mätanordningen förenklades genom att använda tröghetsmomentet för en rektangulärt block, se ekvation (2.16), och blir med Steiners sats

J mätutrustning=6d 2 mmät1

12mmät b2l 2 (2.19)

där mmät är massan för mätanordning, d är avståndet mellan z-axeln och mätanordningens masscentrum, l är längden på mätanordningen och b är bredden på mätanordningen. Tröghetsmoment för generatorn ges av tröghetsmomentet för generatorns rotor vilket enkelt beskrivs som en ihålig cylinder och ges av

J 2=12

mgenerator r12r2

2 (2.20)

där mgenerator är massan för generatorn, r1 är den inre radien på generatorns rotor och r2 är den yttre radien på generatorns rotor.

12

Egenfrekvensen kan approximeras av

=k

J total (2.21)

där ωθ är egenfrekvensen. Vid dämpade vibrationer som sker här så blir egenfrekvensen

d=1−2 (2.22)

där ξ är den odimensionella dämpningsration. Den ges av

= c2Jm

(2.23)

vilken kan uppskattas vara väldigt liten och egenfrekvensen kan approximeras med ekvation (2.21).

Figur 2.6: Tröghetsmoment för rotorn och generatorn

Vid rotation av en axel, speciellt med en massa mycket större än axeln, så måste det tas hänsyn till eventuell snedfördelning av masscentrum. Om masscentrum är en liten bit, e, utanför rotationsaxeln kommer det att uppstå en centripetalkraft, se figur 2.7 (w representerar e+w). Centripetalkraften ges av

F c=mrotor ewrotor2 (2.24)

där mrotor är massan för rotorn, e är förskjutningen av masscentrum, w är förskjutning på grund av fjädrande axel och ωrotor är vinkelfrekvensen på rotorn. Den fjädrande kraften ges av

F k=kT w (2.25)

där kT är fjäderkoefficienten för tornet. Förskjutningen på grund av den fjädrande axeln ges av

w=2

kT

mrotor−2

e(2.26)

och därmed kan svängningarna beskrivas med differentialekvationerna

13

mrotor e2 cos t−kT w x=mrotor wx (2.27)

mrotor e2 sin t −k T wz=mrotor w z (2.28)

där wx och wz är w komponenterna i x-led respektive z-led då svängningarna sker i xz-planet. Dämpningen i rotorn antas vara liten och tas inte med i analysen. Axelns massa antas vara liten i jämförelse med rotorn. Egenfrekvensen ges av den homogena lösningen av differentialekvationen vilken är

w=kT

mrotor (2.29)

där ωw är egenfrekvensen. [9]

Figur 2.7: Snedfördelning av massa vid rotation

2.2.2 Vibration av balkFlera krafter verkar på axlar, stänger, bärarmar och därför blir det vibrationer i dessa. De två främsta fallen är tornet som påverkas av krafterna från rotorn och bärarmarna som påverkas av krafterna på rotorbladen.

För krafterna på tornet från rotorn är att då det blåser på vindkraftverket så kommer det uppstå en sammanlagd kraft i vindens riktning och denna kommer att variera då rotorn roterar, se figur 2.8. Då det är tre rotorblad kommer det mesta av variationen försvinna på grund av symmetri. Dessa svängningar kan beskrivas med differentialekvationen

mrotor w=F D−kT w (2.30)

där mrotor är massan på rotorn, w förskjutningen i x-led, kT är fjäderkonstanten för tornet och FD är den totala dragkraften på tornet som de aerodynamiska krafterna resulterar i. Den maximala aerodynamiska dragkraften ges av

14

F D=ρair Atot v

2

2(2.31)

där ρair är luftens densitet, Atot rotorns sveparea och v är vindens hastighet. Axelns massa antas vara liten i jämförelse med rotorn. Egenfrekvensen ges av den homogena lösningen av differentialekvationen vilken är

torn= kT

mrotor (2.32)

där ωtorn är egenfrekvensen.

Figur 2.8: Torn och rotor förenklad som balk och massa med pålagd aerodynamisk kraft

Andra fallet som uppstår är att bärarmarna kan komma att vibrera på grund av de varierande aerodynamiska krafterna och de centripetalkrafter som uppstår, se figur 2.9. De kommer att främst ske i x-led, längsgående riktning för bärarmarna. Dessa krafter kan också komma att skapa en förskjutning i y-led vilket kommer att göra så att tyngdkrafterna spelar in. De svängningar som resulterar från tyngdkraften kan på samma sätt som för tornet beskrivas med följande differentialekvation

m =F g−k b (2.33)

där m är massan för bärarmarna och rotorbladet, δ är förskjutningen i y-led, kb är fjäderkonstanten för bärarmarna och Fg = mg är tyngdkraften. Dämpningen ses som liten och tas inte med i analysen. Egenfrekvensen ges av den homogena lösningen av differentialekvationen vilken är

bärarm=k b

m (2.34)

där ωbärarm är egenfrekvensen.

15

Figur 2.9: Bärarm och rotorblad förenklad som balk och massa med pålagd gravitationskraft

Fjäderkonstanten för balkar går oftast att beräkna utifrån materialets egenskaper. Då tornet inte är homogent och då bärarmarna och rotorbladen är av kompositmaterial så blir detta komplicerat och går ej att beräkna analytiskt. Därför användes numeriska beräkningar i dator för detta.

2.3 Datorsimulering av krafter, spänningar och egenfrekvenser För kraftanalysen behövdes krafterna på fästet mellan torn och bärarmar samt spänningarna och egenfrekvenserna i konstruktionen beräknas i dator. För detta behövdes ett program för att göra CAD-modeller av vindkraftverket i dator och ett program för att beräkna värdena. För att göra CAD-filerna så användes SolidWorks 2010. För att beräkna krafterna, spänningarna och egenfrekvenserna användes två FEM-program. FEM står för Finita Element Metoder vilket enkelt beskrivs att programmet delar in området som ska beräknas i ett rutnät med noder, så kallad meshing. Sedan anger man gränsvärden och därefter löses problemet för varje nod med hjälp av matematiska metoder. Detta kan göras tack vare den beräkningskraft dagens datorer har. För detta projekt fanns tillgång till Uppsala universitets studentdatorer.

SolidWorks 2010 användes för att simulera de resulterande krafterna som uppstod i fästena mellan tornet och bärarmarna. För detta användes modulen Simulation i vilken man kunde applicera krafter, både statiska och dynamiska, och undersöka de resulterande krafterna i fästpunkterna.

SolidWorks 2010 användes för simulering av spänningar för delarna i mätanordningen. Modulen Simulation användes i vilken man kunde undersöka den von Mises-spänning som uppstod i delarna. Comsol Multiphysics 4.1 användes för att simulera spänningarna i tornet och egenfrekvenserna. För att jämföra med resultaten i SolidWorks 2010 så användes också Comsol för simulera spänningen i delarna i mätanordningen.

16

3. Mätanordningar Lastceller ska användas för att bestämma krafterna på bärarmarna. Det finns dock flertalet olika att välja mellan så man måste hitta den eller de som kan anpassas efter vindkraftverket. Mätutrustningen som ska samla in data från lastcellerna måste också bestämmas. Två olika lösningar togs fram för val och montering av lastceller.

3.1 LastcellerLastceller är mätinstrument som mäter krafter. Det finns flera typer av lastceller men de vanligaste använder sig av trådtöjningsgivare och det är denna typen som är relevant för projektet. En trådtöjningsgivare använder att resistansen förändras när ett material dras ut. Detta leder till en spänningsförändring och genom att använda givna samband för materialet kan man med hjälp av denna förändring bestämma kraften.

Det finns en mängd olika varianter av lastceller som använder sig av trådtöjningsgivare. Det gäller att finna den modell eller kombinationen av modeller som kan mäta krafterna i bärarmarna och som enkelt går att montera på vindkraftverket. Eftersom bärarmarna och vingarna rör på sig så måste lastcellen/lastcellerna kunna monteras på vindkraftverket på ett sådant sätt att det inte blir instabilt. Bärarmarna bör helst vara lika stadiga som om det ej fanns några lastceller monterade på vindkrafterverket. Lastcellerna måste klara de krafter som ska mätas upp, om en lastcell överbelastas kan den dras ut så mycket att den blir oanvändbar. De brukar dock klara mer än deras maxgräns utan att precisionen i mätningen minskas, ofta 50% mer än maxgränsen.1

S-formade lastceller valdes, främst pga att fästningsanordningen till dessa är enkel. De var också billigare än de andra alternativen som undersöktes. En nackdel är att de bara kan mäta i en riktning, vilket dock är fullt tillräckligt för dessa mätningar. Modellen som valdes var S-Lastcell för tryck och drag 2 ton, IP67, nickelpläterat stål hos Vetek, se bilaga A för detaljer. Den klarar garanterat av de krafter som den kommer att utsättas för eftersom ingen överstiger 2 ton och dessutom så krävs det 2 st för anordningen, vilket ger kapaciteten 4 ton.

En lastcell av load pin-typ övervägdes också, närmare bestämt Load pin i rostfritt stål 2 ton, IP67. Den var dock dyrare och krävde en mer komplicerad anordning. Den hade eventuellt kunnat mäta upp tangentiella kraften också, förutom normalkraften, men detta är ingen större prioritet så nackdelarna övervägde fördelarna.

3.2 Konstruktion av mätanordningarAnordningen för lastcellerna sätts mellan tornet och en av bärarmarna, vilket leder till att asymmetri i kraftverket. Det krävs därför att så kallade distansplattor sätts upp mellan de andra bärarmarna och tornet så att kraftverket återfår sin symmetri och därmed beter sig mer likt kraftverket utan anordningar. Denna anordning kräver också att det är två lastceller som används vid mätning, eftersom endast lastcellerna är det som kopplar samman anordningsdelarna så bör det vara två

1 http://www.vetek.se/ , Lastceller Idéer och tips, 2011-06-01

17

http://www.vetek.se/

stycken så att det blir stabilt.

Eftersom S-formad lastcell valdes så måste distansplattorna anpassas efter detta alternativs anordning. Se bilaga B för ritningar över denna och distansplattorna. Det viktiga med distansplattorna är självfallet att de gör så att bärarmarna flyttas lika långt ut som den där mätningen med lastceller sker. Det är dock också viktigt att alla distansplattor och lastcellsanordnignen väger lika mycket så att ingen obalans uppstår. Det bör finnas möjlighet att fästa två stänger mellan fästet för lastcellerna och distansplattan för att minska instabiliteten. Då ska det även fästas stänger mellan distansplattorna på de andra bärarmarna för att behålla symmetrin. Om stängerna är monterade på vindkraftverket så medför detta att distansplattan, som är fäst till den bärarm som bär upp samma ramverk som lastcellerna är fästa till, möjligtvis behöver ha ett gångjärn så att den och stängerna inte påverkar mätningen för mycket. Detta eftersom lastcellerna och distansplattan troligtvis inte dras ut lika långt. Efter kontakt med Vetek så framgick det dock att lastcellerna inte dras ut så mycket. De dras möjligtvis ut högst 1 mm om de utsätts för stora krafter som 2 ton. Därför så borde inte gångjärn vara så nödvändigt. Det är definitivt inte nödvändigt om stänger ej är monterade på vindkraftverket.

Fästet för lastcellerna konstruerades så att det bestod av två delar som fästs på tornet respektive bärarmen. Lastcellerna fästs mellan dessa delar men exakt vilket sätt som är bäst att fästa dem på är ej känt. Delen som är fäst i bärarmen har också hål som möjliggör att stängerna kan fästas i anordningen. Distansplattorna ska ha samma dimensioner som lastcellsanordningen inklusive lastceller och bildar en form liknande ett rektangulärt block. För att massan ska vara densamma för

18

Figur 3.1: Vindkraftverket Lucia med mätanordning, bärarmar ej skalenliga

distansplattorna måste delar av blocket tas bort. Den ena lösningen till detta var att göra ett hål i mitten i form av en rektangel och den andra var att göra två cirkulära hål i mitten. Distansplattan med gångjärn är rektangellösningen delad, i mitten på det rektangulära hålet, i två delar. Se hela mätanordning monterad på vindkraftverket i figur 3.1.

3.3 Hållfasthet i mätanordningarnaFör att avgöra hur hållbara de olika anordningar är så beräkades deras von Mises-spänning och säkerhetsfaktor (Factor of Safety, förkortat FoS) i programmet SolidWorks 2010. Det förstnämnda var av intresse eftersom von Mises-spänningen inte får överstiga sträckgränsen då det ger upphov till flytning, vilket enkelt kan beskrivas som glidning av atomplan i metallen. Definitionen av von Mises-spänning σe är

e= x2 y

2 z2− x y− y z− z x3 xy

2 3 yz2 3 zx

2 (3.1)

där σx, σy och σz är spänningen i x-,y- och z-riktningen. τxy, τyz och τzx är skjuvspänningen i xy-, yz- och zx-planet [9].

FoS kan beräknas på flertalet vis, i SolidWorks 2010 så definieras det som sträckgränsen delat med von Mises-spänningen2. Det är alltså ett mått på hur nära det är att det uppstår flytning vid de applicerade krafterna. En FoS på 2 eller mer är vad som bör eftersträvas vid konstruktionen av dessa anordningar. Den behöver inte vara särskilt hög eftersom anordningarna inte är tänkta att monteras på vindkraftverket permanent, utan de behöver endast vara det under den tiden då mätningarna utförs. Både von Mises-spänningen och FoS beräknades i SolidWorks 2010 som med hjälp av FEM beräknar värden för von Mises-spänningen på flera punkter i anordningarna. Det högsta värdet av von Mises-spänningen och det lägsta värdet av FoS är de intressanta värdena, och de antecknades för allt som simulerades.

Anordningarna simulerades med aluminiumlegering 1060, förstärkt aluminiumlegering 1060H12 och stål. Detta för att avgöra vilket material som de bör konstrueras av. De krafterna som lades på under simuleringarna var de största beräknade med extra marginal:

Normalkraft: 7.5 kN

Tangentiell kraft: 0.6 kN

Vertikal kraft: 0.5 kN

På stål så lades endast normalkraften på.

3.4 MätutrustningMätutrustningen ska kunna skicka mätvärdena trådlöst eftersom kablar skulle trassla ihop sig när vindkraftverket roterar. En vågindikator ger möjligheten att göra detta genom att skicka värdena med bluetooth till en dator. Vetek föreslog både en passande vågindikator, kallad Våginstrument

2 http://help.SolidWorks.com/ , Maximum von Mises Stress Criterion, 2011-06-01

19

http://help.SolidWorks.com/

DFWK med siffertangentbord, och en bluetooth-adapter. Vågindikatorn kan kopplas in till en dator och man behöver inte köpa till någon extra programvara för att få det att fungera. Fördelen med att beställa från dem är att de ser till så att all utrustning fungerar ihop och att allt är kalibrerat. Detta alternativ valdes på grund av det.

20

4. Resultat

4.1 Beräkning av krafter Beräkningen av krafterna på fästena mellan bärarmarna och torn gjordes först analytiskt och sedan numeriskt med hjälp av SolidWorks 2010.

4.1.1 Angivna data för vindkraftverketFör beräkningarna behövdes den data som finns för vindkraftverket Lucia i dess nuvarande utformning, detta ges i tabell 4.1. Beräkningarna gjordes för vindkraftverkets rated wind speed med värden för rotorn enligt tabell 4.2.

Tabell 4.1: Data för vindkraftverket Lucia i dess nuvarande utformning [4]

Blade airfoil section NACA0021

Chord 25 cm

Number of blades 3

Turbine radius 3 m

Turbine height 5 m

Tip-speed-ratio 4 (upp till 10 m/s)

Attachment point Quarter chord

Tabell 4.2: Data för vindkraftverket Lucia vid rated wind speed

Rated rotational speed 127 rpm

Rated blade tip speed 40 m/s

Rated wind speed 12 m/s

Vinkelfrekvens 13,33 rad/s

Frekvens 2,12 Hz

Massan för ramverkets delar. Då denna analys ej skulle vara specifik för en vingprofil på rotorbladet så uppskattades rotorbladets vikt till ett ungefärligt värde:

Rotorblad 10 kg

Bärarm 8 kg

I analysen och i beräkningen av spänningar så var de maximala och minimala aerodynamiska koefficienterna av intresse och uppskattas utifrån figur 2.3:

21

CN,max = 35

CT,max = 4

CN,min = -5

CT,min = -1

Vindens densitet ρ = 1,2041 kg/m3.

4.1.2 Analytisk beräkning av krafter på fästen utan mätanordningGravitationskraften, centripetalkrafterna och de aerodynamiska krafterna vid dess maxvärdena beräknades och sedan de resulterande krafterna och momenten. För att se hur mycket de totala krafterna på fästena varierar under en rotation beräknades också krafterna på fästena vid de lägsta aerodynamiska krafterna.

Gravitationskraften, ekvation (2.1), för bärarmarna är 78,6 N, för vingarna är 98,2 N och den totala gravitationskraften är 0,255 kN.

Centripetalkrafterna fås från ekvation (2.2) och (2.3) och är för varje bärarm 2,13 kN, för varje rotorvinge 5,33 kN och den totala centripetalkraften är 9,59 kN på varje ramverk.

Den maximala aerodynamiska normalkraften, ekvation (2.4), är 3,79 kN och den maximala aerodynamiska tangentiella kraften, ekvation (2.5), är 0,434 kN. Den minimala normalkraften är -0,54 kN och den minimala tangentiella kraften är -0,11 kN.

De maximala krafterna på fästena under ett varv är följande. Den totala normalkraften, kraften i x-led, fås ur ekvation (2.6) och är 13,38 kN. Den totala kraften i y-led fås ur ekvation (2.7) och är 0,26 kN. Den totala tangentiella kraften, kraften i z-led, fås ur ekvation (2.8) och är 0,43 kN. Dessa antogs vara likformigt fördelade på varje fästpunkt vid en enkel analys.

De minimala krafterna på fästena under ett varv är följande. Den totala normalkraften 9,05 kN, den totala kraften i y-led 0,26 kN och den tangentiell kraften -0,11 kN.

De moment som uppstår på fästet på tornet, i y-led, fås från ekvation (2.9) och är 0,53 kNm. Kring tornets axel, i z-led, beräknas ett moment ur ekvation (2.10) på maximalt 1,29 kNm och minimalt på - 0,33 kNm.

4.1.3 Analytisk beräkning med mätanordningDe krafter som ändras då mätanordningen fästs på rotorn är centripetalkraften. De dimensioner som ändras är följande:

22

Mätanordnings längd 0,13 m

Rotorns radie 3,13 m

Den totala centripetalkraften blir då 10,20 kN vilket resulterar i en total maximal normalkraft på 13,99 kN.

4.1.4 Modellering i SolidWorksFör att beräkna krafterna på fästpunkterna togs en enkel modell fram med liknande egenskaper som ett ramverket. Mer komplicerade geometrier gick ej att beräkna med den utrustning som var tillhanda. CAD-modellen som användes är en solid modell med enkel geometri. Vingprofilerna simulerades med solida rektangulära block vilka kopplades samman med räta vinklar, se figur 4.1. På detta applicerades sedan gravitation, centripetalkraft och en statisk aerodynamisk kraft. Dimensioner för CAD-modell av rotorbladet ges av tabell 4.3 och för bärarmarna ges av tabell 4.4.

Tabell 4.3: Dimensioner för CAD-modell av rotorblad

Längd 5000 mm

Bredd 250 mm

Tjocklek 50 mm

Fästen för bärarmarna 1250 mm – 2362 mm – 1250 mm

Volym 0,065 m3

Tabell 4.4: Dimensioner för CAD-modell av bärarmar

Längd 3000 mm

Bredd 250 mm

Tjocklek 69 mm

Volym 0,052 m3

4.1.5 Simulering av krafter i SolidWorksSimulering 1Första simuleringen adderades krafterna jämnt fördelade på ytorna enligt figur 4.1. I simuleringen användes de maximala aerodynamiska krafterna.

Den totala normalkraften blev 13,38 kN, kraften i y-led blev 0,255 kN och den tangentiella kraften blev 0,434 kN.

För den övre fästpunkten mellan ramverket och tornet blev normalkraften 6,74 kN, kraften i y-led -0,110 kN och den tangentiella kraften blev 0,217 kN.

För den lägre fästpunkten mellan ramverket och tornet blev normalkraften 6,64 kN, kraften i y-led 0,365 kN och den tangentiella kraften blev 0,217 kN.

23

Figur 4.1: CAD-modell över ramverket och simulering med de pålagda krafterna

Simulering 2Med samma modell som i simulering 1 beräknades de nya krafterna om man gör bärarmarna 13 cm längre för att simulera mätanordning och har en högre centripetalkraft på grund av detta. De krafter som ändrades är den totala normalkraften vilken blev 13,99 kN, normalkraften i den övre fästpunkten vilken blev 7,04 kN och normalkraften i den lägre fästpunkten blev 6,95 kN.

Simulering 3I den andra varianten av simuleringen användes de inbyggda funktionerna för gravitation och centripetalkraft, då användes densitet för materialet 154 kg/m3, och sedan adderades de maximala aerodynamiska krafterna.

Den totala normalkraften blev 13,21 kN, kraften i y-led blev 0,251 kN och den tangentiella kraften blev 0,434 kN.

För den övre fästpunkten mellan bärarmarna och tornet blev normalkraften 6,68 kN, kraften i y-led blev -0,108 kN och den tangentiella kraften blev 0,217 kN.

För den lägre fästpunkten mellan bärarmarna och tornet blev normalkraften 6,54 kN, kraften i y-led blev 0,359 kN och den tangentiella kraften blev 0,217 kN.

Simulering 4För den andra varianten av simulering så studerades också hur krafterna ändras då mätanordningen monteras. Man gjorde bärarmarna 13 cm längre för att simulera mätanordning och de inbyggda funktionerna användes för att beräkna krafterna. De krafter som ändrades är den totala

24

normalkraften vilken blev 13,81 kN, normalkraften för övre fästpunkten vilken blev 6,98 kN och normalkraften för den lägre fästpunkten vilken blev 6,83 kN.

4.2 Beräkning av egenfrekvens och spänningar för konstruktionen Egenfrekvenserna för konstruktionen beräknades först teoretiskt genom att beräkna hur stor förändring det är i tröghetsmoment och massa då mätanordningen monteras och sedan simulerades olika modeller i Comsol. Dessutom beräknades spänningarna i konstruktionen och resultaten jämfördes med resultaten av Brolin [5].

4.2.1 Teoretisk beräkning av ändring av egenfrekvens på grund av förändring i tröghetsmoment och massa

Då mätanordningen monteras på vindkraftverket så ändras egenfrekvensen i konstruktionen främst av att tröghetsmomentet och massan. Tröghetsmomentet för rotorn fås ur ekvation (2.17) och är J1 = 414 kgm2. Tröghetsmoment för mätanordningen fås ur ekvation (2.19) och är Jmätanordning = 1,26 kgm2. Tröghetsmomentet med mätanordningen påmonterad ändras främst av radien och blir J1, mätanordning = 452 kgm2 . Den procentuella förändringen av tröghetsmoment är 9,2 % förändring.

Tröghetsmomentet för generatorn uppskattas då få uppgifter fanns tillhanda gällande generatorn. Specifikationerna för generatorn av Eriksson [6] relevanta för detta beskrivs i tabell 4.5.

Tabell 4.5 Data för generatorn i vindkraftverket Lucia

Rated power 12.0 kW

Stator inner diameter 760 mm

Airgap width 10 mm

Generator length 222 mm

Då generatorns rotors massa och dess inre diameter ej är givna så uppskattades dessa från den generator som användes i beräkningarna av Eriksson et al [7] vilket är i tabell 4.6.

Tabell 4.6 Data för generatorn som användes i beräkningarna av Eriksson et al [7]

Rated power 100 kW

Rotor outer diameter 1290 mm

Rotor inner diameter 1218 mm

Rotor weight 547 kg

Generator length 574 mm

25

Generatorns rotors tjocklek antas vara densamma som för generatorn på 100 kW då kablar och järnkärna bör ta upp lika mycket plats oavsett effekt. Rotorns massa antas vara likformigt fördelad och ration mellan massorna för de olika generatorerna antas vara densamma som ration mellan ytterareorna på generatorns rotor. Generatorn på 12 kW ytterarea är 22,5 % av generatorns på 100 kW ytterarea och därför antas att massan är 123 kg för generatorn på 12 kWs rotor. Detta ger från ekvation (2.20) att generatorns tröghetsmoment är J2 = 62,9 kgm2. Den totala tröghetsmomentet ges av ekvation (2.14) och är före mätanordning monteras J total = 54,6 kgm2 och efter den monterats är Jtotal, mätanordning = 55,2 kgm2. Fjäderkonstanten för axeln kan beräknas enligt ekvation (2.12) där G är 79 GPa, längden på axeln 4900 mm, inre diametern är 75 mm och yttre diametern är 95 mm [5]. Fjäderkonstanten blir då kθ = 1,26*106. Egenfrekvensen beror på tröghetsmomenten enligt ekvation (2.21) så blir den procentuella skillnaden i egenfrekvens en minskning på 0,54 %. Egenvinkelfrekvensen kan beräknas ur ekvationen (2.21) och är ωθ = 152 rad/s och utan mätanordning är egenvinkelfrekvensen ωθ, mätanordning = 151 rad/s. Detta ger egenfrekvensen ωθ = 24,2 Hz och ωθ, mätanordning = 24 Hz.

En annan faktor som spelar in i en ändring av egenfrekvensen är ändringen av massan på rotorn. Massan på rotor före monteringen av mätanordningen är 78 kg. Massan efter monteringen av mätanordning är 102 kg. Den procentuella ökningen av massa för rotorn är ca 30 %. Egenfrekvens beror av massan upphöjt i minus en halv enligt ekvation (2.29) så den procentuella skillnaden i egenfrekvens är en minskning på 12,5 %.

Egenfrekvensen för tornet enligt beräkningarna av Brolin [5] är 6,66 Hz. Om den totala förändringen är förändringen av både massa och tröghetsmoment tillsammans så är den ca 13,04 % och då blir den nya lägsta egenfrekvensen 5,79 Hz vilket är högre än högsta frekvensen för rotorn.

4.2.2 Krafter på tornetInnan egenfrekvensberäkningarna och beräkningen av spänningarna på hela konstruktionen kunde göras beräknades först vilka krafter som verkar på tornet och dess delar. Då alla ramverk sitter symmetriskt och rör sig lika snabbt så är centripetalkraften densamma för alla blad och tar ut varandra. Den totala gravitationskraften i y-led är lika stor som hela rotorns tyngd, för endast rotorn är den 0,77 kN och för rotorn med mätanordningen är den 1,00 kN. Massan för mätanordning beräknades med i simuleringen i Comsol så denna kraft behövde ej tas i åtanke.

I studien användes de maximala aerodynamiska krafterna som verkar på rotorn vid rated wind speed. Turbinen antogs vara ideal så den maximala kraften som verkar på rotorn är den kinetiska energin i vinden multiplicerat med den yta den verkar på. Den totala aerodynamiska kraften, Fvind, är

F vind=ρair Atot v

2

2 =2,60kN (4.1)

där ρair är luftens densitet, Atot är turbinens area och v är vindens hastighet. Detta kan jämföras med resultaten av Brolin [5] där kraften från rotorn vid rated wind speed är 2,7 kN och vid orkanförhållanden är 5,4 kN.

26

4.2.3 Simulering i Comsol Simulering 5Först beräknades egenfrekvenserna och spänningarna i tornet och jämfördes med resultaten av Brolin [5]. Dessa resultat användes sedan för att jämföra med hur egenfrekvensen och spänningarna ändras då mätanordning fästs på tornet. För att simulera egenfrekvenserna i tornet så gjordes en CAD-modell för denna utifrån de dimensioner som vindkraftverket har enligt designen av Brolin [5]. Geometrin blev däremot för komplex för att simulera då de exakta måtten användes så därför användes en förenklad solid modell med samma ytterdimensioner som vindkraftverket, se figur 4.2. Med det menas att alla ihåligheter i modellen fylldes ut. Som randvillkor användes generatorlådan och stöttorna som fästpunkter mot marken och krafterna på tornet verkade på de båda tornplattorna. Då Comsol ej tar hänsyn till krafter då den beräknar egenfrekvenser så ändrades densiteten på tornplattorna så dessa väger lika mycket som rotorn och tornplattorna tillsammans, totalt 93 kg. Materialet som användes i simuleringen var konstruktionsstål.

Resultat av simulering:

Lägsta egenfrekvens: 9,70 Hz

Lägsta egenfrekvens enligt beräkningarna av Brolin [5]: 6,66 Hz

Högsta von Mises-spänning: 17,80 MPa, se spänningsfördelning i figur 4.3.

Högsta von Mises-spänning enligt beräkningar av Brolin [5]: 69 MPa

Figur 4.2: CAD-modell av torn, skala i meter

27

Figur 4.3: Torn med von Misses spänning

Simulering 6Simulering med mätanordning på tornet gjordes med modellen för tornet där man gör en enkel modell av mätanordning genom att ändra tornplattorna, se figur 4.4. Dessa får samma tröghetsmoment som de egentliga tornplattorna och mätanordningen. Detta gjordes då det var för komplicerade geometrier att beräkna med de detaljerade CAD-modellerna för mätutrustning och distansplattorna. På samma sätt med simuleringen med tornet ändrades massan på tornplattorna så de har samma massa som rotorn, tornplattorna och mätutrustningen, totalt 117 kg. Materialet som användes i simuleringen var konstruktionsstål.

Resultat av simuleringen:


Högsta spänning: 20,34 MPa, se spänningsfördelning i figur 4.5.

Om linjäritet antas så blev skillnaden i lägsta egenfrekvens med och utan mätanordning 0,46 Hz eller 4,75 %. Om skillnaden i lägsta egenfrekvens ändras lika mycket för egenfrekvensen ur Brolins [5] beräkningar blir den nya egenfrekvensen 6,2 Hz eller 6,34 Hz vilka båda är högre än högsta frekvensen på rotorn. Den högsta spänningen i konstruktionen blev 2,54 MPa eller 14,3 % högre än utan mätanordning. Om samma procentuella ändring skulle ske med den beräknade spänningen ur Brolins [5] beräkningar så skulle den maximala spänningen bli ca 79 MPa. Den maximala sträckgränsen för konstruktionsstålet S355J2H som används i tornet är ca 355 MPa [5], detta ger en Factor of Safety på 4,5.

28

Figur 4.4: Torn med enkel mätanordning, skala i meter

Figur 4.5: Torn med enkel mätanordning och dess von Mises-spänning

29

Simulering 7Då tröghetsmomentet och rotorns egenfrekvens spelar stor roll för hur den lägsta egenfrekvensen ändras då mätanordning monteras så simulerades en enkel modell av rotorn fastsatt på tornet. Detta angreps på två sätt, ena med att göra en rotor med samma tröghetsmoment och samma radie som den verkliga rotorn. Det andra är att göra en rotor med samma lägsta egenfrekvens som ramverket har. Rotorn med samma radie, 3 m, och tröghetsmoment simulerades i materialet konstruktionsstål. Den har samma tjocklek som tornplattorna, 10 mm, bredden 36 mm, och rotorn har den lägsta egenfrekvensen 0,92 Hz, se figur 4.6 för CAD-modell. Det ramverk som används på vindkraftverket Lucia har den lägsta egenfrekvensen 9,93 enligt beräkningar av Deglaire [4]. Det ramverk som användes i simuleringen med liknande egenfrekvens hade egenfrekvensen 9,81 Hz. Det simulerades i konstruktionsstål med tjockleken 10 mm, bredden 180 mm, rotorradien 1,05 m och tröghetsmomentet 26 kgm2, se figur 4.7.

Resultatet av simulering av rotor i konstruktionsstål med samma radie och samma tröghetsmoment:


Resultatet av simulering av rotor i konstruktionsstål med ramverk med samma lägsta egenfrekvens som Deglaire [4]:


Den lägsta egenfrekvensen ändras jämfört med torn utan rotor med 1,55 Hz eller 16 %.

Figur 4.6: CAD-modell över torn med enkel rotor med samma tröghetsmoment, skala i meter

30

Figur 4.7: CAD-modell av torn med enkel rotor med samma egenfrekvens, skala i meter

Simulering 8På samma sätt som de lägsta egenfrekvenserna för ett torn med rotor simulerades görs det med mätanordningen monterad på vindkraftverket. Testet gäller båda typerna av rotor, rotorn med samma tröghetsmoment och rotorn med samma egenfrekvens. Radien ändras för båda typerna genom att det adderas 13 cm och bredden ändras till 208 mm för rotorn med samma egenfrekvens för att addera den längd och vikt som tillkommer av mätutrustningen.

Resultatet av simuleringen av rotorn med samma radie och samma tröghetsmoment med påmonterad mätanordning:


Den lägsta egenfrekvensen minskade med 0,07 Hz eller 7 %.

Resultatet av simuleringen av rotor med samma lägsta egenfrekvens som Deglaire [4] och påmonterad mätanordning:Egenfrekvens: 7,82 Hz

Den lägsta egenfrekvensen minskade med 0,33 Hz eller 4,1 %. Jämfört med tornet utan rotor och utan mätanordning så blir den totala förändringen i lägsta egenfrekvens 1,88 Hz eller 19,4 %. Om den lägsta egenfrekvens som beräknades av Brolin [5] ändrar sig på samma sätt skulle den nya lägsta egenfrekvensen bli 5,13 Hz eller 5,37 Hz vilket är högre än rotorns högsta frekvens.

31

Simulering 9För de delar som ska tillverkas för mätanordningen behövdes de lägsta egenfrekvenserna beräknas. Detta för att de inte ska resonera med frekvensen för rotorn då de krafter som verkar på dem varierar med samma frekvens. Delarna som testades är distansplattorna och S-lastcellsfästet. Dessa simulerades i materialet aluminium och de pålagda krafterna var 7,5 kN som normalkraft, 0,5 kN som resulterande gravitationskraft och 0,6 kN som tangentiell kraft. Dessutom simulerades spänningarna för att jämföra med simuleringarna i SolidWorks 2010.

Resultaten för distansplattan:

Lägsta egenfrekvens: 670 Hz

Högsta von Mises-spänning: 16,53 MPa, se spänningsfördelning i figur 4.8.

FoS för aluminium alloy 1060: 1,67

Resultaten för S-lastcellsfästet:

Lägsta egenfrekvens: 288 Hz

Se spänningsfördelning i figur 4.9.

Högsta von Mises-spänning uppstod i S-lastcellerna vilket är önskvärt.

Figur 4.8: Simulering av distansplattans von Mises-spänning

32

Figur 4.9: Simulering av S-lastcellerna och deras fästens von Mises-spänning

33

4.3 Mätanordningarnas dimensionerDimensionerna bestämdes utifrån tornplattan, se Bilaga B för ritningar av anordningarna. Den har tjocklek 10 mm och de stora sidorna är 340 mm, därför bör sidan där bärarmen fästs vara 10 mm och ha längden 340 mm. Tjockleken på plattan bör vara 30 mm så det är 10 mm ovan och nedan den del som fästs i tornet. Den del där bärarmen fästs, den del som sticker ut, bör vara 40 mm, och där tornet fästs bör gå in 40 mm, detta pga att skruvhålen sitter 20 mm in på tornplattan. Fästanordningen som fästs i tornet är 60 mm djup och fästanordningen som fästs i bärarmen är 80 mm djup. Lastcellernas längd är 76.2 mm så den totala längden är 206.2 mm. Se figur 4.10 för lastcellsanordningen. Det är utrymmet mellan delarna som kommer att skilja lastcellsfästet och distansplattorna åt, det är där massa måste frigöras. För detta har två lösningar undersökts, att antingen skära ut två cirklar eller en rektangel.

I dessa beräkningar förutsättas det att rent aluminium används som material.

S-lastcells vikt: 0.8 kg

Aluminiums densitet: 2700 kg/m3

Beräkning av mittsektionen som ska ersätta lastcellerna för distansplattorna:

Volym: 76.2mm⋅340mm⋅30mm=777240mm3

Massa: 2700⋅10−9 kg /mm3⋅777240 m³=2.0985=2.1kgFör att få lika stor vikt för distansplattorna måste man ta bort 2.1 kg – 0.8⋅2kg=0.5 kg .

Area som togs bort : Atot=0.5kg /2700 kg /m3/ 30⋅10−3 m3=0.00617m²=6.17⋅103 mm2

För cirkellösningen så är det två hål, alltså var arean Atot=2πr2 , vilket gav

r=Atot

2=31.34 mm

Alltså två cirklar med radien 31.34 mm. Se figur 4.11.

För rektangellösningen bestämdes helt enkelt längden så att gångjärn bör få plats, längden valdes till 140 mm, så att det blev 100 mm för vardera gångjärn. Detta ger bredden

Bredd=6170mm2/200 mm=30 mmAlltså hade rektangeln längden 140 mm och bredden 30 mm. Denna rektangel användes både för rektangellösningen och för gångjärnsplattan. Se figur 4.12 för rektangellösningen.

Det fanns ingen tillgång till ritningar av bärarmarna och därför är utseendet för sidan som fästs i tornet okänt. Säkerhetsmarginalena för tornplatta och bärarmarnas fäste är också okända.

34

Figur 4.10: Modell av S-lastcellsanordningen, skala är i meter.

Figur 4.11: Modell av distansplatta, cirkellösningen, skala är i meter.

35

Figur 4.12: Modell av distansplatta, rektangellösningen, skala är i meter.

4.4 Hållfasthetsimuleringar i SolidWorks av mätanordningarnaFör fullständiga resultat från simuleringarna i SolidWorks 2010, se bilaga C, här summeras endast resultaten.

För resultaten från simuleringen med aluminiumlegering 1060 ses det att alla delar hade en FoS över 2 förutom delarna till lastcellsanordningen där de var nära 1, om endast normalkraften appliceras. Om alla krafterna applicerades så var även rektangellösningen nära 1, medan resterande delar höll sig ungefär på samma nivå. Om aluminiumlegering 1060H12 användes så kom lastscellsanordningen dock över 2 i FoS. För stål så var resultaten betydligt bättre än för aluminium, ingen del hade FoS under 22.

36

5. Diskussion

5.1 KraftanalysSkillnaden mellan de teoretiska beräkningarna och simuleringarna för de resulterande krafterna var summerat i alla led maximalt 1,3 % för x-led, 1,8 % för y-led och ingen skillnad i z-led utifrån resultaten i del 4.1.

I simuleringen blev det en skillnad i de olika fästpunkterna, krafterna blev inte lika fördelade i x-led och y-led på varje fästpunkt. Detta berodde på att det uppstod krafter i x-led då krafter lades på ramverket i y-led och krafter i y-led då krafter lades på i x-led. Dessa krafter var lika stora och motriktade på fästpunkterna så att dessa tog ut varandra då krafterna summerades. På grund av krafterna i x-led uppstod det i y-led krafter på ca 240 N på varje fästpunkt. På grund av krafterna i y-led så uppstod det i x-led krafter på 50-70 N på varje fästpunkt. Under simuleringen testades det att ändra positionen av bärarmarna och då ändrades krafterna linjärt med hur momentet kring fästpunkterna ändras. Troligtvis representerar krafterna de moment som skapas i punkterna. Krafterna är lika stora som momentet delat med en faktor 10. Det underliga är att det uppstår en kraft på grund av krafterna i x-led då det inte bör uppstå något moment i fästpunkterna på grund av detta. Det beror troligtvis på grund av asymmetri i modellen. Detta är något som kan utredas ytterligare.

Simuleringen och de teoretiska beräkningarna tog inte hänsyn till att de aerodynamiska krafterna var dynamiska utan använde maxvärdena för dessa. Om man ur hållfasthetssynpunkt använder de maximala värdena vid konstruktion så har man bättre säkerthetsmarginal då en varierad last ställer lägre krav på hållfastheten än maxvärdena på lasten. Däremot fås en mer komplett analys om de dynamiska krafterna beräknas.

För att förbättra kraftanalysen så kan man utveckla en mer verklighetstrogen modell för de krafter som uppstår i vindkraftverket. Man kan då ta hänsyn till de källor som beskrivs i del 2.1:

• Momentet som skapas vid start och inbromsning av rotorn.

• Gyroskopisk kraft vid instabilitet i rotorn.

• Fjädrande krafter i konstruktionen och rotorn.

• Bärarmarnas aerodynamiska krafter.

För att förbättra beräkningen och simuleringen kan man:

• Använda de simulerade och beräknade aerodynamiska krafternas koefficienter som en mer noggrann funktion över ett varv, t.ex. i Matlab, för att använda i en dynamisk analys.

• Testa att applicera dynamiska krafter.

• Ha en mer komplicerad geometri.

I SolidWorks 2010 testades det att använda dynamiska krafter och då uppskattades att de aerodynamiska krafterna varierade sinusformat. Detta gick ej att genomföra på de datorer som fanns tillhanda då studiefilerna tog upp mer hårddiskutrymme än vad som fanns att tillgå. En mer

37

verklighetstrogen geometri kan fås genom att göra en modell med vingprofiler och de exakta dimensionerna de nuvarande ramverken har. Detta testades men gick ej att simulera då tidsbegränsningen i SolidWorks 2010 nåddes då det simulerades på de datorer som fanns tillhanda.

5.2 Spänningar och egenfrekvenser för tornet och rotorn Vid simulering av spänningar och egenfrekvenser för hela konstruktionen så var modellen solid, inga ihåligheter togs med i simuleringen, detta beskrivs i del 4.2.3. Detta gjorde konstruktion styvare, vilket innebar att lägsta egenfrekvensen blev högre och högsta spänningen blev lägre. Tillhanda fanns resultaten av Brolin [5] vilka kunde jämföras med. Vid jämförelse antogs lineäritet vid förändring av egenfrekvens.

Då man monterar mätanordningen på konstruktionen så gav de teoretiska resultaten en minskning av lägsta egenfrekvens upp till ca 13 %, se del 4.2.1, och vid simuleringarna så blev minskningen av egenfrekvens ca 4-7 %, se del 4.2.3. För de lägsta egenfrekvenser som togs fram av Brolin [5] på 6,66 Hz så kunde minskningen maximalt vara 55 % då lägsta egenfrekvens behöver överstiga högsta frekvensen på rotorn vilken är 3 Hz. Detta innebär att om förändringen i lägsta egenfrekvens är ungefär som de resultat som fåtts via detta projekt så bör ej resonans uppstå. Detta ger att mätanordningen inte påverkar egenfrekvenserna kritiskt i sin nuvarande utformning. Detta gör att montera stänger i mätanordningen är överflödigt, men kan has i åtanke om det ändå uppstår resonans och vibrationer vid en experimentell uppställning. Gångjärn kan då också behöva övervägas, men behövs ej om stänger ej är monterade.

Vid beräkning av lägsta egenfrekvens för rotoraxeln vid rotation så blev denna lägst 24 Hz vilket är högre än lägsta tillåtna egenfrekvens, 3 Hz. Detta resultat för egenfrekvens kan jämföras med den lägsta egenfrekvens på 2,66 Hz för det 100 kW:s vindkraftverk Eriksson et al [7] har beräknat. Skillnaden i resultatet av lägsta egenfrekvens beror främst på att det totala tröghetsmomentet är mycket högre för 100 kW:s vindkraftverket och inte fjäderkonstanten, se ekvation 2.21 i del 2.2.1.

Den lägsta egenfrekvensen för delarna i mätanordningen, lastcellsanordningen och distansplattan, var höga vilket innebär att marginalen är ganska stor och deras design kan ändras ganska mycket om de inte påverkar den stora konstruktionen i helhet.

Resultaten från simuleringarna blev en ökning på ca 15 % av spänningarna i konstruktionen, se simulering 5 och 6. Factor of saftey i tornet är då 4,5 vilket är tillräckligt högt.

För att få bättre beräkningar kan en mer realistisk modell som bättre följer vindkraftverkets dimensioner användas om kraftfullare datorer finns tillhanda. Man kan också testa simulera med ramverket i komposit. Med de datorer som fanns tillhanda och Comsol 4.1 så kunde maximalt ca 40 000 ”degrees of freedom” beräknas, alltså beräkningspunkter enligt Comsols definition.

38

5.3 MätanordningarLastcellerna som valdes klarar av så stora krafter så att det inte finns någon risk för att de når sträckningsgränsen eller går sönder, deras hållbarhet bör alltså inte vara något problem. Simuleringarna av anordningarna visar att de är tillräckligt hållbara för att användas förutsatt att rätt material används. Alla delar utom rektangellösningen och lastcellsanordningsdelarna har en FoS över 2, i SolidWorks 2010, om aluminiumlegering 1060 används. Alltså bör cirkellösningen vara den som ska användas för distansplattor utan gångjärn då den har bättre FoS och von Mises-spänning än rektangellösningen. Det finns dock ett varningstecken för cirkellösningen då den hade en FoS på 1.67, enligt beräkningen i Comsol, för 1060. Därför kan det vara bra att ta förstärkt aluminiumlegering för att få ökad säkerhet. För att lastcellsanordningen ska kunna användas bör förstärkt aluminiumlegering 1060H12 eller starkare användas istället för 1060, i sådana fall är det inget problem eftersom FoS hamnar över 2 i SolidWorks 2010. Att använda stål ger också tillräckligt hållbara anordningar som dessutom har betydligt större FoS än användning av aluminium. Stål är dock dyrare och mer svårarbetat än aluminium, därför bör aluminium väljas om det är möjligt. I detta fall är det visat att så är fallet och därför får priset avgöra om det blir förstärkt aluminiumlegering för delarna eller icke förstärkt, förutom för lastcellsanordningen där det måste vara förstärkt.

Det finns dock tre punkter som måste utredas. Ritningar för bärarmarnas fästen till tornet måste tas fram för att undersöka om mätanordningarna passar i nuvarande form eller om små modifikationer bör göras. Säkerhetsmarginalerna måste också tas fram för tornplattan och bärarmarnas fäste, så att anordningarna kan använda samma. Fästningssätt för lastcellerna till lastcellsanordningen måste bestämmas, detta kan undersökas när lastcellerna är levererade.

39

6. SlutsatsKraftanalysen gav ett resultat vilket visar på vad för krafter som uppstår och hur stora de är. De teoretiska beräkningarna och simuleringarna stämde överens och gav att största kraften som uppstår är i normalled, alltså i x-led i det införda koordinatsystemet. Enligt de teoretiska beräkningarna och simuleringarna så ändrades lägsta egenfrekvensen för vibrationerna i konstruktionen med max 13 % då mätanordningen monterades vilket inte är en kritisk ändring. Detta ger att det finns ganska stor frihet i designen av mätanordningen.

De olika anordningarna klarar av påfrestningarna om aluminium används som material. Det krävs dock att det är förstärkt för att vissa av dem ska klara det. Kostnaden får avgöra om alla delar ska ha förstärkt aluminium eller om de ska ha stål som ger ännu högre hållbarhet. En fördel med svagare material är dock att de kan vara mer lättarbetade. De beställda lastcellerna bör också klara påfrestningarna och de är kompatibla med den mätutrustning som beställdes. Tre saker bör utredas innan inköp av mätanordning; bärarmarnas fästens utseende måste undersökas, säkerhetsmarginalerna för tornplattan och bärarmarnas fästen måste tas fram och fästet för lastcellerna på lastcellsanordningen måste undersökas.

Mätningar på vindkraftverket Lucia kunde inte genomföras då mätutrustning och mätanordning ej kunde beställas i tid och på grund av att vindkraftverket var nedmonterat.

40

7. Referenser1. J. Kjellin, S. Eriksson, P. Deglaire, F. Bülow, H. Bernhoff, Progress of control system and

measurment techniques for a 12 kW vertical axis wind turbine, European Wind energy Conference & Exhibition, 2008

2. James F. Manwell, Jon G. McGowan, Anthony L. Rogers, Wind Energy Explained: Theory, Design and Application, Second Edition, kap. 3-4, John Wiley and Sons, 2010

3. P.C. Klimas, Darrieus rotor aerodynamics, Trans. ASME J. Solar Energy Engng, s 102–105, 1982

4. P. Deglaire, Analytical Aerodynamic Simulation Tools for vertical axis wind turbines, ISBN 978-91-554-7913-8, Uppsala universitet, Uppsala, Sverige, 2010

5. E. Brolin, Dimensioning and designing the foundation and structure for a H-rotor type wind turbine, ISSN 1401-5757, Uppsala universitet, 2006

6. S. Eriksson, Direct Driven Generators for Vertical Axis Wind Turbines, ISBN 978-91-554-7364-1, Uppsala universitet, Uppsala, Sverige, 2008

7. S. Eriksson, H. Bernhoff, Generator-Damped Torsional Vibrations of a Vertical Axis Wind Turbine, Wind Engineering, volume 29, no 5, 2005

8. C. Nordling, J. Osterman, Physics handbook, Studentlitteratur AB, 20069. Hans Lundh, Grundläggande hållfasthetslära, Institutionen för hållfasthetslära, Kungliga

tekniska högskolan, kap. 12.1.1, 17.1-17.2, 2000

41

Bilaga AInfoblad om S-lastcell.

42

Figur A. 1: Infoblad om S-lastcell, Källa: www.vetek.se

Bilaga BRitningar på delarna.

43

Figur B. 1: Ritning för distansplatta

44

Figur B. 2: Ritning av distansplatta med rektangulär urskärning

Figur B. 3: Ritning för lastcell och lastcellsfäste

Figur B. 4: Ritning för bärarmens lastcellsfäste

45

Figur B. 5: Ritning för tornets lastcellsfäste

46

Figur B. 6: Ritning med distansplatta med gångjärn, torn

47

Figur B. 7: Ritning för distansplatta med gångjärn, bärarmsfäste

48

Bilaga CMed yield strength menas materialets sträckgräns.

Resultaten av simuleringen, aluminiumlegering 1060 (endast normalkraft):Yield strength: 27 574 200 N/m^2

Distansplatta (2 cirkulära utsågningar)min FoS: 2.07max von Mises-spänning: 13 291 214 N/m^2

Distansplatta (rektangel):min FoS: 2.23max von Mises-spänning: 12 375 129 N/m^2

Distansplatta (gångjärn):min FoS: 3.88max von Mises-spänning: 7 115 718 N/m^2

Distansplatta (gångjärn, bärarm):min FoS: 2.15max von Mises-spänning: 12 803 384 N/m^2

s-cell-platta, bärarm:min FoS: 1.05max von Mises-spänning: 26 376 038 N/m^2 s-cell-platta, torn:min FoS: 1.29max von Mises-spänning: 21 406 772 N/m^2

Resultaten av simuleringen, aluminiumlegering 1060 (alla krafter):Yield strength: 27 574 200 N/m^2





49

S-cell-platta, bärarm:min FoS: 0.98max von Mises-spänning: 28 005 912 N/m^2

S-cell-platta, torn:min FoS: 1.26max von Mises-spänning: 21 838 364 N/m^2

Resultaten av simuleringen, aluminiumlegering 1060H12 (alla krafter):Yield strength: 75 000 000 N/m^2



För simulering med stål som material så användes endast normalkraften:Yield strength: 620 422 000 N/m^2







50

Documents

Kraftanalys och framtagning av mätanordning för vertikala ...uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:447133/FULLTEXT01.pdf · % in the simulation using SolidWorks 2010. For the experimental