KRETANJE TELA PROMENLJIVE MASE

učenik: Andrijana Cerović mentor: Prof. Dr. Ljubiša

Nešić

UVOD Tela mogu menjati masu u dva slučaja:

1) usled promene brzine, što se dešava kada se telo kreće velikom brzinom,

2) usled toga što se menja količina supstancije koja čini telo.

- Primeri: cisterna, kišna kap, avion, raketa...

Drugi Njutnov zakon Govori o tome šta se dešava sa telom ukoliko

na njega deluje nenulta rezultujuća sila Ako materijalna tačka nije izolovana, usled

interakcije sa drugim telima, njen impuls se menja; ono što izaziva tu promenu može da se opiše nekom funkcijom koordinata i brzine

(1.1)

Ova jednačina predstavlja II Njutnov zakon

Drugi Njutnov zakon Ukoliko u nju zamenimo izraz za impuls

p=mv i izvršimo diferenciranje, dobija se

(1.2) II Njutnov zakon se često zapisuje u

redukovanom obliku odnosno

(1.3) Međutim, u skladu sa jednačinom (1.2), ovaj

zapis važi samo za tela kod kojih se masa menja sa vremenom

Meščerski i Ciolkovski Meščerski: rođen u siromašnoj porodici,

studirao je matematiku i mehaniku, 58 godina predavao u Sankt Peterburgu, krater na Mesecu je dobio ime po njemu

Ciolkovski: “otac teorijske astronautike”, bio je samouk (zbog oštećenja sluha, nisu ga primili u školu), predavao je matematiku u srednjoj školi

Jednačina kretanja tela promenjive mase

Na telo u kretanju čija se masa u toku vremena menja m = m(t) (mehaničkim odbacivanjem ili pripajanjem) dejstvuje u smislu zakona akcije i reakcije tzv. reaktivna sila, koju opisuje jednačina Meščerskog.

Jednačina kretanja tela promenjive mase

Kao akciju F uzećemo silu kojom se masa dm izbacuje brzinom za elementarno vreme dt, tj.

(2.1)a za reakciju R – silu koja masi saopštava ubrzanje , tj.

(2.2)

Iz zakona akcije i reakcije proističe

(2.3)

Jednačina kretanja tela promenjive mase

pri čemu je i Dakle reaktivna sila glasi

(2.4) Gornja jednačina se može napisati u sledećem

obliku

odakle se onda integracijom od nekog trenutka do trenutka t dobija

(2.5)

Jednačina kretanja tela promenjive mase

gde je brzina tela u trenutku , a njegova brzina u trenutku t, dok je masa tela za , a m masa kao funkcija vremena u određenom kasnijem trenutku t.

Ako je onda se predhodni obrazac može napisati u sledećem obliku

(2.6)

i to je obrazac Ciolkovskog za određivanje brzine tela kada je brzina otpadanja mase (isticanja gasova) jednaka .

Jednačina kretanja tela promenjive mase

Jednačina Meščerskog se može izvesti i na osnovu II Njutnovog zakona

Neka su m(t) i m(v) masa i brzina rakete u proizvoljnom momentu vremena t. Impuls rakete će u tom trenutku vremena biti p(t)=mv. Za interval vremena dt masa rakete i njena brzina će imati priraštaje dm i dv jer je za navedeno vreme raketa potrošila dm goriva i izbacila ga kao gas

Jednačina kretanja tela promenjive mase

Dakle

odnosno

(2.7)

Jednačina Meščerskog u relativističkom slučaju

Pozabavimo se kretanjem rakete u odsustvu neke spoljašnje sile. Kao što je pokazano, za nerelativističke brzine važi jednačina kretanja

(3.1)

uz uvođenje brzine relativnog kretanja gasa u odnosu na raketu vrel=u-v i integracije u granicama m0 do m i 0 do v daje

(3.2)

Jednačina Meščerskog u relativističkom slučaju

Odavde se dalje dobija (nerelativistička) jednačina Ciolkovskog

(3.3)

Ukoliko su brzine kretanja rakete međutim uporedive sa brzinom svetlosti, susrećemo se sa dva problema. Prvi je što u izrazu (3.1) moramo da zamenimo masu sa relativističkim izrazom za masu, a drugi što moramo da vodimo računa o relativističkom slaganju brzina

Jednačina Meščerskog u relativističkom slučaju

Prva izmena dovodi do sledeće modifikacije posmatrane jednačine

(3.4)

Druga se odnosi na činjenicu da je brzina gasova rakete, posmatrano iz sistema reference Zemlje data izrazom

gde je

Jednačina Meščerskog u relativističkom slučaju

Gledano iz ovog sistema reference dakle važi

pa će tražena razlika biti

(3.5)

Takođe je potrebno izračunati sledeći diferencijal

Jednačina Meščerskog u relativističkom slučaju

Zamena poslednja dva izraza u jednačinu (3.4) nakon sređivanja daje traženu diferencijalnu jednačinu

(3.6)

Nakon integracije u istim granicama kao i u nerelativističkom slučaju, dobija se jednačina Ciolkovskog za relativističku raketu

Zaključak U radu je razmatrano opisivanje kretanja tela

čija se masa menja sa vremenom usled pripajanja/odvajanja delića mase posmatranom telu. Pokazano je da je ovaj slučaj kretanja praktično obuhvaćen II Njutnovim zakonom zapisanim u obliku . Dobijena je jednačina Meščerskog koja zapravo predstavlja praktičnu formu II Njutnovog zakona za ovaj slučaj. Prikazano je takođe kako izgledaju rešenja ove jednačine kako za slučaj malih, tako i za slučaj velikih brzina. Istaknut je značaj problema za razvoj raketne tehnike.

HVALA NA PAŽNJI!